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vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#素因数分解アルゴリズム"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>素因数分解アルゴリズム</span> </div> </a> <ul id="toc-素因数分解アルゴリズム-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-素元分解" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#素元分解"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>素元分解</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-素元分解-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>素元分解サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-素元分解-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-一意分解環" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#一意分解環"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>一意分解環</span> </div> </a> <ul id="toc-一意分解環-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-素因数分解の記録" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#素因数分解の記録"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>素因数分解の記録</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-素因数分解の記録-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>素因数分解の記録サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-素因数分解の記録-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-桁数オーダーの時間で解いた記録" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#桁数オーダーの時間で解いた記録"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>桁数オーダーの時間で解いた記録</span> </div> </a> <ul id="toc-桁数オーダーの時間で解いた記録-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>関連項目</span> </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>脚注</span> </div> </a> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>参考文献</span> </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-外部リンク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#外部リンク"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>外部リンク</span> </div> </a> <ul id="toc-外部リンク-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="目次" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">目次の表示・非表示を切り替え</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">素因数分解</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="特定の記事の別の言語版に移動します。利用可能な言語35件" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-35" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon 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faktorizazio" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Zenbaki osoen faktorizazio" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="バスク語" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%AC%D8%B2%DB%8C%D9%87_%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A7%D8%AF_%D8%B7%D8%A8%DB%8C%D8%B9%DB%8C" title="ペルシア語: تجزیه اعداد طبیعی" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تجزیه اعداد طبیعی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="ペルシア語" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Kokonaislukujen_tekij%C3%B6ihinjako" title="フィンランド語: Kokonaislukujen tekijöihinjako" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Kokonaislukujen tekijöihinjako" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="フィンランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_produit_de_facteurs_premiers" title="フランス語: Décomposition en produit de facteurs premiers" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Décomposition en produit de facteurs premiers" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_enteiros" title="ガリシア語: Factorización de enteiros" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Factorización de enteiros" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="ガリシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a 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interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%86%8C%EC%9D%B8%EC%88%98%EB%B6%84%ED%95%B4" title="韓国語: 소인수분해" lang="ko" hreflang="ko" data-title="소인수분해" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Haaptsaz_vun_der_elementarer_Zuelentheorie" title="ルクセンブルク語: Haaptsaz vun der elementarer Zuelentheorie" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Haaptsaz vun der elementarer Zuelentheorie" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="ルクセンブルク語" class="interlanguage-link-target"><span>Lëtzebuergesch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Ontbinden_in_priemfactoren" title="オランダ語: Ontbinden in priemfactoren" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Ontbinden in priemfactoren" data-language-autonym="Nederlands" 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href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB" title="ロシア語: Факторизация целых чисел" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Факторизация целых чисел" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Prime_factorization" title="シンプル英語: Prime factorization" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Prime factorization" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Pra%C5%A1tevilski_razcep" title="スロベニア語: Praštevilski razcep" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Praštevilski razcep" 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title="Wikipedia:検証可能性">検証可能</a>な<a href="/wiki/Wikipedia:%E4%BF%A1%E9%A0%BC%E3%81%A7%E3%81%8D%E3%82%8B%E6%83%85%E5%A0%B1%E6%BA%90" title="Wikipedia:信頼できる情報源">参考文献や出典</a>が全く示されていないか、不十分です。