CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="pl" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Funkcjonał – Wikipedia, wolna encyklopedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )plwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","styczeń","luty","marzec","kwiecień","maj","czerwiec","lipiec","sierpień","wrzesień","październik","listopad","grudzień"],"wgRequestId":"2323a168-c8b3-4219-afec-ca623bd0b73a","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Funkcjonał","wgTitle":"Funkcjonał","wgCurRevisionId":73129508,"wgRevisionId":73129508,"wgArticleId":131172,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Szablon odn bez numeru strony","Typy funkcji matematycznych","Formy na przestrzeniach liniowych","Analiza funkcjonalna"],"wgPageViewLanguage":"pl","wgPageContentLanguage":"pl","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Funkcjonał","wgRelevantArticleId":131172,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true ,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":73129508,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"pl","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"pl"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":10000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q579600","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={ "ext.gadget.wikiflex":"ready","ext.gadget.infobox":"ready","ext.gadget.hlist":"ready","ext.gadget.darkmode-overrides":"ready","ext.gadget.small-references":"ready","ext.gadget.citation-access-info":"ready","ext.gadget.sprawdz-problemy-szablony":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","ext.scribunto.logs","site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc", "skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.ll-script-loader","ext.gadget.veKeepParameters","ext.gadget.szablon-galeria","ext.gadget.NavFrame","ext.gadget.citoid-overrides","ext.gadget.maps","ext.gadget.padlock-indicators","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.gadget.edit-summaries","ext.gadget.edit-first-section","ext.gadget.wikibugs","ext.gadget.map-toggler","ext.gadget.narrowFootnoteColumns","ext.gadget.WDsearch","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=pl&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.gadget.citation-access-info%2Cdarkmode-overrides%2Chlist%2Cinfobox%2Csmall-references%2Csprawdz-problemy-szablony%2Cwikiflex&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Funkcjonał – Wikipedia, wolna encyklopedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//pl.m.wikipedia.org/wiki/Funkcjona%C5%82"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Edytuj" href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (pl)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//pl.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcjona%C5%82"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Kanał Atom Wikipedii" href="/w/index.php?title=Specjalna:Ostatnie_zmiany&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Funkcjonał rootpage-Funkcjonał skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Przejdź do zawartości</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menu główne" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menu główne</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menu główne</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Nawigacja </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" title="Przejdź na stronę główną [z]" accesskey="z"><span>Strona główna</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Losowa_strona" title="Załaduj losową stronę [x]" accesskey="x"><span>Losuj artykuł</span></a></li><li id="n-Kategorie" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Kategorie_G%C5%82%C3%B3wne"><span>Kategorie artykułów</span></a></li><li id="n-Featured-articles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Wyr%C3%B3%C5%BCniona_zawarto%C5%9B%C4%87_Wikipedii"><span>Najlepsze artykuły</span></a></li><li id="n-FAQ" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:FAQ"><span>Częste pytania (FAQ)</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-zmiany" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-zmiany" > <div class="vector-menu-heading"> Dla czytelników </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-czytelnicy" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii"><span>O Wikipedii</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kontakt_z_wikipedystami"><span>Kontakt</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-edytorzy" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-edytorzy" > <div class="vector-menu-heading"> Dla wikipedystów </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-pierwsze-kroki" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki"><span>Pierwsze kroki</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Portal_wikipedyst%C3%B3w" title="O projekcie – co możesz zrobić, gdzie możesz znaleźć informacje"><span>Portal wikipedystów</span></a></li><li id="n-Noticeboard" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tablica_og%C5%82osze%C5%84"><span>Ogłoszenia</span></a></li><li id="n-Guidelines" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Zasady"><span>Zasady</span></a></li><li id="n-helppage-name" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Spis_tre%C5%9Bci"><span>Pomoc</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Ostatnie_zmiany" title="Lista ostatnich zmian w Wikipedii. [r]" accesskey="r"><span>Ostatnie zmiany</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="wolna encyklopedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-pl.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Specjalna:Szukaj" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Szukaj</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Przeszukaj Wikipedię" aria-label="Przeszukaj Wikipedię" autocapitalize="sentences" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Specjalna:Szukaj"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Szukaj</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Narzędzia osobiste"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Zmień rozmiar czcionki, szerokość oraz kolorystykę strony" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Wygląd" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Wygląd</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl" class=""><span>Wspomóż Wikipedię</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Funkcjona%C5%82" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe." class=""><span>Utwórz konto</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Funkcjona%C5%82" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o" class=""><span>Zaloguj się</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Więcej opcji" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia osobiste" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia osobiste</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menu użytkownika" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl"><span>Wspomóż Wikipedię</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Funkcjona%C5%82" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Utwórz konto</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Funkcjona%C5%82" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Zaloguj się</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Strony dla anonimowych edytorów <a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki" aria-label="Dowiedz się więcej na temat edytowania"><span>dowiedz się więcej</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:M%C3%B3j_wk%C5%82ad" title="Lista edycji wykonanych z tego adresu IP [y]" accesskey="y"><span>Edycje</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Moja_dyskusja" title="Dyskusja użytkownika dla tego adresu IP [n]" accesskey="n"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Spis treści" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Spis treści</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ukryj</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Początek</div> </a> </li> <li id="toc-Przykłady" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykłady"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Przykłady</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Przykłady-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Przykłady</span> </button> <ul id="toc-Przykłady-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Dualność" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Dualność"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Dualność</span> </div> </a> <ul id="toc-Dualność-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Całka_oznaczona" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Całka_oznaczona"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>Całka oznaczona</span> </div> </a> <ul id="toc-Całka_oznaczona-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Iloczyn_skalarny" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Iloczyn_skalarny"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.3</span> <span>Iloczyn skalarny</span> </div> </a> <ul id="toc-Iloczyn_skalarny-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Równanie_funkcyjne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Równanie_funkcyjne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Równanie funkcyjne</span> </div> </a> <ul id="toc-Równanie_funkcyjne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Pochodna_funkcjonalna_i_całka_funkcjonalna" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Pochodna_funkcjonalna_i_całka_funkcjonalna"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Pochodna funkcjonalna i całka funkcjonalna</span> </div> </a> <ul id="toc-Pochodna_funkcjonalna_i_całka_funkcjonalna-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Forma_a_funkcjonał" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Forma_a_funkcjonał"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Forma a funkcjonał</span> </div> </a> <ul id="toc-Forma_a_funkcjonał-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Zobacz_też" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Zobacz_też"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Zobacz też</span> </div> </a> <ul id="toc-Zobacz_też-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Uwagi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Uwagi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Uwagi</span> </div> </a> <ul