Mecánica newtoniana - Wikipedia, la enciclopedia libre

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barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ocultar</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Inicio</div> </a> </li> <li id="toc-Importancia_de_la_mecánica_newtoniana" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Importancia_de_la_mecánica_newtoniana"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Importancia de la mecánica newtoniana</span> </div> </a> <ul id="toc-Importancia_de_la_mecánica_newtoniana-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Descripción_de_la_teoría" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" 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class="vector-toc-numb">2.5</span> <span>Relaciones con otras teorías</span> </div> </a> <ul id="toc-Relaciones_con_otras_teorías-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Véase_también" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Véase_también"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Véase también</span> </div> </a> <ul id="toc-Véase_también-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contenidos" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" 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href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Mekanika_newtondar" title="Mekanika newtondar (euskera)" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Mekanika newtondar" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="euskera" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q9030992#sitelinks-wikipedia" title="Editar enlaces interlingüísticos" class="wbc-editpage">Editar enlaces</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espacios de nombres"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a 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src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5d/Newtons_laws_in_latin.jpg" decoding="async" width="296" height="461" class="mw-file-element" data-file-width="296" data-file-height="461" /></a><figcaption>La primera y segunda ley de Newton, en <a href="/wiki/Lat%C3%ADn" title="Latín">latín</a>, en la edición original de su obra <i><a href="/wiki/Philosophi%C3%A6_Naturalis_Principia_Mathematica" class="mw-redirect" title="Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica">Principia Mathematica</a></i>.</figcaption></figure> <p>La <b>mecánica newtoniana</b> o <b>mecánica vectorial</b> es una formulación específica de la <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica" title="Mecánica clásica">mecánica clásica</a> que estudia el <a href="/wiki/Movimiento_(f%C3%ADsica)" title="Movimiento (física)">movimiento</a> de partículas y sólidos en un <a href="/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo" title="Espacio euclídeo">espacio euclídeo</a> tridimensional. Los cuerpos tienen velocidad inicial básica de la misma se hace en <a href="/wiki/Sistema_inercial" class="mw-redirect" title="Sistema inercial">sistemas de referencia inerciales</a> donde las ecuaciones básicas del movimiento se reducen a las <a href="/wiki/Leyes_de_Newton" title="Leyes de Newton">leyes de Newton</a>, en honor a <a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a>, quien hizo contribuciones fundamentales a esta teoría. </p><p>La <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica" title="Mecánica">mecánica</a> es la parte de la <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">física</a> que estudia el movimiento. Se subdivide en: </p> <ul><li><a href="/wiki/Est%C3%A1tica_(mec%C3%A1nica)" title="Estática (mecánica)">Estática</a>, que trata sobre las fuerzas en <a href="/wiki/Equilibrio_mec%C3%A1nico" title="Equilibrio mecánico">equilibrio mecánico</a>.</li> <li><a href="/wiki/Cinem%C3%A1tica" title="Cinemática">Cinemática</a>, que estudia el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen.</li> <li><a href="/wiki/Din%C3%A1mica_(f%C3%ADsica)" class="mw-redirect" title="Dinámica (física)">Dinámica</a>, que estudia los movimientos y las causas que los producen (<a href="/wiki/Fuerza" title="Fuerza">fuerza</a> y <a href="/wiki/Energ%C3%ADa_(f%C3%ADsica)" class="mw-redirect" title="Energía (física)">energía</a>).</li></ul> <p>La mecánica newtoniana es adecuada para describir eventos físicos de la experiencia diaria, es decir, a eventos que suceden a velocidades muchísimo menores que la <a href="/wiki/Velocidad_de_la_luz" title="Velocidad de la luz">velocidad de la luz</a> y tienen escala <a href="/wiki/Macrosc%C3%B3pico" class="mw-redirect" title="Macroscópico">macroscópica</a>. En el caso de sistemas con velocidades próximas a la velocidad de la luz debemos acudir a la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividad_especial" title="Teoría de la relatividad especial">mecánica relativista</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Importancia_de_la_mecánica_newtoniana"><span id="Importancia_de_la_mec.C3.A1nica_newtoniana"></span>Importancia de la mecánica newtoniana</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mec%C3%A1nica_newtoniana&action=edit&section=1" title="Editar sección: Importancia de la mecánica newtoniana"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La