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</li> <li id="toc-実数体上の直交群" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#実数体上の直交群"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>実数体上の直交群</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-実数体上の直交群-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>実数体上の直交群サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-実数体上の直交群-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-幾何学的解釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#幾何学的解釈"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>幾何学的解釈</span> </div> </a> <ul id="toc-幾何学的解釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-低次元の直交群のトポロジー" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#低次元の直交群のトポロジー"> <div class="vector-toc-text"> <span 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<span>直交リー代数</span> </div> </a> <ul id="toc-直交リー代数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-注釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#注釈"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>注釈</span> </div> </a> <ul id="toc-注釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>文献</span> </div> </a> <ul id="toc-文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc 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.ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid #fc3}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output .ambox-protection{border-left:10px solid #a2a9b1}.mw-parser-output .ambox .mbox-text{border:none;padding:0.25em 0.5em;width:100%;font-size:90%}.mw-parser-output .ambox .mbox-image{border:none;padding:2px 0 2px 0.5em;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-imageright{border:none;padding:2px 0.5em 2px 0;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-empty-cell{border:none;padding:0;width:1px}.mw-parser-output .ambox .mbox-image-div{width:52px}html.client-js body.skin-minerva .mw-parser-output .mbox-text-span{margin-left:23px!important}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .ambox{margin:0 10%}}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .ambox{display:none!important}}</style><table class="plainlinks metadata ambox ambox-content" role="presentation"><tbody><tr><td class="mbox-image"><div class="mbox-image-div"><span typeof="mw:File"><span title="翻訳中途"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Translation_arrow.svg/50px-Translation_arrow.svg.png" decoding="async" width="50" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Translation_arrow.svg/75px-Translation_arrow.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Translation_arrow.svg/100px-Translation_arrow.svg.png 2x" data-file-width="60" data-file-height="20" /></span></span></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span">この項目「<b>直交群</b>」は途中まで翻訳されたものです。（原文：<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Orthogonal_group&oldid=695607930">English Wikipedia "Orthogonal group" 06:47, 17 December 2015</a>）<br />翻訳作業に協力して下さる方を求めています。<a href="/w/index.php?title=%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ノート:直交群」 (存在しないページ)">ノートページ</a>や<a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4&action=history">履歴</a>、<a href="/wiki/Wikipedia:%E7%BF%BB%E8%A8%B3%E3%81%AE%E3%82%AC%E3%82%A4%E3%83%89%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3" title="Wikipedia:翻訳のガイドライン">翻訳のガイドライン</a>も参照してください。<b><a href="/wiki/Wikipedia:%E7%BF%BB%E8%A8%B3%E3%81%AE%E3%82%AC%E3%82%A4%E3%83%89%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3#要約欄への記入" title="Wikipedia:翻訳のガイドライン">要約欄への翻訳情報の記入</a></b>をお忘れなく。<small>（<span title="2016-02-03">2016年2月</span>）</small></div></td></tr></tbody></table> <p><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>において、<span lang="en" class="texhtml"><i>n</i></span> 次元の<b>直交群</b>（ちょっこうぐん、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">orthogonal group</span>）とは、<span lang="en" class="texhtml"><i>n</i></span> 次元<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ユークリッド空間">ユークリッド空間</a>上のある固定された点を保つような<a href="/wiki/%E7%AD%89%E9%95%B7%E5%86%99%E5%83%8F" title="等長写像">距離を保つ変換</a>全体からなる群であり、群の演算は変換の<a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90" title="写像の合成">合成</a>によって与える。