CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="pl" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Funkcje elementarne – Wikipedia, wolna encyklopedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )plwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","styczeń","luty","marzec","kwiecień","maj","czerwiec","lipiec","sierpień","wrzesień","październik","listopad","grudzień"],"wgRequestId":"36a734a8-1a93-43a0-8136-0dea20532a66","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Funkcje_elementarne","wgTitle":"Funkcje elementarne","wgCurRevisionId":75021815,"wgRevisionId":75021815,"wgArticleId":44541,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Artykuły z brakującymi przypisami od 2023-05","Funkcje elementarne"],"wgPageViewLanguage":"pl","wgPageContentLanguage":"pl","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Funkcje_elementarne","wgRelevantArticleId":44541,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{ "tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":75021815,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"pl","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"pl"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":9000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q824282","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.wikiflex":"ready", "ext.gadget.infobox":"ready","ext.gadget.hlist":"ready","ext.gadget.darkmode-overrides":"ready","ext.gadget.small-references":"ready","ext.gadget.citation-access-info":"ready","ext.gadget.sprawdz-problemy-szablony":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","ext.scribunto.logs","site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc","skins.vector.js", "ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.ll-script-loader","ext.gadget.veKeepParameters","ext.gadget.szablon-galeria","ext.gadget.NavFrame","ext.gadget.citoid-overrides","ext.gadget.maps","ext.gadget.padlock-indicators","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.gadget.edit-summaries","ext.gadget.edit-first-section","ext.gadget.wikibugs","ext.gadget.map-toggler","ext.gadget.narrowFootnoteColumns","ext.gadget.WDsearch","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=pl&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.gadget.citation-access-info%2Cdarkmode-overrides%2Chlist%2Cinfobox%2Csmall-references%2Csprawdz-problemy-szablony%2Cwikiflex&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Funkcje elementarne – Wikipedia, wolna encyklopedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//pl.m.wikipedia.org/wiki/Funkcje_elementarne"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Edytuj" href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (pl)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//pl.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_elementarne"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Kanał Atom Wikipedii" href="/w/index.php?title=Specjalna:Ostatnie_zmiany&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Funkcje_elementarne rootpage-Funkcje_elementarne skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Przejdź do zawartości</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menu główne" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menu główne</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menu główne</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Nawigacja </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" title="Przejdź na stronę główną [z]" accesskey="z"><span>Strona główna</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Losowa_strona" title="Załaduj losową stronę [x]" accesskey="x"><span>Losuj artykuł</span></a></li><li id="n-Kategorie" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Kategorie_G%C5%82%C3%B3wne"><span>Kategorie artykułów</span></a></li><li id="n-Featured-articles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Wyr%C3%B3%C5%BCniona_zawarto%C5%9B%C4%87_Wikipedii"><span>Najlepsze artykuły</span></a></li><li id="n-FAQ" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:FAQ"><span>Częste pytania (FAQ)</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-zmiany" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-zmiany" > <div class="vector-menu-heading"> Dla czytelników </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-czytelnicy" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii"><span>O Wikipedii</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kontakt_z_wikipedystami"><span>Kontakt</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-edytorzy" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-edytorzy" > <div class="vector-menu-heading"> Dla wikipedystów </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-pierwsze-kroki" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki"><span>Pierwsze kroki</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Portal_wikipedyst%C3%B3w" title="O projekcie – co możesz zrobić, gdzie możesz znaleźć informacje"><span>Portal wikipedystów</span></a></li><li id="n-Noticeboard" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tablica_og%C5%82osze%C5%84"><span>Ogłoszenia</span></a></li><li id="n-Guidelines" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Zasady"><span>Zasady</span></a></li><li id="n-helppage-name" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Spis_tre%C5%9Bci"><span>Pomoc</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Ostatnie_zmiany" title="Lista ostatnich zmian w Wikipedii. [r]" accesskey="r"><span>Ostatnie zmiany</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="wolna encyklopedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-pl.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Specjalna:Szukaj" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Szukaj</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Przeszukaj Wikipedię" aria-label="Przeszukaj Wikipedię" autocapitalize="sentences" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Specjalna:Szukaj"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Szukaj</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Narzędzia osobiste"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Zmień rozmiar czcionki, szerokość oraz kolorystykę strony" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Wygląd" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Wygląd</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl" class=""><span>Wspomóż Wikipedię</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Funkcje+elementarne" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe." class=""><span>Utwórz konto</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Funkcje+elementarne" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o" class=""><span>Zaloguj się</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Więcej opcji" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia osobiste" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia osobiste</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menu użytkownika" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl"><span>Wspomóż Wikipedię</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Funkcje+elementarne" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Utwórz konto</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Funkcje+elementarne" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Zaloguj się</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Strony dla anonimowych edytorów <a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki" aria-label="Dowiedz się więcej na temat edytowania"><span>dowiedz się więcej</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:M%C3%B3j_wk%C5%82ad" title="Lista edycji wykonanych z tego adresu IP [y]" accesskey="y"><span>Edycje</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Moja_dyskusja" title="Dyskusja użytkownika dla tego adresu IP [n]" accesskey="n"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Spis treści" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Spis treści</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ukryj</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Początek</div> </a> </li> <li id="toc-Generatory_funkcji_elementarnych_i_działania_podstawowe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Generatory_funkcji_elementarnych_i_działania_podstawowe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Generatory funkcji elementarnych i działania podstawowe</span> </div> </a> <ul id="toc-Generatory_funkcji_elementarnych_i_działania_podstawowe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Rodzina_funkcji_elementarnych" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Rodzina_funkcji_elementarnych"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Rodzina