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<span>参考文献</span> </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span 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<span class="vector-dropdown-label-text">8の言語版</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Cartan-Unteralgebra" title="ドイツ語: Cartan-Unteralgebra" lang="de" hreflang="de" data-title="Cartan-Unteralgebra" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="ドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cartan_subalgebra" title="英語: Cartan subalgebra" lang="en" hreflang="en" data-title="Cartan subalgebra" data-language-autonym="English" data-language-local-name="英語" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Sous-alg%C3%A8bre_de_Cartan" title="フランス語: Sous-algèbre de Cartan" 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title="リー群">リー群</a></th></tr><tr><td class="sidebar-image" style="padding-bottom:0.9em;"><span typeof="mw:File/Frameless"><a href="/wiki/E8_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="E8 (数学)"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/E8Petrie.svg/180px-E8Petrie.svg.png" decoding="async" width="180" height="181" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/E8Petrie.svg/270px-E8Petrie.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/E8Petrie.svg/360px-E8Petrie.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="514" /></a></span></td></tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title"><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%A4%E5%85%B8%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「古典群」 (存在しないページ)">古典群</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/classical_group" class="extiw" title="en:classical group">英語版</a>）</span></span></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="plainlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="一般線型群">一般線型</a> GL(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="特殊線型群">特殊線型</a> SL(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" title="直交群">直交</a> O(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="特殊直交群">特殊直交</a> SO(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="ユニタリ群">ユニタリ</a> U(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="特殊ユニタリ群">特殊ユニタリ</a> SU(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="シンプレクティック群">シンプレクティック</a> Sp(<i>n</i>)</li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title"><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="単純リー群">単純リー群</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar nomobile nowraplinks hlist" style="border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E4%B8%80%E8%A6%A7%E8%A1%A8&action=edit&redlink=1" class="new" title="「単純リー群一覧表」 (存在しないページ)">単純リー群一覧表</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_simple_Lie_groups" class="extiw" title="en:List of simple Lie groups">英語版</a>）</span></span></li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading" style="font-weight:normal; font-style:italic;"> 古典型</th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4#A_系列" title="単純リー群">A<sub><i>n</i></sub></a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4#B_系列" title="単純リー群">B<sub><i>n</i></sub></a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4#C_系列" title="単純リー群">C<sub><i>n</i></sub></a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4#D_系列" title="単純リー群">D<sub><i>n</i></sub></a></li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading" style="font-weight:normal; font-style:italic;"> 例外型</th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=G2_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「G2 (数学)」 (存在しないページ)">G<sub>2</sub></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/G2_(mathematics)" class="extiw" title="en:G2 (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=F4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「F4 (数学)」 (存在しないページ)">F<sub>4</sub></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/F4_(mathematics)" class="extiw" title="en:F4 (mathematics)">英語版</a>）</span></span><br /></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=E6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「E6 (数学)」 (存在しないページ)">E<sub>6</sub></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/E6_(mathematics)" class="extiw" title="en:E6 (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=E7_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「E7 (数学)」 (存在しないページ)">E<sub>7</sub></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/E7_(mathematics)" class="extiw" title="en:E7 (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだ不十分なため、加筆や他言語版からの追加翻訳が望まれます。"><a href="/wiki/E8_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="E8 (数学)">E<sub>8</sub></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/E8_(mathematics)" class="extiw" title="en:E8 (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title"><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E4%B8%80%E8%A6%A7%E8%A1%A8&action=edit&redlink=1" class="new" title="「リー群一覧表」 (存在しないページ)">他のリー群</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_Lie_groups" class="extiw" title="en:Table of Lie groups">英語版</a>）</span></span></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101550662">.mw-parser-output .plainlist--only-child>ol,.mw-parser-output .plainlist--only-child>ul{line-height:inherit;list-style:none none;margin:0;padding-left:0}.mw-parser-output .plainlist--only-child>ol li,.mw-parser-output .plainlist--only-child>ul li{margin-bottom:0}</style><div class="plainlist"><ul><li><span title="リンク先の項目はまだ不十分なため、加筆や他言語版からの追加翻訳が望まれます。"