Mechanische Spannung

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Mechanische Spannung – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"deff3843-234f-433d-b32b-0fdebb993246","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Mechanische_Spannung","wgTitle":"Mechanische Spannung","wgCurRevisionId":246836849,"wgRevisionId":246836849,"wgArticleId":85550,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"], "wgCategories":["Mechanische Spannung","Physikalische Größenart"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Mechanische_Spannung","wgRelevantArticleId":85550,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgRedirectedFrom":"Schubspannung","wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":246836849,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":20000,"wgInternalRedirectTargetUrl":"/wiki/Mechanische_Spannung#Schubspannung","wgRelatedArticlesCompat":[], "wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q206175","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready", "ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["mediawiki.action.view.redirect","ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints", "ext.quicksurveys.init","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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width:350px;" id="Vorlage_Infobox_Physikalische_Größe" summary="Infobox Physikalische Größe"> <tbody><tr> <th colspan="2" style="background:#ABCDEF; color:inherit;"><a href="/wiki/Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Physikalische Größe">Physikalische Größe</a> </th></tr> <tr> <td style="width:130px;">Name </td> <td><b>mechanische Spannung</b> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Formelzeichen" title="Formelzeichen">Formelzeichen</a> </td> <td><i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }"></span> (Normalspannungen),<br /><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"></span> (Schub- oder Scherspannungen)</i> </td></tr> <tr> <td colspan="2" style="margin:0; padding:0;"> <table class="wikitable" style="margin:-1px; width:350px;" summary="Einheitensysteme"> <tbody><tr> <th><a href="/wiki/Gr%C3%B6%C3%9Fensystem" title="Größensystem">Größen-</a> und<br /><a href="/wiki/Einheitensystem" title="Einheitensystem">Einheitensystem</a> </th> <th><a href="/wiki/Ma%C3%9Feinheit" title="Maßeinheit">Einheit</a> </th> <th><a href="/wiki/Dimension_(Gr%C3%B6%C3%9Fensystem)" title="Dimension (Größensystem)">Dimension</a> </th></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Internationales_Einheitensystem" title="Internationales Einheitensystem">SI</a> </td> <td><a href="/wiki/Pascal_(Einheit)" title="Pascal (Einheit)">Pascal</a>; Pa = <a href="/wiki/Newton_(Einheit)" title="Newton (Einheit)">N</a>/<a href="/wiki/Quadratmeter" title="Quadratmeter">m²</a> </td> <td><a href="/wiki/Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">M</a><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r198689956">.mw-parser-output .numericFormat-multiply{background-position:center;background-repeat:no-repeat;border-radius:0.2em;color:transparent;display:inline-block;line-height:0.2em;margin-left:0.3em;margin-right:0.15em;width:0.2em}.mw-parser-output .numericFormat-10::before{content:"10"}.mw-parser-output .numericFormat-10 sup{margin-left:0.12em}</style><span class="numericFormat-multiply skin-invert" style="background:#202122; color:#202122; margin-left: 0.15em;">·</span><a href="/wiki/L%C3%A4nge_(Physik)" title="Länge (Physik)">L</a><sup>−1</sup><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r198689956"><span class="numericFormat-multiply skin-invert" style="background:#202122; color:#202122; margin-left: 0.15em;">·</span><a href="/wiki/Zeit" title="Zeit">T</a><sup>−2</sup> </td></tr> </tbody></table> </td></tr> <tr> <td colspan="2"><i>Siehe auch:</i> <a href="/wiki/Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"></span> </td></tr></tbody></table> <p>Die <b>mechanische Spannung</b> (Formelzeichen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }"></span> (kleines <a href="/wiki/Sigma" title="Sigma">Sigma</a>) und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"></span> (kleines <a href="/wiki/Tau_(Buchstabe)" title="Tau (Buchstabe)">Tau</a>), <i><span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="/wiki/Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a></span> <span lang="en-Latn" style="font-style:italic">stress</span></i>, <i><span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="/wiki/Franz%C3%B6sische_Sprache" title="Französische Sprache">französisch</a></span> <span lang="fr-Latn" style="font-style:italic">contrainte</span></i>) ist ein Maß für die innere <a href="/wiki/Beanspruchung_(Technische_Mechanik)" title="Beanspruchung (Technische Mechanik)">Beanspruchung</a> eines <a href="/wiki/K%C3%B6rper_(Physik)" title="Körper (Physik)">Körpers</a> infolge seiner <a href="/wiki/Belastung_(Physik)" title="Belastung (Physik)">Belastung</a>. Da innerhalb der Mechanik keine Verwechslungsgefahr mit der <a href="/wiki/Elektrische_Spannung" title="Elektrische Spannung">elektrischen Spannung</a> besteht, wird sie kurz als <i>Spannung</i> bezeichnet. </p><p>Die mechanische <b>Normal-Spannung</b> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }"></span> auf einer gedachten Schnittfläche <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> (engl. <i>area</i>) durch einen Körper ist die <i>senkrecht</i> auf sie wirkende Komponente <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cdf519c21deec43f984815e57e15d2dd3575d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.713ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{n}}"></span> einer äußeren Kraft <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"></span> (engl. <i>force</i>):<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma =\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {\Delta F_{n}}{\Delta A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>A</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma =\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {\Delta F_{n}}{\Delta A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2d4fe184fd1aec1bd0d125a7b3d0c19701cb9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:15.367ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma =\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {\Delta F_{n}}{\Delta A}}}"></span> .</dd></dl> <p>Ist die Kraft von der Grenzfläche weg gerichtet, spricht man von einer <b>Zugspannung</b> (kurz: <i><b>Zug</b></i>), ist sie auf sie zu gerichtet von einer <b>Druckspannung</b> (kurz: <i><b>Druck</b></i>). Die Vorzeichenkonvention ist jedoch nicht einheitlich. <i><a href="/wiki/Biegespannung" class="mw-redirect" title="Biegespannung">Biegespannungen</a></i> sind eine Kombination aus Druck- und Zugspannungen. </p><p><span id="Scherspannung"></span><span id="Schubspannung"></span>Die mechanische <b>Schub</b>- oder <b>Scherspannung</b> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"></span> in einer gedachten Schnittfläche <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> durch einen Körper ist die auf sie bezogene <i>in ihr</i> verlaufende Komponente <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{A}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{A}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafcb50bfd139b3657b9ca92caa3cef2d195a163" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.959ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{A}}"></span> (<a href="/wiki/Querkraft" title="Querkraft">Querkraft</a>) einer äußeren Kraft <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"></span>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau ={\frac {F_{A}}{A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mi>A</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau ={\frac {F_{A}}{A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee5e5f0fceced4dbb85c054287980c60bae03f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.096ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \tau ={\frac {F_{A}}{A}}}"></span> ,      (Näherungsgleichung: Schubspannung ist über Fläche nicht konstant und am Flächenrand immer null).