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Disponible en 21 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-21" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">21 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B4%D8%A8%D9%87_%D8%B2%D9%85%D8%B1%D8%A9" title="شبه زمرة – arabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="شبه زمرة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Quasigrup" title="Quasigrup – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Quasigrup" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Kvazigrupa" title="Kvazigrupa – tchèque" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Kvazigrupa" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tchèque" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Quasigruppe" title="Quasigruppe – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Quasigruppe" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Quasigroup" title="Quasigroup – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Quasigroup" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Kvaza%C5%ADgrupo" title="Kvazaŭgrupo – espéranto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Kvazaŭgrupo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cuasigrupo" title="Cuasigrupo – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Cuasigrupo" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B4%D8%A8%D9%87_%DA%AF%D8%B1%D9%88%D9%87" title="شبه گروه – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="شبه گروه" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Kvasiryhm%C3%A4" title="Kvasiryhmä – finnois" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Kvasiryhmä" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finnois" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%95%D7%90%D7%96%D7%99-%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94" title="קוואזי-חבורה – hébreu" lang="he" hreflang="he" data-title="קוואזי-חבורה" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hébreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Quasigruppo" title="Quasigruppo – interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Quasigruppo" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Kuasigrup" title="Kuasigrup – indonésien" lang="id" hreflang="id" data-title="Kuasigrup" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésien" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Quasigruppo" title="Quasigruppo – italien" lang="it" hreflang="it" data-title="Quasigruppo" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BA%96%E7%BE%A4" title="準群 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="準群" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%A0%EC%82%AC%EA%B5%B0" title="유사군 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="유사군" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Quasigroep" title="Quasigroep – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Quasigroep" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Quasi-grupa" title="Quasi-grupa – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Quasi-grupa" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Quasegrupo" title="Quasegrupo – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Quasegrupo" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Квазигруппа (математика) – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Квазигруппа (математика)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B7%D1%96%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Квазігрупа (алгебра) – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Квазігрупа (алгебра)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%9F%E7%BE%A4" title="拟群 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="拟群" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1503423#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div 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mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&action=history" title="Historique des versions de cette page [h]" accesskey="h"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Outils" > <label 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href="/w/index.php?title=Quasigroupe&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&action=history"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Général </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_li%C3%A9es/Quasigroupe" title="Liste des pages liées qui pointent sur celle-ci [j]" accesskey="j"><span>Pages liées</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Suivi_des_liens/Quasigroupe" rel="nofollow" title="Liste des modifications récentes des pages appelées par celle-ci [k]" accesskey="k"><span>Suivi des pages liées</span></a></li><li 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</div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><p>En <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, et plus précisément en <a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale" title="Algèbre générale">algèbre générale</a>, un <b>quasigroupe</b>, ou <b>quasi-groupe</b><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> , est un ensemble muni d'une <a href="/wiki/Loi_de_composition_interne" title="Loi de composition interne">loi de composition interne</a> (un <i><a href="/wiki/Magma_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Magma (mathématiques)">magma</a></i>) pour laquelle (en pensant cette loi comme une multiplication), il est possible de <a href="/wiki/Division" title="Division">diviser</a>, à droite comme à gauche, le quotient à droite et le quotient à gauche étant uniques. En d'autre termes l'opération de multiplication à droite est <a href="/wiki/Bijective" class="mw-redirect" title="Bijective">bijective</a>, de