CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="pl" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Funkcja okresowa – Wikipedia, wolna encyklopedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )plwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","styczeń","luty","marzec","kwiecień","maj","czerwiec","lipiec","sierpień","wrzesień","październik","listopad","grudzień"],"wgRequestId":"502bf44b-9ddf-4ef2-b417-91f58b447c38","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Funkcja_okresowa","wgTitle":"Funkcja okresowa","wgCurRevisionId":72658732,"wgRevisionId":72658732,"wgArticleId":10413,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Artykuły z brakującymi przypisami od 2022-03","Typy funkcji matematycznych"],"wgPageViewLanguage":"pl","wgPageContentLanguage":"pl","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Funkcja_okresowa","wgRelevantArticleId":10413,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{ "tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":72658732,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"pl","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"pl"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":8000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q184743","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.wikiflex":"ready", "ext.gadget.infobox":"ready","ext.gadget.hlist":"ready","ext.gadget.darkmode-overrides":"ready","ext.gadget.small-references":"ready","ext.gadget.citation-access-info":"ready","ext.gadget.sprawdz-problemy-szablony":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","ext.scribunto.logs","site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc","skins.vector.js", "ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.ll-script-loader","ext.gadget.veKeepParameters","ext.gadget.szablon-galeria","ext.gadget.NavFrame","ext.gadget.citoid-overrides","ext.gadget.maps","ext.gadget.padlock-indicators","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.gadget.edit-summaries","ext.gadget.edit-first-section","ext.gadget.wikibugs","ext.gadget.map-toggler","ext.gadget.narrowFootnoteColumns","ext.gadget.WDsearch","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=pl&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.gadget.citation-access-info%2Cdarkmode-overrides%2Chlist%2Cinfobox%2Csmall-references%2Csprawdz-problemy-szablony%2Cwikiflex&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Funkcja okresowa – Wikipedia, wolna encyklopedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//pl.m.wikipedia.org/wiki/Funkcja_okresowa"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Edytuj" href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (pl)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//pl.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_okresowa"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Kanał Atom Wikipedii" href="/w/index.php?title=Specjalna:Ostatnie_zmiany&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Funkcja_okresowa rootpage-Funkcja_okresowa skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Przejdź do zawartości</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menu główne" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menu główne</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menu główne</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Nawigacja </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" title="Przejdź na stronę główną [z]" accesskey="z"><span>Strona główna</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Losowa_strona" title="Załaduj losową stronę [x]" accesskey="x"><span>Losuj artykuł</span></a></li><li id="n-Kategorie" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Kategorie_G%C5%82%C3%B3wne"><span>Kategorie artykułów</span></a></li><li id="n-Featured-articles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Wyr%C3%B3%C5%BCniona_zawarto%C5%9B%C4%87_Wikipedii"><span>Najlepsze artykuły</span></a></li><li id="n-FAQ" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:FAQ"><span>Częste pytania (FAQ)</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-zmiany" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-zmiany" > <div class="vector-menu-heading"> Dla czytelników </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-czytelnicy" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii"><span>O Wikipedii</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kontakt_z_wikipedystami"><span>Kontakt</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-edytorzy" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-edytorzy" > <div class="vector-menu-heading"> Dla wikipedystów </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-pierwsze-kroki" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki"><span>Pierwsze kroki</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Portal_wikipedyst%C3%B3w" title="O projekcie – co możesz zrobić, gdzie możesz znaleźć informacje"><span>Portal wikipedystów</span></a></li><li id="n-Noticeboard" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tablica_og%C5%82osze%C5%84"><span>Ogłoszenia</span></a></li><li id="n-Guidelines" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Zasady"><span>Zasady</span></a></li><li id="n-helppage-name" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Spis_tre%C5%9Bci"><span>Pomoc</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Ostatnie_zmiany" title="Lista ostatnich zmian w Wikipedii. [r]" accesskey="r"><span>Ostatnie zmiany</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="wolna encyklopedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-pl.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Specjalna:Szukaj" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Szukaj</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Przeszukaj Wikipedię" aria-label="Przeszukaj Wikipedię" autocapitalize="sentences" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Specjalna:Szukaj"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Szukaj</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Narzędzia osobiste"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Zmień rozmiar czcionki, szerokość oraz kolorystykę strony" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Wygląd" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Wygląd</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl" class=""><span>Wspomóż Wikipedię</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Funkcja+okresowa" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe." class=""><span>Utwórz konto</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Funkcja+okresowa" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o" class=""><span>Zaloguj się</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Więcej opcji" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia osobiste" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia osobiste</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menu użytkownika" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl"><span>Wspomóż Wikipedię</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Funkcja+okresowa" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Utwórz konto</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Funkcja+okresowa" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Zaloguj się</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Strony dla anonimowych edytorów <a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki" aria-label="Dowiedz się więcej na temat edytowania"><span>dowiedz się więcej</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:M%C3%B3j_wk%C5%82ad" title="Lista edycji wykonanych z tego adresu IP [y]" accesskey="y"><span>Edycje</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Moja_dyskusja" title="Dyskusja użytkownika dla tego adresu IP [n]" accesskey="n"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Spis treści" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Spis treści</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ukryj</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Początek</div> </a> </li> <li id="toc-Definicja_dla_funkcji_liczbowych" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Definicja_dla_funkcji_liczbowych"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Definicja dla funkcji liczbowych</span> </div> </a> <ul id="toc-Definicja_dla_funkcji_liczbowych-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przykłady_i_podtypy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykłady_i_podtypy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Przykłady i podtypy</span> </div> </a> <ul id="toc-Przykłady_i_podtypy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Własności" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Własności"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Własności</span> </div> </a> <ul id="toc-Własności-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Definicja_dla_półgrup" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Definicja_dla_półgrup"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Definicja dla półgrup</span> </div> </a> <ul id="toc-Definicja_dla_półgrup-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Zobacz_też" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Zobacz_też"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Zobacz też</span> </div> </a> <ul id="toc-Zobacz_też-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Przypisy</span> </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Bibliografia</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Linki_zewnętrzne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Linki_zewnętrzne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Linki zewnętrzne</span> </div> </a> <ul id="toc-Linki_zewnętrzne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Funkcja okresowa</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 58 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-58" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">58 języków</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Periodieke_funksie" title="Periodieke funksie – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Periodieke funksie" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9_%D8%AF%D9%88%D8%B1%D9%8A%D8%A9" title="دالة دورية – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="دالة دورية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/D%C3%B6vri_funksiya" title="Dövri funksiya – azerbejdżański" lang="az" hreflang="az" data-title="Dövri funksiya" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbejdżański" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AA%E0%A6%B0%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE%E0%A6%AC%E0%A7%83%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%A4_%E0%A6%AB%E0%A6%BE%E0%A6%82%E0%A6%B6%E0%A6%A8" title="পর্যাবৃত্ত ফাংশন – bengalski" lang="bn" hreflang="bn" data-title="পর্যাবৃত্ত ফাংশন" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalski" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Chiu-k%C3%AE_h%C3%A2m-s%C3%B2%CD%98" title="Chiu-kî