<span lang="en" class="texhtml">O(<i>n</i>)</span> と表記する。同値な別の定義をすれば、直交群とは、元が<span lang="en" class="texhtml"><i>n</i>×<i>n</i></span> の<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E8%A1%8C%E5%88%97" title="直交行列">実直交行列</a>であり、群の積が行列の積によって与えられるものをいう。直交行列とは、<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正則行列">逆行列</a>がもとの行列の<a href="/wiki/%E8%BB%A2%E7%BD%AE%E8%A1%8C%E5%88%97" title="転置行列">転置</a>と等しくなるような行列のことである。 </p><p>直交行列の<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="行列式">行列式</a>は <span lang="en" class="texhtml">1</span> か <span lang="en" class="texhtml">−1</span> である。<span lang="en" class="texhtml">O(<i>n</i>)</span> の重要な部分群である<b><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="特殊直交群">特殊直交群</a></b> <span lang="en" class="texhtml">SO(<i>n</i>)</span> は行列式が <span lang="en" class="texhtml">1</span> である直交行列からなる。この群は<b>回転群</b>ともよばれ、例えば次元 2 や 3 では、群の元が表す変換は（2次元における）点や（3次元における）直線のまわりの通常の<a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="回転 (数学)">回転</a>である。低次元ではこれらの群の性質は幅広く研究されている。 </p><p>用語「直交群」は上の定義を一般化して、<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a>上のベクトル空間における非退化な<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E5%8F%8C%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="対称双線型形式">対称双線型形式</a>や<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="二次形式">二次形式</a><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>note 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>を保つような、可逆な線形作用素全体からなる群を表すことがある。特に、体 <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i></span> 上の <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i></span> 次元ベクトル空間 <span lang="en" class="texhtml"><i>F </i><sup><i>n</i></sup></span> 上の双線型形式が<a href="/wiki/%E3%83%89%E3%83%83%E3%83%88%E7%A9%8D" title="ドット積">ドット積</a>で与えられ、二次形式が二乗の和で与えられるとき、これに対応する直交群 <span lang="en" class="texhtml">O(<i>n</i>, <i>F</i>)</span> は、群の元が <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i></span> 成分 <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i> × <i>n</i></span> <a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E8%A1%8C%E5%88%97" title="直交行列">直交行列</a>で群の積を<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E4%B9%97%E6%B3%95" title="行列の乗法">行列の積</a>で定めるものである。これは<a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="一般線型群">一般線形群</a> <span lang="en" class="texhtml">GL(<i>n</i>, <i>F</i> )</span> の部分群であって、以下の形で与えられる。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {O} (n,F)=\{Q\in \mathrm {GL} (n,F)\mid Q^{\mathsf {T}}Q=QQ^{\mathsf {T}}=I\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">O</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>Q</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∣</mo> <msup> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mi>Q</mi> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <msup> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {O} (n,F)=\{Q\in \mathrm {GL} (n,F)\mid Q^{\mathsf {T}}Q=QQ^{\mathsf {T}}=I\}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af98a6f1de935f197581e43a92970a6f8136ee05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.154ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {O} (n,F)=\{Q\in \mathrm {GL} (n,F)\mid Q^{\mathsf {T}}Q=QQ^{\mathsf {T}}=I\}.}"></span></dd></dl> <p>ここで <span lang="en" class="texhtml"><i>Q</i><sup>T</sup></span> は <span lang="en" class="texhtml"><i>Q</i></span> の<a href="/wiki/%E8%BB%A2%E7%BD%AE%E8%A1%8C%E5%88%97" title="転置行列">転置</a>であり、 <span lang="en" class="texhtml"><i>I</i></span> は<a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E8%A1%8C%E5%88%97" title="単位行列">単位行列</a>である。