CINXE.COM

<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN"> <html> <head> <base href="http://femto.com.ua/"> <title>Зонная теория - Физическая энциклопедия</title> <meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=utf-8"> <meta name="Keywords" content="современная физика, фундаментальная физика, энциклопедия"> <meta name="Description" content="ЗОННАЯ ТЕОРИЯ - каталог научно-справочных публикаций по физике."> <link rel="stylesheet" href="style.css" type="text/css" media="screen"> <script src="files/SchListProcessing.js" type="text/javascript"> </script>  </head> <body> <script type="text/javascript"> var _gaq = _gaq || []; _gaq.push(['_setAccount', 'UA-20779895-1']); _gaq.push(['_trackPageview']); (function() { var ga = document.createElement('script'); ga.type = 'text/javascript'; ga.async = true; ga.src = ('https:' == document.location.protocol ? 'https://ssl' : 'http://www') + '.google-analytics.com/ga.js'; var s = document.getElementsByTagName('script')[0]; s.parentNode.insertBefore(ga, s); })(); </script> <div class="wrap"> <div class="logo"> <div class="logo_img"><img src="files/images/femtocomua_small.png" alt="Энциклопедия по физике"></div> <div class="ban_top">  <script type="text/javascript"> </script> <script type="text/javascript" src="http://pagead2.googlesyndication.com/pagead/show_ads.js"> </script>  </div> </div> <div class="blue_border"></div> <div class="top_menu"> <div class="adsearch"> <form action="http://www.google.ru/cse" id="cse-search-box" target="_blank"> <div> <input type="hidden" name="cx" value="partner-pub-5001158605331260:8765084211" /> <input type="hidden" name="ie" value="utf-8" /> <input type="text" name="q" size="16" /> <input type="submit" name="sa" value="Поиск" /> </div> </form> <script type="text/javascript" src="http://www.google.com/jsapi"></script> <script type="text/javascript">google.load("elements", "1", {packages: "transliteration"});</script> <script type="text/javascript" src="http://www.google.com/cse/t13n?form=cse-search-box&t13n_langs=en"></script> <script type="text/javascript" src="http://www.google.ru/coop/cse/brand?form=cse-search-box&lang=ru"></script> <script type="text/javascript" src="http://www.google.com/cse/query_renderer.js"></script> <div id="queries"></div> <script src="http://www.google.com/cse/api/partner-pub-5001158605331260/cse/8765084211/queries/js?oe=utf-8&callback=(new+PopularQueryRenderer(document.getElementById(%22queries%22))).render"></script> </div> <a href="http://femto.com.ua/"><img src="files/images/menu_start.gif" alt="Стартовая"></a> <a href="index1.html"><img src="files/images/menu_index.gif" alt="Предметный указатель"></a> <a href="phys_world/preview-1.html"><img src="files/images/menu_phys_world.gif" alt="Новости науки и техники"></a> </div> <div class="menu"> <div class="box"> <div class="b_l-t"></div><div class="b_r-t"></div><div class="b_c-t"><span class="box_title">Физическая энциклопедия</span></div> <div class="box_content"> <ul><li><a href="http://femto.com.ua/">Главная</a></li><li><a href="index1.html">Предметный указатель</a></li></ul> <div class="sch_form"> <form name="schForm" action="Javascript:loadArticle()"> <select name="schDest" class="sch_dest" size="5" ondblclick="loadArticle()" onchange="rewriteInput()"><option value=""></option></select> <input name="schInput" class="sch_input" title="Введите термин" ondblclick="loadArticle()" onpaste="getPickList()" onkeyup="getPickList()"> <input type="submit" class="sch_button" value="Поиск"> </form> </div> </div> <div class="b_l-b"></div><div class="b_r-b"></div><div class="b_c-b"></div> </div>    <div class="box"> <div class="b_l-t"></div><div class="b_r-t"></div><div class="b_c-t"><span class="box_title">Фотогалерея</span></div> <div class="box_content" id="phys_photo"> <img src="phys_photo/pp0056.jpg" alt="Альфа Центавра"> <div>Альфа Центавра в рентгеновских лучах</div> </div> <div class="b_l-b"></div><div class="b_r-b"></div><div class="b_c-b"></div> </div> </div> <div class="main"> <div class="box"> <div class="b_l-t"></div><div class="b_r-t"></div><div class="b_c-t"><span class="box_title">Новости науки и техники</span></div> <div class="box_content" id="phys_world_preview"> <table cellspacing="0"><tr> <td class="phw_preview_block"><blockquote><a class="phw_headline" href="phys_world/phys_world-0056.html"><strong>Философия физики: резонанс и мироздание</strong></a><br><span class="phw_subheading"><strong></strong></span></blockquote> Новый оригинальный взгляд на мироздание. Все формы материи удерживаются в состоянии устойчивости благодаря резонансу. Присутствие же его повсеместно – это основа всех процессов в природе и технике. В статье представлены некоторые аспекты действия резонанса в процессе развития живых и неживых структур. <a class="phw_more" href="phys_world/phys_world-0056.html">Далее...