id="toc-Uwagi-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Przypisy</span> </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Bibliografia</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Literatura_dodatkowa" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Literatura_dodatkowa"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Literatura dodatkowa</span> </div> </a> <ul id="toc-Literatura_dodatkowa-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Funkcjonał</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 31 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-31" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">31 języków</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Funksionaal" title="Funksionaal – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Funksionaal" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D9%8A_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" title="دالي (رياضيات) – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="دالي (رياضيات)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%8B%D1%8F%D0%BD%D0%B0%D0%BB" title="Функцыянал – białoruski" lang="be" hreflang="be" data-title="Функцыянал" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="białoruski" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB" title="Функционал – bułgarski" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Функционал" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bułgarski" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Funcional_(matem%C3%A0tiques)" title="Funcional (matemàtiques) – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Funcional (matemàtiques)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB" title="Функционал – czuwaski" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Функционал" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="czuwaski" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Funkcion%C3%A1l" title="Funkcionál – czeski" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Funkcionál" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="czeski" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Funktional" title="Funktional – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Funktional" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Funktsionaal" title="Funktsionaal – estoński" lang="et" hreflang="et" data-title="Funktsionaal" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estoński" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_(mathematics)" title="Functional (mathematics) – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Functional (mathematics)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funcional_(matem%C3%A1tica)" title="Funcional (matemática) – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Funcional (matemática)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9%DB%8C" title="تابعی – perski" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تابعی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perski" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctionnelle" title="Fonctionnelle – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Fonctionnelle" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%94%ED%95%A8%EC%88%98" title="범함수 – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="범함수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%96%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC" title="Ֆունկցիոնալ – ormiański" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Ֆունկցիոնալ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ormiański" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzionale" title="Funzionale – włoski" lang="it" hreflang="it" data-title="Funzionale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="włoski" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%9C" title="פונקציונל – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="פונקציונל" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB" title="Функционал – kazachski" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Функционал" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazachski" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Funkcion%C3%A1l" title="Funkcionál – węgierski" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Funkcionál" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="węgierski" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функционал (математика) – macedoński" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Функционал (математика)" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedoński" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Functionaal" title="Functionaal – niderlandzki" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Functionaal" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="niderlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%8E%E5%87%BD%E6%95%B0" title="汎函数 – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="汎函数" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Funcional" title="Funcional – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Funcional" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB" title="Функционал – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Функционал" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Funkcion%C3%A1l" title="Funkcionál – słowacki" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Funkcionál" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="słowacki" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB" title="Функционал – serbski" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Функционал" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbski" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Funktional" title="Funktional – szwedzki" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Funktional" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="szwedzki" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB" title="Функціонал – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Функціонал" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Phi%E1%BA%BFm_h%C3%A0m_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Phiếm hàm (toán học) – wietnamski" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Phiếm hàm (toán học)" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="wietnamski" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%9B%E5%87%BD" title="泛函 – kantoński" lang="yue" hreflang="yue" data-title="泛函" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoński" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%9B%E5%87%BD" title="泛函 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="泛函" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q579600#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Funkcjona%C5%82" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c"><span>Artykuł</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Dyskusja:Funkcjona%C5%82" rel="discussion" title="Dyskusja o zawartości tej strony [t]" accesskey="t"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Zmień wariant języka" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">polski</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Widok"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Funkcjona%C5%82"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=history" title="Starsze wersje tej strony [h]" accesskey="h"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Narzędzia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Więcej opcji" > <div class="vector-menu-heading"> Działania </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Funkcjona%C5%82"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=history"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ogólne </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Funkcjona%C5%82" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j"><span>Linkujące</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Funkcjona%C5%82" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k"><span>Zmiany w linkowanych</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u"><span>Prześlij plik</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne" title="Lista wszystkich stron specjalnych [q]" accesskey="q"><span>Strony specjalne</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&oldid=73129508" title="Stały link do tej wersji tej strony"><span>Link do tej wersji</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=info" title="Więcej informacji na temat tej strony"><span>Informacje o tej stronie</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=Funkcjona%C5%82&id=73129508&wpFormIdentifier=titleform" title="Informacja o tym jak należy cytować tę stronę"><span>Cytowanie tego artykułu</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FFunkcjona%25C5%2582"><span>Zobacz skrócony adres URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FFunkcjona%25C5%2582"><span>Pobierz kod QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Funkcjona%C5%82"><span>Utwórz książkę</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Funkcjona%C5%82&action=show-download-screen"><span>Pobierz jako PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&printable=yes" title="Wersja do wydruku [p]" accesskey="p"><span>Wersja do druku</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q579600" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g"><span>Element Wikidanych</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><p><b>Funkcjonał</b> – wieloznaczne pojęcie <a href="/wiki/Matematyka" title="Matematyka">matematyczne</a>, opisujące różne typy <a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">funkcji</a>; przeważnie są definiowane <a href="/wiki/Przeciwdziedzina" title="Przeciwdziedzina">przeciwdziedziną</a>, a czasem też <a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedziną</a> w sensie zbioru <a href="/wiki/Argument_funkcji" title="Argument funkcji">argumentów</a>. Według różnych autorów funkcjonał to funkcja: </p> <ol><li>o wartościach <a href="/wiki/Liczba" title="Liczba">liczbowych</a><sup id="cite_ref-CITEREFMoszner197483_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFMoszner197483-1">[1]</a></sup>;</li> <li>o wartościach liczbowych na <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r" title="Zbiór">zbiorze</a> funkcji<sup id="cite_ref-CITEREFŻakowska197289_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFŻakowska197289-2">[2]</a></sup><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3">[a]</a></sup>;</li> <li><a href="/wiki/Funkcja_rzeczywista" title="Funkcja rzeczywista">rzeczywista</a> lub <a href="/wiki/Funkcja_zespolona" title="Funkcja zespolona">zespolona</a> określona na dowolnym zbiorze<sup id="cite_ref-epwn_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-4">[3]</a></sup><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5">[4]</a></sup>;</li> <li>rzeczywista