CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="uk" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Інтегрування частинами — Вікіпедія</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )ukwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","січень","лютий","березень","квітень","травень","червень","липень","серпень","вересень","жовтень","листопад","грудень"],"wgRequestId":"e9332c50-3b49-4b27-97b3-6f6eeff5707a","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Інтегрування_частинами","wgTitle":"Інтегрування частинами","wgCurRevisionId":42290740,"wgRevisionId":42290740,"wgArticleId":741827,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Математичний аналіз"],"wgPageViewLanguage":"uk","wgPageContentLanguage":"uk","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Інтегрування_частинами","wgRelevantArticleId":741827,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[] ,"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":3}}},"wgStableRevisionId":40287942,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"uk","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"uk"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":5000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q273328","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false, "wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.CurIDLink","ext.gadget.collapserefs","ext.gadget.showContributorContent","ext.gadget.switcher","ext.gadget.edittop","ext.gadget.new-section","ext.gadget.newTopicOnTop", "ext.gadget.MonobookToolbarStandard","ext.gadget.ProtectionIndicator","ext.gadget.Statistics","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=ext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=uk&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Інтегрування частинами — Вікіпедія"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//uk.m.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Редагувати" href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Вікіпедія (uk)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//uk.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Вікіпедія — Atom-стрічка" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Інтегрування_частинами rootpage-Інтегрування_частинами skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Перейти до вмісту</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Сайт"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Головне меню" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Головне меню</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Головне меню</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">перемістити на бічну панель</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">сховати</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Навігація </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку [z]" accesskey="z"><span>Головна сторінка</span></a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%96%D1%97" title="Список поточних подій"><span>Поточні події</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Список останніх змін у цій вікі [r]" accesskey="r"><span>Нові редагування</span></a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8"><span>Нові сторінки</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D0%B8%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Переглянути випадкову сторінку [x]" accesskey="x"><span>Випадкова стаття</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Участь" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Участь" > <div class="vector-menu-heading"> Участь </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB_%D1%81%D0%BF%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B8" title="Про проєкт, про те, що Ви можете зробити, і що де шукати"><span>Портал спільноти</span></a></li><li id="n-tavern" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9A%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D0%BF%D0%B0" title="Місце для обговорення більшості питань"><span>Кнайпа</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0" title="Довідка з проєкту"><span>Довідка</span></a></li><li id="n-Сторінка-для-медіа" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D1%96%D0%B0"><span>Сторінка для медіа</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Вікіпедія" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-uk.svg" style="width: 7.5em; height: 1.375em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-uk.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D1%88%D1%83%D0%BA" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Шукати у Вікіпедії [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Пошук</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Пошук у Вікіпедії" aria-label="Пошук у Вікіпедії" autocapitalize="sentences" title="Шукати у Вікіпедії [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Спеціальна:Пошук"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Знайти</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Особисті інструменти"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Зовнішній вигляд"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Змінити зовнішній вигляд розміру, ширини та кольору сторінки" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Зовнішній вигляд" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Зовнішній вигляд</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_uk.wikipedia.org&uselang=uk" class=""><span>Пожертвувати</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81&returnto=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F+%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8" title="Пропонуємо створити обліковий запис і увійти в систему; однак, це не обов'язково" class=""><span>Створити обліковий запис</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D1%85%D1%96%D0%B4&returnto=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F+%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8" title="Заохочуємо Вас увійти в систему, але це необов'язково. [o]" accesskey="o" class=""><span>Увійти</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Більше опцій" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Особисті інструменти" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Особисті інструменти</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Меню користувача" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_uk.wikipedia.org&uselang=uk"><span>Пожертвувати</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81&returnto=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F+%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8" title="Пропонуємо створити обліковий запис і увійти в систему; однак, це не обов'язково"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Створити обліковий запис</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D1%85%D1%96%D0%B4&returnto=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F+%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8" title="Заохочуємо Вас увійти в систему, але це необов'язково. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Увійти</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Сторінки для редакторів, які не ввійшли в систему <a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0:%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF" aria-label="Дізнатися більше про редагування"><span>дізнатися більше</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%BA" title="Список редагувань, зроблених з цієї IP-адреси [y]" accesskey="y"><span>Внесок</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D0%BE%D1%94_%D0%BE%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Обговорення редагувань з цієї IP-адреси [n]" accesskey="n"><span>Обговорення</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Сайт"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Зміст" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Зміст</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">перемістити на бічну панель</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">сховати</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Вступ</div> </a> </li> <li id="toc-Одержання_формул" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Одержання_формул"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Одержання формул</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Одержання_формул-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Перемкнути підрозділ Одержання формул</span> </button> <ul id="toc-Одержання_формул-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Для_невизначеного_інтеграла" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Для_невизначеного_інтеграла"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Для невизначеного інтеграла</span> </div> </a> <ul id="toc-Для_невизначеного_інтеграла-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Для_визначеного" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Для_визначеного"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>Для визначеного</span> </div> </a> <ul id="toc-Для_визначеного-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Приклади" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Приклади"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Приклади</span> </div> </a> <ul id="toc-Приклади-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Див._також" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Див._також"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Див. також</span> </div> </a> <ul id="toc-Див._також-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Джерела" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Джерела"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Джерела</span> </div> </a> <ul id="toc-Джерела-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Зміст" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Сховати/показати зміст" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Сховати/показати зміст</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Інтегрування частинами</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Перейдіть до статті іншою мовою. Доступний у 39 мовах" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-39" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">39 мов</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%A8%D8%A7%D9%84%D8%AA%D8%AC%D8%B2%D8%A6%D8%A9" title="تكامل بالتجزئة — арабська" lang="ar" hreflang="ar" data-title="تكامل بالتجزئة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="арабська" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8" title="Интегриране по части — болгарська" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Интегриране по части" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="болгарська" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Parcijalna_integracija" title="Parcijalna integracija — боснійська" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Parcijalna integracija" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="боснійська" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3_per_parts" title="Integració per parts — каталонська" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Integració per parts" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="каталонська" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%DB%95%D9%88%D8%A7%D9%88%DA%A9%D8%A7%D8%B1%DB%8C_%D8%A8%DB%95_%D8%A8%DB%95%D8%B4%DA%A9%D8%B1%D8%AF%D9%86" title="تەواوکاری بە بەشکردن — центральнокурдська" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="تەواوکاری بە بەشکردن" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="центральнокурдська" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Integrace_per_partes" title="Integrace per partes — чеська" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Integrace per partes" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="чеська" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Integru_fesul_rhan" title="Integru fesul rhan — валлійська" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Integru fesul rhan" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="валлійська" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Delvis_integration" title="Delvis integration — данська" lang="da" hreflang="da" data-title="Delvis integration" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="данська" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration" title="Partielle Integration — німецька" lang="de" hreflang="de" data-title="Partielle Integration" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="німецька" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts" title="Integration by parts — англійська" lang="en" hreflang="en" data-title="Integration by parts" data-language-autonym="English" data-language-local-name="англійська" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_por_partes" title="Integración por partes — іспанська" lang="es" hreflang="es" data-title="Integración por partes" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="іспанська" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84%E2%80%8C%DA%AF%DB%8C%D8%B1%DB%8C_%D8%AC%D8%B2%D8%A1_%D8%A8%D9%87_%D8%AC%D8%B2%D8%A1" title="انتگرال‌گیری جزء به جزء — перська" lang="fa" hreflang="fa" data-title="انتگرال‌گیری جزء به جزء" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="перська" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Osittaisintegrointi" title="Osittaisintegrointi — фінська" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Osittaisintegrointi" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="фінська" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9gration_par_parties" title="Intégration par parties — французька" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Intégration par parties" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="французька" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%91%D7%97%D7%9C%D7%A7%D7%99%D7%9D" title="אינטגרציה בחלקים — іврит" lang="he" hreflang="he" data-title="אינטגרציה בחלקים" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="іврит" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%96%E0%A4%82%E0%A4%A1%E0%A4%B6%E0%A4%83_%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%A8" title="खंडशः समाकलन — гінді" lang="hi" hreflang="hi" data-title="खंडशः समाकलन" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="гінді" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Metoda_parcijalne_integracije" title="Metoda parcijalne integracije — хорватська" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Metoda parcijalne integracije" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="хорватська" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Parci%C3%A1lis_integr%C3%A1l%C3%A1s" title="Parciális integrálás — угорська" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Parciális integrálás" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="угорська" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Integrasi_parsial" title="Integrasi parsial — індонезійська" lang="id" hreflang="id" data-title="Integrasi parsial" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="індонезійська" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Hlutheildun" title="Hlutheildun — ісландська" lang="is" hreflang="is" data-title="Hlutheildun" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="ісландська" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Integrazione_per_parti" title="Integrazione per parti — італійська" lang="it" hreflang="it" data-title="Integrazione per parti" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="італійська" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86" title="部分積分 — японська" lang="ja" hreflang="ja" data-title="部分積分" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="японська" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%A2%E1%9E%B6%E1%9F%86%E1%9E%84%E1%9E%8F%E1%9F%81%E1%9E%80%E1%9F%92%E1%9E%9A%E1%9E%B6%E1%9E%9B%E1%9E%8A%E1%9F%84%E1%9E%99%E1%9E%95%E1%9F%92%E1%9E%93%E1%9F%82%E1%9E%80" title="អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក — кхмерська" lang="km" hreflang="km" data-title="អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="кхмерська" class="interlanguage-link-target"><span>ភាសាខ្មែរ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B6%80%EB%B6%84_%EC%A0%81%EB%B6%84" title="부분 적분 — корейська" lang="ko" hreflang="ko" data-title="부분 적분" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="корейська" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%9A%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8" title="Интегрирање по делови — македонська" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Интегрирање по делови" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="македонська" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Parti%C3%ABle_integratie" title="Partiële integratie — нідерландська" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Partiële integratie" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="нідерландська" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Ca%C5%82kowanie_przez_cz%C4%99%C5%9Bci" title="Całkowanie przez części — польська" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Całkowanie przez części" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="польська" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Integra%C3%A7%C3%A3o_por_partes" title="Integração por partes — португальська" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Integração por partes" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="португальська" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Integrare_prin_p%C4%83r%C8%9Bi" title="Integrare prin părți — румунська" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Integrare prin părți" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="румунська" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8F%D0%BC" title="Интегрирование по частям — російська" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Интегрирование по частям" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="російська" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Parcijalna_integracija" title="Parcijalna integracija — сербсько-хорватська" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Parcijalna integracija" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="сербсько-хорватська" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Met%C3%B3da_integrovania_per_partes" title="Metóda integrovania per partes — словацька" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Metóda integrovania per partes" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="словацька" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Integrimi_me_pjes%C3%AB" title="Integrimi me pjesë — албанська" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Integrimi me pjesë" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="албанська" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Partialintegration" title="Partialintegration — шведська" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Partialintegration" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="шведська" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/Co%C5%82kowa%C5%84y_bez_tajle" title="Cołkowańy bez tajle — Silesian" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Cołkowańy bez tajle" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="Silesian" class="interlanguage-link-target"><span>Ślůnski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B8%A5%E0%B8%B0%E0%B8%AA%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%99" title="การหาปริพันธ์ทีละส่วน — тайська" lang="th" hreflang="th" data-title="การหาปริพันธ์ทีละส่วน" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="тайська" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Integrasyon_ng_mga_bahagi" title="Integrasyon ng mga bahagi — тагальська" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Integrasyon ng mga bahagi" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="тагальська" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/T%C3%ADch_ph%C3%A2n_t%E1%BB%ABng_ph%E1%BA%A7n" title="Tích phân từng phần — вʼєтнамська" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Tích phân từng phần" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="вʼєтнамська" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E9%83%A8%E7%A9%8D%E5%88%86%E6%B3%95" title="分部積分法 — китайська" lang="zh" hreflang="zh" data-title="分部積分法" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="китайська" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q273328#sitelinks-wikipedia" title="Редагувати міжмовні посилання" class="wbc-editpage">Редагувати посилання</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Простори назв"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8" title="Вміст статті [c]" accesskey="c"><span>Стаття</span></a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F:%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Обговорення сторінки (ще не написана) [t]" accesskey="t"><span>Обговорення</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Змінити варіант мови" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">українська</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Перегляди"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&stable=1"><span>Читати</span></a></li><li id="ca-current" class="collapsible selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&stable=0&redirect=no" title="Переглянути цю сторінку з неперевіреними змінами [v]" accesskey="v"><span>Неперевірені зміни</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&veaction=edit" title="Редагувати цю сторінку [v]" accesskey="v"><span>Редагувати</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&action=edit" title="Редагувати вихідний код сторінки [e]" accesskey="e"><span>Редагувати код</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&action=history" title="Журнал змін сторінки [h]" accesskey="h"><span>Переглянути історію</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Інструменти сторінки"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Інструменти" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Інструменти</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Інструменти</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">перемістити на бічну панель</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">сховати</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Більше опцій" > <div class="vector-menu-heading"> Дії </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&stable=1"><span>Читати</span></a></li><li id="ca-more-current" class="collapsible selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&stable=0&redirect=no"><span>Неперевірені зміни</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&veaction=edit" title="Редагувати цю сторінку [v]" accesskey="v"><span>Редагувати</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&action=edit" title="Редагувати вихідний код сторінки [e]" accesskey="e"><span>Редагувати код</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&action=history"><span>Переглянути історію</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Загальний </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%81%D1%8E%D0%B4%D0%B8/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8" title="Перелік усіх сторінок, які посилаються на цю сторінку [j]" accesskey="j"><span>Посилання сюди</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8" rel="nofollow" title="Останні зміни на сторінках, на які посилається ця сторінка [k]" accesskey="k"><span>Пов'язані редагування</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8" title="Перелік спеціальних сторінок [q]" accesskey="q"><span>Спеціальні сторінки</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&oldid=42290740" title="Постійне посилання на цю версію цієї сторінки"><span>Постійне посилання</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&action=info" title="Додаткові відомості про цю сторінку"><span>Інформація про сторінку</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A6%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B0&page=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&id=42290740&wpFormIdentifier=titleform" title="Інформація