</b><span class="hide-when-compact"> <a href="/wiki/Wikipedia:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%82%92%E6%98%8E%E8%A8%98%E3%81%99%E3%82%8B" title="Wikipedia:出典を明記する">出典を追加</a>して記事の信頼性向上にご協力ください。<small>（<a href="/wiki/Template:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%81%AE%E6%98%8E%E8%A8%98/doc" title="Template:出典の明記/doc">このテンプレートの使い方</a>）</small><br /><small><span class="plainlinks">出典検索<a href="/wiki/Template:Find_sources_mainspace" title="Template:Find sources mainspace"><sup>?</sup></a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&as_eq=wikipedia&q=%22%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3%22&num=50">"素因数分解"</a> – <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%22%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3%22&tbm=nws">ニュース</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&tbs=bks:1&q=%22%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3%22">書籍</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="//scholar.google.co.jp/scholar?num=100&hl=ja&q=%22%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3%22">スカラー</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ci.nii.ac.jp/opensearch/search?lang=ja&q=%22%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3%22&range=2&count=200&sortorder=1&type=0">CiNii</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jstage.jst.go.jp/result/global/-char/ja?globalSearchKey=%22%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3%22">J-STAGE</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ndlsearch.ndl.go.jp/api/openurl?any=%22%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3%22">NDL</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dlib.jp/?q=%22%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3%22">dlib.jp</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://jpsearch.go.jp/csearch/jps-cross?csid=jps-cross&keyword=%22%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3%22">ジャパンサーチ</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikipedialibrary.wmflabs.org/partners/">TWL</a></span></small></span> <span class="date-container"><i>(<span class="date"><span title="2018-12">2018年12月</span></span>)</i></span></div></td></tr></tbody></table> <p><b>素因数分解</b>（そいんすうぶんかい、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>prime factorization</i></span>）とは、正の<a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a>を<a href="/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="素数">素数</a>の<a href="/wiki/%E7%A9%8D" title="積">積</a>の形で表すことである<sup id="cite_ref-FOOTNOTE岡本森杉根本永田2022_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE岡本森杉根本永田2022-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>素因数分解には次の性質がある。 </p> <ul><li>任意の正の整数に対して、<a href="/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86" title="算術の基本定理">素因数分解はただ1通りに決定する</a><sup id="cite_ref-FOOTNOTE岡本森杉根本永田2022_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE岡本森杉根本永田2022-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。</li> <li>素因数分解の結果から、正の<a href="/wiki/%E7%B4%84%E6%95%B0" title="約数">約数</a>やその個数、総和などを求めることができる。</li></ul> <p>例えば 48 を素因数分解すると <span lang="en" class="texhtml">2<sup>4</sup> × 3</span> となる。 </p><p><a href="/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88" title="インターネット">インターネット</a>での認証等で利用されている<a href="/wiki/%E5%85%AC%E9%96%8B%E9%8D%B5%E6%9A%97%E5%8F%B7" title="公開鍵暗号">公開鍵暗号</a>の代表である<a href="/wiki/RSA%E6%9A%97%E5%8F%B7" title="RSA暗号">RSA暗号</a>の安全性は、巨大な<a href="/wiki/%E5%90%88%E6%88%90%E6%95%B0" title="合成数">合成数</a>の素因数分解を実用的な時間内に実行することが困難である<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>ことと深い関わりがあり、RSA 以外の公開鍵暗号でも素因数分解問題に基づく方式が多々あるため、素因数分解の<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%83%A0" title="アルゴリズム">アルゴリズム</a>が活発に研究されている。また実際に巨大な合成数の素因数分解の計算機実験も行われている。 </p><p>通常の素因数分解は、有理整数環 <b>Z</b> で考えるが、一般の<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%BD%93" title="代数体">代数体</a>の<a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0%E7%92%B0" title="整数環">整数環</a>においては、素因数分解の一意性に対応する性質が成り立つとは限らない。<sup class="noprint Template-Fact">[<i><a href="/wiki/Wikipedia:%E3%80%8C%E8%A6%81%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%80%8D%E3%82%92%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%9F%E6%96%B9%E3%81%B8" title="Wikipedia:「要出典」をクリックされた方へ"><span title="この記述には信頼できる情報源の提示が求められています。