lub zespolona na dowolnym zbiorze funkcji<sup id="cite_ref-epwn_4-1" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-4">[3]</a></sup><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6">[5]</a></sup>;</li> <li>z <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa">przestrzeni liniowej</a> w <a href="/wiki/Cia%C5%82o_(matematyka)" title="Ciało (matematyka)">ciało</a> jej <a href="/wiki/Skalar_(matematyka)" title="Skalar (matematyka)">skalarów</a><sup id="cite_ref-CITEREFGleichgewicht1983175–177_7-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFGleichgewicht1983175–177-7">[6]</a></sup>;</li> <li>powyższego typu będąca jednocześnie <a href="/wiki/Przekszta%C5%82cenie_liniowe" title="Przekształcenie liniowe">przekształceniem liniowym</a><sup id="cite_ref-CITEREFLang1973_8-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFLang1973-8">[7]</a></sup><span class="problemy problemy-w-odn" aria-hidden="true" data-nosnippet="" data-problemy="ODN: brak numeru strony"> </span>;</li> <li>rzeczywista na przestrzeni liniowej<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9">[8]</a></sup> nad ciałem <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczb rzeczywistych</a><sup id="cite_ref-CITEREFKrysickiWłodarski200644_10-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFKrysickiWłodarski200644-10">[9]</a></sup>;</li> <li>rzeczywista na <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Banacha" title="Przestrzeń Banacha">przestrzeni Banacha</a> lub jej <a href="/wiki/Podzbi%C3%B3r" title="Podzbiór">podzbiorze</a><sup id="cite_ref-CITEREFPierzchalski1995334_11-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFPierzchalski1995334-11">[10]</a></sup>.</li></ol> <p>Trzecie ani czwarte znaczenie nie są <a href="/wiki/Zbiory_roz%C5%82%C4%85czne" title="Zbiory rozłączne">rozłączne</a> z piątym, ponieważ: </p> <ul><li>funkcję rzeczywistą lub zespoloną można określić na przestrzeni liniowej ze skalarami <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">rzeczywistymi</a> lub <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">zespolonymi</a>;</li> <li>przestrzenią tą może być <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_funkcyjna" title="Przestrzeń funkcyjna">przestrzeń funkcyjna</a>.</li></ul> <p>Funkcjonał w szóstym znaczeniu to inaczej <b>forma</b>, przy czym termin ten miewa też inne znaczenie<sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12">[11]</a></sup>. Tak rozumiany funkcjonał (forma) to szczególny przypadek <b><a href="/wiki/Operator_(fizyka)" title="Operator (fizyka)">operatora</a></b>, czyli przekształcenia, które funkcji przyporządkowuje inną funkcję (np. operator różniczkowy funkcji przypisuje jej funkcję pochodną). </p><p>Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w <a href="/wiki/Rachunek_wariacyjny" title="Rachunek wariacyjny">rachunku wariacyjnym</a>, który polega na znajdowaniu <a href="/wiki/Ekstremum_funkcji" title="Ekstremum funkcji">ekstremum</a> funkcjonału, zwanego działaniem Hamiltona (tzw. <a href="/wiki/Zasada_najmniejszego_dzia%C5%82ania" title="Zasada najmniejszego działania">zasada najmniejszego działania</a>). Szczególnie istotnym zastosowaniem w <a href="/wiki/Fizyka" title="Fizyka">fizyce</a> jest znajdowanie stanu <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_fizyczny" title="Układ fizyczny">układu</a>, dla którego funkcjonał <a href="/wiki/Energia_(fizyka)" class="mw-redirect" title="Energia (fizyka)">energii</a> osiąga minimum. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przykłady"><span id="Przyk.C5.82ady"></span>Przykłady</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Przykłady" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykłady"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dualność"><span id="Dualno.C5.9B.C4.87"></span>Dualność</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Dualność" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Dualność"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Modu%C5%82_dualny" title="Moduł dualny"> Moduł dualny</a>.</i></div> <p>(1) Funkcja </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\mapsto f(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\mapsto f(x_{0})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d208d1c27bb8871797bdc89a46ade5ae99232765" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.47ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\mapsto f(x_{0})}"></span></dd></dl> <p>przekształca <a href="/wiki/Argument_funkcji" title="Argument funkcji">argument</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"></span> na wartość funkcji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> w punkcie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec756993d89cc1bd74f84040c07f5e11f0a8102" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}.}"></span> </p><p>(2) Możliwe jest przyporządkowanie danej funkcji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> całej rodziny funkcji, takiej że poszczególne funkcje zależą od argumentu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b35dd572e629881da4083ad1681bc7cf420304" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.031ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0},}"></span> tj. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,x_{0}\mapsto g(x_{0}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,x_{0}\mapsto g(x_{0}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7709c9af8401154f270a07506cd90a24abf4004" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.267ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f,x_{0}\mapsto g(x_{0}).}"></span></dd></dl> <p>Jeśli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> jest <a href="/wiki/Przekszta%C5%82cenie_liniowe" title="Przekształcenie liniowe">przekształceniem liniowym</a> z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń, to przekształcenie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,x_{0}\mapsto g(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,x_{0}\mapsto g(x_{0})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d44487a22cb5dfd8386c2f4b8f560b7b94e0aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.62ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f,x_{0}\mapsto g(x_{0})}"></span> wyznaczone przez dany argument <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"></span> odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym pomiędzy argumentem a funkcją – funkcję <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"></span> – nazywa się wtedy dualną do funkcji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9687ea22c0f310582e97ee5f6c6a5fca28203d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.925ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,}"></span> a obydwie funkcje są <a href="/wiki/Forma_liniowa" title="Forma liniowa">funkcjonałami liniowymi</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Całka_oznaczona"><span id="Ca.C5.82ka_oznaczona"></span>Całka oznaczona</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Całka oznaczona" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Całka oznaczona"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Ca%C5%82ka_oznaczona" title="Całka oznaczona"> Całka oznaczona</a>.</i></div> <p>Całki postaci </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\mapsto I[f]=\int _{a}^{b}H(f(x),f'(x),\dots )\;{\text{d}}x,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\mapsto I[f]=\int _{a}^{b}H(f(x),f'(x),\dots )\;{\text{d}}x,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a8ab36c528b5db124159324a89cd705296ee2c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:37.664ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle f\mapsto I[f]=\int _{a}^{b}H(f(x),f'(x),\dots )\;{\text{d}}x,}"></span></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"></span> – funkcja o wartościach <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">rzeczywistych</a>,</dd></dl> <p>tworzy pewną klasę funkcjonałów przekształcających funkcję <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> na <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczbę rzeczywistą</a>. </p><p>W szczególności należą do tej klasy: </p> <ul><li>pole pod wykresem nieujemnej funkcji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span></li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\mapsto S(f)=\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\mapsto S(f)=\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc7c4d73e741343f27def916cd13b5eee2c5777" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.699ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle f\mapsto S(f)=\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x,}"></span></dd></dl></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/Norma_(matematyka)" class="mw-disambig" title="Norma (matematyka)">p-ta norma</a> funkcji całkowalnej</li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\mapsto \|f\|_{p}=\left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>f</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\mapsto \|f\|_{p}=\left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba99e7d3feb5538dd007f198fb21c789ed701426" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:33.252ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle f\mapsto \|f\|_{p}=\left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p},}"></span></dd></dl></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/D%C5%82ugo%C5%9B%C4%87_krzywej" title="Długość krzywej">długość krzywej</a> na <a href="/wiki/P%C5%82aszczyzna" title="Płaszczyzna">płaszczyźnie</a></li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\mapsto L(f)=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;\mathrm {d} x.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\mapsto L(f)=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;\mathrm {d} x.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338c0be3c8c238460419a58a8f9c1f6ba49516f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:34.184ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle f\mapsto L(f)=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;\mathrm {d} x.}"></span></dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Iloczyn_skalarny">Iloczyn skalarny</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Iloczyn skalarny" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Iloczyn skalarny"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Iloczyn_skalarny" title="Iloczyn skalarny"> Iloczyn skalarny</a>.