CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="pl" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Grupa alternująca – Wikipedia, wolna encyklopedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )plwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","styczeń","luty","marzec","kwiecień","maj","czerwiec","lipiec","sierpień","wrzesień","październik","listopad","grudzień"],"wgRequestId":"e98ce944-4000-4026-8aec-d87d81bc88d0","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Grupa_alternująca","wgTitle":"Grupa alternująca","wgCurRevisionId":74711778,"wgRevisionId":74711778,"wgArticleId":759311,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Kontrola autorytatywna potrzebuje polskiej etykiety","Przykłady grup skończonych"],"wgPageViewLanguage":"pl","wgPageContentLanguage":"pl","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Grupa_alternująca","wgRelevantArticleId":759311,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true, "wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":74711778,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"pl","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"pl"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":2000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q438814","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={ "ext.gadget.wikiflex":"ready","ext.gadget.infobox":"ready","ext.gadget.hlist":"ready","ext.gadget.darkmode-overrides":"ready","ext.gadget.small-references":"ready","ext.gadget.citation-access-info":"ready","ext.gadget.sprawdz-problemy-szablony":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","ext.scribunto.logs","site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc", "skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.ll-script-loader","ext.gadget.veKeepParameters","ext.gadget.szablon-galeria","ext.gadget.NavFrame","ext.gadget.citoid-overrides","ext.gadget.maps","ext.gadget.padlock-indicators","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.gadget.edit-summaries","ext.gadget.edit-first-section","ext.gadget.wikibugs","ext.gadget.map-toggler","ext.gadget.narrowFootnoteColumns","ext.gadget.WDsearch","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=pl&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.gadget.citation-access-info%2Cdarkmode-overrides%2Chlist%2Cinfobox%2Csmall-references%2Csprawdz-problemy-szablony%2Cwikiflex&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Grupa alternująca – Wikipedia, wolna encyklopedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//pl.m.wikipedia.org/wiki/Grupa_alternuj%C4%85ca"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Edytuj" href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (pl)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//pl.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Grupa_alternuj%C4%85ca"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Kanał Atom Wikipedii" href="/w/index.php?title=Specjalna:Ostatnie_zmiany&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Grupa_alternująca rootpage-Grupa_alternująca skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Przejdź do zawartości</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menu główne" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menu główne</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menu główne</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Nawigacja </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" title="Przejdź na stronę główną [z]" accesskey="z"><span>Strona główna</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Losowa_strona" title="Załaduj losową stronę [x]" accesskey="x"><span>Losuj artykuł</span></a></li><li id="n-Kategorie" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Kategorie_G%C5%82%C3%B3wne"><span>Kategorie artykułów</span></a></li><li id="n-Featured-articles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Wyr%C3%B3%C5%BCniona_zawarto%C5%9B%C4%87_Wikipedii"><span>Najlepsze artykuły</span></a></li><li id="n-FAQ" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:FAQ"><span>Częste pytania (FAQ)</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-zmiany" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-zmiany" > <div class="vector-menu-heading"> Dla czytelników </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-czytelnicy" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii"><span>O Wikipedii</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kontakt_z_wikipedystami"><span>Kontakt</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-edytorzy" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-edytorzy" > <div class="vector-menu-heading"> Dla wikipedystów </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-pierwsze-kroki" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki"><span>Pierwsze kroki</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Portal_wikipedyst%C3%B3w" title="O projekcie – co możesz zrobić, gdzie możesz znaleźć informacje"><span>Portal wikipedystów</span></a></li><li id="n-Noticeboard" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tablica_og%C5%82osze%C5%84"><span>Ogłoszenia</span></a></li><li id="n-Guidelines" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Zasady"><span>Zasady</span></a></li><li id="n-helppage-name" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Spis_tre%C5%9Bci"><span>Pomoc</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Ostatnie_zmiany" title="Lista ostatnich zmian w Wikipedii. [r]" accesskey="r"><span>Ostatnie zmiany</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="wolna encyklopedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-pl.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Specjalna:Szukaj" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Szukaj</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Przeszukaj Wikipedię" aria-label="Przeszukaj Wikipedię" autocapitalize="sentences" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Specjalna:Szukaj"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Szukaj</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Narzędzia osobiste"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Zmień rozmiar czcionki, szerokość oraz kolorystykę strony" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Wygląd" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Wygląd</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl" class=""><span>Wspomóż Wikipedię</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Grupa+alternuj%C4%85ca" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe." class=""><span>Utwórz