Mécanique des solides déformables

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Disponible en 38 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-38" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">38 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D9%8A%D9%83%D8%A7%D9%86%D9%8A%D9%83%D8%A7_%D8%A7%D9%84%D9%85%D9%88%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D8%B5%D9%84%D8%A8%D8%A9" title="ميكانيكا المواد الصلبة – arabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="ميكانيكا المواد الصلبة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformables" title="Mecánica de sólidos deformables – asturien" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Mecánica de sólidos deformables" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturien" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%86%D0%B2%D1%91%D1%80%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D0%B0_%D0%B4%D1%8D%D1%84%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%B3%D0%B0_%D1%86%D0%B5%D0%BB%D0%B0" title="Механіка цвёрдага дэфармаванага цела – biélorusse" lang="be" hreflang="be" data-title="Механіка цвёрдага дэфармаванага цела" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="biélorusse" 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japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="固体力学" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%98%E1%9F%81%E1%9E%80%E1%9E%B6%E1%9E%93%E1%9E%B7%E1%9E%85%E2%80%8B%E1%9E%9F%E1%9E%BC%E1%9E%9B%E1%9E%B8%E1%9E%8A" title="មេកានិចសូលីដ – khmer" lang="km" hreflang="km" data-title="មេកានិចសូលីដ" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="khmer" class="interlanguage-link-target"><span>ភាសាខ្មែរ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%A0%EC%B2%B4%EC%97%AD%ED%95%99" title="고체역학 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="고체역학" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a 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href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Kat%C4%B1_mekani%C4%9Fi" title="Katı mekaniği – turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Katı mekaniği" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D0%B4%D0%B5%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%96%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%B4%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%82%D1%96%D0%BB%D0%B0" title="Механіка деформівного твердого тіла – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Механіка деформівного твердого тіла" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/C%C6%A1_h%E1%BB%8Dc_v%E1%BA%ADt_r%E1%BA%AFn" title="Cơ học vật rắn – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Cơ học vật rắn" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BA%E4%BD%93%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="固体力学 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="固体力学" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BA%E4%BD%93%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="固体力学 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="固体力学" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BA%E9%AB%94%E5%8A%9B%E5%AD%B8" title="固體力學 – cantonais" lang="yue" hreflang="yue" data-title="固體力學" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonais" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1080293#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables" title="Voir le contenu de la page [c]" 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le code</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&action=history" title="Historique des versions de cette page [h]" accesskey="h"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Outils" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Outils</span> </label> <div 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class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FM%25C3%25A9canique_des_solides_d%25C3%25A9formables"><span>Obtenir l'URL raccourcie</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:QrCode&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FM%25C3%25A9canique_des_solides_d%25C3%25A9formables"><span>Télécharger le code QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimer / exporter </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Livre&bookcmd=book_creator&referer=M%C3%A9canique+des+solides+d%C3%A9formables"><span>Créer un livre</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a 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hreflang="fr"><span>Wikiversité</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1080293" title="Lien vers l’élément dans le dépôt de données connecté [g]" accesskey="g"><span>Élément Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Stress_vector.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Stress_vector.svg/220px-Stress_vector.svg.png" decoding="async" width="220" height="130" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Stress_vector.svg/330px-Stress_vector.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Stress_vector.svg/440px-Stress_vector.svg.png 2x" data-file-width="496" data-file-height="294" /></a><figcaption>Vecteur de <a href="/wiki/Contrainte_(m%C3%A9canique)" title="Contrainte (mécanique)">contrainte</a> T s'appliquant sur une surface interne dans un <a href="/wiki/M%C3%A9canique_des_milieux_continus" title="Mécanique des milieux continus">continuum</a>, montrant les composantes de <a href="/wiki/Tension_m%C3%A9canique" title="Tension mécanique">contrainte normale</a> et de <a href="/wiki/Contrainte_de_cisaillement" title="Contrainte de cisaillement">cisaillement</a> sur cette surface, et le vecteur de contrainte opposé -T sur la surface en vis-à-vis (<a href="/wiki/Lois_du_mouvement_de_Newton" title="Lois du mouvement de Newton">principe d'action - réaction)</a>.