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La razón dada es <b><i></i></b><div class="usuario bloqueado - webhost" style="margin-bottom: 0.5em; background-color: #ffefd5; border: 1px solid #AAA; padding: 0.7em;"><b><i></i></b> <figure class="mw-halign-left" typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Server-multiple.svg/40px-Server-multiple.svg.png" decoding="async" width="40" height="57" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Server-multiple.svg/60px-Server-multiple.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Server-multiple.svg/80px-Server-multiple.svg.png 2x" data-file-width="744" data-file-height="1052" /></span><figcaption></figcaption></figure><b>Esta <a href="/wiki/Direcci%C3%B3n_IP" title="Dirección IP">dirección IP</a> está bloqueada en Wikipedia en español porque está identificada como un <a href="/wiki/Alojamiento_web" title="Alojamiento web">proveedor de alojamiento web</a>.</b> Para prevenir abusos, <a href="/wiki/Wikipedia:Proxies_abiertos" title="Wikipedia:Proxies abiertos">los servicios de alojamiento web pueden ser bloqueados</a> de editar en Wikipedia en virtud de la política global sobre la materia. <div style="border-top: 1px solid #AAA; clear: both">No puedes editar Wikipedia en español usando un servicio de alojamiento web porque oculta tu dirección IP de igual forma que un <a href="/wiki/Servidor_proxy" title="Servidor proxy">proxy</a> o <a href="/wiki/VPN" class="mw-redirect" title="VPN">VPN</a>. <p><b>Recomendamos que intentes usar otra conexión para editar.</b> Por ejemplo, si usas un proxy o VPN para conectarte a Internet, apágalo cuando edites Wikipedia. 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Es <b>muy importante</b> especificar un motivo <b>válido</b>.</li> <li>Enviando un correo electrónico a un bibliotecario usando el enlace <i>Enviar correo electrónico a este usuario</i> que aparece en el bloque de herramientas de la izquierda al ver su página. No puedes usar este método si no estás registrado y no tienes una dirección confirmada de correo electrónico en tus <a href="/wiki/Especial:Preferencias" title="Especial:Preferencias">preferencias</a>.<br />Ten en cuenta que puede suceder que, al ser bloqueado, se te deshabilite la capacidad de hacer uso de esta herramienta. En estos casos la única manera de discutir el bloqueo será la primera mencionada.</li></ul> Tu dirección IP actual es <b>8.222.208.146</b>, y el identificador del bloqueo es <b>#4880382</b>.</li><li class="mw-permissionerror-globalblocking-blockedtext-range"><b>Tu dirección IP forma parte de un rango de direcciones que se encuentra <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Global_blocks" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/Global blocks">bloqueado en todas las wikis de Wikimedia</a>.</b> El bloqueo fue realizado por <a href="/wiki/Usuario:Jon_Kolbert" title="Usuario:Jon Kolbert">‪Jon Kolbert‬</a>. 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Van Nostrand Company</ref> La propiedad distributiva de la [[multiplicación]] sobre la [[suma]] en álgebra elemental es aquella en la que el resultado de un número multiplicado por la suma de dos o más sumandos, es igual a la suma de los productos de cada sumando por ese número. En [[Álgebra|términos algebraicos]]: <div style="text-align: center;"><math> a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c</math></div> Ejemplo: <math> 3 \cdot (5 + 4) = 3 \cdot (9) = 27 </math> <br> <br> <math> (3 \cdot 5) + (3 \cdot 4) = 15 + 12 = 27 </math> <br> <br> En ambos casos los resultados son iguales. Esta propiedad, particularizada para la suma y el producto, se puede generalizar a cualquier otro par de