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title="このIPアドレスからなされた編集の一覧 [y]" accesskey="y"><span>投稿記録</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8" title="このIPアドレスからなされた編集についての議論 [n]" accesskey="n"><span>トーク</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="サイト"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="目次" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" 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class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>循環節</span> </div> </a> <ul id="toc-循環節-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-他の小数との比較" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#他の小数との比較"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>他の小数との比較</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-他の小数との比較-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>他の小数との比較サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-他の小数との比較-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-有限小数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#有限小数"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>有限小数</span> </div> </a> <ul id="toc-有限小数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-無理数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#無理数"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>無理数</span> </div> </a> <ul id="toc-無理数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-表記法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#表記法"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>表記法</span> </div> </a> <ul id="toc-表記法-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-分数表現との関係" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#分数表現との関係"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>分数表現との関係</span> </div> </a> <ul id="toc-分数表現との関係-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-循環節の長さ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" 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class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#N進法による差異"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>N進法による差異</span> </div> </a> <ul id="toc-N進法による差異-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-循環節の求め方" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#循環節の求め方"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>循環節の求め方</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-循環節の求め方-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>循環節の求め方サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-循環節の求め方-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-定義に則った方法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#定義に則った方法"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>定義に則った方法</span> </div> </a> <ul id="toc-定義に則った方法-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-筆算" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#筆算"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>筆算</span> </div> </a> <ul id="toc-筆算-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-素数の逆数の場合" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#素数の逆数の場合"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.3</span> <span>素数の逆数の場合</span> </div> </a> <ul id="toc-素数の逆数の場合-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-注釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#注釈"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>注釈</span> </div> </a> <ul id="toc-注釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>出典</span> </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>参考文献</span> </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>関連項目</span> </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-外部リンク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#外部リンク"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>外部リンク</span> </div> </a> <ul id="toc-外部リンク-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">目次の表示・非表示を切り替え</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">循環小数</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="特定の記事の別の言語版に移動します。利用可能な言語32件" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-32" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive 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href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_decimal_peri%C3%B2dic" title="カタロニア語: Nombre decimal periòdic" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Nombre decimal periòdic" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="カタロニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Perioda_(matematika)" title="チェコ語: Perioda (matematika)" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Perioda (matematika)" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="チェコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE%B5%CF%81%CE%B9%CE%BF%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="ギリシャ語: Περιοδικός αριθμός" lang="el" hreflang="el" data-title="Περιοδικός αριθμός" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="ギリシャ語" 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data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="バスク語" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D9%87%E2%80%8C%D8%AF%D9%87%DB%8C_%D9%85%D8%AA%D9%86%D8%A7%D9%88%D8%A8" title="ペルシア語: ده‌دهی