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<div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Surfaces usuelles</span> </div> </a> <ul id="toc-Surfaces_usuelles-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Rectangle" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Rectangle"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1.1</span> <span>Rectangle</span> </div> </a> <ul id="toc-Rectangle-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Triangle" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Triangle"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1.2</span> <span>Triangle</span> </div> </a> <ul id="toc-Triangle-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Disque" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Disque"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1.3</span> <span>Disque</span> </div> </a> <ul id="toc-Disque-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Intégrale" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Intégrale"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Intégrale</span> </div> </a> <ul id="toc-Intégrale-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Méthode_de_Monte_Carlo" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Méthode_de_Monte_Carlo"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>Méthode de Monte Carlo</span> </div> </a> <ul id="toc-Méthode_de_Monte_Carlo-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Problèmes_d'aire" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Problèmes_d'aire"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Problèmes d'aire</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Problèmes_d'aire-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Problèmes d'aire</span> </button> <ul id="toc-Problèmes_d'aire-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Quadrature_du_cercle" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Quadrature_du_cercle"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Quadrature du cercle</span> </div> </a> <ul id="toc-Quadrature_du_cercle-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Confusion_entre_aire_et_périmètre" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Confusion_entre_aire_et_périmètre"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Confusion entre aire et périmètre</span> </div> </a> <ul id="toc-Confusion_entre_aire_et_périmètre-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Isopérimétrie,_surface_minimale" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Isopérimétrie,_surface_minimale"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>Isopérimétrie, surface minimale</span> </div> </a> <ul id="toc-Isopérimétrie,_surface_minimale-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Grande_surface" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Grande_surface"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.4</span> <span>Grande surface</span> </div> </a> <ul id="toc-Grande_surface-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Histoire" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Histoire"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Histoire</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Histoire-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Histoire</span> </button> <ul id="toc-Histoire-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Haute_Antiquité" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Haute_Antiquité"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Haute Antiquité</span> </div> </a> <ul id="toc-Haute_Antiquité-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Grèce_antique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Grèce_antique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Grèce antique</span> </div> </a> <ul id="toc-Grèce_antique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Monde_arabo-musulman" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Monde_arabo-musulman"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>Monde arabo-musulman</span> </div> </a> <ul id="toc-Monde_arabo-musulman-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Superficie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Superficie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Superficie</span> </div> </a> <ul id="toc-Superficie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notes_et_références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes_et_références"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Notes et références</span> </div> </a> <ul id="toc-Notes_et_références-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Voir_aussi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Voir_aussi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Voir aussi</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Voir_aussi-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Voir aussi</span> </button> <ul id="toc-Voir_aussi-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Bibliographie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliographie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.1</span> <span>Bibliographie</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliographie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Articles_connexes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Articles_connexes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.2</span> <span>Articles connexes</span> </div> </a> <ul id="toc-Articles_connexes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="Table des matières" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Basculer la table des matières</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Aire (géométrie)</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 165 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-165" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">165 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Oppervlakte" title="Oppervlakte – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Oppervlakte" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt – alémanique" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Flächeninhalt" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="alémanique" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Aria" title="Aria – aragonais" lang="an" hreflang="an" data-title="Aria" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="aragonais" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-anp mw-list-item"><a href="https://anp.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2" title="क्षेत्रफल – angika" lang="anp" hreflang="anp" data-title="क्षेत्रफल" data-language-autonym="अंगिका" data-language-local-name="angika" class="interlanguage-link-target"><span>अंगिका</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B3%D8%A7%D8%AD%D8%A9" title="مساحة – arabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="مساحة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-arc mw-list-item"><a href="https://arc.wikipedia.org/wiki/%DC%AB%DC%9B%DC%9D%DC%9A%DC%98%DC%AC%DC%90" title="ܫܛܝܚܘܬܐ – araméen" lang="arc" hreflang="arc" data-title="ܫܛܝܚܘܬܐ" data-language-autonym="ܐܪܡܝܐ" data-language-local-name="araméen" class="interlanguage-link-target"><span>ܐܪܡܝܐ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ary mw-list-item"><a href="https://ary.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%8A%D8%B3%D8%A7%D8%B9" title="تيساع – arabe marocain" lang="ary" hreflang="ary" data-title="تيساع" data-language-autonym="الدارجة" data-language-local-name="arabe marocain" class="interlanguage-link-target"><span>الدارجة</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-arz mw-list-item"><a href="https://arz.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B3%D8%A7%D8%AD%D9%87" title="مساحه – arabe égyptien" lang="arz" hreflang="arz" data-title="مساحه" data-language-autonym="مصرى" data-language-local-name="arabe égyptien" class="interlanguage-link-target"><span>مصرى</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%B7%E0%A7%87%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A7%B0%E0%A6%AB%E0%A6%B2" title="ক্ষেত্ৰফল – assamais" lang="as" hreflang="as" data-title="ক্ষেত্ৰফল" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="assamais" class="interlanguage-link-target"><span>অসমীয়া</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea_(xeometr%C3%ADa)" title="Área (xeometría) – asturien" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Área (xeometría)" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturien" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-av mw-list-item"><a href="https://av.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C" title="Площадь – avar" lang="av" hreflang="av" data-title="Площадь" data-language-autonym="Авар" data-language-local-name="avar" class="interlanguage-link-target"><span>Авар</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-awa mw-list-item"><a href="https://awa.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2" title="क्षेत्रफल – awadhi" lang="awa" hreflang="awa" data-title="क्षेत्रफल" data-language-autonym="अवधी" data-language-local-name="awadhi" class="interlanguage-link-target"><span>अवधी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Sah%C9%99_(%C3%B6l%C3%A7%C3%BC_parametri)" title="Sahə (ölçü parametri) – azerbaïdjanais" lang="az" hreflang="az" data-title="Sahə (ölçü parametri)" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaïdjanais" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B3%D8%A7%D8%AD%D8%AA" title="مساحت – South Azerbaijani" lang="azb" hreflang="azb" data-title="مساحت" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target"><span>تۆرکجه</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D0%B9%D2%99%D0%B0%D0%BD" title="Майҙан – bachkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Майҙан" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="bachkir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bar mw-list-item"><a href="https://bar.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4chn" title="Flächn – bavarois" lang="bar" hreflang="bar" data-title="Flächn" data-language-autonym="Boarisch" data-language-local-name="bavarois" class="interlanguage-link-target"><span>Boarisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Pluots" title="Pluots – samogitien" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Pluots" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="samogitien" class="interlanguage-link-target"><span>Žemaitėška</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Hiwas" title="Hiwas – Central Bikol" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Hiwas" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="Central Bikol" class="interlanguage-link-target"><span>Bikol Central</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%88%D1%87%D0%B0" title="Плошча – biélorusse" lang="be" hreflang="be" data-title="Плошча" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="biélorusse" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%88%D1%87%D0%B0" title="Плошча – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Плошча" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89" title="Площ – bulgare" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Площ" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bulgare" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2" title="क्षेत्रफल – Bhojpuri" lang="bh" hreflang="bh" data-title="क्षेत्रफल" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target"><span>भोजपुरी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%B7%E0%A7%87%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A6%AB%E0%A6%B2" title="ক্ষেত্রফল – bengali" lang="bn" hreflang="bn" data-title="ক্ষেত্রফল" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengali" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Gorread" title="Gorread – breton" lang="br" hreflang="br" data-title="Gorread" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="breton" class="interlanguage-link-target"><span>Brezhoneg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Povr%C5%A1ina" title="Površina – bosniaque" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Površina" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosniaque" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-btm mw-list-item"><a href="https://btm.wikipedia.org/wiki/Bolak" title="Bolak – Batak Mandailing" lang="btm" hreflang="btm" data-title="Bolak" data-language-autonym="Batak Mandailing" data-language-local-name="Batak Mandailing" class="interlanguage-link-target"><span>Batak Mandailing</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/%C3%80rea" title="Àrea – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Àrea" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cdo mw-list-item"><a href="https://cdo.wikipedia.org/wiki/Mi%C3%AAng-c%C3%A9k" title="Miêng-cék – Mindong" lang="cdo" hreflang="cdo" data-title="Miêng-cék" data-language-autonym="閩東語 / Mìng-dĕ̤ng-ngṳ̄" data-language-local-name="Mindong" class="interlanguage-link-target"><span>閩東語 / Mìng-dĕ̤ng-ngṳ̄</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ce mw-list-item"><a href="https://ce.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B0" title="Майда – tchétchène" lang="ce" hreflang="ce" data-title="Майда" data-language-autonym="Нохчийн" data-language-local-name="tchétchène" class="interlanguage-link-target"><span>Нохчийн</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ceb mw-list-item"><a href="https://ceb.wikipedia.org/wiki/Langyab" title="Langyab – cebuano" lang="ceb" hreflang="ceb" data-title="Langyab" data-language-autonym="Cebuano" data-language-local-name="cebuano" class="interlanguage-link-target"><span>Cebuano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%95%D9%88%D9%88%D8%A8%DB%95%D8%B1" title="ڕووبەر – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ڕووبەر" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Obsah" title="Obsah – tchèque" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Obsah" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tchèque" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cu mw-list-item"><a href="https://cu.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%A5" title="Пространиѥ – slavon d’église" lang="cu" hreflang="cu" data-title="Пространиѥ" data-language-autonym="Словѣньскъ / ⰔⰎⰑⰂⰡⰐⰠⰔⰍⰟ" data-language-local-name="slavon d’église" class="interlanguage-link-target"><span>Словѣньскъ / ⰔⰎⰑⰂⰡⰐⰠⰔⰍⰟ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%BF%D1%82%C4%83%D0%BA" title="Лаптăк – tchouvache" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Лаптăк" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="tchouvache" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Arwynebedd" title="Arwynebedd – gallois" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Arwynebedd" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="gallois" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Areal" title="Areal – danois" lang="da" hreflang="da" data-title="Areal" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danois" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Flächeninhalt" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-diq mw-list-item"><a href="https://diq.wikipedia.org/wiki/Erd" title="Erd – Dimli" lang="diq" hreflang="diq" data-title="Erd" data-language-autonym="Zazaki" data-language-local-name="Dimli" class="interlanguage-link-target"><span>Zazaki</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-dsb mw-list-item"><a href="https://dsb.wikipedia.org/wiki/Wop%C5%9Bimje%C5%9Be_p%C5%82oni" title="Wopśimjeśe płoni – bas-sorabe" lang="dsb" hreflang="dsb" data-title="Wopśimjeśe płoni" data-language-autonym="Dolnoserbski" data-language-local-name="bas-sorabe" class="interlanguage-link-target"><span>Dolnoserbski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-dv mw-list-item"><a href="https://dv.wikipedia.org/wiki/%DE%87%DE%A6%DE%86%DE%A6%DE%89%DE%A8%DE%82%DE%B0" title="އަކަމިން – maldivien" lang="dv" hreflang="dv" data-title="އަކަމިން" data-language-autonym="ދިވެހިބަސް" data-language-local-name="maldivien" class="interlanguage-link-target"><span>ދިވެހިބަސް</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%95%CE%BC%CE%B2%CE%B1%CE%B4%CF%8C%CE%BD" title="Εμβαδόν – grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Εμβαδόν" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grec" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Area" title="Area – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Area" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Areo" title="Areo – espéranto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Areo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea" title="Área – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Área" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Pindala" title="Pindala – estonien" lang="et" hreflang="et" data-title="Pindala" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonien" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Azalera" title="Azalera – basque" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Azalera" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basque" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B3%D8%A7%D8%AD%D8%AA" title="مساحت – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="مساحت" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Pinta-ala" title="Pinta-ala – finnois" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Pinta-ala" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finnois" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fiu-vro mw-list-item"><a href="https://fiu-vro.wikipedia.org/wiki/Pindala" title="Pindala – võro" lang="vro" hreflang="vro" data-title="Pindala" data-language-autonym="Võro" data-language-local-name="võro" class="interlanguage-link-target"><span>Võro</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Iwasewase" title="Iwasewase – fidjien" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Iwasewase" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="fidjien" class="interlanguage-link-target"><span>Na Vosa Vakaviti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/V%C3%ADdd" title="Vídd – féroïen" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Vídd" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="féroïen" class="interlanguage-link-target"><span>Føroyskt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Areaal_(Miat)" title="Areaal (Miat) – frison septentrional" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Areaal (Miat)" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="frison septentrional" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fy mw-list-item"><a href="https://fy.wikipedia.org/wiki/Oerflak" title="Oerflak – frison occidental" lang="fy" hreflang="fy" data-title="Oerflak" data-language-autonym="Frysk" data-language-local-name="frison occidental" class="interlanguage-link-target"><span>Frysk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%A2%E7%A9%8D" title="面積 – gan" lang="gan" hreflang="gan" data-title="面積" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="gan" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gd mw-list-item"><a href="https://gd.wikipedia.org/wiki/Farsaingeachd" title="Farsaingeachd – gaélique écossais" lang="gd" hreflang="gd" data-title="Farsaingeachd" data-language-autonym="Gàidhlig" data-language-local-name="gaélique écossais" class="interlanguage-link-target"><span>Gàidhlig</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea" title="Área – galicien" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Área" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicien" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gn mw-list-item"><a href="https://gn.wikipedia.org/wiki/Tendaha" title="Tendaha – guarani" lang="gn" hreflang="gn" data-title="Tendaha" data-language-autonym="Avañe'ẽ" data-language-local-name="guarani" class="interlanguage-link-target"><span>Avañe'ẽ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gu mw-list-item"><a href="https://gu.wikipedia.org/wiki/%E0%AA%95%E0%AB%8D%E0%AA%B7%E0%AB%87%E0%AA%A4%E0%AB%8D%E0%AA%B0%E0%AA%AB%E0%AA%B3" title="ક્ષેત્રફળ – goudjarati" lang="gu" hreflang="gu" data-title="ક્ષેત્રફળ" data-language-autonym="ગુજરાતી" data-language-local-name="goudjarati" class="interlanguage-link-target"><span>ગુજરાતી</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gv mw-list-item"><a href="https://gv.wikipedia.org/wiki/Eaghtyr" title="Eaghtyr – mannois" lang="gv" hreflang="gv" data-title="Eaghtyr" data-language-autonym="Gaelg" data-language-local-name="mannois" class="interlanguage-link-target"><span>Gaelg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hak mw-list-item"><a href="https://hak.wikipedia.org/wiki/Mien-chit" title="Mien-chit – hakka" lang="hak" hreflang="hak" data-title="Mien-chit" data-language-autonym="客家語 / Hak-kâ-ngî" data-language-local-name="hakka" class="interlanguage-link-target"><span>客家語 / Hak-kâ-ngî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-haw mw-list-item"><a href="https://haw.wikipedia.org/wiki/%CA%BBAlea" title="ʻAlea – hawaïen" lang="haw" hreflang="haw" data-title="ʻAlea" data-language-autonym="Hawaiʻi" data-language-local-name="hawaïen" class="interlanguage-link-target"><span>Hawaiʻi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%98%D7%97" title="שטח – hébreu" lang="he" hreflang="he" data-title="שטח" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hébreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2" title="क्षेत्रफल – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="क्षेत्रफल" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Area" title="Area – hindi fidjien" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Area" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="hindi fidjien" class="interlanguage-link-target"><span>Fiji Hindi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Povr%C5%A1ina" title="Površina – croate" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Površina" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croate" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hsb mw-list-item"><a href="https://hsb.wikipedia.org/wiki/Wobsah_p%C5%99estrjenje" title="Wobsah přestrjenje – haut-sorabe" lang="hsb" hreflang="hsb" data-title="Wobsah přestrjenje" data-language-autonym="Hornjoserbsce" data-language-local-name="haut-sorabe" class="interlanguage-link-target"><span>Hornjoserbsce</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Ter%C3%BClet_(matematika)" title="Terület (matematika) – hongrois" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Terület (matematika)" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongrois" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%AF%D5%A5%D6%80%D5%A5%D5%BD" title="Մակերես – arménien" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Մակերես" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="arménien" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Area" title="Area – interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Area" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Luas" title="Luas – indonésien" lang="id" hreflang="id" data-title="Luas" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésien" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ilo mw-list-item"><a href="https://ilo.wikipedia.org/wiki/Kalawa" title="Kalawa – ilocano" lang="ilo" hreflang="ilo" data-title="Kalawa" data-language-autonym="Ilokano" data-language-local-name="ilocano" class="interlanguage-link-target"><span>Ilokano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Areo" title="Areo – ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Areo" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Flatarm%C3%A1l" title="Flatarmál – islandais" lang="is" hreflang="is" data-title="Flatarmál" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandais" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Area" title="Area – italien" lang="it" hreflang="it" data-title="Area" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%A2%E7%A9%8D" title="面積 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="面積" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Ieria" title="Ieria – créole jamaïcain" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Ieria" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="créole jamaïcain" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Jembar" title="Jembar – javanais" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Jembar" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="javanais" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A4%E1%83%90%E1%83%A0%E1%83%97%E1%83%9D%E1%83%91%E1%83%98" title="ფართობი – géorgien" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ფართობი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="géorgien" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kab mw-list-item"><a href="https://kab.wikipedia.org/wiki/Tajumma" title="Tajumma – kabyle" lang="kab" hreflang="kab" data-title="Tajumma" data-language-autonym="Taqbaylit" data-language-local-name="kabyle" class="interlanguage-link-target"><span>Taqbaylit</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kbd mw-list-item"><a href="https://kbd.wikipedia.org/wiki/%D0%A9%D3%80%D1%8B%D0%BF%D3%80%D1%8D_%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%B3%D1%8A" title="ЩӀыпӀэ инагъ – kabarde" lang="kbd" hreflang="kbd" data-title="ЩӀыпӀэ инагъ" data-language-autonym="Адыгэбзэ" data-language-local-name="kabarde" class="interlanguage-link-target"><span>Адыгэбзэ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%83%D0%B4%D0%B0%D0%BD_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)" title="Аудан (геометрия) – kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Аудан (геометрия)" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazakh" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%80%E1%9F%92%E1%9E%9A%E1%9E%9B%E1%9E%B6%E1%9E%95%E1%9F%92%E1%9E%91%E1%9F%83" title="ក្រលាផ្ទៃ – khmer" lang="km" hreflang="km" data-title="ក្រលាផ្ទៃ" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="khmer" class="interlanguage-link-target"><span>ភាសាខ្មែរ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%84%93%EC%9D%B4" title="넓이 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="넓이" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-krc mw-list-item"><a href="https://krc.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BB%D1%8B%D0%BA%D1%8A" title="Майданлыкъ – karatchaï balkar" lang="krc" hreflang="krc" data-title="Майданлыкъ" data-language-autonym="Къарачай-малкъар" data-language-local-name="karatchaï balkar" class="interlanguage-link-target"><span>Къарачай-малкъар</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a href="https://ku.wikipedia.org/wiki/R%C3%BBerd" title="Rûerd – kurde" lang="ku" hreflang="ku" data-title="Rûerd" data-language-autonym="Kurdî" data-language-local-name="kurde" class="interlanguage-link-target"><span>Kurdî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kw mw-list-item"><a href="https://kw.wikipedia.org/wiki/Enep_(fysegieth)" title="Enep (fysegieth) – cornique" lang="kw" hreflang="kw" data-title="Enep (fysegieth)" data-language-autonym="Kernowek" data-language-local-name="cornique" class="interlanguage-link-target"><span>Kernowek</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%8F%D0%BD%D1%82" title="Аянт – kirghize" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Аянт" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="kirghize" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Area_(geometria)" title="Area (geometria) – latin" lang="la" hreflang="la" data-title="Area (geometria)" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latin" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4ch" title="Fläch – luxembourgeois" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Fläch" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="luxembourgeois" class="interlanguage-link-target"><span>Lëtzebuergesch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-li mw-list-item"><a href="https://li.wikipedia.org/wiki/Oppervlak" title="Oppervlak – limbourgeois" lang="li" hreflang="li" data-title="Oppervlak" data-language-autonym="Limburgs" data-language-local-name="limbourgeois" class="interlanguage-link-target"><span>Limburgs</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lij mw-list-item"><a href="https://lij.wikipedia.org/wiki/Area" title="Area – ligure" lang="lij" hreflang="lij" data-title="Area" data-language-autonym="Ligure" data-language-local-name="ligure" class="interlanguage-link-target"><span>Ligure</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Area" title="Area – lombard" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Area" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombard" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ln mw-list-item"><a href="https://ln.wikipedia.org/wiki/Etando" title="Etando – lingala" lang="ln" hreflang="ln" data-title="Etando" data-language-autonym="Lingála" data-language-local-name="lingala" class="interlanguage-link-target"><span>Lingála</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BB%80%E0%BA%99%E0%BA%B7%E0%BB%89%E0%BA%AD%E0%BA%97%E0%BA%B5%E0%BB%88" title="ເນື້ອທີ່ – lao" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ເນື້ອທີ່" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="lao" class="interlanguage-link-target"><span>ລາວ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Plotas" title="Plotas – lituanien" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Plotas" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituanien" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Laukums" title="Laukums – letton" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Laukums" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letton" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mai mw-list-item"><a href="https://mai.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2" title="क्षेत्रफल – maïthili" lang="mai" hreflang="mai" data-title="क्षेत्रफल" data-language-autonym="मैथिली" data-language-local-name="maïthili" class="interlanguage-link-target"><span>मैथिली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Velarana_(je%C3%B4metria)" title="Velarana (jeômetria) – malgache" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Velarana (jeômetria)" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="malgache" class="interlanguage-link-target"><span>Malagasy</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mhr mw-list-item"><a href="https://mhr.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D0%BC%D0%B4%D1%8B%D0%BA" title="Кумдык – Eastern Mari" lang="mhr" hreflang="mhr" data-title="Кумдык" data-language-autonym="Олык марий" data-language-local-name="Eastern Mari" class="interlanguage-link-target"><span>Олык марий</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%88%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Плоштина – macédonien" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Плоштина" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macédonien" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B5%E0%B4%BF%E0%B4%B8%E0%B5%8D%E0%B4%A4%E0%B5%80%E0%B5%BC%E0%B4%A3%E0%B5%8D%E0%B4%A3%E0%B4%82" title="വിസ്തീർണ്ണം – malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="വിസ്തീർണ്ണം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BB%D0%B1%D0%B0%D0%B9" title="Талбай – mongol" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Талбай" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mni mw-list-item"><a href="https://mni.wikipedia.org/wiki/%EA%AF%84%EA%AF%A5%EA%AF%9B%EA%AF%86%EA%AF%A5%EA%AF%8E%EA%AF%95" title="ꯄꯥꯛꯆꯥꯎꯕ – manipuri" lang="mni" hreflang="mni" data-title="ꯄꯥꯛꯆꯥꯎꯕ" data-language-autonym="ꯃꯤꯇꯩ ꯂꯣꯟ" data-language-local-name="manipuri" class="interlanguage-link-target"><span>ꯃꯤꯇꯩ ꯂꯣꯟ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B3" title="क्षेत्रफळ – marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="क्षेत्रफळ" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Luas" title="Luas – malais" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Luas" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malais" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mwl mw-list-item"><a href="https://mwl.wikipedia.org/wiki/%C3%81ria" title="Ária – mirandais" lang="mwl" hreflang="mwl" data-title="Ária" data-language-autonym="Mirandés" data-language-local-name="mirandais" class="interlanguage-link-target"><span>Mirandés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%A7%E1%80%9B%E1%80%AD%E1%80%9A%E1%80%AC" title="ဧရိယာ – birman" lang="my" hreflang="my" data-title="ဧရိယာ" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birman" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mzn mw-list-item"><a href="https://mzn.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%AA%DB%8C" title="گتی – mazandérani" lang="mzn" hreflang="mzn" data-title="گتی" data-language-autonym="مازِرونی" data-language-local-name="mazandérani" class="interlanguage-link-target"><span>مازِرونی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Flach" title="Flach – bas-allemand" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Flach" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="bas-allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds-nl mw-list-item"><a href="https://nds-nl.wikipedia.org/wiki/Oppervlakte" title="Oppervlakte – bas-saxon néerlandais" lang="nds-NL" hreflang="nds-NL" data-title="Oppervlakte" data-language-autonym="Nedersaksies" data-language-local-name="bas-saxon néerlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Nedersaksies</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2" title="क्षेत्रफल – népalais" lang="ne" hreflang="ne" data-title="क्षेत्रफल" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="népalais" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Oppervlakte" title="Oppervlakte – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Oppervlakte" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Flatevidd" title="Flatevidd – norvégien nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Flatevidd" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norvégien nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Areal" title="Areal – norvégien bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Areal" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvégien bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Aira" title="Aira – occitan" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Aira" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occitan" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-os mw-list-item"><a href="https://os.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%C3%A6%D0%B7%D1%83%D0%B0%D1%82" title="Фæзуат – ossète" lang="os" hreflang="os" data-title="Фæзуат" data-language-autonym="Ирон" data-language-local-name="ossète" class="interlanguage-link-target"><span>Ирон</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%96%E0%A9%87%E0%A8%A4%E0%A8%B0%E0%A8%AB%E0%A8%B2" title="ਖੇਤਰਫਲ – pendjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਖੇਤਰਫਲ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pendjabi" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pfl mw-list-item"><a href="https://pfl.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4che" title="Fläche – allemand palatin" lang="pfl" hreflang="pfl" data-title="Fläche" data-language-autonym="Pälzisch" data-language-local-name="allemand palatin" class="interlanguage-link-target"><span>Pälzisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Pole_powierzchni" title="Pole powierzchni – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Pole powierzchni" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%D9%82%D8%A8%DB%81" title="رقبہ – Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="رقبہ" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea" title="Área – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Área" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Hallka_k%27iti_k%27anchar" title="Hallka k'iti k'anchar – quechua" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Hallka k'iti k'anchar" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="quechua" class="interlanguage-link-target"><span>Runa Simi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Arie" title="Arie – roumain" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Arie" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="roumain" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C" title="Площадь – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Площадь" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sa mw-list-item"><a href="https://sa.