CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="pl" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Funkcja rzeczywista – Wikipedia, wolna encyklopedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )plwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","styczeń","luty","marzec","kwiecień","maj","czerwiec","lipiec","sierpień","wrzesień","październik","listopad","grudzień"],"wgRequestId":"8194f800-ed8b-4205-aaa5-bf1c2d67fb57","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Funkcja_rzeczywista","wgTitle":"Funkcja rzeczywista","wgCurRevisionId":72797823,"wgRevisionId":72797823,"wgArticleId":1715369,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Szablon odn bez numeru strony","Artykuły z brakującymi przypisami od 2022-10","Typy funkcji matematycznych"],"wgPageViewLanguage":"pl","wgPageContentLanguage":"pl","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Funkcja_rzeczywista","wgRelevantArticleId":1715369,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia", "wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":72797823,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"pl","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"pl"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":9000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q5189500","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false, "wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.wikiflex":"ready","ext.gadget.infobox":"ready","ext.gadget.hlist":"ready","ext.gadget.darkmode-overrides":"ready","ext.gadget.small-references":"ready","ext.gadget.citation-access-info":"ready","ext.gadget.sprawdz-problemy-szablony":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","ext.scribunto.logs","site", "mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.ll-script-loader","ext.gadget.veKeepParameters","ext.gadget.szablon-galeria","ext.gadget.NavFrame","ext.gadget.citoid-overrides","ext.gadget.maps","ext.gadget.padlock-indicators","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.gadget.edit-summaries","ext.gadget.edit-first-section","ext.gadget.wikibugs","ext.gadget.map-toggler","ext.gadget.narrowFootnoteColumns","ext.gadget.WDsearch","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession", "wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=pl&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.gadget.citation-access-info%2Cdarkmode-overrides%2Chlist%2Cinfobox%2Csmall-references%2Csprawdz-problemy-szablony%2Cwikiflex&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Weights_20mg~500g.jpg/1200px-Weights_20mg~500g.jpg"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="720"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Weights_20mg~500g.jpg/800px-Weights_20mg~500g.jpg"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="480"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Weights_20mg~500g.jpg/640px-Weights_20mg~500g.jpg"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="384"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Funkcja rzeczywista – Wikipedia, wolna encyklopedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//pl.m.wikipedia.org/wiki/Funkcja_rzeczywista"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Edytuj" href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (pl)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//pl.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_rzeczywista"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Kanał Atom Wikipedii" href="/w/index.php?title=Specjalna:Ostatnie_zmiany&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Funkcja_rzeczywista rootpage-Funkcja_rzeczywista skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Przejdź do zawartości</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menu główne" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menu główne</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menu główne</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Nawigacja </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" title="Przejdź na stronę główną [z]" accesskey="z"><span>Strona główna</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Losowa_strona" title="Załaduj losową stronę [x]" accesskey="x"><span>Losuj artykuł</span></a></li><li id="n-Kategorie" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Kategorie_G%C5%82%C3%B3wne"><span>Kategorie artykułów</span></a></li><li id="n-Featured-articles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Wyr%C3%B3%C5%BCniona_zawarto%C5%9B%C4%87_Wikipedii"><span>Najlepsze artykuły</span></a></li><li id="n-FAQ" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:FAQ"><span>Częste pytania (FAQ)</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-zmiany" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-zmiany" > <div class="vector-menu-heading"> Dla czytelników </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-czytelnicy" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii"><span>O Wikipedii</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kontakt_z_wikipedystami"><span>Kontakt</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-edytorzy" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-edytorzy" > <div class="vector-menu-heading"> Dla wikipedystów </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-pierwsze-kroki" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki"><span>Pierwsze kroki</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Portal_wikipedyst%C3%B3w" title="O projekcie – co możesz zrobić, gdzie możesz znaleźć informacje"><span>Portal wikipedystów</span></a></li><li id="n-Noticeboard" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tablica_og%C5%82osze%C5%84"><span>Ogłoszenia</span></a></li><li id="n-Guidelines" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Zasady"><span>Zasady</span></a></li><li id="n-helppage-name" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Spis_tre%C5%9Bci"><span>Pomoc</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Ostatnie_zmiany" title="Lista ostatnich zmian w Wikipedii. [r]" accesskey="r"><span>Ostatnie zmiany</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="wolna encyklopedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-pl.