funkcji elementarnych</span> </div> </a> <ul id="toc-Rodzina_funkcji_elementarnych-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Własności_funkcji_elementarnych" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Własności_funkcji_elementarnych"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Własności funkcji elementarnych</span> </div> </a> <ul id="toc-Własności_funkcji_elementarnych-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Funkcje_nieelementarne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Funkcje_nieelementarne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Funkcje nieelementarne</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Funkcje_nieelementarne-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Funkcje nieelementarne</span> </button> <ul id="toc-Funkcje_nieelementarne-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-I._Funkcje_nieelementarne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#I._Funkcje_nieelementarne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>I. Funkcje nieelementarne</span> </div> </a> <ul id="toc-I._Funkcje_nieelementarne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-II._Całki_nieelementarne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#II._Całki_nieelementarne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>II. Całki nieelementarne</span> </div> </a> <ul id="toc-II._Całki_nieelementarne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Przypisy</span> </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Linki_zewnętrzne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Linki_zewnętrzne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Linki zewnętrzne</span> </div> </a> <ul id="toc-Linki_zewnętrzne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Funkcje elementarne</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 36 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-36" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">36 języków</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9_%D8%A7%D8%A8%D8%AA%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D9%8A%D8%A9" title="دالة ابتدائية – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="دالة ابتدائية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Chho%CD%98-t%C3%A9ng_h%C3%A2m-s%C3%B2%CD%98" title="Chho͘-téng hâm-sò͘ – minnański" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Chho͘-téng hâm-sò͘" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnański" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%8B%D1%96" title="Элементарныя функцыі – białoruski" lang="be" hreflang="be" data-title="Элементарныя функцыі" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="białoruski" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Elementarna_funkcija" title="Elementarna funkcija – bośniacki" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Elementarna funkcija" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bośniacki" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3_elemental" title="Funció elemental – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Funció elemental" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BB%C4%83_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8" title="Элементарлă функци – czuwaski" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Элементарлă функци" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="czuwaski" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Element%C3%A1rn%C3%AD_funkce" title="Elementární funkce – czeski" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Elementární funkce" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="czeski" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elementare_Funktion" title="Elementare Funktion – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Elementare Funktion" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Elementaarfunktsioon" title="Elementaarfunktsioon – estoński" lang="et" hreflang="et" data-title="Elementaarfunktsioon" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estoński" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_function" title="Elementary function – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Elementary function" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_elemental" title="Función elemental – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Función elemental" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%85%D9%82%D8%AF%D9%85%D8%A7%D8%AA%DB%8C" title="تابع مقدماتی – perski" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تابع مقدماتی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perski" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_%C3%A9l%C3%A9mentaire" title="Fonction élémentaire – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Fonction élémentaire" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B4%88%EB%93%B1%ED%95%A8%EC%88%98" title="초등함수 – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="초등함수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8F%D5%A1%D6%80%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D6%86%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%A1%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Տարրական ֆունկցիաներ – ormiański" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Տարրական ֆունկցիաներ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ormiański" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_elementare" title="Funzione elementare – włoski" lang="it" hreflang="it" data-title="Funzione elementare" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="włoski" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%9E%D7%A0%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="פונקציה אלמנטרית – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="פונקציה אלמנטרית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%D0%BB%D0%B0%D1%80" title="Элементар функциялар – kazachski" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Элементар функциялар" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazachski" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Elementaire_functie" title="Elementaire functie – niderlandzki" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Elementaire functie" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="niderlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E9%96%A2%E6%95%B0" title="初等関数 – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="初等関数" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Element%C3%A6r_funksjon" title="Elementær funksjon – norweski (bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Elementær funksjon" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norweski (bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Element%C3%A6r_funksjon" title="Elementær funksjon – norweski (nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Elementær funksjon" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norweski (nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Elementar_funksiyalar" title="Elementar funksiyalar – uzbecki" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Elementar funksiyalar" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbecki" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_elementar" title="Função elementar – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Função elementar" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8" title="Элементарные функции – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Элементарные функции" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Funksioni_elementar" title="Funksioni elementar – albański" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Funksioni elementar" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albański" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Elementarna_funkcija" title="Elementarna funkcija – słoweński" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Elementarna funkcija" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="słoweński" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B5" title="Елементарне функције – serbski" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Елементарне функције" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbski" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Alkeisfunktio" title="Alkeisfunktio – fiński" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Alkeisfunktio" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="fiński" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Element%C3%A4r_funktion" title="Elementär