</figcaption></figure> <p>La <dfn>mécanique des solides déformables</dfn> est la branche de la <a href="/wiki/M%C3%A9canique_des_milieux_continus" title="Mécanique des milieux continus">mécanique des milieux continus</a> qui étudie le comportement mécanique des matériaux solides, en particulier leurs mouvements et leurs <a href="/wiki/D%C3%A9formation_d%27un_mat%C3%A9riau" title="Déformation d'un matériau">déformations</a> sous l'action de <a href="/wiki/Force_(physique)" title="Force (physique)">forces</a>, de changements de <a href="/wiki/Temp%C3%A9rature" title="Température">température</a>, de changements de phase ou d'autres actions externes ou internes. </p><p>Une application typique de la mécanique des solides déformables consiste à déterminer à partir d'une certaine géométrie solide d'origine et des chargements qui lui sont appliqués, si le corps répond à certaines exigences de <a href="/wiki/R%C3%A9sistance_des_mat%C3%A9riaux" title="Résistance des matériaux">résistance</a> et de <a href="/wiki/Raideur_(m%C3%A9canique)" title="Raideur (mécanique)">rigidité</a>. Pour résoudre ce problème, il convient de déterminer le <a href="/wiki/Tenseur_des_contraintes" title="Tenseur des contraintes">champ de contrainte</a> et le champ de déformation du solide. Les équations nécessaires pour cela sont : </p> <ul><li>les <a href="/wiki/%C3%89quation_d%27%C3%A9quilibre" class="mw-redirect" title="Équation d'équilibre">équations d'équilibre</a>, qui relient les contraintes internes du solide aux charges exercées (cf. <a href="/wiki/%C3%89quilibre_statique_(m%C3%A9canique)" title="Équilibre statique (mécanique)">équilibre statique</a>) ;</li> <li>les <a href="/wiki/Loi_de_comportement" title="Loi de comportement">lois de comportement</a>, qui relient les contraintes aux déformations, et dans lesquelles d'autres grandeurs telles que la température, la <a href="/wiki/Vitesse_de_d%C3%A9formation" title="Vitesse de déformation">vitesse de déformation</a>, les déformations plastiques accumulées, les variables de durcissement, etc. peuvent aussi intervenir ;</li> <li>les équations de compatibilité, à partir desquelles les déplacements sont restitués en fonction des déformations et des <a href="/wiki/Conditions_aux_limites" class="mw-redirect" title="Conditions aux limites">conditions aux limites</a>.</li></ul> <p>La mécanique des solides déformables est fondamentale en ingénierie pour le <a href="/wiki/G%C3%A9nie_civil" title="Génie civil">génie civil</a>, la <a href="/wiki/Construction_m%C3%A9canique" class="mw-redirect" title="Construction mécanique">construction mécanique</a> (<a href="/wiki/A%C3%A9rospatial" class="mw-redirect" title="Aérospatial">aérospatial</a>, <a href="/wiki/Industrie_nucl%C3%A9aire" title="Industrie nucléaire">nucléaire</a>, <a href="/wiki/G%C3%A9nie_biom%C3%A9dical" title="Génie biomédical">biomédical</a> etc.), en <a href="/wiki/Science_des_mat%C3%A9riaux" title="Science des matériaux">science des matériaux</a> ou en <a href="/wiki/G%C3%A9ologie" title="Géologie">géologie</a><sup id="cite_ref-applied_mechanics_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-applied_mechanics-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Il existe des applications spécifiques dans de nombreux autres domaines, tels que la <a href="/wiki/Biom%C3%A9canique" title="Biomécanique">compréhension de l'anatomie</a> des êtres vivants et la conception de <a href="/wiki/Proth%C3%A8se_(m%C3%A9decine)" title="Prothèse (médecine)">prothèses</a> ou d'<a href="/wiki/Implant" title="Implant">implants chirurgicaux</a>. L'une des applications pratiques les plus courantes de la mécanique des solides déformables est l'<a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_poutres" title="Théorie des poutres">équation de poutre d'Euler-Bernoulli</a>. La mécanique des solides utilise largement des <a href="/wiki/Tenseur" title="Tenseur">tenseurs</a> pour décrire les <a href="/wiki/Contrainte_(m%C3%A9canique)" title="Contrainte (mécanique)">contraintes</a>, les <a href="/wiki/D%C3%A9formation_d%27un_mat%C3%A9riau" title="Déformation d'un matériau">déformations</a> et la relation qui les lie. </p><p>La mécanique des solides déformables est un vaste domaine en raison de la grande variété de matériaux disponibles, tels que l'<a href="/wiki/Acier" title="Acier">acier</a>, le <a href="/wiki/Bois" title="Bois">bois</a>, le <a href="/wiki/B%C3%A9ton" class="mw-redirect" title="Béton">béton</a>, les <a href="/wiki/Mati%C3%A8re_plastique" title="Matière plastique">plastiques</a>, les <a href="/wiki/%C3%89lastom%C3%A8re" title="Élastomère">élastomères</a>, les <a href="/wiki/Textile" title="Textile">textiles</a>, les <a href="/wiki/Mat%C3%A9riau_composite" title="Matériau composite">matériaux composites</a> ou les <a href="/wiki/Tissu_biologique" title="Tissu biologique">tissus biologiques</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Cinématique_des_milieux_continus_solides_(description_lagrangienne)"><span id="Cin.C3.A9matique_des_milieux_continus_solides_.28description_lagrangienne.29"></span>Cinématique des milieux continus solides (description lagrangienne)</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Cinématique des milieux continus solides (description lagrangienne)" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Cinématique des milieux continus solides (description lagrangienne)"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>On décrit la transformation de chaque point du milieu par une fonction (suffisamment régulière) <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {\Phi }}(M,t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi mathvariant="normal">Φ</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {\Phi }}(M,t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d128fc88235b9eaa2a446fcf366b1209ee184b3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.583ex; margin-bottom: -0.755ex; width:7.805ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\underline {\Phi }}(M,t)}"></span> telle que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {OM}}={\underline {\Phi }}(M_{0},t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow> <mi>O</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi mathvariant="normal">Φ</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {OM}}={\underline {\Phi }}(M_{0},t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56138ae4fbbd867afc66c0e430b1d6cecb901ae4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.583ex; margin-left: -0.122ex; margin-bottom: -0.755ex; width:16.109ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\underline {OM}}={\underline {\Phi }}(M_{0},t)}"></span>. </p><p>On introduit alors le concept de déformation, pour mesurer la variation de distance entre deux points du solide à la suite de la transformation <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {\Phi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi mathvariant="normal">Φ</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {\Phi }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e313b33ff022da7e800cd2fdb1c7ab14583bac0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.511ex; margin-bottom: -0.827ex; width:1.68ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\underline {\Phi }}}"></span>. </p><p>On cherche à avoir une mesure de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|MN\|^{2}-\|M_{0}N_{0}\|^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>M</mi> <mi>N</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|MN\|^{2}-\|M_{0}N_{0}\|^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8c9069f99a92f40dbae04b4eae33dbf25d2340" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.333ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \|MN\|^{2}-\|M_{0}N_{0}\|^{2}}"></span>. </p><p>Or on a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {OM}}={\underline {\Phi }}(M_{0},t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow> <mi>O</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi mathvariant="normal">Φ</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {OM}}={\underline {\Phi }}(M_{0},t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56138ae4fbbd867afc66c0e430b1d6cecb901ae4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.583ex; margin-left: -0.122ex; margin-bottom: -0.755ex; width:16.109ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\underline {OM}}={\underline {\Phi }}(M_{0},t)}"></span>. On peut donc écrire : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {ON}}={\underline {OM}}+{\underline {\underline {F}}}\cdot {\underline {M_{0}N_{0}}}+o(\|{\underline {M_{0}N_{0}}}\|)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow> <mi>O</mi> <mi>N</mi> </mrow> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow> <mi>O</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <munder> <mi>F</mi> <mo>_</mo> </munder> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo>+</mo> <mi>o</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {ON}}={\underline {OM}}+{\underline {\underline {F}}}\cdot {\underline {M_{0}N_{0}}}+o(\|{\underline {M_{0}N_{0}}}\|)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f908bb69e09fec403bf4501a9b0db32421b96f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.02ex; margin-left: -0.128ex; margin-bottom: -0.818ex; width:38.11ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\underline {ON}}={\underline {OM}}+{\underline {\underline {F}}}\cdot {\underline {M_{0}N_{0}}}+o(\|{\underline {M_{0}N_{0}}}\|)}"></span></center> <p>où : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {\underline {F}}}={\underline {\underline {\operatorname {grad} }}}({\underline {\Phi }})={\frac {\partial {\underline {\Phi }}}{\partial M_{0}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <munder> <mi>F</mi> <mo>_</mo> </munder> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <munder> <mi>grad</mi> <mo>_</mo> </munder> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi mathvariant="normal">Φ</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi mathvariant="normal">Φ</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {\underline {F}}}={\underline {\underline {\operatorname {grad} }}}({\underline {\Phi }})={\frac {\partial {\underline {\Phi }}}{\partial M_{0}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709ba7b19a2f9f2c6630b9f86e2399c012547d67" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; margin-left: -0.159ex; width:21.586ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\underline {\underline {F}}}={\underline {\underline {\operatorname {grad} }}}({\underline {\Phi }})={\frac {\partial {\underline {\Phi }}}{\partial M_{0}}}}"></span></center> <p>est le gradient de la transformation. </p><p>On obtient donc : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|MN\|^{2}-\|M_{0}N_{0}\|^{2}={\underline {M_{0}N_{0}}}\left({\underline {\underline {F}}}^{T}\cdot {\underline {\underline {F}}}-{\underline {\underline {Id}}}\right){\underline {M_{0}N_{0}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>M</mi> <mi>N</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <munder> <mi>F</mi> <mo>_</mo> </munder> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <munder> <mi>F</mi> <mo>_</mo> </munder> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <munder> <mrow> <mi>I</mi> <mi>d</mi> </mrow> <mo>_</mo> </munder> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|MN\|^{2}-\|M_{0}N_{0}\|^{2}={\underline {M_{0}N_{0}}}\left({\underline {\underline {F}}}^{T}\cdot {\underline {\underline {F}}}-{\underline {\underline {Id}}}\right){\underline {M_{0}N_{0}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d846902640bb90dd9465b12ddc9c5a71424b4315" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.511ex; margin-bottom: -0.327ex; width:51.232ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \|MN\|^{2}-\|M_{0}N_{0}\|^{2}={\underline {M_{0}N_{0}}}\left({\underline {\underline {F}}}^{T}\cdot {\underline {\underline {F}}}-{\underline {\underline {Id}}}\right){\underline {M_{0}N_{0}}}}"></span></center> <p>On pose : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {\underline {E}}}={\frac {1}{2}}\left({\underline {\underline {F}}}^{T}\cdot {\underline {\underline {F}}}-{\underline {\underline {Id}}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <munder> <mi>E</mi> <mo>_</mo> </munder> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <munder> <mi>F</mi> <mo>_</mo> </munder> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <munder> <mi>F</mi> <mo>_</mo> </munder> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <munder> <mrow> <mi>I</mi> <mi>d</mi> </mrow> <mo>_</mo> </munder> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {\underline {E}}}={\frac {1}{2}}\left({\underline {\underline {F}}}^{T}\cdot {\underline {\underline {F}}}-{\underline {\underline {Id}}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eade20231d933f8afc7226835f98e99f0ddc8f3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.597ex; margin-left: -0.038ex; margin-bottom: -0.241ex; width:21.865ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\underline {\underline {E}}}={\frac {1}{2}}\left({\underline {\underline {F}}}^{T}\cdot {\underline {\underline {F}}}-{\underline {\underline {Id}}}\right)}"></span></center> <p>où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {\underline {E}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <munder> <mi>E</mi> <mo>_</mo> </munder> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {\underline {E}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66a7a7286cd077d9c90fc8130127ec026146d44f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.02ex; margin-left: -0.038ex; margin-bottom: -0.818ex; width:1.817ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\underline {\underline {E}}}}"></span> est l'opérateur des déformations de Green-Lagrange. </p><p>Si on introduit le vecteur déplacement <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {u}}(M_{0},t)={\underline {M_{0}M}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>u</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>M</mi> </mrow> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {u}}(M_{0},t)={\underline {M_{0}M}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4578626a455bf8dc4d47d5733d259ba27b76f2e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.895ex; margin-bottom: -0.777ex; width:17.173ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\underline {u}}(M_{0},t)={\underline {M_{0}M}}}"></span>, on obtient : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {\underline {E}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}^{T}\cdot {\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}+{\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}+{\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}^{T}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <munder> <mi>E</mi> <mo>_</mo> </munder> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>u</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>u</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>u</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>u</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {\underline {E}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}^{T}\cdot {\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}+{\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}+{\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}^{T}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b783a07f12db7e3d428d40f8440e088fc29b4526" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; margin-left: -0.038ex; width:42.971ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\underline {\underline {E}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}^{T}\cdot {\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}+{\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}+{\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}^{T}\right)}"></span></center> <p>Si l'on fait l'hypothèse des petites déformations, on obtient l'opérateur des déformations linéarisé : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {\underline {\varepsilon }}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}+{\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}^{T}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <munder> <mi>ε</mi> <mo>_</mo> </munder> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>u</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>u</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {\underline {\varepsilon }}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}+{\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}^{T}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89027842ca1c4c64dfd98858682105d5fac61cee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:25.483ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\underline {\underline {\varepsilon }}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}+{\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial M_{0}}}^{T}\right)}"></span></center> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tenseur_des_déformations"><span id="Tenseur_des_d.C3.A9formations"></span>Tenseur des déformations</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Tenseur des déformations" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Tenseur des déformations"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Tenseur_des_d%C3%A9formations" title="Tenseur des déformations">Tenseur des déformations</a>.