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title="クロアチア語: Iracionalni broj" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Iracionalni broj" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Irracion%C3%A1lis_sz%C3%A1mok" title="ハンガリー語: Irracionális számok" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Irracionális számok" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ハンガリー語" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BB%D5%BC%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="アルメニア語: Իռացիոնալ թիվ" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Իռացիոնալ թիվ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="アルメニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_irasional" title="インドネシア語: Bilangan irasional" lang="id" hreflang="id" data-title="Bilangan irasional" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="インドネシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Neracionala_nombro" title="イド語: Neracionala nombro" lang="io" hreflang="io" data-title="Neracionala nombro" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="イド語" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/%C3%93r%C3%A6%C3%B0ar_t%C3%B6lur" title="アイスランド語: Óræðar tölur" lang="is" hreflang="is" data-title="Óræðar tölur" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="アイスランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_irrazionale" title="イタリア語: Numero irrazionale" lang="it" hreflang="it" data-title="Numero irrazionale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="イタリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%98%E1%83%A0%E1%83%90%E1%83%AA%E1%83%98%E1%83%9D%E1%83%9C%E1%83%90%E1%83%9A%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%98_%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%AA%E1%83%AE%E1%83%95%E1%83%98" title="ジョージア語: ირაციონალური რიცხვი" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ირაციონალური რიცხვი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="ジョージア語" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B1%D0%B0%D0%B9%D1%81%D1%8B%D0%B7_%D1%81%D0%B0%D0%BD" title="カザフ語: Рабайсыз сан" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Рабайсыз сан" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="カザフ語" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%88%98" title="韓国語: 무리수" lang="ko" hreflang="ko" data-title="무리수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a href="https://ku.wikipedia.org/wiki/Hejmar%C3%AAn_na_aql%C3%AE" title="クルド語: Hejmarên na aqlî" lang="ku" hreflang="ku" data-title="Hejmarên na aqlî" data-language-autonym="Kurdî" data-language-local-name="クルド語" class="interlanguage-link-target"><span>Kurdî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B4%D1%8B%D0%BA_%D1%81%D0%B0%D0%BD" title="キルギス語: Иррационалдык сан" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Иррационалдык сан" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="キルギス語" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Numerus_irrationalis" title="ラテン語: Numerus irrationalis" lang="la" hreflang="la" data-title="Numerus irrationalis" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="ラテン語" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/N%C3%BCmar_irazziunaal" title="ロンバルド語: Nümar irazziunaal" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Nümar irazziunaal" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="ロンバルド語" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%88%E0%BA%B3%E0%BA%99%E0%BA%A7%E0%BA%99%E0%BA%AD%E0%BA%B0%E0%BA%9B%E0%BA%BB%E0%BA%81%E0%BA%81%E0%BA%B0%E0%BA%95%E0%BA%B4" title="ラオ語: ຈຳນວນອະປົກກະຕິ" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ຈຳນວນອະປົກກະຕິ" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="ラオ語" class="interlanguage-link-target"><span>ລາວ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Iracionalusis_skai%C4%8Dius" title="リトアニア語: Iracionalusis skaičius" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Iracionalusis skaičius" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="リトアニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Iracion%C4%81ls_skaitlis" title="ラトビア語: Iracionāls skaitlis" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Iracionāls skaitlis" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="ラトビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Isa_tsivoasaina" title="マダガスカル語: Isa tsivoasaina" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Isa tsivoasaina" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="マダガスカル語" class="interlanguage-link-target"><span>Malagasy</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98" title="マケドニア語: Ирационален број" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Ирационален број" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="マケドニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%85%E0%B4%AD%E0%B4%BF%E0%B4%A8%E0%B5%8D%E0%B4%A8%E0%B4%95%E0%B4%B8%E0%B4%82%E0%B4%96%E0%B5%8D%E0%B4%AF" title="マラヤーラム語: അഭിന്നകസംഖ്യ" lang="ml" hreflang="ml" data-title="അഭിന്നകസംഖ്യ" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="マラヤーラム語" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB_%D1%82%D0%BE%D0%BE" title="モンゴル語: Иррационал тоо" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Иррационал тоо" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="モンゴル語" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="マラーティー語: अपरिमेय संख्या" lang="mr" hreflang="mr" data-title="अपरिमेय संख्या" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="マラーティー語" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Nombor_bukan_nisbah" title="マレー語: Nombor bukan nisbah" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Nombor bukan nisbah" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="マレー語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Numru_irrazzjonali" title="マルタ語: Numru irrazzjonali" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Numru irrazzjonali" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="マルタ語" class="interlanguage-link-target"><span>Malti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Irrationaal_getal" title="オランダ語: Irrationaal getal" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Irrationaal