（2023年7月）">要出典</span></a></i>]</sup> </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="素因数分解アルゴリズム"><span id=".E7.B4.A0.E5.9B.A0.E6.95.B0.E5.88.86.E8.A7.A3.E3.82.A2.E3.83.AB.E3.82.B4.E3.83.AA.E3.82.BA.E3.83.A0"></span>素因数分解アルゴリズム</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=1" title="節を編集: 素因数分解アルゴリズム"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>正の整数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">N</span> を素因数分解するための最も単純な方法は、<span lang="en" class="texhtml">2</span> から順に <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;"><i>N</i></span></span></span> までの素数で割っていく方法（<a href="/wiki/%E8%A9%A6%E3%81%97%E5%89%B2%E3%82%8A%E6%B3%95" title="試し割り法">試し割り法</a>）である<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。しかし、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">N</span> が大きくなると、この方法では困難である。 </p><p>大きな <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">N</span> に対しては以下の方法がある。 </p> <ul><li><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ρ</span>法（<a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%BC%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3%E6%B3%95" title="ポラード・ロー素因数分解法">ポラード・ロー素因数分解法</a>）</li> <li><span lang="en" class="texhtml"><i>p</i> − 1</span> 法</li> <li><span lang="en" class="texhtml"><i>p</i> + 1</span> 法</li> <li><a href="/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0" title="連分数">連分数</a>法</li> <li><a href="/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="楕円曲線">楕円曲線</a>法 (ECM, Elliptic curve method)</li> <li>複数多項式2次ふるい法 (MPQS, Multiple polynomial quadratic sieve)</li> <li>数体ふるい法 (NFS, Number field sieve) <ul><li><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E6%95%B0%E4%BD%93%E7%AF%A9%E6%B3%95" title="一般数体篩法">一般数体ふるい法</a> (GNFS, General number field sieve)</li> <li><a href="/w/index.php?title=%E7%89%B9%E6%AE%8A%E6%95%B0%E4%BD%93%E7%AF%A9%E6%B3%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="特殊数体篩法 (存在しないページ)">特殊数体ふるい法</a> (SNFS, Special number field sieve)</li></ul></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="素元分解"><span id=".E7.B4.A0.E5.85.83.E5.88.86.E8.A7.A3"></span>素元分解</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=2" title="節を編集: 素元分解"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E6%95%B4%E5%9F%9F" title="整域">整域</a>において素因数分解（に相当する概念）を考える問題は、<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="代数学">代数学</a>における古典的な問題の一つである。 </p><p>一般に<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0" title="可換環">可換環</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">R</span> においては、「割り切る」という関係を<a href="/wiki/%E5%8D%98%E9%A0%85%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB" class="mw-redirect" title="単項イデアル">単項イデアル</a>の包含関係により定めることができる。すなわち、<span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>a</i>, <i>b</i> ∈ <i>R</i></span></span> の生成する単項イデアル <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">(<i>a</i>) = <i>aR</i>, (<i>b</i>) = <i>bR</i></span></span> に対し、<span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">(<i>a</i>) ⊃ (<i>b</i>)</span></span> のときに <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>a</i> | <i>b</i></span></span> と書いて、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">b</span> を割り切る、とか、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">b</span> の約元である、とか、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">b</span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span> の倍元である、などという。言い換えると、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span> が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">b</span> を割り切るとは、<span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>b</i> = <i>ac</i></span></span> を満たす、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">R</span> の<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E9%80%86%E5%85%83" title="可逆元">可逆</a>でも <span lang="en" class="texhtml">0</span> でもない元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">c</span> が存在することをいう。 </p><p>可逆でも <span lang="en" class="texhtml">0</span> でもない <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">R</span> の元が、2つの非可逆元の積として表せるとき、<b>可約</b>であるといい、そうでないとき<b><a href="/wiki/%E6%97%A2%E7%B4%84%E5%85%83" title="既約元">既約</a></b>であるという。単項イデアル <span lang="en" class="texhtml">(<i>p</i>)</span> が自明でない<a href="/wiki/%E7%B4%A0%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB" title="素イデアル">素イデアル</a>であるとき、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span> を<b><a href="/wiki/%E7%B4%A0%E5%85%83" title="素元">素元</a></b>という。<b>素元</b>は<b>既約元</b>であるが、一般に逆は成立しない。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="一意分解環"><span id=".E4.B8.80.E6.84.8F.E5.88.86.E8.A7.A3.E7.92.B0"></span>一意分解環</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=3" title="節を編集: 一意分解環"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E4%B8%80%E6%84%8F%E5%88%86%E8%A7%A3%E7%92%B0" title="一意分解環">一意分解環</a>」を参照</div> <p>環 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">R</span> の元を既約元の積に表すことを<b>既約元分解</b>、素元の積に表すことを<b>素元分解</b>という。