même que celle de multiplication à gauche. La loi n'est pas nécessairement <a href="/wiki/Associative" class="mw-redirect" title="Associative">associative</a>, et si elle l'est, le quasigroupe est un <a href="/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Groupe (mathématiques)">groupe</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Présentation"><span id="Pr.C3.A9sentation"></span>Présentation</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Présentation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Présentation"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La <a href="/wiki/Table_de_Cayley" title="Table de Cayley">table de Cayley</a> d'une loi de <a href="/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Groupe (mathématiques)">groupe</a> vérifie une <span class="need_ref" title="Ce passage nécessite une référence (demandé le mars 2013)." style="cursor:help;">propriété dite de réarrangement</span><sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><a href="/wiki/Aide:R%C3%A9f%C3%A9rence_n%C3%A9cessaire" title="Aide:Référence nécessaire">[réf. nécessaire]</a></sup> : </p> <dl><dd><i>chaque élément du groupe apparaît une fois et une seule dans chaque ligne et chaque colonne de la table</i>.</dd></dl> <p>Mais une loi dont la table satisfait cette propriété n'est pas nécessairement la loi d'un groupe. La loi obtenue est cependant « quasiment » celle d'un groupe, d'où, probablement, le nom de « quasigroupe » donné aux structures correspondantes. </p><p>La propriété de réarrangement peut s'exprimer de manière plus formelle : </p> <ul><li>dire qu'un élément apparaît une fois et une seule sur chaque ligne revient à affirmer que pour tous <i>x</i> et <i>z</i>, l'équation   <i>x</i> * <i>y</i> = <i>z</i> a une et une seule solution en <i>y</i> ;</li> <li>de même, dire qu'un élément apparaît une fois et une seule sur chaque colonne revient à affirmer que pour tous <i>y</i> et <i>z</i>, l'équation   <i>x</i> * <i>y</i> = <i>z</i> a une et une seule solution en <i>x</i>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définition_formelle"><span id="D.C3.A9finition_formelle"></span>Définition formelle</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Définition formelle" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Définition formelle"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Un quasigroupe est un <a href="/wiki/Magma_(alg%C3%A8bre)" title="Magma (algèbre)">magma</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> , ✶) <i>non vide</i> tel que la multiplication à gauche par un élément <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> quelconque : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto a*x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>a</mi> <mo>∗</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto a*x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efac964ff2656d52c3df37ff439995ae136e1a3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.698ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto a*x}"></span> est une bijection de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span>, ainsi que la multiplication à droite <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\mapsto a*y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>a</mi> <mo>∗</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\mapsto a*y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c7dc3775012c01dd9313952d3e202d78e9d9d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.35ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle y\mapsto a*y}"></span> . </p><p>Autrement dit, pour tout couple <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e5710198f33b00695903460983021e75860e2c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.071ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)}"></span> l'équation <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a*x=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∗</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a*x=b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b8c1f66ccf1b4cb946ce7c38aa212fbe99688f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.85ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a*x=b}"></span> a une unique solution en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> et l'équation <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y*a=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>∗</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y*a=b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/193f05bef1669e04d689fab951853efc9969ffd9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.676ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y*a=b}"></span> a une unique solution en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span>. </p><p>Un <a href="/wiki/Carr%C3%A9_latin" title="Carré latin">carré latin</a> est une matrice <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\times n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\times n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d2b4cb72e304526cf5b5887147729ea259da78" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.63ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n\times n}"></span> remplie avec <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> symboles différents d'une façon telle que chaque symbole apparaisse exactement une fois par ligne et une fois par colonne. La table d'un quasigroupe fini est un carré latin, et un carré latin est la table d'un quasigroupe fini. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples">Exemples</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Exemples" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Exemples"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Tout <a href="/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Groupe (mathématiques)">groupe</a>.