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<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Ring (Algebra) – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"aa65afac-7bbd-4f38-83b5-26dd8f2ad3c1","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Ring_(Algebra)","wgTitle":"Ring (Algebra)","wgCurRevisionId":249560713,"wgRevisionId":249560713,"wgArticleId":4361,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":[ "Ring (Algebra)","Ringtheorie"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Ring_(Algebra)","wgRelevantArticleId":4361,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":249560713,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":30000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false, "wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q161172","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles": "ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }">, <a href="/wiki/Addition" title="Addition">Addition</a> und <a href="/wiki/Multiplikation" title="Multiplikation">Multiplikation</a> definiert und miteinander bezüglich Klammersetzung verträglich sind. Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der <a href="/wiki/Algebra" title="Algebra">Algebra</a>, das sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt. <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Namensgebung">1 Namensgebung</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Definitionen">2 Definitionen</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#Ring">2.1 Ring</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#Ring_mit_Eins">2.2 Ring mit Eins</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-5"><a href="#Kommutativer_Ring_mit_Eins">2.3 Kommutativer Ring mit Eins</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#Folgerungen">3 Folgerungen</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-7"><a href="#Unter-_und_Oberstrukturen">4 Unter- und Oberstrukturen</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-8"><a href="#Unter-_und_Oberring">4.1 Unter- und Oberring</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#Ideal">4.2 Ideal</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#Faktorring">4.3 Faktorring</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-11"><a href="#Grundring">4.4 Grundring</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-12"><a href="#Polynomring">4.5 Polynomring</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-13"><a href="#Matrizenring">4.6 Matrizenring</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-14"><a href="#Direktes_Produkt">4.7 Direktes Produkt</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-15"><a href="#Homomorphismus">5 Homomorphismus</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-16"><a href="#Ringhomomorphismus">5.1 Ringhomomorphismus</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-17"><a href="#Isomorphismus">5.2 Isomorphismus</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-18"><a href="#Beispiel">5.3 Beispiel</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-19"><a href="#Spezielle_Elemente_in_einem_Ring">6 Spezielle Elemente in einem Ring</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-20"><a href="#Teiler_und_Nullteiler">6.1 Teiler und Nullteiler</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-21"><a href="#Invertierbarkeit,_Einheit">6.2 Invertierbarkeit, Einheit</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-22"><a href="#Assoziierte_Elemente">6.3 Assoziierte Elemente</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-23"><a href="#Irreduzibilität">6.4 Irreduzibilität</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-24"><a href="#Primelement">6.5 Primelement</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-25"><a href="#Spezialfälle">7 Spezialfälle</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-26"><a href="#Beispiele">8 Beispiele</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-27"><a href="#Verallgemeinerungen">9 Verallgemeinerungen</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-28"><a href="#Siehe_auch">10 Siehe auch</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-29"><a href="#Literatur">11 Literatur</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-30"><a href="#Einzelnachweise">12 Einzelnachweise</a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Namensgebung">Namensgebung</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Namensgebung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Namensgebung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Das Konzept des Ringes geht auf <a href="/wiki/Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Richard Dedekind</a> zurück; die Bezeichnung Ring wurde allerdings von <a href="/wiki/David_Hilbert" title="David Hilbert">David Hilbert</a> eingeführt.<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a> In speziellen Situationen ist neben der Bezeichnung Ring auch die Bezeichnung Bereich geläufig. So findet man in der Literatur eher den Begriff Integritätsbereich statt Integritätsring. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definitionen">Definitionen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Definitionen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Definitionen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Je nach Teilgebiet und Lehrbuch (und zum Teil je nach Kapitel) wird unter einem Ring etwas Unterschiedliches verstanden. Ebenfalls leicht abweichend sind dann die Definitionen von Morphismen sowie Unter- und Oberstrukturen. Mathematisch ausgedrückt handelt es sich bei diesen unterschiedlichen Ringbegriffen um unterschiedliche <a href="/wiki/Kategorientheorie" title="Kategorientheorie">Kategorien</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ring"> Ring</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Ring" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Ring">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Ein Ring <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (R,+,\,\cdot \,)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>⋅</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (R,+,\,\cdot \,)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2c468ed2a818fcf41ab2c6dbe66b44ca2945d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.87ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (R,+,\,\cdot \,)}"> ist eine <a href="/wiki/Mengenlehre" title="Mengenlehre">Menge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> mit zwei <a href="/wiki/Zweistellige_Verkn%C3%BCpfung#Innere_zweistellige_Verknüpfung" title="Zweistellige Verknüpfung">zweistelligen Operationen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:0.647ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdot }">, für die die folgenden Beziehungen, genannt Ringaxiome, gelten: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (R,+\,)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (R,+\,)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f5dff292d74b4de63bcc46b768812381dcce81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.802ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (R,+\,)}"> ist eine <a href="/wiki/Abelsche_Gruppe" title="Abelsche Gruppe">abelsche Gruppe</a> unter der Addition <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +}">, deren neutrales Element als Nullelement des Rings <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"> bezeichnet wird.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (R,\cdot \,)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (R,\cdot \,)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5a33dcbe9c28c49a2ca2f5ae6f3aca5eda5076" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.641ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (R,\cdot \,)}"> ist eine <a href="/wiki/Halbgruppe" title="Halbgruppe">Halbgruppe</a> unter der Multiplikation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:0.647ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdot }"> . In der gängigen Schreibung bindet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:0.647ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdot }"> stärker als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +}"> und wird sehr häufig sogar weggelassen.</li> <li>Es gelten die <a href="/wiki/Distributivgesetz" title="Distributivgesetz">Distributivgesetze</a></li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)=ab+ac}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)=ab+ac}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6087ad77a246f08622278e9c522d41f40af6a28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.346ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)=ab+ac}">       (linke Distributivität)</dd></dl></dd> <dd>und <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)=ac+bc}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)=ac+bc}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ab63f0495952be24b0e863faea3b51cc8bb1e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.9ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)=ac+bc}">       (rechte Distributivität)</dd></dl></dd> <dd>für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c\in R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c\in R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155a175e62376943eefca56b9596ea133f93fe1c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.907ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c\in R}"> .</dd></dl> Ein Ring heißt kommutativ, falls er bezüglich der Multiplikation <a href="/wiki/Kommutativgesetz" title="Kommutativgesetz">kommutativ</a> ist, ansonsten spricht man von einem nicht-kommutativen Ring. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ring_mit_Eins">Ring mit Eins</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Ring mit Eins" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Ring mit Eins">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Hat die Halbgruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (R,\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (R,\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a73e16b604e70d0e725501e963985cdcbbc1c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.254ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (R,\cdot )}"> ein (beidseitiges) <a href="/wiki/Halbgruppe" title="Halbgruppe">neutrales Element</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}">, ist also ein <a href="/wiki/Monoid" title="Monoid">Monoid</a>, dann nennt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (R,+,\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (R,+,\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a0f4d832c9b7871f68bc77313edbd25f82717e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.096ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (R,+,\cdot )}"> einen Ring mit Eins oder unitären Ring (seltener auch unitalen Ring). Ringe mit nur links- oder nur rechtsneutralem Element gelten in der Ringtheorie nicht als unitär. Manche Autoren verstehen unter einem Ring grundsätzlich einen (kommutativen) Ring mit Eins und sprechen andernfalls von einem Pseudo-Ring, englisch auch rng (sic!) oder non-unital ring. In der <a href="/wiki/Kategorientheorie" title="Kategorientheorie">Kategorie</a> der Ringe mit Eins muss die Eins auch bei Ringhomomorphismen erhalten bleiben. Jeder Ring lässt sich in einen unitären Ring einbetten. <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Adjunktion_(Einselement)" title="Adjunktion (Einselement)">Adjunktion (Einselement)</a></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kommutativer_Ring_mit_Eins">Kommutativer Ring mit Eins</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Kommutativer Ring mit Eins" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Kommutativer Ring mit Eins">Quelltext bearbeiten</a>]</div> In der <a href="/wiki/Kommutative_Algebra" title="Kommutative Algebra">kommutativen Algebra</a> werden Ringe als kommutative Ringe mit Eins definiert. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Folgerungen">Folgerungen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Folgerungen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Folgerungen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li>Das neutrale Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"> der Addition ist <a href="/wiki/Absorbierendes_Element" title="Absorbierendes Element">absorbierendes Element</a> der Multiplikation:</li></ul> <table> <tbody><tr> <td style="width:2.8em"></td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\cdot a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\cdot a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/116ce53fbe125c0f2bf7ee4190c34c5191103c5b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.071ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0\cdot a}"></td> <td style="width:12em"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =(0+0)\cdot a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =(0+0)\cdot a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c18beba626667a928a2914d4dd4d921abf5e5f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.337ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle =(0+0)\cdot a}"></td> <td>(0 als neutrales Element der Addition) </td></tr> <tr> <td></td> <td></td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =(0\cdot a)+(0\cdot a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =(0\cdot a)+(0\cdot a)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ce6269d9c09e76cbbdfbc0109002caa8bff737" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.055ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle =(0\cdot a)+(0\cdot a)}"></td> <td>(rechte Distributivität) </td></tr> <tr> <td></td> <td></td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc9e66de468806365c20e32e83456cc526ce29e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.616ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle =0}"></td> <td>(Eindeutigkeit des neutralen Elements) </td></tr></tbody></table> <dl><dd>Gespiegelt: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot 0=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot 0=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31f39efe37450f6bce024486f458a90d11a08278" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.332ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot 0=0}">.</dd></dl></dd></dl> <ul><li>Fällt das neutrale Element der Multiplikation mit dem der Addition zusammen, dann besteht der Ring nur aus einem einzigen Element. Ein solcher Ring wird „<a href="/wiki/Nullring" title="Nullring">Nullring</a>“ genannt. Er ist ein kommutativer Ring mit Eins.</li> <li>Ein vor das Element gestelltes "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle -}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle -}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d17fc3f0e4465a95756d7914bc2d1c6c957477" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\textstyle -}">" kennzeichne das inverse Element bezüglich der Addition (bei dieser Verwendung wird das Zeichen als <a href="/wiki/Un%C3%A4res_Minus" title="Unäres Minus">unäres Minus</a> bezeichnet). Für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d992800adce8f580e87a3c79b62f0e12d5349e1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.866ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in R}"> gilt aufgrund des Distributivgesetzes:</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot b+a\cdot (-b)=a\cdot (b+(-b))=a\cdot 0=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot b+a\cdot (-b)=a\cdot (b+(-b))=a\cdot 0=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d97803d33de2412dede29ecee70643c9bd452a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.971ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\cdot b+a\cdot (-b)=a\cdot (b+(-b))=a\cdot 0=0}">.</dd></dl></dd> <dd>Aus der Definition des inversen Elements folgt damit <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot (-b)=-(a\cdot b)=(-a)\cdot b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot (-b)=-(a\cdot b)=(-a)\cdot b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bec746bf8656aef58a7a36a93c78da93a9cbb68" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.769ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\cdot (-b)=-(a\cdot b)=(-a)\cdot b}"></dd></dl></dd> <dd>sowie „Minus mal Minus ergibt Plus“: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-a)\cdot (-b)=a\cdot b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-a)\cdot (-b)=a\cdot b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181dae08317a84c955fc60ee081b2e7fe8b63f9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.146ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-a)\cdot (-b)=a\cdot b}">.</dd></dl></dd></dl> <ul><li>Die Addition eines additiven Inversen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/133483a1fba17ce25b728fa3448ea784c5ba3630" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.806ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -b}"> zu einem Ringelement <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> wird als <a href="/wiki/Subtraktion" title="Subtraktion">Subtraktion</a> bezeichnet. Das Operationszeichen dafür ist das <a href="/wiki/Minuszeichen" title="Minuszeichen">binäre Minuszeichen</a>:</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a-b:=a+(-b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>:=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a-b:=a+(-b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a8a5a5f254de066b7b0cf58123ab0a19aa26df8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.498ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a-b:=a+(-b)}">.</dd></dl></dd></dl> <ul><li>Die Distributivgesetze gelten auch für die Subtraktion:</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot (b-c)=(a\cdot b)-(a\cdot c)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot (b-c)=(a\cdot b)-(a\cdot c)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae2cb95a1fc18e74c6fdfb95cd5adfa400a8b66d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.943ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\cdot (b-c)=(a\cdot b)-(a\cdot c)}">,</dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a-b)\cdot c=(a\cdot c)-(b\cdot c)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a-b)\cdot c=(a\cdot c)-(b\cdot c)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4775e28235d7f016d8741f988a2eebf14df08952" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.72ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a-b)\cdot c=(a\cdot c)-(b\cdot c)}">.</dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Unter-_und_Oberstrukturen">Unter- und Oberstrukturen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Unter- und Oberstrukturen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Unter- und Oberstrukturen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Unter-_und_Oberring">Unter- und Oberring</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Unter- und Oberring" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Unter- und Oberring">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Eine Untermenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> eines Ringes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> heißt Unterring (oder Teilring) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}">, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> zusammen mit den beiden auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> eingeschränkten Verknüpfungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> wieder ein Ring ist. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> ist genau dann ein Unterring von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}">, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> eine <a href="/wiki/Untergruppe" title="Untergruppe">Untergruppe</a> bezüglich der Addition ist und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> abgeschlossen bzgl. der Multiplikation ist, d. h. <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\cdot y\in U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\cdot y\in U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f924de46bb14e5f51e4eb3230eef5f8c43d7476" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.788ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x\cdot y\in U}">, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32ddcb2941216f2980b950ce969dc15cba26906" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.953ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in U}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a2e6ea9baa146fd5bb9eb6512dbfd8f0bf9bc5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.779ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\in U}">.</dd></dl> Auch wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> ein Ring mit Eins ist, so muss die Eins nicht notwendigerweise in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> enthalten sein. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> kann auch ein Ring ohne Eins sein – etwa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>⊆</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f30ee321312e431ba2fcd493afe2ed68f799c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.362ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} }"> – oder eine andere Eins haben. In der Kategorie der Ringe mit Eins wird von einem Unterring verlangt, dass er dasselbe Einselement enthält (dafür ist es zwar notwendig, aber nicht immer hinreichend, dass der Unterring ein auf diesen bezogen multiplikativ neutrales Element enthält). Der Durchschnitt von Unterringen ist wieder ein Unterring, und der von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subseteq R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>⊆</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696d2a5cd181da185168f8908b341621ed847804" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.606ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq R}"> erzeugte Unterring wird definiert als der Durchschnitt aller <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> umfassenden Unterringe von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}">. Ein Ring <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> heißt Oberring oder Erweiterung eines Ringes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}">, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> ein Unterring von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> ist. Es ist auch üblich von einer Ringerweiterung zu sprechen, wenn man einen Ring mit einem Oberring betrachtet. Dies ist analog zum Begriff der <a href="/wiki/K%C3%B6rpererweiterung" title="Körpererweiterung">Körpererweiterung</a>. <dl><dt>Beispiel 1</dt></dl> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Adjunktion_(Einselement)" title="Adjunktion (Einselement)">Adjunktion (Einselement)</a></div> Jeder Ring kann in einen Ring mit Einselement eingebettet werden. <dl><dt>Beispiel 2</dt></dl> Folgende Ringerweiterung findet sich in E. Sernesi: Deformations of algebraic schemes<a href="#cite_note-3">[3]</a>: Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> ein kommutativer Ring, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"> ein <a href="/wiki/Modul_(Mathematik)" title="Modul (Mathematik)"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}">-Modul</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=R\oplus M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mo>⊕</mo> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=R\oplus M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f78adbff95be0c438bfbea1d8b6e738e3cb739c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.644ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle S=R\oplus M}"> die <a href="/wiki/Direkte_Summe" title="Direkte Summe">direkte Summe</a> der <a href="/wiki/Abelsche_Gruppe" title="Abelsche Gruppe">abelschen Gruppen</a>. Eine Multiplikation auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> sei definiert durch <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,x)\cdot (b,y)=(ab,ay+bx).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,x)\cdot (b,y)=(ab,ay+bx).