متناوب" lang="fa" hreflang="fa" data-title="ده‌دهی متناوب" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="ペルシア語" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Jaksollinen_desimaaliluku" title="フィンランド語: Jaksollinen desimaaliluku" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Jaksollinen desimaaliluku" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="フィンランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal_p%C3%A9riodique" title="フランス語: Développement décimal périodique" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Développement décimal périodique" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Decimal_peri%C3%B3dico" title="ガリシア語: Decimal periódico" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Decimal periódico" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="ガリシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%91%D7%A8_%D7%9E%D7%97%D7%96%D7%95%D7%A8%D7%99" title="ヘブライ語: שבר מחזורי" lang="he" hreflang="he" data-title="שבר מחזורי" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ヘブライ語" 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title="パンジャブ語: ਵਾਰਵਾਰੀ ਇਸ਼ਾਰੀਆ" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਵਾਰਵਾਰੀ ਇਸ਼ਾਰੀਆ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="パンジャブ語" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/U%C5%82amek_dziesi%C4%99tny_niesko%C5%84czony" title="ポーランド語: Ułamek dziesiętny nieskończony" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Ułamek dziesiętny nieskończony" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/D%C3%ADzima_peri%C3%B3dica" title="ポルトガル語: Dízima periódica" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Dízima periódica" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="ポルトガル語" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B4%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D1%8C" title="ロシア語: Периодическая десятичная дробь" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Периодическая десятичная дробь" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal" title="シンプル英語: Repeating decimal" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Repeating decimal" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Peri%C3%B3da_(matematika)" title="スロバキア語: Perióda (matematika)" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Perióda (matematika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="スロバキア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Deseti%C5%A1ki_ulomek" title="スロベニア語: Desetiški ulomek" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Desetiški ulomek" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AE%E0%AF%80%E0%AE%B3%E0%AF%81%E0%AE%AE%E0%AF%8D_%E0%AE%A4%E0%AE%9A%E0%AE%AE%E0%AE%99%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AE%B3%E0%AF%8D" title="タミル語: மீளும் தசமங்கள்" lang="ta" hreflang="ta" data-title="மீளும் தசமங்கள்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="タミル語" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A8%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%A2%E0%B8%A1%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%B3" title="タイ語: ทศนิยมซ้ำ" lang="th" hreflang="th" data-title="ทศนิยมซ้ำ" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="タイ語" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Devirli_say%C4%B1" title="トルコ語: Devirli sayı" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Devirli sayı" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="トルコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%84%D8%A7%D9%85%D8%B9%DB%8C%D8%AF_%D8%A7%D8%B9%D8%B4%D8%A7%D8%B1%DB%8C%DB%81" title="ウルドゥー語: لامعید اعشاریہ" lang="ur" hreflang="ur" data-title="لامعید اعشاریہ" data-language-autonym="اردو" 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<span lang="en" class="texhtml">0.142857…</span>）。<span lang="en" class="texhtml">7</span> は基数 <span lang="en" class="texhtml">10</span> の<a href="/wiki/%E7%B4%84%E6%95%B0" title="約数">約数</a>には含まれないため、<span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">7</span></span></span> は十進法で循環小数となる。</figcaption></figure> <p><span style="speak:none" aria-hidden="true"><b>循環小数</b></span>（じゅんかんしょうすう、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">recurring decimal</span>、<span lang="en">repeating decimal</span>）とは、<a href="/wiki/%E5%B0%8F%E6%95%B0%E7%82%B9" title="小数点">小数点</a>以下のある桁から先で同じ<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%97" title="数字">数字</a>の列が無限に繰り返される<a href="/wiki/%E5%B0%8F%E6%95%B0" title="小数">小数</a>のことである。繰り返される数字の列を<b>循環節</b>という。 </p><p>循環小数の循環節は上線（<span lang="en" class="texhtml">0.1<span style="text-decoration-line:overline">23</span></span>）や下線（<span lang="en" class="texhtml">0.1<span style="text-decoration-line: underline;">23</span></span>）などを用いて示される（<a href="#表記法">#表記法</a>を参照）。 </p><p>循環小数は、<a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%95%B0" title="基数">基数</a>と共通でない<a href="/wiki/%E7%B4%84%E6%95%B0" title="約数">因数</a>を含む<a href="/wiki/%E5%88%86%E6%AF%8D" class="mw-redirect" title="分母">分母</a>を持つ<a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a>の<a href="/wiki/%E5%88%86%E6%95%B0" title="分数">分数</a>に対応する。