</div></div> <p>Si l'on dessine un petit <a href="/wiki/Cube" title="Cube">cube</a> au sein de la matière, ce cube sera transformé en <a href="/wiki/Parall%C3%A9l%C3%A9pip%C3%A8de" title="Parallélépipède">parallélépipède</a> après déformation de la pièce (on suppose des petites déformations). On va donc avoir d'une part une élongation (ou contraction) différente selon les trois arêtes (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ϵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>ϵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>ϵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/612aec5e099193ecb77c8fde2149f339f1614a0e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.063ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3}}"></span>), mais aussi une variation de l'angle droit pour chacun des trois <a href="/wiki/Angle" title="Angle">angles</a>, qui deviendront (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi /2-2\gamma _{1},\pi /2-2\gamma _{2},\pi /2-2\gamma _{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi /2-2\gamma _{1},\pi /2-2\gamma _{2},\pi /2-2\gamma _{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0733e913571d58979090b67d7b9d2da6878bf8a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.823ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi /2-2\gamma _{1},\pi /2-2\gamma _{2},\pi /2-2\gamma _{3}}"></span>). </p><p>Ces grandeurs permettent de définir le <a href="/wiki/Tenseur_des_d%C3%A9formations" title="Tenseur des déformations">tenseur des déformations</a> qu'on peut représenter sous la forme d'une matrice 3×3 dont les coefficients sont ces grandeurs. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tenseur_des_contraintes">Tenseur des contraintes</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Tenseur des contraintes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Tenseur des contraintes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Tenseur_des_contraintes" title="Tenseur des contraintes">Tenseur des contraintes</a>.</div></div> <p>Dans le cas général, un élément de matière situé au cœur d'une pièce est soumis à des contraintes dans diverses directions. Dans le cadre de la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_du_premier_gradient" title="Théorie du premier gradient">théorie du premier gradient</a>, on représente cet <i>état de contrainte</i> par un <a href="/wiki/Tenseur" title="Tenseur">tenseur</a> d'ordre deux (que l'on peut lui-même représenter par une <a href="/wiki/Matrice_(math%C3%A9matiques)" title="Matrice (mathématiques)">matrice</a> 3×3) appelé <i>tenseur des contraintes</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Loi_de_comportement">Loi de comportement</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Loi de comportement" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Loi de comportement"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/Loi_de_comportement" title="Loi de comportement">Loi de comportement</a>, <a href="/wiki/D%C3%A9formation_%C3%A9lastique" title="Déformation élastique">Déformation élastique</a> et <a href="/wiki/Visco%C3%A9lasticit%C3%A9" title="Viscoélasticité">Viscoélasticité</a>.</div></div> <p>Les lois de comportement modélisent le comportement des solides par des lois <a href="/wiki/Empirique" class="mw-redirect" title="Empirique">empiriques</a> liant deux <a href="/wiki/Grandeur_physique" title="Grandeur physique">grandeurs physiques</a>, principalement les <a href="/wiki/Contrainte_(m%C3%A9canique)" title="Contrainte (mécanique)">contraintes</a> aux <a href="/wiki/D%C3%A9formation_d%27un_mat%C3%A9riau" title="Déformation d'un matériau">déformations</a> (voire à la vitesse de déformation). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Types_de_solides_déformables"><span id="Types_de_solides_d.C3.A9formables"></span>Types de solides déformables</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Types de solides déformables" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Types de solides déformables"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les solides déformables diffèrent les uns des autres par leur loi de comportement. Selon la loi de comportement qui relie les grandeurs mécaniques et thermodynamiques pertinentes du solide, on distingue les comportements suivants : </p> <ul><li>le <b><a href="/wiki/D%C3%A9formation_%C3%A9lastique" title="Déformation élastique">comportement élastique</a></b> se produit lorsqu'un solide qui se déforme augmente son <a href="/wiki/%C3%89nergie_interne" title="Énergie interne">énergie interne</a> (l'<a href="/wiki/%C3%89nergie_potentielle_%C3%A9lastique" title="Énergie potentielle élastique">énergie potentielle élastique</a>) sans produire de transformations thermodynamiques <a href="/wiki/Irr%C3%A9versibilit%C3%A9" class="mw-redirect" title="Irréversibilité">irréversibles</a>. La caractéristique la plus importante du comportement élastique est qu'il est réversible : si les forces qui provoquent la déformation cessent, le solide, tel un ressort, revient à l'état initial avant l'application des charges. On distingue plusieurs sous-types de comportement élastique : <ul><li>élastique linéaire <a href="/wiki/Isotropie" title="Isotropie">isotrope</a>, comme celui de la plupart des métaux non <a href="/wiki/%C3%89crouissage" title="Écrouissage">déformés à froid</a> et soumis à de petites déformations ;</li> <li>élastique linéaire non isotrope : des <a href="/wiki/Mat%C3%A9riaux_composites" class="mw-redirect" title="Matériaux composites">matériaux composites</a> comme le <a href="/wiki/Bois" title="Bois">bois</a> ont un comportement qui dépend de l'orientation des fibres ; c'est donc un matériau orthotrope (un cas particulier de non-isotropie) ;</li> <li>élastiques non linéaires, des élastomères comme le caoutchouc, ou du béton pour de petites forces de compression, qui reviennent à leur position initiale (hors endommagement) mais dont les contraintes ne sont pas strictement proportionnelles aux déformations ;</li></ul></li> <li>le <b><a href="/wiki/D%C3%A9formation_plastique" title="Déformation plastique">comportement élastoplastique</a></b> : quand on atteint le domaine plastique, il y a irréversibilité ; même si les forces sous lesquelles les déformations plastiques se sont produites cessent, le solide ne revient pas exactement à l'état thermodynamique et de déformation qu'il avait avant l'application de celui-ci. À leur tour, les sous-types sont : <ul><li>plastique pur, lorsque le matériau s'allonge (on parle d'écoulement plastique) librement