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class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">ページ先頭</div> </a> </li> <li id="toc-記法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#記法"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>記法</span> </div> </a> <ul id="toc-記法-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-自然数の歴史と零の地位" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#自然数の歴史と零の地位"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>自然数の歴史と零の地位</span> </div> </a> <ul id="toc-自然数の歴史と零の地位-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-形式的な定義" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#形式的な定義"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>形式的な定義</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-形式的な定義-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>形式的な定義サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-形式的な定義-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-自然数の公理" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#自然数の公理"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>自然数の公理</span> </div> </a> <ul id="toc-自然数の公理-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-加法と乗法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#加法と乗法"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>加法と乗法</span> </div> </a> <ul id="toc-加法と乗法-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-順序" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#順序"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>順序</span> </div> </a> <ul id="toc-順序-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-除法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#除法"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4</span> <span>除法</span> </div> </a> <ul id="toc-除法-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-特殊な自然数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#特殊な自然数"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>特殊な自然数</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-特殊な自然数-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>特殊な自然数サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-特殊な自然数-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-素数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#素数"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>素数</span> </div> </a> <ul id="toc-素数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-双子素数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#双子素数"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>双子素数</span> </div> </a> <ul id="toc-双子素数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-完全数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#完全数"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>完全数</span> </div> </a> <ul id="toc-完全数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-友愛数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#友愛数"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.4</span> <span>友愛数</span> </div> </a> <ul id="toc-友愛数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-いくつかの自然数へのリンク" 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href="https://ast.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmberu_natural" title="アストゥリアス語: Númberu natural" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Númberu natural" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="アストゥリアス語" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Natural_%C9%99d%C9%99dl%C9%99r" title="アゼルバイジャン語: Natural ədədlər" lang="az" hreflang="az" data-title="Natural ədədlər" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="アゼルバイジャン語" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%D8%B7%D8%A8%DB%8C%D8%B9%DB%8C_%D8%B3%D8%A7%DB%8C%DB%8C%D9%84%D8%A7%D8%B1" title="South Azerbaijani: طبیعی ساییلار" lang="azb" hreflang="azb" data-title="طبیعی ساییلار" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" 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class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_natural" title="カタロニア語: Nombre natural" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Nombre natural" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="カタロニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%98%D9%85%D8%A7%D8%B1%DB%95%DB%8C_%D8%B3%D8%B1%D9%88%D8%B4%D8%AA%DB%8C" title="中央クルド語: ژمارەی سروشتی" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ژمارەی سروشتی" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="中央クルド語" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/P%C5%99irozen%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo" title="チェコ語: Přirozené číslo" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Přirozené číslo" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="チェコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%83%D1%80%D0%BB%C4%83%D1%85_%D1%85%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BF%C4%95" title="チュヴァシ語: Пурлăх хисепĕ" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Пурлăх хисепĕ" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="チュヴァシ語" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Rhif_naturiol" title="ウェールズ語: Rhif naturiol" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Rhif naturiol" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="ウェールズ語" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Naturligt_tal" title="デンマーク語: Naturligt tal" lang="da" hreflang="da" data-title="Naturligt tal" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="デンマーク語" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="ドイツ語: Natürliche Zahl" lang="de" hreflang="de" data-title="Natürliche Zahl" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="ドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A6%CF%85%CF%83%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="ギリシャ語: Φυσικός αριθμός" lang="el" hreflang="el" data-title="Φυσικός αριθμός" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="ギリシャ語" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eml mw-list-item"><a href="https://eml.wikipedia.org/wiki/N%C3%B3mmer_natur%C3%A8l" title="エミリア・ロマーニャ語: Nómmer naturèl" lang="egl" hreflang="egl" data-title="Nómmer naturèl" data-language-autonym="Emiliàn e rumagnòl" data-language-local-name="エミリア・ロマーニャ語" class="interlanguage-link-target"><span>Emiliàn e rumagnòl</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number" title="英語: Natural number" lang="en" hreflang="en" data-title="Natural number" data-language-autonym="English" data-language-local-name="英語" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Natura_nombro" title="エスペラント語: Natura nombro" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Natura nombro" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="エスペラント語" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural" title="スペイン語: Número natural" lang="es" hreflang="es" data-title="Número natural" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="スペイン語" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Naturaalarv" title="エストニア語: Naturaalarv" lang="et" hreflang="et" data-title="Naturaalarv" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="エストニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Zenbaki_arrunt" title="バスク語: Zenbaki arrunt" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Zenbaki arrunt" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="バスク語" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%B7%D8%A8%DB%8C%D8%B9%DB%8C" title="ペルシア語: عدد طبیعی" lang="fa" hreflang="fa" data-title="عدد طبیعی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="ペルシア語" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Luonnollinen_luku" title="フィンランド語: Luonnollinen luku" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Luonnollinen luku" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="フィンランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fiu-vro mw-list-item"><a href="https://fiu-vro.wikipedia.org/wiki/T%C3%BCk%C3%BCarv" title="ヴォロ語: Tüküarv" lang="vro" hreflang="vro" data-title="Tüküarv" data-language-autonym="Võro" data-language-local-name="ヴォロ語" class="interlanguage-link-target"><span>Võro</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Naba_vakatamata" title="フィジー語: Naba vakatamata" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Naba vakatamata" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="フィジー語" class="interlanguage-link-target"><span>Na Vosa Vakaviti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Teljital" title="フェロー語: Teljital" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Teljital" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="フェロー語" class="interlanguage-link-target"><span>Føroyskt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_naturel" title="フランス語: Entier naturel" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Entier naturel" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BC%C3%BCrelk_taal" title="北フリジア語: Natüürelk taal" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Natüürelk taal" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="北フリジア語" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Uimhir_aiceanta" title="アイルランド語: Uimhir aiceanta" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Uimhir aiceanta" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="アイルランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B8" title="贛語: 自然數" lang="gan" hreflang="gan" data-title="自然數" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="贛語" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Anty%C3%A9_natir%C3%A8l" title="Guianan Creole: Antyé natirèl" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Antyé natirèl" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural" title="ガリシア語: Número natural" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Número natural" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="ガリシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gu mw-list-item"><a href="https://gu.wikipedia.org/wiki/%E0%AA%AA%E0%AB%8D%E0%AA%B0%E0%AA%BE%E0%AA%95%E0%AB%83%E0%AA%A4%E0%AA%BF%E0%AA%95_%E0%AA%B8%E0%AA%82%E0%AA%96%E0%AB%8D%E0%AA%AF%E0%AA%BE%E0%AA%93" title="グジャラート語: પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ" lang="gu" hreflang="gu" data-title="પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ" data-language-autonym="ગુજરાતી" data-language-local-name="グジャラート語" class="interlanguage-link-target"><span>ગુજરાતી</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%98%D7%91%D7%A2%D7%99" title="ヘブライ語: מספר טבעי" lang="he" hreflang="he" data-title="מספר טבעי" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ヘブライ語" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BE%E0%A4%95%E0%A5%83%E0%A4%A4%E0%A4%BF%E0%A4%95_%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="ヒンディー語: प्राकृतिक संख्या" lang="hi" hreflang="hi" data-title="प्राकृतिक संख्या" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="ヒンディー語" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Prirodni_broj" title="クロアチア語: Prirodni broj" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Prirodni broj" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hsb mw-list-item"><a href="https://hsb.wikipedia.org/wiki/P%C5%99irodna_li%C4%8Dba" title="高地ソルブ語: Přirodna ličba" lang="hsb" hreflang="hsb" data-title="Přirodna ličba" data-language-autonym="Hornjoserbsce" data-language-local-name="高地ソルブ語" class="interlanguage-link-target"><span>Hornjoserbsce</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Term%C3%A9szetes_sz%C3%A1mok" title="ハンガリー語: Természetes számok" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Természetes számok" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ハンガリー語" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B2%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="アルメニア語: Բնական թիվ" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Բնական թիվ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="アルメニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hyw mw-list-item"><a href="https://hyw.wikipedia.org/wiki/%D4%B2%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A9%D5%AB%D6%82" title="Western Armenian: Բնական թիւ" lang="hyw" hreflang="hyw" data-title="Բնական թիւ" data-language-autonym="Արեւմտահայերէն" data-language-local-name="Western Armenian" class="interlanguage-link-target"><span>Արեւմտահայերէն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Numero_natural" title="インターリングア: Numero natural" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Numero natural" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="インターリングア" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_asli" title="インドネシア語: Bilangan asli" lang="id" hreflang="id" data-title="Bilangan asli" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="インドネシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-inh mw-list-item"><a href="https://inh.