mecánica newtoniana es un <a href="/wiki/Modelo_f%C3%ADsico" title="Modelo físico">modelo físico</a> <a href="/wiki/Macrosc%C3%B3pico" class="mw-redirect" title="Macroscópico">macroscópico</a> para describir el movimiento de los cuerpos en el espacio relacionando este movimiento con sus causas eficientes (<a href="/wiki/Fuerza" title="Fuerza">fuerzas</a>). Históricamente, la mecánica newtoniana fue el primer modelo dinámico capaz de hacer predicciones importantes sobre el movimiento de los cuerpos, incluyendo las trayectorias de los planetas. Es conceptualmente más simple que otras formulaciones de la <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica" title="Mecánica clásica">mecánica clásica</a> como la <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_lagrangiana" title="Mecánica lagrangiana">lagrangiana</a> o <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_hamiltoniana" title="Mecánica hamiltoniana">hamiltoniana</a>, por lo que resulta útil en problemas relativamente sencillos, pero su uso en problemas complicados puede ser más enredado que las otras dos formulaciones. </p><p>Y, por supuesto, la mecánica newtoniana es relativamente más sencilla que una teoría como la <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica" title="Mecánica cuántica">mecánica cuántica</a> relativista, que describe adecuadamente incluso fenómenos <a href="/wiki/Part%C3%ADcula_elemental" title="Partícula elemental">partículas elementales</a> moviéndose a gran velocidad y entornos <a href="/wiki/Microsc%C3%B3pico" class="mw-redirect" title="Microscópico">microscópicos</a>, que no pueden ser adecuadamente modelizados por la mecánica newtoniana. </p><p>La mecánica newtoniana es suficientemente válida para la gran mayoría de los casos prácticos cotidianos en una gran cantidad de sistemas. Esta teoría, por ejemplo, describe con gran exactitud sistemas como <a href="/wiki/Cohete" title="Cohete">cohetes</a>, movimiento de <a href="/wiki/Planeta" title="Planeta">planetas</a>, <a href="/wiki/Compuesto_org%C3%A1nico" title="Compuesto orgánico">moléculas orgánicas</a>, <a href="/wiki/Trompo" title="Trompo">trompos</a>, <a href="/wiki/Tren" title="Tren">trenes</a> y <a href="/wiki/Trayectoria" title="Trayectoria">trayectorias</a> de móviles en general. </p><p>La mecánica clásica de Newton es ampliamente compatible con otras teorías clásicas como el <a href="/wiki/Electromagnetismo" title="Electromagnetismo">electromagnetismo</a> y la <a href="/wiki/Termodin%C3%A1mica" title="Termodinámica">termodinámica</a>, también "clásicos" (estas teorías tienen también su equivalente cuántico). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Descripción_de_la_teoría"><span id="Descripci.C3.B3n_de_la_teor.C3.ADa"></span>Descripción de la teoría</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mec%C3%A1nica_newtoniana&action=edit&section=2" title="Editar sección: Descripción de la teoría"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La mecánica newtoniana se formula sobre un <a href="/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo" title="Espacio euclídeo">espacio euclídeo</a> <a href="/wiki/Tridimensional" title="Tridimensional">tridimensional</a>. La teoría asume la existencia de un <a href="/wiki/Tiempo" title="Tiempo">tiempo</a> universal compartido por todos los <a href="/wiki/Observador" title="Observador">observadores</a> y asume que las partículas siguen trayectorias trazables bien definidas. Varios de estos supuestos de la mecánica newtoniana son abandonados en otras teorías físicas como la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividad" title="Teoría de la relatividad">mecánica relativista</a> o la <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica" title="Mecánica cuántica">mecánica cuántica</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Posición,_velocidad_y_aceleración"><span id="Posici.C3.B3n.2C_velocidad_y_aceleraci.C3.B3n"></span>Posición, velocidad y aceleración</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mec%C3%A1nica_newtoniana&action=edit&section=3" title="Editar sección: Posición, velocidad y aceleración"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La <a href="/wiki/Posici%C3%B3n" title="Posición">posición</a> de una partícula con respecto a un punto fijo en el espacio se denota con el <a href="/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)" class="mw-redirect" title="Vector (física)">vector</a> <b>r</b>, cuya norma, | <b>r</b> | = <i>r</i>, corresponde a la distancia entre el punto fijo y la partícula, y su dirección es la que va desde este punto fijo al lugar en que se ubica la partícula. Si <b>r</b> es una función del tiempo <i>t</i>, denotado por <b>r</b> = <b>f</b>(t), el tiempo <i>t</i> se toma a partir de un tiempo inicial arbitrario: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {f} (t)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">f</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {f} (t)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a242f983c791ab6d2d0c117bb98c9175d25129" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.29ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {f} (t)\,}"></span> </p> </blockquote> <p>Entonces resulta