konto</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Grupa+alternuj%C4%85ca" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o" class=""><span>Zaloguj się</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Więcej opcji" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia osobiste" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia osobiste</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menu użytkownika" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl"><span>Wspomóż Wikipedię</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Grupa+alternuj%C4%85ca" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Utwórz konto</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Grupa+alternuj%C4%85ca" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Zaloguj się</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Strony dla anonimowych edytorów <a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki" aria-label="Dowiedz się więcej na temat edytowania"><span>dowiedz się więcej</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:M%C3%B3j_wk%C5%82ad" title="Lista edycji wykonanych z tego adresu IP [y]" accesskey="y"><span>Edycje</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Moja_dyskusja" title="Dyskusja użytkownika dla tego adresu IP [n]" accesskey="n"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Spis treści" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Spis treści</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ukryj</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Początek</div> </a> </li> <li id="toc-Definicja" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Definicja"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Definicja</span> </div> </a> <ul id="toc-Definicja-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przykłady_i_własności" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykłady_i_własności"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Przykłady i własności</span> </div> </a> <ul id="toc-Przykłady_i_własności-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Zobacz_też" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Zobacz_też"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Zobacz też</span> </div> </a> <ul id="toc-Zobacz_też-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Przypisy</span> </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Bibliografia</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Grupa alternująca</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 23 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-23" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">23 języki</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D9%85%D8%B1%D8%A9_%D9%85%D8%AA%D9%86%D8%A7%D9%88%D8%A8%D8%A9" title="زمرة متناوبة – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="زمرة متناوبة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Grup_alternant" title="Grup alternant – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Grup alternant" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Alternuj%C3%ADc%C3%AD_grupa" title="Alternující grupa – czeski" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Alternující grupa" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="czeski" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Alternerende_gruppe" title="Alternerende gruppe – duński" lang="da" hreflang="da" data-title="Alternerende gruppe" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="duński" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Alternierende_Gruppe" title="Alternierende Gruppe – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Alternierende Gruppe" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_group" title="Alternating group – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Alternating group" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_alternante" title="Grupo alternante – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Grupo alternante" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_altern%C3%A9" title="Groupe alterné – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Groupe alterné" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%90%EB%8C%80%EA%B5%B0" title="교대군 – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="교대군" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Grup_selang-seling" title="Grup selang-seling – indonezyjski" lang="id" hreflang="id" data-title="Grup selang-seling" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonezyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%AA%D7%9E%D7%95%D7%A8%D7%95%D7%AA_%D7%94%D7%96%D7%95%D7%92%D7%99%D7%95%D7%AA" title="חבורת התמורות הזוגיות – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="חבורת התמורות הזוגיות" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Altern%C3%A1l%C3%B3_csoport" title="Alternáló csoport – węgierski" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Alternáló csoport" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="węgierski" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AA%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B4%A4%E0%B5%8D%E0%B4%AF%E0%B4%BE%E0%B4%B5%E0%B5%BC%E0%B4%A4%E0%B5%8D%E0%B4%A4%E0%B4%BF%E0%B4%97%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B5%82%E0%B4%AA%E0%B5%8D%E0%B4%AA%E0%B5%8D" title="പ്രത്യാവർത്തിഗ്രൂപ്പ് – malajalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="പ്രത്യാവർത്തിഗ്രൂപ്പ്" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malajalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Alternerende_groep" title="Alternerende groep – niderlandzki" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Alternerende groep" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="niderlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E7%BE%A4" title="交代群 – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="交代群" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Grupo_alternante" title="Grupo alternante – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Grupo alternante" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Grup_altern" title="Grup altern – rumuński" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Grup altern" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumuński" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Знакопеременная группа – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Знакопеременная группа" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Alternoiva_ryhm%C3%A4" title="Alternoiva ryhmä – fiński" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Alternoiva ryhmä" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="fiński" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Alternerande_grupp" title="Alternerande