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vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#演算"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>演算</span> </div> </a> <ul id="toc-演算-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-形式的な構成" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#形式的な構成"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>形式的な構成</span> </div> </a> <ul id="toc-形式的な構成-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-抽象的性質" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#抽象的性質"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>抽象的性質</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-抽象的性質-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>抽象的性質サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-抽象的性質-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-基本性質" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#基本性質"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>基本性質</span> </div> </a> <ul id="toc-基本性質-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-位相的性質" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#位相的性質"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>位相的性質</span> </div> </a> <ul id="toc-位相的性質-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>脚注</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-脚注-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>脚注サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>出典</span> </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>参考文献</span> </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>関連項目</span> </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-外部リンク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#外部リンク"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>外部リンク</span> </div> </a> <ul id="toc-外部リンク-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="目次" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" 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cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-119" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">119の言語版</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Rasionale_getal" title="アフリカーンス語: Rasionale getal" lang="af" hreflang="af" data-title="Rasionale getal" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="アフリカーンス語" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Rationale_Zahl" title="スイスドイツ語: Rationale Zahl" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Rationale Zahl" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="スイスドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Numero_racional" title="アラゴン語: Numero racional" lang="an" hreflang="an" data-title="Numero racional" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="アラゴン語" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-anp mw-list-item"><a href="https://anp.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="アンギカ語: परिमेय संख्या" lang="anp" hreflang="anp" data-title="परिमेय संख्या" data-language-autonym="अंगिका" data-language-local-name="アンギカ語" class="interlanguage-link-target"><span>अंगिका</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D9%83%D8%B3%D8%B1%D9%8A" title="アラビア語: عدد كسري" lang="ar" hreflang="ar" data-title="عدد كسري" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="アラビア語" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AA%E0%A7%B0%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A7%87%E0%A6%AF%E0%A6%BC_%E0%A6%B8%E0%A6%82%E0%A6%96%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE" title="アッサム語: পৰিমেয় সংখ্যা" lang="as" hreflang="as" data-title="পৰিমেয় সংখ্যা" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="アッサム語" class="interlanguage-link-target"><span>অসমীয়া</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmberu_racional" title="アストゥリアス語: Númberu racional" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Númberu racional" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="アストゥリアス語" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Rasional_%C9%99d%C9%99dl%C9%99r" title="アゼルバイジャン語: Rasional ədədlər" lang="az" hreflang="az" data-title="Rasional ədədlər" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="アゼルバイジャン語" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%D8%A7%D8%B3%DB%8C%D9%88%D9%86%D8%A7%D9%84_%D8%B3%D8%A7%DB%8C%DB%8C%D9%84%D8%A7%D8%B1" title="South Azerbaijani: راسیونال ساییلار" lang="azb" hreflang="azb" data-title="راسیونال ساییلار" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target"><span>تۆرکجه</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C_%D2%BB%D0%B0%D0%BD" title="バシキール語: Рациональ һан" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Рациональ һан" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="バシキール語" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Raciuonalosis_skaitlios" title="サモギティア語: Raciuonalosis skaitlios" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Raciuonalosis skaitlios" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="サモギティア語" class="interlanguage-link-target"><span>Žemaitėška</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D1%8B%D1%8F%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B_%D0%BB%D1%96%D0%BA" title="ベラルーシ語: Рацыянальны лік" lang="be" hreflang="be" data-title="Рацыянальны лік" data-language-autonym="Беларуская" 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class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%A6_%E0%A6%B8%E0%A6%82%E0%A6%96%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE" title="ベンガル語: মূলদ সংখ্যা" lang="bn" hreflang="bn" data-title="মূলদ সংখ্যা" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="ベンガル語" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Niver_feurek" title="ブルトン語: Niver feurek" lang="br" hreflang="br" data-title="Niver feurek" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="ブルトン語" class="interlanguage-link-target"><span>Brezhoneg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Racionalni_broj" title="ボスニア語: Racionalni broj" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Racionalni broj" 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lang="cs" hreflang="cs" data-title="Racionální číslo" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="チェコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BB%C4%83_%D1%85%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BF" title="チュヴァシ語: Рационаллă хисеп" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Рационаллă хисеп" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="チュヴァシ語" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Rhif_cymarebol" title="ウェールズ語: Rhif cymarebol" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Rhif cymarebol" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="ウェールズ語" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Rationale_tal" title="デンマーク語: Rationale tal" lang="da" hreflang="da" data-title="Rationale tal" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="デンマーク語" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Zahl" title="ドイツ語: Rationale Zahl" lang="de" hreflang="de" data-title="Rationale Zahl" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="ドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A1%CE%B7%CF%84%CF%8C%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="ギリシャ語: Ρητός αριθμός" lang="el" hreflang="el" data-title="Ρητός αριθμός" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="ギリシャ語" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eml mw-list-item"><a href="https://eml.wikipedia.org/wiki/N%C3%B3mmer_raziun%C3%A8l" title="エミリア・ロマーニャ語: Nómmer raziunèl" lang="egl" hreflang="egl" data-title="Nómmer raziunèl" data-language-autonym="Emiliàn e rumagnòl" data-language-local-name="エミリア・ロマーニャ語" class="interlanguage-link-target"><span>Emiliàn e rumagnòl</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_number" title="英語: Rational number" lang="en" hreflang="en" data-title="Rational number" data-language-autonym="English" data-language-local-name="英語" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Racionala_nombro" title="エスペラント語: Racionala nombro" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Racionala nombro" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="エスペラント語" 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class="interlanguage-link-target"><span>Võro</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Rationelt_tal" title="フェロー語: Rationelt tal" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Rationelt tal" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="フェロー語" class="interlanguage-link-target"><span>Føroyskt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_rationnel" title="フランス語: Nombre rationnel" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Nombre rationnel" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Ratsionaal_taal" title="北フリジア語: Ratsionaal taal" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Ratsionaal taal" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="北フリジア語" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Uimhir_ch%C3%B3imheasta" title="アイルランド語: Uimhir chóimheasta" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Uimhir chóimheasta" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="アイルランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B8" title="贛語: 有理數" lang="gan" hreflang="gan" data-title="有理數" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="贛語" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Nonm_rasyon%C3%A8l" title="Guianan Creole: Nonm rasyonèl" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Nonm rasyonèl" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional" title="ガリシア語: Número racional" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Número