que la <a href="/wiki/Velocidad" title="Velocidad">velocidad</a> y la <a href="/wiki/Aceleraci%C3%B3n" title="Aceleración">aceleración</a> (que también son vectores) vienen dadas por: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta \mathbf {r} \over \Delta t},\qquad \mathbf {a} ={\frac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta \mathbf {v} \over \Delta t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta \mathbf {r} \over \Delta t},\qquad \mathbf {a} ={\frac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta \mathbf {v} \over \Delta t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a50f6497cbb50b6ed6808835a7cb90c7feb154e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:45.24ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta \mathbf {r} \over \Delta t},\qquad \mathbf {a} ={\frac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta \mathbf {v} \over \Delta t}}"></span> </p> </blockquote> <p>La posición indica el lugar del objeto que se está analizando. Si dicho objeto cambia de lugar, la <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica" class="mw-redirect" title="Función matemática">función</a> <b>r</b> describe el nuevo lugar del objeto. El punto clave de la dinámica newtoniana es que la aceleración viene determinada por la fuerza, siendo una fuerza cualquier causa eficiente que puede cambiar el <a href="/wiki/Movimiento_(f%C3%ADsica)" title="Movimiento (física)">estado de movimiento</a> de una partícula (cambiado su capacidad de hacer <a href="/wiki/Trabajo_(f%C3%ADsica)" title="Trabajo (física)">trabajo</a> o curvando su trayectoria). Si se dispone de un medio de computar las fuerzas sobre una partícula la trayectoria de una partícula vendrá dada por la <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial" title="Ecuación diferencial">ecuación diferencial</a>: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span style="float: right; width: 10%; text-align: right;">(<cite id="Equation_*" style="font-style: normal;"><a href="#Eqnref_*">*</a></cite>)</span><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m{\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} (t)}{{\text{d}}t^{2}}}=m{\frac {{\text{d}}\mathbf {v} (t)}{{\text{d}}t}}=\mathbf {F} (t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">F</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} (t)}{{\text{d}}t^{2}}}=m{\frac {{\text{d}}\mathbf {v} (t)}{{\text{d}}t}}=\mathbf {F} (t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32fdc9d56fbd14aa63b8eb4624accca51fd3ff1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:27.732ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle m{\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} (t)}{{\text{d}}t^{2}}}=m{\frac {{\text{d}}\mathbf {v} (t)}{{\text{d}}t}}=\mathbf {F} (t)}"></span> </p> </blockquote> <p>donde <i>m</i> es la masa de la partícula. El tratamiento anterior es el usado para describir la <a href="/wiki/Din%C3%A1mica_del_punto_material" title="Dinámica del punto material">dinámica de la partícula</a>, junto a ese tipo de sistemas de la mecánica newtoniana, la <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_del_s%C3%B3lido_r%C3%ADgido" title="Mecánica del sólido rígido">mecánica del sólido rígido</a> es una extensión de ese enfoque que también se considera parte de la mecánica newtoniana y que requiere algunos supuestos adicionales, como el que cualquier combinación de fuerzas o admite una <a href="/wiki/Fuerza_resultante" class="mw-redirect" title="Fuerza resultante">fuerza resultante</a> y un momento resultante, y que bajo esos esfuerzos el movimiento del sólido rígido viene descrito por un <a href="/wiki/Grupo_uniparam%C3%A9trico" title="Grupo uniparamétrico">grupo uniparamétrico</a> de <a href="/wiki/Isometr%C3%ADa" title="Isometría">isometrías</a>. </p><p>No es que el hecho de que la ecuación (<span id="Eqnref_*" class="plainlinks neverexpand"><a class="external text" href="https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtoniana#Equation_*">*</a></span>) sea de segundo orden tiene que ver con el hecho de que para determinar una trayectoria (curva en el espacio), un teorema de <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_curvas" title="Geometría diferencial de curvas">geometría diferencial de curvas</a> demuestra que la <a href="/wiki/Radio_de_curvatura" title="Radio de curvatura">curvatura</a> y la <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_curvas#Curvatura_y_torsión" title="Geometría diferencial de curvas">torsión</a> determina la curva salvo traslación y rotación, por lo que si se especifica la posición inicial (traslación) y la velocidad (rotación) queda determinada la curva o trayectoria de manera única (ya que tanto la curvatura y la torsión de dicha curva son combinaciones de derivadas primeras y segundas). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fuerzas">Fuerzas</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mec%C3%A1nica_newtoniana&action=edit&section=4" title="Editar sección: Fuerzas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El principio fundamental de la dinámica (segundo principio de Newton) relaciona la <a href="/wiki/Masa" title="Masa">masa</a> y la <a href="/wiki/Aceleraci%C3%B3n" title="Aceleración">aceleración</a> de un móvil con una magnitud vectorial, la <a href="/wiki/Fuerza" title="Fuerza">fuerza</a>. Si se supone que <b>m</b> es la masa de un cuerpo y <b>F</b> el vector resultante de sumar todas las fuerzas aplicadas al mismo (<a href="/wiki/Fuerza_resultante" class="mw-redirect" title="Fuerza resultante">resultante</a> o fuerza neta), entonces: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=m\mathbf {a} +{\frac {{\text{d}}m}{{\text{d}}t}}\mathbf {v} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">F</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=m\mathbf {a} +{\frac {{\text{d}}m}{{\text{d}}t}}\mathbf {v} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71dbe553392ec7419d2d66a66b20be9ba0758ca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:23.177ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=m\mathbf {a} +{\frac {{\text{d}}m}{{\text{d}}t}}\mathbf {v} }"></span> </p> </blockquote> <p>El segundo término del último miembro se anula para el caso de que la masa del cuerpo sea constante. Nótese que en el caso general, la masa total del cuerpo no es necesariamente constante (bien porque absorban o emitan partículas) entonces <b>m</b> es, necesariamente, independiente de <b>t</b>. Ese caso se da por ejemplo, en un <a href="/wiki/Cohete" title="Cohete">cohete</a> expulsa <a href="/wiki/Gas" title="Gas">gases</a> disminuyendo la masa de combustible y por lo tanto, su masa total, que decrece en función del tiempo. A la cantidad <b>m v</b> se le llama momento lineal o <a href="/wiki/Cantidad_de_movimiento" title="Cantidad de movimiento">cantidad de movimiento</a>. </p><p>La función de <b>F</b> se obtiene de consideraciones sobre la circunstancia particular del objeto. La tercera ley de Newton da una indicación particular sobre <b>F</b>: si un cuerpo A ejerce una fuerza <b>F</b> sobre otro cuerpo B, entonces B ejerce una fuerza (fuerza de reacción) de igual magnitud y sentido opuesto sobre A, <b>-F</b> (tercer principio de Newton o principio de acción y reacción). </p><p>La fuerza resultante sobre un sólido está caracterizada en mecánica newtoniana por un vector y por una recta de acción. Para una fuerza puntual su recta de acción viene dada por una recta cuyo vector director es paralelo a la fuerza y pasa por el punto de aplicación de dicha fuerza. Para un sistema de fuerzas más complejo la recta de acción resultante es más difícil de encontrar, pero su posición es necesaria para determinar el <a href="/wiki/Momento_de_fuerza" title="Momento de fuerza">momento de fuerza</a> resultante y describir si bajo las fuerzas dadas el cuerpo rota cambiando su orientación. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Energía"><span id="Energ.C3.ADa"></span>Energía</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mec%C3%A1nica_newtoniana&action=edit&section=5" title="Editar sección: Energía"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Si una fuerza <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {F} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">F</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {F} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da18bef8c979f3548bb0d8976f5844012d7b8256" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.683ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {F} }"></span> se aplica a un cuerpo que mantiene una postura regular o en equilibrio, que sigue una <a href="/wiki/Trayectoria" title="Trayectoria">trayectoria</a> <i>C</i>, el <a href="/wiki/Trabajo_(f%C3%ADsica)" title="Trabajo (física)">trabajo</a> realizado por la fuerza es una magnitud escalar de valor: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W(t)=\int _{C}\mathbf {F} (t)\cdot \mathbf {v} (t)\ dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">F</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(t)=\int _{C}\mathbf {F} (t)\cdot \mathbf {v} (t)\ dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c837526522c75f902bbe42f2d4b5ccd35d3915b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.05ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle W(t)=\int _{C}\mathbf {F} (t)\cdot \mathbf {v} (t)\ dt}"></span> </p> </blockquote> <p>Donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {v} (t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {v} (t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee594765ca30167f80394d3349307a445782d012" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.06ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {v} (t)}"></span> es la velocidad para cada instante del tiempo. Si se supone que la masa del cuerpo es constante, y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta W\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>W</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta W\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e825da83bd1f8df97bd7595f1fbf5367e78510a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.758ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta W\,}"></span> es el trabajo total realizado sobre el cuerpo, obtenido al sumar el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúa sobre el mismo, entonces, aplicando la segunda ley de Newton se puede demostrar