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<span>Bibliografia</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Linki_zewnętrzne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Linki_zewnętrzne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Linki zewnętrzne</span> </div> </a> <ul id="toc-Linki_zewnętrzne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz 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aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 28 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-28" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">28 języków</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D9%85%D8%B1%D8%A9_%D9%83%D9%84%D8%A7%D9%8A%D9%86_%D8%B1%D8%A8%D8%A7%D8%B9%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%B9%D9%86%D8%A7%D8%B5%D8%B1" title="زمرة كلاين رباعية العناصر – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="زمرة كلاين رباعية العناصر" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" 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data-language-local-name="duński" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kleinsche_Vierergruppe" title="Kleinsche Vierergruppe – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Kleinsche Vierergruppe" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_four-group" title="Klein four-group – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Klein four-group" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_de_Klein" title="Grupo de Klein – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Grupo de Klein" 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href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%81%B4%EB%9D%BC%EC%9D%B8_4%EC%9B%90%EA%B5%B0" title="클라인 4원군 – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="클라인 4원군" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Klein_empat_grup" title="Klein empat grup – indonezyjski" lang="id" hreflang="id" data-title="Klein empat grup" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonezyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Gruppo_de_Klein" title="Gruppo de Klein – interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Gruppo de Klein" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_di_Klein" title="Gruppo di Klein – włoski" lang="it" hreflang="it" data-title="Gruppo di Klein" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="włoski" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%90%D7%A8%D7%91%D7%A2%D7%94_%D7%A9%D7%9C_%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%99%D7%9F" title="חבורת הארבעה של קליין – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="חבורת הארבעה של קליין" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Klein-csoport" title="Klein-csoport – węgierski" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Klein-csoport" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="węgierski" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%B2%E0%B5%88%E0%B5%BB_%E0%B4%97%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B5%82%E0%B4%AA%E0%B5%8D%E0%B4%AA%E0%B5%8D" title="ക്ലൈൻ ഗ്രൂപ്പ് – malajalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ക്ലൈൻ ഗ്രൂപ്പ്" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malajalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Viergroep_van_Klein" title="Viergroep van Klein – niderlandzki" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Viergroep van Klein" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="niderlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4" title="クラインの四元群 – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="クラインの四元群" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Strop_%C3%ABd_Klein" title="Strop ëd Klein – piemoncki" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Strop ëd Klein" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="piemoncki" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Klein_4" title="Klein 4 – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Klein 4" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link 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id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Dyskusja:Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Dyskusja o zawartości tej strony (strona nie istnieje) [t]" accesskey="t"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Zmień wariant języka" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">polski</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants 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<div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Narzędzia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Więcej opcji" > <div class="vector-menu-heading"> Działania </div> <div 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</div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j"><span>Linkujące</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k"><span>Zmiany w linkowanych</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u"><span>Prześlij plik</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne" title="Lista wszystkich stron specjalnych [q]" accesskey="q"><span>Strony specjalne</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a 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href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FGrupa_czw%25C3%25B3rkowa_Kleina"><span>Pobierz kod QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Grupa+czw%C3%B3rkowa+Kleina"><span>Utwórz książkę</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina&action=show-download-screen"><span>Pobierz jako PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina&printable=yes" title="Wersja do wydruku [p]" accesskey="p"><span>Wersja do druku</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Klein_four-group" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q550593" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g"><span>Element Wikidanych</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r68840208">.mw-parser-output .template-toc-container.left{float:left;clear:left;margin:0 1em 1em 0;padding:0.5em 1.4em 0.8em 0}.mw-parser-output .template-toc-container.right{float:right;clear:right;margin:0 0 1em 