</dd></dl> <p>Die mechanische Spannung ist von derselben physikalischen <a href="/wiki/Gr%C3%B6%C3%9Fenart" class="mw-redirect" title="Größenart">Größenart</a> wie der <a href="/wiki/Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a>, nämlich Kraft pro Fläche. In ruhenden Flüssigkeiten und Gasen ist Druck eine in allen Raumrichtungen gleichermaßen wirkende Normalspannung. </p><p>Im <a href="/wiki/Maschinenbau" title="Maschinenbau">Maschinen-</a> und <a href="/wiki/Konstruktiver_Ingenieurbau" title="Konstruktiver Ingenieurbau">konstruktiven Ingenieurbau</a> erfordert die <a href="/wiki/Dimensionierung" title="Dimensionierung">Dimensionierung</a> von Objekten die Kenntnis der auftretenden mechanischen Spannungen. Als Komponenten des <a href="/wiki/Spannungstensor" title="Spannungstensor">Spannungstensors</a> kommen die mechanischen Spannungen in physikalischen Gesetzen vor. Die Definition des Spannungsbegriffs geht auf <a href="/wiki/Augustin-Louis_Cauchy" title="Augustin-Louis Cauchy">Cauchy</a> (1823) zurück.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Schnittspannungen"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Schnittspannungen</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Normal-,_Biege-,_Schub-,_Torsionsspannung_und_wahre_Spannung"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Normal-, Biege-, Schub-, Torsionsspannung und wahre Spannung</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Spannungsvektoren_und_Spannungstensor"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Spannungsvektoren und Spannungstensor</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#Schub-,_Druck-_und_Zugspannung"><span class="tocnumber">3.1</span> <span class="toctext">Schub-, Druck- und Zugspannung</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Hauptspannung_und_Hauptspannungsrichtung"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Hauptspannung und Hauptspannungsrichtung</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#Zusammenhänge_in_der_Festigkeitslehre"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Zusammenhänge in der Festigkeitslehre</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-7"><a href="#Zusammenhänge_in_der_Strömungsmechanik"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Zusammenhänge in der Strömungsmechanik</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#Siehe_auch"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Siehe auch</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#Literatur"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Literatur</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-10"><a href="#Einzelnachweise"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">Einzelnachweise</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schnittspannungen">Schnittspannungen</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Schnittspannungen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Schnittspannungen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="/wiki/Schnittreaktion" title="Schnittreaktion">Schnittreaktion</a></i></div> <p>Durch Anwendung des <a href="/wiki/Schnittprinzip" title="Schnittprinzip">Schnittprinzips</a> können innere Spannungen eines Körpers anschaulich dargestellt werden. An einem gedanklichen Schnitt an beliebiger Stelle eines Körpers werden die Schnittkräfte angetragen, die aus den von außen auf den Körper wirkenden Kräften resultieren und auf die inneren Beanspruchungen des Körpers schließen lassen. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Normal-,_Biege-,_Schub-,_Torsionsspannung_und_wahre_Spannung"><span id="Normal-.2C_Biege-.2C_Schub-.2C_Torsionsspannung_und_wahre_Spannung"></span>Normal-, Biege-, Schub-, Torsionsspannung und wahre Spannung</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Normal-, Biege-, Schub-, Torsionsspannung und wahre Spannung" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Normal-, Biege-, Schub-, Torsionsspannung und wahre Spannung"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><span id="Normal-_und_Biegespannung"></span> Bei einer gleichförmigen Zug- oder Druckbelastung eines <a href="/wiki/Stab_(Statik)" title="Stab (Statik)">Stabes</a> ist die Spannung über die Querschnittsfläche gleichmäßig verteilt. Die Normalspannung, d. h. die Spannung bei Normalkraftbeanspruchung durch Zug oder Druck, ergibt sich aus </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{N}={\frac {F}{A}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>F</mi> <mi>A</mi> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{N}={\frac {F}{A}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/929a6f485019d6257c6bed72c5581b185e8fecd4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.343ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{N}={\frac {F}{A}},}"></span></dd></dl> <p>wobei <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F=F_{\perp }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>⊥</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=F_{\perp }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f4c1c7e16df2f1b98cb00a670e897e06d971ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.845ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F=F_{\perp }}"></span> die <a href="/wiki/Kraft" title="Kraft">Kraft</a> in Richtung der <a href="/wiki/Fl%C3%A4chennormale" class="mw-redirect" title="Flächennormale">Flächennormale</a> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> der <a href="/wiki/Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> des Stabquerschnitts ist. Bei den <i>wahren</i> Spannungen ist dies der Flächeninhalt beim verformten Stab und bei den <i>Nenn</i>- oder <i>Ingenieursspannungen</i> der Nennwert des undeformierten Ausgangsstabquerschnitts, siehe <a href="/wiki/Zugversuch" title="Zugversuch">Zugversuch</a>. Der Spannungstensor hat immer 3 (für alle drei Raumrichtungen) Normalspannungskomponenten. Ist diese in eine Raumrichtung positiv, liegt in dieser Raumrichtung Zug vor. Bei Druckspannungen ist die Normalspannungskomponente dann entsprechend in diese Richtung negativ. </p><p>Bei einer Biegebelastung des Stabes ergibt sich eine <i><a href="/wiki/Biegespannung" class="mw-redirect" title="Biegespannung">Biegespannung</a></i>, die am Rand des Stab-Querschnitts am höchsten ist (in der sogenannten <i>Randfaser</i>) und zur Mitte hin auf Null abnimmt (in der sogenannten <i>neutralen Faser</i>). Als Biegespannung wird zusammenfassend die durch die Biegung jeweils in einem Teil des Querschnitts hervorgerufene Druck- und Zugspannung bezeichnet: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{B}(x,y,z)=-{\frac {M_{z}(x)\cdot I_{y}+M_{y}\cdot I_{yz}}{I_{y}(x)\cdot I_{z}(x)-(I_{yz})^{2}}}\cdot y+{\frac {M_{y}(x)\cdot I_{z}(x)+M_{z}(x)\cdot I_{yz}}{I_{y}(x)\cdot I_{z}(x)-(I_{yz})^{2}}}\cdot z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{B}(x,y,z)=-{\frac {M_{z}(x)\cdot I_{y}+M_{y}\cdot I_{yz}}{I_{y}(x)\cdot I_{z}(x)-(I_{yz})^{2}}}\cdot y+{\frac {M_{y}(x)\cdot I_{z}(x)+M_{z}(x)\cdot I_{yz}}{I_{y}(x)\cdot I_{z}(x)-(I_{yz})^{2}}}\cdot z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48edaac4c7714c42439ec2b048895699f82d15ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:73.131ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{B}(x,y,z)=-{\frac {M_{z}(x)\cdot I_{y}+M_{y}\cdot I_{yz}}{I_{y}(x)\cdot I_{z}(x)-(I_{yz})^{2}}}\cdot y+{\frac {M_{y}(x)\cdot I_{z}(x)+M_{z}(x)\cdot I_{yz}}{I_{y}(x)\cdot I_{z}(x)-(I_{yz})^{2}}}\cdot z}"></span> <sup id="cite_ref-mang2008festigkeitslehre_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-mang2008festigkeitslehre-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></dd></dl> <p>Bei konstanter einachsiger Biegung <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{y}(x)=M_{y}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{y}(x)=M_{y}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1ef9aa1b1316cda989858b9249c8a2e780399fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.844ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle M_{y}(x)=M_{y}}"></span> im <a href="/wiki/Haupttr%C3%A4gheitsachse" title="Hauptträgheitsachse">Hauptträgheitsachsensystem</a> vereinfacht sich die Formel zu: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{B}(z)={\frac {M_{y}}{I_{yy}}}\cdot z\quad {\text{und}}\quad |\sigma _{B}|_{\mathrm {max} }={\frac {|M_{y}|}{|W_{y}|_{\mathrm {min} }}}\quad {\text{mit}}\quad W_{y,{\text{positiv}}}={\frac {I_{yy}}{z_{\mathrm {max} }}}\quad {\text{und}}\quad W_{y,{\text{negativ}}}={\frac {I_{yy}}{z_{\mathrm {min} }}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>z</mi> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>und</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">x</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>mit</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>positiv</mtext> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">x</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>und</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>negativ</mtext> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{B}(z)={\frac {M_{y}}{I_{yy}}}\cdot z\quad {\text{und}}\quad |\sigma _{B}|_{\mathrm {max} }={\frac {|M_{y}|}{|W_{y}|_{\mathrm {min} }}}\quad {\text{mit}}\quad W_{y,{\text{positiv}}}={\frac {I_{yy}}{z_{\mathrm {max} }}}\quad {\text{und}}\quad W_{y,{\text{negativ}}}={\frac {I_{yy}}{z_{\mathrm {min} }}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384512ab1d72ae8010e6959e0b8e7d8c5cc4836a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:94.125ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{B}(z)={\frac {M_{y}}{I_{yy}}}\cdot z\quad {\text{und}}\quad |\sigma _{B}|_{\mathrm {max} }={\frac {|M_{y}|}{|W_{y}|_{\mathrm {min} }}}\quad {\text{mit}}\quad W_{y,{\text{positiv}}}={\frac {I_{yy}}{z_{\mathrm {max} }}}\quad {\text{und}}\quad W_{y,{\text{negativ}}}={\frac {I_{yy}}{z_{\mathrm {min} }}},}"></span></dd></dl> <p>wobei <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{y}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{y}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936c1c1f3ee6035f28570f3181198c849b0829b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.303ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M_{y}}"></span> das <a href="/wiki/Biegemoment" title="Biegemoment">Biegemoment</a> um die y-Achse, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{yy}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{yy}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/198e446f7fc446d3d3b304e92b140035f47cc49a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.889ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle I_{yy}}"></span> das <a href="/wiki/Fl%C3%A4chentr%C3%A4gheitsmoment" title="Flächenträgheitsmoment">Flächenträgheitsmoment</a> um die y-Achse, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}"></span> der <a href="/wiki/Abstand" title="Abstand">Abstand</a> von der neutralen Faser (bei σ<sub>B</sub> = 0), <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{R}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{R}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59581323abacb500bebc6f6e28602615e460de02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.561ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{R}}"></span> der maximal oder minimale auftretende Abstand der Schwerachse zur Randfaser und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}"></span> das <a href="/wiki/Widerstandsmoment" title="Widerstandsmoment">Widerstandsmoment</a> ist, siehe <a href="/wiki/Balkentheorie" title="Balkentheorie">Balkentheorie</a>. Die folgende Skizze verdeutlicht dies an einem <a href="/wiki/Kragtr%C3%A4ger" title="Kragträger">Kragträger</a>: </p> <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Datei:Kragtraeger.svg" class="mw-file-description" title="Spannungen in Kragträger"><img alt="Spannungen in Kragträger" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Kragtraeger.svg/400px-Kragtraeger.svg.png" decoding="async" width="400" height="206" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Kragtraeger.svg/600px-Kragtraeger.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Kragtraeger.svg/800px-Kragtraeger.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="264" /></a><figcaption>Spannungen in Kragträger</figcaption></figure> <p>Als <a href="/wiki/Vektor" title="Vektor">Vektor</a> hat der Schnittspannungsvektor drei Komponenten, die von der Orientierung der Schnittfläche abhängen. Die senkrechten Pfeile an den Schnittufern deuten durch die <a href="/wiki/Querkraft" title="Querkraft">Querkraft</a> eingeleitete Schubspannungen an (die zu einer <a href="/wiki/Scherung_(Mechanik)" title="Scherung (Mechanik)">Scherung</a> führen). Bei einem mit einer Querkraft belasteten Profil wie im Bild stellt sich ein nicht konstanter Schubspannungsverlauf über den Querschnitt ein. Greift die Querkraft außerhalb des <a href="/wiki/Schubmittelpunkt" title="Schubmittelpunkt">Schubmittelpunktes</a> an, tritt zusätzlich <a href="/wiki/Torsion_(Mechanik)" title="Torsion (Mechanik)">Torsion</a> auf. </p><p>Bei der <a href="/wiki/Torsion_(Mechanik)" title="Torsion (Mechanik)">Torsion</a> von <a href="/wiki/Stab_(Statik)" title="Stab (Statik)">Stäben</a> mit Kreis(ring)querschnitt lautet die Schubspannung: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau ={\frac {M_{t}}{I_{p}}}r\quad {\text{und}}\quad \tau _{\mathrm {max} }={\frac {M_{t}}{W_{t}}}\quad {\text{mit}}\quad W_{t}:={\frac {I_{p}}{r_{a}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mi>r</mi> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>und</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">x</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>mit</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau ={\frac {M_{t}}{I_{p}}}r\quad {\text{und}}\quad \tau _{\mathrm {max} }={\frac {M_{t}}{W_{t}}}\quad {\text{mit}}\quad W_{t}:={\frac {I_{p}}{r_{a}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad7a673f420c6078a7a1facea50d372debd3a9ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:46.994ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \tau ={\frac {M_{t}}{I_{p}}}r\quad {\text{und}}\quad \tau _{\mathrm {max} }={\frac {M_{t}}{W_{t}}}\quad {\text{mit}}\quad W_{t}:={\frac {I_{p}}{r_{a}}}}"></span></dd></dl> <p>Darin ist <i>M</i><sub>t</sub> das <a href="/wiki/Torsionsmoment" title="Torsionsmoment">Torsionsmoment</a>, <i>I</i><sub>p</sub> das <a href="/wiki/Fl%C3%A4chentr%C3%A4gheitsmoment#Polares_Flächenträgheitsmoment" title="Flächenträgheitsmoment">polare Flächenträgheitsmoment</a>, <i>W</i><sub>t</sub> das Torsions<a href="/wiki/Widerstandsmoment" title="Widerstandsmoment">widerstandsmoment</a>, <i>r</i> die radiale <a href="/wiki/Zylinderkoordinaten" class="mw-redirect" title="Zylinderkoordinaten">Zylinderkoordinate</a> und <i>r</i><sub>a</sub> der Außenradius des (Hohl-)Zylinders.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Die Formeln zur Biege- und Torsionsspannung setzen <a href="/wiki/Hookesches_Gesetz" title="Hookesches Gesetz">lineare Elastizität</a> voraus. </p><p>Die <a href="/wiki/Tensorrechnung" class="mw-redirect" title="Tensorrechnung">Tensorrechnung</a> erlaubt, den Spannungszustand zunächst unabhängig von einem bestimmten Koordinatensystem zu beschreiben und erst nach einer Herleitung des jeweiligen Berechnungsverfahrens (wie obige Formeln) den geometrischen Eigenschaften des Körpers anzupassen, beispielsweise in Zylinderkoordinaten wie bei der Torsion. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spannungsvektoren_und_Spannungstensor">Spannungsvektoren und Spannungstensor</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Spannungsvektoren und Spannungstensor" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Spannungsvektoren und Spannungstensor"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><span id="Spannung_und_Spannungstensor"></span> </p> <div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="/wiki/Spannungstensor" title="Spannungstensor">Spannungstensor</a></i></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Spannung2.