例えば基数を <span lang="en" class="texhtml">10 (= 2 × 5)</span> とした場合、<span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">5</span></span> (= 0.2)</span>, <span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">7</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">125</span></span> (= 0.056)</span> などは循環小数にならないが、<span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">7</span></span> (= 0.142857...)</span>, <span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">35</span></span> (= 0.0285714...)</span> は循環小数となる。 </p><p>また循環小数は、対応する分数の分母と基数が<a href="/wiki/%E4%BA%92%E3%81%84%E3%81%AB%E7%B4%A0_(%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96)" title="互いに素 (整数論)">互いに素</a>かどうかで分類でき、分母と基数が互いに素なものを<b>純循環小数</b><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>注 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>、それ以外のものを<b>混合循環小数</b><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>注 2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>と呼ぶ<sup id="cite_ref-FOOTNOTEHardy1929784_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEHardy1929784-3"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。また整数分数の分母が基数の素因数の積となる場合、それは循環小数とならず<a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%B0%8F%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="有限小数">有限小数</a>で表される<sup id="cite_ref-FOOTNOTEHardy1929784_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEHardy1929784-3"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>ある循環小数の循環節が小数第一位から始まる場合、それは純循環小数となり、循環節が小数第二位以降で始まる場合、それは混合循環小数となる。混合循環小数は冒頭の循環していない<a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%B0%8F%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="有限小数">有限小数</a>部分とそれ以降の循環小数の二つに分離して考えることができる<sup id="cite_ref-FOOTNOTE吉田201014_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE吉田201014-4"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="循環節"><span id=".E5.BE.AA.E7.92.B0.E7.AF.80"></span>循環節</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=1" title="節を編集: 循環節"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>循環小数の<b>循環節</b>とは、小数部分の周期的な数列の中で最小の長さものである。例えば <span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">3</span></span> = 0.3333…</span> は、数列 33 や数列 333 が連続して現れる小数と見なせるが、循環節は最小の数列 3 となる。 </p><p>循環節の末尾は 0 になり得る。例えば、 <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">2<sup>6</sup></span><span class="sr-only">/</span><span class="den">3<sup>3</sup></span></span> = <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">64</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">27</span></span> = 2.370370… の循環節は 370 となる。 </p><p>循環節の先頭は小数第二位以降に現れ得る。例えば、十進法の <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">5</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">108</span></span> = 0.04629629… の循環節は、小数第三位からの 629 となる。 </p><p>ある数が有限小数で表せるかは基数に依存し、既約分数の分母が基数の<a href="/wiki/%E5%86%AA" class="mw-redirect" title="冪">冪</a>を割り切れる場合のみ、その数は有限小数として表され得る。したがって、ある既約分数が循環小数で表示されるかもまた基数に依存している。例えば <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">5</span></span> は、十進法では有限小数 0.2 で表されるが、<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%80%B2%E6%B3%95" title="二進法">二進法</a>では循環小数 0.00110011… で表される。 </p><p>また有限小数は、末尾の桁の後ろに 0 を無限に並ぶと見なせば、形式的に循環小数と見なせる。同様に、<a href="/wiki/0.999..." title="0.999...">0.999...</a> などの数列を用いて、有限小数を循環小数に書き換えることもできる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="他の小数との比較"><span id=".E4.BB.96.E3.81.AE.E5.B0.8F.E6.95.B0.E3.81.A8.E3.81.AE.E6.AF.94.E8.BC.83"></span>他の小数との比較</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=2" title="節を編集: 他の小数との比較"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="有限小数"><span id=".E6.9C.89.E9.99.90.E5.B0.8F.E6.95.B0"></span>有限小数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=3" title="節を編集: 有限小数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>循環小数（無限小数）の循環節が「0」もしくは「9」の場合は、どちらも実質的には有限小数となる。一般に、正の<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>について、有限小数は二種類の循環小数で表せ、逆に、二通りに小数表示できるのはその一方が有限小数である場合に限る。 </p><p>一つには、循環節は 0（0桁という意味でなく、繰り返し単位が「0」）と考えることができる。もう一つは、有限小数の（0 でない）末尾を 1 減らし、それよりあとの位を全て「基数 − 1」にするというものである。 </p><p>例えば、1 は 1.0000… と表せ、これは循環節が 0 の循環小数である。一方、末尾の 1 を 1 減らして 0 にし、それよりあとを全て 9 にした <a href="/wiki/0.999..." title="0.999...">0.999...</a> に等しいとも考えられる。これは循環節が <a href="/wiki/9" title="9">9</a> の循環小数となる。 </p><p>0.9999… = 1 は以下のように証明できる。 </p> <dl><dd><span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>x</i> = 0.9999…</span></span>とする。</dd> <dd><span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">10<i>x</i> = 9.9999…</span></span></dd> <dd><span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">10<i>x</i> − <i>x</i> = 9.9999… − 0.9999…</span></span></dd> <dd><span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">9<i>x</i> = 9</span></span></dd> <dd><span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> = 1</span></dd></dl> <p>同じく、<a href="/wiki/%E5%8D%81%E4%BA%8C%E9%80%B2%E6%B3%95" title="十二進法">十二進法</a>の <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">3</span></span> は小数表示が 0.4 であるが、これは 0.4000… ということであり、循環節が 0 の循環小数である。一方、0.3BBB… とも考えられ、これは循環節が <a href="/wiki/B" title="B">B</a>（<a href="/wiki/11" title="11">十一</a>）の循環小数となる。 </p><p>同様に、<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E5%8D%81%E9%80%B2%E6%B3%95" title="二十進法">二十進法</a>の <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">5</span></span> も通常 0.4 と表すが、これは 0.4000… ということであり、循環節が 0 の循環小数である。