</i></div> <p>Dla danego <a href="/wiki/Wektor" title="Wektor">wektora</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}"></span> z przestrzeni wektorowej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ba32eeb405f7f5f2bac1eb12987c47d2fd42df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.627ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X,}"></span> iloczyn skalarny <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}"></span> z wektorem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {y}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {y}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0c914c24b65c8c8b48ddbc6acbc092d5458c4b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.264ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {y}}}"></span> oznaczony <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7ab13a1bbfe6ccdd987185abf31730ba9017e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.273ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}"></span> lub <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bf8c5303180e6994361c24c9a15c1b9fd68694" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.437ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle }"></span> jest skalarem. Dlatego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}"></span> wyznacza funkcjonał: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">↦</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81fe28631826f1e738c71a77d9a62f5a0a8ee20a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.799ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Równanie_funkcyjne"><span id="R.C3.B3wnanie_funkcyjne"></span>Równanie funkcyjne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Równanie funkcyjne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Równanie funkcyjne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_funkcyjne" title="Równanie funkcyjne">Równanie funkcyjne</a>.</i></div> <p>Rozwiązaniami równania funkcyjnego postaci <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F=G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84a3d13f604d4b4dee46ff4c70620257423eab65" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.666ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F=G}"></span> są funkcje, dla których wartości funkcjonałów <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> są równe. Na przykład funkcja jest <a href="/wiki/Funkcja_addytywna_(algebra)" title="Funkcja addytywna (algebra)">addytywna</a>, jeśli spełnia równanie funkcyjne: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\left(x+y\right)=f(x)+f(y).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\left(x+y\right)=f(x)+f(y).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3319c84aa9653db40ee15d59d096046e2a709505" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.047ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\left(x+y\right)=f(x)+f(y).}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Pochodna_funkcjonalna_i_całka_funkcjonalna"><span id="Pochodna_funkcjonalna_i_ca.C5.82ka_funkcjonalna"></span>Pochodna funkcjonalna i całka funkcjonalna</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: Pochodna funkcjonalna i całka funkcjonalna" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Pochodna funkcjonalna i całka funkcjonalna"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/w/index.php?title=Pochodna_funkcjonalna&action=edit&redlink=1" class="new" title="Pochodna funkcjonalna (strona nie istnieje)">Pochodna funkcjonalna</a> niesie informację o zmianie wartości funkcjonału przy niewielkiej zmianie funkcji będącej jego argumentem. Pochodne funkcjonalne używane są w <a href="/wiki/Mechanika_klasyczna" title="Mechanika klasyczna">mechanice klasycznej</a> i <a href="/wiki/Rachunek_wariacyjny" title="Rachunek wariacyjny">rachunku wariacyjnym</a>. </p><p><a href="/wiki/Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Richard Feynman</a> zastosował <a href="/w/index.php?title=Ca%C5%82ka_funkcjonalna&action=edit&redlink=1" class="new" title="Całka funkcjonalna (strona nie istnieje)">całki funkcjonalne</a> w swoim sformułowaniu <a href="/wiki/Mechanika_kwantowa" title="Mechanika kwantowa">mechaniki kwantowej</a>. Zastosowanie to przewiduje całkowanie nad pewną <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_funkcyjna" title="Przestrzeń funkcyjna">przestrzenią funkcyjną</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Forma_a_funkcjonał"><span id="Forma_a_funkcjona.C5.82"></span>Forma a funkcjonał</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&veaction=edit&section=7" title="Edytuj sekcję: Forma a funkcjonał" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=edit&section=7" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Forma a funkcjonał"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>W literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów <i>forma</i> i <i>funkcjonał</i>: </p><p>(<b>1</b>) <a href="/wiki/Boles%C5%82aw_Gleichgewicht" title="Bolesław Gleichgewicht">Gleichgewicht</a><sup id="cite_ref-CITEREFGleichgewicht1983175–177_7-1" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFGleichgewicht1983175–177-7">[6]</a></sup> wyraźnie rozróżnia termin <i>funkcjonał</i> od określenia <i>forma</i>. Ten ostatni termin oznacza w jego książce <i>formułę</i>, <i>wyrażenie formalne</i>. I tak, na przykład, pisze on: </p> <dl><dd><dl><dd>[...] napiszemy wzór (10.1) w postaci <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\alpha _{1}\xi _{1}+\alpha _{2}\xi _{2}+\ldots +\alpha _{n}\xi _{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>ξ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>ξ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>ξ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\alpha _{1}\xi _{1}+\alpha _{2}\xi _{2}+\ldots +\alpha _{n}\xi _{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42cd50e1274a0b128378d64b4e194d89b457bcba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.933ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\alpha _{1}\xi _{1}+\alpha _{2}\xi _{2}+\ldots +\alpha _{n}\xi _{n}}"></span></dd></dl></dd> <dd>zwanej <i>formą liniową</i>, [...]</dd></dl></dd></dl> <p>a potem </p> <dl><dd><dl><dd>(10.4) <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (x,y)=\sum _{i,j=1}^{n}\alpha _{ij}\xi _{i}\eta _{j}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>ξ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>η</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (x,y)=\sum _{i,j=1}^{n}\alpha _{ij}\xi _{i}\eta _{j}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e9a390e7a881add4ef98e1574026381e6da7b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:21.632ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi (x,y)=\sum _{i,j=1}^{n}\alpha _{ij}\xi _{i}\eta _{j}.}"></span></dd> <dd>[...] Prawa strona wyrażenia (10.4) nazywa się <i>formą dwuliniową</i>.</dd></dl></dd></dl> <p>Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,\varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,\varphi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3bfea58ae18ab0461407abbf0208a9cfdc0e47" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.833ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f,\varphi }"></span> powyżej) są konsekwentnie określane jako <i>funkcjonały</i>. </p><p>(<b>2</b>) Lang<sup id="cite_ref-CITEREFLang1973_8-1" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFLang1973-8">[7]</a></sup><span class="problemy problemy-w-odn" aria-hidden="true" data-nosnippet="" data-problemy="ODN: brak numeru strony"> </span> używa określenia <i>funkcjonał</i> na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"></span> (nad ciałem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"></span>) w ciało <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb0e178e42abf16ef4e4c0b0f22aa235ad6e6e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.713ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K.}"></span> Słowo <i>forma</i> jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o <i>formach wieloliniowych</i>, <i>formach kwadratowych</i> itd.). </p> <ul><li>Natomiast Komorowski (1978) używa jedynie określenia <i>forma</i>, pisząc<sup id="cite_ref-CITEREFKomorowski197868_13-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFKomorowski197868-13">[12]</a></sup>:</li></ul> <dl><dd><dl><dd>Elementy przestrzeni <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V^{*}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V^{*}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5910e6a94f4f7ee2ee85ceed9dacef3eff7a6242" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V^{*}}"></span> nazywamy <i>formami liniowymi</i> na <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b8f359760e0256e606ef13df4b6faf0218752bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V;}"></span> często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko <i>formami</i>.</dd></dl></dd></dl> <p>W kolejnym rozdziale Komorowski wprowadza następującą definicję: </p> <dl><dd><dl><dd>Elementy p.w. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(V_{1},\dots ,V_{n};K)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(V_{1},\dots ,V_{n};K)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a557ff0f43b7198f563978c2b753d115014418" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(V_{1},\dots ,V_{n};K)}"></span> nazywamy <i>formami n-liniowymi</i>.</dd></dl></dd></dl> <p>(<b>3</b>) Musielak (1976) pisze<sup id="cite_ref-CITEREFMusielak1976120_14-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFMusielak1976120-14">[13]</a></sup>: </p> <dl><dd><dl><dd>[...] operator liniowy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon X\longrightarrow {\mathbf {K} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">⟶</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">K</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon X\longrightarrow {\mathbf {K} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf8996530fcb32dffc88d77bcb853ce8ae1a28c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.84ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T\colon X\longrightarrow {\mathbf {K} }}"></span> nazywamy <i>funkcjonałem liniowym</i> lub <i>formą liniową</i>.