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<span>循環小数と非循環小数</span> </div> </a> <ul id="toc-循環小数と非循環小数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-表示の一意性" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#表示の一意性"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>表示の一意性</span> </div> </a> <ul id="toc-表示の一意性-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-その他の分類" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#その他の分類"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.4</span> <span>その他の分類</span> </div> </a> <ul id="toc-その他の分類-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-実数の表現" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#実数の表現"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>実数の表現</span> </div> </a> <ul id="toc-実数の表現-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-小数の起源" 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href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3_decimal" title="カタロニア語: Representació decimal" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Representació decimal" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="カタロニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Desetinn%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo" title="チェコ語: Desetinné číslo" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Desetinné číslo" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="チェコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Decimal_representation" title="英語: Decimal representation" lang="en" hreflang="en" data-title="Decimal representation" data-language-autonym="English" data-language-local-name="英語" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_decimal" title="スペイン語: Representación decimal" lang="es" hreflang="es" data-title="Representación decimal" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="スペイン語" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D9%85%D8%A7%DB%8C%D8%B4_%D8%AF%D9%87%E2%80%8C%D8%AF%D9%87%DB%8C" title="ペルシア語: نمایش ده‌دهی" lang="fa" hreflang="fa" data-title="نمایش ده‌دهی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="ペルシア語" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Desimaltal" title="フェロー語: Desimaltal" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Desimaltal" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="フェロー語" 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class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1376876" title="関連付けられたデータリポジトリ項目へのリンク [g]" accesskey="g"><span>ウィキデータ項目</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ページツール"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="表示"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" 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class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ja" dir="ltr"><p><ruby class="yomigana" style="ruby-position:inline; display:inline"><rb style="display:inline; white-space:normal; font-variant-east-asian:normal"><b>小数</b></rb><span class="rp">（</span><rt style="display:inline; white-space:normal; font-size:inherit; font-variant-east-asian:normal">しょうすう</rt>、<rt style="display:inline; font-size:0px">（</rt></ruby><a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">decimal</span><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>注 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>）とは、<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E5%8F%96%E3%82%8A%E8%A8%98%E6%95%B0%E6%B3%95" title="位取り記数法">位取り記数法</a>と<a href="/wiki/%E5%B0%8F%E6%95%B0%E7%82%B9" title="小数点">小数点</a>を用いて<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>を表現するための表記法である。紀元前の中国で発明され、16世紀に欧州に伝播した。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="概要"><span id=".E6.A6.82.E8.A6.81"></span>概要</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=1" title="節を編集: 概要"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/0" title="0">0</a> 超過 <a href="/wiki/1" title="1">1</a> 未満の数を、<a href="/wiki/%E5%88%86%E6%95%B0" title="分数">分数</a>を使わずに表現する方法の一つ。1 を<a href="/wiki/%E6%A1%81" class="mw-redirect" title="桁">桁</a>の基数 N で P 回割った数の桁を、小数第 P 位として表現する。 </p><p>例えば、<a href="/wiki/%E5%8D%81%E9%80%B2%E6%B3%95" title="十進法">十進法</a>で 1425 の百分の一に相当する数は、小数と<a href="/wiki/%E5%B0%8F%E6%95%B0%E7%82%B9" title="小数点">小数点</a>（<a href="/wiki/%E7%B5%82%E6%AD%A2%E7%AC%A6" title="終止符">ピリオド</a>または<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%9E" title="コンマ">コンマ</a>）を用いて、 </p> <table cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin-left:2em;text-align:center"> <tbody><tr style="font-size:300%;line-height:1"> <td style="text-align:right">14</td> <td>.</td> <td style="text-align:left">25 </td></tr> <tr> <td>整数部</td> <td style="padding:0 1em">小数点</td> <td>小数部 </td></tr></tbody></table> <p>または、 </p> <table cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin-left:2em;text-align:center"> <tbody><tr style="font-size:300%;line-height:1"> <td style="text-align:right">14</td> <td>,</td> <td style="text-align:left">25 </td></tr> <tr> <td>整数部</td> <td style="padding:0 1em">小数点</td> <td>小数部 </td></tr></tbody></table> <p>のように表現する（なお、日本では<a href="/wiki/%E5%B0%8F%E6%95%B0%E7%82%B9" title="小数点">小数点</a>としてピリオドを用いることがほとんどである）。小数点より左を<b>整数部（分）</b>と呼んで、右から一の位、十の位の数を記述する。小数点より右は<b>小数部（分）</b>と呼んで、1 より小さい位として、左から十分の一の位、百分の一の位の数を順に記述する。上に挙げた数の場合には、十の位は「1」、一の位は「4」、十分の一の位は「2」、百分の一の位は「5」となる。より小さい数を表現する場合には、この後に「千分の一の位」や「一万分の一の位」と順に位を増やすことで対応することができる。 </p><p>小数部分の位は、小数第一位は「十分の一の位」、小数第二位は「百分の一の位」となるが、単に「小数第一位」「小数第二位」というように序数で呼ぶ例も多い。「小数点以下第 <i>P</i> 位」と呼ぶこともあるが、この場合の「以下」は小数点自体は含まずに数えることになっているので、「小数第 <i>P</i> 位」と同じである。10進数以外の他の進数の表記においても同様である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="使用例"><span id=".E4.BD.BF.E7.94.A8.E4.BE.8B"></span>使用例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=2" title="節を編集: 使用例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>以下に使用例を挙げる。小数は<a href="/wiki/%E9%95%B7%E3%81%95" title="長さ">長さ</a>や<a href="/wiki/%E8%B3%AA%E9%87%8F" title="質量">質量</a>といった細分できる量を表現したり、<a href="/wiki/%E5%89%B2%E5%90%88" title="割合">割合</a>や<a href="/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87" title="平均">平均</a>を表現するのにも用いる。 </p> <dl><dt>細分できる量</dt></dl> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BA%94%E5%86%86%E7%A1%AC%E8%B2%A8" title="五円硬貨">五円硬貨</a>の厚さは <span class="nowrap"><span data-sort-value="7000150000000000000♠"></span>1.5 ミリメートル</span>、質量は <span class="nowrap"><span data-sort-value="7000375000000000000♠"></span>3.75 グラム</span>。</li></ul> <dl><dt><a href="/wiki/%E5%89%B2%E5%90%88" title="割合">割合</a>や<a href="/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87" title="平均">平均</a></dt></dl> <ul><li><a href="/wiki/1986%E5%B9%B4" title="1986年">1986年</a>の<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%B9" title="ランディ・バース">ランディ・バース</a>の<a href="/wiki/%E6%89%93%E7%8E%87" title="打率">打率</a>は <span class="nowrap"><span data-sort-value="6999389000000000000♠"></span>0.389</span>。</li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BD%E3%81%AE%E4%BA%BA%E5%8F%A3%E5%AF%86%E5%BA%A6%E9%A0%86%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88" title="国の人口密度順リスト">国の人口密度順リスト</a>によると、<a href="/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89" title="グリーンランド">グリーンランド</a>の<a href="/wiki/%E4%BA%BA%E5%8F%A3%E5%AF%86%E5%BA%A6" title="人口密度">人口密度</a>は <span class="nowrap"><span data-sort-value="7000100000000000000♠"></span>1 平方キロメートル</span>あたり <span class="nowrap"><span data-sort-value="6998300000000000000♠"></span>0.03 人</span>である。</li> <li><a href="/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87" title="円周率">円周率</a>は円周の長さの直径に対する比率であり、<span class="nowrap"><span data-sort-value="7000314159265000000♠"></span>3.141<span style="margin-left:.25em;">592</span><span style="margin-left:.25em;">65</span>…</span>である。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="小数部の区切り"><span id=".E5.B0.8F.E6.95.B0.E9.83.A8.E3.81.AE.E5.8C.BA.E5.88.87.E3.82.8A"></span>小数部の区切り</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=3" title="節を編集: 小数部の区切り"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>国際単位系(SI)の規定では、桁の数が多い場合の読取りを容易にするため、小数部の桁数が4以上の場合は、3桁ごとに空白（通常は、半スペース（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/thin_space" class="extiw" title="en:thin space">en:thin space</a>））で区切ることになっている<sup id="cite_ref-名前なし-1_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-名前なし-1-2"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。