一方、0.3JJJ… とも考えられ、これは循環節が <a href="/wiki/J" title="J">J</a>（<a href="/wiki/19" title="19">十九</a>）の循環小数となる。 </p><p>有理数が有限小数表示を持つのは、<a href="/wiki/%E5%8D%81%E9%80%B2%E6%B3%95" title="十進法">十進法</a>表示なら、分母の素因数が <a href="/wiki/2" title="2">2</a>, <a href="/wiki/5" title="5">5</a> のみであるとき<a href="/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4#必要十分条件" title="同値">に限る</a>。一般の <a href="/wiki/%E4%BD%8D%E5%8F%96%E3%82%8A%E8%A8%98%E6%95%B0%E6%B3%95" title="位取り記数法"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">N</span>進法</a>表示では、分母の素因数が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">N</span> の素因数になっていることである。例えば、十八進法なら分母の素因数が <a href="/wiki/2" title="2">2</a>, <a href="/wiki/3" title="3">3</a> のみであるときである。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="無理数"><span id=".E7.84.A1.E7.90.86.E6.95.B0"></span>無理数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=4" title="節を編集: 無理数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>循環小数によって表される数は、整数の分数としても表すことができ、<a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" title="有理数">有理数</a>に含まれる。他方、有限でない非循環小数で表される数が存在し、これらは有理数に含まれない。<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>のうち有理数に含まれない数を<a href="/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0" title="無理数">無理数</a>という<sup id="cite_ref-FOOTNOTE小平200314–15_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE小平200314–15-5"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。無理数の例には<a href="/wiki/2%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9" title="2の平方根">2の平方根</a>や<a href="/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87" title="円周率">円周率</a>が挙げられる。<a href="#有限小数">前述の通り</a>有限小数も循環小数で表すことができ、<a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" title="有理数">有理数</a>はすべて循環小数で表せるが、反対に循環小数で表せる実数は有理数に限る<sup id="cite_ref-FOOTNOTE小平20035_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE小平20035-6"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="表記法"><span id=".E8.A1.A8.E8.A8.98.E6.B3.95"></span>表記法</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=5" title="節を編集: 表記法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>循環節を示す方法として以下の方法がしばしば用いられる： </p> <ul><li>循環節の先頭と末尾の数に点をつける（例：<span lang="en" class="texhtml">0.12<span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;">3</span></span></span>4<span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;">5</span></span></span></span>）</li> <li>循環節全体に<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3" title="オーバーライン">上線</a>をつける（例：<span lang="en" class="texhtml">0.12<span style="text-decoration-line:overline">345</span></span>）</li> <li>循環節全体に<a href="/wiki/%E4%B8%8B%E7%B7%9A" title="下線">下線</a>をつける（例：<span lang="en" class="texhtml">0.12<span style="text-decoration-line: underline;">345</span></span>）</li> <li>循環節全体を<a href="/wiki/%E6%8B%AC%E5%BC%A7" title="括弧">括弧</a>でくくる（例：<span lang="en" class="texhtml">0.12(345)</span>）</li></ul> <p>規約として、循環節は小数部から始まるようにする。例えば <span lang="en" class="texhtml">123.<span style="text-decoration-line:overline">123</span></span> を <span lang="en" class="texhtml"><span style="text-decoration-line:overline">123</span></span> とは書かない。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="分数表現との関係"><span id=".E5.88.86.E6.95.B0.E8.A1.A8.E7.8F.BE.E3.81.A8.E3.81.AE.E9.96.A2.E4.BF.82"></span>分数表現との関係</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=6" title="節を編集: 分数表現との関係"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>無限小数は、厳密には<a href="/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90" title="極限">極限</a>の概念を用いて定義される。特に、循環小数が表す数は無限等比級数、すなわち<a href="/wiki/%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97" title="等比数列">等比数列</a>の和の極限と見なすことができ、ゆえに有理数である。例えば、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2.{\dot {4}}2{\dot {3}}=2+{\frac {423}{10^{3}}}+{\frac {423}{10^{6}}}+{\frac {423}{10^{9}}}+\cdots =2+{\frac {423}{10^{3}-1}}=2+{\frac {47}{111}}={\frac {269}{111}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2.</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>4</mn> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>3</mn> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>423</mn> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>423</mn> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>423</mn> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>9</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>423</mn> <mrow> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>47</mn> <mn>111</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>269</mn> <mn>111</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2.{\dot {4}}2{\dot {3}}=2+{\frac {423}{10^{3}}}+{\frac {423}{10^{6}}}+{\frac {423}{10^{9}}}+\cdots =2+{\frac {423}{10^{3}-1}}=2+{\frac {47}{111}}={\frac {269}{111}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb571db6fee19e08b7b8f93b69d2ed308f2b64d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:70.779ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle 2.{\dot {4}}2{\dot {3}}=2+{\frac {423}{10^{3}}}+{\frac {423}{10^{6}}}+{\frac {423}{10^{9}}}+\cdots =2+{\frac {423}{10^{3}-1}}=2+{\frac {47}{111}}={\frac {269}{111}}}"></span></dd></dl> <p>である。 </p><p>一般には、冒頭の循環していない有限小数部分を分離し <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span> とおき、循環部分の循環節の部分だけ取り出した小数部分を <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">b</span>、循環節の長さを <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> とすれば </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+b\left(1+{\frac {1}{10^{n}}}+{\frac {1}{10^{2n}}}+{\frac {1}{10^{3n}}}+\cdots \right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b\left(1+{\frac {1}{10^{n}}}+{\frac {1}{10^{2n}}}+{\frac {1}{10^{3n}}}+\cdots \right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111a793c20f7d6b5a1310e4925fa7e5b08a8b9dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:38.906ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle a+b\left(1+{\frac {1}{10^{n}}}+{\frac {1}{10^{2n}}}+{\frac {1}{10^{3n}}}+\cdots \right)}"></span></dd></dl> <p>となる。ところで、級数部分の総和は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {1}{10^{n}}}}}={\frac {10^{n}}{10^{n}-1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {1}{10^{n}}}}}={\frac {10^{n}}{10^{n}-1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1134c6646bb736eed8be37973577889b5f9d1e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:19.765ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {1}{10^{n}}}}}={\frac {10^{n}}{10^{n}-1}}}"></span></dd></dl> <p>であるから </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+b\left({\frac {10^{n}}{10^{n}-1}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b\left({\frac {10^{n}}{10^{n}-1}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65905d1259c35cf4ea772022bfb62558dd0d941e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.258ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle a+b\left({\frac {10^{n}}{10^{n}-1}}\right)}"></span></dd></dl> <p>となることが分かる。この方法をロバートソン (J.Robertson, 1712-1776) の方法という<sup id="cite_ref-FOOTNOTE吉田201014_4-1" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE吉田201014-4"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>やや厳密さに欠ける説明として、以下のようなものがある。 </p> <dl><dd><i>x</i> = 2.423423423…</dd></dl> <p>とおく。両辺を1000倍すると、「1000倍すると小数点は3桁右に移動するから」 </p> <dl><dd>1000<i>x</i> = 2423.423423…</dd></dl> <p>辺々引くと「循環部分が打ち消しあって」 </p> <dl><dd>999<i>x</i> = 2421</dd></dl> <p>となる。よって、<i>x</i> = <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">269</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">111</span></span> が分かる。「」の主張が正しいことが曖昧であるが、無限等比級数の値の計算と同等であることからこの計算は正当化される。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="循環節の長さ"><span id=".E5.BE.AA.E7.92.B0.E7.AF.80.E3.81.AE.E9.95.B7.E3.81.95"></span>循環節の長さ</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=7" title="節を編集: 循環節の長さ"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>自然数の逆数の循環節の長さについて、ある長さとなるような最小の自然数を、循環節の長さを0から小さい順に並べると </p><p>1, 3, 11, 27, 101, 41, 7, 239, 73, 81, 451, 21649, 707, 53, 2629, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 511, 21401, 583, 243, 29, 3191, 211, 2791, 353, 67, 103, 71, 1919, 2028119, 909090909090909091, … </p><p>である(<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E6%95%B4%E6%95%B0%E5%88%97%E5%A4%A7%E8%BE%9E%E5%85%B8" title="オンライン整数列大辞典">オンライン整数列大辞典</a>の数列 <a rel="nofollow" class="external text" href="//oeis.org/A003060">A003060</a>)。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="素数の逆数"><span id=".E7.B4.A0.E6.95.B0.E3.81.AE.E9.80.86.E6.95.B0"></span>素数の逆数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=8" title="節を編集: 素数の逆数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>2 と 5<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>（一般には、<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E5%8F%96%E3%82%8A%E8%A8%98%E6%95%B0%E6%B3%95#概要" title="位取り記数法">基数</a>の約数たる素数）以外の素数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span> の逆数の循環節の長さは、<span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>p</i> − 1</span></span> の<a href="/wiki/%E7%B4%84%E6%95%B0" title="約数">約数</a>である。有限小数の循環節の長さを1とするなら、2 と 5（基数の約数たる素数）もこの条件を満たす。 </p><p>このことは、<span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><i>p</i></span></span></span> の循環節の長さが <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">k</span> であることと、<span lang="en" class="texhtml">10<sup><i>k</i></sup> ≡ 1 (mod <i>p</i>)</span> が<a href="/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4" title="同値">同値</a>であることから、初等的な<a href="/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="群 (数学)">群論</a>より導かれる。 </p><p>これがちょうど <span lang="en" class="texhtml"><i>p</i> − 1</span> となるような素数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span> は、小さな順より（2 と 5 を除いて） </p> <dl><dd>7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, …</dd></dl> <p>である(<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E6%95%B4%E6%95%B0%E5%88%97%E5%A4%A7%E8%BE%9E%E5%85%B8" title="オンライン整数列大辞典">オンライン整数列大辞典</a>の数列 <a rel="nofollow" class="external text" href="//oeis.org/A1913">A1913</a>)。このような <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span> に対する <span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><i>p</i></span></span></span> の循環節は、<a href="/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E6%95%B0" title="巡回数">巡回数</a>となる。例えば、<span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">7</span></span></span> の循環節 <a href="/wiki/142857" title="142857">142857</a> や、<span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">17</span></span></span> の循環節 0588235294117647 は巡回数である。