><a href="/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4" title="円周群">円周</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group" class="extiw" title="en:Circle group">英語版</a>）</span></span></li><li><a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E7%BE%A4" title="ローレンツ群">ローレンツ</a></li><li><a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%83%AF%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="ポワンカレ群">ポワンカレ</a></li><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%85%B1%E5%BD%A2%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「共形群」 (存在しないページ)">共形</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Conformal_group" class="extiw" title="en:Conformal group">英語版</a>）</span></span></li><li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%90%8C%E7%9B%B8%E5%86%99%E5%83%8F" title="微分同相写像">微分同相写像</a></li><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%97%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ループ群」 (存在しないページ)">ループ</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Loop_group" class="extiw" title="en:Loop group">英語版</a>）</span></span></li></ul></div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title"><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="リー代数">リー環</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="plainlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0%E3%81%AE%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%86%99%E5%83%8F" title="リー環の指数写像">指数写像</a></li> <li><div style="padding:0.2em 0.4em; line-height:1.2em;"><a href="/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E8%A1%A8%E7%8F%BE" title="随伴表現">随伴表現</a> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r99966302">.mw-parser-output .hlist ul,.mw-parser-output .hlist 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title="キリング形式">キリング形式</a></li><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0%E3%81%AE%E6%8C%87%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「リー環の指数」 (存在しないページ)">指数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Index_of_a_Lie_algebra" class="extiw" title="en:Index of a Lie algebra">英語版</a>）</span></span></li></ul></div></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Lie_point_symmetry&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Lie point symmetry」 (存在しないページ)">Lie point symmetry</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_point_symmetry" class="extiw" title="en:Lie point symmetry">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="単純リー環">単純リー環</a></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible"><div class="sidebar-list-title"><a href="/wiki/%E5%8D%8A%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="半単純リー環">半単純リー環</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="plainlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%AD%E3%83%B3%E5%9B%B3%E5%BD%A2" title="ディンキン図形">ディンキン図形</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">カルタン部分環</a></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r99966302"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r99966302"><div class="hlist"><ul><li><a href="/wiki/%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%88%E7%B3%BB" title="ルート系">ルート系</a></li><li><a href="/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="ワイル群">ワイル群</a></li></ul></div></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r99966302"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r99966302"><div class="hlist"><ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%AE%9F%E5%BD%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="「実形」 (存在しないページ)">実形</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Real_form_(Lie_theory)" class="extiw" title="en:Real form (Lie theory)">英語版</a>）</span></span></li><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%8C%96_(%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「複素化 (リー群)」 (存在しないページ)">複素化</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Complexification_(Lie_group)" class="extiw" title="en:Complexification (Lie group)">英語版</a>）</span></span></li></ul></div></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%86%E8%A3%82%E5%9E%8B%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「分裂型リー環」 (存在しないページ)">分裂型リー環</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Split_Lie_algebra" class="extiw" title="en:Split Lie algebra">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「コンパクトリー環」 (存在しないページ)">コンパクトリー環</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_Lie_algebra" class="extiw" title="en:Compact Lie algebra">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title"><a href="/wiki/%E7%AD%89%E8%B3%AA%E7%A9%BA%E9%96%93" title="等質空間">等質空間</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="plainlist"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%AB%EF%BC%9D%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%90%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%AB%E7%90%86%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ボレル＝ド・シバンタル理論」 (存在しないページ)">閉部分群</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Borel%E2%80%93de_Siebenthal_theory" class="extiw" title="en:Borel–de Siebenthal theory">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%94%BE%E7%89%A9%E5%9E%8B%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「放物型部分群」 (存在しないページ)">放物型部分群</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Parabolic_subgroup" class="extiw" title="en:Parabolic subgroup">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&redlink=1" class="new" title="「対称空間」 (存在しないページ)">対称空間</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_space" class="extiw" title="en:Symmetric space">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&redlink=1" class="new" title="「エルミート対称空間」 (存在しないページ)">エルミート対称空間</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hermitian_symmetric_space" class="extiw" title="en:Hermitian symmetric space">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%B6%E9%99%90%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%88%E7%B3%BB&action=edit&redlink=1" class="new" title="「制限ルート系」 (存在しないページ)">制限ルート系</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Restricted_root_system" class="extiw" title="en:Restricted root system">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title"><a href="/wiki/%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96" title="表現論">表現論</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="plainlist"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE" title="リー群の表現">リー群表現</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE" title="リー代数の表現">リー環表現</a></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title"><a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="物理学">物理学</a>におけるリー群</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="plainlist"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%B4%A0%E7%B2%92%E5%AD%90%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%81%A8%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="「素粒子物理学と表現論」 (存在しないページ)">素粒子物理学と表現論</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Particle_physics_and_representation_theory" class="extiw" title="en:Particle physics and representation theory">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ローレンツ群の表現論」 (存在しないページ)">ローレンツ群表現</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_the_Lorentz_group" class="extiw" title="en:Representation theory of the Lorentz group">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9D%E3%83%AF%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ポワンカレ群の表現論」 (存在しないページ)">ポワンカレ群表現</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_the_Poincar%C3%A9_group" class="extiw" title="en:Representation theory of the Poincaré group">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%AC%E3%83%AA%E3%83%AC%E3%82%A4%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ガリレイ群の表現論」 (存在しないページ)">ガリレイ群表現</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_the_Galilean_group" class="extiw" title="en:Representation theory of the Galilean group">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title">科学者</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101550662"><div class="plainlist"><ul><li><a href="/wiki/%E3%82%BD%E3%83%95%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%BC" title="ソフス・リー">ソフス・リー</a></li><li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%AA%E3%83%BB%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC" title="アンリ・ポアンカレ">アンリ・ポアンカレ</a></li><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%82%AD%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ヴィルヘルム・キリング」 (存在しないページ)">ヴィルヘルム・キリング</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Killing" class="extiw" title="en:Wilhelm Killing">英語版</a>）</span></span></li><li><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AA%E3%83%BB%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3" title="エリ・カルタン">エリ・カルタン</a></li><li><a href="/wiki/%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB" title="ヘルマン・ワイル">ヘルマン・ワイル</a></li><li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%BC" title="クロード・シュヴァレー">クロード・シュヴァレー</a></li><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8F%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%B7%E3%83%A5%EF%BC%9D%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%A9&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ハリッシュ＝チャンドラ」 (存在しないページ)">ハリッシュ＝チャンドラ</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harish-Chandra" class="extiw" title="en:Harish-Chandra">英語版</a>）</span></span></li><li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%AB" title="アルマン・ボレル">アルマン・ボレル</a></li></ul></div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-below plainlist"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E4%B8%80%E8%A6%A7%E8%A1%A8&action=edit&redlink=1" class="new" title="「リー群一覧表」 (存在しないページ)">リー群一覧表</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_Lie_groups" class="extiw" title="en:Table of Lie groups">英語版</a>）</span></span></li></ul></td></tr><tr><td class="sidebar-navbar"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r99966302"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r96787822">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:75%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}.mw-parser-output .infobox .navbar{font-size:88%}.mw-parser-output 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title="英語">英</a>: <span lang="en">Cartan subalgebra</span>，しばしば <b>CSA</b> と略される）とは，<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="リー代数">リー環</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の<a href="/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%B6%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0" title="冪零リー環">冪零</a>部分環 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">h</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {h}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f80a9d9b4cf9b0b6f562d5eff0f290da478ebe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.211ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {h}}}"></span> であって，<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Self-normalising&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Self-normalising」 (存在しないページ)">self-normalising</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/self-normalising" class="extiw" title="en:self-normalising">英語版</a>）</span></span>なもの（すべての <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">h</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc68d87279fcc8f88ccf5edc6ca71f4b47cf2d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.032ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}"></span> に対して <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">h</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ecf5117d879bf80909b9bdc3b61f49a2c97f62" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.133ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}"></span> であるならば，<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y\in {\mathfrak {h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">h</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y\in {\mathfrak {h}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f623da54b09bbfa71f521c89ea7b752f23efb26d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.825ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y\in {\mathfrak {h}}}"></span> であるもの）のことである．