ただし、小数部の桁数が4の場合は、3桁と1桁とに分けないのが普通である。物理学をはじめとする理学や工学の分野では、この国際単位系(SI)の規定に従った記法が使われる<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>ただし、設計図、財務諸表、コンピュータが読み取るスクリプト(script)などの特定の専門的分野では、上記のやりかたは必ずしも使われていない<sup id="cite_ref-名前なし-1_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-名前なし-1-2"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>以下は、<a href="/wiki/NIST" class="mw-redirect" title="NIST">NIST</a> SP811（<a rel="nofollow" class="external autonumber" href="https://www.nist.gov/pml/special-publication-811">[1]</a>）における例である<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <ul><li>76 483 522 とする（76,483,522　としない）</li> <li>43 279.168 29 とする（43,279.168 29 としない）</li> <li>8012 又は 8 012 とする（8,012 としない）</li> <li>0.491 722 3 の方が　0.4917223　より望ましい</li> <li>0.5947 又は 0.594 7 とする（0.59 47 としない）</li> <li>8012.5947 又は 8 012.594 7 とする（8 012.5947 や 8012.594 7 としない）</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="小数の分類"><span id=".E5.B0.8F.E6.95.B0.E3.81.AE.E5.88.86.E9.A1.9E"></span>小数の分類</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=4" title="節を編集: 小数の分類"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="有限小数と無限小数"><span id=".E6.9C.89.E9.99.90.E5.B0.8F.E6.95.B0.E3.81.A8.E7.84.A1.E9.99.90.E5.B0.8F.E6.95.B0"></span><span id="有限小数と無限小数"></span><span id="有限小数"></span><span id="無限小数"></span>有限小数と無限小数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=5" title="節を編集: 有限小数と無限小数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>有限桁の数字で表せる小数を<b>有限小数</b>と呼ぶ。一般には<a href="/wiki/%E5%88%86%E6%95%B0" title="分数">分数</a>が有限小数になる条件は、記数法の底（基数）と分母の<a href="/wiki/%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0" title="素因数">素因数</a>との関係で記述できる。既約分数 <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>a</i>/<i>b</i></span></span> が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">k</span> 進法で有限小数となるための必要充分条件は <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">rad(<i>b</i>)∣rad(<i>k</i>)</span></span> となる。即ち <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">b</span> の<a href="/wiki/%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0" title="素因数">素因数</a>が全て <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">k</span> の素因数にもなっていることである。 </p> <ul><li>例．10進数においては基数10が 2 × 5 で表せることより除数 <i>b</i> が 2<sup><i>i</i></sup> × 5<sup><i>j</i></sup> (<i>i</i> , <i>j</i> ≧ 0) の数においては有限小数になる。他の進数においてもその進数の基数の数により有限小数になる数が定まる。</li></ul> <p>一般の<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>は有限小数として表せない。小数部の桁数が有限にならないものを<b>無限小数</b>と呼ぶ。例えば<a href="/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87" title="円周率">円周率</a>は通常の<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E5%8F%96%E3%82%8A%E8%A8%98%E6%95%B0%E6%B3%95" title="位取り記数法">位取り記数法</a>において有限小数として表せず、無限小数として表される数の一つである。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="循環小数と非循環小数"><span id=".E5.BE.AA.E7.92.B0.E5.B0.8F.E6.95.B0.E3.81.A8.E9.9D.9E.E5.BE.AA.E7.92.B0.E5.B0.8F.E6.95.B0"></span><span id="循環小数と非循環小数"></span><span id="循環小数"></span><span id="非循環小数"></span>循環小数と非循環小数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=6" title="節を編集: 循環小数と非循環小数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0" title="循環小数">循環小数</a>」を参照</div> <p><span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r89142261">.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}</style><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">3</span></span> = 0.3333…</span></span> や <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">7</span></span> = 0.142857142857…</span></span>、あるいは <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">2</span></span> = 0.5000…</span></span> など、小数部に有限の長さの数列が繰り返し連続して現れるものを<b><a href="/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0" title="循環小数">循環小数</a></b>と呼ぶ。また繰り返し現れる数列のうち最も短いものを<b>循環節</b>と呼ぶ。 </p><p>循環小数として表せる数は<a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" title="有理数">有理数</a>に限られる。 </p><p>循環小数は循環節と有限小数の組として表せる。様々な記法があるが、一般的に用いられる記法の一つとして、下記のように循環節の始点と終点をドットで示す方法がある： </p> <dl><dd><span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">7</span></span> = 0.<span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;">1</span></span></span>4285<span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;">7</span></span></span></span></dd> <dd><span lang="en" class="texhtml"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">124</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">990</span></span> = 0.1252525… = 0.1<span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;">2</span></span></span><span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;">5</span></span></span></span></dd></dl> <p>循環節の長さが1桁の場合、ドットを1つだけ打つ： </p> <dl><dd><span lang="en" class="texhtml">0.333… = 0.<span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;">3</span></span></span></span></dd> <dd><span lang="en" class="texhtml">0.1444… = 0.1<span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;">4</span></span></span></span></dd></dl> <p>必要ならば、有限小数として表せる数は循環小数としても表せる。例えば、<span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">8</span></span> = 0.125 = 0.125000… = 0.124999…</span></span> のように、0 や 9 を無限に繰り返しているといえるからである。 </p><p>無限小数のうち循環小数として表せないものを<b>非循環小数</b>と呼ぶ。小数展開が循環小数となる数は有理数であるから、非循環小数となる数は<a href="/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0" title="無理数">無理数</a>である。非循環小数は簡単に作ることができ、例えば </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }10^{-{\frac {1}{2}}n(n+1)}=0.101001000100001\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0.101001000100001</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }10^{-{\frac {1}{2}}n(n+1)}=0.101001000100001\dots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e04fab0462ae4f5cae60539899cb97479811e56" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:39.889ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }10^{-{\frac {1}{2}}n(n+1)}=0.101001000100001\dots }"></span></dd></dl> <p>は非循環小数である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="表示の一意性"><span id=".E8.A1.A8.E7.A4.BA.E3.81.AE.E4.B8.80.E6.84.8F.E6.80.A7"></span>表示の一意性</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=7" title="節を編集: 表示の一意性"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→「<a href="/wiki/0.999..." title="0.999...">0.999...</a>」も参照</div> <p>殆どの場合に異なる無限小数表示は異なる実数を与えるが、 </p> <dl><dd>1/10 = 0.1 = 0.0999...</dd> <dd>273/1000 = 0.273 = 0.272999...</dd></dl> <p>のように、途中から全ての桁に「10 - 1」にあたる数字が並び続けるような表示は、「10 - 1」の並びが始まる直前の数字を1つ増やして、後は0を続けたものと同じ実数を与える。 </p><p>小数は、<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>を<a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a> <i>a</i><sub>0</sub> と 0 から 9 までのどれかにあたる <i>a</i><sub><i>n</i></sub> (<i>n</i> ≥ 1) を用いて </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}10^{-n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}10^{-n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e958651fa185c377750e1fafd03ca23b9b63de48" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.137ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}10^{-n}}"></span></dd></dl> <p>のような<a href="/wiki/%E7%B7%8F%E5%92%8C" title="総和">無限級数</a>の形で表すことであるから、すべての <i>a</i><sub><i>n</i></sub> が一致しなくても極限が一致することはありうるのである。しかし、あるところから先にすべて 0 が続くことがないように循環小数として表せば表現は一意的になる。このためいくつかの場合には（たとえば<a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95" title="カントールの対角線論法">カントールの対角線論法</a>）、全てを循環小数として表現することが必要になる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="その他の分類"><span id=".E3.81.9D.E3.81.AE.E4.BB.96.E3.81.AE.E5.88.86.E9.A1.9E"></span>その他の分類</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=8" title="節を編集: その他の分類"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>整数部が0である小数を<b>純小数</b>または<b>真小数</b>、それ以外を<b>帯小数</b>と呼ぶことがある。