CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="uk" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Інтеграл — Вікіпедія</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )ukwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","січень","лютий","березень","квітень","травень","червень","липень","серпень","вересень","жовтень","листопад","грудень"],"wgRequestId":"c7e698e9-c89d-4217-b0d5-87e3b7cebaff","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Інтеграл","wgTitle":"Інтеграл","wgCurRevisionId":43790377,"wgRevisionId":43790377,"wgArticleId":478858,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Вікіпедія:P373:використовується","Шаблон:Webarchive:посилання на Wayback Machine","Вікіпедія:Запити на переклад","Інтеграли","Математичний аналіз","Лінійні оператори в численні","Математична термінологія"], "wgPageViewLanguage":"uk","wgPageContentLanguage":"uk","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Інтеграл","wgRelevantArticleId":478858,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgRedirectedFrom":"Інтегрування","wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":3}}},"wgStableRevisionId":42893564,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"uk","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"uk"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":30000,"wgInternalRedirectTargetUrl":"/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB","wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage", "wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q80091","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.tmh.player.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init": "ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["mediawiki.action.view.redirect","ext.tmh.player","mediawiki.page.media","ext.scribunto.logs","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.CurIDLink","ext.gadget.collapserefs","ext.gadget.showContributorContent","ext.gadget.switcher","ext.gadget.edittop","ext.gadget.new-section","ext.gadget.newTopicOnTop","ext.gadget.MonobookToolbarStandard","ext.gadget.ProtectionIndicator","ext.gadget.Statistics","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints", "ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=ext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.tmh.player.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=uk&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Riemann_sum_convergence.png/1200px-Riemann_sum_convergence.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1200"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Riemann_sum_convergence.png/800px-Riemann_sum_convergence.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="800"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Riemann_sum_convergence.png/640px-Riemann_sum_convergence.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="640"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Інтеграл — Вікіпедія"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//uk.m.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Редагувати" href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Вікіпедія (uk)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//uk.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Вікіпедія — Atom-стрічка" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Інтеграл rootpage-Інтеграл skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Перейти до вмісту</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Сайт"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Головне меню" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Головне меню</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Головне меню</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">перемістити на бічну панель</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">сховати</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Навігація </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку [z]" accesskey="z"><span>Головна сторінка</span></a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%96%D1%97" title="Список поточних подій"><span>Поточні події</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Список останніх змін у цій вікі [r]" accesskey="r"><span>Нові редагування</span></a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8"><span>Нові сторінки</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D0%B8%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Переглянути випадкову сторінку [x]" accesskey="x"><span>Випадкова стаття</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Участь" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Участь" > <div class="vector-menu-heading"> Участь </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB_%D1%81%D0%BF%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B8" title="Про проєкт, про те, що Ви можете зробити, і що де шукати"><span>Портал спільноти</span></a></li><li id="n-tavern" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9A%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D0%BF%D0%B0" title="Місце для обговорення більшості питань"><span>Кнайпа</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0" title="Довідка з проєкту"><span>Довідка</span></a></li><li id="n-Сторінка-для-медіа" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D1%96%D0%B0"><span>Сторінка для медіа</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Вікіпедія" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-uk.svg" style="width: 7.5em; height: 1.375em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-uk.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D1%88%D1%83%D0%BA" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Шукати у Вікіпедії [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Пошук</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Пошук у Вікіпедії" aria-label="Пошук у Вікіпедії" autocapitalize="sentences" title="Шукати у Вікіпедії [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Спеціальна:Пошук"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Знайти</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Особисті інструменти"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Зовнішній вигляд"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Змінити зовнішній вигляд розміру, ширини та кольору сторінки" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Зовнішній вигляд" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Зовнішній вигляд</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_uk.wikipedia.org&uselang=uk" class=""><span>Пожертвувати</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81&returnto=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Пропонуємо створити обліковий запис і увійти в систему; однак, це не обов'язково" class=""><span>Створити обліковий запис</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D1%85%D1%96%D0%B4&returnto=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Заохочуємо Вас увійти в систему, але це необов'язково. [o]" accesskey="o" class=""><span>Увійти</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Більше опцій" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Особисті інструменти" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Особисті інструменти</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Меню користувача" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_uk.wikipedia.org&uselang=uk"><span>Пожертвувати</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81&returnto=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Пропонуємо створити обліковий запис і увійти в систему; однак, це не обов'язково"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Створити обліковий запис</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D1%85%D1%96%D0%B4&returnto=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Заохочуємо Вас увійти в систему, але це необов'язково. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Увійти</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Сторінки для редакторів, які не ввійшли в систему <a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0:%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF" aria-label="Дізнатися більше про редагування"><span>дізнатися більше</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%BA" title="Список редагувань, зроблених з цієї IP-адреси [y]" accesskey="y"><span>Внесок</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D0%BE%D1%94_%D0%BE%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Обговорення редагувань з цієї IP-адреси [n]" accesskey="n"><span>Обговорення</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Сайт"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Зміст" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Зміст</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">перемістити на бічну панель</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">сховати</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Вступ</div> </a> </li> <li id="toc-Невизначений_інтеграл" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Невизначений_інтеграл"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Невизначений інтеграл</span> </div> </a> <ul id="toc-Невизначений_інтеграл-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Інтегрування" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Інтегрування"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Інтегрування</span> </div> </a> <ul id="toc-Інтегрування-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Історія" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Історія"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Історія</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Історія-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Перемкнути підрозділ Історія</span> </button> <ul id="toc-Історія-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Інтеграл_у_давнину" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Інтеграл_у_давнину"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Інтеграл у давнину</span> </div> </a> <ul id="toc-Інтеграл_у_давнину-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ньютон_і_Лейбніц" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ньютон_і_Лейбніц"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Ньютон і Лейбніц</span> </div> </a> <ul id="toc-Ньютон_і_Лейбніц-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Формальні_визначення" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Формальні_визначення"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Формальні визначення</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Формальні_визначення-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Перемкнути підрозділ Формальні визначення</span> </button> <ul id="toc-Формальні_визначення-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Інтеграл_Рімана" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Інтеграл_Рімана"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Інтеграл Рімана</span> </div> </a> <ul id="toc-Інтеграл_Рімана-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Властивості" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Властивості"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Властивості</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Властивості-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Перемкнути підрозділ Властивості</span> </button> <ul id="toc-Властивості-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Лінійний_функціонал" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Лінійний_функціонал"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Лінійний функціонал</span> </div> </a> <ul id="toc-Лінійний_функціонал-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Адитивність_по_області" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Адитивність_по_області"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Адитивність по області</span> </div> </a> <ul id="toc-Адитивність_по_області-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Монотонність" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Монотонність"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>Монотонність</span> </div> </a> <ul id="toc-Монотонність-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Нормованість" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Нормованість"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.4</span> <span>Нормованість</span> </div> </a> <ul id="toc-Нормованість-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Головна_теорема_інтегрального_числення" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Головна_теорема_інтегрального_числення"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Головна теорема інтегрального числення</span> </div> </a> <ul id="toc-Головна_теорема_інтегрального_числення-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Узагальнення_визначеного_інтеграла" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Узагальнення_визначеного_інтеграла"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Узагальнення визначеного інтеграла</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Узагальнення_визначеного_інтеграла-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Перемкнути підрозділ Узагальнення визначеного інтеграла</span> </button> <ul id="toc-Узагальнення_визначеного_інтеграла-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Невласний_інтеграл" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Невласний_інтеграл"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>Невласний інтеграл</span> </div> </a> <ul id="toc-Невласний_інтеграл-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Кратний_інтеграл" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Кратний_інтеграл"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2</span> <span>Кратний інтеграл</span> </div> </a> <ul id="toc-Кратний_інтеграл-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Лінійний_інтеграл" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Лінійний_інтеграл"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.3</span> <span>Лінійний інтеграл</span> </div> </a> <ul id="toc-Лінійний_інтеграл-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Поверхневий_інтеграл" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Поверхневий_інтеграл"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.4</span> <span>Поверхневий інтеграл</span> </div> </a> <ul id="toc-Поверхневий_інтеграл-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Ширші_узагальнення" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ширші_узагальнення"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Ширші узагальнення</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Ширші_узагальнення-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Перемкнути підрозділ Ширші узагальнення</span> </button> <ul id="toc-Ширші_узагальнення-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Інтеграл_Лебега" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Інтеграл_Лебега"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.1</span> <span>Інтеграл Лебега</span> </div> </a> <ul id="toc-Інтеграл_Лебега-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Інтеграл_Даніелла" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Інтеграл_Даніелла"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.2</span> <span>Інтеграл Даніелла</span> </div> </a> <ul id="toc-Інтеграл_Даніелла-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Див._також" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Див._також"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Див. також</span> </div> </a> <ul id="toc-Див._також-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Джерела" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Джерела"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Джерела</span> </div> </a> <ul id="toc-Джерела-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Зміст" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Сховати/показати зміст" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Сховати/показати зміст</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Інтеграл</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Перейдіть до статті іншою мовою. Доступний у 92 мовах" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-92" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">92 мови</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8A%A0%E1%8C%A0%E1%88%AB%E1%89%83%E1%88%9A" title="አጠራቃሚ — амхарська" lang="am" hreflang="am" data-title="አጠራቃሚ" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="амхарська" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n" title="Integración — арагонська" lang="an" hreflang="an" data-title="Integración" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="арагонська" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84" title="تكامل — арабська" lang="ar" hreflang="ar" data-title="تكامل" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="арабська" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n" title="Integración — астурійська" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Integración" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="астурійська" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/%C4%B0nteqral" title="İnteqral — азербайджанська" lang="az" hreflang="az" data-title="İnteqral" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="азербайджанська" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AA%D9%82%D8%B1%D8%A7%D9%84" title="انتقرال — South Azerbaijani" lang="azb" hreflang="azb" data-title="انتقرال" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target"><span>تۆرکجه</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Интеграл — башкирська" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Интеграл" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="башкирська" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D1%8D%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Інтэграл — білоруська" lang="be" hreflang="be" data-title="Інтэграл" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="білоруська" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Интеграл — болгарська" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Интеграл" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="болгарська" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AF%E0%A7%8B%E0%A6%97%E0%A6%9C%E0%A7%80%E0%A6%95%E0%A6%B0%E0%A6%A3" title="যোগজীকরণ — бенгальська" lang="bn" hreflang="bn" data-title="যোগজীকরণ" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="бенгальська" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — боснійська" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Integral" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="боснійська" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="вибрана стаття"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3" title="Integració — каталонська" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Integració" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="каталонська" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%DB%95%D9%88%D8%A7%D9%88%DA%A9%D8%A7%D8%B1%DB%8C" title="تەواوکاری — центральнокурдська" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="تەواوکاری" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="центральнокурдська" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Integr%C3%A1l" title="Integrál — чеська" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Integrál" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="чеська" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Интеграл — чуваська" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Интеграл" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="чуваська" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Integryn" title="Integryn — валлійська" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Integryn" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="валлійська" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — німецька" lang="de" hreflang="de" data-title="Integral" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="німецька" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-diq mw-list-item"><a href="https://diq.wikipedia.org/wiki/%C4%B0ntegral" title="İntegral — Zazaki" lang="diq" hreflang="diq" data-title="İntegral" data-language-autonym="Zazaki" data-language-local-name="Zazaki" class="interlanguage-link-target"><span>Zazaki</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-dtp mw-list-item"><a href="https://dtp.wikipedia.org/wiki/Ponompuuvan" title="Ponompuuvan — Central Dusun" lang="dtp" hreflang="dtp" data-title="Ponompuuvan" data-language-autonym="Kadazandusun" data-language-local-name="Central Dusun" class="interlanguage-link-target"><span>Kadazandusun</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9F%CE%BB%CE%BF%CE%BA%CE%BB%CE%AE%CF%81%CF%89%CE%BC%CE%B1" title="Ολοκλήρωμα — грецька" lang="el" hreflang="el" data-title="Ολοκλήρωμα" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="грецька" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — англійська" lang="en" hreflang="en" data-title="Integral" data-language-autonym="English" data-language-local-name="англійська" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Integralo" title="Integralo — есперанто" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Integralo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="есперанто" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n" title="Integración — іспанська" lang="es" hreflang="es" data-title="Integración" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="іспанська" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Integraal" title="Integraal — естонська" lang="et" hreflang="et" data-title="Integraal" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="естонська" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="вибрана стаття"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — баскська" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Integral" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="баскська" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84" title="انتگرال — перська" lang="fa" hreflang="fa" data-title="انتگرال" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="перська" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Integraali" title="Integraali — фінська" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Integraali" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="фінська" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9gration_(math%C3%A9matiques)" title="Intégration (mathématiques) — французька" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Intégration (mathématiques)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="французька" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — галісійська" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Integral" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="галісійська" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gu mw-list-item"><a href="https://gu.wikipedia.org/wiki/%E0%AA%B8%E0%AA%82%E0%AA%95%E0%AA%B2%E0%AA%A8" title="સંકલન — гуджараті" lang="gu" hreflang="gu" data-title="સંકલન" data-language-autonym="ગુજરાતી" data-language-local-name="гуджараті" class="interlanguage-link-target"><span>ગુજરાતી</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hak mw-list-item"><a href="https://hak.wikipedia.org/wiki/Chit-f%C3%BBn-ho%CC%8Dk" title="Chit-fûn-ho̍k — хаккаська" lang="hak" hreflang="hak" data-title="Chit-fûn-ho̍k" data-language-autonym="客家語 / Hak-kâ-ngî" data-language-local-name="хаккаська" class="interlanguage-link-target"><span>客家語 / Hak-kâ-ngî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%9C" title="אינטגרל — іврит" lang="he" hreflang="he" data-title="אינטגרל" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="іврит" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%A8" title="समाकलन — гінді" lang="hi" hreflang="hi" data-title="समाकलन" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="гінді" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — хорватська" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Integral" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="хорватська" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ht mw-list-item"><a href="https://ht.wikipedia.org/wiki/Entegrasyon_(matematik)" title="Entegrasyon (matematik) — гаїтянська креольська" lang="ht" hreflang="ht" data-title="Entegrasyon (matematik)" data-language-autonym="Kreyòl ayisyen" data-language-local-name="гаїтянська креольська" class="interlanguage-link-target"><span>Kreyòl ayisyen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Integr%C3%A1l" title="Integrál — угорська" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Integrál" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="угорська" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BB%D5%B6%D5%BF%D5%A5%D5%A3%D6%80%D5%A1%D5%AC" title="Ինտեգրալ — вірменська" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Ինտեգրալ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="вірменська" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — індонезійська" lang="id" hreflang="id" data-title="Integral" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="індонезійська" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Integralo" title="Integralo — ідо" lang="io" hreflang="io" data-title="Integralo" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ідо" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Heildun" title="Heildun — ісландська" lang="is" hreflang="is" data-title="Heildun" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="ісландська" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale" title="Integrale — італійська" lang="it" hreflang="it" data-title="Integrale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="італійська" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%98%E1%83%9C%E1%83%A2%E1%83%94%E1%83%92%E1%83%A0%E1%83%90%E1%83%9A%E1%83%98" title="ინტეგრალი — грузинська" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ინტეგრალი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="грузинська" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kaa mw-list-item"><a href="https://kaa.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — каракалпацька" lang="kaa" hreflang="kaa" data-title="Integral" data-language-autonym="Qaraqalpaqsha" data-language-local-name="каракалпацька" class="interlanguage-link-target"><span>Qaraqalpaqsha</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Интеграл — казахська" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Интеграл" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="казахська" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%A2%E1%9E%B6%E1%9F%86%E1%9E%84%E1%9E%8F%E1%9F%81%E1%9E%80%E1%9F%92%E1%9E%9A%E1%9E%B6%E1%9E%9B" title="អាំងតេក្រាល — кхмерська" lang="km" hreflang="km" data-title="អាំងតេក្រាល" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="кхмерська" class="interlanguage-link-target"><span>ភាសាខ្មែរ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%85%E0%B2%A8%E0%B3%81%E0%B2%95%E0%B2%B2%E0%B2%A8%E0%B2%B6%E0%B2%BE%E0%B2%B8%E0%B3%8D%E0%B2%A4%E0%B3%8D%E0%B2%B0" title="ಅನುಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ — каннада" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಅನುಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="каннада" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%81%EB%B6%84" title="적분 — корейська" lang="ko" hreflang="ko" data-title="적분" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="корейська" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a href="https://ku.wikipedia.org/wiki/%C3%8Entegral" title="Întegral — курдська" lang="ku" hreflang="ku" data-title="Întegral" data-language-autonym="Kurdî" data-language-local-name="курдська" class="interlanguage-link-target"><span>Kurdî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Интеграл — киргизька" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Интеграл" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="киргизька" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Integrale" title="Integrale — латинська" lang="la" hreflang="la" data-title="Integrale" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="латинська" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — ломбардська" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Integral" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="ломбардська" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Integralas" title="Integralas — литовська" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Integralas" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="литовська" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Integr%C4%81lis" title="Integrālis — латиська" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Integrālis" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="латиська" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B8%E0%B4%AE%E0%B4%BE%E0%B4%95%E0%B4%B2%E0%B4%A8%E0%B4%82" title="സമാകലനം — малаялам" lang="ml" hreflang="ml" data-title="സമാകലനം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="малаялам" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Интеграл — монгольська" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Интеграл" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="монгольська" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%A8" title="संकलन — маратхі" lang="mr" hreflang="mr" data-title="संकलन" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="маратхі" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Kamiran" title="Kamiran — малайська" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Kamiran" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="малайська" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/L-Integral" title="L-Integral — мальтійська" lang="mt" hreflang="mt" data-title="L-Integral" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="мальтійська" class="interlanguage-link-target"><span>Malti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%A1%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%90%E1%80%AE%E1%80%82%E1%80%9B%E1%80%B1%E1%80%B8%E1%80%9B%E1%80%BE%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8" title="အင်တီဂရေးရှင်း — бірманська" lang="my" hreflang="my" data-title="အင်တီဂရေးရှင်း" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="бірманська" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Integraal" title="Integraal — нідерландська" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Integraal" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="нідерландська" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — норвезька (нюношк)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Integral" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="норвезька (нюношк)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Integrasjon" title="Integrasjon — норвезька (букмол)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Integrasjon" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="норвезька (букмол)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Integracion" title="Integracion — окситанська" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Integracion" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="окситанська" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Wajjummaa" title="Wajjummaa — оромо" lang="om" hreflang="om" data-title="Wajjummaa" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="оромо" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Ca%C5%82ka" title="Całka — польська" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Całka" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="польська" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%86%D9%B9%DB%8C%DA%AF%D8%B1%D9%84" title="انٹیگرل — Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="انٹیگرل" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — португальська" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Integral" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="португальська" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Integral%C4%83" title="Integrală — румунська" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Integrală" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="румунська" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Интеграл — російська" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Интеграл" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="російська" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Intiggrali" title="Intiggrali — сицилійська" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Intiggrali" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="сицилійська" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — шотландська" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Integral" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="шотландська" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — сербсько-хорватська" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Integral" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="сербсько-хорватська" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Integral" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Integr%C3%A1l" title="Integrál — словацька" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Integrál" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="словацька" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — словенська" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Integral" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="словенська" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Integrali" title="Integrali — албанська" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Integrali" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="албанська" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Интеграл — сербська" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Интеграл" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="сербська" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — сунданська" lang="su" hreflang="su" data-title="Integral" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="сунданська" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — шведська" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Integral" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="шведська" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Ukamilishaji_(hisabati)" title="Ukamilishaji (hisabati) — суахілі" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Ukamilishaji (hisabati)" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="суахілі" class="interlanguage-link-target"><span>Kiswahili</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%A4%E0%AF%8A%E0%AE%95%E0%AF%88%E0%AE%AF%E0%AF%80%E0%AE%9F%E0%AF%81" title="தொகையீடு — тамільська" lang="ta" hreflang="ta" data-title="தொகையீடு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="тамільська" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C" title="ปริพันธ์ — тайська" lang="th" hreflang="th" data-title="ปริพันธ์" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="тайська" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/%C4%B0ntegral" title="İntegral — турецька" lang="tr" hreflang="tr" data-title="İntegral" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="турецька" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Интеграл — татарська" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Интеграл" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="татарська" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%DA%A9%D8%A7%D9%85%D9%84" title="تکامل — урду" lang="ur" hreflang="ur" data-title="تکامل" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="урду" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — узбецька" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Integral" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="узбецька" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/Integral" title="Integral — Venetian" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Integral" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="Venetian" class="interlanguage-link-target"><span>Vèneto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/T%C3%ADch_ph%C3%A2n" title="Tích phân — вʼєтнамська" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Tích phân" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="вʼєтнамська" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wa mw-list-item"><a href="https://wa.wikipedia.org/wiki/Riveye" title="Riveye — валлонська" lang="wa" hreflang="wa" data-title="Riveye" data-language-autonym="Walon" data-language-local-name="валлонська" class="interlanguage-link-target"><span>Walon</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%AF%E5%88%86" title="积分 — китайська" lang="zh" hreflang="zh" data-title="积分" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="китайська" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Chek-hun" title="Chek-hun — південноміньська" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Chek-hun" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="південноміньська" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86" title="積分 — кантонська" lang="yue" hreflang="yue" data-title="積分" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="кантонська" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q80091#sitelinks-wikipedia" title="Редагувати міжмовні посилання" class="wbc-editpage">Редагувати посилання</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Простори назв"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Вміст статті [c]" accesskey="c"><span>Стаття</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F:%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" rel="discussion" title="Обговорення сторінки [t]" accesskey="t"><span>Обговорення</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Змінити варіант мови" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">українська</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Перегляди"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&stable=1"><span>Читати</span></a></li><li id="ca-current" class="collapsible selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&stable=0&redirect=no" title="Переглянути цю сторінку з неперевіреними змінами [v]" accesskey="v"><span>Неперевірені зміни</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit" title="Редагувати цю сторінку [v]" accesskey="v"><span>Редагувати</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit" title="Редагувати вихідний код сторінки [e]" accesskey="e"><span>Редагувати код</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=history" title="Журнал змін сторінки [h]" accesskey="h"><span>Переглянути історію</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Інструменти сторінки"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Інструменти" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Інструменти</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Інструменти</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">перемістити