funktion – szwedzki" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Elementär funktion" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="szwedzki" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99" title="ฟังก์ชันมูลฐาน – tajski" lang="th" hreflang="th" data-title="ฟังก์ชันมูลฐาน" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tajski" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Temel_fonksiyon" title="Temel fonksiyon – turecki" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Temel fonksiyon" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turecki" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97" title="Елементарні функції – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Елементарні функції" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p" title="Hàm số sơ cấp – wietnamski" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Hàm số sơ cấp" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="wietnamski" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%87%BD%E6%95%B8" title="初等函數 – kantoński" lang="yue" hreflang="yue" data-title="初等函數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoński" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%87%BD%E6%95%B0" title="初等函数 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="初等函数" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q824282#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Funkcje_elementarne" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c"><span>Artykuł</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Dyskusja:Funkcje_elementarne" rel="discussion" title="Dyskusja o zawartości tej strony [t]" accesskey="t"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Zmień wariant języka" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">polski</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Widok"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Funkcje_elementarne"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&action=history" title="Starsze wersje tej strony [h]" accesskey="h"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Narzędzia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Więcej opcji" > <div class="vector-menu-heading"> Działania </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Funkcje_elementarne"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&action=history"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ogólne </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Funkcje_elementarne" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j"><span>Linkujące</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Funkcje_elementarne" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k"><span>Zmiany w linkowanych</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u"><span>Prześlij plik</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne" title="Lista wszystkich stron specjalnych [q]" accesskey="q"><span>Strony specjalne</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&oldid=75021815" title="Stały link do tej wersji tej strony"><span>Link do tej wersji</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&action=info" title="Więcej informacji na temat tej strony"><span>Informacje o tej stronie</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=Funkcje_elementarne&id=75021815&wpFormIdentifier=titleform" title="Informacja o tym jak należy cytować tę stronę"><span>Cytowanie tego artykułu</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FFunkcje_elementarne"><span>Zobacz skrócony adres URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FFunkcje_elementarne"><span>Pobierz kod QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Funkcje+elementarne"><span>Utwórz książkę</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Funkcje_elementarne&action=show-download-screen"><span>Pobierz jako PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&printable=yes" title="Wersja do wydruku [p]" accesskey="p"><span>Wersja do druku</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Functions_(mathematics)" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q824282" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g"><span>Element Wikidanych</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><p><b>Funkcje elementarne</b> – różnie definiowana klasa <a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">funkcji matematycznych</a>, zawierająca listą <b>funkcji podstawowych</b> oraz listę podstawowych <a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działań</a> na nich. Funkcje elementarne zwykle definiuje się w kontekście <a href="/wiki/Funkcja_rzeczywista" title="Funkcja rzeczywista">funkcji rzeczywistych</a> zmiennej <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">rzeczywistej</a>, jednak można je uogólniać do <a href="/wiki/Funkcja_zespolona" title="Funkcja zespolona">funkcji zespolonych</a> i zespolonej dziedziny, a także definiować na innych <a href="/wiki/Algebra_og%C3%B3lna" title="Algebra ogólna">strukturach algebraicznych</a><sup class="noprint" title="Te informacje wymagają podania przypisów bibliograficznych od 2023-05">[<a href="/wiki/Pomoc:Przypisy" title="Pomoc:Przypisy">potrzebny przypis</a>]</sup>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Generatory_funkcji_elementarnych_i_działania_podstawowe"><span id="Generatory_funkcji_elementarnych_i_dzia.C5.82ania_podstawowe"></span>Generatory funkcji elementarnych i działania podstawowe</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Generatory funkcji elementarnych i działania podstawowe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Generatory funkcji elementarnych i działania podstawowe"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>1. Zbiór funkcji podstawowych – tzw. <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_generator%C3%B3w" class="mw-disambig" title="Zbiór generatorów">generatorów</a>: </p> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_sta%C5%82a" title="Funkcja stała">funkcje stałe</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{c}(x)=c,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{c}(x)=c,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc089268ad7092b94b062fc25b10e12559c7bcbb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.975ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{c}(x)=c,}"></span> gdzie c jest <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczbą rzeczywistą</a> (w niektórych ujęciach <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczbą zespoloną</a>)</li> <li><a href="/wiki/Funkcja_to%C5%BCsamo%C5%9Bciowa" title="Funkcja tożsamościowa">identyczność</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle id(x)=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle id(x)=x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905d7c1b623eaecfb5d16cd49e30a1f5c7b5f81b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.585ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle id(x)=x}"></span></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_wyk%C5%82adnicza" title="Funkcja wykładnicza">funkcje wykładnicze</a> i <a href="/wiki/Logarytm" title="Logarytm">logarytmiczne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_trygonometryczne" title="Funkcje trygonometryczne">funkcje trygonometryczne</a> i <a href="/wiki/Funkcje_cyklometryczne" title="Funkcje cyklometryczne">odwrotne do trygonometrycznych</a></li></ul> <p>2, Zbiór działań podstawowych: </p> <ul><li><a href="/wiki/Arytmetyka_elementarna" title="Arytmetyka elementarna">działania arytmetyczne</a> (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie)</li> <li><a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">złożenie funkcji</a></li></ul> <p>3. Do funkcji elementarnych zalicza się tylko <b>wyniki wykonywania powyższych działań skończoną liczbę razy</b><sup id="cite_ref-epwn_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-1">[1]</a></sup><sup id="cite_ref-eom_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-eom-2">[2]</a></sup>. </p><p>Uwagi: </p><p>(1) Dla różnych zastosowań wprowadza się pewne modyfikacje powyższej definicji. Niektórzy dopuszczają na przykład operację brania funkcji odwrotnej do funkcji już utworzonej (o ile jest to możliwe). Niekiedy dodaje się <a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna">wartość bezwzględną</a> do funkcji elementarnych. Niektórzy odrzucają operację potęgowania ze składu operacji podstawowych. </p><p>(2) Także zbiór generatorów mógłby być nieco węższy, np. wystarczy <a href="/wiki/Funkcje_trygonometryczne" title="Funkcje trygonometryczne">sinus</a>, aby odtworzyć wszystkie pozostałe funkcje