1em;padding:0.5em 0 0.8em 1.4em}.mw-parser-output .toclimit-2 .toclevel-1 ul,.mw-parser-output .toclimit-3 .toclevel-2 ul,.mw-parser-output .toclimit-4 .toclevel-3 ul,.mw-parser-output .toclimit-5 .toclevel-4 ul,.mw-parser-output .toclimit-6 .toclevel-5 ul,.mw-parser-output .toclimit-7 .toclevel-6 ul{display:none}body.skin-vector-2022 .mw-parser-output .template-toc-container{display:none}@media screen and (max-width:719px){body.skin-minerva .mw-parser-output .template-toc-container{display:none}}</style><div class="template-toc-container right" style="width:auto"><meta property="mw:PageProp/toc" /></div> <p><b>Grupa (czwórkowa) Kleina</b> – najmniejsza <a href="/wiki/Grupa_cykliczna" title="Grupa cykliczna">niecykliczna</a> <a href="/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka)">grupa</a> (<a href="/wiki/Grupa_przemienna" title="Grupa przemienna">abelowa</a>). Oznacza się ją tradycyjnie symbolami <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1daf36c5f12844ee65c884cad9abdcfa63a6b05c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.409ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{4}}"></span> lub <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K_{4}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K_{4}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8af57861f329d8f3e199725c01085368498bf0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.674ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle K_{4}.}"></span> </p><p>Liczebnik w nazwie i oznaczeniach wskazuje liczbę jej elementów (tj. jej <a href="/wiki/Rz%C4%85d_(teoria_grup)" title="Rząd (teoria grup)">rząd</a>) i jest bezpośrednim tłumaczeniem oryginalnej nazwy <i>Vierergruppe</i> (dosł. „czterogrupa”, „grupa czwórkowa”) nadanej przez <a href="/wiki/Felix_Klein" title="Felix Klein">Felixa Kleina</a><sup id="cite_ref-CITEREFGleichgewicht200434_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFGleichgewicht200434-1">[1]</a></sup>, który jako pierwszy opisał jej własności w pracy <i>Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade</i> („Wykłady o <a href="/wiki/Dwudziesto%C5%9Bcian_foremny" title="Dwudziestościan foremny">ikosaedrze</a> i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”) wydanej w <a href="/wiki/1884" title="1884">1884</a> roku<sup id="cite_ref-CITEREFKlein188412_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFKlein188412-2">[2]</a></sup>. </p><p>Wszystkie elementy grupy są <a href="/wiki/Inwolucja_(matematyka)" title="Inwolucja (matematyka)">samoodwrotne</a>. Wyjąwszy <a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">element neutralny</a> dowolne dwa elementy grupy dają w złożeniu pozostały trzeci element. Przyjmuje się, że <a href="/wiki/Grupa_diedralna" title="Grupa diedralna">grupa dwuścianu</a> drugiego stopnia ma strukturę grupy Kleina. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Prezentacje">Prezentacje</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Prezentacje" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Prezentacje"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Grupę Kleina definiuje działanie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circ }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∘</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circ }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99add39d2b681e2de7ff62422c32704a05c7ec31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.125ex; margin-bottom: -0.297ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle \circ }"></span> określone na zbiorze czterech (różnych) elementów <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{4}=\{e,a,b,c\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{4}=\{e,a,b,c\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779ec713f16f5a864b38e4d3f7fff00e19399ebd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.252ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V_{4}=\{e,a,b,c\}}"></span> dane jak w tabeli niżej<sup id="cite_ref-CITEREFGleichgewicht2004tabela_2.433_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFGleichgewicht2004tabela_2.433-3">[3]</a></sup>, gdzie element <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span> jest <a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">elementem neutralnym</a>. </p> <table style="border: 2pt solid black; border-collapse: collapse; margin: 0 30pt 20pt; font-size: x-large; text-align: center; width: 250pt; height: 250pt"> <caption style="font-weight: bold; font-size: medium"><a href="/wiki/Tablica_Cayleya" title="Tablica Cayleya"><br />Tabliczka działania</a> grupy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1daf36c5f12844ee65c884cad9abdcfa63a6b05c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.409ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{4}}"></span> </caption> <tbody><tr style="border-bottom: 2pt solid black"> <td style="width: 46pt; height: 46pt; background: white; border-right: 2pt solid black"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circ }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∘</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circ }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99add39d2b681e2de7ff62422c32704a05c7ec31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.125ex; margin-bottom: -0.297ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle \circ }"></span> </td> <td style="background-color: GreenYellow"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span> </td> <td style="background-color: SkyBlue"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> </td> <td style="background-color: Gold"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> </td> <td style="background-color: Tomato"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span> </td></tr> <tr> <td style="background-color: GreenYellow; border-right: 2pt solid black"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span> </td> <td style="background-color: GreenYellow"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span> </td> <td style="background-color: SkyBlue"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> </td> <td style="background-color: Gold"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> </td> <td