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%BE%D0%BA%D1%8A%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BB%D0%B0_%D1%82%D0%B0%D1%8C%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%8C" title="イングーシ語: Бокъонца дола таьрахь" lang="inh" hreflang="inh" data-title="Бокъонца дола таьрахь" data-language-autonym="ГӀалгӀай" data-language-local-name="イングーシ語" class="interlanguage-link-target"><span>ГӀалгӀай</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Naturala_nombro" title="イド語: Naturala nombro" lang="io" hreflang="io" data-title="Naturala nombro" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="イド語" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/N%C3%A1tt%C3%BArlegar_t%C3%B6lur" title="アイスランド語: Náttúrlegar tölur" lang="is" hreflang="is" data-title="Náttúrlegar tölur" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="アイスランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_naturale" title="イタリア語: Numero naturale" lang="it" hreflang="it" data-title="Numero naturale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="イタリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Nachral_nomba" title="ジャマイカ・クレオール語: Nachral nomba" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Nachral nomba" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="ジャマイカ・クレオール語" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jbo mw-list-item"><a href="https://jbo.wikipedia.org/wiki/kacna%27u" title="ロジバン語: kacna'u" lang="jbo" hreflang="jbo" data-title="kacna'u" data-language-autonym="La .lojban." data-language-local-name="ロジバン語" class="interlanguage-link-target"><span>La .lojban.</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Wilangan_asli" title="ジャワ語: Wilangan asli" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Wilangan asli" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="ジャワ語" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%9C%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%90%E1%83%9A%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%98_%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%AA%E1%83%AE%E1%83%95%E1%83%98" title="ジョージア語: ნატურალური რიცხვი" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ნატურალური რიცხვი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="ジョージア語" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kbp mw-list-item"><a href="https://kbp.wikipedia.org/wiki/Pilim_%C3%B1%CA%8A%CA%8A" title="Kabiye: Pilim ñʊʊ" lang="kbp" hreflang="kbp" data-title="Pilim ñʊʊ" data-language-autonym="Kabɩyɛ" data-language-local-name="Kabiye" class="interlanguage-link-target"><span>Kabɩyɛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kcg mw-list-item"><a href="https://kcg.wikipedia.org/wiki/A%CC%B1za%CC%B1za%CC%B1rak_la%CC%B1mba" title="カタブ語: A̱za̱za̱rak la̱mba" lang="kcg" hreflang="kcg" data-title="A̱za̱za̱rak la̱mba" data-language-autonym="Tyap" data-language-local-name="カタブ語" class="interlanguage-link-target"><span>Tyap</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B0%D2%93%D0%B4%D1%8B%D0%BB%D1%8B_%D1%81%D0%B0%D0%BD" title="カザフ語: Дағдылы сан" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Дағдылы сан" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="カザフ語" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%85%E1%9F%86%E1%9E%93%E1%9E%BD%E1%9E%93%E1%9E%82%E1%9E%8F%E1%9F%8B%E1%9E%92%E1%9E%98%E1%9F%92%E1%9E%98%E1%9E%87%E1%9E%B6%E1%9E%8F%E1%9E%B7" title="クメール語: ចំនួនគត់ធម្មជាតិ" lang="km" hreflang="km" data-title="ចំនួនគត់ធម្មជាតិ" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="クメール語" class="interlanguage-link-target"><span>ភាសាខ្មែរ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%B8%E0%B3%8D%E0%B2%B5%E0%B2%BE%E0%B2%AD%E0%B2%BE%E0%B2%B5%E0%B2%BF%E0%B2%95_%E0%B2%B8%E0%B2%82%E0%B2%96%E0%B3%8D%E0%B2%AF%E0%B3%86" title="カンナダ語: ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="カンナダ語" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9E%90%EC%97%B0%EC%88%98" title="韓国語: 자연수" lang="ko" hreflang="ko" data-title="자연수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ksh mw-list-item"><a href="https://ksh.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%B6rliche_Zahle" title="ケルン語: Natörliche Zahle" lang="ksh" hreflang="ksh" data-title="Natörliche Zahle" data-language-autonym="Ripoarisch" data-language-local-name="ケルン語" class="interlanguage-link-target"><span>Ripoarisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a href="https://ku.wikipedia.org/wiki/Hejmar%C3%AAn_xwezay%C3%AE" title="クルド語: Hejmarên xwezayî" lang="ku" hreflang="ku" data-title="Hejmarên xwezayî" data-language-autonym="Kurdî" data-language-local-name="クルド語" class="interlanguage-link-target"><span>Kurdî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B4%D1%8B%D0%BA_%D1%81%D0%B0%D0%BD" title="キルギス語: Натуралдык сан" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Натуралдык сан" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="キルギス語" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Numerus_naturalis" title="ラテン語: Numerus naturalis" lang="la" hreflang="la" data-title="Numerus naturalis" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="ラテン語" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Natierlech_Zuel" title="ルクセンブルク語: Natierlech Zuel" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Natierlech Zuel" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="ルクセンブルク語" class="interlanguage-link-target"><span>Lëtzebuergesch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lfn mw-list-item"><a href="https://lfn.wikipedia.org/wiki/Numero_natural" title="リングア・フランカ・ノバ: Numero natural" lang="lfn" hreflang="lfn" data-title="Numero natural" data-language-autonym="Lingua Franca Nova" data-language-local-name="リングア・フランカ・ノバ" class="interlanguage-link-target"><span>Lingua Franca Nova</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-li mw-list-item"><a href="https://li.wikipedia.org/wiki/Natuurlek_getal" title="リンブルフ語: Natuurlek getal" lang="li" hreflang="li" data-title="Natuurlek getal" data-language-autonym="Limburgs" data-language-local-name="リンブルフ語" class="interlanguage-link-target"><span>Limburgs</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/N%C3%BCmar_nat%C3%BCraal" title="ロンバルド語: Nümar natüraal" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Nümar natüraal" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="ロンバルド語" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%88%E0%BA%B3%E0%BA%99%E0%BA%A7%E0%BA%99%E0%BA%97%E0%BA%B3%E0%BA%A1%E0%BA%B0%E0%BA%8A%E0%BA%B2%E0%BA%94" title="ラオ語: ຈຳນວນທຳມະຊາດ" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ຈຳນວນທຳມະຊາດ" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="ラオ語" class="interlanguage-link-target"><span>ລາວ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Nat%C5%ABralusis_skai%C4%8Dius" title="リトアニア語: Natūralusis skaičius" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Natūralusis skaičius" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="リトアニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Natur%C4%81ls_skaitlis" title="ラトビア語: Naturāls skaitlis" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Naturāls skaitlis" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="ラトビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Isa_nanahary" title="マダガスカル語: Isa nanahary" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Isa nanahary" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="マダガスカル語" class="interlanguage-link-target"><span>Malagasy</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BD_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98" title="マケドニア語: Природен број" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Природен број" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="マケドニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%8E%E0%B4%A3%E0%B5%8D%E0%B4%A3%E0%B5%BD_%E0%B4%B8%E0%B4%82%E0%B4%96%E0%B5%8D%E0%B4%AF" title="マラヤーラム語: എണ്ണൽ സംഖ്യ" lang="ml" hreflang="ml" data-title="എണ്ണൽ സംഖ്യ" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="マラヤーラム語" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D1%82%D0%BE%D0%BE" title="モンゴル語: Натурал тоо" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Натурал тоо" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="モンゴル語" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%A8%E0%A5%88%E0%A4%B8%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%97%E0%A4%BF%E0%A4%95_%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="マラーティー語: नैसर्गिक संख्या" lang="mr" hreflang="mr" data-title="नैसर्गिक संख्या" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="マラーティー語" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Nombor_asli" title="マレー語: Nombor asli" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Nombor asli" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="マレー語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Numru_naturali" title="マルタ語: Numru naturali" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Numru naturali" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="マルタ語" class="interlanguage-link-target"><span>Malti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mwl mw-list-item"><a href="https://mwl.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmaro_natural" title="ミランダ語: Númaro natural" lang="mwl" hreflang="mwl" data-title="Númaro natural" data-language-autonym="Mirandés" data-language-local-name="ミランダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Mirandés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%9E%E1%80%98%E1%80%AC%E1%80%9D%E1%80%80%E1%80%AD%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8" title="ミャンマー語: သဘာဝကိန်း" lang="my" hreflang="my" data-title="သဘာဝကိန်း" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="ミャンマー語" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Tall" title="低地ドイツ語: Natürliche Tall" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Natürliche Tall" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="低地ドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BE%E0%A4%95%E0%A5%83%E0%A4%A4%E0%A4%BF%E0%A4%95_%E0%A4%B8%E0%A4%99%E0%A5%8D%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="ネパール語: प्राकृतिक सङ्ख्या" lang="ne" hreflang="ne" data-title="प्राकृतिक सङ्ख्या" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="ネパール語" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-new mw-list-item"><a href="https://new.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BE%E0%A4%95%E0%A5%83%E0%A4%A4%E0%A4%BF%E0%A4%95_%E0%A4%B2%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE%E0%A4%83" title="ネワール語: प्राकृतिक ल्याः" lang="new" hreflang="new" data-title="प्राकृतिक ल्याः" data-language-autonym="नेपाल भाषा" data-language-local-name="ネワール語" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाल भाषा</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Natuurlijk_getal" title="オランダ語: Natuurlijk getal" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Natuurlijk getal" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="オランダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Naturleg_tal" title="ノルウェー語(ニーノシュク): Naturleg tal" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Naturleg tal" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="ノルウェー語(ニーノシュク)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Naturlig_tall" title="ノルウェー語(ブークモール): Naturlig tall" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Naturlig tall" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="ノルウェー語(ブークモール)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Enti%C3%A8r_natural" title="オック語: Entièr natural" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Entièr natural" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="オック語" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Lakkoofsa_lakkaawwii" title="オロモ語: Lakkoofsa lakkaawwii" lang="om" hreflang="om" data-title="Lakkoofsa lakkaawwii" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="オロモ語" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-or mw-list-item"><a href="https://or.wikipedia.org/wiki/%E0%AC%97%E0%AC%A3%E0%AC%A8_%E0%AC%B8%E0%AC%82%E0%AC%96%E0%AD%8D%E0%AD%9F%E0%AC%BE" title="オディア語: ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା" lang="or" hreflang="or" data-title="ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା" data-language-autonym="ଓଡ଼ିଆ" data-language-local-name="オディア語" class="interlanguage-link-target"><span>ଓଡ଼ିଆ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-os mw-list-item"><a href="https://os.