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e1d8dc1cf3f972ea1b57867bc2e21b2a2d5675" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.447ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,x)\cdot (b,y)=(ab,ay+bx).}"></dd></dl> (Die Identifikation von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a0496b460440700c712980ec5c3159b1e465a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.403ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,x)}"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+\varepsilon x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>ε</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+\varepsilon x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589acc3c5a6e95d3080cc4993b4386cdecae5435" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.483ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a+\varepsilon x}"> mit einem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }">, für das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68eddcca75ba10af115dde98b267c3afd5341d40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.399ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}"> ist, und Ausrechnen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a+\varepsilon x)(b+\varepsilon y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>ε</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>ε</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a+\varepsilon x)(b+\varepsilon y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e668f45267ffb8ec8ac9897aae9b20319b4c9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.179ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a+\varepsilon x)(b+\varepsilon y)}"> ergibt die genannte Formel.) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> erweist sich als Ring. Man hat die <a href="/wiki/Exakte_Sequenz" title="Exakte Sequenz">exakte Sequenz</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\to M\to S{\overset {p}{{}\to {}}}R\to 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> </mrow> <mi>p</mi> </mover> </mrow> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\to M\to S{\overset {p}{{}\to {}}}R\to 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da9cf6247ddb4889732dcb467dd89a6ff9fa5ae0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:22.487ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle 0\to M\to S{\overset {p}{{}\to {}}}R\to 0}"></dd></dl> mit der Projektion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}">. Somit ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> eine Erweiterung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}">. Eine andere bemerkenswerte Eigenschaft dieser Konstruktion ist, dass der Modul <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"> zum Ideal eines neuen Ringes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> wird. Nagata nennt diesen Vorgang Prinzip der Idealisierung.<a href="#cite_note-4">[4]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ideal">Ideal</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Ideal" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Ideal">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Ideal_(Ringtheorie)" title="Ideal (Ringtheorie)">Ideal (Ringtheorie)</a></div> Zu einem Ring <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> heißt eine Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> Linksideal (bzw. Rechtsideal), wenn gilt: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"> ist eine Untergruppe von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (R,+)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (R,+)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466356a631ac93bc70fbe2d276117d22f980e285" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.415ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (R,+)}">.</li> <li>Für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06736171fb6cabbf6888f6c07cfc4630cd799ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.242ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in I}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4a3f5fa1b895f5a40a25ced8581b2152b3c24c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.934ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in R}"> ist ebenfalls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\cdot a\in I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\cdot a\in I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16048ed4d14231857a9ff4f5a85074b0fa913884" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.251ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\cdot a\in I}"> (bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot x\in I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot x\in I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbc1d96ffaef3a01823eebd99e27af84d19a8a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.251ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot x\in I}">).</li></ul> Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"> sowohl Links- als auch Rechtsideal, so heißt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"> zweiseitiges Ideal oder auch nur Ideal. Enthält in einem Ring mit Eins ein (Links-, Rechts-)Ideal die Eins, so umfasst es ganz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}">. Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> auch ein Ideal ist, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> das einzige (Links-, Rechts-)Ideal, das die Eins enthält. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lbrace 0\rbrace }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lbrace 0\rbrace }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980c57539b563e5fc957cd1f200128dc3e40e0dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lbrace 0\rbrace }"> sind die sogenannten trivialen Ideale. Eingeschränkt auf die Teilmengen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> ist der Begriff Ideal mit dem Begriff <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}">-<a href="/wiki/Modul_(Mathematik)" title="Modul (Mathematik)">Modul</a> synonym, also auch Linksideal mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}">-Linksmodul usw. Jedes Ideal <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> ist auch ein Unterring von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}">, ggf. ohne Eins. In der Kategorie der Ringe mit 1 gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"> dann nicht als Unterring. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Faktorring">Faktorring</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Faktorring" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Faktorring">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Faktorring" title="Faktorring">Faktorring</a></div> Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"> ein Ideal in einem Ring <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}">, dann kann man die Menge der <a href="/wiki/Nebenklasse_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Nebenklasse (Mathematik)">Nebenklassen</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R/I:=\{x+I\mid x\in R\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>I</mi> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>I</mi> <mo>∣</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R/I:=\{x+I\mid x\in R\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfae454fa53fd1d3b3169edeca0dd7bc9745ec11" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.382ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R/I:=\{x+I\mid x\in R\}}"></dd></dl> bilden. Die Verknüpfung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +}"> lässt sich wegen ihrer <a href="/wiki/Kommutativgesetz" title="Kommutativgesetz">Kommutativität</a> immer auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R/I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R/I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0650c975ee7bf3b39ce3144a5de71179c40ee493" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.098ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R/I}"> fortsetzen; die Verknüpfung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:0.647ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdot }"> jedoch nur, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"> ein zweiseitiges Ideal in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> ist. Ist dies der Fall, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R/I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R/I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0650c975ee7bf3b39ce3144a5de71179c40ee493" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.098ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R/I}"> mit den induzierten Verknüpfungen ein Ring. Er wird Faktorring <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R/I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R/I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0650c975ee7bf3b39ce3144a5de71179c40ee493" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.098ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R/I}"> genannt – gesprochen: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> <a href="/wiki/Restklasse" title="Restklasse">modulo</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}">. Der <a href="#Ringhomomorphismus">Ringhomomorphismus</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \colon R\to R/I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo>:</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon R\to R/I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ccf64aa264d5b4a17b44dccc48de2dd380c5f90" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.03ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon R\to R/I}">,</dd></dl> der einem Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> seine Nebenklasse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+I=:{\bar {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>I</mi> <mo>=:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+I=:{\bar {x}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d8d81ae9286bcb2de72bec57f417dad4f8a208" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.417ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x+I=:{\bar {x}}}"> zuordnet, hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"> zum Kern. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Grundring">Grundring</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=11" title="Abschnitt bearbeiten: Grundring" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=11" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Grundring">Quelltext bearbeiten</a>]</div> In einem Ring <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> mit Eins wird der von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"> erzeugte Unterring als der Grundring<a href="#cite_note-5">[5]</a> bezeichnet. Hat dieser endliche <a href="/wiki/M%C3%A4chtigkeit_(Mathematik)" title="Mächtigkeit (Mathematik)">Mächtigkeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e185ab9c990830d5055fa3ae698a4225ce67e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.858ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k,}"> so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> die <a href="/wiki/Charakteristik_(Algebra)" title="Charakteristik (Algebra)">Charakteristik</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f035e033d7d2c784a07e01448f7605945dfd435" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.411ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R,}"> abgekürzt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {char} (R)=k,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>char</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {char} (R)=k,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf63c65356f1549c07bb26a52cb2114e33343c71" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.929ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {char} (R)=k,}"> und man sagt, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> habe positive Charakteristik. Andernfalls wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {char} (R)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>char</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {char} (R)=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb3761e15652410fed7b335a2878b346ad4452c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.233ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {char} (R)=0}"> gesetzt. Damit ist im endlichen wie unendlichen Fall der unitäre Ringhomomorphismus <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{llll}\mathbb {Z} /\left(\operatorname {char} (R)\,\mathbb {Z} \right)&\to &R\\{\bar {n}}&\mapsto &n\cdot 1=1\cdot n\end{array}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="left left left left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>char</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">→</mo> </mtd> <mtd> <mi>R</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">↦</mo> </mtd> <mtd> <mi>n</mi> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mi>n</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{llll}\mathbb {Z} /\left(\operatorname {char} (R)\,\mathbb {Z} \right)&\to &R\\{\bar {n}}&\mapsto &n\cdot 1=1\cdot n\end{array}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7efe3f7e14dfaf997426537614bf0d471e961bf2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:34.11ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{llll}\mathbb {Z} /\left(\operatorname {char} (R)\,\mathbb {Z} \right)&\to &R\\{\bar {n}}&\mapsto &n\cdot 1=1\cdot n\end{array}}}"></dd></dl> <a href="/wiki/Injektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Injektivität">injektiv</a>. Der Grundring ist das Bild <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {\mathbb {Z} }},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {\mathbb {Z} }},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b685f6a32d43416f48ad1f36e39fd08f2e5662e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.197ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\bar {\mathbb {Z} }},}"> und jedes seiner Elemente ist mit jedem Ringelement <a href="/wiki/Zentrum_(Algebra)" title="Zentrum (Algebra)">vertauschbar</a>. Außerdem ist für jedes Ringelement <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b8332c70318b1c764cb4bcea0a6eb274600975" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.834ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in R}"> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-1)\cdot a=a\cdot (-1)=-a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-1)\cdot a=a\cdot (-1)=-a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3165aa9a228988463858626f103947484e41cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.612ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-1)\cdot a=a\cdot (-1)=-a}"></dd></dl> das additive Inverse von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.877ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a.}"> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Polynomring">Polynomring</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=12" title="Abschnitt bearbeiten: Polynomring" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=12" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Polynomring">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Polynomring" title="Polynomring">Polynomring</a></div> Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> ein kommutativer Ring mit Eins, so kann der Polynomring <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R[X]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R[X]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afeccd52deabb878398a8485755c3ceea80caf9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.038ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R[X]}"> gebildet werden. Dieser besteht aus Polynomen mit Koeffizienten aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> und der Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation für Polynome. Eigenschaften von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> übertragen sich zum Teil auf den Polynomring. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> nullteilerfrei, faktoriell oder noethersch, so trifft dies auch auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R[X]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R[X]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afeccd52deabb878398a8485755c3ceea80caf9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.038ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R[X]}"> zu. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Matrizenring">Matrizenring</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=13" title="Abschnitt bearbeiten: Matrizenring" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=13" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Matrizenring">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Matrizenring" title="Matrizenring">Matrizenring</a></div> Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> ein Ring mit Eins, so kann zu gegebenem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }"> der Matrizenring <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{n\times n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{n\times n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f52ca8e2b5e7ab0a2dcf89f06254a5ef8906f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.247ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R^{n\times n}}"> gebildet werden. Dieser besteht aus den quadratischen Matrizen mit Einträgen aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> mit der üblichen Addition und Multiplikation für Matrizen. Der Matrizenring ist wiederum ein Ring mit Eins. Jedoch ist der Matrizenring für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>1}"> weder kommutativ noch nullteilerfrei, selbst wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> diese Eigenschaften hat. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Direktes_Produkt">Direktes Produkt</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=14" title="Abschnitt bearbeiten: Direktes Produkt" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=14" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Direktes Produkt">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> Ringe, dann kann das <a href="/wiki/Kartesisches_Produkt" title="Kartesisches Produkt">Mengenprodukt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R\times S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mo>×</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R\times S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c3ff61b6cca09ae2b3fb47ba9417b51d83b94e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.104ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R\times S}"> auf natürliche Weise mit einer Ringstruktur ausgestattet werden: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2}):=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2}):=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd118ab1d39867c7f3375cbe0aeed0cdda66e84" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.787ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2}):=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})\;\;:=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>:=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})\;\;:=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70da27f5d2757189fd653aa10d666e9afa7f651b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.593ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})\;\;:=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})}"></li></ul> Denn die Gültigkeit des <a href="/wiki/Distributivgesetz" title="Distributivgesetz">Distributivgesetzes</a> in jeder Komponente überträgt sich unmittelbar auf das Mengenprodukt. Sind beide Ringe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> unitär, dann ist auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R\times S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mo>×</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R\times S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c3ff61b6cca09ae2b3fb47ba9417b51d83b94e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.104ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R\times S}"> unitär mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1_{R},1_{S})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1_{R},1_{S})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7414f31f0e71dc4e3803d4b47656a9c6c819d44" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.94ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1_{R},1_{S})}"> als dem Einselement. Dieselbe Konstruktion ist möglich mit einer beliebigen <a href="/wiki/Familie_(Mathematik)" title="Familie (Mathematik)">Familie</a> von Ringen: Sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (R_{i})_{i\in I}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (R_{i})_{i\in I}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecddbccfd2eb07152c7290c46180999aeedd7886" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.097ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (R_{i})_{i\in I}}"> Ringe über einer <a href="/wiki/Indexmenge_(Mathematik)" title="Indexmenge (Mathematik)">Indexmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}">, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod _{i\in I}R_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod _{i\in I}R_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3069e8701aa21bce21773ae6edb5efd67b30d808" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:5.92ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \prod _{i\in I}R_{i}}"> ein Ring, genannt das direkte Produkt der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{i}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{i}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11f6c289397c75e3793f929f8c87b131991219e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.211ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{i}.}"> Ein Unterring des direkten Produkts ist die <a href="/wiki/Direkte_Summe" title="Direkte Summe">direkte Summe</a>, bei der nur endlich viele Komponenten von 0 verschieden sind. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Homomorphismus">Homomorphismus</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=15" title="Abschnitt bearbeiten: Homomorphismus" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=15" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Homomorphismus">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ringhomomorphismus">Ringhomomorphismus</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=16" title="Abschnitt bearbeiten: Ringhomomorphismus" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=16" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Ringhomomorphismus">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Ringhomomorphismus" title="Ringhomomorphismus">Ringhomomorphismus</a></div> Für zwei Ringe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> heißt eine Abbildung <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \colon R\to S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo>:</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon R\to S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4765828fc3423dfb4af72ca6adca6f454ee9ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.431ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon R\to S}"></dd></dl> Ringhomomorphismus (kurz Homomorphismus), falls für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y\in R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y\in R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd941136d77e1d2a54ec7a326c4216d9e2ffa587" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.124ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x,y\in R}"> gilt: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/520541df80468ca5b3b20ffcfa483fc4547fd1bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.738ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)}">       und</dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (x\cdot y)\;\;=\varphi (x)\cdot \varphi (y).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>=</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (x\cdot y)\;\;=\varphi (x)\cdot \varphi (y).