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</ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Basculer la table des matières</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Corps commutatif</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 64 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-64" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">64 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D9%82%D9%84_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" title="حقل (رياضيات) – arabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="حقل (رياضيات)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%D0%BB%D0%B0%D0%BD_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Ялан (алгебра) – bachkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Ялан (алгебра)" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="bachkir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B5_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Поле (алгебра) – biélorusse" lang="be" hreflang="be" data-title="Поле (алгебра)" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="biélorusse" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B5_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Поле (алгебра) – bulgare" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Поле (алгебра)" 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href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Cos_(matem%C3%A0tiques)" title="Cos (matemàtiques) – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Cos (matemàtiques)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%85%DB%95%DB%8C%D8%AF%D8%A7%D9%86_(%D9%85%D8%A7%D8%AA%D9%85%D8%A7%D8%AA%DB%8C%DA%A9)" title="مەیدان (ماتماتیک) – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="مەیدان (ماتماتیک)" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Komutativn%C3%AD_t%C4%9Bleso" title="Komutativní těleso – tchèque" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Komutativní těleso" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tchèque" 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data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A3%CF%8E%CE%BC%CE%B1_(%CE%AC%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1)" title="Σώμα (άλγεβρα) – grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Σώμα (άλγεβρα)" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grec" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="bon article"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)" title="Field (mathematics) – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Field (mathematics)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Kampo_(algebro)" title="Kampo (algebro) – espéranto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Kampo (algebro)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)" title="Cuerpo (matemáticas) – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Cuerpo (matemáticas)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Korpus_(matemaatika)" title="Korpus (matemaatika) – estonien" lang="et" hreflang="et" data-title="Korpus (matemaatika)" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonien" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Gorputz_(matematika)" title="Gorputz (matematika) – basque" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Gorputz (matematika)" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basque" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%DB%8C%D8%AF%D8%A7%D9%86_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)" title="میدان (ریاضیات) – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="میدان (ریاضیات)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Kunta_(matematiikka)" title="Kunta (matematiikka) – finnois" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Kunta (matematiikka)" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finnois" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fiu-vro mw-list-item"><a href="https://fiu-vro.wikipedia.org/wiki/Korpus_(mat%C3%B5maatiga)" title="Korpus (matõmaatiga) – võro" lang="vro" hreflang="vro" data-title="Korpus (matõmaatiga)" data-language-autonym="Võro" data-language-local-name="võro" class="interlanguage-link-target"><span>Võro</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9imse_(matamaitic)" title="Réimse (matamaitic) – irlandais" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Réimse (matamaitic)" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Corpo_(%C3%A1lxebra)" title="Corpo (álxebra) – galicien" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Corpo (álxebra)" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicien" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="שדה (מבנה אלגברי) – hébreu" lang="he" hreflang="he" data-title="שדה (מבנה אלגברי)" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hébreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0_(%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4)" title="क्षेत्र (गणित) – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="क्षेत्र (गणित)" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr 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class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Lapangan_(matematika)" title="Lapangan (matematika) – indonésien" lang="id" hreflang="id" data-title="Lapangan (matematika)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésien" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Feldo_(algebro)" title="Feldo (algebro) – ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Feldo (algebro)" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Campo_(matematica)" title="Campo (matematica) – italien" lang="it" hreflang="it" data-title="Campo (matematica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" 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class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Kierper_(Algeber)" title="Kierper (Algeber) – luxembourgeois" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Kierper (Algeber)" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="luxembourgeois" class="interlanguage-link-target"><span>Lëtzebuergesch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Camp_(matematega)" title="Camp (matematega) – lombard" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Camp (matematega)" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombard" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Lauks_(matem%C4%81tika)" title="Lauks (matemātika) – letton" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Lauks (matemātika)" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letton" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Medan_(matematik)" title="Medan (matematik) – malais" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Medan (matematik)" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malais" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Lichaam_(Ned)_/_Veld_(Be)" title="Lichaam (Ned) / Veld (Be) – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Lichaam (Ned) / Veld (Be)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Kropp_i_matematikk" title="Kropp i matematikk – norvégien nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Kropp i matematikk" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norvégien nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Tallkropp" title="Tallkropp – norvégien bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Tallkropp" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvégien bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Cia%C5%82o_(matematyka)" title="Ciało (matematyka) – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Ciało (matematyka)" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Camp_(matem%C3%A0tica)" title="Camp (matemàtica) – piémontais" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Camp (matemàtica)" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="piémontais" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica)" title="Corpo (matemática) – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Corpo (matemática)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Corp_comutativ" title="Corp comutativ – roumain" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Corp comutativ" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="roumain" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B5_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Поле (алгебра) – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Поле (алгебра)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Campu_(matimatica)" title="Campu (matimatica) – sicilien" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Campu (matimatica)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sicilien" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Polje_(matematika)" title="Polje (matematika) – serbo-croate" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Polje (matematika)" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbo-croate" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)" title="Field (mathematics) – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Field (mathematics)" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Pole_(algebra)" title="Pole (algebra) – slovaque" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Pole (algebra)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaque" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Fusha_(matematik%C3%AB)" title="Fusha (matematikë) – albanais" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Fusha (matematikë)" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanais" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%99%D0%B5_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Поље (математика) – serbe" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Поље (математика)" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbe" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Kropp_(algebra)" title="Kropp (algebra) – suédois" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Kropp (algebra)" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suédois" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%95%E0%AE%B3%E0%AE%AE%E0%AF%8D_(%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D)" title="களம் (கணிதம்) – tamoul" lang="ta" hreflang="ta" data-title="களம் (கணிதம்)" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamoul" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%94%E0%B9%8C" title="ฟีลด์ – thaï" lang="th" hreflang="th" data-title="ฟีลด์" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thaï" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Cisim_(cebir)" title="Cisim (cebir) – turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Cisim (cebir)" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B5_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Поле (алгебра) – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Поле (алгебра)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%85%DB%8C%D8%AF%D8%A7%D9%86" title="میدان – ourdou" lang="ur" hreflang="ur" data-title="میدان" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="ourdou" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_(%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91)" title="Trường (đại số) – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Trường (đại số)" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%9F%EF%BC%88%E6%95%B0%E5%AD%A6%EF%BC%89" title="域（数学） – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="域（数学）" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%9F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="域 (数学) – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="域 (数学)" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%9F_(%E4%BB%A3%E6%95%B8)" title="域 (代數) – chinois littéraire" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="域 (代數)" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="chinois littéraire" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9_(s%C3%B2%CD%98-ha%CC%8Dk)" title="Thé (sò͘-ha̍k) – minnan" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Thé (sò͘-ha̍k)" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnan" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%94_(%E6%95%B8%E5%AD%B8)" title="體 (數學) – cantonais" lang="yue" hreflang="yue" data-title="體 (數學)" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonais" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q190109#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Corps_commutatif" title="Voir le contenu de la page [c]" accesskey="c"><span>Article</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discussion:Corps_commutatif" rel="discussion" title="Discussion au sujet de cette page de contenu [t]" accesskey="t"><span>Discussion</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" 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class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Corps_commutatif"><span>Lire</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=history" title="Historique des versions de cette page [h]" accesskey="h"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown 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href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=history"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Général </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_li%C3%A9es/Corps_commutatif" title="Liste des pages liées qui pointent sur celle-ci [j]" accesskey="j"><span>Pages liées</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Suivi_des_liens/Corps_commutatif" rel="nofollow" title="Liste des modifications récentes des pages appelées par celle-ci [k]" accesskey="k"><span>Suivi des pages liées</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Aide:Importer_un_fichier" title="Téléverser des fichiers [u]" accesskey="u"><span>Téléverser un fichier</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_sp%C3%A9ciales" title="Liste de toutes les pages spéciales [q]" accesskey="q"><span>Pages spéciales</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&oldid=220167448" title="Adresse permanente de cette version de cette page"><span>Lien permanent</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=info" title="Davantage d’informations sur cette page"><span>Informations sur la page</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Citer&page=Corps_commutatif&id=220167448&wpFormIdentifier=titleform" title="Informations sur la manière de citer cette page"><span>Citer cette page</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FCorps_commutatif"><span>Obtenir l'URL raccourcie</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:QrCode&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FCorps_commutatif"><span>Télécharger le code QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimer / exporter </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a 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connecté [g]" accesskey="g"><span>Élément Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><div class="bandeau-container metadata homonymie hatnote"><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Aide:Homonymie" title="Aide:Homonymie"><img alt="Page d’aide sur l’homonymie" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/20px-Logo_disambig.svg.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/30px-Logo_disambig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/40px-Logo_disambig.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="375" /></a></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p>Pour les articles homonymes, voir <a href="/wiki/Corps" class="mw-disambig" title="Corps">Corps</a> et <a href="/wiki/Corps_(math%C3%A9matiques)" title="Corps (mathématiques)">Corps (mathématiques)</a>. </p> </div></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Anillo_c%C3%ADclico.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Anillo_c%C3%ADclico.png/220px-Anillo_c%C3%ADclico.png" decoding="async" width="220" height="187" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Anillo_c%C3%ADclico.png 1.5x" data-file-width="330" data-file-height="280" /></a><figcaption>Corps commutatif (pour <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> premier)</figcaption></figure> <p>En <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, un <b>corps commutatif</b> (parfois simplement appelé <b>corps</b>, voir plus bas, ou parfois appelé <b>champ</b>) est une des <a href="/wiki/Structure_alg%C3%A9brique" title="Structure algébrique">structures algébriques</a> fondamentales de l'<a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale" title="Algèbre générale">algèbre générale</a>. C'est un ensemble muni de deux <a href="/wiki/Op%C3%A9ration_binaire" title="Opération binaire">opérations binaires</a> rendant possibles les additions, soustractions, multiplications et divisions. Plus précisément, un corps commutatif est un <a href="/wiki/Anneau_unitaire" title="Anneau unitaire">anneau</a> commutatif dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un <a href="/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Groupe (mathématiques)">groupe</a> commutatif pour la multiplication. </p><p>Selon la définition choisie d'un <a href="/wiki/Corps_(math%C3%A9matiques)" title="Corps (mathématiques)">corps</a> qui diffère selon les auteurs (la commutativité de la multiplication n'est pas toujours imposée), soit les corps commutatifs sont des cas particuliers de corps (dans le cas où la commutativité n'est pas imposée), soit la dénomination <i>corps commutatif</i> est un <a href="/wiki/Pl%C3%A9onasme" title="Pléonasme">pléonasme</a> qui désigne simplement un <i>corps</i> (dans le cas où elle l'est). On renvoie à l'article <a href="/wiki/Corps_(math%C3%A9matiques)" title="Corps (mathématiques)">corps (mathématiques)</a> pour plus de détails. </p><p>Des exemples élémentaires de corps commutatifs sont le corps des <a href="/wiki/Nombre_rationnel" title="Nombre rationnel">nombres rationnels</a> noté ℚ (ou <b>Q</b>), le corps des <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombres réels</a> noté ℝ (ou <b>R</b>), le corps des <a href="/wiki/Nombre_complexe" title="Nombre complexe">nombres complexes</a> noté ℂ (ou <b>C</b>) et le <a href="/wiki/Anneau_%E2%84%A4/n%E2%84%A4#Cas_où_ℤ/nℤ_est_un_corps" title="Anneau ℤ/nℤ">corps ℤ/<i>p</i>ℤ</a> des <a href="/wiki/Congruence_sur_les_entiers" title="Congruence sur les entiers">classes de congruences modulo <i>p</i></a> où <i>p</i> est un <a href="/wiki/Nombre_premier" title="Nombre premier">nombre premier</a>, noté alors également 𝔽<sub><i>p</i></sub> (ou <b>F</b><sub><i>p</i></sub>). </p><p>La théorie des corps commutatifs est le cadre historique