racional" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="ガリシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99" title="ヘブライ語: מספר רציונלי" lang="he" hreflang="he" data-title="מספר רציונלי" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ヘブライ語" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="ヒンディー語: परिमेय संख्या" lang="hi" hreflang="hi" data-title="परिमेय संख्या" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="ヒンディー語" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Racionalni_broj" title="クロアチア語: Racionalni broj" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Racionalni broj" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Racion%C3%A1lis_sz%C3%A1mok" title="ハンガリー語: Racionális számok" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Racionális számok" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ハンガリー語" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8C%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="アルメニア語: Ռացիոնալ թիվ" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Ռացիոնալ թիվ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="アルメニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Numero_rational" title="インターリングア: Numero rational" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Numero rational" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="インターリングア" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-iba mw-list-item"><a href="https://iba.wikipedia.org/wiki/Lumur_rasional" title="イバン語: Lumur rasional" lang="iba" hreflang="iba" data-title="Lumur rasional" data-language-autonym="Jaku Iban" data-language-local-name="イバン語" class="interlanguage-link-target"><span>Jaku Iban</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_rasional" title="インドネシア語: Bilangan rasional" lang="id" hreflang="id" data-title="Bilangan rasional" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="インドネシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Racionala_nombro" title="イド語: Racionala nombro" lang="io" hreflang="io" data-title="Racionala nombro" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="イド語" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/R%C3%A6%C3%B0ar_t%C3%B6lur" title="アイスランド語: Ræðar tölur" lang="is" hreflang="is" data-title="Ræðar tölur" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="アイスランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_razionale" title="イタリア語: Numero razionale" lang="it" hreflang="it" data-title="Numero razionale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="イタリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Rashanal_nomba" title="ジャマイカ・クレオール語: Rashanal nomba" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Rashanal nomba" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="ジャマイカ・クレオール語" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jbo mw-list-item"><a href="https://jbo.wikipedia.org/wiki/dilcyna%27u" title="ロジバン語: dilcyna'u" lang="jbo" hreflang="jbo" data-title="dilcyna'u" data-language-autonym="La .lojban." data-language-local-name="ロジバン語" class="interlanguage-link-target"><span>La .lojban.</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A0%E1%83%90%E1%83%AA%E1%83%98%E1%83%9D%E1%83%9C%E1%83%90%E1%83%9A%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%98_%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%AA%E1%83%AE%E1%83%95%E1%83%98" title="ジョージア語: რაციონალური რიცხვი" lang="ka" hreflang="ka" data-title="რაციონალური რიცხვი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="ジョージア語" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kaa mw-list-item"><a href="https://kaa.wikipedia.org/wiki/Racional_sanlar" title="カラカルパク語: Racional sanlar" lang="kaa" hreflang="kaa" data-title="Racional sanlar" data-language-autonym="Qaraqalpaqsha" data-language-local-name="カラカルパク語" class="interlanguage-link-target"><span>Qaraqalpaqsha</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB_%D1%81%D0%B0%D0%BD" title="カザフ語: Рационал сан" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Рационал сан" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="カザフ語" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%A0%EB%A6%AC%EC%88%98" title="韓国語: 유리수" lang="ko" hreflang="ko" data-title="유리수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Numerus_rationalis" title="ラテン語: Numerus rationalis" lang="la" hreflang="la" data-title="Numerus rationalis" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="ラテン語" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lfn mw-list-item"><a href="https://lfn.wikipedia.org/wiki/Numero_razonal" title="リングア・フランカ・ノバ: Numero razonal" lang="lfn" hreflang="lfn" data-title="Numero razonal" data-language-autonym="Lingua Franca Nova" data-language-local-name="リングア・フランカ・ノバ" class="interlanguage-link-target"><span>Lingua Franca Nova</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lg mw-list-item"><a href="https://lg.wikipedia.org/wiki/Namba_ez%27Omugerageranyo(Rational_NUmbers)" title="ガンダ語: Namba ez'Omugerageranyo(Rational NUmbers)" lang="lg" hreflang="lg" data-title="Namba ez'Omugerageranyo(Rational NUmbers)" data-language-autonym="Luganda" data-language-local-name="ガンダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Luganda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-li mw-list-item"><a href="https://li.wikipedia.org/wiki/Rationaol_getal" title="リンブルフ語: Rationaol getal" lang="li" hreflang="li" data-title="Rationaol getal" data-language-autonym="Limburgs" data-language-local-name="リンブルフ語" class="interlanguage-link-target"><span>Limburgs</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/N%C3%BCmar_razziunaal" title="ロンバルド語: Nümar razziunaal" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Nümar razziunaal" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="ロンバルド語" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%88%E0%BA%B3%E0%BA%99%E0%BA%A7%E0%BA%99%E0%BA%9B%E0%BA%BB%E0%BA%81%E0%BA%81%E0%BA%B0%E0%BA%95%E0%BA%B4" title="ラオ語: ຈຳນວນປົກກະຕິ" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ຈຳນວນປົກກະຕິ" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="ラオ語" class="interlanguage-link-target"><span>ລາວ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Racionalusis_skai%C4%8Dius" title="リトアニア語: Racionalusis skaičius" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Racionalusis skaičius" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="リトアニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Racion%C4%81ls_skaitlis" title="ラトビア語: Racionāls skaitlis" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Racionāls skaitlis" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="ラトビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Isa_voasaina" title="マダガスカル語: Isa voasaina" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Isa voasaina" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="マダガスカル語" class="interlanguage-link-target"><span>Malagasy</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98" title="マケドニア語: Рационален број" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Рационален број" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="マケドニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AD%E0%B4%BF%E0%B4%A8%E0%B5%8D%E0%B4%A8%E0%B4%95%E0%B4%82" title="マラヤーラム語: ഭിന്നകം" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ഭിന്നകം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="マラヤーラム語" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB_%D1%82%D0%BE%D0%BE" title="モンゴル語: Рационал тоо" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Рационал тоо" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="モンゴル語" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="マラーティー語: परिमेय संख्या" lang="mr" hreflang="mr" data-title="परिमेय संख्या" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="マラーティー語" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Nombor_nisbah" title="マレー語: Nombor nisbah" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Nombor nisbah" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="マレー語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%A1%E1%80%90%E1%80%AD%E1%80%95%E1%80%BC%E1%80%80%E1%80%AD%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8" title="ミャンマー語: အတိပြကိန်း" lang="my" hreflang="my" data-title="အတိပြကိန်း" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="ミャンマー語" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Ratschonale_Tall" title="低地ドイツ語: Ratschonale Tall" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Ratschonale Tall" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="低地ドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%B8%E0%A4%99%E0%A5%8D%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="ネパール語: परिमेय सङ्ख्या" lang="ne" hreflang="ne" data-title="परिमेय सङ्ख्या" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="ネパール語" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Rationaal_getal" title="オランダ語: Rationaal getal" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Rationaal getal" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="オランダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Rasjonale_tal" title="ノルウェー語(ニーノシュク): Rasjonale tal" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Rasjonale tal" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="ノルウェー語(ニーノシュク)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Rasjonalt_tall" title="ノルウェー語(ブークモール): Rasjonalt tall" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Rasjonalt tall" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="ノルウェー語(ブークモール)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Nombre_racional" title="オック語: Nombre racional" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Nombre racional" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="オック語" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Lakkoofsa_Entaa" title="オロモ語: Lakkoofsa Entaa" lang="om" hreflang="om" data-title="Lakkoofsa Entaa" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="オロモ語" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-or mw-list-item"><a href="https://or.wikipedia.org/wiki/%E0%AC%AA%E0%AC%B0%E0%AC%BF%E0%AC%AE%E0%AD%87%E0%AD%9F_%E0%AC%B8%E0%AC%82%E0%AC%96%E0%AD%8D%E0%AD%9F%E0%AC%BE" title="オディア語: ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା" lang="or" hreflang="or" data-title="ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା" data-language-autonym="ଓଡ଼ିଆ" data-language-local-name="オディア語" class="interlanguage-link-target"><span>ଓଡ଼ିଆ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%AC%E0%A8%9F%E0%A9%87%E0%A8%A8%E0%A9%81%E0%A8%AE%E0%A8%BE_%E0%A8%B8%E0%A9%B0%E0%A8%96%E0%A8%BF%E0%A8%86" title="パンジャブ語: ਬਟੇਨੁਮਾ ਸੰਖਿਆ" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਬਟੇਨੁਮਾ ਸੰਖਿਆ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="パンジャブ語" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_wymierne" title="ポーランド語: Liczby wymierne" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Liczby wymierne" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9mer_rassional" title="ピエモンテ語: Nùmer rassional" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Nùmer rassional" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="ピエモンテ語" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%B4%D9%86%D9%84_%D9%86%D9%85%D8%A8%D8%B1" title="Western Punjabi: ریشنل نمبر" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="ریشنل نمبر" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional" title="ポルトガル語: Número racional" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Número racional" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="ポルトガル語" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_ra%C8%9Bional" title="ルーマニア語: Număr rațional" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Număr rațional" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="ルーマニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="ロシア語: Рациональное число" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Рациональное число" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9mmuru_razziunali" title="シチリア語: Nùmmuru razziunali" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Nùmmuru razziunali" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="シチリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Racionalni_broj" title="セルボ・クロアチア語: Racionalni broj" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Racionalni broj" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="セルボ・クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%B4%E0%B6%BB%E0%B7%92%E0%B6%B8%E0%B7%9A%E0%B6%BA_%E0%B7%83%E0%B6%82%E0%B6%9B%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B7%8F" title="シンハラ語: පරිමේය සංඛ්‍යා" lang="si" hreflang="si" data-title="පරිමේය සංඛ්‍යා" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="シンハラ語" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Rational_number" title="シンプル英語: Rational number" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Rational number" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Racion%C3%A1lne_%C4%8D%C3%ADslo" title="スロバキア語: Racionálne číslo" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Racionálne číslo" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="スロバキア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Racionalno_%C5%A1tevilo" title="スロベニア語: Racionalno število" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Racionalno število" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Nhamba_svinu" title="ショナ語: Nhamba svinu" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Nhamba svinu" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="ショナ語" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Numrat_racional%C3%AB" title="アルバニア語: Numrat racionalë" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Numrat racionalë" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="アルバニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%BD_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98" title="セルビア語: Рационалан број" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Рационалан број" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="セルビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Rationella_tal" title="スウェーデン語: Rationella tal" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Rationella tal" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="スウェーデン語" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%B5%E0%AE%BF%E0%AE%95%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%81%E0%AE%B1%E0%AF%81_%E0%AE%8E%E0%AE%A3%E0%AF%8D" title="タミル語: விகிதமுறு எண்" lang="ta" hreflang="ta" data-title="விகிதமுறு எண்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="タミル語" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B4%D0%B0%D0%B4%D0%B8_%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D3%A3" title="タジク語: Адади ратсионалӣ" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Адади ратсионалӣ" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="タジク語" class="interlanguage-link-target"><span>Тоҷикӣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%A2%E0%B8%B0" title="タイ語: จำนวนตรรกยะ" lang="th" hreflang="th" data-title="จำนวนตรรกยะ" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="タイ語" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Makatwirang_bilang" title="タガログ語: Makatwirang bilang" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Makatwirang bilang" data-language-autonym="Tagalog" 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有理数" lang="zh" hreflang="zh" data-title="有理数" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="中国語" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E6%95%B8" title="漢文: 分數" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="分數" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="漢文" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/P%C3%AD-s%C3%B2%CD%98" title="閩南語: Pí-sò͘" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Pí-sò͘" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="閩南語" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B8" title="広東語: 有理數" lang="yue" hreflang="yue" 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href="/wiki/Wikipedia:%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%82%A2%E3%83%83%E3%83%97%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%89" title="ファイルをアップロードする [u]" accesskey="u"><span>ファイルをアップロード</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E7%89%B9%E5%88%A5%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8%E4%B8%80%E8%A6%A7" title="特別ページの一覧 [q]" accesskey="q"><span>特別ページ</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&oldid=99656292" title="このページのこの版への固定リンク"><span>この版への固定リンク</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&action=info" title="このページについての詳細情報"><span>ページ情報</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%81%93%E3%81%AE%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%82%92%E5%BC%95%E7%94%A8&page=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&id=99656292&wpFormIdentifier=titleform" 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class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1244890" title="関連付けられたデータリポジトリ項目へのリンク [g]" accesskey="g"><span>ウィキデータ項目</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ページツール"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="表示"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">表示</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">サイドバーに移動</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">非表示</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ja" dir="ltr"><p><b>有理数</b>（ゆうりすう、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>rational number</i></span>）とは、<a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a>の<a href="/wiki/%E6%AF%94" title="比">比</a>（<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>ratio</i></span>）として表すことができる<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>のことである。分母・分子ともに整数の<a href="/wiki/%E5%88%86%E6%95%B0" title="分数">分数</a><span class="nowrap">（分母≠0）</span>として表すことができる実数との説明もされる。<a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a>は、分母が 1 の分数と考えることにより、有理数の特別な場合となる。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="概要"><span id=".E6.A6.82.E8.A6.81"></span>概要</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=1" title="節を編集: 概要"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>有理数は（<a href="/wiki/%E5%8D%81%E9%80%B2%E6%B3%95" title="十進法">十進法</a>などの）<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E5%8F%96%E3%82%8A%E8%A8%98%E6%95%B0%E6%B3%95" title="位取り記数法">位取り記数法</a>で<a href="/wiki/%E5%B0%8F%E6%95%B0" title="小数">小数</a>表示すると<a href="/wiki/%E5%B0%8F%E6%95%B0#有限小数" title="小数">有限小数</a>または<a href="/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0" title="循環小数">循環小数</a>のいずれかとなる（どちらになるかは基数に依存する。ある基数で有限小数となる有理数が別の基数では循環小数となること、あるいはその逆になることはある）。また、有理数は必ず有限正則<a href="/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0" title="連分数">連分数</a>展開を持つ。 </p><p>有理数全体からなる集合はしばしば、太字の <b>Q</b> で表す。これは、イタリア人<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85" title="数学者">数学者</a>の<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%82%BC%E3%83%83%E3%83%9A%E3%83%BB%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E" title="ジュゼッペ・ペアノ">ペアノ</a>によって<a href="/wiki/1895%E5%B9%B4" title="1895年">1895年</a>に最初に表された、<a href="/wiki/%E9%99%A4%E6%B3%95" title="除法">商</a>（<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>quotient</i></span>）を意味する<a href="/wiki/%E3%82%A4%E3%82%BF%E3%83%AA%E3%82%A2%E8%AA%9E" title="イタリア語">イタリア語</a>: <span lang="it"><i><a href="https://ja.wiktionary.org/wiki/quoziente" class="extiw" title="wikt:quoziente">quoziente</a></i></span> の頭文字に由来する<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。