про те, як цитувати цю сторінку"><span>Цитувати сторінку</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%2586%25D0%25BD%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25B3%25D1%2580%25D1%2583%25D0%25B2%25D0%25B0%25D0%25BD%25D0%25BD%25D1%258F_%25D1%2587%25D0%25B0%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8%25D0%25BD%25D0%25B0%25D0%25BC%25D0%25B8"><span>Отримати вкорочену URL-адресу</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:QrCode&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%2586%25D0%25BD%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25B3%25D1%2580%25D1%2583%25D0%25B2%25D0%25B0%25D0%25BD%25D0%25BD%25D1%258F_%25D1%2587%25D0%25B0%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8%25D0%25BD%25D0%25B0%25D0%25BC%25D0%25B8"><span>Завантажити QR-код</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Друк/експорт </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0&bookcmd=book_creator&referer=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F+%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8"><span>Створити книгу</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:DownloadAsPdf&page=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&action=show-download-screen"><span>Завантажити як PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&printable=yes" title="Версія цієї сторінки для друку [p]" accesskey="p"><span>Версія до друку</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> В інших проєктах </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q273328" title="Посилання на пов’язаний елемент сховища даних [g]" accesskey="g"><span>Елемент Вікіданих</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Інструменти сторінки"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Зовнішній вигляд"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Зовнішній вигляд</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">перемістити на бічну панель</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">сховати</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> <div id="mw-indicator-indicator-fr-review-status" class="mw-indicator"><indicator name="fr-review-status" class="mw-fr-review-status-indicator" id="mw-fr-revision-toggle"><span class="cdx-fr-css-icon-review--status--pending"></span><b>Очікує на перевірку</b></indicator></div> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"><div id="mw-fr-revision-messages"><div id="mw-fr-revision-details" class="mw-fr-revision-details-dialog" style="display:none;"><div tabindex="0"></div><div class="cdx-dialog cdx-dialog--horizontal-actions"><header class="cdx-dialog__header cdx-dialog__header--default"><div class="cdx-dialog__header__title-group"><h2 class="cdx-dialog__header__title">Статус версії сторінки</h2><p class="cdx-dialog__header__subtitle">На цій сторінці показано неперевірені зміни</p></div><button class="cdx-button cdx-button--action-default cdx-button--weight-quiet
							cdx-button--size-medium cdx-button--icon-only cdx-dialog__header__close-button" aria-label="Закрити" onclick="document.getElementById("mw-fr-revision-details").style.display = "none";" type="submit"><span class="cdx-icon cdx-icon--medium
							cdx-fr-css-icon--close"></span></button></header><div class="cdx-dialog__body"><a class="external text" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&oldid=40287942&diff=cur">1 зміна</a> у цій версії <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%B0%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BB%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Вікіпедія:Патрулювання">очікує на перевірку</a>. <a class="external text" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&stable=1">Стабільну версію</a> було <a class="external text" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%96%D1%83%D1%80%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8&type=review&page=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8">перевірено</a> <i>31 серпня 2023</i>.</div></div><div tabindex="0"></div></div></div></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="uk" dir="ltr"><table class="vertical-navbox nowraplinks plainlist" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0 0 1.0em 1.0em;background:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%"><tbody><tr><td style="padding-top:0.4em;line-height:1.2em">Вибрані статті із</td></tr><tr><th style="padding:0.2em 0.4em 0.2em;padding-top:0;font-size:145%;line-height:1.2em;padding-bottom:0.25em;"><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Математичний аналіз">Числення</a></th></tr><tr><td style="padding:0.3em 0.4em 0.3em;font-weight:bold;border-top: 1px solid #aaa; border-bottom: 1px solid #aaa;padding:0.15em 0.25em 0.3em;font-weight:normal;"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9B%D1%8F%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86%D0%B0" title="Формула Ньютона — Ляйбніца">Фундаментальна теорема</a></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43815798">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97_%D0%B2_%D1%82%D0%BE%D1%87%D1%86%D1%96" title="Границя функції в точці">Границя функції</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Неперервна функція">Неперервність</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A0%D0%BE%D0%BB%D0%BB%D1%8F" title="Теорема Ролля">Теорема Ролля</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%94_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Теорема про середнє значення">Теорема Лагранжа</a></li></ul> </div> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%83_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8E" title="Теорема про обернену функцію">Теорема про обернену функцію</a></li></ul></td></tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;;display:block;margin-top:0.65em;"><small style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Диференціальне числення">Диференціальне</a></small></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><table class="vertical-navbox nowraplinks" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0 0 1.0em 1.0em;background:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%;border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><th style="padding:0.1em"> Визначення</th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Похідна">Похідна</a> (<a href="/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D1%85" title="Таблиця похідних">Таблиця похідних</a>)</li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Диференціал (математика)">Диференціал</a></li></ul></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> Поняття</th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Нотація диференціювання">Нотація</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Друга похідна">Друга похідна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%82%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Третя похідна">Третя похідна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%96%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0" title="Підстановка">Підстановка змінних</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%8F%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Неявна функція">Неявна функція</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0" title="Теорема Тейлора">Теорема Тейлора</a></li></ul> </div></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D1%85" title="Таблиця похідних">Правила та тотожності</a></th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%96" class="mw-redirect" title="Правило суми при диференціюванні">Сума</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BA%D1%83" title="Правило добутку">Добуток</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%96" title="Правило частки при диференціюванні">Частка</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="Правило степеня при диференціюванні (ще не написана)">Степінь</a><sup class="noprint"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Power_rule" class="extiw" title="en:Power rule"><span