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/4/42/Spannung2.svg/220px-Spannung2.svg.png" decoding="async" width="220" height="102" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/4/42/Spannung2.svg/330px-Spannung2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/4/42/Spannung2.svg/440px-Spannung2.svg.png 2x" data-file-width="290" data-file-height="134" /></a><figcaption>Quader mit mechanischen Spannungen</figcaption></figure> <p>Die an einer bestimmten Stelle wirkenden Spannungen werden in ihrer Gesamtheit durch die Spannungen in drei <a href="/wiki/Schnittfl%C3%A4che" class="mw-redirect" title="Schnittfläche">Schnittflächen</a> beschrieben, die sich an der Stelle kreuzen, also durch drei <i>Spannungsvektoren</i> mit je drei spannungsartigen Komponenten. Die drei Spannungsvektoren bilden zusammengenommen den von <a href="/wiki/Augustin-Louis_Cauchy" title="Augustin-Louis Cauchy">Augustin-Louis Cauchy</a> definierten <i>Spannungstensor</i>. Die Ausrichtung der Schnittflächen ist dabei beliebig, solange ihre Normalen <a href="/wiki/Lineare_Unabh%C3%A4ngigkeit" title="Lineare Unabhängigkeit">linear unabhängig</a> sind, denn als Tensor ist der Spannungstensor unabhängig vom gewählten <a href="/wiki/Basis_(Vektorraum)" title="Basis (Vektorraum)">Basissystem</a>. Beispielhaft kann man die drei Schnittflächen jeweils senkrecht zu einer Richtung eines <a href="/wiki/Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesischen Koordinatensystems</a> mit x-, y- und z-Koordinaten wählen. Die drei Spannungsvektoren auf den drei Schnittflächen entsprechen dann den Zeilen der folgenden Matrix mit den Spannungen als ihren Komponenten: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c0918bf65e500d0f116c2caa230431cceb5b31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:22.064ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle S={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}}"></span></dd></dl> <p>Bezüglich der <a href="/wiki/Standardbasis" title="Standardbasis">Standardbasis</a> entspricht sie dem Spannungstensor. Die Bedeutung der Indizes zeigt die Skizze eines herausgeschnittenen Volumenelements. Im Doppel<a href="/wiki/Index_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Index (Mathematik)">index</a> gibt der erste Index die Richtung an, in die der Normalenvektor der Schnittfläche zeigt, und der zweite Index, in welcher Richtung die Spannung wirkt. Der Spannungstensor ergibt, multipliziert mit dem <a href="/wiki/Normaleneinheitsvektor" class="mw-redirect" title="Normaleneinheitsvektor">Normaleneinheitsvektor</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d125dccc556f5c8b0bf98a4f3847590b3f353bd4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {n}}}"></span> einer Schnittfläche, den Spannungsvektor auf dieser Fläche (Kraftvektor pro Flächeneinheit): </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {T}}^{({\hat {n}})}=S^{\top }{\vec {\hat {n}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">⊤</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {T}}^{({\hat {n}})}=S^{\top }{\vec {\hat {n}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb0d2a56e5b73c1520ae248d304fec8628e8b96" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.41ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {T}}^{({\hat {n}})}=S^{\top }{\vec {\hat {n}}}.}"></span></dd></dl> <p>Bei den „aktuellen“ oder „wahren“ Cauchy’schen Spannungen ist die Matrix <a href="/wiki/Symmetrische_Matrix" title="Symmetrische Matrix">symmetrisch</a>, so dass also beispielsweise τ<sub>xy</sub> = τ<sub>yx</sub> ist und daher in obiger Formel die <a href="/wiki/Transponierte_Matrix" title="Transponierte Matrix">Transposition</a> ( · )<sup>T</sup> weggelassen werden kann. </p><p>Wenn die Spannungsmatrix in einem anderen Koordinatensystem aufgestellt wird, dann ändern sich ihre Komponenten in charakteristischer Weise, so wie sich auch die Komponenten eines geometrischen Vektors beim <a href="/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum)" title="Basiswechsel (Vektorraum)">Wechsel des Basissystems</a> ändern. Der Betrag des Vektors ändert sich dabei aber nicht und genauso gibt es beim Spannungstensor sogenannte <i><a href="/wiki/Hauptinvariante" title="Hauptinvariante">Invarianten</a></i>, die sich bei einem Basiswechsel nicht ändern. Beim Spannungstensor sind vor allem folgende Invarianten bedeutsam: </p> <ul><li>der <a href="/wiki/Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a>, der der negative Mittelwert der Diagonalelemente ist und der proportional zur <a href="/wiki/Spur_(Mathematik)" title="Spur (Mathematik)">Spur</a> der Spannungsmatrix ist,</li> <li>die von Mises <a href="/wiki/Vergleichsspannung" title="Vergleichsspannung">Vergleichsspannung</a>, die eine Invariante des <a href="/wiki/Spannungsdeviator" title="Spannungsdeviator">Spannungsdeviators</a> ist,</li> <li>die Hauptspannungen und</li> <li>die maximalen Schubspannungen, siehe <a href="#Zusammenhänge_in_der_Festigkeitslehre">unten</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schub-,_Druck-_und_Zugspannung"><span id="Schub-.2C_Druck-_und_Zugspannung"></span>Schub-, Druck- und Zugspannung</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Schub-, Druck- und Zugspannung" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Schub-, Druck- und Zugspannung"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die Diagonalelemente σ<sub>xx</sub>,σ<sub>yy</sub>,σ<sub>zz</sub> in der Spannungsmatrix stellen die <i>Normalspannungen</i> dar, also die Spannungen, die senkrecht zur Koordinatenfläche wirken. Anders gesagt: Normalen- und Wirkrichtung stimmen überein. </p><p>Normalspannungen werden je nach <a href="/wiki/Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a> <i>Zugspannung</i> (positives Vorzeichen) oder <i>Druckspannung</i> (negatives Vorzeichen) genannt. <i>Druckspannung</i> wird gelegentlich auch als <a href="/wiki/Fl%C3%A4chenpressung" title="Flächenpressung">Flächenpressung</a> bezeichnet. </p><p>Im Gegensatz zur <i>Druckspannung</i> ist <i><a href="/wiki/Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a></i> ausschließlich <a href="/wiki/Isotrop" class="mw-redirect" title="Isotrop">isotrop</a>. Das heißt, <i>Druck</i> ist kein <a href="/wiki/Vektor" title="Vektor">Vektor</a>, sondern der negative hydrostatische Anteil des <a href="/wiki/Spannungstensor" title="Spannungstensor">Spannungstensors</a>. Er wirkt in allen Richtungen zugleich und ist daher der negative Mittelwert der Normalspannungen in den drei Raumrichtungen (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=-(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz})/3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=-(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz})/3}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a4e0ae16c2b553fc9328323ce51e3748de7179f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:25.713ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle p=-(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz})/3}"></span>). Er ist bei hydrostatischem Druck positiv und bei hydrostatischem Zug negativ. (Letzterer kann nur in Festkörpern vorkommen, da es sich beim scheinbaren hydrostatischen Zug in einem vakuumierten Gefäß tatsächlich um Druck handelt, der von außen auf das Gefäß wirkt.) </p><p>Die nichtdiagonalen Elemente τ<sub>ij</sub> werden als <i>Schubspannungen</i> bezeichnet. Sie wirken <a href="/wiki/Tangential" class="mw-redirect" title="Tangential">tangential</a> zur Fläche, stellen also eine <a href="/wiki/Scherung_(Mechanik)" title="Scherung (Mechanik)">Scherbelastung</a> dar. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Hauptspannung_und_Hauptspannungsrichtung">Hauptspannung und Hauptspannungsrichtung</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Hauptspannung und Hauptspannungsrichtung" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Hauptspannung und Hauptspannungsrichtung"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Ebener_Spannungszustand.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Ebener_Spannungszustand.png/180px-Ebener_Spannungszustand.png" decoding="async" width="180" height="180" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Ebener_Spannungszustand.png/270px-Ebener_Spannungszustand.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Ebener_Spannungszustand.png/360px-Ebener_Spannungszustand.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a><figcaption>Ebener Spannungszustand</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Hauptspannungen.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Hauptspannungen.png/180px-Hauptspannungen.png" decoding="async" width="180" height="180" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Hauptspannungen.png/270px-Hauptspannungen.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Hauptspannungen.png/360px-Hauptspannungen.