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class="vector-toc-numb">2</span> <span>Généralisation de théorèmes classiques</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Généralisation_de_théorèmes_classiques-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Généralisation de théorèmes classiques</span> </button> <ul id="toc-Généralisation_de_théorèmes_classiques-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Théorèmes_d'isomorphisme" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Théorèmes_d'isomorphisme"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Théorèmes d'isomorphisme</span> </div> </a> <ul id="toc-Théorèmes_d'isomorphisme-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Théorème_de_Jordan-Hölder" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Théorème_de_Jordan-Hölder"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Théorème de Jordan-Hölder</span> </div> </a> <ul id="toc-Théorème_de_Jordan-Hölder-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Longueur_d'un_groupe_à_opérateurs" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Longueur_d'un_groupe_à_opérateurs"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Longueur d'un groupe à opérateurs</span> </div> </a> <ul id="toc-Longueur_d'un_groupe_à_opérateurs-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Histoire" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Histoire"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Histoire</span> </div> </a> <ul id="toc-Histoire-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notes_et_références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes_et_références"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Notes et références</span> </div> </a> <ul id="toc-Notes_et_références-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Basculer la table des matières</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Groupe à opérateurs</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 6 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-6" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">6 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Group_with_operators" title="Group with operators – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Group with operators" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Grup_dengan_operator" title="Grup dengan operator – indonésien" lang="id" hreflang="id" data-title="Grup dengan operator" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésien" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0%E3%82%92%E3%82%82%E3%81%A4%E7%BE%A4" title="作用素をもつ群 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="作用素をもつ群" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9E%91%EC%9A%A9%EC%86%8C%EA%B5%B0" title="작용소군 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="작용소군" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Grupa_z_operatorami" title="Grupa z operatorami – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Grupa z operatorami" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_%D0%B7_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8" title="Група з операторами – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Група з операторами" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q3077823#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs" title="Voir le contenu de la page [c]" accesskey="c"><span>Article</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discussion:Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs" rel="discussion" title="Discussion au sujet de cette page de contenu [t]" accesskey="t"><span>Discussion</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" 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id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs"><span>Lire</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&action=history" title="Historique des versions de cette page [h]" accesskey="h"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Outils" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Outils</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Outils</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">masquer</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Plus d’options" > <div class="vector-menu-heading"> Actions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs"><span>Lire</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&action=history"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Général </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_li%C3%A9es/Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs" title="Liste des pages liées qui pointent sur celle-ci [j]" accesskey="j"><span>Pages 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class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Livre&bookcmd=book_creator&referer=Groupe+%C3%A0+op%C3%A9rateurs"><span>Créer un livre</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:DownloadAsPdf&page=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&action=show-download-screen"><span>Télécharger comme PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&printable=yes" title="Version imprimable de cette page [p]" accesskey="p"><span>Version imprimable</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Dans d’autres projets </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q3077823" title="Lien vers l’élément dans le dépôt de données connecté [g]" accesskey="g"><span>Élément Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><p>La notion de <b>groupe à opérateurs</b> peut être considérée comme une généralisation de la notion mathématique de <a href="/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Groupe (mathématiques)">groupe</a>. Elle permet de donner une forme plus forte à certains théorèmes classiques, comme le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Jordan-H%C3%B6lder" title="Théorème de Jordan-Hölder">théorème de Jordan-Hölder</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définitions"><span id="D.C3.A9finitions"></span>Définitions</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Définitions" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Définitions"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Groupes_à_opérateurs"><span id="Groupes_.C3.A0_op.C3.A9rateurs"></span>Groupes à opérateurs</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Groupes à opérateurs" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Groupes à opérateurs"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Un groupe à <a href="/wiki/Op%C3%A9rateur_(math%C3%A9matiques)" title="Opérateur (mathématiques)">opérateurs</a> est constitué de trois objets mathématiques : </p> <ul><li>un <a href="/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Groupe (mathématiques)">groupe</a> G, dit groupe sous-jacent (que nous noterons <a href="/wiki/Notation_multiplicative" title="Notation multiplicative">multiplicativement</a>),</li> <li>un <a href="/wiki/Ensemble" title="Ensemble">ensemble</a> Ω dit domaine d'opérateurs</li> <li>une <a href="/wiki/Action_de_groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Action de groupe (mathématiques)">action</a> de Ω sur G <a href="/wiki/Distributivit%C3%A9" title="Distributivité">distributive</a> par rapport à la loi de groupe de G, c'est-à-dire d'une <a href="/wiki/Application_(math%C3%A9matiques)" title="Application (mathématiques)">application</a></li></ul> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \Omega \times G\rightarrow G:(\omega ,g)\mapsto g^{\omega }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo>×</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>G</mi> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ω</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \Omega \times G\rightarrow G:(\omega ,g)\mapsto g^{\omega }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b17eff4f3c2e0b7e85c576909be3dab34081f6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.696ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \Omega \times G\rightarrow G:(\omega ,g)\mapsto g^{\omega }}"></span></center> <p>telle que, pour tout élément ω de Ω et tous éléments <i>g</i>, <i>h</i> de G </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ (gh)^{\omega }=g^{\omega }h^{\omega }.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mi>h</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ω</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ω</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ω</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ (gh)^{\omega }=g^{\omega }h^{\omega }.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdce1dce0df88ca20e8890180fa56730a66cca2e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.811ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ (gh)^{\omega }=g^{\omega }h^{\omega }.}"></span></center> <p>Un groupe à opérateurs ne se réduit pas à son groupe sous-jacent, mais on commet souvent l'abus de langage de les identifier. </p><p>Un groupe à opérateurs dont le domaine d'opérateurs est Ω est appelé un groupe à opérateurs dans Ω ou encore un Ω-groupe<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p><i>Cas du groupe ordinaire :</i> Un groupe ordinaire peut être assimilé à un groupe à opérateurs dans l'<a href="/wiki/Ensemble_vide" title="Ensemble vide">ensemble vide</a> <var>Ø</var>. Ainsi, on peut considérer que certains théorèmes relatifs aux groupes sont des cas particuliers de théorèmes relatifs aux groupes à opérateurs. </p><p>Pour tout élément ω de Ω, la transformation g ↦ g<sup>ω</sup> est un <a href="/wiki/Morphisme_de_groupes" title="Morphisme de groupes">endomorphisme du groupe</a> sous-jacent G. Un tel endomorphisme est parfois appelé une <i><a href="/wiki/Homoth%C3%A9tie" title="Homothétie">homothétie</a></i> du Ω-groupe G. Si G est un groupe et Ω un ensemble, la donnée d'une structure de Ω-groupe sur G équivaut à la donnée d'une <a href="/wiki/Famille_(math%C3%A9matiques)" title="Famille (mathématiques)">famille</a> d'endomorphismes du groupe G indexée par Ω, ou encore à la donnée d'une application de Ω dans l'ensemble des endomorphismes du groupe G. </p><p>Un groupe à opérateurs est dit <i>commutatif</i>, ou