à partir d'un certain niveau de contrainte ;</li> <li>plastique avec <a href="/wiki/%C3%89crouissage" title="Écrouissage">écrouissage</a>, avec une contrainte qui augmente avec la déformation plastique ; il est donc nécessaire d'augmenter la tension pour poursuivre l'écoulement plastique ;</li> <li>plastique avec affaiblissement ;</li></ul></li> <li>le <b><a href="/wiki/Viscosit%C3%A9" title="Viscosité">comportement visqueux</a></b> qui se produit lorsque la vitesses de déformation intervient dans la loi de comportement, typiquement les contraintes augmentent avec la vitesse de déformation. Ici, les modèles suivants peuvent être distingués : <ul><li><a href="/wiki/Visco%C3%A9lasticit%C3%A9" title="Viscoélasticité">comportement viscoélastique</a>, dans lequel les déformations élastiques sont réversibles. Pour des taux de déformation arbitrairement faibles, ce modèle tend vers un modèle de comportement élastique ;</li> <li><a href="/wiki/Viscoplasticit%C3%A9" title="Viscoplasticité">comportement viscoplastique</a>, avec à la fois une augmentation des contraintes en fonction du taux de déformation du fait de la viscosité et l'apparition éventuelle de déformations plastiques irréversibles.</li></ul></li></ul> <p>En principe, un solide d'un matériau donné est capable de présenter plusieurs de ces comportements en fonction de la plage de contraintes ou de déformations. L'un ou l'autre comportement dépendra de la forme spécifique de la loi de comportement qui relie des paramètres mécaniques importants tels que la contrainte, la déformation (élastique et plastique), la vitesse de déformation, ainsi que des paramètres tels que les constantes élastiques, la viscosité et les paramètres thermodynamiques tels que la température ou l'entropie. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Approche_simplifiée_:_contrainte,_déformation_et_coefficients_d'élasticité"><span id="Approche_simplifi.C3.A9e_:_contrainte.2C_d.C3.A9formation_et_coefficients_d.27.C3.A9lasticit.C3.A9"></span>Approche simplifiée : contrainte, déformation et coefficients d'élasticité</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Approche simplifiée : contrainte, déformation et coefficients d'élasticité" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Approche simplifiée : contrainte, déformation et coefficients d'élasticité"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/D%C3%A9formation_%C3%A9lastique" title="Déformation élastique">Déformation élastique</a>.</div></div> <p>La base de la mécanique des milieux continus est l'étude des déformations et des phénomènes associés à une transformation d'un milieu. La notion de déformation sert à quantifier de quelle manière les longueurs ont été dilatées et les angles ont changé dans le milieu. </p><p>Une manière simple pour chercher à quantifier la déformation, est de regarder l'allongement relatif d'un segment dans le solide, ou la variation d'angle entre deux directions. </p><p>Pour l'<i>allongement relatif</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }"></span>, encore appelé <i>déformation</i> </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}={\frac {l-l_{0}}{l_{0}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>l</mi> </mrow> <msub> <mi>l</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>l</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>l</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>l</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}={\frac {l-l_{0}}{l_{0}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa9c9183d226f2dd6b712d0ca28c743c8ea2a943" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.863ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}={\frac {l-l_{0}}{l_{0}}}}"></span></center> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>l</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e26bea7ddadf1817f47b2d4ce7dc199185823989" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.748ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l_{0}}"></span> étant la longueur initiale et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta l}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta l}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a439c0bf3936e60a15cffce8364a41638d2497c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.629ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta l}"></span> l'allongement ; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }"></span> est sans unité. </p><p>On pourra remarquer que lors d'une sollicitation en traction, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }"></span> est positif, et que lors d'une compression, il est négatif. </p><p>Cette notion introduite ici est « globale » en cela que l'on regarde l'allongement relatif pour un segment de longueur <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>l</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e26bea7ddadf1817f47b2d4ce7dc199185823989" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.748ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l_{0}}"></span>. </p><p>Pour introduire une notion locale, il faut considérer la limite de l'allongement relatif lorsque la longueur du segment tend vers 0 : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon =\mathop {\lim _{\ell \to 0}} {\frac {{\delta }{\ell }}{\ell }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ℓ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> </mrow> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>δ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ℓ</mi> </mrow> </mrow> <mi>ℓ</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon =\mathop {\lim _{\ell \to 0}} {\frac {{\delta }{\ell }}{\ell }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db802451221d3d255d6cc860c5a0c91633650061" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:10.653ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon =\mathop {\lim _{\ell \to 0}} {\frac {{\delta }{\ell }}{\ell }}}"></span></center> <p>On se rend alors compte que la notion d'allongement relatif est assez pauvre, car au cœur du volume d'un solide, on peut considérer une infinité de directions pour les segments. Cette notion est cependant suffisante pour appréhender l'<a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_poutres" title="Théorie des poutres">étude des poutres</a>. </p><p>Les sollicitations sont quantifiées par la notion de <i>contrainte</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }"></span>, qui est l'effort surfacique exercé sur une partie de la pièce en un point par le reste de la pièce. Cette contrainte, si on la suppose uniforme dans la section, peut s'assimiler à la contrainte moyenne : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ={\frac {F}{S}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>F</mi> <mi>S</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ={\frac {F}{S}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66404a062949a3562df34d8327005fb42dee72a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:7.005ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma ={\frac {F}{S}}}"></span></center> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }"></span> est homogène à une <a href="/wiki/Pression" title="Pression">pression</a> et est exprimé en <a href="/wiki/M%C3%A9ga" title="Méga">méga</a><a href="/wiki/Pascal_(unit%C3%A9)" title="Pascal (unité)">pascals</a> (MPa) ou en <a href="/wiki/Newton_(unit%C3%A9)" title="Newton (unité)">newtons</a> par millimètre carré (N/mm²). </p><p>Le fait d'utiliser <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \epsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϵ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \epsilon }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3837cad72483d97bcdde49c85d3b7b859fb3fd2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.944ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \epsilon }"></span> permet d'écrire des lois locales et non globales, on peut alors écrire l'équilibre de chaque point du milieu et décrire son comportement (loi liant la contrainte et la déformation). </p><p>Le matériau est caractérisé par des <i><a href="/wiki/Module_d%27%C3%A9lasticit%C3%A9" title="Module d'élasticité">coefficients d'élasticité</a></i>, qui représentent la difficulté à déformer ; le principal est le <a href="/wiki/Module_de_Young" class="mw-redirect" title="Module de Young">module de Young</a>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span>, lié à la contrainte et la déformation par la <b><a href="/wiki/Loi_de_Hooke" title="Loi de Hooke">loi de Hooke</a></b> : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma =E\cdot \varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mo>⋅</mo> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma =E\cdot \varepsilon }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d703f44b1381590e63929e5042074df101cc6e3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.966ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma =E\cdot \varepsilon }"></span>, </center> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> est homogène à une pression et est exprimé en <a href="/wiki/M%C3%A9ga" title="Méga">mégapascals</a> (MPa), <a href="/wiki/Giga" title="Giga">gigapascals</a> (GPa) ou en <a href="/wiki/Kilo" title="Kilo">kilonewtons</a> par millimètre carré (kN/mm²). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé <span class="plainlinks">« <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Solid_mechanics?oldid=929929890">Solid mechanics</a> » <small>(<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Solid_mechanics?action=history">voir la liste des auteurs</a>)</small></span>.</li></ul> <ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : espagnol">(es)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en espagnol intitulé <span class="plainlinks">« <a class="external text" href="https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformables?oldid=128467091">Mecánica de sólidos deformables</a> » <small>(<a class="external text" href="https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformables?action=history">voir la liste des auteurs</a>)</small></span>.</li></ul> <ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : français">(fr)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en français intitulé <span class="plainlinks">« <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_milieux_continus&oldid=173810354">Mécanique des milieux continus</a> » <small>(<a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_milieux_continus&action=history">voir la liste des auteurs</a>)</small></span>.</li></ul> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-applied_mechanics-1"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-applied_mechanics_1-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Bower2009"><span class="ouvrage" id="Allan_Bower2009">Allan Bower, <cite class="italique">Applied mechanics of solids</cite>, CRC press, <time>2009</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://solidmechanics.org">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Applied+mechanics+of+solids&rft.pub=CRC+press&rft.aulast=Bower&rft.aufirst=Allan&rft.date=2009&rft_id=http%3A%2F%2Fsolidmechanics.org&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+des+solides+d%C3%A9formables"></span></span></span></span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Articles connexes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a 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externes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_des_solides_d%C3%A9formables&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Liens externes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF)">[PDF]</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.imprimerie.polytechnique.fr/Cours/Files/memento_elasto_plasticite.pdf">Mémento de mécanique des milieux continus et de