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a><figcaption>Hauptspannungen im ebenen Spannungszustand</figcaption></figure> <p>Zu jedem Spannungszustand im Gleichgewicht lassen sich durch <a href="/wiki/Hauptachsentransformation" title="Hauptachsentransformation">Hauptachsentransformation</a> drei paarweise senkrechte Richtungen finden, in denen bei Zug und Druck keine Schubspannungen auftreten, siehe Bilder. In diesen <i>Hauptspannungsrichtungen</i> wirken die <i>Hauptspannungen</i> σ<sub>1,2,3</sub>. </p><p>Die Hauptspannungen lassen sich durch das Lösen der Gleichung <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \det(S-\sigma E)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>−</mo> <mi>σ</mi> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \det(S-\sigma E)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f870a6f9a30da2feeb7d7f0db50b34633b78cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.745ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \det(S-\sigma E)=0}"></span> errechnen, wobei <i>E</i> die <i>3×3</i>-<a href="/wiki/Einheitsmatrix" title="Einheitsmatrix">Einheitsmatrix</a> ist. Ausmultiplizieren der <a href="/wiki/Determinante_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Determinante (Mathematik)">Determinante</a> det führt auf eine Gleichung dritten Grades in σ, deren Lösungen die gesuchten Hauptspannungen darstellen. Sie sind die <a href="/wiki/Eigenwert" class="mw-redirect" title="Eigenwert">Eigenwerte</a> der Spannungsmatrix <i>S</i> und sämtlich reell, weil die Matrix symmetrisch ist. Ein <a href="/wiki/Hydrostatik" title="Hydrostatik">hydrostatischer</a> Spannungszustand liegt vor, wenn die drei Hauptspannungen gleich sind. (Hier treten keine Schubspannungen auf.) </p><p>Die jeweilige Hauptspannungsrichtung ergibt sich aus der Gleichung <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S{\vec {e}}=\sigma {\vec {e}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S{\vec {e}}=\sigma {\vec {e}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d40346dafc56bb2c53cb7c2996230e0af5933c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.374ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle S{\vec {e}}=\sigma {\vec {e}}}"></span>, wobei für <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }"></span> die errechnete Hauptspannung eingesetzt wird. Die Lösungen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}_{1,2,3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}_{1,2,3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8e19dca26cce96d3f35ced4c72a9875faf1a99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.836ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {e}}_{1,2,3}}"></span> sind <a href="/wiki/Eigenvektor" class="mw-redirect" title="Eigenvektor">Eigenvektoren</a> der Spannungsmatrix <i>S</i> und geben die Richtung der Hauptspannungen an. In normierter Form bilden sie eine <a href="/wiki/Orthonormalbasis" title="Orthonormalbasis">Orthonormalbasis</a> des dreidimensionalen Raumes oder lassen sich entsprechend orthogonalisieren. In den Hauptspannungsrichtungen sind die Schnittspannungen betraglich extremal. Die <a href="/wiki/Kurvenschar" title="Kurvenschar">Kurvenschar</a> der Hauptspannungslinien nennt man <i><a href="/wiki/Spannungstrajektorien" title="Spannungstrajektorien">Spannungstrajektorien</a></i>. </p><p>Der <a href="/wiki/Mohrscher_Spannungskreis" title="Mohrscher Spannungskreis">Mohrsche Spannungskreis</a> gibt einen graphischen Eindruck der Abhängigkeit der Normal- und Schubspannung von der Normalenrichtung in der von zwei Hauptspannungsrichtungen aufgespannten Ebene. Die <a href="/wiki/Hauptschubspannung" title="Hauptschubspannung">Hauptschubspannungen</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau _{1}={\frac {|\sigma _{2}-\sigma _{3}|}{2}},\quad \tau _{2}={\frac {|\sigma _{3}-\sigma _{1}|}{2}},\quad \tau _{3}={\frac {|\sigma _{1}-\sigma _{2}|}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{1}={\frac {|\sigma _{2}-\sigma _{3}|}{2}},\quad \tau _{2}={\frac {|\sigma _{3}-\sigma _{1}|}{2}},\quad \tau _{3}={\frac {|\sigma _{1}-\sigma _{2}|}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90dace80d4002171a544040bdbe26957795c5346" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:51.42ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \tau _{1}={\frac {|\sigma _{2}-\sigma _{3}|}{2}},\quad \tau _{2}={\frac {|\sigma _{3}-\sigma _{1}|}{2}},\quad \tau _{3}={\frac {|\sigma _{1}-\sigma _{2}|}{2}}}"></span></dd></dl> <p>sind <a href="/wiki/Kritischer_Punkt_(Mathematik)" title="Kritischer Punkt (Mathematik)">kritische</a> Schubspannungen und treten in Schnittebenen auf, die normal zu den <a href="/wiki/Winkelhalbierende" title="Winkelhalbierende">Winkelhalbierenden</a> zwischen den Hauptspannungsrichtungen sind. Sei σ<sub>1</sub> die größte und σ<sub>3</sub> die kleinste Hauptspannung. Dann ist die maximale Schubspannung </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }={\frac {|\sigma _{1}-\sigma _{3}|}{2}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">x</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }={\frac {|\sigma _{1}-\sigma _{3}|}{2}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31aa8ef1bec0dc4c9338398c6261d14528430073" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.786ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }={\frac {|\sigma _{1}-\sigma _{3}|}{2}}.}"></span></dd></dl> <p>Werde die <a href="/wiki/Xy-Ebene" class="mw-redirect" title="Xy-Ebene">xy-Ebene</a> wie in den Bildern durch die 1- und 2-Hauptspannungsrichtungen aufgespannt. Dann lauten die Hauptspannungen und die Hauptschubspannung bei einem gegebenen Spannungszustand in dieser Ebene </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1,2}=&{\frac {\sigma _{xx}+\sigma _{yy}}{2}}\pm \tau _{3}\\\tau _{3}=&{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>±</mo> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1,2}=&{\frac {\sigma _{xx}+\sigma _{yy}}{2}}\pm \tau _{3}\\\tau _{3}=&{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e620bbce7f36ffe3c4dc3c16c269355209ac0be0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:29.821ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1,2}=&{\frac {\sigma _{xx}+\sigma _{yy}}{2}}\pm \tau _{3}\\\tau _{3}=&{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Die Winkel zur x-Achse, in denen die Hauptspannungen auftreten, ist </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan(2\cdot \varphi _{1,2})={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>tan</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>τ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan(2\cdot \varphi _{1,2})={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1fb3cd6733d669021b225019e89dc977abf4dc5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:25.92ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \tan(2\cdot \varphi _{1,2})={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}}.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zusammenhänge_in_der_Festigkeitslehre"><span id="Zusammenh.C3.A4nge_in_der_Festigkeitslehre"></span>Zusammenhänge in der Festigkeitslehre</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Zusammenhänge in der Festigkeitslehre" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Zusammenhänge in der Festigkeitslehre"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="/wiki/Festigkeitslehre" title="Festigkeitslehre">Festigkeitslehre</a></i></div> <p>Ein realer, Spannungen ausgesetzter Körper deformiert sich. </p><p>Den Zusammenhang zur Deformation stellt für elastische Verformungen das <a href="/wiki/Hookesches_Gesetz" title="Hookesches Gesetz">Hooke’sche Gesetz</a> her. Wichtigste Materialkonstanten sind dabei <a href="/wiki/Elastizit%C3%A4tsmodul" title="Elastizitätsmodul">Elastizitätsmodul</a>, <a href="/wiki/Schubmodul" title="Schubmodul">Schubmodul</a> und <a href="/wiki/Querkontraktionszahl" class="mw-redirect" title="Querkontraktionszahl">Querkontraktionszahl</a>. </p><p>Die plastische Deformation wird durch die <a href="/wiki/Plastizit%C3%A4tstheorie#Fließbedingung" title="Plastizitätstheorie">Fließbedingung</a>, das <a href="/wiki/Flie%C3%9Fgesetz" class="mw-redirect" title="Fließgesetz">Fließgesetz</a> und das Verfestigungsgesetz beschrieben. Im <a href="/wiki/Deviator#Flächen_im_Eigenwertraum" title="Deviator">Hauptspannungsraum</a>, in dem die Hauptspannungen auf den Koordinatenachsen aufgetragen werden, stellt ein Spannungszustand einen Punkt oder Vektor dar, den man in zwei Komponenten zerlegen kann: </p> <ul><li>Die (deviatorische) Komponente quer zur Raumdiagonalen im Hauptspannungsraum, also quer zum <a href="/wiki/Hydrostatisch" class="mw-redirect" title="Hydrostatisch">hydrostatischen</a> Spannungsanteil, ist ein Maß dafür, wie groß die Schubspannungen je nach Schnittrichtung maximal werden können. Allein dieser Anteil ist bei der Berechnung von <a href="/wiki/Stahlkonstruktion" class="mw-redirect" title="Stahlkonstruktion">Stahlkonstruktionen</a> relevant. Er entspricht der von Mises <i><a href="/wiki/Vergleichsspannung" title="Vergleichsspannung">Vergleichsspannung</a></i> nach der <a href="/wiki/Gestalt%C3%A4nderungshypothese" class="mw-redirect" title="Gestaltänderungshypothese">Gestaltänderungshypothese</a> und ist eine Funktion des Betrages des <a href="/wiki/Spannungsdeviator" title="Spannungsdeviator">Spannungsdeviators</a>. Wenn diese Vergleichsspannung die <i><a href="/wiki/Flie%C3%9Fspannung" title="Fließspannung">Fließspannung</a></i> des Stahls überschreitet, <a href="/wiki/Verformung" title="Verformung">verformt</a> sich der Stahl <a href="/wiki/Plastizit%C3%A4t_(Physik)" title="Plastizität (Physik)">plastisch</a>.