Podgrupa – Wikipedia, wolna encyklopedia

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-sticky-header-enabled vector-toc-available" lang="pl" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Podgrupa – Wikipedia, wolna encyklopedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-sticky-header-enabled vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )plwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","styczeń","luty","marzec","kwiecień","maj","czerwiec","lipiec","sierpień","wrzesień","październik","listopad","grudzień"],"wgRequestId":"2502883d-8da1-437c-be76-5ee76c2e0d26","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Podgrupa","wgTitle":"Podgrupa","wgCurRevisionId":76278702,"wgRevisionId":76278702,"wgArticleId":18448,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Podgrupy"],"wgPageViewLanguage":"pl","wgPageContentLanguage":"pl","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Podgrupa","wgRelevantArticleId":18448,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":76278702,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"pl","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"pl"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":40000,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q466109","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false}; RLSTATE={"ext.gadget.wikiflex":"ready","ext.gadget.infobox":"ready","ext.gadget.hlist":"ready","ext.gadget.darkmode-overrides":"ready","ext.gadget.small-references":"ready","ext.gadget.citation-access-info":"ready","ext.gadget.sprawdz-problemy-szablony":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","ext.scribunto.logs","site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.ll-script-loader","ext.gadget.veKeepParameters","ext.gadget.szablon-galeria","ext.gadget.NavFrame","ext.gadget.citoid-overrides","ext.gadget.maps","ext.gadget.padlock-indicators","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.gadget.edit-summaries","ext.gadget.edit-first-section","ext.gadget.wikibugs","ext.gadget.map-toggler","ext.gadget.narrowFootnoteColumns","ext.gadget.WDsearch","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=pl&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.gadget.citation-access-info%2Cdarkmode-overrides%2Chlist%2Cinfobox%2Csmall-references%2Csprawdz-problemy-szablony%2Cwikiflex&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.22"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Podgrupa – Wikipedia, wolna encyklopedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//pl.m.wikipedia.org/wiki/Podgrupa"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Edytuj" href="/w/index.php?title=Podgrupa&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (pl)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//pl.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Podgrupa"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Kanał Atom Wikipedii" href="/w/index.php?title=Specjalna:Ostatnie_zmiany&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="auth.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Podgrupa rootpage-Podgrupa skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Przejdź do zawartości</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" title="Główne menu" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menu główne" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Menu główne </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menu główne</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Nawigacja </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" title="Przejdź na stronę główną [z]" accesskey="z">Strona główna</a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Losowa_strona" title="Załaduj losową stronę [x]" accesskey="x">Losuj artykuł</a></li><li id="n-Kategorie" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Kategorie_G%C5%82%C3%B3wne">Kategorie artykułów</a></li><li id="n-Featured-articles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Wyr%C3%B3%C5%BCniona_zawarto%C5%9B%C4%87_Wikipedii">Najlepsze artykuły</a></li><li id="n-FAQ" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:FAQ">Częste pytania (FAQ)</a></li><li id="n-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne">Strony specjalne</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-zmiany" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-zmiany" > <div class="vector-menu-heading"> Dla czytelników </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-czytelnicy" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii">O Wikipedii</a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kontakt_z_wikipedystami">Kontakt</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-edytorzy" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-edytorzy" > <div class="vector-menu-heading"> Dla wikipedystów </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-pierwsze-kroki" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki">Pierwsze kroki</a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Portal_wikipedyst%C3%B3w" title="O projekcie – co możesz zrobić, gdzie możesz znaleźć informacje">Portal wikipedystów</a></li><li id="n-Noticeboard" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tablica_og%C5%82osze%C5%84">Ogłoszenia</a></li><li id="n-Guidelines" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Zasady">Zasady</a></li><li id="n-helppage-name" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Spis_tre%C5%9Bci">Pomoc</a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Ostatnie_zmiany" title="Lista ostatnich zmian w Wikipedii. [r]" accesskey="r">Ostatnie zmiany</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="wolna encyklopedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-pl.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Specjalna:Szukaj" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f"> Szukaj </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Przeszukaj Wikipedię" aria-label="Przeszukaj Wikipedię" autocapitalize="sentences" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f" id="searchInput" > </div> <input type="hidden" name="title" value="Specjalna:Szukaj"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Szukaj</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Narzędzia osobiste"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Zmień rozmiar czcionki, szerokość oraz kolorystykę strony" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Wygląd" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Wygląd </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=pl.wikipedia.org&uselang=pl" class="">Wspomóż Wikipedię</a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Podgrupa" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe." class="">Utwórz konto</a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Podgrupa" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o" class="">Zaloguj się</a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Więcej opcji" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia osobiste" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Narzędzia osobiste </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menu użytkownika" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=pl.wikipedia.org&uselang=pl">Wspomóż Wikipedię</a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Podgrupa" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe."> Utwórz konto</a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Podgrupa" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o"> Zaloguj się</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Strony dla anonimowych edytorów <a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki" aria-label="Dowiedz się więcej na temat edytowania">dowiedz się więcej</a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:M%C3%B3j_wk%C5%82ad" title="Lista edycji wykonanych z tego adresu IP [y]" accesskey="y">Edycje</a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Moja_dyskusja" title="Dyskusja użytkownika dla tego adresu IP [n]" accesskey="n">Dyskusja</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Spis treści" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Spis treści</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ukryj</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Początek</div> </a> </li> <li id="toc-Charakteryzacje" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Charakteryzacje"> <div class="vector-toc-text"> 1 Charakteryzacje </div> </a> <ul id="toc-Charakteryzacje-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przykłady" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykłady"> <div class="vector-toc-text"> 2 Przykłady </div> </a> <ul id="toc-Przykłady-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Zobacz_też" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Zobacz_też"> <div class="vector-toc-text"> 3 Zobacz też </div> </a> <ul id="toc-Zobacz_też-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Uwagi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Uwagi"> <div class="vector-toc-text"> 4 Uwagi </div> </a> <ul id="toc-Uwagi-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="Spis treści" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Przełącz stan spisu treści </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Podgrupa</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 40 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-40" aria-hidden="true" > 40 języków </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D9%85%D8%B1%D8%A9_%D8%AC%D8%B2%D8%A6%D9%8A%D8%A9" title="زمرة جزئية – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="زمرة جزئية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Altqrup" title="Altqrup – azerbejdżański" lang="az" hreflang="az" data-title="Altqrup" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbejdżański" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D0%B4%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0" title="Падгрупа – białoruski" lang="be" hreflang="be" data-title="Падгрупа" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="białoruski" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0" title="Подгрупа – bułgarski" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Подгрупа" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bułgarski" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Subgrup" title="Subgrup – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Subgrup" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Podgrupa" title="Podgrupa – czeski" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Podgrupa" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="czeski" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Undergruppe" title="Undergruppe – duński" lang="da" hreflang="da" data-title="Undergruppe" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="duński" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Untergruppe" title="Untergruppe – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Untergruppe" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subgroup" title="Subgroup – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Subgroup" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Subgrupo" title="Subgrupo – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Subgrupo" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Subgrupo" title="Subgrupo – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Subgrupo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%DB%8C%D8%B1%DA%AF%D8%B1%D9%88%D9%87" title="زیرگروه – perski" lang="fa" hreflang="fa" data-title="زیرگروه" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perski" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Sous-groupe" title="Sous-groupe – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Sous-groupe" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Subgrupo" title="Subgrupo – galicyjski" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Subgrupo" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicyjski" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B6%80%EB%B6%84%EA%B5%B0" title="부분군 – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="부분군" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Podgrupa" title="Podgrupa – chorwacki" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Podgrupa" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="chorwacki" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Subgrup" title="Subgrup – indonezyjski" lang="id" hreflang="id" data-title="Subgrup" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonezyjski" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Subgruppo" title="Subgruppo – interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Subgruppo" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sottogruppo" title="Sottogruppo – włoski" lang="it" hreflang="it" data-title="Sottogruppo" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="włoski" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%AA-%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94" title="תת-חבורה – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="תת-חבורה" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9szcsoport" title="Részcsoport – węgierski" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Részcsoport" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="węgierski" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%89%E0%B4%AA%E0%B4%97%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B5%82%E0%B4%AA%E0%B5%8D%E0%B4%AA%E0%B5%8D" title="ഉപഗ്രൂപ്പ് – malajalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ഉപഗ്രൂപ്പ്" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malajalam" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Ondergroep_(wiskunde)" title="Ondergroep (wiskunde) – niderlandzki" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Ondergroep (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="niderlandzki" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="部分群 – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="部分群" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Subgrupo" title="Subgrupo – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Subgrupo" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Subgrup" title="Subgrup – rumuński" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Subgrup" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumuński" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Подгруппа – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Подгруппа" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Subgroup" title="Subgroup – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Subgroup" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Podgrupa" title="Podgrupa – słowacki" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Podgrupa" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="słowacki" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Podgrupa" title="Podgrupa – słoweński" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Podgrupa" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="słoweński" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Подгрупа (математика) – serbski" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Подгрупа (математика)" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbski" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Podgrupa" title="Podgrupa – serbsko-chorwacki" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Podgrupa" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbsko-chorwacki" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Aliryhm%C3%A4" title="Aliryhmä – fiński" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Aliryhmä" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="fiński" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Delgrupp" title="Delgrupp – szwedzki" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Delgrupp" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="szwedzki" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%89%E0%AE%9F%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%81%E0%AE%B2%E0%AE%AE%E0%AF%8D_(%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D)" title="உட்குலம் (கணிதம்) – tamilski" lang="ta" hreflang="ta" data-title="உட்குலம் (கணிதம்)" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamilski" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Alt%C3%B6bek" title="Altöbek – turecki" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Altöbek" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turecki" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%96%D0%B4%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0" title="Підгрупа – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Підгрупа" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%B3m_con" title="Nhóm con – wietnamski" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Nhóm con" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="wietnamski" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%90%E7%BE%A3" title="子羣 – kantoński" lang="yue" hreflang="yue" data-title="子羣" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoński" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%90%E7%BE%A4" title="子群 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="子群" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target">中文</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q466109#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Podgrupa" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c">Artykuł</a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Dyskusja:Podgrupa&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Dyskusja o zawartości tej strony (strona nie istnieje) [t]" accesskey="t">Dyskusja</a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Zmień wariant języka" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >polski </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Widok"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Podgrupa">Czytaj</a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Podgrupa&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v">Edytuj</a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Podgrupa&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e">Edytuj kod źródłowy</a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Podgrupa&action=history" title="Starsze wersje tej strony [h]" accesskey="h">Wyświetl historię</a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >Narzędzia </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Narzędzia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Więcej opcji" > <div class="vector-menu-heading"> Działania </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Podgrupa">Czytaj</a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Podgrupa&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v">Edytuj</a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Podgrupa&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e">Edytuj kod źródłowy</a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Podgrupa&action=history">Wyświetl historię</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ogólne </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Podgrupa" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j">Linkujące</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Podgrupa" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k">Zmiany w linkowanych</a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u">Prześlij plik</a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Podgrupa&oldid=76278702" title="Stały link do tej wersji tej strony">Link do tej wersji</a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Podgrupa&action=info" title="Więcej informacji na temat tej strony">Informacje o tej stronie</a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=Podgrupa&id=76278702&wpFormIdentifier=titleform" title="Informacja o tym jak należy cytować tę stronę">Cytowanie tego artykułu</a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FPodgrupa">Zobacz skrócony adres URL</a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FPodgrupa">Pobierz kod QR</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Podgrupa">Utwórz książkę</a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Podgrupa&action=show-download-screen">Pobierz jako PDF</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Podgrupa&printable=yes" title="Wersja do wydruku [p]" accesskey="p">Wersja do druku</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Subgroups" hreflang="en">Wikimedia Commons</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q466109" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g">Element Wikidanych</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r68840208">.mw-parser-output .template-toc-container.left{float:left;clear:left;margin:0 1em 1em 0;padding:0.5em 1.4em 0.8em 0}.mw-parser-output .template-toc-container.right{float:right;clear:right;margin:0 0 1em 1em;padding:0.5em 0 0.8em 1.4em}.mw-parser-output .toclimit-2 .toclevel-1 ul,.mw-parser-output .toclimit-3 .toclevel-2 ul,.mw-parser-output .toclimit-4 .toclevel-3 ul,.mw-parser-output .toclimit-5 .toclevel-4 ul,.mw-parser-output .toclimit-6 .toclevel-5 ul,.mw-parser-output .toclimit-7 .toclevel-6 ul{display:none}body.skin-vector-2022 .mw-parser-output .template-toc-container{display:none}@media screen and (max-width:719px){body.skin-minerva .mw-parser-output .template-toc-container{display:none}}</style><div class="template-toc-container right" style="width:auto"><meta property="mw:PageProp/toc" /></div> Podgrupa – <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r" title="Zbiór">zbiór</a> elementów danej <a href="/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka)">grupy</a>, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej <a href="/wiki/Podzbi%C3%B3r" title="Podzbiór">podzbiór</a> grupy zamknięty na działanie grupowe i <a href="/wiki/Element_odwrotny" title="Element odwrotny">branie odwrotności</a>, który zawiera jej <a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">element neutralny</a> (zob. <a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działanie wewnętrzne</a>). Podgrupy to te z podzbiorów grup, które odzwierciedlają i zachowują ich <a href="/wiki/Algebra_og%C3%B3lna" title="Algebra ogólna">strukturę algebraiczną</a>; badanie podgrup danej grupy (nazywanej czasem w tym kontekście nadgrupą) dostarcza o niej wielu istotnych informacji, umożliwiając głębsze zrozumienie jej budowy. Niekiedy podgrupy wkomponowane są w grupę w szczególny sposób: są <a href="/wiki/Niezmiennik_przekszta%C5%82cenia" title="Niezmiennik przekształcenia">niezmiennikami</a> <a href="/wiki/Homomorfizm_grup" title="Homomorfizm grup">przekształceń algebraicznych</a> (<a href="/wiki/Podgrupa_normalna" title="Podgrupa normalna">podgrupa normalna</a>, <a href="/wiki/Podgrupa_charakterystyczna" title="Podgrupa charakterystyczna">podgrupa charakterystyczna</a>), umożliwiają jednoznaczne przedstawienie elementu grupy jako sumy/iloczynu elementów ich „rozłącznych”<a href="#cite_note-1">[a]</a> podgrup (składnik/czynnik prosty, zob. <a href="/wiki/Iloczyny_grup#Suma_prosta" title="Iloczyny grup">suma prosta</a>/<a href="/w/index.php?title=Iloczyn_prosty&action=edit&redlink=1" class="new" title="Iloczyn prosty (strona nie istnieje)">iloczyn prosty</a> podgrup); w teorii <a href="/wiki/Grupa_przemienna" title="Grupa przemienna">grup przemiennych</a> rozpatruje się <a href="/w/index.php?title=Podgrupa_czysta&action=edit&redlink=1" class="new" title="Podgrupa czysta (strona nie istnieje)">podgrupy czyste</a> oraz <a href="/w/index.php?title=Podgrupa_istotna&action=edit&redlink=1" class="new" title="Podgrupa istotna (strona nie istnieje)">podgrupy istotne</a><a href="#cite_note-2">[b]</a> o nieco słabszych, lecz nadal przydatnych, własnościach (przy potencjalnie większej ich liczbie, co ułatwia wskazanie podgrup o lepszych własnościach). <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Charakteryzacje">Charakteryzacje</h2>[<a href="/w/index.php?title=Podgrupa&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Charakteryzacje" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Podgrupa&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Charakteryzacje">edytuj kod</a>]</div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /> Zobacz też: <a href="/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka)">grupa</a> i <a href="/wiki/Podzbi%C3%B3r" title="Podzbiór">podzbiór</a>.</div> Niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> będzie grupą; podzbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H\subseteq G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>⊆</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H\subseteq G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/646c6760f9e69b52e2268db02a1d5d0a261f52dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.636ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H\subseteq G,}" /> który tworzy grupę ze względu na działanie określone na <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> nazywa się podgrupą grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> i oznacza zwykle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H\leqslant G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>⩽</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H\leqslant G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f512f78a8c2b1232c6182db280353842c201b73f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.989ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle H\leqslant G}" /><a href="#cite_note-3">[c]</a>. Podgrupę <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> jako grupę charakteryzują następujące warunki: <ul><li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">Wewnętrzność</a>: działanie grupowe na <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> jest <a href="/wiki/Funkcja#Zawężenie_i_przedłużenie" title="Funkcja">zawężeniem</a> działania grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> do zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0527ce972f9aa10a5e5fed4ca2b55d7c1870ab2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.71ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H;}" /> dlatego iloczyn elementów <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f184047ea700ffad9f506fc551b4f38ae1234fbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.166ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in H}" /> obliczany jest jako iloczyn elementów <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" /> w grupie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57f0e2433ff1624498378f0166f86c14d5086c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G;}" /> aby uzyskać <a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">dwuargumentowe</a> działanie wewnętrzne na <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> dane wzorem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)\mapsto ab}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)\mapsto ab}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a473441ea3bb97ff1bcaeeb453f08ba3f03e054c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.912ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)\mapsto ab}" /> tak jak w grupie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> potrzeba, a zarazem wystarcza, by <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7685edd11857adec9cd75b5d3e96161c3219be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab\in H}" /> dla wszystkich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in H.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in H.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05552acdf398784afa888b8a43cb4d640d43f774" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.812ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in H.}" /> Innymi słowy zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> musi być zamknięty ze względu na działanie w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc645a5b7e8a2022ad70fc42dbda04c008a33a9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.474ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G.