на бічну панель</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">сховати</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Більше опцій" > <div class="vector-menu-heading"> Дії </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&stable=1"><span>Читати</span></a></li><li id="ca-more-current" class="collapsible selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&stable=0&redirect=no"><span>Неперевірені зміни</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit" title="Редагувати цю сторінку [v]" accesskey="v"><span>Редагувати</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit" title="Редагувати вихідний код сторінки [e]" accesskey="e"><span>Редагувати код</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=history"><span>Переглянути історію</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Загальний </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%81%D1%8E%D0%B4%D0%B8/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Перелік усіх сторінок, які посилаються на цю сторінку [j]" accesskey="j"><span>Посилання сюди</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" rel="nofollow" title="Останні зміни на сторінках, на які посилається ця сторінка [k]" accesskey="k"><span>Пов'язані редагування</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8" title="Перелік спеціальних сторінок [q]" accesskey="q"><span>Спеціальні сторінки</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&oldid=43790377" title="Постійне посилання на цю версію цієї сторінки"><span>Постійне посилання</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=info" title="Додаткові відомості про цю сторінку"><span>Інформація про сторінку</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A6%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B0&page=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&id=43790377&wpFormIdentifier=titleform" title="Інформація про те, як цитувати цю сторінку"><span>Цитувати сторінку</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%2586%25D0%25BD%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25B3%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB"><span>Отримати вкорочену URL-адресу</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:QrCode&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%2586%25D0%25BD%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25B3%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB"><span>Завантажити QR-код</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Друк/експорт </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0&bookcmd=book_creator&referer=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB"><span>Створити книгу</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:DownloadAsPdf&page=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=show-download-screen"><span>Завантажити як PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&printable=yes" title="Версія цієї сторінки для друку [p]" accesskey="p"><span>Версія до друку</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> В інших проєктах </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Integration_(mathematics)" hreflang="en"><span>Вікісховище</span></a></li><li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikiquote mw-list-item"><a href="https://uk.wikiquote.org/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" hreflang="uk"><span>Вікіцитати</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q80091" title="Посилання на пов’язаний елемент сховища даних [g]" accesskey="g"><span>Елемент Вікіданих</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Інструменти сторінки"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Зовнішній вигляд"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Зовнішній вигляд</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">перемістити на бічну панель</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">сховати</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> <div id="mw-indicator-indicator-fr-review-status" class="mw-indicator"><indicator name="fr-review-status" class="mw-fr-review-status-indicator" id="mw-fr-revision-toggle"><span class="cdx-fr-css-icon-review--status--pending"></span><b>Очікує на перевірку</b></indicator></div> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"><span class="mw-redirectedfrom">(Перенаправлено з <a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F&redirect=no" class="mw-redirect" title="Інтегрування">Інтегрування</a>)</span><br /> <div id="mw-fr-revision-messages"><div id="mw-fr-revision-details" class="mw-fr-revision-details-dialog" style="display:none;"><div tabindex="0"></div><div class="cdx-dialog cdx-dialog--horizontal-actions"><header class="cdx-dialog__header cdx-dialog__header--default"><div class="cdx-dialog__header__title-group"><h2 class="cdx-dialog__header__title">Статус версії сторінки</h2><p class="cdx-dialog__header__subtitle">На цій сторінці показано неперевірені зміни</p></div><button class="cdx-button cdx-button--action-default cdx-button--weight-quiet
							cdx-button--size-medium cdx-button--icon-only cdx-dialog__header__close-button" aria-label="Закрити" onclick="document.getElementById("mw-fr-revision-details").style.display = "none";" type="submit"><span class="cdx-icon cdx-icon--medium
							cdx-fr-css-icon--close"></span></button></header><div class="cdx-dialog__body"><a class="external text" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&oldid=42893564&diff=cur">1 зміна</a> у цій версії <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%B0%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BB%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Вікіпедія:Патрулювання">очікує на перевірку</a>. <a class="external text" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&stable=1">Стабільну версію</a> було <a class="external text" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%96%D1%83%D1%80%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8&type=review&page=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB">перевірено</a> <i>26 червня 2024</i>.</div></div><div tabindex="0"></div></div></div></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="uk" dir="ltr"><div class="dablink noprint" style="font-style:italic; padding-left:2em;">У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_(%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F)" class="mw-disambig" title="Інтеграл (значення)">Інтеграл (значення)</a>.</div> <table class="infobox" cellspacing="2" data-name="Універсальна картка" style="width:23em; text-align:left; font-size:88%; line-height:1.5em"> <tbody><tr><td colspan="2" style="text-align:center;font-size:125%; font-weight:bold; background:#eaecf0">Інтеграл</td></tr> <tr><td colspan="2" style="text-align:center;"><span class="wikidata-claim" data-wikidata-property-id="P18" data-wikidata-claim-id="Q80091$0942e7ca-4fe5-dd04-42b3-11a9a7c5ac68"><span class="wikidata-snak wikidata-main-snak"><span typeof="mw:File/Frameless"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Riemann_sum_convergence.png" class="mw-file-description" title="Зображення"><img alt="Зображення" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Riemann_sum_convergence.png/280px-Riemann_sum_convergence.png" decoding="async" width="280" height="280" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Riemann_sum_convergence.png/420px-Riemann_sum_convergence.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Riemann_sum_convergence.png/560px-Riemann_sum_convergence.png 2x" data-file-width="1260" data-file-height="1260" /></a></span></span></span></td></tr> <tr><td colspan="2" style="text-align:center;"><span class="wikidata-claim" data-wikidata-property-id="P10" data-wikidata-claim-id="Q80091$b5bf047b-453f-aa93-17f0-95fb311a478e"><span class="wikidata-snak wikidata-main-snak"><span typeof="mw:File/Frameless"><span><video id="mwe_player_0" poster="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm/280px--Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm.jpg" controls="" preload="none" data-mw-tmh="" class="mw-file-element" width="280" height="158" data-durationhint="991" data-mwtitle="Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm" data-mwprovider="wikimediacommons"><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/4/4f/Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm/Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm.480p.vp9.webm" type="video/webm; codecs="vp9, opus"" data-transcodekey="480p.vp9.webm" data-width="854" data-height="480" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm" type="video/webm; codecs="vp9, opus"" data-width="1920" data-height="1080" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/4/4f/Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm/Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm.720p.vp9.webm" type="video/webm; codecs="vp9, opus"" data-transcodekey="720p.vp9.webm" data-width="1280" data-height="720" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/4/4f/Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm/Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm.1080p.vp9.webm" type="video/webm; codecs="vp9, opus"" data-transcodekey="1080p.vp9.webm" data-width="1920" data-height="1080" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/4/4f/Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm/Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm.144p.mjpeg.mov" type="video/quicktime" data-transcodekey="144p.mjpeg.mov" data-width="256" data-height="144" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/4/4f/Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm/Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm.240p.vp9.webm" type="video/webm; codecs="vp9, opus"" data-transcodekey="240p.vp9.webm" data-width="426" data-height="240" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/4/4f/Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm/Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm.360p.vp9.webm" type="video/webm; codecs="vp9, opus"" data-transcodekey="360p.vp9.webm" data-width="640" data-height="360" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/4/4f/Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm/Integralfunktion_und_integralfreier_Term_bestimmen.webm.360p.webm" type="video/webm; codecs="vp8, vorbis"" data-transcodekey="360p.webm" data-width="640" data-height="360" /></video></span></span></span></span></td></tr> <tr><th style="width:9em;">Досліджується в</th><td style=""> <span class="wikidata-claim" data-wikidata-property-id="P2579" data-wikidata-claim-id="Q80091$bd394693-41c7-f0a2-b14c-fe27729f0be4"><span class="wikidata-snak wikidata-main-snak"><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Інтегральне числення">інтегральне числення</a></span></span></td></tr> <tr><th style="width:9em;">Нотація</th><td style=""> <span class="wikidata-claim" data-wikidata-property-id="P913" data-wikidata-claim-id="Q80091$91c3922e-4117-2dae-937f-de9084112c81"><span class="wikidata-snak wikidata-main-snak"><a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0" title="Знак інтеграла">знак інтеграла</a></span></span></td></tr> <tr><th style="width:9em;">Підтримується Вікіпроєктом</th><td style=""> <span class="wikidata-claim" data-wikidata-property-id="P6104" data-wikidata-claim-id="Q80091$82D8815E-EA6E-4EAC-83CB-E741BFF54D42"><span class="wikidata-snak wikidata-main-snak"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%94%D0%BA%D1%82:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Вікіпедія:Проєкт:Математика">Вікіпедія:Проєкт:Математика</a></span></span></td></tr> <tr><th style="width:9em;">Команда TeX</th><td style=""> <span class="wikidata-claim" data-wikidata-property-id="P1993" data-wikidata-claim-id="Q80091$58e94969-43ac-7bb9-9e0f-2a6cd21863e1"><span class="wikidata-snak wikidata-main-snak">\int</span></span></td></tr> <tr><td colspan="2" style="text-align:center;background:#eaecf0"><span class="wikidata-claim" data-wikidata-property-id="P373" data-wikidata-claim-id="Q80091$75296264-4321-ca33-c8eb-7f0ccef82c52"><span class="wikidata-snak wikidata-main-snak"><b> <span typeof="mw:File"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Integration_(mathematics)" title="commons:Category:Integration (mathematics)"><img alt="CMNS:" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Integration_(mathematics)" class="extiw" title="commons:Category:Integration (mathematics)">Інтеграл</a> </b> у <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%B5" title="Вікісховище">Вікісховищі</a></span></span></td></tr> </tbody></table><table class="vertical-navbox nowraplinks plainlist" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0 0 1.0em 1.0em;background:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%"><tbody><tr><td style="padding-top:0.4em;line-height:1.2em">Вибрані статті із</td></tr><tr><th style="padding:0.2em 0.4em 0.2em;padding-top:0;font-size:145%;line-height:1.2em;padding-bottom:0.25em;"><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Математичний аналіз">Числення</a></th></tr><tr><td style="padding:0.3em 0.4em 0.3em;font-weight:bold;border-top: 1px solid #aaa; border-bottom: 1px solid #aaa;padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal;"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9B%D1%8F%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86%D0%B0" title="Формула Ньютона — Ляйбніца">Фундаментальна теорема</a></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43815798">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97_%D0%B2_%D1%82%D0%BE%D1%87%D1%86%D1%96" title="Границя функції в точці">Границя функції</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Неперервна функція">Неперервність</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A0%D0%BE%D0%BB%D0%BB%D1%8F" title="Теорема Ролля">Теорема Ролля</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%94_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Теорема про середнє значення">Теорема Лагранжа</a></li></ul> </div> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%83_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8E" title="Теорема про обернену функцію">Теорема про обернену функцію</a></li></ul></td></tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;;display:block;margin-top:0.65em;"><small style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Диференціальне числення">Диференціальне</a></small></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><table class="vertical-navbox nowraplinks" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0 0 1.0em 1.0em;background:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%;border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><th style="padding:0.1em"> Визначення</th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Похідна">Похідна</a> (<a href="/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D1%85" title="Таблиця похідних">Таблиця похідних</a>)</li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Диференціал (математика)">Диференціал</a></li></ul></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> Поняття</th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Нотація диференціювання">Нотація</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Друга похідна">Друга похідна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%82%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Третя похідна">Третя похідна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%96%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0" title="Підстановка">Підстановка змінних</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%8F%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Неявна функція">Неявна функція</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0" title="Теорема Тейлора">Теорема Тейлора</a></li></ul> </div></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D1%85" title="Таблиця похідних">Правила та тотожності</a></th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%96" class="mw-redirect" title="Правило суми при диференціюванні">Сума</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BA%D1%83" title="Правило добутку">Добуток</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%96" title="Правило частки при диференціюванні">Частка</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="Правило степеня при диференціюванні (ще не написана)">Степінь</a><sup class="noprint"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Power_rule" class="extiw" title="en:Power rule"><span title="Power rule — версія статті «Правило степеня при диференціюванні» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</span></a></sup></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%86%D1%96%D1%97_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9" title="Похідна композиції функцій">Складена функція</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%83_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8E" title="Теорема про обернену функцію">Обернена функція</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86%D0%B0" title="Загальне правило Лейбніца">Правило Лейбніца</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%A4%D0%B0%D0%B0_%D0%B4%D1%96_%D0%91%D1%80%D1%83%D0%BD%D0%BE" title="Формула Фаа ді Бруно">Формула Фаа ді Бруно</a></li></ul> </div></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><small style="font-size:110%;"><a class="mw-selflink selflink">Інтегральне</a></small></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><table class="vertical-navbox nowraplinks" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0 0 1.0em 1.0em;background:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%;border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B2" title="Таблиця інтегралів">Таблиця інтегралів</a></li></ul></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> Визначення</th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%96%D1%81%D0%BD%D0%B0" title="Первісна">Первісна</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Інтеграл</a> (<a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B2%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Невласний інтеграл">невласний</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%A0%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0" title="Інтеграл Рімана">Рімана</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0" title="Інтеграл Лебега">Лебега</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%A1%D1%82%D1%96%D0%BB%D1%82%D1%8C%D1%94%D1%81%D0%B0" title="Інтеграл Стілтьєса">Стілтьєса</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%94%D0%B0%D0%BD%D1%96%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0" title="Інтеграл Даніелла">Даніелла</a>)</li></ul></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> Інтегрування</th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8" title="Інтегрування частинами">частинами</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8&action=edit&redlink=1" class="new" title="Інтегрування дисками (ще не написана)">дисками</a><sup class="noprint"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Disc_integration" class="extiw" title="en:Disc integration"><span title="Disc integration — версія статті «Інтегрування дисками» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</span></a></sup></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Методи інтегрування">Методи інтегрування</a></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><small