Chemisches Potential

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Chemisches Potential – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"a2e08dd4-5f0e-4ad7-978b-24b41beae1fd","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Chemisches_Potential","wgTitle":"Chemisches Potential","wgCurRevisionId":248916661,"wgRevisionId":248916661,"wgArticleId":443041,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"], "wgCategories":["Chemische Größe","Thermodynamische Zustandsgröße"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Chemisches_Potential","wgRelevantArticleId":443041,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":248916661,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":30000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage", "wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q737004","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready", "ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"></span> ist eine <a href="/wiki/Thermodynamische_Zustandsgr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Thermodynamische Zustandsgröße">thermodynamische Zustandsgröße</a>, die zur Analyse von <a href="/wiki/Heterogenes_System" title="Heterogenes System">heterogenen</a>, thermodynamischen Systemen von <a href="/wiki/Josiah_Willard_Gibbs" title="Josiah Willard Gibbs">Josiah Willard Gibbs</a> eingeführt wurde. Jeder Stoffkomponente (<a href="/wiki/Chemisches_Element" title="Chemisches Element">chemisches Element</a> oder <a href="/wiki/Chemische_Verbindung" title="Chemische Verbindung">chemische Verbindung</a>) einer jeden <a href="/wiki/Phase_(Materie)" title="Phase (Materie)">homogenen Phase</a> eines <a href="/wiki/Thermodynamisches_System" title="Thermodynamisches System">thermodynamischen Systems</a> ist ein chemisches Potential zugeordnet. Die Bedingungen für das thermodynamische Gleichgewicht und die <a href="/wiki/St%C3%B6chiometrie" title="Stöchiometrie">stöchiometrischen Bilanzen</a> bei chemischen Stoffumwandlungen führen auf lineare Gleichungen zwischen den chemischen Potentialen. Diese Gleichungen ermöglichen die Bestimmung der verschiedenen Stoffanteile in den einzelnen Phasen (etwa bei der <a href="/wiki/Destillation" title="Destillation">Destillation</a>), die Berechnung der Druckdifferenz bei einer <a href="/wiki/Osmose" title="Osmose">Osmose</a>, die Bestimmung der <a href="/wiki/Gefrierpunktserniedrigung" title="Gefrierpunktserniedrigung">Gefrierpunktserniedrigung</a>, die Berechnung der <a href="/wiki/Gleichgewichtskonstante" class="mw-redirect" title="Gleichgewichtskonstante">Gleichgewichtskonstanten</a> von <a href="/wiki/Chemische_Reaktion" title="Chemische Reaktion">chemischen Reaktionen</a> und die Analyse der <a href="/wiki/Gibbssche_Phasenregel" title="Gibbssche Phasenregel">Koexistenz verschiedener Phasen</a>. Darüber hinaus kann für eine Einwirkung von außen auf eine Größe wie die Temperatur, den Druck oder einen Stoffmengenanteil mittels der chemischen Potentiale die spontane Entwicklungsrichtung des Systems zurück zu einem Gleichgewichtszustand ermittelt werden.<sup id="cite_ref-Gibbs_1_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-Gibbs_1-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-GWedlerPhysChemie_2_3_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-GWedlerPhysChemie_2_3-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Lucas_7_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-Lucas_7-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Anschauliche_Interpretation"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Anschauliche Interpretation</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Definition"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Definition</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Alternative_Formulierungen"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Alternative Formulierungen</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Chemisches_Gleichgewicht"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Chemisches Gleichgewicht</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Chemisches_Potential_in_der_statistischen_Thermodynamik"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Chemisches Potential in der statistischen Thermodynamik</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#Elektrochemisches_Potential"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Elektrochemisches Potential</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-7"><a href="#Werte"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Werte</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#Siehe_auch"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Siehe auch</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#Literatur"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">Literatur</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-10"><a href="#Weblinks"><span class="tocnumber">10</span> <span class="toctext">Weblinks</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-11"><a href="#Einzelnachweise"><span class="tocnumber">11</span> <span class="toctext">Einzelnachweise</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anschauliche_Interpretation">Anschauliche Interpretation</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Anschauliche Interpretation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Anschauliche Interpretation"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Das chemische Potential einer Komponente gibt die Änderung der inneren Energie eines Systems an, wenn sich die Teilchenzahl dieser Komponente ändert und dabei Volumen und Entropie konstant bleiben. Es beschreibt zum Beispiel die Änderung der inneren Energie pro zugesetzter Stoffmenge einer bestimmten Komponente oder die Änderung der inneren Energie, wenn eine Komponente während einer <a href="/wiki/Chemische_Reaktion" title="Chemische Reaktion">Reaktion</a> verbraucht wird. Das chemische Potential kann in Analogie zu anderen <a href="/wiki/Intensive_Gr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Intensive Größe">intensiven Zustandsgrößen</a> wie dem <a href="/wiki/Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a> gesehen werden. Der Druck beschreibt die Änderung der inneren Energie, wenn sich das <a href="/wiki/Volumen" title="Volumen">Volumen</a> ändert. Gleich wie der Druck ist das chemische Potential einer Komponente ein Maß für die verrichtete <a href="/wiki/Arbeit_(Physik)" title="Arbeit (Physik)">Arbeit</a>; statt mechanischer handelt es sich aber um chemische Arbeit. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Definition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Definition"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Das chemische Potential beschreibt die Änderung der in einem System gespeicherten Energie, wenn sich die Teilchenanzahl einer chemischen Spezies im System verändert. Um dies zu präzisieren, muss erst die in einem System gespeicherte Energie definiert werden. Dies geschieht durch die Änderung der <a href="/wiki/Innere_Energie" title="Innere Energie">inneren Energie</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} U}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d25429855f05fe5da1e4beadb321ed305633e4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.075ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} U}"></span> eines Systems. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q+\delta W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mi>δ</mi> <mi>Q</mi> <mo>+</mo> <mi>δ</mi> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q+\delta W}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1630062b4bff7d4ae50aa615509941fad0e0723f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.385ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q+\delta W}"></span></dd></dl> <p>Das bedeutet, dass sich die innere Energie ändert, wenn man Wärme hinzufügt oder abführt (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta Q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta Q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf715eece146c816847a8c5d56eae97798453d64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.887ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta Q}"></span>) oder das System Arbeit verrichtet oder Arbeit an ihm verrichtet wird (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta W}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/973e6b089758466f338610e76ab50fd4093efbc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.484ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta W}"></span>). Die Art der Arbeit kann dabei mechanischer, elektrischer oder chemischer Natur sein. Im Folgenden werden nur mechanische und chemische Arbeit betrachtet. Die mechanische Arbeit kann als <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -p\mathrm {d} V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -p\mathrm {d} V}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5313b6dc2ecb33faae59ccbd9748d0d5982717" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.057ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -p\mathrm {d} V}"></span> geschrieben werden. Komprimiert man ein System (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} V<0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>V</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} V<0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f1c76a9dd2b6630864c7041f79bb2eaa65ae3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.341ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} V<0}"></span>), so verrichtet man Arbeit am System und die gespeicherte Energie wird erhöht. Per Definition ist eine Erhöhung der gespeicherten Energie als positive Änderung der inneren Energie definiert. Die Änderung der gespeicherten Wärmeenergie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta Q=T\mathrm {d} S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mi>Q</mi> <mo>=</mo> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta Q=T\mathrm {d} S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513e46f237e84938b3101ff9482a8eabf708c9dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.413ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta Q=T\mathrm {d} S}"></span> ist über die Änderung der Entropie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"></span> im System definiert, wobei <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span> die Temperatur repräsentiert. Es folgt somit: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V+\delta W_{\text{chemisch}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>S</mi> <mo>−</mo> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>V</mi> <mo>+</mo> <mi>δ</mi> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>chemisch</mtext> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V+\delta W_{\text{chemisch}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79bdc0b54706f23b87dfc9fc2b7e17ae843fb96e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:30.498ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V+\delta W_{\text{chemisch}}}"></span></dd></dl> <p>Die chemischen Potentiale müssen sich nun im Term <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta W_{\text{chemisch}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>chemisch</mtext> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta W_{\text{chemisch}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3798781b92c9d242bdd0fe55b9982cd873e0147b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.967ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta W_{\text{chemisch}}}"></span> wiederfinden, da sie ja die Änderung der inneren Energie bei Verrichtung von chemischer Arbeit charakterisieren sollen. Da chemische Arbeit mit dem Ablaufen von chemischen Reaktionen verbunden ist, sei nun eine chemische Reaktion formuliert. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {A+B\longrightarrow C+D} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">B</mi> <mo stretchy="false">⟶</mo> <mi mathvariant="normal">C</mi> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {A+B\longrightarrow C+D} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc8f273046713f1a4789c065fe3b7f5eb9ddb7b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.619ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {A+B\longrightarrow C+D} }"></span></dd></dl> <p>Die Stoffe A und B werden dabei zu den Stoffen C und D umgesetzt, wobei chemische Arbeit verrichtet wird. Wenn die Reaktion freiwillig abläuft, erniedrigt sich die innere Energie des Systems, wohingegen die innere Energie des Systems erhöht wird, wenn die Reaktion erzwungen werden muss. Im ersten Fall verrichtet das System chemische Arbeit, im zweiten Fall wird chemische Arbeit an ihm verrichtet. Jedenfalls ändert sich die Teilchenanzahl jedes Stoffs im System beim Fortschreiten der Reaktion. Meist ist es gebräuchlich anstatt der Änderung der Teilchenanzahl <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} N_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} N_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/932f4bfd22162f7cc52e00ca4cd3bcfde870ee50" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.958ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} N_{i}}"></span>, die Änderung der Stoffmenge zu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} n_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} n_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc7e08f0268800efa7d45d5bff48ed1013c2c35" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.487ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} n_{i}}"></span> zu verwenden, wobei der Subskript <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"></span> den betrachteten Stoff bezeichnet. Da nun das chemische Potential die Änderung der inneren Energie pro umgesetzter Stoffmenge charakterisieren soll, ergibt sich für die chemische Arbeit: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta W_{\text{chemisch}}=\mu _{A}\mathrm {d} n_{A}+\mu _{B}\mathrm {d} n_{B}+\mu _{C}\mathrm {d} n_{C}+\mu _{D}\mathrm {d} n_{D}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>chemisch</mtext> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta W_{\text{chemisch}}=\mu _{A}\mathrm {d} n_{A}+\mu _{B}\mathrm {d} n_{B}+\mu _{C}\mathrm {d} n_{C}+\mu _{D}\mathrm {d} n_{D}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ea0469218cedb1c9ccdfae1b9b107d57a49cca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:49.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta W_{\text{chemisch}}=\mu _{A}\mathrm {d} n_{A}+\mu _{B}\mathrm {d} n_{B}+\mu _{C}\mathrm {d} n_{C}+\mu _{D}\mathrm {d} n_{D}}"></span></dd></dl> <p>Wenn nun <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"></span> verschiedene Reaktionspartner beteiligt sind, so ergibt sich für die Änderung der inneren Energie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V+\Sigma \mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}\!\quad .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mi>T</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>S</mi> <mo>−</mo> <mi>p</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>V</mi> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="1em" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V+\Sigma \mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}\!\quad .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baab0672c253932214ca89ed0027fb0f5d46415e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.642ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V+\Sigma \mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}\!\quad .}"></span></dd></dl> <p>Die innere Energie ist somit eine Funktion der Entropie, des Volumens sowie der Stoffmengen der Komponenten des Systems <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U(S,V,n_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U(S,V,n_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7bdd1632948bfd8882058e34c4e7d487af689a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.141ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U(S,V,n_{i})}"></span>. Das chemische Potential einer Komponente <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"></span> kann nun als <a href="/wiki/Partielle_Ableitung" title="Partielle Ableitung">partielle Ableitung</a> der inneren Energie nach seiner Stoffmenge definiert werden. Die anderen extensiven Zustandsgrößen wie die Entropie, das Volumen und die Stoffmengen der anderen Komponenten <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} n_{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} n_{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51fd9bf2d6a2fa0300e94c2cbbb293a18e9accef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.597ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} n_{j}}"></span> werden dabei konstant gehalten. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Rightarrow \mu _{i}:=\left({\frac {\partial U(S,V,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{S,V,n_{j\neq i}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">⇒</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>≠</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow \mu _{i}:=\left({\frac {\partial U(S,V,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{S,V,n_{j\neq i}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1852fd34b1dded0be8a9365a49762f1591b77f13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:32.412ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \Rightarrow \mu _{i}:=\left({\frac {\partial U(S,V,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{S,V,n_{j\neq i}}}"></span></dd></dl> <p>Somit ist gezeigt, dass das chemische Potential als Änderung der inneren Energie pro Änderung der Stoffmenge bzw. Teilchenanzahl definiert ist. </p><p>Diese Definition zeigt auch die Unterschiede zu anderen Potentialen, wie zum Beispiel dem <a href="/wiki/Elektrisches_Potential" title="Elektrisches Potential">elektrischen Potential</a> auf. Bei elektrischen Potential handelt es sich um die Stammfunktion des <a href="/wiki/Elektrisches_Feld" title="Elektrisches Feld">elektrischen Feldes</a>. Das chemische Potential ist jedoch die Ableitung eines thermodynamischen Potentials. Es ist in diesem Vergleich also analog zu einer Komponente des elektrischen Feldes. </p><p>Das chemische Potential eines Stoffs setzt sich aus einem <a href="/wiki/Ideales_Gas#Chemisches_Potential" title="Ideales Gas">idealen Anteil</a> und einem Wechselwirkungs-Anteil (excess) zusammen: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i}^{\text{ideal}}+\mu _{i}^{\text{excess}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>ideal</mtext> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>excess</mtext> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i}^{\text{ideal}}+\mu _{i}^{\text{excess}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca227be3204649feed3e2f6f13a1fc1fcac9e49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.789ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i}^{\text{ideal}}+\mu _{i}^{\text{excess}},}"></span></dd></dl> <p>wobei der ideale Anteil durch das chemische Potential eines idealen Gases gegeben ist. Gelegentlich wird auch die folgende Definition getroffen </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i}^{0}+\mu _{i}^{\text{ideal}}+\mu _{i}^{\text{excess}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>ideal</mtext> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>excess</mtext> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i}^{0}+\mu _{i}^{\text{ideal}}+\mu _{i}^{\text{excess}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513104c8eebc349dabe3821e7a51d700ecd9ac53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:25.086ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i}^{0}+\mu _{i}^{\text{ideal}}+\mu _{i}^{\text{excess}},}"></span></dd></dl> <p>wobei <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{i}^{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}^{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be55ee7dc29a04b3e1915731d402130bb2d8c39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.456ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}^{0}}"></span> das Standard chemische Potential der Teilchensorte <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"></span> ist. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Alternative_Formulierungen">Alternative Formulierungen</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Alternative Formulierungen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Alternative Formulierungen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Alternativ zur inneren Energie lassen sich auch andere <a href="/wiki/Thermodynamisches_Potential" title="Thermodynamisches Potential">thermodynamische Potentiale</a> definieren, die Auskunft darüber geben, ob eine chemische Reaktion freiwillig abläuft oder nicht. Im Falle der inneren Energie läuft eine chemische Reaktion freiwillig ab (das System gibt Energie an die Umgebung ab), wenn <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} U<0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>U</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} U<0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef08dcbbcdb52fca7b57eb99bb8485c2b20e42f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.336ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} U<0}"></span>. Dasselbe gilt für die <a href="/wiki/Enthalpie" title="Enthalpie">Enthalpie</a>, die <a href="/wiki/Freie_Energie" title="Freie Energie">freie Energie</a> sowie die <a href="/wiki/Freie_Enthalpie" class="mw-redirect" title="Freie Enthalpie">freie Enthalpie</a>. Diese thermodynamischen Potentiale werden durch sukzessive <a href="/wiki/Legendre-Transformation" title="Legendre-Transformation">Legendre-Transformationen</a> der inneren Energie gewonnen. Während dieser Variablentransformationen bleibt jedoch die Stoffmenge unberührt. Somit kann das chemische Potential einer Komponenten <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"></span> auch als partielle Ableitung der vorher genannten thermodynamischen Potentiale nach der Stoffmenge der Komponente <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"></span> definiert werden. Neben den Definitionen des chemischen Potentials der Komponente <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"></span> ist auch die Transformationsgleichung für das dementsprechende thermodynamische Potential gegeben. Beispielsweise wird die Enthalpie direkt aus der inneren Energie gewonnen. Wie man sieht, geht in keine Transformationsgleichung die Stoffmenge ein, wie vorhin bereits erwähnt wurde. Somit kann das chemische Potential wie folgt geschrieben werden: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{i}:=\left({\frac {\partial H(S,p,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{S,p,n_{j\neq i}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>≠</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}:=\left({\frac {\partial H(S,p,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{S,p,n_{j\neq i}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49089799745c2cfcf0a7e6653cf690afbf40f21c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:28.669ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}:=\left({\frac {\partial H(S,p,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{S,p,n_{j\neq i}}}"></span> aus der <a href="/wiki/Enthalpie" title="Enthalpie">Enthalpie</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H=U+pV}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mi>U</mi> <mo>+</mo> <mi>p</mi> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H=U+pV}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5d07861627786ff90e0d882a95bd4b36d2c710" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.742ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H=U+pV}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{i}:=\left({\frac {\partial F(T,V,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{T,V,n_{j\neq i}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>≠</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}:=\left({\frac {\partial F(T,V,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{T,V,n_{j\neq i}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91971e3a293241af6a0e586bf19f512bc1f41aed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:29.635ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}:=\left({\frac {\partial F(T,V,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{T,V,n_{j\neq i}}}"></span> aus der <a href="/wiki/Freie_Energie" title="Freie Energie">freien Energie</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F=U-TS}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mi>U</mi> <mo>−</mo> <mi>T</mi> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=U-TS}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c80d36ac52e52be78ce8bb9111b0fdf05378ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.598ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle F=U-TS}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{i}:=\left({\frac {\partial G(T,p,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{T,p,n_{j\neq i}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>≠</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}:=\left({\frac {\partial G(T,p,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{T,p,n_{j\neq i}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b8725a58c4fa156f19c2c5c917fdcda222f13ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:28.666ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}:=\left({\frac {\partial G(T,p,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{T,p,n_{j\neq i}}}"></span> aus der <a href="/wiki/Freie_Enthalpie" class="mw-redirect" title="Freie Enthalpie">freien Enthalpie</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=U+pV-TS}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mi>U</mi> <mo>+</mo> <mi>p</mi> <mi>V</mi> <mo>−</mo> <mi>T</mi> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=U+pV-TS}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3124fecdfd2403dd038dd3ee30a018011e302228" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.481ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G=U+pV-TS}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Chemisches_Gleichgewicht">Chemisches Gleichgewicht</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Chemisches Gleichgewicht" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Chemisches Gleichgewicht"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die chemischen Potentiale der Komponenten, die an einer chemischen Reaktion beteiligt sind, eignen sich auch zur Beschreibung des chemischen Gleichgewichtes. Zuerst sei die Bedingung für chemisches Gleichgewicht mit Hilfe der freien Enthalpie bei konstantem Druck und konstanter Temperatur formuliert: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathrm {d} G)_{T,p}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>G</mi> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathrm {d} G)_{T,p}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9673bfac84559427968cf931e1a5121268ee2ab1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.863ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (\mathrm {d} G)_{T,p}=0}"></span></dd></dl> <p>Eine chemische Reaktion im Gleichgewicht kann wie folgt formuliert werden: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{\mathrm {A} }\,\mathrm {A} +\nu _{\mathrm {B} }\,\mathrm {B} \rightleftharpoons \nu _{\mathrm {C} }\,\mathrm {C} +\nu _{\mathrm {D} }\,\mathrm {D} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> <mo class="MJX-variant" stretchy="false">⇌</mo> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{\mathrm {A} }\,\mathrm {A} +\nu _{\mathrm {B} }\,\mathrm {B} \rightleftharpoons \nu _{\mathrm {C} }\,\mathrm {C} +\nu _{\mathrm {D} }\,\mathrm {D} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c996d72ded14e0f98df83704e70c536eed2377e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.047ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \nu _{\mathrm {A} }\,\mathrm {A} +\nu _{\mathrm {B} }\,\mathrm {B} \rightleftharpoons \nu _{\mathrm {C} }\,\mathrm {C} +\nu _{\mathrm {D} }\,\mathrm {D} }"></span></dd></dl> <p>Die oben genannte Gleichgewichtsbedingung kann für diese Reaktion wie folgt formuliert werden: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{A}\mathrm {d} n_{A}+\mu _{B}\mathrm {d} n_{B}+\mu _{C}\mathrm {d} n_{C}+\mu _{D}\mathrm {d} n_{D}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{A}\mathrm {d} n_{A}+\mu _{B}\mathrm {d} n_{B}+\mu _{C}\mathrm {d} n_{C}+\mu _{D}\mathrm {d} n_{D}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e312375251bcb6ebbcd2efe56df776aba3859ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.175ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu _{A}\mathrm {d} n_{A}+\mu _{B}\mathrm {d} n_{B}+\mu _{C}\mathrm {d} n_{C}+\mu _{D}\mathrm {d} n_{D}=0}"></span></dd></dl> <p>Jede Änderung der Stoffmenge einer Komponente kann durch die Stoffmengenänderung einer anderen Komponente beschrieben werden. So kann die Änderung der Stoffmenge der Komponente A durch <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} n_{A}=-{\frac {\nu _{\mathrm {A} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}\mathrm {d} n_{D}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} n_{A}=-{\frac {\nu _{\mathrm {A} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}\mathrm {d} n_{D}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b752ee5bf8e44237291873a26b9b72fd258dc38" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:16.811ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} n_{A}=-{\frac {\nu _{\mathrm {A} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}\mathrm {d} n_{D}}"></span> ausgedrückt werden. Das negative Vorzeichen stammt daher, dass die Stoffmenge der Komponente A abnimmt wenn die Stoffmenge der Komponente D zunimmt. </p><p>Führt man dies nun für alle Terme durch so gelangt man zu: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(-\mu _{A}{\frac {\nu _{\mathrm {A} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}-\mu _{B}{\frac {\nu _{\mathrm {B} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}+\mu _{C}{\frac {\nu _{\mathrm {C} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}+\mu _{D}{\frac {\nu _{\mathrm {D} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}\right)\mathrm {d} n_{D}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(-\mu _{A}{\frac {\nu _{\mathrm {A} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}-\mu _{B}{\frac {\nu _{\mathrm {B} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}+\mu _{C}{\frac {\nu _{\mathrm {C} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}+\mu _{D}{\frac {\nu _{\mathrm {D} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}\right)\mathrm {d} n_{D}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5b950125a3390299697e93f036d2096c9aafc6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:48.194ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left(-\mu _{A}{\frac {\nu _{\mathrm {A} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}-\mu _{B}{\frac {\nu _{\mathrm {B} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}+\mu _{C}{\frac {\nu _{\mathrm {C} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}+\mu _{D}{\frac {\nu _{\mathrm {D} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}\right)\mathrm {d} n_{D}=0}"></span></dd></dl> <p>Da die Änderung der Stoffmenge der Komponente D nicht null sein kann, gelangt man durch Multiplikation mit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{\mathrm {D} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{\mathrm {D} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df1049b543183dc954e5999782e80fc3442019e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.636ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \nu _{\mathrm {D} }}"></span> zu folgender Gleichgewichtsbedingung: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\nu _{\mathrm {A} }\mu _{A}-\nu _{\mathrm {B} }\mu _{B}+\nu _{\mathrm {C} }\mu _{C}+\nu _{\mathrm {D} }\mu _{D}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\nu _{\mathrm {A} }\mu _{A}-\nu _{\mathrm {B} }\mu _{B}+\nu _{\mathrm {C} }\mu _{C}+\nu _{\mathrm {D} }\mu _{D}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82d2db76e79c2f27451b08a628e4765055469d52" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.577ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle -\nu _{\mathrm {A} }\mu _{A}-\nu _{\mathrm {B} }\mu _{B}+\nu _{\mathrm {C} }\mu _{C}+\nu _{\mathrm {D} }\mu _{D}=0}"></span></dd></dl> <p>Dies stellt eine wichtige Erkenntnis dar. Das chemische Gleichgewicht kann somit vollständig durch die chemischen Potentiale der Komponenten sowie durch deren Reaktionskoeffizienten beschrieben werden. Allgemein gilt bei chemischem Gleichgewicht: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma _{i,{\text{Produkte}}}\nu _{\mathrm {i} }\mu _{i}-\Sigma _{j,{\text{Edukte}}}\nu _{\mathrm {j} }\mu _{j}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Produkte</mtext> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Edukte</mtext> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">j</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma _{i,{\text{Produkte}}}\nu _{\mathrm {i} }\mu _{i}-\Sigma _{j,{\text{Edukte}}}\nu _{\mathrm {j} }\mu _{j}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aabcb173d6f94edfb55f92d476b32d8dc5e413f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:33.153ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Sigma _{i,{\text{Produkte}}}\nu _{\mathrm {i} }\mu _{i}-\Sigma _{j,{\text{Edukte}}}\nu _{\mathrm {j} }\mu _{j}=0}"></span></dd></dl> <p>Die Einsicht, dass sich das chemische Gleichgewicht mit Hilfe der chemischen Potentiale der Komponenten ausdrücken lässt ermöglicht die Formulierung der <a href="/wiki/Massenwirkungsgesetz" title="Massenwirkungsgesetz">Gleichgewichtskonstanten</a> für eine chemische Reaktion. Zuallererst muss dafür die Konzentrationsabhängigkeit des chemischen Potentials erarbeitet werden. Man erinnere sich erst, dass für die Änderung der freien Enthalpie im Gleichgewicht folgende Beziehung gilt: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} G=\Sigma \mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}\!\quad =0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="1em" /> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} G=\Sigma \mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}\!\quad =0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213ed6f9073381541dbd5bf8a3e01acdb051d523" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.168ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} G=\Sigma \mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}\!\quad =0}"></span></dd></dl> <p>Integriert man diese Gleichung und bildet anschließend das <a href="/wiki/Totales_Differential" title="Totales Differential">totale Differential</a>, so gelangt man zu folgendem Ausdruck<sup id="cite_ref-tanaka_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-tanaka-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} G=\Sigma \mu _{i}\mathrm {d} n_{i}+\Sigma n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} G=\Sigma \mu _{i}\mathrm {d} n_{i}+\Sigma n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/946645fbdbc7bb757696905a1f135fdf809b3d6b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.052ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} G=\Sigma \mu _{i}\mathrm {d} n_{i}+\Sigma n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=0}"></span></dd></dl> <p>Durch Vergleich mit dem totalen Differential der <a href="/wiki/Gibbs-Energie#Ableitungen_der_Gibbs-Energie" title="Gibbs-Energie">freien Enthalpie</a> erhält man: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma \mu _{i}\mathrm {d} n_{i}+\Sigma n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=-SdT+Vdp+\Sigma \mu _{i}\mathrm {d} n_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>S</mi> <mi>d</mi> <mi>T</mi> <mo>+</mo> <mi>V</mi> <mi>d</mi> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma \mu _{i}\mathrm {d} n_{i}+\Sigma n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=-SdT+Vdp+\Sigma \mu _{i}\mathrm {d} n_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7968c9feb961dda548ea5108d3e140951ba1bd92" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.051ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Sigma \mu _{i}\mathrm {d} n_{i}+\Sigma n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=-SdT+Vdp+\Sigma \mu _{i}\mathrm {d} n_{i}}"></span></dd></dl> <p>Unter der Annahme konstanter Temperatur vereinfacht sich diese Gleichung weiter zu: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=V\mathrm {d} p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=V\mathrm {d} p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2dd409cd9c9ba60dd5a25f1107a7558aa7071a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.714ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Sigma n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=V\mathrm {d} p}"></span></dd></dl> <p>Der Einfachheit halber sei angenommen, bei dem betrachteten System handle es sich um ein <a href="/wiki/Ideales_Gas" title="Ideales Gas">ideales Gas</a>, dessen Gesamtdruck sich aus den <a href="/wiki/Partialdruck" title="Partialdruck">Partialdrücken</a> der einzelnen Komponenten ergibt. Somit kann die letzte Gleichung nur für eine Komponente geschrieben werden: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}={\frac {n_{i}RT}{p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>R</mi> <mi>T</mi> </mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}={\frac {n_{i}RT}{p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9996a63155112c80083df45e36230802625366cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.479ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}={\frac {n_{i}RT}{p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}}"></span></dd></dl> <p>Integriert man nun diese Gleichung auf beiden Seiten von <a href="/wiki/Standardbedingungen" title="Standardbedingungen">Standardbedingungen</a> bis zu einem frei wählbaren Zustand, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{{\mu _{i}}^{o}}^{\mu _{i}}n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=\int _{{p}^{o}}^{p}{\frac {n_{i}RT}{p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>o</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>o</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>R</mi> <mi>T</mi> </mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{{\mu _{i}}^{o}}^{\mu _{i}}n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=\int _{{p}^{o}}^{p}{\frac {n_{i}RT}{p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345cec5a43406af4d950d84beb399ebc6a8128f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:27.089ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{{\mu _{i}}^{o}}^{\mu _{i}}n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=\int _{{p}^{o}}^{p}{\frac {n_{i}RT}{p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}}"></span></dd></dl> <p>so ergibt sich die Abhängigkeit des chemischen Potentials einer Komponente (siehe <a href="/wiki/Raoultsches_Gesetz" title="Raoultsches Gesetz">Raoultsches Gesetz</a>): </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{i}={\mu _{i}}^{o}+RT\ln \left({\frac {p_{i}}{{p_{i}}^{o}}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>o</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>R</mi> <mi>T</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>o</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}={\mu _{i}}^{o}+RT\ln \left({\frac {p_{i}}{{p_{i}}^{o}}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1304b9b93c7da8dad629077a032c0a999f7337a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.354ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}={\mu _{i}}^{o}+RT\ln \left({\frac {p_{i}}{{p_{i}}^{o}}}\right)}"></span></dd></dl> <p>Der Quotient im Logarithmus-Term kann als <a href="/wiki/Molenbruch" class="mw-redirect" title="Molenbruch">Molenbruch</a> des idealen Gases identifiziert werden. Sollen nun auch nicht ideale Wechselwirkungen wie bei realen Gasen oder Elektrolytlösungen mitberücksichtigt werden, so ist der Molenbruch durch die <a href="/wiki/Aktivit%C3%A4t_(Chemie)" title="Aktivität (Chemie)">Aktivität</a> zu ersetzen. Alternativ könnte man weiter oben auch mit einer Gasgleichung ansetzen die nicht ideales Verhalten berücksichtigt. Jedoch wird das schon im Falle der <a href="/wiki/Van-der-Waals-Gleichung" title="Van-der-Waals-Gleichung">Van-der-Waals-Gleichung</a> für reale Gase sehr kompliziert und man wählt daher die vorgestellte Herangehensweise. Somit kann man nun das chemische Potential einer Komponente in Abhängigkeit von der Aktivität <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.029ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{i}}"></span> anschreiben: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{i}={\mu _{i}}^{o}+RT\ln(a_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>o</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>R</mi> <mi>T</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}={\mu _{i}}^{o}+RT\ln(a_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba03e4c53683f129e778a619f9a377b52d8cdff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.937ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}={\mu _{i}}^{o}+RT\ln(a_{i})}"></span></dd></dl> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Chemical_Potential_as_Function_of_Activity_a.png" class="mw-file-description"><img alt="Das chemische Potenzial ist definiert bei idealen Bedingungen für eine Aktivität von a = 1.chemische Potenzial ist definiert bei idealen Bedingungen für eine Aktivität v" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Chemical_Potential_as_Function_of_Activity_a.png/220px-Chemical_Potential_as_Function_of_Activity_a.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Chemical_Potential_as_Function_of_Activity_a.png/330px-Chemical_Potential_as_Function_of_Activity_a.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d7/Chemical_Potential_as_Function_of_Activity_a.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="400" /></a><figcaption>Das Standard chemische Potenzial μ<sup>o</sup> ist definiert bei idealen Bedingungen für eine Aktivität a = 1. Dabei kann das chemische Potenzial μ positive, aber auch negative Werte annehmen.</figcaption></figure> <p>Eingangs wurde bereits die Erkenntnis gewonnen, dass das chemische Gleichgewicht durch die chemischen Potentiale und durch die Koeffizienten in der Reaktionsgleichung der Gleichgewichtsreaktion definiert ist. Setzt man den gewonnenen Ausdruck ein, der die Aktivität einer Komponenten berücksichtigt, so erhält man nach Umformen: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\Delta {G_{r}}^{o}=RT\ln \left({\frac {({a_{C}})^{\nu _{C}}({a_{D}})^{\nu _{D}}}{({a_{A}})^{\nu _{A}}({a_{B}})^{\nu _{B}}}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>o</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mi>T</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\Delta {G_{r}}^{o}=RT\ln \left({\frac {({a_{C}})^{\nu _{C}}({a_{D}})^{\nu _{D}}}{({a_{A}})^{\nu _{A}}({a_{B}})^{\nu _{B}}}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0feca8a7d4913f5cbabb75662de9f55fd0b9f9eb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:34.345ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle -\Delta {G_{r}}^{o}=RT\ln \left({\frac {({a_{C}})^{\nu _{C}}({a_{D}})^{\nu _{D}}}{({a_{A}})^{\nu _{A}}({a_{B}})^{\nu _{B}}}}\right)}"></span></dd></dl> <p>Der Term auf der linken Seite ist die freie Reaktionsenthalpie bei Standardbedingungen und beinhaltet alle <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mu _{i}}^{o}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>o</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mu _{i}}^{o}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c6bb0185132b1961f61e81133ac46dff31cb1c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.231ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mu _{i}}^{o}}"></span> Terme, die die chemischen Potentiale der Komponenten bei Standardbedingungen beschreiben. Die freie Reaktionsenthalpie bei Standardbedingungen ist konstant. Das heißt nun, dass auch der Quotient im Logarithmusterm konstant sein muss. Es handelt sich dabei um die <a href="/wiki/Gleichgewichtskonstante" class="mw-redirect" title="Gleichgewichtskonstante">Gleichgewichtskonstante</a> im chemischen <a href="/wiki/Massenwirkungsgesetz" title="Massenwirkungsgesetz">Massenwirkungsgesetz</a>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K={\frac {({a_{C}})^{\nu _{C}}({a_{D}})^{\nu _{D}}}{({a_{A}})^{\nu _{A}}({a_{B}})^{\nu _{B}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K={\frac {({a_{C}})^{\nu _{C}}({a_{D}})^{\nu _{D}}}{({a_{A}})^{\nu _{A}}({a_{B}})^{\nu _{B}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8642b74dae49059f19c3e5d482fa3e044068a40c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:19.689ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle K={\frac {({a_{C}})^{\nu _{C}}({a_{D}})^{\nu _{D}}}{({a_{A}})^{\nu _{A}}({a_{B}})^{\nu _{B}}}}}"></span></dd></dl> <p>Das chemische Gleichgewicht ist durch die chemischen Potentiale der Komponenten der Gleichgewichtsreaktion gegeben. Daraus kann das chemische Massenwirkungsgesetz abgeleitet werden. </p><p>Neben dem Massenwirkungsgetz lassen sich aus der Konzentrationsabhängigkeit des chemischen Potentials auch die <a href="/wiki/Diffusion" title="Diffusion">Diffusionsgesetze</a> für gelöste Teilchen sowie der Diffusionskoeffizient ableiten. Eine detaillierte Herleitung ist im Artikel <a href="/wiki/Diffusion" title="Diffusion">Diffusion</a> zu finden. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Chemisches_Potential_in_der_statistischen_Thermodynamik">Chemisches Potential in der statistischen Thermodynamik</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Chemisches Potential in der statistischen Thermodynamik" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Chemisches Potential in der statistischen Thermodynamik"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Bisher wurde das chemische Potential im Zusammenhang mit chemischen Reaktionen diskutiert. Das chemische Potential tritt aber auch in <a href="/wiki/Verteilungsfunktion" title="Verteilungsfunktion">Verteilungsfunktionen</a> auf, die die Energieverteilung von Teilchen beschreiben. Dabei handelt es sich um die <a href="/wiki/Fermi-Dirac-Statistik" title="Fermi-Dirac-Statistik">Fermi-Dirac-Statistik</a> sowie die <a href="/wiki/Bose-Einstein-Statistik" title="Bose-Einstein-Statistik">Bose-Einstein-Statistik</a>. Die Fermi-Dirac Statistik beschreibt die Verteilung von Elektronen auf eine Zustandsdichte in einem Festkörper. Formelmäßig ist die Fermi-Dirac Statistik wie folgt definiert: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(E)={\frac {1}{\exp {\left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}+1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>E</mi> <mo>−</mo> <mi>μ</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>T</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(E)={\frac {1}{\exp {\left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}+1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485d1ea3a0702f8e7fca062850d8e45769a39f1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:23.877ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle f(E)={\frac {1}{\exp {\left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}+1}}}"></span>,</dd></dl> <p>wobei <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(E)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(E)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3465496148d29e6543003de4cdbac8e9ce6beda7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.864ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(E)}"></span> die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Zustandes in Abhängigkeit von der Energie ist, während <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b90d21a1c8fb907fddab1caded3b7f1eeffe3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.607ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}"></span> die Boltzmann-Konstante, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span> die absolute Temperatur und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"></span> das chemische Potential des Elektrons ist (im folgenden Text wird abgekürzt nur mehr vom chemischen Potential gesprochen). In diesem Fall ist das chemische Potential die partielle Ableitung der <a href="/wiki/Freie_Energie" title="Freie Energie">freien Energie</a> nach der Teilchenanzahl <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"></span>. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu ={\frac {\partial F}{\partial N}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu ={\frac {\partial F}{\partial N}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35bc45884b807ef421bcf5eacbdfdd0dc7fe09f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.718ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mu ={\frac {\partial F}{\partial N}}}"></span></dd></dl> <p>Das chemische Potential charakterisiert dabei den Wendepunkt der Fermi-Verteilung. Die <a href="/wiki/Fermi-Energie" title="Fermi-Energie">Fermi-Energie</a> ist der Grenzwert des chemischen Potentials für 0 <a href="/wiki/Kelvin" title="Kelvin">Kelvin</a>. Häufig wird auch für höhere Temperaturen der Begriff Fermi-Energie an Stelle des chemischen Potentials verwendet, da die Temperaturabhängigkeit bei Raumtemperatur nicht sehr stark ausgeprägt ist. Eine physikalische Interpretation des chemischen Potentials ist hierbei analog zu der oben gegebenen. Es charakterisiert die Energie, die notwendig ist, um ein Elektron aus dem Festkörper zu entfernen. An diesem Beispiel ist auch ersichtlich, dass für diesen Fall das chemische Potential nicht die Einheit <a href="/wiki/Joule" title="Joule">Joule</a>/<a href="/wiki/Stoffmenge" title="Stoffmenge">Mol</a> trägt, sondern schlicht Joule. Beides ist zulässig, da die Einheit Mol nur eine definierte Teilchenanzahl darstellt. </p><p>In der Bose-Einstein Statistik tritt ebenfalls das chemische Potential auf. Sie dient zur Beschreibung der Besetzungswahrscheinlichkeit von Bosonen, die im Gegensatz zu Elektronen keine <a href="/wiki/Pauli-Prinzip" title="Pauli-Prinzip">Teilchenbeschränkung</a> pro Energiezustand haben. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(E)={\frac {1}{\exp {\left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}-1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>E</mi> <mo>−</mo> <mi>μ</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>T</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(E)={\frac {1}{\exp {\left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}-1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f086e2ea56a1d394227dbc96ec7959067110cd42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:23.877ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle f(E)={\frac {1}{\exp {\left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}-1}}}"></span></dd></dl> <p>Zu diesen Teilchen können auch Teilchen wie <a href="/wiki/Phonon" title="Phonon">Phononen</a> oder <a href="/wiki/Photonen" class="mw-redirect" title="Photonen">Photonen</a> gehören, für die keine Teilchenerhaltung notwendig ist wie zum Beispiel für Elektronen in einem Festkörper. Eine Konsequenz davon ist, dass das chemische Potential für diese Teilchen Null ist. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Elektrochemisches_Potential">Elektrochemisches Potential</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Elektrochemisches Potential" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Elektrochemisches Potential"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><i>Hauptartikel</i> <a href="/wiki/Elektrochemisches_Potential" title="Elektrochemisches Potential">Elektrochemisches Potential</a></dd></dl> <p>Eingangs wurde das chemische Potential mit Hilfe der inneren Energie definiert, wobei keine <a href="/wiki/Elektrische_Arbeit" class="mw-redirect" title="Elektrische Arbeit">elektrische Arbeit</a> berücksichtigt wurde. Tut man dies, so gelangt man zu folgendem Ausdruck für die Änderung der inneren Energie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V+\Sigma \mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}+\Sigma z_{i}F\phi \mathrm {d} n_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mi>T</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>S</mi> <mo>−</mo> <mi>p</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>V</mi> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>F</mi> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V+\Sigma \mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}+\Sigma z_{i}F\phi \mathrm {d} n_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6130ea8743742787a8d14c27b5016318c26f14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.072ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V+\Sigma \mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}+\Sigma z_{i}F\phi \mathrm {d} n_{i}}"></span></dd></dl> <p>Der letzte Term entspricht der elektrischen Arbeit, die nötig ist, um eine infinitesimale Stoffmenge eines geladenen Teilchens <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"></span> an einen Ort zu bringen, an dem das <a href="/wiki/Elektrisches_Potential" title="Elektrisches Potential">Elektrische Potential</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }"></span> vorherrscht. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"></span> ist dabei die <a href="/wiki/Faraday-Konstante" title="Faraday-Konstante">Faraday-Konstante</a> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c6e920bac39ad09fff4efef16254595091a1025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.881ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{i}}"></span> die <a href="/wiki/Oxidationszahl" title="Oxidationszahl">Oxidationszahl</a> des Teilchens <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"></span>. Diese abstrakte Definition kann man wie folgt beschreiben: Die elektrische Arbeit ist über die Gleichung <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{\text{elektrisch}}=QU}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>elektrisch</mtext> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{\text{elektrisch}}=QU}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45057556af43b97eedffed362079c5a7cecfe504" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.964ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle W_{\text{elektrisch}}=QU}"></span> definiert, wobei <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}"></span> die Ladung und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"></span> die elektrische Potentialdifferenz darstellen. Abhängig von der Richtung des elektrischen Feldes und der Ladung (positiv oder negativ) eines Teilchens muss man also Energie aufwenden, um ein geladenes Teilchens gegen eine elektrische Potentialdifferenz zu bewegen, oder sie wird frei, wenn das Teilchen durch die Potentialdifferenz beschleunigt wird. Dieser elektrische Arbeitsterm ist in die obige Gleichung eingefügt worden. Die Ladung kann für die infinitesimale Stoffmenge eines Teilchen durch <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{i}F\mathrm {d} n_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{i}F\mathrm {d} n_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ea98ec42779f68d8d12a03389e8fb4ff41437b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.109ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z_{i}F\mathrm {d} n_{i}}"></span> geschrieben werden. An Stelle einer Potentialdifferenz tritt das elektrische Potential <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }"></span>, wobei als Referenz das elektrische Potential in unendlicher Entfernung tritt und willkürlich Null gesetzt wird. Die Interpretation des elektrischen Arbeitsterms für ein Teilchen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"></span> kann nun folgendermaßen gegeben werden. Er entspricht der elektrischen Arbeit, die notwendig ist, um eine infinitesimale Stoffmenge eines elektrisch geladenen Teilchens von unendlicher Entfernung an einen Ort zu bringen, an dem das elektrische Potential <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }"></span> vorherrscht. </p><p>Mit dem zusätzlich eingefügten Term für die elektrische Arbeit wird die partielle Ableitung der inneren Energie nach der Stoffmenge einer Komponente zu: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {\partial U(S,V,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{S,V,n_{j\neq i}}=\mu _{i}+z_{i}F\phi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>≠</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>F</mi> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\partial U(S,V,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{S,V,n_{j\neq i}}=\mu _{i}+z_{i}F\phi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bb10921616bd77befd0832d52978cfc28e75ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:36.643ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\partial U(S,V,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{S,V,n_{j\neq i}}=\mu _{i}+z_{i}F\phi }"></span></dd></dl> <p>Diese partielle Ableitung ist nun als das elektrochemische Potential <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\mu }}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>μ</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\mu }}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb15d295215d393a369866b96e8611e0348c1092" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.316ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\mu }}_{i}}"></span> definiert: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\mu }}_{i}=\mu _{i}+z_{i}F\phi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>μ</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>F</mi> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\mu }}_{i}=\mu _{i}+z_{i}F\phi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c566024bba02786eee17b699373dade6a87e956" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.464ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\mu }}_{i}=\mu _{i}+z_{i}F\phi }"></span></dd></dl> <p>Das elektrochemische Potential tritt also an die Stelle des chemischen Potentials, wenn geladene Teilchen behandelt werden. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Werte">Werte</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Werte" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Werte"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die Werte des chemischen Potentials sind für Standardbedingungen (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=298{,}15\ \mathrm {K} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mn>298</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>15</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">K</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=298{,}15\ \mathrm {K} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f886f2b0902dde3bf0b8e9cb11b597676a9e7c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.583ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T=298{,}15\ \mathrm {K} }"></span>; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=101{,}325\ \mathrm {kPa} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mn>101,325</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=101{,}325\ \mathrm {kPa} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c28748954601956df8ba700b04e3fb55bedb112" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:16.532ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=101{,}325\ \mathrm {kPa} }"></span>) tabelliert, s. u. <a class="mw-selflink-fragment" href="#Weblinks">Weblinks</a>. </p><p>Ist das chemische Potential für einen bestimmten Zustand (z. B. Standardbedingungen) bekannt, so lässt es sich für Drücke und Temperaturen in der Umgebung dieses Zustandes in linearer Näherung berechnen: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\mu (T)&=\mu (T_{0})+\alpha \cdot (T-T_{0})\qquad {\text{bzw.}}\\\mu (p)&=\mu (p_{0})+\beta \cdot (p-p_{0})\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="2em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>bzw.</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mu (T)&=\mu (T_{0})+\alpha \cdot (T-T_{0})\qquad {\text{bzw.}}\\\mu (p)&=\mu (p_{0})+\beta \cdot (p-p_{0})\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc24ebae70535169dc6b6d29df016a2441f85037" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:38.32ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mu (T)&=\mu (T_{0})+\alpha \cdot (T-T_{0})\qquad {\text{bzw.}}\\\mu (p)&=\mu (p_{0})+\beta \cdot (p-p_{0})\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>mit </p> <ul><li>dem <b>Temperaturkoeffizienten</b> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =\left({\frac {\partial \mu }{\partial T}}\right)_{p,n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>μ</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =\left({\frac {\partial \mu }{\partial T}}\right)_{p,n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec5ce1703856fa7cbdfd39f33992693a37a2810d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:14.3ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha =\left({\frac {\partial \mu }{\partial T}}\right)_{p,n}}"></span></li> <li>der <b>Druckkoeffizienten</b> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =\left({\frac {\partial \mu }{\partial p}}\right)_{T,n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>μ</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>p</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =\left({\frac {\partial \mu }{\partial p}}\right)_{T,n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/162be05bd308633ed1f0cb38cdf582950a5e4d9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:14.24ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \beta =\left({\frac {\partial \mu }{\partial p}}\right)_{T,n}}"></span></li></ul> <p>Aus den <a href="/wiki/Maxwell-Beziehungen" class="mw-redirect" title="Maxwell-Beziehungen">Maxwell-Beziehungen</a> folgt, dass </p> <ul><li>der Temperaturkoeffizient gleich der negativen molaren Entropie ist:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {\partial \mu }{\partial T}}\right)_{p,n}=-\left({\frac {\partial S}{\partial n}}\right)_{T,p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>μ</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>T</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\partial \mu }{\partial T}}\right)_{p,n}=-\left({\frac {\partial S}{\partial n}}\right)_{T,p}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee480c6f6191e3b7e2143155c9d326ea2d323bd5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:24.369ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\partial \mu }{\partial T}}\right)_{p,n}=-\left({\frac {\partial S}{\partial n}}\right)_{T,p}}"></span></dd></dl> <p>und </p> <ul><li>der Druckkoeffizient gleich dem <a href="/wiki/Molares_Volumen" title="Molares Volumen">molaren Volumen</a>:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {\partial \mu }{\partial p}}\right)_{T,n}=\left({\frac {\partial V}{\partial n}}\right)_{T,p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>μ</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>p</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\partial \mu }{\partial p}}\right)_{T,n}=\left({\frac {\partial V}{\partial n}}\right)_{T,p}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4824dcb4465e353ab5a59015dac3829c478e7532" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:22.945ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\partial \mu }{\partial p}}\right)_{T,n}=\left({\frac {\partial V}{\partial n}}\right)_{T,p}}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Siehe auch" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Siehe auch"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Elektrochemisches_Potential" title="Elektrochemisches Potential">Elektrochemisches Potential</a></li> <li><a href="/wiki/Nernst-Gleichung" title="Nernst-Gleichung">Nernst-Gleichung</a></li> <li><a href="/wiki/Exzessgr%C3%B6%C3%9Fe" title="Exzessgröße">Exzessgröße</a></li> <li><a href="/wiki/Verteilungskoeffizient" title="Verteilungskoeffizient">Verteilungskoeffizient</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>J. Willard Gibbs: <i>The Scientific Papers of J. Willard Gibbs: Vol. I Thermodynamics.