</a></td> <td class="phw_img_block"><p class="phw_img"><img src="phys_world/img_phys_world/00056_small.jpg" alt="Резонанс - основа мироздания"></p></td> </tr></table> </div> <div class="b_l-b"></div><div class="b_r-b"></div><div class="b_c-b"></div> </div>  <div class="ads_in_text_block"> <script type="text/javascript"> </script> <script type="text/javascript" src="http://pagead2.googlesyndication.com/pagead/show_ads.js"> </script> </div>  <div class="article"> <h1>зонная теория</h1> <P> <strong>ЗОННАЯ ТЕОРИЯ</strong> - один из осн. разделов квантовой теории <em><a href="articles/part_2/3983.html">твёрдых тел</a></em>. 3. т. описывает движение электронов в кристаллах и является основой совр. теории <em>металлов, полупроводников</em> и <em><a href="articles/part_1/1096.html">диэлектриков</a></em> [1-4].<br> <strong>Электронные зоны в идеальном кристалле</strong>. Из-за близкого расположения атомов в кристаллах происходит перекрытие волновых ф-ций электронов соседних атомов или молекул. В результате из каждого дискретного энергетич. уровня атома или молекулы образуется энергетич. зона и электроны, находящиеся на этих уровнях, приобретают способность свободно перемещаться по кристаллу. Особенность кристалла, отличающая его от аморфных тел и жидкостей, - периодичность в расположении атомов, т. е. наличие трансляц. симметрии. Из-за трансляц. симметрии волновая ф-ция электрона в кристалле y(r) в точках с пространств, координатами r и r+а (а - вектор решётки) отличается лишь фазовым множителем: </P> <P> yk(r) = u<SUB>k</SUB>(r)exp(ikr), (1) </P> <P> где u<SUB>k</SUB>(r+а)=u<SUB>k</SUB>(r). Здесь <em>k</em> - волновой вектор электрона (см. <em>Блоха теорема, Елоховские электроны)</em>. Квазиимпульс <IMG src="articles/part_1/p1/3-9.jpg" alt="3-9.jpg" align="absmiddle"> электрона является аналогом импульса свободного электрона, а величина l=2p/k - аналог длины волны де Бройля. Энергия электрона E(<em>k)</em> - периодич. ф-ция в <em>k</em>-пространстве: </P> <P> <em>E</em>(<em>k + g) =</em> <em>E</em>(<em>k), (2</em>) </P> <P> где <em>g</em> - любой из целочисленных векторов <em><a href="articles/part_2/2562.html">обратной решётки</a></em>, построенной на базисных векторах g<SUB>1</SUB>, g<SUB>2</SUB>, <em>g<SUB>3</SUB></em>, связанных с векторами прямой решётки а<SUB>i</SUB> соотношениями: g<SUB>1</SUB>=2p[a<SUB>2</SUB>a<SUB>3</SUB>]/W и т. д. Здесь W=a<SUB>1</SUB>[a<SUB>2</SUB>a<SUB>3</SUB>] - объём <em><a href="articles/part_2/4731.html">элементарной ячейки</a></em> кристалла. В качестве элементарной ячейки обратной решётки выбирают первую <em><a href="articles/part_1/0378.html">Бриллюэна зону</a></em> (ЗБ). Объём ЗБ равен g<SUB>1</SUB>[g<SUB>2</SUB>g<SUB>3</SUB>]=(2p)<SUP>3</SUP>/W, а число электронных состояний в ЗБ (без учёта вырождения по спину) равно числу элементарных ячеек в объёме кристалла <em>V</em>, т. е. V/W. Т. о., плотность состояний в k-пространстве не зависит от k; и равна: </P> <P> r(k) = V/(2p)<SUP>3 </SUP>(3) </P> <P> Состояние электрона в кристалле y<SUB>m</SUB><SUB>k</SUB>/(r) с энергией Em(k) характеризуется непрерывным квантовым числом <em>k</em> и номером энергетич. зоны или номером ветви m, спектра, если зона включает неск. ветвей. Предполагается, что <em>k</em> лежит в пределах первой ЗБ (схема приведённых зон, рис. 1, а). Генетически каждая из ветвей m связана с определ. уровнем атомов, составляющих кристалл. Число ветвей, образующихся из каждого атомного уровня, равно произведению степени вырождения этого уровня на число эквивалентных атомов в элементарной ячейке, т. е. атомов, меняющихся местами при преобразованиях симметрии, входящих в группу симметрии кристалла. В k-пространстве существуют точки, в к-рых неск. состояний y<SUB>m</SUB><SUB>k</SUB>(r) с определ. <em>k</em> имеют одну и ту же энергию, т.e. соответствующие ветви спектра касаются или пересекаются. <br> <IMG src="articles/part_1/p1/3-10.jpg" alt="3-10.jpg" align="absmiddle"> <br> Рис. 1. Спектр электрона E(k) в приближении слабой связи (2 ветви): a - схема приведенных зон; <em>б</em> - схема расширенных зон. </P> <P> Существование и положение этих точек (вырожденные точки), как правило, обусловлено пространств, группой <em><a href="articles/part_2/3634.html">симметрии кристалла</a></em>, а