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<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Quelltext der Seite Trapez (Geometrie) – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":true,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"5bab7fd4-14f9-4112-997f-8e7d7316b597","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Trapez_(Geometrie)","wgTitle":"Trapez (Geometrie)","wgCurRevisionId":250469979,"wgRevisionId":0,"wgArticleId":45670,"wgIsArticle":false,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"edit","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories": [],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Trapez_(Geometrie)","wgRelevantArticleId":45670,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":250469979,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":10000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false, "wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.charinsert.styles":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=[ "mediawiki.action.edit.collapsibleFooter","site","mediawiki.page.ready","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.charinsert","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.editMenus","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.gadget.sourceEditing","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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Vergleiche [[Karl Menninger (Mathematiker)|Karl Menninger]]: ''Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl.'' Vandenhoeck & Ruprecht, 1979, ISBN 3-525-40725-4. S. 190 ({{Google Buch |BuchID=dbyR3WAaxgQC |Seite=190 |Linktext=Auszug (Google) |KeinText=ja}})</ref>) ist in der [[Geometrie]] ein ebenes [[Viereck]] mit mindestens zwei [[Parallel (Geometrie)|parallel]] zueinander liegenden Seiten.<ref name="Bronstein" /> == Allgemeines == [[Datei:Trapez mittellinie.svg|miniatur|Trapez mit den [[Ecke]]n ''A'', ''B'', ''C, ''D'',<br />den Seiten ''a'', ''b'', ''c, ''d''<br />und den Winkeln ''α'', ''β'', ''γ'', ''δ''.<br />Mit unterbrochenen Linien sind eingezeichnet:<br />die Höhe ''h'' sowie<br />die Diagonalen ''e'' und ''f'' des Trapezes und deren Schnittpunkt ''S'', sowie die Mittellinie ''m'', die die Seitenmitten von ''AD'' und ''BC'' verbindet]] Die beiden [[Parallelität (Geometrie)|parallelen]] Seiten werden ''Grundseiten'' des Trapezes genannt. Eine dieser Grundseiten (meistens die längere) wird oft als ''Basis'' des Trapezes bezeichnet, die beiden angrenzenden im Allgemeinen nicht parallelen Seiten oft als ''Schenkel.'' Im Trapez gibt es zwei Paare benachbarter [[Supplementwinkel]], das heißt, die [[Winkel]] ergänzen sich zu 180&nbsp;[[Grad (Winkel)|Grad]]. Die ''Höhe'' <math>h</math> des Trapezes ist der Abstand zwischen den zwei parallelen Seiten. Jedes [[Konvexe Menge|konvexe]] Trapez besitzt zwei [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]], die einander im gleichen [[Verhältnis (Mathematik)|Verhältnis]] schneiden. Die Diagonalen teilen das Trapez in vier [[Dreieck]]e, von denen zwei zueinander [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlich]] und zwei flächengleich sind. Das lässt sich so beweisen: Sei <math>ABCD</math> ein konvexes Trapez und <math>S</math> der [[Schnittpunkt]] seiner [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] (siehe Abbildung), dann sind die Dreiecke <math>DCS</math> und <math>ABS</math> einander ähnlich, weil sie gleiche [[Winkel]] haben, denn diese Winkel sind [[Scheitelwinkel]] und [[Wechselwinkel]] bei Parallelen. Aus der Ähnlichkeit dieser beiden Dreiecke folgt direkt, dass die Diagonalen einander im gleichen