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="実数の表現"><span id=".E5.AE.9F.E6.95.B0.E3.81.AE.E8.A1.A8.E7.8F.BE"></span>実数の表現</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=9" title="節を編集: 実数の表現"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>与えられた実数<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>と<span lang="en" class="texhtml">2</span>以上の自然数<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span>に対して，<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>の<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span>進無限小数表記を与える無限数列<span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub>0</sub>, <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub>1</sub>, <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub>2</sub>, …</span>の各項の値を決定する二種類の手続きを次のように与える。これらの手続きのどちらを採用してもその表記は一意的に定まるが、<span lang="en" class="texhtml">0</span>以外の有限小数に対する無限小数表記は採用した手続きによって異なるものとなる。 </p><p>一つ目： </p> <ol><li><span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> = 0</span>であれば、全ての項を<span lang="en" class="texhtml">0</span>としてここで終了する。</li> <li><span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub>0</sub> = ⌈abs⁡(<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>)⌉ − 1, <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x′</span> = abs⁡(<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>) − <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub>0</sub> ∈ (0, 1], <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span><sub>1</sub> = 0</span>（<span lang="en" class="texhtml">⌈⋅⌉</span>: <a href="/wiki/%E5%A4%A9%E4%BA%95%E9%96%A2%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="天井関数">天井函数</a>，<span lang="en" class="texhtml">abs⁡(⋅)</span>: <a href="/wiki/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%80%A4" title="絶対値">絶対値</a>）とし，<span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> = 1</span>とおく。</li> <li>区間<span lang="en" class="texhtml">(<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span></sub>, <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span></sub> + <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span></span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span><sup>i</sup></span></span>]</span>を<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span><a href="/w/index.php?title=%E7%AD%89%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「等分」 (存在しないページ)">等分</a>し、その両端点と<span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> − 1</span>個の等分点を左から <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{i,0}=p_{i},s_{i,1},\cdots ,s_{i,j}=p_{i}{+}{\frac {j}{n^{i}}},\cdots ,s_{i,n-1},s_{i,n}=p_{i}{+}{\frac {n}{n^{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>j</mi> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{i,0}=p_{i},s_{i,1},\cdots ,s_{i,j}=p_{i}{+}{\frac {j}{n^{i}}},\cdots ,s_{i,n-1},s_{i,n}=p_{i}{+}{\frac {n}{n^{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc15fd2c84fd2ceeebf2aacb511609cc2b5a967" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:55.436ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle s_{i,0}=p_{i},s_{i,1},\cdots ,s_{i,j}=p_{i}{+}{\frac {j}{n^{i}}},\cdots ,s_{i,n-1},s_{i,n}=p_{i}{+}{\frac {n}{n^{i}}}}"></span> とする。</li> <li><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">j</span>を<span lang="en" class="texhtml">0</span>から<span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> − 1</span>まで移動させ、<span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>′ ∈ (<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">s</span><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i, j</span></sub>, <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">s</span><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i, j</span> + 1</sub>]</span>なる<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">j</span>が存在すればそこで<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">j</span>を固定し、<span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span></sub> = <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">j</span>, <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> + 1</sub> = <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">s</span><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i, j</span></sub></span>とした後，<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span>に<span lang="en" class="texhtml">1</span>を加算して 3. に戻る。