grupp – szwedzki" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Alternerande grupp" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="szwedzki" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AE%E0%AE%BE%E0%AE%B1%E0%AE%BF%E0%AE%9A%E0%AF%88%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%81%E0%AE%B2%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="மாறிசைக்குலம் – tamilski" lang="ta" hreflang="ta" data-title="மாறிசைக்குலம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamilski" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0" title="Знакозмінна група – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Знакозмінна група" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E9%94%99%E7%BE%A4" title="交错群 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="交错群" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q438814#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Grupa_alternuj%C4%85ca" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c"><span>Artykuł</span></a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Dyskusja:Grupa_alternuj%C4%85ca&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Dyskusja o zawartości tej strony (strona nie istnieje) [t]" accesskey="t"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Zmień wariant języka" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">polski</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Widok"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Grupa_alternuj%C4%85ca"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&action=history" title="Starsze wersje tej strony [h]" accesskey="h"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Narzędzia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Więcej opcji" > <div class="vector-menu-heading"> Działania </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Grupa_alternuj%C4%85ca"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&action=history"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ogólne </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Grupa_alternuj%C4%85ca" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j"><span>Linkujące</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Grupa_alternuj%C4%85ca" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k"><span>Zmiany w linkowanych</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u"><span>Prześlij plik</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne" title="Lista wszystkich stron specjalnych [q]" accesskey="q"><span>Strony specjalne</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&oldid=74711778" title="Stały link do tej wersji tej strony"><span>Link do tej wersji</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&action=info" title="Więcej informacji na temat tej strony"><span>Informacje o tej stronie</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=Grupa_alternuj%C4%85ca&id=74711778&wpFormIdentifier=titleform" title="Informacja o tym jak należy cytować tę stronę"><span>Cytowanie tego artykułu</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FGrupa_alternuj%25C4%2585ca"><span>Zobacz skrócony adres URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FGrupa_alternuj%25C4%2585ca"><span>Pobierz kod QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Grupa+alternuj%C4%85ca"><span>Utwórz książkę</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Grupa_alternuj%C4%85ca&action=show-download-screen"><span>Pobierz jako PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&printable=yes" title="Wersja do wydruku [p]" accesskey="p"><span>Wersja do druku</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q438814" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g"><span>Element Wikidanych</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><p><b>Grupa alternująca</b> (rzadziej: <i>grupa naprzemienna</i>) – <a href="/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka)">grupa</a> <a href="/wiki/Permutacja#Znak_permutacji" title="Permutacja">parzystych permutacji</a> pewnego <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_sko%C5%84czony" title="Zbiór skończony">zbioru skończonego</a><sup id="cite_ref-epwn_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-1">[1]</a></sup>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definicja">Definicja</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Definicja" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Definicja"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>Grupą alternującą</b> nazywamy <a href="/wiki/Homomorfizm_grup#Jądro" title="Homomorfizm grup">jądro</a> <a href="/wiki/Homomorfizm_grup#Homomorfizm" title="Homomorfizm grup">homomorfizmu</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon S_{n}\to \{1,-1\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon S_{n}\to \{1,-1\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5a7b36a5b06af5ffb957691901c68163bc8010c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.062ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon S_{n}\to \{1,-1\}}"></span> danego wzorem </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\sigma )={\begin{cases}1,&{\mbox{gdy }}\sigma {\mbox{ jest parzysta}}\\-1,&{\mbox{gdy }}\sigma {\mbox{ jest nieparzysta}}\end{cases}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>gdy </mtext> </mstyle> </mrow> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext> jest parzysta</mtext> </mstyle> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>gdy </mtext> </mstyle> </mrow> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext> jest nieparzysta</mtext> </mstyle> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\sigma )={\begin{cases}1,&{\mbox{gdy }}\sigma {\mbox{ jest parzysta}}\\-1,&{\mbox{gdy }}\sigma {\mbox{ jest nieparzysta}}\end{cases}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38f952c9a4d2eb78760050ac8f7056e3e38f909" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:38.498ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f(\sigma )={\begin{cases}1,&{\mbox{gdy }}\sigma {\mbox{ jest parzysta}}\\-1,&{\mbox{gdy }}\sigma {\mbox{ jest nieparzysta}}\end{cases}}.}"></span></dd></dl> <p>Dla <a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupy symetrycznej</a> rzędu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> mówimy również o grupie alternującej <b>stopnia <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span></b>. Grupę taką oznacza się symbolami <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730f6906700685b6d52f3958b1c2ae659d2d97d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.962ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{n}}"></span> lub <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Alt} (n).