getal" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="オランダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Irrasjonale_tal" title="ノルウェー語(ニーノシュク): Irrasjonale tal" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Irrasjonale tal" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="ノルウェー語(ニーノシュク)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Irrasjonalt_tall" title="ノルウェー語(ブークモール): Irrasjonalt tall" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Irrasjonalt tall" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="ノルウェー語(ブークモール)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-or mw-list-item"><a href="https://or.wikipedia.org/wiki/%E0%AC%85%E0%AC%AA%E0%AC%B0%E0%AC%BF%E0%AC%AE%E0%AD%87%E0%AD%9F_%E0%AC%B8%E0%AC%82%E0%AC%96%E0%AD%8D%E0%AD%9F%E0%AC%BE" title="オディア語: ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା" lang="or" hreflang="or" data-title="ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା" data-language-autonym="ଓଡ଼ିଆ" data-language-local-name="オディア語" class="interlanguage-link-target"><span>ଓଡ଼ିଆ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%97%E0%A8%BC%E0%A9%88%E0%A8%B0-%E0%A8%AC%E0%A8%9F%E0%A9%87%E0%A8%A8%E0%A9%81%E0%A8%AE%E0%A8%BE_%E0%A8%B8%E0%A9%B0%E0%A8%96%E0%A8%BF%E0%A8%86" title="パンジャブ語: ਗ਼ੈਰ-ਬਟੇਨੁਮਾ ਸੰਖਿਆ" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਗ਼ੈਰ-ਬਟੇਨੁਮਾ ਸੰਖਿਆ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="パンジャブ語" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_niewymierne" title="ポーランド語: Liczby niewymierne" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Liczby niewymierne" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional" title="ポルトガル語: Número irracional" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Número irracional" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="ポルトガル語" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_ira%C8%9Bional" title="ルーマニア語: Număr irațional" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Număr irațional" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="ルーマニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="ロシア語: Иррациональное число" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Иррациональное число" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9mmuru_irrazziunali" title="シチリア語: Nùmmuru irrazziunali" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Nùmmuru irrazziunali" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="シチリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Iracionalni_broj" title="セルボ・クロアチア語: Iracionalni broj" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Iracionalni broj" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="セルボ・クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Irrational_number" title="シンプル英語: Irrational number" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Irrational number" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Iracion%C3%A1lne_%C4%8D%C3%ADslo" title="スロバキア語: Iracionálne číslo" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Iracionálne číslo" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="スロバキア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Iracionalno_%C5%A1tevilo" title="スロベニア語: Iracionalno število" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Iracionalno število" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-smn mw-list-item"><a href="https://smn.wikipedia.org/wiki/Irrationaalloho" title="イナリ・サーミ語: Irrationaalloho" lang="smn" hreflang="smn" data-title="Irrationaalloho" data-language-autonym="Anarâškielâ" data-language-local-name="イナリ・サーミ語" class="interlanguage-link-target"><span>Anarâškielâ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Numrat_irracional%C3%AB" title="アルバニア語: Numrat irracionalë" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Numrat irracionalë" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="アルバニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%BD_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98" title="セルビア語: Ирационалан број" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Ирационалан број" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="セルビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Irrationella_tal" title="スウェーデン語: Irrationella tal" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Irrationella tal" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="スウェーデン語" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Namba_isiyowiana" title="スワヒリ語: Namba isiyowiana" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Namba isiyowiana" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="スワヒリ語" 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style="text-align:left;;overflow-x:visible;overflow-y:visible;"> <ul><li>英語版記事を<a rel="nofollow" class="external text" href="https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Irrational_number?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=ja&_x_tr_hl=ja">日本語へ機械翻訳したバージョン</a>（Google翻訳）。</li> <li>万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、<b>記事は削除の方針<a href="/wiki/Wikipedia:DP#G-3" class="mw-redirect" title="Wikipedia:DP">G-3</a>に基づき、削除される可能性があります。</b></li> <li>信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。</li> <li><a href="/wiki/Wikipedia:%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%82%AD%E3%83%9A%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%A2%E5%86%85%E3%81%A7%E3%81%AE%E3%82%B3%E3%83%94%E3%83%BC" title="Wikipedia:ウィキペディア内でのコピー">履歴継承</a>を行うため、<a href="/wiki/Help:%E8%A6%81%E7%B4%84%E6%AC%84" title="Help:要約欄">要約欄</a>に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、<a href="/wiki/Wikipedia:%E7%BF%BB%E8%A8%B3%E3%81%AE%E3%82%AC%E3%82%A4%E3%83%89%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3#要約欄への記入" title="Wikipedia:翻訳のガイドライン">Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入</a>を参照ください。</li> <li>翻訳後、<code>{{<a href="/wiki/Template:%E7%BF%BB%E8%A8%B3%E5%91%8A%E7%9F%A5" title="Template:翻訳告知">翻訳告知</a>|en|Irrational number|…}}</code>を<a href="/wiki/%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0" title="ノート:無理数">ノート</a>に追加することもできます。