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<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Nullring – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"ed192cb6-6a64-4fd4-ac49-3c813a1b1440","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Nullring","wgTitle":"Nullring","wgCurRevisionId":232191880,"wgRevisionId":232191880,"wgArticleId":1049946,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":[ "Ring (Algebra)","Ringtheorie"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Nullring","wgRelevantArticleId":1049946,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":232191880,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":4000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false, "wgWikibaseItemId":"Q1652969","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage": "ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.quicksurveys.init","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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border-bottom-width: 1px; font-size:95%; margin-bottom:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="Vorlage_Dieser_Artikel"><div class="noviewer noresize" style="display: table-cell; padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.25em; padding-right: 1em; padding-top: 0.2em; vertical-align: middle;" id="bksicon" aria-hidden="true" role="presentation"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/25px-Disambig-dark.svg.png" decoding="async" width="25" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/38px-Disambig-dark.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/50px-Disambig-dark.svg.png 2x" data-file-width="444" data-file-height="340" /></span></span></div> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div role="navigation"> Dieser Artikel behandelt einen mathematischen Begriff. Für ringförmige Dichtungselemente siehe <a href="/wiki/O-Ring" title="O-Ring">O-Ring</a>.</div> </div></div> <p>Der <b>Nullring</b> oder <b>triviale Ring</b> ist in der <a href="/wiki/Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> der bis auf <a href="/wiki/Isomorphismus" title="Isomorphismus">Isomorphie</a> eindeutig bestimmte <a href="/wiki/Ring_(Algebra)" title="Ring (Algebra)">Ring</a>, der nur aus einem Element – dem <a href="/wiki/Nullelement" class="mw-redirect" title="Nullelement">Nullelement</a> – besteht. Das Nullelement ist damit zugleich das <a href="/wiki/Einselement" class="mw-redirect" title="Einselement">Einselement</a> des Rings. Der Nullring besitzt eine Reihe besonderer Eigenschaften, so ist er beispielsweise der einzige Ring, in dem jedes Element eine <a href="/wiki/Einheit_(Mathematik)" title="Einheit (Mathematik)">Einheit</a> ist, und der einzige <a href="/wiki/Ring_mit_Eins" class="mw-redirect" title="Ring mit Eins">Ring mit Eins</a>, in dem es kein <a href="/wiki/Maximales_Ideal" title="Maximales Ideal">maximales Ideal</a> gibt. In der <a href="/wiki/Kategorientheorie" title="Kategorientheorie">Kategorie</a> der Ringe mit Eins ist der Nullring <a href="/wiki/Terminales_Objekt" class="mw-redirect" title="Terminales Objekt">terminales Objekt</a> und in der Kategorie aller Ringe das <a href="/wiki/Anfangsobjekt,_Endobjekt_und_Nullobjekt" title="Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt">Nullobjekt</a>. </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Definition"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Definition</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Eigenschaften"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Eigenschaften</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Kategorientheorie"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Kategorientheorie</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Siehe_auch"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Siehe auch</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Literatur"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Literatur</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#Einzelnachweise"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Einzelnachweise</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-7"><a href="#Weblinks"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Weblinks</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Nullring&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Definition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Nullring&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Definition"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Der Nullring <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\{0\},+,\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\{0\},+,\cdot )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa93905271444cb69bc2f0885bb9c36e1832889" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.82ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\{0\},+,\cdot )}"></span> ist ein <a href="/wiki/Ring_(Algebra)" title="Ring (Algebra)">Ring</a> bestehend aus der <a href="/wiki/Einelementige_Menge" title="Einelementige Menge">einelementigen Menge</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{0\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{0\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff0df9ef65c0572eb676580ce1c02b8ec40f694" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{0\}}"></span> versehen mit der einzig möglichen <a href="/wiki/Addition" title="Addition">Addition</a> gegeben durch </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0+0=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0+0=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe19ab3f16789e36aa5d09f0f5752037966a184b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.426ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0+0=0}"></span></dd></dl> <p>und der einzig möglichen <a href="/wiki/Multiplikation" title="Multiplikation">Multiplikation</a> gegeben durch </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\cdot 0=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\cdot 0=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279c1966323b0e3e19267c97825681c4f481b75c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.265ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0\cdot 0=0}"></span>.</dd></dl> <p>Das Element <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"></span> ist also zugleich das <a href="/wiki/Nullelement" class="mw-redirect" title="Nullelement">Nullelement</a> und das <a href="/wiki/Einselement" class="mw-redirect" title="Einselement">Einselement</a> des Rings.