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Alt</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Alt} (n).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73b945f85cc0399c4f4f0ce02ff05cd7ce5e445" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.145ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Alt} (n).}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przykłady_i_własności"><span id="Przyk.C5.82ady_i_w.C5.82asno.C5.9Bci"></span>Przykłady i własności</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Przykłady i własności" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykłady i własności"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Grupą alternującą stopnia 4 jest <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{4}=\{\operatorname {id} ,\;(123),\;(132),\;(124),\;(142),\;(134),\;(143),\;(234),\;(243),\;(12)(34),\;(13)(24),\;(14)(23)\};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>id</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>123</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>132</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>124</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>142</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>134</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>143</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>234</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>243</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>12</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>34</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>13</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>24</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>14</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>23</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{4}=\{\operatorname {id} ,\;(123),\;(132),\;(124),\;(142),\;(134),\;(143),\;(234),\;(243),\;(12)(34),\;(13)(24),\;(14)(23)\};}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5385ac45e1845cc10b0bddaa73b2cc5ef2f3bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:96.456ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A_{4}=\{\operatorname {id} ,\;(123),\;(132),\;(124),\;(142),\;(134),\;(143),\;(234),\;(243),\;(12)(34),\;(13)(24),\;(14)(23)\};}"></span></dd></dl></li></ul> <dl><dd>w szczególności grupa ta ma 12 elementów, lecz żaden z nich nie jest rzędu 4 – przykład ten pokazuje, że <a href="/wiki/Twierdzenie_odwrotne" title="Twierdzenie odwrotne">twierdzenie odwrotne</a> do <a href="/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(teoria_grup)" title="Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)">twierdzenia Lagrange’a</a> jest (w ogólności) fałszywe.</dd></dl> <ul><li>Dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>1,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957e317312fd02f34c1d1c8c80bd8484c29fde6c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.302ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n>1,}"></span> grupa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730f6906700685b6d52f3958b1c2ae659d2d97d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.962ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{n}}"></span> jest <a href="/wiki/Podgrupa_normalna" title="Podgrupa normalna">podgrupą normalną</a> <a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupy symetrycznej</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.643ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}}"></span> o <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {n!}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {n!}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2136b8d5a546c21fa430b61d562b691540d7dbbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.28ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {n!}{2}}}"></span> elementach.</li> <li>Grupa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730f6906700685b6d52f3958b1c2ae659d2d97d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.962ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{n}}"></span> jest <a href="/wiki/Grupa_przemienna" title="Grupa przemienna">przemienna</a> wtedy i tylko wtedy, gdy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\leqslant 3;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>⩽</mo> <mn>3</mn> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\leqslant 3;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3efa6afb06f2db11f83453c719be1c7f1363d8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.302ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n\leqslant 3;}"></span> jest <a href="/wiki/Grupa_prosta" title="Grupa prosta">grupą prostą</a> wtedy i tylko wtedy, gdy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=3}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c5a5a42ced00df920fad4ab2d4acdb960a4105b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=3}"></span> lub <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geqslant 5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>⩾</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geqslant 5}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29e0bd313fa15456f5bdd732a8200b7d2456fb4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.656ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\geqslant 5}"></span><sup id="cite_ref-epwn_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-1">[1]</a></sup>.</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{5}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{5}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e213bbb69691c65e1391fe16cd79a0029471446" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{5}}"></span> (rzędu 60) jest najmniejszą <a href="/wiki/Grupa_rozwi%C4%85zalna" title="Grupa rozwiązalna">nierozwiązalną</a> grupą i najmniejszą nieprzemienną grupą prostą.</li> <li>Podgrupa alternująca <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730f6906700685b6d52f3958b1c2ae659d2d97d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.962ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{n}}"></span> jest generowana przez wszystkie cykle długości 3 grupy symetrycznej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a7e377e63c1f493aa1f3470f8af79e77c0c503" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.29ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}.