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Specjalna:Szukaj" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Szukaj</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Przeszukaj Wikipedię" aria-label="Przeszukaj Wikipedię" autocapitalize="sentences" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Specjalna:Szukaj"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Szukaj</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Narzędzia osobiste"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Zmień rozmiar czcionki, szerokość oraz kolorystykę strony" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Wygląd" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Wygląd</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl" class=""><span>Wspomóż Wikipedię</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Funkcja+rzeczywista" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe." class=""><span>Utwórz konto</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Funkcja+rzeczywista" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o" class=""><span>Zaloguj się</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Więcej opcji" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia osobiste" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia osobiste</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menu użytkownika" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl"><span>Wspomóż Wikipedię</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Funkcja+rzeczywista" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Utwórz konto</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Funkcja+rzeczywista" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Zaloguj się</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Strony dla anonimowych edytorów <a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki" aria-label="Dowiedz się więcej na temat edytowania"><span>dowiedz się więcej</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:M%C3%B3j_wk%C5%82ad" title="Lista edycji wykonanych z tego adresu IP [y]" accesskey="y"><span>Edycje</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Moja_dyskusja" title="Dyskusja użytkownika dla tego adresu IP [n]" accesskey="n"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Spis treści" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Spis treści</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ukryj</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Początek</div> </a> </li> <li id="toc-Podtypy_i_problemy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Podtypy_i_problemy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Podtypy i problemy</span> </div> </a> <ul id="toc-Podtypy_i_problemy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypadek_zmiennej_rzeczywistej" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypadek_zmiennej_rzeczywistej"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Przypadek zmiennej rzeczywistej</span> </div> </a> <ul id="toc-Przypadek_zmiennej_rzeczywistej-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Przypisy</span> </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Bibliografia</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Literatura_dodatkowa" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Literatura_dodatkowa"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Literatura dodatkowa</span> </div> </a> <ul id="toc-Literatura_dodatkowa-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Linki_zewnętrzne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Linki_zewnętrzne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Linki zewnętrzne</span> </div> </a> <ul id="toc-Linki_zewnętrzne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Funkcja rzeczywista</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 17 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-17" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">17 języków</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9_%D8%AD%D9%82%D9%8A%D9%82%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%B3%D8%AA%D9%82%D8%B1" title="دالة حقيقية المستقر – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="دالة حقيقية المستقر" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3_real" title="Funció real – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Funció real" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Reellwertige_Funktion" title="Reellwertige Funktion – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Reellwertige Funktion" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Real-valued_function" title="Real-valued function – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Real-valued function" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_real" title="Función real – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Función real" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%AD%D9%82%DB%8C%D9%82%DB%8C" title="تابع حقیقی – perski" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تابع حقیقی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perski" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_num%C3%A9rique" title="Fonction numérique – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Fonction numérique" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA" title="פונקציה ממשית – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="פונקציה ממשית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Val%C3%B3s_%C3%A9rt%C3%A9k%C5%B1_f%C3%BCggv%C3%A9ny" title="Valós értékű függvény – węgierski" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Valós értékű függvény" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="węgierski" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Re%C3%ABelwaardige_functie" title="Reëelwaardige functie – niderlandzki" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Reëelwaardige functie" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="niderlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E5%80%A4%E9%96%A2%E6%95%B0" title="実数値関数 – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="実数値関数" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_real" title="Função real – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Função real" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Вещественнозначная функция – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Вещественнозначная функция" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%A7%D9%86%DA%A9%D8%B4%D9%86%DB%8C_%DA%95%D8%A7%D8%B3%D8%AA%DB%95%D9%82%DB%8C%D9%86%DB%95" title="فانکشنی ڕاستەقینە – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="فانکشنی ڕاستەقینە" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Reellv%C3%A4rd_funktion" title="Reellvärd funktion – szwedzki" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Reellvärd funktion" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="szwedzki" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Ger%C3%A7el_fonksiyon" title="Gerçel fonksiyon – turecki" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Gerçel fonksiyon" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turecki" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Дійснозначна функція – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Дійснозначна функція" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q5189500#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Funkcja_rzeczywista" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c"><span>Artykuł</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Dyskusja:Funkcja_rzeczywista" rel="discussion" title="Dyskusja o zawartości tej strony [t]" accesskey="t"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Zmień wariant języka" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">polski</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Widok"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Funkcja_rzeczywista"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&action=history" title="Starsze wersje tej strony [h]" accesskey="h"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Narzędzia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Więcej opcji" > <div class="vector-menu-heading"> Działania </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Funkcja_rzeczywista"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&action=history"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ogólne </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Funkcja_rzeczywista" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j"><span>Linkujące</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Funkcja_rzeczywista" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k"><span>Zmiany w linkowanych</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u"><span>Prześlij plik</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne" title="Lista wszystkich stron specjalnych [q]" accesskey="q"><span>Strony specjalne</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&oldid=72797823" title="Stały link do tej wersji tej strony"><span>Link do tej wersji</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&action=info" title="Więcej informacji na temat tej strony"><span>Informacje o tej stronie</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=Funkcja_rzeczywista&id=72797823&wpFormIdentifier=titleform" title="Informacja o tym jak należy cytować tę stronę"><span>Cytowanie tego artykułu</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FFunkcja_rzeczywista"><span>Zobacz skrócony adres URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FFunkcja_rzeczywista"><span>Pobierz kod QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Funkcja+rzeczywista"><span>Utwórz książkę</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Funkcja_rzeczywista&action=show-download-screen"><span>Pobierz jako PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&printable=yes" title="Wersja do wydruku [p]" accesskey="p"><span>Wersja do druku</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q5189500" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g"><span>Element Wikidanych</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Weights_20mg~500g.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Weights_20mg~500g.jpg/220px-Weights_20mg~500g.jpg" decoding="async" width="220" height="132" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Weights_20mg~500g.jpg/330px-Weights_20mg~500g.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Weights_20mg~500g.jpg/440px-Weights_20mg~500g.jpg 2x" data-file-width="2560" data-file-height="1535" /></a><figcaption><a href="/wiki/Masa_(fizyka)" title="Masa (fizyka)">Masa</a> to przykład funkcji o wartościach rzeczywistych.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:6sided_dice_(cropped).jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/6sided_dice_%28cropped%29.jpg/220px-6sided_dice_%28cropped%29.jpg" decoding="async" width="220" height="191" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/6sided_dice_%28cropped%29.jpg/330px-6sided_dice_%28cropped%29.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/6sided_dice_%28cropped%29.jpg/440px-6sided_dice_%28cropped%29.jpg 2x" data-file-width="923" data-file-height="802" /></a><figcaption><a href="/wiki/Prawdopodobie%C5%84stwo" title="Prawdopodobieństwo">Prawdopodobieństwo</a> formalizuje się jako rodzaj funkcji o wartościach rzeczywistych.</figcaption></figure> <p><b>Funkcja rzeczywista</b> – <a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">funkcja</a>, której <a href="/wiki/Przeciwdziedzina" title="Przeciwdziedzina">przeciwdziedzina</a> jest podzbiorem <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">zbioru liczb rzeczywistych</a><sup id="cite_ref-CITEREFRasiowa200442_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFRasiowa200442-1">[1]</a></sup>; innymi słowy jest to <b>funkcja o wartościach rzeczywistych</b>: <i>f</i>:<i>X</i>→<i>Y</i>, <i>Y</i>⊆ℝ. Czasem znaczenie tego terminu jest: </p> <ul><li>węższe; wymaga się niekiedy, aby także <a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzina</a> funkcji była <a href="/wiki/Podzbi%C3%B3r" title="Podzbiór">podzbiorem</a> zbioru liczb rzeczywistych (<i>X</i>⊆ℝ)<sup id="cite_ref-epwn_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-2">[2]</a></sup><sup id="cite_ref-CITEREFReinhardtSoeder2003269,308_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFReinhardtSoeder2003269,308-3">[3]</a></sup>;</li> <li>szersze; za przeciwdziedzinę uznaje się <a href="/wiki/Rozszerzony_zbi%C3%B3r_liczb_rzeczywistych" title="Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych">rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych</a>, tj. dopuszcza się wartości nieskończone (∞, ±∞)<sup id="cite_ref-CITEREFŁojasiewicz1973_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFŁojasiewicz1973-4">[4]</a></sup><span class="problemy problemy-w-odn" aria-hidden="true" data-nosnippet="" data-problemy="ODN: brak numeru strony"> </span>.</li></ul> <p>Teorię funkcji rzeczywistych zalicza się do <a href="/wiki/Analiza_matematyczna" title="Analiza matematyczna">analizy matematycznej</a><sup class="noprint" title="Te informacje wymagają podania przypisów bibliograficznych od 2022-10">[<a href="/wiki/Pomoc:Przypisy" title="Pomoc:Przypisy">potrzebny przypis</a>]</sup>, choć funkcje rzeczywiste rozumiane szeroko pojawiają się też w innych dyscyplinach: </p> <ul><li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_(matematyka)" title="Ciąg (matematyka)">ciągi liczb rzeczywistych</a> bada między innymi <a href="/wiki/Rachunek_r%C3%B3%C5%BCnicowy" title="Rachunek różnicowy">rachunek różnicowy</a>, wykraczający poza analizę do <a href="/wiki/Matematyka_dyskretna" title="Matematyka dyskretna">matematyki dyskretnej</a>;</li> <li>rzeczywiste <a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">wielomiany</a> to klasyczny temat badań <a href="/wiki/Algebra" title="Algebra">algebry</a>, a formy wieloliniowe i kwadratowe są badane przez <a href="/wiki/Algebra_liniowa" title="Algebra liniowa">algebrę liniową</a>;</li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna" title="Przestrzeń metryczna">metryka</a> czy <a href="/wiki/Wymiar_(matematyka)" title="Wymiar (matematyka)">wymiar</a> stanowią pojęcia <a href="/wiki/Topologia" title="Topologia">topologiczne</a>, a ta pierwsza jest też używana w matematyce dyskretnej, np. <a href="/wiki/Teoria_graf%C3%B3w" title="Teoria grafów">teorii grafów</a>;</li> <li>pojęcia jak <a href="/wiki/D%C5%82ugo%C5%9B%C4%87_krzywej" title="Długość krzywej">długość krzywej</a>, <a href="/wiki/Pole_powierzchni" title="Pole powierzchni">pole powierzchni</a> czy <a href="/wiki/Obj%C4%99to%C5%9B%C4%87" title="Objętość">objętość</a> dotyczą nie tylko analizy, ale i <a href="/wiki/Geometria" title="Geometria">geometrii</a>, tak jak <a href="/wiki/Miara_k%C4%85ta" title="Miara kąta">miara kąta</a>;</li> <li>formalnie funkcją rzeczywistą jest też <a href="/wiki/Moc_zbioru" title="Moc zbioru">moc</a> <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_sko%C5%84czony" title="Zbiór skończony">zbioru skończonego</a> – centralne pojęcie <a href="/wiki/Kombinatoryka" title="Kombinatoryka">kombinatoryki</a>;</li> <li>przykładem funkcji rzeczywistej jest <a href="/wiki/Prawdopodobie%C5%84stwo" title="Prawdopodobieństwo">prawdopodobieństwo</a>.