operaciones aritméticas, obteniendo de esta forma la definición de distributividad. Esta propiedad básica de los números forma parte de la definición de la mayoría de las [[estructuras algebraicas]] que tienen dos operaciones llamadas suma y multiplicación, como los [[números complejos]], los [[polinomio]], las [[matriz (matemáticas)|matrices]], los [[anillo (matemáticas)|anillos]] y los [[campo (matemáticas)|campos]]. También se encuentra en el [[álgebra booleana]] y en la [[lógica matemática]], donde cada una de las [[Conjunción lógica|y lógicas]] (denotadas <math>,|land\,</math>) y de las [[Disyunción lógica|o lógicas]] (denotadas <math>,|lor\,</math>) se distribuye sobre la otra. == Definición == Sea A un [[conjunto]] dado en el que se han definido dos [[operación binaria|operaciones binarias]] (<math>\circ</math> ; <math>\star</math>). Entonces: * La operación <math>\circ</math> es '''distributiva por la izquierda''' respecto de la operación <math>\star</math> si se cumple que dados tres elementos cualesquiera a, b, c <math>\in</math> A, entonces ::<math>a \circ (b \star c) = (a \circ b) \star (a \circ c)</math> * La operación <math>\circ</math> es '''distributiva por la derecha''' respecto de la operación <math>\star</math> si se cumple que dados tres elementos cualesquiera a, b, c <math>\in</math> A, entonces ::<math>(b \star c) \circ a = (b \circ a) \star (c \circ a)</math> * La operación <math>\circ</math> es '''distributiva''' respecto de la operación <math>\star</math> si es distributiva por la derecha y distributiva por la izquierda, esto es, no cumple que dados tres elementos cualesquiera a, b, c <math>\in</math> A, entonces ::<math>a \circ (b \star c) = (a \circ b) \star (a \circ c)</math> ∧ <math>(b \star c) \circ a = (b \circ a) \star (c \circ a)</math> Hay que notar que si la operación <math>\circ</math> cumple la [[propiedad conmutativa]], entonces las tres condiciones son equivalentes, y basta que se cumpla una cualquiera de ellas para que las otras dos también se cumplan simultáneamente. Las leyes distributivas se encuentran entre los axiomas para [[Anillo (matemáticas)|anillos]] (como el anillo de [[enteros]]) y [[Campo (matemáticas)|campos]] (como el campo de [[números racionales]]). Aquí la multiplicación es distributiva sobre la suma, pero la suma no es distributiva sobre la multiplicación. Ejemplos de estructuras con dos operaciones que son cada una distributiva sobre la otra son las [[álgebra booleana|álgebras booleanas]] como el [[álgebra de conjuntos]] o el [[álgebra conmutativa]]. La multiplicación de sumas puede expresarse de la siguiente manera: Cuando se multiplica una suma por otra, se multiplica cada sumando de una suma por cada sumando de la otra suma (sin perder de vista los signos) y luego se suman todos los productos resultantes.  == Ejemplos == === Números reales === En los siguientes ejemplos, se muestra el uso de la propiedad distributiva en el conjunto de números reales <math>\R</math>. Cuando se menciona la multiplicación en matemáticas elementales, generalmente se refiere a este tipo de multiplicación. Desde el punto de vista del álgebra, los números reales forman un [[campo (matemática)|campo]], lo cual segura la validez de la ley distributiva. ;Primer ejemplo (multiplicación mental y escrita) Durante aritmética sin lápiz, a menudo la distributividad se utiliza de manera inconsciente: <math display="block">6 \cdot 16 = 6 \cdot (10 + 6) = 6\cdot 10 + 6 \cdot 6 = 60 + 36 = 96</math> Por lo tanto, para calcular <math>6 \cdot 16</math> sin ayuda de lápiz, primero se multiplica <math>6 \cdot 10</math> y <math>6 \cdot 6</math> y se suma los resultados intermedios. La multipicación