</dd></dl></dd></dl> <p>Jednak w pozostałych częściach tekstu używa on głównie zwrotu <i>funkcjonał liniowy</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zobacz_też"><span id="Zobacz_te.C5.BC"></span>Zobacz też</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&veaction=edit&section=8" title="Edytuj sekcję: Zobacz też" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=edit&section=8" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Teoria_dystrybucji" title="Teoria dystrybucji">dystrybucja</a></li> <li><a href="/wiki/Forma_liniowa" title="Forma liniowa">forma liniowa</a></li> <li><a href="/wiki/Forma_p%C3%B3%C5%82toraliniowa" title="Forma półtoraliniowa">forma półtoraliniowa</a></li> <li><a href="/wiki/Forma_dwuliniowa" title="Forma dwuliniowa">forma dwuliniowa</a></li> <li><a href="/wiki/Forma_kwadratowa" title="Forma kwadratowa">forma kwadratowa</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Uwagi">Uwagi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&veaction=edit&section=9" title="Edytuj sekcję: Uwagi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=edit&section=9" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Uwagi"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection refsection-uwagi ll-script ll-script-uwagi"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Argument_funkcji" title="Argument funkcji">Argumentem</a> tak rozumianego funkcjonału jest funkcja, dlatego czasem funkcjonały nazywa się <i>funkcjami funkcji</i>. Analogicznym pojęciem w <a href="/wiki/Informatyka" title="Informatyka">informatyce</a> jest <a href="/wiki/Funkcja_wy%C5%BCszego_rz%C4%99du" title="Funkcja wyższego rzędu">funkcja wyższego rzędu</a>.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&veaction=edit&section=10" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=edit&section=10" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-CITEREFMoszner197483-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-CITEREFMoszner197483_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFMoszner1974">Moszner 1974 ↓</a></span>, s. 83.</span> </li> <li id="cite_note-CITEREFŻakowska197289-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-CITEREFŻakowska197289_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFŻakowska1972">Żakowska 1972 ↓</a></span>, s. 89.</span> </li> <li id="cite_note-epwn-4"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-epwn_4-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-epwn_4-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3903297"><i>funkcjonał</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2023-12-22]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=funkcjona%C5%82&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3903297" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Functional">Functional</a></i> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-22].</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">Hasło <i>funkcjonał</i> [w:] <a href="/wiki/Encyklopedia_popularna_PWN" title="Encyklopedia popularna PWN">Encyklopedia popularna PWN</a>, <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Państwowe Wydawnictwo Naukowe</a>, Warszawa 1982, <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/8301017503" title="Specjalna:Książki/8301017503">ISBN <span class="isbn">83-01-01750-3</span></a>, s. 223.</span> </li> <li id="cite_note-CITEREFGleichgewicht1983175–177-7"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-CITEREFGleichgewicht1983175–177_7-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-CITEREFGleichgewicht1983175–177_7-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFGleichgewicht1983">Gleichgewicht 1983 ↓</a></span>, s. 175–177.</span> </li> <li id="cite_note-CITEREFLang1973-8"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-CITEREFLang1973_8-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-CITEREFLang1973_8-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFLang1973">Lang 1973 ↓</a></span>.</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation open-access"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Todd</span><span class="cite-name-initials" title="Todd" style="display:none">T.</span> </span><span class="cite-lastname">Rowland</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Todd</span><span class="cite-name-initials" title="Todd">T.</span></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/Functional.html"><i>Functional</i></a>, [w:] <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>, <a href="/wiki/Wolfram_Research" title="Wolfram Research">Wolfram Research</a><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=bookitem&rft.aufirst=Todd&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=%5B%5BMathWorld%5D%5D&rft.atitle=Functional&rft.aulast=Rowland&rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FFunctional.html" style="display:none"> </span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite> [dostęp 2023-12-23].</span> </li> <li id="cite_note-CITEREFKrysickiWłodarski200644-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-CITEREFKrysickiWłodarski200644_10-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFKrysickiWłodarski2006">Krysicki i Włodarski 2006 ↓</a></span>, s. 44.</span> </li> <li id="cite_note-CITEREFPierzchalski1995334-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-CITEREFPierzchalski1995334_11-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFPierzchalski1995">Pierzchalski 1995 ↓</a></span>, s. 334.</span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3901925"><i>forma</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2023-12-22]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=forma&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3901925" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-CITEREFKomorowski197868-13"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-CITEREFKomorowski197868_13-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFKomorowski1978">Komorowski 1978 ↓</a></span>, s. 68.</span> </li> <li id="cite_note-CITEREFMusielak1976120-14"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-CITEREFMusielak1976120_14-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFMusielak1976">Musielak 1976 ↓</a></span>, s. 120.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&veaction=edit&section=11" title="Edytuj sekcję: Bibliografia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=edit&section=11" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Bibliografia"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation book" id="CITEREFGleichgewicht1983"><a href="/wiki/Boles%C5%82aw_Gleichgewicht" title="Bolesław Gleichgewicht">Bolesław Gleichgewicht</a>: <i>Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych</i>. Wyd. III. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Państwowe Wydawnictwo Naukowe</a>, 1983. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/8301039035" title="Specjalna:Książki/8301039035">ISBN <span class="isbn">83-01-03903-5</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebra.+Podr%C4%99cznik+dla+kierunk%C3%B3w+nauczycielskich+studi%C3%B3w+matematycznych&rft.aulast=Gleichgewicht&rft.aufirst=Boles%C5%82aw&rft.date=1983&rft.edition=III&rft.pub=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%7CPa%C5%84stwowe+Wydawnictwo+Naukowe%5D%5D&rft.place=Warszawa&rft.isbn=83-01-03903-5"></span></cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFKomorowski1978">Jacek Komorowski: <i>Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk</i>. Warszawa: PWN, 1978.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Od+liczb+zespolonych+do+tensor%C3%B3w%2C+spinor%C3%B3w%2C+algebr+Liego+i+kwadryk&rft.aulast=Komorowski&rft.aufirst=Jacek&rft.date=1978&rft.pub=PWN&rft.place=Warszawa"></span></cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFKrysickiWłodarski2006"><a href="/wiki/W%C5%82odzimierz_Krysicki" title="Włodzimierz Krysicki">Włodzimierz Krysicki</a>, <a href="/wiki/Lech_W%C5%82odarski" title="Lech Włodarski">Lech Włodarski</a>: <i>Analiza matematyczna w zadaniach</i>. T. 2. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a>, 2006. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/9788301142964" title="Specjalna:Książki/9788301142964">ISBN <span class="isbn">978-83-01-14296-4</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Analiza+matematyczna+w+zadaniach&rft.aulast=Krysicki&rft.aufirst=W%C5%82odzimierz&rft.date=2006&rft.pub=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft.place=Warszawa&rft.isbn=978-83-01-14296-4"></span></cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFLang1973"><a href="/wiki/Serge_Lang" title="Serge Lang">Serge Lang</a>: <i>Algebra</i>. Ryszard Bittner (tłum.). Warszawa: PWN, 1973.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebra&rft.aulast=Lang&rft.aufirst=Serge&rft.date=1973&rft.pub=PWN&rft.place=Warszawa"></span></cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFMoszner1974"><a href="/wiki/Zenon_Moszner" title="Zenon Moszner">Zenon Moszner</a>: <i>O teorii relacji</i>. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwa_Szkolne_i_Pedagogiczne" title="Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne">Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne</a>, 1974.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=O+teorii+relacji&rft.aulast=Moszner&rft.aufirst=Zenon&rft.date=1974&rft.pub=%5B%5BWydawnictwa+Szkolne+i+Pedagogiczne%5D%5D&rft.place=Warszawa"></span></cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFMusielak1976"><a href="/wiki/Julian_Musielak" title="Julian Musielak">Julian Musielak</a>: <i>Wstęp do analizy funkcjonalnej</i>. Warszawa: PWN, 1976.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Wst%C4%99p+do+analizy+funkcjonalnej&rft.aulast=Musielak&rft.aufirst=Julian&rft.date=1976&rft.pub=PWN&rft.place=Warszawa"></span></cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFPierzchalski1995">Antoni Pierzchalski: Rachunek wariacyjny. W: <i>Leksykon matematyczny</i>. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwo_%E2%80%9EWiedza_Powszechna%E2%80%9D" title="Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”">Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”</a>, 1995. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/8321407838" title="Specjalna:Książki/8321407838">ISBN <span class="isbn">83-214-0783-8</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Leksykon+matematyczny&rft.atitle=Rachunek+wariacyjny&rft.aulast=Pierzchalski&rft.aufirst=Antoni&rft.date=1995&rft.pub=%5B%5BWydawnictwo+%E2%80%9EWiedza+Powszechna%E2%80%9D%5D%5D&rft.place=Warszawa&rft.isbn=83-214-0783-8"></span></cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFŻakowska1972">Anna Żakowska: <i>funkcjonał</i> [w:] <i>Mały słownik matematyczny</i>. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwo_%E2%80%9EWiedza_Powszechna%E2%80%9D" title="Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”">Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”</a>, 1972.