hâm-sò͘ – minnański" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Chiu-kî hâm-sò͘" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnański" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Периодична функция – bułgarski" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Периодична функция" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bułgarski" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3_peri%C3%B2dica" title="Funció periòdica – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Funció periòdica" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BE%D0%B4%D0%BB%C4%83_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8" title="Периодлă функци – czuwaski" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Периодлă функци" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="czuwaski" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Periodick%C3%A1_funkce" title="Periodická funkce – czeski" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Periodická funkce" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="czeski" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Svingningstid" title="Svingningstid – duński" lang="da" hreflang="da" data-title="Svingningstid" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="duński" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Periodische_Funktion" title="Periodische Funktion – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Periodische Funktion" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE%B5%CF%81%CE%B9%CE%BF%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Περιοδική συνάρτηση – grecki" lang="el" hreflang="el" data-title="Περιοδική συνάρτηση" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grecki" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_function" title="Periodic function – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Periodic function" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_peri%C3%B3dica" title="Función periódica – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Función periódica" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Perioda_funkcio" title="Perioda funkcio – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Perioda funkcio" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Funtzio_periodiko" title="Funtzio periodiko – baskijski" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Funtzio periodiko" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="baskijski" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%85%D8%AA%D9%86%D8%A7%D9%88%D8%A8" title="تابع متناوب – perski" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تابع متناوب" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perski" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_p%C3%A9riodique" title="Fonction périodique – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Fonction périodique" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Feidhm_pheiriadach" title="Feidhm pheiriadach – irlandzki" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Feidhm pheiriadach" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_peri%C3%B3dica" title="Función periódica – galicyjski" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Función periódica" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A3%BC%EA%B8%B0%ED%95%A8%EC%88%98" title="주기함수 – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="주기함수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8A%D5%A1%D6%80%D5%A2%D5%A5%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D6%86%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%A1" title="Պարբերական ֆունկցիա – ormiański" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Պարբերական ֆունկցիա" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ormiański" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%86%E0%A4%B5%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%A4%E0%A5%80_%E0%A4%AB%E0%A4%B2%E0%A4%A8" title="आवर्ती फलन – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="आवर्ती फलन" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_periodica" title="Funzione periodica – włoski" lang="it" hreflang="it" data-title="Funzione periodica" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="włoski" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%9E%D7%97%D7%96%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="פונקציה מחזורית – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="פונקציה מחזורית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BE%D0%B4%D1%82%D1%8B_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Периодты функция – kazachski" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Периодты функция" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazachski" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Functio_periodica" title="Functio periodica – łaciński" lang="la" hreflang="la" data-title="Functio periodica" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="łaciński" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Periodiska_funkcija" title="Periodiska funkcija – łotewski" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Periodiska funkcija" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="łotewski" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Fonzion_periodica" title="Fonzion periodica – lombardzki" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Fonzion periodica" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombardzki" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AA%E0%B5%80%E0%B4%B0%E0%B4%BF%E0%B4%AF%E0%B5%8B%E0%B4%A1%E0%B4%BF%E0%B4%95%E0%B5%8D_%E0%B4%AB%E0%B4%99%E0%B5%8D%E2%80%8C%E0%B4%B7%E0%B5%BB" title="പീരിയോഡിക് ഫങ്‌ഷൻ – malajalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="പീരിയോഡിക് ഫങ്‌ഷൻ" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malajalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Gerakan_berkala" title="Gerakan berkala – malajski" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Gerakan berkala" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malajski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Periodieke_functie" title="Periodieke functie – niderlandzki" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Periodieke functie" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="niderlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F%E9%96%A2%E6%95%B0" title="周期関数 – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="周期関数" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Periodisk_funksjon" title="Periodisk funksjon – norweski (bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Periodisk funksjon" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norweski (bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Periodisk_funksjon" title="Periodisk funksjon – norweski (nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Periodisk funksjon" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norweski (nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Davriy_funksiyalar" title="Davriy funksiyalar – uzbecki" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Davriy funksiyalar" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbecki" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Fonsion_peri%C3%B2dica" title="Fonsion periòdica – piemoncki" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Fonsion periòdica" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="piemoncki" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_peri%C3%B3dica" title="Função periódica – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Função periódica" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Func%C8%9Bie_periodic%C4%83" title="Funcție periodică – rumuński" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Funcție periodică" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumuński" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Периодическая функция – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Периодическая функция" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Funksioni_periodik" title="Funksioni periodik – albański" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Funksioni periodik" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albański" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Periodic_function" title="Periodic function – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Periodic function" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Periodick%C3%A1_funkcia" title="Periodická funkcia – słowacki" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Periodická funkcia" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="słowacki" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Periodi%C4%8Dna_funkcija" title="Periodična funkcija – słoweński" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Periodična funkcija" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="słoweński" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%A7%D9%86%DA%A9%D8%B4%D9%86%DB%8C_%D8%AE%D9%88%D9%88%D9%84%DB%8C" title="فانکشنی خوولی – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="فانکشنی خوولی" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B5" title="Периодичност функције – serbski" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Периодичност функције" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbski" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Fungsi_p%C3%A9riodik" title="Fungsi périodik – sundajski" lang="su" hreflang="su" data-title="Fungsi périodik" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="sundajski" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Jaksollinen_funktio" title="Jaksollinen funktio – fiński" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Jaksollinen funktio" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="fiński" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Periodisk_funktion" title="Periodisk funktion – szwedzki" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Periodisk funktion" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="szwedzki" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%95%E0%AE%BE%E0%AE%B2%E0%AE%AE%E0%AF%81%E0%AE%B1%E0%AF%88%E0%AE%9A%E0%AF%8D_%E0%AE%9A%E0%AE%BE%E0%AE%B0%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%81" title="காலமுறைச் சார்பு – tamilski" lang="ta" hreflang="ta" data-title="காலமுறைச் சார்பு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamilski" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99%E0%B8%84%E0%B8%B2%E0%B8%9A" title="ฟังก์ชันเป็นคาบ – tajski" lang="th" hreflang="th" data-title="ฟังก์ชันเป็นคาบ" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tajski" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Periyodik_fonksiyon" title="Periyodik fonksiyon – turecki" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Periyodik fonksiyon" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turecki" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Періодична функція – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Періодична