</li></ul> <p>Fundamentem fizyki i całej <a href="/wiki/Nauki_empiryczne" title="Nauki empiryczne">nauki empirycznej</a> są <a href="/wiki/Wielko%C5%9B%C4%87_mierzalna" class="mw-redirect" title="Wielkość mierzalna">wielkości mierzalne</a> określone funkcjami rzeczywistymi – nie tylko te geometryczne (odległość, długość, pole powierzchni, objętość, miara kąta), ale też <a href="/wiki/Masa_(fizyka)" title="Masa (fizyka)">masa</a>, <a href="/wiki/Temperatura" title="Temperatura">temperatura</a> czy <a href="/wiki/%C5%81adunek_elektryczny" title="Ładunek elektryczny">ładunek elektryczny</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Podtypy_i_problemy">Podtypy i problemy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Podtypy i problemy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Podtypy i problemy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Graph001.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Graph001.png/220px-Graph001.png" decoding="async" width="220" height="182" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Graph001.png/330px-Graph001.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Graph001.png/440px-Graph001.png 2x" data-file-width="742" data-file-height="613" /></a><figcaption>Wykres przykładowej funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych</figcaption></figure> <p>Funkcja rzeczywista może być określona w sposób <a href="/wiki/Wz%C3%B3r_jawny" title="Wzór jawny">jawny</a> lub <a href="/wiki/Funkcja_uwik%C5%82ana" title="Funkcja uwikłana">uwikłany</a>. Ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest <a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9Bciowy_porz%C4%85dek" title="Częściowy porządek">uporządkowany</a>, funkcje o wartościach rzeczywistych można podzielić na <a href="/wiki/Funkcja_ograniczona" title="Funkcja ograniczona">ograniczone</a> i nieograniczone oraz wyróżniać <a href="/wiki/Ekstremum_funkcji" title="Ekstremum funkcji">ekstrema</a> globalne. Zagadnieniom tego typu są poświęcone całe dyscypliny matematyczne jak <a href="/wiki/Rachunek_wariacyjny" title="Rachunek wariacyjny">rachunek wariacyjny</a>. </p><p>Jeśli dziedzina jest wyposażona w dodatkowe <a href="/wiki/Struktura_matematyczna" title="Struktura matematyczna">struktury</a>, to dla takich funkcji można definiować dalsze pojęcia i wyróżniać szczególne klasy: </p> <ul><li><a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9Bciowy_porz%C4%85dek" title="Częściowy porządek">częściowy porządek</a> prowadzi do zagadnienia <a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">monotoniczności</a> oraz ekstremów lokalnych;</li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_topologiczna" title="Przestrzeń topologiczna">topologia</a> również pozwala definiować ekstrema lokalne, a także <a href="/wiki/Funkcja_ci%C4%85g%C5%82a" title="Funkcja ciągła">ciągłość</a> i <a href="/wiki/W%C5%82asno%C5%9B%C4%87_Darboux" title="Własność Darboux">własność Darboux</a>;</li> <li>funkcje rzeczywiste na <a href="/wiki/Rozmaito%C5%9B%C4%87" title="Rozmaitość">rozmaitościach</a> stanowią przykład <a href="/wiki/Pole_skalarne" title="Pole skalarne">pól skalarnych</a>, przez co są badane przez <a href="/wiki/Teoria_pola_(fizyka)" title="Teoria pola (fizyka)">teorię pola</a>, w tym <a href="/wiki/Teoria_potencja%C5%82u" title="Teoria potencjału">teorię potencjału</a>;</li> <li>funkcje na <a href="/wiki/Grupoid" title="Grupoid">magmach</a> mogą być <a href="/wiki/Funkcja_okresowa" title="Funkcja okresowa">okresowe</a>, te na <a href="/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka)">grupach</a> także <a href="/wiki/Funkcje_parzyste_i_nieparzyste" title="Funkcje parzyste i nieparzyste">parzyste lub nieparzyste</a>, a te na <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa">przestrzeniach liniowych</a> mogą być formami (<a href="/wiki/Funkcjona%C5%82" title="Funkcjonał">funkcjonałami</a>) i mogą być <a href="/wiki/Wypuk%C5%82o%C5%9B%C4%87_funkcji" title="Wypukłość funkcji">wypukłe</a> lub wklęsłe;</li> <li>struktura <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowo-topologiczna" title="Przestrzeń liniowo-topologiczna">liniowo-topologiczna</a> umożliwia wprowadzenie <a href="/wiki/Pochodna_funkcji" title="Pochodna funkcji">pochodnej</a> i <a href="/wiki/R%C3%B3%C5%BCniczka" title="Różniczka">różniczki</a>. Dostarcza to narzędzi poszukiwania ekstremów, ponieważ należą one do <a href="/wiki/Punkt_krytyczny_(matematyka)" title="Punkt krytyczny (matematyka)">punktów krytycznych</a>;</li> <li>funkcje działające z <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_mierzalna" title="Przestrzeń mierzalna">przestrzeni mierzalnej</a> można czasem <a href="/wiki/Ca%C5%82ka" title="Całka">całkować</a>.</li></ul> <p>Funkcje rzeczywiste same bywają używane do definiowania pewnych struktur, np. <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna" title="Przestrzeń metryczna">przestrzeni metrycznych</a> i <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_pseudometryczna" title="Przestrzeń pseudometryczna">pseudometrycznych</a>. </p><p>Rozwinięto teorie <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_funkcyjne" title="Równanie funkcyjne">równań funkcyjnych</a> – zwłaszcza <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe" title="Równanie różniczkowe">różniczkowych</a> i <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCnicowe" title="Równanie różnicowe">różnicowych</a> – w których niewiadomymi są funkcje rzeczywiste. Równania takie można rozwiązywać w sposób przybliżony, rozważając <a href="/wiki/Ci%C4%85g_funkcyjny" title="Ciąg funkcyjny">ciągi funkcyjne</a>; dzieje się tak, ponieważ funkcje rzeczywiste z ustalonego zbioru tworzą przestrzeń topologiczną, przez co wśród ciągów takich funkcji można wyróżnić te <a href="/wiki/Ci%C4%85g_zbie%C5%BCny" class="mw-redirect" title="Ciąg zbieżny">zbieżne</a>. Wszystkie funkcje rzeczywiste z ustalonego zbioru tworzą także przestrzeń liniową, a konkretniej liniowo-topologiczną. Przez to takie <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_funkcyjna" title="Przestrzeń funkcyjna">przestrzenie funkcyjne</a> należą do obszaru badań <a href="/wiki/Analiza_funkcjonalna" title="Analiza funkcjonalna">analizy funkcjonalnej</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypadek_zmiennej_rzeczywistej">Przypadek zmiennej rzeczywistej</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Przypadek zmiennej rzeczywistej" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypadek zmiennej rzeczywistej"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:A_standard_Gaussian_distribution_for_illustration_an_example.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/A_standard_Gaussian_distribution_for_illustration_an_example.png/220px-A_standard_Gaussian_distribution_for_illustration_an_example.png" decoding="async" width="220" height="78" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/A_standard_Gaussian_distribution_for_illustration_an_example.png/330px-A_standard_Gaussian_distribution_for_illustration_an_example.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/A_standard_Gaussian_distribution_for_illustration_an_example.png/440px-A_standard_Gaussian_distribution_for_illustration_an_example.png 2x" data-file-width="782" data-file-height="278" /></a><figcaption><a href="/wiki/Rozk%C5%82ad_Gaussa" class="mw-redirect" title="Rozkład Gaussa">Rozkład Gaussa</a> – przykład często używanej, przestępnej funkcji elementarnej</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Zeta_plot.