</li> <li>Tout <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_de_Steiner" title="Système de Steiner">système triple de Steiner</a>.</li> <li>L'ensemble des éléments non nuls d'une <a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_sur_un_corps" title="Algèbre sur un corps">algèbre </a><a href="/wiki/Espace_vectoriel_de_dimension_finie" title="Espace vectoriel de dimension finie">de dimension finie</a> sans <a href="/wiki/Diviseur_de_z%C3%A9ro" title="Diviseur de zéro">diviseurs de zéro</a> (par exemple les <a href="/wiki/Octonion" title="Octonion">octonions</a> non nuls).</li> <li><b>R</b><sup><i>n</i></sup> avec l'opération <i>x</i> * <i>y</i> = (<i>x</i> + <i>y</i>) / 2. Plus généralement, tout <a href="/wiki/Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">espace vectoriel</a> sur un <a href="/wiki/Corps_commutatif" title="Corps commutatif">corps commutatif</a> de <a href="/wiki/Caract%C3%A9ristique_d%27un_anneau" title="Caractéristique d'un anneau">caractéristique</a> différente de 2 muni de cette opération.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Structures_dérivées"><span id="Structures_d.C3.A9riv.C3.A9es"></span>Structures dérivées</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Structures dérivées" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Structures dérivées"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Un quasigroupe avec un <a href="/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_neutre" title="Élément neutre">élément neutre</a> (nécessairement unique) est appelé une boucle (<i><span class="lang-en" lang="en">loop</span></i> en anglais). D'après la définition des quasigroupes, tout élément d'une boucle a un inverse à droite et un inverse à gauche, uniques mais non nécessairement égaux.</li> <li>Un <a href="/wiki/Ruth_Moufang" title="Ruth Moufang">Moufang</a> ou une <a href="/wiki/Boucle_de_Moufang" title="Boucle de Moufang">boucle de Moufang</a> est un quasigroupe (<i>E</i>, *) dans lequel, pour tous <i>a</i>, <i>b</i> et <i>c</i> :<span style="display: block; margin-left:1.6em;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a*b)*(c*a)=(a*(b*c))*a.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>∗</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∗</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>∗</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>∗</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>∗</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∗</mo> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a*b)*(c*a)=(a*(b*c))*a.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836195fc832ad2f9916cba73e19b27748b0b9783" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.079ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a*b)*(c*a)=(a*(b*c))*a.}"></span></span>Comme son nom le suggère, une <i>boucle</i> de Moufang est une boucle.</li></ul> <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> <p>Pour un <i>a</i> dans <i>E</i>, il existe un élément <i>e</i> de <i>E</i> tel que <i>a</i> * <i>e</i> = <i>a</i>, car la multiplication à droite est bijective. Alors pour tout <i>x</i> dans <i>E</i>, (<i>x</i> * <i>a</i>) * <i>x</i> = (<i>x</i> * (<i>a</i> * <i>e</i>)) * <i>x</i> = (<i>x</i> * <i>a</i>) * (<i>e</i> * <i>x</i>) ; </p><p>donc <i>x</i> = <i>e</i> * <i>x</i> et <i>e</i> est neutre à gauche. </p><p>Pour tout <i>y</i> appartenant à <i>E</i>, <i>y</i> * <i>e</i> = <i>e</i> * (<i>y</i> * <i>e</i>) car <i>e</i> est neutre à gauche ; </p><p>ainsi (<i>y</i> * <i>e</i>) * <i>e</i> = (<i>e</i> * (<i>y</i> * <i>e</i>)) * <i>e</i> = (<i>e</i> * <i>y</i>) * (<i>e</i> * <i>e</i>) = <i>y</i> * <i>e</i>, </p><p>d'où <i>y</i> * <i>e</i> = <i>y</i>, et <i>e</i> est donc neutre à droite. </p><p>Donc <i>e</i> est un élément neutre. </p> </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Principales_propriétés"><span id="Principales_propri.C3.A9t.C3.A9s"></span>Principales propriétés</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Principales propriétés" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Principales propriétés"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Tout quasigroupe associatif est un Moufang, donc une boucle.</li> <li><a href="/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)#Affaiblissement_des_axiomes" title="Groupe (mathématiques)">Toute boucle associative est un groupe</a>.</li> <li>Par conséquent, un quasigroupe est un groupe si et seulement si sa loi est associative.</li> <li>La loi d'un quasigroupe est <a href="/wiki/Loi_de_composition_interne" title="Loi de composition interne">régulière</a> (ou simplifiable).</li></ul> <dl><dd>En effet, une loi est régulière à gauche si et seulement si les multiplications à gauche sont toutes <a href="/wiki/Injection_(math%C3%A9matiques)" title="Injection (mathématiques)">injectives</a>, et régulière à droite si et seulement si les multiplications à droite sont toutes injectives.</dd></dl> <ul><li>La réciproque est valide dans le cas fini puisqu'une injection d'un ensemble fini dans lui-même est une bijection : un magma (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> , ✶) fini est un quasigroupe si et seulement si sa loi est régulière.</li></ul> <ul><li>Il existe des magmas infinis réguliers qui ne sont pas des quasigroupes.</li></ul> <dl><dd>Il suffit de considérer l'addition sur ℕ*. En effet, c'est un magma régulier car si <i>a</i> + <i>x</i> = <i>a</i> + <i>y</i> ou <i>x</i> + <i>a</i> = <i>y</i> + <i>a</i>, alors clairement <i>x = y</i>. Par contre, ce n'est pas un quasigroupe car 1 + <i>x</i> = 1 n'a aucune solution.