</li> <li><a href="/wiki/Wikipedia:%E7%BF%BB%E8%A8%B3%E3%81%AE%E3%82%AC%E3%82%A4%E3%83%89%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3" title="Wikipedia:翻訳のガイドライン">Wikipedia:翻訳のガイドライン</a>に、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明があります。</li></ul></div></div></div></td></tr></tbody></table> <p><b>無理数</b>（むりすう、 <a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>irrational number</i></span>）とは、<a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" title="有理数">有理数</a>ではない<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>、つまり<a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a>の<a href="/wiki/%E6%AF%94" title="比">比</a>（<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>ratio</i></span>）（<a href="/wiki/%E5%88%86%E6%95%B0" title="分数">分数</a>）で表すことのできない実数のことである。実数は<a href="/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88" title="非可算集合">非可算個</a>で有理数は<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88" title="可算集合">可算</a>個であるから、無理数は非可算個あり、<a href="/wiki/%E3%81%BB%E3%81%A8%E3%82%93%E3%81%A9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#ほとんど全ての" title="ほとんど (数学)">ほとんど全ての</a>実数は無理数である。 </p><p>無理数という語は、何かが「無理である数」という意味に受け取れるため、語義的に「無比数」と訳すべきだったという意見もある<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>（<a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0#用語の由来" title="有理数">有理数#用語の由来</a>も参照）。 </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Square_root_of_2_triangle.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Square_root_of_2_triangle.svg/220px-Square_root_of_2_triangle.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Square_root_of_2_triangle.svg/330px-Square_root_of_2_triangle.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Square_root_of_2_triangle.svg/440px-Square_root_of_2_triangle.svg.png 2x" data-file-width="500" data-file-height="500" /></a><figcaption><span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">2</span></span></span> は無理数である。</figcaption></figure> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="無理数の例"><span id=".E7.84.A1.E7.90.86.E6.95.B0.E3.81.AE.E4.BE.8B"></span>無理数の例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=1" title="節を編集: 無理数の例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>以下の実数は無理数である。 </p> <ul><li><a href="/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0" title="平方数">平方数</a>を除く<a href="/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9" title="平方根">平方根</a>（ <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"></span>、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {3}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {3}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b19c09494138b5082459afac7f9a8d99c546fcd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {3}}}"></span>など）</li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">N</span> の <a href="/wiki/%E5%86%AA%E6%A0%B9" title="冪根"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">m</span> 乗根</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt[{m}]{N}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt[{m}]{N}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e38d4ea6b80d5e7018cfea36a7467e51d1631d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.999ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt[{m}]{N}}}"></span>（ただし、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">m</span> は <span lang="en" class="texhtml">1</span> より大きい整数、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">N</span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">m</span> 乗数でない整数）</li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0" title="対数">対数</a> <span lang="en" class="texhtml">log<sub><i>m</i></sub> <i>n</i></span>（ただし、<span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>m</i>, <i>n</i></span></span> は <span lang="en" class="texhtml">1</span> より大きい整数で、<span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>m</i> = <i>N<sup>a</sup></i>, <i>n</i> = <i>N<sup>b</sup></i></span></span> を満たす整数 <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>N</i>, <i>a</i>, <i>b</i></span></span> が存在しない） <ul><li><span lang="en" class="texhtml">log<sub>2</sub> 3</span> や <span lang="en" class="texhtml">log<sub>2</sub> 5</span></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0" title="三角関数">三角関数</a>の零でない有理数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> における値<sup id="cite_ref-FOOTNOTENiven200521_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTENiven200521-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <span lang="en" class="texhtml">cos <i>x</i></span>, <span lang="en" class="texhtml">sin <i>x</i></span>, <span lang="en" class="texhtml">tan <i>x</i></span>, <span lang="en" class="texhtml">csc <i>x</i></span>, <span lang="en" class="texhtml">sec <i>x</i></span>, <span lang="en" class="texhtml">ctn <i>x</i></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87" title="円周率">円周率</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">π</span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0" title="ネイピア数">ネイピア数</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">e</span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%88%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0" title="ゲルフォントの定数">ゲルフォントの定数</a> <i>e</i><sup><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">π</span></sup></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%9A%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0" title="アペリーの定数">アペリーの定数</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>ζ</i>(3)</span></li> <li>小数部分が循環しない<a href="/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%B0%8F%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="無限小数">無限小数</a>で表される数。