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="偶数次元と奇数次元"><span id=".E5.81.B6.E6.95.B0.E6.AC.A1.E5.85.83.E3.81.A8.E5.A5.87.E6.95.B0.E6.AC.A1.E5.85.83"></span>偶数次元と奇数次元</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4&action=edit&section=1" title="節を編集: 偶数次元と奇数次元"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>直交群の構造は偶数次元と奇数次元でいくつかの点で異っている。例えば、<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数"><span lang="en" class="texhtml"><b>R</b></span></a> のような<a href="/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E4%BD%93" title="順序体">順序体</a>上では、元 <span lang="en" class="texhtml">−<i>I</i></span>（<span lang="en" class="texhtml"><i>I</i></span> は単位行列) は偶数次元では<a href="/wiki/%E5%90%91%E3%81%8D" title="向き">向き</a>を保存するが奇数次元では反転させる。この区別を強調するときは、直交群を <span lang="en" class="texhtml">O(2<i>k</i>)</span> や <span lang="en" class="texhtml">O(2<i>k</i> + 1)</span> と書くことがある。また、対応するリー代数の<a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%B3%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0" title="カルタン部分環">階数</a>に対応することを念頭に置いて、文字 <i>k</i> のかわりに文字 <i>p</i> や <i>r</i> を使うこともある。あとで述べるように、対応するリー代数とは奇数次元では <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {so}}(2r+1),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">s</mi> <mi mathvariant="fraktur">o</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {so}}(2r+1),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bac5ea158a471c9061c6cb578b2400a272c63b61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:10.878ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {so}}(2r+1),}"></span> 偶数次元では <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {so}}(2r)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">s</mi> <mi mathvariant="fraktur">o</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {so}}(2r)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648987f42c352efffd532deface89d5967e3f9ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:6.228ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {so}}(2r)}"></span> である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="偶数次元における_O(n)_と_SO(n)_の違い"><span id=".E5.81.B6.E6.95.B0.E6.AC.A1.E5.85.83.E3.81.AB.E3.81.8A.E3.81.91.E3.82.8B_O.28n.29_.E3.81.A8_SO.28n.29_.E3.81.AE.E9.81.95.E3.81.84"></span>偶数次元における O(<i>n</i>) と SO(<i>n</i>) の違い</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4&action=edit&section=2" title="節を編集: 偶数次元における O(n) と SO(n) の違い"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>2次元空間で、O(2) は原点周りのすべての<a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2" title="回転">回転</a>および、原点を通る直線によるすべての<a href="/wiki/%E9%8F%A1%E6%98%A0" title="鏡映">鏡映</a>変換からなる群である。一方、SO(2) は原点周りのすべての回転からなる群である。 </p><p>これらの群は密接に関連していて、SO(2) は O(2) の部分群である。なぜなら、二つの鏡映変換の合成は回転変換を与えるからである。 </p><p>一般の次元で考えると、偶数回の鏡映変換は回転変換を与え、回転の後鏡映する操作、およびその逆は、一つの鏡映変換を与える。よって、回転操作は O(2) の部分空間となるが、鏡映変換のみの部分集合は部分群をなさないことがわかる。 </p><p>「原点を中心とした鏡映変換」は、それぞれの座標軸に対して、一回ずつ鏡映することによって生成できる。この「原点中心の鏡映」は偶数次元においては通常の意味での鏡映ではなく、むしろ回転である。2次元では、2回適用すると恒等変換になるような唯一の非自明な回転である。一般次元において、この変換は逆変換が自分自身と一致する。4次元においてこれはisoclinic(等斜同型)であり、この分類が一般次元に拡張されるとしたら、すべての偶数次元においてそれは isoclinic であるといえる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="実数体上の直交群"><span id=".E5.AE.9F.E6.95.B0.E4.BD.93.E4.B8.8A.E3.81.AE.E7.9B.B4.E4.BA.A4.E7.BE.A4"></span>実数体上の直交群</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4&action=edit&section=3" title="節を編集: 実数体上の直交群"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>実数体 <span lang="en" class="texhtml"><b>R</b></span> 上の直交群 <span lang="en" class="texhtml">O(<i>n</i>, <b>R</b>)</span> および特殊直交群 <span lang="en" class="texhtml">SO(<i>n</i>, <b>R</b>)</span> は特に誤解の恐れのない場合、<span lang="en" class="texhtml">O(<i>n</i>)</span> や <span lang="en" class="texhtml">SO(<i>n</i>)</span> と書かれる。これらは <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i>(<i>n</i> − 1)/2</span> 次元の実<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93" title="コンパクト空間">コンパクト</a><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="リー群">リー群</a>である。