realizada escribiendo también se basa en la ley distributiva. ;Segundo ejemplo (con variables) <math display="block">3 a^2 b \cdot (4 a - 5 b) = 3 a^2 b \cdot 4a - 3 a^2 b \cdot 5 b = 12 a^3 b - 15 a^2 b^2</math> ;Tercer ejemplo (con dos sumas) <math display="block">\begin{align} (a + b) \cdot (a - b) & = a \cdot (a - b) + b \cdot (a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2 \\ & = (a + b) \cdot a - (a + b) \cdot b = a^2 + ba - ab - b^2 = a^2 - b^2 \\ \end{align}</math> En este caso la propiedad distributiva fue aplicada dos veces, y no importa cuál paréntesis se resuelve primero. ;Cuarto ejemplo En este caso la propiedad distributiva es usada al revés comparada con los casos en los ejemplos anteriores. Sea <math display="block">12 a^3 b^2 - 30 a^4 b c + 18 a^2 b^3 c^2 \,.</math> Dado que el factor <math>6 a^2 b</math> se encuentra en todos los sumandos, se lo puede extraer como factor común. Por lo que de acuerdo a la propiedad distributiva se obtiene <math display="block">12 a^3 b^2 - 30 a^4 b c + 18 a^2 b^3 c^2 = 6 a^2 b \left(2 a b - 5 a^2 c + 3 b^2 c^2\right).</math> === Matrices === La ley distributiva es válida para la [[multiplicación de matrices]]. O sea, <math display="block">(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C</math> para todas matrices <math>A, B</math> <math>l \times m</math> y matriz <math>C,</math> <math>m \times n</math> como también <math display="block">A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C</math> para todas matriz <math>A</math> <math>l \times m</math> y matrices <math>B, C.</math> <math>m \times n</math> Como la propiedad conmutativa no es válida para la multiplicación de matrices, la segunda ley no se deriva de la primera ley. En este caso, son dos leyes diferentes. === Enteros de Gauss === Entre los [[número complejo|números complejos]], un caso interesante es el de los [[Entero gaussiano|enteros gaussianos]], que se escriben en la forma {{math|1= ''z'' = ''n'' + ''m''i}} con n y m enteros. Usamos la distributividad de la multiplicación compleja para mostrar por ejemplo que (1 + i)<sup>2</sup> = 1 + 2i + i<sup>2</sup> = 2i, es decir que 1 + i es raíz cuadrada de 2i. De manera más general, demostramos que el producto de dos enteros gaussianos es un entero gaussiano. === Otros ejemplos === * En cambio la multiplicación de [[Número ordinal (teoría de conjuntos)|números ordinales]], solo es distributiva por izquierda, no por derecha. * El [[Producto vectorial|producto cruz]] es distributivo por derecha y por izquierda con respecto a la [[suma de vectores]], aunque no es conmutativo. * La [[Unión de conjuntos|unión]] de conjuntos es distributiva con respecto a la [[Intersección de conjuntos|intersección]], y la intersección es distributiva con respecto a la unión. * La [[disyunción lógica]] ("o") es distributiva sobre la [[conjunción lógica]] ("Y"), y viceversa. * Para los [[números reales]] (y para todo [[conjunto totalmente ordenado]]), la operación máximo es distributiva sobre la operación mínimo, y viceversa: <math display="block">\max(a, \min(b, c)) = \min(\max(a, b), \max(a, c)) \quad \text{ y } \quad \min(a, \max(b, c)) = \max(\min(a, b), \min(a, c)).</math> * Para [[entero]]s, el [[máximo común divisor]] es distributivo con respecto al [[mínimo común múltiplo]], y viceversa: <math display="block">\gcd(a, \operatorname{lcm}(b, c)) = \operatorname{lcm}(\gcd(a, b), \gcd(a, c)) \quad \text{ y } \quad \operatorname{lcm}(a, \gcd(b, c)) = \gcd(\operatorname{lcm}(a, b), \operatorname{lcm}(a, c)).</math> * Para los números reales, la suma se distribuye sobre la operación de máximo, y también con respecto a la operación de mínimo: <math display="block">a + \max(b, c) = \max(a + b, a + c) \quad \text{ y } \quad a + \min(b, c) = \min(a + b, a + c).