style="background-color: Tomato"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span> </td></tr> <tr> <td style="background-color: SkyBlue; border-right: 2pt solid black"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> </td> <td style="background-color: SkyBlue"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> </td> <td style="background-color: GreenYellow"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span> </td> <td style="background-color: Tomato"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span> </td> <td style="background-color: Gold"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> </td></tr> <tr> <td style="background-color: Gold; border-right: 2pt solid black"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> </td> <td style="background-color: Gold"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> </td> <td style="background-color: Tomato"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span> </td> <td style="background-color: GreenYellow"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span> </td> <td style="background-color: SkyBlue"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> </td></tr> <tr> <td style="background-color: Tomato; border-right: 2pt solid black"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span> </td> <td style="background-color: Tomato"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span> </td> <td style="background-color: Gold"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> </td> <td style="background-color: SkyBlue"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> </td> <td style="background-color: GreenYellow"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span> </td></tr></tbody></table> <p>Można ją opisać również za pomocą dwóch generatorów <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}"></span> oraz trzech relacji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{2}=e,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{2}=e,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b57cb4fe1f09295af994646d5e504be0520cf0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.113ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a^{2}=e,}"></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{2}=e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{2}=e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8595cad5f973a860d4e339c0b47e6f7dcb33154d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.234ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b^{2}=e}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (ab)^{2}=e;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (ab)^{2}=e;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9a3e28660cefc8e5b905a34e1a80ad8f7bf6c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.92ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (ab)^{2}=e;}"></span> innymi słowy grupa Kleina ma prezentację postaci </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{4}=\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\rangle .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∣</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{4}=\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\rangle .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359859a60010baee8fc0f0ab15ce166b289d7a63" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.968ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle V_{4}=\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\rangle .}"></span></dd></dl> <p>Wśród innych grup o tożsamej (tj. <a href="/wiki/Homomorfizm#Izomorfizm" title="Homomorfizm">izomorficznej</a>) z nią strukturze można wymienić (kolejne wymienione elementy odpowiadają odpowiednio wspomnianym na początku elementom <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e,a,b,c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e,a,b,c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627a62b74781f96f6367b8591496a1ad924f26bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.42ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e,a,b,c}"></span>): </p> <ul><li><a href="/wiki/Iloczyny_grup#Iloczyn_prosty" title="Iloczyny grup">iloczyn prosty</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31bf60996247da1560c23a228166bff89ba97783" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.05ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}"></span> (z dodawaniem modulo 2): <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,0),\;(0,1),\;(1,0),\;(1,1);}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,0),\;(0,1),\;(1,0),\;(1,1);}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee20f2f73c23661ac434a194f7ef72aaf2b34cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.357ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,0),\;(0,1),\;(1,0),\;(1,1);}"></span></dd></dl></li> <li><a href="/wiki/Grupa_symetrii" title="Grupa symetrii">grupa symetrii</a> <a href="/wiki/Romb" title="Romb">rombu</a> na płaszczyźnie (który nie jest kwadratem): <dl><dd><a href="/wiki/Funkcja_to%C5%BCsamo%C5%9Bciowa" title="Funkcja tożsamościowa">identyczność</a>, <a href="/wiki/Symetria" class="mw-disambig" title="Symetria">symetria</a> względem przekątnej dłuższej, symetria względem przekątnej krótszej i <a href="/wiki/Obr%C3%B3t" title="Obrót">obrót</a> o <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 180^{\circ };}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>180</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 180^{\circ };}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a8b833e7728596f9028f209daf906433ce62215" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.188ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 180^{\circ };}"></span></dd></dl></li> <li><a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">podgrupa permutacji</a> grupy symetrycznej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{4}{:}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>:</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{4}{:}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b55eae603aafcd20cf1d0fdd1c8c9aa6edf446" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.126ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{4}{:}}"></span> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {id} ,\;(12)(34),\;(13)(24),\;(14)(23).