既約元分解が一意である環を<a href="/wiki/%E4%B8%80%E6%84%8F%E5%88%86%E8%A7%A3%E7%92%B0" title="一意分解環">一意分解環</a>もしくは素元分解整域という（任意の元が素元の積に表せるなら、その表し方は一意である）。有理整数全体の成す環 <span lang="en" class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">Z</span></span> や<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a>上の多項式環 <span lang="en" class="texhtml"><i>K</i>[<i>x</i>]</span> などは一意分解環である（中学で学習する多項式の<a href="/wiki/%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3" title="因数分解">因数分解</a>とは、通常有理数体 <span lang="en" class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">Q</span></span> 上の一変数多項式環における素元分解のことである）。これらの環は<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%92%B0" title="ユークリッド環">ユークリッド環</a>にもなっているが、一般にユークリッド整域は<a href="/wiki/%E5%8D%98%E9%A0%85%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB%E6%95%B4%E5%9F%9F" title="単項イデアル整域">単項イデアル整域</a>であり、単項イデアル整域は一意分解環になる。 </p><p>一意分解環でない例として有理数体 <span lang="en" class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">Q</span></span> に方程式 <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>x</i><sup>2</sup> + 5 = 0</span></span> の根を添加した<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%BD%93" title="代数体">代数体</a> <span lang="en" class="texhtml"><b>Q</b>(<span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">−5</span></span>)</span> の<a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0%E7%92%B0" title="整数環">整数環</a> <span lang="en" class="texhtml"><b>Z</b>[<span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">−5</span></span>]</span> で <span lang="en" class="texhtml">6</span> を既約分解することを考えてみる。整数 <span lang="en" class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">Z</span></span> の範囲では <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">2 × 3</span></span>（と同値なもの）のみであるが、<span lang="en" class="texhtml"><b>Z</b>[<span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">−5</span></span>]</span> の範囲では </p> <dl><dd><span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">6 = 2 × 3 = (1 + <span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">−5</span></span>)(1 − <span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">−5</span></span>)</span></span></dd></dl> <p>と本質的に異なる2通りに既約分解される。したがって <span lang="en" class="texhtml"><b>Z</b>[<span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">−5</span></span>]</span> は一意分解環ではない。しかし、イデアルとしては <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">(2)</span></span>, <span lang="en" class="texhtml">(3)</span> や <span lang="en" class="texhtml">(1 ± <span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">−5</span></span>)</span> はさらに分解できて、素イデアルの積としては一意に </p> <dl><dd><span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal">(6) = (2, 1 + <span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">−5</span></span>)<sup>2</sup>(3, 1 + <span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">−5</span></span>)(3, 1 − <span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">−5</span></span>)</span></span></dd></dl> <p>と分解される。一般に、代数体の整数環は<a href="/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%92%B0" title="デデキント環">デデキント環</a>であり、素イデアルの積に一意的に分解する。 </p><p>このような考察は<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC" title="エルンスト・クンマー">クンマー</a>の<a href="/wiki/%E7%90%86%E6%83%B3%E6%95%B0" title="理想数">理想数</a>の理論に始まると考えられる。クンマー以降、<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%A3%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88" title="リヒャルト・デーデキント">デデキント</a>の<a href="/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB_(%E7%92%B0%E8%AB%96)" title="イデアル (環論)">イデアル論</a>などを経て<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96" title="代数的整数論">代数的整数論</a>の基盤となっている。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="素因数分解の記録"><span id=".E7.B4.A0.E5.9B.A0.E6.95.B0.E5.88.86.E8.A7.A3.E3.81.AE.E8.A8.98.E9.8C.B2"></span>素因数分解の記録</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=4" title="節を編集: 素因数分解の記録"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Cunningham Project とは、<span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>b</i> = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12</span></span> および多くの自然数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> に対し、<span lang="en" class="texhtml"><i>b<sup>n</sup></i> ± 1</span> を素因数分解しよう、というプロジェクトである。RSA チャレンジについては<a href="/wiki/RSA%E6%9A%97%E5%8F%B7#RSA暗号解読コンテスト" title="RSA暗号">RSA暗号#RSA暗号解読コンテスト </a>を参照。 </p> <ul><li>2005年4月：<span lang="en" class="texhtml">11<sup>281</sup> + 1</span> の約数として現れる176桁の合成数が素因数分解される（<a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E6%95%B0%E4%BD%93%E3%81%B5%E3%82%8B%E3%81%84%E6%B3%95" class="mw-redirect" title="一般数体ふるい法">一般数体ふるい法</a>、<a href="/wiki/%E7%AB%8B%E6%95%99%E5%A4%A7%E5%AD%A6" title="立教大学">立教大学</a>、<a href="/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E9%9B%BB%E4%BF%A1%E9%9B%BB%E8%A9%B1" title="日本電信電話">NTT</a>、富士通研究所）</li> <li>2005年5月：200桁の合成数 RSA-200（RSAチャレンジ）が素因数分解される（一般数体ふるい法、Bahr、Boehm、Franke、Kleinjung）<a rel="nofollow" class="external autonumber" href="https://web.archive.org/web/20120729121111/https://www.rsa.com/rsalabs/node.asp?id=2879">[1]</a></li> <li>2006年8月：<span lang="en" class="texhtml">10<sup>381</sup> + 1</span> から67桁の素数が分解される（<a href="/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="楕円曲線">楕円曲線</a>法、B. Dodson）</li> <li>2006年9月：<span lang="en" class="texhtml">7<sup>352</sup> + 1</span> の約数として現れる128桁の合成数が素因数分解される（一般数体ふるい法、<a href="/wiki/%E6%83%85%E5%A0%B1%E9%80%9A%E4%BF%A1%E7%A0%94%E7%A9%B6%E6%A9%9F%E6%A7%8B" title="情報通信研究機構">情報通信研究機構</a>、<a href="/wiki/%E5%AF%8C%E5%A3%AB%E9%80%9A" title="富士通">富士通</a>、富士通研究所、<a href="/wiki/FPGA" title="FPGA">フィールドプログラマブルゲートアレイ</a>および<a href="/wiki/%E5%8B%95%E7%9A%84%E5%86%8D%E6%A7%8B%E6%88%90" title="動的再構成">ダイナミックリコンフィギュラブルプロセッサ</a>を用いた専用ハードウェアを初めて使用）</li> <li>2007年5月：<span lang="en" class="texhtml">2<sup>1039</sup> − 1</span> の約数として現れる307桁の<a href="/wiki/%E5%90%88%E6%88%90%E6%95%B0" title="合成数">合成数</a>が素因数分解される（特殊数体ふるい法、NTT、ドイツのボン大学、スイス連邦工科大学との共同研究）</li> <li>20??年: 200桁（663ビット）</li> <li>2010年1月：232桁（768<a href="/wiki/%E3%83%93%E3%83%83%E3%83%88" title="ビット">ビット</a>）（NTT、<a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%82%A4%E3%82%B9%E9%80%A3%E9%82%A6%E5%B7%A5%E7%A7%91%E5%A4%A7%E5%AD%A6" title="スイス連邦工科大学">スイス連邦工科大学</a>ローザンヌ校 (EPFL)、独<a href="/wiki/%E3%83%9C%E3%83%B3%E5%A4%A7%E5%AD%A6" class="mw-redirect" title="ボン大学">ボン大学</a>、フランス国立情報学自動制御研究所 (INRIA)、オランダ国立情報工学・数学研究所 (CWI)。一般数体ふるい法。300台PCの<a href="/wiki/%E4%B8%A6%E5%88%97%E8%A8%88%E7%AE%97" title="並列計算">並列計算処理</a>。約3年）</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="桁数オーダーの時間で解いた記録"><span id=".E6.A1.81.E6.95.B0.E3.82.AA.E3.83.BC.E3.83.80.E3.83.BC.E3.81.AE.E6.99.82.E9.96.93.E3.81.A7.E8.A7.A3.E3.81.84.E3.81.9F.E8.A8.98.E9.8C.B2"></span>桁数オーダーの時間で解いた記録</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=5" title="節を編集: 桁数オーダーの時間で解いた記録"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>桁数オーダーの時間で解いた記録は次のとおり（<a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%BF" title="量子コンピュータ">量子コンピュータ</a>による記録）。 </p> <ul><li>2001年 - 15(=3×5)の分解に成功(IBM)</li> <li>2012年 - 21(=3×7)の分解に成功(ブリストル大学)</li></ul> <p>これらは Shor の素因数分解法で，素因数分解したい数 N と素な数 a について，a の位数（N を法とする整数環の乗法に関する巡回群の位数）r をQFA (Quantum Fourier Transform) により桁数オーダーの時間で計算できることに基づいているが，いずの数も 2^n - 1 (2^4 - 1 = 15) またはそのような数の因数 (21 は 2^6 - 1 = 63 の因数) であり，普通のパソコン（または簡単な論理回路）でも位数 r を n（桁数）回の繰り返しで計算できる簡易な数を対象としている．したがって，QFA の有効性を実証できたとは言い難い． </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=6" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="div-col columns column-count column-count-" style="-moz-column-count:; -webkit-column-count:; column-count:; -moz-column-width: 18em; -webkit-column-width: 18em; column-width: 18em;"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0" title="素因数">素因数</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B4%84%E6%95%B0" title="約数">約数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%AC%E7%B4%84%E6%95%B0" title="公約数">公約数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3" title="因数分解">因数分解</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86" title="算術の基本定理">算術の基本定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%80%8D%E6%95%B0" title="倍数">倍数</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B4%84%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="約数関数">約数関数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%AC%E9%96%8B%E9%8D%B5%E6%9A%97%E5%8F%B7" title="公開鍵暗号">公開鍵暗号</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB" class="mw-redirect mw-disambig" title="イデアル">イデアル</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E4%BD%93" title="代数体">代数体</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%92%B0" title="デデキント環">デデキント環</a></li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=7" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-FOOTNOTE岡本森杉根本永田2022-1">^ <a href="#cite_ref-FOOTNOTE岡本森杉根本永田2022_1-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTE岡本森杉根本永田2022_1-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF岡本森杉根本永田2022">岡本 et al. 2022</a>.