de la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois" title="Théorie de Galois">théorie de Galois</a>, une méthode d'étude qui s'applique en particulier aux corps <a href="/wiki/Commutatif" class="mw-redirect" title="Commutatif">commutatifs</a> et aux <a href="/wiki/Extension_de_corps" title="Extension de corps">extensions de corps</a>, en relation avec la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes" title="Théorie des groupes">théorie des groupes</a>, mais s'étend aussi à d'autres domaines, par exemple l'étude des <a href="/wiki/%C3%89quations_diff%C3%A9rentielles" class="mw-redirect" title="Équations différentielles">équations différentielles</a> (<a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois_diff%C3%A9rentielle" title="Théorie de Galois différentielle">théorie de Galois différentielle</a>), ou des <a href="/wiki/Rev%C3%AAtement_(math%C3%A9matiques)" title="Revêtement (mathématiques)">revêtements</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fragments_d'histoire"><span id="Fragments_d.27histoire"></span>Fragments d'histoire</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Fragments d'histoire" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Fragments d'histoire"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Dedekind.jpeg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Dedekind.jpeg/220px-Dedekind.jpeg" decoding="async" width="220" height="274" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ca/Dedekind.jpeg 1.5x" data-file-width="262" data-file-height="326" /></a><figcaption>Photo de Richard Dedekind</figcaption></figure> <p>La théorie des corps (commutatifs) se développe tout au long du <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle"><span class="romain">XIX</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle, en parallèle et de façon intimement liée avec la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes" title="Théorie des groupes">théorie des groupes</a>, la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_anneaux" title="Théorie des anneaux">théorie des anneaux</a> et l'<a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire" title="Algèbre linéaire">algèbre linéaire</a>. Jusqu'à cette époque, l'algèbre s'identifie à la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_%C3%A9quations_(histoire_des_sciences)" title="Théorie des équations (histoire des sciences)">théorie des équations polynomiales</a> et de leur résolution. C'est dans ce contexte qu'apparaissent les premières notions de théorie des corps, avec les <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Abel-Ruffini" class="mw-redirect" title="Théorème d'Abel-Ruffini">travaux</a> de <a href="/wiki/Niels_Abel" class="mw-redirect" title="Niels Abel">Niels Abel</a> et <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois" title="Théorie de Galois">ceux</a> d'<a href="/wiki/%C3%89variste_Galois" title="Évariste Galois">Évariste Galois</a>, même si la structure n'est pas identifiée explicitement. Galois est le premier à parler d'<a href="/wiki/Extension_finie" title="Extension finie">adjonction</a> (pour des <a href="/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_alg%C3%A9brique" title="Élément algébrique">éléments algébriques</a>) et démontre le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_l%27%C3%A9l%C3%A9ment_primitif" title="Théorème de l'élément primitif">théorème de l'élément primitif</a><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Avec la naissance de l'étude des <a href="/wiki/Nombre_alg%C3%A9brique" title="Nombre algébrique">nombres algébriques</a>, motivée par des problèmes de nature arithmétique, il est devenu nécessaire de préciser explicitement la structure de corps, en parallèle avec les notions d'<a href="/wiki/Entier_alg%C3%A9brique" title="Entier algébrique">entier algébrique</a>, et d'<a href="/wiki/Anneau_unitaire" title="Anneau unitaire">anneau</a>. C'est dans ce contexte que la structure de corps est introduite indépendamment (et de façons assez différentes) par <a href="/wiki/Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Richard Dedekind</a> et <a href="/wiki/Leopold_Kronecker" title="Leopold Kronecker">Leopold Kronecker</a><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Le vocabulaire actuel vient de Dedekind, qui définit un corps (<i>Körper</i> en allemand, c'est la raison pour laquelle un corps quelconque est souvent nommé <i>K</i>)<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> comme un sous-ensemble de nombres réels ou complexes stable par addition, <a href="/wiki/Soustraction" title="Soustraction">soustraction</a>, multiplication et division. </p><p>Par ailleurs, <a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Gauss</a> avait étudié les <a href="/wiki/Congruence_sur_les_entiers" title="Congruence sur les entiers">congruences sur les entiers</a> dans ses <i><a href="/wiki/Disquisitiones_arithmeticae" title="Disquisitiones arithmeticae">Disquisitiones arithmeticae</a>,</i> parues en 1801, et étudié en détail le cas premier, ce qui revient implicitement à l'étude des corps finis premiers. En 1830, s'inspirant de Gauss, Galois avait étendu cette étude aux <a href="/wiki/Corps_fini" title="Corps fini">corps finis</a> quelconques<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, les éléments de ceux-ci étant vus comme des expressions polynomiales finies traitées comme des nombres (le calcul se faisant modulo un polynôme irréductible)<sup id="cite_ref-kleiner_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-kleiner-5"><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. <a href="/wiki/E._H._Moore" class="mw-redirect" title="E. H. Moore">E. H. Moore</a> montre en 1893<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite_crochet">[</span>6<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> qu'un corps commutatif fini, qu'il voit comme un ensemble de symboles de cardinal fini <i>s</i>, muni des quatre opérations « sujettes aux identités ordinaires de l'algèbre abstraite » peut se définir à la façon de Galois<sup id="cite_ref-kleiner_5-1" class="reference"><a href="#cite_note-kleiner-5"><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>La même année, <a href="/wiki/Heinrich_Weber_(math%C3%A9maticien)" title="Heinrich Weber (mathématicien)">Heinrich Weber</a> donne la première véritable axiomatisation des corps (commutatifs)<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite_crochet">[</span>7<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, dans un article dont le but est de donner une présentation générale de la théorie de Galois. L'axiomatisation des théories mathématiques en est encore à ses balbutiements et Weber oublie (mais bien sûr utilise) l'associativité de la multiplication<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite_crochet">[</span>8<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>En 1910, <a href="/wiki/Ernst_Steinitz" title="Ernst Steinitz">Ernst Steinitz</a> établit la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_axiomatique" title="Théorie axiomatique">théorie axiomatique</a> des corps, dans un mémoire fondateur de l'algèbre moderne<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite_crochet">[</span>9<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définition_et_exemples"><span id="D.C3.A9finition_et_exemples"></span>Définition et exemples</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Définition et exemples" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Définition et exemples"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Un corps commutatif est un ensemble <i>K</i> muni de deux lois internes notées en général + et × vérifiant les conditions suivantes : </p> <ul><li>(<i>K</i>, +) forme un <a href="/wiki/Groupe_ab%C3%A9lien" title="Groupe abélien">groupe abélien</a> (on dit aussi : groupe commutatif), dont l'<a href="/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_neutre" title="Élément neutre">élément neutre</a> est noté 0 ;</li> <li>(<a href="/wiki/Diff%C3%A9rence_ensembliste" class="mw-redirect" title="Différence ensembliste"><i>K</i>\{0}</a>, ×) forme un groupe abélien, dont l'élément neutre est 1 ;</li> <li>la multiplication est <a href="/wiki/Distributive" class="mw-redirect" title="Distributive">distributive</a> par rapport à l'addition (à gauche comme à droite) c’est-à-dire que</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall (a,b,c)\in K^{3}\quad a\times (b+c)=a\times b+a\times c\quad {\hbox{et}}\quad (b+c)\times a=b\times a+c\times a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mspace width="1em" /> <mi>a</mi> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>×</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>×</mo> <mi>c</mi> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>et</mtext> </mstyle> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>×</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>×</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall (a,b,c)\in K^{3}\quad a\times (b+c)=a\times b+a\times c\quad {\hbox{et}}\quad (b+c)\times a=b\times a+c\times a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a61e9139c232b2cb4b24c7058c461cf8648d3048" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:76.913ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \forall (a,b,c)\in K^{3}\quad a\times (b+c)=a\times b+a\times c\quad {\hbox{et}}\quad (b+c)\times a=b\times a+c\times a}"></span>.