que: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta W=\int m{\frac {{\text{d}}\mathbf {v} (t)}{{\text{d}}t}}\cdot \mathbf {v} (t)\ {\text{d}}t=m\int \mathbf {v} \cdot {\text{d}}\mathbf {v} ={\frac {m}{2}}\Delta (\mathbf {v} ^{2})=\Delta T\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>W</mi> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>T</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta W=\int m{\frac {{\text{d}}\mathbf {v} (t)}{{\text{d}}t}}\cdot \mathbf {v} (t)\ {\text{d}}t=m\int \mathbf {v} \cdot {\text{d}}\mathbf {v} ={\frac {m}{2}}\Delta (\mathbf {v} ^{2})=\Delta T\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437f640fe4376c13d88ddde0df084f0c8add820c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:59.874ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta W=\int m{\frac {{\text{d}}\mathbf {v} (t)}{{\text{d}}t}}\cdot \mathbf {v} (t)\ {\text{d}}t=m\int \mathbf {v} \cdot {\text{d}}\mathbf {v} ={\frac {m}{2}}\Delta (\mathbf {v} ^{2})=\Delta T\,}"></span> </p> </blockquote> <p>En donde T es la llamada <a href="/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9tica" title="Energía cinética">energía cinética</a>, también denotada como K. Para una partícula puntual, T se define: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>m</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b19f3ae2e16a7c37daab7faa028048a8c2581242" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.239ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}}"></span> </p> </blockquote> <p>Para objetos extensos compuestos por muchas partículas, la energía cinética es la suma de las energías cinéticas de las partículas que lo constituyen. Un tipo particular de fuerzas, conocidas como <a href="/wiki/Fuerza_conservativa" title="Fuerza conservativa">fuerzas conservativas</a>, puede ser expresado como el gradiente de una función escalar, llamada <a href="/wiki/Potencial_(f%C3%ADsica)" title="Potencial (física)">potencial</a>, V: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {F} =-{\mbox{grad}}\,V=-{\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}\mathbf {r} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">F</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>grad</mtext> </mstyle> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {F} =-{\mbox{grad}}\,V=-{\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}\mathbf {r} }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff74408e6ec3e7d89c59180541700184c7e52527" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:22.115ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {F} =-{\mbox{grad}}\,V=-{\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}\mathbf {r} }}}"></span> </p> </blockquote> <p>Si se suponen todas las fuerzas sobre un cuerpo conservativas, y <i>V</i> es la energía potencial del cuerpo (obtenida por suma de las energías potenciales de cada punto debidas a cada fuerza), entonces existe una función llamada <a href="/wiki/Energ%C3%ADa_mec%C3%A1nica" title="Energía mecánica">energía mecánica</a> que es constante a lo largo del tiempo, para ver esto se multiplica la (<span id="Eqnref_*" class="plainlinks neverexpand"><a class="external text" href="https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtoniana#Equation_*">*</a></span>) escalarmente por la velocidad: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m{\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} }{{\text{d}}t^{2}}}\cdot {\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=\mathbf {F} {\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=-{\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}\mathbf {r} }}\cdot {\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}},\quad \Rightarrow {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[{\frac {m}{2}}\left({\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}\right)^{2}+V\right]={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}(T+V)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">F</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mtext>d</mtext> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>V</mi> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mtext>d</mtext> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>+</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} }{{\text{d}}t^{2}}}\cdot {\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=\mathbf {F} {\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=-{\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}\mathbf {r} }}\cdot {\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}},\quad \Rightarrow {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[{\frac {m}{2}}\left({\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}\right)^{2}+V\right]={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}(T+V)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5e3bfa285d7941d147db9243abdf4786902ce6a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:78.982ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle m{\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} }{{\text{d}}t^{2}}}\cdot {\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=\mathbf {F} {\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=-{\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}\mathbf {r} }}\cdot {\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}},\quad \Rightarrow {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[{\frac {m}{2}}\left({\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}\right)^{2}+V\right]={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}(T+V)=0}"></span> </p> </blockquote> <p>La ecuación anterior puede ilustrarse de manera algo más sencilla si se considera el caso unidimensional: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m{\ddot {x}}{\dot {x}}=F{\dot {x}}=-{\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}x}}{\dot {x}},\quad \Rightarrow {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[{\frac {m{\dot {x}}^{2}}{2}}+V\right]={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}(T+V)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mtext>d</mtext> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>V</mi> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mtext>d</mtext> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>+</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\ddot {x}}{\dot {x}}=F{\dot {x}}=-{\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}x}}{\dot {x}},\quad \Rightarrow {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[{\frac {m{\dot {x}}^{2}}{2}}+V\right]={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}(T+V)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff4308dd67c4c341dd4d7672a2e3db431845c086" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:61.446ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle m{\ddot {x}}{\dot {x}}=F{\dot {x}}=-{\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}x}}{\dot {x}},\quad \Rightarrow {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[{\frac {m{\dot {x}}^{2}}{2}}+V\right]={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}(T+V)=0}"></span> </p> </blockquote> <p>Este resultado es conocido como la <a href="/wiki/Ley_de_conservaci%C3%B3n_de_la_energ%C3%ADa" class="mw-redirect" title="Ley de conservación de la energía">ley de conservación de la energía</a>, indicando que la <a href="/wiki/Energ%C3%ADa_mec%C3%A1nica" title="Energía mecánica">energía mecánica</a> total <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=T+V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>T</mi> <mo>+</mo> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=T+V}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f4206d30814f7457f644748fa37068ca219be4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.138ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle E=T+V}"></span> o <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=K+U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>+</mo> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=K+U}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/734f872b98d17048701d0310b6fa05e0c7518c4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.563ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle E=K+U}"></span> es constante (no es función del tiempo). Se ha usado la <a href="/wiki/Notaci%C3%B3n_de_Newton" title="Notación de Newton">notación de Newton</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v={\dot {x}},a={\ddot {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v={\dot {x}},a={\ddot {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684d572f30f02682af70e67145d1b433d94ed7cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.248ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle v={\dot {x}},a={\ddot {x}}}"></span>. Nótese que la energía se conserva solo si la masa del cuerpo es constante (no hay emisión de materia) y si la fuerza sobre el cuerpo es conservativa. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Otros_resultados">Otros resultados</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mec%C3%A1nica_newtoniana&action=edit&section=6" title="Editar sección: Otros resultados"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La segunda ley de Newton permite obtener otros resultados, a su vez considerados como leyes. Ver por ejemplo <a href="/wiki/Momento_angular" title="Momento angular">momento angular</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Relaciones_con_otras_teorías"><span id="Relaciones_con_otras_teor.C3.ADas"></span>Relaciones con otras teorías</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mec%C3%A1nica_newtoniana&action=edit&section=7" title="Editar sección: Relaciones con otras teorías"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Además de la formulación newtoniana de la <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica" title="Mecánica clásica">mecánica clásica</a>, existen otras dos importantes formulaciones alternativas de la mecánica clásica con mayor grado de formalización: la <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_lagrangiana" title="Mecánica lagrangiana">mecánica lagrangiana</a> y la <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_hamiltoniana" title="Mecánica hamiltoniana">mecánica hamiltoniana</a>. </p><p>Si se restringen estas dos formulaciones a estudio del movimiento de sistemas de partículas o sólidos en un espacio euclídeo tridimensional ℝ³ y se consideran