</li></ol> <p>こうして得られた数列<span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span></sub></span>は、<span lang="en" class="texhtml">1</span>以降の<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span>に対して<span lang="en" class="texhtml">0 ≤ <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span></sub> ≤ <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> − 1</sub></span>を満たすから、<span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span></sub></span>は<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span>進法を用いて<span lang="en" class="texhtml">1</span>桁の数字で表現できる。ここで、<span lang="en" class="texhtml">sgn⁡<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span></span>を<a href="/wiki/%E7%AC%A6%E5%8F%B7%E9%96%A2%E6%95%B0" title="符号関数">符号関数</a>とし、<span lang="en" class="texhtml">(sgn⁡<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>)<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub>0</sub></span>の<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span>進法表記の後に<span lang="en" class="texhtml">.</span>を付け（これを<b>小数点</b>と呼ぶ）、数字 <span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span></sub></span>を列記してできる表記、即ち </p> <dl><dd><span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> = (sgn⁡<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>)<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub>0</sub>.<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub>1</sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub>2</sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub>3</sub>…</span></dd></dl> <p>という形で無限小数表記が得られた。この手続きによる場合、無限数列<span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span></sub></span>の途中の項から<span lang="en" class="texhtml">0</span>が無限に続くのは<span lang="en" class="texhtml">0</span>しかない。 </p><p>二つ目： </p> <ol><li><i>a</i><sub>0</sub> = [abs⁡<i>x</i>]（[・]：<a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E8%A8%98%E5%8F%B7" class="mw-redirect" title="ガウス記号">ガウス記号</a>）とし、<i>i</i> = 1 とする。</li> <li><i>x</i>' = abs <i>x</i> - <i>a</i><sub>0</sub>、<i>p</i><sub>1</sub> = 0 とする。この時、<i>x</i>' ∈ [0,1) である。もし、<i>x</i>' = 0 であれば、残りの項を 0 としてここで終了する。</li> <li>区間 [<i>p</i><sub><i>i</i></sub> , <i>p</i><sub><i>i</i></sub>+<i>n</i><sup>1-<i>i</i></sup>) を <i>n</i> <a href="/w/index.php?title=%E7%AD%89%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「等分」 (存在しないページ)">等分</a>し、その両端点と <i>n</i> - 1 個の等分点を左から <i>p</i><sub><i>i</i></sub>=<i>s</i><sub><i>i</i>,0</sub>, <i>s</i><sub><i>i</i>,1</sub>, …, <i>s</i><sub><i>i</i>, <i>n</i>-1</sub> , <i>s</i><sub><i>i</i>, <i>n</i></sub>=<i>p</i><sub><i>i</i></sub>+<i>n</i><sup>1-<i>i</i></sup> とする。</li> <li><i>j</i> を 0 から <i>n</i> - 1 まで移動させ、<i>x</i>' ∈ [<i>s</i><sub><i>ij</i></sub>, <i>s</i><sub><i>i</i>,<i>j</i> + 1</sub>) なる <i>j</i> が存在すればそこで <i>j</i> を固定し、<i>a</i><sub><i>i</i></sub> = <i>j</i> として次に進む。</li> <li>もし、<i>x</i>' = <i>s</i><sub><i>ij</i></sub> であれば、残りの項を 0 としてここで終了する。そうでなければ <i>p</i><sub><i>i</i>+1</sub> = <i>s</i><sub><i>ij</i></sub> とし、<i>i</i> に 1 を加算して (3.) に戻る。</li></ol> <p>こうして得られた数列 <i>a</i><sub><i>n</i></sub> は、1 以降の <i>i</i> に対して 0 ≤ <i>a</i><sub><i>i</i></sub> ≤ <i>n</i> - 1 を満たすから、<i>a</i><sub><i>i</i></sub> は <i>n</i> 進法を用いて 1 桁で表現できる。ここで、(sgn⁡<i>x</i>)を<a href="/wiki/%E7%AC%A6%E5%8F%B7%E9%96%A2%E6%95%B0" title="符号関数">符号関数</a>とし、(sgn <i>x</i>)<i>a</i><sub>0</sub> の <i>n</i> 進法表記の後に . を付け（これを<b>小数点</b>と呼ぶ）、<i>a</i><sub><i>i</i></sub> を列記していったもの、即ち </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=(\operatorname {sgn} x)a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>sgn</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=(\operatorname {sgn} x)a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\dots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e6366c193c50c221256d4c15a20514a6048d85" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.606ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=(\operatorname {sgn} x)a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\dots }"></span></dd></dl> <p>とする表現を小数とする。