</dd></dl> <p>On parle alors du corps commutatif (<i>K</i>, +, ×). </p><p>Exemples de corps commutatifs : </p> <ul><li>l'ensemble (ℚ, +, ×) des <a href="/wiki/Nombre_rationnel" title="Nombre rationnel">nombres rationnels</a> ;</li> <li>l'ensemble (ℝ, +, ×) des <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombres réels</a> ;</li> <li>l'ensemble (ℂ, +, ×) des <a href="/wiki/Nombre_complexe" title="Nombre complexe">complexes</a> ;</li> <li>l'ensemble (<a href="/wiki/Anneau_Z/nZ" class="mw-redirect" title="Anneau Z/nZ">ℤ/<i>p</i>ℤ</a>, +, ×) des <a href="/wiki/Congruence_sur_les_entiers" title="Congruence sur les entiers">entiers modulo</a> un <a href="/wiki/Nombre_premier" title="Nombre premier">nombre premier</a> <i>p</i>.</li></ul> <p>Un <b>sous-corps</b> d'un corps commutatif <i>K</i> est une partie <i>L</i> de <i>K</i>, stable par + et ×, telle que <i>L</i> munie des lois induites soit un corps. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Caractéristique_et_corps_premier"><span id="Caract.C3.A9ristique_et_corps_premier"></span>Caractéristique et corps premier</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Caractéristique et corps premier" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Caractéristique et corps premier"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Caract%C3%A9ristique_d%27un_anneau" title="Caractéristique d'un anneau">Caractéristique d'un anneau</a>.</div></div> <p>Soit 1<sub><i>K</i></sub> l'unité du corps <i>K</i>. S'il existe un entier naturel <i>n</i> non nul tel que <i>n</i>•1<sub><i>K</i></sub> = 1<sub><i>K</i></sub> + 1<sub><i>K</i></sub> + … + 1<sub><i>K</i></sub> (additionné <i>n</i> fois) est nul, on appelle <i>caractéristique du corps K</i> le plus petit <a href="/wiki/Entier_naturel" title="Entier naturel">entier positif</a> non nul vérifiant cette propriété. S'il n'existe pas d'entier non nul vérifiant cette propriété, on dit que le corps <i>K</i> est de caractéristique nulle. </p><p>Par exemple, le corps ℝ est de caractéristique nulle alors que le corps ℤ/<i>p</i>ℤ est de caractéristique <i>p</i>. Si elle est non nulle, la caractéristique d'un corps est nécessairement un nombre premier. En effet si tel n'était pas le cas une factorisation de ce nombre fournirait des diviseurs non nuls de 0, or un corps est un <a href="/wiki/Anneau_int%C3%A8gre" title="Anneau intègre">anneau intègre</a>. </p><p>Un corps est dit <i>premier</i> s'il n'a pas de sous-corps autre que lui-même. Un corps premier infini est isomorphe au corps ℚ des nombres rationnels. Un corps premier fini est isomorphe au corps ℤ/<i>p</i>ℤ pour un certain nombre premier <i>p</i><sup id="cite_ref-lang_10-0" class="reference"><a href="#cite_note-lang-10"><span class="cite_crochet">[</span>10<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Plus généralement, tout corps <i>K</i> contient un corps premier, qui est le plus petit de ses sous-corps, et que l'on appelle <i>corps premier de K</i><sup id="cite_ref-lang_10-1" class="reference"><a href="#cite_note-lang-10"><span class="cite_crochet">[</span>10<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, ou <i>sous-corps premier de K</i>. Le sous-corps premier de <i>K</i> contient nécessairement 1<sub><i>K</i></sub>, donc ses multiples entiers ℤ•1<sub><i>K</i></sub>. Si la caractéristique est nulle c'est donc un corps isomorphe à ℚ (le <a href="/wiki/Corps_des_fractions" title="Corps des fractions">corps des fractions</a> de ℤ) ; si la caractéristique est un nombre premier <i>p</i>, c'est un corps isomorphe à ℤ/<i>p</i>ℤ, et on identifie habituellement ce sous-corps premier soit à ℚ soit à ℤ/<i>p</i>ℤ. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Corps_finis">Corps finis</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Corps finis" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Corps finis"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Corps_fini" title="Corps fini">Corps fini</a>.</div></div> <p>Ce sont les corps dont le nombre d'éléments est fini. Le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Wedderburn" title="Théorème de Wedderburn">théorème de Wedderburn</a> montre qu'ils sont nécessairement commutatifs. On démontre aussi que le nombre d'éléments d'un tel corps est toujours une puissance d'un <a href="/wiki/Nombre_premier" title="Nombre premier">nombre premier</a>. Il est en fait possible de dresser la liste de tous les corps finis, <a href="/wiki/%C3%80_quelque_chose_pr%C3%A8s" title="À quelque chose près">à isomorphisme près</a>. </p><p>Le plus petit corps fini est celui des booléens, dont voici les tables d'addition (correspondant au « <a href="/wiki/Fonction_OU_exclusif" title="Fonction OU exclusif">ou exclusif</a> ») et de multiplication (correspondant au « <a href="/wiki/Fonction_ET" title="Fonction ET">et</a> ») : </p> <center> <table> <tbody><tr> <td> <table class="wikitable" style="text-align: center; width: 80px;"> <caption>addition </caption> <tbody><tr> <td><b>+</b></td> <td><b>0</b></td> <td><b>1</b> </td></tr> <tr> <td><b>0</b></td> <td>0</td> <td>1 </td></tr> <tr> <td><b>1</b></td> <td>1</td> <td>0 </td></tr></tbody></table> </td> <td> <table class="wikitable" style="text-align: center; width: 80px;"> <caption>multiplication </caption> <tbody><tr> <td><b>×</b></td> <td><b>0</b></td> <td><b>1</b> </td></tr> <tr> <td><b>0</b></td> <td>0</td> <td>0 </td></tr> <tr> <td><b>1</b></td> <td>0</td> <td>1 </td></tr> </tbody></table> </td></tr></tbody></table> </center> <p>Les exemples les plus élémentaires de corps finis sont les corps de congruences modulo un nombre premier comme dans le cas ci-dessus, mais il en existe une infinité d’autres : à isomorphisme près, un par <a href="/wiki/Nombre_primaire" title="Nombre primaire">puissance de nombre premier</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Corps_et_anneau">Corps et anneau</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Corps et anneau" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Corps et anneau"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>L'ensemble (ℤ, +, ×) n'est pas un corps car la plupart des éléments non nuls de ℤ ne sont pas inversibles : par exemple, il n'existe pas d'entier relatif <i>n</i> tel que 2n = 1 donc 2 n'est pas inversible. </p><p>Un <a href="/wiki/Anneau_commutatif" title="Anneau commutatif">anneau commutatif</a> est un ensemble <i>A</i> qui, comme ℤ, est muni de deux lois + et × vérifiant les axiomes suivants : </p> <ul><li>(A, +) forme un groupe abélien dont l'élément neutre est noté 0 ;</li> <li>(A\{0}, ×) forme un <a href="/wiki/Mono%C3%AFde" title="Monoïde">monoïde</a> <a href="/wiki/Commutatif" class="mw-redirect" title="Commutatif">commutatif</a> ;</li> <li>la multiplication est distributive par rapport à l'addition (à gauche comme à droite).</li></ul> <p>Un anneau commutatif <i>A</i> est <a href="/wiki/Anneau_int%C3%A8gre" title="Anneau intègre">intègre</a> s'il vérifie : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall (a,b)\in A^{2},\quad ab=0\Rightarrow (a=0{\hbox{ ou }}b=0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext> ou </mtext> </mstyle> </mrow> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall (a,b)\in A^{2},\quad ab=0\Rightarrow (a=0{\hbox{ ou }}b=0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94e3ef11ffb6d78128b39d62a7879a44aaf5672" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.635ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \forall (a,b)\in A^{2},\quad ab=0\Rightarrow (a=0{\hbox{ ou }}b=0)}"></span>.</dd></dl> <p>Tout corps commutatif est un anneau intègre et <a href="/wiki/Anneau_int%C3%A8gre#Anneaux_intègres_finis" title="Anneau intègre">tout anneau intègre <i>fini</i> est un corps</a>. Le théorème suivant règle le cas des anneaux infinis : </p> <dl><dd>si un anneau commutatif <i>A</i> est intègre, on peut le plonger dans son corps des fractions, qui est le plus petit corps contenant l'anneau.</dd></dl> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Corps_des_fractions" title="Corps des fractions">Corps des fractions</a>.</div></div> <p>Exemple : ℚ est le corps des fractions de ℤ. </p><p>Un anneau commutatif <i>A</i> est un corps si et seulement s'il est <a href="/wiki/Anneau_simple" title="Anneau simple">simple</a>, <abbr class="abbr nowrap" title="c’est-à-dire">c.-à-d.</abbr> non <a href="/wiki/Anneau_nul" title="Anneau nul">nul</a> et sans <a href="/wiki/Id%C3%A9al" title="Idéal">idéaux</a> non <a href="/wiki/Id%C3%A9al#Exemples_d'idéaux" title="Idéal">triviaux</a><sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite_crochet">[</span>11<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite_crochet">[</span>12<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Un anneau commutatif non nul <i>A</i> est un corps si et seulement si tout <a href="/wiki/Module_sur_un_anneau" title="Module sur un anneau"><i>A</i>-module</a> est <a href="/wiki/Module_libre" title="Module libre">libre</a><sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite_crochet">[</span>13<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Corps_et_espace_vectoriel">Corps et espace vectoriel</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Corps et espace vectoriel" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Corps et espace vectoriel"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">Espace vectoriel</a>.