<sup id="cite_ref-artin396_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-artin396-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Nullring&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Eigenschaften" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Nullring&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Eigenschaften"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Der Nullring ist ein <a href="/wiki/Kommutativer_Ring" class="mw-redirect" title="Kommutativer Ring">kommutativer</a> <a href="/wiki/Ring_mit_Eins" class="mw-redirect" title="Ring mit Eins">Ring mit Eins</a>. Da das Nullelement kein <a href="/wiki/Nullteiler" title="Nullteiler">Nullteiler</a> ist, ist der Nullring nullteilerfrei. Der Nullring ist der einzige Ring, in dem das Nullelement eine <a href="/wiki/Einheit_(Mathematik)" title="Einheit (Mathematik)">Einheit</a> ist, und sogar der einzige Ring, in dem jedes Element eine Einheit ist. Nach dem <a href="/wiki/Lemma_von_Zorn" title="Lemma von Zorn">Lemma von Zorn</a> ist er der einzige unitäre Ring, in dem es kein <a href="/wiki/Maximales_Ideal" title="Maximales Ideal">maximales Ideal</a> gibt. </p><p>Jeder Ring <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span>, in dem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41647e2919d0c6740f9d118064d2dd244651ed60" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.423ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1=0}"></span> gilt, ist <a href="/wiki/Isomorphismus" title="Isomorphismus">isomorph</a> zum Nullring, denn dann gilt </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=1\cdot r=0\cdot r=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=1\cdot r=0\cdot r=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec79f645f96818f4f39f0c47fdad41e4448d516" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:19.287ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r=1\cdot r=0\cdot r=0}"></span></dd></dl> <p>für alle Elemente <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\in R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\in R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca49c66b5e9b5f32249a737e4429c3df136c33f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.653ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r\in R}"></span>.<sup id="cite_ref-artin396_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-artin396-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Man begegnet dem Nullring zum Beispiel, wenn man einen Ring nach sich selbst <a href="/wiki/Faktorring" title="Faktorring">faktorisiert</a>, oder indem man nach einem <a href="/wiki/Abgeschlossenheit_(algebraische_Struktur)" title="Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)">multiplikativen System</a>, welches das Nullelement beinhaltet, <a href="/wiki/Lokalisierung_(Algebra)" title="Lokalisierung (Algebra)">lokalisiert</a>. </p><p>Der Nullring ist der einzige Ring, bei dem die <a href="/wiki/Division_(Mathematik)" title="Division (Mathematik)">Division</a> (die Umkehrung der Multiplikation) völlig uneingeschränkt für <i>alle</i> Elemente, und d. h. in diesem Fall auch durch 0, möglich ist: Das Ergebnis ist 0. </p><p>Der Nullring ist kein <a href="/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a>, da für diese Strukturen immer <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\neq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bee82995e4ac724a7b5fdfb4b0d76560321e1d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.423ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 1\neq 0}"></span> gefordert wird. Er ist auch kein <a href="/wiki/Integrit%C3%A4tsring" title="Integritätsring">Integritätsring</a>, da er für einen beliebigen Ring <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span> isomorph zu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R/R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R/R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/385a3c8c19f58d6e77de17d30f0a2c73bed9429b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.69ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R/R}"></span> ist, der ganze Ring aber kein <a href="/wiki/Primideal" title="Primideal">Primideal</a> ist. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kategorientheorie">Kategorientheorie</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Nullring&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Kategorientheorie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Nullring&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Kategorientheorie"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>In der <a href="/wiki/Kategorientheorie" title="Kategorientheorie">Kategorie</a> der Ringe mit Eins ist der Nullring <a href="/wiki/Terminales_Objekt" class="mw-redirect" title="Terminales Objekt">terminales Objekt</a>, das heißt von jedem Ring gibt es genau einen <a href="/wiki/Morphismus" title="Morphismus">Morphismus</a> in den Nullring. Weiterhin ist jeder Morphismus aus dem Nullring heraus bereits ein <a href="/wiki/Isomorphismus" title="Isomorphismus">Isomorphismus</a>. </p><p>In der Kategorie aller Ringe ist der Nullring sogar das <a href="/wiki/Anfangsobjekt,_Endobjekt_und_Nullobjekt" title="Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt">Nullobjekt</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Nullring&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Siehe auch" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Nullring&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Siehe auch"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Nullmodul" title="Nullmodul">Nullmodul</a></li> <li><a href="/wiki/Nullvektorraum" title="Nullvektorraum">Nullvektorraum</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Nullring&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Nullring&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Michael_Artin" title="Michael Artin">Michael Artin</a>: <cite style="font-style:italic">Algebra</cite>. Birkhäuser, Basel u. a. 1998, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3764359382" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-7643-5938-2</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Nullring&rft.au=Michael+Artin&rft.btitle=Algebra&rft.date=1998&rft.genre=book&rft.isbn=3764359382&rft.place=Basel+u.