この手続きによる場合、無限数列 <i>a</i><sub><i>n</i></sub> の途中の項から <i>n</i> - 1 が無限に続くことは無い。 </p><p>但し、小数点以下のある項から 0 が無限に続くようであれば、その位置から 0 を省略し、何も書かなくてよい（この場合は有限小数となる）。特にその項が小数点以下第一位であった場合は小数点も省略して良い（この場合は整数となる）。また、そうでない場合は列記していく操作を永久に続けることになるが、実際は不可能である。このような時、省略記号を使って項を省略してよい。(上記「<a href="#小数の分類">#小数の分類</a>」参照) </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="小数の起源"><span id=".E5.B0.8F.E6.95.B0.E3.81.AE.E8.B5.B7.E6.BA.90"></span>小数の起源</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=10" title="節を編集: 小数の起源"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E3%83%90%E3%83%93%E3%83%AD%E3%83%8B%E3%82%A2%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="バビロニア数学">バビロニア数学</a>では<a href="/wiki/%E5%85%AD%E5%8D%81%E9%80%B2%E6%B3%95" title="六十進法">六十進法</a>の<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E5%8F%96%E3%82%8A%E8%A8%98%E6%95%B0%E6%B3%95" title="位取り記数法">位取り記数法</a>で数字を記述していた。十進法以外を含めるなら、バビロニア数学での数字表記が最古の小数である。ただし現在で言う小数点に相当するものが存在しないため、記述された数字の実際の数値がどうなのかは、前後の文脈から判断しないといけないという問題点があった。 </p><p>現代の小数と同じ<a href="/wiki/%E5%8D%81%E9%80%B2%E6%B3%95" title="十進法">十進法</a>における小数は古代中国で発明された。中国では紀元前14世紀から十進法が使用されており、紀元前から計算上小数が使用されていたと推測される。現存する最古の小数は、紀元5年の日付のある<a href="/wiki/%E5%8A%89%E6%AD%86" title="劉歆">劉歆</a>による体積の標準単位に関する碑文にある「9.5」である<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。<a href="/wiki/%E5%8A%89%E5%BE%BD" title="劉徽">劉徽</a>は<a href="/wiki/263%E5%B9%B4" title="263年">263年</a>に数学書「<a href="/wiki/%E4%B9%9D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E8%A1%93" title="九章算術">九章算術</a>」を著し、現代のアラビア数字表記での8.660254寸を「八寸六分六釐二秒五忽、五分忽之二」と記している（小数第6位を表す単位が無いため、分数との併記になっている）。小数が最初に登場した現存の数学文献は3世紀中期の劉徽の著書であり、計量と方程式の解という2つの文献に登場する。そこでは古典「九章算術」（1世紀）に関する注釈で1.355尺の直径について述べている。 </p><p> 完全な小数がすべての一般的な演算に取り入れられ、その真の体系と研究法が確立したのは13世紀になってからであり、この発達に特に貢献した数学者は<a href="/wiki/%E6%A5%8A%E8%BC%9D" title="楊輝">楊輝</a>と<a href="/wiki/%E7%A7%A6%E4%B9%9D%E9%9F%B6" title="秦九韶">秦九韶</a>である。</p><div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→「<a href="/wiki/%E6%BC%A2%E6%95%B0%E5%AD%97#小数" title="漢数字">漢数字 § 小数</a>」も参照</div> <p>小数の概念は中国からアラビア人でサマルカンドの天文台長を務めたの<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC" class="mw-redirect" title="アル・カーシー">アル・カーシー</a>に伝わった。ヨーロッパで最初に小数を理解したのは1530年にアウグスブルクでExpempel-Buechlinを著した<a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%83%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%AB%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95" title="クリストッフ・ルドルフ">クリストッフ・ルドルフ</a>であると数学史家のD・E・スミスが述べている。そしてクリストッフ・ルドルフが小数の意義を理解していたことを学術論文で明らかにした最初の人物がオランダの<a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%B3" title="シモン・ステヴィン">シモン・ステヴィン</a>である。<a href="/wiki/1585%E5%B9%B4" title="1585年">1585年</a>に出版した「十進分数論」の中で小数を紹介した。その名が示す通り、分数の分母を<a href="/wiki/10" title="10">十</a>の累乗に固定した場合に計算が非常にやりやすくなると説明した。ステヴィンは他にも帆走車などの中国の科学や技術をヨーロッパに紹介した。 </p><p>なおステヴィンの提唱した小数の表記法は現代の「0.135」であれば、これを「1①3②5③」と表記する。ヨーロッパにおいて現代のような小数点による表記となったのは、20年ほど後に<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2" title="ジョン・ネイピア">ジョン・ネイピア</a>の提唱による。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="注釈"><span id=".E6.B3.A8.E9.87.88"></span>注釈</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=11" title="節を編集: 注釈"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text"><span lang="en">decimal</span> は<a href="/wiki/%E5%8D%81%E9%80%B2%E6%B3%95" title="十進法">十進法</a>を意味し、すなわち <span lang="en">decimal</span> は特に十進小数を指す。一般の端数（小数）を意味する言葉は <span lang="en">fraction</span> だが、こちらは専ら<a href="/wiki/%E5%88%86%E6%95%B0" title="分数">分数</a>と訳される。