также требованиями, накладываемыми условием инвариантности к инверсии времени. Такое вырождение может возникать не только в изолированных точках ЗБ, но и на осях симметрии и её гранях. Пример вырождения, связанного с инвариантностью к инверсии времени, - двукратное спиновое вырождение, к-рое в кристаллах с центром инверсии имеет место во всех точках ЗБ. Т. к. инверсия времени <em>К</em> обращает и направление <em>k</em>, и направление спина электрона, а пространств. инверсия <em>I</em>, обращая направление <em>k</em>, не влияет на спин, то в таких кристаллах ф-ции y<SUB>k</SUB> и <em>KI</em><em>y</em><em><SUB>k</SUB></em>, отвечающие одному и тому же значению E и <em>k</em>, соответствуют разным спиновым состояниям. В кристаллах без центра инверсии спиновое вырождение может иметь место лишь в отд. точках, на осях симметрии и гранях ЗБ, для к-рых либо k=-k+g, либо имеется операция симметрии, обращающая <em>k</em> в -<em>k+g</em>. В остальных точках ЗБ инвариантность к инверсии времени требует лишь выполнения общего условия <em>E</em>(k)=<em>E</em>(- <em>k</em>)[5]. Наряду с вырождением, обусловленным условиями симметрии, пересечение ветвей спектра в изолированных точках может быть и случайным. При наличии точек вырождения одному и тому же интервалу энергий могут соответствовать неск. ветвей спектра (т. н. вырожденная зона). Как правило, вырожденные зоны возникают из вырожденных состояний изолированного атома. Наряду с этим в кристалле могут перекрываться и ветви, произошедшие из разных атомных уровней. Такое перекрытие может не сопровождаться возникновением точек вырождения. Интервалы энергий, в к-рые попадают одна или неск. ветвей спектра, наз. разрешёнными зона-м и, интервалы, в к-рые ни одна из ветвей не попадает, - запрещёнными зонами. Иногда каждой из ветвей спектра E<SUB>m</SUB>(k), соответствующих разным разрешённым зонам, сопоставляют свою m-ю ЗБ, рассматривая спектр электронов во всём k-пространстве. Такая схема, наз. схемой расширенных зон (рис. 1, б), удобна при описании почти свободных электронов, т. к. при этом сохраняется соответствие между волновым вектором электрона в кристалле и волновым вектором свободного электрона. Поскольку свойство периодичности энергетич. спектра в <em>k</em>-пространстве - следствие только трансляц. симметрии, то (2) справедливо и для всех др. элементарных возбуждений, способных перемещаться по кристаллу и соответственно, как и электроны, обладающих квазиимпульсом (см. <em><a href="articles/part_1/1545.html">Квазичастица</a></em>). <strong>Заполнение зон в идеальном кристалле</strong>. Число мест в одной зоне ограничено и равно для каждой ветви (невырожденной по спину) <em>V/</em><em>W</em>. <em> В</em> силу <em><a href="articles/part_2/2770.html">Паули принципа</a></em> каждое из этих состояний может быть заполнено только одним электроном. При темп-ре T=0К электроны заполняют ниж. состояния. В зависимости от числа валентных электронов верхняя из заполненных зон может быть занята полностью или частично. Электроны полностью заполненной зоны не переносят ток, т. к. в такой зоне электрич. поле не может изменить распределение электронов по квазиимпульсам. Поэтому кристаллы, у к-рых ниж. зоны полностью заполнены, а верхние пустые, являются диэлектриками или полупроводниками. Верхняя из заполненных зон таких кристаллов наз. валентной зоной, а нижняя из пустых - зоной проводимости (рис. 2, а). <br> <IMG src="articles/part_1/p1/3-11.jpg" alt="3-11.jpg" align="absmiddle"> <br> Рис. 2. Схема заполнения зон в диэлектриках и полупроводниках (а), металлах (б) и полуметаллах (в); E<SUB>F</SUB> - уровень Ферми. </P> <P> Вещества с широкой запрещённой зоной, разделяющей валентную зону и зону проводимости, являются диэлектриками, а вещества с более узкой запрещённой зоной (обычно меньше 2,5-3 эВ) - полупроводниками. Однако деление между ними в значит. мере условно. При частичном заполнении зоны внеш. электрич. поле может изменять распределение электронов по квазиимпульсам, так что возникает результирующий поток электронов создающий ток. Поэтому кристаллы с частично заполненными зонами являются металлами (рис. 2, <em>б)</em>. Как правило, это кристаллы, образованные атомами с не полностью заполненными электронными оболочками. Кристаллы, составленные из атомов или ионов с полностью заполненными оболочками, - обычно диэлектрики или полупроводники. Напр., кристаллы инертных газов и щёлочно-галлоидные кристаллы типа NaCl, у к-рых все S-электроны катиона переходят на Р-оболочку аниона, полностью заполняя её, обычно - диэлектрики. Однако многие из таких