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=funkcjona%C5%82%27%27+%5Bw%3A%5D+%27%27Ma%C5%82y+s%C5%82ownik+matematyczny&rft.aulast=%C5%BBakowska&rft.aufirst=Anna&rft.date=1972&rft.pub=%5B%5BWydawnictwo+%E2%80%9EWiedza+Powszechna%E2%80%9D%5D%5D&rft.place=Warszawa"></span></cite></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatura_dodatkowa">Literatura dodatkowa</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&veaction=edit&section=12" title="Edytuj sekcję: Literatura dodatkowa" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&action=edit&section=12" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Literatura dodatkowa"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation book">III. Modules, § 6. The dual space and dual module. W: Serge Lang: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/undergraduatealg00lang_724">Algebra</a></i>. Nowy York: <a href="/w/index.php?title=Springer-Verlag&action=edit&redlink=1" class="new" title="Springer-Verlag (strona nie istnieje)">Springer-Verlag</a>, 2005, s. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/undergraduatealg00lang_724/page/n152">142</a>–146.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebra&rft.atitle=III.+Modules%2C+%C2%A7+6.+The+dual+space+and+dual+module&rft.aulast=Lang&rft.aufirst=Serge&rft.pub=%5B%5BSpringer-Verlag%5D%5D&rft.place=Nowy+York&rft.pages=%5Bhttps%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fundergraduatealg00lang_724%2Fpage%2Fn152+142%5D%E2%80%93146&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fundergraduatealg00lang_724"></span></cite></li></ul> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74983602">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy .before,.mw-parser-output .navbox.pionowy .after{padding:0.5em 0;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.caption,.mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background:#ccf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox .tnavbar{font-weight:normal;font-size:xx-small;white-space:nowrap;padding:0}.mw-parser-output .navbox>.tnavbar{margin-left:1em;float:left}.mw-parser-output .navbox .below>hr+.tnavbar{margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox .below>.tnavbar:before{content:"Ten szablon: "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:after{content:" · "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .navbox hr{margin:0.2em 1em}.mw-parser-output .navbox .title{background:#ddf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content:not(.grupa-szablonów-nawigacyjnych){margin-top:2px;padding:0;font-size:smaller;overflow:auto}.mw-parser-output .navbox .above+div,.mw-parser-output .navbox .above+.navbox-main-content,.mw-parser-output .navbox .below,.mw-parser-output .navbox .title+.grid{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below{background:#ddf;text-align:center;margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .navbox .flex>.before,.mw-parser-output .navbox .flex>.after{align-self:center;text-align:center}.mw-parser-output .navbox .flex>.navbox-main-content{flex-grow:1}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .before{margin-right:0.5em}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .after{margin-left:0.5em}.mw-parser-output .navbox .inner-columns,.mw-parser-output .navbox .inner-group,.mw-parser-output .navbox .inner-standard{border-spacing:0;border-collapse:collapse;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis{text-align:right;vertical-align:middle}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis+.spis{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td{padding:0;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td:first-child{text-align:center}.mw-parser-output .navbox .inner-standard .inner-standard>tbody>tr>td{text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-odd,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-even{padding:0 0.3em}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>th+td{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns{table-layout:fixed}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{padding:0;border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);border-right:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{vertical-align:top}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:first-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:first-child{border-left:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:last-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:last-child{border-right:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ul,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ol,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>dl{text-align:left;column-width:24em}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+table{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.opis,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.spis{padding:0.1em 1em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-toggle,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.mw-collapsible-toggle{width:4em;text-align:right;margin-right:0.4em}.mw-parser-output .navbox>.fakebar,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.fakebar{float:left;width:4em;height:1em}.mw-parser-output .navbox .opis{background:#ddf;padding:0 1em;white-space:nowrap;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox.pionowy .opis{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-even,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-odd{background:transparent}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-odd,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-even{background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div{background:transparent}.mw-parser-output .navbox p{margin:0;padding:0.3em 0}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:gold}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:silver}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#c96}.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ul,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>dl,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ol{column-width:24em;text-align:left}.mw-parser-output .navbox ul{list-style:none}.mw-parser-output .navbox .references{background:transparent}.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dd,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dt,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist li{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox .rok{display:inline-block;width:4em;padding-right:0.5em;text-align:right}.mw-parser-output .navbox .navbox-statistics{margin-top:2px;border-top:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);text-align:center;font-size:small}.mw-parser-output .navbox-summary>.title{font-weight:bold;font-size:larger}.mw-parser-output .navbox:not(.grupa-szablonów) .navbox{margin:0;border:0;padding:0}.mw-parser-output .navbox.grupa-szablonów>.grupa-szablonów-nawigacyjnych>.navbox:first-child{margin-top:2px}@media(max-width:800px){.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.before,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.after{display:none}}.mw-parser-output .navbox .opis img,.mw-parser-output .navbox .opis .flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.image{display:none}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}</style><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Algebra_liniowa" title="Szablon:Algebra liniowa"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Algebra_liniowa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Algebra liniowa (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Algebra_liniowa&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Algebra_liniowa" title="Algebra liniowa">Algebra liniowa</a></div><div class="mw-collapsible-content"><div class="hlist navbox-above above"> <ul><li><a href="/wiki/Wektor" title="Wektor">Wektor</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa">Przestrzeń liniowa</a></li> <li><a href="/wiki/Macierz" title="Macierz">Macierz</a></li></ul> </div><div class="flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">Wektory i działania<br />na nich</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Zwrot_wektora" title="Zwrot wektora">zwrot wektora</a></li> <li><a href="/wiki/Wektor_jednostkowy" title="Wektor jednostkowy">wektor jednostkowy</a></li> <li><a href="/wiki/Mno%C5%BCenie_przez_skalar" title="Mnożenie przez skalar">mnożenie przez skalar</a></li> <li><a href="/wiki/Iloczyn_wektorowy" title="Iloczyn wektorowy">iloczyn wektorowy</a></li> <li><a href="/wiki/Regu%C5%82a_%C5%9Bruby_prawoskr%C4%99tnej" title="Reguła śruby prawoskrętnej">reguła śruby prawoskrętnej</a></li> <li><a href="/wiki/Regu%C5%82a_prawej_d%C5%82oni" title="Reguła prawej dłoni">reguła prawej dłoni</a></li> <li><a href="/wiki/Symbol_Leviego-Civity" title="Symbol Leviego-Civity">symbol Leviego-Civity</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row">Układy wektorów<br />i ich macierze</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Liniowa_niezale%C5%BCno%C5%9B%C4%87" title="Liniowa niezależność">liniowa niezależność</a></li> <li><a href="/wiki/Macierz_zerowa" title="Macierz zerowa">macierz zerowa</a></li> <li><a href="/wiki/Macierz_jednostkowa" title="Macierz jednostkowa">macierz jednostkowa</a></li> <li><a href="/wiki/Macierz_skalarna" title="Macierz skalarna">macierz skalarna</a></li> <li><a href="/wiki/Macierz_diagonalna" title="Macierz diagonalna">macierz diagonalna</a></li> <li><a href="/wiki/Macierz_tr%C3%B3jk%C4%85tna" title="Macierz trójkątna">macierz trójkątna</a></li> <li><a href="/wiki/Macierz_schodkowa" title="Macierz schodkowa">macierz schodkowa</a></li> <li><a href="/wiki/Rz%C4%85d_macierzy" title="Rząd macierzy">rząd macierzy</a></li> <li><a href="/wiki/Operacje_elementarne" title="Operacje elementarne">operacje elementarne</a></li> <li><a href="/wiki/Macierze_podobne" title="Macierze podobne">macierze podobne</a></li> <li><a href="/wiki/Metoda_eliminacji_Gaussa" title="Metoda eliminacji Gaussa">metoda eliminacji Gaussa</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Kroneckera-Capellego" title="Twierdzenie Kroneckera-Capellego">twierdzenie Kroneckera-Capellego</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row">Wyznaczniki i miara<br />układu wektorów</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Wyznacznik" title="Wyznacznik">wyznacznik</a></li> <li><a href="/wiki/Permutacja" title="Permutacja">permutacja</a></li> <li><a href="/wiki/Minor" title="Minor">minor</a></li> <li><a href="/wiki/Rozwini%C4%99cie_Laplace%E2%80%99a" title="Rozwinięcie Laplace’a">rozwinięcie Laplace’a</a></li> <li><a href="/wiki/Wzory_Cramera" title="Wzory Cramera">wzory Cramera</a></li> <li><a