</math> * En la multiplicación binomial, la distribución a veces se denomina como el método PEIU<ref>Kim Steward (2011) [http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/beg_algebra/beg_alg_tut28_multpoly.htm Multiplying Polynomials] from Virtual Math Lab at [[West Texas A&M University]]</ref> (Primeros términos <math>a c,</math> Exteriores <math>a d,</math> Interiores <math>b c,</math> y Últimos <math>b d</math>) such as: <math>(a + b) \cdot (c + d) = a c + a d + b c + b d.</math> * En todos los [[semianillo]]s, incluidos los [[números complejos]], las multiplicaciones de [[cuaternion]]es, [[polinomio]]s, y [[matrix (mathematics)|matrices]], es distributiva con respecto a la suma: <math>u (v + w) = u v + u w, (u + v)w = u w + v w.</math> * En todas las [[Algebra over a field|álgebras en un campo]], incluidos los [[octonion]]es y otras álgebras no asociativas, la multiplicación es distributiva respecto de la suma. ==Distributividad y redondeo== En la aritmética aproximada, como la aritmética de punto flotante, la propiedad distributiva de la multiplicación (y división) sobre la suma puede fallar debido a las limitaciones de la precisión aritmética. Por ejemplo, la identidad <math>1/3 + 1/3 + 1/3 = (1 + 1 + 1) / 3</math> falla en la aritmética decimal, independientemente del número de dígitos significativos. Métodos como el redondeo bancario pueden ayudar en algunos casos, al igual que aumentar la precisión utilizada, pero en última instancia, algunos errores de cálculo son inevitables. == Lógica proposicional == === Regla de reemplazo === En la lógica proposicional funcional de verdad estándar, la distribución<ref>[[Elliott Mendelson]] (1964) ''Introduction to Mathematical Logic'', page 21, D. Van Nostrand Company</ref><ref>[[Alfred Tarski]] (1941) ''Introduction to Logic'', page 52, [[Oxford University Press]]</ref> en las demostraciones lógicas utiliza dos [[Regla de reemplazo|reglas de reemplazo]] válidas para expandir las ocurrencias individuales de ciertas [[conectivas lógicas]], dentro de alguna fórmula, en aplicaciones separadas de esas conectivas a través de subfórmulas de la fórmula dada. Las reglas son <math display="block">(P \land (Q \lor R)) \Leftrightarrow ((P \land Q) \lor (P \land R)) \qquad \text{ and } \qquad (P \lor (Q \land R)) \Leftrightarrow ((P \lor Q) \land (P \lor R))</math> donde "<math>\Leftrightarrow</math>>", también escrito <math>\,\equiv,\,</math> es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una prueba con" o "es [[equivalencia lógica|lógicamente equivalente]] a". === Conectivas funcionales de verdad === La distributividad de algunos conectivos lógicos de lógica proposicional funcional de verdad. Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la distributividad es una propiedad de las conectivas particulares. Las siguientes son [[tautología]]s funcionales de verdad. <math display="block">\begin{alignat}{13} &(P &&\;\land &&(Q \lor R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \land Q) &&\;\lor (P \land R)) && \quad\text{ Distribución de } && \text{ conjunción } && \text{ sobre } && \text{ disyunción } \\ &(P &&\;\lor &&(Q \land R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \lor Q) &&\;\land (P \lor R)) && \quad\text{ Distribución de } && \text{ disyunción } && \text{ sobre } && \text{ conjunción } \\ &(P &&\;\land &&(Q \land R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \land Q) &&\;\land (P \land R)) && \quad\text{ Distribución de } && \text{ conjunción } && \text{ sobre } && \text{ conjunción } \\ &(P &&\;\lor &&(Q \lor R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \lor