</i> Dover Publications, New York 1961.</li> <li>G. Job, F. Herrmann: <i>Chemical Potential – a quantity in search of recognition.</i> In: <i>Eur. J. Phys.</i> 27, 2006, S. 353–371 (<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1088/0143-0807%2F27%2F2%2F018">10.1088/0143-0807/27/2/018</a></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/publication/ejp/chem_pot_ejp.pdf">PDF</a>).</li> <li>Ulrich Nickel: <i>Lehrbuch der Thermodynamik. Eine anschauliche Einführung.</i> 3., überarbeitete Auflage. PhysChem, Erlangen 2019, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783937744070" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-937744-07-0</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.job-stiftung.de/index.php?id=11,0,0,1,0,0">Tabelle chemischer Potentiale und Temperaturkoeffizienten</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.job-stiftung.de/index.php?id=9,0,0,1,0,0">Das chemische Potential in Experimenten:</a> Schauversuche Marmorauflösung, Ammoniak-Springbrunnen, <a href="/wiki/Karbidlampe" title="Karbidlampe">Karbidlampe</a> (jeweils Versuchsanleitung und Video)</li> <li>Das chemische Potential für Reinstoffe ist gleich der molaren freien Enthalpie wie etwa tabelliert bei <a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Tabellensammlung_Chemie/_Thermodynamische_Daten" class="extiw" title="b:Tabellensammlung Chemie/ Thermodynamische Daten">(wikibooks) Thermodynamische Daten</a></li> <li>Video: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://av.tib.eu/media/15665">Chemisches Potential und formale Thermodynamik – Welche Parameter ändern die freie Enthalpie?</a></i>. Jakob Günter Lauth (SciFox) 2013, zur Verfügung gestellt von der <a href="/wiki/Technische_Informationsbibliothek" class="mw-redirect" title="Technische Informationsbibliothek">Technischen Informationsbibliothek</a> (TIB), <a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.5446/15665">10.5446/15665</a></span>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&veaction=edit&section=11" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Chemisches_Potential&action=edit&section=11" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-Gibbs_1-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Gibbs_1_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <a href="/wiki/Josiah_Willard_Gibbs" title="Josiah Willard Gibbs">Josiah Willard Gibbs</a>: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">On the Equilibrium of Heterogeneous Substances</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Transactions of the Connecticut Academy of Arts and Sciences</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>3</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>V</span>, 1878, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>108–248</span> (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.biodiversitylibrary.org/item/32295#page/128/mode/1up">biodiversitylibrary.org</a> [abgerufen am 27. April 2017]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Chemisches+Potential&rft.atitle=On+the+Equilibrium+of+Heterogeneous+Substances&rft.au=Josiah+Willard+Gibbs&rft.date=1878&rft.genre=journal&rft.issue=V&rft.jtitle=Transactions+of+the+Connecticut+Academy+of+Arts+and+Sciences&rft.pages=108-248&rft.volume=3" style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-GWedlerPhysChemie_2_3-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-GWedlerPhysChemie_2_3_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <a href="/wiki/Gerd_Wedler" title="Gerd Wedler">Gerd Wedler</a>, <a href="/wiki/Hans-Joachim_Freund_(Chemiker)" title="Hans-Joachim Freund (Chemiker)">Hans-Joachim Freund</a>: <cite style="font-style:italic">Lehrbuch der Physikalischen Chemie</cite>. 6. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2012, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783527329090" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-527-32909-0</a>, 2.3 Die Grundgleichungen der Thermodynamik, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>313–440</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Chemisches+Potential&rft.atitle=2.3+Die+Grundgleichungen+der+Thermodynamik&rft.au=Gerd+Wedler%2C+Hans-Joachim+Freund&rft.btitle=Lehrbuch+der+Physikalischen+Chemie&rft.date=2012&rft.edition=6&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783527329090&rft.pages=313-440&rft.place=Weinheim&rft.pub=Wiley-VCH" style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-Lucas_7-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Lucas_7_3-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <a href="/wiki/Klaus_Lucas" title="Klaus Lucas">Klaus Lucas</a>: <cite style="font-style:italic">Thermodynamik; Die Grundgesetze der Energie- und Stoffumwandlungen</cite>. 7. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2008, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783540686453" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-540-68645-3</a>, 7 Modellprozesse für Stoffumwandlungen, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>431–540</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Chemisches+Potential&rft.atitle=7+Modellprozesse+f%C3%BCr+Stoffumwandlungen&rft.au=Klaus+Lucas&rft.btitle=Thermodynamik%3B+Die+Grundgesetze+der+Energie-+und+Stoffumwandlungen&rft.date=2008&rft.edition=7&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783540686453&rft.pages=431-540&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-tanaka-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-tanaka_4-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <a href="/w/index.php?title=Tomoyasu_Tanaka&action=edit&redlink=1" class="new" title="Tomoyasu Tanaka (Seite nicht vorhanden)">Tomoyasu Tanaka</a>: <cite style="font-style:italic">Methods of Statistical Physics</cite>. 1. Auflage. Cambridge University Press, 2002, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9780521580564" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-0-521-58056-4</a>, 2 Thermodynamic Relations, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>42–44</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Chemisches+Potential&rft.atitle=2+Thermodynamic+Relations&rft.au=Tomoyasu+Tanaka&rft.btitle=Methods+of+Statistical+Physics&rft.date=2002&rft.edition=1&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9780521580564&rft.pages=42-44&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none"> </span></span> </li> </ol></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Chemisches_Potential&oldid=248916661">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Chemisches_Potential&oldid=248916661</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Chemische_Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Kategorie:Chemische Größe">Chemische Größe</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Thermodynamische_Zustandsgr%C3%B6%C3%9Fe" title="Kategorie:Thermodynamische Zustandsgröße">Thermodynamische Zustandsgröße</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Meine Werkzeuge</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Benutzerseite der IP-Adresse, von der aus du Änderungen durchführst">Nicht angemeldet</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n"><span>Diskussionsseite</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y"><span>Beiträge</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Chemisches+Potential" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. 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href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%96%E5%AD%A6%E5%8A%BF" title="化学势 – Chinesisch" lang="zh" hreflang="zh" data-title="化学势" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="Chinesisch" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%96%E5%AD%B8%E5%8B%A2" title="化學勢 – Kantonesisch" lang="yue" hreflang="yue" data-title="化學勢" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="Kantonesisch" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q737004#sitelinks-wikipedia" title="Links auf Artikel in anderen Sprachen bearbeiten" class="wbc-editpage">Links bearbeiten</a></span></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li 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Chemisches Potential – Wikipedia