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>id</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>12</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>34</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>13</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>24</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>14</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>23</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {id} ,\;(12)(34),\;(13)(24),\;(14)(23).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af755062531d94711ea8ab735886134a689b37e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.429ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {id} ,\;(12)(34),\;(13)(24),\;(14)(23).}"></span></dd></dl></li></ul> <p>Można ją również skonstruować na zbiorze <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37ef4c5bbf1b2c283af029fce36fc0ce30c12e58" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.536ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}}"></span> z operacją mnożenia modulo 8<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4">[a]</a></sup>. W tym wypadku <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> odpowiada <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {3}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {3}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8913e778900c99b00905ce6831029f3eb734a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.924ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {3}},}"></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> opisuje <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {5}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {5}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2335969fc94e2ef7387353488df603096b3372d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.277ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {5}}}"></span> i wreszcie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=ab}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=ab}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733a1df5f220632cc3d42880836b6969cb6f45c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.333ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c=ab}"></span> to istotnie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {5}}={\overline {15}}\equiv {\overline {7}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>15</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>≡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {5}}={\overline {15}}\equiv {\overline {7}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f2a61595d7b272491f32498daaf26846461d6b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.795ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {5}}={\overline {15}}\equiv {\overline {7}}.}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Własności"><span id="W.C5.82asno.C5.9Bci"></span>Własności</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Własności" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Własności"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Każdy jej nietrywialny element jest <a href="/wiki/Rz%C4%85d_(teoria_grup)" title="Rząd (teoria grup)">rzędu</a> dwa<sup id="cite_ref-CITEREFGleichgewicht200434_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFGleichgewicht200434-1">[1]</a></sup> (nie jest więc grupą cykliczną<sup id="cite_ref-cyclic_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-cyclic-5">[b]</a></sup>); grupa jest <a href="/wiki/Grupa_przemienna" title="Grupa przemienna">przemienna</a> (abelowa), co można zauważyć w przedstawionej wyżej tabliczce działania<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6">[c]</a></sup>. </p><p>Grupa Kleina jest jedną z dwóch istotnie (tj. algebraicznie) różnych grup czteroelementowych<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7">[d]</a></sup>; druga z nich jest <a href="/wiki/Grupa_cykliczna" title="Grupa cykliczna">grupą cykliczną</a><sup id="cite_ref-cyclic_5-1" class="reference"><a href="#cite_note-cyclic-5">[b]</a></sup>. </p><p>Z <a href="/wiki/Teoria_Galois" title="Teoria Galois">teorii Galois</a> wynika, że właśnie obecność grupy Kleina wśród podgrup <a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupy symetrycznej</a> czwartego stopnia opisującej symetrie <a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">wielomianów</a> czwartego stopnia jednej zmiennej zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez <a href="/wiki/Pierwiastnik" title="Pierwiastnik">pierwiastniki</a> (zob. <a href="/wiki/Grupa_rozwi%C4%85zalna" title="Grupa rozwiązalna">grupa rozwiązalna</a>)<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8">[e]</a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Uwagi">Uwagi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Uwagi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Uwagi"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection refsection-uwagi ll-script ll-script-uwagi"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Zob. <a href="/wiki/Podgrupa#Przykłady" title="Podgrupa">podgrupa § Przykłady: Kryterium bycia podgrupą skończoną</a>.</span> </li> <li id="cite_note-cyclic-5"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-cyclic_5-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-cyclic_5-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">Czteroelementowa <a href="/wiki/Grupa_cykliczna" title="Grupa cykliczna">grupa cykliczna</a> zawiera element rzędu 4 będący jej <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_generator%C3%B3w_grupy" title="Zbiór generatorów grupy">generatorem</a>.</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">Przemienność</a> działania w grupie Kleina można wywnioskować zaobserwowawszy, że <a href="/wiki/Tablica_Cayleya" title="Tablica Cayleya">tablica Cayleya</a> jej działania jest symetryczna względem głównej przekątnej.