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%BD_%D0%BD%D1%8B%D0%BC%C3%A6%D1%86" title="オセット語: Натуралон нымæц" lang="os" hreflang="os" data-title="Натуралон нымæц" data-language-autonym="Ирон" data-language-local-name="オセット語" class="interlanguage-link-target"><span>Ирон</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%95%E0%A9%81%E0%A8%A6%E0%A8%B0%E0%A8%A4%E0%A9%80_%E0%A8%85%E0%A9%B0%E0%A8%95" title="パンジャブ語: ਕੁਦਰਤੀ ਅੰਕ" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਕੁਦਰਤੀ ਅੰਕ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="パンジャブ語" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_naturalne" title="ポーランド語: Liczby naturalne" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Liczby naturalne" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9mer_natural" title="ピエモンテ語: Nùmer natural" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Nùmer natural" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="ピエモンテ語" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%86%DB%8C%DA%86%D8%B1%D9%84_%D9%86%D9%85%D8%A8%D8%B1" title="Western Punjabi: نیچرل نمبر" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="نیچرل نمبر" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural" title="ポルトガル語: Número natural" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Número natural" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="ポルトガル語" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_natural" title="ルーマニア語: Număr natural" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Număr natural" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="ルーマニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="ロシア語: Натуральное число" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Натуральное число" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sa mw-list-item"><a href="https://sa.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BE%E0%A4%95%E0%A5%83%E0%A4%A4%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A4%B8%E0%A4%99%E0%A5%8D%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="サンスクリット語: प्राकृतिकसङ्ख्या" lang="sa" hreflang="sa" data-title="प्राकृतिकसङ्ख्या" data-language-autonym="संस्कृतम्" data-language-local-name="サンスクリット語" class="interlanguage-link-target"><span>संस्कृतम्</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D0%B9_%D1%87%D1%8B%D1%8Bh%D1%8B%D0%BB%D0%B0%D2%95%D0%B0" title="サハ語: Натуральнай чыыhылаҕа" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Натуральнай чыыhылаҕа" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="サハ語" class="interlanguage-link-target"><span>Саха тыла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sc mw-list-item"><a href="https://sc.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9meru_naturale" title="サルデーニャ語: Nùmeru naturale" lang="sc" hreflang="sc" data-title="Nùmeru naturale" data-language-autonym="Sardu" data-language-local-name="サルデーニャ語" class="interlanguage-link-target"><span>Sardu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9mmuru_naturali" title="シチリア語: Nùmmuru naturali" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Nùmmuru naturali" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="シチリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Prirodan_broj" title="セルボ・クロアチア語: Prirodan broj" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Prirodan broj" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="セルボ・クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B7%83%E0%B7%8A%E0%B7%80%E0%B7%8F%E0%B6%B7%E0%B7%8F%E0%B7%80%E0%B7%92%E0%B6%9A_%E0%B7%83%E0%B6%82%E0%B6%9B%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B7%8F" title="シンハラ語: ස්වාභාවික සංඛ්‍යා" lang="si" hreflang="si" data-title="ස්වාභාවික සංඛ්‍යා" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="シンハラ語" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Natural_number" title="シンプル英語: Natural number" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Natural number" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Prirodzen%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo" title="スロバキア語: Prirodzené číslo" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Prirodzené číslo" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="スロバキア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Naravno_%C5%A1tevilo" title="スロベニア語: Naravno število" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Naravno število" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Thiin_tirsiimo" title="ソマリ語: Thiin tirsiimo" lang="so" hreflang="so" data-title="Thiin tirsiimo" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="ソマリ語" 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srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Numbers_grid_in_NY.jpg/330px-Numbers_grid_in_NY.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Numbers_grid_in_NY.jpg/440px-Numbers_grid_in_NY.jpg 2x" data-file-width="2560" data-file-height="1920" /></a><figcaption>自然数の例</figcaption></figure> <p><b>自然数</b>（しぜんすう、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>natural number</i></span>）とは、個数もしくは順番を表す一群の<a href="/wiki/%E6%95%B0" title="数">数</a>のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える<a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%95%B0" title="基数">基数</a>のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す<a href="/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0" title="順序数">順序数</a>のうちで有限のものであると考えることもできる。 </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Three_apples(1).svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Three_apples%281%29.svg/220px-Three_apples%281%29.svg.png" decoding="async" width="220" height="264" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Three_apples%281%29.svg/330px-Three_apples%281%29.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Three_apples%281%29.svg/440px-Three_apples%281%29.svg.png 2x" data-file-width="278" data-file-height="333" /></a><figcaption>自然数は数えることに使用できる (リンゴ1個、リンゴ2個、リンゴ3個など)。</figcaption></figure> <p>自然数を <a href="/wiki/1" title="1">1</a>, <a href="/wiki/2" title="2">2</a>, <a href="/wiki/3" title="3">3</a>, … とする流儀と、<a href="/wiki/0" title="0">0</a>, <a href="/wiki/1" title="1">1</a>, <a href="/wiki/2" title="2">2</a>, <a href="/wiki/3" title="3">3</a>, … とする流儀があり<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>、前者は<a href="/wiki/%E6%95%B0%E8%AB%96" title="数論">数論</a>などでよく使われ、後者は<a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96" title="集合論">集合論</a>、<a href="/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6" title="論理学">論理学</a>などでよく使われる（詳しくは<a href="#自然数の歴史と零の地位">#自然数の歴史と零の地位</a>の節を参照）。日本では高校教育課程においては0を入れないが、大学以降では0を含めることも多い（より正確には、<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="代数学">代数学</a>では0を含め、<a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" title="解析学">解析学</a>では除外することが多い）。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに前者を<b>正整数</b>、後者を<b>非負整数</b>と言い換えることによりこの問題を避けることもある。 </p><p><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E8%AB%96" title="数学基礎論">数学の基礎付け</a>においては、自然数の間の<a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95" title="加法">加法</a>についての形式的な<a href="/wiki/%E9%80%86%E5%85%83" title="逆元">逆元</a>を考えることによって整数を定義する。正の<a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a>ないしは負でない整数を自然数と同一視し、自然数を整数の一部として取扱うことができる。自然数と同様に整数の全体も<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E7%84%A1%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88" class="mw-redirect" title="可算無限集合">可算無限集合</a>である。 </p><p>なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数（例えば 3 や 18）を指して自然数ということもある。 </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Number-systems.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Number-systems.svg/220px-Number-systems.svg.png" decoding="async" width="220" height="110" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Number-systems.svg/330px-Number-systems.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Number-systems.svg/440px-Number-systems.svg.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="400" /></a><figcaption><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }"></span>は自然数、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span>は<a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a>、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"></span>は<a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" title="有理数">有理数</a>、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span>は<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>。実数は<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a>（<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"></span>）に含まれる。</figcaption></figure> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="記法"><span id=".E8.A8.98.E6.B3.95"></span>記法</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=1" title="節を編集: 記法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r94202605">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}</style><div class="side-box metadata side-box-right" style="width:22em;" id=""> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-text plainlist">このℕには、一部のコンピュータや<a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%96%E3%83%96%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B6" title="ウェブブラウザ">閲覧ソフト</a>で表示できない文字が含まれています<span class="noprint selfreference">（<a href="/wiki/Help:%E7%89%B9%E6%AE%8A%E6%96%87%E5%AD%97" title="Help:特殊文字">詳細</a>）</span>。</div></div> </div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r85059429">.mw-parser-output .Unicode{font-family:"TITUS Cyberbit Basic","Code2000","Chrysanthi Unicode","Doulos SIL","Bitstream Cyberbit","Bitstream CyberBase","Bitstream Vera","Thryomanes","Gentium","GentiumAlt","Visual Geez Unicode","Lucida Grande","Arial Unicode MS","Microsoft Sans Serif","Lucida Sans Unicode",sans-serif}</style><div class="Unicode" style="float:right;clear:right;margin:0 0 0.2em 0.2em;padding:0.2em;font-size:350%;line-height:1.1em;background:#ddf;border:1px solid #aaf;">ℕ</div> <p>自然数全体の成す集合は普通 Natural number の頭文字をとって <b>N</b> または <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }"></span> と表される。 </p><p>0 を含むかどうかの曖昧さを避けるために、正の整数（0 を含まない）を次のように表すこともある: </p> <ul><li><b>N</b><sup>+</sup> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a339dbd4a64016f4d222b5cd5d840d77041924a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.189ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}"></span>) または <b>N</b><sub>+</sub> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} _{+}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} _{+}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905334d6338bdfd1c5d27c3ca0400ada1964fa7f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.189ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} _{+}}"></span>)</li> <li><b>Z</b><sup>+</sup> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628778fcf14bd3629e9b9ebacffa172b0ad6ce41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.061ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}"></span>) または <b>Z</b><sub>+</sub> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16cea652d9aba69b6accb9af09548981c2b4e24f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.061ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}"></span>) または <b>Z</b><sub>> 0</sub> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00104aa39fd6fe1da3846a5619961347a687ea7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.883ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}"></span>)</li></ul> <p>また、非負整数（0 を含む）を表すのに、次の記法が使われることもある: </p> <ul><li><b>N</b><sup>0</sup> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} ^{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} ^{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c266661ca769727f799db89ef85b1353f2b1d71" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} ^{0}}"></span>) または <b>N</b><sub>0</sub> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ab7e98123f0def29a1cd3df96a0b7a58f4202c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.732ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}"></span>)</li> <li><b>Z</b><sup>+</sup><sub>0</sub> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{+}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{+}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9a2f47f61cf8367356a12ec51e4893258f66599" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.061ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{+}}"></span>) または <b>Z</b><sub>≥ 0</sub> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{\geq 0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{\geq 0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94ad3ceb18b784ce4052504201296d06ef81954" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.883ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{\geq 0}}"></span>)</li> <li><b>Z</b><sup>+</sup> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628778fcf14bd3629e9b9ebacffa172b0ad6ce41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.061ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}"></span>) または <b>Z</b><sub>+</sub> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16cea652d9aba69b6accb9af09548981c2b4e24f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.061ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}"></span>) はこちらの意味でも使われる</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="自然数の歴史と零の地位"><span id=".E8.87.AA.E7.84.B6.E6.95.B0.E3.81.AE.E6.AD.B4.E5.8F.B2.E3.81.A8.E9.9B.B6.E3.81.AE.E5.9C.B0.E4.BD.8D"></span>自然数の歴史と零の地位</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=2" title="節を編集: 自然数の歴史と零の地位"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>自然数は「ものを数える言葉」を起源とし、1 から始まる正の数であったと推定されている。