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7%E0%A5%87%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AB%E0%A4%B2%E0%A4%AE%E0%A5%8D" title="क्षेत्रफलम् – sanskrit" lang="sa" hreflang="sa" data-title="क्षेत्रफलम्" data-language-autonym="संस्कृतम्" data-language-local-name="sanskrit" class="interlanguage-link-target"><span>संस्कृतम्</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%8D%D0%BD" title="Иэн – iakoute" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Иэн" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="iakoute" class="interlanguage-link-target"><span>Саха тыла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/%C3%80ria_(supirfici)" title="Ària (supirfici) – sicilien" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Ària (supirfici)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sicilien" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Area" title="Area – écossais" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Area" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="écossais" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sd mw-list-item"><a href="https://sd.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%8A%D8%B1%D8%A7%D8%B6%D9%8A" title="ايراضي – sindhi" lang="sd" hreflang="sd" data-title="ايراضي" data-language-autonym="سنڌي" data-language-local-name="sindhi" class="interlanguage-link-target"><span>سنڌي</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Povr%C5%A1ina" title="Površina – serbo-croate" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Površina" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbo-croate" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Area" title="Area – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Area" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Plocha_(%C3%BAtvar)" title="Plocha (útvar) – slovaque" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Plocha (útvar)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaque" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Povr%C5%A1ina" title="Površina – slovène" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Površina" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovène" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Nharaunda" title="Nharaunda – shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Nharaunda" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="shona" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Bed" title="Bed – somali" lang="so" hreflang="so" data-title="Bed" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="somali" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Sip%C3%ABrfaqja" title="Sipërfaqja – albanais" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Sipërfaqja" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanais" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Површина – serbe" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Површина" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbe" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Ar%C3%A9a" title="Aréa – soundanais" lang="su" hreflang="su" data-title="Aréa" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="soundanais" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Area" title="Area – suédois" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Area" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suédois" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Eneo" title="Eneo – swahili" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Eneo" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="swahili" class="interlanguage-link-target"><span>Kiswahili</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/Plac_rozlygowa%C5%84o" title="Plac rozlygowańo – silésien" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Plac rozlygowańo" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="silésien" class="interlanguage-link-target"><span>Ślůnski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AA%E0%AE%B0%E0%AE%AA%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AE%B3%E0%AE%B5%E0%AF%81" title="பரப்பளவு – tamoul" lang="ta" hreflang="ta" data-title="பரப்பளவு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamoul" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%B5%E0%B0%BF%E0%B0%B8%E0%B1%8D%E0%B0%A4%E0%B1%80%E0%B0%B0%E0%B1%8D%E0%B0%A3%E0%B0%82" title="విస్తీర్ణం – télougou" lang="te" hreflang="te" data-title="విస్తీర్ణం" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="télougou" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%81%D0%BE%D2%B3%D0%B0%D1%82" title="Масоҳат – tadjik" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Масоҳат" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="tadjik" class="interlanguage-link-target"><span>Тоҷикӣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B7%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88" title="พื้นที่ – thaï" lang="th" hreflang="th" data-title="พื้นที่" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thaï" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ti mw-list-item"><a href="https://ti.wikipedia.org/wiki/%E1%8C%BD%E1%8D%8D%E1%88%93%E1%89%B5_%E1%88%98%E1%88%AC%E1%89%B5" title="ጽፍሓት መሬት – tigrigna" lang="ti" hreflang="ti" data-title="ጽፍሓት መሬት" data-language-autonym="ትግርኛ" data-language-local-name="tigrigna" class="interlanguage-link-target"><span>ትግርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Sukat" title="Sukat – tagalog" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Sukat" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalog" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Alan" title="Alan – turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Alan" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A4ydan" title="Mäydan – tatar" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Mäydan" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tatar" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0" title="Площа – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Площа" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%D9%82%D8%A8%DB%81" title="رقبہ – ourdou" lang="ur" hreflang="ur" data-title="رقبہ" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="ourdou" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Yuza" title="Yuza – ouzbek" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Yuza" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="ouzbek" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Di%E1%BB%87n_t%C3%ADch" title="Diện tích – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Diện tích" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vls mw-list-item"><a href="https://vls.wikipedia.org/wiki/Ippervlak" title="Ippervlak – flamand occidental" lang="vls" hreflang="vls" data-title="Ippervlak" data-language-autonym="West-Vlams" data-language-local-name="flamand occidental" class="interlanguage-link-target"><span>West-Vlams</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wa mw-list-item"><a href="https://wa.wikipedia.org/wiki/Sitind%C3%AAye" title="Sitindêye – wallon" lang="wa" hreflang="wa" data-title="Sitindêye" data-language-autonym="Walon" data-language-local-name="wallon" class="interlanguage-link-target"><span>Walon</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Kahaluag" title="Kahaluag – waray" lang="war" hreflang="war" data-title="Kahaluag" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="waray" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wo mw-list-item"><a href="https://wo.wikipedia.org/wiki/Yaatuwaay" title="Yaatuwaay – wolof" lang="wo" hreflang="wo" data-title="Yaatuwaay" data-language-autonym="Wolof" data-language-local-name="wolof" class="interlanguage-link-target"><span>Wolof</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%A2%E7%A7%AF" title="面积 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="面积" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xmf mw-list-item"><a href="https://xmf.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A4%E1%83%90%E1%83%A0%E1%83%97%E1%83%9D%E1%83%91%E1%83%98" title="ფართობი – mingrélien" lang="xmf" hreflang="xmf" data-title="ფართობი" data-language-autonym="მარგალური" data-language-local-name="mingrélien" class="interlanguage-link-target"><span>მარგალური</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%98%D7%97" title="שטח – yiddish" lang="yi" hreflang="yi" data-title="שטח" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="yiddish" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yo mw-list-item"><a href="https://yo.wikipedia.org/wiki/%C3%80%C3%A0l%C3%A0" title="Ààlà – yoruba" lang="yo" hreflang="yo" data-title="Ààlà" data-language-autonym="Yorùbá" data-language-local-name="yoruba" class="interlanguage-link-target"><span>Yorùbá</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zea mw-list-item"><a href="https://zea.wikipedia.org/wiki/Oppervlak" title="Oppervlak – zélandais" lang="zea" hreflang="zea" data-title="Oppervlak" data-language-autonym="Zeêuws" data-language-local-name="zélandais" class="interlanguage-link-target"><span>Zeêuws</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%A2%E7%A7%AF" title="面积 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="面积" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Bi%C4%81n-chek" title="Biān-chek – minnan" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Biān-chek" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnan" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%A2%E7%A9%8D" title="面積 – cantonais" lang="yue" hreflang="yue" data-title="面積" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonais" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11500#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul 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href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=history" title="Historique des versions de cette page [h]" accesskey="h"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Outils" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled 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data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">masquer</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Plus d’options" > <div class="vector-menu-heading"> Actions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)"><span>Lire</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=history"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Général </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_li%C3%A9es/Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Liste des pages liées qui pointent sur celle-ci [j]" accesskey="j"><span>Pages liées</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Suivi_des_liens/Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" rel="nofollow" title="Liste des modifications récentes des pages appelées par celle-ci [k]" accesskey="k"><span>Suivi des pages liées</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Importer_un_fichier" title="Téléverser des fichiers [u]" accesskey="u"><span>Téléverser un fichier</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&oldid=223845958" title="Adresse permanente de cette version de cette page"><span>Lien permanent</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=info" title="Davantage d’informations sur cette page"><span>Informations sur la page</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Citer&page=Aire_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29&id=223845958&wpFormIdentifier=titleform" title="Informations sur la manière de citer cette page"><span>Citer cette page</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FAire_%28g%25C3%25A9om%25C3%25A9trie%29"><span>Obtenir l'URL raccourcie</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:QrCode&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FAire_%28g%25C3%25A9om%25C3%25A9trie%29"><span>Télécharger le code QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimer / exporter </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Livre&bookcmd=book_creator&referer=Aire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"><span>Créer un livre</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:DownloadAsPdf&page=Aire_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29&action=show-download-screen"><span>Télécharger comme PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&printable=yes" title="Version imprimable de cette page 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data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><div class="bandeau-container metadata homonymie hatnote"><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Aide:Homonymie" title="Aide:Homonymie"><img alt="Page d’aide sur l’homonymie" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/20px-Logo_disambig.svg.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/30px-Logo_disambig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/40px-Logo_disambig.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="375" /></a></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p>Pour les articles homonymes, voir <a href="/wiki/Aire" class="mw-disambig" title="Aire">Aire</a>. </p> </div></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Superficie.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Superficie.png/220px-Superficie.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Superficie.png 1.5x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></a><figcaption>L'aire du <a href="/wiki/Carr%C3%A9" title="Carré">carré</a> vaut ici 4.</figcaption></figure> <p>En <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, l'<b>aire</b> est une grandeur relative à certaines <a href="/wiki/Forme_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Forme (géométrie)">figures</a> du <a href="/wiki/Plan_(math%C3%A9matiques)" title="Plan (mathématiques)">plan</a> ou des <a href="/wiki/Surface_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" class="mw-redirect" title="Surface (géométrie)">surfaces</a> en <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_dans_l%27espace" title="Géométrie dans l'espace">géométrie dans l'espace</a>. </p><p>Le développement de cette notion mathématique est lié à la rationalisation du calcul de grandeur de surfaces agricoles, par des techniques d'<a href="/wiki/Arpentage" title="Arpentage">arpentage</a>. Cette évaluation assortie d'une unité de mesure est aujourd'hui plutôt appelée <b>superficie</b>. </p><p>Informellement, l'aire permet d'exprimer un rapport de grandeur d'une figure relativement à une unité, par le biais de découpages et recollements, de déplacements et retournements et de passage à la <a href="/wiki/Limite_(math%C3%A9matiques)" title="Limite (mathématiques)">limite</a> par approximation. La mesure d'une aire peut être un <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombre réel</a> <a href="/wiki/Nombre_positif" title="Nombre positif">positif</a> ou être <a href="/wiki/Infini" title="Infini">infinie</a> pour certaines surfaces comme le plan dans son ensemble. </p><p>Diverses techniques ont été élaborées pour mesurer une aire, de la <a href="/wiki/M%C3%A9thode_des_indivisibles" title="Méthode des indivisibles">méthode des indivisibles</a> au <a href="/wiki/Calcul_int%C3%A9gral" class="mw-redirect" title="Calcul intégral">calcul intégral</a> et aux méthodes probabilistes comme la <a href="/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo" title="Méthode de Monte-Carlo">méthode de Monte-Carlo</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définition_formelle"><span id="D.C3.A9finition_formelle"></span>Définition formelle</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Définition formelle" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Définition formelle"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dans un <a href="/wiki/Espace_euclidien" title="Espace euclidien">espace euclidien</a> de dimension 2, un domaine a une aire s'il est un <a href="/wiki/Ensemble_mesurable" title="Ensemble mesurable">ensemble mesurable</a> pour la <a href="/wiki/Mesure_de_Jordan" title="Mesure de Jordan">mesure de Jordan</a> et son aire est égale à cette mesure. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés"><span id="Propri.C3.A9t.C3.A9s"></span>Propriétés</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Propriétés" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Propriétés"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_la_mesure" title="Théorie de la mesure">Théorie de la mesure</a>.</div></div> <p>L'aire <i>S</i> d'une surface plane suit quatre propriétés<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : </p> <ol><li>L'aire d'une surface plane bornée est un nombre positif ou <a href="/wiki/Z%C3%A9ro" title="Zéro">nul</a>.</li> <li>Une <a href="/wiki/Unit%C3%A9_de_longueur" title="Unité de longueur">unité de longueur</a> étant choisie, l'aire du <a href="/wiki/Carr%C3%A9" title="Carré">carré</a> de côté 1 est égale à 1.</li> <li>L'aire est <a href="/wiki/Mesure_simplement_additive" title="Mesure simplement additive">additive</a>. Cela signifie que, les aires de deux surfaces disjointes <i>A</i> et <i>B</i> étant données, l'aire de leur <a href="/wiki/Union_(math%C3%A9matiques)" title="Union (mathématiques)">union</a> est la somme de leurs aires : <dl><dd><i>S</i>(<i>A</i> ∪ <i>B</i>) = <i>S</i>(<i>A</i>) + <i>S</i>(<i>B</i>).</dd> <dd>Cette propriété peut être interprétée ainsi : si on « découpe » une figure, on obtient deux figures dont la somme des aires est égale à l'aire de la figure initiale.</dd></dl></li> <li>L'aire est invariante par <a href="/wiki/Isom%C3%A9trie" title="Isométrie">isométrie</a>. Cela signifie qu'une figure peut être déplacée ou <a href="/wiki/R%C3%A9flexion_(math%C3%A9matiques)" title="Réflexion (mathématiques)">retournée</a> sans que cela modifie son aire.