素数を、分母とする数の循環節が<a href="/wiki/%E5%A5%87%E6%95%B0" title="奇数">奇数</a>のものと<a href="/wiki/%E5%81%B6%E6%95%B0" title="偶数">偶数</a>のものに分けると、<span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">2</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">3</span></span></span> が偶数、<span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">3</span></span></span> が奇数である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="一般の有理数"><span id=".E4.B8.80.E8.88.AC.E3.81.AE.E6.9C.89.E7.90.86.E6.95.B0"></span>一般の有理数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=9" title="節を編集: 一般の有理数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E4%BD%8D%E5%8F%96%E3%82%8A%E8%A8%98%E6%95%B0%E6%B3%95" title="位取り記数法"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">N</span>進法</a>表示においてq桁の、<a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%88" title="レピュニット">レピュニット</a>111...と999...(一般にはN<sup>q</sup>-1)の逆数の形の循環節の長さはq桁である。また有理数を整数倍したり、分母の数に対して基数に含まれる<a href="/wiki/%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0" title="素因数">素因数</a>を掛けた場合、循環節の長さが増すことはない。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="N進法による差異"><span id="N.E9.80.B2.E6.B3.95.E3.81.AB.E3.82.88.E3.82.8B.E5.B7.AE.E7.95.B0"></span>N進法による差異</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=10" title="節を編集: N進法による差異"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dt>必ず循環小数になる例</dt></dl> <p>N進法表示において、<span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><i>N</i> − 1</span></span></span> の小数は必ず 0.<u>1</u>111… になる。<a href="/wiki/%E4%B9%9D%E9%80%B2%E6%B3%95" title="九進法">九進法</a>の場合 <a href="/wiki/1/8" title="1/8"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">8</span></span></a> が 0.<u>1</u>111… になり、<a href="/wiki/%E5%8D%81%E9%80%B2%E6%B3%95" title="十進法">十進法</a>の場合 <a href="/wiki/1/9" title="1/9"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">9</span></span></a> が 0.<u>1</u>111… になる。 </p> <ul><li>乗算表の最後に来る (10-1)<sup>2</sup> の<a href="/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0" title="逆数">逆数</a>は、整数第二位に来る数が抜けて、(10-1)桁の循環小数になる。例えば、<a href="/wiki/%E5%85%AD%E9%80%B2%E6%B3%95" title="六進法">六進法</a>の場合「五五・<a href="/wiki/25" title="25">四六一</a>」なので 5<sup>2</sup> の逆数は <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">41</span></span> = 0.<u>01235</u>… となり、4が抜けて循環節は5桁になる。九進法の場合「八八・<a href="/wiki/64" title="64">七九一</a>」なので 8<sup>2</sup> の逆数は <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">71</span></span> = 0.<u>01234568</u>… となり、7が抜けて循環節は8桁になる。</li> <li>複数桁で一の位が1の数を逆数にすると、循環小数になる。例えば、<a href="/wiki/%E5%8D%81%E4%BA%8C%E9%80%B2%E6%B3%95" title="十二進法">十二進法</a>の場合 <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><a href="/wiki/37" title="37">31</a></span></span> = 0.<u>03A85232B</u>… になり、<a href="/wiki/%E5%8D%81%E5%85%AD%E9%80%B2%E6%B3%95" title="十六進法">十六進法</a>の場合 <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><a href="/wiki/33" title="33">21</a></span></span> = 0.<u>07C1F</u>… になる。</li></ul> <dl><dt>循環節が短くなる例</dt></dl> <p>循環節の短さは、10 −1 ならびに 10<sup><i>n</i></sup> − 1 を<a href="/wiki/%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3" title="素因数分解">素因数分解</a>した時にどんな数が来るかによって決まる。 </p> <ul><li><a href="/wiki/2%E3%81%AE%E5%86%AA" title="2の冪">2<sup>−<i>n</i></sup></a> では九進法 (10 − 1 = 8 = <b>2</b><sup>3</sup>) が、<a href="/wiki/3%E3%81%AE%E5%86%AA" title="3の冪">3<sup>−<i>n</i></sup></a> では十進法（10 − 1 = 9 = <b>3</b><sup>2</sup>）が、5<sup>−<i>n</i></sup> では六進法 (10 − 1 = <b>5</b>) が、それぞれ循環節が最も短くなる。</li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%81%E5%85%AB%E9%80%B2%E6%B3%95" title="十八進法">十八進法</a>では、100 − 1 = HH = <b><a href="/wiki/17" title="17">H</a></b>×<b><a href="/wiki/19" title="19">11</a></b>、1000-1 = HHH = <b><a href="/wiki/7" title="7">7</a></b><sup>3</sup>×H、10000 − 1 = HHHH = <b><a href="/wiki/5" title="5">5</a></b><sup>2</sup>×<b><a href="/wiki/13" title="13">D</a></b>×H×11 となる。従って、5 は2乗までが4桁、7 は3乗までが3桁、D も4桁となり、12 (= 4×5) までの素数のうち、<a href="/wiki/11" title="11">B</a> が十桁になる以外は全て循環節が4桁以下になる。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="循環節の求め方"><span id=".E5.BE.AA.E7.92.B0.E7.AF.80.E3.81.AE.E6.B1.82.E3.82.81.E6.96.B9"></span>循環節の求め方</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=11" title="節を編集: 循環節の求め方"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="定義に則った方法"><span id=".E5.AE.9A.E7.BE.A9.E3.81.AB.E5.89.87.E3.81.A3.E3.81.9F.E6.96.B9.E6.B3.95"></span>定義に則った方法</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=12" title="節を編集: 定義に則った方法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>最も素朴には、充分な桁数の小数表記を求め、その周期を見つける。同様に、有限小数の桁数も、素因数分解した時の大きい方の冪指数によって決まる。 </p><p>ただし、同じ数字の並びが現れてもより長い周期の一部かもしれない（たとえば <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1212123</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">9999999</span></span> = 0.<u>1212123</u> の循環節を 12 と求めてしまうかもしれない）ので、循環節の長さの上限を事前に知っておかなければならず、それだけの桁数まで求めて初めて、循環節を求められる。上限としては<a href="#一般の有理数">#一般の有理数</a>にて挙げたものがあるほか、「分母 − 1」が使える。 </p> <dl><dt>例1</dt> <dd>十進数の <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">3456</span></span> の循環節は、素因数分解すると3456 = 2<sup>7</sup>×3<sup>3</sup> なので、7桁の後に3桁の循環節が来る。