}" /></li> <li><a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">Łączność</a>: działanie w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> musi być łączne, czyli dla wszystkich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c0d46ddf30f01aab627a682f48b97fca115fc5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.206ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c\in H}" /> musi zachodzić <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (ab)c=a(bc);}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (ab)c=a(bc);}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b4c050a066e4957bfa0a034af7990c7a4a4440" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.832ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (ab)c=a(bc);}" /> wiadomo jednak, że <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (ab)c=a(bc)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (ab)c=a(bc)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe39cd5b70c1c6b7e467d25b61554b02b1bd122" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.185ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (ab)c=a(bc)}" /> dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c\in G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c\in G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d843a5495e7fe59d941ab8400e184259c6dee4c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.616ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c\in G,}" /> a ponieważ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H\subseteq G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>⊆</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H\subseteq G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/646c6760f9e69b52e2268db02a1d5d0a261f52dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.636ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H\subseteq G,}" /> to powyższy warunek odnosi się w szczególności do elementów <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c\in H;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c\in H;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de066f6e45e03736a2885a8f9e91dac32c3d281" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.853ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c\in H;}" /> w ten sposób łączność działania w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> dana jest z góry (tzn. wynika wprost z łączności działania w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" />).</li> <li><a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">Element neutralny</a>: zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> nie może być pusty, gdyż jako grupa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> musi mieć element neutralny; niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7862c6f73774ee2ba4ff20d8eb08677b6f984b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.988ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle e\in H}" /> spełnia <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ae=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ae=a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7753b28aac6773d5cd8f58556fb5ab05873802c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.642ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle ae=a}" /> dla dowolnego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in H;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in H;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4f5ab2a757602a03d4a3148b7a74e85975029d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.781ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\in H;}" /> w szczególności dla elementu neutralnego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" /> grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> zachodzi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ee=e,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ee=e,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbff13c5dc05eda2e040140665488f73c71ff443" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.996ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle ee=e,}" /> a ponieważ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e\in H\subseteq G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>⊆</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e\in H\subseteq G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da201c6736ad2b0ef911b696653ba6be724b9ee5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.56ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e\in H\subseteq G,}" /> to z <a href="/wiki/Grupa_(matematyka)#cite_note-lemat-7" title="Grupa (matematyka)">charakteryzacji elementu neutralnego grupy</a> wynika, że <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" /> jest elementem neutralnym grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57f0e2433ff1624498378f0166f86c14d5086c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G;}" /> oznacza to, że element neutralny grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> jest zarazem elementem neutralnym w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef601e1519093ba6c2944b945882c119f990e704" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.71ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H,}" /> o ile tylko należy on do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef601e1519093ba6c2944b945882c119f990e704" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.71ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H,}" /> tzn. nie trzeba szukać elementu neutralnego w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef601e1519093ba6c2944b945882c119f990e704" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.71ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H,}" /> gdyż jest on niejako z góry – wystarczy tylko sprawdzić, czy element neutralny w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> należy do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8933ae7244305ae7824aa18e077d1cf946e2ee9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.71ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H.}" /></li> <li><a href="/wiki/Element_odwrotny" title="Element odwrotny">Odwracalność</a>: dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c880148ff31cbbb6016f3d7f33298cd09eb6f75" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.134ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in H}" /> musi istnieć <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in H,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e174648ab9f90682cb9823b8c594230aa64a12f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.881ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x\in H,}" /> dla których <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ax=e;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ax=e;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d25501c7ff1354bb05eac31caee538904dd71f66" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.388ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle ax=e;}" /> odczytanie tego równania w grupie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> daje natychmiastowo rozwiązanie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=a^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=a^{-1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c1cc14849e3718adce2c58916c83b294abe502" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.991ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x=a^{-1}}" /> w postaci elementu odwrotnego do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" /> w grupie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57f0e2433ff1624498378f0166f86c14d5086c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G;}" /> element odwrotny do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" /> istnieje w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> dlatego nie trzeba go szukać, lecz wystarczy sobie jedynie zapewnić, iż element odwrotny <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5709c8d86f7fec8fb86069bf5d15a9eabe564e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.563ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}}" /> do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" /> należący do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> jest również elementem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8933ae7244305ae7824aa18e077d1cf946e2ee9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.71ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H.}" /></li></ul> Podsumowując: niepusty podzbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy <ul><li>jest zamknięty na działanie: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7685edd11857adec9cd75b5d3e96161c3219be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab\in H}" /> dla wszystkich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in H;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in H;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1945e6bb7c4d12975b4c5fb1f311ac877f380e8f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.812ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in H;}" /></li> <li>zawiera element neutralny grupy: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e\in H;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e\in H;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423b5e7800c9863ffca4367b78211b29c5026237" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.635ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e\in H;}" /></li> <li>jest zamknięty na odwracanie: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b7018703b4a0bec51a14d8e1b3846991f3d4239" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.467ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}\in H}" /> dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in H.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in H.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2599a5b5119700d569ef75fe3f90afeed63966f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.781ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in H.}" /></li></ul> Co więcej, drugi warunek wynika z pierwszego i trzeciego: niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c880148ff31cbbb6016f3d7f33298cd09eb6f75" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.134ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in H}" /> (gdyż <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> jest niepusty, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H\neq \varnothing }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>≠</mo> <mi class="MJX-variant">∅</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H\neq \varnothing }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a310c7589c48eb949103f94de9c53ea6592cdc09" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.97ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle H\neq \varnothing }" />), wtedy z trzeciego warunku <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}\in H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}\in H,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d689bfcd60e81ccdc53e8534d280d7afada90b19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.114ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}\in H,}" /> a więc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle aa^{-1}\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle aa^{-1}\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4a78b93645fa6c9d65644805155e13dc3aa920" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.697ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle aa^{-1}\in H}" /> na mocy pierwszego, co daje <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e\in H.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e\in H.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c9067f9f773aa941080cce40703e46ba56d6d38" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.635ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle e\in H.}" /> Innymi słowy sprawdzenie, czy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e\in H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e\in H,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f78801969418695a2214738f0beb573f4baa79" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.635ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e\in H,}" /> można pominąć zakładając, iż <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> jest niepusty; z drugiej strony jeśli nie wiadomo <a href="/wiki/A_priori" title="A priori">a priori</a>, czy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H\neq \varnothing ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>≠</mo> <mi class="MJX-variant">∅</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H\neq \varnothing ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba8edd8e8836a77996eeabb8dc5dd6b7db941d1f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.617ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle H\neq \varnothing ,}" /> to najszybszym sposobem zapewnienia tego warunku jest właśnie sprawdzenie, czy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e\in H.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e\in H.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c9067f9f773aa941080cce40703e46ba56d6d38" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.635ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle e\in H.}" /> Na podstawie powyższych obserwacji można zatem sformułować <dl><dt>Kryterium bycia podgrupą</dt> <dd>Niepusty podzbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> jest jej podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab\in H\;\;\quad \mathrm {dla\ wszystkich\ } a,b\in H;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mspace width="1em"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mi mathvariant="normal">l</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">w</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">z</mi> <mi mathvariant="normal">y</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">h</mi> <mtext> </mtext> </mrow> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab\in H\;\;\quad \mathrm {dla\ wszystkich\ } a,b\in H;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22633f7c5fd1549ece24dc9a1f01ff14698360b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:34.694ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle ab\in H\;\;\quad \mathrm {dla\ wszystkich\ } a,b\in H;}" /></dd></dl></dd> <dd>oraz <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}\in H\quad \mathrm {dla\ ka{\dot {z}}dego\ } a\in H.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mspace width="1em"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mi mathvariant="normal">l</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">z</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mtext> </mtext> </mrow> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}\in H\quad \mathrm {dla\ ka{\dot {z}}dego\ } a\in H.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17b08931490440b21b33cbf05bc3993947c00e68" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:30.036ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}\in H\quad \mathrm {dla\ ka{\dot {z}}dego\ } a\in H.}" /></dd></dl></dd></dl> Powyższe dwa warunki (wraz z <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H\neq \varnothing }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>≠</mo> <mi class="MJX-variant">∅</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H\neq \varnothing }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a310c7589c48eb949103f94de9c53ea6592cdc09" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.97ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle H\neq \varnothing }" />) często łączy się w jeden: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}b\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}b\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3269f59013616f6991eb05b3eba64560acdc485" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.464ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}b\in H}" /> dla wszystkich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f184047ea700ffad9f506fc551b4f38ae1234fbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.166ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in H}" /><a href="#cite_note-4">[d]</a>; jest on zupełnie równoważny warunkowi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab^{-1}\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab^{-1}\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb0f22235148b880dc80a51e7b8a852a4c5a7a8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.464ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle ab^{-1}\in H}" /> dla wszystkich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f184047ea700ffad9f506fc551b4f38ae1234fbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.166ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in H}" /><a href="#cite_note-5">[e]</a>. W przypadku skończonym wystarczający jest warunek zamkniętości działania, tzn. prawdziwe jest następujące <dl><dt>Kryterium bycia podgrupą grupy skończonej</dt> <dd>Niepusty podzbiór skończony <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> bądź niepusty podzbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> grupy skończonej <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7685edd11857adec9cd75b5d3e96161c3219be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab\in H}" /> dla wszystkich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f184047ea700ffad9f506fc551b4f38ae1234fbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.166ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in H}" /><a href="#cite_note-6">[f]</a><a href="#cite_note-7">[g]</a>.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przykłady">Przykłady</h2>[<a href="/w/index.php?title=Podgrupa&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Przykłady" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Podgrupa&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykłady">edytuj kod</a>]</div> <dl><dt>Podgrupy trywialna i niewłaściwa</dt></dl> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /> Zobacz też: <a href="/wiki/Grupa_trywialna" title="Grupa trywialna">grupa trywialna</a>.</div> <dl><dd>W dowolnej grupie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_jednoelementowy" title="Zbiór jednoelementowy">zbiór jednoelementowy</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{e\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>e</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{e\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7bbebcc2faab93e1fdd47427354c342908ae92c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.408ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{e\}}" /> oraz zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> są podgrupami nazywanymi odpowiednio podgrupą trywialną oraz podgrupą niewłaściwą (podgrupy, które nie są trywialne bądź niewłaściwe, nazywa się odpowiednio nietrywialnymi oraz właściwymi); jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> jest podgrupą właściwą w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> to czasem używa się oznaczenia <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H<G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo><</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H<G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c194d4eb4008573072d303ccede3d1520e77e936" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.989ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H<G}" /><a href="#cite_note-8">[h]</a>, nietrywialność podgrupy zaznaczana jest osobno. Jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> jest podgrupą w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> zaś <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" /> jest podgrupą w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef601e1519093ba6c2944b945882c119f990e704" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.71ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H,}" /> to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" /> jest podgrupą w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc645a5b7e8a2022ad70fc42dbda04c008a33a9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.474ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G.}" /></dd></dl> <dl><dt>Kryterium bycia podgrupą</dt></dl> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /> Zobacz też: <a href="/wiki/Dzielnik" title="Dzielnik">dzielnik</a>, <a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9B%C4%87_wsp%C3%B3lna" title="Część wspólna">część wspólna</a> i <a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupa permutacji</a>.</div> <dl><dd>Niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4\mathbb {Z} =\{4z\in \mathbb {Z} \colon z\in \mathbb {Z} \}=\{u\in \mathbb {Z} \colon 4\mid u\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>4</mn> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>:</mo> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>u</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>:</mo> <mn>4</mn> <mo>∣</mo> <mi>u</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4\mathbb {Z} =\{4z\in \mathbb {Z} \colon z\in \mathbb {Z} \}=\{u\in \mathbb {Z} \colon 4\mid u\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434d9bc611b34cecf88558786f014885cc8e629c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.898ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4\mathbb {Z} =\{4z\in \mathbb {Z} \colon z\in \mathbb {Z} \}=\{u\in \mathbb {Z} \colon 4\mid u\}}" /> będzie podzbiorem <a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">liczb całkowitych</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }" /> <a href="/wiki/Dzielnik" title="Dzielnik">podzielnych</a> przez <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad196d766a835649677e286e4ea30bdaa99d3e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.809ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 4.}" /> Zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }" /> tworzy grupę ze względu na dodawanie (wprost z konstrukcji), zaś zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4\mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4\mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfcee92af27afae02e3c28ef061b11e2ac989e8d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.713ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 4\mathbb {Z} }" /> jest zamknięty ze względu na dodawanie i branie odwrotności<a href="#cite_note-9">[i]</a>, a więc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4\mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4\mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfcee92af27afae02e3c28ef061b11e2ac989e8d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.713ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 4\mathbb {Z} }" /> jest podgrupą w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f4f38f32c2068bca9dc701d13b03dd4a5d52ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.197ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} .}" /> Analogicznie dowodzi się, że zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nz\in \mathbb {Z} \colon z\in \mathbb {Z} \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>n</mi> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>:</mo> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nz\in \mathbb {Z} \colon z\in \mathbb {Z} \}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5205e1feba4201f45e01cc670d2af760c5a67254" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.755ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nz\in \mathbb {Z} \colon z\in \mathbb {Z} \}}" /> dla dowolnego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /> będącego liczbą naturalną jest podgrupą w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3aa4cb112cbe4f94a3ff8569f869c31dce5fce4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.197ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} ,}" /> a ponadto wszystkie jej podgrupy mają tę postać.</dd></dl> <dl><dd>Zbiór dodatnich <a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczb wymiernych</a> tworzy podgrupę <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{\times }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{\times }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1f852639c2c76752da3f3ee21415bba6e94177" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.319ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{\times }}" /> w grupie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97ecc516980bf3841b50135e28952a1b25a9127" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.319ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }}" /> niezerowych liczb wymiernych z działaniem mnożenia (iloczyn dowolnych dwóch niezerowych liczb wymiernych dalej jest niezerową liczbą wymierną i podobnie odwrotność niezerowej liczby wymiernej jest niezerową liczbą wymierną), co wynika wprost z własności iloczynu i odwrotności liczb wymiernych: jeśli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b>0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b>0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aecff9cbb628046e33f8915494fd04ca9fcfe4d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.169ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b>0,}" /> to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8786c86a08881251dceb9f319ea53c3a8bacf65" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.488ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab>0}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{a}}>0;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>a</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{a}}>0;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62655d4db35971f652daae798a550759ae777f71" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.613ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{a}}>0;}" /> podobne obserwacje dotyczą <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczb rzeczywistych</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" /> (należy wyżej zastąpić <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" /> znakiem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" /> i wyraz „wymierny” za pomocą „rzeczywisty”).</dd></dl> <dl><dd>Jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1},H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1},H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9e3ce804cff4adf2a8afefdf2389c1731a562" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.005ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1},H_{2}}" /> są podgrupami w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> to ich część wspólna <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∩</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4957a07ba37c23c177a0ef52188151ea67e67b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.554ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}}" /> również jest podgrupą w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /><a href="#cite_note-10">[j]</a>. Analogicznie część wspólna <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bigcap \nolimits _{i\in I}H_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo movablelimits="false">⋂</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigcap \nolimits _{i\in I}H_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f841f1971d357ec9db8f75b1c3e510fdb12829b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:8.424ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \bigcap \nolimits _{i\in I}H_{i}}" /> <a href="/wiki/Rodzina_indeksowana" title="Rodzina indeksowana">rodziny</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{H_{i}\}_{i\in I}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{H_{i}\}_{i\in I}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be35fa4b6488e8351821f912bdf617e3789f11f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.78ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{H_{i}\}_{i\in I}}" /> podgrup grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> indeksowanej za pomocą pewnego <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_indeks%C3%B3w" title="Zbiór indeksów">zbioru indeksów</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" /> również jest podgrupą w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc645a5b7e8a2022ad70fc42dbda04c008a33a9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.474ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G.