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Zeta_plot.gif/220px-Zeta_plot.gif" decoding="async" width="220" height="142" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Zeta_plot.gif/330px-Zeta_plot.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Zeta_plot.gif/440px-Zeta_plot.gif 2x" data-file-width="818" data-file-height="528" /></a><figcaption><a href="/wiki/Funkcja_dzeta_Riemanna" title="Funkcja dzeta Riemanna">Funkcja dzeta Riemanna</a> w dziedzinie rzeczywistej</figcaption></figure> <p>Do funkcji tego rodzaju stosują się wszystkie powyższe koncepcje i niektóre dodatkowe zagadnienia, np. szczególne rodzaje <a href="/wiki/Punkt_nieci%C4%85g%C5%82o%C5%9Bci" title="Punkt nieciągłości">nieciągłości</a> i <a href="/wiki/Punkt_przegi%C4%99cia" title="Punkt przegięcia">punkty przegięcia</a>. Oprócz tego: </p> <ul><li>jeśli dziedzina i przeciwdziedzina przecinają się (<i>X</i>∩<i>Y</i>≠∅), to mogą występować <a href="/wiki/Punkt_sta%C5%82y" title="Punkt stały">punkty stałe</a> i <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_niezmienniczy" title="Zbiór niezmienniczy">zbiory niezmiennicze</a>;</li> <li>jeśli dziedzina i przeciwdziedzina pokrywają się (<i>X</i>=<i>Y</i>), to mogą występować <a href="/wiki/Punkt_okresowy" title="Punkt okresowy">punkty okresowe</a>, a funkcja może być <a href="/wiki/Idempotentno%C5%9B%C4%87" title="Idempotentność">idempotentna</a> lub <a href="/wiki/Inwolucja_(matematyka)" title="Inwolucja (matematyka)">inwolutywna</a>.</li></ul> <p>Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej dzieli się na <a href="/wiki/Funkcje_elementarne" title="Funkcje elementarne">elementarne</a> i <a href="/wiki/Funkcje_specjalne" title="Funkcje specjalne">specjalne</a>. Wśród tych pierwszych wyróżnia się <a href="/wiki/Funkcja_algebraiczna" title="Funkcja algebraiczna">funkcje algebraiczne</a>, a pozostałe nazywa przestępnymi. Do funkcji algebraicznych zalicza się rzeczywiste <a href="/wiki/Funkcja_wymierna" title="Funkcja wymierna">funkcje wymierne</a>, w tym rzeczywiste <a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">wielomiany</a>. Wśród elementarnych funkcji przestępnych szczególnie często używane są funkcje <a href="/wiki/Funkcja_wyk%C5%82adnicza" title="Funkcja wykładnicza">wykładnicze</a>, <a href="/wiki/Logarytm" title="Logarytm">logarytmiczne</a>, <a href="/wiki/Funkcje_trygonometryczne" title="Funkcje trygonometryczne">trygonometryczne</a> oraz <a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna">wartość bezwzględna</a> i różne <a href="/wiki/Funkcja_schodkowa" title="Funkcja schodkowa">funkcje schodkowe</a>. </p><p>Funkcje tego typu są niewiadomymi w <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe_zwyczajne" title="Równanie różniczkowe zwyczajne">równaniach różniczkowych zwyczajnych</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-CITEREFRasiowa200442-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-CITEREFRasiowa200442_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFRasiowa2004">Rasiowa 2004 ↓</a></span>, s. 42.</span> </li> <li id="cite_note-epwn-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-epwn_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3970661"><i>funkcje rzeczywiste</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2022-10-03]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=funkcje+rzeczywiste&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3970661" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-CITEREFReinhardtSoeder2003269,308-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-CITEREFReinhardtSoeder2003269,308_3-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFReinhardtSoeder2003">Reinhardt i Soeder 2003 ↓</a></span>, s. 269,308.</span> </li> <li id="cite_note-CITEREFŁojasiewicz1973-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-CITEREFŁojasiewicz1973_4-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFŁojasiewicz1973">Łojasiewicz 1973 ↓</a></span>.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Bibliografia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Bibliografia"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation book" id="CITEREFŁojasiewicz1973"><a href="/wiki/Stanis%C5%82aw_%C5%81ojasiewicz" title="Stanisław Łojasiewicz">Stanisław Łojasiewicz</a>: <i>Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych</i>. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Państwowe Wydawnictwo Naukowe</a>, 1973.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Wst%C4%99p+do+teorii+funkcji+rzeczywistych&rft.aulast=%C5%81ojasiewicz&rft.aufirst=Stanis%C5%82aw&rft.pub=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%7CPa%C5%84stwowe+Wydawnictwo+Naukowe%5D%5D&rft.place=Warszawa"></span></cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFRasiowa2004"><a href="/wiki/Helena_Rasiowa" title="Helena Rasiowa">Helena Rasiowa</a>: <i>Wstęp do matematyki współczesnej</i>. Wyd. 14. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a>, 2004, seria: <a href="/wiki/Biblioteka_Matematyczna" title="Biblioteka Matematyczna">Biblioteka Matematyczna</a> (BM 30).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Wst%C4%99p+do+matematyki+wsp%C3%B3%C5%82czesnej&rft.aulast=Rasiowa&rft.aufirst=Helena&rft.edition=14&rft.pub=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft.place=Warszawa&rft.series=%5B%5BBiblioteka+Matematyczna%5D%5D+%28BM+30%29"></span></cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFReinhardtSoeder2003">Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: <i>Atlas matematyki</i>. <a href="/wiki/Pr%C3%B3szy%C5%84ski_i_S-ka" title="Prószyński i S-ka">Prószyński i S-ka</a>, 2003. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/8374691891" title="Specjalna:Książki/8374691891">ISBN <span class="isbn">83-7469-189-1</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Atlas+matematyki&rft.aulast=Reinhardt&rft.aufirst=Fritz&rft.pub=%5B%5BPr%C3%B3szy%C5%84ski+i+S-ka%5D%5D&rft.isbn=83-7469-189-1"></span></cite></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatura_dodatkowa">Literatura dodatkowa</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Literatura dodatkowa" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Literatura dodatkowa"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation book"><i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/matematykapodrec00cegi">Encyklopedia szkolna - matematyka</a></i>. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwa_Szkolne_i_Pedagogiczne" title="Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne">Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne</a>, 1990, s. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/matematykapodrec00cegi/page/n56">56</a>. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/8302025518" title="Specjalna:Książki/8302025518">ISBN <span class="isbn">83-02-02551-8</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Encyklopedia+szkolna+-+matematyka&rft.pub=%5B%5BWydawnictwa+Szkolne+i+Pedagogiczne%5D%5D&rft.place=Warszawa&rft.pages=%5Bhttps%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fmatematykapodrec00cegi%2Fpage%2Fn56+56%5D&rft.isbn=83-02-02551-8&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fmatematykapodrec00cegi"></span></cite></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Linki_zewnętrzne"><span id="Linki_zewn.C4.99trzne"></span>Linki zewnętrzne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: Linki zewnętrzne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Linki zewnętrzne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathscinet.ams.org/mathscinet/msc/msc2020.html?t=26-XX">Podział teorii funkcji rzeczywistych</a> według klasyfikacji <a href="/wiki/MSC_2000" title="MSC 2000">MSC 2020</a> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span> [dostęp 2024-02-07].