よって、<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">3456</span></span> = 0.0002893<u>518</u>… となる。</dd> <dd>一方で、十進数の 3456 は六進数の場合 24000 だが、素因数分解すると 24000 = 2<sup>11</sup>×3<sup>3</sup> となるので、分子が 3<sup>4</sup>で、11<sub>6</sub>桁 = 7桁の有限小数になる。よって、<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">24000</span></span> = 0.0000213 となる。</dd></dl> <dl><dt>例2</dt> <dd>十進数の <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">891</span></span> の循環節は、891 = 3<sup>4</sup>×11 なので、3<sup>-4</sup> と <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">11</span></span> の循環節の長さを掛けたものになる。十進数では 3<sup>-4</sup> は 3<sup>2</sup> 桁、<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">11</span></span> は2桁の循環節なので、3<sup>2</sup>×2 = 18<sub>10</sub>桁の循環小数になる。よって <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">891</span></span> = 0.<u>001122334455667789</u>… となる。</dd> <dd>一方で、十進数の 891 は十八進数の場合 2D9 で、素因数分解は 2D9 = 3<sup>4</sup>×B となる。10 = 2×3<sup>2</sup> なので、<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">B</span></span> の循環節は 10<sub>10</sub>桁に対して、3<sup>−4</sup> は 4桁ではなく2桁に縮まり、2桁の後に 10<sub>10</sub>桁の循環節が来る。よって、<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">2D9</span></span> = 0.00<u>69ED1B834G</u>… となる。</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="筆算"><span id=".E7.AD.86.E7.AE.97"></span>筆算</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=13" title="節を編集: 筆算"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E9%99%A4%E7%AE%97" class="mw-redirect" title="除算">割り算</a>を<a href="/wiki/%E7%AD%86%E7%AE%97" title="筆算">筆算</a>で求めれば、余りに同じ数が現れた時点で、繰り返しに入ったことがわかる。例えば、<a href="/wiki/%E5%8D%81%E9%80%B2%E6%B3%95" title="十進法">十進法</a>の <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><a href="/wiki/7" title="7">7</a></span></span> を小数表示する場合、次のような計算を行う。 </p> <pre> <u> 0.142857</u> 7 ) 1.000000 <u>7</u> 30 <u>28</u> 20 <u>14</u> 60 <u>56</u> 40 <u>35</u> 50 <u>49</u> <b>1</b> </pre> <p>これ以降は同じ計算の繰り返しとなるので、<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">7</span></span> = 0.<u>142857</u> であることが分かる。この例では、1 を 7 で割った商と余りを計算することを繰り返している。 </p><p>別の<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E5%8F%96%E3%82%8A%E8%A8%98%E6%95%B0%E6%B3%95" title="位取り記数法">N進法</a>でも、筆算によって循環小数が現れる。<a href="/wiki/%E5%85%AD%E9%80%B2%E6%B3%95" title="六進法">六進法</a>の <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">41</span></span>（= <a href="/wiki/5" title="5">5</a><sup>-2</sup> = 十進法の <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><a href="/wiki/25" title="25">25</a></span></span>）を筆算で小数表示する場合、次のような計算を行う。 </p> <pre> <u> 0.01235</u> 41 ) 1.00000 <u>41</u> 150 <u>122</u> 240 <u>203</u> 330 <u>325</u> <b>1</b> </pre> <p>これ以降は同じ計算の繰り返しとなるので、<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">41</span></span> = 0.<u>01235</u> であることが分かる。この例では、整数を 41 で割った商と余りを計算することを繰り返している。 </p><p>被除数が1以外の場合も、同じように筆算で循環小数が現れる。割り切れる例も併載する。例として、被除数を 2<sup>8</sup>、除数を 3<sup>3</sup>とする。 </p><p><a href="/wiki/%E5%8D%81%E5%85%AD%E9%80%B2%E6%B3%95" title="十六進法">十六進法</a>の 100 ÷ 1B（2<sup>8</sup> ÷ 3<sup>3</sup>、十進法の場合 <a href="/wiki/256" title="256">256</a> ÷ <a href="/wiki/27" title="27">27</a>） </p> <pre> <u> 9.7B425ED097B</u> 1B ) 100.00000000000 <u>F3</u> D 0 <u>B D</u> 1 30 <u>1 29</u> 70 <u>6C</u> 40 <u>36</u> A0 <u>87</u> 190 <u>17A</u> 160 <u>15F</u> <b>100</b> <u>F3</u> D0 <u>BD</u> 130 <u>129</u> 7 </pre> <p>被除数が除数より大きい例だが、整数部分を含めて「97B」が2回現れているので、これ以降は同じ計算の繰り返しとなり、100÷1B = 9.<u>7B425ED09</u> となり、小数部分は9桁の「7B425ED09」が繰り返されることが分かる。この割り切れない「0.7B425ED09」を分数化すると、十六進法で <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">D</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">1B</span></span>、十進法で <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">13</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">27</span></span> となる。 </p><p>六進法の 1104 ÷ 43（六進冪指数の場合 2<sup>12</sup> ÷ 3<sup>3</sup>、十進法の場合 256 ÷ 27） </p> <pre> <u> 13.252</u> 43 ) 1104.000 <u>43</u> 234 <u>213</u> 21 0 <u>13 0</u> 4 00 <u>3 43</u> 130 <u>130</u> 0 </pre> <p>小数部分が3桁の「252」で終わって、1104÷43 = 13.252 となる。割り切れる小数「0.252」に相当する六進分数 <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">252</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">1000</span></span> は、十六進法で <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">68</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">D8</span></span>、十進法で <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num"><a href="/wiki/104" title="104">104</a></span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><a href="/wiki/216" title="216">216</a></span></span> となり、既約分数にすると六進法で <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">21</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">43</span></span>、十六進法で <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">D</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">1B</span></span>、十進法で <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">13</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">27</span></span> となる。 </p><p>一般に、<i>a</i> を <i>b</i> で割る筆算では、ある整数を <i>b</i> で割った商と余りを計算することを繰り返すが、<i>b</i> で割った余りは 0 から <i>b</i> − 1 の <i>b</i> 通りしかないため、余りが 0 になって計算が終わるのでなければ、必ずどこかで同じ余りが出現して同じ計算の繰り返しとなる。ゆえに、有理数を小数表示すると循環小数になる。