例えば<a href="/wiki/%E5%8D%81%E9%80%B2%E6%B3%95" title="十進法">十進法</a>における <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%83%BC%E3%83%8E%E3%82%A6%E3%83%B3%E5%AE%9A%E6%95%B0" title="チャンパーノウン定数">チャンパーノウン定数</a> 0.123456789101112…（<a href="/wiki/%E5%B0%8F%E6%95%B0" title="小数">小数</a>部分に<a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0" title="自然数">自然数</a>を順に並べた小数）</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89-%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%87%E3%82%B7%E3%83%A5%E5%AE%9A%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="コープランド-エルデシュ定数">コープランド-エルデシュ定数</a> 0.2357111317192329…（小数部分に<a href="/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="素数">素数</a>を順に並べた小数）</li></ul></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="無理数判定法"><span id=".E7.84.A1.E7.90.86.E6.95.B0.E5.88.A4.E5.AE.9A.E6.B3.95"></span>無理数判定法</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=2" title="節を編集: 無理数判定法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>任意の <span lang="en" class="texhtml"><i>ε</i> > 0</span> に対して不等式 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\varepsilon }{q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>α</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>ε</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\varepsilon }{q}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31328a036f491f36f16e045206d9d7ac9e5360dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.906ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle 0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\varepsilon }{q}}}"></span></dd></dl> <p>が有理数解 <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r89142261">.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}</style><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num"><i>p</i></span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><i>q</i></span></span> を持つとき、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">α</span> は無理数である。多くの無理性の証明はこれを用いている。これは <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">α</span> が無理数であるための必要十分条件でもある。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="性質"><span id=".E6.80.A7.E8.B3.AA"></span>性質</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=3" title="節を編集: 性質"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>無理数を十進<a href="/wiki/%E5%B0%8F%E6%95%B0" title="小数">小数</a>で表記すると、繰り返しのない<a href="/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%B0%8F%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="無限小数">無限小数</a>（<a href="/wiki/%E5%B0%8F%E6%95%B0#非循環小数" title="小数">非循環小数</a>）になる。これは<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E5%8F%96%E3%82%8A%E8%A8%98%E6%95%B0%E6%B3%95" title="位取り記数法">記数法の底</a>によらず一般の <i>N</i> 進小数でも成り立つ。 </p><p><i>α</i> を無理数とすると、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>α</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c53cd1be799453661e9e153c4f842b5be4d503a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.696ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}"></span></dd></dl> <p>を満たす無限に多くの有理数 <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num"><i>p</i></span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><i>q</i></span></span> が存在する（<a href="/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AA%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%82%B9%E8%BF%91%E4%BC%BC%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ディリクレのディオファントス近似定理">ディリクレの定理</a>）。なお、このように無理数の有理数による近似を扱う理論は<a href="/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AA%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%82%B9%E8%BF%91%E4%BC%BC" title="ディオファントス近似">ディオファントス近似</a>と呼ばれる<a href="/wiki/%E6%95%B0%E8%AB%96" title="数論">数論</a>の分野に属する。 </p><p>無理数全体の空間を完備とするような距離が存在する。またA-演算が自然に応用できる例でもあり、この空間は点集合論的トポロジーでは重要な対象である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="代数的無理数と超越数"><span id=".E4.BB.A3.E6.95.B0.E7.9A.84.E7.84.A1.E7.90.86.E6.95.B0.E3.81.A8.E8.B6.85.E8.B6.8A.E6.95.B0"></span>代数的無理数と超越数</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=4" title="節を編集: 代数的無理数と超越数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>無理数のうち、<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0" title="代数的数">代数的数</a>であるものを代数的無理数、そうでないものを<a href="/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0" title="超越数">超越数</a>という。 </p><p><i>α</i> が代数的数、<i>κ</i> > 2 ならば、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\kappa }}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>α</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>κ</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\kappa }}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4ace62afb698c631bca5782de5c61e7ee65aea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.82ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\kappa }}}}"></span></dd></dl> <p>を満たす有理数 <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num"><i>p</i></span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><i>q</i></span></span> は有限個しかない（<a href="/wiki/%E3%83%88%E3%82%A5%E3%82%A8%E3%83%BB%E3%82%B8%E3%83%BC%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="トゥエ・ジーゲル・ロスの定理">トゥエ－ジーゲル－ロスの定理</a>）<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。このことは<a href="/wiki/%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="不定方程式">不定方程式</a>の解の有限性を示すときに使われる。 </p><p>2の平方根は代数的無理数であり、log<sub>2</sub> 3, <i>e</i>, <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">π</span>, <i>e</i><sup><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">π</span></sup> といった数は超越数である。<i>ζ</i>(3) が超越数であるか否かは未だに解決されていない。 </p> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0" title="超越数">超越数</a>」を参照</div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="無理数度"><span id=".E7.84.A1.E7.90.86.E6.95.B0.E5.BA.A6"></span>無理数度</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=5" title="節を編集: 無理数度"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>数 <i>α</i> に対して </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\kappa }}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>α</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>κ</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\kappa }}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4ace62afb698c631bca5782de5c61e7ee65aea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.82ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\kappa }}}}"></span></dd></dl> <p>を満たす有理数 <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num"><i>p</i></span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><i>q</i></span></span> は有限個しかない、という性質を満たす <i>κ</i> の下限を <i>α</i> の<b>無理数度</b> (<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>irrationality measure</i></span>) という。 </p><p>有理数の無理数度は 1, ディリクレの定理およびロスの定理より代数的無理数の無理数度は 2, <a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0" title="リウヴィル数">リウヴィル数</a>の無理数度は ∞ である。