</li></ul> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74983602">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy .before,.mw-parser-output .navbox.pionowy .after{padding:0.5em 0;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.caption,.mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background:#ccf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox .tnavbar{font-weight:normal;font-size:xx-small;white-space:nowrap;padding:0}.mw-parser-output .navbox>.tnavbar{margin-left:1em;float:left}.mw-parser-output .navbox .below>hr+.tnavbar{margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox .below>.tnavbar:before{content:"Ten szablon: "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:after{content:" · "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .navbox hr{margin:0.2em 1em}.mw-parser-output .navbox .title{background:#ddf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content:not(.grupa-szablonów-nawigacyjnych){margin-top:2px;padding:0;font-size:smaller;overflow:auto}.mw-parser-output .navbox .above+div,.mw-parser-output .navbox .above+.navbox-main-content,.mw-parser-output .navbox .below,.mw-parser-output .navbox .title+.grid{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below{background:#ddf;text-align:center;margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .navbox .flex>.before,.mw-parser-output .navbox .flex>.after{align-self:center;text-align:center}.mw-parser-output .navbox .flex>.navbox-main-content{flex-grow:1}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .before{margin-right:0.5em}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .after{margin-left:0.5em}.mw-parser-output .navbox .inner-columns,.mw-parser-output .navbox .inner-group,.mw-parser-output .navbox .inner-standard{border-spacing:0;border-collapse:collapse;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis{text-align:right;vertical-align:middle}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis+.spis{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td{padding:0;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td:first-child{text-align:center}.mw-parser-output .navbox .inner-standard .inner-standard>tbody>tr>td{text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-odd,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-even{padding:0 0.3em}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>th+td{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns{table-layout:fixed}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{padding:0;border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);border-right:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{vertical-align:top}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:first-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:first-child{border-left:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:last-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:last-child{border-right:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ul,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ol,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>dl{text-align:left;column-width:24em}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+table{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.opis,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.spis{padding:0.1em 1em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-toggle,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.mw-collapsible-toggle{width:4em;text-align:right;margin-right:0.4em}.mw-parser-output .navbox>.fakebar,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.fakebar{float:left;width:4em;height:1em}.mw-parser-output .navbox .opis{background:#ddf;padding:0 1em;white-space:nowrap;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox.pionowy .opis{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-even,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-odd{background:transparent}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-odd,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-even{background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div{background:transparent}.mw-parser-output .navbox p{margin:0;padding:0.3em 0}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:gold}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:silver}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#c96}.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ul,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>dl,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ol{column-width:24em;text-align:left}.mw-parser-output .navbox ul{list-style:none}.mw-parser-output .navbox .references{background:transparent}.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dd,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dt,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist li{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox .rok{display:inline-block;width:4em;padding-right:0.5em;text-align:right}.mw-parser-output .navbox .navbox-statistics{margin-top:2px;border-top:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);text-align:center;font-size:small}.mw-parser-output .navbox-summary>.title{font-weight:bold;font-size:larger}.mw-parser-output .navbox:not(.grupa-szablonów) .navbox{margin:0;border:0;padding:0}.mw-parser-output .navbox.grupa-szablonów>.grupa-szablonów-nawigacyjnych>.navbox:first-child{margin-top:2px}@media(max-width:800px){.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.before,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.after{display:none}}.mw-parser-output .navbox .opis img,.mw-parser-output .navbox .opis .flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.image{display:none}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}</style><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Funkcje_matematyczne" title="Szablon:Funkcje matematyczne"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Funkcje_matematyczne&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Funkcje matematyczne (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Funkcje_matematyczne&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">Funkcje matematyczne</a></div><div class="mw-collapsible-content flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">pojęcia podstawowe</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Argument_funkcji" title="Argument funkcji">argument</a></li> <li><a href="/wiki/Argumentowo%C5%9B%C4%87" title="Argumentowość">argumentowość</a></li> <li><a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzina</a></li> <li><a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzina naturalna</a></li> <li><a href="/wiki/Przeciwdziedzina" title="Przeciwdziedzina">przeciwdziedzina</a></li> <li><a