</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">Można się o tym przekonać wprost, rozpatrując wszystkie <a href="/wiki/Tablica_Cayleya" title="Tablica Cayleya">tabliczki działania</a> dla czterech (różnych) elementów, które muszą być <a href="/wiki/Kwadrat_%C5%82aci%C5%84ski" title="Kwadrat łaciński">kwadratami łacińskimi</a> (ze względu na <a href="/w/index.php?title=W%C5%82asno%C5%9B%C4%87_skracania&action=edit&redlink=1" class="new" title="Własność skracania (strona nie istnieje)">własność skracania</a> w grupie bądź jednoznaczność rozwiązań równań liniowych w grupie, por. <a href="/wiki/Grupa_(matematyka)#Własności" title="Grupa (matematyka)">grupa § Własności</a>), przy czym wiersz i kolumna dla działania z elementem neutralnym są ustalone.</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text">Grupa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1daf36c5f12844ee65c884cad9abdcfa63a6b05c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.409ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{4}}"></span> jest <a href="/wiki/Podgrupa_normalna" title="Podgrupa normalna">podgrupą normalną</a> <a href="/wiki/Grupa_alternuj%C4%85ca" title="Grupa alternująca">grupy alternującej</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{4},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{4},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b3f42e5c94ade8f7681296e489b951f64e47ac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.444ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{4},}"></span> przy czym <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{4}/V_{4}\simeq C_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>≃</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{4}/V_{4}\simeq C_{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b61de0b996d262f8682f27a90b8566930891e5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.184ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A_{4}/V_{4}\simeq C_{3}}"></span> jest abelowa (jako cykliczna). Ponadto <a href="/wiki/Podgrupa#Przykłady" title="Podgrupa">podgrupa trywialna</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> również jest normalna w <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{4},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{4},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de177f87d93aeb0f9edf23709d8b17cb1ac9acc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.056ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{4},}"></span> przy czym <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{4}/E\simeq V_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>E</mi> <mo>≃</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{4}/E\simeq V_{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d82fe40a7f4eb4befac43f857d84ab0c8ca71e1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.855ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V_{4}/E\simeq V_{4}}"></span> także jest abelowa. Oznacza to, że <a href="/wiki/Ci%C4%85g_(teoria_grup)" title="Ciąg (teoria grup)">ciąg</a> (podnormalny) podgrup <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E\vartriangleleft V_{4}\vartriangleleft A_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>⊲</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>⊲</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E\vartriangleleft V_{4}\vartriangleleft A_{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655ca978b0c058ec48d7b7322e03ae3f7a61e31a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.179ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E\vartriangleleft V_{4}\vartriangleleft A_{4}}"></span> ma ilorazy abelowe, czyli podgrupa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3eaac426165e199a4a745aa46bb8028fed100d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{4}}"></span> jest <a href="/wiki/Grupa_rozwi%C4%85zalna" title="Grupa rozwiązalna">rozwiązalna</a>. Tym bardziej rozwiązalna <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{4},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{4},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c0ad1b3affc17414a69e4ebe37b107fa765bbc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.126ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{4},}"></span> która stanowi przedłużenie wspomnianego ciągu, gdyż podobnie jak poprzednio <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{4}\vartriangleleft S_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>⊲</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{4}\vartriangleleft S_{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d905c47b515149268836d0b9a3c2af7dcfa845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.375ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{4}\vartriangleleft S_{4}}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{4}/V_{4}\simeq C_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>≃</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{4}/V_{4}\simeq C_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7a9c0e65624b5fe326dc1bb49bb120db8f3a42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.866ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S_{4}/V_{4}\simeq C_{2}}"></span> jest abelowa. Rozwiązalność równań wynika z <a href="/w/index.php?title=Zasadnicze_twierdzenie_teorii_Galois&action=edit&redlink=1" class="new" title="Zasadnicze twierdzenie teorii Galois (strona nie istnieje)">zasadniczego twierdzenia teorii Galois</a>.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-CITEREFGleichgewicht200434-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-CITEREFGleichgewicht200434_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-CITEREFGleichgewicht200434_1-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFGleichgewicht2004">Gleichgewicht 2004 ↓</a></span>, s. 34.</span> </li> <li id="cite_note-CITEREFKlein188412-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-CITEREFKlein188412_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFKlein1884">Klein 1884 ↓</a></span>, s. 12.</span> </li> <li id="cite_note-CITEREFGleichgewicht2004tabela_2.433-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-CITEREFGleichgewicht2004tabela_2.433_3-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFGleichgewicht2004">Gleichgewicht 2004 ↓</a></span>, tabela 2.4, s. 33.