<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AA%E3%83%BB%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3" title="エリ・カルタン">エリ・カルタン</a>によって彼の博士論文において導入された． </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="存在と一意性"><span id=".E5.AD.98.E5.9C.A8.E3.81.A8.E4.B8.80.E6.84.8F.E6.80.A7"></span>存在と一意性</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0&action=edit&section=1" title="節を編集: 存在と一意性"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>カルタン部分環は基礎体が無限体のときにはいつでも有限次元リー環に対して存在する．体が標数 0 の代数閉体でリー環が有限次元のとき，すべてのカルタン部分環はリー環の自己同型のもとで共役であり，とくにすべて同型である．その次元はリー環の階数（ランク）と呼ばれる． </p><p><a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%83%E3%83%84%E3%83%BB%E3%83%A0%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="カッツ・ムーディ・リー環">カッツ・ムーディ・リー環</a>や<a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E3%82%AB%E3%83%83%E3%83%84%E3%83%BB%E3%83%A0%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="一般カッツ・ムーディ・リー環">一般カッツ・ムーディ・リー環</a>もカルタン部分環をもつ． </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="性質"><span id=".E6.80.A7.E8.B3.AA"></span>性質</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0&action=edit&section=2" title="節を編集: 性質"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101304250">.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid #fc3}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output .ambox-protection{border-left:10px solid #a2a9b1}.mw-parser-output .ambox .mbox-text{border:none;padding:0.25em 0.5em;width:100%;font-size:90%}.mw-parser-output .ambox .mbox-image{border:none;padding:2px 0 2px 0.5em;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-imageright{border:none;padding:2px 0.5em 2px 0;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-empty-cell{border:none;padding:0;width:1px}.mw-parser-output .ambox .mbox-image-div{width:52px}html.client-js body.skin-minerva .mw-parser-output .mbox-text-span{margin-left:23px!important}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .ambox{margin:0 10%}}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .ambox{display:none!important}}</style><table class="box-節スタブ plainlinks metadata ambox mbox-small-left ambox-content" role="presentation"><tbody><tr><td class="mbox-image"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Wiki_letter_w_cropped.svg" class="mw-file-description"><img alt="[icon]" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/20px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png" decoding="async" width="20" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/30px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/40px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png 2x" data-file-width="44" data-file-height="31" /></a></span></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span">この節の<a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0&action=edit">加筆</a>が望まれています。<span class="hide-when-compact"> <br /> 主に: The action of the <a href="/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="ワイル群">Weyl group</a> on the algebra, as in the <span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8F%E3%83%AA%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BB%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%A9%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ハリシュ・チャンドラ自己同型」 (存在しないページ)">Harish-Chandra isomorphism</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harish-Chandra_isomorphism" class="extiw" title="en:Harish-Chandra isomorphism">英語版</a>）</span></span> <small>（<span title="February 2014">2014年2月</span>）</small></span></div></td></tr></tbody></table> <p>標数 0 の<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E9%96%89%E4%BD%93" class="mw-redirect" title="代数閉体">代数閉体</a>上の有限次元<a href="/wiki/%E5%8D%8A%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="半単純リー環">半単純リー環</a>のカルタン部分環は<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="可換リー環">可換</a>であり，その<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0%E3%81%AE%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E8%A1%A8%E7%8F%BE" class="mw-redirect" title="リー環の随伴表現">随伴表現</a>の以下の性質も持つ：<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の<a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="ウェイト空間">ウェイト空間</a>を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">h</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {h}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f80a9d9b4cf9b0b6f562d5eff0f290da478ebe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.211ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {h}}}"></span> に<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E3%81%AE%E5%88%B6%E9%99%90&action=edit&redlink=1" class="new" title="「表現の制限」 (存在しないページ)">制限</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/restricted_representation" class="extiw" title="en:restricted representation">英語版</a>）</span></span>したものは表現を対角化し，0 ウェイトベクトルの固有空間は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">h</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {h}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f80a9d9b4cf9b0b6f562d5eff0f290da478ebe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.211ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {h}}}"></span> である．