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d03bbaed12c61a3c476798e37024ede18540cbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.352ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (x\cdot y)\;\;=\varphi (x)\cdot \varphi (y).}"></dd></dl> Der <a href="/wiki/Kern_(Algebra)" title="Kern (Algebra)">Kern</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {ker} \varphi :=\lbrace x\in R\mid \varphi (x)=0\rbrace }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ker</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> <mo>∣</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {ker} \varphi :=\lbrace x\in R\mid \varphi (x)=0\rbrace }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d1ba4d17a37c3ab02834cbd5664cd7e28a2bc2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.94ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {ker} \varphi :=\lbrace x\in R\mid \varphi (x)=0\rbrace }"> des Ringhomomorphismus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> ist ein zweiseitiges Ideal in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}">. Ein <a href="/wiki/Morphismus" title="Morphismus">Morphismus</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> von Ringen mit Eins muss außerdem noch die Bedingung erfüllen, dass das Einselement auf das Einselement abgebildet wird: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (1_{R})=1_{S}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (1_{R})=1_{S}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ee902c6dbe7ba5c76fbbfb2d644dd59177afe8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.525ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (1_{R})=1_{S}}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Isomorphismus">Isomorphismus</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=17" title="Abschnitt bearbeiten: Isomorphismus" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=17" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Isomorphismus">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Isomorphismus" title="Isomorphismus">Isomorphismus</a></div> Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Die Ringe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> gibt. In diesem Fall ist auch die Umkehrabbildung ein Isomorphismus; die Ringe haben dann dieselbe Struktur. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel">Beispiel</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=18" title="Abschnitt bearbeiten: Beispiel" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=18" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiel">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Ausgestattet mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ist das direkte Produkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463bb631669181cf8a8950ac822ada5eb0542ca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.941ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }"> ein Ring. Dann ist mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371c1d5c8d7c1cd551d40a006c17fce4cca63d40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.564ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }"> die Abbildung <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{llll}&\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \\&z&\mapsto &(rz,sz)\end{array}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="left left left left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">→</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>z</mi> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">↦</mo> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{llll}&\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \\&z&\mapsto &(rz,sz)\end{array}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db8ac0298c3bc354ebfa5ab305da3ea9772a9984" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:18.752ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{llll}&\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \\&z&\mapsto &(rz,sz)\end{array}}}"></dd></dl> ein Homomorphismus von Ringen; ein Homomorphismus von Ringen mit Eins aber nur, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r,s)=(1,1).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r,s)=(1,1).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9acae44e13b1c995f58a658f9ba5ba8d2289e4c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.896ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r,s)=(1,1).}"> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spezielle_Elemente_in_einem_Ring">Spezielle Elemente in einem Ring</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=19" title="Abschnitt bearbeiten: Spezielle Elemente in einem Ring" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=19" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Spezielle Elemente in einem Ring">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teiler_und_Nullteiler">Teiler und Nullteiler</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=20" title="Abschnitt bearbeiten: Teiler und Nullteiler" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=20" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Teiler und Nullteiler">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Teilbarkeit" title="Teilbarkeit">Teilbarkeit</a></div> Von zwei Elementen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d992800adce8f580e87a3c79b62f0e12d5349e1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.866ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in R}"> heißt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> linker Teiler (Linksteiler) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}">, falls ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4a3f5fa1b895f5a40a25ced8581b2152b3c24c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.934ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in R}"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=a\cdot x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=a\cdot x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4582dc7d2e916b7c57f9430551321cd50ddd02a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.335ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b=a\cdot x}"> existiert. Dann ist auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> rechtes Vielfaches von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}">. Entsprechend definiert man rechten Teiler (Rechtsteiler) und linkes Vielfaches. In kommutativen Ringen ist ein linker Teiler auch ein rechter und umgekehrt. Man schreibt hier auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\mid b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∣</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\mid b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ab1c16db0f00b6cc26bcd7dae49514f5aadfff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.165ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\mid b}">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> ein Teiler von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> ist. Alle Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> sind (Rechts- bzw. Links-) Teiler der Null. Der Begriff des (Rechts- bzw. Links-) <a href="/wiki/Nullteiler" title="Nullteiler">Nullteilers</a> hat eine andere Definition. Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"> nach dieser als Nullteiler zählt, gilt der Satz: Ein Element ist genau dann (Rechts- bzw. Links-) Nullteiler, wenn es nicht (rechts- bzw. links-) <a href="/wiki/K%C3%BCrzbarkeit" title="Kürzbarkeit">kürzbar</a> ist. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Invertierbarkeit,_Einheit">Invertierbarkeit, Einheit</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=21" title="Abschnitt bearbeiten: Invertierbarkeit, Einheit" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=21" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Invertierbarkeit, Einheit">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Einheit_(Mathematik)" title="Einheit (Mathematik)">Einheit (Mathematik)</a></div> Existiert in einem Ring <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> mit Eins zu einem Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}"> ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle xu=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle xu=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44861542d2d73303bf5055af02970ecf0e01b7f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.92ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle xu=1}"> (bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ux=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ux=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ccf88e24594d008e9f4fbe8cc42ee299b109b3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.92ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ux=1}">) gilt, so nennt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> ein Linksinverses (bzw. Rechtsinverses) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}">. Besitzt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}"> sowohl Links- als auch Rechtsinverses, so nennt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}"> invertierbar oder Einheit des Ringes. Die Menge der Einheiten eines Ringes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> mit Eins wird gewöhnlich mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{*}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a74b1bc0fa98794b6460254044f8e7b75e6d84f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.818ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R^{*}}"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{\times }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{\times }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c9000bc6f7ffcd09966ca0187b63c877c0d5e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.275ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R^{\times }}"> bezeichnet. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{*}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a74b1bc0fa98794b6460254044f8e7b75e6d84f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.818ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R^{*}}"> bildet bezüglich der Ringmultiplikation eine Gruppe – die <a href="/wiki/Einheitengruppe" title="Einheitengruppe">Einheitengruppe</a> des Ringes. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{*}=R\backslash \left\{0\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">∖</mi> <mrow> <mo>{</mo> <mn>0</mn> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{*}=R\backslash \left\{0\right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc92037a01af2b14ce4daff837239fa0584d41b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.718ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R^{*}=R\backslash \left\{0\right\}}">, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> ein <a href="/wiki/Schiefk%C3%B6rper" title="Schiefkörper">Schiefkörper</a>, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> darüber hinaus kommutativ, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> ein <a href="/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a>. In kommutativen Ringen mit Eins (insbesondere <a href="/wiki/Integrit%C3%A4tsring" title="Integritätsring">Integritätsringen</a>) werden die Einheiten oft als diejenigen Elemente definiert, die die Eins teilen. Dies ist in diesem Fall zur obigen Definition äquivalent, da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}"> genau dann die Eins teilt, wenn es ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> gibt mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle xu=ux=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle xu=ux=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/802900f8ab516a94641fa6d84257b33ecd1fe50e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle xu=ux=1}">. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Assoziierte_Elemente">Assoziierte Elemente</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=22" title="Abschnitt bearbeiten: Assoziierte Elemente" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=22" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Assoziierte Elemente">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Assoziierte_Elemente" title="Assoziierte Elemente">Assoziierte Elemente</a></div> Zwei Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> sind genau dann rechts assoziiert, wenn es eine <a href="/wiki/Einheit_(Mathematik)#Verallgemeinerung:_Links-_und_Rechtseinheiten" title="Einheit (Mathematik)">Rechtseinheit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}"> gibt, sodass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle au=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle au=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32656695c8a77a3f35943d2af5622244fab4dc97" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle au=b}">. Links assoziiert bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ua=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ua=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c598ae1dc56f8dcb5b9d7de40753b035a3b670" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ua=b}"> mit einer Linkseinheit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}">. Wenn in einem kommutativen Ring mit Eins die Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}"> in der Beziehung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\mid b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∣</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\mid b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ab1c16db0f00b6cc26bcd7dae49514f5aadfff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.165ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\mid b}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\mid a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>∣</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\mid a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3faba92abaa3805f75be8141931f54386f9471f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.165ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b\mid a}"> stehen, dann sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> zueinander assoziiert. Die Seitigkeit (links, rechts) kann also weggelassen werden. Assoziiertheit ist eine <a href="/wiki/%C3%84quivalenzrelation" title="Äquivalenzrelation">Äquivalenzrelation</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Irreduzibilität">Irreduzibilität</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=23" title="Abschnitt bearbeiten: Irreduzibilität" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=23" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Irreduzibilität">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Ein von 0 verschiedenes Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"> heißt irreduzibel, wenn es weder <a href="/wiki/Einheit_(Mathematik)#Verallgemeinerung:_Links-_und_Rechtseinheiten" title="Einheit (Mathematik)">Linkseinheit</a> noch Rechtseinheit ist und es keine Nicht-Linkseinheit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> und keine Nicht-Rechtseinheit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=ab}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=ab}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3069b1ce32c556b593a68ae2f88fd799ac90f5ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.395ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q=ab}"> gibt, wenn also aus der Gleichung folgt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> Linkseinheit oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> Rechtseinheit ist. In einem kommutativen Ring genügt es zu fordern, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"> von 0 verschieden ist, keine Einheit ist und aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=ab}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=ab}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3069b1ce32c556b593a68ae2f88fd799ac90f5ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.395ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q=ab}"> folgt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> eine Einheit ist. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Primelement">Primelement</h3>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=24" title="Abschnitt bearbeiten: Primelement" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=24" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Primelement">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Für kommutative unitäre Ringe definiert man: Ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> heißt prim oder Primelement, wenn es keine Einheit und ungleich 0 ist und aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\mid ab}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>∣</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\mid ab}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29aa7aabd948c922339ecceb59aa31295429c847" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:5.423ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p\mid ab}"> folgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\mid a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>∣</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\mid a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/865d61c739a09422af01290a2215177cb57b1ffa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:4.426ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p\mid a}"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\mid b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>∣</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\mid b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02453ac7ce58add53ec2bb76d6850447174f7a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:4.194ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p\mid b}"> (siehe auch Hauptartikel: <a href="/wiki/Primelement" title="Primelement">Primelement</a>). In einem nullteilerfreien Ring ist jedes Primelement irreduzibel. In einem <a href="/wiki/Faktorieller_Ring" title="Faktorieller Ring">faktoriellen Ring</a> ist umgekehrt auch jedes irreduzible Element ein Primelement. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spezialfälle">Spezialfälle</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=25" title="Abschnitt bearbeiten: Spezialfälle" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=25" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Spezialfälle">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <dl><dt>Körper</dt> <dd>Ein <a href="/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a> ist ein kommutativer Ring mit Eins, bei dem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (R\setminus \left\{0\right\},\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mn>0</mn> <mo>}</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (R\setminus \left\{0\right\},\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc4f66ca628e8154176315b1469067dd6c5be9b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.323ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (R\setminus \left\{0\right\},\cdot )}"> eine Gruppe ist, also zu jedem von Null verschiedenen Element ein multiplikatives Inverses existiert.</dd> <dt>Einfacher Ring</dt> <dd>Ein Ring <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}">, der nicht der Nullring ist, wird <a href="/wiki/Einfacher_Modul" title="Einfacher Modul">einfach</a> genannt, wenn die trivialen Ideale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{0\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{0\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff0df9ef65c0572eb676580ce1c02b8ec40f694" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{0\}}"> die einzigen zweiseitigen Ideale sind. Ein kommutativer einfacher Ring mit Eins ist ein <a href="/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a>.</dd> <dt>Idempotenter Ring</dt> <dd>Ein <a href="/wiki/Idempotenz" title="Idempotenz">idempotenter</a> Ring ist ein Ring, in dem zusätzlich das Idempotenzgesetz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot a=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot a=a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5700edc1e0a1d972ccef6badad306db6a97ed8a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.467ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a\cdot a=a}"> für alle Elemente erfüllt ist. Jeder idempotente Ring ist kommutativ.</dd> <dt>Boolescher Ring</dt> <dd>Ein <a href="/wiki/Boolesche_Algebra#Boolesche_Ringe" title="Boolesche Algebra">Boolescher Ring</a> ist ein idempotenter Ring mit Eins.</dd> <dt>Lokaler Ring</dt> <dd>Ein <a href="/wiki/Lokaler_Ring" title="Lokaler Ring">lokaler Ring</a> ist ein Ring, in dem es genau ein maximales Linksideal (oder Rechtsideal) gibt. Nicht wenige Autoren verlangen, dass ein lokaler, kommutativer Ring zusätzlich <a href="/wiki/Noetherscher_Ring" title="Noetherscher Ring">noethersch</a> sein muss und nennen einen nichtnoetherschen Ring mit genau einem maximalen Ideal einen quasi-lokalen Ring. In der Wikipedia lassen wir diese Zusatzforderung weg und sprechen ggf. explizit von noetherschen lokalen Ringen.</dd> <dt>Integritätsring</dt> <dd>Ein <a href="/wiki/Integrit%C3%A4tsring" title="Integritätsring">Integritätsring</a> oder Integritätsbereich ist ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit einer Eins, die verschieden ist von der Null. Jeder endliche Integritätsring ist ein Körper. Jedem Integritätsring lässt sich ein Körper zuordnen, der <a href="/wiki/Quotientenk%C3%B6rper" title="Quotientenkörper">Quotientenkörper</a> des Integritätsrings.</dd></dl> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Ringhierarchy.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Ringhierarchy.png/351px-Ringhierarchy.png" decoding="async" width="351" height="197" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Ringhierarchy.png/527px-Ringhierarchy.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Ringhierarchy.png/702px-Ringhierarchy.png 2x" data-file-width="1280" data-file-height="720" /></a><figcaption>Hierarchie ausgewählter Klassen von Ringen (mit Eins) und Beispiele. Ringe mit Gruppen in eckigen Klammern bezeichnen hierbei <a href="/wiki/Gruppenring" class="mw-redirect" title="Gruppenring">Gruppenringe</a>.</figcaption></figure> <dl><dt>Faktorieller Ring, ZPE-Ring</dt> <dd>Ein <a href="/wiki/Faktorieller_Ring" title="Faktorieller Ring">faktorieller Ring</a> oder ZPE-Ring ist ein Integritätsring, in dem alle Elemente außer der Null eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in Primfaktoren besitzen.</dd> <dt>Hauptidealring</dt> <dd>Ein <a href="/wiki/Hauptidealring" title="Hauptidealring">Hauptidealring</a> ist ein Integritätsring, in dem jedes <a href="/wiki/Ideal_(Ringtheorie)" title="Ideal (Ringtheorie)">Ideal</a> ein <a href="/wiki/Hauptideal" title="Hauptideal">Hauptideal</a> ist. Jeder Hauptidealring ist ein ZPE-Ring.</dd> <dt>Euklidischer Ring</dt> <dd>In einem <a href="/wiki/Euklidischer_Ring" title="Euklidischer Ring">euklidischen Ring</a> gibt es eine <a href="/wiki/Division_mit_Rest" title="Division mit Rest">Division mit Rest</a>. Dadurch kann der größte gemeinsame Teiler zweier Elemente mit Hilfe des <a href="/wiki/Euklidischer_Algorithmus" title="Euklidischer Algorithmus">euklidischen Algorithmus</a> berechnet werden. Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.</dd> <dt>Noetherscher Ring</dt> <dd>In einem kommutativen <a href="/wiki/Noetherscher_Ring" title="Noetherscher Ring">noetherschen Ring</a> sind alle Ideale endlich erzeugt.</dd> <dt>ggT-Ring</dt> <dd>Ein Integritätsring in dem je zwei Elemente eine einen <a href="/wiki/Gr%C3%B6%C3%9Fter_gemeinsamer_Teiler" title="Größter gemeinsamer Teiler">größten gemeinsamen Teiler</a> im Ring besitzen heißt ggT-Ring. Dies ist genau dann der Fall wenn je zwei Elemente ein <a href="/wiki/Kleinstes_gemeinsames_Vielfaches" title="Kleinstes gemeinsames Vielfaches">kleinstes gemeinsames Vielfaches</a> im Ring besitzen.</dd> <dt>Dedekindring</dt> <dd>Ein <a href="/wiki/Dedekindring" title="Dedekindring">Dedekindring</a> ist ein Integritätsring, in dem jedes <a href="/wiki/Ideal_(Ringtheorie)" title="Ideal (Ringtheorie)">Ideal</a> ein (eindeutiges) Produkt von <a href="/wiki/Primideal" title="Primideal">Primidealen</a> ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Ring ein noetherscher, <a href="/wiki/Normaler_Ring" class="mw-redirect" title="Normaler Ring">normaler Ring</a> ist, in dem jedes vom Nullideal verschiedene Primideal maximal ist.