</span> </li> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external free" href="https://www.imes.boj.or.jp/research/papers/japanese/kk18-b1-3.pdf">https://www.imes.boj.or.jp/research/papers/japanese/kk18-b1-3.pdf</a> 1ページ</span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external free" href="https://fussy.web.fc2.com/algo/math11_factorization.htm">https://fussy.web.fc2.com/algo/math11_factorization.htm</a></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=8" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101304250" /><table class="box-参照方法 plainlinks metadata ambox mbox-small-left ambox-content" role="presentation" style="width:auto;"><tbody><tr><td class="mbox-image"><span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/2017-fr.wp-orange-source.svg/45px-2017-fr.wp-orange-source.svg.png" decoding="async" width="45" height="45" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/2017-fr.wp-orange-source.svg/68px-2017-fr.wp-orange-source.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/2017-fr.wp-orange-source.svg/90px-2017-fr.wp-orange-source.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></span></span></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span"><b><a href="/wiki/Wikipedia:%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%82%A2%E3%83%AB_(%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%82%A6%E3%83%88)#参考文献" class="mw-redirect" title="Wikipedia:スタイルマニュアル (レイアウト)">出典</a>は列挙するだけでなく、<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8" title="Help:脚注">脚注</a>などを用いて<a href="/wiki/Wikipedia:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%82%92%E6%98%8E%E8%A8%98%E3%81%99%E3%82%8B#出典の示し方" title="Wikipedia:出典を明記する">どの記述の情報源であるかを明記</a>してください。</b><span class="hide-when-compact"> 記事の<a href="/wiki/Wikipedia:%E6%A4%9C%E8%A8%BC%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7" title="Wikipedia:検証可能性">信頼性向上</a>にご協力をお願いいたします。<small>（<span title="2016年2月">2016年2月</span>）</small></span></div></td></tr></tbody></table> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book"><a href="/wiki/%E5%92%8C%E7%94%B0%E7%A7%80%E7%94%B7" title="和田秀男">和田秀男</a>『コンピュータと素因子分解』遊星社、1999年4月1日。<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration 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.cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4795268890" title="特別:文献資料/978-4795268890">978-4795268890</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%81%A8%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E5%AD%90%E5%88%86%E8%A7%A3&rft.aulast=%E5%92%8C%E7%94%B0%E7%A7%80%E7%94%B7&rft.au=%E5%92%8C%E7%94%B0%E7%A7%80%E7%94%B7&rft.date=1999-04-01&rft.pub=%E9%81%8A%E6%98%9F%E7%A4%BE&rft.isbn=978-4795268890&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%BC%E3%83%AB&action=edit&redlink=1" class="new" title="リチャード・クランドール (存在しないページ)">Crandall, Richard</a>、<a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%9D%E3%83%A1%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B9" title="カール・ポメランス">Pomerance, Carl</a> 著、和田秀男訳『素数全書　計算からのアプローチ』朝倉書店、2010年9月10日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245" /><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4254111286" title="特別:文献資料/978-4254111286">978-4254111286</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%85%A8%E6%9B%B8%E3%80%80%E8%A8%88%E7%AE%97%E3%81%8B%E3%82%89%E3%81%AE%E3%82%A2%E3%83%97%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%81&rft.aulast=Crandall&rft.aufirst=Richard&rft.au=Crandall%2C%26%2332%3BRichard&rft.au=Pomerance%2C%26%2332%3BCarl&rft.date=2010-09-10&rft.pub=%E6%9C%9D%E5%80%89%E6%9B%B8%E5%BA%97&rft.isbn=978-4254111286&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF山本2003">山本, 芳彦『数論入門』岩波書店〈現代数学への入門〉、2003年。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245" /><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4-00-006878-4" title="特別:文献資料/4-00-006878-4">4-00-006878-4</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E8%AB%96%E5%85%A5%E9%96%80&rft.aulast=%E5%B1%B1%E6%9C%AC&rft.aufirst=%E8%8A%B3%E5%BD%A6&rft.au=%E5%B1%B1%E6%9C%AC%2C%26%2332%3B%E8%8A%B3%E5%BD%A6&rft.date=2003&rft.series=%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%85%A5%E9%96%80&rft.pub=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97&rft.isbn=4-00-006878-4&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF岡本森杉根本永田2022">岡本和夫、森杉薫、根本博、永田潤一郎『未来へ広がる数学』 3巻、新興出版社啓林館、2022年2月10日、25頁。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245" /><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-402-02187-0" title="特別:文献資料/978-4-402-02187-0">978-4-402-02187-0</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%9C%AA%E6%9D%A5%E3%81%B8%E5%BA%83%E3%81%8C%E3%82%8B%E6%95%B0%E5%AD%A6&rft.aulast=%E5%B2%A1%E6%9C%AC%E5%92%8C%E5%A4%AB&rft.au=%E5%B2%A1%E6%9C%AC%E5%92%8C%E5%A4%AB&rft.au=%E6%A3%AE%E6%9D%89%E8%96%AB&rft.au=%E6%A0%B9%E6%9C%AC%E5%8D%9A&rft.au=%E6%B0%B8%E7%94%B0%E6%BD%A4%E4%B8%80%E9%83%8E&rft.date=2022-02-10&rft.pages=25%E9%A0%81&rft.pub=%E6%96%B0%E8%88%88%E5%87%BA%E7%89%88%E7%A4%BE%E5%95%93%E6%9E%97%E9%A4%A8&rft.isbn=978-4-402-02187-0&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=9" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://homes.cerias.purdue.edu/~ssw/cun/">Cunningham