encore <i>abélien</i>, si son groupe sous-jacent est <a href="/wiki/Groupe_ab%C3%A9lien" title="Groupe abélien">commutatif</a>. </p><p>Un <a href="/wiki/Module_sur_un_anneau" title="Module sur un anneau">module</a> <i>M</i> sur un anneau <i>A</i> est un cas particulier de groupe à opérateurs abélien, le groupe abélien étant le groupe additif de <i>M</i>, l'ensemble d'opérateurs étant <i>A</i> et l'action de <i>A</i> sur <i>M</i> étant la loi externe du module. Le fait que <i>M</i> est ainsi un groupe à opérateurs dans <i>A</i> tient à la distributivité de la loi externe du module par rapport à l'addition des vecteurs. Les groupes à opérateurs abéliens ne sont évidemment pas tous des modules, mais on peut ramener leur étude à celle des modules<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sous-groupes_stables_et_Ω-groupes_quotients"><span id="Sous-groupes_stables_et_.CE.A9-groupes_quotients"></span>Sous-groupes stables et Ω-groupes quotients</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Sous-groupes stables et Ω-groupes quotients" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Sous-groupes stables et Ω-groupes quotients"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Un <a href="/wiki/Sous-groupe" title="Sous-groupe">sous-groupe</a> H d'un Ω-groupe (ou, plus exactement, du groupe sous-jacent) est dit <i><a href="/wiki/Partie_stable" class="mw-redirect" title="Partie stable">stable</a></i> si, pour tout élément ω de Ω et tout élément <i>h</i> de H, <i>h</i><sup>ω</sup> appartient à H. On peut alors définir l'action </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \Omega \times H\rightarrow H:(\omega ,h)\mapsto h^{\omega }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo>×</mo> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>H</mi> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ω</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \Omega \times H\rightarrow H:(\omega ,h)\mapsto h^{\omega }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2f086af19afc0579c747b23621b50ea2c33016" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.613ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ \Omega \times H\rightarrow H:(\omega ,h)\mapsto h^{\omega }}"></span></center> <p>et cette action fait de H un Ω-groupe. Un sous-groupe stable d'un Ω-groupe G est aussi appelé un Ω-sous-groupe de G. </p><p><i>Cas du groupe ordinaire :</i> Si G est un groupe ordinaire considéré comme groupe à opérateurs dans l'ensemble vide, les sous-groupes <i>stables</i> de ce groupe à opérateurs sont alors les sous-groupes de G. Ici aussi, donc, une notion relative aux groupes peut être vue comme un cas particulier d'une notion relative aux groupes à opérateurs. </p><p>Si G est un Ω-groupe, le sous-<a href="/wiki/Groupe_trivial" title="Groupe trivial">groupe trivial</a> de G (c'est-à-dire son sous-groupe réduit à l'<a href="/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_neutre" title="Élément neutre">élément neutre</a>) et G lui-même sont des Ω-sous-groupes de G. </p><p>Soient G un Ω-groupe et H un Ω-sous-groupe de G. On dit que H est un Ω-sous-groupe <i>normal</i>, ou encore <i>distingué</i>, de G si c'est un <a href="/wiki/Sous-groupe_normal" title="Sous-groupe normal">sous-groupe normal</a> du groupe sous-jacent de G. Dans ce cas, si ω est un élément de Ω, si g<sub>1</sub> et g<sub>2</sub> sont des éléments de G congrus modulo H (c'est-à-dire appartenant à une même <a href="/wiki/Classe_suivant_un_sous-groupe" title="Classe suivant un sous-groupe">classe modulo H</a>), alors g<sub>1</sub><sup>ω</sup> et g<sub>2</sub><sup>ω</sup> sont eux aussi congrus modulo H, d'où <span class="nowrap">g<sub>1</sub><sup>ω</sup> H = g<sub>2</sub><sup>ω</sup> H.</span> On peut donc définir une action Ω × G/H → G/H de Ω sur le <a href="/wiki/Groupe_quotient" title="Groupe quotient">groupe quotient</a> G/H qui, pour tout élément ω de Ω et tout élément g de G, applique (ω, gH) sur g<sup>ω</sup> H. Cette action fait de G/H un Ω-groupe, appelé Ω-groupe quotient de G par H. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Homomorphismes_de_groupes_à_opérateurs"><span id="Homomorphismes_de_groupes_.C3.A0_op.C3.A9rateurs"></span>Homomorphismes de groupes à opérateurs</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Homomorphismes de groupes à opérateurs" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Homomorphismes de groupes à opérateurs"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Soient G et H deux Ω-groupes. (L'ensemble d'opérateurs est donc le même pour les deux groupes.) On appelle <i>homomorphisme de groupes à opérateurs</i> de G dans H, ou encore Ω-<i>homomorphisme</i> de G dans H, un <a href="/wiki/Morphisme_de_groupes" title="Morphisme de groupes">homomorphisme <i>f</i> de groupes</a> de G dans H tel que, pour tout élément ω de Ω et tout élément x de G, on ait <i>f</i>(x<sup>ω</sup>) = <i>f</i>(x)<sup>ω</sup>. Si K est un Ω-sous-groupe normal de G, l'homomorphisme canonique de groupes de G sur G/K est un Ω-homomorphisme du Ω-groupe G sur le Ω-groupe G/K qu'on a défini plus haut. </p><p>Si <i>f</i> est un Ω-homomorphisme d'un Ω-groupe G dans un Ω-groupe H, le <a href="/wiki/Noyau_(alg%C3%A8bre)#Noyau_d'un_morphisme_de_groupes" title="Noyau (algèbre)">noyau</a> de l'homomorphisme de groupes <i>f</i> est un Ω-sous-groupe normal de G. L'<a href="/wiki/Image_d%27une_application" title="Image d'une application">image</a> de <i>f</i> est un Ω-sous-groupe de G. </p><p>Si un Ω-homomorphisme est un isomorphisme de groupes (ce qui revient à dire qu'il est <a href="/wiki/Bijectif" class="mw-redirect" title="Bijectif">bijectif</a>), on dit que c'est un Ω-isomorphisme. L'isomorphisme de groupes réciproque est alors lui aussi un Ω-isomorphisme. Si G et H sont deux Ω-groupes et qu'il existe un Ω-isomorphisme de l'un sur l'autre, on dit que G et H sont Ω-isomorphes. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Groupe_à_opérateurs_simple"><span id="Groupe_.C3.A0_op.C3.A9rateurs_simple"></span>Groupe à opérateurs simple</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Groupe à opérateurs simple" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Groupe à opérateurs simple"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Un groupe à opérateurs est dit simple s'il n'est pas réduit à l'élément neutre et s'il n'a pas d'autre sous-groupe stable normal que lui-même et son sous-groupe réduit à l'élément neutre. Pour insister sur le fait qu'un Ω-groupe est supposé simple comme Ω-groupe et non forcément <a href="/wiki/Groupe_simple" title="Groupe simple">comme groupe</a>, on dit volontiers qu'il est Ω-simple<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Si un Ω-groupe est simple comme groupe, il est Ω-simple, mais la réciproque n'est pas vraie<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Généralisation_de_théorèmes_classiques"><span id="G.C3.A9n.C3.A9ralisation_de_th.C3.A9or.C3.A8mes_classiques"></span>Généralisation de théorèmes classiques</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Généralisation de théorèmes classiques" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Généralisation de théorèmes classiques"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorèmes_d'isomorphisme"><span id="Th.C3.A9or.C3.A8mes_d.27isomorphisme"></span>Théorèmes d'isomorphisme</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Théorèmes d'isomorphisme" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Théorèmes d'isomorphisme"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Ces notions permettent d'étendre de façon évidente les <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_d%27isomorphisme" title="Théorèmes d'isomorphisme">théorèmes d'isomorphisme</a> aux groupes à opérateurs<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorème_de_Jordan-Hölder"><span id="Th.C3.A9or.C3.A8me_de_Jordan-H.C3.B6lder"></span>Théorème de Jordan-Hölder</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Théorème de Jordan-Hölder" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Théorème de Jordan-Hölder"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Jordan-H%C3%B6lder" title="Théorème de Jordan-Hölder">Théorème de Jordan-Hölder</a>.</div></div> <p>Le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Jordan-H%C3%B6lder" title="Théorème de Jordan-Hölder">théorème de Jordan-Hölder</a> s'étend aux groupes à opérateurs. Ainsi étendu, il permet par exemple de prouver que <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_dimension_pour_les_espaces_vectoriels#Cas_G_finie" title="Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels">deux bases finies d'un même espace vectoriel ont toujours le même nombre d'éléments</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Longueur_d'un_groupe_à_opérateurs"><span id="Longueur_d.27un_groupe_.C3.A0_op.C3.A9rateurs"></span>Longueur d'un groupe à opérateurs</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Longueur d'un groupe à opérateurs" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Longueur d'un groupe à opérateurs"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div><p> Appelons <i>suite de composition</i><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite_crochet">[</span>6<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> d'un Ω-groupe <i>G</i> toute suite finie (<i>G</i><sub>0</sub>, <i>G</i><sub>1</sub>, … , <i>G<sub>r</sub></i>) de Ω-sous-groupes de <i>G</i> telle que</p><center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{r}=\{e\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>⊇</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⊇</mo> <mo>…</mo> <mo>⊇</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>e</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{r}=\{e\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add16ec313ac3c804ca660a26ded8fd694925f81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.013ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{r}=\{e\}}"></span></center><p> et que, pour tout <i>i</i>∈{0, 1, … , <i>r</i> – 1}, <i>G</i><sub><i>i</i> + 1</sub> soit sous-groupe normal (et donc Ω-sous-groupe normal) de <i>G<sub>i</sub></i>. Appelons alors <i>r</i> la longueur de cette suite. On