（なので <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">h</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {h}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f80a9d9b4cf9b0b6f562d5eff0f290da478ebe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.211ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {h}}}"></span> の中心化リー環は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">h</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {h}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f80a9d9b4cf9b0b6f562d5eff0f290da478ebe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.211ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {h}}}"></span> と一致する．）非零ウェイトは<a href="/wiki/%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%88%E7%B3%BB" title="ルート系"><b>ルート</b></a>と呼ばれ，対応する固有空間は<b>ルート空間</b>と呼ばれ，すべて1次元である． </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> が代数閉体上の<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0" title="線型リー環">線型リー環</a>（有限次元ベクトル空間 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">V</span> の自己準同型全体のなすリー環の部分リー環）であるとき，<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の任意のカルタン部分環は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の極大<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「トーラスリー環」 (存在しないページ)">トーラス部分リー環</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/toral_Lie_algebra" class="extiw" title="en:toral Lie algebra">英語版</a>）</span></span>の<a href="/w/index.php?title=%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%8C%96%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「中心化リー環」 (存在しないページ)">中心化リー環</a>である，つまり，<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">V</span> の自己準同型として対角化可能な元のみからなる部分環であって，他のそのような部分環に真に含まれないという意味で極大なものである．<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> が半単純で体が標数 0 ならば，極大トーラス部分環は self-normalizing であり，したがってカルタン部分環である．さらに <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> が半単純であれば，<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E3%81%AE%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E8%A1%A8%E7%8F%BE&action=edit&redlink=1" class="new" title="「リー群の随伴表現」 (存在しないページ)">随伴表現</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_representation_of_a_Lie_group" class="extiw" title="en:Adjoint representation of a Lie group">英語版</a>）</span></span>は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> を線型リー環として表すので，<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> の部分環がカルタンであることと極大トーラス部分環であることは同値である．このアプローチの利点はそのような部分環の存在を示すことが明らかであることである．実際，<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> が冪零元しかもたなければ，冪零リー環である（<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="エンゲルの定理">エンゲルの定理</a>）が，すると<a href="/wiki/%E3%82%AD%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="キリング形式">キリング形式</a>が恒等的に 0 になってしまい，半単純性に矛盾する．したがって，<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> は 0 でない半単純元をもたなければならない． </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="例"><span id=".E4.BE.8B"></span>例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0&action=edit&section=3" title="節を編集: 例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>任意の冪零リー環はそれ自身のカルタン部分環である．</li> <li>体上の <a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正方行列"><span lang="en" class="texhtml"><i>n</i> × <i>n</i></span> 行列</a>全体のなすリー環のカルタン部分環はすべての対角行列からなる．</li> <li>トレースが 0 の2次正方行列全体のなすリー環 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">s</mi> <mi mathvariant="fraktur">l</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1ee6d369fb3ac2685004f42ea01a0c411078a8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:6.264ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )}"></span> は2つの共役でないカルタン部分環を持つ．</li> <li>カルタン部分環の次元は，複素単純リー環に対してさえ，一般には可換部分環の最大の次元ではない．例えば，トレースが 0 の <span lang="en" class="texhtml">2<i>n</i></span> 次正方行列全体のなすリー環 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbb {C} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">s</mi> <mi mathvariant="fraktur">l</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbb {C} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a9205e906f60a592c5130b9059d4c0719da887" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:7.25ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbb {C} )}"></span> は，階数 <span lang="en" class="texhtml">2<i>n</i> − 1</span> のカルタン部分環を持つが，<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">A</span> を任意の <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> 次正方行列として <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {0\ A \choose 0\ 0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mrow> <mn>0</mn> <mtext> </mtext> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> <mtext> </mtext> <mn>0</mn> </mrow> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {0\ A \choose 0\ 0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4fedf05420a5b4a67828be8a87692ef772afcb4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:6.907ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {0\ A \choose 0\ 0}}"></span> の形の行列全体からなる <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i><sup>2</sup></span> 次元の極大可換部分環を持つ．この可換部分環がカルタン部分環でないことを直接確かめることができる．狭義上三角行列全体のなす冪零部分環に含まれるからである．（この部分環もまたカルタン部分環ではない．対角行列によって正規化されるからである．）</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="分裂型カルタン部分環"><span id=".E5.88.86.E8.A3.82.E5.9E.8B.E3.82.AB.E3.83.AB.E3.82.BF.E3.83.B3.E9.83.A8.E5.88.86.E7.92.B0"></span>分裂型カルタン部分環</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0&action=edit&section=4" title="節を編集: 分裂型カルタン部分環"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%86%E8%A3%82%E5%9E%8B%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「分裂型カルタン部分環」 (存在しないページ)">分裂型カルタン部分環</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Splitting_Cartan_subalgebra" class="extiw" title="en:Splitting Cartan subalgebra">英語版</a>）</span></span>」を参照</div> <p>代数閉でない体上，すべてのカルタン部分環が共役なわけではない．