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=26" title="Abschnitt bearbeiten: Beispiele" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=26" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiele">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li>Der <a href="/wiki/Nullring" title="Nullring">Nullring</a>, der nur aus einem Element besteht, ist ein kommutativer Ring mit Eins (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41647e2919d0c6740f9d118064d2dd244651ed60" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.423ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1=0}">).</li> <li>Die <a href="/wiki/Ganze_Zahl" title="Ganze Zahl">ganzen Zahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a626bb1acb2b3beebb7ed25b98f0cc7fdb7df60" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.882ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}"> mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden einen euklidischen Ring.</li> <li>Die <a href="/wiki/Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">rationalen Zahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b9495c5986da1b645da13cf5421c6fc06abcc5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.14ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot )}"> mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden einen Körper.</li> <li>Der Ring der geraden Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c112372c16743e8c02db5eac5c6de0659841bec6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.713ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\mathbb {Z} }"> ist ein kommutativer Ring ohne Eins.</li> <li><a href="/wiki/Polynomring" title="Polynomring">Polynomringe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K[X]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K[X]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb4d802ca5718a14dc961af8692f35cdfad169b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.34ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K[X]}"> über einem Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> sind euklidische Ringe.</li> <li>Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> ein Ring mit Eins, dann ist der <a href="/wiki/Matrizenring" title="Matrizenring">Matrizenring</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{n\times n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{n\times n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f52ca8e2b5e7ab0a2dcf89f06254a5ef8906f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.247ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R^{n\times n}}"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>1}"> ein (nicht-kommutativer) Ring mit Eins, welche durch die <a href="/wiki/Einheitsmatrix" title="Einheitsmatrix">Einheitsmatrix</a> dargestellt wird.</li> <li><a href="/wiki/Faktorring" title="Faktorring">Faktorringe</a> liefern Beispiele für Ringe, die nicht nullteilerfrei sind. Genauer gilt für einen kommutativen Ring mit Eins, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R/I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R/I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0650c975ee7bf3b39ce3144a5de71179c40ee493" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.098ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R/I}"> genau dann ein Integritätsring ist, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I\subseteq R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo>⊆</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I\subseteq R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c748107a6b85436a6eb9268748c1240aa2bce7e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.034ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle I\subseteq R}"> ein Primideal ist.</li> <li>Die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {N} ,+,\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {N} ,+,\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3211500e3f61e4edc4460ac0a5a3f237ed53da9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.01ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {N} ,+,\cdot )}"> der <a href="/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürlichen Zahlen</a> mit der üblichen Addition und Multiplikation bildet keinen Ring, da die Addition über den natürlichen Zahlen nicht invertierbar ist.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerungen">Verallgemeinerungen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=27" title="Abschnitt bearbeiten: Verallgemeinerungen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=27" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verallgemeinerungen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <dl><dt>Halbring</dt> <dd>Bei einem <a href="/wiki/Halbring_(Algebraische_Struktur)" class="mw-redirect" title="Halbring (Algebraische Struktur)">Halbring</a> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(H,+\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>H</mi> <mo>,</mo> <mo>+</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(H,+\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f458d8c29e776fbbf93b99c5472733544a93c7d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.715ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left(H,+\right)}"> keine abelsche Gruppe, sondern nur eine Halbgruppe, die auch oft (je nach Definition) kommutativ und/oder ein <a href="/wiki/Monoid" title="Monoid">Monoid</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(H,+,0\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>H</mi> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(H,+,0\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd065a32cb62244464209f1405b038908e25ce3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.911ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left(H,+,0\right)}"> sein soll, für den nicht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot 0=0\cdot a=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot 0=0\cdot a=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8639b75222970d40fa175a86203e1c64d8bdfcb4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.502ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot 0=0\cdot a=0}"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b8332c70318b1c764cb4bcea0a6eb274600975" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.834ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in R}"> gelten muss (die Definitionen sind nicht einheitlich).</dd> <dt>Fastring</dt> <dd>Bei einem <a href="/wiki/Fastring" title="Fastring">Fastring</a> wird nur eines der beiden Distributivgesetze gefordert und die Addition muss nicht kommutativ sein.</dd> <dt>Alternativring</dt> <dd>Bei den alternativen Ringen wird auf die Assoziativität der Multiplikation verzichtet und nur die <a href="/wiki/Alternativit%C3%A4t" title="Alternativität">Alternativität</a> gefordert. Das bekannteste Beispiel sind die <a href="/wiki/Oktave_(Mathematik)" title="Oktave (Mathematik)">Oktonionen</a>, die sogar ein <a href="/wiki/Alternativk%C3%B6rper" title="Alternativkörper">Alternativkörper</a> sind.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=28" title="Abschnitt bearbeiten: Siehe auch" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=28" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Siehe auch">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Algebra_%C3%BCber_einem_kommutativen_Ring" title="Algebra über einem kommutativen Ring">Algebra über einem kommutativen Ring</a></li> <li><a href="/wiki/Gegenring" title="Gegenring">Gegenring</a></li> <li><a href="/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper (Algebra)</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=29" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=29" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Siegfried_Bosch" title="Siegfried Bosch">Siegfried Bosch</a>: Algebra. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2009, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783540928119" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-540-92811-9</a>, <a href="//doi.org/10.1007/978-3-540-92812-6" class="extiw" title="doi:10.1007/978-3-540-92812-6">doi:10.1007/978-3-540-92812-6</a>.</li> <li><a href="/wiki/David_Eisenbud" title="David Eisenbud">David Eisenbud</a>: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York NY u. a. 1996, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0387942696" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-387-94269-6</a>.</li> <li><a href="/wiki/Serge_Lang" title="Serge Lang">Serge Lang</a>: Algebra. Revised 3rd Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/038795385X" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-387-95385-X</a>.</li> <li>Hideyuki Matsumura: Commutative Ring Theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0521367646" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-521-36764-6</a>.</li> <li>Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Ein Handbuch für Studium und Forschung. Fischer, München 1988, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3889270441" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-88927-044-1</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2>[<a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&veaction=edit&section=30" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=edit&section=30" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://jeff560.tripod.com/r.html">Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (R).</a> 17. Juli 2007 </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Ring_theory/">The development of Ring Theory</a> (17. Juli 2007) </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=xkcpQo9tBN8C">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <a href="/wiki/Masayoshi_Nagata" title="Masayoshi Nagata">Masayoshi Nagata</a>: <cite style="font-style:italic">Local rings</cite>. Interscience Publishers, New York-London 1962, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0882752286" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-88275-228-6</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Ring+%28Algebra%29&rft.au=Masayoshi+Nagata&rft.btitle=Local+rings&rft.date=1962&rft.genre=book&rft.isbn=0882752286&rft.place=New+York-London&rft.pub=Interscience+Publishers" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Bei einem Körper spricht man vom <a href="/wiki/Primk%C3%B6rper" title="Primkörper">Primkörper</a>. </li> </ol></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&oldid=249560713">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&oldid=249560713</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Ring_(Algebra)" title="Kategorie:Ring (Algebra)">Ring (Algebra)</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Ringtheorie" title="Kategorie:Ringtheorie">Ringtheorie</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > Meine Werkzeuge </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item">Nicht angemeldet</li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n">Diskussionsseite</a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y">Beiträge</a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Ring+%28Algebra%29" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. Es ist jedoch nicht zwingend erforderlich.">Benutzerkonto erstellen</a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Anmelden&returnto=Ring+%28Algebra%29" title="Anmelden ist zwar keine Pflicht, wird aber gerne gesehen. [o]" accesskey="o">Anmelden</a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > Namensräume </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Ring_(Algebra)" title="Seiteninhalt anzeigen [c]" accesskey="c">Artikel</a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Ring_(Algebra)" rel="discussion" title="Diskussion zum Seiteninhalt [t]" accesskey="t">Diskussion</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" 