кристаллов в результате перекрытия зон, соответствующих разным атомным уровням, становятся металлами, пример - щёлочно-земельные металлы. И наоборот, в результате расщепления атомных уровней <em>внутрикристаллическим полем</em> кристаллы, образованные атомами с не полностью заполненными оболочками, могут быть диэлектриками. Так, в одноосных кристаллах Р-уровень расщепляется на 2 подуровня, образующих 2 зоны, нижняя из к-рых м. б. полностью заполнена. Подобную роль может играть и ферромагнитное или антиферромагнитное упорядочение, снимающее вырождение по спину. Диэлектриками могут быть и кристаллы, содержащие в элементарной ячейке неск. атомов с не полностью заполненными оболочками. Пример - элементарные полупроводники IV группы периодич. системы (алмаз, Ge, Si), у к-рых элементарная ячейка содержит 2 атома, и VI группы (Se, Те) с 3 атомами в ячейке. Так, в алмазе, Ge, Si на 8 атомных <em>S</em>- и <em>Р</em>-уровнях (с учётом спина) приходится 4 электрона, т. е. эти уровни заполнены наполовину. Из этих 8 уровней образуются 4 зоны, две из к-рих трёхкратно вырождены. Из них 2 нижние полностью заполнены имеющимися 8 электронами в каждой ячейке. Остальные 2 зоны остаются пустыми и образуют зоны проводимости. При этом в верх. валентной зоне Ge (Г'<SUB>25</SUB>, рис. 3, <em>а, 6)</em>, также как и в более высокой из зон проводимости (Г<SUB>15</SUB>), в точке Г (центр ЗБ) имеет место трёхкратное вырождение, а на осях D и L - двукратное вырождение одной из ветвей (D, L<SUB>3</SUB>). Спин-орбитальное взаимодействие частично снимает это вырождение, расщепляя валентную зону в точке Г и по направлениям D и L [5, 10]. В ряде кристаллов частично заполненные зоны образуются в результате слабого перекрытия верх. заполненной зоны с нижней пустой. Такие вещества (графит, Bi, Sb) наз. <em><a href="articles/part_2/2973.html">полуметаллами</a></em> (рис. 2, <em>в)</em>. <br> <IMG src="articles/part_1/p1/3-12.jpg" alt="3-12.jpg" align="absmiddle"> <br> Рис. 3. а - Первая зона Бриллюэна Ge, Г - центр зоны Бриллюэна (<em>k - 0), X, L, К</em> и др.- "точки симметрии", переходящие сами в себя при преобразованиях симметрии, допустимых в данной решётке; б - Спектр электронов проводимости и дырок в Ge (без учёта спин-орбитального расщепления) в направлениях [111] (L), [100] (D), 110 (S) (индекс указывает номер неприводимого представления группы волнового вектора k); заштрихована запрещённая зона. </P> <P> В нек-рых полупроводниках (напр., серое олово) одна из ветвей, выходящих из точки вырождения (k<SUB>0</SUB>=0), идёт вверх, т. е. для неё E(<em>k</em>)>E(k<SUB>0</SUB>), а вторая вниз: E(k)<E(k<SUB>0</SUB>). При этом верх, ветвь пустая, а нижняя полностью заполнена, т. е. зона проводимости и валентная зона касаются в точке k<SUB>0</SUB>. Такие кристаллы наз. <em><a href="articles/part_1/0300.html">бесщелевыми полупроводниками</a></em>. При T = 0K уровень Ферми E<SUB>F</SUB> определяет границу между заполненными и незаполненными уровнями (см. <em><a href="articles/part_2/4302.html">Ферми-энергия</a></em> ).В чистых полупроводниках и диэлектриках E<SUB>F</SUB> проходит в запрещённой зоне, разделяющей валентную зону и зону проводимости; в металлах или сильно легированных полупроводниках - в разрешённой зоне. В этом случае изоэнергетич. поверхность в k-пространстве, определяемая ур-нием E<SUB>m</SUB>(<em>k)=</em>E<SUB>F</SUB>, наз. поверхностью Ферми. Для пересекающихся или вырожденных зон её форма различная для каждой из ветвей спектра. В металле она может либо охватывать замкнутую область k-пространства, либо проходить через всю обратную решётку (см. <em><a href="articles/part_2/4299.html">Ферми-поверхность</a></em> ).При T>0К степень заполнения электронами состояния с энергией <em>S</em> определяется <em><a href="articles/part_2/4300.html">ферми-распределением</a>:</em> <br> <IMG src="articles/part_1/p1/3-13.jpg" alt="3-13.jpg" align="absmiddle"> <br> Положение уровня Ферми E<SUB>F</SUB> находится из ур-ния: <br> <IMG src="articles/part_1/p1/3-14.jpg" alt="3-14.jpg" align="absmiddle"> <br> где <em>N<SUB>Э</SUB></em> - полное число электронов в кристалле, задаваемое условием нейтральности, т. е. равенством полного заряда электронов заряду положит. ионов. <strong>Электроны и дырки, примесные уровни</strong>. При повышении темп-ры в полупроводниках и диэлектриках в соответствии с (4), (5) электроны начинают переходить из валентной зоны в зону проводимости, образуя пустые места в валентной зоне, наз. дырками. Движение носителей заряда в валентной зоне обычно описывают как движение дырок. Каждой дырке