функція" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%85%DB%8C%D8%B9%D8%A7%D8%AF%DB%8C_%D8%AF%D8%A7%D9%84%DB%81" title="میعادی دالہ – urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="میعادی دالہ" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_tu%E1%BA%A7n_ho%C3%A0n" title="Hàm tuần hoàn – wietnamski" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Hàm tuần hoàn" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="wietnamski" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%87%BD%E6%95%B0" title="周期函数 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="周期函数" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E9%80%B1%E6%9C%9F%E5%87%BD%E6%95%B8" title="週期函數 – kantoński" lang="yue" hreflang="yue" data-title="週期函數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoński" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%87%BD%E6%95%B0" title="周期函数 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="周期函数" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q184743#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Funkcja_okresowa" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c"><span>Artykuł</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Dyskusja:Funkcja_okresowa" rel="discussion" title="Dyskusja o zawartości tej strony [t]" accesskey="t"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Zmień wariant języka" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">polski</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Widok"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Funkcja_okresowa"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&action=history" title="Starsze wersje tej strony [h]" accesskey="h"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Narzędzia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Więcej opcji" > <div class="vector-menu-heading"> Działania </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Funkcja_okresowa"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&action=history"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ogólne </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Funkcja_okresowa" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j"><span>Linkujące</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Funkcja_okresowa" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k"><span>Zmiany w linkowanych</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u"><span>Prześlij plik</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne" title="Lista wszystkich stron specjalnych [q]" accesskey="q"><span>Strony specjalne</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&oldid=72658732" title="Stały link do tej wersji tej strony"><span>Link do tej wersji</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&action=info" title="Więcej informacji na temat tej strony"><span>Informacje o tej stronie</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=Funkcja_okresowa&id=72658732&wpFormIdentifier=titleform" title="Informacja o tym jak należy cytować tę stronę"><span>Cytowanie tego artykułu</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FFunkcja_okresowa"><span>Zobacz skrócony adres URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FFunkcja_okresowa"><span>Pobierz kod QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Funkcja+okresowa"><span>Utwórz książkę</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Funkcja_okresowa&action=show-download-screen"><span>Pobierz jako PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&printable=yes" title="Wersja do wydruku [p]" accesskey="p"><span>Wersja do druku</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Periodic_functions" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q184743" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g"><span>Element Wikidanych</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><div class="noprint noexcerpt disambig navigation-not-searchable" style="line-height:1.5em; padding: 3px 6px; background-color: var(--background-color-interactive-subtle, #f8f9fa); color: inherit; border-bottom: 1px solid var(--border-color-subtle, #c8ccd1); font-size: 95%; margin-bottom: 1em; display: flex; gap: 4px; align-items: center;"><span class="notpageimage skin-invert-image" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Pomoc:Przekierowanie" title="Przekierowanie"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Redirect_arrow_without_text.svg/30px-Redirect_arrow_without_text.svg.png" decoding="async" width="30" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Redirect_arrow_without_text.svg/45px-Redirect_arrow_without_text.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Redirect_arrow_without_text.svg/60px-Redirect_arrow_without_text.svg.png 2x" data-file-width="47" data-file-height="20" /></a></span><span>Na tę stronę wskazuje <a href="/wiki/Pomoc:Przekierowanie" title="Pomoc:Przekierowanie">przekierowanie</a> z „okres (matematyka)”. Zobacz też: <a href="/wiki/Okres" class="mw-disambig" title="Okres">inne znaczenia hasła „okres”</a>.</span></div> <p><b>Funkcja okresowa</b> – <a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">funkcja</a>, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja <a href="/wiki/Funkcje_trygonometryczne" title="Funkcje trygonometryczne">sinus</a>: </p><p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Sin_proportional.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Sin_proportional.svg/600px-Sin_proportional.svg.png" decoding="async" width="600" height="114" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Sin_proportional.svg/900px-Sin_proportional.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Sin_proportional.svg/1200px-Sin_proportional.svg.png 2x" data-file-width="658" data-file-height="125" /></a></span> </p><p>Funkcje okresowe mogą służyć do modelowania <a href="/wiki/Okres_(fizyka)" title="Okres (fizyka)">zjawisk okresowych</a> w fizyce – np. ruchu wahadła czy planety – a także w <a href="/wiki/Biologia" title="Biologia">biologii</a>, <a href="/wiki/Medycyna" title="Medycyna">medycynie</a>, <a href="/wiki/Ekonomia" title="Ekonomia">ekonomii</a> i innych dziedzinach nauki. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definicja_dla_funkcji_liczbowych">Definicja dla funkcji liczbowych</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Definicja dla funkcji liczbowych" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Definicja dla funkcji liczbowych"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Niech <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D\subset \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo>⊂</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\subset \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1798221e1270f83ece4ead9abf0bf0c06c041e23" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.701ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D\subset \mathbb {R} }"></span> oraz niech <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229e3a78dd4be03159691c3d4c84a9095784d26e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.529ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }"></span> będzie <a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">funkcją</a> o wartościach <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">rzeczywistych</a> określoną na <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r" title="Zbiór">zbiorze</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f173f63969b15d29f4efe8403a0a7032ec8f8186" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.571ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D.}"></span> <b>Okresem</b> funkcji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> nazywamy dowolną liczbę <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span> różną od zera (niekiedy zakłada się, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T>0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39e90b9e1e7d5be3b5eae57729dc63494bbe3fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.897ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T>0}"></span>) o następujących własnościach: </p> <ol><li>dla dowolnej liczby <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in D,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in D,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4bc1c9d9514af5201950067c06acc1ca8f6151" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.741ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x\in D,}"></span> również liczby <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+T,x-T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+T,x-T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf64e66185f527ba2d377ec4f00dc5e449f75c6b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.647ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x+T,x-T}"></span> należą do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"></span> (niekiedy opuszcza się warunek <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x-T\in D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>T</mi> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x-T\in D}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25ebc4bea9bc237f8dae2d1774ab0d87781d1b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.571ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x-T\in D}"></span>)</li> <li>dla każdego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in D}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf3e2c3607ccf1c1d7ee6620b44ef9d9e2e1f6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.095ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in D}"></span> zachodzi równość <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x+T)=f(x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x+T)=f(x).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c8f02ce24cd0daff7cb814b1b01b805de3e669c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.057ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x+T)=f(x).