}" /></dd></dl> <dl><dd>Niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" /> oznacza zbiór wszystkich <a href="/wiki/Funkcja_wzajemnie_jednoznaczna" title="Funkcja wzajemnie jednoznaczna">wzajemnie jednoznacznych odwzorowań</a> <a href="/wiki/Przedzia%C5%82_jednostkowy" title="Przedział jednostkowy">przedziału jednostkowego</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1]}" /> <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczb rzeczywistych</a>; tworzy on grupę ze względu na <a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">składanie odwzorowań</a> (zob. <a href="/wiki/Grupa_(matematyka)#Motywacja" title="Grupa (matematyka)">grupa: Motywacja</a>). Zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=\{f\in S\colon f(0)=0\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>f</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> <mo>:</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=\{f\in S\colon f(0)=0\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4975f105d70c79c275d3a33c54f11a76dd778794" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.223ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T=\{f\in S\colon f(0)=0\}}" /> jest podgrupą w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" /> jako jej niepusty podzbiór zamknięty na składanie i odwracanie funkcji: <ul><li>Otóż zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" /> jest niepusty, gdyż należy do niego <a href="/wiki/Funkcja_to%C5%BCsamo%C5%9Bciowa" title="Funkcja tożsamościowa">odwzorowanie tożsamościowe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\in S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\in S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939944399fbd10a8440736e746193d90a6725781" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.142ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i\in S}" /> dane wzorem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i(x)=x,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i(x)=x,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe995c218a0ce85a8bb17087bd4b8c48041a2fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.016ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i(x)=x,}" /> dla którego zachodzi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i(0)=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i(0)=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b757acc4fa9dfecda5a077143318605cffbcd1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.682ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i(0)=0.}" /></li> <li>Ponadto jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,g\in T,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>∈</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,g\in T,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e31b0411c17daaf3ca8be1292880d3ae7246b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.552ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,g\in T,}" /> to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(0)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(0)=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d308c32c9894b88115262081194321ae7d9bbf3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.511ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(0)=0}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(0)=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(0)=0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3680128ee4eb088edc5fe29dbceafb5082d30e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.996ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(0)=0,}" /> co oznacza <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f\circ g)(0)=f(g(0))=f(0)=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f\circ g)(0)=f(g(0))=f(0)=0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3738bbcc5ee53667cb029646996fa0f4f0c75b10" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.901ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f\circ g)(0)=f(g(0))=f(0)=0,}" /> a więc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\circ g\in T.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>g</mi> <mo>∈</mo> <mi>T</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\circ g\in T.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0283f0f160521277256916dbe32ec0b4d6bf677f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.713ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\circ g\in T.}" /></li> <li>Wreszcie jeśli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in T,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>∈</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in T,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5141a2e4dc74b1cb1de3c3f6319017ff17a70da4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.402ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\in T,}" /> to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(0)=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(0)=0,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01d5de8a90dda295fafa8b63806d365c2021926" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.158ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(0)=0,}" /> a zatem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(f(0))=f^{-1}(0),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(f(0))=f^{-1}(0),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225931b7045b32e8c3042f1d47b787e7ca039537" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.083ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(f(0))=f^{-1}(0),}" /> stąd <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(f^{-1}\circ f\right)(0)=i(0)=f^{-1}(0),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(f^{-1}\circ f\right)(0)=i(0)=f^{-1}(0),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ef9c0dfe30423b4bdc294016e6c5c2f9de5943" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:29.858ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left(f^{-1}\circ f\right)(0)=i(0)=f^{-1}(0),}" /> tzn. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0=f^{-1}(0),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=f^{-1}(0),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77a41238a6887c7fea5fdce396a7c962fba0404" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.533ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 0=f^{-1}(0),}" /> czyli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}\in T.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>T</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}\in T.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7221b31c9473c0eb3477ffadfa0c58a15990e9b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.777ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}\in T.}" /></li></ul></dd></dl> <dl><dt>Kryterium bycia podgrupą skończoną</dt></dl> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /> Zobacz też: <a href="/wiki/Arytmetyka_modularna" title="Arytmetyka modularna">arytmetyka modularna</a>, <a href="/wiki/Twierdzenie_o_dzieleniu_z_reszt%C4%85" title="Twierdzenie o dzieleniu z resztą">reszta z dzielenia</a> i <a href="/wiki/Rz%C4%85d_(teoria_grup)" title="Rząd (teoria grup)">rząd</a>.</div> <dl><dd>Niech dany będzie <a href="/wiki/Podzbi%C3%B3r" title="Podzbiór">podzbiór</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U=\{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U=\{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda79ec18851a3b996e6a4008723bb0058a97e7d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.417ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle U=\{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}}" /> grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d957bf645245903b3c31a951a03b227c5e50be1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.605ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}" /> wraz z mnożeniem modulo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>8</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d7472925e3242f7b5985023e66c980c7c722645" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.809ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 8,}" /> przy czym <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.445ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}}" /> oznacza redukcję liczby całkowitej <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" /> modulo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>8</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa997e6ad67716cfaa9a02c4df860bf60a95b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 8}" /> (tzn. <a href="/wiki/Twierdzenie_o_dzieleniu_z_reszt%C4%85" title="Twierdzenie o dzieleniu z resztą">resztę z dzielenia</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" /> przez <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>8</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa997e6ad67716cfaa9a02c4df860bf60a95b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 8}" />). Ponieważ <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {1}}\ {\overline {1}}={\overline {1}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {3}}={\overline {3}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {5}}={\overline {5}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {7}}={\overline {7}},\\{\overline {3}}\ {\overline {1}}={\overline {3}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {3}}={\overline {1}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {5}}={\overline {7}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {7}}={\overline {5}},\\{\overline {5}}\ {\overline {1}}={\overline {5}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {3}}={\overline {7}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {5}}={\overline {1}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {7}}={\overline {3}},\\{\overline {7}}\ {\overline {1}}={\overline {7}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {3}}={\overline {5}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {5}}={\overline {3}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {7}}={\overline {1}},\end{matrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {1}}\ {\overline {1}}={\overline {1}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {3}}={\overline {3}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {5}}={\overline {5}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {7}}={\overline {7}},\\{\overline {3}}\ {\overline {1}}={\overline {3}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {3}}={\overline {1}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {5}}={\overline {7}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {7}}={\overline {5}},\\{\overline {5}}\ {\overline {1}}={\overline {5}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {3}}={\overline {7}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {5}}={\overline {1}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {7}}={\overline {3}},\\{\overline {7}}\ {\overline {1}}={\overline {7}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {3}}={\overline {5}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {5}}={\overline {3}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {7}}={\overline {1}},\end{matrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33d6a5b06a102db55d4e73e71e52287f6d8f74a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.671ex; margin-top: -0.239ex; width:47.32ex; height:14.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {1}}\ {\overline {1}}={\overline {1}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {3}}={\overline {3}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {5}}={\overline {5}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {7}}={\overline {7}},\\{\overline {3}}\ {\overline {1}}={\overline {3}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {3}}={\overline {1}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {5}}={\overline {7}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {7}}={\overline {5}},\\{\overline {5}}\ {\overline {1}}={\overline {5}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {3}}={\overline {7}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {5}}={\overline {1}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {7}}={\overline {3}},\\{\overline {7}}\ {\overline {1}}={\overline {7}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {3}}={\overline {5}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {5}}={\overline {3}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {7}}={\overline {1}},\end{matrix}}}" /></dd></dl></dd> <dd>to zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" /> jest zamknięty ze względu na mnożenie. Skoro <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d957bf645245903b3c31a951a03b227c5e50be1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.605ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}" /> jest zbiorem skończonym, to na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" /> powinien być podgrupą w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a375f5f10a4c9009b17b7cba7199909830a6f3be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.251ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}.}" /> Byłaby to prawda, gdyby <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d957bf645245903b3c31a951a03b227c5e50be1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.605ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}" /> była grupą ze względu na mnożenie (nie jest nią, gdyż nie istnieje np. odwrotność elementu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {0}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>0</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {0}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8956fa930b4fa85d931c5e1c5e95b933150471f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.277ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {0}}}" />); jest ona jednak grupą ze względu na dodawanie, co (jak się okazuje) jest zupełnie czymś innym – aby poprawnie zastosować wspomniane kryterium, należy się więc najpierw upewnić, że nadzbiór tworzy grupę (z tym samym działaniem).</dd></dl> <dl><dd>Mimo to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" /> jest grupą ze względu na mnożenie<a href="#cite_note-11">[k]</a>: z powyższych rozważań wynika, że zbiór ten jest zamknięty na mnożenie, które jest <a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączne</a> (jest ono w istocie łączne na <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{8},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{8},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99578f1eaed111af8ba5ff455a40352d66613f83" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.251ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{8},}" /> co wynika z własności arytmetyki modularnej); ponadto <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {1}}\in U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {1}}\in U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc73a65fb5004c5f2c717a7187a905744d853a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.901ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {1}}\in U}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {a}}\ {\overline {1}}={\overline {a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {a}}\ {\overline {1}}={\overline {a}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a13b26237da7cf6d0089b17c659deac58abefb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.646ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {a}}\ {\overline {1}}={\overline {a}}}" /> dla wszystkich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {a}}\in U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {a}}\in U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a0726cef5d67b1b3d2cf9dfe05a44a406375e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.968ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {a}}\in U}" /> (z powyższych rozważań lub własności arytmetyki modularnej), skąd <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {1}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f50d1053ea4c96ed679d1deca6105c442b54bf11" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.277ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {1}}}" /> jest elementem neutralnym w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6cb664175067eedff7aed897cc764fb937f537" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.429ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U;}" /> każdy element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" /> ma odwrotność należącą do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" /> – wynika to z równań <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {1}}\ {\overline {1}}={\overline {1}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {1}}\ {\overline {1}}={\overline {1}},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ecc7ce9ac0f49ae8b7fcaae20178ff23ce5088" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.158ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {1}}\ {\overline {1}}={\overline {1}},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {3}}\ {\overline {3}}={\overline {1}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {3}}\ {\overline {3}}={\overline {1}},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635fb8a09aa898847e76bb41c7c7d817ed2738c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.158ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {3}}\ {\overline {3}}={\overline {1}},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {5}}\ {\overline {5}}={\overline {1}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {5}}\ {\overline {5}}={\overline {1}},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c592d184315abe360da69e9aeca2ff92397635" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.158ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {5}}\ {\overline {5}}={\overline {1}},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {7}}\ {\overline {7}}={\overline {1}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {7}}\ {\overline {7}}={\overline {1}},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b9d0182a969590d637462558549933951495f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.158ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {7}}\ {\overline {7}}={\overline {1}},}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\in U.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\in U.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96dab4d065d5792222581e0011994761a1365a64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.482ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\in U.}" /> Korzystając z kryterium bycia podgrupą skończoną, można się przekonać, iż podzbiory <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {3}}\},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {3}}\},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1b51611e816da2718d0ba40f521a3429e2bd77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.561ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {3}}\},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {5}}\},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>5</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {5}}\},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3950b92682c13d93a082fe5b6f8230dff745a201" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.561ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {5}}\},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {7}}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>7</mn> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {7}}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071e857fbe1bbb31dad9e4fc530c651db880699d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.914ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {7}}\}}" /> są nietrywialnymi podgrupami właściwymi w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c21c569e498e0197798e3428b2bc6f25c0a457" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.429ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U,}" /> gdyż są one zamknięte ze względu na mnożenie (są to jedyne tego rodzaju podgrupy w tej grupie). Podgrupy w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" /> mają rzędy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1,2,4,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1,2,4,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a3078fa1f05236e77340d3e9e94d15e86e1d3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.202ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1,2,4,}" /> które są dzielnikami rzędu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |U|=4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |U|=4}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b191ed9523c51c685863ede8244f3a49863e25" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.337ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |U|=4}" /> grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a305ef479ab152035f334467a2c314baa23eb36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.429ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U.}" /></dd></dl> <dl><dd>Podzbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=\{1,-1,i,-i\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=\{1,-1,i,-i\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b42188639e02da147ec848a8bf03a5dad3fd1d5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.847ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E=\{1,-1,i,-i\}}" /> tworzy podgrupę grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb696059a558aeee27138277c41d30fd9bd7a91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.189ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}" /> niezerowych <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczb zespolonych</a> względem mnożenia na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną, gdyż jest zamknięta na branie iloczynów. To samo kryterium mówi, że <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{1,-1\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{1,-1\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab739c97a70285d651addcdd72021e5240b654c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.492ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{1,-1\}}" /> jest podgrupą w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2566d01f104ef084ea424b8b35c2534f7f902b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.422ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E.}" /> Ponadto grupa ta nie ma innych nietrywialnych podgrup właściwych, gdyż jeśli podgrupa ta zawierałaby <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" /> lub <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -i,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -i,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c990d2edead916935e3c81d5d92ac0d1c50b1f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.257ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -i,}" /> to musiałaby także zawierać <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i^{2},i^{3},i^{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i^{2},i^{3},i^{4}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8859b792772552183f0af14fa136da3afb8bc92d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.638ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle i^{2},i^{3},i^{4}}" /> lub <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-i)^{2},(-i)^{3},(-i)^{4},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-i)^{2},(-i)^{3},(-i)^{4},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd81c9c266ceeea20e4f097175a5e3c2d3f0d36a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.137ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (-i)^{2},(-i)^{3},(-i)^{4},}" /> czyli tworzyłaby wtedy całą grupę <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2566d01f104ef084ea424b8b35c2534f7f902b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.422ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E.}" /> Dlatego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" /> ma dokładnie trzy podgrupy: jedną rzędu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc5fd8163a83100c5330622e9e317fa4e872403" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.809ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1,}" /> jedną rzędu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2}" /> i jedną rzędu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad196d766a835649677e286e4ea30bdaa99d3e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.809ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 4.}" /> W tym przypadku rzędy podgrup również są dzielnikami rzędu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |E|=4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |E|=4}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea85505e358d401e8d17e02f2864cb6e11a0baa9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.33ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |E|=4}" /> grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2566d01f104ef084ea424b8b35c2534f7f902b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.422ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E.}" /></dd></dl> <dl><dd>Kryterium może okazać się fałszywe w przypadku, gdy badany podzbiór nie jest skończony: jeśli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P=\{z\in \mathbb {Z} \colon z>0\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>:</mo> <mi>z</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P=\{z\in \mathbb {Z} \colon z>0\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbde76b09332b96bd7fe7d2263e2e06cb17ea1c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.031ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P=\{z\in \mathbb {Z} \colon z>0\}}" /> jest podzbiorem dodatnich liczb całkowitych (które można utożsamiać z <a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczbami naturalnymi</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }" />), to mimo iż <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }" /> jest grupą ze względu na dodawanie, a podzbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" /> jest zamknięty na to działanie, to nie tworzy on podgrupy, gdyż brak w tym zbiorze elementu neutralnego dodawania <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0\notin P);}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>∉</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0\notin P);}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed65e19b934ee84124d6c0743ded552221495b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.205ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0\notin P);}" /> rozpatrywanie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=\{z\in \mathbb {Z} \colon z\geqslant 0\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>:</mo> <mi>z</mi> <mo>⩾</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=\{z\in \mathbb {Z} \colon z\geqslant 0\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf470fb2ca2bb688330488a7d3723229fe97ed39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.349ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N=\{z\in \mathbb {Z} \colon z\geqslant 0\}}" /> (podobnie jak poprzedni przykład) narusza warunek należenia odwrotności (tu: elementu przeciwnego). Grupa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }" /> jest kanonicznym przykładem grupy nieskończonej (wszystkie nieskończone grupy generowane przez jeden element mają tę samą co ona strukturę <a href="/wiki/Grupa_cykliczna" title="Grupa cykliczna">grupy cyklicznej</a>, zob. <a href="/wiki/Izomorfizm" title="Izomorfizm">izomorfizm</a>).