thermoélasticité</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://aluminium.matter.org.uk/content/html/fre/default.asp?catid=60&pageid=2144416148">Propriétés mécaniques : Généralités</a></li></ul> <div class="navbox-container" style="clear:both;"> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Branches_de_la_physique" title="Modèle:Palette Branches de la physique"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Branches_de_la_physique&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%">Branches de la <a href="/wiki/Physique" title="Physique">physique</a></div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Catégories</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Physique_appliqu%C3%A9e" title="Physique appliquée">Appliquée</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_exp%C3%A9rimentale" title="Physique expérimentale">Expérimentale</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_th%C3%A9orique" title="Physique théorique">Théorique</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a href="/wiki/Champ_(physique)" title="Champ (physique)">Champs</a> et <a href="/wiki/Onde" title="Onde">ondes</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Champ_gravitationnel" title="Champ gravitationnel">Champ gravitationnel</a></li> <li><a href="/wiki/Champ_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique" title="Champ électromagnétique">Champ électromagnétique</a></li> <li><a href="/wiki/Champ_de_Higgs_%C3%A9lectrofaible" title="Champ de Higgs électrofaible">Champ de Higgs électrofaible</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_quantique_des_champs" title="Théorie quantique des champs">Théorie quantique des champs</a></li> <li><a href="/wiki/Principe_de_relativit%C3%A9" title="Principe de relativité">Relativité</a> <ul><li><a href="/wiki/Relativit%C3%A9_g%C3%A9n%C3%A9rale" title="Relativité générale">Générale</a></li> <li><a href="/wiki/Relativit%C3%A9_restreinte" title="Relativité restreinte">Restreinte</a></li></ul></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a href="/wiki/%C3%89nergie_(physique)" title="Énergie (physique)">Énergie</a> et <a href="/wiki/Mouvement_(m%C3%A9canique)" title="Mouvement (mécanique)">mouvement</a></th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/M%C3%A9canique_(science)" title="Mécanique (science)">Mécanique</a> <ul><li><a href="/wiki/M%C3%A9canique_newtonienne" title="Mécanique newtonienne">Classique</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9canique_c%C3%A9leste" title="Mécanique céleste">Céleste</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9canique_des_fluides" title="Mécanique des fluides">Fluides</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9canique_des_milieux_continus" title="Mécanique des milieux continus">Milieux continus</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9canique_quantique" title="Mécanique quantique">Quantique</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Thermodynamique" title="Thermodynamique">Thermodynamique</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Spécialités</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Acoustique" title="Acoustique">Acoustique</a></li> <li><a href="/wiki/Astrophysique" title="Astrophysique">Astrophysique</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_atomique" title="Physique atomique">Atomique</a></li> <li><a href="/wiki/G%C3%A9nie_industriel" title="Génie industriel">Industrielle</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_de_la_mati%C3%A8re_condens%C3%A9e" title="Physique de la matière condensée">Matière condensée</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_nucl%C3%A9aire" title="Physique nucléaire">Nucléaire</a></li> <li><a href="/wiki/Optique_physique" title="Optique physique">Optique</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_des_particules" title="Physique des particules">Particules</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_du_solide" title="Physique du solide">Solide</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_statistique" title="Physique statistique">Statistique</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Autres sciences</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Physique_de_l%27atmosph%C3%A8re" title="Physique de l'atmosphère">Atmosphérique</a></li> <li><a href="/wiki/Biophysique" title="Biophysique">Biophysique</a></li> <li><a href="/wiki/Biom%C3%A9canique" title="Biomécanique">Biomécanique</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_m%C3%A9dicale" title="Physique médicale">Médicale</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89conophysique" title="Éconophysique">Éconophysique</a></li> <li><a href="/wiki/G%C3%A9ophysique" title="Géophysique">Géophysique</a></li> <li><a href="/wiki/Physico-chimie" title="Physico-chimie">Physico-chimie</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_math%C3%A9matique" title="Physique mathématique">Mathématique</a></li> <li><a href="/wiki/Psychophysique" title="Psychophysique">Psychophysique</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table> </div> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Physique" title="Portail de la physique"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Circle-icons-physics-logo.svg/24px-Circle-icons-physics-logo.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Circle-icons-physics-logo.svg/36px-Circle-icons-physics-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Circle-icons-physics-logo.svg/48px-Circle-icons-physics-logo.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Physique" title="Portail:Physique">Portail de la physique</a></span> </span></li> <li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:G%C3%A9nie_m%C3%A9canique" title="Portail du génie mécanique"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/BotOp-logo.svg/24px-BotOp-logo.svg.png" 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Mécanique des solides déformables — Wikipédia