title="Power rule — версія статті «Правило степеня при диференціюванні» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</span></a></sup></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%86%D1%96%D1%97_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9" title="Похідна композиції функцій">Складена функція</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%83_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8E" title="Теорема про обернену функцію">Обернена функція</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86%D0%B0" title="Загальне правило Лейбніца">Правило Лейбніца</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%A4%D0%B0%D0%B0_%D0%B4%D1%96_%D0%91%D1%80%D1%83%D0%BD%D0%BE" title="Формула Фаа ді Бруно">Формула Фаа ді Бруно</a></li></ul> </div></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><small style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Інтеграл">Інтегральне</a></small></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><table class="vertical-navbox nowraplinks" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0 0 1.0em 1.0em;background:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%;border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B2" title="Таблиця інтегралів">Таблиця інтегралів</a></li></ul></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> Визначення</th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%96%D1%81%D0%BD%D0%B0" title="Первісна">Первісна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Інтеграл">Інтеграл</a> (<a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B2%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Невласний інтеграл">невласний</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%A0%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0" title="Інтеграл Рімана">Рімана</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0" title="Інтеграл Лебега">Лебега</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%A1%D1%82%D1%96%D0%BB%D1%82%D1%8C%D1%94%D1%81%D0%B0" title="Інтеграл Стілтьєса">Стілтьєса</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%94%D0%B0%D0%BD%D1%96%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0" title="Інтеграл Даніелла">Даніелла</a>)</li></ul></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> Інтегрування</th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">частинами</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8&action=edit&redlink=1" class="new" title="Інтегрування дисками (ще не написана)">дисками</a><sup class="noprint"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Disc_integration" class="extiw" title="en:Disc integration"><span title="Disc integration — версія статті «Інтегрування дисками» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</span></a></sup></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Методи інтегрування">Методи інтегрування</a></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><small style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Ряд (математика)">Рядів</a></small></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><table class="vertical-navbox nowraplinks" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0 0 1.0em 1.0em;background:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%;border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4" title="Геометричний ряд">Геометричні</a> (<a href="/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%BE-%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%96%D1%8F" title="Арифметико-геометрична прогресія">Арифметично-геометричні</a>)</li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4" title="Гармонічний ряд">Гармонічні</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%96%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4" title="Знакопереміжний ряд">Знакопереміжні</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4" title="Степеневий ряд">Степеневі</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4" title="Біноміальний ряд">Біноміальні</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0" title="Ряд Тейлора">Тейлора</a></li></ul></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B8_%D0%B7%D0%B1%D1%96%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" title="Ознаки збіжності">Ознаки збіжності</a></th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BA%D1%96%D0%B2_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D1%83" title="Границя доданків ряду">Границя доданків</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%B0_%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Пряма ознака порівняння">Пряме порівняння</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Гранична ознака порівняння">Порівняння границь</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D0%B4%27%D0%90%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Ознака д'Аламбера">д'Аламбера</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D1%96" title="Радикальна ознака Коші">Радикальна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D1%96" title="Інтегральна ознака Маклорена — Коші">Інтегральна</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%B7%D0%B1%D1%96%D0%B6%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D1%96%D0%B2" title="Теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів">Теорема Лейбніца</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%81%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D1%96" title="Ознака стиснення Коші">Стиснення Коші</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D0%94%D1%96%D1%80%D1%96%D1%85%D0%BB%D0%B5" title="Ознака Діріхле">Діріхле</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D0%90%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D1%8F" title="Ознака Абеля">Абеля</a></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><small style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Векторне числення">Векторів</a></small></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><table class="vertical-navbox nowraplinks" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0 0 1.0em 1.0em;background:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%;border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%B4%D1%96%D1%94%D0%BD%D1%82" title="Градієнт">Градієнт</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Дивергенція (математика)">Дивергенція</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%80_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Ротор (математика)">Ротор</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80_%D0%9B%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B0" title="Оператор Лапласа">Оператор Лапласа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%B7%D0%B0_%D0%BD%D0%B0%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BA%D0%BE%D0%BC" title="Похідна за напрямком">Похідна за напрямком</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B8_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7%D1%83" title="Формули векторного аналізу">Формули</a></li></ul></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> Теореми</th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%B4%D1%96%D1%94%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Градієнтна теорема">Градієнтна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%93%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%B0" title="Теорема Гріна">Гріна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9E%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE" title="Формула Остроградського">Остроградського</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A1%D1%82%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B0" title="Теорема Стокса">Стокса</a></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><small style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B1%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%BE%D1%85_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D1%85" title="Числення багатьох змінних">Багатьох змінних</a></small></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><table