重要なクラスは<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%86%E8%A3%82%E5%9E%8B%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「分裂型カルタン部分環」 (存在しないページ)">分裂型カルタン部分環</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/splitting_Cartan_subalgebra" class="extiw" title="en:splitting Cartan subalgebra">英語版</a>）</span></span>である：リー環が分裂カルタン部分環 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">h</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {h}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f80a9d9b4cf9b0b6f562d5eff0f290da478ebe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.211ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {h}}}"></span> をもつとき，<i>分裂可能</i> (splittable) と呼ばれ，対 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">h</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6120c7e5c1316df191e249f97a73377b9379ea99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.226ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}"></span> は<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%86%E8%A3%82%E5%9E%8B%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「分裂型リー環」 (存在しないページ)">分裂型リー環</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/split_Lie_algebra" class="extiw" title="en:split Lie algebra">英語版</a>）</span></span>と呼ばれる；代数閉体上，すべての半単純リー環は分裂可能である．任意の2つの分裂型カルタン環は共役であり，それらは代数閉体上の半単純リー環におけるカルタン環に類似の機能を果たし，したがって分裂型半単純リー環は（実は分裂型簡約リー環は）代数閉体上の半単純リー環と多くの性質を共有する． </p><p>しかしながら，代数閉でない体上，すべての半単純リー環が分裂可能なわけではない． </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0&action=edit&section=5" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「カルタン部分群」 (存在しないページ)">カルタン部分群</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cartan_subgroup" class="extiw" title="en:Cartan subgroup">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「カーター部分群」 (存在しないページ)">カーター部分群</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Carter_subgroup" class="extiw" title="en:Carter subgroup">英語版</a>）</span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0&action=edit&section=6" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><br /> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0&action=edit&section=7" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFBorel1991"><a href="/wiki/Armand_Borel" class="mw-redirect" title="Armand Borel">Borel, Armand</a> (1991), <i>Linear algebraic groups</i>, <a href="/wiki/Graduate_Texts_in_Mathematics" title="Graduate Texts in Mathematics">Graduate Texts in Mathematics</a>, <b>126</b> (2nd ed.), Berlin, New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>, <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Linear+algebraic+groups&rft.aulast=Borel&rft.aufirst=Armand&rft.au=Borel%2C%26%2332%3BArmand&rft.date=1991&rft.series=%5B%5BGraduate+Texts+in+Mathematics%5D%5D&rft.volume=126&rft.edition=2nd&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=%5B%5BSpringer-Verlag%5D%5D&rft.isbn=978-0-387-97370-8&rft.mr=1102012&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFJacobson1979"><a href="/w/index.php?title=Nathan_Jacobson&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Nathan Jacobson」 (存在しないページ)">Jacobson, Nathan</a> (1979), <i>Lie algebras</i>, New York: <a href="/wiki/Dover_Publications" class="mw-redirect" title="Dover Publications">Dover Publications</a>, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a 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James E. (1972), <i>Introduction to Lie Algebras and Representation Theory</i>, Berlin, New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-387-90053-7" title="特別:文献資料/978-0-387-90053-7">978-0-387-90053-7</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+to+Lie+Algebras+and+Representation+Theory&rft.aulast=Humphreys&rft.aufirst=James+E.&rft.au=Humphreys%2C%26%2332%3BJames+E.&rft.date=1972&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=%5B%5BSpringer-Verlag%5D%5D&rft.isbn=978-0-387-90053-7&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFPopov2001">Popov, V.L. (2001), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Cartan_subalgebra">“Cartan subalgebra”</a>, in Hazewinkel, Michiel, <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Encyclopedia_of_Mathematics" class="extiw" title="en:Encyclopedia of Mathematics">Encyclopedia of Mathematics</a></i>, Springer, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-1-55608-010-4" title="特別:文献資料/978-1-55608-010-4">978-1-55608-010-4</a><span style="display:none;">, <a rel="nofollow" class="external free" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Cartan_subalgebra">https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Cartan_subalgebra</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Cartan+subalgebra&rft.atitle=%5B%5B%3Aen%3AEncyclopedia+of+Mathematics%7CEncyclopedia+of+Mathematics%5D%5D&rft.aulast=Popov&rft.aufirst=V.L.&rft.au=Popov%2C%26%2332%3BV.L.&rft.date=2001&rft.pub=Springer&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=カルタン部分環&oldid=86606502">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=カルタン部分環&oldid=86606502</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA" title="特別:カテゴリ">カテゴリ</a>: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0%E8%AB%96" title="Category:リー環論">リー環論</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:数学に関する記事">数学に関する記事</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">隠しカテゴリ: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E6%9B%B8%E3%81%8D%E3%81%8B%E3%81%91%E3%81%AE%E7%AF%80%E3%81%AE%E3%81%82%E3%82%8B%E9%A0%85%E7%9B%AE" title="Category:書きかけの節のある項目">書きかけの節のある項目</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%AA%9E%E7%89%88%E8%A8%98%E4%BA%8B%E3%81%8C%E3%83%AA%E3%83%80%E3%82%A4%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%83%88%E3%81%AE%E4%BB%AE%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%82%92%E5%90%AB%E3%82%80%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:日本語版記事がリダイレクトの仮リンクを含む記事">日本語版記事がリダイレクトの仮リンクを含む記事</a></li></ul></div></div> </div> </main> 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