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Bibliografia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Bibliografia"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation book" id="CITEREFKlein1884"><a href="/wiki/Felix_Klein" title="Felix Klein">Felix Klein</a>: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/vorlesungenber00kleiuoft/page/12">Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade</a></i>. Lipsk: B.G. Teubner, 1884.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Vorlesungen+%C3%BCber+das+Ikosaeder+und+die+Aufl%C3%B6sung+der+Gleichungen+vom+f%C3%BCnften+Grade&rft.aulast=Klein&rft.aufirst=Felix&rft.pub=B.G.+Teubner&rft.place=Lipsk&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fvorlesungenber00kleiuoft%2Fpage%2F12"></span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku niemieckim (Deutsch)">niem.</abbr>)</span>.</cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFGleichgewicht2004"><a href="/wiki/Boles%C5%82aw_Gleichgewicht" title="Bolesław Gleichgewicht">Bolesław Gleichgewicht</a>: <i>Algebra</i>. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2004. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/9788389020352" title="Specjalna:Książki/9788389020352">ISBN <span class="isbn">978-83-89020-35-2</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebra&rft.aulast=Gleichgewicht&rft.aufirst=Boles%C5%82aw&rft.pub=Oficyna+Wydawnicza+GiS&rft.place=Wroc%C5%82aw&rft.isbn=978-83-89020-35-2"></span></cite></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Linki_zewnętrzne"><span id="Linki_zewn.C4.99trzne"></span>Linki zewnętrzne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: Linki zewnętrzne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Linki zewnętrzne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation open-access"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Eric W.</span><span class="cite-name-initials" title="Eric W." style="display:none">E.W.</span> </span><span class="cite-lastname">Weisstein</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Eric W.</span><span class="cite-name-initials" title="Eric W.">E.W.</span></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/Vierergruppe.html"><i>Vierergruppe</i></a>, [w:] <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>, <a href="/wiki/Wolfram_Research" title="Wolfram Research">Wolfram Research</a><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=bookitem&rft.aufirst=Eric+W.&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=%5B%5BMathWorld%5D%5D&rft.atitle=Vierergruppe&rft.aulast=Weisstein&rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FVierergruppe.html" style="display:none"> </span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite> [dostęp 2024-09-05].</li></ul> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74983602">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy 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title="Dyskusja szablonu:Teoria grup (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Teoria_grup&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Teoria_grup" title="Teoria grup">Teoria grup</a></div><div class="mw-collapsible-content flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">podstawy</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">działanie dwuargumentowe</a></li> <li><a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączność</a></li> <li><a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">element neutralny</a></li> <li><a href="/wiki/Element_odwrotny" title="Element odwrotny">element odwrotny</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka)">grupa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Przyk%C5%82ady_grup" title="Przykłady grup">przykłady</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a2_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">z <a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawaniem</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">liczby całkowite</a> <ul><li><a href="/wiki/Parzysto%C5%9B%C4%87_liczb" title="Parzystość liczb">liczby parzyste</a></li> <li><a href="/wiki/0" title="0">zero</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczby wymierne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczby rzeczywiste</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczby zespolone</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa" title="Przestrzeń euklidesowa">przestrzeń kartezjańska</a></li> <li><a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">wielomiany</a></li> <li><a href="/wiki/Wektor" title="Wektor">wektory</a></li> <li><a href="/wiki/Arytmetyka_modularna" title="Arytmetyka modularna">całkowite reszty z dzielenia</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">z <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Mnożenie">mnożeniem</a><br />liczb</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li>niezerowe <a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczby wymierne</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">dodatnie</a> liczby wymierne</li> <li><a href="/wiki/1_(liczba)" title="1 (liczba)">jedynka</a></li></ul></li> <li>niezerowe <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczby rzeczywiste</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">dodatnie</a> liczby rzeczywiste</li></ul></li> <li>niezerowe <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczby zespolone</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_okr%C4%99gu" title="Grupa okręgu">grupa okręgu</a></li> <li><a href="/wiki/Pierwiastek_z_jedynki" title="Pierwiastek z jedynki">pierwiastki z jedynki</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">ze <a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">składaniem<br />funkcji</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_bijekcji" title="Grupa bijekcji">grupa bijekcji</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupa permutacji</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_alternuj%C4%85ca" title="Grupa alternująca">grupa alternująca</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_to%C5%BCsamo%C5%9Bciowa" title="Funkcja tożsamościowa">funkcja tożsamościowa</a></li></ul></li> <li>rzeczywiste <a href="/wiki/Funkcja_liniowa" title="Funkcja liniowa">funkcje liniowe</a></li> <li>rzeczywiste <a