href="/wiki/Zaw%C4%99%C5%BCenie_funkcji" title="Zawężenie funkcji">zawężenie, in. obcięcie</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Obraz_(matematyka)" title="Obraz (matematyka)">obraz</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Obraz_(matematyka)" title="Obraz (matematyka)">zbiór wartości</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Przeciwobraz" title="Przeciwobraz">przeciwobraz</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Poziomica_(matematyka)" title="Poziomica (matematyka)">poziomice, in. warstwice</a></li> <li><a href="/wiki/Miejsce_zerowe" title="Miejsce zerowe">miejsca zerowe</a></li> <li><a href="/wiki/J%C4%85dro_(teoria_mnogo%C5%9Bci)" title="Jądro (teoria mnogości)">jądro funkcji</a></li> <li><a href="/wiki/Ma%C5%82y_obraz" title="Mały obraz">mały obraz</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row">typy (rodzaje)</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a4_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">ogólne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCnowarto%C5%9Bciowa" title="Funkcja różnowartościowa">różnowartościowe – iniekcje</a></li> <li><a href="/wiki/Surjekcja" title="Surjekcja">„na” – suriekcje</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_wzajemnie_jednoznaczna" title="Funkcja wzajemnie jednoznaczna">wzajemnie jednoznaczne – bijekcje</a>, <a href="/wiki/Funkcja_odwrotna" title="Funkcja odwrotna">funkcje odwracalne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Ci%C4%85g_(matematyka)" title="Ciąg (matematyka)">ciągi</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana" title="Para uporządkowana">krotki</a> <ul><li><a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana" title="Para uporządkowana">pary uporządkowane</a></li> <li><a href="/wiki/Tr%C3%B3jka_uporz%C4%85dkowana" title="Trójka uporządkowana">trójki uporządkowane</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne <a href="/wiki/Funkcja_jednej_zmiennej" title="Funkcja jednej zmiennej">funkcje jednej zmiennej</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_pusta" title="Funkcja pusta">funkcja pusta</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_schodkowa" title="Funkcja schodkowa">funkcje schodkowe</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Funkcja_wielu_zmiennych" title="Funkcja wielu zmiennych">funkcje wielu zmiennych</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_symetryczna" title="Funkcja symetryczna">funkcje symetryczne</a> <ul><li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna" title="Przestrzeń metryczna">metryki</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Macierz" title="Macierz">macierze</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_5"><th class="navbox-group opis" scope="row">funkcje zdefiniowane<br />samą przeciwdziedziną</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_kardynalna" title="Funkcja kardynalna">kardynalne</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">rzeczywiste</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_wektorowa" title="Funkcja wektorowa">wektorowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_zespolona" title="Funkcja zespolona">zespolone</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_6"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działania algebraiczne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_zeroargumentowe" title="Działanie zeroargumentowe">zeroargumentowe</a></li> <li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_jednoargumentowe" title="Działanie jednoargumentowe">jednoargumentowe</a></li> <li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">dwuargumentowe</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_7"><th class="navbox-group opis" scope="row">odmiany działań<br />jednoargumentowych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_to%C5%BCsamo%C5%9Bciowa" title="Funkcja tożsamościowa">funkcje tożsamościowe</a></li> <li><a href="/wiki/Permutacja" title="Permutacja">permutacje</a> <ul><li><a href="/wiki/Transpozycja_(matematyka)" title="Transpozycja (matematyka)">transpozycje</a></li> <li><a href="/wiki/Nieporz%C4%85dek" title="Nieporządek">nieporządki</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_8"><th class="navbox-group opis" scope="row">funkcje zdefiniowane<br />zbiorem wartości</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_prosta" title="Funkcja prosta">funkcje proste</a> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_sta%C5%82a" title="Funkcja stała">funkcje stałe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_charakterystyczna_zbioru" title="Funkcja charakterystyczna zbioru">funkcje charakterystyczne</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_9"><th class="navbox-group opis" scope="row">zdefiniowane <a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9Bciowy_porz%C4%85dek" title="Częściowy porządek">porządkiem</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_ograniczona" title="Funkcja ograniczona">ograniczone</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">monotoniczne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_10"><th class="navbox-group opis" scope="row">zdefiniowane <a href="/wiki/Algebra" title="Algebra">algebraicznie</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_okresowa" title="Funkcja okresowa">okresowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_parzyste_i_nieparzyste" title="Funkcje parzyste i nieparzyste">parzyste i nieparzyste</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_11"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne funkcje</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_boolowska" title="Funkcja boolowska">boolowskie</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_elementarne" title="Funkcje elementarne">elementarne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja#Funkcje_liczbowe" title="Funkcja">liczbowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_specjalne" title="Funkcje specjalne">specjalne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcjona%C5%82" title="Funkcjonał">funkcjonały</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row">pojęcia określone<br />głównie dla działań<br />jednoargumentowych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Punkt_sta%C5%82y" title="Punkt stały">punkt stały</a></li> <li><a href="/wiki/Punkt_okresowy" title="Punkt okresowy">punkt okresowy</a></li> <li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_niezmienniczy" title="Zbiór niezmienniczy">zbiór niezmienniczy</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">złożenie funkcji</a><br />(superpozycja)</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a6_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">przypadek działań<br />jednoargumentowych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Iteracja_funkcji" title="Iteracja funkcji">iteracja</a> <ul><li><a href="/wiki/Idempotentno%C5%9B%C4%87" title="Idempotentność">idempotentność</a></li> <li><a href="/wiki/Inwolucja_(matematyka)" title="Inwolucja (matematyka)">inwolucja</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82grupa_transformacji" title="Półgrupa transformacji">półgrupa transformacji</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_bijekcji" title="Grupa bijekcji">grupa