文明が起こり、数字が考え出されたとき、<a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%9E%E6%95%B0%E5%AD%97" title="ローマ数字">ローマ数字</a>、<a href="/wiki/%E3%82%AE%E3%83%AA%E3%82%B7%E3%82%A2%E6%95%B0%E5%AD%97" class="mw-redirect" title="ギリシア数字">ギリシア数字</a>、<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%82%B8%E3%83%97%E3%83%88%E6%95%B0%E5%AD%97" class="mw-redirect" title="エジプト数字">エジプト数字</a>、バビロニア数字、<a href="/wiki/%E3%83%9E%E3%83%A4%E6%95%B0%E5%AD%97" title="マヤ数字">マヤ数字</a>、<a href="/wiki/%E6%BC%A2%E6%95%B0%E5%AD%97" title="漢数字">漢数字</a>、等のどれもが1から始まる正の数字であった。つまり、「物がある」という概念を量的に表そうとしたのが数であり、「物がない」という概念は「無い」という言葉で充分だった。 </p><p>最初の大きな進歩は、数を表すための<a href="/wiki/%E8%A8%98%E6%95%B0%E6%B3%95" class="mw-disambig" title="記数法">記数法</a>の発明であり、これで大きな数を記録することが出来るようになった。<a href="/wiki/%E5%8F%A4%E4%BB%A3%E3%82%A8%E3%82%B8%E3%83%97%E3%83%88" title="古代エジプト">古代エジプト</a>人は 1 から百万までの 10 の累乗それぞれに異なる<a href="/wiki/%E3%83%92%E3%82%A8%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%83%95" title="ヒエログリフ">ヒエログリフ</a>を割り当てる記数法を用いていた。<a href="/wiki/%E3%83%90%E3%83%93%E3%83%AD%E3%83%8B%E3%82%A2" title="バビロニア">バビロニア</a>では、数字を離して表記することでその桁が 0 であることを示す<a href="/wiki/%E5%85%AD%E5%8D%81%E9%80%B2%E6%B3%95" title="六十進法">六十進法</a>の<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E5%8F%96%E3%82%8A%E8%A8%98%E6%95%B0%E6%B3%95" title="位取り記数法">位取り記数法</a>に似た方法が開発された。しかし、0 を表す文字がなかったため、例えば 10203 は 0 を空白にして "1 2 3" と正しく表記できるが、10200 は "1 2" となって 102 と区別できない欠点があった。<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%82%AB" title="オルメカ">オルメカ</a>と<a href="/wiki/%E3%83%9E%E3%83%A4" class="mw-redirect" title="マヤ">マヤ</a>の文明では<a href="/wiki/%E7%B4%80%E5%85%83%E5%89%8D1%E4%B8%96%E7%B4%80" title="紀元前1世紀">紀元前1世紀</a>までには、数字を離して 0 の桁を表す方法が独立に用いられていた。 </p><p><a href="/wiki/%E6%8A%BD%E8%B1%A1" class="mw-redirect" title="抽象">抽象</a>的な概念としての数の体系的な最初の研究は、<a href="/wiki/%E5%8F%A4%E4%BB%A3%E3%82%AE%E3%83%AA%E3%82%B7%E3%82%A2" title="古代ギリシア">古代ギリシア</a>においてなされ、<a href="/wiki/%E6%95%B0%E8%AB%96" title="数論">数論</a>が高度にまで発達した。古代ギリシアの数学者<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%82%A6%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%B9" title="エウクレイデス">エウクレイデス</a>が編纂した『<a href="/wiki/%E5%8E%9F%E8%AB%96" class="mw-redirect" title="原論">原論</a>』の第7巻の冒頭で数の定義がなされている<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <ol><li>単位とは存在するもののおのおのがそれによって 1 とよばれるものである。</li> <li>数とは単位から成る多である。</li></ol> <p>これは定規とコンパスによる作図で数を定義したものと解釈できる。すなわち、任意に与えた線分の長さを単位として 1 を定義する。そして、その線分を延長した直線上で単位を半径とする長さをコンパスで測り、その直線上でその単位を半径とする円との交点を作図し、その円の直径を 2 と定義する。同様にその直線上で円の直径に半径を繋いだ線分を作図し、その線分の長さを 3 と定義する。したがって、1 は数ではなく単位であり、2, 3, 4, …が数になるため、古代ギリシア人は 1 を数として認識しなかったと言える。 </p><p>1世紀頃、無名の<a href="/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%89" title="インド">インド</a>人によって、初めて 0 を使った完全な位取り記数法が発明された。彼は<a href="/wiki/%E3%82%BD%E3%83%AD%E3%83%90%E3%83%B3" class="mw-redirect" title="ソロバン">ソロバン</a>とよく似たビーズ玉計算機で計算していたとき、数のない桁を 0 で書いて、ビーズ玉計算機上の各桁の数をそのまま並べて書き表すと、計算結果を素早く書き残せることに気づいた。この 0 は、インド人の言葉で空（から）の意味を表す「スーニャ」と呼ばれた。こうしてできた記数法は、数の記録と計算に一大革命をもたらす大発明となった。しかし、ここでの 0 は数としての 0 ではなく、空の桁を表す目印に過ぎないものであった。 </p><p>数としての 0 の概念は<a href="/wiki/628%E5%B9%B4" title="628年">628年</a>のインド人数学者<a href="/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%97%E3%82%BF" class="mw-redirect" title="ブラーマグプタ">ブラーマグプタ</a>によって見出され、現代の 0 の概念と近い計算法が考え出された。 </p><p><a href="/wiki/19%E4%B8%96%E7%B4%80" title="19世紀">19世紀</a>、自然数の<a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96" title="集合論">集合論</a>的な<a href="/wiki/%E5%AE%9A%E7%BE%A9" title="定義">定義</a>がなされた。この定義によれば零を自然数に含める方がより便利である。集合論、<a href="/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6" title="論理学">論理学</a>などの分野ではこの流儀に従うことが多い一方、<a href="/wiki/%E6%95%B0%E8%AB%96" title="数論">数論</a>などの分野では 0 を自然数には含めない流儀が好まれることが多い。どちらの流儀をとるにしろ、通常は著作あるいは論文毎に定義や注釈で明示される。とくに混乱を避けたい場合には、0 から始まる自然数を指すために<b>非負整数</b>、1 から始まる自然数を指すために<b>正整数</b>という用語を用いることもよくある。 </p><p><a href="/wiki/%E8%A8%88%E7%AE%97%E6%A9%9F%E7%A7%91%E5%AD%A6" title="計算機科学">計算機科学</a>、特に<a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B0" title="プログラミング">プログラミング</a>ではよく 0, 1, 2, … が使われるが、これは<a href="/wiki/%E8%A8%98%E6%86%B6%E8%A3%85%E7%BD%AE" title="記憶装置">記憶装置</a>（メモリー）の住所（アドレス）の相対位置を表すことが多く、相対位置としては 0, -1, -2, … も処理の中で使われることから、自然数というよりは整数の範疇である。 </p><p>19世紀のドイツの数学者<a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%9D%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC" title="レオポルト・クロネッカー">レオポルト・クロネッカー</a>が「整数は神の作ったものだが、他は人間の作ったものである」という言葉を残し、正の整数が自然な数と考えた頃から、<b>自然数</b>という用語が定着したとされる<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="形式的な定義"><span id=".E5.BD.A2.E5.BC.8F.E7.9A.84.E3.81.AA.E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>形式的な定義</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=3" title="節を編集: 形式的な定義"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="自然数の公理"><span id=".E8.87.AA.E7.84.B6.E6.95.B0.E3.81.AE.E5.85.AC.E7.90.86"></span>自然数の公理</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=4" title="節を編集: 自然数の公理"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→「<a href="/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86" title="ペアノの公理">ペアノの公理</a>」も参照</div> <p>自然数がどんなものかは子供でも簡単に理解できるが、その定義は簡単ではない。自然数を初めに厳密に定義可能な公理として提示されたものに<a href="/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86" title="ペアノの公理">ペアノの公理</a>があり（<a href="/wiki/1891%E5%B9%B4" title="1891年">1891年</a>、<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%82%BC%E3%83%83%E3%83%9A%E3%83%BB%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E" title="ジュゼッペ・ペアノ">ジュゼッペ・ペアノ</a>）、以下のように自然数を定義することができる。 </p> <ul><li>自然数1が存在する。</li> <li>任意の自然数aにはその後者 (successor) の自然数 suc(a) が存在する（suc(a) は a + <i>1</i> の意味）。</li> <li>異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり <i>a</i> ≠ <i>b</i> のとき suc(<i>a</i>) ≠ suc(<i>b</i>) となる。（ある種の<a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%B0%84" title="単射">単射</a>性）</li> <li><i>1</i> はいかなる自然数の後者でもない（<i>1</i> より前の自然数は存在しない）。</li> <li><i>1</i> がある性質を満たし、<i>a</i> がある性質を満たせばその後者 suc(<i>a</i>) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。</li></ul> <p>最後の公理は、<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95" title="数学的帰納法">数学的帰納法</a>を正当化するものである。また、上の公理に現れる数字は <i>1</i> だけであり、自然数 <i>1</i> からすべての自然数が作り出されることを意味している。一方、この公理の "<i>1</i>" を "<i>0</i>" に置き換えれば、自然数 <i>0, 1, 2, 3,</i> … を作り出せる。 </p><p>ただし、ペアノの原典においては上とは少し違った形式で公理系が述べられており、ペアノ自身は自然数そのものを定義しようとしたわけではなかった。 </p><p><a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96" title="集合論">集合論</a>において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。 </p> <ul><li><a href="/wiki/%E7%A9%BA%E9%9B%86%E5%90%88" title="空集合">空集合</a>を <i>0</i> と定義する。 <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0:=\emptyset =\{\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>:=</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0:=\emptyset =\{\}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a1ac316b104d75f7de5c449ced8155dd63b86e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.14ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 0:=\emptyset =\{\}.}"></span></dd></dl></li> <li>任意の集合 <i>a</i> の後者は <i>a</i> と {<i>a</i>} の合併集合として定義される。 <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {suc} (a):=a\cup \{a\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">u</mi> <mi mathvariant="normal">c</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi>a</mi> <mo>∪</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>a</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {suc} (a):=a\cup \{a\}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31bc621cc0e978fb371c0f9c718dda999b8a1541" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.04ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {suc} (a):=a\cup \{a\}.}"></span></dd></dl></li> <li><i>0</i> を含み後者関数について閉じている集合のひとつを <i>M</i> とする。</li> <li>自然数は「後者関数について閉じていて、<i>0</i> を含む <i>M</i> の部分集合の共通部分」として定義される。</li></ul> <p><a href="/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96" title="公理的集合論">無限集合の公理</a>により集合 <i>M</i> が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。 </p> <ul><li><code>0 := {}</code></li> <li><code>1 := suc(0) = {0} = {{}}</code></li> <li><code>2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }</code></li> <li><code>3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }</code></li></ul> <p>等々である<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>このように定義された集合 <i>n</i> は丁度（通常の意味で）<i>n</i> 個の元を含むことになる。また、これは<a href="/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0" title="順序数">有限順序数</a>の構成であり、（通常の意味で）<i>n</i> ≤ <i>m</i> が成り立つことと <i>n</i> が <i>m</i> の部分集合であることは同値である。 </p><p>以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(<i>a</i>) と最小値の定義が無限に選べるからである。 </p><p>例えば、<i>0</i> := {}, suc(<i>a</i>) := {<i>a</i>} と定義したならば、 </p> <ul><li><code>0 := {}</code></li> <li><code>1 := {0} = {{}}</code></li> <li><code>2 := {1} = {{{}}}</code></li> <li><code>3 := {2} = {{{{}}}}</code></li></ul> <p>と非常に単純な自然数になる。また、<i>0</i> := {{}}, suc(<i>a</i>) := <i>a</i> ∪ {<i>a</i>} と定義したならば、 </p> <ul><li><code>0 := {{}}</code></li> <li><code>1 := {{}, 0} = {{}, {{}}}</code></li> <li><code>2 := {{}, 0, 1} = {{}, {{}}, {{},{{}}} }</code></li> <li><code>3 := {{}, 0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{},{{}}}, {{},{{}},{{},{{}}}} }</code></li></ul> <p>のような多少複雑な自然数になる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="加法と乗法"><span id=".E5.8A.A0.E6.B3.95.E3.81.A8.E4.B9.97.E6.B3.95"></span>加法と乗法</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=5" title="節を編集: 加法と乗法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>自然数の<a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95" title="加法">加法</a>は再帰的に、以下のように定義できる。 </p> <ul><li>すべての自然数 <i>a</i> に対して、<i>a</i> + 0 = <i>a</i></li> <li>すべての自然数 <i>a</i>, <i>b</i> に対して、<i>a</i> + suc(<i>b</i>) = suc(<i>a</i> + <i>b</i>)</li></ul> <p>1 := suc(0) と定義するならば、suc(<i>b</i>) = suc(<i>b</i> + 0) = <i>b</i> + suc(0) = <i>b</i> + 1 となり、<i>b</i> の後者とは単に <i>b</i> + 1 のことである。 </p><p>加法が定義されたならば、自然数の<a href="/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95" title="乗法">乗法</a>は再帰的に、以下のように定義できる。 </p> <ul><li>すべての自然数 <i>a</i> に対して <i>a</i> × 0 = 0</li> <li>すべての自然数 <i>a</i>, <i>b</i> に対して <i>a</i> × suc(<i>b</i>) = (<i>a</i> × <i>b</i>) + <i>a</i></li></ul> <p>加法、乗法とも (i) 0 に対する演算結果を定義し、(ii) ある自然数 <i>b</i> に対する演算結果を用いてその次の自然数 suc(<i>b</i>) に対する演算結果を定義する、と言う形式になっている。(i), (ii) をあわせることで、あらゆる自然数に対する演算結果が一意に得られることになる（数学的帰納法）。自然数は加法について、0 を単位元とする可換<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89" title="モノイド">モノイド</a>になっている。また、乗法についても、1 を単位元とする可換<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89" title="モノイド">モノイド</a>になっている。 </p><p>加法と乗法は以下の法則を満たす。 </p> <ul><li><a href="/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87" title="結合法則">結合法則</a> <ul><li>(<i>a</i> + <i>b</i>) + <i>c</i> = <i>a</i> + (<i>b</i> + <i>c</i>)</li> <li>(<i>a</i> × <i>b</i>) × <i>c</i> = <i>a</i> × (<i>b</i> × <i>c</i>)</li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87" title="交換法則">交換法則</a> <ul><li><i>a</i> + <i>b</i> = <i>b</i> + <i>a</i></li> <li><i>a</i> × <i>b</i> = <i>b</i> × <i>a</i></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E5%88%86%E9%85%8D%E6%B3%95%E5%89%87" title="分配法則">分配法則</a> <ul><li><i>a</i> × (<i>b</i> + <i>c</i>) = (<i>a</i> × <i>b</i>) + (<i>a</i> × <i>c</i>)</li></ul></li></ul> <p>以上の法則は加法、乗法の定義から数学的帰納法を用いて証明できる。 </p><p>慣例として、<i>a</i> × <i>b</i> は <i>ab</i> と略記され、乗法は加法より先に計算される。例えば、 <i>a</i> + <i>bc</i> という式は <i>a</i> + (<i>b</i> × <i>c</i>) を意味する。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="順序"><span id=".E9.A0.86.E5.BA.8F"></span>順序</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=6" title="節を編集: 順序"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><i>a</i>+<i>c</i>=<i>b</i> となる自然数 <i>c</i> が存在するとき、またそのときに限って、 <i>a</i> ≤ <i>b</i> と書いて自然数に対する<a href="/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F" title="全順序">全順序</a>を定義する。この順序は自然数の演算に対して次の性質を満たす。 </p> <ul><li>任意の自然数 <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> に対して a ≤ b ならば <ul><li><i>a</i> + <i>c</i> ≤ <i>b</i> + <i>c</i></li> <li><i>ac</i> ≤ <i>bc</i></li></ul></li></ul> <p>順序に関して自然数が持つ重要な性質の一つは、それが<a href="/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88" title="整列集合">整列集合</a>であるということ、つまり自然数を要素とする空でない任意の集合は必ず最小元を持つということである。