sobre el <a href="/wiki/Sistema_inercial" class="mw-redirect" title="Sistema inercial">sistemas de coordenadas inerciales</a>, entonces ambas son equivalentes a las <a href="/wiki/Leyes_de_Newton" title="Leyes de Newton">leyes de Newton</a> y sus consecuencias. Sin embargo, tanto la mecánica lagrangiana como la mecánica hamiltoniana, debido a la generalidad de su formulación, pueden tratar adecuadamente los sistemas no inerciales sin cambio alguno, además de que en la práctica la resolución de problemas complejos es más sencilla en estas formulaciones más formales. </p><p>La <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividad" title="Teoría de la relatividad">mecánica relativista</a> va más allá de la mecánica clásica y trata con objetos que se mueven a <a href="/wiki/Velocidad" title="Velocidad">velocidades</a> relativamente cercanas a la <a href="/wiki/Velocidad_de_la_luz" title="Velocidad de la luz">velocidad de la luz</a>). La <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica" title="Mecánica cuántica">mecánica cuántica</a> trata con sistemas de dimensiones reducidas (a escala semejante a la atómica), y la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_cu%C3%A1ntica_de_campos" title="Teoría cuántica de campos">teoría cuántica de campos</a> (véase también <a href="/wiki/Campo_(f%C3%ADsica)" title="Campo (física)">campo</a>) trata con sistemas que exhiben ambas propiedades.<sup>[<i><a href="/wiki/Wikipedia:Verificabilidad" title="Wikipedia:Verificabilidad">cita requerida</a></i>]</sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mec%C3%A1nica_newtoniana&action=edit&section=8" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Gir%C3%B3scopo" title="Giróscopo">giróscopo</a></li> <li><a href="/wiki/Invariancia_galileana" class="mw-redirect" title="Invariancia galileana">invariancia galileana</a></li> <li><a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica" title="Mecánica clásica">mecánica clásica</a></li> <li><a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividad_especial" title="Teoría de la relatividad especial">mecánica relativista</a></li> <li><a href="/wiki/P%C3%A9ndulo" title="Péndulo">péndulo</a></li> <li><a href="/wiki/Sistema_de_referencia_inercial" title="Sistema de referencia inercial">sistema de referencia inercial</a></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161257576">.mw-parser-output .mw-authority-control{margin-top:1.5em}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox table{margin:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral,#eaecf0);color:var(--color-base,#202122)}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects ul li{margin-bottom:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#eeeeff}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d);background-color:var(--background-color-neutral,#27292d);color:var(--color-base,#eaecf0)}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}@media(prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral,#27292d)!important;color:var(--color-base,#eaecf0)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}}</style><div class="mw-authority-control"><div role="navigation" class="navbox" aria-label="Navbox" style="width: inherit;padding:3px"><table class="hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width: 12%; text-align:center;"><a href="/wiki/Control_de_autoridades" title="Control de autoridades">Control de autoridades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b>Proyectos Wikimedia</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q9030992" class="extiw" title="wikidata:Q9030992">Q9030992</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q9030992" class="extiw" title="wikidata:Q9030992">Q9030992</a></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtenido de «<a dir="ltr" href="https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Mecánica_newtoniana&oldid=158298677">https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Mecánica_newtoniana&oldid=158298677</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categorías</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Mec%C3%A1nica_newtoniana" title="Categoría:Mecánica newtoniana">Mecánica newtoniana</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Ep%C3%B3nimos_relativos_a_fen%C3%B3menos_f%C3%ADsicos" title="Categoría:Epónimos relativos a fenómenos físicos">Epónimos relativos a fenómenos físicos</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categoría oculta: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_pasajes_que_requieren_referencias" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con pasajes que requieren referencias">Wikipedia:Artículos con pasajes que requieren referencias</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página se editó por última vez el 19 feb 2024 a las 13:37.</li> <li id="footer-info-copyright">El texto está disponible bajo la <a href="/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_4.0_Internacional" title="Wikipedia:Texto de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional">Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0</a>; 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Mecánica newtoniana - Wikipedia, la enciclopedia libre