}"></span></li></ol> <p>Jeśli jakaś funkcja ma okres, nazywamy ją <b>funkcją okresową</b><sup id="cite_ref-epwn_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-1">[1]</a></sup>; funkcję o okresie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span> nazywa się czasem skrótowo <b>funkcją <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span>-okresową</b>. </p><p>Pierwszy z powyższych warunków gwarantuje, że dziedzina funkcji okresowej ma odpowiednią strukturę, tj. biorąc jakąkolwiek liczbę <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.977ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x,}"></span> dla której wyrażenie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"></span> ma sens, żądamy, aby miało ono sens również dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+T,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+T,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3cd7d57c30d53984fecb83e1b7b4d167bc0c31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.453ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x+T,}"></span> a w konsekwencji i dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+2T,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>T</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+2T,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681f724675e1d0ddfd42543b38e4df39af86bc68" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.616ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x+2T,}"></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+3T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+3T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7f52ba0d7e4a99ff6cfbef16a3e973489f988c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.969ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x+3T}"></span> itd. (oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x-T,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x-T,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429cce0b14db35ee543f331020ef78917e8df69e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.453ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x-T,}"></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x-2T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x-2T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72957a00ff8d60c802cfca8cab597f9eca1f6b94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.969ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x-2T}"></span> itd.). Przykładowo, nie ma sensu np. mówić o okresowości funkcji określonej na <a href="/wiki/Przedzia%C5%82_(matematyka)" title="Przedział (matematyka)">przedziale</a> <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_ograniczony" title="Zbiór ograniczony">ograniczonym</a>, gdyż, mówiąc nieściśle, nie powstaje on przez cykliczne powtarzanie jakiegoś kawałka w nieskończoność. Warunek, by <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x-T\in D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>T</mi> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x-T\in D}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25ebc4bea9bc237f8dae2d1774ab0d87781d1b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.571ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x-T\in D}"></span> (niekiedy opuszczany), zapewnia, że dziedzina rozciąga się nie tylko od pewnego miejsca do plus nieskończoności, ale także w przeciwnym kierunku. </p><p>Drugi warunek stanowi sedno pojęcia okresowości: implikuje on, że nie tylko <i>dziedzina</i>, ale również <i><a href="/wiki/Wykres_funkcji" title="Wykres funkcji">wykres</a></i> funkcji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> powstaje przez położenie obok siebie nieskończenie wielu przesuniętych coraz dalej kopii tego samego zbioru. Zauważmy, że nie ma potrzeby dodawania warunku <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x-T)=f(x);}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x-T)=f(x);}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da677acd14812c6158e7c4c0181b992fc7be8f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.057ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x-T)=f(x);}"></span> kładąc bowiem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x-T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x-T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85d77d85638ddd642497abe47b7f4e1ef6d8c68" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.806ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x-T}"></span> zamiast <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> w warunku 2, otrzymujemy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=f((x-T)+T)=f(x-T).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=f((x-T)+T)=f(x-T).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e20d18ae73eca83b797646ccd3bbe7413f3ab8c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.336ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=f((x-T)+T)=f(x-T).}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przykłady_i_podtypy"><span id="Przyk.C5.82ady_i_podtypy"></span>Przykłady i podtypy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Przykłady i podtypy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykłady i podtypy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Przykładami funkcji okresowych są: </p> <ul><li><a href="/wiki/Funkcje_trygonometryczne" title="Funkcje trygonometryczne">funkcje trygonometryczne</a>: <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.494ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi }"></span>-okresowe <a href="/wiki/Funkcje_trygonometryczne" title="Funkcje trygonometryczne">sinus</a>, <a href="/wiki/Funkcje_trygonometryczne" title="Funkcje trygonometryczne">cosinus</a>, <a href="/wiki/Funkcje_trygonometryczne" title="Funkcje trygonometryczne">secans</a>, <a href="/wiki/Funkcje_trygonometryczne" title="Funkcje trygonometryczne">cosecans</a>,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"></span>-okresowe <a href="/wiki/Funkcje_trygonometryczne" title="Funkcje trygonometryczne">tangens</a>, <a href="/wiki/Funkcje_trygonometryczne" title="Funkcje trygonometryczne">cotangens</a>,</li></ul></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_sta%C5%82a" title="Funkcja stała">funkcja stała</a> (której okresem jest każda liczba różna od zera),</li> <li><a href="/wiki/Funkcja_Dirichleta" title="Funkcja Dirichleta">funkcja Dirichleta</a>, dana wzorem:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(x):={\begin{cases}1,&{\text{gdy }}x{\text{ wymierne,}}\\[2pt]0,&{\text{gdy }}x{\text{ niewymierne}}.\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing="0.4em 0.2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>gdy </mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> wymierne,</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>gdy </mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> niewymierne</mtext> </mrow> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(x):={\begin{cases}1,&{\text{gdy }}x{\text{ wymierne,}}\\[2pt]0,&{\text{gdy }}x{\text{ niewymierne}}.\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cfd04ee9136c8aec636b1e0a16393315b140c36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:34.984ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle D(x):={\begin{cases}1,&{\text{gdy }}x{\text{ wymierne,}}\\[2pt]0,&{\text{gdy }}x{\text{ niewymierne}}.\end{cases}}}"></span></dd> <dd>Jej okresem jest dowolna niezerowa <a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczba wymierna</a> i tylko takie liczby są jej okresami.</dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_wyk%C5%82adnicza" title="Funkcja wykładnicza">Funkcja wykładnicza</a> <i>e</i><sup>x</sup> rozpatrywana na zbiorze <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczb zespolonych</a>. Jej okresem podstawowym jest <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi i.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi i.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df66e242f62d9f27aa62c27256ce715ed91c0e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.944ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi i.}"></span></li></ul> <p>Jeśli wśród dodatnich okresów funkcji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> istnieje najmniejszy, to nazywa się go <b>okresem podstawowym</b> lub <b>zasadniczym</b><sup class="noprint" title="Te informacje wymagają podania przypisów bibliograficznych od 2022-03">[<a href="/wiki/Pomoc:Przypisy" title="Pomoc:Przypisy">potrzebny przypis</a>]</sup>. Funkcja okresowa nie musi mieć okresu podstawowego, na przykład dla funkcji stałych oraz funkcji Dirichleta. </p><p>Jeśli funkcja okresowa ma dodatkowe właściwości – zwane <a href="/wiki/Warunki_Dirichleta" title="Warunki Dirichleta">warunkami Dirichleta</a> – to jest równa swojemu <a href="/wiki/Szereg_Fouriera" title="Szereg Fouriera">szeregowi Fouriera</a>. </p><p>Na <a href="/wiki/P%C5%82aszczyzna_zespolona" title="Płaszczyzna zespolona">płaszczyźnie zespolonej</a> szczególnie istotne są <a href="/wiki/Funkcje_eliptyczne" title="Funkcje eliptyczne">funkcje eliptyczne</a> (dwuokresowe). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Własności"><span id="W.C5.82asno.C5.9Bci"></span>Własności</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Własności" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Własności"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Jeśli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span> jest okresem, to każda całkowita <a href="/wiki/Wielokrotno%C5%9B%C4%87" title="Wielokrotność">wielokrotność</a> liczby <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span> też jest okresem funkcji.</li> <li>Suma i iloczyn funkcji okresowych o wspólnej dziedzinie i okresie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span> są funkcjami okresowymi o okresie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de28b735beca1303bc5da9ba518a5a22a70a5d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.283ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T.}"></span> Okres podstawowy nie musi być zachowany, może się zmniejszyć lub przestać istnieć. Na przykład: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin {x}+(-\sin {x}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin {x}+(-\sin {x}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddee1451bd7966146a7e01a94d5ad4869dacfa30" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.637ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sin {x}+(-\sin {x}).}"></span></li> <li>Ogólniej: jeśli dwie funkcje okresowe mają okresy współmierne, tj. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{1}/T_{2}\in \mathbb {Q} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{1}/T_{2}\in \mathbb {Q} ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5863e55e4b5896c3625e4b26b5331667f95a5abd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.282ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{1}/T_{2}\in \mathbb {Q} ,}"></span> to suma tych funkcji również jest okresowa<sup id="cite_ref-epwn_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-1">[1]</a></sup>. W przeciwnym wypadku ta suma jest funkcją <a href="/w/index.php?title=Funkcja_prawie_okresowa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Funkcja prawie okresowa (strona nie istnieje)">prawie okresową</a><sup id="cite_ref-epwn_1-2" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-1">[1]</a></sup>.