</li></ol> <p>La propriété d'additivité est étendue, par <a href="/wiki/Raisonnement_par_r%C3%A9currence" title="Raisonnement par récurrence">récurrence</a>, à un <a href="/wiki/Entier_naturel" title="Entier naturel">entier naturel</a> <i>n</i> supérieur à deux quelconque : si <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>… <i>A</i><sub><i>n</i></sub> sont des surfaces deux à deux disjointes d'aires respectives <i>S</i>(<i>A</i><sub>1</sub>), <i>S</i>(<i>A</i><sub>2</sub>)… <i>S</i>(<i>A</i><sub><i>n</i></sub>), alors </p> <dl><dd><i>S</i>(<i>A</i><sub>1</sub> ∪ <i>A</i><sub>2</sub> ∪… ∪<i>A</i><sub><i>n</i></sub>) = <i>S</i>(<i>A</i><sub>1</sub>) + <i>S</i>(<i>A</i><sub>2</sub>) +… + <i>S</i>(<i>A</i><sub><i>n</i></sub>)</dd></dl> <p>ce qui se note plus rigoureusement : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S\left(\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}S(A_{k}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>⋃</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S\left(\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}S(A_{k}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e09a7891b635bc1b47f60383673ccaf234f5b9d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:25.371ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle S\left(\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}S(A_{k}).}" /></span></dd></dl> <p>Mais cette propriété d'additivité <i>finie</i> ne suffit pas, ne serait-ce que pour prouver la formule de calcul de l'aire d'un disque (voir plus bas). Elle est donc étendue à une famille infinie <a href="/wiki/Ensemble_d%C3%A9nombrable" title="Ensemble dénombrable">dénombrable</a> de surfaces planes (<i>A</i><sub><i>n</i></sub>)<sub><i>n</i>∈ <b>N</b><sup>∗</sup></sub> deux à deux disjointes dont les aires sont supposées connues, avec le résultat analogue au précédent : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S\left(\bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }S(A_{k}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>⋃</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S\left(\bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }S(A_{k}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d7b9221b06aea0be907540e1690c4168ecea8e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:25.371ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle S\left(\bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }S(A_{k}).}" /></span></dd></dl> <p>On parle alors de σ-additivité<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> (« <a href="/wiki/Sigma-additivit%C3%A9" class="mw-redirect" title="Sigma-additivité">sigma-additivité</a> »). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Calcul_de_l'aire"><span id="Calcul_de_l.27aire"></span>Calcul de l'aire</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Calcul de l'aire" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Calcul de l'aire"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Une unité de longueur (notée 1u.l.) étant préalablement choisie, on définit l'unité d'aire (notée 1u.a.) par 1u.a.=(1u.l.)<sup>2</sup>. Toutes les surfaces sont mesurées en unités d'aire. La figure de base pour le calcul d'une aire est le <a href="/wiki/Carr%C3%A9" title="Carré">carré</a> unité, de côté 1u.l. ; il permet de calculer l'aire du <a href="/wiki/Rectangle" title="Rectangle">rectangle</a>. À l'aide de l'aire du rectangle, il est possible de déterminer l'aire d'un <a href="/wiki/Triangle_rectangle" title="Triangle rectangle">triangle rectangle</a> (vu comme un demi-rectangle) ou d'un <a href="/wiki/Parall%C3%A9logramme" title="Parallélogramme">parallélogramme</a>, puis celle d'un <a href="/wiki/Triangle" title="Triangle">triangle</a> quelconque et, par suite, d'un <a href="/wiki/Polygone" title="Polygone">polygone</a> quelconque. </p><p>La formule de l'aire d'un <a href="/wiki/Disque_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Disque (géométrie)">disque</a> est plus complexe à démontrer : elle nécessite le passage par une <a href="/wiki/Limite_de_suite" class="mw-redirect" title="Limite de suite">limite de suite</a>. L'idée d'approcher successivement une surface complexe par une suite de surfaces plus simples (en général, des rectangles ou des polygones) est fondamentale. Une surface qui peut être « correctement » approchée par des rectangles, au point qu'on puisse en déduire son aire par un calcul de limite est dite <i>quarrable</i>. </p><p>Dans certains cas, l'<a href="/wiki/Analyse_(math%C3%A9matiques)" title="Analyse (mathématiques)">analyse</a> vient au secours de la géométrie, lorsque les raisonnements par découpage et recollement ne suffisent plus. Certains calculs d'aires nécessitent le recours à des <a href="/wiki/Int%C3%A9gration_(math%C3%A9matiques)" title="Intégration (mathématiques)">intégrales</a> (notion d' "aire sous la courbe"), qui peuvent parfois être calculées à partir de <a href="/wiki/Primitive" title="Primitive">primitives</a> d'une <a href="/wiki/Application_(math%C3%A9matiques)" title="Application (mathématiques)">fonction</a>. </p><p>D'autres cas sont plus <a href="/wiki/Cas_pathologique" title="Cas pathologique">pathologiques</a> : les mathématiciens ont établi une <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_la_mesure" title="Théorie de la mesure">théorie de la mesure</a> pour généraliser les résultats sur les aires. Pour les <a href="/wiki/Fractale" title="Fractale">fractales</a>, les aires ne sont pas calculables — ou non satisfaisantes. La notion de <a href="/wiki/Dimension_de_Hausdorff" title="Dimension de Hausdorff">dimension de Hausdorff</a> généralise celle d'aire, pour un objet fractal plan. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Surfaces_usuelles">Surfaces usuelles</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Surfaces usuelles" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Surfaces usuelles"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Formulaire_de_g%C3%A9om%C3%A9trie_classique" title="Formulaire de géométrie classique">Formulaire de géométrie classique</a>.</div></div> <p>Ci-dessous sont données les formules de calcul d'aire usuelles les plus courantes<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> et des démonstrations, qui illustrent les raisonnements géométriques souvent utilisés pour résoudre les problèmes d'aire<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : « coupé-collé »<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, parfois en imaginant une infinité de découpages par des considérations sur les limites. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Rectangle">Rectangle</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Rectangle" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Rectangle"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Rectangle_4x5.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Rectangle_4x5.svg/220px-Rectangle_4x5.svg.png" decoding="async" width="220" height="176" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Rectangle_4x5.svg/330px-Rectangle_4x5.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Rectangle_4x5.svg/440px-Rectangle_4x5.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="240" /></a><figcaption>Un rectangle longueur 5 et de largeur 4 contient <span class="nowrap">5 × 4 = 20</span> carrés unité. Son aire est donc égale à 20.</figcaption></figure> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid var(--border-color-base, #a2a9b1); text-align: justify; display:table"> <p><strong class="theoreme-nom">Aire d'un rectangle</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>L'aire d'un rectangle est égale au <a href="/wiki/Multiplication" title="Multiplication">produit</a> de sa longueur par sa largeur. </p> </div> <dl><dt>Démonstration</dt></dl> <p>Un rectangle<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite_crochet">[</span>6<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> dont la longueur et la largeur sont égales à des <a href="/wiki/Entier_relatif" title="Entier relatif">nombres entiers</a> <i>m</i> et <i>n</i> peut être vu comme composé de <i>m</i> lignes contenant chacune <i>n</i> carrés unité. Son aire est donc égale à <span class="nowrap"><i>m</i> × <i>n</i></span>. </p><p>Si les dimensions du rectangle sont des <a href="/wiki/Fraction_(math%C3%A9matiques)" title="Fraction (mathématiques)">fractions</a> <i>m</i>/<i>p</i> et <i>n</i>/<i>q</i>, on considère qu'on a « découpé » le rectangle de dimensions <i>m</i> et <i>n</i> en <i>p</i> parts égales, puis chacune de ces parts à nouveau en <i>q</i> parts égales. Le rectangle de dimensions <i>m</i> et <i>n</i> contient donc <span class="texhtml"><i>p</i> × <i>q</i></span> fois celui de dimensions <i>m</i>/<i>p</i> et <i>n</i>/<i>q</i>. L'aire de ce dernier rectangle est donc égale à <span class="texhtml"><span class="texhtml"><span style="display:inline-block; vertical-align:-0.5em; font-size:85%; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em;"><i>m</i></span><span style="position:absolute;left:-10000px;top:auto;width:1px;height:1px;overflow:hidden">/</span><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em; border-top:1px solid;"><i>p</i></span></span></span> × <span class="texhtml"><span style="display:inline-block; vertical-align:-0.5em; font-size:85%; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em;"><i>n</i></span><span style="position:absolute;left:-10000px;top:auto;width:1px;height:1px;overflow:hidden">/</span><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em; border-top:1px solid;"><i>q</i></span></span></span></span>. </p><p>Ce résultat se généralise au cas où la longueur et la largeur du rectangle sont des <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombres réels</a>, mais le raisonnement est plus abstrait : il nécessite un passage à la limite, en considérant que tout nombre réel est la limite d'une <a href="/wiki/Suite_(math%C3%A9matiques)" title="Suite (mathématiques)">suite</a> de nombres rationnels<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite_crochet">[</span>7<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <dl><dt>Cas particulier du carré</dt></dl> <p>Un <a href="/wiki/Carr%C3%A9" title="Carré">carré</a> est un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales à un même nombre appelé <i>côté</i> du carré. Un carré de côté <i>c</i> possède une aire égale à <i>c</i> × <i>c</i>, ce qui se note <i>c</i><sup>2</sup>. Réciproquement, tout nombre de la forme <i>c</i><sup>2</sup> (où <i>c</i> est positif) peut être considéré comme l'aire d'un carré de côté <i>c</i>, ce qui explique que <i>c</i><sup>2</sup> se lit « <i>c</i> au carré » ou « le carré de <i>c</i> »<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite_crochet">[</span>8<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="clear" style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Triangle">Triangle</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Triangle" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Triangle"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Aire_d%27un_triangle" title="Aire d'un triangle">Aire d'un triangle</a>.</div></div> <p>La formule de calcul de l'aire d'un triangle la plus courante est<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite_crochet">[</span>9<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid var(--border-color-base, #a2a9b1); text-align: justify; display:table"> <p><strong class="theoreme-nom">Aire d'un triangle</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur. </p> </div> <p>Tout <a href="/wiki/Triangle_rectangle" title="Triangle rectangle">triangle rectangle</a> dont les <a href="/wiki/Cath%C3%A8te" title="Cathète">cathètes</a> (ou petits côtés) mesurent <i>a</i> et <i>b</i> peut être considéré comme la moitié d'un rectangle de dimensions <i>a</i> et <i>b</i> partagé en deux par une de ses diagonales. L'aire de ce triangle rectangle est donc égale à <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {a\times b}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mo>×</mo> <mi>b</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a\times b}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47eefe4067d7e5346ab8d90174e4cf858094a898" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:5.904ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a\times b}{2}}}" /></span>. </p><p>Plus généralement, tout triangle de <a href="/wiki/Hauteur_d%27un_triangle" title="Hauteur d'un triangle">hauteur d'un triangle</a> <i>h</i> et de côté associé <i>b</i> (dans ce cas, le côté est appelé <i>base</i>) est la moitié d'un rectangle de dimensions <i>h</i> et <i>b</i>, ce qui donne la formule classique de calcul d'aire d'un triangle : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A={\frac {b\times h}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> <mo>×</mo> <mi>h</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {b\times h}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6564e3667cf3ba639deb0627eb0be6d2dcf220" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.855ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {b\times h}{2}}}" /></span></dd></dl> <p>D'autres méthodes permettent de calculer l'aire d'un triangle et, par suite, l'<a href="/wiki/Aire_et_centre_de_masse_d%27un_polygone" class="mw-redirect" title="Aire et centre de masse d'un polygone">aire d'un polygone quelconque</a>, en utilisant le fait que tout <a href="/wiki/Polygone" title="Polygone">polygone</a> peut être <a href="/wiki/Partition_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Partition (mathématiques)">partagé</a> en un nombre fini de triangles<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite_crochet">[</span>10<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. C'est notamment en partageant un polygone régulier en triangles dont un sommet est son centre qu'on obtient les formules usuelles de calcul de l'<a href="/wiki/Polygone_r%C3%A9gulier#Périmètre_et_aire" title="Polygone régulier">aire d'un polygone régulier</a>. </p> <ul class="gallery mw-gallery-traditional"> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:TriangleRectangle_4x5.svg" class="mw-file-description" title="En accolant au triangle rectangle gris un autre triangle isométrique suivant l'hypoténuse, on obtient un rectangle."><img alt="En accolant au triangle rectangle gris un autre triangle isométrique suivant l'hypoténuse, on obtient un rectangle." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/TriangleRectangle_4x5.svg/120px-TriangleRectangle_4x5.svg.png" decoding="async" width="120" height="96" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/TriangleRectangle_4x5.svg/180px-TriangleRectangle_4x5.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/TriangleRectangle_4x5.svg/240px-TriangleRectangle_4x5.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="240" /></a></span></div> <div class="gallerytext">En accolant au triangle rectangle gris un autre <a href="/wiki/Triangles_isom%C3%A9triques" title="Triangles isométriques">triangle isométrique</a> suivant l'hypoténuse, on obtient un rectangle.</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Triangle_aire.png" class="mw-file-description" title="Un triangle vu comme un demi-rectangle."><img alt="Un triangle vu comme un demi-rectangle." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Triangle_aire.png/120px-Triangle_aire.png" decoding="async" width="120" height="74" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Triangle_aire.png/180px-Triangle_aire.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Triangle_aire.png/240px-Triangle_aire.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="186" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Un triangle vu comme un demi-rectangle.</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Triangulation_3-coloring.svg" class="mw-file-description" title="Un polygone partagé en triangles."><img alt="Un polygone partagé en triangles." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Triangulation_3-coloring.svg/114px-Triangulation_3-coloring.svg.png" decoding="async" width="114" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Triangulation_3-coloring.svg/171px-Triangulation_3-coloring.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Triangulation_3-coloring.svg/228px-Triangulation_3-coloring.svg.png 2x" data-file-width="342" data-file-height="360" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Un polygone partagé en triangles.</div> </li> </ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Disque">Disque</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Disque" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Disque"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid var(--border-color-base, #a2a9b1); text-align: justify; display:table"> <p><strong class="theoreme-nom">Théorème</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>L'aire d'un <a href="/wiki/Disque_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Disque (géométrie)">disque</a> de rayon <i>R</i> est égale à <span class="nowrap">π × <i>R</i> <sup>2</sup></span>. </p> </div> <p>On se convainc de ce résultat<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite_crochet">[</span>11<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> par un partage du disque en un nombre arbitrairement grand de triangles. </p><p>En considérant <i>n</i> points <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>… <i>A</i><sub><i>n</i></sub> régulièrement espacés sur un cercle de centre <i>O</i> et de rayon <i>R</i>, on obtient un <a href="/wiki/Polygone_r%C3%A9gulier" title="Polygone régulier">polygone régulier</a> à <i>n</i> côtés constitué de <i>n</i> triangles isocèles de même aire <i>OA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>, </i>OA<i><sub>2</sub></i>A<i><sub>3</sub></i>, etc. L'aire du polygone régulier est donc <i>n</i> fois celle de l'un de ces triangles. Si la hauteur de chacun de ses triangles est <i>h</i><sub><i>n</i></sub>, l'aire de chaque triangle est <span class="texhtml"><span class="texhtml"><span style="display:inline-block; vertical-align:-0.5em; font-size:85%; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em;">1</span><span style="position:absolute;left:-10000px;top:auto;width:1px;height:1px;overflow:hidden">/</span><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em; border-top:1px solid;">2</span></span></span><i>h</i><sub><i>n</i></sub> × <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub></span>. En multipliant par <i>n</i>, l'aire du polygone égale donc la moitié de la hauteur <i>h</i><sub><i>n</i></sub> multipliée par le <a href="/wiki/P%C3%A9rim%C3%A8tre" title="Périmètre">périmètre</a> du polygone. Lorsque le nombre <i>n</i> de points tend vers l'infini, la hauteur <i>h</i><sub><i>n</i></sub> tend vers <i>R</i>, et le périmètre du polygone vers celui du cercle, soit 2π<i>R</i>, ce qui donne bien le résultat annoncé. </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-center" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Pi_archi_approx_inter.