</dd></dl> <ul><li>La « division » est toujours possible dans un quasigroupe.</li></ul> <dl><dd>Soit « • » la correspondance de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E\times E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>×</mo> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E\times E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438347ffb26c796eaac13d2e0cceb8a6a1ad1598" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.392ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E\times E}"></span> dans <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> définie par : <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x\in E,\forall y\in E,\forall z\in E,[(x,y)\bullet z]\Leftrightarrow [z*y=x].}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>E</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>E</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mi>E</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∙</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>z</mi> <mo>∗</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in E,\forall y\in E,\forall z\in E,[(x,y)\bullet z]\Leftrightarrow [z*y=x].}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfd42d2a255169f64f549b8a7dc627338cf7689" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.728ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x\in E,\forall y\in E,\forall z\in E,[(x,y)\bullet z]\Leftrightarrow [z*y=x].}"></span></dd></dl></dd> <dd>Cette correspondance est intuitivement « l'opération inverse » de l'opération <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle *\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∗</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle *\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c1431cbc0f0f154dcf259c587733e46b14bf23" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.55ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle *\,}"></span>, autrement dit une « division »;</dd> <dd>C'est une <i>application</i> car ✶ est régulière. C'est donc une loi de composition interne : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (E,\bullet )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo>,</mo> <mo>∙</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (E,\bullet )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb4a5378265ad5fb7e9a00fc0c3f169e24a66a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.781ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (E,\bullet )}"></span> est un magma, et la « division » • s'applique donc à tous les couples de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89b3e3b96f61772772279a8b7d6ee29e079521e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.848ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle E^{2}}"></span>.</dd></dl> <ul><li>Un quasigroupe associatif est un groupe.</li></ul> <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> <dl><dd>Pour qu'un magma soit un groupe, <a href="/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)#Affaiblissement_des_axiomes" title="Groupe (mathématiques)"> il suffit </a> qu'il soit <b>associatif</b>, <b>unifère à gauche</b>, et que chacun de ses éléments soit <a href="/wiki/Loi_de_composition_interne#Inversibilité" title="Loi de composition interne"> <b>symétrisable à gauche</b></a>.</dd> <dd>L'associativité étant supposée, il suffit donc de démontrer l'existence de l'élément neutre à gauche puis l'existence du symétrique à gauche pour chaque élément du magma.</dd> <dd><b>Existence d'un élément neutre à gauche:</b></dd> <dd>soit (<i>E</i>, *) un quasigroupe associatif, et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>, un élément de <i>E</i></dd> <dd>Par définition du quasigroupe:</dd></dl> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists !e_{x}\in E:e_{x}*x=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>!</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>E</mi> <mo>:</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>∗</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists !e_{x}\in E:e_{x}*x=x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ffcb4d3afa3c3f908eb4c661160190366e5dcd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.957ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \exists !e_{x}\in E:e_{x}*x=x}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall y\in E\exists !y_{x}\in E:x*y_{x}=y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>E</mi> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>!</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>E</mi> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall y\in E\exists !y_{x}\in E:x*y_{x}=y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a436e2bc7ba82eb03e0865d7f2070557d910705c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:27.959ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \forall y\in E\exists !y_{x}\in E:x*y_{x}=y}"></span></li></ul> <dl><dd>En utilisant les mêmes termes, par associativité de *:</dd></dl> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{x}*y=e_{x}*(x*y_{x})=(e_{x}*x)*y_{x}=x*y_{x}=y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>∗</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>∗</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>∗</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∗</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{x}*y=e_{x}*(x*y_{x})=(e_{x}*x)*y_{x}=x*y_{x}=y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/febc83892bd3ed7beb1e3d61fc3d4eebe6cd6867" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:49.184ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle e_{x}*y=e_{x}*(x*y_{x})=(e_{x}*x)*y_{x}=x*y_{x}=y}"></span></li></ul> <dl><dd>Donc <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7347cb6483fc3e06fb296cd6df47c733e5bb0a15" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.256ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle e_{x}}"></span> est un élément neutre à gauche pour la loi de composition *, on le notera désormais <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span></dd> <dd><b>Symétrique à gauche</b></dd> <dd>Dans la mesure où l'existence de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span> est prouvée, par définition du quasigroupe:</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall y\in E\exists y':y'y=e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>E</mi> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>:</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall y\in E\exists y':y'y=e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd7f901da900c4735f4ca4dcbb48ead4e025da7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.322ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall y\in E\exists y':y'y=e}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a535de94a2183d7130731eab8a83531d7c35c6b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.845ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y'}"></span> est le symétrique à gauche de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span>.</dd></dl> </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Références"><span id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="MONJARDET1967"><span class="ouvrage" id="B._MONJARDET1967">B. MONJARDET, « <cite style="font-style:normal">Quasi-groupes finis, quasi-groupes orthogonaux, ensemble complet orthogonal</cite> », <i>Mathématiques et sciences humaines</i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 19 (1967), p. 13-2,‎ <time>1967</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">13-20</span> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.numdam.org/article/MSH_1967__19__13_0.pdf">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Quasi-groupes+finis%2C+quasi-groupes+orthogonaux%2C+ensemble+complet+orthogonal&rft.jtitle=Math%C3%A9matiques+et+sciences+humaines&rft.aulast=MONJARDET&rft.aufirst=B.&rft.date=1967&rft.volume=19+%281967%29%2C+p.+13-2&rft.pages=13-20&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AQuasigroupe"></span></span></span></span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quasigroupe&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Structure_alg%C3%A9brique" title="Structure algébrique">Structure algébrique</a></li> <li><a href="/wiki/Loi_de_composition_interne" title="Loi de composition interne">Loi de composition interne</a></li></ul> <div style="font-size:85%; padding-left:1.6em; margin:0.3em 0;"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé <span class="plainlinks">« <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Quasigroup?oldid=3877947">Quasigroup</a> » <small>(<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Quasigroup?action=history">voir la liste des auteurs</a>)</small></span>.</div> <div class="navbox-container" style="clear:both;"> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Structures_alg%C3%A9briques" title="Modèle:Palette Structures algébriques"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Structures_alg%C3%A9briques&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a href="/wiki/Structure_alg%C3%A9brique" title="Structure algébrique">Structures algébriques</a></div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:40px">Pures</th> <td class="navbox-list" style=""><table class="navbox-subgroup" style=""> <tbody><tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;"><a href="/wiki/Magma_(alg%C3%A8bre)" title="Magma (algèbre)">Magmas</a></th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Groupe (mathématiques)">Groupe</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Quasigroupe</a></li> <li><a href="/wiki/Demi-groupe" title="Demi-groupe">Demi-groupe</a></li> <li><a href="/wiki/Mono%C3%AFde" title="Monoïde">Monoïde</a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_ab%C3%A9lien" title="Groupe abélien">Groupe abélien</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;">Moduloïdes</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">Espace vectoriel</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_affine" title="Espace affine">Espace affine</a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs" title="Groupe à opérateurs">Groupe à opérateurs</a></li> <li><a href="/wiki/Module_sur_un_anneau" title="Module sur un anneau">Module sur un anneau</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;">Annélides</th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Anneau_non_associatif&action=edit&redlink=1" class="new" title="Anneau non associatif (page inexistante)">Anneau non associatif</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Nonassociative_ring" class="extiw" title="en:Nonassociative ring"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Nonassociative ring »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Pseudo-anneau" title="Pseudo-anneau">Pseudo-anneau</a></li> <li><a href="/wiki/Demi-anneau" title="Demi-anneau">Demi-anneau</a></li> <li><a href="/wiki/Dio%C3%AFde" title="Dioïde">Dioïde</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_(math%C3%A9matiques)" title="Anneau (mathématiques)">Anneau</a> <ul><li><a href="/wiki/Anneau_unitaire" title="Anneau unitaire">unitaire</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_commutatif" title="Anneau commutatif">commutatif</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_sans_diviseur_de_z%C3%A9ro" title="Anneau sans diviseur de zéro">sans diviseur de