</li> <li>jeśli funkcja okresowa jest <a href="/wiki/Funkcja_ci%C4%85g%C5%82a" title="Funkcja ciągła">ciągła</a>, to jest stała lub ma okres podstawowy (zasadniczy)<sup id="cite_ref-CITEREFKaczorNowak200113_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFKaczorNowak200113-2">[2]</a></sup>;</li> <li>Jeśli funkcja okresowa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1cacd5f7bbe1027cc75fbe2fbd9cb5e79485302" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.283ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }"></span> o okresie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span> jest <a href="/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCniczkowalna" title="Funkcja różniczkowalna">różniczkowalna</a>, to jej <a href="/wiki/Pochodna_funkcji" title="Pochodna funkcji">pochodna</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258eaada38956fb69b8cb1a2eef46bcb97d3126b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.005ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f'}"></span> również jest funkcją okresową o okresie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span><sup class="noprint" title="Te informacje wymagają podania przypisów bibliograficznych od 2022-03">[<a href="/wiki/Pomoc:Przypisy" title="Pomoc:Przypisy">potrzebny przypis</a>]</sup>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definicja_dla_półgrup"><span id="Definicja_dla_p.C3.B3.C5.82grup"></span>Definicja dla półgrup</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Definicja dla półgrup" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Definicja dla półgrup"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Niech <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (G,*)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mo>∗</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (G,*)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54a87abf331634c8962ef14c4c5ec41f94fd29c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.832ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (G,*)}"></span> będzie <a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82grupa" title="Półgrupa">półgrupą</a>, a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon G\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon G\to Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca86fc7ea238c59d42cfe662e566ccb590b0a28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.527ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon G\to Y}"></span> funkcją określoną na <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc645a5b7e8a2022ad70fc42dbda04c008a33a9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.474ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G.}"></span> Jeśli istnieje taki element <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span> w <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> (nie będący <a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">elementem neutralnym</a>), że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x*T)=f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x*T)=f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf39d32cfa4c27ddac134385f455474122dc9db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.765ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x*T)=f(x)}"></span> dla dowolnego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in G,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803eb6a6a6f09274ca83945621b263e139697b3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.644ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x\in G,}"></span> to nazywamy go <b>okresem</b> funkcji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9687ea22c0f310582e97ee5f6c6a5fca28203d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.925ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,}"></span> a samą funkcję nazywamy <b>okresową</b>. </p><p>Ta definicja nie jest uogólnieniem definicji podanej wcześniej, bo tym razem nie założono istnienia odpowiednika liczby <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x-T.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>T</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x-T.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ccf2a25ba0414ceec7e239e2652f7c517bca9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.453ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x-T.}"></span> Jeśli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> jest <a href="/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka)">grupą</a>, to warunek ten jest spełniony. Niemniej jednak tak ogólna definicja może być pożyteczna – obejmuje ona np. <i>ciągi okresowe</i>, tj. funkcje okresowe określone na zbiorze liczb <a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">naturalnych</a>. Zauważmy również, że: </p> <ul><li>samą definicję można by napisać nawet w przypadku zbioru z określonym <i>jakimkolwiek</i> <a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">działaniem</a> (tj. niekoniecznie <a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łącznym</a>);</li> <li>w przypadku półgrup nieprzemiennych należy odróżniać zdefiniowany powyżej <i>prawy okres</i> od <i>lewego okresu</i>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zobacz_też"><span id="Zobacz_te.C5.BC"></span>Zobacz też</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Zobacz też" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Okres_(fizyka)" title="Okres (fizyka)">okres (fizyka)</a></li> <li><a href="/wiki/Sygna%C5%82_okresowy" title="Sygnał okresowy">sygnał okresowy</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-epwn-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-epwn_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-epwn_1-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-epwn_1-2">c</a></sup></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3950534"><i>funkcja okresowa</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2021-03-11]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=funkcja+okresowa&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3950534" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-CITEREFKaczorNowak200113-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-CITEREFKaczorNowak200113_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFKaczorNowak2001">Kaczor i Nowak 2001 ↓</a></span>, s. 13.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&veaction=edit&section=7" title="Edytuj sekcję: Bibliografia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&action=edit&section=7" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Bibliografia"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation book" id="CITEREFKaczorNowak2001">W.J. Kaczor, M.T. Nowak: <i>Problems in Mathematical Analysis II. Continuity and Differentiation</i>. <a href="/wiki/Ameryka%C5%84skie_Towarzystwo_Matematyczne" title="Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne">American Mathematical Society</a>, 2001.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Problems+in+Mathematical+Analysis+II.+Continuity+and+Differentiation&rft.aulast=Kaczor&rft.aufirst=W.J.&rft.pub=%5B%5BAmeryka%C5%84skie+Towarzystwo+Matematyczne%7CAmerican+Mathematical+Society%5D%5D"></span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Linki_zewnętrzne"><span id="Linki_zewn.C4.99trzne"></span>Linki zewnętrzne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&veaction=edit&section=8" title="Edytuj sekcję: Linki zewnętrzne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&action=edit&section=8" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Linki zewnętrzne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation open-access"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Eric W.</span><span class="cite-name-initials" title="Eric W." style="display:none">E.W.</span> </span><span class="cite-lastname">Weisstein</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Eric W.</span><span class="cite-name-initials" title="Eric W.">E.W.</span></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/PeriodicFunction.html"><i>Periodic Function</i></a>, [w:] <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>, <a href="/wiki/Wolfram_Research" title="Wolfram Research">Wolfram Research</a><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=bookitem&rft.aufirst=Eric+W.&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=%5B%5BMathWorld%5D%5D&rft.atitle=Periodic+Function&rft.aulast=Weisstein&rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FPeriodicFunction.html" style="display:none"> </span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite> [dostęp 2023-10-10].</li> <li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Periodic_function">Periodic function</a></i> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].</li></ul> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74983602">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy .before,.mw-parser-output .navbox.pionowy .after{padding:0.5em 0;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.caption,.mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background:#ccf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox .tnavbar{font-weight:normal;font-size:xx-small;white-space:nowrap;padding:0}.mw-parser-output .navbox>.tnavbar{margin-left:1em;float:left}.mw-parser-output .navbox .below>hr+.tnavbar{margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox .below>.tnavbar:before{content:"Ten szablon: "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:after{content:" · "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .navbox hr{margin:0.2em 1em}.mw-parser-output .navbox .title{background:#ddf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content:not(.grupa-szablonów-nawigacyjnych){margin-top:2px;padding:0;font-size:smaller;overflow:auto}.mw-parser-output .navbox .above+div,.mw-parser-output .navbox .above+.navbox-main-content,.mw-parser-output .navbox .below,.mw-parser-output .navbox .title+.grid{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below{background:#ddf;text-align:center;margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .navbox .flex>.before,.mw-parser-output .navbox .flex>.after{align-self:center;text-align:center}.mw-parser-output .navbox .flex>.navbox-main-content{flex-grow:1}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .before{margin-right:0.5em}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .after{margin-left:0.5em}.mw-parser-output .navbox .inner-columns,.mw-parser-output .navbox .inner-group,.mw-parser-output .navbox .inner-standard{border-spacing:0;border-collapse:collapse;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis{text-align:right;vertical-align:middle}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis+.spis{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td{padding:0;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td:first-child{text-align:center}.mw-parser-output .navbox .inner-standard .inner-standard>tbody>tr>td{text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-odd,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-even{padding:0 0.3em}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>th+td{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns{table-layout:fixed}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{padding:0;border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);border-right:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{vertical-align:top}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:first-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:first-child{border-left:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:last-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:last-child{border-right:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ul,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ol,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>dl{text-align:left;column-width:24em}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+table{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.opis,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.spis{padding:0.1em 1em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-toggle,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.mw-collapsible-toggle{width:4em;text-align:right;margin-right:0.4em}.mw-parser-output .navbox>.fakebar,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.fakebar{float:left;width:4em;height:1em}.mw-parser-output .navbox .opis{background:#ddf;padding:0 1em;white-space:nowrap;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox.pionowy .opis{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-even,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-odd{background:transparent}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-odd,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-even{background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div{background:transparent}.mw-parser-output .navbox p{margin:0;padding:0.3em 0}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:gold}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:silver}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#c96}.