приписывают заряд и волновой вектор, равные с обратным знаком заряду и волновому вектору отсутствующего электрона. Энергия дырки E<SUB>Д</SUB>(k) = -E<SUB>Э</SUB> (-k) =-E<SUB>Э</SUB>(<em>k)</em>, и вероятность заполнения дырочных состояний определяется ф-цией Ферми дырок: <br> <IMG src="articles/part_1/p1/3-15.jpg" alt="3-15.jpg" align="absmiddle"> <br> В полуметаллах движение носителей в нижней из перекрывающихся зон также описывают как движение дырок. В металлах с замкнутыми поверхностями Ферми последние могут ограничивать либо область энергий с E(<em>k</em>)[E<SUB>F</SUB>, либо область с E(<em>k)></em>E<SUB>F</SUB>. В последнем случае движение носителей заряда описывается как движение дырок с E<SUB>д</SUB>(k)<-E<SUB>F</SUB>. Число пустых мест, ограниченных этой поверхностью, наз. числом дырок, тогда как в первом случае число электронов в области, где E<SUB>Э</SUB>(k)<E<SUB>F</SUB>, наз. числом электронов проводимости. Практически во всех металлах с замкнутыми поверхностями Ферми (кроме щелочных металлов) есть и электроны и дырки. Во всех кристаллах имеются уровни, связанные с дефектами кристаллич. решётки и чужеродными атомами. Заполнение уровней примеси также определяется (4). В металлах, имеющих большое число свободных электронов, переходы носителей с примеси в зоны не играют заметной роли. В полупроводниках и диэлектриках (а также в полуметаллах с большой концентрацией примеси) концентрация носителей при не очень высоких темп-pax определяется числом электронов, перешедших с донорных уровней в зону проводимости, или числом электронов валентной зоны, захваченных акцепторами с образованием дырок [9, 10]. Наряду с объёмными уровнями в кристалле имеются <em><a href="articles/part_2/2909.html">поверхностные состояния</a></em> .Волновая ф-ция электронов в этих состояниях локализована вблизи поверхности кристалла, внутри него. Различают собственные поверхностные состояния (уровни Тамма) и примесные. Уровни Тамма возникают в результате "обрыва" решётки на границе и искажения приноверхностных ячеек. Эти уровни образуют поверхностные зоны. Примесные поверхностные уровни связаны с дефектами и чужеродными атомами на поверхности. Обычно энергия электрона на дне зоны проводимости меньше его энергии в вакууме, однако в исключит. случаях - напр., в кристаллич. и жидком гелии (см. <em><a href="articles/part_1/0704.html">Гелий твёрдый</a></em> - )дно зоны проводимости лежит выше уровня покоящегося электрона в вакууме и поэтому электроны из вакуума не могут проникать в кристалл; однако они, поляризуя кристалл, притягиваются к нему индуцированным на поверхности зарядом. В результате образуются поверхностные состояния с волновой ф-цией, локализированной вне кристалла у его поверхности. <strong>Основные методы расчёта зон</strong>. В первых расчётах зонной структуры использовались приближения слабой и сильной связи. В методе слабой связи в качестве нулевого приближения берутся волновые ф-ции свободного электрона (плоские волны), а периодич. поле кристалла рассматривается как возмущение. В этой модели электронный спектр E(<em>k</em>)почти во всём k-пространстве описывается той же ф-лой, что и для свободного электрона: <br> <IMG src="articles/part_1/p1/3-16.jpg" alt="3-16.jpg" align="absmiddle"> <br> где m<SUB>0</SUB> - масса свободного электрона, и лишь у границы зоны Бриллюэна испытывает разрывы (рис. 1, <em>б)</em>. Эти разрывы связаны с брэгговским отражением электронов в кристалле; волновые векторы, для к-рых выполняется условие брэгговского отражения (см. <em><a href="articles/part_1/0383.html">Брэгга - Вульфа условие</a></em> ),как раз образуют поверхности зоны Бриллюэна. При этом каждая из граней зоны соответствует отражению от системы определ. плоскостей прямой решётки. В отличие от состояний внутри ЗБ, к-рым соответствуют бегущие волны (1), всем состоянием на её поверхности соответствуют <em><a href="articles/part_2/3911.html">стоячие волны</a></em>. Приближение слабой связи хорошо описывает электронный спектр простых металлов. Для определения формы их поверхности Ферми достаточно провести вокруг узла обратной решётки сферу, определённую условием <em>k<SUP>3</SUP><SUB>F</SUB> = 3</em><em>p</em><em><SUP>2</SUP>N/V</em>, где <em>k<SUB>F</SUB></em> - фермиевский импульс, <em>N</em> - число валентных электронов (метод Xаррисона [7]). Если эта сфера выходит за пределы ЗБ, то форма поверхности Ферми оказывается несферической. Если возмущающий потенциал не мал, то волновую ф-цию (1) можно разложить по векторам обратной решётки <em>g:</em> </P> <P> y<SUB>k</SUB>(r) = exp (ikr)S<SUB>g</SUB>G<SUB>g</SUB>exp(igr), (8) </P> <P> и задача сводится к решению секулярного ур-ния: <br> <IMG src="articles/part_1/p1/3-17.jpg" alt="3-17.jpg" align="absmiddle"> <br> Т. к. волновая ф-ция валентных электронов ортогональна Волковым ф-циям нижележащих состояний, она сильно осциллирует вблизи атомных остовов. Поэтому вклад в энергию валентных электронов от области атомного остова мал и истинный "сильный" потенциал может быть заменён более слабым сглаженным псевдопотенциалом, что соответствует включению в (9) лишь матричных элементов <em>V<SUB>gg'</SUB> с</em> небольшими <em>q=|g-g'|</em>. Для расчёта псевдопотенциала предложен ряд методов, из к-рых наиб. часто используют методы ортогонализованных плоских волн (ОПВ) и присоединённых плоских волн (ППВ). При этом в обоих методах псевдопотенциал оказывается нелокальным, т. е. включает и компоненты <em>V<SUB>gg'</SUB></em>, зависящие от <em>g</em> и <em>g'</em> по отдельности [6, 9]. В эмпирич. методе псевдопотенциала <em>V<SUB>gg' </SUB></em>не рассчитываются, а подбираются, с тем чтобы значения E<SUB>m</SUB>(k) в выбранных точках ЗБ совпадали с определёнными экспериментально. Потенциалы <em>V<SUB>gg' </SUB></em>можно представить как сумму вкладов отд. атомов решётки. Последние записываются в виде произведения структурного фактора, зависящего только от положения атома в ячейке, и <em><a href="articles/part_2/4350.html">формфактора</a></em> атомных потенциалов, к-рые определяются только типом атома и практически не зависят от соединения, куда этот элемент входит. Это даёт возможность, определив псевдопотенциалы данных атомов из спектров одних веществ. рассчитывать затем спектр др. соединений, образованных ими. <strong>Метод сильной связи</strong>. В качестве базисных ф-ций выбираются волновые ф-ции изолированных атомов y<SUB>а</SUB>(r), и ф-ция нулевого приближения, удовлетворяющая (1), записывается в виде: <br> <IMG src="articles/part_1/p1/3-18.jpg" alt="3-18.jpg" align="absmiddle"> <br> где R<em>v</em> - координата <em>v</em>-го атома в решётке. При этом перекрытие волновых ф-ций соседних атомов считается малым и соответствующий вклад в энергию E(<em>k</em>)рассчитывается по теории возмущений. Обобщением этого метода является метод линейных комбинаций атомных орбиталей (ЛКАО), где в качестве базиса выбирается набор неск. атомных волновых ф-ций, включая волновые ф-ции возбуждённых состояний [11]. В эмпирич. методе ЛКАО интегралы перекрытия не рассчитываются, а подбираются так, чтобы получаемый спектр E(<em>k</em>) совпадал с экспериментальным, определённым в отд. точках ЗБ, а энергия атомных состояний y<em><SUB>a</SUB>(r</em>)определяется из эксперим. значений потенциалов ионизации атомов или ионов [12]. <strong><em>k</em>-р-метод и метод инвариантов</strong>. Электрич. и многие др. свойства полупроводников и полуметаллов, в к-рых число свободных носителей заряда мало, определяются лишь спектром вблизи точек экстремума, т. е. у "потолка" валентной зоны и "дна" зоны проводимости. Возможное положение экстремумов, число эквивалентных экстремумов и вид спектров вблизи них зависят от симметрии кристалла. Для расчёта спектра вблизи данного экстремума <em>k<SUB>0</SUB></em> используется либо теория возмущений (<em>k</em>-р-метод), в к-ром волновая ф-ция электрона в рассматриваемой зоне в точках <em>k</em>№<em>k<SUB>0</SUB></em> раскладывается по волновым ф-циям всех др. зон в точке <em>k<SUB>0</SUB></em>, либо метод инвариантов, позволяющий непосредственно учесть требования, накладываемые симметрией кристалла [5, 10]. При этом константы, определяющие спектр, находятся из сравнения с эксперим. данными. Для зон, не вырожденных в точке <em>k<SUB>0</SUB></em>, поверхность пост. энергии вблизи неё - эллипсоиды и спектр определяются тензором <em><a href="articles/part_2/4784.html">эффективной массы</a>:</em> <br> <IMG src="articles/part_1/p1/3-19.jpg" alt="3-19.jpg" align="absmiddle"> <br> B системе координат, связанных с гл. осями эллипсоида, этот тензор имеет в общем случае 3 компоненты m<SUB>ab</SUB><SUP>-1</SUP> = d<SUB>ab</SUB>/m<SUB>aa</SUB> и <br> <IMG src="articles/part_1/p1/3-20.jpg" alt="3-20.jpg" align="absmiddle"> <br> где <em>k'</em>=k-k<SUB>0</SUB>. Для электронов вблизи потолка валентной зоны m<SUP>э</SUP><SUB>aa</SUB> отрицательны, для дырок <em>т</em><SUP>д</SUP><SUB>aa</SUB><em>=-т</em><SUP>э</SUP><SUB>aa</SUB> положительны. Если зона вблизи k<SUB>0</SUB> вырождена, то спектр имеет более сложный вид и определяется из решения секулярного ур-ния, порядок к-рого задаётся кратностью вырождения. Аналогичные уравнения