</li> <li>Die Komponente in Richtung der Raumdiagonalen beschreibt den Druck; dieser Anteil ist bei der Berechnung von Stahlkonstruktionen irrelevant, da er in keinerlei Schnittrichtung zu Schubspannungen führt, und insofern auch zu keiner <a href="/wiki/Plastische_Verformung" class="mw-redirect" title="Plastische Verformung">plastischen Verformung</a>.</li></ul> <p>Ein Festkörper kann auch <a href="/wiki/Eigenspannung" title="Eigenspannung">Eigenspannungen</a> besitzen, die ohne von außen an den Körper angreifende Kräfte auftreten. </p><p>Im Allgemeinen hängt das Deformationsverhalten eines Körpers von seiner Form und den Eigenschaften der Materialien ab, aus denen er besteht. Die Materialeigenschaften werden in einem <a href="/wiki/Materialmodell" title="Materialmodell">Materialmodell</a> mathematisch durch einen Zusammenhang zwischen Spannungs- und <a href="/wiki/Verzerrungstensor" title="Verzerrungstensor">Verzerrungstensor</a> sowie ihren Raten und zeitlichen Verläufen beschrieben. Mit den Materialmodellen können bei gegebenem Körper, seinen Lagerungen und Belastungen die Spannungen in ihm berechnet werden. Die <a href="/wiki/Rheologie" title="Rheologie">Rheologie</a>, <a href="/wiki/Materialwissenschaft_und_Werkstofftechnik" title="Materialwissenschaft und Werkstofftechnik">Materialwissenschaft und Werkstofftechnik</a> sowie <a href="/wiki/Materialtheorie" class="mw-redirect" title="Materialtheorie">Materialtheorie</a> beschäftigen sich mit dem Fließ- und Deformationsverhalten von Materialien und machen es möglich, die Spannungen rechnerisch zu ermitteln. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zusammenhänge_in_der_Strömungsmechanik"><span id="Zusammenh.C3.A4nge_in_der_Str.C3.B6mungsmechanik"></span>Zusammenhänge in der Strömungsmechanik</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Zusammenhänge in der Strömungsmechanik" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Zusammenhänge in der Strömungsmechanik"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Den Zusammenhang zur Verformungsgeschwindigkeit in linear-viskosen Flüssigkeiten und Gasen (<a href="/wiki/Fluid" title="Fluid">Fluide</a>) stellt <a href="/wiki/Newtonsches_Fluid" title="Newtonsches Fluid">Newtons Zähigkeitsansatz</a> her. Wichtigste Materialkonstante ist darin die <a href="/wiki/Dynamische_Viskosit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Dynamische Viskosität">dynamische Viskosität</a>. Ursache der Viskosität ist die Reibung und der Impulstransport zwischen den Fluidelementen. </p><p>Bei <a href="/wiki/Laminare_Str%C3%B6mung" title="Laminare Strömung">laminarer Strömung</a> und genügend großer <a href="/wiki/Reynolds-Zahl" title="Reynolds-Zahl">Reynolds-Zahl</a> kann im Großteil eines Strömungsfelds die <a href="/wiki/Viskosit%C3%A4t" title="Viskosität">Viskosität</a> des strömenden Fluids vernachlässigt werden. Hier ist die dominierende Spannung im Fluid der Druck. Der <a href="/wiki/Totaldruck" title="Totaldruck">Totaldruck</a> teilt sich auf in den <a href="/wiki/Dynamischer_Druck" class="mw-redirect" title="Dynamischer Druck">dynamischen</a> und den <a href="/wiki/Hydrostatischer_Druck" title="Hydrostatischer Druck">statischen Druck</a>. Der dynamische Druck speist sich aus der <a href="/wiki/Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetischen Energie</a> der Fluidelemente. Der statische Druck ist jener Druck, den ein mit der Strömung mitbewegtes Fluidelement verspürt. Er wird in <a href="/wiki/Gas" title="Gas">Gasen</a> mit <a href="/wiki/Zustandsgleichung" title="Zustandsgleichung">Zustandsgleichungen</a> und im Fall des <a href="/wiki/Ideales_Gas" title="Ideales Gas">idealen Gases</a> durch <a href="/wiki/Gasgesetze" title="Gasgesetze">Gasgesetze</a> beschrieben. </p><p>Keinesfalls zu vernachlässigen ist der Einfluss der Viskosität in der <a href="/wiki/Fluiddynamische_Grenzschicht" title="Fluiddynamische Grenzschicht">Grenzschicht</a> an umströmten Wänden. Die Dicke dieser Grenzschicht ist bei anliegender Strömung zwar sehr klein, in ihr bildet sich aber über die <a href="/wiki/Wandschubspannung" title="Wandschubspannung">Wandschubspannung</a> der <a href="/wiki/Schubspannungswiderstand" title="Schubspannungswiderstand">Schubspannungswiderstand</a> des umströmten Körpers, der mit dem <a href="/wiki/Druckwiderstand" title="Druckwiderstand">Druckwiderstand</a> zusammen den gesamten <a href="/wiki/Str%C3%B6mungswiderstand" title="Strömungswiderstand">Strömungswiderstand</a> eines Körpers ausmacht. </p><p>Bei <a href="/wiki/Grenzschichtabl%C3%B6sung" title="Grenzschichtablösung">Grenzschichtablösungen</a> kann die Wandschubspannung verschwinden oder gar entgegen der Außenströmung wirken. Solche Ablösungen können dramatische Auswirkungen haben, wenn sie an <a href="/wiki/Tragfl%C3%BCgel" class="mw-redirect" title="Tragflügel">Tragflügeln</a> oder in <a href="/wiki/Strahltriebwerk" class="mw-redirect" title="Strahltriebwerk">Strahltriebwerken</a> auftreten. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Siehe auch" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Siehe auch"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Nebenspannung" title="Nebenspannung">Nebenspannung</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>H. Balke: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Technische Mechanik. Festigkeitslehre</cite>. 3. Auflage. Springer-Vieweg, 2014, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783642409806" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-642-40980-6</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Mechanische+Spannung&rft.au=H.+Balke&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Technische+Mechanik.+Festigkeitslehre&rft.date=2014&rft.edition=3.&rft.genre=book&rft.isbn=9783642409806&rft.pub=Springer-Vieweg" style="display:none"> </span></li> <li>Heinz Parkus: <cite style="font-style:italic">Mechanik der festen Körper</cite>. 2. Auflage, 6. Nachdruck. Springer, Wien / New York 2009, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783211807774" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-211-80777-4</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Mechanische+Spannung&rft.au=Heinz+Parkus&rft.btitle=Mechanik+der+festen+K%C3%B6rper&rft.date=2009&rft.edition=2.+Auflage%2C+6.+Nachdruck&rft.genre=book&rft.isbn=9783211807774&rft.place=Wien+%2F+New+York&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li> <li>Christian Spura: <cite style="font-style:italic">Technische Mechanik 2. Elastostatik</cite>. 1. Auflage. Springer, Wiesbaden 2019, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783658199791" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-658-19979-1</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Mechanische+Spannung&rft.au=Christian+Spura&rft.btitle=Technische+Mechanik+2.+Elastostatik&rft.date=2019&rft.edition=1.&rft.genre=book&rft.isbn=9783658199791&rft.place=Wiesbaden&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">H. Balke: <i>Einführung in die Technische Mechanik. Festigkeitslehre.</i> 2014, S. 32.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Karl-Eugen_Kurrer" title="Karl-Eugen Kurrer">Karl-Eugen Kurrer</a>: <i>The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium</i>. Ernst & Sohn, Berlin, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783433032299" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-433-03229-9</a>, S. 396.</span> </li> <li id="cite_note-mang2008festigkeitslehre-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-mang2008festigkeitslehre_3-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Herbert_Mang" title="Herbert Mang">Herbert Mang</a>, Günter Hofstetter: <cite style="font-style:italic">Festigkeitslehre</cite>. 