</div></div> <p>Partant du corps ℝ, il est naturel de s'intéresser à ℝ<sup><i>n</i></sup>, ensemble des <i>n</i>-<a href="/wiki/Uplet" title="Uplet">uplets</a> de réels. On est amené à le munir d'une addition et d'une multiplication par un réel. La structure ainsi définie (une addition interne munissant l'ensemble d'une structure de groupe et une multiplication externe possédant des propriétés de distributivité et d'associativité) est appelée <a href="/wiki/Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">espace vectoriel</a> sur ℝ. Il est alors naturel de définir ce que pourrait être un espace vectoriel sur un corps commutatif K quelconque. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Corps_et_équation_algébrique"><span id="Corps_et_.C3.A9quation_alg.C3.A9brique"></span>Corps et équation algébrique</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Corps et équation algébrique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Corps et équation algébrique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>L'étude des <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_formel" title="Polynôme formel">polynômes</a> à coefficients dans un corps commutatif et la recherche de leurs racines ont développé considérablement la notion de corps. Si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> est un polynôme de degré <i>n</i> sur un corps commutatif <i>K</i>, l'équation <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf85883d74b75fe35ca8d3f2b44802df078e4fa1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.678ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=0}"></span> est une équation algébrique dans <i>K</i>. Si, de plus, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> est un polynôme irréductible, l'équation est dite irréductible. Lorsque <i>n</i> ≥ 2, trouver les solutions d'une telle équation demande de se placer dans un corps plus grand que <i>K</i>, une <a href="/wiki/Extension_de_corps" title="Extension de corps">extension de corps</a>. </p><p>Par exemple, l'équation <span class="texhtml"><i>x</i><sup>2</sup> – 2 = 0</span> est irréductible dans ℚ mais possède des racines dans ℝ ou mieux dans ℚ[<span class="racine">√<span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">2</span></span>]. L'équation <span class="texhtml"><i>x</i><sup>2</sup> + 1 = 0</span> ne possède pas de solution dans ℝ mais en possède dans ℂ ou mieux dans ℚ[<i>i</i>]. </p><p>Un <a href="/wiki/Corps_de_rupture" title="Corps de rupture">corps de rupture</a> d'un polynôme est, par exemple, un corps minimal contenant K et une racine de <i>f</i>. </p><p>Le <a href="/wiki/Corps_de_d%C3%A9composition" title="Corps de décomposition">corps de décomposition</a> de <i>f</i> est le plus petit corps contenant K ainsi que toutes les racines de <i>f</i>. </p><p>L'étude des corps de décomposition d'un polynôme et du groupe de <a href="/wiki/Permutation" title="Permutation">permutations</a> de ses racines forme la branche des mathématiques que l'on appelle la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois" title="Théorie de Galois">théorie de Galois</a>. </p> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/Extension_de_corps" title="Extension de corps">Extension de corps</a>, <a href="/wiki/Extension_alg%C3%A9brique" title="Extension algébrique">Extension algébrique</a> et <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois" title="Théorie de Galois">Théorie de Galois</a>.</div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés"><span id="Propri.C3.A9t.C3.A9s"></span>Propriétés</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Propriétés" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Propriétés"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Soit (<i>K</i>,+,×) un corps commutatif. Alors tout polynôme de degré <i>n</i>≥0 admet au plus <i>n</i> zéros (ou <a href="/wiki/Racine_d%27un_polyn%C3%B4me" title="Racine d'un polynôme">racines</a>) dans <i>K</i>.</li> <li>Soit (<i>K</i>,+,×) un corps commutatif. Alors tout <a href="/wiki/Sous-groupe" title="Sous-groupe">sous-groupe</a> <a href="/wiki/Groupe_fini" title="Groupe fini">fini</a> de (<i>K</i><sup>*</sup>,×) est un <a href="/wiki/Groupe_cyclique" title="Groupe cyclique">groupe cyclique</a>.</li></ul> <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> <ul><li><b>Le nombre de racines d'un polynôme est inférieur ou égal à son degré.</b></li></ul> <p>Pour chaque racine <i>r</i> d'un polynôme <i>P</i>, le polynôme <span class="nowrap"><i>X</i> − <i>r</i></span> divise <i>P</i> (ceci est vrai pour un anneau commutatif quelconque à la place du corps : c'est évident si <span class="nowrap"><i>r</i> = 0</span>, et pour le cas général on peut appliquer l'<a href="/wiki/Automorphisme" title="Automorphisme">automorphisme</a> de l'anneau de polynômes qui fixe les constantes et envoie <i>X</i> vers <span class="nowrap"><i>X</i> − <i>r</i></span>). Toute autre racine <i>s</i> de <i>P</i> est racine du quotient <i>Q</i> de <i>P</i> par <span class="nowrap"><i>X</i> − <i>r</i></span>, car la substitution de <i>s</i> pour <i>X</i> n'annule pas le facteur <span class="nowrap"><i>X</i> − <i>r</i></span>, et comme un corps est en particulier un <a href="/wiki/Anneau_int%C3%A8gre" title="Anneau intègre">anneau intègre</a>, cette substitution doit annuler <i>Q</i>. Ainsi si <i>P</i> contient <i>m</i> racines distinctes, on peut le décomposer comme produit de <i>m</i> facteurs unitaires de degré 1 et un dernier facteur (qui peut être un polynôme non nul quelconque, éventuellement constant).<br />Le degré d'un produit de polynômes est la somme des degrés de ces polynômes (encore parce qu'un corps est un anneau intègre), et on peut conclure que <span class="nowrap"><i>m</i> ≤ <i>n</i></span>. Comme la <a href="/wiki/Multiplicit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Multiplicité (mathématiques)">multiplicité</a> d'une racine <i>r</i> de <i>P</i> est par définition le nombre de fois qu'on peut successivement diviser <i>P</i> par <span class="nowrap"><i>X</i> − <i>r</i></span>, cette conclusion reste valable quand on remplace <i>m</i> par le nombre des racines <i>comptées avec leurs multiplicités respectives</i>. </p> <ul><li><b>Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif est cyclique :</b></li></ul> <p>Soit <i>G</i> un tel sous-groupe, <i>n</i> son cardinal et <i>e</i> son <a href="/wiki/Exposant_d%27un_groupe" title="Exposant d'un groupe">exposant</a>. L'exposant d'un groupe est le <a href="/wiki/Plus_petit_commun_multiple" title="Plus petit commun multiple">plus petit commun multiple</a> des ordres des éléments du groupe. Le polynôme <i>X</i><sup>e</sup> - 1 admet chaque élément du groupe comme racine. Comme dans un corps commutatif, un polynôme n'admet jamais plus de racines que son degré, <i>e</i> est au moins égal à <i>n</i>. Le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Lagrange_sur_les_groupes" title="Théorème de Lagrange sur les groupes">théorème de Lagrange</a> montre que <i>e</i> est au plus égal à <i>n</i> et <i>e</i> est égal à <i>n</i>. Il existe toujours un élément <i>g</i> d'ordre l'exposant dans un <a href="/wiki/Groupe_ab%C3%A9lien_fini" title="Groupe abélien fini">groupe abélien fini</a> <i>(cf l'article <a href="/wiki/Exposant_d%27un_groupe" title="Exposant d'un groupe">exposant d'un groupe</a>)</i>, en conséquence, <i>g</i> est d'ordre <i>n</i> et donc générateur du groupe <i>G</i> ce qui montre son caractère cyclique. </p> </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <p>Ces résultats restent vrais si l'on remplace le corps par un anneau commutatif intègre quelconque (comme on peut voir en plongeant un tel anneau dans son <a href="/wiki/Corps_des_fractions" title="Corps des fractions">corps des fractions</a>). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Autres_champs_d'étude"><span id="Autres_champs_d.27.C3.A9tude"></span>Autres champs d'étude</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Autres champs d'étude" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Autres champs d'étude"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>On retrouve la théorie des corps dans l'étude de certaines fonctions comme les <a href="/wiki/Fonction_rationnelle" title="Fonction rationnelle">fonctions rationnelles</a> ou les <a href="/wiki/Fonction_elliptique" title="Fonction elliptique">fonctions elliptiques</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Structures_additionnelles">Structures additionnelles</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Structures additionnelles" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Structures additionnelles"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Corps_valu%C3%A9" title="Corps valué">Corps valué</a></li> <li><a href="/wiki/Corps_ordonn%C3%A9" title="Corps ordonné">Corps ordonné</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small decimal" style="column-width:36em; column-count:2;"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Kleiner_1999,_I">Kleiner 1999, I</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 677-678.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Kleiner_1999,_I">Kleiner 1999, I</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 679-681.