</dd></dl> <dl><dt>Sumy mnogościowe</dt></dl> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /> Zobacz też: <a href="/wiki/Suma_zbior%C3%B3w" title="Suma zbiorów">suma zbiorów</a>.</div> <dl><dd>W ogólności suma mnogościowa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839471a3b07f5a0bddfc241d96cf66cfad1a6f34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.554ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}" /> podgrup <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1},H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1},H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9e3ce804cff4adf2a8afefdf2389c1731a562" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.005ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1},H_{2}}" /> nie musi być podgrupą: jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\subseteq H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⊆</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\subseteq H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b306ac6b5408f13b960f7ffc245611aca96eb5b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.069ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\subseteq H_{2}}" /> lub <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\supseteq H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⊇</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\supseteq H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf5c14782c38376e99c895836d8e9c183ca82d39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.069ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\supseteq H_{2}}" /><a href="#cite_note-12">[l]</a>; wynika to z nieco ogólniejszej obserwacji: jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> jest podgrupą w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> zawartą w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cup H_{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eef1395b3fa11b794c623d3068de5bccadae94a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.2ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2},}" /> to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> zawiera się w całości w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d4d9a872a55b209f2eb7cc23a71e5e1541bd1f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}}" /> lub <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa4324515cc7343ee952e3840a1bb1aa8c7f74c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{2}}" /> (być może w obu z nich)<a href="#cite_note-13">[m]</a><a href="#cite_note-14">[n]</a>. Oznacza to, że nie istnieje grupa, która byłaby sumą mnogościową dwóch swoich nietrywialnych podgrup właściwych; mimo to istnieje grupa, dla której suma jej trzech różnych nietrywialnych podgrup właściwych tworzy w niej podgrupę<a href="#cite_note-15">[o]</a>. Twierdzenie Scorzy stanowi o tym, że jeśli grupa jest sumą trzech nietrywialnych podgrup właściwych, to są one <a href="/wiki/Warstwa_(teoria_grup)" title="Warstwa (teoria grup)">indeksu dwa</a>, a części wspólne dowolnych dwóch z tych trzech podgrup są równe<a href="#cite_note-16">[p]</a><a href="#cite_note-17">[q]</a><a href="#cite_note-18">[r]</a>, z kolei twierdzenie Cohna (będące jego rozszerzeniem) charakteryzuje grupy będące sumą mnogościową czterech, pięciu i sześciu ich podgrup właściwych<a href="#cite_note-19">[s]</a>, zaś twierdzenie Tomkinsona mówi, iż nie istnieje grupa, którą można zapisać w postaci sumy mnogościowej dokładnie siedmiu jej nietrywialnych podgrup właściwych<a href="#cite_note-20">[t]</a><a href="#cite_note-21">[u]</a>.</dd></dl> <dl><dt>Pojęcia</dt></dl> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /> Zobacz też: <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_generator%C3%B3w_grupy" title="Zbiór generatorów grupy">zbiór generatorów grupy</a>, <a href="/wiki/Grupa_cykliczna" title="Grupa cykliczna">grupa cykliczna</a> i <a href="/wiki/Rz%C4%85d_(teoria_grup)" title="Rząd (teoria grup)">rząd</a>.</div> <dl><dd>Podgrupę grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> generowaną przez jej podzbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" /> można scharakteryzować jako najmniejszą (w sensie <a href="/wiki/Podzbi%C3%B3r" title="Podzbiór">zawierania</a>) podgrupę zawierającą wszystkie elementy zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ba32eeb405f7f5f2bac1eb12987c47d2fd42df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.627ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X,}" /> tj. część wspólną wszystkich podgrup zawierających zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba76c5a460c4a0bb1639a193bc1830f0a773e03" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.627ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X.}" /> Podgrupę generowaną przez <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_jednoelementowy" title="Zbiór jednoelementowy">jednoelementowy podzbiór</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{a\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>a</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{a\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae00d3f70c2221d5933b6b03d14b1df54756c8ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{a\}}" /> grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> nazywa się podgrupą cykliczną generowaną przez <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.877ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a,}" /> zaś sam element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" /> nazywa się generatorem tej podgrupy (może mieć ona wiele generatorów); rzędem elementu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" /> nazywa się rząd podgrupy (cyklicznej) generowanej przez ten element, czyli jej <a href="/wiki/Moc_zbioru" title="Moc zbioru">liczbę elementów</a>.</dd></dl> <dl><dd>Przypadki grup <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" /> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" /> opisane w wyżej („kryterium bycia grupą skończoną”) sugerują ogólną regułę, iż rząd podgrupy dzieli rząd grupy – w istocie jest ona prawdziwa: rozumowanie w przypadku skończonym wymaga jedynie znajomości pojęć grupy i funkcji (można go znaleźć w <a href="/wiki/Rz%C4%85d_(teoria_grup)" title="Rząd (teoria grup)">rząd: Własności</a>); w przypadku ogólnym wynik ten, nazywany <a href="/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(teoria_grup)" title="Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)">twierdzeniem Lagrange’a</a>, wymaga znajomości pojęcia <a href="/wiki/Warstwa_(teoria_grup)" title="Warstwa (teoria grup)">warstwy</a> grupy względem jej podgrupy.</dd></dl> <dl><dt>Własności</dt></dl> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /> Osobne artykuły: <a href="/wiki/Centralizator_i_normalizator" title="Centralizator i normalizator">centralizator oraz centrum</a>, <a href="/wiki/Komutant" title="Komutant">komutant</a> i <a href="/wiki/Podgrupa_normalna" title="Podgrupa normalna">podgrupa normalna</a>.</div> <dl><dd>Niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> będzie dowolną grupą; zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {C} (x)=\{a\in G\colon ax=xa\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>:</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>a</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {C} (x)=\{a\in G\colon ax=xa\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391d5473ae08dbf715914de789a1cd1fbbb67b20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.389ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {C} (x)=\{a\in G\colon ax=xa\}}" /> elementów grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> przemiennych z ustalonym jej elementem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7e0b51bd905f35d11790939139d18014f8b017" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.997ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in G}" /> tworzy podgrupę nazywaną centralizatorem elementu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" /><a href="#cite_note-22">[v]</a>; podobnie zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Z} (G)=\{a\in G\colon ax=xa{\mbox{ dla }}x\in G\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>:</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext> dla </mtext> </mstyle> </mrow> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Z} (G)=\{a\in G\colon ax=xa{\mbox{ dla }}x\in G\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f654f69e92f2b429eb48fa33e9be1d05094127e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.888ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Z} (G)=\{a\in G\colon ax=xa{\mbox{ dla }}x\in G\}}" /> elementów grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> które są przemienne z dowolnym jej elementem, tworzy podgrupę nazywaną centrum grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /><a href="#cite_note-23">[w]</a>.</dd></dl> <dl><dd>Dla dwóch elementów <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea0abffd33a692ded22accc104515a032851dff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.519ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x,y}" /> dowolnej grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c207b56eabb8505a9256beb73a24c43b81f5a3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.552ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}" /> nazywa się ich <a href="/wiki/Komutator_(matematyka)" title="Komutator (matematyka)">komutatorem</a>; przy czym <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x,y]=e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x,y]=e}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f8de019a0aed05b8fe04e00c1a076d69086dd2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.995ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [x,y]=e}" /> wtedy i tylko wtedy, gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea0abffd33a692ded22accc104515a032851dff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.519ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x,y}" /> są przemienne, tzn. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle xy=yx.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle xy=yx.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6953787a57b65776ad550d5ddaef8dd91c909f1c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.716ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle xy=yx.}" /> Dla „wysoce nieprzemiennych” grup (tzw. <a href="/wiki/Grupa_doskona%C5%82a" title="Grupa doskonała">grup doskonałych</a>) może się zdarzyć, że żaden z komutatorów nie będzie elementem neutralnym, skąd podzbiór wszystkich komutatorów grupy nie musi tworzyć podgrupy; problem ten można obejść biorąc „najmniejszą” grupę zawierającą wszystkie komutatory, tj. podgrupę przez nie <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_generator%C3%B3w_grupy" title="Zbiór generatorów grupy">generowaną</a> (zob. <a href="#Przykłady">Przykłady</a>): dla danych dwóch podzbiorów <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X,Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X,Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8705438171d938b7f59cd1bfa5b7d99b6afa5cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.787ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X,Y}" /> grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> ich komutantem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [X,Y]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [X,Y]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94470b44d283fde62130212956058ca6b727da37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.081ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [X,Y]}" /> nazywa się podgrupę w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> generowaną przez wszystkie komutatory <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x,y],}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x,y],}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ce824300602ea2e0d51f1cb114b2da341067fee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.46ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [x,y],}" /> gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in Y.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in Y.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14bc7ecf2f86320b4a930f4961919ae45a34d9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.416ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\in Y.}" /> Podgrupę <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [G,G]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [G,G]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ddf7a724a331d1e12ffa6571ba246ebf08f1335" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.981ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [G,G]}" /> nazywa się komutantem lub pochodną grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc645a5b7e8a2022ad70fc42dbda04c008a33a9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.474ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G.}" /></dd></dl> <dl><dd>Centrum i <a href="/wiki/Komutant" title="Komutant">komutant</a> są przykładami tzw. podgrup normalnych, czyli takich podgrup <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> pewnej grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> które są przemienne z dowolnym elementem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76db749e92a69b27e81b370b6ec3a2a199420ee0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.544ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\in G,}" /> tzn. dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76db749e92a69b27e81b370b6ec3a2a199420ee0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.544ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\in G,}" /> zachodzi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle aH=Ha}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mi>H</mi> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle aH=Ha}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1915bd1d06e74a9ebefaecac81a51d84c1d0f770" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.685ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle aH=Ha}" /><a href="#cite_note-24">[x]</a><a href="#cite_note-25">[y]</a>. Pojęcie podgrupy normalnej umożliwia wprowadzenie metody konstrukcji nowych grup z istniejących grup oraz ich podgrup (normalnych), mianowicie tzw. <a href="/wiki/Grupa_ilorazowa" title="Grupa ilorazowa">grup ilorazowych</a>; procedura ta jest uogólnieniem uzyskiwania grup <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b729c334a9863c47f0b7e3ad61342c2f0881bdb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}" /> z mnożeniem modulo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /> z grupy liczb całkowitych <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }" /> oraz jej podgrupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e5e8bd9b24ba5d0b31eda653b78a63e1af831d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.945ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\mathbb {Z} }" /> (zob. wyżej).</dd></dl> <dl><dt>Ilustracje</dt> <dd>Wśród wielu przykładów grup i ich podgrup można wymienić ponadto: <ul><li>grupę wszystkich <a href="/wiki/Izometria" title="Izometria">izometrii</a> danej <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa" title="Przestrzeń euklidesowa">przestrzeni euklidesowej</a> (z działaniem <a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">składania przekształceń</a>) nazywaną <a href="/w/index.php?title=Grupa_euklidesowa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupa euklidesowa (strona nie istnieje)">grupą euklidesową</a> wraz z jej podgrupami: <a href="/wiki/Translacja_(matematyka)" title="Translacja (matematyka)">przesunięć</a>, <a href="/wiki/Grupa_odbi%C4%87" title="Grupa odbić">odbić</a>, czy <a href="/wiki/Grupa_obrot%C3%B3w" title="Grupa obrotów">obrotów</a>;</li> <li>grupę wszystkich <a href="/wiki/Macierz_odwrotna" title="Macierz odwrotna">odwracalnych</a> <a href="/wiki/Macierz" title="Macierz">macierzy</a> kwadratowych ustalonego stopnia nad danym <a href="/wiki/Cia%C5%82o_(matematyka)" title="Ciało (matematyka)">ciałem</a><a href="#cite_note-26">[z]</a> nazywaną <a href="/wiki/Pe%C5%82na_grupa_liniowa" title="Pełna grupa liniowa">pełną grupą liniową</a> z podgrupami: <a href="/wiki/Macierz_diagonalna" title="Macierz diagonalna">diagonalną</a>, <a href="/wiki/Macierz_skalarna" title="Macierz skalarna">skalarną</a> oraz <a href="/wiki/Pe%C5%82na_grupa_liniowa#Specjalna_grupa_liniowa" title="Pełna grupa liniowa">specjalną grupą liniową</a>; wśród pozostałych można wymienić podgrupy: <a href="/wiki/Grupa_ortogonalna" class="mw-redirect" title="Grupa ortogonalna">ortogonalną</a>, <a href="/wiki/Grupa_unitarna" class="mw-redirect" title="Grupa unitarna">unitarną</a> i <a href="/w/index.php?title=Grupa_symplektyczna&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupa symplektyczna (strona nie istnieje)">symplektyczną</a>;</li> <li>grupę wszystkich <a href="/wiki/Permutacja" title="Permutacja">permutacji</a> <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_sko%C5%84czony" title="Zbiór skończony">zbioru skończonego</a> z działaniem ich <a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">składania</a> nazywaną <a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupą symetryczną</a> (bądź grupą permutacji) wraz z <a href="/wiki/Grupa_alternuj%C4%85ca" title="Grupa alternująca">grupą alternującą</a> tego zbioru jako jej podgrupą.</li></ul></dd> <dd><a href="/wiki/Twierdzenie_Cayleya" title="Twierdzenie Cayleya">Twierdzenie Cayleya</a> mówi o tym, iż każda grupa może być postrzegana jako podgrupa grupy symetrycznej: dzięki temu twierdzenia obowiązujące dla grup symetrycznych są prawdziwe również dla wszystkich grup abstrakcyjnych.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zobacz_też">Zobacz też</h2>[<a href="/w/index.php?title=Podgrupa&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Zobacz też" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Podgrupa&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też">edytuj kod</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/P-grupa" title="P-grupa">p-podgrupa</a> (Sylowa), <a href="/wiki/Podgrupa_torsyjna" title="Podgrupa torsyjna">podgrupa torsyjna</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Podgrupa_Cartana&action=edit&redlink=1" class="new" title="Podgrupa Cartana (strona nie istnieje)">podgrupa Cartana</a>, <a href="/w/index.php?title=Podgrupa_Fittinga&action=edit&redlink=1" class="new" title="Podgrupa Fittinga (strona nie istnieje)">podgrupa Fittinga</a>, <a href="/w/index.php?title=Podgrupa_z_operatorami&action=edit&redlink=1" class="new" title="Podgrupa z operatorami (strona nie istnieje)">podgrupa z operatorami</a> (podgrupa stabilna)</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Uwagi">Uwagi</h2>[<a href="/w/index.php?title=Podgrupa&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Uwagi" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Podgrupa&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Uwagi">edytuj kod</a>]</div> <div class="do-not-make-smaller refsection refsection-uwagi ll-script ll-script-uwagi"><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Żadne dwie podgrupy nie są <a href="/wiki/Zbiory_roz%C5%82%C4%85czne" title="Zbiory rozłączne">rozłączne w sensie mnogościowym</a> (jako podzbiory), jednak jako rozłączne w sensie algebraicznym można uważać podgrupy, których jedynym wspólnym elementem jest <a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">element neutralny</a>; niekiedy mówi się o nich, że mają <a href="/wiki/Trywialno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Trywialność (matematyka)">trywialne</a> <a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9B%C4%87_wsp%C3%B3lna" title="Część wspólna">przecięcie</a> – nazywa się je zwykle ortogonalnymi (por. <a href="/wiki/Ortogonalno%C5%9B%C4%87" title="Ortogonalność">ortogonalność</a>). </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Wspomniane podstruktury są przypadkami szczególnymi ogólniejszych podstruktur tzw. <a href="/wiki/Modu%C5%82_(matematyka)" title="Moduł (matematyka)">modułów</a>: <a href="/w/index.php?title=Podmodu%C5%82_czysty&action=edit&redlink=1" class="new" title="Podmoduł czysty (strona nie istnieje)">podmodułu czystego</a> oraz <a href="/w/index.php?title=Podmodu%C5%82_istotny&action=edit&redlink=1" class="new" title="Podmoduł istotny (strona nie istnieje)">podmodułu istotnego</a> (każda grupa przemienna jest modułem nad <a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">liczbami całkowitymi</a>). </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Dokładniej: niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (G,\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (G,\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ccc71a6904c5ab99ecaab1c8ed69e20815d66da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.317ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (G,\cdot )}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (H,\circ )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> <mo>∘</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (H,\circ )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff33f38ecd01dde4d560d221e9af6d06fed9bd6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.069ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (H,\circ )}" /> będą grupami; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> jest podgrupą <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> jest <a href="/wiki/Podzbi%C3%B3r" title="Podzbiór">podzbiorem</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot b=a\circ b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>∘</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot b=a\circ b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac5f4f4f2fc3db3f613c35d20648907848d2ba7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.427ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot b=a\circ b}" /> dla wszystkich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in H.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in H.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05552acdf398784afa888b8a43cb4d640d43f774" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.812ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in H.}" /> W szczególności wynika stąd, że <a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">elementy neutralne</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> są tożsame. Otóż niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> będzie podgrupą <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e,f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e,f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a45bddea1dc21ce8c07280facb37f1e9aa40da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.396ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e,f}" /> oznaczają elementy neutralne odpowiednio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,H;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mi>H</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,H;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ffe9c22954904d1ac4750f63dbc273d91eb4be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.571ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,H;}" /> wówczas <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\cdot f=f\circ f=f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\cdot f=f\circ f=f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd6fcbcda0684f3e9e806bdaa49f1cad015f179" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.464ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\cdot f=f\circ f=f}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\cdot e=f,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>⋅</mo> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\cdot e=f,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f59461e54c1fcc9d6ab4025b45f6bc3f825d220" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.065ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\cdot e=f,}" /> czyli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\cdot f=f\cdot e,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>⋅</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\cdot f=f\cdot e,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94cda506d30afb7125dd93189dfee6637c3d987" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.023ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\cdot f=f\cdot e,}" /> a więc istnienia <a href="/wiki/Element_odwrotny" title="Element odwrotny">elementu odwrotnego</a> do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" /> (z <a href="/w/index.php?title=W%C5%82asno%C5%9B%C4%87_skracania&action=edit&redlink=1" class="new" title="Własność skracania (strona nie istnieje)">własności skracania</a>) w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> jest <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=e,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=e,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94146c5047476b7f01404906f50be290574dcd5d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.107ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f=e,}" /> co oznacza, że element neutralny grupy należy do jej dowolnej podgrupy (zob. dalej). W ogólności nie wyróżnia się działań grupy i podgrupy, oznaczając je tym samym symbolem. </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7685edd11857adec9cd75b5d3e96161c3219be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab\in H}" /> dla dowolnych <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f184047ea700ffad9f506fc551b4f38ae1234fbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.166ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in H}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b7018703b4a0bec51a14d8e1b3846991f3d4239" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.467ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}\in H}" /> dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in H,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ccb95a939bdcf0673c6e4a4dfd85a3789b9d25f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.781ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\in H,}" /> to w istocie również <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}b\in H;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}b\in H;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c20050aa03ed02389997aeb6abb9f2044bb505" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.111ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}b\in H;}" /> jeżeli zaś <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}b\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}b\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3269f59013616f6991eb05b3eba64560acdc485" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.464ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}b\in H}" /> dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in H,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adb69cd9b93238a86363e361e1e29b88ecb9afc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.812ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in H,}" /> to z <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}b\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}b\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3269f59013616f6991eb05b3eba64560acdc485" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.464ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}b\in H}" /> otrzymuje się <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b7018703b4a0bec51a14d8e1b3846991f3d4239" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.467ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}\in H}" /> dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=e.