ディリクレの定理より無理数の無理数度は全て 2 以上である。<i>e</i> の無理数度は 2 であることが知られている。また、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">π</span>の無理数度の上限は7.103程度であることがわかっている<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>ルベーグ測度に関してほとんど全ての数の無理数度は 2 である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="歴史"><span id=".E6.AD.B4.E5.8F.B2"></span>歴史</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=6" title="節を編集: 歴史"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>無理数の発見は<a href="/wiki/%E5%8F%A4%E4%BB%A3%E3%82%AE%E3%83%AA%E3%82%B7%E3%82%A2" title="古代ギリシア">古代ギリシア</a>文明にまで遡る。一説では、無理数の発見者は古代ギリシャの大数学者、<a href="/wiki/%E3%83%94%E3%82%BF%E3%82%B4%E3%83%A9%E3%82%B9" title="ピタゴラス">ピタゴラス</a>の弟子であった<a href="/wiki/%E3%83%92%E3%83%83%E3%83%91%E3%82%BD%E3%82%B9" title="ヒッパソス">ヒッパソス</a>という人物であった。ヒッパソスは<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2" title="正方形">正方形</a>の研究をしているうち、その辺と対角線の長さの比は整数でも分数でも表せない未知の数、すなわち無理数であることを発見したという。 </p><p>彼の師匠のピタゴラスは、宇宙の万物は数から成り立つこと、そして宇宙を構成する数は、調和した比を保っていると信じていた。ピタゴラスと教団は教義の反証である無理数が存在する事実に動揺し、不都合な事実を隠すため、発見者のヒッパソスを縛りあげ、船から海に突き落として殺害したという伝承が残っている。 </p><p>しかし、<a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%88%E3%83%B3" title="プラトン">プラトン</a>が現れると、彼の著書『テアイテトス』の中で平方数でない数の平方根が有理数でないことを論じ、さらに同じ論法が立方根にも適用できると述べている。これらの数学的な蓄積を受けて、<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%82%A6%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%B9" title="エウクレイデス">エウクレイデス</a>は『原論』の中で統一した形で実数論を展開している。 </p><p>円周が円の直径の3倍より少し大きいことは古来知られていた。古代インドやギリシアの数学者たちの間では半径 <i>r</i> の円の面積が<a href="/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87" title="円周率">円周率</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">π</span> を使って <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">π</span><i>r</i><sup>2</sup> であることも知られ、<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%AD%E3%83%A1%E3%83%87%E3%82%B9" title="アルキメデス">アルキメデス</a>は半径 <i>r</i> の球の体積が <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">4</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">3</span></span><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">π</span><i>r</i><sup>3</sup> であることや、この球の表面積が 4<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">π</span><i>r</i><sup>2</sup> （その球の大円の面積の4倍）であることを示していた。円周率 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">π</span> が無理数であることはすでに<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%86%E3%83%AC%E3%82%B9" title="アリストテレス">アリストテレス</a>によって予想されていたが、実際に証明されたのはそれよりはるかに後の時代のことである（<a href="/wiki/%E3%83%A8%E3%83%8F%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88" title="ヨハン・ハインリヒ・ランベルト">ヨハン・ハインリヒ・ランベルト</a>）。 </p><p>自然対数の底である<a href="/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0" title="ネイピア数">ネイピア数</a> <i>e</i> は、1618年に<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2" title="ジョン・ネイピア">ジョン・ネイピア</a>が発表した対数の研究の付録の表にその端緒があるが、定性的に研究したのは<a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC" title="レオンハルト・オイラー">レオンハルト・オイラー</a>である。 </p><p>1872年に<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%A3%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88" class="mw-redirect" title="リヒャルト・デデキント">リヒャルト・デデキント</a>は『連続性と無理数』を出版し、<a href="/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E5%88%87%E6%96%AD" title="デデキント切断">デデキント切断</a>を用いて無理数を定義した。 </p><p><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0" title="リーマンゼータ関数">リーマンゼータ関数</a>の特殊値 <i>ζ</i>(3) は、<a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%9A%E3%83%AA%E3%83%BC" title="ロジェ・アペリー">アペリー</a>によって1979年に無理数であることが証明された（<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%9A%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0" title="アペリーの定数">アペリーの定数</a>）。<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">π</span> + <i>e</i><sup><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">π</span></sup> は、<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%8E%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%81%E3%83%BB%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ユーリ・ヴァレンティノヴィチ・ネステレンコ」 (存在しないページ)">ネステレンコ</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Yuri_Valentinovich_Nesterenko" class="extiw" title="en:Yuri Valentinovich Nesterenko">英語版</a>）</span></span>によって無理数であることが証明された。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="未解決の問題"><span id=".E6.9C.AA.E8.A7.A3.E6.B1.BA.E3.81.AE.E5.95.8F.E9.A1.8C"></span>未解決の問題</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=7" title="節を編集: 未解決の問題"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0" title="オイラーの定数">オイラーの定数</a>（オイラー・マスケローニ定数）<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><i>γ</i></span>、<span lang="en" class="texhtml"><i>π</i>+<i>e</i></span>、<span lang="en" class="texhtml"><i>eπ</i></span>、その他 <span lang="en" class="texhtml"><i>P</i> (<i>e</i>, <i>π</i>)</span> の形であらわされる数（ここで <span lang="en" class="texhtml"><i>P</i> (<i>x</i>, <i>y</i>)</span> は、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><i>x</i></span>, <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><i>y</i></span> 双方について次数が 1 以上の多項式を表す）はいずれも、有理数であるか無理数であるか知られていない。 </p><p>また、<span lang="en" class="texhtml"><i>e</i><sup><i>e</i></sup></span>、<span lang="en" class="texhtml"><i>π</i><sup><i>e</i></sup></span>、<span lang="en" class="texhtml"><i>π</i><sup><i>π</i></sup></span>、といった数もやはり、有理数であるか無理数であるか知られていない。ただし、上記 <a href="#無理数の例">#無理数の例</a> に挙げたとおり、<span lang="en" class="texhtml"><i>e</i><sup><i>π</i></sup></span> は無理数であることが既に知られている。