bijekcji</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupa permutacji</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a6_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne przypadki</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_odwrotna" title="Funkcja odwrotna">funkcja odwrotna</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Struktura_matematyczna" title="Struktura matematyczna">struktury</a><br />definiowane funkcjami</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Algebra_og%C3%B3lna" title="Algebra ogólna">algebry ogólne (struktury algebraiczne)</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_funkcyjna" title="Przestrzeń funkcyjna">przestrzenie funkcyjne</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna" title="Przestrzeń metryczna">przestrzenie metryczne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne powiązane<br />pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Moc_zbioru" title="Moc zbioru">moc zbioru</a></li> <li><a href="/wiki/Przebieg_zmienno%C5%9Bci_funkcji" title="Przebieg zmienności funkcji">przebieg zmienności funkcji</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_funkcyjne" title="Równanie funkcyjne">równania funkcyjne</a></li> <li><a href="/wiki/Symbol_funkcyjny" title="Symbol funkcyjny">symbole funkcyjne</a></li> <li><a href="/wiki/Wykres_funkcji" title="Wykres funkcji">wykres funkcji</a></li></ul> </td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie">twierdzenia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Cantora-Bernsteina-Schr%C3%B6dera" title="Twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera">Cantora-Bernsteina-Schrödera</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_faktoryzacji" title="Twierdzenie o faktoryzacji">o faktoryzacji</a></li> <li><a href="/wiki/Zasada_szufladkowa_Dirichleta" title="Zasada szufladkowa Dirichleta">zasada szufladkowa Dirichleta</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Uog%C3%B3lnienie" title="Uogólnienie">uogólnienia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_cz%C4%99%C5%9Bciowa" title="Funkcja częściowa">funkcje częściowe</a></li> <li><a href="/wiki/Multifunkcja" title="Multifunkcja">multifunkcje</a></li> <li><a href="/wiki/Relacja_dwuargumentowa" title="Relacja dwuargumentowa">relacje binarne</a></li> <li><a href="/wiki/Kategoria_(matematyka)" title="Kategoria (matematyka)">morfizmy (strzałki)</a></li></ul> </td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Commutative_diagram_for_morphism.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/100px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png" decoding="async" width="100" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/150px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/200px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png 2x" data-file-width="100" data-file-height="100" /></a></span> </p> </div></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74016753">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-fehlt"><div><a href="/wiki/Encyklopedia_internetowa" title="Encyklopedia internetowa">Encyklopedie internetowe</a> (<span class="description">funkcja skalarna</span>):</div> <ul><li><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1296" class="extiw" title="d:Property:P1296">Catalana</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.enciclopedia.cat/ec-gec-0153378.xml">0153378</a></span></li></ul> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&oldid=72797823">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&oldid=72797823</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategoria</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Typy_funkcji_matematycznych" title="Kategoria:Typy funkcji matematycznych">Typy funkcji matematycznych</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Ukryte kategorie: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Szablon_odn_bez_numeru_strony" title="Kategoria:Szablon odn bez numeru strony">Szablon odn bez numeru strony</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Artyku%C5%82y_z_brakuj%C4%85cymi_przypisami_od_2022-10" title="Kategoria:Artykuły z brakującymi przypisami od 2022-10">Artykuły z brakującymi przypisami od 2022-10</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Tę stronę ostatnio edytowano 7 lut 2024, 20:57.</li> <li id="footer-info-copyright">Tekst udostępniany na licencji <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl">Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach</a>, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/pl">warunkach korzystania</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Polityka prywatności</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii">O Wikipedii</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Korzystasz_z_Wikipedii_tylko_na_w%C5%82asn%C4%85_odpowiedzialno%C5%9B%C4%87">Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Powszechne Zasady Postępowania</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Dla deweloperów</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pl.wikipedia.org">Statystyki</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Oświadczenie o ciasteczkach</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcja_rzeczywista&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Wersja mobilna</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-6855777b7b-sp24j","wgBackendResponseTime":164,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.303","walltime":"0.898","ppvisitednodes":{"value":3261,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":38075,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":2981,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":11,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":2,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":11951,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":2,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 384.555 1 -total"," 34.16% 131.374 3 Szablon:Szablon_nawigacyjny"," 33.95% 130.552 1 Szablon:Funkcje_matematyczne"," 30.48% 117.218 1 Szablon:Kontrola_autorytatywna"," 12.75% 49.015 4 Szablon:Cytuj_książkę"," 11.82% 45.463 3 Szablon:Odn"," 6.79% 26.123 1 Szablon:Przypisy"," 5.28% 20.309 1 Szablon:Encyklopedia_PWN"," 2.64% 10.154 1 Szablon:Lang"," 1.73% 6.671 3 Szablon:Odn/tekst"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.174","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":2630821,"limit":52428800},"limitreport-logs":"required = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\nrequired = table#1 {\n}\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-6b68c86545-sq8j4","timestamp":"20241202114012","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Funkcja rzeczywista","url":"https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Funkcja_rzeczywista","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q5189500","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q5189500","author":{"@type":"Organization","name":"Wsp\u00f3\u0142tw\u00f3rcy projekt\u00f3w Fundacji Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2009-06-20T18:10:41Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/b\/ba\/Weights_20mg~500g.jpg","headline":"funkcja o warto\u015bciach rzeczywistych"}</script> </body> </html>