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=e.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af5aaa2495f422bcb94e74536b5ad0fd65ad5c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.826ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b=e.}" /> (ze względu na <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{-1}a=\left(a^{-1}b\right)^{-1}\in H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>b</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{-1}a=\left(a^{-1}b\right)^{-1}\in H,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c583e0bfdbd1e9563c99204db6d8cd61000c789" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.232ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle b^{-1}a=\left(a^{-1}b\right)^{-1}\in H,}" /> czyli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{-1}aa^{-1}b=b^{-1}b=e\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>a</mi> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{-1}aa^{-1}b=b^{-1}b=e\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d3ff35fe17f209b0f041a9d596c630ad28eb656" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:25.633ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b^{-1}aa^{-1}b=b^{-1}b=e\in H}" />), w ten sposób <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle aaa^{-1}b=ab\in H.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>a</mi> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle aaa^{-1}b=ab\in H.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29096304dcdb57f7e5e67fa7bfbd53105ac9e93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:17.897ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle aaa^{-1}b=ab\in H.}" /> </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Dowód można uzyskać, rozumując analogicznie jak wyżej, bądź zastępując elementy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}" /> ich odwrotnościami (zawsze istnieją w grupie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" />). </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Wystarczy wykazać, że w przypadku, gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> jest skończony, warunek odwracalności wynika z warunku zamkniętości na działanie, dzięki czemu oba te warunki będą równoważne drugiemu z nich, co jest tezą stwierdzenia: w tym celu należy dowieść, iż <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b7018703b4a0bec51a14d8e1b3846991f3d4239" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.467ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}\in H}" /> pod warunkiem skończoności i zamkniętości <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> na działanie. Niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in H;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in H;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4f5ab2a757602a03d4a3148b7a74e85975029d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.781ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\in H;}" /> skoro <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> jest zamknięte na mnożenie, to należy do niego dowolne złożenie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.877ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a,}" /> tzn. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{k}\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{k}\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0449133c78bcb2179e44f8b23f92d384660c2177" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.223ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{k}\in H}" /> dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" /> będącego <a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczbą naturalną</a>. Ponieważ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> jest skończony, to elementy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,a^{2},a^{3},\dots ,a^{k},\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,a^{2},a^{3},\dots ,a^{k},\dots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47fdba05bf53be5ffbd753c48c6f2d53f94b07f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.12ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a,a^{2},a^{3},\dots ,a^{k},\dots }" /> muszą się powtarzać, zatem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{m}=a^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{m}=a^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c2c788260ab33f7ae33156e4ae6dfc37cf1727" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.452ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a^{m}=a^{n}}" /> dla pewnych liczb naturalnych <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\neq n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>≠</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\neq n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a50a2eaa8dcad2a8e19c9fd861a0fdd641bdfa46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.534ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle m\neq n}" /> (por. <a href="/wiki/Grupa_cykliczna" title="Grupa cykliczna">grupa cykliczna</a> i <a href="/wiki/Rz%C4%85d_(teoria_grup)" title="Rząd (teoria grup)">rząd elementu</a> oraz zob. <a href="#Przykłady">Przykłady</a>). Przyjmując bez straty ogólności, że <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m>n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>></mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m>n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637039c4a193f33fee72ebfeb6cb003593696160" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.534ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle m>n}" /> otrzymuje się <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{m-n-1}a=a^{m-n}=a^{m}a^{-n}=a^{m}\left(a^{n}\right)^{-1}=a^{m}\left(a^{m}\right)^{-1}=e,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{m-n-1}a=a^{m-n}=a^{m}a^{-n}=a^{m}\left(a^{n}\right)^{-1}=a^{m}\left(a^{m}\right)^{-1}=e,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c2a2afa153d09f5b8f5207a1f2c6ff7d4b4759" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:56.971ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle a^{m-n-1}a=a^{m-n}=a^{m}a^{-n}=a^{m}\left(a^{n}\right)^{-1}=a^{m}\left(a^{m}\right)^{-1}=e,}" /> co oznacza, że <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}=a^{m-n-1}\in H;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}=a^{m-n-1}\in H;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a50871ff52d833bc91da7f1e6c5bf0a036051f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.482ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}=a^{m-n-1}\in H;}" /> zatem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> jest zamknięty ze względu na branie odwrotności. </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Drugi warunek pociąga pierwszy, ponieważ dowolny podzbiór <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_sko%C5%84czony" title="Zbiór skończony">zbioru skończonego</a> jest skończony. </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Innym jest <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H\leqslant G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>⩽</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H\leqslant G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f512f78a8c2b1232c6182db280353842c201b73f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.989ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle H\leqslant G}" /> z przekreślonym znakiem równości, którego względnie dobrymi zastępnikami są <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H\lneq G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>⪇</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H\lneq G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187ae5c7b17f83f7c80ad474c347207edaf17b2c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.989ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle H\lneq G}" /> lub <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H\lneqq G.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>≨</mo> <mi>G</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H\lneqq G.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6912daf3a1e7a026aa72bf3e57d9b1fbe96fded" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.636ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H\lneqq G.}" /> </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13f068df656c1b1911ae9f81628c49a6181194d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.302ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c}" /> będą liczbami całkowitymi: jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\mid b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∣</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\mid b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ab1c16db0f00b6cc26bcd7dae49514f5aadfff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.165ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\mid b}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\mid c,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∣</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\mid c,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02835157ed51588839fade4873feb02ff0d72a76" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.821ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\mid c,}" /> to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\mid b+c;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∣</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\mid b+c;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26cd4d649ce4e9dd84d050b8c1d22aa0e4c96938" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.659ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\mid b+c;}" /> jeśli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\mid b,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∣</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\mid b,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a46f1c8a86aff808b3adcf690785533118e6f54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.811ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\mid b,}" /> to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\mid -b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∣</mo> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\mid -b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b29d11d15ce3321f56a26e76dc6fd35336d7bb3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.973ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\mid -b}" /> (dowody tych własności można znaleźć w artykule <a href="/wiki/Dzielnik" title="Dzielnik">dzielnik</a>). Stąd dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y\in 4\mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y\in 4\mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e29684c5bc82b78bee44429abcae786983d75ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.073ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x,y\in 4\mathbb {Z} }" /> zachodzą podzielności <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4\mid x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mo>∣</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4\mid x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a75999095d0d192be00dcfdb210b4bf48928e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.429ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4\mid x}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4\mid y,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mo>∣</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4\mid y,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41150f78b668347f402440837aa4c760044be483" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.902ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4\mid y,}" /> z których wynika <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4\mid x+y,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mo>∣</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4\mid x+y,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee3a98d4547d4965bf328ad9b2e1a79bc6c2e592" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.072ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4\mid x+y,}" /> co oznacza <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y\in 4\mathbb {Z} ;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y\in 4\mathbb {Z} ;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b740f0119dbe9f47629590e91aee5f12bd8b323" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.719ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x,y\in 4\mathbb {Z} ;}" /> podobnie jeśli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in 4\mathbb {Z} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in 4\mathbb {Z} ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e549a52101ad76753314faa3dfdd27498951d94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.53ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x\in 4\mathbb {Z} ,}" /> to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4\mid x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mo>∣</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4\mid x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a75999095d0d192be00dcfdb210b4bf48928e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.429ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4\mid x}" /> pociąga <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4\mid -x,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mo>∣</mo> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4\mid -x,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8014c53e717e958623e1e24db95b4f74787508a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.884ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4\mid -x,}" /> czyli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -x\in 4\mathbb {Z} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -x\in 4\mathbb {Z} .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94b5018af9a6174113cdf88cd8656763626c206" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.338ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -x\in 4\mathbb {Z} .}" /> </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Istotnie, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}\neq \varnothing ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∩</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <mi class="MJX-variant">∅</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}\neq \varnothing ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471fda5fc97598c6010969960e8f3e47306c1c9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.107ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}\neq \varnothing ,}" /> gdyż <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e\in H_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e\in H_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80741239eee4d1bb74e2d8ae5d6f21d9e8c1fb1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.91ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e\in H_{1}}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e\in H_{2};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e\in H_{2};}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e203fe308c85064a7c3d91c5829431f25562fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.556ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e\in H_{2};}" /> ponadto jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in H_{1}\cap H_{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∩</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in H_{1}\cap H_{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c9b53af6e1e298f7fcd8190edbb495598e3a4d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.302ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in H_{1}\cap H_{2},}" /> to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in H_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in H_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74409e49498820c943cdf5c94827c0a19126250" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.087ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in H_{1}}" /> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in H_{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in H_{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6607fb3c87221f83654df3cd66e17305b90a601" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.734ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in H_{2},}" /> skąd <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab\in H_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab\in H_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09cbfe4c8c01ca5e7fa3dec7ff3b58dc1dbff1ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.053ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle ab\in H_{1}}" /> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab\in H_{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab\in H_{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13743f4c31f2484b4c6dbc5ee48df7ec7c20327" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.7ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle ab\in H_{2},}" /> a więc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab\in H_{1}\cap H_{2};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∩</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab\in H_{1}\cap H_{2};}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53505c9311c2096323ef9353ba91aa283c8d6f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.268ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle ab\in H_{1}\cap H_{2};}" /> dodatkowo z <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in H_{1}\cap H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∩</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in H_{1}\cap H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6a0e067261215aee680e7d89c2e56cb9433a94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.624ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\in H_{1}\cap H_{2}}" /> wynika <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in H_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in H_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240909fdd46b0049248c764942a9c1aef03cbf79" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.056ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\in H_{1}}" /> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in H_{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in H_{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6adae8e6d1b640bdc841ed25e1613b96674bfd2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.703ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\in H_{2},}" /> a więc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}\in H_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}\in H_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8dcb82266c8a154d58cadbaa20aef441e75cd4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.389ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}\in H_{1}}" /> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}\in H_{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}\in H_{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40bb035773cd1d66501897276101f40189164878" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.036ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}\in H_{2},}" /> co pociąga <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}\in H_{1}\cap H_{2};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∩</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}\in H_{1}\cap H_{2};}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/575465ecc62b6023192cc9a29ce352d321c8bd93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.604ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}\in H_{1}\cap H_{2};}" /> stąd <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∩</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4957a07ba37c23c177a0ef52188151ea67e67b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.554ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}}" /> jest podgrupą w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc645a5b7e8a2022ad70fc42dbda04c008a33a9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.474ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G.}" /> </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Aby uniknąć tego rodzaju pomyłek, stosuje się czasem konwencję oznaczania grup addytywnych i multiplikatywnych w indeksie górnym odpowiednio za pomocą znaku dodawania i mnożenia, w tym przypadku <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d957bf645245903b3c31a951a03b227c5e50be1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.605ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" /> oznaczane byłyby odpowiednio symbolami <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}^{+},\mathbb {Z} _{8}^{\times }.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msubsup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}^{+},\mathbb {Z} _{8}^{\times }.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32eead52aa55dba34e9c0b0933ae21697244ce3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.803ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}^{+},\mathbb {Z} _{8}^{\times }.}" /> </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Równoważnie: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e75d646aaacc29d422d35951ab1d434ed2d2fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.637ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{2}}" /> bądź <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{1};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{1};}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0f7f05b9e30bcfd6a14ed090f6b7089bd78bb3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.284ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{1};}" /> czy też <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}=H_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∩</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}=H_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219b2307d146d3609bd472f959ce475d96c34eb1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.637ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}=H_{1}}" /> albo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}=H_{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∩</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}=H_{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d1adb2f898e2577b650e3819756a8eca26d960" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.284ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}=H_{2}.}" /> </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> <a href="/wiki/Prawo_kontrapozycji" title="Prawo kontrapozycji">Dowód przez kontrapozycję</a>: jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> nie zawiera się w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d4d9a872a55b209f2eb7cc23a71e5e1541bd1f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}}" /> ani w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4090e4c7562185818329a007f750f0e920dd9e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.632ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{2},}" /> to można znaleźć element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e8880a2e4243a2fe5157e574a0547ef3d5d373" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.393ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{1}}" /> należący do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef601e1519093ba6c2944b945882c119f990e704" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.71ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H,}" /> lecz nie do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa4324515cc7343ee952e3840a1bb1aa8c7f74c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{2}}" /> oraz element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d2d1733d09f02f33694f72b6da94681021e0f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.393ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{2}}" /> należący do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef601e1519093ba6c2944b945882c119f990e704" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.71ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H,}" /> lecz nie do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1};}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3188a5159d41043ae076f3f7f682cef8b45adce5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.632ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1};}" /> z założenia <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{1},h_{2}\in H\subseteq H_{1}\cup H_{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>⊆</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{1},h_{2}\in H\subseteq H_{1}\cup H_{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ac3cff42c81ef2d75c89823b14cf53ba9672fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.023ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{1},h_{2}\in H\subseteq H_{1}\cup H_{2},}" /> zatem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{1}\in H_{1}\cap H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∩</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{1}\in H_{1}\cap H,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff8fae5c3468226079ffd23022ce12d368db76a8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.512ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{1}\in H_{1}\cap H,}" /> ale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{1}\notin H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∉</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{1}\notin H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8237bc2da3602c6e7f88f67f9176141b67a2374" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.219ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle h_{1}\notin H_{2}}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{2}\in H_{2}\cap H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∩</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{2}\in H_{2}\cap H,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a745b2883f21596bc77681c49a1cef57037c98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.512ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{2}\in H_{2}\cap H,}" /> ale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{2}\notin H_{1};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∉</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{2}\notin H_{1};}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d5cf39e3f161634b711ee12b84b45192473336f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.866ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle h_{2}\notin H_{1};}" /> z założenia i faktu, iż <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> jest podgrupą, wynikałoby wtedy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{1}h_{2}\in H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{1}h_{2}\in H,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaeb692a022abd9f963d57fd41dc444d0ca3a9fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.338ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{1}h_{2}\in H,}" /> skąd <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{1}h_{2}\in H_{1},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{1}h_{2}\in H_{1},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06b620381c68e5baefb875077ace7ec8321059b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.259ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{1}h_{2}\in H_{1},}" /> czyli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{2}\in H_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{2}\in H_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e40ab381b7c52cbf89ea771295133b34dfa69f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.219ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{2}\in H_{1}}" /> lub <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{1}h_{2}\in H_{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{1}h_{2}\in H_{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b94b874be34edf1cdec090a79e960c0517a058" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.259ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{1}h_{2}\in H_{2},}" /> czyli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{1}\in H_{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{1}\in H_{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbda74de21178f0b9fe3d06ef4b732a1409a9e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.866ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{1}\in H_{2},}" /> a to dawałoby sprzeczność z założeniem. Stąd <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> jest podgrupą w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d4d9a872a55b209f2eb7cc23a71e5e1541bd1f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}}" /> bądź <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6699daf5fe18e7ff8f7ce6adcb481e0d795650f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.632ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{2}.