style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Ряд (математика)">Рядів</a></small></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><table class="vertical-navbox nowraplinks" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0 0 1.0em 1.0em;background:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%;border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4" title="Геометричний ряд">Геометричні</a> (<a href="/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%BE-%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%96%D1%8F" title="Арифметико-геометрична прогресія">Арифметично-геометричні</a>)</li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4" title="Гармонічний ряд">Гармонічні</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%96%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4" title="Знакопереміжний ряд">Знакопереміжні</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4" title="Степеневий ряд">Степеневі</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4" title="Біноміальний ряд">Біноміальні</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0" title="Ряд Тейлора">Тейлора</a></li></ul></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B8_%D0%B7%D0%B1%D1%96%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" title="Ознаки збіжності">Ознаки збіжності</a></th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BA%D1%96%D0%B2_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D1%83" title="Границя доданків ряду">Границя доданків</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%B0_%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Пряма ознака порівняння">Пряме порівняння</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Гранична ознака порівняння">Порівняння границь</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D0%B4%27%D0%90%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Ознака д'Аламбера">д'Аламбера</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D1%96" title="Радикальна ознака Коші">Радикальна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D1%96" title="Інтегральна ознака Маклорена — Коші">Інтегральна</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%B7%D0%B1%D1%96%D0%B6%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D1%96%D0%B2" title="Теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів">Теорема Лейбніца</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%81%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D1%96" title="Ознака стиснення Коші">Стиснення Коші</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D0%94%D1%96%D1%80%D1%96%D1%85%D0%BB%D0%B5" title="Ознака Діріхле">Діріхле</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D0%90%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D1%8F" title="Ознака Абеля">Абеля</a></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><small style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Векторне числення">Векторів</a></small></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><table class="vertical-navbox nowraplinks" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0 0 1.0em 1.0em;background:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%;border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%B4%D1%96%D1%94%D0%BD%D1%82" title="Градієнт">Градієнт</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Дивергенція (математика)">Дивергенція</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%80_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Ротор (математика)">Ротор</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80_%D0%9B%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B0" title="Оператор Лапласа">Оператор Лапласа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%B7%D0%B0_%D0%BD%D0%B0%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BA%D0%BE%D0%BC" title="Похідна за напрямком">Похідна за напрямком</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B8_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7%D1%83" title="Формули векторного аналізу">Формули</a></li></ul></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> Теореми</th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%B4%D1%96%D1%94%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Градієнтна теорема">Градієнтна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%93%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%B0" title="Теорема Гріна">Гріна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9E%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE" title="Формула Остроградського">Остроградського</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A1%D1%82%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B0" title="Теорема Стокса">Стокса</a></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><small style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B1%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%BE%D1%85_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D1%85" title="Числення багатьох змінних">Багатьох змінних</a></small></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><table class="vertical-navbox nowraplinks" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0 0 1.0em 1.0em;background:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%;border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><th style="padding:0.1em"> Формалізми</th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="Числення матриць (ще не написана)">Матриці</a><sup class="noprint"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus" class="extiw" title="en:Matrix calculus"><span title="Matrix calculus — версія статті «Числення матриць» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</span></a></sup></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Тензорний аналіз">Тензорний</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%88%D0%BD%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Зовнішня похідна">Зовнішня похідна</a></li></ul></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> Визначення</th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Часткова похідна">Часткова похідна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Багатократний інтеграл">Багатократний інтеграл</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Криволінійний інтеграл">Криволінійний інтеграл</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Поверхневий інтеграл">Поверхневий інтеграл</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D0%AF%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D1%96" title="Матриця Якобі">Якобіан</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D0%93%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B5" title="Матриця Гессе">Матриця Гессе</a></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><small style="font-size:110%;">Спеціалізоване</small></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%94%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Дробове числення">Дробове</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%96%D0%B2" title="Теорія випадкових процесів">Стохастичне</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%92%D0%B0%D1%80%D1%96%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Варіаційне числення">Варіаційне</a></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><small style="font-size:110%;">інше</small></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%86%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%8C" title="Історія обчислень">Історія</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Математичний аналіз">Математичний аналіз</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Нестандартний аналіз">Нестандартний аналіз</a></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td style="text-align:right;font-size:115%;padding-top: 0.6em;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43094501">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:88%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar a>span,.mw-parser-output .navbar a>abbr{text-decoration:inherit}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-переглянути"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:Calculus" title="Шаблон:Calculus"><abbr title="Переглянути цей шаблон">п</abbr></a></li><li class="nv-обговорити"><a href="/w/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%83:Calculus&action=edit&redlink=1" class="new" title="Обговорення шаблону:Calculus (ще не написана)"><abbr title="Обговорити цей шаблон">о</abbr></a></li><li class="nv-редагувати"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:EditPage/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:Calculus" title="Спеціальна:EditPage/Шаблон:Calculus"><abbr title="Редагувати цей шаблон">р</abbr></a></li></ul></div></td></tr></tbody></table> <p><b>Інтегра́л</b> (від <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BD%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0" title="Латинська мова">лат.</a> <i lang="la">integer</i> — цілий) — узагальнення поняття <a href="/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%B0" title="Сума">суми</a> нескінченного числа нескінченно малих доданків. Одне з найважливіших понять <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Математичний аналіз">математичного аналізу</a>, центральне поняття <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Інтегральне числення">інтегрального числення</a>, застосовується для розв'язання задач: </p> <ul><li>обчислення <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0" title="Площа">площі</a> під <a href="/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0" title="Крива">кривою</a>;</li> <li>пройденого <a href="/wiki/%D0%A8%D0%BB%D1%8F%D1%85_(%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Шлях (фізика)">шляху</a> за нерівномірного руху;</li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%81%D0%B0" title="Маса">маси</a> неоднорідного тіла, і таке інше;</li> <li>відновлення функції за її <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Похідна">похідною</a> (невизначений інтеграл).</li></ul> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Integral_example.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9f/Integral_example.svg/220px-Integral_example.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9f/Integral_example.svg/330px-Integral_example.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9f/Integral_example.svg/440px-Integral_example.svg.png 2x" data-file-width="420" data-file-height="420" /></a><figcaption>Визначений інтеграл дорівнює площі <a href="/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Криволінійна трапеція">криволінійної фігури</a>, обмеженої кривою</figcaption></figure> <p><b>Ви́значений інтегра́л</b> — у <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Математичний аналіз">математичному аналізі</a> це інтеграл <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функція (математика)">функції</a> з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB" title="Функціонал">функціоналом</a>, <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B5_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Лінійне відображення">лінійним</a> по підінтегральних <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функція (математика)">функціях</a> і <a href="/wiki/%D0%90%D0%B4%D0%B8%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Адитивність">адитивним</a> по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D1%80%D1%96%D0%B7%D0%BE%D0%BA" title="Відрізок">відрізок</a> <a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D1%81%D1%8C" title="Числова вісь">числової осі</a>. Геометричний зміст визначеного інтеграла — це <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0" title="Площа">площа</a> криволінійної фігури (<a href="/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Криволінійна трапеція">криволінійної трапеції</a>), обмеженої віссю <a href="/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%86%D0%B8%D1%81%D0%B0" title="Абсциса">абсцис</a>, двома вертикалями на краях відрізка і кривою <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97" title="Графік функції">графіка функції</a>. </p><p>Подальші узагальнення поняття дозволяють розширити його на кратні, поверхневі, об'ємні інтеграли, а також на інтеграли на об'єктах ширшої природи з <a href="/wiki/%D0%9C%D1%96%D1%80%D0%B0_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B8" title="Міра множини">мірою</a>. Існує кілька різновидів визначених інтегралів: <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%A0%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0" title="Інтеграл Рімана">інтеграл Рімана</a>, <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0" title="Інтеграл Лебега">інтеграл Лебега</a>, <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%A1%D1%82%D1%96%D0%BB%D1%82%D1%8C%D1%94%D1%81%D0%B0" title="Інтеграл Стілтьєса">інтеграл Стілтьєса</a>, <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%94%D0%B0%D0%BD%D1%96%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0" title="Інтеграл Даніелла">інтеграл Даніелла</a> тощо. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Невизначений_інтеграл"><span id=".D0.9D.D0.B5.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D0.BD.D0.B0.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B9_.D1.96.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB"></span>Невизначений інтеграл</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=1" title="Редагувати розділ: Невизначений інтеграл" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=1" title="Редагувати вихідний код розділу: Невизначений інтеграл"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="padding-left:20px"><i>Докладніше: <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Невизначений інтеграл">Невизначений інтеграл</a></i></div> <p>Нехай дано функцію <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"></span> — функцію дійсної змінної. <b>Неви́значеним інтегра́лом</b> функції <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"></span>, або <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%96%D1%81%D0%BD%D0%B0" title="Первісна">первісною</a>, називають таку функцію <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a82805d469cdfa7856c11d6ee756acd1dc7174" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.88ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x)}"></span>, <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Похідна">похідна</a> якої дорівнює <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"></span>, тобто, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'(x)=f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>F</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'(x)=f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5457591f5410f4bfe3b9c9fa2e50ae665fa2822c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.154ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F'(x)=f(x)}"></span>. Позначається це так: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}x=F(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> </mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}x=F(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578edb57c09deb6e4c0bebd0b6d85f4953862c98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.986ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}x=F(x)}"></span>. Слід зазначити, що первісна існує не для будь-якої функції. Легко бачити, що первісна існує для будь-якої неперервної функції. Оскільки похідні двох функцій, які відрізняються лише на <a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Стала інтегрування">сталу</a>, збігаються, під час обчислення невизначеного інтеграла додають невизначену сталу <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"></span>, наприклад </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int x^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {x^{3}}{3}}+C,\qquad \int \cos x\,{\rm {d}}x=\sin x+C.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> </mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mo>∫</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> </mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int x^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {x^{3}}{3}}+C,\qquad \int \cos x\,{\rm {d}}x=\sin x+C.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9c8560a40a81e3742fa6ae896ce7edb348eb1f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:47.921ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int x^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {x^{3}}{3}}+C,\qquad \int \cos x\,{\rm {d}}x=\sin x+C.}"></span> </p><p>Основна теорема диференціального та інтегрального числення, надає відомості про те, як визначені інтеграли можна обчислити за допомогою невизначених інтегралів. </p><p>З цього погляду, інтеграція та <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Диференціальне числення">диференціація</a>, є зворотними одна одній. На відміну від диференціювання, не існує простого алгоритму (чіткої послідовності дій) інтегрування, навіть елементарних функцій і <a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC" title="Алгоритм">алгоритму</a>, який охоплює всі можливі випадки. Інтегрування вимагає навченого вгадування, використання особливих перетворень (інтегрування підстановкою, <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8" title="Інтегрування частинами">інтегрування частинами</a>), пошуку <a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="Інтегральна таблиця (ще не написана)">інтегральної таблиці</a> або використання певного комп’ютерного <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BD%D0%B5_%D0%B7%D0%B0%D0%B1%D0%B5%D0%B7%D0%BF%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Програмне забезпечення">програмного забезпечення</a>. Інтегрування часто виконується лише приблизно, за допомогою <a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Чисельне інтегрування">чисельного інтегрування</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Інтегрування"><span id=".D0.86.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D1.83.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8F"></span>Інтегрування</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=2" title="Редагувати розділ: Інтегрування" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=2" title="Редагувати вихідний код розділу: Інтегрування"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:%D0%A7%D1%82%D0%BE_%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%90%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/%D0%A7%D1%82%D0%BE_%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%90%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F.gif/220px-%D0%A7%D1%82%D0%BE_%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%90%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F.gif" decoding="async" width="220" height="258" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c0/%D0%A7%D1%82%D0%BE_%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%90%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F.gif 1.5x" data-file-width="300" data-file-height="352" /></a><figcaption>Що таке інтеграл (анімація)</figcaption></figure> <p>Процес обчислення інтеграла називається <b>інтегрува́нням</b>. Ця дія, зазвичай використовується під час обчислення таких величин як <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0" title="Площа">площа</a>, <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%27%D1%94%D0%BC" title="Об'єм">об'єм</a>, <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%81%D0%B0" title="Маса">маса</a>, <a href="/wiki/%D0%97%D1%81%D1%83%D0%B2" class="mw-disambig" title="Зсув">зсув</a> тощо, коли задана <a href="/wiki/%D0%A8%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BA%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Швидкість">швидкість</a> або розподіл змін цієї величини до деякої іншої величини (розташування, час тощо). </p><p>Існує декілька різних визначень операції інтегрування, що відрізняються в технічних деталях. Проте всі вони сумісні, тобто будь-які два способи інтегрування, якщо їх можна застосувати до даної функції, дадуть той самий підсумок. </p><p>Інтегрування — операція, обернена до <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Похідна">диференціювання</a>, див. <a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9B%D1%8F%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86%D0%B0" title="Формула Ньютона — Ляйбніца">основна теорема аналізу</a>. У результаті невизначеного інтегрування виходить <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функція (математика)">функція</a>, яка називається <b><a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%96%D1%81%D0%BD%D0%B0" title="Первісна">первісною</a></b>. Першим інтегралом є <a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Число">число</a> (або, принаймні, незалежна від змінної інтегрування частина). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Історія"><span id=".D0.86.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D1.96.D1.8F"></span>Історія</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=3" title="Редагувати розділ: Історія" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=3" title="Редагувати вихідний код розділу: Історія"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Інтеграл_у_давнину"><span id=".D0.86.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB_.D1.83_.D0.B4.D0.B0.D0.B2.D0.BD.D0.B8.D0.BD.D1.83"></span>Інтеграл у давнину</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=4" title="Редагувати розділ: Інтеграл у давнину" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=4" title="Редагувати вихідний код розділу: Інтеграл у давнину"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Інтеграція простежується ще в давньому Єгипті, <i>приблизно</i> в <a href="/w/index.php?title=1800_%D0%B4%D0%BE_%D0%BD._%D0%B5.&action=edit&redlink=1" class="new" title="1800 до н. е. (ще не написана)">1800 до н. е.</a>. Першим відомим способом для розрахунку інтегралів, є <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%BF%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Метод вичерпування">метод вичерпування</a> <a href="/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%9A%D0%BD%D1%96%D0%B4%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B8%D0%B9" title="Евдокс Кнідський">Евдокса</a> (<i>приблизно</i> 370 до н. е.), який намагався обчислити площі та об'єми, розриваючи їх на нескінченну безліч частин, для яких площа або об'єм уже відомий. Цей метод був підхоплений і розвинутий <a href="/wiki/%D0%90%D1%80%D1%85%D1%96%D0%BC%D0%B5%D0%B4" title="Архімед">Архімедом</a>, і використовувався для розрахунку площ парабол і наближеного розрахунку площі круга. Подібні способи були розроблені незалежно, в Китаї в 3-му столітті н. е <a href="/wiki/%D0%9B%D1%8E_%D0%A5%D1%83%D0%B5%D0%B9" title="Лю Хуей">Лю Хуейєм</a>, який використовував їх для обчислення площі круга. Цей метод був згодом використаний <a href="/wiki/%D0%A6%D0%B7%D1%83_%D0%A7%D1%83%D0%BD%D1%87%D0%B6%D0%B8" title="Цзу Чунчжи">Цзу Чунчжи</a> для розрахунку об'єму сфери. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ньютон_і_Лейбніц"><span id=".D0.9D.D1.8C.D1.8E.D1.82.D0.BE.D0.BD_.D1.96_.D0.9B.D0.B5.D0.B9.D0.B1.D0.BD.D1.96.D1.86"></span>Ньютон і Лейбніц</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=5" title="Редагувати розділ: Ньютон і Лейбніц" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=5" title="Редагувати вихідний код розділу: Ньютон і Лейбніц"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Основне досягнення в галузі інтегрування відбулося в 17-му столітті з відкриттям <a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9B%D1%8F%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86%D0%B0" title="Формула Ньютона — Ляйбніца">фундаментальної теореми числення</a> (відомої як формула Ньютона — Ляйбніца) <a href="/wiki/%D0%86%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BA_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD" title="Ісаак Ньютон">Ньютоном</a> і <a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D1%82%D1%84%D1%80%D1%96%D0%B4_%D0%92%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86" title="Готфрід Вільгельм Лейбніц">Ляйбніцом</a>, незалежно один від одного. Теорема встановлює зв'язок між інтегруванням і диференціюванням. Зокрема, основоположна теорема числення, дозволила розв'язувати ширший клас задач. Ньютон і Ляйбніц створили комплексну математичну теорію, що є не менш важливим. Ця теорія має назву — числення нескінченно малих величин, і дозволила здійснювати точний аналіз безперервних функцій. Ці засадничі роботи, зрештою стали сучасним <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%82%D0%B0_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Диференціальне та інтегральне числення">численням</a>, у якому була використана <a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Нотація">нотація</a> для інтегралів, що безпосередньо спирається на роботи Лейбніца. </p><p>Знак інтеграла (∫) був уперше використаний <a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D1%82%D1%84%D1%80%D1%96%D0%B4_%D0%92%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86" title="Готфрід Вільгельм Лейбніц">Ляйбніцом</a> наприкінці <a href="/wiki/XVII_%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%96%D1%82%D1%82%D1%8F" title="XVII століття">XVII століття</a>. Це позначення, утворилося з букви ſ (<a href="/wiki/S_(%D0%BB%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8F)" title="S (латиниця)">«довга s»</a>) — скорочення слова <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BD%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0" title="Латинська мова">лат.</a> <i lang="la">ſumma</i> (summa, сума). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Формальні_визначення"><span id=".D0.A4.D0.BE.D1.80.D0.BC.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.96_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D0.BD.D0.B0.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F"></span>Формальні визначення</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=6" title="Редагувати розділ: Формальні визначення" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=6" title="Редагувати вихідний код розділу: Формальні визначення"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43954397/mw-parser-output/.tmulti">.mw-parser-output .tmulti .multiimageinner{display:flex;flex-direction:column}.mw-parser-output .tmulti .trow{display:flex;flex-direction:row;clear:left;flex-wrap:wrap;width:100%;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .tmulti .tsingle{margin:1px;float:left}.mw-parser-output .tmulti .theader{clear:both;font-weight:bold;text-align:center;align-self:center;background-color:transparent;width:100%}.mw-parser-output .tmulti .thumbcaption{background-color:transparent}.mw-parser-output .tmulti .text-align-left{text-align:left}.mw-parser-output .tmulti .text-align-right{text-align:right}.mw-parser-output .tmulti .text-align-center{text-align:center}@media all and (max-width:720px){.mw-parser-output .tmulti .thumbinner{width:100%!important;box-sizing:border-box;max-width:none!important;align-items:center}.mw-parser-output .tmulti .trow{justify-content:center}.mw-parser-output .tmulti .tsingle{float:none!important;max-width:100%!important;box-sizing:border-box;text-align:center}.mw-parser-output .tmulti .tsingle .thumbcaption{text-align:left}.mw-parser-output .tmulti .trow>.thumbcaption{text-align:center}}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .tmulti .multiimageinner img{background-color:white}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .tmulti .multiimageinner img{background-color:white}}</style><div class="thumb tmulti tright"><div class="thumbinner multiimageinner" style="width:204px;max-width:204px"><div class="trow"><div class="tsingle" style="width:202px;max-width:202px"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Integral_Riemann_sum.png" class="mw-file-description"><img alt="Приклад наближення за допомогою інтеграла Рімана" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Integral_Riemann_sum.png/200px-Integral_Riemann_sum.png" decoding="async" width="200" height="200" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Integral_Riemann_sum.png/300px-Integral_Riemann_sum.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Integral_Riemann_sum.png/400px-Integral_Riemann_sum.png 2x" data-file-width="1260" data-file-height="1260" /></a></span></div><div class="thumbcaption"><div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">Приклад інтеграла з нерівномірним розділенням (найбільша ділянка відмічена червоним)</div></div></div></div><div class="trow"><div class="tsingle" style="width:202px;max-width:202px"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Riemann_sum_convergence.png" class="mw-file-description"><img alt="Збіжність ріманової суми" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Riemann_sum_convergence.png/200px-Riemann_sum_convergence.png" decoding="async" width="200" height="200" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Riemann_sum_convergence.png/300px-Riemann_sum_convergence.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Riemann_sum_convergence.png/400px-Riemann_sum_convergence.png 2x" data-file-width="1260" data-file-height="1260" /></a></span></div><div class="thumbcaption"><div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">Збіжність ріманової суми</div></div></div></div></div></div> <p>Існує багато способів формального визначення інтеграла, і не всі з них є еквівалентними один одному. Існують відмінності, що переважно пов'язані з різними особливими випадками, які можуть бути не інтегровані в межах якихось визначень. Найбільш поширеними й загальними визначеннями інтеграла є ітеграл Рімана та <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0" title="Інтеграл Лебега">інтеграл Лебега</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Інтеграл_Рімана"><span id=".D0.86.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB_.D0.A0.D1.96.D0.BC.D0.B0.D0.BD.D0.B0"></span>Інтеграл Рімана</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=7" title="Редагувати розділ: Інтеграл Рімана" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=7" title="Редагувати вихідний код розділу: Інтеграл Рімана"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="padding-left:20px"><i>Докладніше: <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%A0%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0" title="Інтеграл Рімана">Інтеграл Рімана</a></i></div> <p>Інтеграл Рімана — найпростіший з визначених інтегралів, є <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8F" title="Границя">границею</a> інтегральної <a href="/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%A0%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0" title="Сума Рімана">суми</a>. Для функції однієї змінної <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"></span>, визначеній на <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D1%80%D1%96%D0%B7%D0%BE%D0%BA" title="Відрізок">відрізку</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}"></span> та певного розбиття <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span> цього відрізка на відрізки <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7138606cdb8eb7dddaba59b5aefe1ade6bc05a1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.687ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}"></span> інтегральна сума визнається як </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{x}=\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo movablelimits="false">∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>ξ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{x}=\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8fd29fd8c0bd49ea9161b7ef988bc0cd8dcb945" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:18.958ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{x}=\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}},}"></span></dd></dl> <p>де <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}\leq \xi _{i}\leq x_{i+1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <msub> <mi>ξ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}\leq \xi _{i}\leq x_{i+1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8dd3a83817819c6b3ea340cddc8f1ef622baec4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.374ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{i}\leq \xi _{i}\leq x_{i+1}}"></span> — будь-яка точка з відрізка. </p><p>Якщо існує границя таких сум за прямування найбільшої довжини відрізка <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7138606cdb8eb7dddaba59b5aefe1ade6bc05a1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.687ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}"></span> до нуля, то функція <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"></span> називається <i>інтегрованою</i>, а границя інтегральної суми називається <i>інтегралом Рімана функції на відрізку</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}"></span> і позначається </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)dx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)dx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e409d1e2f5d95cafe4eb296f35641424bf2c2821" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.022ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)dx}"></span>.</dd></dl> <p>Інтеграл Рімана можна також визначити як границю <a href="/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B9_%D0%94%D0%B0%D1%80%D0%B1%D1%83" title="Критерій Дарбу">сум Дарбу</a>. </p><p>Інші визначення інтеграла розширюють клас інтегрованих функцій, залучаючи в них функції, для яких границі інтегральних сум не існує. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Властивості"><span id=".D0.92.D0.BB.D0.B0.D1.81.D1.82.D0.B8.D0.B2.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.96"></span>Властивості</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=8" title="Редагувати розділ: Властивості" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=8" title="Редагувати вихідний код розділу: Властивості"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Лінійний_функціонал"><span id=".D0.9B.D1.96.D0.BD.D1.96.D0.B9.D0.BD.D0.B8.D0.B9_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D1.96.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB"></span>Лінійний функціонал</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=9" title="Редагувати розділ: Лінійний функціонал" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=9" title="Редагувати вихідний код розділу: Лінійний функціонал"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>На певній області визначення <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"></span> інтеграл є <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0" title="Лінійна форма">лінійним функціоналом</a> на просторі функцій: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ~\int _{D}af=a\int _{D}f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mi>a</mi> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ~\int _{D}af=a\int _{D}f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d65bf00f658a44ce0ed6df2dec171d389ea12a83" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.015ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle ~\int _{D}af=a\int _{D}f}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ~\int _{D}f+g=\int _{D}f+\int _{D}g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ~\int _{D}f+g=\int _{D}f+\int _{D}g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d5e51a6b15d9ea6535620f84c08ba044b1e7d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.354ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle ~\int _{D}f+g=\int _{D}f+\int _{D}g}"></span></dd></dl> <p>тут <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ~f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ~f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/251645c6c2fea36650233d7d96be5a36805b508e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.859ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle ~f}"></span> і <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ~g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ~g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a88f238b8f736af84c5d04ef5f29863592f8c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.697ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle ~g}"></span> — функції, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ~a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ~a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af59fbebaa8b141e107c7517021e019aaf8b0d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.81ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle ~a}"></span> — число. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Адитивність_по_області"><span id=".D0.90.D0.B4.D0.B8.D1.82.D0.B8.D0.B2.D0.BD.D1.96.D1.81.D1.82.D1.8C_.D0.BF.D0.BE_.D0.BE.D0.B1.D0.BB.D0.B0.D1.81.D1.82.D1.96"></span>Адитивність по області</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=10" title="Редагувати розділ: Адитивність по області" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=10" title="Редагувати вихідний код розділу: Адитивність по області"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Якщо області <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"></span> та <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> не перетинаються (або «перетинаються в точці»), інтеграл по об'єднаній області <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D\cup E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo>∪</mo> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\cup E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b79eb096eee7cb8e90f7f7588ad2e78b10af6ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.282ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D\cup E}"></span> є сумою інтегралів по <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"></span> та <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ~\int _{D\cup E}f=\int _{D}f+\int _{E}f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> <mo>∪</mo> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ~\int _{D\cup E}f=\int _{D}f+\int _{E}f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9dc1b4c8d5ac035ea02654b7013bffb3270cfa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.807ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle ~\int _{D\cup E}f=\int _{D}f+\int _{E}f}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Монотонність"><span id=".D0.9C.D0.BE.D0.BD.D0.BE.D1.82.D0.BE.D0.BD.D0.BD.D1.96.D1.81.D1.82.D1.8C"></span>Монотонність</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=11" title="Редагувати розділ: Монотонність" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=11" title="Редагувати вихідний код розділу: Монотонність"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Якщо <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{n}(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{n}(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2746146c2ba2fbbe31925bb3a1eb6af968c7de94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.696ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{n}(x)}"></span> незростаюча послідовність (тобто <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{1}\geq \cdots \geq h_{k}\geq \cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>≥</mo> <mo>⋯</mo> <mo>≥</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>≥</mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{1}\geq \cdots \geq h_{k}\geq \cdots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ebc1d180bc9418c440f27c9e08202cb93a5b85" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.563ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{1}\geq \cdots \geq h_{k}\geq \cdots }"></span>) функцій, які збігаються до нуля для всіх <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> на області інтегрування, тоді <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int h_{n}\to 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int h_{n}\to 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e8b6b1252ed1e673fcad66360b05885510ef5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:9.915ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int h_{n}\to 0}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Нормованість"><span id=".D0.9D.D0.BE.D1.80.D0.BC.