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ul,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>dl,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ol{column-width:24em;text-align:left}.mw-parser-output .navbox ul{list-style:none}.mw-parser-output .navbox .references{background:transparent}.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dd,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dt,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist li{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox .rok{display:inline-block;width:4em;padding-right:0.5em;text-align:right}.mw-parser-output .navbox .navbox-statistics{margin-top:2px;border-top:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);text-align:center;font-size:small}.mw-parser-output .navbox-summary>.title{font-weight:bold;font-size:larger}.mw-parser-output .navbox:not(.grupa-szablonów) .navbox{margin:0;border:0;padding:0}.mw-parser-output .navbox.grupa-szablonów>.grupa-szablonów-nawigacyjnych>.navbox:first-child{margin-top:2px}@media(max-width:800px){.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.before,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.after{display:none}}.mw-parser-output .navbox .opis img,.mw-parser-output .navbox .opis .flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.image{display:none}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}</style><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Ci%C4%85gi_liczbowe" title="Szablon:Ciągi liczbowe"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Ci%C4%85gi_liczbowe&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Ciągi liczbowe (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Ci%C4%85gi_liczbowe&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Ci%C4%85g_(matematyka)" title="Ciąg (matematyka)">Ciągi</a> liczbowe</div><div class="mw-collapsible-content"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">pojęcia<br />definiujące</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a1_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">ciągi ogólne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">funkcja</a></li> <li><a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzina</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczby naturalne</a></li> <li><a href="/wiki/Podzbi%C3%B3r" title="Podzbiór">podzbiór</a></li></ul> </td></tr><tr class="a1_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">ciągi liczbowe</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Przeciwdziedzina" title="Przeciwdziedzina">przeciwdziedzina</a></li> <li><a href="/wiki/Liczba" title="Liczba">liczba</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row">typy ciągów</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a2_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">skończone</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana" title="Para uporządkowana">para uporządkowana</a></li> <li><a href="/wiki/Krotka_(struktura_danych)" title="Krotka (struktura danych)">krotka</a></li> <li><a href="/wiki/Lista" title="Lista">lista</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Niesko%C5%84czono%C5%9B%C4%87" title="Nieskończoność">nieskończone</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_ograniczona" title="Funkcja ograniczona">nieograniczone</a></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_Cauchy%E2%80%99ego" title="Ciąg Cauchy’ego">Cauchy’ego</a></li> <li><a href="/wiki/Granica_ci%C4%85gu" title="Granica ciągu">zbieżne i rozbieżne</a> <ul><li><a href="/wiki/Granica_niew%C5%82a%C5%9Bciwa_funkcji" title="Granica niewłaściwa funkcji">rozbieżne do nieskończoności</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Sumowalno%C5%9B%C4%87_metod%C4%85_Ces%C3%A0ro" title="Sumowalność metodą Cesàro">sumowalne metodą Cesàro</a></li> <li><a href="/wiki/Szereg_(matematyka)" title="Szereg (matematyka)">szeregi liczbowe</a> <ul><li><a href="/wiki/Szereg_geometryczny" title="Szereg geometryczny">geometryczne</a></li> <li><a href="/wiki/Szereg_harmoniczny" title="Szereg harmoniczny">harmoniczne</a></li> <li><a href="/wiki/Szereg_naprzemienny" title="Szereg naprzemienny">naprzemienne</a></li> <li><a href="/wiki/Szereg_Dirichleta" title="Szereg Dirichleta">Dirichleta</a></li> <li><a href="/wiki/U%C5%82amek_dziesi%C4%99tny_niesko%C5%84czony" title="Ułamek dziesiętny nieskończony">ułamki dziesiętne nieskończone</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Iloczyn_niesko%C5%84czony" title="Iloczyn nieskończony">nieskończone iloczyny</a> liczbowe</li> <li><a href="/wiki/U%C5%82amek_%C5%82a%C5%84cuchowy" title="Ułamek łańcuchowy">ułamki łańcuchowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_arytmetyczna" title="Funkcja arytmetyczna">funkcje arytmetyczne</a> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_addytywna_(teoria_liczb)" title="Funkcja addytywna (teoria liczb)">addytywne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_multiplikatywna" title="Funkcja multiplikatywna">multyplikatywne</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">monotoniczne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">niemalejące</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">nierosnące</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">rosnące</a> <ul><li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_superrosn%C4%85cy" title="Ciąg superrosnący">superrosnące</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">malejące</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_sta%C5%82a" title="Funkcja stała">stałe</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_4"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCnowarto%C5%9Bciowa" title="Funkcja różnowartościowa">różnowartościowe</a> <ul><li><a href="/wiki/Permutacja" title="Permutacja">permutacje</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_ograniczona" title="Funkcja ograniczona">ograniczone</a> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">okresowe</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_arytmetyczny" title="Ciąg arytmetyczny">arytmetyczne</a></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_geometryczny" title="Ciąg geometryczny">geometryczne</a></li> <li><a href="/wiki/U%C5%82amek_dziesi%C4%99tny" title="Ułamek dziesiętny">ułamki dziesiętne</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row">przykłady ciągów<br />liczb naturalnych</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a3_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">niemalejące</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_Eulera" title="Ciąg Eulera">ciąg Eulera</a></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_Fibonacciego" title="Ciąg Fibonacciego">ciąg Fibonacciego</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_licz%C4%85ca_liczby_pierwsze" title="Funkcja licząca liczby pierwsze">funkcja pi (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"></span> – licząca liczby pierwsze)</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_Liouville%E2%80%99a" title="Funkcja Liouville’a">funkcja Liouville’a</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Armstronga" title="Liczby Armstronga">liczby Armstronga</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_autobiograficzne" title="Liczby autobiograficzne">liczby autobiograficzne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_automorficzne" title="Liczby automorficzne">liczby automorficzne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_bezkwadratowe" title="Liczby bezkwadratowe">liczby bezkwadratowe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Carmichaela" title="Liczby Carmichaela">liczby Carmichaela</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Cullena" title="Liczby Cullena">liczby Cullena</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_czworo%C5%9Bcienne" title="Liczby czworościenne">liczby czworościenne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_deficytowe" title="Liczby deficytowe">liczby deficytowe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_doskona%C5%82e" title="Liczby doskonałe">liczby doskonałe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Fermata" title="Liczby Fermata">liczby Fermata</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_g%C5%82adkie" title="Liczby gładkie">liczby gładkie</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_kwadratowe" title="Liczby kwadratowe">liczby kwadratowe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Mersenne%E2%80%99a" title="Liczby Mersenne’a">liczby Mersenne’a</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_nadmiarowe" title="Liczby nadmiarowe">liczby nadmiarowe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Nivena" title="Liczby Nivena">liczby Nivena</a></li> <li><a href="/wiki/Palindrom" title="Palindrom">liczby palindromiczne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Pella" title="Liczby Pella">liczby Pella</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_pierwsze" title="Liczby pierwsze">liczby pierwsze</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_piramidalne" title="Liczby piramidalne">liczby piramidalne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_p%C3%B3%C5%82pierwsze" title="Liczby półpierwsze">liczby półpierwsze</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_pseudopierwsze" title="Liczby pseudopierwsze">liczby pseudopierwsze</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Smitha" title="Liczby Smitha">liczby Smitha</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_sfeniczne" title="Liczby sfeniczne">liczby sfeniczne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Sierpi%C5%84skiego" title="Liczby Sierpińskiego">liczby