</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : allemand">(de)</abbr> R. Dedekind, <i>Gesammelte mathematische Werke</i>, d'après <span class="ouvrage" id="Bourbaki"><span class="ouvrage" id="Nicolas_Bourbaki"><a href="/wiki/Nicolas_Bourbaki" title="Nicolas Bourbaki">Nicolas <span class="nom_auteur">Bourbaki</span></a>, <cite class="italique"><a href="/wiki/%C3%89l%C3%A9ments_d%27histoire_des_math%C3%A9matiques" title="Éléments d'histoire des mathématiques">Éléments d'histoire des mathématiques</a></cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Histoire_des_math%C3%A9matiques_(Bourbaki)" title="Référence:Histoire des mathématiques (Bourbaki)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%C3%89l%C3%A9ments+d%27histoire+des+math%C3%A9matiques&rft.aulast=Bourbaki&rft.aufirst=Nicolas&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACorps+commutatif"></span></span></span>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 106, réf. 79.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text">Evariste Galois (1830), <i>Sur la théorie des nombres</i>. Bulletin des sciences mathématiques de M. Férussac 13, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">428-435</span> (1830), repris dans le <a href="/wiki/Journal_de_math%C3%A9matiques_pures_et_appliqu%C3%A9es" title="Journal de mathématiques pures et appliquées">journal de mathématiques pures et appliquées</a> 11, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">398-407</span> (1846) <a rel="nofollow" class="external text" href="https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k290623.image.f32.langFR">Texte sur Gallica</a>.</span> </li> <li id="cite_note-kleiner-5"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-kleiner_5-0">a</a> et <a href="#cite_ref-kleiner_5-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text"><a href="#Kleiner_1999,_I">Kleiner 1999, I</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 683.</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-6">↑</a> </span><span class="reference-text">Résultat annoncé dans <span class="ouvrage" id="Moore1893"><span class="ouvrage" id="E._H._Moore1893"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Eliakim_Hastings_Moore" title="Eliakim Hastings Moore">E. H. Moore</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">A doubly-infinite system of simple groups</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en">Bull. New York Math. Soc.</span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 3,‎ <time>1893</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">73-78</span> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183407788">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=A+doubly-infinite+system+of+simple+groups&rft.jtitle=Bull.+New+York+Math.+Soc.&rft.aulast=Moore&rft.aufirst=E.+H.&rft.date=1893&rft.volume=3&rft.pages=73-78&rft_id=http%3A%2F%2Fprojecteuclid.org%2FDPubS%2FRepository%2F1.0%2FDisseminate%3Fview%3Dbody%26id%3Dpdf_1%26handle%3Deuclid.bams%2F1183407788&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACorps+commutatif"></span></span></span> et démontré dans un article paru sous le même titre dans <i>Mathematical Papers Read at the International Mathematical Congress […] Chicago 1893</i>, Macmillan, New York, 1896, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99447r/f227.image.pagination"><abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">208-242</span></a>.</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-7">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Weber1893"><span class="ouvrage" id="H._Weber1893"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : allemand">(de)</abbr> H. Weber, « <cite style="font-style:normal" lang="de">Die allgemeinen Grundlagen der Galois’schen Gleichungstheorie</cite> », <i><span class="lang-de" lang="de"><a href="/wiki/Mathematische_Annalen" title="Mathematische Annalen">Mathematische Annalen</a></span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 43,‎ <time>1893</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">521-549</span> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0043&DMDID=dmdlog36">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Die+allgemeinen+Grundlagen+der+Galois%E2%80%99schen+Gleichungstheorie&rft.jtitle=Mathematische+Annalen&rft.aulast=Weber&rft.aufirst=H.&rft.date=1893&rft.volume=43&rft.pages=521-549&rft_id=http%3A%2F%2Fgdz.sub.uni-goettingen.de%2Fen%2Fdms%2Fload%2Fimg%2F%3FPPN%3DPPN235181684_0043%26DMDID%3Ddmdlog36&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACorps+commutatif"></span></span></span>, cité par <a href="#Kleiner_1999,_II">Kleiner 1999, II</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 859-860.</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-8">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Kleiner_1999,_II">Kleiner 1999, II</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 860.</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-9">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Steinitz1910"><span class="ouvrage" id="Ernst_Steinitz1910"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : allemand">(de)</abbr> Ernst Steinitz, « <cite style="font-style:normal" lang="de">Algebraische Theorie der Körper</cite> », <i><span class="lang-de" lang="de"><a href="/wiki/Journal_f%C3%BCr_die_reine_und_angewandte_Mathematik" title="Journal für die reine und angewandte Mathematik">J. reine angew. Math.</a></span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 137,‎ <time>1910</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">167-309</span> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002167042">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Algebraische+Theorie+der+K%C3%B6rper&rft.jtitle=J.+reine+angew.+Math.&rft.aulast=Steinitz&rft.aufirst=Ernst&rft.date=1910&rft.volume=137&rft.pages=167-309&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACorps+commutatif"></span></span></span>, « travail fondamental qui peut être considéré comme ayant donné naissance à la conception actuelle de l'Algèbre » pour <a href="#Bourbaki">Bourbaki</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 109 de l'édition Springer.</span> </li> <li id="cite_note-lang-10"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-lang_10-0">a</a> et <a href="#cite_ref-lang_10-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Lang"><span class="ouvrage" id="Serge_Lang"><a href="/wiki/Serge_Lang" title="Serge Lang">Serge <span class="nom_auteur">Lang</span></a>, <cite class="italique">Algèbre</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Alg%C3%A8bre_(Lang)" title="Référence:Algèbre (Lang)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Alg%C3%A8bre&rft.aulast=Lang&rft.aufirst=Serge&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACorps+commutatif"></span></span></span>, <abbr class="abbr" title="Troisième">3<sup>e</sup></abbr> éd., Dunod, 2004, p. 97.</span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-11">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="RamisWarusfel2020"><span class="ouvrage" id="Jean-Pierre_RamisAndré_Warusfel2020"><a href="/wiki/Jean-Pierre_Ramis" title="Jean-Pierre Ramis">Jean-Pierre Ramis</a>, <a href="/wiki/Andr%C3%A9_Warusfel" title="André Warusfel">André Warusfel</a> <i><abbr class="abbr" title="et alii (et d’autres)">et al.</abbr></i>, <cite class="italique">Mathématiques - Tout-en-un pour la Licence 2</cite>, <a href="/wiki/Dunod" class="mw-redirect" title="Dunod">Dunod</a>, <time>2020</time>, <abbr class="abbr" title="troisième">3<sup>e</sup></abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=_ujMDwAAQBAJ&pg=PA19">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 19<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Math%C3%A9matiques+-+Tout-en-un+pour+la+Licence+2&rft.pub=Dunod&rft.edition=3&rft.aulast=Ramis&rft.aufirst=Jean-Pierre&rft.au=Andr%C3%A9+Warusfel&rft.date=2020&rft.pages=19&rft_id=%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3D_ujMDwAAQBAJ%26pg%3DPA19&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACorps+commutatif"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-12">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Beachy1999"><span class="ouvrage" id="John_A._Beachy1999"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> John A. Beachy, <cite class="italique" lang="en">Introductory Lectures on Rings and Modules</cite>, <a href="/wiki/Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>, <time>1999</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=rnNzivBfgOoC&pg=PA16">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 16<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introductory+Lectures+on+Rings+and+Modules&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.aulast=Beachy&rft.aufirst=John+A.&rft.date=1999&rft.pages=16&rft_id=%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DrnNzivBfgOoC%26pg%3DPA16&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACorps+commutatif"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-13"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-13">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Magurn2002"><span class="ouvrage" id="Bruce_A._Magurn2002"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Bruce A. Magurn, <cite class="italique" lang="en">An Algebraic Introduction to <a href="/wiki/K-th%C3%A9orie" title="K-théorie">K-Theory</a></cite>, <a href="/wiki/Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (<abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 87), <time>2002</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=QBXvmgZVvawC&pg=PA41">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 41<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=An+Algebraic+Introduction+to+K-Theory&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.aulast=Magurn&rft.aufirst=Bruce+A.