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D1.96.D1.81.D1.82.D1.8C"></span>Нормованість</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=12" title="Редагувати розділ: Нормованість" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=12" title="Редагувати вихідний код розділу: Нормованість"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Інтеграл сталої функції-константи <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ~f(x)=C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ~f(x)=C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee498711d8763ffad6296624bcbc70a5a4c5697c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.863ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ~f(x)=C}"></span> розраховується «як площа прямокутника» </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ~\int _{D}C=\mu (D)C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ~\int _{D}C=\mu (D)C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/932de0f1fb0a7d37e3882f610fd7a93d18e5b940" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.007ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle ~\int _{D}C=\mu (D)C}"></span></dd></dl> <p>де <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu (D)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu (D)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87918632606a42b3de45f6c52dba3418e276f0c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.135ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu (D)}"></span> — це «міра» області інтегрування, у простішому випадку просто довжина інтервалу, або ж «площа» області інтегрування. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Головна_теорема_інтегрального_числення"><span id=".D0.93.D0.BE.D0.BB.D0.BE.D0.B2.D0.BD.D0.B0_.D1.82.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BC.D0.B0_.D1.96.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F"></span>Головна теорема інтегрального числення</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=13" title="Редагувати розділ: Головна теорема інтегрального числення" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=13" title="Редагувати вихідний код розділу: Головна теорема інтегрального числення"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Якщо у функції <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"></span> на відрізку <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}"></span> існує <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%96%D1%81%D0%BD%D0%B0" title="Первісна">первісна</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a82805d469cdfa7856c11d6ee756acd1dc7174" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.88ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x)}"></span>, то </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be55b2e92702585d484ce962f477a84166b15492" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:30.289ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}"></span></dd></dl> <p>Ця формула називається <a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9B%D1%8F%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86%D0%B0" title="Формула Ньютона — Ляйбніца">формулою Ньютона — Ляйбніца</a>, або <i>основною формулою інтегрального числення</i>. Вона дає прикладний і зручний спосіб обчислення визначеного інтеграла за значеннями первісної на кінцях відрізка інтегрування. Багатовимірні інтеграли обчислюються за допомогою <a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B2_%D0%B4%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE&action=edit&redlink=1" class="new" title="Теорема про зведення кратних інтегралів до повторного (ще не написана)">теореми про зведення кратних інтегралів до повторного</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Узагальнення_визначеного_інтеграла"><span id=".D0.A3.D0.B7.D0.B0.D0.B3.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D0.BD.D0.B0.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D1.96.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB.D0.B0"></span>Узагальнення визначеного інтеграла</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=14" title="Редагувати розділ: Узагальнення визначеного інтеграла" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=14" title="Редагувати вихідний код розділу: Узагальнення визначеного інтеграла"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Невласний_інтеграл"><span id=".D0.9D.D0.B5.D0.B2.D0.BB.D0.B0.D1.81.D0.BD.D0.B8.D0.B9_.D1.96.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB"></span>Невласний інтеграл</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=15" title="Редагувати розділ: Невласний інтеграл" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=15" title="Редагувати вихідний код розділу: Невласний інтеграл"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="padding-left:20px"><i>Докладніше: <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B2%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Невласний інтеграл">Невласний інтеграл</a></i></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Improperintegral2.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Improperintegral2.png/250px-Improperintegral2.png" decoding="async" width="250" height="161" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Improperintegral2.png/375px-Improperintegral2.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Improperintegral2.png/500px-Improperintegral2.png 2x" data-file-width="1641" data-file-height="1056" /></a><figcaption>Інтеграл «першого роду» на необмеженій області визначення</figcaption></figure> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Improperintegral1.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Improperintegral1.png/250px-Improperintegral1.png" decoding="async" width="250" height="175" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Improperintegral1.png/375px-Improperintegral1.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Improperintegral1.png/500px-Improperintegral1.png 2x" data-file-width="1346" data-file-height="944" /></a><figcaption>Інтеграл «другого роду» від необмеженої функції</figcaption></figure> <p><i>Невласний інтеграл</i> є розширенням поняття визначеного інтеграла; він дозволяє в деяких випадках обраховувати «інтеграл на нескінченості» або «інтеграл від необмеженої функції». У <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Математичний аналіз">математичному аналізі</a> <i>невласним інтегралом</i> називають границю послідовності <a class="mw-selflink selflink">визначених інтегралів</a>, коли інтервал інтегрування збільшується до нескінченості, або коли інтервал наближається до особливої точки інтегрованої функції, де та йде в нескінченість. </p><p>Невласним інтегралом «першого роду» <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65719e60c0ffdcc0d06a3fb732c39d7b1ad1bc08" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:10.858ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}"></span> називається границя <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{A\to +\infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </munderover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{A\to +\infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9adbfa368d1c3875906199938f4bf3af558e5c77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:15.834ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \lim _{A\to +\infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx}"></span>, якщо вона існує. </p><p>Невласний інтеграл «другого роду» дозволяє в деяких випадках визначити «інтеграл від функції, необмеженої на інтервалі». А саме, нехай функція <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"></span> визначена на <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6969e731af335df071e247ee7fb331cd1a57ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.813ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b]}"></span>, і для кожного малого <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta >0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta >0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta >0}"></span> існують інтеграли <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \limits _{a+\delta }^{b}f(x)dx={I}(\delta )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>δ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </munderover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>I</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \limits _{a+\delta }^{b}f(x)dx={I}(\delta )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e4005d047ed6e1ea35921cc6313ffa9467d50c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; margin-left: -0.531ex; width:17.551ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle \int \limits _{a+\delta }^{b}f(x)dx={I}(\delta )}"></span>. Тоді якщо існує дійсна границя <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{\delta \to 0+0}I(\delta )=I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{\delta \to 0+0}I(\delta )=I}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d475e84987dcff323c258c1a3766dbd73d1ecb98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.994ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \lim _{\delta \to 0+0}I(\delta )=I}"></span>, то вона зветься невласним інтегралом «другого роду». </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Кратний_інтеграл"><span id=".D0.9A.D1.80.D0.B0.D1.82.D0.BD.D0.B8.D0.B9_.D1.96.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB"></span>Кратний інтеграл</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=16" title="Редагувати розділ: Кратний інтеграл" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=16" title="Редагувати вихідний код розділу: Кратний інтеграл"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="padding-left:20px"><i>Докладніше: <a href="/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Багатократний інтеграл">Багатократний інтеграл</a></i></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Volume_under_surface.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Volume_under_surface.png/200px-Volume_under_surface.png" decoding="async" width="200" height="240" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Volume_under_surface.png/300px-Volume_under_surface.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Volume_under_surface.png/400px-Volume_under_surface.png 2x" data-file-width="636" data-file-height="762" /></a><figcaption>Подвійний інтеграл як об'єм під поверхнею <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cbbbdddc4ec01dbf48aa308cc86dc3614aa39c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.626ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}"></span>. Прямокутна ділянка в основі тіла є областю інтегрування, а поверхня графіка функції двох змінних, буде інтегруватися</figcaption></figure> <p><i>Кратний інтеграл</i> або ж <i>багатократний інтеграл</i> <a href="/wiki/%D0%9F%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BE_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8F" title="Піднесення до степеня">степеня</a> <i>n</i>, це визначений інтеграл по <i>n</i> <a href="/wiki/%D0%97%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%B0" title="Змінна">змінних</a> з <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функція (математика)">функції</a> <i>n</i> змінних: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \int \int \cdots \int f(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots x_{n})\;dx_{1}\;dx_{2}\;dx_{3}\cdots \;dx_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mo>∫</mo> <mo>∫</mo> <mo>⋯</mo> <mo>∫</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \int \int \cdots \int f(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots x_{n})\;dx_{1}\;dx_{2}\;dx_{3}\cdots \;dx_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7b9af932bfb30d879cae5bc91336e07fb9133d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:53.075ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int \int \int \cdots \int f(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots x_{n})\;dx_{1}\;dx_{2}\;dx_{3}\cdots \;dx_{n}}"></span>.</dd></dl> <p>Кратний інтеграл — це саме визначений інтеграл, під час його обчислення завжди виходить число. </p><p>Окремі випадки багатократного інтеграла це: </p> <ul><li><a href="/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Багатократний інтеграл">подвійний інтеграл</a>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \int f(x,y)\;dx\;dy}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mo>∫</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \int f(x,y)\;dx\;dy}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb771f15f8f91d4cb7b2d7ef0ab4f8cc4ccea0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.976ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int \int f(x,y)\;dx\;dy}"></span></dd></dl></li> <li><a href="/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Багатократний інтеграл">потрійний інтеграл</a>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \int \int f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mo>∫</mo> <mo>∫</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>y</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \int \int f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b1746c33e974d46488a9bf1b2078d80071767b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:25.628ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int \int \int f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz}"></span></dd></dl></li></ul> <p>Для геометричної інтерпретації розглянемо випадок <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02c8bd752d2cc859747ca1f3a508281bdbc3b34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=2}"></span>. Нехай функція <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\left(x,y\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\left(x,y\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1429622bd4c3447c7ccd670bd5ae7da9e374f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.994ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\left(x,y\right)}"></span> приймає в області <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"></span> тільки додатні значення. Тоді подвійний інтеграл <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)d\sigma }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∬</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>σ</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)d\sigma }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ae9f44ec3e4a5056ee82b15cfeb1190a9661da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:13.734ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)d\sigma }}"></span> чисельно дорівнює об'єму <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"></span> вертикального циліндрового тіла, побудованого на основі <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"></span> і обмеженого зверху відповідним шматком поверхні <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=f\left(x,y\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=f\left(x,y\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1800c7dc5c25fb27566c7a74c1dc177b82d48ce2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.181ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z=f\left(x,y\right)}"></span>. </p><p>Головним методом для розрахунку кратного інтеграла є зведення кратного інтеграла до повторних. </p><p>Хай <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D\subset {{\mathbb {R} }^{d-1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo>⊂</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\subset {{\mathbb {R} }^{d-1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872db46593270cc6069be381530c78ef5c88469c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.893ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle D\subset {{\mathbb {R} }^{d-1}}}"></span> — вимірна множина, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=\left\{\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right):\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\in D;\varphi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\leq {{x}_{d}}\leq \psi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>:</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> <mo>;</mo> <mi>φ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>≤</mo> <mi>ψ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=\left\{\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right):\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\in D;\varphi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\leq {{x}_{d}}\leq \psi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b20c593c6b5edbf47beb294307ddf19bb2c18c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:80.886ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G=\left\{\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right):\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\in D;\varphi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\leq {{x}_{d}}\leq \psi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\right\}}"></span> — також вимірна множина, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\left(X\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\left(X\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9cfdf7ed803137c87dbdbdf38577d4abca390a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.455ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\left(X\right)}"></span> визначена й інтегрована на <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span>. Тоді </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \limits _{G}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}=\int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\varphi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{d}}}\right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>G</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>…</mo> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>φ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ψ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>…</mo> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \limits _{G}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}=\int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\varphi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{d}}}\right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841128308cdbee76830c4134531bbd0570057972" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; margin-left: -0.052ex; width:78.144ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle \int \limits _{G}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}=\int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\varphi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{d}}}\right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}}"></span>.