class="vertical-navbox nowraplinks" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0 0 1.0em 1.0em;background:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%;border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><th style="padding:0.1em"> Формалізми</th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="Числення матриць (ще не написана)">Матриці</a><sup class="noprint"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus" class="extiw" title="en:Matrix calculus"><span title="Matrix calculus — версія статті «Числення матриць» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</span></a></sup></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Тензорний аналіз">Тензорний</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%88%D0%BD%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Зовнішня похідна">Зовнішня похідна</a></li></ul></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> Визначення</th></tr><tr><td class="hlist" style="padding:0 0.1em 0.4em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Часткова похідна">Часткова похідна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Багатократний інтеграл">Багатократний інтеграл</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Криволінійний інтеграл">Криволінійний інтеграл</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Поверхневий інтеграл">Поверхневий інтеграл</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D0%AF%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D1%96" title="Матриця Якобі">Якобіан</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D0%93%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B5" title="Матриця Гессе">Матриця Гессе</a></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><small style="font-size:110%;">Спеціалізоване</small></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%94%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Дробове числення">Дробове</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%96%D0%B2" title="Теорія випадкових процесів">Стохастичне</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%92%D0%B0%D1%80%D1%96%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Варіаційне числення">Варіаційне</a></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;text-align:center;"><small style="font-size:110%;">інше</small></div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center;border-top:1px solid #aaa;padding-top:0.15em;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%86%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%8C" title="Історія обчислень">Історія</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Математичний аналіз">Математичний аналіз</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Нестандартний аналіз">Нестандартний аналіз</a></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td style="text-align:right;font-size:115%;padding-top: 0.6em;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43094501">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:88%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar a>span,.mw-parser-output .navbar a>abbr{text-decoration:inherit}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-переглянути"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:Calculus" title="Шаблон:Calculus"><abbr title="Переглянути цей шаблон">п</abbr></a></li><li class="nv-обговорити"><a href="/w/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%83:Calculus&action=edit&redlink=1" class="new" title="Обговорення шаблону:Calculus (ще не написана)"><abbr title="Обговорити цей шаблон">о</abbr></a></li><li class="nv-редагувати"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:EditPage/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:Calculus" title="Спеціальна:EditPage/Шаблон:Calculus"><abbr title="Редагувати цей шаблон">р</abbr></a></li></ul></div></td></tr></tbody></table> <p><b>Інтегрування частинами</b> — один із <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Методи інтегрування">способів</a> знаходження <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Інтеграл">інтеграла</a>. </p><p>Суть методу в наступному: якщо підінтегральна функція подана у виді добутку двох неперервних і <a href="/wiki/%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BA%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" class="mw-redirect" title="Гладка функція">гла́дких</a> функцій (кожна з яких може бути як <a href="/wiki/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97" title="Елементарні функції">елементарною функцією</a>, так і композицією), то справедливі формули: </p> <ul><li>для невизначеного інтеграла:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> <mo>−</mo> <mo>∫</mo> <mi>v</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74776299e3356331286374f6f92d111c0afafc3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.065ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}"></span></dd></dl> <ul><li>для визначеного:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </munderover> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">|</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </munderover> <mi>v</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f391d32f184d53bbf59c5ca55d46bf8f7a15e5aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:24.201ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}"></span></dd></dl> <p>Передбачається, що знаходження інтеграла <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int v\,du}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mi>v</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int v\,du}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f943bb3b22d1d82748075dc1c8d7416c0f8940" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:6.641ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int v\,du}"></span> простіше, ніж <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int u\,dv\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>v</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int u\,dv\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9cd84ad059d9a19781d31578c6013bc528c5f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:7.028ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int u\,dv\,}"></span>. У іншому випадку застосування методу не виправдано. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Одержання_формул"><span id=".D0.9E.D0.B4.D0.B5.D1.80.D0.B6.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8F_.D1.84.D0.BE.D1.80.D0.BC.D1.83.D0.BB"></span>Одержання формул</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&veaction=edit&section=1" title="Редагувати розділ: Одержання формул" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&action=edit&section=1" title="Редагувати вихідний код розділу: Одержання формул"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Для_невизначеного_інтеграла"><span id=".D0.94.D0.BB.D1.8F_.D0.BD.D0.B5.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D0.BD.D0.B0.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D1.96.