手書きなどの際には、<a href="/wiki/%E9%BB%92%E6%9D%BF%E5%A4%AA%E5%AD%97" title="黒板太字">黒板太字</a>と言われる書体を用いた <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"></span> で示すことが多い。すなわち、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{a \over b}\mid a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>∣</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{a \over b}\mid a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fed482e4b876ffa0273d31147986ae1f3a2f39d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:25.955ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{a \over b}\mid a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}}"></span></dd></dl> <p>である（ただし、<b>Z</b> は整数全体からなる集合を表す）。ここで、各有理数に対して、その分数表示 <span lang="en" class="texhtml"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r89142261">.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}</style><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num"><i>a</i></span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><i>b</i></span></span></span> は一意でない（しかも無数にある）ことは留意すべき事実である。通常は個々の文脈に適した形を選んで利用する。<a href="/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96" title="公理的集合論">公理的集合論</a>の立場では、分数 <span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num"><i>a</i></span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><i>b</i></span></span></span> は整数の組 <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">(<i>a</i>, <i>b</i>)</span></span> の属する<a href="/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E" title="同値類">同値類</a>（の代表元）を表しており（<a href="#形式的な構成">#形式的な構成</a>を参照）、有理数全体からなる集合 <b>Q</b> は<a href="/wiki/%E5%95%86%E4%BD%93" title="商体">商体</a>の最も初等的な例となっている。 </p><p><a href="/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93" title="距離空間">距離空間</a>としての有理数の<a href="/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93#完備化" title="完備距離空間">完備化</a>（適当な距離に関する「無限小数」展開を考えることに相当）することにより、<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>や <a href="/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0" title="P進数"><i>p</i>進数</a>が得られる（後述。あるいは<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97" title="コーシー列">コーシー列</a>・<a href="/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E5%88%87%E6%96%AD" title="デデキント切断">デデキント切断</a>等を参照）。有理数ではない実数は<a href="/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0" title="無理数">無理数</a>と呼ばれる。また、すべての有理数係数多項式の根の全体は<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a>を成し（<b>Q</b> の<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E9%96%89%E5%8C%85" title="代数的閉包">代数的閉包</a>）、その元を<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0" title="代数的数">代数的数</a>と呼ぶ。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="用語の由来"><span id=".E7.94.A8.E8.AA.9E.E3.81.AE.E7.94.B1.E6.9D.A5"></span>用語の由来</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=2" title="節を編集: 用語の由来"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>「有理数」という語は、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英語</a>: <span lang="en"><i>rational number</i></span> の訳による。<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">"<i>rational</i>"</span> は「合理的な」「理に適う」「理性的な」の意である。対して、"rational" の語幹である <a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">"<i>ratio</i>"</span>（<a href="/wiki/%E3%82%AE%E3%83%AA%E3%82%B7%E3%82%A2%E8%AA%9E" title="ギリシア語">ギリシア語</a>: <span lang="el"><i>λογος</i></span>）は「比」を意味する。したがって「有比数」などと訳した方がよいのではという見解もあるが<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>、明治の訳の際に英語を忠実に訳したため<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>、現在の「有理数」となる。 </p><p>数学の各所で、有理数体 <b>Q</b> を基礎とする（すなわち、<b>Q</b> 上定義される）概念に、「有理-」という接頭辞を付けて名付けることがしばしば行われる。例えば、有理数でもある<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B4%E6%95%B0" title="代数的整数">代数的整数</a>を「有理整数」（これはつまり、初等代数学で扱われる通常の整数のことにほかならない）という。あるいは、成分が有理数である<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" class="mw-redirect" title="行列 (数学)">行列</a>を「有理行列」と言ったり、有理数係数の多項式を「有理多項式」と呼んだりする（「有理数体上の多項式」とも言う）。あるいは、成分が全て有理数である点を「<a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E7%82%B9" title="有理点">有理点</a>」と呼ぶ（代数群の有理点など）。 </p><p>一方で、「有理-」という名称でありながら、前述のような意味ではないものもたくさんある。例えば、<a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E9%96%A2%E6%95%B0" title="有理関数">有理函数</a>は基礎体が有理数体であるという意味ではなく、「多項式の比」になっている函数という意味である。同様に、<a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%90%86%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&redlink=1" class="new" title="有理代数曲線 (存在しないページ)">有理代数曲線</a>は有理数係数の代数曲線という意味ではない。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="演算"><span id=".E6.BC.94.E7.AE.97"></span>演算</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=3" title="節を編集: 演算"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E5%88%86%E6%95%B0" title="分数">分数</a>」および「<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">可換体</a>」を参照</div> <p>2つの有理数 <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num"><i>a</i></span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><i>b</i></span></span>, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num"><i>c</i></span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><i>d</i></span></span></span></span>（<span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i>, <i>d</i></span></span> は整数、<span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>b</i>, <i>d</i></span></span> はいずれも 0 でない）が<b>等しい</b>とは、整数の等式 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ad-bc=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ad-bc=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4153b12794c782014f9dc387d69d57d404d5e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.551ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle ad-bc=0}"></span></dd></dl> <p>が成り立つことを言い、このとき </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {a \over b}={c \over d}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {a \over b}={c \over d}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0696d2d2f38d22a180747bc53adbd900b638ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:7.216ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {a \over b}={c \over d}}"></span></dd></dl> <p>と記す。<a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95" title="加法">加法</a> "+"、および<a href="/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95" title="乗法">乗法</a> "×" が </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\times {c \over d}={ac \over bd}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\times {c \over d}={ac \over bd}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46fa339b307433fe09654090f8fc4e1bc47c2ab7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:34.67ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\times {c \over d}={ac \over bd}}"></span></dd></dl> <p>によって定まり、<a href="/wiki/%E5%8F%8D%E6%95%B0" title="反数">反数</a>および<a href="/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0" title="逆数">逆数</a>について </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{a \over b}={-a \over b}={a \over -b},\quad \left({c \over d}\right)^{-1}={d \over c}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{a \over b}={-a \over b}={a \over -b},\quad \left({c \over d}\right)^{-1}={d \over c}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd99daae09bf8767dd58133874b8df2b28006e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:33.254ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle -{a \over b}={-a \over b}={a \over -b},\quad \left({c \over d}\right)^{-1}={d \over c}}"></span></dd></dl> <p>（ここでは <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>b</i>, <i>c</i>, <i>d</i></span></span> はいずれも 0 でない）が成り立つ（特に集合として </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{a \over b}\mid a\in \mathbb {N} ,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}=\left\{{a \over b}\mid a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {N} \right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>∣</mo> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>∣</mo> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{a \over b}\mid a\in \mathbb {N} ,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}=\left\{{a \over b}\mid a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {N} \right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54c7a621b850fc6e7794e57917052e3d41c27ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:52.847ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{a \over b}\mid a\in \mathbb {N} ,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}=\left\{{a \over b}\mid a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {N} \right\}}"></span></dd></dl> <p>が成り立つ）。またこれにより、<a href="/wiki/%E6%B8%9B%E6%B3%95" title="減法">減法</a> "−" および<a href="/wiki/%E9%99%A4%E6%B3%95" title="除法">除法</a> "÷"が </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {a \over b}-{c \over d}={a \over b}+\left(-{c \over d}\right)={ad-bc \over bd},\quad {a \over b}\div {c \over d}={a \over b}\times \left({c \over d}\right)^{-1}={ad \over bc}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>÷</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>d</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mi>c</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {a \over b}-{c \over d}={a \over b}+\left(-{c \over d}\right)={ad-bc \over bd},\quad {a \over b}\div {c \over d}={a \over b}\times \left({c \over d}\right)^{-1}={ad \over bc}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb920a2e76c158754785b56c892b07f44010b56" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:64.684ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {a \over b}-{c \over d}={a \over b}+\left(-{c \over d}\right)={ad-bc \over bd},\quad {a \over b}\div {c \over d}={a \over b}\times \left({c \over d}\right)^{-1}={ad \over bc}}"></span></dd></dl> <p>と定まる。