<span lang="en" class="texhtml">O(<i>n</i>, <b>R</b>)</span> は二つの<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B5%90%E7%A9%BA%E9%96%93" title="連結空間">連結成分</a>をもち、<span lang="en" class="texhtml">SO(<i>n</i>, <b>R</b>)</span> が単位元成分、すなわち単位行列を含む連結成分である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="幾何学的解釈"><span id=".E5.B9.BE.E4.BD.95.E5.AD.A6.E7.9A.84.E8.A7.A3.E9.87.88"></span>幾何学的解釈</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4&action=edit&section=4" title="節を編集: 幾何学的解釈"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><span lang="en" class="texhtml">O(<i>n</i>, <b>R</b>)</span> は <span lang="en" class="texhtml"><b>R</b><sup><i>n</i></sup></span> 上の等長変換全体からなる群である<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E3%81%AE%E9%81%8B%E5%8B%95%E7%BE%A4" title="ユークリッドの運動群">ユークリッドの運動群</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>E</i>(<i>n</i>)</span> において、原点を保つ変換からなる部分群である。このことから、直交群をユークリッドの運動群と一般線型群の共通部分として与えることができる: <span lang="en" class="texhtml">O(<i>n</i>, <b>R</b>) = <i>E</i>(<i>n</i>) ∩ GL(<i>n</i>, <b>R</b>)</span>. <span lang="en" class="texhtml">SO(<i>n</i>)</span> は、原点が中心であるような<a href="/wiki/%E8%B6%85%E7%90%83%E9%9D%A2" title="超球面"><span lang="en" class="texhtml">(<i>n</i> − 1)</span>次元球面</a> (特に <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i> = 3</span> のとき通常の<a href="/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2" title="球面">球面</a>) および球対称なすべての図形の<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4" title="対称群">対称群</a>となっている。 </p><p><a href="/wiki/%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="円 (数学)">円</a> の対称群は <span lang="en" class="texhtml">O(2, <b>R</b>)</span> である。向きを保つ部分群 <span lang="en" class="texhtml">SO(2, <b>R</b>)</span> は円周群 <span lang="en" class="texhtml"><b>T</b></span> あるいは <span lang="en" class="texhtml">1</span>次元の<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="ユニタリ群">ユニタリ群</a> <span lang="en" class="texhtml">U(1)</span> に（実リー群として）同型である。この同型写像は、<span lang="en" class="texhtml">U(1)</span> の元 <span lang="en" class="texhtml">exp(φ <i>i</i>) = cos φ + <i>i</i> sin φ</span> を以下の SO(2)の元に対応させる。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b006bca5b0e45b29e1e934966b8c6a79ee2bf5db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.883ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="低次元の直交群のトポロジー"><span id=".E4.BD.8E.E6.AC.A1.E5.85.83.E3.81.AE.E7.9B.B4.E4.BA.A4.E7.BE.A4.E3.81.AE.E3.83.88.E3.83.9D.E3.83.AD.E3.82.B8.E3.83.BC"></span>低次元の直交群のトポロジー</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4&action=edit&section=5" title="節を編集: 低次元の直交群のトポロジー"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>低次元の実（特殊）直交群は良く知られた<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93" title="位相空間">位相空間</a>と同相である<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <ul><li><span lang="en" class="texhtml">O(1) = <i>S</i><sup>0</sup></span>, 2点からなる<a href="/wiki/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E7%A9%BA%E9%96%93" title="離散空間">離散空間</a></li> <li><span lang="en" class="texhtml">SO(1) = {1}</span></li> <li><span lang="en" class="texhtml">SO(2)</span> は <a href="/wiki/%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="円 (数学)"><span lang="en" class="texhtml"><i>S</i><sup>1</sup></span></a></li> <li><span lang="en" class="texhtml">SO(3)</span> は <a href="/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E7%A9%BA%E9%96%93" title="射影空間"><span lang="en" class="texhtml"><b>R</b>P<sup>3</sup></span></a></li> <li><span lang="en" class="texhtml">SO(4)</span> は <span lang="en" class="texhtml"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="特殊ユニタリ群">SU</a>(2) × SU(2) = <a href="/wiki/3%E6%AC%A1%E5%85%83%E7%90%83%E9%9D%A2" class="mw-redirect" title="3次元球面"><i>S</i><sup>3</sup></a> × <i>S</i><sup>3</sup></span> に<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%87%8D%E8%A2%AB%E8%A6%86" class="mw-redirect" title="二重被覆">二重被覆</a>される</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="複素数上の直交群"><span