zéro</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_int%C3%A8gre" title="Anneau intègre">intègre</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Corps_(math%C3%A9matiques)" title="Corps (mathématiques)">Corps</a> <ul><li><a href="/wiki/Corps_commutatif" title="Corps commutatif">commutatif</a></li> <li><a href="/wiki/Corps_gauche" title="Corps gauche">gauche</a></li></ul></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;"><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_sur_un_anneau" title="Algèbre sur un anneau">Algèbre</a></th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_associative" title="Algèbre associative">Algèbre associative</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_sur_un_corps" title="Algèbre sur un corps">Algèbre sur un corps</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_associative_sur_un_corps" title="Algèbre associative sur un corps">Algèbre associative sur un corps</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_unitaire" title="Algèbre unitaire">Algèbre unitaire</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_%C3%A0_division" title="Algèbre à division">Algèbre à division</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Clifford" title="Algèbre de Clifford">Algèbre de Clifford</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Jordan" title="Algèbre de Jordan">Algèbre de Jordan</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Lie" title="Algèbre de Lie">Algèbre de Lie</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;">Autres</th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Hopf" title="Algèbre de Hopf">Algèbre de Hopf</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_homog%C3%A8ne" title="Espace homogène">Espace homogène</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:40px">Enrichies</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><table class="navbox-subgroup" style=""> <tbody><tr> <th class="navbox-group" style="width:12em;">Espace topologique</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Semi-groupe_topologique" title="Semi-groupe topologique">Semi-groupe topologique</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Mono%C3%AFde_topologique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Monoïde topologique (page inexistante)">Monoïde topologique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_monoid" class="extiw" title="en:Topological monoid"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Topological monoid »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_topologique" title="Groupe topologique">Groupe topologique</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_topologique" title="Anneau topologique">Anneau topologique</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_topologique" title="Anneau topologique">Corps topologique</a></li> <li><a href="/wiki/Corps_valu%C3%A9" title="Corps valué">Corps valué</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Module_topologique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Module topologique (page inexistante)">Module topologique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_module" class="extiw" title="en:Topological module"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Topological module »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Espace_vectoriel_topologique" title="Espace vectoriel topologique">Espace vectoriel topologique</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_topologique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algèbre topologique (page inexistante)">Algèbre topologique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_algebra" class="extiw" title="en:Topological algebra"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Topological algebra »">(en)</span></a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:12em;"><a href="/wiki/Espace_m%C3%A9trique" title="Espace métrique">Espaces métriques</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Espace_vectoriel_norm%C3%A9" title="Espace vectoriel normé">Espace vectoriel normé</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_de_Banach" title="Espace de Banach">Espace de Banach</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_pr%C3%A9hilbertien" title="Espace préhilbertien">Espace préhilbertien</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_euclidien" title="Espace euclidien">Espace euclidien</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_hermitien" title="Espace hermitien">Espace hermitien</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_de_Hilbert" title="Espace de Hilbert">Espace de Hilbert</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:12em;">Géométrie différentielle et algébrique</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Groupe_de_Lie" title="Groupe de Lie">Groupe de Lie</a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_alg%C3%A9brique" title="Groupe algébrique">Groupe algébrique</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> </tbody></table> </div> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Alg%C3%A8bre" title="Portail de l’algèbre"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Arithmetic_symbols.svg/24px-Arithmetic_symbols.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Arithmetic_symbols.svg/36px-Arithmetic_symbols.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Arithmetic_symbols.svg/48px-Arithmetic_symbols.svg.png 2x" data-file-width="210" data-file-height="210" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Alg%C3%A8bre" title="Portail:Algèbre">Portail de l’algèbre</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ce document provient de « <a dir="ltr" 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