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Pi_archi_approx_inter.svg/660px-Pi_archi_approx_inter.svg.png" decoding="async" width="660" height="329" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Pi_archi_approx_inter.svg/990px-Pi_archi_approx_inter.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Pi_archi_approx_inter.svg/1320px-Pi_archi_approx_inter.svg.png 2x" data-file-width="442" data-file-height="220" /></a><figcaption>Approximations successives d'un disque par des polygones réguliers intérieurs, pour <i>n</i> allant de 3 à 10.</figcaption></figure> <p>Connaissant le rayon du cercle, une autre méthode, utilisée par <a href="/wiki/Archim%C3%A8de" title="Archimède">Archimède</a> consiste à diviser le disque en <a href="/wiki/Secteur_circulaire" title="Secteur circulaire">secteurs</a>, comme montré sur la figure à droite. </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Cercle12CircArea.svg" class="mw-file-description"><img alt="Un cercle divisé en plusieurs secteurs peut être réorganisé pour former approximativement un parallélogramme" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1a/Cercle12CircArea.svg/220px-Cercle12CircArea.svg.png" decoding="async" width="220" height="213" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1a/Cercle12CircArea.svg/330px-Cercle12CircArea.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1a/Cercle12CircArea.svg/440px-Cercle12CircArea.svg.png 2x" data-file-width="340" data-file-height="329" /></a><figcaption>Un cercle peut être divisé en secteurs qui peuvent être réarrangés pour former approximativement un <a href="/wiki/Parall%C3%A9logramme" title="Parallélogramme">parallélogramme</a>.</figcaption></figure> <p>Chaque secteur a une forme à peu près triangulaire et les secteurs peuvent être réarrangés pour former un parallélogramme. La hauteur de ce parallélogramme est <span class="texhtml"><i>r</i></span>, et la largeur est la moitié de la circonférence du cercle, ou <span class="texhtml">π<i>r</i></span>. Ainsi, la surface totale du disque est <span class="texhtml">π<i>r</i><sup>2</sup></span> </p><p>Bien que cette méthode de division en secteurs ne soit qu'approximative, l'erreur devient de plus en plus petite à mesure que le cercle est divisé en un plus grand nombre de secteurs. La <a href="/wiki/Limite_(math%C3%A9matiques)" title="Limite (mathématiques)">limite</a> de la somme des surfaces des parallélogrammes approximatifs est exactement <span class="texhtml">π<i>r</i><sup>2</sup></span>, qui est la surface totale du disque. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Intégrale"><span id="Int.C3.A9grale"></span>Intégrale</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Intégrale" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Intégrale"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/Int%C3%A9grale_de_Riemann" title="Intégrale de Riemann">Intégrale de Riemann</a>, <a href="/wiki/Calcul_num%C3%A9rique_d%27une_int%C3%A9grale" title="Calcul numérique d'une intégrale">calcul numérique d'une intégrale</a> et <a href="/wiki/Int%C3%A9grale_multiple" title="Intégrale multiple">Intégrale multiple</a>.</div></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Integral_as_region_under_curve.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Integral_as_region_under_curve.svg/220px-Integral_as_region_under_curve.svg.png" decoding="async" width="220" height="205" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Integral_as_region_under_curve.svg/330px-Integral_as_region_under_curve.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Integral_as_region_under_curve.svg/440px-Integral_as_region_under_curve.svg.png 2x" data-file-width="750" data-file-height="700" /></a><figcaption>L'aire du domaine plan <i>S</i> est l'intégrale de la fonction <i>f</i> sur l'intervalle <span class="nowrap">[<i>a</i> ; <i>b</i>]</span>.</figcaption></figure> <p>Le plan euclidien étant muni d'un <a href="/wiki/Base_orthonorm%C3%A9e" title="Base orthonormée">repère orthonormé</a>, pour une <a href="/wiki/Fonction_num%C3%A9rique" title="Fonction numérique">fonction numérique</a> <i>f</i> positive et <a href="/wiki/Continuit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Continuité (mathématiques)">continue</a>, l'<a href="/wiki/Int%C3%A9grale_de_Riemann" title="Intégrale de Riemann">intégrale de Riemann</a> de <i>f</i> sur un intervalle <span class="nowrap">[<i>a</i> ; <i>b</i>]</span> permet d'exprimer facilement l'aire du domaine délimité<sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite_crochet">[</span>12<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> par : </p> <ul><li>l'axe des <a href="/wiki/Abscisse" class="mw-redirect" title="Abscisse">abscisses</a> ;</li> <li>les droites d'équation respectives <span class="nowrap"><i>x</i> = <i>a</i></span> et <span class="nowrap"><i>x</i> = <i>b</i></span> ;</li> <li>la <a href="/wiki/Graphe_d%27une_fonction" title="Graphe d'une fonction">représentation graphique</a> de la fonction <i>f</i>.</li></ul> <p>Cette aire vaut alors I(1u.a.) où le nombre I désigne l'intégrale <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x){\text{d}}x.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x){\text{d}}x.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e00ab94b9d4c9350c7b8cc85b99204693d7f38b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:11.475ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x){\text{d}}x.}" /></span> </p><p>N.B. Lorsque le repère cartésien n'est plus orthonormé, la mesure de la surface (l'aire) précédente sera égale à I(Mu.a.) où Mu.a désigne l'aire de la "maille élémentaire" du repère (c'est-à-dire l'aire du <a href="/wiki/Parall%C3%A9logramme" title="Parallélogramme">parallélogramme</a> construit sur les deux vecteurs de base du repère): l'intégrale correspond donc à la quantité de "mailles élémentaires" contenues dans la surface mesurée. </p><p>Cette aire peut être évaluée par des <a href="/wiki/Calcul_num%C3%A9rique_d%27une_int%C3%A9grale" title="Calcul numérique d'une intégrale">méthodes numériques</a> en approchant l'aire sous la courbe par des surfaces usuelles : rectangles ou <a href="/wiki/M%C3%A9thode_des_trap%C3%A8zes" title="Méthode des trapèzes">trapèzes</a> notamment. Dans certains cas, un calcul de limite permet de déterminer la valeur exacte de l'intégrale, par un raisonnement semblable à celui utilisé ci-dessus pour le disque<sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite_crochet">[</span>13<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Un raisonnement mêlant des considérations sur les aires et du <a href="/wiki/Calcul_infinit%C3%A9simal" title="Calcul infinitésimal">calcul différentiel</a> permet de prouver<sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite_crochet">[</span>14<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> que </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x){\text{d}}x=F(b)-F(a),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>d</mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x){\text{d}}x=F(b)-F(a),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02780c946281869a5e03a53c7856d96e4e1d1c90" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:26.742ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x){\text{d}}x=F(b)-F(a),}" /></span></dd></dl> <p>où <i>F</i> est une <a href="/wiki/Primitive" title="Primitive">primitive</a> de <i>f</i> sur <span class="nowrap">[<i>a</i> ; <i>b</i>]</span>. Ainsi, la connaissance de primitives d'une fonction permet d'élargir l'ensemble des aires calculables par « découpage » vues précédemment. </p><p>Ainsi les raisonnements sur les aires et le calcul différentiel se nourrissent et s'enrichissent mutuellement. Les calculs d'aire ont de ce fait un retentissement sur de nombreux domaines des mathématiques, par le biais des intégrales, notamment les <a href="/wiki/Probabilit%C3%A9" title="Probabilité">probabilités</a> ou les statistiques par le calcul de la <a href="/wiki/Moyenne" title="Moyenne">valeur moyenne</a> d'une fonction. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Méthode_de_Monte_Carlo"><span id="M.C3.A9thode_de_Monte_Carlo"></span>Méthode de Monte Carlo</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Méthode de Monte Carlo" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Méthode de Monte Carlo"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte_Carlo" class="mw-redirect" title="Méthode de Monte Carlo">Méthode de Monte Carlo</a>.</div></div> <p>Si le calcul d'aires permet d'améliorer la connaissance de probabilités via les intégrales, la réciproque est également vraie. Soit une surface <i>S</i>, dont l'aire est connue, qui en contient une autre, <i>L</i> d'aire inconnue. La <a href="/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo" title="Méthode de Monte-Carlo">méthode de Monte-Carlo</a> consiste à envoyer des points au hasard dans <i>S</i>. On dénombre alors le nombre total <i>n</i><sub><i>S</i></sub> de points et le nombre <i>n</i><sub><i>L</i></sub> qui se sont trouvés, par <a href="/wiki/Hasard" title="Hasard">hasard</a>, dans <i>L</i>. Il est alors probable que le rapport des aires de <i>L</i> et <i>S</i> soit proche du rapport de <i>n</i><sub><i>L</i></sub> sur <i>n</i><sub><i>S</i></sub>. La marge d'erreur sera statistiquement d'autant plus faible que le nombre de points <i>n</i><sub><i>S</i></sub> sera grand. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Problèmes_d'aire"><span id="Probl.C3.A8mes_d.27aire"></span>Problèmes d'aire</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Problèmes d'aire" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Problèmes d'aire"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quadrature_du_cercle">Quadrature du cercle</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Quadrature du cercle" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Quadrature du cercle"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Quadrature_du_cercle" title="Quadrature du cercle">Quadrature du cercle</a>.</div></div> <p>Un problème d'aire a traversé les siècles, depuis au moins <a href="/wiki/Anaxagore" title="Anaxagore">Anaxagore</a><sup id="cite_ref-15" class="reference"><a href="#cite_note-15"><span class="cite_crochet">[</span>15<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> (<a href="/wiki/Ve_si%C3%A8cle_av._J.-C." title="Ve siècle av. J.-C."><abbr class="abbr" title="5ᵉ siècle"><span class="romain">V</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle <abbr class="abbr nowrap" title="avant Jésus-Christ">av. J.-C.</abbr></a>) jusqu'à 1882, lorsque <a href="/wiki/Ferdinand_von_Lindemann" title="Ferdinand von Lindemann">Ferdinand von Lindemann</a> prouve que π est un <a href="/wiki/Nombre_transcendant" title="Nombre transcendant">nombre transcendant</a> : celui de la <a href="/wiki/Quadrature_du_cercle" title="Quadrature du cercle">quadrature du cercle</a> qui consiste à construire, à la règle et au compas, un carré d'aire égale à celle d'un disque donné. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Confusion_entre_aire_et_périmètre"><span id="Confusion_entre_aire_et_p.C3.A9rim.C3.A8tre"></span>Confusion entre aire et périmètre</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Confusion entre aire et périmètre" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Confusion entre aire et périmètre"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article connexe : <a href="/wiki/P%C3%A9rim%C3%A8tre" title="Périmètre">Périmètre</a>.</div></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Hexaflake.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Hexaflake.gif/250px-Hexaflake.gif" decoding="async" width="130" height="148" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Hexaflake.gif/330px-Hexaflake.gif 2x" data-file-width="403" data-file-height="459" /></a><figcaption>Plus on découpe, plus l'aire diminue et le périmètre augmente.</figcaption></figure> <p>Le <a href="/wiki/P%C3%A9rim%C3%A8tre" title="Périmètre">périmètre</a> est, avec l'aire, l'une des deux mesures principales des figures géométriques planes. Malgré le fait qu'elles ne s'expriment pas dans la même unité, il est fréquent de confondre ces deux notions<sup id="cite_ref-conf_16-0" class="reference"><a href="#cite_note-conf-16"><span class="cite_crochet">[</span>16<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> ou de croire que, plus l'une est grande, plus l'autre l'est aussi. En effet l'agrandissement (ou la réduction) d'une figure géométrique fait croître (ou décroître) simultanément son aire et son périmètre. Par exemple, si un terrain est représenté sur une carte à l'<a href="/wiki/%C3%89chelle_(proportion)" title="Échelle (proportion)">échelle</a> 1:10 000, le périmètre réel du terrain peut être calculé en multipliant le périmètre de la représentation par 10 000 et l'aire en multipliant celle de la représentation par 10 000<sup>2</sup>. Il n'existe cependant aucun lien direct entre l'aire et le périmètre d'une figure quelconque. Par exemple, un rectangle possédant une aire égale à un <a href="/wiki/M%C3%A8tre_carr%C3%A9" title="Mètre carré">mètre carré</a> peut avoir comme dimensions, en mètres : 0,5 et 2 (donc un périmètre égal à 5 <abbr class="abbr" title="mètre">m</abbr>) mais aussi 0,001 et 1000 (donc un périmètre de plus de 2 000 <abbr class="abbr" title="mètre">m</abbr>). <a href="/wiki/Proclos" class="mw-redirect" title="Proclos">Proclus</a> (<a href="/wiki/Ve_si%C3%A8cle" title="Ve siècle"><abbr class="abbr" title="5ᵉ siècle"><span class="romain">V</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle</a>) rapporte que des paysans grecs se sont partagé « équitablement » des champs suivant leurs périmètres, mais avec des aires différentes<sup id="cite_ref-17" class="reference"><a href="#cite_note-17"><span class="cite_crochet">[</span>17<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-Tessier_18-0" class="reference"><a href="#cite_note-Tessier-18"><span class="cite_crochet">[</span>18<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Or, la production d'un champ est proportionnelle à l'aire, non au périmètre : certains paysans naïfs ont pu obtenir des champs avec de longs périmètres, mais une aire (et donc une récolte) médiocre. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Isopérimétrie,_surface_minimale"><span id="Isop.C3.A9rim.C3.A9trie.2C_surface_minimale"></span>Isopérimétrie, surface minimale</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Isopérimétrie, surface minimale" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Isopérimétrie, surface minimale"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Bouillon_de_volaille.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Bouillon_de_volaille.jpg/220px-Bouillon_de_volaille.jpg" decoding="async" width="220" height="165" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Bouillon_de_volaille.jpg/330px-Bouillon_de_volaille.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Bouillon_de_volaille.jpg/440px-Bouillon_de_volaille.jpg 2x" data-file-width="800" data-file-height="600" /></a><figcaption>Des yeux à la surface d'un bouillon.</figcaption></figure> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/Isop%C3%A9rim%C3%A9trie" title="Isopérimétrie">Isopérimétrie</a> et <a href="/wiki/Surface_minimale" title="Surface minimale">surface minimale</a>.