id=".E8.A4.87.E7.B4.A0.E6.95.B0.E4.B8.8A.E3.81.AE.E7.9B.B4.E4.BA.A4.E7.BE.A4"></span>複素数上の直交群</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4&action=edit&section=6" title="節を編集: 複素数上の直交群"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a>体 <span lang="en" class="texhtml"><b>C</b></span> 上の直交群 <span lang="en" class="texhtml">O(<i>n</i>, <b>C</b>)</span> および特殊直交群 <span lang="en" class="texhtml">SO(<i>n</i>, <b>C</b>)</span> は、<b>C </b>上 <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i>(<i>n</i> − 1)/2</span> 次元の複素リー群である（つまり、<span lang="en" class="texhtml"><b>R</b></span> 上のリー群としてみると、その2倍の次元である）。<span lang="en" class="texhtml">O(<i>n</i>, <b>C</b>)</span> は二つの連結成分をもち、<span lang="en" class="texhtml">SO(<i>n</i>, <b>C</b>)</span> は単位行列を含むほうの連結成分である。 <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i> ≥ 2</span> ではこれらの群は非コンパクトである。 </p><p>実数の場合と同じように、<span lang="en" class="texhtml">SO(<i>n</i>, <b>C</b>)</span> は<a href="/wiki/%E5%8D%98%E9%80%A3%E7%B5%90" class="mw-redirect" title="単連結">単連結</a>でない。 <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i> > 2</span> では SO(<i>n</i>, <b>C</b>) の<a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%BE%A4" title="基本群">基本群</a>は位数 <span lang="en" class="texhtml">2</span> の<a href="/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4" title="巡回群">巡回群</a>であり、<span lang="en" class="texhtml">SO(2, <b>C</b>)</span> の基本群は無限巡回群である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="有限体上の直交群"><span id=".E6.9C.89.E9.99.90.E4.BD.93.E4.B8.8A.E3.81.AE.E7.9B.B4.E4.BA.A4.E7.BE.A4"></span>有限体上の直交群</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4&action=edit&section=7" title="節を編集: 有限体上の直交群"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>直交群は<a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E4%BD%93" title="有限体">有限体</a> <span lang="en" class="texhtml"><b>F</b><sub><i>q</i></sub></span> 上にも定義できる。ここで <span lang="en" class="texhtml"><i>q</i></span> は素数 <span lang="en" class="texhtml"><i>p</i></span> の冪である。 </p><p><a href="/wiki/%E6%A8%99%E6%95%B0" title="標数">標数</a>が <span lang="en" class="texhtml">2</span> でない体上では、直交群は偶数次元では二つのタイプ <span lang="en" class="texhtml">O<sup>+</sup>(2<i>n</i>, <i>q</i>)</span> と <span lang="en" class="texhtml">O<sup>−</sup>(2<i>n</i>, <i>q</i>)</span>になり、奇数次元では、一つのタイプ <span lang="en" class="texhtml">O(2<i>n</i> + 1, <i>q</i>)</span>になる<sup id="cite_ref-Wil6975_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-Wil6975-3"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p><span lang="en" class="texhtml"><i>V</i></span> を直交群 <span lang="en" class="texhtml"><i>G</i></span> が作用するベクトル空間とすると、直交する部分空間の<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E5%92%8C" class="mw-disambig" title="直和">直和</a>として、以下のように書ける。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⊕</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⊕</mo> <mo>⋯</mo> <mo>⊕</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>⊕</mo> <mi>W</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa9861ad86784a9835e4135bad4c56417761e52" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:30.585ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W,}"></span></dd></dl> <p>ここで <span lang="en" class="texhtml"><i>L<sub>i</sub></i></span> は双曲的直線で <span lang="en" class="texhtml"><i>W</i></span> は<a href="/wiki/%E7%89%B9%E7%95%B0%E5%80%A4%E5%88%86%E8%A7%A3" title="特異値分解">特異ベクトル</a>を含まない。<span lang="en" class="texhtml"><i>W</i></span> が自明な部分空間 {0} のとき、<span lang="en" class="texhtml"><i>G</i></span> は + のタイプである。<span lang="en" class="texhtml"><i>W</i></span> が 1 次元のとき、<span lang="en" class="texhtml"><i>G</i></span> は奇数次元になる。<span lang="en" class="texhtml"><i>W</i></span> の次元が 2 のとき、<span lang="en" class="texhtml"><i>G</i></span> は − のタイプである。 </p><p>とくに <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i> = 1</span> である場合には、<span lang="en" class="texhtml">O<sup><i>ϵ</i></sup>(2, <i>q</i>)</span> は位数 <span lang="en" class="texhtml">2(<i>q</i> − <i>ϵ</i>)</span> の<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93%E7%BE%A4" title="二面体群">二面体群</a>である。 </p><p><span lang="en" class="texhtml">O(<i>n</i>, <i>q</i>)</span>の位数は、標数が2でないとき以下の式よって与えられる。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathrm {O} (2n+1,q)|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">O</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathrm {O} (2n+1,q)|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66de615b92da6e91bf275dbb21acd36cb603b4b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:34.725ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle |\mathrm {O} (2n+1,q)|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).}"></span></dd></dl> <p><span lang="en" class="texhtml">−1</span> が <a href="/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%89%B0%E4%BD%99" title="平方剰余"><span lang="en" class="texhtml"><b>F</b><sub><i>q</i></sub></span>において平方ならば</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathrm {O} (2n,q)|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">O</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathrm {O} (2n,q)|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407d184a6ca785608ab5a375f930f43b282282dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:36.534ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle |\mathrm {O} (2n,q)|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).}"></span></dd></dl> <p><span lang="en" class="texhtml">−1</span> が <span lang="en" class="texhtml"><b>F</b><sub><i>q</i></sub></span>において平方でないならば </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathrm {O} (2n,q)|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">O</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathrm {O} (2n,q)|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5c14f968d0113479015ee96a04f53c73040ba95" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:43.47ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle |\mathrm {O} (2n,q)|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="直交リー代数"><span id=".E7.9B.B4.E4.BA.A4.E3.83.AA.E3.83.BC.E4.BB.A3.E6.95.B0"></span>直交リー代数</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4&action=edit&section=8" title="節を編集: 直交リー代数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="リー群">リー群</a> <span lang="en" class="texhtml">O(<i>n</i>, <i>F</i> )</span>, <span lang="en" class="texhtml">SO(<i>n</i>, <i>F</i>)</span> に対応する<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="リー代数">リー代数</a>は、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> 次<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E8%A1%8C%E5%88%97" title="交代行列">交代行列</a>全体からなり、リーブラケット <span lang="en" class="texhtml">[ , ]</span> は<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%AD%90" title="交換子">交換子</a>によって与えられる。各 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> に対し同じリー代数が対応し、これを <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,F)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">o</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,F)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f806a7f667e931ae01ee8b51653e62e32dc4b3b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.116ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,F)}"></span> あるいは <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,F)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">s</mi> <mi mathvariant="fraktur">o</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,F)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e919d7f02580764bd39f74021b78fb0b08c5e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:8.186ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,F)}"></span> と記し、<b>直交リー代数</b>あるいは<b>特殊直交リー代数</b>という。実数体上のそれぞれの <i>n</i> についてのリー代数は、<a href="/wiki/%E5%8D%8A%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="半単純リー代数">半単純リー代数</a>の4つの族のうち2つのコンパクト実形 (compact real form) である。