</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=12" title="節を編集: 出典"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-名前なし-1-2">^ <a href="#cite_ref-名前なし-1_2-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-名前なし-1_2-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://unit.aist.go.jp/nmij/public/report/SI_9th/pdf/SI_9th_%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%AA%9E%E7%89%88_r.pdf">国際単位系（SI）第9版（2019）日本語版</a> 5.4.4 数字の形式および小数点、p.119、産業技術総合研究所、計量標準総合センター、2020年4月</span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sec10.html">Guide for the Use of the International System of Units (SI)</a><blockquote><p>10.5.3 Grouping digits<br />Because the comma is widely used as the decimal marker outside the United States, it should not be used to separate digits into groups of three. Instead, digits should be separated into groups of three, counting from the decimal marker towards the left and right, by the use of a thin, fixed space. However, this practice is not usually followed for numbers having only four digits on either side of the decimal marker except when uniformity in a table is desired.</p></blockquote></span> </li> <li id="cite_note-4"><b><a href="#cite_ref-4">^</a></b> <span class="reference-text">例えば、理科年表、2020年版、基礎物理定数表、pp.380-381など、2019年11月20日、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784621304266" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4-621-30426-6</a></span> </li> <li id="cite_note-5"><b><a href="#cite_ref-5">^</a></b> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sec10.html">Guide for the Use of the International System of Units (SI)</a><blockquote><p>10.5.3 Grouping digits<br />Note: The practice of using a space to group digits is not usually followed in certain specialized applications, such as engineering drawings and financial statements.</p></blockquote></span> </li> <li id="cite_note-6"><b><a href="#cite_ref-6">^</a></b> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nist.gov/pml/special-publication-811/nist-guide-si-chapter-10-more-printing-and-using-symbols-and-numbers">NIST Guide to the SI, Chapter 10: More on Printing and Using Symbols and Numbers in Scientific and Technical Documents</a> 10.5.3 Grouping digits、Examples:</span> </li> <li id="cite_note-7"><b><a href="#cite_ref-7">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">1900-1995., Needham, Joseph, (197-? - 2015). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://worldcat.org/oclc/1303643587"><i>Science and civilisation in China = 中國科學技術史</i></a>. Cambridge University Press. <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription 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rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/OCLC_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="OCLC (識別子)">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.worldcat.org/oclc/1303643587">1303643587</a><span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="http://worldcat.org/oclc/1303643587">http://worldcat.org/oclc/1303643587</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Science+and+civilisation+in+China+%3D+%E4%B8%AD%E5%9C%8B%E7%A7%91%E5%AD%B8%E6%8A%80%E8%A1%93%E5%8F%B2&rft.aulast=1900-1995.&rft.aufirst=Needham%2C+Joseph%2C&rft.au=1900-1995.%2C%26%2332%3BNeedham%2C+Joseph%2C&rft.date=197-%3F+-+2015&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.isbn=0-521-08690-6&rft_id=info:oclcnum/1303643587&rft_id=http%3A%2F%2Fworldcat.org%2Foclc%2F1303643587&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%B0%8F%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> </ol> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=13" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%B0%8F%E6%95%B0&action=edit&section=14" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E5%B0%8F%E6%95%B0%E7%82%B9" title="小数点">小数点</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%B5%AE%E5%8B%95%E5%B0%8F%E6%95%B0%E7%82%B9%E6%95%B0" title="浮動小数点数">浮動小数点数</a> - 計算機における実数の表現</li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E5%AE%9A%E5%B0%8F%E6%95%B0%E7%82%B9%E6%95%B0" title="固定小数点数">固定小数点数</a> - 計算機における実数の表現</li> <li><a href="/wiki/%E5%BA%8A%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%A4%A9%E4%BA%95%E9%96%A2%E6%95%B0" title="床関数と天井関数">床関数</a> - 小数から整数部分を得るために使うことがある</li></ul> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a>: 国立図書館 <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q1376876#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" 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