</div></div> <p>L'isopérimétrie traite, en particulier, la question de trouver la surface la plus vaste possible, pour un périmètre donné. La réponse est intuitive, c'est le <a href="/wiki/Disque_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Disque (géométrie)">disque</a><sup id="cite_ref-19" class="reference"><a href="#cite_note-19"><span class="cite_crochet">[</span>19<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Ceci explique pourquoi, notamment, les yeux à la surface d'un bouillon ont une forme circulaire. </p><p>Ce problème, d'apparence anodin, fait appel à des théories sophistiquées pour obtenir une démonstration rigoureuse. On simplifie parfois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées. Par exemple on cherche le <a href="/wiki/Quadrilat%C3%A8re" title="Quadrilatère">quadrilatère</a> ou le <a href="/wiki/Triangle" title="Triangle">triangle</a> d'aire la plus vaste possible, toujours pour un périmètre donné. Les solutions respectives sont le <a href="/wiki/Carr%C3%A9" title="Carré">carré</a> et le <a href="/wiki/Triangle_%C3%A9quilat%C3%A9ral" title="Triangle équilatéral">triangle équilatéral</a>. De manière générale, le <a href="/wiki/Polygone" title="Polygone">polygone</a> à <i>n</i> sommets ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est celui qui se rapproche le plus du <a href="/wiki/Cercle" title="Cercle">cercle</a>, c'est le <a href="/wiki/Polygone_r%C3%A9gulier" title="Polygone régulier">polygone régulier</a>. </p><p>L'isopérimétrie ne se limite pas à ces questions. On recherche aussi une zone d'aire la plus vaste possible pour un périmètre donné, avec des géométries différentes. Par exemple, dans le cas d'un <a href="/wiki/Demi-plan" title="Demi-plan">demi-plan</a>, la réponse est le demi-disque. </p><p>Ce concept donne naissance à une famille de théorèmes, dit <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_isop%C3%A9rim%C3%A9trique" title="Théorème isopérimétrique">isopérimétriques</a>, à des majorations dites <i>inégalités isopérimétriques</i>, ainsi qu'à un rapport, appelé <i>quotient isopérimétrique</i>. L'inégalité isopérimétrique indique qu'une surface de périmètre <i>p</i> et d'aire <i>a</i> vérifie la majoration suivante : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {4\pi a}{p^{2}}}\leq 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <mi>a</mi> </mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>≤</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {4\pi a}{p^{2}}}\leq 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c938cb6a7528b9ead02ce69224f424f6c969f13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:8.821ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {4\pi a}{p^{2}}}\leq 1}" /></span></dd></dl> <p>Le terme de gauche, est appelé quotient isopérimétrique, il est égal à 1 si, et seulement si la surface est un disque. </p><p>Si l'origine de cette question date d'au moins 2 900 ans<sup id="cite_ref-20" class="reference"><a href="#cite_note-20"><span class="cite_crochet">[</span>20<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, ce n'est qu'en <a href="/wiki/1895_en_science" title="1895 en science">1895</a>, à l'aide de méthodes dérivées du <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Minkowski" title="Théorème de Minkowski">théorème de Minkowski</a> que la question est définitivement résolue sous sa forme antique<sup id="cite_ref-21" class="reference"><a href="#cite_note-21"><span class="cite_crochet">[</span>21<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Ces méthodes permettent de démontrer le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_isop%C3%A9rim%C3%A9trique" title="Théorème isopérimétrique">théorème isopérimétrique</a> et de le généraliser à des <a href="/wiki/Dimension_d%27un_espace_vectoriel" title="Dimension d'un espace vectoriel">dimensions</a> supérieures dans le cas d'une <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_euclidienne" title="Géométrie euclidienne">géométrie euclidienne</a>. </p><p>Le problème d'isopérimétrie dans l'espace à trois dimensions consiste à chercher, le plus grand volume contenu dans une surface d'aire donnée. La réponse est la <a href="/wiki/Sph%C3%A8re" title="Sphère">sphère</a>, ce qui entraîne notamment la forme des <a href="/wiki/Bulle_de_savon" title="Bulle de savon">bulles</a> de savon. </p><p>Voir l'article <a href="/wiki/Isop%C3%A9rim%C3%A9trie" title="Isopérimétrie">isopérimétrie</a> pour les aspects élémentaires de cette question. Des éléments de réponse, faisant usage d'outils mathématiques plus sophistiqués, sont proposés dans l'article <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_isop%C3%A9rim%C3%A9trique" title="Théorème isopérimétrique">Théorème isopérimétrique</a>. </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Bulle_cat%C3%A9no%C3%AFde.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Bulle_cat%C3%A9no%C3%AFde.png/220px-Bulle_cat%C3%A9no%C3%AFde.png" decoding="async" width="220" height="181" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Bulle_cat%C3%A9no%C3%AFde.png/330px-Bulle_cat%C3%A9no%C3%AFde.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Bulle_cat%C3%A9no%C3%AFde.png/440px-Bulle_cat%C3%A9no%C3%AFde.png 2x" data-file-width="818" data-file-height="674" /></a><figcaption>Surface minimale créée par un film de savon appuyé sur deux fils circulaires.</figcaption></figure> <p>Une <a href="/wiki/Surface_minimale" title="Surface minimale">surface minimale</a> est une surface de l'espace à trois dimensions qui, sous certaines contraintes, minimise l'aire au <a href="/wiki/Voisinage_(math%C3%A9matiques)" title="Voisinage (mathématiques)">voisinage</a> de chacun de ses points. Cela signifie qu'une petite variation de cette surface rend l'aire plus grande<sup id="cite_ref-Troyanov_22-0" class="reference"><a href="#cite_note-Troyanov-22"><span class="cite_crochet">[</span>22<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Pour un ensemble donné de contraintes, il peut exister plusieurs surfaces minimales. Les surfaces minimales sont spontanément prises par un film de savon qui s'appuie sur un cadre<sup id="cite_ref-23" class="reference"><a href="#cite_note-23"><span class="cite_crochet">[</span>23<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> car de telles surfaces minimisent également les forces exercées sur le film. La recherche de telles surfaces est appelée en mathématiques <i><a href="/wiki/Probl%C3%A8me_de_Plateau" title="Problème de Plateau">problème de Plateau</a></i>, elle nécessite des raisonnements de <a href="/wiki/Calcul_diff%C3%A9rentiel" title="Calcul différentiel">calcul différentiel</a><sup id="cite_ref-Troyanov_22-1" class="reference"><a href="#cite_note-Troyanov-22"><span class="cite_crochet">[</span>22<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="clear" style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Grande_surface">Grande surface</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : Grande surface" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : Grande surface"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/Surface_sp%C3%A9cifique" title="Surface spécifique">surface spécifique</a> et <a href="/wiki/Fractale" title="Fractale">fractale</a>.</div></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Citronella_mucronata_(R._et_P.)_D._Don_(pabloendemico).jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Citronella_mucronata_%28R._et_P.%29_D._Don_%28pabloendemico%29.jpg/220px-Citronella_mucronata_%28R._et_P.%29_D._Don_%28pabloendemico%29.jpg" decoding="async" width="220" height="165" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Citronella_mucronata_%28R._et_P.%29_D._Don_%28pabloendemico%29.jpg/330px-Citronella_mucronata_%28R._et_P.%29_D._Don_%28pabloendemico%29.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Citronella_mucronata_%28R._et_P.%29_D._Don_%28pabloendemico%29.jpg/440px-Citronella_mucronata_%28R._et_P.%29_D._Don_%28pabloendemico%29.jpg 2x" data-file-width="750" data-file-height="563" /></a><figcaption>Une feuille d'arbre, large et peu épaisse.</figcaption></figure><p>A contrario, le problème d'obtenir, pour un volume donné, la figure avec la plus grande superficie possible se pose. Une solution mathématiquement simple existe : une <a href="/wiki/Surface_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" class="mw-redirect" title="Surface (géométrie)">surface</a> sans épaisseur possède un volume nul. De telles formes se trouvent dans la nature : une <a href="/wiki/Feuille" title="Feuille">feuille</a> de plante verte est généralement très peu épaisse mais large, afin d'exposer la plus grande surface possible au soleil, pour favoriser la <a href="/wiki/Photosynth%C3%A8se" title="Photosynthèse">photosynthèse</a><sup id="cite_ref-24" class="reference"><a href="#cite_note-24"><span class="cite_crochet">[</span>24<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Mais une grande surface du <a href="/wiki/Limbe_foliaire" title="Limbe foliaire">limbe foliaire</a> de la feuille favorise également la <a href="/wiki/Transpiration_v%C3%A9g%C3%A9tale" title="Transpiration végétale">transpiration</a>, les plantes devant lutter contre des périodes de sécheresse (<a href="/wiki/Pin_(plante)" title="Pin (plante)">pins</a>, <a href="/wiki/Cactaceae" title="Cactaceae">cactus</a>…) ont ainsi souvent des feuilles plus épaisses afin de diminuer leur superficie et donc lutter contre le dessèchement<sup id="cite_ref-25" class="reference"><a href="#cite_note-25"><span class="cite_crochet">[</span>25<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Menger_sponge_(Level_0-3).jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Menger_sponge_%28Level_0-3%29.jpg/220px-Menger_sponge_%28Level_0-3%29.jpg" decoding="async" width="220" height="63" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Menger_sponge_%28Level_0-3%29.jpg/330px-Menger_sponge_%28Level_0-3%29.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Menger_sponge_%28Level_0-3%29.jpg/440px-Menger_sponge_%28Level_0-3%29.jpg 2x" data-file-width="800" data-file-height="228" /></a><figcaption>Premières étapes de la construction d'une éponge de Menger.</figcaption></figure> <p>Une autre stratégie possible consiste à prendre une solide et à le percer d'un grand nombre de trous. Par exemple, l'<a href="/wiki/%C3%89ponge_de_Menger" title="Éponge de Menger">éponge de Menger</a> est construite à partir d'un <a href="/wiki/Cube" title="Cube">cube</a> qu'on partage trois tranches égales suivant chacune des trois dimensions. Cela donne vingt-sept cubes égaux, puis on enlève les cubes centraux. On obtient alors un nouveau solide, de volume inférieur et d'aire supérieure au précédent, constitué de vingt cubes. Puis on reprend le même procédé pour chacun de ces vingt cubes, puis à nouveau pour les cubes ainsi obtenus, etc. En répétant le procédé indéfiniment, on obtient un <a href="/wiki/Fractale" title="Fractale">objet fractal</a> qui possède une aire infinie et un volume égal à zéro, tout en ayant des dimensions (longueur, largeur, profondeur) égales à celles du cube de départ<sup id="cite_ref-Méandres_26-0" class="reference"><a href="#cite_note-Méandres-26"><span class="cite_crochet">[</span>26<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Des formes très découpées comme l'éponge de Menger se trouvent dans la nature, lorsqu'il s'agit de favoriser les échanges entre deux milieux : par exemple les <a href="/wiki/Poumon" title="Poumon">poumons</a> de mammifères (afin de maximiser les échanges gazeux dans un volume réduit)<sup id="cite_ref-Méandres_26-1" class="reference"><a href="#cite_note-Méandres-26"><span class="cite_crochet">[</span>26<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, les <a href="/wiki/Branchie" title="Branchie">branchies</a>, <a href="/wiki/Intestin" title="Intestin">intestins</a>… </p><p>La <a href="/wiki/Surface_sp%C3%A9cifique" title="Surface spécifique">surface spécifique</a> d'un matériau est sa superficie par unité de masse<sup id="cite_ref-Hopkins_2003_27-0" class="reference"><a href="#cite_note-Hopkins_2003-27"><span class="cite_crochet">[</span>27<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : plus la surface spécifique est grande, plus l'objet peut échanger avec son environnement, plus il est poreux. La surface spécifique est notamment une caractéristique physique importante d'un <a href="/wiki/Sol_(g%C3%A9otechnique)" title="Sol (géotechnique)">sol</a>, qui détermine sa capacité à retenir des éléments nutritifs et à les échanger avec des plantes<sup id="cite_ref-Hopkins_2003_27-1" class="reference"><a href="#cite_note-Hopkins_2003-27"><span class="cite_crochet">[</span>27<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-28" class="reference"><a href="#cite_note-28"><span class="cite_crochet">[</span>28<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="clear" style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Histoire">Histoire</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=15" title="Modifier la section : Histoire" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=15" title="Modifier le code source de la section : Histoire"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Haute_Antiquité"><span id="Haute_Antiquit.C3.A9"></span>Haute Antiquité</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=16" title="Modifier la section : Haute Antiquité" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=16" title="Modifier le code source de la section : Haute Antiquité"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Selon <a href="/wiki/H%C3%A9rodote" title="Hérodote">Hérodote</a>, la <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_dans_l%27%C3%89gypte_antique" title="Géométrie dans l'Égypte antique">géométrie dans l'Égypte antique</a> prend son origine dans la nécessité de répartir équitablement les surfaces des champs cultivés après les crues du <a href="/wiki/Nil" title="Nil">Nil</a><sup id="cite_ref-pfeiffe120_29-0" class="reference"><a href="#cite_note-pfeiffe120-29"><span class="cite_crochet">[</span>29<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Les Égyptiens connaissaient les formules usuelles de calcul des aires des polygones et la majorité des problèmes de géométrie conservés de cette époque concernent des problèmes d'aires<sup id="cite_ref-Collette41_30-0" class="reference"><a href="#cite_note-Collette41-30"><span class="cite_crochet">[</span>30<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>À Babylone, l'aire <i>A</i> était calculée à partir du périmètre <i>P</i> d'un cercle suivant une procédure équivalente à la formule<sup id="cite_ref-pfeiffe120_29-1" class="reference"><a href="#cite_note-pfeiffe120-29"><span class="cite_crochet">[</span>29<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A={\dfrac {P^{2}}{12}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mfrac> <msup> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>12</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\dfrac {P^{2}}{12}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef9f9ba7e495a2cab427a084592ad1af62295d66" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:9.2ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle A={\dfrac {P^{2}}{12}}.}" /></span></dd></dl> <p>Même lorsqu'ils connaissaient le diamètre d'un cercle, les scribes passaient toujours par le calcul de son périmètre (en multipliant le diamètre par 3) pour ensuite obtenir son aire. La procédure était la suivante<sup id="cite_ref-31" class="reference"><a href="#cite_note-31"><span class="cite_crochet">[</span>31<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, comme dans cet exemple, extrait de la résolution d'un problème où il est demandé de déterminer le volume d'une bûche cylindrique dont le diamètre était <span class="texhtml">1 + <span class="texhtml"><span style="display:inline-block; vertical-align:-0.5em; font-size:85%; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em;">2</span><span style="position:absolute;left:-10000px;top:auto;width:1px;height:1px;overflow:hidden">/</span><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em; border-top:1px solid;">3</span></span></span></span> : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid var(--border-color-base, #a2a9b1); text-align: justify; display:table"> <p><strong class="theoreme-nom">Méthode babylonienne</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Triple <span class="texhtml">1 + <span class="texhtml"><span style="display:inline-block; vertical-align:-0.5em; font-size:85%; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em;">2</span><span style="position:absolute;left:-10000px;top:auto;width:1px;height:1px;overflow:hidden">/</span><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em; border-top:1px solid;">3</span></span></span></span>, le dessus de la bûche, et 5, la circonférence de la bûche, viendra. Prends le carré de 5 et 25 viendra. Multiplie 25 par <span class="texhtml"><span style="display:inline-block; vertical-align:-0.5em; font-size:85%; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em;">1</span><span style="position:absolute;left:-10000px;top:auto;width:1px;height:1px;overflow:hidden">/</span><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em; border-top:1px solid;">12</span></span></span>, la constante, et <span class="texhtml">2 + <span class="texhtml"><span style="display:inline-block; vertical-align:-0.5em; font-size:85%; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em;">1</span><span style="position:absolute;left:-10000px;top:auto;width:1px;height:1px;overflow:hidden">/</span><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em; border-top:1px solid;">12</span></span></span></span>, l'aire, viendra. </p> </div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Calculation_of_pi_by_Ahmes.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Calculation_of_pi_by_Ahmes.svg/220px-Calculation_of_pi_by_Ahmes.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Calculation_of_pi_by_Ahmes.svg/330px-Calculation_of_pi_by_Ahmes.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Calculation_of_pi_by_Ahmes.svg/440px-Calculation_of_pi_by_Ahmes.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="599" /></a><figcaption>L'aire du disque rouge est proche de celle de l'octogone construit sur le tiers du carré.</figcaption></figure><p>En Égypte<sup id="cite_ref-pfeiffe120_29-2" class="reference"><a href="#cite_note-pfeiffe120-29"><span class="cite_crochet">[</span>29<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-Collette41_30-1" class="reference"><a href="#cite_note-Collette41-30"><span class="cite_crochet">[</span>30<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, le calcul s'effectuait à partir du diamètre <i>D</i> : </p><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=\left({\dfrac {8}{9}}D\right)^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>8</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>D</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=\left({\dfrac {8}{9}}D\right)^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b179a202a482885185ecd19b6197d3b4e9bb5a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.24ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle A=\left({\dfrac {8}{9}}D\right)^{2}}" /></span></dd></dl> <p>Le raisonnement consistait probablement à inscrire un octogone et un cercle dans un <a href="/wiki/Carr%C3%A9" title="Carré">carré</a><sup id="cite_ref-pfeiffe120_29-3" class="reference"><a href="#cite_note-pfeiffe120-29"><span class="cite_crochet">[</span>29<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-Collette41_30-2" class="reference"><a href="#cite_note-Collette41-30"><span class="cite_crochet">[</span>30<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. La figure ci-contre illustre ce raisonnement : si le carré a pour côté le diamètre <i>D</i> du disque, l'octogone construit sur le tiers du côté du carré possède une aire de </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dfrac {7}{9}}D^{2}={\dfrac {63}{81}}D^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>7</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>63</mn> <mn>81</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dfrac {7}{9}}D^{2}={\dfrac {63}{81}}D^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef804f95e2aa77b4fb32548bdfbe32ba67aae610" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.215ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\dfrac {7}{9}}D^{2}={\dfrac {63}{81}}D^{2}}" /></span>.