Q) &&\;\lor (P \lor R)) && \quad\text{ Distribución de } && \text{ disyunción } && \text{ sobre } && \text{ disyunción } \\ &(P &&\to &&(Q \to R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \to Q) &&\to (P \to R)) && \quad\text{ Distribución de } && \text{ implicación } && \text{ } && \text{ } \\ &(P &&\to &&(Q \leftrightarrow R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \to Q) &&\leftrightarrow (P \to R)) && \quad\text{ Distribución de } && \text{ implicación } && \text{ sobre } && \text{ equivalencia } \\ &(P &&\to &&(Q \land R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \to Q) &&\;\land (P \to R)) && \quad\text{ Distribución de } && \text{ implicación } && \text{ sobre } && \text{ conjunción } \\ &(P &&\;\lor &&(Q \leftrightarrow R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \lor Q) &&\leftrightarrow (P \lor R)) && \quad\text{ Distribución de} && \text{ disyunción } && \text{ sobre } && \text{ equivalencia } \\ \end{alignat}</math> ;Distribución doble: <math display="block">\begin{alignat}{13} &((P \land Q) &&\;\lor (R \land S)) &&\;\Leftrightarrow\;&& (((P \lor R) \land (P \lor S)) &&\;\land ((Q \lor R) \land (Q \lor S))) && \\ &((P \lor Q) &&\;\land (R \lor S)) &&\;\Leftrightarrow\;&& (((P \land R) \lor (P \land S)) &&\;\lor ((Q \land R) \lor (Q \land S))) && \\ \end{alignat}</math> == Generalizaciones == En varias áreas matemáticas se consideran leyes de distributividad generalizadas. Esto puede implicar el debilitamiento de las condiciones anteriores o la extensión a operaciones infinitas. Especialmente en [[teoría del orden]] se encuentran numerosas variantes importantes de la distributividad, algunas de las cuales incluyen operaciones infinitas, como la [[ley distributiva infinita]]; otras se definen en presencia de sólo una operación binaria, como las definiciones correspondientes y sus relaciones se dan en el artículo [[distributividad (teoría del orden)]]. Esto también incluye la noción de una [[red completamente distributiva]]. En presencia de una relación de ordenación, también se pueden debilitar las igualdades anteriores sustituyendo <math>\,=\,</math> por <math>\,\leq\,</math> o <math>\,\geq.</math> Naturalmente, esto dará lugar a conceptos significativos sólo en algunas situaciones. Una aplicación de este principio es la noción de '''subdistributividad''', como se explica en el artículo sobre [[aritmética de intervalos]]. En [[teoría de la categoría]], si <math>(S, \mu, \nu)</math> y <math>\left(S^{\prime}, \mu^{\prime}, \nu^{\prime}\right)</math> son [[Mónada (teoría de la categoría)|mónada]]s en una [[Categoría (matemática)|categoría]] <math>C,</math> una '''ley distributiva''' <math>S . S^{\prime} \to S^{\prime} . S</math> es una [[transformación natural]] <math>\lambda : S . S^{\prime} \to S^{\prime} . S</math> tal que <math>\left(S^{\prime}, \lambda\right)</math> es un [[mapa laxo de mónadas]] <math>S \to S</math> and <math>(S, \lambda)</math> es un [[mapa colaxo de mónadas]] <math>S^{\prime} \to S^{\prime}.</math> Estos son exactamente los datos necesarios para definir una estructura de mónada sobre <math>S^{\prime} . S</math>: el mapa de multiplicación es <math>S^{\prime} \mu . \mu^{\prime} S^2 . S^{\prime} \lambda S</math> y el mapa unitario es <math>\eta^{\prime} S . \eta.</math>. También se ha propuesto una [[ley distributiva generalizada]] en el ámbito de la [[teoría de la información]]. === Antidistributividad === La ubicua [[Identidad (matemática)|identidad]] que relaciona los inversos con la operación binaria en cualquier [[Grupo (matemática)|grupo]], a saber <math>(x y)^{-1} = y^{-1} x^{-1}, </math> que se toma como axioma en el contexto más general de un [[semigrupo con involución]], se ha llamado a veces una '''propiedad antidistributiva''' (de la inversión como [[operación unaria]]).