définit<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite_crochet">[</span>7<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> la <b>longueur</b> du Ω-groupe <i>G</i> comme étant la <a href="/wiki/Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure" title="Borne supérieure et borne inférieure">borne supérieure</a> (parmi les cardinaux, finis ou infinis) des entiers naturels <i>n</i> tels que <i>G</i> admette une <a href="/wiki/Suite_de_composition" title="Suite de composition">suite de composition</a> strictement décroissante de longueur <i>n</i>. </p><p>La longueur de <i>G</i> est finie si et seulement si <i>G</i> admet une <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Jordan-H%C3%B6lder" title="Théorème de Jordan-Hölder">suite de Jordan-Hölder</a>, auquel cas la longueur de <i>G</i> est égale à la longueur de ses suites de Jordan-Hölder. Dans le cas contraire, la longueur de <i>G</i> est égale au plus petit cardinal infini (cardinal de l'ensemble des nombres naturels). Si <i>G</i> est un Ω-groupe et <i>H</i> un Ω-sous-groupe normal de <i>G</i>, la longueur de <i>G</i> est la somme des longueurs des Ω-groupes <i>H</i> et <i>G</i>/<i>H</i><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite_crochet">[</span>8<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Histoire">Histoire</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Histoire" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Histoire"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Selon une note de <a href="/wiki/Garrett_Birkhoff" title="Garrett Birkhoff">Garrett Birkhoff</a>, la notion de groupe à opérateurs fut développée par <a href="/wiki/Emmy_Noether" title="Emmy Noether">Emmy Noether</a> et ses collaborateurs<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite_crochet">[</span>9<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Dans une publication de 1925, <a href="/wiki/Wolfgang_Krull" title="Wolfgang Krull">W. Krull</a> définit les groupes à opérateurs, mais en se limitant aux groupes à opérateurs abéliens. Il les appelle "groupes abéliens généralisés<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite_crochet">[</span>10<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>". </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Groupe_%C3%A0_op%C3%A9rateurs&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text">Les définitions données dans le présent article sont conformes, les unes à <span class="ouvrage" id="Bourbaki1970"><span class="ouvrage" id="N._Bourbaki1970"><a href="/wiki/Nicolas_Bourbaki" title="Nicolas Bourbaki">N. <span class="nom_auteur">Bourbaki</span></a>, <cite class="italique"><a href="/wiki/%C3%89l%C3%A9ments_de_math%C3%A9matique" title="Éléments de mathématique">Algèbre I</a></cite>, Paris, <time>1970</time>, <abbr class="abbr" title="chapitre(s)">chap.</abbr> 1, I.29 et ss.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Alg%C3%A8bre+I&rft.place=Paris&rft.aulast=Bourbaki&rft.aufirst=N.&rft.date=1970&rft.pages=I.29+et+ss.&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AGroupe+%C3%A0+op%C3%A9rateurs"></span></span></span>, les autres à <span class="ouvrage" id="Rose1994"><span class="ouvrage" id="John_S._Rose1994"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> John S. <span class="nom_auteur">Rose</span>, <cite class="italique" lang="en">A Course on Group Theory</cite>, Dover, <time>1994</time> (<abbr class="abbr" title="première">1<sup>re</sup></abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> 1978), <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 137 et ss<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+Course+on+Group+Theory&rft.pub=Dover&rft.aulast=Rose&rft.aufirst=John+S.&rft.date=1994&rft.pages=137+et+ss&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AGroupe+%C3%A0+op%C3%A9rateurs"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text">N. Bourbaki, <i>Algèbre</i>, ch. 3, Paris, Hermann, 1970, p. III. 21.</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text">Voir par exemple <a href="#Rose1994">Rose 1994</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 140.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text">Voir un contre-exemple dans <a href="#Rose1994">Rose 1994</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 140.</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-5">↑</a> </span><span class="reference-text">Voir par exemple <span class="ouvrage" id="Scott1987"><span class="ouvrage" id="W._R._Scott1987"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> W. R. <span class="nom_auteur">Scott</span>, <cite class="italique" lang="en">Group Theory</cite>, Dover, <time>1987</time> (<abbr class="abbr" title="première">1<sup>re</sup></abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> 1964), <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">41-42</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Group+Theory&rft.pub=Dover&rft.aulast=Scott&rft.aufirst=W.+R.