Sierpińskiego</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_taks%C3%B3wkowe" title="Liczby taksówkowe">liczby taksówkowe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_tr%C3%B3jk%C4%85tne" title="Liczby trójkątne">liczby trójkątne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_weso%C5%82e" title="Liczby wesołe">liczby wesołe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_z%C5%82o%C5%BCone" title="Liczby złożone">liczby złożone</a></li> <li><a href="/wiki/Silnia" title="Silnia">silnia</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Problem_Collatza" title="Problem Collatza">funkcja Collatza</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_%CF%84" title="Funkcja τ">funkcja <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"></span> (tau)</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_%CF%83" title="Funkcja σ">funkcja <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }"></span> (sigma)</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_M%C3%B6biusa" title="Funkcja Möbiusa">funkcja Möbiusa</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_Mertensa" title="Funkcja Mertensa">funkcja Mertensa</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_%CF%86" title="Funkcja φ">tocjent Eulera</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_Carmichaela" title="Funkcja Carmichaela">funkcja lambda Carmichaela</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_pierwsza_omega" title="Funkcja pierwsza omega"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }"></span> (funkcja pierwsza omega)</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_pierwsza_omega" title="Funkcja pierwsza omega"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }"></span> (funkcja druga omega)</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_Kempnera" title="Funkcja Kempnera">funkcja Kempnera</a></li> <li><a href="/wiki/Podsilnia" title="Podsilnia">podsilnia</a></li> <li><a href="/wiki/Suma_alikwotowa" title="Suma alikwotowa">suma alikwotowa</a></li> <li><a href="/wiki/Szereg_Grandiego" title="Szereg Grandiego">szereg Grandiego</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne przykłady<br />ciągów liczb</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Charakter_Dirichleta" title="Charakter Dirichleta">charakter Dirichleta</a></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_Fareya" title="Ciąg Fareya">ciąg Fareya</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_von_Mangoldta" title="Funkcja von Mangoldta">funkcja von Mangoldta</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Bernoulliego" title="Liczby Bernoulliego">liczby Bernoulliego</a></li> <li><a href="/wiki/Problem_bazylejski" title="Problem bazylejski">problem bazylejski</a></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_harmoniczny" title="Ciąg harmoniczny">ciąg harmoniczny</a> <ul><li><a href="/wiki/U%C5%82amek_egipski" title="Ułamek egipski">ułamki egipskie</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Wz%C3%B3r_Stirlinga" title="Wzór Stirlinga">wzór Stirlinga</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie">twierdzenia</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a5_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">o <a href="/wiki/Granica_ci%C4%85gu" title="Granica ciągu">granicach</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Bolzana-Weierstrassa" title="Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa">Bolzana-Weierstrassa</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_dw%C3%B3ch_ci%C4%85gach" title="Twierdzenie o dwóch ciągach">o dwóch ciągach</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_trzech_ci%C4%85gach" title="Twierdzenie o trzech ciągach">o trzech ciągach</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_ci%C4%85gu_monotonicznego" title="Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego">o zbieżności ciągu monotonicznego</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_%C5%9Brednich" title="Twierdzenie o zbieżności średnich">o zbieżności średnich</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Stolza" title="Twierdzenie Stolza">Stolza</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_ci%C4%85gach_jednomonotonicznych" title="Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych">o ciągach jednomonotonicznych</a></li> <li><a href="/wiki/To%C5%BCsamo%C5%9B%C4%87_Czebyszewa" title="Tożsamość Czebyszewa">nierówność Czebyszewa</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row">powiązane pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Podci%C4%85g_(matematyka)" title="Podciąg (matematyka)">podciąg</a></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_uog%C3%B3lniony" title="Ciąg uogólniony">ciąg uogólniony</a></li> <li><a href="/wiki/Splot_Dirichleta" title="Splot Dirichleta">splot Dirichleta</a></li> <li><a href="/wiki/Symbol_nieoznaczony" title="Symbol nieoznaczony">symbole nieoznaczone</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></div></div> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r74983602"><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Funkcje_matematyczne" title="Szablon:Funkcje matematyczne"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Funkcje_matematyczne&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Funkcje matematyczne (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Funkcje_matematyczne&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">Funkcje matematyczne</a></div><div class="mw-collapsible-content flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">pojęcia podstawowe</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Argument_funkcji" title="Argument funkcji">argument</a></li> <li><a href="/wiki/Argumentowo%C5%9B%C4%87" title="Argumentowość">argumentowość</a></li> <li><a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzina</a></li> <li><a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzina naturalna</a></li> <li><a href="/wiki/Przeciwdziedzina" title="Przeciwdziedzina">przeciwdziedzina</a></li> <li><a href="/wiki/Zaw%C4%99%C5%BCenie_funkcji" title="Zawężenie funkcji">zawężenie, in. obcięcie</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Obraz_(matematyka)" title="Obraz (matematyka)">obraz</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Obraz_(matematyka)" title="Obraz (matematyka)">zbiór wartości</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Przeciwobraz" title="Przeciwobraz">przeciwobraz</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Poziomica_(matematyka)" title="Poziomica (matematyka)">poziomice, in. warstwice</a></li> <li><a href="/wiki/Miejsce_zerowe" title="Miejsce zerowe">miejsca zerowe</a></li> <li><a href="/wiki/J%C4%85dro_(teoria_mnogo%C5%9Bci)" title="Jądro (teoria mnogości)">jądro funkcji</a></li> <li><a href="/wiki/Ma%C5%82y_obraz" title="Mały obraz">mały obraz</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row">typy (rodzaje)</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a4_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">ogólne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCnowarto%C5%9Bciowa" title="Funkcja różnowartościowa">różnowartościowe – iniekcje</a></li> <li><a href="/wiki/Surjekcja" title="Surjekcja">„na” – suriekcje</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_wzajemnie_jednoznaczna" title="Funkcja wzajemnie jednoznaczna">wzajemnie jednoznaczne – bijekcje</a>, <a href="/wiki/Funkcja_odwrotna" title="Funkcja odwrotna">funkcje odwracalne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Ci%C4%85g_(matematyka)" title="Ciąg (matematyka)">ciągi</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana" title="Para uporządkowana">krotki</a> <ul><li><a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana" title="Para uporządkowana">pary uporządkowane</a></li> <li><a href="/wiki/Tr%C3%B3jka_uporz%C4%85dkowana" title="Trójka uporządkowana">trójki uporządkowane</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne <a href="/wiki/Funkcja_jednej_zmiennej" title="Funkcja jednej zmiennej">funkcje jednej zmiennej</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_pusta" title="Funkcja pusta">funkcja pusta</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_schodkowa" title="Funkcja schodkowa">funkcje schodkowe</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Funkcja_wielu_zmiennych" title="Funkcja wielu zmiennych">funkcje wielu zmiennych</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_symetryczna" title="Funkcja symetryczna">funkcje symetryczne</a> <ul><li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna" title="Przestrzeń metryczna">metryki</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Macierz" title="Macierz">macierze</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_5"><th class="navbox-group opis" scope="row">funkcje zdefiniowane<br />samą przeciwdziedziną</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_kardynalna" title="Funkcja kardynalna">kardynalne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_rzeczywista" title="Funkcja rzeczywista">rzeczywiste</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_wektorowa" title="Funkcja wektorowa">wektorowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_zespolona" title="Funkcja zespolona">zespolone</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_6"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działania algebraiczne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_zeroargumentowe" title="Działanie zeroargumentowe">zeroargumentowe</a></li> <li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_jednoargumentowe" title="Działanie jednoargumentowe">jednoargumentowe</a></li> <li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">dwuargumentowe</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_7"><th class="navbox-group opis" scope="row">odmiany działań<br />jednoargumentowych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_to%C5%BCsamo%C5%9Bciowa" title="Funkcja tożsamościowa">funkcje tożsamościowe</a></li> <li><a href="/wiki/Permutacja" title="Permutacja">permutacje</a> <ul><li><a href="/wiki/Transpozycja_(matematyka)" title="Transpozycja (matematyka)">transpozycje</a></li> <li><a href="/wiki/Nieporz%C4%85dek" title="Nieporządek">nieporządki</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_8"><th class="navbox-group opis" scope="row">funkcje zdefiniowane<br />zbiorem wartości</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_prosta" title="Funkcja prosta">funkcje proste</a> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_sta%C5%82a" title="Funkcja stała">funkcje stałe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_charakterystyczna_zbioru" title="Funkcja charakterystyczna zbioru">funkcje charakterystyczne</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_9"><th class="navbox-group opis" scope="row">zdefiniowane <a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9Bciowy_porz%C4%85dek" title="Częściowy porządek">porządkiem</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_ograniczona" title="Funkcja ograniczona">ograniczone</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">monotoniczne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_10"><th