&rft.date=2002&rft.pages=41&rft_id=%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DQBXvmgZVvawC%26pg%3DPA41&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACorps+commutatif"></span></span></span>.</span> </li> </ol> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliographie">Bibliographie</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Corps_commutatif&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r194021218">.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}</style><div class="autres-projets boite-grise boite-a-droite noprint js-interprojets"> <p class="titre">Sur les autres projets Wikimedia :</p> <ul class="noarchive plainlinks"> <li class="wikiversity"><a href="https://fr.wikiversity.org/wiki/Corps_(math%C3%A9matiques)" class="extiw" title="v:Corps (mathématiques)">Corps</a>, <span class="nowrap">sur <span class="project">Wikiversity</span></span></li> </ul> </div> <ul><li><span class="ouvrage" id="BouveresseItardSallé"><span class="ouvrage" id="Jacques_BouveresseJean_ItardÉmile_Sallé"><a href="/wiki/Jacques_Bouveresse" title="Jacques Bouveresse">Jacques Bouveresse</a>, <a href="/wiki/Jean_Itard_(historien)" title="Jean Itard (historien)">Jean Itard</a> et Émile Sallé, <cite class="italique">Histoire des mathématiques</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Histoire_des_math%C3%A9matiques_(Bouveresse,_Itard,_Sall%C3%A9)" title="Référence:Histoire des mathématiques (Bouveresse, Itard, Sallé)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Histoire+des+math%C3%A9matiques&rft.aulast=Bouveresse&rft.aufirst=Jacques&rft.au=Jean+Itard&rft.au=%C3%89mile+Sall%C3%A9&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACorps+commutatif"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Kleiner_1999,_I"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Israel_Kleiner" title="Israel Kleiner">Israel Kleiner</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Field Theory: From Equations to Axiomatization — Part I</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en"><a href="/wiki/The_American_Mathematical_Monthly" title="The American Mathematical Monthly">Amer. Math. Monthly</a></span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 106, <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 7,‎ <time>1999</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">677-684</span> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://jstor.org/stable/2589500">2589500</a></span>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Field+Theory%3A+From+Equations+to+Axiomatization+%E2%80%94+Part+I&rft.jtitle=Amer.+Math.+Monthly&rft.issue=7&rft.au=Israel+Kleiner&rft.date=1999&rft.volume=106&rft.pages=677-684&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACorps+commutatif"></span></span> et <span class="ouvrage" id="Kleiner_1999,_II"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Israel Kleiner, « <cite style="font-style:normal" lang="en">— Part II</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en">ibid.</span></i>, <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 9,‎ 1999b, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">859-863</span> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://jstor.org/stable/2589621">2589621</a></span>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%E2%80%94+Part+II&rft.jtitle=ibid.&rft.issue=9&rft.au=Israel+Kleiner&rft.date=1999&rft.pages=859-863&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACorps+commutatif"></span></span>, republiés dans <span class="ouvrage" id="Kleiner2007"><span class="ouvrage" id="I._Kleiner2007"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> I. Kleiner, <cite class="italique" lang="en">A History of Abstract Algebra</cite>, Boston, Birkhäuser, <time>2007</time>, 168 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-8176-4684-4" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-8176-4684-4"><span class="nowrap">978-0-8176-4684-4</span></a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=RTLRBK-wj6wC&pg=PA63">lire en ligne</a>)</small><span class="lang-en" lang="en">, « History of Field Theory »</span>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">63-78</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+History+of+Abstract+Algebra&rft.atitle=History+of+Field+Theory&rft.place=Boston&rft.pub=Birkh%C3%A4user&rft.aulast=Kleiner&rft.aufirst=I.&rft.date=2007&rft.pages=63-78&rft.tpages=168&rft.isbn=978-0-8176-4684-4&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACorps+commutatif"></span></span></span></li> <li><a href="/wiki/Jacqueline_Lelong-Ferrand" title="Jacqueline Lelong-Ferrand">Jacqueline Lelong-Ferrand</a> et <a href="/wiki/Jean-Marie_Arnaudi%C3%A8s" title="Jean-Marie Arnaudiès">Jean-Marie Arnaudiès</a>, <i>Cours de mathématiques : Algèbre, Volume 1</i>, <abbr class="abbr" title="Troisième">3<sup>e</sup></abbr> éd., Dunod, 1998 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/9782100041800" title="Spécial:Ouvrages de référence/9782100041800"><span class="nowrap">9782100041800</span></a>)</small></li> <li><a href="/wiki/Jacques-Louis_Lions" title="Jacques-Louis Lions">Jacques-Louis Lions</a>, <i>Petite Encyclopédie des mathématiques</i>, éd. K. Pagoulatos</li></ul> <div class="navbox-container" style="clear:both;"> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="3" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Th%C3%A9orie_de_Galois" title="Modèle:Palette Théorie de Galois"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Th%C3%A9orie_de_Galois&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois" title="Théorie de Galois">Théorie</a> de <a href="/wiki/%C3%89variste_Galois" title="Évariste Galois">Galois</a></div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a class="mw-selflink selflink">Corps</a></th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Corps_fini" title="Corps fini">Corps fini</a></li> <li><a href="/wiki/Corps_parfait" title="Corps parfait">Corps parfait</a></li> <li><a href="/wiki/Corps_de_rupture" title="Corps de rupture">Corps de rupture</a></li> <li><a href="/wiki/Corps_de_d%C3%A9composition" title="Corps de décomposition">Corps de décomposition</a></li></ul> </div></td> <td class="navbox-image" rowspan="3" style="vertical-align:middle;padding-left:7px"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Evariste_galois.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Evariste_galois.jpg/120px-Evariste_galois.jpg" decoding="async" width="120" height="155" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Evariste_galois.jpg/180px-Evariste_galois.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Evariste_galois.jpg/240px-Evariste_galois.jpg 2x" data-file-width="792" data-file-height="1024" /></a></span></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a href="/wiki/Extension_de_corps" title="Extension de corps">Extension de corps</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Extension_alg%C3%A9brique" title="Extension algébrique">Extension algébrique</a></li> <li><a href="/wiki/Extension_quadratique" title="Extension quadratique">Extension quadratique</a></li> <li><a href="/wiki/Extension_simple" title="Extension simple">Extension simple</a></li> <li><a href="/wiki/Extension_normale" title="Extension normale">Extension normale</a></li> <li><a href="/wiki/Extension_s%C3%A9parable" title="Extension séparable">Extension séparable</a></li> <li><a href="/wiki/Extension_de_Galois" title="Extension de Galois">Extension de Galois</a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_de_Galois" title="Groupe de Galois">Groupe de Galois</a></li> <li><a href="/wiki/Cl%C3%B4ture_alg%C3%A9brique" title="Clôture algébrique">Clôture algébrique</a></li> <li><a href="/wiki/Extension_radicielle" title="Extension radicielle">Extension radicielle</a></li> <li><a href="/wiki/Corps_de_fonctions" title="Corps de fonctions">Corps de fonctions</a></li> <li><a href="/wiki/Tour_de_corps" title="Tour de corps">Tour de corps</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Articles associés</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Caract%C3%A9ristique_d%27un_anneau" title="Caractéristique d'un anneau">Caractéristique</a></li> <li><a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_formel" title="Polynôme formel">Polynôme formel</a></li> <li><a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_cyclotomique" title="Polynôme cyclotomique">Polynôme cyclotomique</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois" title="Théorie de Galois">Théorie de Galois</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_la_th%C3%A9orie_de_Galois" title="Théorème fondamental de la théorie de Galois">Théorème fondamental de la théorie de Galois</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_l%27%C3%A9l%C3%A9ment_primitif" title="Théorème de l'élément primitif">Théorème de l'élément primitif</a></li> <li><a href="/wiki/Extension_des_morphismes_et_des_places_dans_les_anneaux_int%C3%A8gres_et_les_corps" title="Extension des morphismes et des places dans les anneaux intègres et les