&rft.date=1987&rft.pages=41-42&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AGroupe+%C3%A0+op%C3%A9rateurs"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-6">↑</a> </span><span class="reference-text">Cette appellation est conforme à N. Bourbaki, <i>Algèbre I, Chapitres 1 à 3</i>, Paris, 1970, p. I. 39.</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-7">↑</a> </span><span class="reference-text">Cette définition est conforme à N. Bourbaki, <i>Algèbre I, Chapitres 1 à 3</i>, Paris, 1970, p. I. 42.</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-8">↑</a> </span><span class="reference-text">Voir N. Bourbaki, <i>Algèbre I, Chapitres 1 à 3</i>, Paris, 1970, prop. 10, p. I. 42.</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-9">↑</a> </span><span class="reference-text">Garrett Birkhoff, <i>Lattice Theory</i>, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 25, <abbr class="abbr" title="Troisième">3<sup>e</sup></abbr> édition, 1967, partiellement consultable sur <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.be/books?id=0Y8d-MdtVwkC&pg=PA160&lpg=PA160&dq=%22group+with+operators%22&source=bl&ots=Z-3Ddwpi5H&sig=rya1mC1Do9rJKgn-d7b4Eqa56cU&hl=fr&sa=X&ei=T3iWUPaXCumo0QWphIDABw&ved=0CNgEEOgBMEk#v=onepage&q=%22group%20with%20operators%22&f=false">Google livres</a>, p. 160. Birkhoff renvoie à W. Krull, <i>Mathematische Zeitung</i>, vol. 23 (1925), p. 161-196, et à <a href="/wiki/Bartel_Leendert_van_der_Waerden" title="Bartel Leendert van der Waerden">van der Waerden</a>, <i>Moderne Algebra</i>, § 38 et ss.</span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-10">↑</a> </span><span class="reference-text">W. Krull, « Über verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen », <i>Mathematische Zeitschrift</i>, vol. 23 (1925), p. 161-196, consultable sur <a rel="nofollow" class="external text" href="http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN266833020_0023&DMDID=DMDLOG_0012">le site de l'université de Göttingen</a>.</span> </li> </ol></div> <div class="navbox-container" style="clear:both;"> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Structures_alg%C3%A9briques" title="Modèle:Palette Structures algébriques"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Structures_alg%C3%A9briques&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a href="/wiki/Structure_alg%C3%A9brique" title="Structure algébrique">Structures algébriques</a></div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:40px">Pures</th> <td class="navbox-list" style=""><table class="navbox-subgroup" style=""> <tbody><tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;"><a href="/wiki/Magma_(alg%C3%A8bre)" title="Magma (algèbre)">Magmas</a></th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Groupe (mathématiques)">Groupe</a></li> <li><a href="/wiki/Quasigroupe" title="Quasigroupe">Quasigroupe</a></li> <li><a href="/wiki/Demi-groupe" title="Demi-groupe">Demi-groupe</a></li> <li><a href="/wiki/Mono%C3%AFde" title="Monoïde">Monoïde</a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_ab%C3%A9lien" title="Groupe abélien">Groupe abélien</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;">Moduloïdes</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">Espace vectoriel</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_affine" title="Espace affine">Espace affine</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Groupe à opérateurs</a></li> <li><a href="/wiki/Module_sur_un_anneau" title="Module sur un anneau">Module sur un anneau</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;">Annélides</th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Anneau_non_associatif&action=edit&redlink=1" class="new" title="Anneau non associatif (page inexistante)">Anneau non associatif</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Nonassociative_ring" class="extiw" title="en:Nonassociative ring"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Nonassociative ring »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Pseudo-anneau" title="Pseudo-anneau">Pseudo-anneau</a></li> <li><a href="/wiki/Demi-anneau" title="Demi-anneau">Demi-anneau</a></li> <li><a href="/wiki/Dio%C3%AFde" title="Dioïde">Dioïde</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_(math%C3%A9matiques)" title="Anneau (mathématiques)">Anneau</a> <ul><li><a href="/wiki/Anneau_unitaire" title="Anneau unitaire">unitaire</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_commutatif" title="Anneau commutatif">commutatif</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_sans_diviseur_de_z%C3%A9ro" title="Anneau sans diviseur de zéro">sans diviseur de zéro</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_int%C3%A8gre" title="Anneau intègre">intègre</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Corps_(math%C3%A9matiques)" title="Corps (mathématiques)">Corps</a> <ul><li><a href="/wiki/Corps_commutatif" title="Corps commutatif">commutatif</a></li> <li><a href="/wiki/Corps_gauche" title="Corps gauche">gauche</a></li></ul></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;"><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_sur_un_anneau" title="Algèbre sur un anneau">Algèbre</a></th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_associative" title="Algèbre