故に、有理数全体 <b>Q</b> は<a href="/wiki/%E5%9B%9B%E5%89%87%E6%BC%94%E7%AE%97" class="mw-redirect" title="四則演算">四則演算</a>について閉じている、<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a>と呼ばれる<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0" title="代数的構造">代数系</a>の一つであり、その中で最も身近な例の一つである。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="形式的な構成"><span id=".E5.BD.A2.E5.BC.8F.E7.9A.84.E3.81.AA.E6.A7.8B.E6.88.90"></span>形式的な構成</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=4" title="節を編集: 形式的な構成"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E5%95%86%E4%BD%93" title="商体">商体</a>」を参照</div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:RationalRepresentation.pdf" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c4/RationalRepresentation.pdf/page1-300px-RationalRepresentation.pdf.jpg" decoding="async" width="300" height="300" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c4/RationalRepresentation.pdf/page1-450px-RationalRepresentation.pdf.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c4/RationalRepresentation.pdf/page1-600px-RationalRepresentation.pdf.jpg 2x" data-file-width="1047" data-file-height="1047" /></a><figcaption>各直線（の整数点）がそれぞれ1つの同値類（すなわち有理数）に対応する。どの直線も原点は含まないが、原点をはさんだ反対側は同じ同値類である（図では同じ色で塗ることでそれを表している）。</figcaption></figure> <p>集合論の形式により、整数全体 <b>Z</b> から有理数全体 <b>Q</b> を構成することができる。まず整数の<a href="/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%AF%BE" title="順序対">順序対</a> <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">(<i>a</i>, <i>b</i>)</span></span> で <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>b</i> ≠ 0</span></span> であるものの全体 <i>E</i> = <b>Z</b> ×(<b>Z</b> − {0}) を考える。ここで <i>E</i> 上の関係 ∼ を </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\iff ad-bc=0\quad (a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,b\neq 0,d\neq 0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∼</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">⟺</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\iff ad-bc=0\quad (a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,b\neq 0,d\neq 0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0ecc10e9ca2bcf94057c3244a7c1d98090bbad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:60.562ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\iff ad-bc=0\quad (a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,b\neq 0,d\neq 0)}"></span></dd></dl> <p>によって定めると、関係 ∼ は<a href="/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82" title="同値関係">同値関係</a>となる。商集合 <i>E</i>/∼ を改めて <b>Q</b> と記して、<b>Q</b> における対 <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">(<i>a</i>, <i>b</i>)</span></span> の属する同値類を <span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num"><i>a</i></span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><i>b</i></span></span></span> と記すことにすると、この表記は一意ではなく、異なる代表元 <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">(<i>c</i>, <i>d</i>)</span></span> について </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {a \over b}={c \over d}\iff ad-bc=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">⟺</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {a \over b}={c \over d}\iff ad-bc=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe52e50bc88afabb82ef1a2cee2a7e283c94bfa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:25.665ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {a \over b}={c \over d}\iff ad-bc=0}"></span></dd></dl> <p>となる。このとき、<b>Q</b> における加法および乗法を前節で述べたように </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\times {c \over d}={ac \over bd}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\times {c \over d}={ac \over bd}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46fa339b307433fe09654090f8fc4e1bc47c2ab7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:34.67ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\times {c \over d}={ac \over bd}}"></span></dd></dl> <p>で定めると、この加法と乗法は剰余類同士の演算として<a href="/wiki/Well-defined" title="Well-defined">矛盾なく定義されている</a>。実際、<i>E</i> における加法および乗法を </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd),\quad (a,b)\times (c,d)=(ac,bd)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd),\quad (a,b)\times (c,d)=(ac,bd)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55202f0e034956d8751c16c802ef0d7a12419007" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:55.148ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd),\quad (a,b)\times (c,d)=(ac,bd)}"></span></dd></dl> <p>と定めると、<span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">(<i>a</i>, <i>b</i>) ∼ (<i>a</i>′, <i>b</i>'), (<i>c</i>, <i>d</i>) ∼ (<i>c</i>′, <i>d'</i>)</span></span> ならば </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)+(c,d)\sim (a',b')+(c',d'),\quad (a,b)\times (c,d)\sim (a',b')\times (c',d')}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∼</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>c</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>d</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∼</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>c</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>d</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)+(c,d)\sim (a',b')+(c',d'),\quad (a,b)\times (c,d)\sim (a',b')\times (c',d')}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d62bec201a9374ded766776cdde7eae3c6814c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:66.943ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (a,b)+(c,d)\sim (a',b')+(c',d'),\quad (a,b)\times (c,d)\sim (a',b')\times (c',d')}"></span></dd></dl> <p>が成り立つので、<b>Q</b> における加法および乗法は剰余類 <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num"><i>a</i></span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><i>b</i></span></span>, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num"><i>c</i></span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><i>d</i></span></span></span></span> 各々の代表元 <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">(<i>a</i>, <i>b</i>), (<i>c</i>, <i>d</i>)</span></span> のとり方に依らない。<span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">(0, 1), (1, 1)</span></span> の属する同値類 <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">0</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">1</span></span>, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">1</span></span></span></span> が <b>Q</b> における<a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83" title="加法単位元">零元</a>および<a href="/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83" class="mw-redirect" title="乗法単位元">単位元</a>となることが確かめられ、<a href="/wiki/%E5%8F%8D%E6%95%B0" title="反数">マイナス元</a>と<a href="/wiki/%E9%80%86%E5%85%83" title="逆元">逆元</a>が上述のように得られるので、これで <b>Q</b> における上述のような四則が全て形式的に正当化される。また、写像 ι を </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \iota \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} =E/\sim {};\ m\mapsto {m \over 1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ι</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mo>∼</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mo>;</mo> <mtext> </mtext> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \iota \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} =E/\sim {};\ m\mapsto {m \over 1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86781cd2ac94503cb4e1e0e97fd766d6a070ef45" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.11ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \iota \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} =E/\sim {};\ m\mapsto {m \over 1}}"></span></dd></dl> <p>と定めると ι は<a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%B0%84" title="単射">単射</a>で、<i>E</i> において <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">(<i>m</i>, 1) + (<i>n</i>, 1) = (<i>m</i> + <i>n</i>, 1)</span></span> および <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">(<i>m</i>, 1) × (<i>n</i>, 1) = (<i>mn</i>, 1)</span></span> が成り立つ（さらに ι(1) = <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">1</span></span> であるから ι は単位的環の<a href="/wiki/%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="準同型">準同型</a>となる）から <b>Z</b> は ι によって演算まで込めて <b>Q</b> に<a href="/wiki/%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="埋め込み (数学)">埋め込まれる</a>。そこで整数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">m</span> と剰余類 <span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num"><i>m</i></span><span class="sr-only">/</span><span class="den">1</span></span></span> を同一視して <b>Q</b> は <b>Z</b> を含むものと考える。 </p><p>以上の構成は、一般の<a href="/wiki/%E6%95%B4%E5%9F%9F" title="整域">整域</a>の<a href="/wiki/%E5%95%86%E4%BD%93" title="商体">商体</a>の構成にもほぼそのままに適用できる方法であり、したがって「<b>Q</b> は <b>Z</b> の商体である」などということができる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="抽象的性質"><span id=".E6.8A.BD.E8.B1.A1.E7.9A.84.E6.80.A7.E8.B3.AA"></span>抽象的性質</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=5" title="節を編集: 抽象的性質"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Diagonal_argument.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Diagonal_argument.svg/250px-Diagonal_argument.svg.png" decoding="async" width="250" height="248" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Diagonal_argument.svg/375px-Diagonal_argument.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Diagonal_argument.svg/500px-Diagonal_argument.svg.png 2x" data-file-width="429" data-file-height="425" /></a><figcaption>有理数の数え上げの一例を図示したもの。やり方は他にもいろいろあるが、いずれにせよ有理数の可算性が分かる。