}" /> </li> <li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839471a3b07f5a0bddfc241d96cf66cfad1a6f34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.554ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}" /> jest podgrupą, to przyjmując <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H=H_{1}\cup H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H=H_{1}\cup H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bbcbad579cf8469ee07ee3948cb5b325bd53ccf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H=H_{1}\cup H_{2}}" /> otrzymuje się <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}\subseteq H_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⊆</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}\subseteq H_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ac39ced7364c60363b5acc60feed7ae2fb5f1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.637ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}\subseteq H_{1}}" /> lub <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}\subseteq H_{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⊆</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}\subseteq H_{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508bf3598e722bc6f5374275058dd6a0679401bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.284ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}\subseteq H_{2}.}" /> Z drugiej strony w każdym z przypadków, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e75d646aaacc29d422d35951ab1d434ed2d2fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.637ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{2}}" /> lub <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{1},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{1},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd5155b60cf8ef7b0838ed7092e77200897d023" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.284ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}=H_{1},}" /> zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839471a3b07f5a0bddfc241d96cf66cfad1a6f34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.554ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}" /> jest podgrupą. </li> <li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Przykładem może być tzw. <a href="/wiki/Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina" title="Grupa czwórkowa Kleina">grupa czwórkowa Kleina</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{e,a,b,ab\},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{e,a,b,ab\},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a5ab7f115586ca64801eb0f25b2e8c2724c9307" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.612ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{e,a,b,ab\},}" /> w której <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{e,a\},\ \{e,b\},\ \{e,ab\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{e,a\},\ \{e,b\},\ \{e,ab\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0801b70d909cb139594d6ab4a97febc36a54e02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.011ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{e,a\},\ \{e,b\},\ \{e,ab\}}" /> są nietrywialnymi podgrupami właściwymi dającymi w sumie całą grupę. </li> <li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Dowód: Niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=A\cup B\cup C,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mi>B</mi> <mo>∪</mo> <mi>C</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=A\cup B\cup C,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17bb08e34def18d687257a8509f4e633f0b13cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.011ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G=A\cup B\cup C,}" /> gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2746026864cc5896e3e52443a1c917be2df9d8ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.39ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A,}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" /> są podgrupami właściwymi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> a ponadto dane jest rozbicie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> na siedem rozłącznych części: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{A},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{A},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041650065ec0a550db09955667918ead023e8e24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.537ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{A},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{B},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{B},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282b23cb1464ac20389aecdbf88a54d8c92dc37b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.551ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{B},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{C},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{C},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5fe39f20873ee1b6ca11739e46d7cef6f40f90d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.553ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{C},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{AB},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{AB},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6893b99ca3baea75219765db0c73bda24a4ef89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.784ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{AB},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{AC},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{AC},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef73e4dc46a0a4ee7d5f1b2286c1df331fdda02f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.786ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{AC},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{BC},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{BC},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e21068ec3ae05b859eb10204c9bbc7416790eb3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.8ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{BC},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{ABC}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{ABC}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f5b6f2a437ba79656d4bc4c4cb5a4a7f0766ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.386ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{ABC}}" /> (elementy podziału zawierające wyłącznie część wspólną wymienionych w indeksie dolnym zbiorów). Ponieważ nie istnieje grupa będąca sumą mnogościową dwóch podgrup właściwych, to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{A},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{A},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041650065ec0a550db09955667918ead023e8e24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.537ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{A},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{B}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{B}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e02453279ee46e8561b89f3b746ab1f0509e6ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.905ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{B}}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{C}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{C}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd3ee7ca09f03be6a20c2bc904cf33508d0dff5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.906ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{C}}" /> są niepuste. Należy wykazać, że <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{AB}=S_{BC}=S_{AC}=\varnothing .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi class="MJX-variant">∅</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{AB}=S_{BC}=S_{AC}=\varnothing .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f985fa592ebddaa8aebf441db9b97fd8209ddfd4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.18ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{AB}=S_{BC}=S_{AC}=\varnothing .}" /> Niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in S_{A}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in S_{A}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/475ae7ee344193384129b975e0bc924a2cfd2640" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.96ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\in S_{A}}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in S_{BC}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in S_{BC}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e260933b3f902415e7f53876feda440021682a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.971ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x\in S_{BC}.}" /> Wówczas <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ax\notin A,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>∉</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ax\notin A,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eebd861e0740a523057271f008959ac0d5a34639" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.79ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle ax\notin A,}" /> gdyż w przeciwnym przypadku <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in A,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in A,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c649021f8a56d0234bfa3eae952bcab3edad556" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.56ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x\in A,}" /> sprzeczność. Również <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ax\notin B\cup C,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>∉</mo> <mi>B</mi> <mo>∪</mo> <mi>C</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ax\notin B\cup C,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95112d472de3bd28aba002956055960ebe384c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.16ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle ax\notin B\cup C,}" /> gdyż w przeciwnym przypadku oznaczałoby to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/739c140e9ae7f2a90119c5b40507d1ad2bc3396b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.834ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in B}" /> lub <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in C,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>C</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in C,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f9961d5c9b93ce8b25df495ce47976189b3cbd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.484ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\in C,}" /> co znowu daje sprzeczność. Stąd <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{BC}=\varnothing .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi class="MJX-variant">∅</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{BC}=\varnothing .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eabc6ee32a12282c94020a2869eef2db66d54a8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.707ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{BC}=\varnothing .}" /> Podobnie, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{AB}=S_{AC}=\varnothing .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi class="MJX-variant">∅</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{AB}=S_{AC}=\varnothing .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0ff5e9264a5f6d48456fe989b21822ef2b07db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.928ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{AB}=S_{AC}=\varnothing .}" /> Ostatecznie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=S_{A}\cup S_{B}\cup S_{C}\cup S_{ABC}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=S_{A}\cup S_{B}\cup S_{C}\cup S_{ABC}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0edacfbc5ea896fee35298dd2efccdfe495412" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:27.406ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G=S_{A}\cup S_{B}\cup S_{C}\cup S_{ABC}.}" /> Jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in S_{A}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in S_{A}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/475ae7ee344193384129b975e0bc924a2cfd2640" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.96ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\in S_{A}}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\in S_{B},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\in S_{B},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9212981659a0e59944b63bd8fc3baec695a174c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.39ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b\in S_{B},}" /> to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab\notin A\cup B.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>∉</mo> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mi>B</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab\notin A\cup B.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f920d05910c47546f6fc13aa17a705d233c999c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.805ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle ab\notin A\cup B.}" /> Zatem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab\in S_{C},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab\in S_{C},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe6c2ae81d1b0dbf1b5018ff5da567f39b5efab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.621ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle ab\in S_{C},}" /> skąd <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{A}S_{B}\subseteq S_{C}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>⊆</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{A}S_{B}\subseteq S_{C}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89eb66916b7469a33cd2c4c84114c17c73c6efe1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.799ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{A}S_{B}\subseteq S_{C}}" /> (podobnie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{C}S_{B}\subseteq S_{A}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>⊆</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{C}S_{B}\subseteq S_{A}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abb8f6dc27cdc48ae3cde6e20db35330d19d20aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.799ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{C}S_{B}\subseteq S_{A}}" /> itd.). Odwrotnie, niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\in S_{C},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\in S_{C},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78f33af529b8c1afb26599d045424904603939d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.4ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c\in S_{C},}" /> zaś dla dowolnego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\in S_{B}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\in S_{B}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352bf30affc653105e57d30e75994e2c90692a8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.743ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b\in S_{B}}" /> będzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=cb^{-1}\in S_{C}S_{B}\subseteq S_{A}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>⊆</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=cb^{-1}\in S_{C}S_{B}\subseteq S_{A}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff60622baa88bd149bd5c640c0255cf601d85b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.952ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a=cb^{-1}\in S_{C}S_{B}\subseteq S_{A}.}" /> Wtedy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=ab\in S_{A}S_{B}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=ab\in S_{A}S_{B}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88428e6d3d707da905712d40275828d5b63f7fb8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.968ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c=ab\in S_{A}S_{B}}" /> tak, że <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{C}\subseteq S_{A}S_{B}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>⊆</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{C}\subseteq S_{A}S_{B}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d5c5e4320d7f75215b25c03c9bfd4c0215614f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.446ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{C}\subseteq S_{A}S_{B}.}" /> Dlatego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{A}S_{B}=S_{C}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{A}S_{B}=S_{C}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e866dd0ee338a3dbbf06ff928c7ccc18e57985" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.446ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{A}S_{B}=S_{C}.}" /> Analogicznie dane są równości <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{B}S_{C}=S_{A},S_{C}S_{A}=S_{B}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{B}S_{C}=S_{A},S_{C}S_{A}=S_{B}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619a00fd3c13e27b258b5099840b003a45d0f4d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.632ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{B}S_{C}=S_{A},S_{C}S_{A}=S_{B}}" /> wraz z <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{B}S_{A}=S_{C},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{B}S_{A}=S_{C},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f07652efe402cbe9100541abc54a7025ed60ddd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.446ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{B}S_{A}=S_{C},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{C}S_{B}=S_{A}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{C}S_{B}=S_{A}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4faadc794a87f518b17572b71820257ba9aa86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.799ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{C}S_{B}=S_{A}}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{A}S_{C}=S_{B}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{A}S_{C}=S_{B}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf18393aeedcbcd3fe16a5768e15768c16c324f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.446ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{A}S_{C}=S_{B}.}" /> Rozumując w niemal ten sam sposób <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{A}^{2}=S_{B}^{2}=S_{C}^{2}=S_{A}S_{B}S_{C}=S_{ABC},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{A}^{2}=S_{B}^{2}=S_{C}^{2}=S_{A}S_{B}S_{C}=S_{ABC},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34886422280ac945eae045ae9e5307a23106b4ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:35.828ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle S_{A}^{2}=S_{B}^{2}=S_{C}^{2}=S_{A}S_{B}S_{C}=S_{ABC},}" /> a zarazem, dla dowolnego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in S_{A},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in S_{A},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99a61c10fa61de94cacb153aa41c92e186f1b68" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.607ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\in S_{A},}" /> jest <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot S_{ABC}=S_{ABC}\cdot a=S_{A}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot S_{ABC}=S_{ABC}\cdot a=S_{A}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/536455910d5dfe6728b5c2c9e0167c96ba1ded1c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.323ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\cdot S_{ABC}=S_{ABC}\cdot a=S_{A}.}" /> Podobnie, dla dowolnych <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\in S_{B}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\in S_{B}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352bf30affc653105e57d30e75994e2c90692a8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.743ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b\in S_{B}}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\in S_{C},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\in S_{C},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78f33af529b8c1afb26599d045424904603939d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.4ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c\in S_{C},}" /> zachodzi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\cdot S_{ABC}=S_{ABC}\cdot b=S_{B}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\cdot S_{ABC}=S_{ABC}\cdot b=S_{B}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe59ccb44e8aecbddcaa8884d22d63606c37edf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.227ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b\cdot S_{ABC}=S_{ABC}\cdot b=S_{B}}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\cdot S_{ABC}=S_{ABC}\cdot c=S_{C}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\cdot S_{ABC}=S_{ABC}\cdot c=S_{C}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8bd134a3127f8980293688a247387cc484f340d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.894ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c\cdot S_{ABC}=S_{ABC}\cdot c=S_{C}.}" /> Wówczas <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{A},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{A},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041650065ec0a550db09955667918ead023e8e24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.537ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{A},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{B},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{B},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282b23cb1464ac20389aecdbf88a54d8c92dc37b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.551ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{B},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{C}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{C}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd3ee7ca09f03be6a20c2bc904cf33508d0dff5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.906ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{C}}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{ABC}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{ABC}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f5b6f2a437ba79656d4bc4c4cb5a4a7f0766ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.386ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{ABC}}" /> tworzą cztery (lewo- i prawostronne!) <a href="/wiki/Warstwa_(teoria_grup)" title="Warstwa (teoria grup)">warstwy</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{ABC}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{ABC}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec42caff35358bcbd29da367c647d3417ea5dd7e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.033ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{ABC}.}" /> Wynika stąd, że <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{ABC}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{ABC}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f5b6f2a437ba79656d4bc4c4cb5a4a7f0766ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.386ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{ABC}}" /> jest <a href="/wiki/Podgrupa_normalna" title="Podgrupa normalna">podgrupą normalną</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> zaś <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G/S_{ABC}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G/S_{ABC}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9a4f643576539dd2db83b2514a5e3e5de876de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.375ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G/S_{ABC}}" /> ma strukturę grupy izomorficzną <a href="/wiki/Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina" title="Grupa czwórkowa Kleina">grupą czwórkową Kleina</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89641be07b562683b0e6dfa875c433fc8772f5b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.696ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}" /> Z drugiej strony, jeśli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> ma iloraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G/N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G/N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab52bff253c690c4e0d473400ab8c365ea019298" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.053ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G/N}" /> izomorficzny z <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0ec804510f99b74cc06ac6d90f74b17cdc7c8f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.696ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2},}" /> to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G/N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G/N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab52bff253c690c4e0d473400ab8c365ea019298" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.053ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G/N}" /> jest sumą (mnogościową) swoich trzech podgrup <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4976d3bf16488100fb9da756e45d5a23098263" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.632ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa4324515cc7343ee952e3840a1bb1aa8c7f74c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{2}}" /> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4bc9dc729e1d53cb3651e618e87861c26656f6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{3}}" /> <a href="/wiki/Warstwa_(teoria_grup)" title="Warstwa (teoria grup)">indeksu</a> 2. Przeciwobrazy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4976d3bf16488100fb9da756e45d5a23098263" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.632ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa4324515cc7343ee952e3840a1bb1aa8c7f74c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{2}}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4bc9dc729e1d53cb3651e618e87861c26656f6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{3}}" /> w odwzorowaniu ilorazowym są więc trzema podgrupami właściwymi indeksu 2 stanowiącymi pokrycie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc645a5b7e8a2022ad70fc42dbda04c008a33a9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.474ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G.