corps">Extension des morphismes et des places dans les anneaux intègres et les corps</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_d%27Iwasawa" title="Théorie d'Iwasawa">Théorie d'Iwasawa</a></li> <li><a href="/wiki/Galois/Counter_Mode" title="Galois/Counter Mode">Galois/Counter Mode</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Structures_alg%C3%A9briques" title="Modèle:Palette Structures algébriques"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Structures_alg%C3%A9briques&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a href="/wiki/Structure_alg%C3%A9brique" title="Structure algébrique">Structures algébriques</a></div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:40px">Pures</th> <td class="navbox-list" style=""><table class="navbox-subgroup" style=""> <tbody><tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;"><a href="/wiki/Magma_(alg%C3%A8bre)" title="Magma (algèbre)">Magmas</a></th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Groupe (mathématiques)">Groupe</a></li> <li><a href="/wiki/Quasigroupe" title="Quasigroupe">Quasigroupe</a></li> <li><a href="/wiki/Demi-groupe" title="Demi-groupe">Demi-groupe</a></li> <li><a href="/wiki/Mono%C3%AFde" title="Monoïde">Monoïde</a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_ab%C3%A9lien" title="Groupe abélien">Groupe abélien</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;">Moduloïdes</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">Espace vectoriel</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_affine" title="Espace affine">Espace affine</a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs" title="Groupe à opérateurs">Groupe à opérateurs</a></li> <li><a href="/wiki/Module_sur_un_anneau" title="Module sur un anneau">Module sur un anneau</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;">Annélides</th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Anneau_non_associatif&action=edit&redlink=1" class="new" title="Anneau non associatif (page inexistante)">Anneau non associatif</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Nonassociative_ring" class="extiw" title="en:Nonassociative ring"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Nonassociative ring »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Pseudo-anneau" title="Pseudo-anneau">Pseudo-anneau</a></li> <li><a href="/wiki/Demi-anneau" title="Demi-anneau">Demi-anneau</a></li> <li><a href="/wiki/Dio%C3%AFde" title="Dioïde">Dioïde</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_(math%C3%A9matiques)" title="Anneau (mathématiques)">Anneau</a> <ul><li><a href="/wiki/Anneau_unitaire" title="Anneau unitaire">unitaire</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_commutatif" title="Anneau commutatif">commutatif</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_sans_diviseur_de_z%C3%A9ro" title="Anneau sans diviseur de zéro">sans diviseur de zéro</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_int%C3%A8gre" title="Anneau intègre">intègre</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Corps_(math%C3%A9matiques)" title="Corps (mathématiques)">Corps</a> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">commutatif</a></li> <li><a href="/wiki/Corps_gauche" title="Corps gauche">gauche</a></li></ul></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;"><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_sur_un_anneau" title="Algèbre sur un anneau">Algèbre</a></th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_associative" title="Algèbre associative">Algèbre associative</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_sur_un_corps" title="Algèbre sur un corps">Algèbre sur un corps</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_associative_sur_un_corps" title="Algèbre associative sur un corps">Algèbre associative sur un corps</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_unitaire" title="Algèbre unitaire">Algèbre unitaire</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_%C3%A0_division" title="Algèbre à division">Algèbre à division</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Clifford" title="Algèbre de Clifford">Algèbre de Clifford</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Jordan" title="Algèbre de Jordan">Algèbre de Jordan</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Lie" title="Algèbre de Lie">Algèbre de Lie</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;">Autres</th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Hopf" title="Algèbre de Hopf">Algèbre de Hopf</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_homog%C3%A8ne" title="Espace homogène">Espace homogène</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:40px">Enrichies</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><table class="navbox-subgroup" style=""> <tbody><tr> <th class="navbox-group" style="width:12em;">Espace topologique</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Semi-groupe_topologique" title="Semi-groupe topologique">Semi-groupe topologique</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Mono%C3%AFde_topologique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Monoïde topologique (page inexistante)">Monoïde topologique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_monoid" class="extiw" title="en:Topological monoid"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Topological monoid »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_topologique" title="Groupe topologique">Groupe topologique</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_topologique" title="Anneau topologique">Anneau topologique</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_topologique" title="Anneau topologique">Corps topologique</a></li> <li><a href="/wiki/Corps_valu%C3%A9" title="Corps valué">Corps valué</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Module_topologique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Module topologique (page inexistante)">Module topologique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_module" class="extiw" title="en:Topological module"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Topological module »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Espace_vectoriel_topologique" title="Espace vectoriel topologique">Espace vectoriel topologique</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_topologique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algèbre topologique (page inexistante)">Algèbre topologique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_algebra" class="extiw" title="en:Topological algebra"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Topological algebra »">(en)</span></a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:12em;"><a href="/wiki/Espace_m%C3%A9trique" title="Espace métrique">Espaces métriques</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Espace_vectoriel_norm%C3%A9" title="Espace vectoriel normé">Espace vectoriel normé</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_de_Banach" title="Espace de Banach">Espace de Banach</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_pr%C3%A9hilbertien" title="Espace préhilbertien">Espace préhilbertien</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_euclidien" title="Espace euclidien">Espace euclidien</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_hermitien" title="Espace hermitien">Espace hermitien</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_de_Hilbert" title="Espace de Hilbert">Espace de Hilbert</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:12em;">Géométrie différentielle et algébrique</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Groupe_de_Lie" title="Groupe de Lie">Groupe de Lie</a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_alg%C3%A9brique" title="Groupe algébrique">Groupe algébrique</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> </tbody></table> </div> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Alg%C3%A8bre" title="Portail de l’algèbre"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Arithmetic_symbols.svg/24px-Arithmetic_symbols.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Arithmetic_symbols.svg/36px-Arithmetic_symbols.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Arithmetic_symbols.svg/48px-Arithmetic_symbols.svg.png 2x" data-file-width="210" data-file-height="210" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Alg%C3%A8bre" title="Portail:Algèbre">Portail de l’algèbre</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ce document provient de « <a dir="ltr" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Corps_commutatif&oldid=220167448">https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Corps_commutatif&oldid=220167448</a> ».</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Accueil" title="Catégorie:Accueil">Catégories</a> : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Th%C3%A9orie_des_corps" title="Catégorie:Théorie des corps">Théorie des corps</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale" title="Catégorie:Algèbre générale">Algèbre générale</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Catégories cachées : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Article_contenant_un_appel_%C3%A0_traduction_en_anglais" title="Catégorie:Article contenant un appel à traduction en 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