</figcaption></figure> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="基本性質"><span id=".E5.9F.BA.E6.9C.AC.E6.80.A7.E8.B3.AA"></span>基本性質</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=6" title="節を編集: 基本性質"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>既に述べたように、有理数全体は、通常の四則演算の下で<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a>を成し、<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0" title="代数的構造">代数系</a> <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">(<b>Q</b>, +, ×, 0, 1)</span></span> は有理数体と呼ばれる。また、有理<a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a>環 <b>Z</b> の<a href="/wiki/%E5%95%86%E4%BD%93" title="商体">商体</a>である。加えて、有理数体 <b>Q</b> は<a href="/wiki/%E6%A8%99%E6%95%B0" title="標数">標数</a> 0 の体の中で最小のもので、標数 0 の<a href="/wiki/%E6%A8%99%E6%95%B0#素整域・素体" title="標数">素体</a>と呼ばれる（すなわち、標数 0 の体は、<b>Q</b> に同型な部分体を含む）。<b>Q</b> の<a href="/wiki/%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7" title="体の拡大">拡大体</a>は一般に<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%BD%93" title="代数体">代数体</a>、その元は<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0" title="代数的数">代数的数</a>と呼ばれ、特に代数的数全体は体を成し <b>Q</b> の<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E9%96%89%E5%8C%85" title="代数的閉包">代数的閉包</a> <b>A</b>（<span style="text-decoration-line:overline"><b>Q</b></span> とも書く）となる。 </p><p><b>Q</b> は<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88" title="可算集合">可算無限集合</a>である（何故なら、分母と分子の組を二次元平面上の<a href="/wiki/%E6%A0%BC%E5%AD%90_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="格子 (数学)">格子点</a>と考え、例えばうずまき状に取り尽くしていけば、自然数全体に対応するからである）。実数全体 <b>R</b> は<a href="/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88" title="非可算集合">非可算</a>なので、濃度の意味で（あるいは<a href="/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E6%B8%AC%E5%BA%A6" title="ルベーグ測度">ルベーグ測度</a>の意味で）ほとんどの実数は無理数であることになる（可算性により <b>Q</b> のルベーグ測度は 0 となる）。 </p><p><b>Q</b> は通常の大小関係を順序として<a href="/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F" title="全順序">全順序</a>集合であり、特に<a href="/wiki/%E7%A8%A0%E5%AF%86%E9%96%A2%E4%BF%82" title="稠密関係">稠密順序集合</a>となる。すなわち、2つの有理数の間には（それがいくら近い値だとしても）少なくとも1つ（従って無数の）有理数が存在する。実は逆に、全順序な稠密順序集合がさらに最大元も最小元も持たないならば、必ず <b>Q</b> と<a href="/w/index.php?title=%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%90%8C%E5%9E%8B&action=edit&redlink=1" class="new" title="順序同型 (存在しないページ)">順序同型</a>である（<a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%BE%80%E5%BE%A9%E8%AB%96%E6%B3%95" title="カントールの往復論法">カントールの往復論法</a>）。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="位相的性質"><span id=".E4.BD.8D.E7.9B.B8.E7.9A.84.E6.80.A7.E8.B3.AA"></span>位相的性質</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=7" title="節を編集: 位相的性質"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>有理数全体 <b>Q</b> は内在的には、通常の大小関係の定める順序に関して<a href="/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88#順序位相" title="順序集合">順序位相</a>と呼ばれる位相を持ち、外因的には<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E7%9B%B4%E7%B7%9A" title="実数直線">実数直線</a> <b>R</b> の（つまり、一次元<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ユークリッド空間">ユークリッド空間</a> <b>R</b><sup>1</sup> としての）距離位相から定まる<a href="/wiki/%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E4%BD%8D%E7%9B%B8" title="相対位相">部分空間としての位相</a>を持つが、実はこれらの位相は一致する。 </p><p>有理数全体 <b>Q</b> は実数全体の成す集合 <b>R</b> の中で<a href="/wiki/%E7%A8%A0%E5%AF%86%E9%9B%86%E5%90%88" title="稠密集合">稠密</a>である。これは、どの実数にも、いくらでも近い場所に有理数が存在することを意味する。これは<a href="/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93" title="距離空間">距離空間</a>として以下のように述べることもできる。 </p><p>有理数全体 <b>Q</b> は、差の絶対値 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(x,y):=|x-y|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(x,y):=|x-y|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6662c35c9f6f5feee71fc1b81336e49d8a42fdfd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.909ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(x,y):=|x-y|}"></span></dd></dl> <p>を距離函数として距離空間となる。この距離により <b>Q</b> に位相が誘導されるが、それは <b>R</b><sup>1</sup> からの相対位相に他ならない。こうして得られる距離空間 <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">(<b>Q</b>, <i>d</i>)</span></span> は<a href="/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B5%90%E7%A9%BA%E9%96%93" title="完全不連結空間">完全不連結</a>である。また、<a href="/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93" title="完備距離空間">完備距離空間</a>とはならない。実は距離 <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>d</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) := |<i>x</i> − <i>y</i>|</span></span> による <b>Q</b> の完備化として、実数全体の集合 <b>R</b> が得られる。 </p><p>この位相に関して有理数体 <b>Q</b> は<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E4%BD%93" title="位相体">位相体</a>を成す。有理数全体の成す位相空間 <b>Q</b> は<a href="/wiki/%E5%B1%80%E6%89%80%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93" title="局所コンパクト空間">局所コンパクト</a>ではない空間の重要な例となっている。また唯一、<a href="/wiki/%E5%AD%A4%E7%AB%8B%E7%82%B9" title="孤立点">孤立点</a>を持たない<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88" title="可算集合">可算</a>な<a href="/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E5%8C%96%E5%AE%9A%E7%90%86" title="距離化定理">距離化可能空間</a>となるものとして <b>Q</b> を特徴付けることができる。 </p><p>一方、<b>Q</b> を位相体とする <b>Q</b> 上の距離は、これだけではない。<a href="/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="素数">素数</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span> と任意の非零整数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span> に対して、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p<sup>n</sup></span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span> を割り切る <i>p</i>-冪の中で冪指数が最大のものとするとき、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a|_{p}:=p^{-n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a|_{p}:=p^{-n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/160b63e947f6da28b1f6b18176946c6083365e15" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:10.994ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle |a|_{p}:=p^{-n}}"></span></dd></dl> <p>と定める。さらに <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">|<i>a</i>|<sub><i>p</i></sub> := 0</span></span> として、任意の有理数 <span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num"><i>a</i></span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><i>b</i></span></span></span> については </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}:={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>b</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}:={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c09185d423ec4f1a26963820d901b839d21c8f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.583ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}:={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}"></span></dd></dl> <p>と定めたものを、有理数の <a href="/wiki/P%E9%80%B2%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%80%A4" class="mw-redirect" title="P進絶対値"><i>p</i>進絶対値</a>と呼ぶ。このときさらに、差の絶対値 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{p}(x-y)=|x-y|_{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{p}(x-y)=|x-y|_{p}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ff6c9f26b23355fda35d25ded68179540c17a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:20.18ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle d_{p}(x-y)=|x-y|_{p}}"></span></dd></dl> <p>は <i>p</i>進距離と呼ばれる <b>Q</b> 上の<a href="/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E5%87%BD%E6%95%B0" title="距離函数">距離函数</a>を定める。距離空間 <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">(<b>Q</b>, <i>d<sub>p</sub></i>)</span></span> はやはり完全不連結であり、完備ではないが、その完備化として <a href="/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0" title="P進数"><i>p</i>進数</a>体 <span lang="en" class="texhtml"><b>Q</b><sub><i>p</i></sub></span> が得られる。 </p><p><a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="オストロフスキーの定理">オストロフスキーの定理</a>によれば、<b>Q</b> 上の非自明な<a href="/wiki/%E4%BB%98%E5%80%A4" title="付値">絶対値</a>は同値の<a href="/wiki/%E9%81%95%E3%81%84%E3%82%92%E9%99%A4%E3%81%84%E3%81%A6" title="違いを除いて">違いを除いて</a>通常の絶対値か <i>p</i>進絶対値で尽くされる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=8" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=9" title="節を編集: 出典"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/w/index.php?title=Jean_C._Baudet&action=edit&redlink=1" class="new" title="Jean C. Baudet (存在しないページ)">Jean C. Baudet</a> (2005), <i>Mathématique et Vérité. Une philosophie du nombre</i>, Paris, éd. L'Harmattan, coll. « Ouverture philosophique », <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9782296391956" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-2-296-39195-6</a>, partie « Mais c'est quoi, un nombre ? », chap. « Les ensembles de nombres », note 11, p. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=M-eZiehB1HsC&output=html&q=%22Peano+en+1895+de+l%27italien+quoziente%22&pg=PA124&hl=ja">124</a> : « L'ensemble des nombres rationnels est généralement désigné par la lettre Q. [...] Notation proposée par Giuseppe Peano en 1895, de l'italien <i>quoziente</i> (quotient). »</span> </li> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%E4%B8%80%E6%9D%BE%E4%BF%A1" title="一松信">一松信</a>『<span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">2</span></span></span>の数学無理数を見直す』海鳴社、1990年 <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784875250562" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4875250562</a></span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%E5%BF%97%E8%B3%80%E6%B5%A9%E4%BA%8C" title="志賀浩二">志賀浩二</a>『数の世界』<a href="/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97" title="岩波書店">岩波書店</a>、1992年 <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784001152722" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4001152722</a></span> </li> <li id="cite_note-4"><b><a href="#cite_ref-4">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%E9%95%B7%E5%B2%A1%E4%BA%AE%E4%BB%8B_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85)" title="長岡亮介 (数学者)">長岡亮介</a>『本質の研究数学Ⅰ+A』<a href="/wiki/%E6%97%BA%E6%96%87%E7%A4%BE" title="旺文社">旺文社</a>、2004年 <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784010332115" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4010332115</a></span> </li> <li id="cite_note-5"><b><a href="#cite_ref-5">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%E5%90%89%E7%94%B0%E6%AD%A6_(%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%82%BF%E3%83%BC)" title="吉田武 (サイエンスライター)">吉田武</a>『<a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC" title="レオンハルト・オイラー">オイラー</a>の贈物人類の至宝<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%AD%89%E5%BC%8F" title="オイラーの等式">e<sup>iπ</sup>=-1</a>を学ぶ』<a href="/wiki/%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%B3%95%E4%BA%BA%E6%9D%B1%E6%B5%B7%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E5%87%BA%E7%89%88%E4%BC%9A" class="mw-redirect" title="学校法人東海大学出版会">東海大学出版会</a>、2010年 <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784486018636" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4486018636</a></span> </li> <li id="cite_note-6"><b><a href="#cite_ref-6">^</a></b> <span class="reference-text">吉田武『<a href="/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0" title="虚数">虚数</a>の情緒中学生からの全方位独学法』東海大学出版会、2000年 <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784486014850" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4486014850</a></span> </li> <li id="cite_note-7"><b><a href="#cite_ref-7">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">片野善一郎『数学用語と記号ものがたり』<a href="/wiki/%E8%A3%B3%E8%8F%AF%E6%88%BF" title="裳華房">裳華房</a>、2003年8月25日。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%94%A8%E8%AA%9E%E3%81%A8%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%82%82%E3%81%AE%E3%81%8C%E3%81%9F%E3%82%8A&rft.aulast=%E7%89%87%E9%87%8E%E5%96%84%E4%B8%80%E9%83%8E&rft.au=%E7%89%87%E9%87%8E%E5%96%84%E4%B8%80%E9%83%8E&rft.date=2003-08-25&rft.pub=%5B%5B%E8%A3%B3%E8%8F%AF%E6%88%BF%5D%5D&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=10" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E9%AB%98%E6%9C%A8%E8%B2%9E%E6%B2%BB" title="高木貞治">高木貞治</a>『数の概念』<a href="/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97" title="岩波書店">岩波書店</a>、1970年、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4000051539" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-00-005153-9</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=11" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r94202605">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output 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data-file-height="1376" /></span></span></div> <div class="side-box-text plainlist" style="font-size:100%;">ウィキメディア・コモンズには、<b><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Rational_numbers?uselang=ja">有理数</a></span></b>に関連するカテゴリがあります。</div></div> </div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r94202605"><div class="side-box side-box-right plainlinks sistersitebox noprint" style="width:22em;"> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Wiktionary-logo.svg/40px-Wiktionary-logo.svg.png" decoding="async" width="40" height="38" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Wiktionary-logo.svg/60px-Wiktionary-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Wiktionary-logo.svg/80px-Wiktionary-logo.svg.png 2x" data-file-width="370" data-file-height="350" /></span></span></div> <div class="side-box-text plainlist" style="font-size:100%;"><a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%82%AF%E3%82%B7%E3%83%A7%E3%83%8A%E3%83%AA%E3%83%BC" title="ウィクショナリー">ウィクショナリー</a>に関連の辞書項目があります。<div style="margin-left:10px;"><b><a href="https://ja.wiktionary.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" class="extiw" title="wikt:有理数">有理数</a></b> </div></div></div> </div> <ul><li><a href="/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0" title="無理数">無理数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%A7%E5%9F%9F%E4%BD%93" title="大域体">大域体</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&section=12" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Rational_Number"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:var(--color-success,#3a3);margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><cite id="CITEREFWeisstein" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html">"Rational Number"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Rational+Number&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FRationalNumber.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" class="Z3988"></span></span></li></ul> <div class="navbox" aria-labelledby="代数的数" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="3"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0" title="Template:代数的数"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="Template‐ノート:代数的数 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="代数的数" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0" title="代数的数">代数的数</a></div></th></tr><tr><td colspan="2" class="navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B4%E6%95%B0" title="代数的整数">代数的整数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%81%E3%82%A7%E3%83%93%E3%82%B7%E3%82%A7%E3%83%95%E5%88%86%E7%82%B9&action=edit&redlink=1" class="new" title="チェビシェフ分点 (存在しないページ)">チェビシェフ分点</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_nodes" class="extiw" title="en:Chebyshev nodes">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%9C%E5%9B%B3%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="作図可能数">作図可能数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="コンウェイの定数 (存在しないページ)">コンウェイの定数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Look-and-say_sequence#Growth_in_length" class="extiw" title="en:Look-and-say sequence">英語版</a>）</span></span> (<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">λ</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E6%95%B4%E6%95%B0" title="アイゼンシュタイン整数">アイゼンシュタイン整数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E6%95%B4%E6%95%B0" title="ガウス整数">ガウス整数</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%BB%84%E9%87%91%E6%AF%94" title="黄金比">黄金数 (<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">φ</span>)</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%92%B0" title="クンマー環">クンマー環</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9A%E3%83%AD%E3%83%B3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="ペロン数 (存在しないページ)">ペロン数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Perron_number" class="extiw" title="en:Perron number">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%94%E3%82%BE%E6%95%B0" title="ピゾ数">ピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E3%81%AE%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="二次の無理数 (存在しないページ)">二次の無理数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_irrational_number" class="extiw" title="en:Quadratic irrational number">英語版</a>）</span></span></li> <li><a class="mw-selflink selflink">有理数 (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"></span>)</a></li> <li><a href="/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9" title="1の冪根">1の冪根</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B5%E3%83%AC%E3%83%A0%E6%95%B0" title="サレム数">サレム数</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%99%BD%E9%8A%80%E6%AF%94" title="白銀比">白銀比 (<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">δ<sub>S</sub></span>)</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%81%E3%83%83%E3%82%AF%E6%95%B0" title="プラスチック数">プラスチック数 (<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ρ</span>)</a></li> <li><a href="/wiki/2%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9" title="2の平方根"><span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">2</span></span></span></a></li> <li><a href="/wiki/3%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9" title="3の平方根"><span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">3</span></span></span></a></li> <li><a href="/wiki/5%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9" title="5の平方根"><span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">5</span></span></span></a></li> <li><a href="/wiki/6%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9" title="6の平方根"><span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">6</span></span></span></a></li> <li><a href="/wiki/7%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9" title="7の平方根"><span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">7</span></span></span></a></li> <li><a href="/wiki/10%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9" title="10の平方根"><span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">10</span></span></span></a></li> <li><a href="/wiki/2%E3%81%AE%E7%AB%8B%E6%96%B9%E6%A0%B9" title="2の立方根"><span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><sup style="margin-right: -0.5em; vertical-align: 0.82em;">3</sup><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">2</span></span></span></a></li> <li><a href="/wiki/2%E3%81%AE12%E4%B9%97%E6%A0%B9" title="2の12乗根"><span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><sup style="margin-right: -0.5em; vertical-align: 0.82em;">12</sup><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">2</span></span></span></a></li></ul> </div></td><td class="navbox-image" rowspan="1" style="width:1px;padding:0px 0px 0px 2px;font-size:180%"><div><span style="text-decoration-line:overline"><span lang="en" class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">ℚ</span></span></span></div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="3"> <span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Folder_Hexagonal_Icon.svg" class="mw-file-description" title="カテゴリ"><img alt="カテゴリ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/32px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 2x" data-file-width="36" data-file-height="31" /></a></span> <a