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="除法"><span id=".E9.99.A4.E6.B3.95"></span>除法</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=7" title="節を編集: 除法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ある自然数を他の自然数で割った結果を自然数として得ることは一般には可能でないが、<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E9%99%A4%E6%B3%95" class="mw-redirect" title="ユークリッド除法">余りつきの除法</a>は可能である。任意の二つの自然数 <i>a</i> と <i>b</i>（ただし、<i>b</i> ≠ 0）に対して次の性質を持つ二つの非負整数 <i>q</i> と <i>r</i> が求められる。 </p> <dl><dd><i>a</i> = <i>bq</i> + <i>r</i>（ただし <i>r</i> < <i>b</i>）</dd></dl> <p><i>q</i> と <i>r</i> はそれぞれ、<i>a</i> を <i>b</i> で割った<b>商</b>と<b>余り</b>といい、 <i>a</i> と <i>b</i> の任意の組み合わせに対して、一意に決まる。この除法は他のいくつかの性質（整除性）、アルゴリズム（<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E3%81%AE%E4%BA%92%E9%99%A4%E6%B3%95" title="ユークリッドの互除法">ユークリッドの互除法</a>など）、数論におけるアイデアにおいて鍵となる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="特殊な自然数"><span id=".E7.89.B9.E6.AE.8A.E3.81.AA.E8.87.AA.E7.84.B6.E6.95.B0"></span>特殊な自然数</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=8" title="節を編集: 特殊な自然数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→「<a href="/wiki/Category:%E6%95%B4%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%A1%9E" title="Category:整数の類">Category:整数の類</a>」も参照</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="素数"><span id=".E7.B4.A0.E6.95.B0"></span>素数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=9" title="節を編集: 素数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="素数">素数</a>」を参照</div> <p>自分自身と 1 以外の<a href="/wiki/%E7%B4%84%E6%95%B0" title="約数">約数</a>を持たない 1 より大きな (= 1 以外の)自然数を<a href="/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="素数">素数</a>という。<a href="/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%8C%E7%84%A1%E6%95%B0%E3%81%AB%E5%AD%98%E5%9C%A8%E3%81%99%E3%82%8B%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E" title="素数が無数に存在することの証明">素数が無限に存在することの証明</a>は<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%82%A6%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%B9" title="エウクレイデス">エウクレイデス</a>の『<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%8E%9F%E8%AB%96" title="ユークリッド原論">原論</a>』に載っている。小さい方から列挙すると次の通りである。 </p> <dl><dd><a href="/wiki/2" title="2">2</a>, <a href="/wiki/3" title="3">3</a>, <a href="/wiki/5" title="5">5</a>, <a href="/wiki/7" title="7">7</a>, <a href="/wiki/11" title="11">11</a>, <a href="/wiki/13" title="13">13</a>, …</dd></dl> <p><a href="/wiki/%E3%83%A1%E3%83%AB%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%83%8C%E6%95%B0" title="メルセンヌ数">メルセンヌ数</a>、<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E6%95%B0" title="フェルマー数">フェルマー数</a>も参照。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="双子素数"><span id=".E5.8F.8C.E5.AD.90.E7.B4.A0.E6.95.B0"></span>双子素数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=10" title="節を編集: 双子素数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AD%90%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="双子素数">双子素数</a>」を参照</div> <p>差が 2 であるような素数の組のこと。例えば 3 と 5、41 と 43 などは<a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AD%90%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="双子素数">双子素数</a>である。双子素数は無限にあるか、という「双子素数の予想」は未解決である。類似の概念に、<a href="/wiki/%E4%B8%89%E3%81%A4%E5%AD%90%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="三つ子素数">三つ子素数</a>、<a href="/wiki/%E3%81%84%E3%81%A8%E3%81%93%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="いとこ素数">いとこ素数</a>、<a href="/wiki/%E3%82%BB%E3%82%AF%E3%82%B7%E3%83%BC%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="セクシー素数">セクシー素数</a>などがある。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="完全数"><span id=".E5.AE.8C.E5.85.A8.E6.95.B0"></span>完全数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=11" title="節を編集: 完全数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0" title="完全数">完全数</a>」を参照</div> <p><a href="/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0" title="完全数">完全数</a>は自分自身を除く<a href="/wiki/%E7%B4%84%E6%95%B0" title="約数">約数</a>の和が自分自身と等しい自然数である。小さい方から列挙すると次の通りである。 </p> <dl><dd><a href="/wiki/6" title="6">6</a>, <a href="/wiki/28" title="28">28</a>, <a href="/wiki/496" title="496">496</a>, <a href="/wiki/8128" title="8128">8128</a>, <a href="/wiki/33550336" title="33550336">33550336</a>, <a href="/wiki/8589869056" class="mw-redirect" title="8589869056">8589869056</a>, <a href="/w/index.php?title=137438691328&action=edit&redlink=1" class="new" title="137438691328 (存在しないページ)">137438691328</a>, <a href="/w/index.php?title=2305843008139952128&action=edit&redlink=1" class="new" title="2305843008139952128 (存在しないページ)">2305843008139952128</a>, …</dd></dl> <p><a href="/wiki/%E5%81%B6%E6%95%B0" title="偶数">偶数</a>の完全数は<a href="/wiki/%E3%83%A1%E3%83%AB%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%83%8C%E6%95%B0" title="メルセンヌ数">メルセンヌ数</a>と深い関係がある。知られている完全数は全て偶数であり、<a href="/wiki/%E5%A5%87%E6%95%B0" title="奇数">奇数</a>の完全数はないと予想されている。また、無限に存在するとも予想しているが、両者とも未解決である。類似の概念に、<a href="/wiki/%E5%8F%8B%E6%84%9B%E6%95%B0" title="友愛数">友愛数</a>、<a href="/wiki/%E7%A4%BE%E4%BA%A4%E6%95%B0" title="社交数">社交数</a>などがある。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="友愛数"><span id=".E5.8F.8B.E6.84.9B.E6.95.B0"></span>友愛数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=12" title="節を編集: 友愛数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E5%8F%8B%E6%84%9B%E6%95%B0" title="友愛数">友愛数</a>」を参照</div> <p><a href="/wiki/%E5%8F%8B%E6%84%9B%E6%95%B0" title="友愛数">友愛数</a>（親和数とも言う）とは、異なる２つの自然数の組で、自分自身を除いた<a href="/wiki/%E7%B4%84%E6%95%B0" title="約数">約数</a>の和が互いに他方と等しくなるような数のことである。<a href="/wiki/220" title="220">220</a>と<a href="/wiki/284" title="284">284</a>、<a href="/wiki/1184" class="mw-redirect" title="1184">1184</a>と<a href="/wiki/1210" class="mw-redirect" title="1210">1210</a>などが例として挙げられる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="いくつかの自然数へのリンク"><span id=".E3.81.84.E3.81.8F.E3.81.A4.E3.81.8B.E3.81.AE.E8.87.AA.E7.84.B6.E6.95.B0.E3.81.B8.E3.81.AE.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>いくつかの自然数へのリンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=13" title="節を編集: いくつかの自然数へのリンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align:center;"> <caption style="font-weight:bold">2桁までの<a class="mw-selflink selflink">自然数</a> </caption> <tbody><tr> <td><a href="/wiki/0" title="0">(0)</a></td> <td><a href="/wiki/1" title="1">1</a></td> <td><b><a href="/wiki/2" title="2">2</a></b></td> <td><b><a href="/wiki/3" title="3">3</a></b></td> <td><a href="/wiki/4" title="4">4</a></td> <td><b><a href="/wiki/5" title="5">5</a></b></td> <td><a href="/wiki/6" title="6">6</a></td> <td><b><a href="/wiki/7" title="7">7</a></b></td> <td><a href="/wiki/8" title="8">8</a></td> <td><a href="/wiki/9" title="9">9</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/10" title="10">10</a></td> <td><b><a href="/wiki/11" title="11">11</a></b></td> <td><a href="/wiki/12" title="12">12</a></td> <td><b><a href="/wiki/13" title="13">13</a></b></td> <td><a href="/wiki/14" title="14">14</a></td> <td><a href="/wiki/15" title="15">15</a></td> <td><a href="/wiki/16" title="16">16</a></td> <td><b><a href="/wiki/17" title="17">17</a></b></td> <td><a href="/wiki/18" title="18">18</a></td> <td><b><a href="/wiki/19" title="19">19</a></b> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/20" title="20">20</a></td> <td><a href="/wiki/21" title="21">21</a></td> <td><a href="/wiki/22" title="22">22</a></td> <td><b><a href="/wiki/23" title="23">23</a></b></td> <td><a href="/wiki/24" title="24">24</a></td> <td><a href="/wiki/25" title="25">25</a></td> <td><a href="/wiki/26" title="26">26</a></td> <td><a href="/wiki/27" title="27">27</a></td> <td><a href="/wiki/28" title="28">28</a></td> <td><b><a href="/wiki/29" title="29">29</a></b> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/30" title="30">30</a></td> <td><b><a href="/wiki/31" title="31">31</a></b></td> <td><a href="/wiki/32" title="32">32</a></td> <td><a href="/wiki/33" title="33">33</a></td> <td><a href="/wiki/34" title="34">34</a></td> <td><a href="/wiki/35" title="35">35</a></td> <td><a href="/wiki/36" title="36">36</a></td> <td><b><a href="/wiki/37" title="37">37</a></b></td> <td><a href="/wiki/38" title="38">38</a></td> <td><a href="/wiki/39" title="39">39</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/40" title="40">40</a></td> <td><b><a href="/wiki/41" title="41">41</a></b></td> <td><a href="/wiki/42" title="42">42</a></td> <td><b><a href="/wiki/43" title="43">43</a></b></td> <td><a href="/wiki/44" title="44">44</a></td> <td><a href="/wiki/45" title="45">45</a></td> <td><a href="/wiki/46" title="46">46</a></td> <td><b><a href="/wiki/47" title="47">47</a></b></td> <td><a href="/wiki/48" title="48">48</a></td> <td><a href="/wiki/49" title="49">49</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/50" title="50">50</a></td> <td><a href="/wiki/51" title="51">51</a></td> <td><a href="/wiki/52" title="52">52</a></td> <td><b><a href="/wiki/53" title="53">53</a></b></td> <td><a href="/wiki/54" title="54">54</a></td> <td><a href="/wiki/55" title="55">55</a></td> <td><a href="/wiki/56" title="56">56</a></td> <td><a href="/wiki/57" title="57">57</a></td> <td><a href="/wiki/58" title="58">58</a></td> <td><b><a href="/wiki/59" title="59">59</a></b> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/60" title="60">60</a></td> <td><b><a href="/wiki/61" title="61">61</a></b></td> <td><a href="/wiki/62" title="62">62</a></td> <td><a href="/wiki/63" title="63">63</a></td> <td><a href="/wiki/64" title="64">64</a></td> <td><a href="/wiki/65" title="65">65</a></td> <td><a href="/wiki/66" title="66">66</a></td> <td><b><a href="/wiki/67" title="67">67</a></b></td> <td><a href="/wiki/68" title="68">68</a></td> <td><a href="/wiki/69" title="69">69</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/70" title="70">70</a></td> <td><b><a href="/wiki/71" title="71">71</a></b></td> <td><a href="/wiki/72" title="72">72</a></td> <td><b><a href="/wiki/73" title="73">73</a></b></td> <td><a href="/wiki/74" title="74">74</a></td> <td><a href="/wiki/75" title="75">75</a></td> <td><a href="/wiki/76" title="76">76</a></td> <td><a href="/wiki/77" title="77">77</a></td> <td><a href="/wiki/78" title="78">78</a></td> <td><b><a href="/wiki/79" title="79">79</a></b> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/80" title="80">80</a></td> <td><a href="/wiki/81" title="81">81</a></td> <td><a href="/wiki/82" title="82">82</a></td> <td><b><a href="/wiki/83" title="83">83</a></b></td> <td><a href="/wiki/84" title="84">84</a></td> <td><a href="/wiki/85" title="85">85</a></td> <td><a href="/wiki/86" title="86">86</a></td> <td><a href="/wiki/87" title="87">87</a></td> <td><a href="/wiki/88" title="88">88</a></td> <td><b><a href="/wiki/89" title="89">89</a></b> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/90" title="90">90</a></td> <td><a href="/wiki/91" title="91">91</a></td> <td><a href="/wiki/92" title="92">92</a></td> <td><a href="/wiki/93" title="93">93</a></td> <td><a href="/wiki/94" title="94">94</a></td> <td><a href="/wiki/95" title="95">95</a></td> <td><a href="/wiki/96" title="96">96</a></td> <td><b><a href="/wiki/97" title="97">97</a></b></td> <td><a href="/wiki/98" title="98">98</a></td> <td><a href="/wiki/99" title="99">99</a> </td></tr> <tr> <td colspan="10" style="font-size:smaller; text-align:left"><div> <ul><li><b><span style="font-family:Osaka,'ＭＳＰゴシック';">太字</span></b>で表した数は<a href="/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="素数">素数</a>である。</li></ul> </div> </td></tr></tbody></table> <ul><li><a href="/wiki/100" title="100">100</a> <a href="/wiki/101" title="101">101</a> <a href="/wiki/102" title="102">102</a> <a href="/wiki/103" title="103">103</a> <a href="/wiki/104" title="104">104</a> <a href="/wiki/105" title="105">105</a> <a href="/wiki/106" title="106">106</a> <a href="/wiki/107" title="107">107</a> <a href="/wiki/108" title="108">108</a> <a href="/wiki/109" title="109">109</a></li> <li><a href="/wiki/100" title="100">100</a> <a href="/wiki/110" title="110">110</a> <a href="/wiki/120" title="120">120</a> <a href="/wiki/130" title="130">130</a> <a href="/wiki/140" title="140">140</a> <a href="/wiki/150" title="150">150</a> <a href="/wiki/160" title="160">160</a> <a href="/wiki/170" title="170">170</a> <a href="/wiki/180" title="180">180</a> <a href="/wiki/190" title="190">190</a></li> <li><a href="/wiki/100" title="100">100</a> <a href="/wiki/200" title="200">200</a> <a href="/wiki/300" title="300">300</a> <a href="/wiki/400" title="400">400</a> <a href="/wiki/500" title="500">500</a> <a href="/wiki/600" title="600">600</a> <a href="/wiki/700" title="700">700</a> <a href="/wiki/800" title="800">800</a> <a href="/wiki/900" title="900">900</a></li> <li><a href="/wiki/10" title="10">10</a> <a href="/wiki/100" title="100">100</a> <a href="/wiki/1000" title="1000">1000</a> <a href="/wiki/10000" title="10000">10000</a> <a href="/wiki/100000" title="100000">100000</a> <a href="/wiki/1000000" title="1000000">1000000</a> <a href="/wiki/10000000" title="10000000">10000000</a> <a href="/wiki/100000000" title="100000000">100000000</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=14" title="節を編集: 出典"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け"><span title="この欄の操作法">脚注の使い方</span></a>]</div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFラッセル1954">ラッセル (1954</a>, p. 11) は「この數列〔自然數列〕を1ではなく0から始める人は、多少とも數學的敎養の高い人である」と書いている。