}"></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zobacz_też"><span id="Zobacz_te.C5.BC"></span>Zobacz też</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Zobacz też" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupa symetryczna</a></li> <li><a href="/wiki/Podgrupa_normalna" title="Podgrupa normalna">podgrupa normalna</a></li> <li><a href="/wiki/Silnia" title="Silnia">silnia</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-epwn-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-epwn_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-epwn_1-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3908293"><i>grupa prosta</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2022-03-12]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=grupa+prosta&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3908293" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Bibliografia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Bibliografia"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Boles%C5%82aw_Gleichgewicht" title="Bolesław Gleichgewicht">Bolesław Gleichgewicht</a>, <i>Algebra</i>, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/9788389020352" title="Specjalna:Książki/9788389020352">ISBN <span class="isbn">978-83-89020-35-2</span></a>, s. 43.</li></ul> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74983602">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy .before,.mw-parser-output .navbox.pionowy .after{padding:0.5em 0;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.caption,.mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background:#ccf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox .tnavbar{font-weight:normal;font-size:xx-small;white-space:nowrap;padding:0}.mw-parser-output .navbox>.tnavbar{margin-left:1em;float:left}.mw-parser-output .navbox .below>hr+.tnavbar{margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox .below>.tnavbar:before{content:"Ten szablon: "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:after{content:" · "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .navbox hr{margin:0.2em 1em}.mw-parser-output .navbox .title{background:#ddf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content:not(.grupa-szablonów-nawigacyjnych){margin-top:2px;padding:0;font-size:smaller;overflow:auto}.mw-parser-output .navbox .above+div,.mw-parser-output .navbox .above+.navbox-main-content,.mw-parser-output .navbox .below,.mw-parser-output .navbox .title+.grid{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below{background:#ddf;text-align:center;margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .navbox .flex>.before,.mw-parser-output .navbox .flex>.after{align-self:center;text-align:center}.mw-parser-output .navbox .flex>.navbox-main-content{flex-grow:1}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .before{margin-right:0.5em}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .after{margin-left:0.5em}.mw-parser-output .navbox .inner-columns,.mw-parser-output .navbox .inner-group,.mw-parser-output .navbox .inner-standard{border-spacing:0;border-collapse:collapse;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis{text-align:right;vertical-align:middle}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis+.spis{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td{padding:0;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td:first-child{text-align:center}.mw-parser-output .navbox .inner-standard .inner-standard>tbody>tr>td{text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-odd,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-even{padding:0 0.3em}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>th+td{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns{table-layout:fixed}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{padding:0;border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);border-right:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{vertical-align:top}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:first-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:first-child{border-left:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:last-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:last-child{border-right:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ul,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ol,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>dl{text-align:left;column-width:24em}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+table{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.opis,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.spis{padding:0.1em 1em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-toggle,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.mw-collapsible-toggle{width:4em;text-align:right;margin-right:0.4em}.mw-parser-output .navbox>.fakebar,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.fakebar{float:left;width:4em;height:1em}.mw-parser-output .navbox .opis{background:#ddf;padding:0 1em;white-space:nowrap;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox.pionowy .opis{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-even,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-odd{background:transparent}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-odd,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-even{background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div{background:transparent}.mw-parser-output .navbox p{margin:0;padding:0.3em 0}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:gold}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:silver}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#c96}.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ul,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>dl,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ol{column-width:24em;text-align:left}.mw-parser-output .navbox ul{list-style:none}.mw-parser-output .navbox .references{background:transparent}.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dd,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dt,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist li{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox .rok{display:inline-block;width:4em;padding-right:0.5em;text-align:right}.mw-parser-output .navbox .navbox-statistics{margin-top:2px;border-top:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);text-align:center;font-size:small}.mw-parser-output .navbox-summary>.title{font-weight:bold;font-size:larger}.mw-parser-output .navbox:not(.grupa-szablonów) .navbox{margin:0;border:0;padding:0}.mw-parser-output .navbox.grupa-szablonów>.grupa-szablonów-nawigacyjnych>.navbox:first-child{margin-top:2px}@media(max-width:800px){.