href="/wiki/Funkcja_homograficzna" title="Funkcja 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title="Homomorfizm grup">homomorfizm grup</a> <ul><li><a href="/wiki/Reprezentacja_grupy" title="Reprezentacja grupy">reprezentacja grupy</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/J%C4%85dro_(algebra)" title="Jądro (algebra)">jądro</a></li> <li><a href="/wiki/Monomorfizm" title="Monomorfizm">monomorfizm</a></li> <li><a href="/wiki/Epimorfizm" title="Epimorfizm">epimorfizm</a></li> <li><a href="/wiki/Izomorfizm" title="Izomorfizm">izomorfizm</a></li> <li><a href="/wiki/Endomorfizm" title="Endomorfizm">endomorfizm</a> <ul><li><a href="/wiki/Automorfizm" title="Automorfizm">automorfizm</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Podgrupa" title="Podgrupa">podgrupy</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a4_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">ogólne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Warstwa_(teoria_grup)" title="Warstwa (teoria grup)">warstwa</a></li> <li><a href="/wiki/Indeks_podgrupy" title="Indeks podgrupy">indeks podgrupy</a></li> <li><a href="/wiki/Centralizator_i_normalizator" title="Centralizator i normalizator">centralizator i normalizator</a></li> <li><a href="/wiki/Iloczyn_kompleksowy" title="Iloczyn kompleksowy">iloczyn kompleksowy</a></li> <li><a href="/wiki/Podgrupa_torsyjna" title="Podgrupa torsyjna">podgrupa torsyjna</a></li> <li><a href="/wiki/Krata_podgrup" title="Krata podgrup">krata podgrup</a> <ul><li><a href="/wiki/Modularno%C5%9B%C4%87" title="Modularność">modularność</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Podgrupa_normalna" title="Podgrupa normalna">normalne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Kongruencja_(algebra)" title="Kongruencja (algebra)">kongruencja</a></li> <li><a href="/wiki/Zgodno%C5%9B%C4%87_relacji_z_dzia%C5%82aniem" title="Zgodność relacji z działaniem">zgodność relacji z działaniem</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_ilorazowa" title="Grupa ilorazowa">grupa ilorazowa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Podgrupa_charakterystyczna" title="Podgrupa charakterystyczna">charakterystyczne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Komutant" title="Komutant">komutant</a></li> <li><a href="/wiki/Norma_(teoria_grup)" title="Norma (teoria grup)">norma</a></li> <li><a href="/wiki/Podgrupa_Frattiniego" title="Podgrupa Frattiniego">podgrupa Frattiniego</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row">dalsze pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemienność</a></li> <li><a href="/wiki/Rz%C4%85d_(teoria_grup)" title="Rząd (teoria grup)">rząd grupy i jej elementu</a></li> <li><a href="/wiki/Iloczyny_grup" title="Iloczyny grup">iloczyny grup</a> <ul><li><a href="/wiki/Iloczyny_grup#Suma_prosta" title="Iloczyny grup">suma prosta</a></li> <li><a href="/wiki/Splot_(teoria_grup)" title="Splot (teoria grup)">splot</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_generator%C3%B3w_grupy" title="Zbiór generatorów grupy">zbiór generatorów grupy</a></li> <li><a href="/wiki/Komutator_(matematyka)" title="Komutator (matematyka)">komutator</a></li> <li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_grupy_na_zbiorze" title="Działanie grupy na zbiorze">działanie grupy na zbiorze</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row">rodzaje grup</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a6_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Grupa_przemienna" title="Grupa przemienna">przemienne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Sko%C5%84czenie_generowana_grupa_przemienna" title="Skończenie generowana grupa przemienna">skończenie generowane grupy przemienne</a> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">grupy czwórkowe Kleina</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_cykliczna" title="Grupa cykliczna">grupy cykliczne</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_trywialna" title="Grupa trywialna">grupy trywialne</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Grupa_abelowa_wolna" title="Grupa abelowa wolna">grupa abelowa wolna</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_addytywna" title="Grupa addytywna">addytywna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_algebraiczna" title="Grupa algebraiczna">algebraiczna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_charakterystycznie_prosta" title="Grupa charakterystycznie prosta">charakterystycznie prosta</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Coxetera" title="Grupa Coxetera">Coxetera</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_doskona%C5%82a" title="Grupa doskonała">doskonała</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Galois" title="Grupa Galois">Galois</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Hamiltona" title="Grupa Hamiltona">Hamiltona</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Hopfa" title="Grupa Hopfa">Hopfa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Liego" title="Grupa Liego">Liego</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_lokalnie_sko%C5%84czona" title="Grupa lokalnie skończona">lokalnie skończona</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_multiplikatywna" title="Grupa multiplikatywna">multiplikatywna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_nilpotentna" title="Grupa nilpotentna">nilpotentna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_odbi%C4%87" title="Grupa odbić">odbić</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_pe%C5%82na" title="Grupa pełna">pełna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_podstawowa" title="Grupa podstawowa">podstawowa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_prosta" title="Grupa prosta">prosta</a></li> <li><a href="/wiki/P-grupa" title="P-grupa">p-grupa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_rozwi%C4%85zalna" title="Grupa rozwiązalna">rozwiązalna</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_superrozwi%C4%85zalna" title="Grupa superrozwiązalna">superrozwiązalna</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Grupa_symetrii" title="Grupa symetrii">symetrii</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_torsyjna" title="Grupa