</span> </li> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFユークリッド1971">ユークリッド 1971</a>, p. 149)</span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFベル田中銀林1997">ベル, 田中 & 銀林 1997</a>)</span> </li> <li id="cite_note-4"><b><a href="#cite_ref-4">^</a></b> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFvon_Neumann1923">von Neumann 1923</a>)</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=15" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFベル田中銀林1997">E・T・ベル『数学をつくった人びと』 上・下、田中勇・<a href="/wiki/%E9%8A%80%E6%9E%97%E6%B5%A9" title="銀林浩">銀林浩</a> 訳、<a href="/wiki/%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%9B%B3%E6%9B%B8" class="mw-disambig" title="東京図書">東京図書</a>、1997年10月（原著1962-1963）。<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4489005288" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-489-00528-8</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4489005296" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-489-00529-6</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%92%E3%81%A4%E3%81%8F%E3%81%A3%E3%81%9F%E4%BA%BA%E3%81%B3%E3%81%A8&rft.aulast=E%E3%83%BBT%E3%83%BB%E3%83%99%E3%83%AB&rft.au=E%E3%83%BBT%E3%83%BB%E3%83%99%E3%83%AB&rft.date=1997-10&rft.pub=%5B%5B%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%9B%B3%E6%9B%B8%5D%5D&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFベル田中銀林2003a">E・T・ベル『数学をつくった人びと』 1巻、田中勇・<a href="/wiki/%E9%8A%80%E6%9E%97%E6%B5%A9" title="銀林浩">銀林浩</a> 訳、<a href="/wiki/%E6%A3%AE%E6%AF%85" title="森毅">森毅</a> 解説、<a href="/wiki/%E6%97%A9%E5%B7%9D%E6%9B%B8%E6%88%BF" title="早川書房">早川書房</a>〈ハヤカワ文庫 NF 283 〈数理を愉しむ〉シリーズ〉、2003年9月26日。<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration 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.mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-15-050283-6" title="特別:文献資料/978-4-15-050283-6">978-4-15-050283-6</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%92%E3%81%A4%E3%81%8F%E3%81%A3%E3%81%9F%E4%BA%BA%E3%81%B3%E3%81%A8&rft.aulast=E%E3%83%BBT%E3%83%BB%E3%83%99%E3%83%AB&rft.au=E%E3%83%BBT%E3%83%BB%E3%83%99%E3%83%AB&rft.date=2003-09-26&rft.series=%E3%83%8F%E3%83%A4%E3%82%AB%E3%83%AF%E6%96%87%E5%BA%AB+NF+283+%E3%80%88%E6%95%B0%E7%90%86%E3%82%92%E6%84%89%E3%81%97%E3%82%80%E3%80%89%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA&rft.pub=%5B%5B%E6%97%A9%E5%B7%9D%E6%9B%B8%E6%88%BF%5D%5D&rft.isbn=978-4-15-050283-6&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFベル田中銀林2003b">E・T・ベル『数学をつくった人びと』 2巻、田中勇・<a href="/wiki/%E9%8A%80%E6%9E%97%E6%B5%A9" title="銀林浩">銀林浩</a> 訳、<a href="/wiki/%E5%90%89%E7%94%B0%E6%AD%A6_(%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%82%BF%E3%83%BC)" title="吉田武 (サイエンスライター)">吉田武</a> 解説、<a href="/wiki/%E6%97%A9%E5%B7%9D%E6%9B%B8%E6%88%BF" title="早川書房">早川書房</a>〈ハヤカワ文庫 NF 284 〈数理を愉しむ〉シリーズ〉、2003年10月17日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-15-050284-3" title="特別:文献資料/978-4-15-050284-3">978-4-15-050284-3</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%92%E3%81%A4%E3%81%8F%E3%81%A3%E3%81%9F%E4%BA%BA%E3%81%B3%E3%81%A8&rft.aulast=E%E3%83%BBT%E3%83%BB%E3%83%99%E3%83%AB&rft.au=E%E3%83%BBT%E3%83%BB%E3%83%99%E3%83%AB&rft.date=2003-10-17&rft.series=%E3%83%8F%E3%83%A4%E3%82%AB%E3%83%AF%E6%96%87%E5%BA%AB+NF+284+%E3%80%88%E6%95%B0%E7%90%86%E3%82%92%E6%84%89%E3%81%97%E3%82%80%E3%80%89%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA&rft.pub=%5B%5B%E6%97%A9%E5%B7%9D%E6%9B%B8%E6%88%BF%5D%5D&rft.isbn=978-4-15-050284-3&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFベル田中銀林2003c">E・T・ベル『数学をつくった人びと』 3巻、田中勇・<a href="/wiki/%E9%8A%80%E6%9E%97%E6%B5%A9" title="銀林浩">銀林浩</a> 訳、<a href="/wiki/%E7%A7%8B%E5%B1%B1%E4%BB%81" title="秋山仁">秋山仁</a> 解説、<a href="/wiki/%E6%97%A9%E5%B7%9D%E6%9B%B8%E6%88%BF" title="早川書房">早川書房</a>〈ハヤカワ文庫 NF 285 〈数理を愉しむ〉シリーズ〉、2003年11月19日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-15-050285-0" title="特別:文献資料/978-4-15-050285-0">978-4-15-050285-0</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%92%E3%81%A4%E3%81%8F%E3%81%A3%E3%81%9F%E4%BA%BA%E3%81%B3%E3%81%A8&rft.aulast=E%E3%83%BBT%E3%83%BB%E3%83%99%E3%83%AB&rft.au=E%E3%83%BBT%E3%83%BB%E3%83%99%E3%83%AB&rft.date=2003-11-19&rft.series=%E3%83%8F%E3%83%A4%E3%82%AB%E3%83%AF%E6%96%87%E5%BA%AB+NF+285+%E3%80%88%E6%95%B0%E7%90%86%E3%82%92%E6%84%89%E3%81%97%E3%82%80%E3%80%89%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA&rft.pub=%5B%5B%E6%97%A9%E5%B7%9D%E6%9B%B8%E6%88%BF%5D%5D&rft.isbn=978-4-15-050285-0&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFユークリッド1971">ハイベア・メンゲ編『ユークリッド原論』<a href="/wiki/%E4%B8%AD%E6%9D%91%E5%B9%B8%E5%9B%9B%E9%83%8E" title="中村幸四郎">中村幸四郎</a>・<a href="/wiki/%E5%AF%BA%E9%98%AA%E8%8B%B1%E5%AD%9D" title="寺阪英孝">寺阪英孝</a>・<a href="/wiki/%E4%BC%8A%E6%9D%B1%E4%BF%8A%E5%A4%AA%E9%83%8E" title="伊東俊太郎">伊東俊太郎</a>・<a href="/wiki/%E6%B1%A0%E7%94%B0%E7%BE%8E%E6%81%B5" title="池田美恵">池田美恵</a> 訳・解説、<a href="/wiki/%E5%85%B1%E7%AB%8B%E5%87%BA%E7%89%88" title="共立出版">共立出版</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%8E%9F%E8%AB%96&rft.pub=%5B%5B%E5%85%B1%E7%AB%8B%E5%87%BA%E7%89%88%5D%5D&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span> - 全13巻の最初の邦訳。 <ul><li>（ハードカバー）1971年7月。<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4320010728" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-320-01072-8</a></li> <li>（縮刷版）1996年6月。<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4320015134" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-320-01513-4</a></li> <li>（追補版）2011年5月。<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784320019652" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4-320-01965-2</a></li></ul></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFラッセル1954"><a href="/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB" title="バートランド・ラッセル">ラッセル</a>『数理哲学序説』平野智治訳、岩波書店〈岩波文庫〉、1954年。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E7%90%86%E5%93%B2%E5%AD%A6%E5%BA%8F%E8%AA%AC&rft.aulast=%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB&rft.au=%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB&rft.date=1954&rft.series=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%96%87%E5%BA%AB&rft.pub=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFvon_Neumann1923"><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3" title="ジョン・フォン・ノイマン">von Neumann, Johann</a> (1923), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://acta.bibl.u-szeged.hu/38552/1/math_001.pdf">“Zur Einführung der trasfiniten Zahlen”</a>, <i>Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum</i> <b>1</b>: 199-208<span style="display:none;">, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://acta.bibl.u-szeged.hu/38552/1/math_001.pdf">http://acta.bibl.u-szeged.hu/38552/1/math_001.pdf</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Zur+Einf%C3%BChrung+der+trasfiniten+Zahlen&rft.jtitle=Acta+litterarum+ac+scientiarum+Ragiae+Universitatis+Hungaricae+Francisco-Josephinae%2C+Sectio+scientiarum+mathematicarum&rft.aulast=von+Neumann&rft.aufirst=Johann&rft.au=von+Neumann%2C%26%2332%3BJohann&rft.date=1923&rft.volume=1&rft.pages=199-208&rft_id=http%3A%2F%2Facta.bibl.u-szeged.hu%2F38552%2F1%2Fmath_001.pdf&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFvon_Neumann2002"><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3" title="ジョン・フォン・ノイマン">von Neumann, John</a> (January 2002) [1923], “On the introduction of transfinite numbers”, in Jean van Heijenoort, <i>From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 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mw-heading2"><h2 id="関連文献"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>関連文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=16" title="節を編集: 関連文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF足立2013"><a href="/wiki/%E8%B6%B3%E7%AB%8B%E6%81%92%E9%9B%84" title="足立恒雄">足立恒雄</a>『数　体系と歴史』<a href="/wiki/%E6%9C%9D%E5%80%89%E6%9B%B8%E5%BA%97" title="朝倉書店">朝倉書店</a>、2002年1月20日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4-254-11088-X" title="特別:文献資料/4-254-11088-X">4-254-11088-X</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E3%80%80%E4%BD%93%E7%B3%BB%E3%81%A8%E6%AD%B4%E5%8F%B2&rft.aulast=%E8%B6%B3%E7%AB%8B%E6%81%92%E9%9B%84&rft.au=%E8%B6%B3%E7%AB%8B%E6%81%92%E9%9B%84&rft.date=2002-01-20&rft.pub=%5B%5B%E6%9C%9D%E5%80%89%E6%9B%B8%E5%BA%97%5D%5D&rft.isbn=4-254-11088-X&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF足立2011">足立恒雄『数とは何か　そしてまた何であったか』<a href="/wiki/%E5%85%B1%E7%AB%8B%E5%87%BA%E7%89%88" title="共立出版">共立出版</a>、2011年6月。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-320-01971-3" title="特別:文献資料/978-4-320-01971-3">978-4-320-01971-3</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E3%81%A8%E3%81%AF%E4%BD%95%E3%81%8B%E3%80%80%E3%81%9D%E3%81%97%E3%81%A6%E3%81%BE%E3%81%9F%E4%BD%95%E3%81%A7%E3%81%82%E3%81%A3%E3%81%9F%E3%81%8B&rft.aulast=%E8%B6%B3%E7%AB%8B%E6%81%92%E9%9B%84&rft.au=%E8%B6%B3%E7%AB%8B%E6%81%92%E9%9B%84&rft.date=2011-6&rft.pub=%5B%5B%E5%85%B1%E7%AB%8B%E5%87%BA%E7%89%88%5D%5D&rft.isbn=978-4-320-01971-3&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF足立2013">足立恒雄『フレーゲ・デデキント・ペアノを読む　現代における自然数論の成立』<a href="/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%A9%95%E8%AB%96%E7%A4%BE" title="日本評論社">日本評論社</a>、2013年4月8日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-535-78697-4" title="特別:文献資料/978-4-535-78697-4">978-4-535-78697-4</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B2%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%82%92%E8%AA%AD%E3%82%80%E3%80%80%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0%E8%AB%96%E3%81%AE%E6%88%90%E7%AB%8B&rft.aulast=%E8%B6%B3%E7%AB%8B%E6%81%92%E9%9B%84&rft.au=%E8%B6%B3%E7%AB%8B%E6%81%92%E9%9B%84&rft.date=2013-04-08&rft.pub=%5B%5B%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%A9%95%E8%AB%96%E7%A4%BE%5D%5D&rft.isbn=978-4-535-78697-4&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF足立2013b">足立恒雄『数の発明』<a href="/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97" title="岩波書店">岩波書店</a>〈岩波科学ライブラリー 219〉、2013年12月20日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-00-029619-9" title="特別:文献資料/978-4-00-029619-9">978-4-00-029619-9</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E3%81%AE%E7%99%BA%E6%98%8E&rft.aulast=%E8%B6%B3%E7%AB%8B%E6%81%92%E9%9B%84&rft.au=%E8%B6%B3%E7%AB%8B%E6%81%92%E9%9B%84&rft.date=2013-12-20&rft.series=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E7%A7%91%E5%AD%A6%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%AA%E3%83%BC+219&rft.pub=%5B%5B%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97%5D%5D&rft.isbn=978-4-00-029619-9&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF彌永1972"><a href="/wiki/%E5%BD%8C%E6%B0%B8%E6%98%8C%E5%90%89" title="彌永昌吉">彌永昌吉</a>『数の体系』 （上）、<a href="/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97" title="岩波書店">岩波書店</a>〈岩波新書（青版）815〉、1972年3月25日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-00-416001-4" title="特別:文献資料/978-4-00-416001-4">978-4-00-416001-4</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%B3%BB&rft.aulast=%E5%BD%8C%E6%B0%B8%E6%98%8C%E5%90%89&rft.au=%E5%BD%8C%E6%B0%B8%E6%98%8C%E5%90%89&rft.date=1972-03-25&rft.series=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%96%B0%E6%9B%B8%EF%BC%88%E9%9D%92%E7%89%88%EF%BC%89815&rft.pub=%5B%5B%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97%5D%5D&rft.isbn=978-4-00-416001-4&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF彌永1978">彌永昌吉『数の体系』 （下）、岩波書店〈岩波新書（黄版）43〉、1978年4月20日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-00-420043-7" title="特別:文献資料/978-4-00-420043-7">978-4-00-420043-7</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%B3%BB&rft.aulast=%E5%BD%8C%E6%B0%B8%E6%98%8C%E5%90%89&rft.au=%E5%BD%8C%E6%B0%B8%E6%98%8C%E5%90%89&rft.date=1978-04-20&rft.series=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%96%B0%E6%9B%B8%EF%BC%88%E9%BB%84%E7%89%88%EF%BC%8943&rft.pub=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97&rft.isbn=978-4-00-420043-7&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFサイフェ林2003">チャールズ・サイフェ『異端の数ゼロ　数学・物理学が恐れるもっとも危険な概念』<a href="/wiki/%E6%9E%97%E5%A4%A7" title="林大">林大</a> 訳、早川書房、2003年10月。