href="/wiki/Regu%C5%82a_Sarrusa" title="Reguła Sarrusa">reguła Sarrusa</a></li> <li><a href="/wiki/Iloczyn_mieszany" title="Iloczyn mieszany">iloczyn mieszany</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row">Przestrzenie liniowe</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa" title="Przestrzeń euklidesowa">przestrzeń euklidesowa</a></li> <li><a href="/wiki/Przyk%C5%82ady_przestrzeni_liniowych" title="Przykłady przestrzeni liniowych">przykłady przestrzeni liniowych</a></li> <li><a href="/wiki/Podprzestrze%C5%84_liniowa" title="Podprzestrzeń liniowa">podprzestrzeń liniowa</a></li> <li><a href="/wiki/Baza_(przestrze%C5%84_liniowa)" title="Baza (przestrzeń liniowa)">baza</a></li> <li><a href="/wiki/Baza_standardowa" title="Baza standardowa">baza standardowa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row">Iloczyny skalarne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Iloczyn_skalarny" title="Iloczyn skalarny">iloczyn skalarny</a></li> <li><a href="/wiki/Symbol_Kroneckera" title="Symbol Kroneckera">symbol Kroneckera</a></li> <li><a href="/wiki/Ortogonalno%C5%9B%C4%87" title="Ortogonalność">ortogonalność</a></li> <li><a href="/wiki/Ortonormalno%C5%9B%C4%87" title="Ortonormalność">ortonormalność</a></li> <li><a href="/wiki/Baza_ortonormalna" title="Baza ortonormalna">baza ortonormalna</a></li> <li><a href="/wiki/Ortogonalizacja_Grama-Schmidta" title="Ortogonalizacja Grama-Schmidta">ortogonalizacja Grama-Schmidta</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row">Pojęcia zaawansowane</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Tensor" title="Tensor">tensor</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_bezw%C5%82adno%C5%9Bci_form_kwadratowych" title="Twierdzenie o bezwładności form kwadratowych">twierdzenie o bezwładności form kwadratowych</a></li></ul> </td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row">Pozostałe pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Sto%C5%BCek_wypuk%C5%82y" title="Stożek wypukły">stożek wypukły</a></li> <li><a href="/wiki/Pseudoskalar" title="Pseudoskalar">pseudoskalar</a></li> <li><a href="/wiki/Pseudowektor" title="Pseudowektor">pseudowektor</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_ilorazowa_(algebra_liniowa)" title="Przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)">przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_afiniczna" title="Przestrzeń afiniczna">przestrzeń afiniczna</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row">Powiązane dyscypliny</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Algebra_abstrakcyjna" title="Algebra abstrakcyjna">algebra abstrakcyjna</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_grup" title="Teoria grup">teoria grup</a></li> <li><a href="/wiki/Analiza_funkcjonalna" title="Analiza funkcjonalna">analiza funkcjonalna</a></li> <li><a href="/wiki/Analiza_numeryczna" title="Analiza numeryczna">analiza numeryczna</a></li> <li><a href="/wiki/Programowanie_liniowe" title="Programowanie liniowe">programowanie liniowe</a></li> <li><a href="/wiki/Mechanika_kwantowa" title="Mechanika kwantowa">mechanika kwantowa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row">Znani uczeni</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Girolamo_Cardano" title="Girolamo Cardano">Girolamo Cardano</a></li> <li><a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a></li> <li><a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Gottfried Wilhelm Leibniz</a></li> <li><a href="/wiki/Gabriel_Cramer" title="Gabriel Cramer">Gabriel Cramer</a></li> <li><a href="/wiki/Augustin_Louis_Cauchy" title="Augustin Louis Cauchy">Augustin Louis Cauchy</a></li> <li><a href="/wiki/Arthur_Cayley" title="Arthur Cayley">Arthur Cayley</a></li> <li><a href="/wiki/James_Joseph_Sylvester" title="James Joseph Sylvester">James Joseph Sylvester</a></li> <li><a href="/wiki/Hermann_Grassmann" title="Hermann Grassmann">Hermann Grassmann</a></li> <li><a href="/wiki/Leopold_Kronecker" title="Leopold Kronecker">Leopold Kronecker</a></li> <li><a href="/wiki/Hermann_Weyl" title="Hermann Weyl">Hermann Weyl</a></li> <li><a href="/wiki/Saunders_Mac_Lane" title="Saunders Mac Lane">Saunders Mac Lane</a></li></ul> </td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Vector_space_illust.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Vector_space_illust.svg/120px-Vector_space_illust.svg.png" decoding="async" width="120" height="147" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Vector_space_illust.svg/180px-Vector_space_illust.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Vector_space_illust.svg/240px-Vector_space_illust.svg.png 2x" data-file-width="454" data-file-height="555" /></a></span> </p> </div></div></div></div> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r74983602"><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Funkcje_matematyczne" title="Szablon:Funkcje matematyczne"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Funkcje_matematyczne&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Funkcje matematyczne (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Funkcje_matematyczne&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">Funkcje matematyczne</a></div><div class="mw-collapsible-content flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">pojęcia podstawowe</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Argument_funkcji" title="Argument funkcji">argument</a></li> <li><a href="/wiki/Argumentowo%C5%9B%C4%87" title="Argumentowość">argumentowość</a></li> <li><a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzina</a></li> <li><a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzina naturalna</a></li> <li><a href="/wiki/Przeciwdziedzina" title="Przeciwdziedzina">przeciwdziedzina</a></li> <li><a href="/wiki/Zaw%C4%99%C5%BCenie_funkcji" title="Zawężenie funkcji">zawężenie, in. obcięcie</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Obraz_(matematyka)" title="Obraz (matematyka)">obraz</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Obraz_(matematyka)" title="Obraz (matematyka)">zbiór wartości</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Przeciwobraz" title="Przeciwobraz">przeciwobraz</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Poziomica_(matematyka)" title="Poziomica (matematyka)">poziomice, in. warstwice</a></li> <li><a href="/wiki/Miejsce_zerowe" title="Miejsce zerowe">miejsca zerowe</a></li> <li><a href="/wiki/J%C4%85dro_(teoria_mnogo%C5%9Bci)" title="Jądro (teoria mnogości)">jądro funkcji</a></li> <li><a href="/wiki/Ma%C5%82y_obraz" title="Mały obraz">mały obraz</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row">typy (rodzaje)</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a4_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">ogólne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCnowarto%C5%9Bciowa" title="Funkcja różnowartościowa">różnowartościowe – iniekcje</a></li> <li><a href="/wiki/Surjekcja" title="Surjekcja">„na” – suriekcje</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_wzajemnie_jednoznaczna" title="Funkcja wzajemnie jednoznaczna">wzajemnie jednoznaczne – bijekcje</a>, <a href="/wiki/Funkcja_odwrotna" title="Funkcja odwrotna">funkcje odwracalne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Ci%C4%85g_(matematyka)" title="Ciąg (matematyka)">ciągi</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana" title="Para uporządkowana">krotki</a> <ul><li><a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana" title="Para uporządkowana">pary uporządkowane</a></li> <li><a href="/wiki/Tr%C3%B3jka_uporz%C4%85dkowana" title="Trójka uporządkowana">trójki uporządkowane</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne <a href="/wiki/Funkcja_jednej_zmiennej" title="Funkcja jednej zmiennej">funkcje jednej zmiennej</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_pusta" title="Funkcja pusta">funkcja pusta</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_schodkowa" title="Funkcja schodkowa">funkcje schodkowe</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Funkcja_wielu_zmiennych" title="Funkcja wielu zmiennych">funkcje wielu zmiennych</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_symetryczna" title="Funkcja symetryczna">funkcje symetryczne</a> <ul><li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna" title="Przestrzeń metryczna">metryki</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Macierz" title="Macierz">macierze</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_5"><th class="navbox-group opis" scope="row">funkcje zdefiniowane<br />samą przeciwdziedziną</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_kardynalna" title="Funkcja kardynalna">kardynalne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_rzeczywista" title="Funkcja rzeczywista">rzeczywiste</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_wektorowa" title="Funkcja wektorowa">wektorowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_zespolona" title="Funkcja zespolona">zespolone</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_6"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działania algebraiczne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_zeroargumentowe" title="Działanie zeroargumentowe">zeroargumentowe</a></li> <li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_jednoargumentowe" title="Działanie jednoargumentowe">jednoargumentowe</a></li> <li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">dwuargumentowe</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_7"><th class="navbox-group opis" scope="row">odmiany działań<br />jednoargumentowych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_to%C5%BCsamo%C5%9Bciowa" title="Funkcja tożsamościowa">funkcje tożsamościowe</a></li> <li><a href="/wiki/Permutacja" title="Permutacja">permutacje</a> <ul><li><a href="/wiki/Transpozycja_(matematyka)" title="Transpozycja (matematyka)">transpozycje</a></li> <li><a href="/wiki/Nieporz%C4%85dek" title="Nieporządek">nieporządki</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_8"><th class="navbox-group opis" scope="row">funkcje zdefiniowane<br />zbiorem wartości</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_prosta" title="Funkcja prosta">funkcje proste</a> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_sta%C5%82a" title="Funkcja stała">funkcje stałe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_charakterystyczna_zbioru" title="Funkcja charakterystyczna zbioru">funkcje charakterystyczne</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_9"><th class="navbox-group opis" scope="row">zdefiniowane <a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9Bciowy_porz%C4%85dek" title="Częściowy