Project</a></li></ul> <div class="navbox" aria-labelledby="被整除性に基づいた整数の集合" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible mw-collapsed navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="3"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:Divisor_classes" title="Template:Divisor classes"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:Divisor_classes&action=edit&redlink=1" class="new" title="Template‐ノート:Divisor classes (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3ADivisor_classes&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3ADivisor_classes&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="被整除性に基づいた整数の集合" style="font-size:110%;margin:0 6em">被整除性に基づいた整数の集合</div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">概要</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">素因数分解</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B4%84%E6%95%B0" title="約数">約数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%84%E6%95%B0" title="単約数">単約数</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B4%84%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="約数関数">約数関数</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0" title="素因数">素因数</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86" title="算術の基本定理">算術の基本定理</a></li></ul> </div></td><td class="navbox-image" rowspan="7" style="width:1px;padding:0px 0px 0px 2px"><div><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg" class="mw-file-description" title="Divisibility of 60"><img alt="Divisibility of 60" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg/175px-Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg.png" decoding="async" width="175" height="140" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg/263px-Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg/350px-Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg.png 2x" data-file-width="313" data-file-height="250" /></a></span></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">因数分解による分類</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="素数">素数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%90%88%E6%88%90%E6%95%B0" title="合成数">合成数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%8A%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="半素数">半素数</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%9F%A9%E5%BD%A2%E6%95%B0" title="矩形数">矩形数</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A5%94%E6%95%B0" title="楔数">楔数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%9B%A0%E5%AD%90%E3%82%92%E3%82%82%E3%81%9F%E3%81%AA%E3%81%84%E6%95%B4%E6%95%B0" title="平方因子をもたない整数">平方因子をもたない整数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E5%86%AA%E6%95%B0" title="多冪数">多冪数</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B4%AF%E4%B9%97%E6%95%B0" title="累乗数">累乗数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%82%AD%E3%83%AC%E3%82%B9%E6%95%B0" title="アキレス数">アキレス数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="滑らかな数 (存在しないページ)">滑らかな数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Smooth_number" class="extiw" title="en:Smooth number">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="ハミング数 (存在しないページ)">ハミング数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_number" class="extiw" title="en:Regular number">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%B2%97%E3%81%84%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="粗い数 (存在しないページ)">粗い数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Rough_number" class="extiw" title="en:Rough number">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%95%B0%E5%B8%B8%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="異常数 (存在しないページ)">異常数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Unusual_number" class="extiw" title="en:Unusual number">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">約数和による分類</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0" title="完全数">完全数</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A6%82%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="概完全数">概完全数</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%BA%96%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="準完全数">準完全数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%80%8D%E7%A9%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0" title="倍積完全数">倍積完全数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Hemiperfect_number&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hemiperfect number (存在しないページ)">Hemiperfect number</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hemiperfect_number" class="extiw" title="en:Hemiperfect number">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%91%E3%83%BC%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0" title="ハイパー完全数">ハイパー完全数</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0" title="超完全数">超完全数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8D%98%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="単完全数 (存在しないページ)">単完全数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_perfect_number" class="extiw" title="en:Unitary perfect number">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E6%93%AC%E4%BC%BC%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0" title="擬似完全数">擬似完全数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%83%86%E3%82%A3%E3%82%AB%E3%83%AB%E6%95%B0" title="プラクティカル数">プラクティカル数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%87%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BB%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%82%B9%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="エルデシュ・ニコラス数 (存在しないページ)">エルデシュ・ニコラス数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Nicolas_number" class="extiw" title="en:Erdős–Nicolas number">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">約数が多いもの</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E9%81%8E%E5%89%B0%E6%95%B0" title="過剰数">過剰数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E9%81%8E%E5%89%B0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="原始過剰数 (存在しないページ)">原始過剰数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_abundant_number" class="extiw" title="en:Primitive abundant number">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E9%AB%98%E5%BA%A6%E9%81%8E%E5%89%B0%E6%95%B0" title="高度過剰数">高度過剰数</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%B6%85%E9%81%8E%E5%89%B0%E6%95%B0" title="超過剰数">超過剰数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E9%81%8E%E5%89%B0%E6%95%B0" title="巨大過剰数">巨大過剰数</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%AB%98%E5%BA%A6%E5%90%88%E6%88%90%E6%95%B0" title="高度合成数">高度合成数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%84%AA%E9%AB%98%E5%BA%A6%E5%90%88%E6%88%90%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="優高度合成数 (存在しないページ)">優高度合成数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Superior_highly_composite_number" class="extiw" title="en:Superior highly composite number">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%8D%E6%80%9D%E8%AD%B0%E6%95%B0" title="不思議数">不思議数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AA%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%88%E6%95%B0%E5%88%97" title="アリコット数列">アリコット数列</a>関連</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%83%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%96%E3%83%AB%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="アンタッチャブル数 (存在しないページ)">アンタッチャブル数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Untouchable_number" class="extiw" title="en:Untouchable number">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8B%E6%84%9B%E6%95%B0" title="友愛数">友愛数</a> (<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8B%E6%84%9B%E4%B8%89%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="友愛三数 (存在しないページ)">友愛三数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Amicable_triple" class="extiw" title="en:Amicable triple">英語版</a>）</span></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E7%A4%BE%E4%BA%A4%E6%95%B0" title="社交数">社交数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A9%9A%E7%B4%84%E6%95%B0" title="婚約数">婚約数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/w/index.php?title=%E4%BD%8D%E5%8F%96%E3%82%8A%E8%A8%98%E6%B3%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="位取り記法 (存在しないページ)">位取り記法</a>に基づくもの</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Equidigital_number&action=edit&redlink=1" class="new" title="Equidigital number (存在しないページ)">Equidigital number</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Equidigital_number" class="extiw" title="en:Equidigital number">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Extravagant_number&action=edit&redlink=1" class="new" title="Extravagant number (存在しないページ)">Extravagant number</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Extravagant_number" class="extiw" title="en:Extravagant number">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a 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style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Arithmetic_number&action=edit&redlink=1" class="new" title="Arithmetic number (存在しないページ)">Arithmetic number</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_number" class="extiw" title="en:Arithmetic number">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%8D%E8%B6%B3%E6%95%B0" title="不足数">不足数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Friendly_number&action=edit&redlink=1" class="new" title="Friendly number (存在しないページ)">Friendly number</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Friendly_number" class="extiw" 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