3. Auflage. Springer Verlag, Wien/ New York 2008, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783211724538" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-211-72453-8</a>, 6.4 „Normalspannungen“, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>156</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-40752-9">springer.com</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Mechanische+Spannung&rft.atitle=6.4+%E2%80%9ENormalspannungen%E2%80%9C&rft.au=Herbert+Mang%2C+G%C3%BCnter+Hofstetter&rft.btitle=Festigkeitslehre&rft.date=2008&rft.edition=3.&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783211724538&rft.pages=156&rft.place=Wien%2F+New+York&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">H. Balke: <i>Einführung in die Technische Mechanik. Festigkeitslehre.</i> 2014, S. 63ff.</span> </li> </ol> <div class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 navigation-not-searchable normdaten-typ-s" style="border-style: solid; border-width: 1px; clear: left; margin-bottom:1em; margin-top:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="normdaten"> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div> Normdaten (Sachbegriff): <a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="plainlinks-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4134428-5">4134428-5</a></span> <span class="noprint">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://lobid.org/gnd/4134428-5">lobid</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://swb.bsz-bw.de/DB=2.104/SET=1/TTL=1/CMD?retrace=0&trm_old=&ACT=SRCHA&IKT=2999&SRT=RLV&TRM=4134428-5">OGND</a><span class="metadata">, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://prometheus.lmu.de/gnd/4134428-5">AKS</a></span>)</span> <span class="metadata"></span></div> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&oldid=246836849#Schubspannung">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mechanische_Spannung&oldid=246836849#Schubspannung</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Mechanische_Spannung" title="Kategorie:Mechanische Spannung">Mechanische Spannung</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fenart" title="Kategorie:Physikalische Größenart">Physikalische Größenart</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Meine Werkzeuge</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Benutzerseite der IP-Adresse, von der aus du Änderungen durchführst">Nicht angemeldet</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n"><span>Diskussionsseite</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y"><span>Beiträge</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Mechanische+Spannung" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. 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[o]" accesskey="o"><span>Anmelden</span></a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Namensräume</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Mechanische_Spannung" title="Seiteninhalt anzeigen [c]" accesskey="c"><span>Artikel</span></a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Mechanische_Spannung" rel="discussion" title="Diskussion zum Seiteninhalt [t]" accesskey="t"><span>Diskussion</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" 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hreflang="en"><span>Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q206175" title="Link zum verbundenen Objekt im Datenrepositorium [g]" accesskey="g"><span>Wikidata-Datenobjekt</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">In anderen Sprachen</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%A5%D8%AC%D9%87%D8%A7%D8%AF_(%D9%85%D9%8A%D9%83%D8%A7%D9%86%D9%8A%D9%83%D8%A7)" title="إجهاد (ميكانيكا) – Arabisch" lang="ar" hreflang="ar" data-title="إجهاد (ميكانيكا)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="Arabisch" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_(mec%C3%A1nica)" title="Tensión (mecánica) – Asturisch" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Tensión (mecánica)" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="Asturisch" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/G%C9%99rginlik_(mexanika)" title="Gərginlik (mexanika) – Aserbaidschanisch" lang="az" hreflang="az" data-title="Gərginlik (mexanika)" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="Aserbaidschanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bar mw-list-item"><a href="https://bar.wikipedia.org/wiki/Spaunnung" title="Spaunnung – Bairisch" lang="bar" hreflang="bar" data-title="Spaunnung" data-language-autonym="Boarisch" data-language-local-name="Bairisch" class="interlanguage-link-target"><span>Boarisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0%D0%B5_%D0%BD%D0%B0%D0%BF%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B5" title="Механічнае напружанне – Belarussisch" lang="be" hreflang="be" data-title="Механічнае напружанне" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="Belarussisch" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1%8D%D1%85%D0%B0%D0%BD%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0%D0%B5_%D0%BD%D0%B0%D0%BF%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D1%8C%D0%BD%D0%B5" title="Мэханічнае напружаньне – Weißrussisch (Taraschkewiza)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Мэханічнае напружаньне" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Weißrussisch (Taraschkewiza)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_(%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Напрежение (механика) – Bulgarisch" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Напрежение (механика)" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="Bulgarisch" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AA%E0%A7%80%E0%A6%A1%E0%A6%BC%E0%A6%A8" title="পীড়ন – Bengalisch" lang="bn" hreflang="bn" data-title="পীড়ন" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="Bengalisch" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Mehani%C4%8Dki_napon" title="Mehanički napon – Bosnisch" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Mehanički napon" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="Bosnisch" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3_(mec%C3%A0nica)" title="Tensió (mecànica) – Katalanisch" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Tensió (mecànica)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="Katalanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Mechanick%C3%A9_nap%C4%9Bt%C3%AD" title="Mechanické napětí – Tschechisch" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Mechanické napětí" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="Tschechisch" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%C4%83%D0%BB%D0%BB%D0%B0_%D1%85%D0%B8%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BB%C4%95%D1%85" title="Механикăлла хиврелĕх – Tschuwaschisch" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Механикăлла хиврелĕх" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="Tschuwaschisch" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Sp%C3%A6nding_(mekanik)" title="Spænding (mekanik) – Dänisch" lang="da" hreflang="da" data-title="Spænding (mekanik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="Dänisch" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A4%CE%AC%CF%83%CE%B7_(%CE%BC%CE%B7%CF%87%CE%B1%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CE%AE)" title="Τάση (μηχανική) – Griechisch" lang="el" hreflang="el" data-title="Τάση (μηχανική)" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="Griechisch" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)" title="Stress (mechanics) – Englisch" lang="en" hreflang="en" data-title="Stress (mechanics)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="Englisch" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Stre%C4%89o_(mekaniko)" title="Streĉo (mekaniko) – Esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Streĉo (mekaniko)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="Esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica" title="Tensión mecánica – Spanisch" lang="es" hreflang="es" data-title="Tensión mecánica" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="Spanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Pinge_(mehaanika)" title="Pinge (mehaanika) – Estnisch" lang="et" hreflang="et" data-title="Pinge (mehaanika)" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="Estnisch" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Tentsio_mekaniko" title="Tentsio mekaniko – Baskisch" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Tentsio mekaniko" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="Baskisch" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%86%D8%B4_(%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9)" title="تنش (مکانیک) – Persisch" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تنش (مکانیک)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="Persisch" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/J%C3%A4nnitys" title="Jännitys – Finnisch" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Jännitys" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="Finnisch" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Contrainte_(m%C3%A9canique)" title="Contrainte (mécanique) – Französisch" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Contrainte (mécanique)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Französisch" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Strus_(fisic)" title="Strus (fisic) – Irisch" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Strus (fisic)" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="Irisch" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica" title="Tensión mecánica – Galicisch" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Tensión mecánica" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="Galicisch" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%90%D7%9E%D7%A5_(%D7%94%D7%A0%D7%93%D7%A1%D7%94)" title="מאמץ (הנדסה) – Hebräisch" lang="he" hreflang="he" data-title="מאמץ (הנדסה)" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="Hebräisch" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%A4%E0%A4%BF%E0%A4%AC%E0%A4%B2" title="प्रतिबल – Hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="प्रतिबल" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="Hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Naprezanje" title="Naprezanje – Kroatisch" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Naprezanje" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="Kroatisch" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ht mw-list-item"><a href="https://ht.wikipedia.org/wiki/Estr%C3%A8s" title="Estrès – Haiti-Kreolisch" lang="ht" hreflang="ht" data-title="Estrès" data-language-autonym="Kreyòl ayisyen" data-language-local-name="Haiti-Kreolisch" class="interlanguage-link-target"><span>Kreyòl ayisyen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Mechanikai_fesz%C3%BClts%C3%A9g" title="Mechanikai feszültség – Ungarisch" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Mechanikai feszültség" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="Ungarisch" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%84%D5%A5%D5%AD%D5%A1%D5%B6%D5%AB%D5%AF%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%AC%D5%A1%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Մեխանիկական լարում – Armenisch" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Մեխանիկական լարում" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="Armenisch" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Tegangan_(mekanika)" title="Tegangan (mekanika) – Indonesisch" lang="id" hreflang="id" data-title="Tegangan (mekanika)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="Indonesisch" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Tensione_interna" title="Tensione interna – Italienisch" lang="it" hreflang="it" data-title="Tensione interna" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="Italienisch" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BF%9C%E5%8A%9B" title="応力 – Japanisch" lang="ja" hreflang="ja" data-title="応力" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Japanisch" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%AA%E0%B3%80%E0%B2%A1%E0%B2%A8" title="ಪೀಡನ – Kannada" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಪೀಡನ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="Kannada" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B3%80%ED%98%95%EB%A0%A5" title="변형력 – Koreanisch" lang="ko" hreflang="ko" data-title="변형력" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Koreanisch" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/%C4%AEtempis" title="Įtempis – Litauisch" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Įtempis" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="Litauisch" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Meh%C4%81niskais_spriegums" title="Mehāniskais spriegums – Lettisch" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Mehāniskais spriegums" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="Lettisch" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%86%E0%B4%AF%E0%B4%BE%E0%B4%B8%E0%B4%82" title="ആയാസം – Malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ആയാസം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="Malayalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Tegasan_(mekanik)" title="Tegasan (mekanik) – Malaiisch" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Tegasan (mekanik)" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="Malaiisch" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Mechanische_spanning" title="Mechanische spanning – Niederländisch" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Mechanische spanning" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Niederländisch" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Mekanisk_spenning" title="Mekanisk spenning – Norwegisch (Nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Mekanisk spenning" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Norwegisch (Nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Spenning_(mekanikk)" title="Spenning (mekanikk) – Norwegisch (Bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Spenning (mekanikk)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="Norwegisch (Bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Napr%C4%99%C5%BCenie" title="Naprężenie – Polnisch" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Naprężenie" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="Polnisch" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Tens%C3%A3o_(mec%C3%A2nica)" title="Tensão (mecânica) – Portugiesisch" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Tensão (mecânica)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="Portugiesisch" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Tensiune_(mecanic%C4%83)" title="Tensiune (mecanică) – Rumänisch" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Tensiune (mecanică)" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="Rumänisch" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BD%D0%B0%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Механическое напряжение – Russisch" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Механическое напряжение" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Russisch" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)" title="Stress (mechanics) – Schottisch" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Stress (mechanics)" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="Schottisch" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Napor_(mehanika)" title="Napor (mehanika) – Serbokroatisch" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Napor (mehanika)" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="Serbokroatisch" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)" title="Stress (mechanics) – einfaches Englisch" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Stress (mechanics)" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="einfaches Englisch" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Mechanick%C3%A9_nap%C3%A4tie" title="Mechanické napätie – Slowakisch" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Mechanické napätie" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Slowakisch" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Mehanska_napetost" title="Mehanska napetost – Slowenisch" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Mehanska napetost" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Slowenisch" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%BF%D0%BE%D0%BD_(%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Напон (механика) – Serbisch" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Напон (механика)" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="Serbisch" 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Mechanische Spannung – Wikipedia