}" /> </li> <li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Ponadto wspomniana część wspólna jest podgrupą normalną (zob. <a href="#Ważne_podgrupy">Ważne podgrupy</a>) w całej grupie, a jej grupa ilorazowa (zob. <a href="#Ważne_podgrupy">Ważne podgrupy</a>) jest <a href="/wiki/Izomorfizm" title="Izomorfizm">izomorficzna</a> z grupą czwórkową Kleina. Twierdzenie: Jeżeli grupa jest sumą mnogościową trzech właściwych podgrup, to jest zarazem sumą mnogościową trzech właściwych podgrup normalnych. Dowód: Wspomniane w twierdzeniu Scorzy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4976d3bf16488100fb9da756e45d5a23098263" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.632ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1},}" /> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa4324515cc7343ee952e3840a1bb1aa8c7f74c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{2}}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4bc9dc729e1d53cb3651e618e87861c26656f6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{3}}" /> w odwzorowaniu ilorazowym <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\to \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\to \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f890644e6df37b8f612a0a51830acdc805e4cc0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.49ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G\to \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}" /> są przeciwobrazami podgrup normalnych grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31bf60996247da1560c23a228166bff89ba97783" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.05ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}" /> (izomorficznych z <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{2};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{2};}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5efe0ce7c0d85db98835dfe8799d01193de8283a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.251ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{2};}" /> ich normalność wynika np. z przemienności, przy czym zachowuje się ona po wzięciu przeciwobrazu homomorficznego). </li> <li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> Twierdzenie: Grupa skończona jest sumą mnogościową podgrup właściwych wtedy i tylko wtedy, gdy ma iloraz izomorficzny z <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae06bb6c090e11f3e5f6fa214c5bddb6d9c7ec7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.059ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}" /> dla pewnej <a href="/wiki/Liczby_pierwsze" title="Liczby pierwsze">liczby pierwszej</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88532f4eab1d4cef71ef96c0f8c98cac36fd9257" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.906ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p.}" /> Twierdzenie: Jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> jest sumą mnogościową właściwych podgrup normalnych, to minimalna liczba tych podgrup wynosi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p+1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p+1,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8412b9d4a3d0f857874516910072bb71023fd9bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.909ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p+1,}" /> gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" /> jest najmniejszą liczbą pierwszą, dla której <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> ma iloraz izomorficzny z <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f4d347bed6d859a1dd935e8224fca07df94bd62" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.706ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}.}" /> </li> <li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (G)=n,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (G)=n,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48949f3be89a0ebdc541dfc19df1926a6e45ed9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.106ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (G)=n,}" /> gdy tylko <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> jest sumą mnogościową <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /> podgrup właściwych, ale nie jest sumą jakiekolwiek mniejszej liczby podgrup właściwych. Twierdzenie Cohna (1994): Niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> będzie grupą. Wówczas <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (G)=4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (G)=4}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb167d8b4d78c380422237118d2f1840fe34e1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.227ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (G)=4}" /> wtedy i tylko wtedy, gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (G)\neq 3,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≠</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (G)\neq 3,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f45bdef8698178845c4062cf25e9434f362e1071" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.873ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (G)\neq 3,}" /> zaś <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> ma iloraz izomorficzny <a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupą symetryczną</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e15f3e200aaa247f69c43110cc5a09ecc91b89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{3}}" /> lub <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{3};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{3};}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9925fc667fd79c84e56786e0a618028aea78b669" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.696ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{3};}" /></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (G)=5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (G)=5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1484ebf33de4542888affeb33bc1029f094b8934" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.227ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (G)=5}" /> wtedy i tylko wtedy, gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (G)\notin \{3,4\},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∉</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (G)\notin \{3,4\},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6262d2a5541f012d8d6cac48e59f6c4593e78759" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (G)\notin \{3,4\},}" /> zaś <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> ma iloraz izomorficzny <a href="/wiki/Grupa_alternuj%C4%85ca" title="Grupa alternująca">grupą alternującą</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{4};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{4};}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df6df9c9c2fd04852984d690ef0cc9809a1c2d9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.444ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{4};}" /></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (G)=6}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>6</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (G)=6}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f963f3e95dfc26e961cd9035bb3e0600d3f2bc5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.227ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (G)=6}" /> wtedy i tylko wtedy, gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (G)\notin \{3,4,5\},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∉</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (G)\notin \{3,4,5\},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a06ced6fa657656452024c40da493ebab918666" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.333ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (G)\notin \{3,4,5\},}" /> zaś <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> ma iloraz izomorficzny <a href="/wiki/Grupa_diedralna" title="Grupa diedralna">grupą diedralną</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{5}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{5}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aae0fc530390b62f9fa9e136ba62961d06f99f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.979ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle D_{5}}" /> lub <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{5}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{5}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d50616528f8b117b59d2db9becf04e176e8bd10" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.05ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{5}}" /> bądź <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\ltimes \mathbb {Z} _{5},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>⋉</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\ltimes \mathbb {Z} _{5},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976049e575fc4936da9f56ca9519edb8e1551b7c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.696ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\ltimes \mathbb {Z} _{5},}" /> czyli grupą rzędu 20 o dwóch generatorach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}" /> spełniających <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{5}=b^{4}=e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{5}=b^{4}=e}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3326501c48dd75a8988242136fe77d51381ddcf2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.616ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{5}=b^{4}=e}" /> (gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" /> jest elementem neutralnym), <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ba=a^{2}b.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>b</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ba=a^{2}b.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4de1c82ea4c1c7074d7e0faed0d1542cdbdce5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.254ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle ba=a^{2}b.}" /></li></ul> </li> <li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> Zgodnie z oznaczeniami użytymi w sformułowaniu twierdzenia Cohna: Twierdzenie <a href="/w/index.php?title=Gaetano_Scorza&action=edit&redlink=1" class="new" title="Gaetano Scorza (strona nie istnieje)">Scorzy</a> (1926): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (G)=3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (G)=3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6483dce79c5bb26bb75104c11cb5040288b38995" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.227ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (G)=3}" /> wtedy i tylko wtedy, gdy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> ma iloraz izomorficzny z <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89641be07b562683b0e6dfa875c433fc8772f5b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.696ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}" /> Twierdzenie Tomkinsona (1997): Nie istnieje <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> dla której <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (G)=7.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>7.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (G)=7.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6e5c75ed27e4b01ce29479adeba26ed0d0dbe0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.873ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (G)=7.}" /> </li> <li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> Symbol <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (G)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (G)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45c71fa3f4d75cadc82b3e4eed6f84eefeb25bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.966ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (G)}" /> oznacza liczbę pokryciową grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> będącą rozmiarem minimalnego pokrycia <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> gdzie pokrycie (skończone) oznacza (skończoną) rodzinę podgrup właściwych <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> dających w sumie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> minimalność pokrycia oznacza z kolei, że nie istnieje pokrycie danej grupy o mniejszej liczbie elementów. Twierdzenie <a href="/w/index.php?title=Bernhard_Neumann&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bernhard Neumann (strona nie istnieje)">B. H. Neumanna</a> (1954): grupa jest sumą mnogościową skończenie wielu podgrup właściwych wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona skończony <a href="/wiki/Grupa_cykliczna" title="Grupa cykliczna">niecykliczny</a> obraz <a href="/wiki/Homomorfizm_grup" title="Homomorfizm grup">homomorficzny</a>. Twierdzenie Detomi–Lucchiniego (2008): Nie istnieje <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> dla której <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (G)=11.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>11.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (G)=11.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea057dd78e5bb5a6d1e02ddf4fd9ed6f22f70b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.036ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (G)=11.}" /> Twierdzenie Garonziego (2013): Nie istnieje <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> dla której <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (G)\in \{19,21,22,25\};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>19</mn> <mo>,</mo> <mn>21</mn> <mo>,</mo> <mn>22</mn> <mo>,</mo> <mn>25</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (G)\in \{19,21,22,25\};}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3fd833de42294fca817a3264845fcfca3a1946" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.18ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (G)\in \{19,21,22,25\};}" /> istnieją grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> dla których <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (G)\leqslant 27}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⩽</mo> <mn>27</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (G)\leqslant 27}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8d8a887531dc143feabaaf325f6ff9a0ed8424" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.389ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (G)\leqslant 27}" /> poza wymienionymi (w tym również w twierdzeniach Tomkinsona oraz Detomi i Lucchiniego). </li> <li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> Na mocy kryterium bycia podgrupą: niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in \mathrm {C} (x),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in \mathrm {C} (x),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06b7fefd32f48157c71e65e66b17ca6b1a92267" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.566ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a,b\in \mathrm {C} (x),}" /> tzn. zachodzą równości <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ax=xa}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ax=xa}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c9a377b321482ea33cfb95c3c8281520ae04e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.217ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle ax=xa}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle bx=xb,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>b</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle bx=xb,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d238b1aec5ae2b428918df1f66d6b8c23c67eaad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.4ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle bx=xb,}" /> wtedy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle abx=axb=xab,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle abx=axb=xab,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545e1358a1be173de9f66ecc3535d93630642c47" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.515ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle abx=axb=xab,}" /> czyli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab\in \mathrm {C} (x);}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab\in \mathrm {C} (x);}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875b83e9060bfb974cb38b30f8847678d8bcbdf7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.532ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ab\in \mathrm {C} (x);}" /> do zbadania należenia do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6b53682fddbe3028ffd75bd75771b86c6c7bd9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.905ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(x)}" /> elementu odwrotnego do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in C(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in C(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/580f1f8b2612ec473a9881c1f2df622eea4b3050" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.976ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\in C(x)}" /> wystarczy rozpatrzeć równość <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle xa=ax,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle xa=ax,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b1910984b6407d38f1e9fa39cecfad5c661314" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.864ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle xa=ax,}" /> z której wynika <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=axa^{-1},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=axa^{-1},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6f55cd8b21d2483c30f6121b6184b164b26621" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.197ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x=axa^{-1},}" /> a z niej <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}x=xa^{-1}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}x=xa^{-1}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf1cc716d5bceb24c836a8770d86dbb451328a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.53ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}x=xa^{-1}.}" /> </li> <li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> Korzystając z kryterium bycia podgrupą: niech <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in \mathrm {Z} (G),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in \mathrm {Z} (G),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b22b6bf05eb5fa2814fff941326c58fe99c1422" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.805ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a,b\in \mathrm {Z} (G),}" /> wtedy dla dowolnych <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y\in G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y\in G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3bd958e7750dc36ecaaa12caaacd9b6601af7c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.186ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x,y\in G}" /> zachodzą równości <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ax=xa}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ax=xa}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c9a377b321482ea33cfb95c3c8281520ae04e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.217ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle ax=xa}" /> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle by=yb,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mi>b</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle by=yb,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b3f6e08fbc774e943b6f12baa87a66b2ef6b5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.051ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle by=yb,}" /> skąd można w szczególności dla dowolnego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\in G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\in G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34feac030be7acd72bc5267eac33dc4c4870f78c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.756ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z\in G}" /> zapisać <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle abz=azb=zab,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>z</mi> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>z</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle abz=azb=zab,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6fc890cc9ea33e343e5644c021c23af2e402624" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.79ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle abz=azb=zab,}" /> czyli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab\in \mathrm {Z} (G);}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab\in \mathrm {Z} (G);}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/498b80dc87556767c8dcb8e21fe09434b3ae6125" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ab\in \mathrm {Z} (G);}" /> z kolei jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle xa=ax,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle xa=ax,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b1910984b6407d38f1e9fa39cecfad5c661314" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.864ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle xa=ax,}" /> to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=axa^{-1},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=axa^{-1},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6f55cd8b21d2483c30f6121b6184b164b26621" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.197ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x=axa^{-1},}" /> skąd <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}x=xa^{-1},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}x=xa^{-1},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d56243c064fee27e7546e4d1bbcfcedcf776119" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.53ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}x=xa^{-1},}" /> a więc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{-1}\in \mathrm {Z} (G).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{-1}\in \mathrm {Z} (G).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d017616d367e22472a2dfa0e39f0401e0f4fc19f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.106ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a^{-1}\in \mathrm {Z} (G).}" /> </li> <li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">↑</a> W odróżnieniu od centrum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Z} (G)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Z} (G)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021a0a6b54f9c517044f16ca1e81051a509028da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.056ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Z} (G)}" /> grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,}" /> w którym każdy element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\in \mathrm {Z} (G)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\in \mathrm {Z} (G)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2dff95e7fb459f878d13e2935ebb7c491a76f27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.985ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z\in \mathrm {Z} (G)}" /> z osobna jest przemienny z dowolnym elementem grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.877ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a,}" /> tj. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle az=za,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>z</mi> <mi>a</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle az=za,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104ac89d372f91588d4cf772a7d0c94f6f13c04b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.381ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle az=za,}" /> przemienność <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle aH=Ha}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mi>H</mi> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle aH=Ha}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1915bd1d06e74a9ebefaecac81a51d84c1d0f770" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.685ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle aH=Ha}" /> podgrupy normalnej <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /> z dowolnym elementem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" /> grupy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /> oznacza tylko tyle, iż dla dowolnego elementu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{1}\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{1}\in H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76bbe8e2cd5b4b8a9e62a3a96c11adc51f9317fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.297ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{1}\in H}" /> można znaleźć element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{2}\in H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{2}\in H,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349d6a5e1d93966f9ba47ad845a93142c03baa40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.944ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{2}\in H,}" /> dla których zachodzi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ah_{1}=h_{2}a.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ah_{1}=h_{2}a.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0925502b6e232fd0ed7906fc077ee111501f7d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.991ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle ah_{1}=h_{2}a.}" /> </li> <li id="cite_note-25"><a href="#cite_ref-25">↑</a> Wspomniane centrum i komutant są w istocie przykładami podgrup normalnych o jeszcze lepszych własnościach, tzw. <a href="/wiki/Podgrupa_charakterystyczna" title="Podgrupa charakterystyczna">podgrup charakterystycznych</a> (charakterystyczność, w przeciwieństwie do normalności, jest własnością przechodnią). </li> <li id="cite_note-26"><a href="#cite_ref-26">↑</a> Bądź nieco ogólniej: wszystkich <a href="/wiki/Automorfizm" title="Automorfizm">automorfizmów</a> ustalonej <a href="/wiki/Baza_(przestrze%C5%84_liniowa)" title="Baza (przestrzeń liniowa)">skończeniewymiarowej</a> <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa">przestrzeni liniowej</a> (tj. <a href="/wiki/Funkcja_odwrotna" title="Funkcja odwrotna">odwracalnych</a> <a href="/wiki/Przekszta%C5%82cenie_liniowe" title="Przekształcenie liniowe">przekształceń liniowych</a> tej przestrzeni na siebie). </li> </ol></div></div> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r75675918">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy .before,.mw-parser-output .navbox.pionowy .after{padding:0.5em 0;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.caption,.mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background:#ccf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox .tnavbar{font-weight:normal;font-size:xx-small;white-space:nowrap;padding:0}.mw-parser-output .navbox>.tnavbar{margin-left:1em;float:left}.mw-parser-output .navbox .below>hr+.tnavbar{margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox .below>.tnavbar:before{content:"Ten szablon: "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:after{content:" · "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .navbox hr{margin:0.2em 1em}.mw-parser-output .navbox .title{background:#ddf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content:not(.grupa-szablonów-nawigacyjnych){margin-top:2px;padding:0;font-size:smaller;overflow:auto}.mw-parser-output .navbox .above+div,.mw-parser-output .navbox .above+.navbox-main-content,.mw-parser-output .navbox .below,.mw-parser-output .navbox .title+.grid{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below{background:#ddf;text-align:center;margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .navbox .flex>.before,.mw-parser-output .navbox .flex>.after{align-self:center;text-align:center}.mw-parser-output .navbox .flex>.navbox-main-content{flex-grow:1}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .before{margin-right:0.5em}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .after{margin-left:0.5em}.mw-parser-output .navbox .inner-columns,.mw-parser-output .navbox .inner-group,.mw-parser-output .navbox .inner-standard{border-spacing:0;border-collapse:collapse;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis{text-align:right;vertical-align:middle}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis+.spis{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td{padding:0;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td:first-child{text-align:center}.mw-parser-output .navbox .inner-standard .inner-standard>tbody>tr>td{text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-odd,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-even{padding:0 0.3em}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>th+td{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns{table-layout:fixed}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{padding:0;border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);border-right:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{vertical-align:top}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:first-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:first-child{border-left:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:last-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:last-child{border-right:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ul,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ol,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>dl{text-align:left;column-width:24em}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+table{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.opis,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.spis{padding:0.1em 1em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-toggle,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.mw-collapsible-toggle{width:4em;text-align:right;margin-right:0.4em}.mw-parser-output .navbox>.fakebar,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.fakebar{float:left;width:4em;height:1em}.mw-parser-output .navbox .opis{background:#ddf;padding:0 1em;white-space:nowrap;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox.pionowy .opis{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-even,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-odd{background:transparent}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-odd,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-even{background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div{background:transparent}.mw-parser-output .navbox p{margin:0;padding:0.3em 0}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:gold}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:silver}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#c96}.