</dd></dl> <p>L'aire du disque est considérée comme légèrement supérieure à celle de l'octogone, soit </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A={\dfrac {64}{81}}D^{2}=\left({\dfrac {8}{9}}D\right)^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>64</mn> <mn>81</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>8</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>D</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\dfrac {64}{81}}D^{2}=\left({\dfrac {8}{9}}D\right)^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1186a86b521a63315ee29cb7c16e007ba9a915e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:22.478ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle A={\dfrac {64}{81}}D^{2}=\left({\dfrac {8}{9}}D\right)^{2}}" /></span>.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Grèce_antique"><span id="Gr.C3.A8ce_antique"></span>Grèce antique</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=17" title="Modifier la section : Grèce antique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=17" title="Modifier le code source de la section : Grèce antique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Euclide" title="Euclide">Euclide</a>, dans ses <i><a href="/wiki/%C3%89l%C3%A9ments_d%27Euclide" class="mw-redirect" title="Éléments d'Euclide">Éléments</a></i>, démontre l'<a href="/wiki/Identit%C3%A9_remarquable" title="Identité remarquable">identité remarquable</a></li></ul> <dl><dd>(<i>a</i> + <i>b</i>)<sup>2</sup> = <i>a</i><sup>2</sup> + <i>b</i><sup>2</sup> + 2<i>ab</i></dd> <dd>par un raisonnement sur des aires de carrés.</dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/H%C3%A9ron_d%27Alexandrie" title="Héron d'Alexandrie">Héron d'Alexandrie</a> (<i><abbr class="abbr" title="circa (environ / aux environs de)" lang="la">c.</abbr></i> <a href="/wiki/100" title="100">100 <abbr class="abbr nowrap" title="après Jésus-Christ">apr. J.-C.</abbr></a>) publie la formule permettant de calculer l'aire d'un triangle, connaissant la longueur de ses trois côtés, appelée <a href="/wiki/Formule_de_H%C3%A9ron" title="Formule de Héron">formule de Héron</a>.</li></ul> <dl><dd>Cette formule était déjà connue d'<a href="/wiki/Archim%C3%A8de" title="Archimède">Archimède</a><sup id="cite_ref-32" class="reference"><a href="#cite_note-32"><span class="cite_crochet">[</span>32<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Monde_arabo-musulman">Monde arabo-musulman</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=18" title="Modifier la section : Monde arabo-musulman" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=18" title="Modifier le code source de la section : Monde arabo-musulman"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Al-Khw%C3%A2rizm%C3%AE" title="Al-Khwârizmî">Al-Khwârizmî</a>, dans son <i><a href="/wiki/Abr%C3%A9g%C3%A9_du_calcul_par_la_restauration_et_la_comparaison" title="Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison">Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison</a></i>, analyse et résout les <a href="/wiki/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9" title="Équation du second degré">équations du second degré</a> par des considérations géométriques sur des aires de carrés, poursuivant en cela la tradition de l'<a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_g%C3%A9om%C3%A9trique" title="Algèbre géométrique">algèbre géométrique</a> remontant à l'Antiquité. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Superficie">Superficie</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=19" title="Modifier la section : Superficie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=19" title="Modifier le code source de la section : Superficie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:SquareMeterQuadrat.JPG" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/SquareMeterQuadrat.JPG/220px-SquareMeterQuadrat.JPG" decoding="async" width="220" height="165" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/SquareMeterQuadrat.JPG/330px-SquareMeterQuadrat.JPG 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/SquareMeterQuadrat.JPG/440px-SquareMeterQuadrat.JPG 2x" data-file-width="2048" data-file-height="1536" /></a><figcaption>Modélisé ici au sol : un mètre-carré.</figcaption></figure> <p>La <b>superficie</b> d'un espace au sol ou d'une surface physique plane ou gauche est sa <a href="/wiki/Mesure_physique" title="Mesure physique">mesure physique</a> exprimée avec une <a href="/wiki/Unit%C3%A9_de_mesure" title="Unité de mesure">unité de mesure</a>. L'unité correspondante du <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_international_d%27unit%C3%A9s" title="Système international d'unités">Système international</a> est le <a href="/wiki/M%C3%A8tre_carr%C3%A9" title="Mètre carré">mètre carré</a><sup id="cite_ref-33" class="reference"><a href="#cite_note-33"><span class="cite_crochet">[</span>33<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> ou l'un de ses multiples ou sous-multiples, comme les <a href="/wiki/Are" title="Are">ares</a> ou <a href="/wiki/Hectare" title="Hectare">hectares</a>. </p><p>Cette mesure est parfois désignée par le terme « surface » lui-même, qui partage la même étymologie<sup id="cite_ref-34" class="reference"><a href="#cite_note-34"><span class="cite_crochet">[</span>34<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Les grandes superficies sont parfois exprimées en un nombre équivalent de <a href="/wiki/Terrains_de_football" class="mw-redirect" title="Terrains de football">terrains de football</a>, un terrain correspondant approximativement à 0,7 <a href="/wiki/Ha" class="mw-redirect mw-disambig" title="Ha">ha</a>. </p><p>Les calculs de superficie liés à la notion de rendement <a href="/wiki/Agriculture" title="Agriculture">agricole</a> et à l'<a href="/wiki/Imposition_(fiscalit%C3%A9)" title="Imposition (fiscalité)">imposition fiscale</a> ont motivé la notion d'aire en <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Géométrie">géométrie</a>. La modélisation d'un terrain par une <a href="/wiki/Surface_(g%C3%A9om%C3%A9trie_analytique)" title="Surface (géométrie analytique)">surface géométrique</a> simple permet une évaluation efficace de sa superficie. </p><p>La superficie des entités administratives (par exemple en France, celle d'une <a href="/wiki/Commune_(France)" title="Commune (France)">commune</a>, d'un <a href="/wiki/D%C3%A9partement_fran%C3%A7ais" title="Département français">département</a>…) peut prendre plusieurs valeurs différentes selon qu'elle est mesurée en se limitant aux terres émergées ou en prenant en compte les surfaces en eau. </p><p>Pour le calcul de la <a href="/wiki/Densit%C3%A9_de_population" title="Densité de population">densité de population</a>, on utilise la superficie terrestre qui correspond à l'aire de l'ensemble des terres en excluant les eaux intérieures comme les lacs ou fleuves<sup id="cite_ref-35" class="reference"><a href="#cite_note-35"><span class="cite_crochet">[</span>35<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=20" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=20" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#eom">Zalgaller Kudryavtsev</a>.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Faraut2006">Faraut 2006</a>, Avant-propos.</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text">Ce sont par exemple les trois qui sont rappelées dans <a href="#Faraut2006">Faraut 2006</a>, Avant-propos.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Perrin">Perrin</a>.</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a> </span><span class="reference-text">L'usage de ce terme d'informatique pour une pratique datant au moins de l'époque paléo-babylonienne peut sembler étrange, mais il est attesté dans <span class="ouvrage" id="Proust2007"><span class="ouvrage" id="Christine_Proust2007"><a href="/wiki/Christine_Proust" title="Christine Proust">Christine Proust</a>, « <cite style="font-style:normal">Hoyrup, 2002</cite> », <i>Éducmath</i>,‎ <time>2007</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://educmath.inrp.fr/Educmath/ressources/lecture/repertoire/hoyrup/?searchterm=hoyrup">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Hoyrup%2C+2002&rft.jtitle=%C3%89ducmath&rft.aulast=Proust&rft.aufirst=Christine&rft.date=2007&rft_id=http%3A%2F%2Feducmath.inrp.fr%2FEducmath%2Fressources%2Flecture%2Frepertoire%2Fhoyrup%2F%3Fsearchterm%3Dhoyrup&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a> </span><span class="reference-text">On trouvera une démonstration des cas entiers et fractionnaires, basés sur des exemples, dans <a href="#Tannery1903">Tannery 1903</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 93-94. Pour une version plus complète, voir <a href="#Perrin">Perrin</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 9.</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Perrin">Perrin</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 9.</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Amiot">Amiot 1870</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 159.</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Amiot">Amiot 1870</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 160.</span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Amiot">Amiot 1870</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 162-163.</span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a> </span><span class="reference-text">Voir un raisonnement analogue par exemple dans <a href="#Tannery1903">Tannery 1903</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k993940/f117.image">100-101</a>.</span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a> </span><span class="reference-text">D'autres définitions plus générales existent. Celle-ci est notamment celle donnée par le <i>Programme de l'enseignement des mathématiques en classe terminale de la série scientifique</i> en France (Arrêté du 20-7-2001. publié au <a rel="nofollow" class="external text" href="ftp://trf.education.gouv.fr/pub/edutel/bo/2001/hs4/maths2.pdf">JO du 4-8-2001</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 67).</span> </li> <li id="cite_note-13"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-13">↑</a> </span><span class="reference-text"><i>Programme de l'enseignement des mathématiques en classe terminale de la série scientifique</i> en France (Arrêté du 20-7-2001. publié au <a rel="nofollow" class="external text" href="ftp://trf.education.gouv.fr/pub/edutel/bo/2001/hs4/maths2.pdf">JO du 4-8-2001</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 67).</span> </li> <li id="cite_note-14"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-14">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Tannery1903">Tannery 1903</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 277 et suivantes pour un exposé complet avec démonstrations.</span> </li> <li id="cite_note-15"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-15">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Collette1">Collette, tome 1</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 55.</span> </li> <li id="cite_note-conf-16"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-conf_16-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Barataud"><span class="ouvrage" id="Dominique_Barataud">Dominique Barataud, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://media.education.gouv.fr/file/education_prioritaire_et_accompagnement/05/7/introduction_115057.pdf"><cite style="font-style:normal;">Aire et périmètre</cite></a> », <span class="italique">dossier d’activités pédagogiques réalisé par le groupe national de réflexion sur l’<a href="/wiki/Enseignement_des_math%C3%A9matiques" title="Enseignement des mathématiques">enseignement des mathématiques</a> en dispositifs relais</span>, sur <span class="italique">eduscol.education.fr</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2010-01-05" data-sort-value="2010-01-05">5 janvier 2010</time>)</small></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-17"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-17">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Heath2013"><span class="ouvrage" id="Thomas_Heath2013"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Thomas_Heath" title="Thomas Heath">Thomas Heath</a>, <cite class="italique" lang="en">A History of Greek Mathematics</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 2 : <span class="lang-en italique" lang="en">From Aristarchus to Diophantus</span>, <a href="/wiki/Dover_Publications" title="Dover Publications">Dover</a>, <time>2013</time> (<abbr class="abbr" title="première">1<sup>re</sup></abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> 1921) <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-48616265-2" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-48616265-2"><span class="nowrap">978-0-48616265-2</span></a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=8TSoAAAAQBAJ&pg=PA206">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 206<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+History+of+Greek+Mathematics&rft.pub=Dover&rft.aulast=Heath&rft.aufirst=Thomas&rft.date=2013&rft.volume=2&rft.pages=206&rft.isbn=978-0-48616265-2&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.fr%2Fbooks%3Fid%3D8TSoAAAAQBAJ%26pg%3DPA206&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-Tessier-18"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Tessier_18-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Teissier_1999"><a href="/wiki/Bernard_Teissier" title="Bernard Teissier">Bernard Teissier</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://people.math.jussieu.fr/~teissier/documents/LMA3.Teissier.v6.pdf"><cite style="font-style:normal;">Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre</cite></a> », sur <span class="italique"><a href="/wiki/Institut_de_math%C3%A9matiques_de_Jussieu" class="mw-redirect" title="Institut de mathématiques de Jussieu">Institut de mathématiques de Jussieu</a></span></span> (leçon donnée le jeudi 7 octobre 1999, rédigée par C. Reydy), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 2.</span> </li> <li id="cite_note-19"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-19">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="IREM">« <a rel="nofollow" class="external text" href="http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http://www.univ-orleans.fr/irem/modules/news/documents/Aires%2520-%25203.pdf&title=%C2%AB%C2%A0Le%20probl%C3%A8me%20isop%C3%A9rim%C3%A9trique%C2%A0%C2%BB"><cite style="font-style:normal;">Le problème isopérimétrique</cite></a> », sur <span class="italique"><a href="/wiki/IREM" class="mw-redirect" title="IREM">IREM</a> d'Orléans</span></span>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 2.</span> </li> <li id="cite_note-20"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-20">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#IREM">« Le problème isopérimétrique », sur <i>IREM d'Orléans</i></a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 1.</span> </li> <li id="cite_note-21"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-21">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Teissier_1999">Teissier 1999</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 6.</span> </li> <li id="cite_note-Troyanov-22"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-Troyanov_22-0">a</a> et <a href="#cite_ref-Troyanov_22-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text"><a href="#Troyanov2009">Troyanov 2009</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 318, 336.</span> </li> <li id="cite_note-23"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-23">↑</a> </span><span class="reference-text">Voir <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.palais-decouverte.fr/index.php?id=1843"><i>Qu’est-ce qu’une surface minimale ?</i></a>, vidéos du <a href="/wiki/Palais_de_la_d%C3%A9couverte" title="Palais de la découverte">Palais de la découverte</a>.</span> </li> <li id="cite_note-24"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-24">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Hopkins2003">Hopkins 2003</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 159.</span> </li> <li id="cite_note-25"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-25">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Hopkins2003">Hopkins 2003</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 148-149.</span> </li> <li id="cite_note-Méandres-26"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-Méandres_26-0">a</a> et <a href="#cite_ref-Méandres_26-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text"><a href="#VersteeghKaufmannMaletRadu2005">Versteegh <i><abbr class="abbr" title="et alii (« et d’autres »)" lang="la">et al.</abbr></i> 2005</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 73.</span> </li> <li id="cite_note-Hopkins_2003-27"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-Hopkins_2003_27-0">a</a> et <a href="#cite_ref-Hopkins_2003_27-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text"><a href="#Hopkins2003">Hopkins 2003</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 78.</span> </li> <li id="cite_note-28"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-28">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Joseph2009">Joseph et al. 2009</a>, <abbr class="abbr" title="chapitre(s)">chap.</abbr> 21.</span> </li> <li id="cite_note-pfeiffe120-29"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-pfeiffe120_29-0">a</a> <a href="#cite_ref-pfeiffe120_29-1">b</a> <a href="#cite_ref-pfeiffe120_29-2">c</a> et <a href="#cite_ref-pfeiffe120_29-3">d</a></sup> </span><span class="reference-text"><a href="#DahanPeiffer">Dahan-Dalmedico et Pfeiffer</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 120-121.</span> </li> <li id="cite_note-Collette41-30"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-Collette41_30-0">a</a> <a href="#cite_ref-Collette41_30-1">b</a> et <a href="#cite_ref-Collette41_30-2">c</a></sup> </span><span class="reference-text"><a href="#Collette1">Collette, tome 1</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 41-42.</span> </li> <li id="cite_note-31"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-31">↑</a> </span><span class="reference-text">Traduction libre et adaptation depuis <a href="#Robson2008">Robson 2008</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 65.