その2種類とは、<span lang="en" class="texhtml"><i>n</i></span> が奇数 <span lang="en" class="texhtml">2<i>k</i> + 1</span> のとき <span lang="en" class="texhtml">B<sub><i>k</i></sub></span> であり、偶数 <span lang="en" class="texhtml">2<i>r</i></span> のとき <span lang="en" class="texhtml">D<sub><i>r</i></sub></span> である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="注釈"><span id=".E6.B3.A8.E9.87.88"></span>注釈</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4&action=edit&section=9" title="節を編集: 注釈"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text">基礎体の<a href="/wiki/%E6%A8%99%E6%95%B0" title="標数">標数</a>が <span lang="en" class="texhtml">2</span> でなければ、<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E5%8F%8C%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="対称双線型形式">対称双線型形式</a>と<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="二次形式">二次形式</a>のどちらを使っても同値である。</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="文献"><span id=".E6.96.87.E7.8C.AE"></span>文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4&action=edit&section=10" title="節を編集: 文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">Hatcher, Allen (2002). <i>Algebraic Topology</i>. Cambridge University Press. pp. <span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=BjKs86kosqgC&pg=PA293">293</a></span>–294. <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:var(--color-success,#3a3);margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0-521-79160-X" title="特別:文献資料/0-521-79160-X">0-521-79160-X</a>. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/Zentralblatt_MATH" class="mw-redirect" title="Zentralblatt MATH">Zbl</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zbmath.org/?format=complete&q=an:1044.55001">1044.55001</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebraic+Topology&rft.aulast=Hatcher&rft.aufirst=Allen&rft.au=Hatcher%2C%26%2332%3BAllen&rft.date=2002&rft.pages=pp.%26nbsp%3B%3Cspan+class%3D%22plainlinks%22%3E%5Bhttps%3A%2F%2Fbooks.google.co.jp%2Fbooks%3Fid%3DBjKs86kosqgC%26pg%3DPA293+293%5D%3C%2Fspan%3E%E2%80%93294&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.isbn=0-521-79160-X&rft_id=info:zbl/1044.55001&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-Wil6975-3"><b><a href="#cite_ref-Wil6975_3-0">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">Wilson, Robert A. (2009). <i>The Finite Simple Groups</i>. Graduate Texts in Mathematics. <b>251</b>. London: Springer. pp. 69–75. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-1-84800-987-5" title="特別:文献資料/978-1-84800-987-5">978-1-84800-987-5</a>. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/Zentralblatt_MATH" class="mw-redirect" title="Zentralblatt MATH">Zbl</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zbmath.org/?format=complete&q=an:1203.20012">1203.20012</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Finite+Simple+Groups&rft.aulast=Wilson&rft.aufirst=Robert+A.&rft.au=Wilson%2C%26%2332%3BRobert+A.&rft.date=2009&rft.series=Graduate+Texts+in+Mathematics&rft.volume=251&rft.pages=pp.%26nbsp%3B69%E2%80%9375&rft.place=London&rft.pub=Springer&rft.isbn=978-1-84800-987-5&rft_id=info:zbl/1203.20012&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> </ol></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=直交群&oldid=74984275">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=直交群&oldid=74984275</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA" title="特別:カテゴリ">カテゴリ</a>: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="Category:リー群論">リー群論</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="Category:二次形式">二次形式</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:数学に関する記事">数学に関する記事</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">隠しカテゴリ: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E7%BF%BB%E8%A8%B3%E4%B8%AD%E9%80%94_-_2016%E5%B9%B4" title="Category:翻訳中途 - 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