porządek">porządkiem</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_ograniczona" title="Funkcja ograniczona">ograniczone</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">monotoniczne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_10"><th class="navbox-group opis" scope="row">zdefiniowane <a href="/wiki/Algebra" title="Algebra">algebraicznie</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_okresowa" title="Funkcja okresowa">okresowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_parzyste_i_nieparzyste" title="Funkcje parzyste i nieparzyste">parzyste i nieparzyste</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_11"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne funkcje</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_boolowska" title="Funkcja boolowska">boolowskie</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_elementarne" title="Funkcje elementarne">elementarne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja#Funkcje_liczbowe" title="Funkcja">liczbowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_specjalne" title="Funkcje specjalne">specjalne</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">funkcjonały</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row">pojęcia określone<br />głównie dla działań<br />jednoargumentowych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Punkt_sta%C5%82y" title="Punkt stały">punkt stały</a></li> <li><a href="/wiki/Punkt_okresowy" title="Punkt okresowy">punkt okresowy</a></li> <li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_niezmienniczy" title="Zbiór niezmienniczy">zbiór niezmienniczy</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">złożenie funkcji</a><br />(superpozycja)</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a6_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">przypadek działań<br />jednoargumentowych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Iteracja_funkcji" title="Iteracja funkcji">iteracja</a> <ul><li><a href="/wiki/Idempotentno%C5%9B%C4%87" title="Idempotentność">idempotentność</a></li> <li><a href="/wiki/Inwolucja_(matematyka)" title="Inwolucja (matematyka)">inwolucja</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82grupa_transformacji" title="Półgrupa transformacji">półgrupa transformacji</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_bijekcji" title="Grupa bijekcji">grupa bijekcji</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupa permutacji</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a6_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne przypadki</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_odwrotna" title="Funkcja odwrotna">funkcja odwrotna</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Struktura_matematyczna" title="Struktura matematyczna">struktury</a><br />definiowane funkcjami</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Algebra_og%C3%B3lna" title="Algebra ogólna">algebry ogólne (struktury algebraiczne)</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_funkcyjna" title="Przestrzeń funkcyjna">przestrzenie funkcyjne</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna" title="Przestrzeń metryczna">przestrzenie metryczne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne powiązane<br />pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Moc_zbioru" title="Moc zbioru">moc zbioru</a></li> <li><a href="/wiki/Przebieg_zmienno%C5%9Bci_funkcji" title="Przebieg zmienności funkcji">przebieg zmienności funkcji</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_funkcyjne" title="Równanie funkcyjne">równania funkcyjne</a></li> <li><a href="/wiki/Symbol_funkcyjny" title="Symbol funkcyjny">symbole funkcyjne</a></li> <li><a href="/wiki/Wykres_funkcji" title="Wykres funkcji">wykres funkcji</a></li></ul> </td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie">twierdzenia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Cantora-Bernsteina-Schr%C3%B6dera" title="Twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera">Cantora-Bernsteina-Schrödera</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_faktoryzacji" title="Twierdzenie o faktoryzacji">o faktoryzacji</a></li> <li><a href="/wiki/Zasada_szufladkowa_Dirichleta" title="Zasada szufladkowa Dirichleta">zasada szufladkowa Dirichleta</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Uog%C3%B3lnienie" title="Uogólnienie">uogólnienia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_cz%C4%99%C5%9Bciowa" title="Funkcja częściowa">funkcje częściowe</a></li> <li><a href="/wiki/Multifunkcja" title="Multifunkcja">multifunkcje</a></li> <li><a href="/wiki/Relacja_dwuargumentowa" title="Relacja dwuargumentowa">relacje binarne</a></li> <li><a href="/wiki/Kategoria_(matematyka)" title="Kategoria (matematyka)">morfizmy (strzałki)</a></li></ul> </td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Commutative_diagram_for_morphism.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/100px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png" decoding="async" width="100" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/150px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/200px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png 2x" data-file-width="100" data-file-height="100" /></a></span> </p> </div></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74016753">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-fehlt"><div><a href="/wiki/Kontrola_autorytatywna" title="Kontrola autorytatywna">Kontrola autorytatywna</a> (<span class="description"><a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">funkcja</a></span>):</div><ul><li><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://lccn.loc.gov/sh85052326">sh85052326</a></span></li><li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4155667-7">4155667-7</a></span></li><li><a href="/wiki/Centralna_Biblioteka_Narodowa_we_Florencji" title="Centralna Biblioteka Narodowa we Florencji">BNCF</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=12463">12463</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Republiki_Czeskiej" title="Biblioteka Narodowa Republiki Czeskiej">NKC</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://aut.nkp.cz/ph114596">ph114596</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Izraela" title="Biblioteka Narodowa Izraela">J9U</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007553161005171">987007553161005171</a></span></li></ul></div><div class="normdaten-andere"><div><a href="/wiki/Encyklopedia_internetowa" title="Encyklopedia internetowa">Encyklopedie internetowe</a>:</div> <ul><li><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">PWN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3903297.html">3903297</a></span></li></ul> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcjonał&oldid=73129508">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcjonał&oldid=73129508</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategorie</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Typy_funkcji_matematycznych" title="Kategoria:Typy funkcji matematycznych">Typy funkcji matematycznych</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Formy_na_przestrzeniach_liniowych" title="Kategoria:Formy na przestrzeniach liniowych">Formy na przestrzeniach liniowych</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Analiza_funkcjonalna" title="Kategoria:Analiza funkcjonalna">Analiza funkcjonalna</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Ukryta kategoria: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Szablon_odn_bez_numeru_strony" title="Kategoria:Szablon odn bez numeru strony">Szablon odn bez numeru strony</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Tę stronę ostatnio edytowano 15 mar 2024, 11:28.</li> <li id="footer-info-copyright">Tekst udostępniany na licencji <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl">Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach</a>, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/pl">warunkach korzystania</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Polityka prywatności</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii">O Wikipedii</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Korzystasz_z_Wikipedii_tylko_na_w%C5%82asn%C4%85_odpowiedzialno%C5%9B%C4%87">Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Powszechne Zasady Postępowania</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Dla deweloperów</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pl.wikipedia.org">Statystyki</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Oświadczenie o ciasteczkach</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcjona%C5%82&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Wersja mobilna</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-9459596f5-m52n2","wgBackendResponseTime":210,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.497","walltime":"0.697","ppvisitednodes":{"value":8307,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":68530,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":6528,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":11,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":8,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":30276,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":2,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 498.306 1 -total"," 31.55% 157.214 4 Szablon:Szablon_nawigacyjny"," 28.57% 142.359 1 Szablon:Algebra_liniowa"," 17.76% 88.511 9 Szablon:Cytuj_książkę"," 16.95% 84.456 1 Szablon:Przypisy"," 12.40% 61.812 1 Szablon:Kontrola_autorytatywna"," 10.92% 54.438 10 Szablon:Odn"," 7.01% 34.920 4 Szablon:Osobny_artykuł"," 6.36% 31.711 4 Szablon:Dmbox"," 5.93% 29.536 2 Szablon:Encyklopedia_PWN"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.235","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":3670767,"limit":52428800},"limitreport-logs":"required = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\nrequired = table#1 {\n}\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-75c465f4c6-jqzr7","timestamp":"20241125130340","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Funkcjona\u0142","url":"https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Funkcjona%C5%82","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q579600","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q579600","author":{"@type":"Organization","name":"Wsp\u00f3\u0142tw\u00f3rcy projekt\u00f3w Fundacji Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2005-02-25T00:44:08Z","headline":"wsp\u00f3lna nazwa kilku typ\u00f3w funkcji matematycznych"}</script> </body> </html>