</span> </li> <li id="cite_note-32"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-32">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Collette1">Collette, tome 1</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 95.</span> </li> <li id="cite_note-33"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-33">↑</a> </span><span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.bipm.org/fr/si/derived_units/2-2-1.html">Table des unités SI dérivées</a> sur le site du <a href="/wiki/Bureau_international_des_poids_et_mesures" title="Bureau international des poids et mesures">Bureau international des poids et mesures</a>.</span> </li> <li id="cite_note-34"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-34">↑</a> </span><span class="reference-text">« Superficie », <i>Dictionnaire historique de la langue française</i>, Dictionnaires Le Robert 1992.</span> </li> <li id="cite_note-35"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-35">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.europa.eu/data/datasets/hzkbs2y8ycdzijx0pmhpa?locale=fr"><cite style="font-style:normal;">Superficie totale et superficie terrestre par région NUTS 2</cite></a> », sur <span class="italique">data.europa.eu</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2022-04-04" data-sort-value="2022-04-04">4 avril 2022</time>)</small></span>.</span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=21" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=21" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r194021218">.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}</style><div class="autres-projets boite-grise boite-a-droite noprint js-interprojets"> <p class="titre">Sur les autres projets Wikimedia :</p> <ul class="noarchive plainlinks"> <li class="wiktionary"><a href="https://fr.wiktionary.org/wiki/superficie" class="extiw" title="wikt:superficie">superficie</a>, <span class="nowrap">sur le <span class="project">Wiktionnaire</span></span></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=22" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=22" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="ouvrage" id="Amiot">A. Amiot, <cite class="italique">Éléments de géométrie : rédigés d'après le nouveau programme de l'enseignement scientifique des lycées ; suivis d'un Complément à l'usage des élèves de mathématiques spéciales</cite>, Paris, C. Delagrave et <abbr class="abbr" title="Compagnie">C<sup>ie</sup></abbr>, <time>1870</time>, 428 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://gallica2.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k996281">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%C3%89l%C3%A9ments+de+g%C3%A9om%C3%A9trie+%3A+r%C3%A9dig%C3%A9s+d%27apr%C3%A8s+le+nouveau+programme+de+l%27enseignement+scientifique+des+lyc%C3%A9es+%3B+suivis+d%27un+Compl%C3%A9ment+%C3%A0+l%27usage+des+%C3%A9l%C3%A8ves+de+math%C3%A9matiques+sp%C3%A9ciales&rft.place=Paris&rft.pub=C.+Delagrave+et+%3Cabbr+class%3D%22abbr+%22+title%3D%22Compagnie%22+%3EC%3Csup%3Eie%3C%2Fsup%3E%3C%2Fabbr%3E&rft.au=A.+Amiot&rft.date=1870&rft.tpages=428&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Collette1">Jean-Paul Collette, <cite class="italique">Histoire des mathématiques</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 1, Montréal, Vuibert/ERPI, <time>1973</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Histoire+des+math%C3%A9matiques&rft.place=Montr%C3%A9al&rft.pub=Vuibert%2FERPI&rft.au=Jean-Paul+Collette&rft.date=1973&rft.volume=1&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Collette2">Jean-Paul Collette, <cite class="italique">Histoire des mathématiques</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 2, Montréal, Vuibert/ERPI, <time>1973</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Histoire+des+math%C3%A9matiques&rft.place=Montr%C3%A9al&rft.pub=Vuibert%2FERPI&rft.au=Jean-Paul+Collette&rft.date=1973&rft.volume=2&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="DahanPeiffer"><a href="/wiki/Amy_Dahan" title="Amy Dahan">A. <span class="nom_auteur">Dahan-Dalmedico</span></a> et <a href="/wiki/Jeanne_Peiffer" title="Jeanne Peiffer">J. Peiffer</a>, <cite class="italique">Une histoire des mathématiques : Routes et dédales</cite>, <time>1986</time> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Histoire_des_math%C3%A9matiques_(Dahan-Dalmedico,_Peiffer)" title="Référence:Histoire des mathématiques (Dahan-Dalmedico, Peiffer)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Une+histoire+des+math%C3%A9matiques&rft.stitle=Routes+et+d%C3%A9dales&rft.aulast=Dahan-Dalmedico&rft.aufirst=A.&rft.au=J.+Peiffer&rft.date=1986&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="eom"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Yu. D. <span class="nom_auteur">Burago</span>, V. A. <span class="nom_auteur">Zalgaller</span> et L. D. <span class="nom_auteur">Kudryavtsev</span>, <cite style="font-style:normal" lang="en">« Area »</cite>, dans <a href="/wiki/Michiel_Hazewinkel" title="Michiel Hazewinkel">Michiel Hazewinkel</a>, <cite class="italique" lang="en"><a href="/wiki/Encyclop%C3%A6dia_of_Mathematics" title="Encyclopædia of Mathematics">Encyclopædia of Mathematics</a></cite>, <a href="/wiki/Springer_Science%2BBusiness_Media" title="Springer Science+Business Media">Springer</a>, <time>2002</time> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-1556080104" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-1556080104"><span class="nowrap">978-1556080104</span></a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://eom.springer.de/A/a013180.htm">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Encyclop%C3%A6dia+of+Mathematics&rft.atitle=Area&rft.pub=Springer&rft.aulast=Burago&rft.aufirst=Yu.+D.&rft.au=Zalgaller%2C+V.+A.&rft.au=Kudryavtsev%2C+L.+D.&rft.date=2002&rft.isbn=978-1556080104&rft_id=http%3A%2F%2Feom.springer.de%2FA%2Fa013180.htm&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Faraut2006"><span class="ouvrage" id="Jacques_Faraut2006">Jacques <span class="nom_auteur">Faraut</span>, <cite class="italique">Calcul intégral</cite>, <a href="/wiki/EDP_Sciences" title="EDP Sciences">EDP Sciences</a>, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Enseignement sup. Mathématiques », <time>2006</time>, 196 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-86883-912-6" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-86883-912-6"><span class="nowrap">2-86883-912-6</span></a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Calcul+int%C3%A9gral&rft.pub=EDP+Sciences&rft.aulast=Faraut&rft.aufirst=Jacques&rft.date=2006&rft.tpages=196&rft.isbn=2-86883-912-6&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="GonzaloHabermann2008"><span class="ouvrage" id="Roberto_GonzaloKarl_J._Habermann2008">Roberto <span class="nom_auteur">Gonzalo</span> et Karl J. <span class="nom_auteur">Habermann</span> (<abbr class="abbr" title="traduction">trad.</abbr> Yves Minssart), <cite class="italique">Architecture et efficacité énergétique : Principes de conception et de construction</cite>, Springer, <time>2008</time>, 221 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/3-7643-8451-4" title="Spécial:Ouvrages de référence/3-7643-8451-4"><span class="nowrap">3-7643-8451-4</span></a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Architecture+et+efficacit%C3%A9+%C3%A9nerg%C3%A9tique&rft.pub=Springer&rft.stitle=Principes+de+conception+et+de+construction&rft.aulast=Gonzalo&rft.aufirst=Roberto&rft.au=Habermann%2C+Karl+J.&rft.date=2008&rft.tpages=221&rft.isbn=3-7643-8451-4&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Hopkins2003"><span class="ouvrage" id="William_G._Hopkins2003">William G. <span class="nom_auteur">Hopkins</span> (<abbr class="abbr" title="traduction">trad.</abbr> Serge Rambour), <cite class="italique">Physiologie végétale</cite>, De Boeck Université, <time>2003</time>, 532 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-7445-0089-5" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-7445-0089-5"><span class="nowrap">2-7445-0089-5</span></a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Physiologie+v%C3%A9g%C3%A9tale&rft.pub=De+Boeck+Universit%C3%A9&rft.aulast=Hopkins&rft.aufirst=William+G.&rft.date=2003&rft.tpages=532&rft.isbn=2-7445-0089-5&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Joseph2009"><span class="ouvrage" id="Philippe_Joseph2009">Philippe <span class="nom_auteur">Joseph</span> (<abbr class="abbr" title="directeur de publication">dir.</abbr>), <cite class="italique">Écosystèmes forestiers des Caraïbes</cite>, Karthala Editions, <time>2009</time>, 777 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-8111-0090-3" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-8111-0090-3"><span class="nowrap">2-8111-0090-3</span></a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%C3%89cosyst%C3%A8mes+forestiers+des+Cara%C3%AFbes&rft.pub=Karthala+Editions&rft.aulast=Joseph&rft.aufirst=Philippe&rft.date=2009&rft.tpages=777&rft.isbn=2-8111-0090-3&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Mandelbrot1995"><span class="ouvrage" id="Benoît_Mandelbrot1995"><a href="/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot" title="Benoît Mandelbrot">Benoît Mandelbrot</a>, <cite class="italique">Les Objets fractals</cite>, Flammarion, <time>1995</time>, <abbr class="abbr" title="quatrième">4<sup>e</sup></abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-08-081301-5" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-08-081301-5"><span class="nowrap">978-2-08-081301-5</span></a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.eyrolles.com/Sciences/Livre/les-objets-fractals-9782080813015">présentation en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Les+Objets+fractals&rft.pub=Flammarion&rft.edition=4&rft.aulast=Mandelbrot&rft.aufirst=Beno%C3%AEt&rft.date=1995&rft.isbn=978-2-08-081301-5&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Perrin"><a href="/wiki/Daniel_Perrin" title="Daniel Perrin">Daniel Perrin</a>, <span class="noarchive">« <a rel="nofollow" class="external text" href="http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/reflexionpro/conferences/perrin/iprdp.pdf"><cite style="font-style:normal; color:var(--color-link-red, #d73333);">Aires et volumes : découpage et recollement</cite></a> »<sup class="plainlinks">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/*/http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/reflexionpro/conferences/perrin/iprdp.pdf">Archive.org</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.wikiwix.com/cache/?url=http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/reflexionpro/conferences/perrin/iprdp.pdf">Wikiwix</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.is/http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/reflexionpro/conferences/perrin/iprdp.pdf">Archive.is</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://webcache.googleusercontent.com/search?hl=fr&q=cache:http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/reflexionpro/conferences/perrin/iprdp.pdf">Google</a> • <a href="/wiki/Projet:Correction_des_liens_externes#J'ai_trouvé_un_lien_mort,_que_faire_?" title="Projet:Correction des liens externes">Que faire ?</a>)</sup></span>, Euler, Académie de Versailles</span></li> <li><span class="ouvrage" id="Robson2008"><span class="ouvrage" id="Eleanor_Robson2008"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Eleanor_Robson" title="Eleanor Robson">Eleanor <span class="nom_auteur">Robson</span></a>, <cite class="italique" lang="en">Mathematics in Ancient Iraq: A Social History</cite>, Princeton University Press, <time>2008</time>, 442 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/9780691091822" title="Spécial:Ouvrages de référence/9780691091822"><span class="nowrap">9780691091822</span></a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mathematics+in+Ancient+Iraq%3A+A+Social+History&rft.pub=Princeton+University+Press&rft.aulast=Robson&rft.aufirst=Eleanor&rft.date=2008&rft.tpages=442&rft.isbn=9780691091822&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Tannery1903"><span class="ouvrage" id="Paul_Tannery1903"><a href="/wiki/Paul_Tannery" title="Paul Tannery">Paul Tannery</a>, <cite class="italique">Notions de mathématiques, Notions historiques</cite>, Paris, C. Delagrave, <time>1903</time>, 352 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb31432142h/description">présentation en ligne</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k993940">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Notions+de+math%C3%A9matiques%2C+Notions+historiques&rft.place=Paris&rft.pub=C.+Delagrave&rft.aulast=Tannery&rft.aufirst=Paul&rft.date=1903&rft.tpages=352&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Troyanov2009"><span class="ouvrage" id="Marc_Troyanov2009">Marc <span class="nom_auteur">Troyanov</span>, <cite class="italique">Cours de géométrie</cite>, <a href="/wiki/Presses_polytechniques_et_universitaires_romandes" title="Presses polytechniques et universitaires romandes">PPUR</a>, <time>2009</time>, 358 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Cours+de+g%C3%A9om%C3%A9trie&rft.pub=PPUR&rft.aulast=Troyanov&rft.aufirst=Marc&rft.date=2009&rft.tpages=358&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="VersteeghKaufmannMaletRadu2005"><span class="ouvrage" id="Pieter_VersteeghVincent_KaufmannMichel_MaletFlorinel_Radu2005">Pieter <span class="nom_auteur">Versteegh</span>, Vincent <span class="nom_auteur">Kaufmann</span>, Michel <span class="nom_auteur">Malet</span> et Florinel <span class="nom_auteur">Radu</span>, <cite class="italique">Méandres : penser le paysage urbain</cite>, Lausanne, PPUR, <time>2005</time>, 192 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-88074-623-0" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-88074-623-0"><span class="nowrap">978-2-88074-623-0</span></a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=M%C3%A9andres&rft.place=Lausanne&rft.pub=PPUR&rft.stitle=penser+le+paysage+urbain&rft.aulast=Versteegh&rft.aufirst=Pieter&rft.au=Kaufmann%2C+Vincent&rft.au=Malet%2C+Michel&rft.au=Radu%2C+Florinel&rft.date=2005&rft.tpages=192&rft.isbn=978-2-88074-623-0&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Vitrac2004"><span class="ouvrage" id="Bernard_Vitrac2004">Bernard <span class="nom_auteur">Vitrac</span>, « <cite style="font-style:normal">Les géomètres de la Grèce antique : Mesurer et démontrer</cite> », <i>CultureMath</i>,‎ <time>2004</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dma.ens.fr/culturemath/histoire%20des%20maths/htm/Vitrac/grecs-5.htm">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Les+g%C3%A9om%C3%A8tres+de+la+Gr%C3%A8ce+antique&rft.jtitle=CultureMath&rft.stitle=Mesurer+et+d%C3%A9montrer&rft.aulast=Vitrac&rft.aufirst=Bernard&rft.date=2004&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.dma.ens.fr%2Fculturemath%2Fhistoire%2520des%2520maths%2Fhtm%2FVitrac%2Fgrecs-5.htm&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AAire+%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29"></span></span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&veaction=edit&section=23" title="Modifier la section : Articles connexes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)&action=edit&section=23" title="Modifier le code source de la section : Articles connexes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Arpentage" title="Arpentage">Arpentage</a></li> <li><a href="/wiki/Surface_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" class="mw-redirect" title="Surface (géométrie)">Surface</a></li> <li><a href="/wiki/Surface_sp%C3%A9cifique" title="Surface spécifique">Surface spécifique</a></li> <li><a href="/wiki/Surface_minimale" title="Surface minimale">Surface minimale</a></li> <li><a href="/wiki/Surface_agricole_utile" class="mw-redirect" title="Surface agricole utile">Surface agricole utile</a></li> <li><a href="/wiki/Aire_alg%C3%A9brique_d%27un_polygone" title="Aire algébrique d'un polygone">Aire algébrique d'un polygone</a></li></ul> <div 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Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a href="/wiki/Ordres_de_grandeur_de_superficie" title="Ordres de grandeur de superficie">Ordres de grandeur</a> de <a class="mw-selflink selflink">surface</a> (en <a href="/wiki/M%C3%A8tre_carr%C3%A9" title="Mètre carré">mètres carrés</a>)</div></th> </tr> <tr> <td class="navbox-list" style="text-align: center;;" colspan="2"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=1_E-16_m%C2%B2_et_moins&action=edit&redlink=1" class="new" title="1 E-16 m² et moins (page inexistante)">10<sup>-16</sup> et moins</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=1_E-15_m%C2%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="1 E-15 m² (page inexistante)">10<sup>-15</sup></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=1_E-14_m%C2%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="1 E-14 m² (page inexistante)">10<sup>-14</sup></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=1_E-13_m%C2%B2&action=edit&redlink=1" 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href="/w/index.php?title=1_E15_m%C2%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="1 E15 m² (page inexistante)">10<sup>15</sup></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=1_E16_m%C2%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="1 E16 m² (page inexistante)">10<sup>16</sup></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=1_E17_m%C2%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="1 E17 m² (page inexistante)">10<sup>17</sup></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=1_E18_m%C2%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="1 E18 m² (page inexistante)">10<sup>18</sup></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=1_E19_m%C2%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="1 E19 m² (page inexistante)">10<sup>19</sup></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=1_E20_m%C2%B2_et_plus&action=edit&redlink=1" class="new" title="1 E20 m² et plus (page inexistante)">10<sup>20</sup> et plus</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <td class="navbox-banner" style="" colspan="2"><a href="/wiki/Ordre_de_grandeur" title="Ordre de 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