trygonometryczne. </p><p>Nie ma to znaczenia z punktu widzenia klasyfikacji funkcji jako elementarnych – w ten sposób zdefiniowany zbiór funkcji elementarnych byłby taki sam. </p><p>W <a href="/wiki/Teoria_oblicze%C5%84" title="Teoria obliczeń">teorii obliczeń</a> stosuje się też jeszcze inne definicje funkcji elementarnych, w których na przykład dziedziną są <a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczby naturalne</a><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3">[3]</a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rodzina_funkcji_elementarnych">Rodzina funkcji elementarnych</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Rodzina funkcji elementarnych" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Rodzina funkcji elementarnych"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Rodzina funkcji obejmuje m. in.: </p> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_algebraiczna" title="Funkcja algebraiczna">funkcje algebraiczne</a>, w tym <a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">wielomiany</a> i inne <a href="/wiki/Funkcja_wymierna" title="Funkcja wymierna">funkcje wymierne</a>,</li> <li>część funkcji przestępnych (tj. takich, które nie są algebraiczne), np. funkcje <a href="/wiki/Funkcje_hiperboliczne" title="Funkcje hiperboliczne">hiperboliczne</a>, <a href="/wiki/Funkcje_hiperboliczne_odwrotne" title="Funkcje hiperboliczne odwrotne">polowe</a>, <a href="/wiki/Rozk%C5%82ad_normalny" title="Rozkład normalny">rozkład normalny</a> (Gaussa).</li></ul> <p><b>Uwagi:</b> </p><p><b>(1)</b> Czasem wśród działań podstawowych wymienia się funkcje <a href="/wiki/Funkcja_pot%C4%99gowa" title="Funkcja potęgowa">potęgowe</a><sup id="cite_ref-zpe2_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-zpe2-4">[4]</a></sup>, w tym <a href="/wiki/Pierwiastkowanie" title="Pierwiastkowanie">pierwiastkowe</a><sup id="cite_ref-zpe1_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-zpe1-5">[5]</a></sup>. Zaś jako generatory włącza się wielomiany. Takie założenia nie poszerzają jednak zakresu pojęcia funkcji elementarnych, ponieważ: </p> <ul><li>wielomiany i inne funkcje wymierne sprowadzają się do czterech działań arytmetycznych na funkcjach stałych oraz tożsamości,</li> <li>pierwiastki i inne funkcje potęgowe sprowadzają się do funkcji wykładniczej oraz logarytmu za pomocą mnożenia i złożenia, zgodnie ze wzorem:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{\alpha }=\exp \ln(x^{\alpha })=\exp(\alpha \ln x),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{\alpha }=\exp \ln(x^{\alpha })=\exp(\alpha \ln x),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4ffd745d4d33bad52ece98fc06309bf528cb58" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.652ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{\alpha }=\exp \ln(x^{\alpha })=\exp(\alpha \ln x),}"></span></dd> <dd><u>Uzasadnienie</u>:</dd> <dd><b>(a)</b> funkcja wykładnicza i logarytmiczna są funkcjami wzajemnie odwrotnymi, dlatego dla dowolnej funkcji mamy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exp \ln(f(x))=f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp \ln(f(x))=f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc127bf6748e54d87b380c58c8a54d274eb41b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.622ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exp \ln(f(x))=f(x)}"></span></dd> <dd><b>(b)</b> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(x^{\alpha })=\alpha \ln x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(x^{\alpha })=\alpha \ln x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28522deb2fa71279daa45a923fcbdfa3492c945d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.992ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln(x^{\alpha })=\alpha \ln x}"></span> - jest to podstawowa własność logarytmu</dd></dl> <p><b>(2)</b> Czasem do dopuszczalnych działań włącza się <a href="/wiki/Funkcja_odwrotna" title="Funkcja odwrotna">odwracanie funkcji</a><sup id="cite_ref-zpe2_4-1" class="reference"><a href="#cite_note-zpe2-4">[4]</a></sup>, co pozwala zawęzić listę funkcji podstawowych, ponieważ funkcje logarytmiczne są odwrotne do wykładniczych, a kołowe – do trygonometrycznych<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6">[6]</a></sup>. (I włącza to do nich m.in. <a href="/wiki/Funkcja_W_Lamberta" title="Funkcja W Lamberta">funkcję W Lamberta</a>) </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Własności_funkcji_elementarnych"><span id="W.C5.82asno.C5.9Bci_funkcji_elementarnych"></span>Własności funkcji elementarnych</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Własności funkcji elementarnych" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Własności funkcji elementarnych"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>(1)</b> Funkcje elementarne są <a href="/wiki/Funkcja_ci%C4%85g%C5%82a" title="Funkcja ciągła">ciągłe</a> w każdym punkcie dziedziny<sup id="cite_ref-zpe1_5-1" class="reference"><a href="#cite_note-zpe1-5">[5]</a></sup>. </p><p><b>(2)</b> Funkcje elementarne nie muszą być <a href="/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCniczkowalna" title="Funkcja różniczkowalna">różniczkowalne</a> </p><p>Np. <a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna">wartość bezwzględna</a><sup id="cite_ref-zut_7-0" class="reference"><a href="#cite_note-zut-7">[7]</a></sup> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf4f434beec0527bf368c9691e30c76acbef05a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.429ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}"></span> </p><p>- funkcja ta nie ma pochodnej dla x=0. </p><p><b>(3)</b> Z własności <a href="/wiki/Pochodna_funkcji" title="Pochodna funkcji">różniczkowania</a> wynika, że funkcje elementarne są zamknięte ze względu na tę operację, tzn. pochodna każdej funkcji elementarnej jest funkcją elementarną<sup id="cite_ref-epwn_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-1">[1]</a></sup>. </p><p><b>(4)</b> Funkcje elementarne poddane całkowaniu nie tworzą na ogół funkcji elementarnych <a href="/wiki/Ca%C5%82ka" title="Całka">całkowaniu</a><sup id="cite_ref-eom_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-eom-2">[2]</a></sup> – dalej podano przykłady funkcji elementarnych, dla których <a href="/wiki/Funkcja_pierwotna" title="Funkcja pierwotna">funkcje pierwotne (całki nieoznaczona)</a> nie są elementarne. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funkcje_nieelementarne">Funkcje nieelementarne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Funkcje nieelementarne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Funkcje nieelementarne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Ze względu na wymóg skończoności liczby działań wykonywanych przy tworzeniu nowych funkcji z generatorów funkcjami elementarnymi nie są funkcje definiowane za pomocą szeregów, nieskończonych iloczynów, niektóre <a href="/wiki/Ca%C5%82ka" title="Całka">całki</a><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8">[8]</a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="I._Funkcje_nieelementarne">I. Funkcje nieelementarne</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: I. Funkcje nieelementarne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: I. Funkcje nieelementarne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>- to funkcje definiowane w sposób niezgodny z wymogiem definicji funkcji elementarnych: </p> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_signum" title="Funkcja signum">funkcja <b>znaku</b></a> (signum)</li> <li><a href="/wiki/Pod%C5%82oga_i_sufit" title="Podłoga i sufit">podłoga</a> (część całkowita, funkcja entier, cecha)</li> <li><a href="/wiki/Pod%C5%82oga_i_sufit" title="Podłoga i sufit">sufit</a>, <a href="/wiki/Pod%C5%82oga_i_sufit" title="Podłoga i sufit">część ułamkowa</a> (mantysa)</li> <li><a href="/wiki/Funkcja_Dirichleta" title="Funkcja Dirichleta">funkcja <b>Dirichleta</b></a><sup id="cite_ref-zut_7-1" class="reference"><a href="#cite_note-zut-7">[7]</a></sup></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_Riemanna" title="Funkcja Riemanna">funkcja <b>Riemanna</b></a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_Weierstrassa" title="Funkcja Weierstrassa">piła <b>Weierstrassa</b></a></li> <li>większość <a href="/wiki/Funkcje_specjalne" title="Funkcje specjalne">funkcji specjalnych</a>, np.: <ul><li><a href="/wiki/Funkcje_eliptyczne_Jacobiego#Definicja_funkcji_amplitudy_Jacobiego" title="Funkcje eliptyczne Jacobiego">funkcja <b>amplitudy</b> <b>Jacobiego</b></a> - funkcja odwrotna do całek eliptycznych, które same są funkcjami nieelementarnymi</li> <li><a