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accesskey="e">Quelltext bearbeiten</a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Ring_(Algebra)&action=history" title="Frühere Versionen dieser Seite [h]" accesskey="h">Versionsgeschichte</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Weitere Optionen" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > Weitere </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <h3 >Suche</h3> <form action="/w/index.php" id="searchform" 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hreflang="ar" data-title="حلقة (رياضيات)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="Arabisch" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D2%A0%D1%83%D0%BB%D1%81%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Ҡулса (математика) – Baschkirisch" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Ҡулса (математика)" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="Baschkirisch" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Кальцо (алгебра) – Belarussisch" lang="be" hreflang="be" data-title="Кальцо (алгебра)" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="Belarussisch" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D1%8A%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BD_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Пръстен (алгебра) – Bulgarisch" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Пръстен (алгебра)" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="Bulgarisch" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Prsten_(matematika)" title="Prsten (matematika) – Bosnisch" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Prsten (matematika)" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="Bosnisch" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Anell_(matem%C3%A0tiques)" title="Anell (matemàtiques) – Katalanisch" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Anell (matemàtiques)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="Katalanisch" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Okruh_(algebra)" title="Okruh (algebra) – Tschechisch" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Okruh (algebra)" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="Tschechisch" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BD%D0%BA%C4%83_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Ункă (математика) – Tschuwaschisch" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Ункă (математика)" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="Tschuwaschisch" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Modrwy_(mathemateg)" title="Modrwy (mathemateg) – Walisisch" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Modrwy (mathemateg)" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="Walisisch" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Ring_(matematik)" title="Ring (matematik) – Dänisch" lang="da" hreflang="da" data-title="Ring (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="Dänisch" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CE%B1%CE%BA%CF%84%CF%8D%CE%BB%CE%B9%CE%BF%CF%82_(%CE%AC%CE%BB%CE%B3%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%B1)" title="Δακτύλιος (άλγεβρα) – Griechisch" lang="el" hreflang="el" data-title="Δακτύλιος (άλγεβρα)" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="Griechisch" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)" title="Ring (mathematics) – Englisch" lang="en" hreflang="en" data-title="Ring (mathematics)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="Englisch" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Ringo_(algebro)" title="Ringo (algebro) – Esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Ringo (algebro)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="Esperanto" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)" title="Anillo (matemática) – Spanisch" lang="es" hreflang="es" data-title="Anillo (matemática)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="Spanisch" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Ring_(algebra)" title="Ring (algebra) – Estnisch" lang="et" hreflang="et" data-title="Ring (algebra)" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="Estnisch" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Eraztun_(matematika)" title="Eraztun (matematika) – Baskisch" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Eraztun (matematika)" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="Baskisch" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D9%84%D9%82%D9%87_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)" title="حلقه (ریاضیات) – Persisch" lang="fa" hreflang="fa" data-title="حلقه (ریاضیات)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="Persisch" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Rengas_(matematiikka)" title="Rengas (matematiikka) – Finnisch" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Rengas (matematiikka)" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="Finnisch" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_(math%C3%A9matiques)" title="Anneau (mathématiques) – Französisch" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Anneau (mathématiques)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Französisch" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/F%C3%A1inne_(matamaitic)" title="Fáinne (matamaitic) – Irisch" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Fáinne (matamaitic)" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="Irisch" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl 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data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="Interlingua" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Gelanggang_(matematika)" title="Gelanggang (matematika) – Indonesisch" lang="id" hreflang="id" data-title="Gelanggang (matematika)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="Indonesisch" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Anello_(algebra)" title="Anello (algebra) – Italienisch" lang="it" hreflang="it" data-title="Anello (algebra)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="Italienisch" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="環 (数学) – Japanisch" lang="ja" 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href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%99%98_(%EC%88%98%ED%95%99)" title="환 (수학) – Koreanisch" lang="ko" hreflang="ko" data-title="환 (수학)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Koreanisch" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Anellus" title="Anellus – Latein" lang="la" hreflang="la" data-title="Anellus" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="Latein" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Rank_(Algeber)" title="Rank (Algeber) – Luxemburgisch" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Rank (Algeber)" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="Luxemburgisch" class="interlanguage-link-target">Lëtzebuergesch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Anell_(matematega)" title="Anell (matematega) – Lombardisch" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Anell (matematega)" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="Lombardisch" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B5%E0%B4%B2%E0%B4%AF%E0%B4%82_(%E0%B4%97%E0%B4%A3%E0%B4%BF%E0%B4%A4%E0%B4%82)" title="വലയം (ഗണിതം) – Malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="വലയം (ഗണിതം)" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="Malayalam" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%82%E0%A4%97" title="रिंग – Marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="रिंग" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="Marathi" class="interlanguage-link-target">मराठी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Gelanggang_(matematik)" title="Gelanggang (matematik) – Malaiisch" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Gelanggang (matematik)" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="Malaiisch" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Ring_(wiskunde)" title="Ring (wiskunde) – Niederländisch" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Ring (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Niederländisch" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Ring_i_matematikk" title="Ring i matematikk – Norwegisch (Nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Ring i matematikk" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Norwegisch (Nynorsk)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Ring_(matematikk)" title="Ring (matematikk) – Norwegisch (Bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Ring (matematikk)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="Norwegisch (Bokmål)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nov mw-list-item"><a href="https://nov.wikipedia.org/wiki/Ringe_(matematike)" title="Ringe (matematike) – Novial" lang="nov" hreflang="nov" data-title="Ringe (matematike)" data-language-autonym="Novial" data-language-local-name="Novial" class="interlanguage-link-target">Novial</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Pier%C5%9Bcie%C5%84_(matematyka)" title="Pierścień (matematyka) – Polnisch" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Pierścień (matematyka)" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="Polnisch" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Anel" title="Anel – Piemontesisch" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Anel" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piemontesisch" class="interlanguage-link-target">Piemontèis</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Anel_(matem%C3%A1tica)" title="Anel (matemática) – Portugiesisch" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Anel (matemática)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="Portugiesisch" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Inel_(matematic%C4%83)" title="Inel (matematică) – Rumänisch" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Inel (matematică)" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="Rumänisch" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Кольцо (математика) – Russisch" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Кольцо (математика)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Russisch" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Aneddu_(matim%C3%A0tica)" title="Aneddu (matimàtica) – Sizilianisch" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Aneddu (matimàtica)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="Sizilianisch" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Algebarski_prsten" title="Algebarski prsten – Serbokroatisch" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Algebarski prsten" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="Serbokroatisch" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)" title="Ring (mathematics) – einfaches Englisch" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Ring (mathematics)" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="einfaches Englisch" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Okruh_(algebra)" title="Okruh (algebra) – Slowakisch" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Okruh (algebra)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Slowakisch" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Kolobar_(algebra)" title="Kolobar (algebra) – Slowenisch" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Kolobar (algebra)" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Slowenisch" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D1%80%D1%81%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BD" title="Алгебарски прстен – Serbisch" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Алгебарски прстен" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="Serbisch" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Ring_(matematik)" title="Ring (matematik) – Schwedisch" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Ring (matematik)" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="Schwedisch" 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