associative">Algèbre associative</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_sur_un_corps" title="Algèbre sur un corps">Algèbre sur un corps</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_associative_sur_un_corps" title="Algèbre associative sur un corps">Algèbre associative sur un corps</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_unitaire" title="Algèbre unitaire">Algèbre unitaire</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_%C3%A0_division" title="Algèbre à division">Algèbre à division</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Clifford" title="Algèbre de Clifford">Algèbre de Clifford</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Jordan" title="Algèbre de Jordan">Algèbre de Jordan</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Lie" title="Algèbre de Lie">Algèbre de Lie</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:70px;">Autres</th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Hopf" title="Algèbre de Hopf">Algèbre de Hopf</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_homog%C3%A8ne" title="Espace homogène">Espace homogène</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:40px">Enrichies</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><table class="navbox-subgroup" style=""> <tbody><tr> <th class="navbox-group" style="width:12em;">Espace topologique</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Semi-groupe_topologique" title="Semi-groupe topologique">Semi-groupe topologique</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Mono%C3%AFde_topologique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Monoïde topologique (page inexistante)">Monoïde topologique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_monoid" class="extiw" title="en:Topological monoid"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Topological monoid »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_topologique" title="Groupe topologique">Groupe topologique</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_topologique" title="Anneau topologique">Anneau topologique</a></li> <li><a href="/wiki/Anneau_topologique" title="Anneau topologique">Corps topologique</a></li> <li><a href="/wiki/Corps_valu%C3%A9" title="Corps valué">Corps valué</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Module_topologique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Module topologique (page inexistante)">Module topologique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_module" class="extiw" title="en:Topological module"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Topological module »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Espace_vectoriel_topologique" title="Espace vectoriel topologique">Espace vectoriel topologique</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_topologique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algèbre topologique (page inexistante)">Algèbre topologique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_algebra" class="extiw" title="en:Topological algebra"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Topological algebra »">(en)</span></a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:12em;"><a href="/wiki/Espace_m%C3%A9trique" title="Espace métrique">Espaces métriques</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Espace_vectoriel_norm%C3%A9" title="Espace vectoriel normé">Espace vectoriel normé</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_de_Banach" title="Espace de Banach">Espace de Banach</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_pr%C3%A9hilbertien" title="Espace préhilbertien">Espace préhilbertien</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_euclidien" title="Espace euclidien">Espace euclidien</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_hermitien" title="Espace hermitien">Espace hermitien</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_de_Hilbert" title="Espace de Hilbert">Espace de Hilbert</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:12em;">Géométrie différentielle et algébrique</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Groupe_de_Lie" title="Groupe de Lie">Groupe de Lie</a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_alg%C3%A9brique" title="Groupe algébrique">Groupe algébrique</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> </tbody></table> </div> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Alg%C3%A8bre" title="Portail de l’algèbre"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Arithmetic_symbols.svg/24px-Arithmetic_symbols.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Arithmetic_symbols.svg/36px-Arithmetic_symbols.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Arithmetic_symbols.svg/48px-Arithmetic_symbols.svg.png 2x" data-file-width="210" data-file-height="210" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Alg%C3%A8bre" title="Portail:Algèbre">Portail de l’algèbre</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ce document provient de « <a dir="ltr" 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