используют и для одноврем. описания близко расположенных зон, напр., в узкозонных полупроводниках, что даёт возможность учесть непараболичность спектра, т. е. отступление от закона (12) с увеличением <em>k</em>. <strong>Движение электронов во внешних полях</strong>. В металлах движение электронов в электрич. <strong>E</strong> и магн. <strong>H</strong> полях определяется квазиклассич. ур-ниями: </P> <P> Р<strong>p</strong>/Рt = <strong>F</strong>=e<strong>E</strong>+ e/c[<em>v</em><strong>H</strong>], где <em>v=</em>DpE(<strong>p</strong>). (13) </P> <P> Из (13) следует, что при движении в поле <strong>H</strong> сохраняются (составляющая импульса, параллельная <strong>Н</strong>) <em>p<SUB>z</SUB></em> и полная энергия электрона E(<strong>p</strong>). Поэтому электрон на поверхности Ферми в магн. поле движется по траектории, представляющей собой её сечение плоскостью <em>p<SUB>z</SUB>=const</em>. Для закрытых поверхностей эти сечения замкнуты, для открытых они могут быть замкнутыми и разомкнутыми в зависимости от ориентации <strong>Н</strong>. Для замкнутых траекторий период обращения электрона: <br> <IMG src="articles/part_1/p1/3-21.jpg" alt="3-21.jpg" align="absmiddle"> <br> Здесь <em>S</em> - площадь, ограниченная траекторией электрона в плоскости p<SUB>z</SUB>=const, величина w<SUB>с</SUB>=1/T наз. циклотронной частотой, а <em>т*</em> - циклотронной эфф. массой. При движении по замкнутым траекториям в сильном магн. поле происходит квантование орбит. Расстояние между возникающими <em><a href="articles/part_1/1919.html">Ландау уровнями</a></em> равно <IMG src="articles/part_1/p1/3-22.jpg" alt="3-22.jpg" align="absmiddle"> Определив зависимость w<em><SUB>с</SUB>(<strong>р</strong><SUB>z</SUB></em>)или площади <em>S(</em><em>E</em><em><SUB>F</SUB>, <strong>p</strong><SUB>z</SUB></em>)от ориентации <strong>H</strong>, можно восстановить форму поверхности Ферми. В полупроводниках и диэлектриках с невырожден ными зонами движение носителей также описывается квазиклассич. ур-нием (13). Квантовая теория, использующая <em><a href="articles/part_2/4578.html">Шрёдингера уравнение</a></em> для спектра, задаваемого ур-нием (12), приводит к тому же выражению для <IMG src="articles/part_1/p1/3-23.jpg" alt="3-23.jpg" align="absmiddle"> что и ф-ла (14). В случае вырожденных или близких зон в полупроводниках, а также вблизи точек пересечения поверхностей Ферми в металлах квазиклассич. приближение (13) неприменимо и спектр электронов или дырок в электрич. и магн. полях определяется системой связанных ур-ний Шрёдингера, число к-рых определяется кратностью вырождения. В этих случаях уровни Ландау оказываются неэквидистантными. Отступление от квазиклассики для близко расположенных ветвей спектра можно описывать как туннелирование электронов с одной траектории Ландау на другую (см. <em><a href="articles/part_2/3101.html">Пробой магнитный</a></em>). <strong>Границы применимости зонной теории</strong>. 3. т. исходит из предположений: а) потенциал кристаллич. решётки строго периодичен; б) взаимодействие между свободными электронами может быть сведено к одноэлектронному самосогласованному потенциалу, а оставшаяся часть рассмотрена методом теории возмущений; в) взаимодействие с фононами слабое и может быть рассмотрено по теории возмущений (см. <em>Электроннофононное взаимодействие)</em>. В <em><a href="articles/part_2/2498.html">неупорядоченных системах</a></em> условие а) не выполняется. Однако т. к. размытие атомных уровней связано с перекрытием волновых ф-ций соседних атомов, то и в неупорядоченных средах, в т. ч. в <em><a href="articles/part_1/1175.html">жидкостях</a></em>, образуются разрешённые зоны и квазизапрещённые, с резко пониженной плотностью состояний. В неупорядоченных средах имеются два типа состояний электрона - локализованные и делокализованные. Локализация, связанная с разупорядочением решётки, наз. андерсеновской, а граничная энергия между локализованными и делокализованными состояниями - уровнем локализации. Если уровень Ферми в металле или сильно легированном полупроводнике проходит выше уровня локализации, то их проводимость носит металлич. характер (см. <em><a href="articles/part_1/0107.html">Аморфные металлы</a></em> ).