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.before,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.after{display:none}}.mw-parser-output .navbox .opis img,.mw-parser-output .navbox .opis .flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.image{display:none}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}</style><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Teoria_grup" title="Szablon:Teoria grup"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Teoria_grup&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Teoria grup (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Teoria_grup&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Teoria_grup" title="Teoria grup">Teoria grup</a></div><div class="mw-collapsible-content flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">podstawy</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">działanie dwuargumentowe</a></li> <li><a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączność</a></li> <li><a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">element neutralny</a></li> <li><a href="/wiki/Element_odwrotny" title="Element odwrotny">element odwrotny</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka)">grupa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Przyk%C5%82ady_grup" title="Przykłady grup">przykłady</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a2_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">z <a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawaniem</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">liczby całkowite</a> <ul><li><a href="/wiki/Parzysto%C5%9B%C4%87_liczb" title="Parzystość liczb">liczby parzyste</a></li> <li><a href="/wiki/0" title="0">zero</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczby wymierne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczby rzeczywiste</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczby zespolone</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa" title="Przestrzeń euklidesowa">przestrzeń kartezjańska</a></li> <li><a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">wielomiany</a></li> <li><a href="/wiki/Wektor" title="Wektor">wektory</a></li> <li><a href="/wiki/Arytmetyka_modularna" title="Arytmetyka modularna">całkowite reszty z dzielenia</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">z <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Mnożenie">mnożeniem</a><br />liczb</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li>niezerowe <a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczby wymierne</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">dodatnie</a> liczby wymierne</li> <li><a href="/wiki/1_(liczba)" title="1 (liczba)">jedynka</a></li></ul></li> <li>niezerowe <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczby rzeczywiste</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">dodatnie</a> liczby rzeczywiste</li></ul></li> <li>niezerowe <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczby zespolone</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_okr%C4%99gu" title="Grupa okręgu">grupa okręgu</a></li> <li><a href="/wiki/Pierwiastek_z_jedynki" title="Pierwiastek z jedynki">pierwiastki z jedynki</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">ze <a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">składaniem<br />funkcji</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_bijekcji" title="Grupa bijekcji">grupa bijekcji</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupa permutacji</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">grupa alternująca</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_to%C5%BCsamo%C5%9Bciowa" title="Funkcja tożsamościowa">funkcja tożsamościowa</a></li></ul></li> <li>rzeczywiste <a href="/wiki/Funkcja_liniowa" title="Funkcja liniowa">funkcje liniowe</a></li> <li>rzeczywiste <a href="/wiki/Funkcja_homograficzna" title="Funkcja homograficzna">homografie</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_diedralna" title="Grupa diedralna">grupy diedralne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_4"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Macierz_odwrotna" title="Macierz odwrotna">macierze odwracalne</a> z <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie_macierzy" title="Mnożenie macierzy">mnożeniem macierzy</a> – <a href="/wiki/Pe%C5%82na_grupa_liniowa" title="Pełna grupa liniowa">pełne grupy liniowe</a></li> <li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_pot%C4%99gowy" title="Zbiór potęgowy">zbiory potęgowe</a> z <a href="/wiki/R%C3%B3%C5%BCnica_symetryczna_zbior%C3%B3w" title="Różnica symetryczna zbiorów">różnicą symetryczną</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Homomorfizm" title="Homomorfizm">homomorfizmy</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Homomorfizm_grup" title="Homomorfizm grup">homomorfizm grup</a> <ul><li><a href="/wiki/Reprezentacja_grupy" title="Reprezentacja grupy">reprezentacja grupy</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/J%C4%85dro_(algebra)" title="Jądro (algebra)">jądro</a></li> <li><a href="/wiki/Monomorfizm" title="Monomorfizm">monomorfizm</a></li> <li><a href="/wiki/Epimorfizm" title="Epimorfizm">epimorfizm</a></li> <li><a href="/wiki/Izomorfizm" title="Izomorfizm">izomorfizm</a></li> <li><a href="/wiki/Endomorfizm" title="Endomorfizm">endomorfizm</a> <ul><li><a href="/wiki/Automorfizm" title="Automorfizm">automorfizm</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Podgrupa" title="Podgrupa">podgrupy</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a4_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">ogólne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Warstwa_(teoria_grup)" title="Warstwa (teoria grup)">warstwa</a></li> <li><a href="/wiki/Indeks_podgrupy" title="Indeks podgrupy">indeks podgrupy</a></li> <li><a href="/wiki/Centralizator_i_normalizator" title="Centralizator i normalizator">centralizator i normalizator</a></li> <li><a href="/wiki/Iloczyn_kompleksowy" title="Iloczyn kompleksowy">iloczyn kompleksowy</a></li> <li><a href="/wiki/Podgrupa_torsyjna" title="Podgrupa torsyjna">podgrupa torsyjna</a></li> <li><a href="/wiki/Krata_podgrup" title="Krata podgrup">krata podgrup</a> <ul><li><a href="/wiki/Modularno%C5%9B%C4%87" title="Modularność">modularność</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Podgrupa_normalna" title="Podgrupa normalna">normalne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Kongruencja_(algebra)" title="Kongruencja (algebra)">kongruencja</a></li> <li><a href="/wiki/Zgodno%C5%9B%C4%87_relacji_z_dzia%C5%82aniem" title="Zgodność relacji z działaniem">zgodność relacji z działaniem</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_ilorazowa" title="Grupa ilorazowa">grupa