torsyjna">torsyjna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_wolna" title="Grupa wolna">wolna</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie">twierdzenia</a><br />o grupach</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a7_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">skończonych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(teoria_grup)" title="Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)">Lagrange’a</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Cayleya" title="Twierdzenie Cayleya">Cayleya</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Cauchy%E2%80%99ego_(teoria_grup)" title="Twierdzenie Cauchy’ego (teoria grup)">Cauchy’ego</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenia_Sylowa" title="Twierdzenia Sylowa">Sylowa</a></li> <li><a href="/wiki/Klasyfikacja_sko%C5%84czonych_grup_prostych" title="Klasyfikacja skończonych grup prostych">klasyfikacja skończonych grup prostych</a></li></ul> </td></tr><tr class="a7_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">dowolnych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Jordana-H%C3%B6ldera" title="Twierdzenie Jordana-Höldera">Jordana-Höldera</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Schreiera" title="Twierdzenie Schreiera">Schreiera</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_odpowiednio%C5%9Bci" title="Twierdzenie o odpowiedniości">o odpowiedniości</a></li> <li><a href="/wiki/Lemat_Goursata" title="Lemat Goursata">lemat Goursata</a></li> <li><a href="/wiki/Lemat_Zassenhausa" title="Lemat Zassenhausa">lemat Zassenhausa</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row">grupy<br />z dodatkowymi<br /><a href="/wiki/Struktura_matematyczna" title="Struktura matematyczna">strukturami</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_z_operatorami" title="Grupa z operatorami">grupa z operatorami</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_uporz%C4%85dkowana" title="Grupa uporządkowana">grupa uporządkowana</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_topologiczna" title="Grupa topologiczna">grupa topologiczna</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_dyskretna" title="Grupa dyskretna">grupa dyskretna</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Uog%C3%B3lnienie" title="Uogólnienie">uogólnienia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Monoid" title="Monoid">monoid</a></li> <li><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82grupa" title="Półgrupa">półgrupa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupoid" title="Grupoid">grupoid</a></li> <li><a href="/wiki/Kategoria_(matematyka)" title="Kategoria (matematyka)">kategoria</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Naukowiec" title="Naukowiec">uczeni</a> według<br />daty narodzin</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a10_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XVIII_wiek" title="XVIII wiek">XVIII wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Joseph_Louis_Lagrange" title="Joseph Louis Lagrange">Joseph Louis Lagrange</a></li> <li><a href="/wiki/Augustin_Louis_Cauchy" title="Augustin Louis Cauchy">Augustin Louis Cauchy</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XIX_wiek" title="XIX wiek">XIX wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Niels_Henrik_Abel" title="Niels Henrik Abel">Niels Henrik Abel</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89variste_Galois" title="Évariste Galois">Évariste Galois</a></li> <li><a href="/wiki/Peter_Sylow" title="Peter Sylow">Peter Sylow</a></li> <li><a href="/wiki/Marie_Ennemond_Camille_Jordan" title="Marie Ennemond Camille Jordan">Marie Ennemond Camille Jordan</a></li> <li><a href="/wiki/Marius_Sophus_Lie" title="Marius Sophus Lie">Marius Sophus Lie</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89douard_Goursat" title="Édouard Goursat">Édouard Goursat</a></li> <li><a href="/wiki/Otto_Ludwig_H%C3%B6lder" title="Otto Ludwig Hölder">Otto Ludwig Hölder</a></li> <li><a href="/wiki/Heinz_Hopf" title="Heinz Hopf">Heinz Hopf</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XX_wiek" title="XX wiek">XX wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Otto_Schreier&action=edit&redlink=1" class="new" title="Otto Schreier (strona nie istnieje)">Otto Schreier</a><sup>(<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Otto_Schreier" class="extiw" title="en:Otto Schreier">en</a>)</sup></li> <li><a href="/wiki/Hans_Julius_Zassenhaus" title="Hans Julius Zassenhaus">Hans Julius Zassenhaus</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Circle_as_Lie_group.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/100px-Circle_as_Lie_group.svg.png" decoding="async" width="100" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/150px-Circle_as_Lie_group.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/200px-Circle_as_Lie_group.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span> </p> </div></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74016753">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-fehlt"><div><a href="/wiki/Encyklopedia_internetowa" title="Encyklopedia internetowa">Encyklopedie internetowe</a> (<span class="description"><a href="/wiki/Grupa_diedralna" title="Grupa diedralna">grupa diedralna</a></span>):</div> <ul><li><a href="/wiki/Den_Store_Danske_Encyklop%C3%A6di" title="Den Store Danske Encyklopædi">DSDE</a>: <span class="uid"><a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=8313&url_prefix=https://lex.dk/&id=Kleins_firegruppe">Kleins_firegruppe</a></span></li></ul> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupa_czwórkowa_Kleina&oldid=75304453">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupa_czwórkowa_Kleina&oldid=75304453</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategorie</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Przyk%C5%82ady_grup_sko%C5%84czonych" title="Kategoria:Przykłady grup skończonych">Przykłady grup skończonych</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Teoria_grup_abelowych" title="Kategoria:Teoria grup abelowych">Teoria grup abelowych</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> 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