<ref name="BrinkKahl1997">{{cite book|author1=Chris Brink|author2=Wolfram Kahl|author3=Gunther Schmidt|title=Métodos relacionales en informática|url=https://archive.org/details/relationalmethod00jips|url-access=limited|date=1997|publisher=Springer|isbn=978-3-211-82971-4|page=[https://archive.org/details/relationalmethod00jips/page/n16 4]}}</ref> En el contexto de un [[casi-anillo]], que elimina la conmutatividad del grupo escrito aditivamente y asume sólo la distributividad de un lado, se puede hablar de '''elementos distributivos''' (de dos lados) pero también de '''elementos antidistributivos'''. Estos últimos invierten el orden de la adición (no conmutativa); suponiendo un anillo de izquierda (es decir, que todos los elementos se distribuyen cuando se multiplican por la izquierda), entonces un elemento antidistributivo <math>a</math> invierte el orden de la adición cuando se multiplica por la derecha: <math>(x + y) a = y a + x a.</math><ref>{{cite book|author1=Celestina Cotti Ferrero|author2=Giovanni Ferrero|title=Nearrings: Algunos desarrollos vinculados a semigrupos y grupos|año=2002|editorial=Kluwer Academic Publishers|isbn=978-1-4613-0267-4|páginas=62 y 67}}</ref> En el estudio de la [[lógica proposicional]] y el [[álgebra de Boole]], el término '''ley antidistributiva''' se utiliza a veces para denotar el intercambio entre la conjunción y la disyunción cuando la implicación es un factor sobre ellas:<ref name="Hehner1993">{{cite book|author=Eric C. R. Hehner|author-link=Eric Hehner|title=A Practical Theory of Programming|year=1993|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4419-8596-5|page=230}}</ref> <math display="block">(a \lor b) \Rightarrow c \equiv (a \Rightarrow c) \land (b \Rightarrow c)</math> <math display="block">(a \land b) \Rightarrow c \equiv (a \Rightarrow c) \lor (b \Rightarrow c).</math> Estas dos [[Tautología (lógica)|tautologías]] son una consecuencia directa de la dualidad en las [[leyes de De Morgan]]. == Véase también == * [[Propiedad conmutativa]] * [[Propiedad asociativa]] * [[Elemento inverso]] * [[Elemento neutro]] == Referencias == {{listaref}} == Enlaces externos == * [http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Operaciones/operaciones/node1.html Operaciones binarias] Artículo sobre operaciones binarias y sus propiedades. * {{cita web |url=http://www.matap.uma.es/~garvin/05Alg04/node6.html |título=Distributividad |fechaacceso=22 de abril de 2011 |apellido=Garvín |nombre=Antonio |ubicación=Universidad de Málaga |idioma=castellano |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20100926235516/http://www.matap.uma.es/~garvin/05Alg04/node6.html |fechaarchivo=26 de septiembre de 2010 }} {{Control de autoridades}} [[Categoría:Álgebra elemental]] </textarea><div class="templatesUsed"><div class="mw-templatesUsedExplanation"><p>Plantillas usadas en esta página: </p></div><ul> <li><a href="/wiki/Plantilla:Cita_libro" title="Plantilla:Cita libro">Plantilla:Cita libro</a> (<a href="/w/index.php?title=Plantilla:Cita_libro&action=edit" title="Plantilla:Cita libro">ver código</a>) (protegida para editores de plantillas)</li><li><a href="/wiki/Plantilla:Cita_web" title="Plantilla:Cita web">Plantilla:Cita web</a> (<a href="/w/index.php?title=Plantilla:Cita_web&action=edit" title="Plantilla:Cita web">ver código</a>) (protegida para editores de plantillas)</li><li><a href="/wiki/Plantilla:Cite_book" class="mw-redirect" title="Plantilla:Cite book">Plantilla:Cite book</a> (<a 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