ilorazowa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Podgrupa_charakterystyczna" title="Podgrupa charakterystyczna">charakterystyczne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Komutant" title="Komutant">komutant</a></li> <li><a href="/wiki/Norma_(teoria_grup)" title="Norma (teoria grup)">norma</a></li> <li><a href="/wiki/Podgrupa_Frattiniego" title="Podgrupa Frattiniego">podgrupa Frattiniego</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row">dalsze pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemienność</a></li> <li><a href="/wiki/Rz%C4%85d_(teoria_grup)" title="Rząd (teoria grup)">rząd grupy i jej elementu</a></li> <li><a href="/wiki/Iloczyny_grup" title="Iloczyny grup">iloczyny grup</a> <ul><li><a href="/wiki/Iloczyny_grup#Suma_prosta" title="Iloczyny grup">suma prosta</a></li> <li><a href="/wiki/Splot_(teoria_grup)" title="Splot (teoria grup)">splot</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_generator%C3%B3w_grupy" title="Zbiór generatorów grupy">zbiór generatorów grupy</a></li> <li><a href="/wiki/Komutator_(matematyka)" title="Komutator (matematyka)">komutator</a></li> <li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_grupy_na_zbiorze" title="Działanie grupy na zbiorze">działanie grupy na zbiorze</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row">rodzaje grup</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a6_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Grupa_przemienna" title="Grupa przemienna">przemienne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Sko%C5%84czenie_generowana_grupa_przemienna" title="Skończenie generowana grupa przemienna">skończenie generowane grupy przemienne</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina" title="Grupa czwórkowa Kleina">grupy czwórkowe Kleina</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_cykliczna" title="Grupa cykliczna">grupy cykliczne</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_trywialna" title="Grupa trywialna">grupy trywialne</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Grupa_abelowa_wolna" title="Grupa abelowa wolna">grupa abelowa wolna</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_addytywna" title="Grupa addytywna">addytywna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_algebraiczna" title="Grupa algebraiczna">algebraiczna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_charakterystycznie_prosta" title="Grupa charakterystycznie prosta">charakterystycznie prosta</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Coxetera" title="Grupa Coxetera">Coxetera</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_doskona%C5%82a" title="Grupa doskonała">doskonała</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Galois" title="Grupa Galois">Galois</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Hamiltona" title="Grupa Hamiltona">Hamiltona</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Hopfa" title="Grupa Hopfa">Hopfa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Liego" title="Grupa Liego">Liego</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_lokalnie_sko%C5%84czona" title="Grupa lokalnie skończona">lokalnie skończona</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_multiplikatywna" title="Grupa multiplikatywna">multiplikatywna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_nilpotentna" title="Grupa nilpotentna">nilpotentna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_odbi%C4%87" title="Grupa odbić">odbić</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_pe%C5%82na" title="Grupa pełna">pełna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_podstawowa" title="Grupa podstawowa">podstawowa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_prosta" title="Grupa prosta">prosta</a></li> <li><a href="/wiki/P-grupa" title="P-grupa">p-grupa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_rozwi%C4%85zalna" title="Grupa rozwiązalna">rozwiązalna</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_superrozwi%C4%85zalna" title="Grupa superrozwiązalna">superrozwiązalna</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Grupa_symetrii" title="Grupa symetrii">symetrii</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_torsyjna" title="Grupa torsyjna">torsyjna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_wolna" title="Grupa wolna">wolna</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie">twierdzenia</a><br />o grupach</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a7_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">skończonych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(teoria_grup)" title="Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)">Lagrange’a</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Cayleya" title="Twierdzenie Cayleya">Cayleya</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Cauchy%E2%80%99ego_(teoria_grup)" title="Twierdzenie Cauchy’ego (teoria grup)">Cauchy’ego</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenia_Sylowa" title="Twierdzenia Sylowa">Sylowa</a></li> <li><a href="/wiki/Klasyfikacja_sko%C5%84czonych_grup_prostych" title="Klasyfikacja skończonych grup prostych">klasyfikacja skończonych grup prostych</a></li></ul> </td></tr><tr class="a7_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">dowolnych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Jordana-H%C3%B6ldera" title="Twierdzenie Jordana-Höldera">Jordana-Höldera</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Schreiera" title="Twierdzenie Schreiera">Schreiera</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_odpowiednio%C5%9Bci" title="Twierdzenie o odpowiedniości">o odpowiedniości</a></li> <li><a href="/wiki/Lemat_Goursata" title="Lemat Goursata">lemat Goursata</a></li> <li><a href="/wiki/Lemat_Zassenhausa" title="Lemat Zassenhausa">lemat Zassenhausa</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row">grupy<br />z dodatkowymi<br /><a href="/wiki/Struktura_matematyczna" title="Struktura matematyczna">strukturami</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_z_operatorami" title="Grupa z operatorami">grupa z operatorami</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_uporz%C4%85dkowana" title="Grupa uporządkowana">grupa uporządkowana</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_topologiczna" title="Grupa topologiczna">grupa topologiczna</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_dyskretna" title="Grupa dyskretna">grupa dyskretna</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Uog%C3%B3lnienie" title="Uogólnienie">uogólnienia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Monoid" title="Monoid">monoid</a></li> <li><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82grupa" title="Półgrupa">półgrupa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupoid" title="Grupoid">grupoid</a></li> <li><a