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-15-208524-5" title="特別:文献資料/978-4-15-208524-5">978-4-15-208524-5</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E7%95%B0%E7%AB%AF%E3%81%AE%E6%95%B0%E3%82%BC%E3%83%AD%E3%80%80%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%83%BB%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%81%8C%E6%81%90%E3%82%8C%E3%82%8B%E3%82%82%E3%81%A3%E3%81%A8%E3%82%82%E5%8D%B1%E9%99%BA%E3%81%AA%E6%A6%82%E5%BF%B5&rft.aulast=%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%95%E3%82%A7&rft.au=%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%95%E3%82%A7&rft.date=2003-10&rft.pub=%E6%97%A9%E5%B7%9D%E6%9B%B8%E6%88%BF&rft.isbn=978-4-15-208524-5&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFサイフェ林2009">チャールズ・サイフェ『異端の数ゼロ　数学・物理学が恐れるもっとも危険な概念』<a href="/wiki/%E6%9E%97%E5%A4%A7" title="林大">林大</a> 訳、早川書房〈ハヤカワ文庫 NF 349 〈数理を愉しむ〉シリーズ〉、2009年5月8日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-15-050349-9" title="特別:文献資料/978-4-15-050349-9">978-4-15-050349-9</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E7%95%B0%E7%AB%AF%E3%81%AE%E6%95%B0%E3%82%BC%E3%83%AD%E3%80%80%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%83%BB%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%81%8C%E6%81%90%E3%82%8C%E3%82%8B%E3%82%82%E3%81%A3%E3%81%A8%E3%82%82%E5%8D%B1%E9%99%BA%E3%81%AA%E6%A6%82%E5%BF%B5&rft.aulast=%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%95%E3%82%A7&rft.au=%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%95%E3%82%A7&rft.date=2009-05-08&rft.series=%E3%83%8F%E3%83%A4%E3%82%AB%E3%83%AF%E6%96%87%E5%BA%AB+NF+349+%E3%80%88%E6%95%B0%E7%90%86%E3%82%92%E6%84%89%E3%81%97%E3%82%80%E3%80%89%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA&rft.pub=%E6%97%A9%E5%B7%9D%E6%9B%B8%E6%88%BF&rft.isbn=978-4-15-050349-9&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF島内2008"><a href="/wiki/%E5%B3%B6%E5%86%85%E5%89%9B%E4%B8%80" title="島内剛一">島内剛一</a>『数学の基礎』<a href="/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%A9%95%E8%AB%96%E7%A4%BE" title="日本評論社">日本評論社</a>〈日評数学選書〉、2008年12月（原著1971年3月30日）。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-535-60106-2" title="特別:文献資料/978-4-535-60106-2">978-4-535-60106-2</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E&rft.aulast=%E5%B3%B6%E5%86%85%E5%89%9B%E4%B8%80&rft.au=%E5%B3%B6%E5%86%85%E5%89%9B%E4%B8%80&rft.date=2008-12&rft.series=%E6%97%A5%E8%A9%95%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%81%B8%E6%9B%B8&rft.pub=%5B%5B%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%A9%95%E8%AB%96%E7%A4%BE%5D%5D&rft.isbn=978-4-535-60106-2&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span> - <a href="/wiki/2008%E5%B9%B4" title="2008年">2008年</a>に復刊された。</li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF高木1970"><a href="/wiki/%E9%AB%98%E6%9C%A8%E8%B2%9E%E6%B2%BB" title="高木貞治">高木貞治</a>「6. 自然数論」『近世数学史談・数学雑談』（復刻版）<a href="/wiki/%E5%85%B1%E7%AB%8B%E5%87%BA%E7%89%88" title="共立出版">共立出版</a>、1996年12月10日、234-274頁。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4-320-01551-7" title="特別:文献資料/4-320-01551-7">4-320-01551-7</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=6.+%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0%E8%AB%96&rft.atitle=%E8%BF%91%E4%B8%96%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2%E8%AB%87%E3%83%BB%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%9B%91%E8%AB%87&rft.aulast=%E9%AB%98%E6%9C%A8%E8%B2%9E%E6%B2%BB&rft.au=%E9%AB%98%E6%9C%A8%E8%B2%9E%E6%B2%BB&rft.date=1996-12-10&rft.pages=234-274%E9%A0%81&rft.edition=%E5%BE%A9%E5%88%BB%E7%89%88&rft.pub=%5B%5B%E5%85%B1%E7%AB%8B%E5%87%BA%E7%89%88%5D%5D&rft.isbn=4-320-01551-7&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF高木1970">高木貞治『数の概念』（改版）<a href="/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97" title="岩波書店">岩波書店</a>、1970年9月19日（原著1949年8月20日）。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4-00-005153-9" title="特別:文献資料/4-00-005153-9">4-00-005153-9</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%A6%82%E5%BF%B5&rft.aulast=%E9%AB%98%E6%9C%A8%E8%B2%9E%E6%B2%BB&rft.au=%E9%AB%98%E6%9C%A8%E8%B2%9E%E6%B2%BB&rft.date=1970-09-19&rft.edition=%E6%94%B9%E7%89%88&rft.pub=%5B%5B%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97%5D%5D&rft.isbn=4-00-005153-9&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF高木2019">高木貞治『数の概念』<a href="/wiki/%E7%A7%8B%E5%B1%B1%E4%BB%81" title="秋山仁">秋山仁</a> 解説、<a href="/wiki/%E8%AC%9B%E8%AB%87%E7%A4%BE" title="講談社">講談社</a>〈<a href="/wiki/%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9" title="ブルーバックス">ブルーバックス</a> B-2114〉、2019年10月17日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-065-17067-0" title="特別:文献資料/978-4-065-17067-0">978-4-065-17067-0</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%A6%82%E5%BF%B5&rft.aulast=%E9%AB%98%E6%9C%A8%E8%B2%9E%E6%B2%BB&rft.au=%E9%AB%98%E6%9C%A8%E8%B2%9E%E6%B2%BB&rft.date=2019-10-17&rft.series=%5B%5B%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%5D%5D+B-2114&rft.pub=%5B%5B%E8%AC%9B%E8%AB%87%E7%A4%BE%5D%5D&rft.isbn=978-4-065-17067-0&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFDedekind1963"><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%A3%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88" title="リヒャルト・デーデキント">Dedekind, Richard</a> (1963-06-01) [1901], <i>Essays on the Theory of Numbers</i>, Dover Books on Mathematics (Paparback ed.), Dover Publications, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-486-21010-0" title="特別:文献資料/978-0-486-21010-0">978-0-486-21010-0</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Essays+on+the+Theory+of+Numbers&rft.aulast=Dedekind&rft.aufirst=Richard&rft.au=Dedekind%2C%26%2332%3BRichard&rft.date=1963-06-01&rft.series=Dover+Books+on+Mathematics&rft.edition=Paparback&rft.pub=Dover+Publications&rft.isbn=978-0-486-21010-0&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFデーデキント1961"><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%A3%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88" title="リヒャルト・デーデキント">デーデキント</a> 著、<a href="/wiki/%E6%B2%B3%E9%87%8E%E4%BC%8A%E4%B8%89%E9%83%8E" title="河野伊三郎">河野伊三郎</a> 訳『数について――連続性と数の本質――』岩波書店〈岩波文庫青924-1〉、1961年11月16日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-00-339241-6" title="特別:文献資料/978-4-00-339241-6">978-4-00-339241-6</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6%E2%80%95%E2%80%95%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%A8%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%9C%AC%E8%B3%AA%E2%80%95%E2%80%95&rft.aulast=%E3%83%87%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88&rft.au=%E3%83%87%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88&rft.date=1961-11-16&rft.series=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%96%87%E5%BA%AB+%E9%9D%92924-1&rft.pub=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97&rft.isbn=978-4-00-339241-6&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFデデキント2013">リヒャルト・デデキント『数とは何かそして何であるべきか』渕野昌訳・解説、<a href="/wiki/%E7%AD%91%E6%91%A9%E6%9B%B8%E6%88%BF" title="筑摩書房">筑摩書房</a>〈ちくま学芸文庫テ9-1 Math & Science〉、2013年7月10日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-480-09547-3" title="特別:文献資料/978-4-480-09547-3">978-4-480-09547-3</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E3%81%A8%E3%81%AF%E4%BD%95%E3%81%8B%E3%81%9D%E3%81%97%E3%81%A6%E4%BD%95%E3%81%A7%E3%81%82%E3%82%8B%E3%81%B9%E3%81%8D%E3%81%8B&rft.aulast=%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%A3%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88&rft.au=%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%A3%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88&rft.date=2013-07-10&rft.series=%E3%81%A1%E3%81%8F%E3%81%BE%E5%AD%A6%E8%8A%B8%E6%96%87%E5%BA%AB+%E3%83%869-1+Math+%26+Science&rft.pub=%5B%5B%E7%AD%91%E6%91%A9%E6%9B%B8%E6%88%BF%5D%5D&rft.isbn=978-4-480-09547-3&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span> - 「数とは何かそして何であるべきか？」・「連続性と無理数」を収録。</li></ul></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFフレーゲ野本2000"><a href="/wiki/%E3%82%B4%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%97%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B2" title="ゴットロープ・フレーゲ">フレーゲ</a> 著、<a href="/wiki/%E9%87%8E%E6%9C%AC%E5%92%8C%E5%B9%B8" title="野本和幸">野本和幸</a> 編『算術の基本法則』<a href="/wiki/%E5%8B%81%E8%8D%89%E6%9B%B8%E6%88%BF" title="勁草書房">勁草書房</a>〈フレーゲ著作集3〉、2000年9月20日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4-326-14822-5" title="特別:文献資料/4-326-14822-5">4-326-14822-5</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E7%AE%97%E8%A1%93%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E6%B3%95%E5%89%87&rft.aulast=%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B2&rft.au=%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B2&rft.date=2000-09-20&rft.series=%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B2%E8%91%97%E4%BD%9C%E9%9B%863&rft.pub=%5B%5B%E5%8B%81%E8%8D%89%E6%9B%B8%E6%88%BF%5D%5D&rft.isbn=4-326-14822-5&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span> - 歴史的著作。抄訳。</li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFペアノ1969"><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%82%BC%E3%83%83%E3%83%9A%E3%83%BB%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E" title="ジュゼッペ・ペアノ">ジュゼッペ・ペアノ</a>『数の概念について』小野勝次・梅沢敏郎訳・解説、共立出版〈現代数学の系譜 2〉、1969年8月30日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-320-01155-7" title="特別:文献資料/978-4-320-01155-7">978-4-320-01155-7</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%A6%82%E5%BF%B5%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6&rft.aulast=%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%82%BC%E3%83%83%E3%83%9A%E3%83%BB%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E&rft.au=%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%82%BC%E3%83%83%E3%83%9A%E3%83%BB%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E&rft.date=1969-08-30&rft.series=%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E7%B3%BB%E8%AD%9C+2&rft.pub=%E5%85%B1%E7%AB%8B%E5%87%BA%E7%89%88&rft.isbn=978-4-320-01155-7&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF保江2002"><a href="/wiki/%E4%BF%9D%E6%B1%9F%E9%82%A6%E5%A4%AB" title="保江邦夫">保江邦夫</a>『数の論理　マイナスかけるマイナスはなぜプラスか？』<a href="/wiki/%E8%AC%9B%E8%AB%87%E7%A4%BE" title="講談社">講談社</a>〈ブルーバックス B-1397〉、2002年12月20日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4-06-257397-0" title="特別:文献資料/4-06-257397-0">4-06-257397-0</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E3%81%AE%E8%AB%96%E7%90%86%E3%80%80%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%8A%E3%82%B9%E3%81%8B%E3%81%91%E3%82%8B%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%8A%E3%82%B9%E3%81%AF%E3%81%AA%E3%81%9C%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%8B%EF%BC%9F&rft.aulast=%E4%BF%9D%E6%B1%9F%E9%82%A6%E5%A4%AB&rft.au=%E4%BF%9D%E6%B1%9F%E9%82%A6%E5%A4%AB&rft.date=2002-12-20&rft.series=%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9+B-1397&rft.pub=%5B%5B%E8%AC%9B%E8%AB%87%E7%A4%BE%5D%5D&rft.isbn=4-06-257397-0&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFLandau2001"><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%88%E3%83%A0%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6" title="エトムント・ランダウ">Landau, Edmund</a> (2001), <i>Foundations of Analysis</i> (Reprint ed.), Chelsea Pub Co., <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0-8218-2693-X" title="特別:文献資料/0-8218-2693-X">0-8218-2693-X</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Foundations+of+Analysis&rft.aulast=Landau&rft.aufirst=Edmund&rft.au=Landau%2C%26%2332%3BEdmund&rft.date=2001&rft.edition=Reprint&rft.pub=Chelsea+Pub+Co.&rft.isbn=0-8218-2693-X&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFランダウ2014">エトムント・ランダウ 著、蟹江幸博訳『数の体系　解析の基礎』丸善出版〈数学クラシックス第28巻〉、2014年1月。