</dd></dl> <p>Будь-який d-вимірний інтеграл можна звести до d одномірних. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Лінійний_інтеграл"><span id=".D0.9B.D1.96.D0.BD.D1.96.D0.B9.D0.BD.D0.B8.D0.B9_.D1.96.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB"></span>Лінійний інтеграл</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=17" title="Редагувати розділ: Лінійний інтеграл" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=17" title="Редагувати вихідний код розділу: Лінійний інтеграл"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="padding-left:20px"><i>Докладніше: <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Лінійний інтеграл">Лінійний інтеграл</a></i></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Поверхневий_інтеграл"><span id=".D0.9F.D0.BE.D0.B2.D0.B5.D1.80.D1.85.D0.BD.D0.B5.D0.B2.D0.B8.D0.B9_.D1.96.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB"></span>Поверхневий інтеграл</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=18" title="Редагувати розділ: Поверхневий інтеграл" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=18" title="Редагувати вихідний код розділу: Поверхневий інтеграл"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="padding-left:20px"><i>Докладніше: <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Поверхневий інтеграл">Поверхневий інтеграл</a></i></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ширші_узагальнення"><span id=".D0.A8.D0.B8.D1.80.D1.88.D1.96_.D1.83.D0.B7.D0.B0.D0.B3.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F"></span>Ширші узагальнення</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=19" title="Редагувати розділ: Ширші узагальнення" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=19" title="Редагувати вихідний код розділу: Ширші узагальнення"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Інтеграл_Лебега"><span id=".D0.86.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB_.D0.9B.D0.B5.D0.B1.D0.B5.D0.B3.D0.B0"></span>Інтеграл Лебега</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=20" title="Редагувати розділ: Інтеграл Лебега" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=20" title="Редагувати вихідний код розділу: Інтеграл Лебега"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="padding-left:20px"><i>Докладніше: <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0" title="Інтеграл Лебега">Інтеграл Лебега</a></i></div> <p>Інтеграл Лебега — це узагальнення інтеграла Рімана на ширший клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої та інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, водночас в такому разі, обидва інтеграли однакові. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку й інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також, інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах. </p><p>Задум побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Область визначення">області визначення</a> підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми зі значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D1%8C" title="Область значень">область значень</a>, а потім сумують з відповідними мірами, міри прообразів цих інтервалів. Важливо зазначити, що побудова інтеграла Лебега спирається на теорію <a href="/wiki/%D0%9C%D1%96%D1%80%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0" title="Міра Лебега">міри Лебега</a>. </p><p>Як узвичаєний приклад, розглянемо <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%94%D1%96%D1%80%D1%96%D1%85%D0%BB%D0%B5" title="Функція Діріхле">функцію Діріхле</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\equiv \mathbf {1} _{\mathbb {Q} _{[0,1]}}(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≡</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\equiv \mathbf {1} _{\mathbb {Q} _{[0,1]}}(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd57e5c9bfa1c63474d75ed25be1abe930dc060" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:16.115ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f(x)\equiv \mathbf {1} _{\mathbb {Q} _{[0,1]}}(x)}"></span>, задану на <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd7863f9f242e39e3ae4d6fc700564e82d4e3f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.575ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)}"></span>, де <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {B}}([0,1])}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {B}}([0,1])}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2035d78993071419aef7ec2b3f1b7df235173f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.005ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {B}}([0,1])}"></span> — <a href="/wiki/%D0%91%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%96%D0%B2%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D0%B3%D0%BC%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Борелівська сигма-алгебра">борелівська σ-алгебра</a> на <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1]}"></span>, а <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"></span> — <a href="/wiki/%D0%9C%D1%96%D1%80%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0" title="Міра Лебега">міра Лебега</a>. Ця функція прибирає значення <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"></span> в <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Раціональне число">раціональних точках</a> і <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"></span> в <a href="/wiki/%D0%86%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Ірраціональні числа">ірраціональних</a>. Легко побачити, що <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> не інтегровна в сенсі Рімана. Однак, вона є простою функцією на просторі зі скінченною мірою, бо приймає тільки два значення, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \limits _{[0,1]}f(x)\,m(dx)=1\cdot m(\mathbb {Q} _{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> </munder> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \limits _{[0,1]}f(x)\,m(dx)=1\cdot m(\mathbb {Q} _{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b409417796e82f19f61a6fb7f47f9b15e9ed2bfc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; margin-left: -0.391ex; width:69.719ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle \int \limits _{[0,1]}f(x)\,m(dx)=1\cdot m(\mathbb {Q} _{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.}"></span></dd></dl> <p>Дійсно, міра відрізка <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1]}"></span> дорівнює 1, і оскільки множина раціональних чисел <a href="/wiki/%D0%97%D0%BB%D1%96%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Зліченна множина">зліченна</a>, то його міра дорівнює 0, отже міра ірраціональних чисел дорівнює <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-0=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-0=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18e966afc08a3e145e6a6814432a29a88bda88d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.426ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1-0=1}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Інтеграл_Даніелла"><span id=".D0.86.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB_.D0.94.D0.B0.D0.BD.D1.96.D0.B5.D0.BB.D0.BB.D0.B0"></span>Інтеграл Даніелла</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=21" title="Редагувати розділ: Інтеграл Даніелла" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=21" title="Редагувати вихідний код розділу: Інтеграл Даніелла"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="padding-left:20px"><i>Докладніше: <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%94%D0%B0%D0%BD%D1%96%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0" title="Інтеграл Даніелла">Інтеграл Даніелла</a></i></div> <p>Одне з основних ускладнень у використанні відомого <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0" title="Інтеграл Лебега">інтеграла Лебега</a> полягає в тому, що його застосування вимагає попередньої розробки відповідної <a href="/wiki/%D0%9C%D1%96%D1%80%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0" title="Міра Лебега">теорії міри</a>. </p><p>Існує інший підхід, викладений <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D1%81%D1%96_%D0%94%D0%B6%D0%BE%D0%BD_%D0%94%D0%B0%D0%BD%D1%96%D0%B5%D0%BB%D0%BB" title="Персі Джон Даніелл">Даніеллем</a> у <a href="/wiki/1918" title="1918">1918</a> році в його статті «Загальний вигляд інтеграла» («Annals of Mathematics», 19, 279), що не має цього недоліку і що має значні переваги під час узагальнення на простори вищих розмірностей і подальших узагальненнях (наприклад, у формі <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%A1%D1%82%D1%96%D0%BB%D1%82%D1%8C%D1%94%D1%81%D0%B0" title="Інтеграл Стілтьєса">інтеграла Стілтьєса</a>). </p><p>Основний задум полягає в <a href="/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4" title="Аксіоматичний метод">аксіоматизуванні</a> поняття <a class="mw-selflink selflink">інтеграла</a>. Розглянемо сімейство <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"></span> обмежених дійснозначних функцій (названих <i>елементарними функціями</i>), визначених на множині <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span>, що задовольняє таким <a href="/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B0" title="Аксіома">аксіомам</a>: </p><p>1. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"></span> — <a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Векторний простір">лінійний простір</a> зі звичайними операціями <a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Додавання">додавання</a> і <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Скалярний добуток">скалярного множення</a>. </p><p>2. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h(x)\in H\Rightarrow |h(x)|\in H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h(x)\in H\Rightarrow |h(x)|\in H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc30a0fa1ca377154a5c68d8dcfa33a3383c8dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.672ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h(x)\in H\Rightarrow |h(x)|\in H}"></span>: якщо функція належить <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"></span>, то її модуль також належить <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"></span> </p><p>Крім того, на просторі елементарних функцій визначається додатно визначений <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Неперервна функція">неперервний</a> <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0" title="Лінійна форма">лінійний функціонал</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"></span>, названий <i>елементарним інтегралом</i>. </p> <ol><li><b>Лінійність</b>: якщо <i>h</i> і <i>k</i> обидва належать H, і <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }"></span> — довільні <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Дійсне число">дійсні числа</a>, тоді <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I(\alpha h+\beta k)=\alpha Ih+\beta Ik}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mi>h</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mi>I</mi> <mi>h</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mi>I</mi> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I(\alpha h+\beta k)=\alpha Ih+\beta Ik}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92f9695cb888c009b0b642e1dca9e739a201c62" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.843ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle I(\alpha h+\beta k)=\alpha Ih+\beta Ik}"></span>.</li> <li><b>Невід'ємність</b>: якщо <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h(x)\geq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h(x)\geq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be306a4c63042a01b8aff240cc713208f69f0b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.739ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h(x)\geq 0}"></span>, тоді <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ih\geq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mi>h</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ih\geq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ebaa5cb86055ddf991164fe3e56f67e521aa90" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.772ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle Ih\geq 0}"></span>.</li> <li><b>Неперервність</b>: якщо <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{n}(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{n}(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2746146c2ba2fbbe31925bb3a1eb6af968c7de94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.696ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{n}(x)}"></span> незростаюча послідовність (тобто <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{1}\geq \cdots \geq h_{k}\geq \cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>≥</mo> <mo>⋯</mo> <mo>≥</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>≥</mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{1}\geq \cdots \geq h_{k}\geq \cdots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ebc1d180bc9418c440f27c9e08202cb93a5b85" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.563ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{1}\geq \cdots \geq h_{k}\geq \cdots }"></span>) функцій з <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"></span>, які збігаються до нуля для всіх <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> в <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span>, тоді <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ih_{n}\to 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ih_{n}\to 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0b46322e031069871cafa66d5be6ab5e900c09" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.506ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Ih_{n}\to 0}"></span>.</li></ol> <p>Така побудова узагальненого інтеграла має деякі переваги перед методом Лебега, особливо у <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Функціональний аналіз">функціональному аналізі</a>. Конструкції Лебега і Даніелла еквівалентні, якщо розглядати як елементарні східчасті функції, проте під час узагальнення поняття інтеграла на складніші об'єкти (наприклад, лінійні функціонали) виникають істотні складнощі в побудові інтеграла за Лебегом. За Даніеллем, інтеграл будується простіше. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Див._також"><span id=".D0.94.D0.B8.D0.B2._.D1.82.D0.B0.D0.BA.D0.BE.D0.B6"></span>Див. також</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=22" title="Редагувати розділ: Див. також" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=22" title="Редагувати вихідний код розділу: Див. також"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div style="-moz-column-count:4; -webkit-column-count:4; column-count:4;"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Інтегральне рівняння">Інтегральне рівняння</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Невизначений інтеграл">Невизначений інтеграл</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%96%D1%81%D0%BD%D0%B0" title="Первісна">Первісна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Методи інтегрування">Методи інтегрування</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B2" title="Таблиця інтегралів">Таблиця інтегралів</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Чисельне інтегрування">Чисельне інтегрування</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%91%D0%BE%D1%80%D0%B2%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0" title="Інтеграл Борвейна">Інтеграл Борвейна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%94%D0%B0%D0%BD%D1%96%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0" title="Інтеграл Даніелла">Інтеграл Даніелла</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0" title="Інтеграл Лебега">Інтеграл Лебега</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%A0%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0" title="Інтеграл Рімана">Інтеграл Рімана</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9B%D1%8F%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86%D0%B0" title="Формула Ньютона — Ляйбніца">Основна теорема аналізу</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0" title="Знак інтеграла">Знак інтеграла</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Чисельне інтегрування">Чисельне інтегрування</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Стала інтегрування">Стала інтегрування</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B2%D1%96%D0%B4_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Залежний від параметра інтеграл">Залежний від параметра інтеграл</a></li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Джерела"><span id=".D0.94.D0.B6.D0.B5.D1.80.D0.B5.D0.BB.D0.B0"></span>Джерела</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=23" title="Редагувати розділ: Джерела" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=23" title="Редагувати вихідний код розділу: Джерела"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="citation" id="CITEREFФіхтенгольц2024"><i><a href="/wiki/%D0%A4%D1%96%D1%85%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86_%D0%93%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B9_%D0%9C%D0%B8%D1%85%D0%B0%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" title="Фіхтенгольц Григорій Михайлович">Григорій Михайлович Фіхтенгольц</a></i>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://nebayduzhi-math.azurewebsites.net">Курс диференціального та інтегрального числення</a>. — 2024. — 2403 с.</span><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43693355">.mw-parser-output .ref-info{font-size:85%;cursor:help;margin-left:0.2em;color:var(--color-subtle,#54595d)}</style><span title="українською мовою" class="ref-info">(укр.)</span></li> <li><span class="citation">Визначений інтеграл // <a rel="nofollow" class="external text" href="http://chtyvo.org.ua/authors/Klepko_Viktor/Vyscha_matematyka_v_prykladakh_i_zadachakh.pdf">Вища математика в прикладах і задачах</a> / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — <span style="border-bottom:1px dotted gray; cursor:default;" title="Київ">К</span>. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 412. — 594 с.</span></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://fizma.net/index.php?idi=alg/int">Динамічні моделі FIZMA.neT</a> <small>[<a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20210515024257/http://fizma.net/index.php?idi=alg%2Fint">Архівовано</a> 15 травня 2021 у <a href="/wiki/Wayback_Machine" title="Wayback Machine">Wayback Machine</a>.]