この方法では循環節の長さの上限を事前に知っておく必要はないが、「分母 − 1」以下であることがこれによりわかる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="素数の逆数の場合"><span id=".E7.B4.A0.E6.95.B0.E3.81.AE.E9.80.86.E6.95.B0.E3.81.AE.E5.A0.B4.E5.90.88"></span>素数の逆数の場合</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=14" title="節を編集: 素数の逆数の場合"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>基数に素因数として含まれない素数 <i>p</i> の逆数に対しては、循環節を <i>m</i> 桁とすると 10<sup><i>m</i></sup> － 1 は <i>p</i> で割り切れ、商が循環節となるので、<i>p</i> － 1 の約数それぞれに対し 10<sup><i>m</i></sup> － 1 が <i>p</i> で割り切れるかを試せばよい。<i>m</i> が小さい順に試せば、計算量を節約できる（たとえば <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r89142581">.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}</style><span class="frac" role="math"><span class="num">1</span>⁄<span class="den">3</span></span> = 0.333… に対しては 3 (<i>m</i> = 1) も 33 (<i>m</i> = 2) もこれを満たすので、小さい順でなければならない）。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="注釈"><span id=".E6.B3.A8.E9.87.88"></span>注釈</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=15" title="節を編集: 注釈"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">pure recurring decimal</span></span> </li> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">mixed recurring decimal</span></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=16" title="節を編集: 出典"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-FOOTNOTEHardy1929784-3">^ <a href="#cite_ref-FOOTNOTEHardy1929784_3-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTEHardy1929784_3-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFHardy1929">Hardy 1929</a>, p. 784.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE吉田201014-4">^ <a href="#cite_ref-FOOTNOTE吉田201014_4-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTE吉田201014_4-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF吉田2010">吉田 2010</a>, p. 14.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE小平200314–15-5"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTE小平200314–15_5-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF小平2003">小平 2003</a>, pp. 14–15.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE小平20035-6"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTE小平20035_6-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF小平2003">小平 2003</a>, p. 5.</span> </li> <li id="cite_note-7"><b><a href="#cite_ref-7">^</a></b> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://math.sakura.ne.jp/?action=common_download_main&upload_id=1377">循環節県立松戸高等学校広川久晴</a></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=17" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF小平2003"><a href="/wiki/%E5%B0%8F%E5%B9%B3%E9%82%A6%E5%BD%A6" title="小平邦彦">小平, 邦彦</a>『軽装版解析入門Ⅰ』<a href="/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97" title="岩波書店">岩波書店</a>、2003年4月22日。<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 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H. (1929). “An introduction to the theory of numbers”. <i>Bulletin of the American Mathematical Society</i> (American Mathematical Society) <b>35</b>: 778-818. <a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1090%2FS0002-9904-1929-04793-1">10.1090/S0002-9904-1929-04793-1</a>. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISSN" title="ISSN">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://search.worldcat.org/ja/search?fq=x0:jrnl&q=n2:1088-9485">1088-9485</a>.</cite><span class="Z3988" 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<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=19" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Repeating_Decimal"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><cite id="CITEREFWeisstein" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/RepeatingDecimal.html">"Repeating Decimal"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Repeating+Decimal&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FRepeatingDecimal.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0" class="Z3988"></span></span></li> <li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Full_Reptend_Prime"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><cite id="CITEREFWeisstein" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/FullReptendPrime.html">"Full Reptend Prime"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Full+Reptend+Prime&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FFullReptendPrime.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0" class="Z3988"></span></span></li> <li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Cyclic_Number"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><cite id="CITEREFWeisstein" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/CyclicNumber.html">"Cyclic Number"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Cyclic+Number&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FCyclicNumber.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0" class="Z3988"></span></span></li> <li>『<a rel="nofollow" class="external text" href="//kotobank.jp/word/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0">循環小数</a>』 - <a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%88%E3%83%90%E3%83%B3%E3%82%AF" title="コトバンク">コトバンク</a></li></ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" 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