class="navbox-group opis" scope="row">zdefiniowane <a href="/wiki/Algebra" title="Algebra">algebraicznie</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">okresowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_parzyste_i_nieparzyste" title="Funkcje parzyste i nieparzyste">parzyste i nieparzyste</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_11"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne funkcje</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_boolowska" title="Funkcja boolowska">boolowskie</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_elementarne" title="Funkcje elementarne">elementarne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja#Funkcje_liczbowe" title="Funkcja">liczbowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_specjalne" title="Funkcje specjalne">specjalne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcjona%C5%82" title="Funkcjonał">funkcjonały</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row">pojęcia określone<br />głównie dla działań<br />jednoargumentowych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Punkt_sta%C5%82y" title="Punkt stały">punkt stały</a></li> <li><a href="/wiki/Punkt_okresowy" title="Punkt okresowy">punkt okresowy</a></li> <li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_niezmienniczy" title="Zbiór niezmienniczy">zbiór niezmienniczy</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">złożenie funkcji</a><br />(superpozycja)</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a6_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">przypadek działań<br />jednoargumentowych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Iteracja_funkcji" title="Iteracja funkcji">iteracja</a> <ul><li><a href="/wiki/Idempotentno%C5%9B%C4%87" title="Idempotentność">idempotentność</a></li> <li><a href="/wiki/Inwolucja_(matematyka)" title="Inwolucja (matematyka)">inwolucja</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82grupa_transformacji" title="Półgrupa transformacji">półgrupa transformacji</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_bijekcji" title="Grupa bijekcji">grupa bijekcji</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupa permutacji</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a6_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne przypadki</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_odwrotna" title="Funkcja odwrotna">funkcja odwrotna</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Struktura_matematyczna" title="Struktura matematyczna">struktury</a><br />definiowane funkcjami</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Algebra_og%C3%B3lna" title="Algebra ogólna">algebry ogólne (struktury algebraiczne)</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_funkcyjna" title="Przestrzeń funkcyjna">przestrzenie funkcyjne</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna" title="Przestrzeń metryczna">przestrzenie metryczne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne powiązane<br />pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Moc_zbioru" title="Moc zbioru">moc zbioru</a></li> <li><a href="/wiki/Przebieg_zmienno%C5%9Bci_funkcji" title="Przebieg zmienności funkcji">przebieg zmienności funkcji</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_funkcyjne" title="Równanie funkcyjne">równania funkcyjne</a></li> <li><a href="/wiki/Symbol_funkcyjny" title="Symbol funkcyjny">symbole funkcyjne</a></li> <li><a href="/wiki/Wykres_funkcji" title="Wykres funkcji">wykres funkcji</a></li></ul> </td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie">twierdzenia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Cantora-Bernsteina-Schr%C3%B6dera" title="Twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera">Cantora-Bernsteina-Schrödera</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_faktoryzacji" title="Twierdzenie o faktoryzacji">o faktoryzacji</a></li> <li><a href="/wiki/Zasada_szufladkowa_Dirichleta" title="Zasada szufladkowa Dirichleta">zasada szufladkowa Dirichleta</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Uog%C3%B3lnienie" title="Uogólnienie">uogólnienia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_cz%C4%99%C5%9Bciowa" title="Funkcja częściowa">funkcje częściowe</a></li> <li><a href="/wiki/Multifunkcja" title="Multifunkcja">multifunkcje</a></li> <li><a href="/wiki/Relacja_dwuargumentowa" title="Relacja dwuargumentowa">relacje binarne</a></li> <li><a href="/wiki/Kategoria_(matematyka)" title="Kategoria (matematyka)">morfizmy (strzałki)</a></li></ul> </td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Commutative_diagram_for_morphism.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/100px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png" decoding="async" width="100" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/150px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/200px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png 2x" data-file-width="100" data-file-height="100" /></a></span> </p> </div></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74016753">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-fehlt"><div><a href="/wiki/Kontrola_autorytatywna" title="Kontrola autorytatywna">Kontrola autorytatywna</a> (<span class="description">rodzaj funkcji matematycznej</span>):</div><ul><li><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://lccn.loc.gov/sh85099883">sh85099883</a></span></li><li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4224901-6">4224901-6</a></span></li><li><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Web_NDL_Authorities" class="extiw" title="de:Web NDL Authorities">NDL</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00572380">00572380</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioth%C3%A8que_nationale" title="Bibliothèque nationale">BnF</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12288235k">12288235k</a></span></li><li><a href="/wiki/Centralna_Biblioteka_Narodowa_we_Florencji" title="Centralna Biblioteka Narodowa we Florencji">BNCF</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=34383">34383</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Izraela" title="Biblioteka Narodowa Izraela">J9U</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007536403405171">987007536403405171</a></span></li></ul></div><div class="normdaten-andere"><div><a href="/wiki/Encyklopedia_internetowa" title="Encyklopedia internetowa">Encyklopedie internetowe</a>:</div> <ul><li><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">PWN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3961831.html">3961831</a></span></li> <li><a href="/wiki/Encyklopedia_Britannica" title="Encyklopedia Britannica">Britannica</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/periodic-function">topic/periodic-function</a></span></li> <li><a href="/wiki/Store_norske_leksikon" title="Store norske leksikon">SNL</a>: <span class="uid"><a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=4342&url_prefix=https://snl.no/&id=periodisk_funksjon">periodisk_funksjon</a></span></li> <li><a href="/wiki/Den_Store_Danske_Encyklop%C3%A6di" title="Den Store Danske Encyklopædi">DSDE</a>: <span class="uid"><a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=8313&url_prefix=https://lex.dk/&id=svingningstid">svingningstid</a></span></li></ul> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&oldid=72658732">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&oldid=72658732</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategoria</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Typy_funkcji_matematycznych" title="Kategoria:Typy funkcji matematycznych">Typy funkcji matematycznych</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Ukryta kategoria: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Artyku%C5%82y_z_brakuj%C4%85cymi_przypisami_od_2022-03" title="Kategoria:Artykuły z brakującymi przypisami od 2022-03">Artykuły z brakującymi przypisami od 2022-03</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Tę stronę ostatnio edytowano 23 sty 2024, 02:13.</li> <li id="footer-info-copyright">Tekst udostępniany na licencji <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl">Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach</a>, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/pl">warunkach korzystania</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Polityka prywatności</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii">O Wikipedii</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Korzystasz_z_Wikipedii_tylko_na_w%C5%82asn%C4%85_odpowiedzialno%C5%9B%C4%87">Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Powszechne Zasady Postępowania</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Dla deweloperów</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pl.wikipedia.org">Statystyki</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Oświadczenie o ciasteczkach</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcja_okresowa&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Wersja mobilna</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-9459596f5-bxftw","wgBackendResponseTime":187,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.351","walltime":"0.571","ppvisitednodes":{"value":1954,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":69313,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":1474,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":11,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":1,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":22501,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":5,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 362.187 1 -total"," 39.59% 143.390 8 Szablon:Szablon_nawigacyjny"," 34.69% 125.637 1 Szablon:Ciągi_liczbowe"," 30.03% 108.781 1 Szablon:Kontrola_autorytatywna"," 7.96% 28.826 1 Szablon:Przekierowanie"," 7.50% 27.176 1 Szablon:Przypisy"," 7.15% 25.884 1 Szablon:Dmbox"," 6.40% 23.197 1 Szablon:Cytuj_książkę"," 6.19% 22.403 1 Szablon:Encyklopedia_PWN"," 4.98% 18.039 1 Szablon:Ikona"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.194","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":3447688,"limit":52428800},"limitreport-logs":"parent:title = \"Szablon:Przekierowanie\"\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\nrequired = table#1 {\n}\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-75c465f4c6-94dzw","timestamp":"20241125095949","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Funkcja okresowa","url":"https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Funkcja_okresowa","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q184743","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q184743","author":{"@type":"Organization","name":"Wsp\u00f3\u0142tw\u00f3rcy projekt\u00f3w Fundacji Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2003-01-15T15:05:38Z","headline":"typ funkcji na strukturach algebraicznych, zdefiniowany r\u00f3wnaniem"}</script> </body> </html>