</small></li></ul> <div class="navbox-styles"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43353293">.mw-parser-output .navbox{box-sizing:border-box;border:1px solid #a2a9b1;width:100%;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px;margin:1em auto 0}.mw-parser-output .navbox .navbox{margin-top:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox,.mw-parser-output .navbox+.navbox-styles+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-inner,.mw-parser-output .navbox-subgroup{width:100%}.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow{padding:0.25em 1em;line-height:1.5em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output .navbox-subgroup{background-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list{line-height:1.5em;border-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list-with-group{text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid}.mw-parser-output tr+tr>.navbox-abovebelow,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-group,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-image,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-list{border-top:2px solid #fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-title{background-color:#ccf}.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-title{background-color:#ddf}.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-abovebelow{background-color:#e6e6ff}.mw-parser-output .navbox-even{background-color:#f7f7f7}.mw-parser-output .navbox-odd{background-color:transparent}.mw-parser-output .navbox .hlist td dl,.mw-parser-output .navbox .hlist td ol,.mw-parser-output .navbox .hlist td ul,.mw-parser-output .navbox td.hlist dl,.mw-parser-output .navbox td.hlist ol,.mw-parser-output .navbox td.hlist ul{padding:0.125em 0}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}body.skin--responsive .mw-parser-output .navbox-image img{max-width:none!important}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .navbox{display:none!important}}</style></div><div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Основні_теми_математичного_аналізу" style="padding:3px"><table class="nowraplinks collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43094501"><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-переглянути"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Шаблон:Математичний аналіз"><abbr title="Переглянути цей шаблон">п</abbr></a></li><li class="nv-обговорити"><a href="/w/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%83:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7&action=edit&redlink=1" class="new" title="Обговорення шаблону:Математичний аналіз (ще не написана)"><abbr title="Обговорити цей шаблон">о</abbr></a></li><li class="nv-редагувати"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:EditPage/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Спеціальна:EditPage/Шаблон:Математичний аналіз"><abbr title="Редагувати цей шаблон">р</abbr></a></li></ul></div><div id="Основні_теми_математичного_аналізу" style="font-size:114%;margin:0 4em">Основні теми <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Математичний аналіз">математичного аналізу</a></div></th></tr><tr><td colspan="2" class="navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><b><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%82%D0%B0_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Диференціальне та інтегральне числення">Числення</a></b> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Похідна">Диференціювання</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Інтегрування</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9B%D1%8F%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86%D0%B0" title="Формула Ньютона — Ляйбніца">Основна теорема аналізу</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Диференціальні рівняння">Диференціальні рівняння</a> <ul><li><a href="/wiki/%D0%97%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Звичайні диференціальні рівняння">звичайне</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B7_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8" title="Диференціальне рівняння з частинними похідними">частинне</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Стохастичне диференціальне рівняння">стохастичне</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D0%92%D0%B0%D1%80%D1%96%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Варіаційне числення">Варіаційне числення</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Векторне числення">Векторне числення</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Тензорний аналіз">Тензорний аналіз</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="Числення матриць (ще не написана)">Числення матриць</a><span class="noprint link-interwiki" style="position:relative;top:-.4em; white-space: nowrap; font-size:x-small;"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q29167#sitelinks-wikipedia" class="extiw" title="d:Q29167">(інші мови)</a></span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D1%85" title="Таблиця похідних">Таблиця похідних</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B2" title="Таблиця інтегралів">Таблиця інтегралів</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td colspan="2" class="navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9_%D0%B4%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%97" title="Аналіз функцій дійсної змінної">Дійсний аналіз</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Комплексний аналіз">Комплексний аналіз</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Гіперкомплексний аналіз">Гіперкомплексний аналіз</a> (<a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7&action=edit&redlink=1" class="new" title="Кватерніонний аналіз (ще не написана)">кватерніонний аналіз</a><span class="noprint link-interwiki" style="position:relative;top:-.4em; white-space: nowrap; font-size:x-small;"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q7269567#sitelinks-wikipedia" class="extiw" title="d:Q7269567">(інші мови)</a></span>)</li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" class="mw-redirect" title="Функційний аналіз">Функційний аналіз</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Гармонічний аналіз">Гармонічний аналіз</a> <ul><li><a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7_%D0%A4%D1%83%D1%80%27%D1%94" title="Аналіз Фур'є">Аналіз Фур'є</a></li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=LSSA&action=edit&redlink=1" class="new" title="LSSA (ще не написана)">LSSA</a><span class="noprint link-interwiki" style="position:relative;top:-.4em; white-space: nowrap; font-size:x-small;"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q10569022#sitelinks-wikipedia" class="extiw" title="d:Q10569022">(інші мови)</a></span></li> <li><a href="/wiki/P-%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="P-адичний аналіз">p-адичний аналіз</a> (<a href="/wiki/P-%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="P-адичне число">p-адичне число</a>)</li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D1%96%D1%80%D0%B0_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B8" title="Міра множини">Теорія міри</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%8C" title="Теорія представлень">Теорія представлень</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функція (математика)">Функції</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Неперервна функція">Неперервна функція</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97" title="Спеціальні функції">Спеціальні функції</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8F" title="Границя">Границя</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Послідовність">Послідовність</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Ряд (математика)">Ряд</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Нескінченність">Нескінченність</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"><div> <span typeof="mw:File"><span title="Категорія"><img alt="Категорія" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Symbol_category_class.svg/16px-Symbol_category_class.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Symbol_category_class.svg/23px-Symbol_category_class.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Symbol_category_class.svg/31px-Symbol_category_class.svg.png 2x" data-file-width="180" data-file-height="185" /></span></span> <b><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Категорія:Математичний аналіз">Категорія</a></b> <span typeof="mw:File"><span title="Портал"><img alt="Портал" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/Symbol_portal_class.svg/16px-Symbol_portal_class.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/Symbol_portal_class.svg/23px-Symbol_portal_class.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/Symbol_portal_class.svg/31px-Symbol_portal_class.svg.png 2x" data-file-width="180" data-file-height="185" /></span></span> <b><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Портал:Математика">Портал</a></b></div></td></tr></tbody></table></div> <div class="navbox-styles"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43353293"></div><div role="navigation" class="navbox navbox ukwikiArticleExternalLinksTable" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background: #CCF;"><div style="padding: 0px 18px 0px 0px; width: 100%;"><div style="float: left; padding-left: 4px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%91%D1%96%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BE%D1%96%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Перегляд цього шаблону"><img alt="Перегляд цього шаблону" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Searchtool.svg/14px-Searchtool.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Searchtool.svg/21px-Searchtool.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Searchtool.svg/28px-Searchtool.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span></div>  Тематичні сайти</div></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.quora.com/topic/Integration-mathematics-1">Quora</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.zhihu.com/topic/19741526">Zhihu</a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background: #CCF;">Словники та енциклопедії</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://denstoredanske.lex.dk/integralregning">Велика данська енциклопедія</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://snl.no/Integral">Велика норвезька енциклопедія</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://babelnet.org/synset?word=bn:00047010n&lang=EN">BabelNet</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.sapere.it/enciclopedia/integrale.html">De Agostini</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.larousse.fr/encyclopedie/animations/Intégrales/1100658">Encyclopédie Larousse</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.larousse.fr/encyclopedie/divers/intégrale/61853">Encyclopédie Larousse</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.larousse.fr/encyclopedie/images/Intégrale/1012278">Encyclopédie Larousse</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.treccani.it/enciclopedia/integrale">Encyclopedia Treccani</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="http://britannica.com/topic/integral-mathematics">Encyclopædia Britannica</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="http://britannica.com/topic/integration-mathematics">Encyclopædia Britannica</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3882822.html">Internetowa encyklopedia PWN</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dic.nicovideo.jp/a/積分">NicoNicoPedia</a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background: #CCF;">Довідкові видання</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://brilliant.org/wiki/integration/">Brilliant.org</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://brilliant.org/wiki/integration-tricks/">Brilliant.org</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="http://wordnet-rdf.princeton.edu/id/06024854-n">WordNet</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=19572">Nuovo soggettario</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://community.fandom.com/index.php?title=w:c:math:Integral">Fandom</a> <span class="ref-info" title="Англійська мова" style="font-size:85%; cursor:help; color:#888;">(англ.)</span></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background: #CCF;"><a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BB%D1%8C" title="Нормативний контроль">Нормативний контроль</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%B1%D1%96%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%86%D1%96%D1%97" title="Національна бібліотека Франції">BNF</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119395946">119395946</a> · <a href="/wiki/Freebase" title="Freebase">Freebase</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?kgmid=/m/03_14">/m/03_14</a> · <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%B1%D1%96%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0_%D0%86%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%97%D0%BB%D1%8E" title="Національна бібліотека Ізраїлю">J9U</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://uli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007555515105171">987007555515105171</a> · <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80_%D0%91%D1%96%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B8_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%83" title="Контрольний номер Бібліотеки Конгресу">LCCN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.loc.gov/authorities/sh85067099">sh85067099</a> · <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%B1%D1%96%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0_%D0%A7%D0%B5%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%BE%D1%97_%D0%A0%D0%B5%D1%81%D0%BF%D1%83%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BA%D0%B8" title="Національна бібліотека Чеської Республіки">NKC</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://aut.nkp.cz/ph121136">ph121136</a></div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Отримано з <a dir="ltr" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Інтеграл&oldid=43790377">https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Інтеграл&oldid=43790377</a></div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%97" title="Спеціальна:Категорії">Категорії</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8" title="Категорія:Інтеграли">Інтеграли</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Категорія:Математичний аналіз">Математичний аналіз</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8_%D0%B2_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%96" title="Категорія:Лінійні оператори в численні">Лінійні оператори в численні</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D1%8F" title="Категорія:Математична термінологія">Математична термінологія</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Приховані категорії: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:P373:%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%83%D1%94%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F" title="Категорія:Вікіпедія:P373:використовується">Вікіпедія:P373:використовується</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:Webarchive:%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_Wayback_Machine" title="Категорія:Шаблон:Webarchive:посилання на Wayback Machine">Шаблон:Webarchive:посилання на Wayback Machine</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%97%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%82%D0%B8_%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4" title="Категорія:Вікіпедія:Запити на переклад">Вікіпедія:Запити на переклад</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Цю сторінку востаннє відредаговано о 20:15, 30 жовтня 2024.</li> <li id="footer-info-copyright">Текст доступний на умовах ліцензії <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk">Creative Commons Attribution-ShareAlike</a>; також можуть діяти додаткові умови. Детальніше див. <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/uk">Умови використання</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Політика конфіденційності</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D1%80%D0%BE">Про Вікіпедію</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%B4_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96">Відмова від відповідальності</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//uk.wikipedia.org/wiki/Вікіпедія:Зворотний_зв%27язок">Зворотний зв'язок</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Кодекс поведінки</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Розробники</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/uk.wikipedia.org">Статистика</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Куки</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//uk.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Мобільний вигляд</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-6855777b7b-jdfnq","wgBackendResponseTime":1626,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.798","walltime":"1.431","ppvisitednodes":{"value":3119,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":91736,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":5679,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":16,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":16,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":33936,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":10,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 1133.755 1 -total"," 49.38% 559.815 1 Шаблон:Бібліоінформація"," 17.05% 193.264 1 Шаблон:Unibox"," 9.31% 105.558 2 Шаблон:Lang-la"," 8.01% 90.840 1 Шаблон:Числення"," 4.44% 50.351 1 Шаблон:Математичний_аналіз"," 4.27% 48.458 1 Шаблон:Фіхтенгольц.укр"," 4.15% 47.018 1 Шаблон:Navbox"," 3.34% 37.838 1 Шаблон:Книга"," 2.65% 30.051 5 Шаблон:Startflatlist"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.482","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":17245723,"limit":52428800},"limitreport-logs":"Loaded datatype commonsMedia of P10 from wikidata, consider passing datatype argument to formatProperty call or to Wikidata/config\nLoaded datatype wikibase-item of P2579 from wikidata, consider passing datatype argument to formatProperty call or to Wikidata/config\nLoaded datatype wikibase-item of P913 from wikidata, consider passing datatype argument to formatProperty call or to Wikidata/config\nLoaded datatype wikibase-item of P6104 from wikidata, consider passing datatype argument to formatProperty call or to Wikidata/config\nLoaded datatype string of P1993 from wikidata, consider passing datatype argument to formatProperty call or to Wikidata/config\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-6855777b7b-jdfnq","timestamp":"20241204093244","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u0406\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b","url":"https:\/\/uk.wikipedia.org\/wiki\/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q80091","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q80091","author":{"@type":"Organization","name":"\u0423\u0447\u0430\u0441\u043d\u0438\u043a\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0456\u0432 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"\u0424\u043e\u043d\u0434 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2008-02-02T17:19:13Z","dateModified":"2024-10-30T20:15:39Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/2\/2a\/Riemann_sum_convergence.png"}</script> </body> </html>