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=8" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け"><span title="この欄の操作法">脚注の使い方</span></a>]</div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text">堀場芳数『無理数の不思議』<a href="/wiki/%E8%AC%9B%E8%AB%87%E7%A4%BE" title="講談社">講談社</a>、1993年 <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784061329782" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4061329782</a></span> </li> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text">吉田武『<a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC" title="レオンハルト・オイラー">オイラー</a>の贈物人類の至宝<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%AD%89%E5%BC%8F" title="オイラーの等式">e<sup>iπ</sup>=-1</a>を学ぶ』<a href="/wiki/%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%B3%95%E4%BA%BA%E6%9D%B1%E6%B5%B7%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E5%87%BA%E7%89%88%E4%BC%9A" class="mw-redirect" title="学校法人東海大学出版会">東海大学出版会</a>、2010年 <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784486018636" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4486018636</a></span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text">吉田武『<a href="/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0" title="虚数">虚数</a>の情緒中学生からの全方位独学法』東海大学出版会、2000年 <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784486014850" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4486014850</a></span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTENiven200521-4"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTENiven200521_4-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFNiven2005">Niven 2005</a>, p. <span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=ov-IlIEo47cC&pg=PA21">21</a></span>.</span> </li> <li id="cite_note-5"><b><a href="#cite_ref-5">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book"><a href="/wiki/%E3%83%94%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%83%AB" title="ピーター・フランクル">ピーター・フランクル</a>『ピーターフランクルの中学生でも分かる大学生にも解けない数学問題集１』日本評論社、2001年、10頁。<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4535782628" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-535-78262-8</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E3%83%94%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%95%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%AD%E5%AD%A6%E7%94%9F%E3%81%A7%E3%82%82%E5%88%86%E3%81%8B%E3%82%8B%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E7%94%9F%E3%81%AB%E3%82%82%E8%A7%A3%E3%81%91%E3%81%AA%E3%81%84%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%95%8F%E9%A1%8C%E9%9B%86%EF%BC%91&rft.aulast=%5B%5B%E3%83%94%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%83%AB%5D%5D&rft.au=%5B%5B%E3%83%94%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%83%AB%5D%5D&rft.date=2001&rft.pages=10%E9%A0%81&rft.pub=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%A9%95%E8%AB%96%E7%A4%BE&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-6"><b><a href="#cite_ref-6">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation"> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html"><i>Irrationality Measure</i></a><span style="display:none;">, <a rel="nofollow" class="external free" href="https://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html">https://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Irrationality+Measure&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FIrrationalityMeasure.html&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=9" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>塩川宇賢：『無理数と超越数』<a href="/wiki/%E6%A3%AE%E5%8C%97%E5%87%BA%E7%89%88" title="森北出版">森北出版</a>、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784627060913" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4627060913</a>、（1999年）。</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%A3%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88" class="mw-redirect" title="リヒャルト・デデキント">デーデキント</a>『数について連続性と数の本質』河野伊三郎訳、<a href="/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97" title="岩波書店">岩波書店</a>、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4003392418" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-00-339241-8</a>、（1961年）。</li> <li>W. M. Schmidt, "Diophantine Approximations", Lecture Notes in Math. 785, Springer-Verlag, 1980.</li> <li>W. M. Schmidt, "Diophantine approximations and diophantine equations", Lecture Notes in Math. 1467. Springer-Verlag, 1991.</li> <li>R. Apéry, "Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)", Astérisque 61(1979), 11-13.</li> <li>A. van der Poorten, "A Proof that Euler Missed... Apéry's Proof of the Irrationality of ζ(3)", Math. Intel. 1 (1979), 196-203.</li> <li>ジュリアン・ハヴィル、松浦俊輔（訳）：「無理数の話 √2の発見から超越数の謎まで」青土社、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784791766758" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4791766758</a>、(2012年10月24日)。</li> <li>西岡久美子：「超越数とはなにか代数方程式の解にならない数たちの話」講談社（ブルーバックス）<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784062579117" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4062579117</a>（2015年4月21日)。</li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFNiven2005"><a href="/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%B3" title="イヴァン・ニーベン">I. Niven</a> (2005). <i>Irrational Numbers</i>. The Mathematical Association of America. <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription 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title="特別:文献資料/0-88385-038-9">0-88385-038-9</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Irrational+Numbers&rft.aulast=I.+Niven&rft.au=I.+Niven&rft.date=2005&rft.pub=The+Mathematical+Association+of+America&rft.isbn=0-88385-038-9&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連文献"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>関連文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=10" title="節を編集: 関連文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>高木貞治、1904「第九章無理數」『新式算術講義』</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=11" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" title="有理数">有理数</a>、<a href="/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0" title="循環小数">循環小数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9" title="平方根">平方根</a>、<a href="/wiki/%E7%AB%8B%E6%96%B9%E6%A0%B9" title="立方根">立方根</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0" title="超越数">超越数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E7%84%A1%E7%90%86%E6%80%A7%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E" title="円周率の無理性の証明">円周率の無理性の証明</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E7%84%A1%E7%90%86%E6%80%A7%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E" title="ネイピア数の無理性の証明">ネイピア数の無理性の証明</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%9A%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="アペリーの定理">アペリーの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%BF%91%E4%BC%BC%E5%80%A4" title="近似値">近似値</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=12" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r94202605">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output 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style="font-size:100%;">ウィキメディア・コモンズには、<b><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Irrational_numbers?uselang=ja">無理数</a></span></b>に関連するカテゴリがあります。