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB.D0.B0"></span>Для невизначеного інтеграла</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&veaction=edit&section=2" title="Редагувати розділ: Для невизначеного інтеграла" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&action=edit&section=2" title="Редагувати вихідний код розділу: Для невизначеного інтеграла"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Функції <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\mathit {u}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">u</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\mathit {u}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121e01e19145fbd8e7e18330df7ef3f97f8f5701" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-right: -0.077ex; width:1.325ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\mathit {u}}}"></span> і <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\mathit {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">v</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\mathit {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f939dcbf985ca2167e48aaab0ea8e9b37595616" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-right: -0.074ex; width:1.144ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\mathit {v}}}"></span> гладкі, отже, можливе диференціювання: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(u\,v)=du\,v+u\,dv}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(u\,v)=du\,v+u\,dv}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213864bff5686281b6e658ce9326d32a8a727193" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.929ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(u\,v)=du\,v+u\,dv}"></span></dd></dl> <p>Ці функції також неперервні, отже можна взяти інтеграл від обох частин рівності: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int d(u\,v)=\int du\,v+\int u\,dv}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mi>d</mi> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mo>∫</mo> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int d(u\,v)=\int du\,v+\int u\,dv}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a36851b822245bc38665c87edd3ec3bdc63b7f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:27.671ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int d(u\,v)=\int du\,v+\int u\,dv}"></span></dd></dl> <p>Операція інтегрування протилежна диференціюванню: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u\,v=\int du\,v+\int u\,dv}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mi>d</mi> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mo>∫</mo> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u\,v=\int du\,v+\int u\,dv}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd61aac6af84c6edacf361770ddf66373828bca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.065ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle u\,v=\int du\,v+\int u\,dv}"></span></dd></dl> <p>Після <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0" title="Перестановка">перестановок</a>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> <mo>−</mo> <mo>∫</mo> <mi>v</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74776299e3356331286374f6f92d111c0afafc3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.065ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Для_визначеного"><span id=".D0.94.D0.BB.D1.8F_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D0.BD.D0.B0.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE"></span>Для визначеного</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&veaction=edit&section=3" title="Редагувати розділ: Для визначеного" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&action=edit&section=3" title="Редагувати вихідний код розділу: Для визначеного"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>У цілому аналогічно випадку для невизначеного інтеграла: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(u\,v)=du\,v+u\,dv}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(u\,v)=du\,v+u\,dv}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213864bff5686281b6e658ce9326d32a8a727193" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.929ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(u\,v)=du\,v+u\,dv}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}du\,v+\int \limits _{a}^{b}u\,dv}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </munderover> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </munderover> <mi>d</mi> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </munderover> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}du\,v+\int \limits _{a}^{b}u\,dv}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c63b914fb0e6c7495a67c98f85fd4710d1ae193" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:27.671ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}du\,v+\int \limits _{a}^{b}u\,dv}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </munderover> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">|</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </munderover> <mi>v</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f391d32f184d53bbf59c5ca55d46bf8f7a15e5aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:24.201ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Приклади"><span id=".D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.B0.D0.B4.D0.B8"></span>Приклади</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&veaction=edit&section=4" title="Редагувати розділ: Приклади" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&action=edit&section=4" title="Редагувати вихідний код розділу: Приклади"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mi>x</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mo>∫</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9687f20569ebf8ca98e67688c6eed41ec0c06108" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:71.028ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int e^{x}\,x\,dx=\int x\,(e^{x}\,dx)=\int x\,de^{x}=x\,e^{x}-\int e^{x}\,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mo>∫</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int e^{x}\,x\,dx=\int x\,(e^{x}\,dx)=\int x\,de^{x}=x\,e^{x}-\int e^{x}\,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0728824dc6964542ef2b72be25fc0b9bd0d70950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:69.203ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int e^{x}\,x\,dx=\int x\,(e^{x}\,dx)=\int x\,de^{x}=x\,e^{x}-\int e^{x}\,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C}"></span></li></ul> <ul><li>Іноді цей метод застосовується кілька разів:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\,dx=}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mo>∫</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\,dx=}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0f3b3e1774632a142a5fc827d5b1ee0bfef6c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:64.183ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\,dx=}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mo>∫</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mo>∫</mo> <mn>2</mn> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168711aa02e7601e1d223d1a647daa62d330b90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:101.654ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle =-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}"></span></dd></dl> <ul><li>Цей метод також використовується для знаходження інтегралів від елементарних функцій:</li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mfrac> </mrow> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f5a3cfd1bd76c515c57dc47c0cf4e8b3ae5bd05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:46.738ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mi>arctg</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>arctg</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>arctg</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af2ba8177c88ce5584d601a5ac73f3c394cfaa7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:73.295ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}"></span></dd></dl></dd></dl> <ul><li>У деяких випадках інтегрування частинами не дає прямої відповіді:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{1}=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{1}=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87dcd796998da794f94af1577d6d0039484d0ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.129ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle I_{1}=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mo> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mo>∫</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be64b4255f3785acfa7e9871e97bc26a24004ea2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:88.619ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{2}=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{2}=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6113a48465cd968e4a558b89ea5a5075fa7f4e11" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.385ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle I_{2}=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mo>∫</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78651bf6ce38e3fb7e49391cbb00514a26fac5f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:81.14ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}}"></span></dd></dl> <dl><dd>У такий спосіб один інтеграл виражається через інший:</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{cases}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{cases}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7620a0b5ef146a6d370bca72520ee4c3b99bb82" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:29.209ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{cases}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{cases}}}"></span></dd></dl> <dl><dd>Вирішивши отриману систему, одержуємо:</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{1}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}-\beta \cos {\beta x}{\Big )}+C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>β</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>α</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mi>β</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{1}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}-\beta \cos {\beta x}{\Big )}+C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af69ccd4f4328908551078833de877816b37c45" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:39.666ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle I_{1}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}-\beta \cos {\beta x}{\Big )}+C}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{2}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+\beta \sin {\beta x}{\Big )}+C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mrow> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>β</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>α</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{2}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+\beta \sin {\beta x}{\Big )}+C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f677783d0309adc73ebcc9b314019eb5f8286da9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:39.666ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle I_{2}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+\beta \sin {\beta x}{\Big )}+C}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Див._також"><span id=".D0.94.D0.B8.D0.B2._.D1.82.D0.B0.D0.BA.D0.BE.D0.B6"></span>Див. також</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&veaction=edit&section=5" title="Редагувати розділ: Див. також" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&action=edit&section=5" title="Редагувати вихідний код розділу: Див. також"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Методи інтегрування">Методи інтегрування</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Джерела"><span id=".D0.94.D0.B6.D0.B5.D1.80.D0.B5.D0.BB.D0.B0"></span>Джерела</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&veaction=edit&section=6" title="Редагувати розділ: Джерела" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&action=edit&section=6" title="Редагувати вихідний код розділу: Джерела"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="citation" id="CITEREFФіхтенгольц2024"><i><a href="/wiki/%D0%A4%D1%96%D1%85%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86_%D0%93%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B9_%D0%9C%D0%B8%D1%85%D0%B0%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" title="Фіхтенгольц Григорій Михайлович">Григорій Михайлович Фіхтенгольц</a></i>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://nebayduzhi-math.azurewebsites.net">Курс диференціального та інтегрального числення</a>. — 2024. — 2403 с.</span><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43693355">.mw-parser-output .ref-info{font-size:85%;cursor:help;margin-left:0.2em;color:var(--color-subtle,#54595d)}</style><span title="українською мовою" class="ref-info">(укр.)</span></li> <li><span class="citation">Методи підстановки та інтегрування частинами у визначеному інтегралі // <a rel="nofollow" class="external text" href="http://chtyvo.org.ua/authors/Klepko_Viktor/Vyscha_matematyka_v_prykladakh_i_zadachakh.pdf">Вища математика в прикладах і задачах</a> / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — <span style="border-bottom:1px dotted gray; cursor:default;" title="Київ">К</span>. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 418. — 594 с.</span></li></ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Отримано з <a dir="ltr" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Інтегрування_частинами&oldid=42290740">https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Інтегрування_частинами&oldid=42290740</a></div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%97" title="Спеціальна:Категорії">Категорія</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Категорія:Математичний аналіз">Математичний аналіз</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Цю сторінку востаннє відредаговано о 14:05, 9 квітня 2024.</li> <li id="footer-info-copyright">Текст доступний на умовах ліцензії <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk">Creative Commons Attribution-ShareAlike</a>; також можуть діяти додаткові умови. Детальніше див. <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/uk">Умови використання</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Політика конфіденційності</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D1%80%D0%BE">Про Вікіпедію</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%B4_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96">Відмова від відповідальності</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//uk.wikipedia.org/wiki/Вікіпедія:Зворотний_зв%27язок">Зворотний зв'язок</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Кодекс поведінки</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Розробники</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/uk.wikipedia.org">Статистика</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Куки</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//uk.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Мобільний вигляд</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-5b4c46c98-hcpf2","wgBackendResponseTime":203,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.264","walltime":"0.394","ppvisitednodes":{"value":1653,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":54401,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":5060,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":16,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":3,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":16996,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 279.779 1 -total"," 50.90% 142.395 1 Шаблон:Фіхтенгольц.укр"," 38.04% 106.441 1 Шаблон:Числення"," 37.45% 104.776 1 Шаблон:Ref-uk"," 36.69% 102.654 1 Шаблон:Ref-lang"," 12.97% 36.299 5 Шаблон:Startflatlist"," 12.33% 34.495 1 Шаблон:Книга"," 10.74% 30.040 1 Шаблон:Клепко_ВМ"," 9.78% 27.373 1 Шаблон:Публікація"," 8.68% 24.279 2 Шаблон:Str_endswith"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.117","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":13937961,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-74c7979f95-rhr68","timestamp":"20241204151818","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u0406\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0443\u0432\u0430\u043d\u043d\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438","url":"https:\/\/uk.wikipedia.org\/wiki\/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q273328","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q273328","author":{"@type":"Organization","name":"\u0423\u0447\u0430\u0441\u043d\u0438\u043a\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0456\u0432 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"\u0424\u043e\u043d\u0434 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2010-06-05T22:32:30Z","dateModified":"2024-04-09T14:05:56Z"}</script> </body> </html>