href="/wiki/Category:%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0" title="Category:代数的数">カテゴリ</a></td></tr></tbody></table></div> <div class="navbox" aria-labelledby="数の体系" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%B3%BB" title="Template:数の体系"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%B3%BB&action=edit&redlink=1" class="new" title="Template‐ノート:数の体系 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%B3%BB&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%B3%BB&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="数の体系" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E6%95%B0#数の体系" title="数">数の体系</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88" title="可算集合">可算な体系</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0" title="自然数">自然数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span>)</li> <li><a class="mw-selflink selflink">有理数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%9C%E5%9B%B3%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="作図可能数">作図可能数</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0" title="代数的数">代数的数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {A} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">A</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {A} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb423c16a5f403edbaf66438b75e7a36e725af6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {A} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F_(%E6%95%B0%E4%BD%93%E7%B3%BB)" title="周期 (数体系)">周期</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%95%B0" title="計算可能数">計算可能数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AE%9A%E7%BE%A9%E5%8F%AF%E8%83%BD%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="定義可能実数">定義可能実数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%AE%97%E8%A1%93%E9%9B%86%E5%90%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="算術集合 (存在しないページ)">算術数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetical_set" class="extiw" title="en:Arithmetical set">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E6%95%B4%E6%95%B0" title="ガウス整数">ガウス整数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.646ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E6%95%B4%E6%95%B0" title="アイゼンシュタイン整数">アイゼンシュタイン整数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.29ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}"></span>)</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E5%90%88%E6%88%90%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="合成代数">合成代数</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><a href="/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0%E5%A4%9A%E5%85%83%E4%BD%93" title="ノルム多元体">通常型</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0" title="四元数">四元数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {H} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">H</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {H} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e050965453c42bcc6bd544546703c836bdafeac9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {H} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E5%85%AB%E5%85%83%E6%95%B0" title="八元数">八元数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {O} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">O</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {O} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ed2664a4fe515e6fbed25a7193ce663b82920c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {O} }"></span>)</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">分解型</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><span lang="en" class="texhtml">/<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span></span></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%9E%8B%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="分解型複素数">分解型複素数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%9E%8B%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="分解型四元数 (存在しないページ)">分解型四元数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Split-quaternion" class="extiw" title="en:Split-quaternion">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%9E%8B%E5%85%AB%E5%85%83%E6%95%B0" title="分解型八元数">分解型八元数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><span lang="en" class="texhtml">/<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"></span></span></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="双複素数">双複素数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8C%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="双四元数 (存在しないページ)">双四元数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Biquaternion" class="extiw" title="en:Biquaternion">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%85%AB%E5%85%83%E6%95%B0" title="双八元数">双八元数</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他の<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0" title="多元数">多元数</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%87%8D%E6%95%B0" title="二重数">二重数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%BA%8C%E9%87%8D%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="二重四元数 (存在しないページ)">二重四元数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_quaternion" class="extiw" title="en:Dual quaternion">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="双曲四元数 (存在しないページ)">双曲四元数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_quaternion" class="extiw" title="en:Hyperbolic quaternion">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%81%E5%85%AD%E5%85%83%E6%95%B0" title="十六元数">十六元数</a> (<span lang="en" class="texhtml"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {S} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">S</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {S} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9d5874c5d7f68eba1cec9da9ccbe53903303bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {S} }"></span></span>)</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%9E%8B%E5%8F%8C%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="分解型双四元数 (存在しないページ)">分解型双四元数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Split-biquaternion" class="extiw" title="en:Split-biquaternion">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" class="mw-disambig" title="多重複素数">多重複素数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%95%B0" title="基数">基数</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0" title="無理数">無理数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%B8%E3%83%BC%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="ファジー数 (存在しないページ)">ファジー数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_number" class="extiw" title="en:Fuzzy number">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="超実数">超実数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%EF%BC%9D%E3%83%81%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E4%BD%93" title="レヴィ＝チヴィタ体">レヴィ＝チヴィタ体</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%B6%85%E7%8F%BE%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="超現実数">超現実数</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0" title="超越数">超越数</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0" title="順序数">順序数</a></li> <li><a href="/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0" title="P進数"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span>-進数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mrow 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src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></span></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span class="uid"><abbr title="Números racionales"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogo.bne.es/uhtbin/authoritybrowse.cgi?action=display&authority_id=XX528806">スペイン</a></abbr></span></li> <li><span class="uid"><abbr title="Nombres rationnels"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12104932p">フランス</a></abbr></span></li> <li><span class="uid"><abbr title="Nombres rationnels"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb12104932p">BnF data</a></abbr></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4048495-6">ドイツ</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007538747305171">イスラエル</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85093220">アメリカ</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://kopkatalogs.lv/F?func=direct&local_base=lnc10&doc_number=000112172&P_CON_LNG=ENG">ラトビア</a></span></li> <li><span class="uid"><abbr title="racionální čísla"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph215329&CON_LNG=ENG">チェコ</a></abbr></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=有理数&oldid=99656292">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=有理数&oldid=99656292</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA" title="特別:カテゴリ">カテゴリ</a>: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" title="Category:有理数">有理数</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0" title="Category:数">数</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="Category:実数">実数</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0" title="Category:代数的数">代数的数</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="Category:初等数学">初等数学</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E8%AB%96" title="Category:数論">数論</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:数学に関する記事">数学に関する記事</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">隠しカテゴリ: <ul><li><a href="/wiki/Category:ISBN%E3%83%9E%E3%82%B8%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%82%92%E4%BD%BF%E7%94%A8%E3%81%97%E3%81%A6%E3%81%84%E3%82%8B%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8" title="Category:ISBNマジックリンクを使用しているページ">ISBNマジックリンクを使用しているページ</a></li><li><a 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