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ul,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>dl,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ol{column-width:24em;text-align:left}.mw-parser-output .navbox ul{list-style:none}.mw-parser-output .navbox .references{background:transparent}.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dd,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dt,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist li{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox .rok{display:inline-block;width:4em;padding-right:0.5em;text-align:right}.mw-parser-output .navbox .navbox-statistics{margin-top:2px;border-top:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);text-align:center;font-size:small}.mw-parser-output .navbox-summary>.title{font-weight:bold;font-size:larger}.mw-parser-output .navbox:not(.grupa-szablonów) .navbox{margin:0;border:0;padding:0}.mw-parser-output .navbox.grupa-szablonów>.grupa-szablonów-nawigacyjnych>.navbox:first-child{margin-top:2px}@media(max-width:800px){.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.before,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.after{display:none}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) table,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) tbody{display:block;overflow:visible;width:100%;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .inner-standard tbody tr{display:flex;flex-direction:column}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .inner-standard tbody tr .opis{text-align:left}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) table{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) table table{margin:0;padding:0;border:0 none #000;padding-left:2em;width:100%}}.mw-parser-output .navbox .opis img,.mw-parser-output .navbox .opis .flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.image{display:none}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}</style><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Teoria_grup" title="Szablon:Teoria grup">p</a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Teoria_grup&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Teoria grup (strona nie istnieje)">d</a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Teoria_grup&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Teoria_grup" title="Teoria grup">Teoria grup</a></div><div class="mw-collapsible-content flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">podstawy</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">działanie dwuargumentowe</a></li> <li><a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączność</a></li> <li><a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">element neutralny</a></li> <li><a href="/wiki/Element_odwrotny" title="Element odwrotny">element odwrotny</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka)">grupa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Przyk%C5%82ady_grup" title="Przykłady grup">przykłady</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a2_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">z <a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawaniem</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">liczby całkowite</a> <ul><li><a href="/wiki/Parzysto%C5%9B%C4%87_liczb" title="Parzystość liczb">liczby parzyste</a></li> <li><a href="/wiki/0" title="0">zero</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczby wymierne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczby rzeczywiste</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczby zespolone</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa" title="Przestrzeń euklidesowa">przestrzeń kartezjańska</a></li> <li><a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">wielomiany</a></li> <li><a href="/wiki/Wektor" title="Wektor">wektory</a></li> <li><a href="/wiki/Arytmetyka_modularna" title="Arytmetyka modularna">całkowite reszty z dzielenia</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">z <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Mnożenie">mnożeniem</a> liczb</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li>niezerowe <a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczby wymierne</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">dodatnie</a> liczby wymierne</li> <li><a href="/wiki/1_(liczba)" title="1 (liczba)">jedynka</a></li></ul></li> <li>niezerowe <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczby rzeczywiste</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">dodatnie</a> liczby rzeczywiste</li></ul></li> <li>niezerowe <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczby zespolone</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_okr%C4%99gu" title="Grupa okręgu">grupa okręgu</a></li> <li><a href="/wiki/Pierwiastek_z_jedynki" title="Pierwiastek z jedynki">pierwiastki z jedynki</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">ze <a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">składaniem funkcji</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_bijekcji" title="Grupa bijekcji">grupa bijekcji</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupa permutacji</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_alternuj%C4%85ca" title="Grupa alternująca">grupa alternująca</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_to%C5%BCsamo%C5%9Bciowa" title="Funkcja tożsamościowa">funkcja tożsamościowa</a></li></ul></li> <li>rzeczywiste <a href="/wiki/Funkcja_liniowa" title="Funkcja liniowa">funkcje liniowe</a></li> <li>rzeczywiste <a href="/wiki/Funkcja_homograficzna" title="Funkcja homograficzna">homografie</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_diedralna" title="Grupa diedralna">grupy diedralne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_4"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Macierz_odwrotna" title="Macierz odwrotna">macierze odwracalne</a> z <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie_macierzy" title="Mnożenie macierzy">mnożeniem macierzy</a> – <a href="/wiki/Pe%C5%82na_grupa_liniowa" title="Pełna grupa liniowa">pełne grupy liniowe</a></li> <li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_pot%C4%99gowy" title="Zbiór potęgowy">zbiory potęgowe</a> z <a href="/wiki/R%C3%B3%C5%BCnica_symetryczna_zbior%C3%B3w" title="Różnica symetryczna zbiorów">różnicą symetryczną</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Homomorfizm" title="Homomorfizm">homomorfizmy</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Homomorfizm_grup" title="Homomorfizm grup">homomorfizm grup</a> <ul><li><a href="/wiki/Reprezentacja_grupy" title="Reprezentacja grupy">reprezentacja grupy</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/J%C4%85dro_(algebra)" title="Jądro (algebra)">jądro</a></li> <li><a href="/wiki/Monomorfizm" title="Monomorfizm">monomorfizm</a></li> <li><a href="/wiki/Epimorfizm" title="Epimorfizm">epimorfizm</a></li> <li><a href="/wiki/Izomorfizm" title="Izomorfizm">izomorfizm</a></li> <li><a href="/wiki/Endomorfizm" title="Endomorfizm">endomorfizm</a> <ul><li><a href="/wiki/Automorfizm" title="Automorfizm">automorfizm</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a class="mw-selflink selflink">podgrupy</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a4_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">ogólne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Warstwa_(teoria_grup)" title="Warstwa (teoria grup)">warstwa</a></li> <li><a href="/wiki/Indeks_podgrupy" title="Indeks podgrupy">indeks podgrupy</a></li> <li><a href="/wiki/Centralizator_i_normalizator" title="Centralizator i normalizator">centralizator i normalizator</a></li> <li><a href="/wiki/Iloczyn_kompleksowy" title="Iloczyn kompleksowy">iloczyn kompleksowy</a></li> <li><a href="/wiki/Podgrupa_torsyjna" title="Podgrupa torsyjna">podgrupa torsyjna</a></li> <li><a href="/wiki/Krata_podgrup" title="Krata podgrup">krata podgrup</a> <ul><li><a href="/wiki/Modularno%C5%9B%C4%87" title="Modularność">modularność</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Podgrupa_normalna" title="Podgrupa normalna">normalne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Kongruencja_(algebra)" title="Kongruencja (algebra)">kongruencja</a></li> <li><a href="/wiki/Zgodno%C5%9B%C4%87_relacji_z_dzia%C5%82aniem" title="Zgodność relacji z działaniem">zgodność relacji z działaniem</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_ilorazowa" title="Grupa ilorazowa">grupa ilorazowa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Podgrupa_charakterystyczna" title="Podgrupa charakterystyczna">charakterystyczne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Komutant" title="Komutant">komutant</a></li> <li><a href="/wiki/Norma_(teoria_grup)" title="Norma (teoria grup)">norma</a></li> <li><a href="/wiki/Podgrupa_Frattiniego" title="Podgrupa Frattiniego">podgrupa Frattiniego</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row">dalsze pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemienność</a></li> <li><a href="/wiki/Rz%C4%85d_(teoria_grup)" title="Rząd (teoria grup)">rząd grupy i jej elementu</a></li> <li><a href="/wiki/Iloczyny_grup" title="Iloczyny grup">iloczyny grup</a> <ul><li><a href="/wiki/Iloczyny_grup#Suma_prosta" title="Iloczyny grup">suma prosta</a></li> <li><a href="/wiki/Splot_(teoria_grup)" title="Splot (teoria grup)">splot</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_generator%C3%B3w_grupy" title="Zbiór generatorów grupy">zbiór generatorów grupy</a></li> <li><a href="/wiki/Komutator_(matematyka)" title="Komutator (matematyka)">komutator</a></li> <li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_grupy_na_zbiorze" title="Działanie grupy na zbiorze">działanie grupy na zbiorze</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row">rodzaje grup</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a6_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Grupa_przemienna" title="Grupa przemienna">przemienne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Sko%C5%84czenie_generowana_grupa_przemienna" title="Skończenie generowana grupa przemienna">skończenie generowane grupy przemienne</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina" title="Grupa czwórkowa Kleina">grupy czwórkowe Kleina</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_cykliczna" title="Grupa cykliczna">grupy cykliczne</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_trywialna" title="Grupa trywialna">grupy trywialne</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Grupa_abelowa_wolna" title="Grupa abelowa wolna">grupa abelowa wolna</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_addytywna" title="Grupa addytywna">addytywna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_algebraiczna" title="Grupa algebraiczna">algebraiczna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_charakterystycznie_prosta" title="Grupa charakterystycznie prosta">charakterystycznie prosta</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Coxetera" title="Grupa Coxetera">Coxetera</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_doskona%C5%82a" title="Grupa doskonała">doskonała</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Galois" title="Grupa Galois">Galois</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Hamiltona" title="Grupa Hamiltona">Hamiltona</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Hopfa" title="Grupa Hopfa">Hopfa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Liego" title="Grupa Liego">Liego</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_lokalnie_sko%C5%84czona" title="Grupa lokalnie skończona">lokalnie skończona</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_multiplikatywna" title="Grupa multiplikatywna">multiplikatywna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_nilpotentna" title="Grupa nilpotentna">nilpotentna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_odbi%C4%87" title="Grupa odbić">odbić</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_pe%C5%82na" title="Grupa pełna">pełna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_podstawowa" title="Grupa podstawowa">podstawowa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_prosta" title="Grupa prosta">prosta</a></li> <li><a href="/wiki/P-grupa" title="P-grupa">p-grupa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_rozwi%C4%85zalna" title="Grupa rozwiązalna">rozwiązalna</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_superrozwi%C4%85zalna" title="Grupa superrozwiązalna">superrozwiązalna</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Grupa_symetrii" title="Grupa symetrii">symetrii</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_torsyjna" title="Grupa torsyjna">torsyjna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_wolna" title="Grupa wolna">wolna</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie">twierdzenia</a> o grupach</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a7_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">skończonych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(teoria_grup)" title="Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)">Lagrange’a</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Cayleya" title="Twierdzenie Cayleya">Cayleya</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Cauchy%E2%80%99ego_(teoria_grup)" title="Twierdzenie Cauchy’ego (teoria grup)">Cauchy’ego</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenia_Sylowa" title="Twierdzenia Sylowa">Sylowa</a></li> <li><a href="/wiki/Klasyfikacja_sko%C5%84czonych_grup_prostych" title="Klasyfikacja skończonych grup prostych">klasyfikacja skończonych grup prostych</a></li></ul> </td></tr><tr class="a7_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">dowolnych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Jordana-H%C3%B6ldera" title="Twierdzenie Jordana-Höldera">Jordana-Höldera</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Schreiera" title="Twierdzenie Schreiera">Schreiera</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_odpowiednio%C5%9Bci" title="Twierdzenie o odpowiedniości">o odpowiedniości</a></li> <li><a href="/wiki/Lemat_Goursata" title="Lemat Goursata">lemat Goursata</a></li> <li><a href="/wiki/Lemat_Zassenhausa" title="Lemat Zassenhausa">lemat Zassenhausa</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row">grupy z dodatkowymi <a href="/wiki/Struktura_matematyczna" title="Struktura matematyczna">strukturami</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_z_operatorami" title="Grupa z operatorami">grupa z operatorami</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_uporz%C4%85dkowana" title="Grupa uporządkowana">grupa uporządkowana</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_topologiczna" title="Grupa topologiczna">grupa topologiczna</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_dyskretna" title="Grupa dyskretna">grupa dyskretna</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Uog%C3%B3lnienie" title="Uogólnienie">uogólnienia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Monoid" title="Monoid">monoid</a></li> <li><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82grupa" title="Półgrupa">półgrupa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupoid" title="Grupoid">grupoid</a></li> <li><a href="/wiki/Kategoria_(matematyka)" title="Kategoria (matematyka)">kategoria</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Naukowiec" title="Naukowiec">uczeni</a> według daty narodzin</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a10_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XVIII_wiek" title="XVIII wiek">XVIII wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Joseph_Louis_Lagrange" title="Joseph Louis Lagrange">Joseph Louis Lagrange</a></li> <li><a href="/wiki/Augustin_Louis_Cauchy" title="Augustin Louis Cauchy">Augustin Louis Cauchy</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XIX_wiek" title="XIX wiek">XIX wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Niels_Henrik_Abel" title="Niels Henrik Abel">Niels Henrik Abel</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89variste_Galois" title="Évariste Galois">Évariste Galois</a></li> <li><a href="/wiki/Peter_Sylow" title="Peter Sylow">Peter Sylow</a></li> <li><a href="/wiki/Marie_Ennemond_Camille_Jordan" title="Marie Ennemond Camille Jordan">Marie Ennemond Camille Jordan</a></li> <li><a href="/wiki/Marius_Sophus_Lie" title="Marius Sophus Lie">Marius Sophus Lie</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89douard_Goursat" title="Édouard Goursat">Édouard Goursat</a></li> <li><a href="/wiki/Otto_Ludwig_H%C3%B6lder" title="Otto Ludwig Hölder">Otto Ludwig Hölder</a></li> <li><a href="/wiki/Heinz_Hopf" title="Heinz Hopf">Heinz Hopf</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XX_wiek" title="XX wiek">XX wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Otto_Schreier&action=edit&redlink=1" class="new" title="Otto Schreier (strona nie istnieje)">Otto Schreier</a>(<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Otto_Schreier" class="extiw" title="en:Otto Schreier">en</a>)</li> <li><a href="/wiki/Hans_Julius_Zassenhaus" title="Hans Julius Zassenhaus">Hans Julius Zassenhaus</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <a href="/wiki/Plik:Circle_as_Lie_group.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/120px-Circle_as_Lie_group.svg.png" decoding="async" width="100" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/250px-Circle_as_Lie_group.svg.png 1.5x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a> </div></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r75562624">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-fehlt"><div><a href="/wiki/Encyklopedia_internetowa" title="Encyklopedia internetowa">Encyklopedie internetowe</a> (<a href="/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka)">grupa</a>):</div> <ul><li><a href="/wiki/Enciclopedia_Treccani" title="Enciclopedia Treccani">Treccani</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.treccani.it/enciclopedia/sottogruppo">sottogruppo</a></li> <li><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1296" class="extiw" title="d:Property:P1296">Catalana</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.enciclopedia.cat/ec-gec-0211798.xml">0211798</a></li> <li><a href="/wiki/Den_Store_Danske_Encyklop%C3%A6di" title="Den Store Danske Encyklopædi">DSDE</a>: <a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=8313&url_prefix=https://lex.dk/&id=undergruppe">undergruppe</a></li></ul> </div></div></div><noscript><img src="https://auth.wikimedia.org/loginwiki/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Podgrupa&oldid=76278702">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Podgrupa&oldid=76278702</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategoria</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Podgrupy" title="Kategoria:Podgrupy">Podgrupy</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Tę stronę ostatnio edytowano 22 mar 2025, 01:42.</li> <li id="footer-info-copyright">Tekst udostępniany na licencji <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl">Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach</a>, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/pl">warunkach korzystania</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Polityka prywatności</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii">O Wikipedii</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Korzystasz_z_Wikipedii_tylko_na_w%C5%82asn%C4%85_odpowiedzialno%C5%9B%C4%87">Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Powszechne Zasady Postępowania</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Dla deweloperów</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pl.wikipedia.org">Statystyki</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Oświadczenie o ciasteczkach</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Podgrupa&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Wersja mobilna</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://www.wikimedia.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><picture><source media="(min-width: 500px)" srcset="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29"><img src="/static/images/footer/wikimedia.svg" width="25" height="25" alt="Wikimedia Foundation" lang="en" loading="lazy"></picture></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><picture><source media="(min-width: 500px)" srcset="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" width="88" height="31"><img src="/w/resources/assets/mediawiki_compact.svg" alt="Powered by MediaWiki" lang="en" width="25" height="25" loading="lazy"></picture></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-header-container vector-sticky-header-container"> <div id="vector-sticky-header" class="vector-sticky-header"> <div class="vector-sticky-header-start"> <div class="vector-sticky-header-icon-start vector-button-flush-left vector-button-flush-right" aria-hidden="true"> <button class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-sticky-header-search-toggle" tabindex="-1" data-event-name="ui.vector-sticky-search-form.icon"> Szukaj </button> </div> <div role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box"> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail"> <form action="/w/index.php" id="vector-sticky-search-form" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Przeszukaj Wikipedię"> </div> <input type="hidden" name="title" value="Specjalna:Szukaj"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Szukaj</button> </form> </div> </div> </div> <div class="vector-sticky-header-context-bar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-sticky-header-toc" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-sticky-header-toc vector-sticky-header-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-sticky-header-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-sticky-header-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-sticky-header-toc-label" for="vector-sticky-header-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Przełącz stan spisu treści </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-sticky-header-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div class="vector-sticky-header-context-bar-primary" aria-hidden="true" >Podgrupa</div> </div> </div> <div class="vector-sticky-header-end" aria-hidden="true"> <div class="vector-sticky-header-icons"> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-talk-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="talk-sticky-header"> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-subject-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="subject-sticky-header"> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-history-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="history-sticky-header"> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only mw-watchlink" id="ca-watchstar-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="watch-sticky-header"> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-ve-edit-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ve-edit-sticky-header"> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-edit-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="wikitext-edit-sticky-header"> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-viewsource-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ve-edit-protected-sticky-header"> </a> </div> <div class="vector-sticky-header-buttons"> <button class="cdx-button cdx-button--weight-quiet mw-interlanguage-selector" id="p-lang-btn-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn-sticky-header"> 40 języków </button> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive" id="ca-addsection-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="addsection-sticky-header"> Dodaj temat </a> </div> <div class="vector-sticky-header-icon-end"> <div class="vector-user-links"> </div> </div> </div> </div> </div> <div class="mw-portlet mw-portlet-dock-bottom emptyPortlet" id="p-dock-bottom"> <ul> </ul> </div> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-684955989f-l6fxr","wgBackendResponseTime":317,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.597","walltime":"0.821","ppvisitednodes":{"value":3604,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":44242,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":2110,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":9,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":7,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":55567,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":4,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 277.557 1 -total"," 45.30% 125.735 6 Szablon:Szablon_nawigacyjny"," 43.62% 121.063 1 Szablon:Teoria_grup"," 24.37% 67.647 1 Szablon:Kontrola_autorytatywna"," 13.45% 37.323 6 Szablon:Zobacz_też"," 13.03% 36.179 7 Szablon:Dmbox"," 8.81% 24.461 7 Szablon:Ikona"," 5.52% 15.331 1 Szablon:Uwagi"," 4.01% 11.136 1 Szablon:Spis_treści"," 1.64% 4.550 1 Szablon:Osobny_artykuł"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.143","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":2080352,"limit":52428800},"limitreport-logs":"\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\nrequired = table#1 {\n}\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-6df8dbf59d-5cmck","timestamp":"20250330134329","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Podgrupa","url":"https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Podgrupa","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q466109","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q466109","author":{"@type":"Organization","name":"Wsp\u00f3\u0142tw\u00f3rcy projekt\u00f3w Fundacji Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2003-05-28T15:20:11Z","headline":"podzbi\u00f3r grupy r\u00f3wnie\u017c b\u0119d\u0105cy grup\u0105 ze wzgl\u0119du na to samo dzia\u0142anie"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

Podgrupa – Wikipedia, wolna encyklopedia