href="/wiki/Kategoria_(matematyka)" title="Kategoria (matematyka)">kategoria</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Naukowiec" title="Naukowiec">uczeni</a> według<br />daty narodzin</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a10_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XVIII_wiek" title="XVIII wiek">XVIII wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Joseph_Louis_Lagrange" title="Joseph Louis Lagrange">Joseph Louis Lagrange</a></li> <li><a href="/wiki/Augustin_Louis_Cauchy" title="Augustin Louis Cauchy">Augustin Louis Cauchy</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XIX_wiek" title="XIX wiek">XIX wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Niels_Henrik_Abel" title="Niels Henrik Abel">Niels Henrik Abel</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89variste_Galois" title="Évariste Galois">Évariste Galois</a></li> <li><a href="/wiki/Peter_Sylow" title="Peter Sylow">Peter Sylow</a></li> <li><a href="/wiki/Marie_Ennemond_Camille_Jordan" title="Marie Ennemond Camille Jordan">Marie Ennemond Camille Jordan</a></li> <li><a href="/wiki/Marius_Sophus_Lie" title="Marius Sophus Lie">Marius Sophus Lie</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89douard_Goursat" title="Édouard Goursat">Édouard Goursat</a></li> <li><a href="/wiki/Otto_Ludwig_H%C3%B6lder" title="Otto Ludwig Hölder">Otto Ludwig Hölder</a></li> <li><a href="/wiki/Heinz_Hopf" title="Heinz Hopf">Heinz Hopf</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XX_wiek" title="XX wiek">XX wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Otto_Schreier&action=edit&redlink=1" class="new" title="Otto Schreier (strona nie istnieje)">Otto Schreier</a><sup>(<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Otto_Schreier" class="extiw" title="en:Otto Schreier">en</a>)</sup></li> <li><a href="/wiki/Hans_Julius_Zassenhaus" title="Hans Julius Zassenhaus">Hans Julius Zassenhaus</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Circle_as_Lie_group.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/100px-Circle_as_Lie_group.svg.png" decoding="async" width="100" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/150px-Circle_as_Lie_group.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/200px-Circle_as_Lie_group.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span> </p> </div></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74016753">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-fehlt"><div><a href="/wiki/Encyklopedia_internetowa" title="Encyklopedia internetowa">Encyklopedie internetowe</a> (<span class="description">finite group</span>):</div> <ul><li><a href="/wiki/Den_Store_Danske_Encyklop%C3%A6di" title="Den Store Danske Encyklopædi">DSDE</a>: <span class="uid"><a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=8313&url_prefix=https://lex.dk/&id=alternerende_gruppe">alternerende_gruppe</a></span></li></ul> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupa_alternująca&oldid=74711778">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupa_alternująca&oldid=74711778</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategoria</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Przyk%C5%82ady_grup_sko%C5%84czonych" title="Kategoria:Przykłady grup skończonych">Przykłady grup skończonych</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Ukryta kategoria: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Kontrola_autorytatywna_potrzebuje_polskiej_etykiety" title="Kategoria:Kontrola autorytatywna potrzebuje polskiej etykiety">Kontrola autorytatywna potrzebuje polskiej etykiety</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Tę stronę ostatnio edytowano 8 wrz 2024, 12:27.</li> <li id="footer-info-copyright">Tekst udostępniany na licencji <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl">Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach</a>, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/pl">warunkach korzystania</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Polityka prywatności</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii">O Wikipedii</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Korzystasz_z_Wikipedii_tylko_na_w%C5%82asn%C4%85_odpowiedzialno%C5%9B%C4%87">Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Powszechne Zasady Postępowania</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Dla deweloperów</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pl.wikipedia.org">Statystyki</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Oświadczenie o ciasteczkach</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupa_alternuj%C4%85ca&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Wersja mobilna</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-5c59558b9d-4k5fv","wgBackendResponseTime":150,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.222","walltime":"0.344","ppvisitednodes":{"value":587,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":36058,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":41,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":9,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":1,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":11318,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":2,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 222.882 1 -total"," 58.84% 131.143 6 Szablon:Szablon_nawigacyjny"," 57.00% 127.048 1 Szablon:Teoria_grup"," 21.10% 47.019 1 Szablon:Kontrola_autorytatywna"," 18.35% 40.889 1 Szablon:Przypisy"," 10.47% 23.338 1 Szablon:Encyklopedia_PWN"," 3.44% 7.664 1 Szablon:ISBN"," 0.99% 2.211 1 Szablon:Odn/id"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.139","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":2180100,"limit":52428800},"limitreport-logs":"required = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\nrequired = table#1 {\n}\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-8f644c877-bkjck","timestamp":"20241106081913","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Grupa alternuj\u0105ca","url":"https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Grupa_alternuj%C4%85ca","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q438814","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q438814","author":{"@type":"Organization","name":"Wsp\u00f3\u0142tw\u00f3rcy projekt\u00f3w Fundacji Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2006-12-30T19:08:26Z","headline":"struktura algebraiczna z\u0142o\u017cona z permutacji parzystych"}</script> </body> </html>