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-621-08713-8" title="特別:文献資料/978-4-621-08713-8">978-4-621-08713-8</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%B3%BB%E3%80%80%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E&rft.aulast=%E3%82%A8%E3%83%88%E3%83%A0%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6&rft.au=%E3%82%A8%E3%83%88%E3%83%A0%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6&rft.date=2014-01&rft.series=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B7%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9+%E7%AC%AC28%E5%B7%BB&rft.pub=%E4%B8%B8%E5%96%84%E5%87%BA%E7%89%88&rft.isbn=978-4-621-08713-8&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=17" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="div-col columns column-count column-count-" style="-moz-column-count:; -webkit-column-count:; column-count:; -moz-column-width: 18em; -webkit-column-width: 18em; column-width: 18em;"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="完全数の一覧 (存在しないページ)">完全数の一覧</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_perfect_numbers" class="extiw" title="en:List of perfect numbers">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%A5%87%E6%95%B0" title="奇数">奇数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%81%B6%E6%95%B0" title="偶数">偶数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B4%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%97%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B2" title="ゴットロープ・フレーゲ">ゴットロープ・フレーゲ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%82%BC%E3%83%83%E3%83%9A%E3%83%BB%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E" title="ジュゼッペ・ペアノ">ジュゼッペ・ペアノ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3" title="ジョン・フォン・ノイマン">ジョン・フォン・ノイマン</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B0%E8%AB%96" title="数論">数論</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%A3%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88" class="mw-redirect" title="リヒャルト・デデキント">リヒャルト・デデキント</a></li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0&action=edit&section=18" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E5%B0%8F%E5%AD%A6%E9%A4%A8" title="小学館">小学館</a> 日本大百科全書<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.today/lA1fw#selection-217.0-223.1">『自然数』</a>- <a href="/wiki/Yahoo!%E7%99%BE%E7%A7%91%E4%BA%8B%E5%85%B8" title="Yahoo!百科事典">Yahoo!百科事典</a> (<a href="/wiki/Archive.today" title="Archive.today">archive.today</a> へのリンク)</li> <li>世界大百科事典第2版『<a rel="nofollow" class="external text" href="//kotobank.jp/word/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0">自然数</a>』 - <a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%88%E3%83%90%E3%83%B3%E3%82%AF" title="コトバンク">コトバンク</a></li> <li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Natural_Number"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><cite id="CITEREFWeisstein" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html">"Natural Number"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Natural+Number&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FNaturalNumber.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0" class="Z3988"></span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E6%95%B4%E6%95%B0%E5%88%97%E5%A4%A7%E8%BE%9E%E5%85%B8" title="オンライン整数列大辞典">オンライン整数列大辞典</a>の数列 <a rel="nofollow" class="external text" href="//oeis.org/A000027">A000027</a></li></ul> <div class="navbox" aria-labelledby="数の体系" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%B3%BB" title="Template:数の体系"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%B3%BB&action=edit&redlink=1" class="new" title="Template‐ノート:数の体系 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%B3%BB&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%B3%BB&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="数の体系" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E6%95%B0#数の体系" title="数">数の体系</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88" title="可算集合">可算な体系</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">自然数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" title="有理数">有理数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%9C%E5%9B%B3%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="作図可能数">作図可能数</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0" title="代数的数">代数的数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {A} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">A</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {A} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb423c16a5f403edbaf66438b75e7a36e725af6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {A} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F_(%E6%95%B0%E4%BD%93%E7%B3%BB)" title="周期 (数体系)">周期</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%95%B0" title="計算可能数">計算可能数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AE%9A%E7%BE%A9%E5%8F%AF%E8%83%BD%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="定義可能実数">定義可能実数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%AE%97%E8%A1%93%E9%9B%86%E5%90%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="算術集合 (存在しないページ)">算術数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetical_set" class="extiw" title="en:Arithmetical set">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E6%95%B4%E6%95%B0" title="ガウス整数">ガウス整数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.646ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E6%95%B4%E6%95%B0" title="アイゼンシュタイン整数">アイゼンシュタイン整数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.29ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}"></span>)</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E5%90%88%E6%88%90%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="合成代数">合成代数</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><a href="/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0%E5%A4%9A%E5%85%83%E4%BD%93" title="ノルム多元体">通常型</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0" title="四元数">四元数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {H} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">H</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {H} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e050965453c42bcc6bd544546703c836bdafeac9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {H} }"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E5%85%AB%E5%85%83%E6%95%B0" title="八元数">八元数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {O} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">O</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {O} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ed2664a4fe515e6fbed25a7193ce663b82920c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {O} }"></span>)</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">分解型</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><span lang="en" class="texhtml">/<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span></span></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%9E%8B%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="分解型複素数">分解型複素数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%9E%8B%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="分解型四元数 (存在しないページ)">分解型四元数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Split-quaternion" class="extiw" title="en:Split-quaternion">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%9E%8B%E5%85%AB%E5%85%83%E6%95%B0" title="分解型八元数">分解型八元数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><span lang="en" class="texhtml">/<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"></span></span></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="双複素数">双複素数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8C%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="双四元数 (存在しないページ)">双四元数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Biquaternion" class="extiw" title="en:Biquaternion">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%85%AB%E5%85%83%E6%95%B0" title="双八元数">双八元数</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他の<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0" title="多元数">多元数</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%87%8D%E6%95%B0" title="二重数">二重数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%BA%8C%E9%87%8D%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="二重四元数 (存在しないページ)">二重四元数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_quaternion" class="extiw" title="en:Dual quaternion">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="双曲四元数 (存在しないページ)">双曲四元数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_quaternion" class="extiw" title="en:Hyperbolic quaternion">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%81%E5%85%AD%E5%85%83%E6%95%B0" title="十六元数">十六元数</a> (<span lang="en" class="texhtml"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {S} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">S</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {S} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9d5874c5d7f68eba1cec9da9ccbe53903303bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {S} }"></span></span>)</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%9E%8B%E5%8F%8C%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="分解型双四元数 (存在しないページ)">分解型双四元数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Split-biquaternion" class="extiw" title="en:Split-biquaternion">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" class="mw-disambig" title="多重複素数">多重複素数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%95%B0" title="基数">基数</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0" title="無理数">無理数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%B8%E3%83%BC%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="ファジー数 (存在しないページ)">ファジー数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_number" class="extiw" title="en:Fuzzy number">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="超実数">超実数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%EF%BC%9D%E3%83%81%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E4%BD%93" title="レヴィ＝チヴィタ体">レヴィ＝チヴィタ体</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%B6%85%E7%8F%BE%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="超現実数">超現実数</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0" title="超越数">超越数</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0" title="順序数">順序数</a></li> <li><a href="/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0" title="P進数"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span>-進数</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.867ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}"></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%84%E6%95%B0" title="シュタイニッツ数">シュタイニッツ数</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%BA%96%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0" class="mw-disambig" title="準超実数">準超実数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow hlist" colspan="2"> <ul><li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Symbol_list_class.svg" class="mw-file-description" title="一覧記事"><img alt="一覧記事" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Symbol_list_class.svg/16px-Symbol_list_class.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Symbol_list_class.svg/23px-Symbol_list_class.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Symbol_list_class.svg/31px-Symbol_list_class.svg.png 2x" data-file-width="180" data-file-height="185" /></a></span><a href="/wiki/%E6%95%B0%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7#数の体系" title="数に関する記事の一覧">一覧</a></li> <li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Folder_Hexagonal_Icon.svg" class="mw-file-description" title="カテゴリ"><img alt="カテゴリ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/32px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 2x" data-file-width="36" data-file-height="31" /></a></span><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0" title="Category:数">カテゴリ:数</a></li></ul></td></tr></tbody></table></div> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a>: 国立図書館 <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q21199#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></span></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span class="uid"><abbr title="Nombres naturels"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb120988295">フランス</a></abbr></span></li> <li><span class="uid"><abbr title="Nombres naturels"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb120988295">BnF data</a></abbr></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4041357-3">ドイツ</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007538748705171">イスラエル</a></span></li> <li><span class="uid"><abbr title="Numbers, Natural"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85093214">アメリカ</a></abbr></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://kopkatalogs.lv/F?func=direct&local_base=lnc10&doc_number=000112174&P_CON_LNG=ENG">ラトビア</a></span></li> <li><span class="uid"><abbr title="přirozená čísla"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph124920&CON_LNG=ENG">チェコ</a></abbr></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=自然数&oldid=103495745">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=自然数&oldid=103495745</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA" title="特別:カテゴリ">カテゴリ</a>: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="Category:初等数学">初等数学</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0" title="Category:数">数</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E8%AB%96" title="Category:数論">数論</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B4%E6%95%B0" title="Category:整数">整数</a></li><li><a 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