+a.&rft.pub=Birkh%C3%A4user" style="display:none"> </span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Nullring&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Nullring&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-artin396-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-artin396_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-artin396_1-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">Artin: <cite style="font-style:italic">Algebra</cite>. 1998, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>396</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Nullring&rft.au=Artin&rft.btitle=Algebra&rft.date=1998&rft.genre=book&rft.pages=396" style="display:none"> </span></span> </li> </ol> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Nullring&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Nullring&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Margherita Barile: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/TrivialRing.html"><i>Trivial Ring</i>.</a> In: <i><a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch).</li></ul></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Nullring&oldid=232191880">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Nullring&oldid=232191880</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Ring_(Algebra)" title="Kategorie:Ring (Algebra)">Ring (Algebra)</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Ringtheorie" title="Kategorie:Ringtheorie">Ringtheorie</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Meine Werkzeuge</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Benutzerseite der IP-Adresse, von der aus du Änderungen durchführst">Nicht angemeldet</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n"><span>Diskussionsseite</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y"><span>Beiträge</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Nullring" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. Es ist jedoch nicht zwingend erforderlich."><span>Benutzerkonto erstellen</span></a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Anmelden&returnto=Nullring" title="Anmelden ist zwar keine Pflicht, wird aber gerne gesehen. [o]" accesskey="o"><span>Anmelden</span></a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Namensräume</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Nullring" title="Seiteninhalt anzeigen [c]" accesskey="c"><span>Artikel</span></a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Nullring" rel="discussion" title="Diskussion zum Seiteninhalt [t]" accesskey="t"><span>Diskussion</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-variants-label" > <label id="p-variants-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Deutsch</span> </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation"> <nav id="p-views" class="mw-portlet mw-portlet-views vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-views-label" > <h3 id="p-views-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Ansichten</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Nullring"><span>Lesen</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Nullring&veaction=edit" title="Diese Seite mit dem VisualEditor bearbeiten [v]" accesskey="v"><span>Bearbeiten</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Nullring&action=edit" title="Den Quelltext dieser Seite bearbeiten [e]" accesskey="e"><span>Quelltext bearbeiten</span></a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Nullring&action=history" title="Frühere Versionen dieser Seite [h]" accesskey="h"><span>Versionsgeschichte</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Weitere Optionen" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Weitere</span> </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <h3 >Suche</h3> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="vector-search-box-form"> <div id="simpleSearch" class="vector-search-box-inner" data-search-loc="header-navigation"> <input class="vector-search-box-input" type="search" name="search" placeholder="Wikipedia durchsuchen" aria-label="Wikipedia durchsuchen" autocapitalize="sentences" title="Durchsuche die Wikipedia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <input type="hidden" name="title" value="Spezial:Suche"> <input id="mw-searchButton" class="searchButton mw-fallbackSearchButton" type="submit" name="fulltext" title="Suche nach Seiten, die diesen Text enthalten" value="Suchen"> <input id="searchButton" class="searchButton" type="submit" name="go" title="Gehe direkt zu der Seite mit genau diesem Namen, falls sie vorhanden ist." value="Artikel"> </div> </form> </div> </div> </div> <div id="mw-panel" class="vector-legacy-sidebar"> <div id="p-logo" role="banner"> <a class="mw-wiki-logo" href="/wiki/Wikipedia:Hauptseite" title="Hauptseite"></a> </div> <nav id="p-navigation" class="mw-portlet mw-portlet-navigation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-navigation-label" > <h3 id="p-navigation-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Navigation</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Hauptseite" title="Hauptseite besuchen [z]" accesskey="z"><span>Hauptseite</span></a></li><li id="n-topics" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Wikipedia_nach_Themen"><span>Themenportale</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Zuf%C3%A4llige_Seite" title="Zufällige Seite aufrufen [x]" accesskey="x"><span>Zufälliger Artikel</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-Mitmachen" class="mw-portlet mw-portlet-Mitmachen vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-Mitmachen-label" > <h3 id="p-Mitmachen-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Mitmachen</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-Artikel-verbessern" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Beteiligen"><span>Artikel verbessern</span></a></li><li id="n-Neuerartikel" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Hilfe:Neuen_Artikel_anlegen"><span>Neuen Artikel anlegen</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Autorenportal" title="Info-Zentrum über Beteiligungsmöglichkeiten"><span>Autorenportal</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Hilfe:%C3%9Cbersicht" title="Übersicht über Hilfeseiten"><span>Hilfe</span></a></li><li id="n-recentchanges" 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