href="/wiki/Funkcje_Bessela" title="Funkcje Bessela">funkcje <b>Bessela</b></a> – definiuje się za pomocą <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe" title="Równanie różniczkowe">równania różniczkowego</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_dzeta_Riemanna" title="Funkcja dzeta Riemanna">funkcję <b>dzeta</b> Riemanna</a> (ζ) – definiuje się za pomocą <a href="/wiki/Szereg_(matematyka)" title="Szereg (matematyka)">szeregu</a> (dodawanie nieskończenie wielu wyrazów)</li> <li><a href="/wiki/Funkcje_eliptyczne_Jacobiego" title="Funkcje eliptyczne Jacobiego">funkcje <b>eliptyczne Jacobiego</b></a> - definiuje się je jako funkcje funkcji amplitudy Jacobiego</li> <li><a href="/wiki/Funkcja_%CE%93" title="Funkcja Γ">funkcję <b>gamma</b> Eulera</a> (Γ) – definiuje się za pomocą całki lub <a href="/wiki/Iloczyn_niesko%C5%84czony" title="Iloczyn nieskończony">iloczynu nieskończonego</a> (dodawanie / mnożenie nieskończenie wielu wyrazów)</li></ul></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="II._Całki_nieelementarne"><span id="II._Ca.C5.82ki_nieelementarne"></span>II. Całki nieelementarne</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: II. Całki nieelementarne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: II. Całki nieelementarne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>- to de facto funkcje jednej zmiennej, zdefiniowane za pomocą całek </p> <ul><li><a href="/wiki/Ca%C5%82ki_eliptyczne" title="Całki eliptyczne">całka eliptyczna</a> pierwszego rodzaju</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int {\sqrt {1-x^{4}}}dx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int {\sqrt {1-x^{4}}}dx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b178603d9b4d33f64d5b10521cf07dc736bb1bca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.837ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int {\sqrt {1-x^{4}}}dx}"></span></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_b%C5%82%C4%99du" title="Funkcja błędu">funkcja błędu</a> oraz <a href="/wiki/Dystrybuanta" title="Dystrybuanta">dystrybuanta</a> standardowego <a href="/wiki/Rozk%C5%82ad_normalny" title="Rozkład normalny">rozkładu normalnego</a></li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </msqrt> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1958569364503b0f48a9c4f36fe95905228d3efe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:22.918ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}dt}"></span></dd></dl> <ul><li>całka z funkcji <a href="/wiki/Funkcja_sinc" title="Funkcja sinc">sinc</a><sup id="cite_ref-epwn_1-2" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-1">[1]</a></sup>:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int {\frac {\sin x}{x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int {\frac {\sin x}{x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c479172cac7c646599fa714b74938d91f20d08ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:7.989ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int {\frac {\sin x}{x}}}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&veaction=edit&section=7" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&action=edit&section=7" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-epwn-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-epwn_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-epwn_1-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-epwn_1-2">c</a></sup></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3903286"><i>funkcje elementarne</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2021-12-20]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=funkcje+elementarne&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3903286" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-eom-2"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-eom_2-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-eom_2-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Elementary_functions">Elementary functions</a></i> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-29].</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Zobacz np. <a rel="nofollow" class="external autonumber" href="https://web.archive.org/web/20070930181443/http://www.mimuw.edu.pl/~szczuka/modobl/Lecture3.pdf">[1]</a>.</span> </li> <li id="cite_note-zpe2-4"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-zpe2_4-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-zpe2_4-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/DLgNo0Cdl">Przeczytaj. Słownik</a>, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-05-29].</span> </li> <li id="cite_note-zpe1-5"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-zpe1_5-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-zpe1_5-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/DxqU0TuwY">Przeczytaj</a>, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-05-29].</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> Anna Barbaszewska-Wiśniowska, <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl/tiki-index.php?page=Podstawowe%20funkcje%20elementarne">Podstawowe funkcje elementarne</a></i>, pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2023-05-29].</span> </li> <li id="cite_note-zut-7"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-zut_7-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-zut_7-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://matematyka.zut.edu.pl/?id=15106">Funkcje elementarne i nieelementarne</a></i>, Matematyka z ZUT-em, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2023-05-29].</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation open-access"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Eric W.</span><span class="cite-name-initials" title="Eric W." style="display:none">E.W.</span> </span><span class="cite-lastname">Weisstein</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Eric W.</span><span class="cite-name-initials" title="Eric W.">E.W.</span></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/ElementaryFunction.html"><i>Elementary Function</i></a>, [w:] <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>, <a href="/wiki/Wolfram_Research" title="Wolfram Research">Wolfram Research</a><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=bookitem&rft.aufirst=Eric+W.&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=%5B%5BMathWorld%5D%5D&rft.atitle=Elementary+Function&rft.aulast=Weisstein&rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FElementaryFunction.html" style="display:none"> </span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite> [dostęp 2023-05-29].</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Linki_zewnętrzne"><span id="Linki_zewn.C4.99trzne"></span>Linki zewnętrzne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&veaction=edit&section=8" title="Edytuj sekcję: Linki zewnętrzne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&action=edit&section=8" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Linki zewnętrzne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_2:_Funkcje_elementarne">Funkcje elementarne</a>, wykład 2 z kursu „Analiza matematyczna 1”, wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2023-05-29] – podstawowe informacje o rzeczywistych funkcjach elementarnych.</li></ul> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74983602">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy .before,.mw-parser-output .navbox.pionowy .after{padding:0.5em 0;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.caption,.mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background:#ccf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox .tnavbar{font-weight:normal;font-size:xx-small;white-space:nowrap;padding:0}.mw-parser-output .navbox>.tnavbar{margin-left:1em;float:left}.mw-parser-output .navbox .below>hr+.tnavbar{margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox .below>.tnavbar:before{content:"Ten szablon: "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:after{content:" · "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .navbox hr{margin:0.2em 1em}.mw-parser-output .navbox .title{background:#ddf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content:not(.grupa-szablonów-nawigacyjnych){margin-top:2px;padding:0;font-size:smaller;overflow:auto}.mw-parser-output .navbox .above+div,.mw-parser-output .navbox .above+.navbox-main-content,.mw-parser-output .navbox .below,.mw-parser-output .navbox .title+.grid{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below{background:#ddf;text-align:center;margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .navbox .flex>.before,.mw-parser-output .navbox .flex>.after{align-self:center;text-align:center}.mw-parser-output .navbox .flex>.navbox-main-content{flex-grow:1}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .before{margin-right:0.5em}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .after{margin-left:0.5em}.mw-parser-output .navbox .inner-columns,.mw-parser-output .navbox .inner-group,.mw-parser-output .navbox .inner-standard{border-spacing:0;border-collapse:collapse;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis{text-align:right;vertical-align:middle}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis+.spis{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td{padding:0;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td:first-child{text-align:center}.mw-parser-output .navbox .inner-standard .inner-standard>tbody>tr>td{text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-odd,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-even{padding:0 0.3em}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>th+td{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns{table-layout:fixed}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{padding:0;border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);border-right:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{vertical-align:top}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:first-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:first-child{border-left:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:last-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:last-child{border-right:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ul,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ol,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>dl{text-align:left;column-width:24em}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+table{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.opis,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.spis{padding:0.1em 1em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-toggle,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.mw-collapsible-toggle{width:4em;text-align:right;margin-right:0.4em}.mw-parser-output .navbox>.fakebar,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.fakebar{float:left;width:4em;height:1em}.mw-parser-output .navbox .opis{background:#ddf;padding:0 1em;white-space:nowrap;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox.pionowy .opis{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-even,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-odd{background:transparent}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-odd,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-even{background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div{background:transparent}.mw-parser-output .navbox p{margin:0;padding:0.3em 0}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:gold}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:silver}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#c96}.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ul,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>dl,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ol{column-width:24em;text-align:left}.mw-parser-output .navbox ul{list-style:none}.mw-parser-output .navbox .references{background:transparent}.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dd,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dt,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist li{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox .rok{display:inline-block;width:4em;padding-right:0.5em;text-align:right}.mw-parser-output .navbox .navbox-statistics{margin-top:2px;border-top:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);text-align:center;font-size:small}.mw-parser-output .navbox-summary>.title{font-weight:bold;font-size:larger}.mw-parser-output .navbox:not(.grupa-szablonów) .navbox{margin:0;border:0;padding:0}.mw-parser-output .navbox.grupa-szablonów>.grupa-szablonów-nawigacyjnych>.navbox:first-child{margin-top:2px}@media(max-width:800px){.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.before,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.after{display:none}}.mw-parser-output .navbox .opis img,.mw-parser-output .navbox .opis .flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.image{display:none}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}</style><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Funkcje_elementarne" title="Szablon:Funkcje elementarne"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Funkcje_elementarne&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Funkcje elementarne (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Funkcje_elementarne&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a class="mw-selflink selflink">Funkcje elementarne</a></div><div class="mw-collapsible-content"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Funkcja_algebraiczna" title="Funkcja algebraiczna">algebraiczne</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a1_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Funkcja_wymierna" title="Funkcja wymierna">wymierne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_homograficzna" title="Funkcja homograficzna">homografie</a> <ul><li><a href="/wiki/Liczba_odwrotna" title="Liczba odwrotna">liczba odwrotna</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">wielomianowe</a> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_sta%C5%82a" title="Funkcja stała">stałe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_liniowa" title="Funkcja liniowa">liniowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_kwadratowa" title="Funkcja kwadratowa">kwadratowe</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Wielomian_stopnia_trzeciego&action=edit&redlink=1" class="new" title="Wielomian stopnia trzeciego (strona nie istnieje)">stopnia trzeciego</a></li> <li><a href="/wiki/Wielomian_stopnia_czwartego" title="Wielomian stopnia czwartego">stopnia czwartego</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a1_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Funkcja_pot%C4%99gowa" title="Funkcja potęgowa">potęgowe</a> o wykładniku<br /><a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">wymiernym</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Pierwiastkowanie" title="Pierwiastkowanie">pierwiastek arytmetyczny</a> <ul><li><a href="/wiki/Pierwiastek_kwadratowy" title="Pierwiastek kwadratowy">pierwiastek kwadratowy</a></li> <li><a href="/wiki/Pierwiastek_sze%C5%9Bcienny" title="Pierwiastek sześcienny">pierwiastek sześcienny</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a1_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna">wartość bezwzględna</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Funkcja_algebraiczna" title="Funkcja algebraiczna">przestępne</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a2_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">definiowane<br /><a href="/wiki/Pot%C4%99gowanie" title="Potęgowanie">potęgowaniem</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_pot%C4%99gowa" title="Funkcja potęgowa">potęgowe</a> o wykładniku <a href="/wiki/Liczby_niewymierne" title="Liczby niewymierne">niewymiernym</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_wyk%C5%82adnicza" title="Funkcja wykładnicza">wykładnicze</a></li> <li><a href="/wiki/Logarytm" title="Logarytm">logarytmy</a> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_logarytmiczna" title="Funkcja logarytmiczna">funkcje logarytmiczne</a></li> <li><a href="/wiki/Logarytm_binarny" title="Logarytm binarny">logarytm binarny</a></li> <li><a href="/wiki/Logarytm_dziesi%C4%99tny" title="Logarytm dziesiętny">logarytm dziesiętny</a></li> <li><a href="/wiki/Logarytm_naturalny" title="Logarytm naturalny">logarytm naturalny</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_hiperboliczne" title="Funkcje hiperboliczne">hiperboliczne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_hiperboliczne_odwrotne" title="Funkcje hiperboliczne odwrotne">area (polowe)</a></li> <li><a href="/wiki/Tetracja" title="Tetracja">tetracja</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcje_trygonometryczne" title="Funkcje trygonometryczne">trygonometryczne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_cyklometryczne" title="Funkcje cyklometryczne">cyklometryczne (kołowe)</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_sinc" title="Funkcja sinc">funkcja sinc</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_Gudermanna" title="Funkcja Gudermanna">funkcja Gudermanna</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Krzywa" title="Krzywa">krzywe</a> tworzące<br /><a href="/wiki/Wykres_funkcji" title="Wykres funkcji">wykresy</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a3_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">funkcji algebraicznych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Prosta" title="Prosta">prosta</a></li> <li><a href="/wiki/Krzywa_sto%C5%BCkowa" title="Krzywa stożkowa">stożkowe</a> <ul><li><a href="/wiki/Okr%C4%85g" title="Okrąg">okrąg</a></li> <li><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82okr%C4%85g" title="Półokrąg">półokrąg</a></li> <li><a href="/wiki/Elipsa" title="Elipsa">elipsa</a></li> <li><a href="/wiki/Parabola_(matematyka)" title="Parabola (matematyka)">parabola</a></li> <li><a href="/wiki/Hiperbola_(matematyka)" title="Hiperbola (matematyka)">hiperbola</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Parabola_sze%C5%9Bcienna" title="Parabola sześcienna">parabola sześcienna</a></li> <li><a href="/wiki/Lok_Agnesi" title="Lok Agnesi">lok Agnesi</a></li> <li><a href="/wiki/Parabola_semikubiczna" title="Parabola semikubiczna">parabola semikubiczna</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">funkcji przestępnych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Krzywa_%C5%82a%C5%84cuchowa" title="Krzywa łańcuchowa">krzywa łańcuchowa</a></li> <li><a href="/wiki/Cykloida" title="Cykloida">cykloida</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row">powiązane tematy</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Arytmetyka_elementarna" title="Arytmetyka elementarna">działania arytmetyczne</a></li> <li><a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">złożenie funkcji</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_odwrotna" title="Funkcja odwrotna">funkcja odwrotna</a></li> <li><a href="/wiki/Notacja_strza%C5%82kowa" title="Notacja strzałkowa">notacja strzałkowa</a></li> <li><a href="/wiki/Trygonometria" title="Trygonometria">trygonometria</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></div></div> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r74983602"><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Funkcje_matematyczne" title="Szablon:Funkcje matematyczne"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Funkcje_matematyczne&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Funkcje matematyczne (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Funkcje_matematyczne&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">Funkcje matematyczne</a></div><div class="mw-collapsible-content flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">pojęcia podstawowe</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Argument_funkcji" title="Argument funkcji">argument</a></li> <li><a href="/wiki/Argumentowo%C5%9B%C4%87" title="Argumentowość">argumentowość</a></li> <li><a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzina</a></li> <li><a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzina naturalna</a></li> <li><a href="/wiki/Przeciwdziedzina" title="Przeciwdziedzina">przeciwdziedzina</a></li> <li><a href="/wiki/Zaw%C4%99%C5%BCenie_funkcji" title="Zawężenie funkcji">zawężenie, in. obcięcie</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Obraz_(matematyka)" title="Obraz (matematyka)">obraz</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Obraz_(matematyka)" title="Obraz (matematyka)">zbiór wartości</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Przeciwobraz" title="Przeciwobraz">przeciwobraz</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Poziomica_(matematyka)" title="Poziomica (matematyka)">poziomice, in. warstwice</a></li> <li><a href="/wiki/Miejsce_zerowe" title="Miejsce zerowe">miejsca zerowe</a></li> <li><a href="/wiki/J%C4%85dro_(teoria_mnogo%C5%9Bci)" title="Jądro (teoria mnogości)">jądro funkcji</a></li> <li><a href="/wiki/Ma%C5%82y_obraz" title="Mały obraz">mały obraz</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row">typy (rodzaje)</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a4_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">ogólne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCnowarto%C5%9Bciowa" title="Funkcja różnowartościowa">różnowartościowe – iniekcje</a></li> <li><a href="/wiki/Surjekcja" title="Surjekcja">„na” – suriekcje</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_wzajemnie_jednoznaczna" title="Funkcja wzajemnie jednoznaczna">wzajemnie jednoznaczne – bijekcje</a>, <a href="/wiki/Funkcja_odwrotna" title="Funkcja odwrotna">funkcje odwracalne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Ci%C4%85g_(matematyka)" title="Ciąg (matematyka)">ciągi</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana" title="Para uporządkowana">krotki</a> <ul><li><a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana" title="Para uporządkowana">pary uporządkowane</a></li> <li><a href="/wiki/Tr%C3%B3jka_uporz%C4%85dkowana" title="Trójka uporządkowana">trójki uporządkowane</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne <a href="/wiki/Funkcja_jednej_zmiennej" title="Funkcja jednej zmiennej">funkcje jednej zmiennej</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_pusta" title="Funkcja pusta">funkcja pusta</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_schodkowa" title="Funkcja schodkowa">funkcje schodkowe</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Funkcja_wielu_zmiennych" title="Funkcja wielu zmiennych">funkcje wielu zmiennych</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_symetryczna" title="Funkcja symetryczna">funkcje symetryczne</a> <ul><li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna" title="Przestrzeń metryczna">metryki</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Macierz" title="Macierz">macierze</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_5"><th class="navbox-group opis" scope="row">funkcje zdefiniowane<br />samą przeciwdziedziną</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_kardynalna" title="Funkcja kardynalna">kardynalne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_rzeczywista" title="Funkcja rzeczywista">rzeczywiste</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_wektorowa" title="Funkcja wektorowa">wektorowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_zespolona" title="Funkcja zespolona">zespolone</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_6"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działania algebraiczne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_zeroargumentowe" title="Działanie zeroargumentowe">zeroargumentowe</a></li> <li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_jednoargumentowe" title="Działanie jednoargumentowe">jednoargumentowe</a></li> <li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">dwuargumentowe</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_7"><th class="navbox-group opis" scope="row">odmiany działań<br />jednoargumentowych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_to%C5%BCsamo%C5%9Bciowa" title="Funkcja tożsamościowa">funkcje tożsamościowe</a></li> <li><a href="/wiki/Permutacja" title="Permutacja">permutacje</a> <ul><li><a href="/wiki/Transpozycja_(matematyka)" title="Transpozycja (matematyka)">transpozycje</a></li> <li><a href="/wiki/Nieporz%C4%85dek" title="Nieporządek">nieporządki</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_8"><th class="navbox-group opis" scope="row">funkcje zdefiniowane<br />zbiorem wartości</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_prosta" title="Funkcja prosta">funkcje proste</a> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_sta%C5%82a" title="Funkcja stała">funkcje stałe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_charakterystyczna_zbioru" title="Funkcja charakterystyczna zbioru">funkcje charakterystyczne</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_9"><th class="navbox-group opis" scope="row">zdefiniowane <a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9Bciowy_porz%C4%85dek" title="Częściowy porządek">porządkiem</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_ograniczona" title="Funkcja ograniczona">ograniczone</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">monotoniczne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_10"><th class="navbox-group opis" scope="row">zdefiniowane <a href="/wiki/Algebra" title="Algebra">algebraicznie</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_okresowa" title="Funkcja okresowa">okresowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_parzyste_i_nieparzyste" title="Funkcje parzyste i nieparzyste">parzyste i nieparzyste</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_11"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne funkcje</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_boolowska" title="Funkcja boolowska">boolowskie</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">elementarne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja#Funkcje_liczbowe" title="Funkcja">liczbowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_specjalne" title="Funkcje specjalne">specjalne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcjona%C5%82" title="Funkcjonał">funkcjonały</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row">pojęcia określone<br />głównie dla działań<br />jednoargumentowych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Punkt_sta%C5%82y" title="Punkt stały">punkt stały</a></li> <li><a href="/wiki/Punkt_okresowy" title="Punkt okresowy">punkt okresowy</a></li> <li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_niezmienniczy" title="Zbiór niezmienniczy">zbiór niezmienniczy</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">złożenie funkcji</a><br />(superpozycja)</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a6_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">przypadek działań<br />jednoargumentowych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Iteracja_funkcji" title="Iteracja funkcji">iteracja</a> <ul><li><a href="/wiki/Idempotentno%C5%9B%C4%87" title="Idempotentność">idempotentność</a></li> <li><a href="/wiki/Inwolucja_(matematyka)" title="Inwolucja (matematyka)">inwolucja</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82grupa_transformacji" title="Półgrupa transformacji">półgrupa transformacji</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_bijekcji" title="Grupa bijekcji">grupa bijekcji</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupa permutacji</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a6_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne przypadki</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_odwrotna" title="Funkcja odwrotna">funkcja odwrotna</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Struktura_matematyczna" title="Struktura matematyczna">struktury</a><br />definiowane funkcjami</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Algebra_og%C3%B3lna" title="Algebra ogólna">algebry ogólne (struktury algebraiczne)</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_funkcyjna" title="Przestrzeń funkcyjna">przestrzenie funkcyjne</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna" title="Przestrzeń metryczna">przestrzenie metryczne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne powiązane<br />pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Moc_zbioru" title="Moc zbioru">moc zbioru</a></li> <li><a href="/wiki/Przebieg_zmienno%C5%9Bci_funkcji" title="Przebieg zmienności funkcji">przebieg zmienności funkcji</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_funkcyjne" title="Równanie funkcyjne">równania funkcyjne</a></li> <li><a href="/wiki/Symbol_funkcyjny" title="Symbol funkcyjny">symbole funkcyjne</a></li> <li><a href="/wiki/Wykres_funkcji" title="Wykres funkcji">wykres funkcji</a></li></ul> </td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie">twierdzenia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Cantora-Bernsteina-Schr%C3%B6dera" title="Twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera">Cantora-Bernsteina-Schrödera</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_faktoryzacji" title="Twierdzenie o faktoryzacji">o faktoryzacji</a></li> <li><a href="/wiki/Zasada_szufladkowa_Dirichleta" title="Zasada szufladkowa Dirichleta">zasada szufladkowa Dirichleta</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Uog%C3%B3lnienie" title="Uogólnienie">uogólnienia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_cz%C4%99%C5%9Bciowa" title="Funkcja częściowa">funkcje częściowe</a></li> <li><a href="/wiki/Multifunkcja" title="Multifunkcja">multifunkcje</a></li> <li><a href="/wiki/Relacja_dwuargumentowa" title="Relacja dwuargumentowa">relacje binarne</a></li> <li><a href="/wiki/Kategoria_(matematyka)" title="Kategoria (matematyka)">morfizmy (strzałki)</a></li></ul> </td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Commutative_diagram_for_morphism.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/100px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png" decoding="async" width="100" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/150px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/200px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png 2x" data-file-width="100" data-file-height="100" /></a></span> </p> </div></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74016753">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-fehlt"><div><a href="/wiki/Kontrola_autorytatywna" title="Kontrola autorytatywna">Kontrola autorytatywna</a> (<span class="description">rodzaj funkcji matematycznej</span>):</div><ul><li><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Web_NDL_Authorities" class="extiw" title="de:Web NDL Authorities">NDL</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00572309">00572309</a></span></li></ul></div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&oldid=75021815">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&oldid=75021815</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategoria</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Funkcje_elementarne" title="Kategoria:Funkcje elementarne">Funkcje elementarne</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Ukryta kategoria: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Artyku%C5%82y_z_brakuj%C4%85cymi_przypisami_od_2023-05" title="Kategoria:Artykuły z brakującymi przypisami od 2023-05">Artykuły z brakującymi przypisami od 2023-05</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Tę stronę ostatnio edytowano 21 paź 2024, 22:49.</li> <li id="footer-info-copyright">Tekst udostępniany na licencji <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl">Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach</a>, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/pl">warunkach korzystania</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Polityka prywatności</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii">O Wikipedii</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Korzystasz_z_Wikipedii_tylko_na_w%C5%82asn%C4%85_odpowiedzialno%C5%9B%C4%87">Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Powszechne Zasady Postępowania</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Dla deweloperów</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pl.wikipedia.org">Statystyki</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Oświadczenie o ciasteczkach</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcje_elementarne&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Wersja mobilna</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-5f689799f6-mjrtr","wgBackendResponseTime":158,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.310","walltime":"0.546","ppvisitednodes":{"value":990,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":48218,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":157,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":9,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":29275,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 425.444 1 -total"," 37.50% 159.534 1 Szablon:Kontrola_autorytatywna"," 37.05% 157.628 7 Szablon:Szablon_nawigacyjny"," 33.29% 141.639 1 Szablon:Funkcje_elementarne"," 22.84% 97.172 1 Szablon:Przypisy"," 7.33% 31.165 1 Szablon:Encyklopedia_PWN"," 3.46% 14.718 1 Szablon:Funkcje_matematyczne"," 3.13% 13.333 1 Szablon:Lang"," 2.48% 10.544 1 Szablon:MathWorld"," 0.76% 3.244 1 Szablon:Fakt"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.185","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":2783960,"limit":52428800},"limitreport-logs":"required = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\nrequired = table#1 {\n}\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-6b68c86545-h2h4d","timestamp":"20241202120635","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Funkcje elementarne","url":"https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Funkcje_elementarne","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q824282","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q824282","author":{"@type":"Organization","name":"Wsp\u00f3\u0142tw\u00f3rcy projekt\u00f3w Fundacji Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2004-03-04T02:03:07Z","headline":"rodzina cz\u0119sto u\u017cywanych funkcji w matematyce"}</script> </body> </html>