В обратном случае проводимость осуществляется путём активированных перескоков между локализованными состояниями или тепловым забросом электронов выше уровня локализации. Условие б) хорошо выполняется в полупроводниках и диэлектриках с малым числом свободных электронов, когда взаимодействие между ними мало и может быть учтено как электрон-электронное рассеяние. В металлах, где число свободных электронов велико, взаимодействие с осн. массой электронов учитывается самосогласованным одноэлектронным потенциалом. Взаимодействие с электронами, находящимися в тонком слое вблизи поверхности Ферми, может быть учтено в рамках теории <em><a href="articles/part_2/4295.html">ферми-жидкости</a></em>, в к-рой в качестве элементарных возбуждений рассматриваются заряж. квазичастицы - фермионы, описывающие самосогласованное движение всей системы электродов. Электрон-электронное взаимодействие приводит, как правило, лишь к перенормировке спектра. Исключение составляют кристаллы с узкими зонами, где энергия отталкивания двух электронов на одном узле превышает ширину зоны. Если в таких кристаллах число электронов равно числу атомов, они являются диэлектриками, даже если число мест в зоне (с учётом спина) больше числа атомов. При изменении ширины разрешённой зоны в результате сближения атомов происходит переход к металлич. проводимости (переход Мотта). Наряду с возбуждениями фермиевского типа в многоэлектронной системе в результате электрон-электронного взаимодействия возникают возбуждения - бозоны, не связанные с переносом заряда (<em>плазмоны, спиновые волны)</em>. В этих колебаниях могут участвовать электроны и частично заполненных, и полностью заполненных зон. В полупроводниках и диэлектриках в результате взаимодействия электрона зоны проводимости и дырки валентной зоны образуются связанные состояния <em><a href="articles/part_1/0423.html">Ванье - Мотта экситоны</a></em>. В молекулярных кристаллах и диэлектриках возбуждённые состояния атомов или молекул, перемещающиеся по кристаллу, образуют <em><a href="articles/part_2/4417.html">Френкеля экситоны</a></em> .Волновая ф-ция экситона удовлетворяет ф-ле (1); области разрешённых значений энергии экситона называются экситонными зонами. Условие в) выполняется практически во всех металлах, где электрон-фононное взаимодействие ослабляется в результате его экранирования свободными электронами, и во мн. полупроводниках. В полярных диэлектриках и полупроводниках с достаточно большой степенью ионной связи и большой эфф. массой носителей последние, поляризуя решётку, образуют автолокализов. состояния - <em><a href="articles/part_2/3015.html">поляроны</a></em> .Различают поляроны большого радиуса, у к-рых область локализации R<SUB>п </SUB>намного превышает постоянную решётки <em>а</em>, и малого радиуса с R<SUB>п</SUB>@<em>а</em>. Автолокализов. состояния малого радиуса образуются и в неполярных диэлектриках, напр, в кристаллах инертных газов (см. <em><a href="articles/part_1/0026.html">Автолокализация</a></em> ),при этом, как правило, происходит автолокализация только дырок. Движение поляронов малого радиуса при низких темп-pax осуществляется по очень узкой поляронной зоне, а при более высоких - путём активированных перескоков от узла к узлу. <em>Лит.:</em> 1) Бете Г., 3 о м м е р ф е л ь д А., Электронная теория металлов, пер. с нем., Л.- М., 1938; 2) Абрикосов А. А., Основы теории металлов, М., 1987; 3) Киттель Ч., Квантовая теория твердых тел, пер. с англ., М., 1967; 4) Каллуэй Д ж., Теория энергетической зонной структуры, пер. с англ., М., 1969; 5) Вир Г. Л., Пикус Г. Е., Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках, М., 1972; 6) Dimmock J. О., The calculation of electronic energy bands by the augmented plane wave method, "Solid State Phys.", 1971, v. 26, p. 129; 7) Xаррисон У. А., Электронная структура и свойства твердых тел, пер. с англ., т. 1-2, М., 1983; 8) Xейне В., Коэн М., Уэйр Д., Теория псевдопотенциала, пер. с англ., М., 1973; 9) 3айман Д ж., Принципы теории твердого тела, пер. с англ., М., 1974; 10) Цидильковский И. М., Зонная структура полупроводников, М., 1978; 11) Heine V., Electronic structure from the point of view of the local atomic environment, "Solid State Phys.", 1980, y. 35, p. 1; 12) В u 1 1 e t t D. W., The Renaissance and quantitative development of the tightbinding method, там же, р. 129. Г. <em>Е. Пикус</em>. </P> <P> </P> <div class="blue_border"></div> <p class="next-prev"><a rel="prev" href="articles/part_1/1255.html">   <<   </a>  <a rel="index" href="index1.html"> Предметный указатель </a>  <a rel="next" href="articles/part_1/1257.html">   >>   </a></p> </div> </div>  <div class="both"></div> <div class="blue_border"></div> <div class="footer_separator"></div> <div class="footer"> <div class="copyright">© femto.com.ua <br> <img src="files/images/mailabs.gif" align="absmiddle" border="0"> webmaster@femto.com.ua</div> </div> </div> </body> </html>