</div></div> </div> <ul><li><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/15px-Wikisource-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/23px-Wikisource-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/30px-Wikisource-logo.svg.png 2x" data-file-width="410" data-file-height="430" /></span></span> ウィキソースには、<a href="https://ja.wikisource.org/wiki/%E6%96%B0%E5%BC%8F%E7%AE%97%E8%A1%93%E8%AC%9B%E7%BE%A9/%E7%AC%AC%E4%B9%9D%E7%AB%A0" class="extiw" title="s:新式算術講義/第九章">新式算術講義/第九章</a>の原文があります。</li> <li><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Wiktionary_small.svg/16px-Wiktionary_small.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Wiktionary_small.svg/24px-Wiktionary_small.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Wiktionary_small.svg/32px-Wiktionary_small.svg.png 2x" data-file-width="350" data-file-height="350" /></span></span> ウィクショナリーには、<a href="https://ja.wiktionary.org/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0" class="extiw" title="wikt:無理数">無理数</a>の項目があります。</li> <li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Irrational_Number"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><cite id="CITEREFWeisstein" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html">"Irrational Number"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Irrational+Number&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FIrrationalNumber.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0" class="Z3988"></span></span></li></ul> <div class="navbox" aria-labelledby="数の体系" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%B3%BB" title="Template:数の体系"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%B3%BB&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:数の体系」 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%B3%BB&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%B3%BB&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="数の体系" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E6%95%B0#数の体系" title="数">数の体系</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88" title="可算集合">可算な体系</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0" title="自然数">自然数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" title="有理数">有理数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%9C%E5%9B%B3%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="作図可能数">作図可能数</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0" title="代数的数">代数的数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {A} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">A</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {A} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb423c16a5f403edbaf66438b75e7a36e725af6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {A} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F_(%E6%95%B0%E4%BD%93%E7%B3%BB)" title="周期 (数体系)">周期</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%95%B0" title="計算可能数">計算可能数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AE%9A%E7%BE%A9%E5%8F%AF%E8%83%BD%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="定義可能実数">定義可能実数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%AE%97%E8%A1%93%E9%9B%86%E5%90%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="「算術集合」 (存在しないページ)">算術数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetical_set" class="extiw" title="en:Arithmetical set">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E6%95%B4%E6%95%B0" title="ガウス整数">ガウス整数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.646ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E6%95%B4%E6%95%B0" title="アイゼンシュタイン整数">アイゼンシュタイン整数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.29ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}"></span>)</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E5%90%88%E6%88%90%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="合成代数">合成代数</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><a href="/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0%E5%A4%9A%E5%85%83%E4%BD%93" title="ノルム多元体">通常型</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0" title="四元数">四元数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {H} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">H</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {H} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e050965453c42bcc6bd544546703c836bdafeac9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {H} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E5%85%AB%E5%85%83%E6%95%B0" title="八元数">八元数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {O} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">O</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {O} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ed2664a4fe515e6fbed25a7193ce663b82920c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {O} }"></span>)</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">分解型</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><span lang="en" class="texhtml">/<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span></span></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%9E%8B%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="分解型複素数">分解型複素数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%9E%8B%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「分解型四元数」 (存在しないページ)">分解型四元数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Split-quaternion" class="extiw" title="en:Split-quaternion">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%9E%8B%E5%85%AB%E5%85%83%E6%95%B0" title="分解型八元数">分解型八元数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><span lang="en" class="texhtml">/<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"></span></span></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="双複素数">双複素数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8C%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「双四元数」 (存在しないページ)">双四元数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Biquaternion" class="extiw" title="en:Biquaternion">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%85%AB%E5%85%83%E6%95%B0" title="双八元数">双八元数</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他の<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0" title="多元数">多元数</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%87%8D%E6%95%B0" title="二重数">二重数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%BA%8C%E9%87%8D%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「二重四元数」 (存在しないページ)">二重四元数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_quaternion" class="extiw" title="en:Dual quaternion">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「双曲四元数」 (存在しないページ)">双曲四元数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_quaternion" class="extiw" title="en:Hyperbolic quaternion">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%81%E5%85%AD%E5%85%83%E6%95%B0" title="十六元数">十六元数</a> (<span lang="en" class="texhtml"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {S} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">S</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {S} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9d5874c5d7f68eba1cec9da9ccbe53903303bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {S} }"></span></span>)</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%9E%8B%E5%8F%8C%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「分解型双四元数」 (存在しないページ)">分解型双四元数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Split-biquaternion" class="extiw" title="en:Split-biquaternion">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" class="mw-disambig" title="多重複素数">多重複素数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%95%B0" title="基数">基数</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">無理数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%B8%E3%83%BC%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ファジー数」 (存在しないページ)">ファジー数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_number" class="extiw" title="en:Fuzzy number">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="超実数">超実数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%EF%BC%9D%E3%83%81%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E4%BD%93" title="レヴィ＝チヴィタ体">レヴィ＝チヴィタ体</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%B6%85%E7%8F%BE%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="超現実数">超現実数</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0" title="超越数">超越数</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0" title="順序数">順序数</a></li> <li><a href="/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0" title="P進数"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span>-進数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.867ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%84%E6%95%B0" title="シュタイニッツ数">シュタイニッツ数</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%BA%96%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0" class="mw-disambig" title="準超実数">準超実数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow hlist" colspan="2"> <ul><li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Symbol_list_class.svg" class="mw-file-description" title="一覧記事"><img alt="一覧記事" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Symbol_list_class.svg/16px-Symbol_list_class.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Symbol_list_class.svg/23px-Symbol_list_class.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Symbol_list_class.svg/31px-Symbol_list_class.svg.png 2x" data-file-width="180" data-file-height="185" /></a></span><a href="/wiki/%E6%95%B0%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7#数の体系" title="数に関する記事の一覧">一覧</a></li> <li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Folder_Hexagonal_Icon.svg" class="mw-file-description" title="カテゴリ"><img alt="カテゴリ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/32px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 2x" data-file-width="36" data-file-height="31" /></a></span><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0" title="Category:数">カテゴリ:数</a></li></ul></td></tr></tbody></table></div> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a>: 国立図書館 <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q607728#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" 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src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=無理数&oldid=100883556">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=無理数&oldid=100883556</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA" title="特別:カテゴリ">カテゴリ</a>: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0" title="Category:数">数</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="Category:実数">実数</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0" title="Category:無理数">無理数</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E8%AB%96" title="Category:数論">数論</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="Category:初等数学">初等数学</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:数学に関する記事">数学に関する記事</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">隠しカテゴリ: <ul><li><a href="/wiki/Category:ISBN%E3%83%9E%E3%82%B8%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%82%92%E4%BD%BF%E7%94%A8%E3%81%97%E3%81%A6%E3%81%84%E3%82%8B%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8" title="Category:ISBNマジックリンクを使用しているページ">ISBNマジックリンクを使用しているページ</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E8%8B%B1%E8%AA%9E%E7%89%88%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%82%AD%E3%83%9A%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%A2%E3%81%8B%E3%82%89%E3%81%AE%E7%BF%BB%E8%A8%B3%E3%82%92%E5%BF%85%E8%A6%81%E3%81%A8%E3%81%99%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:英語版ウィキペディアからの翻訳を必要とする記事">英語版ウィキペディアからの翻訳を必要とする記事</a></li><li><a href="/wiki/Category:GND%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90%E3%81%8C%E6%8C%87%E5%AE%9A%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%A6%E3%81%84%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B" 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