Verhältnis schneiden, das heißt <math>\tfrac{DS}{BS}=\tfrac{CS}{AS}</math>. Die Dreiecke <math>ADS</math> und <math>BCS</math> sind flächengleich, weil die Dreiecke <math>ABC</math> und <math>ABD</math> flächengleich sind, denn beide haben die gleiche Grundseite und die gleiche [[Höhe (Geometrie)|Höhe]]. Von beiden Dreiecken braucht nur noch das gemeinsame Dreieck <math>ABS</math> abgezogen zu werden. Ein Trapez ist entweder ein konvexes oder ein ''überschlagenes'' [[Viereck]]. Überschlagene Trapeze werden jedoch normalerweise nicht zu den Trapezen gerechnet. == Formeln == {| class="wikitable" ! colspan="3" style="background:#C0C0FF" | Mathematische Formeln zum Trapez |- | '''[[Flächeninhalt]]''' |<math>A = \frac{(a + c) \cdot h}{2}=m\cdot h</math> | rowspan="8" |[[Datei:Trapez mittellinie.svg|alternativtext=|rahmenlos]] |- | rowspan="3" |'''[[Höhe]]''' |<math>h = \frac{2}{|a - c|} \cdot \sqrt{s \cdot (s - |a - c|) \cdot (s - b) \cdot (s - d)}</math> (für <math>a \ne c</math>), mit <math>s = \frac{|a - c| + b + d}{2}</math> |- |<math>h = \frac{2 \cdot A}{a + c}</math> |- |<math>h = b \cdot \sin(\beta) = b \cdot \sin(\gamma) = d \cdot \sin(\delta) = d \cdot \sin(\alpha)</math> |- | '''[[Umfang (Geometrie)|Umfang]]''' |<math>U = a + b + c + d</math> |- | rowspan="2" | Längen der [[Diagonale (Geometrie)|'''Diagonalen''']]<br /> |<math>e = \sqrt{\frac{a \cdot d^2 + a^2 \cdot c - a \cdot c^2 - c \cdot b^2}{a - c}}</math> (für <math>a \ne c</math>) |- |<math>f = \sqrt{\frac{a \cdot b^2 + a^2 \cdot c - a \cdot c^2 - c \cdot d^2}{a - c}}</math> (für <math>a \ne c</math>) |- |'''[[Innenwinkel]]''' |<math>\alpha + \delta = \beta + \gamma = 180^\circ</math> |} Die Formel zur Berechnung der Höhe aus den Seitenlängen lässt sich aus der [[Satz des Heron|heronischen Formel]] für die [[Dreieck]]sfläche herleiten. Die Beziehungen für die Diagonalenlängen beruhen auf dem [[Kosinussatz]]. == Spezialfälle == === Gleichschenkliges und symmetrisches Trapez === [[Datei:Trapez mit Umkreis.svg|miniatur|Gleichschenkliges Trapez mit Umkreis]] In Lehrbüchern finden sich mehrere Varianten zur Charakterisierung eines '''gleichschenkligen Trapezes''', insbesondere:<ref name="MathOl" /> * Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden Seiten, die nicht Grundseiten sind, gleich lang sind.<ref name="Bronstein" /> * Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden [[Innenwinkel]] an einer der parallelen Seiten gleich groß sind.<ref name="Zech" /><ref name="matheduden" /> * Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn es eine zu einer Seite senkrechte [[Symmetrieachse]] besitzt.<ref name="MathOl" /> Die erste Charakterisierung schließt formal auch [[Parallelogramm]]e mit ein, die aber manchmal –&nbsp;wenn auch nicht ausdrücklich&nbsp;– ausgeschlossen werden.<ref>In Bronstein/Semendjajew wird das gleichschenkelige Trapez zwar über die Länge der Schenkel charakterisiert, die anschließend angegebene Formel gilt jedoch nicht für Parallelogramme. In den Lösungen des Bundeswettbewerbs Mathematik 2012 werden die Charakterisierungen über Seitenlängen und Innenwinkel als Alternativen genannt. Sie sind nur gleichwertig, wenn im ersten Fall Parallelogramme ausgeschlossen werden.</ref> Die letzten beiden Charakterisierungen sind gleichwertig und in diesem Fall wird das gleichschenklige Trapez wegen der [[Achsensymmetrie]] auch '''symmetrisches Trapez''' genannt. Daher sind die Innenwinkel an beiden parallelen Seiten jeweils gleich groß. Die beiden [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] sind im symmetrischen Trapez gleich lang. Die [[Eckpunkt]]e eines symmetrischen Trapezes liegen auf einem [[Kreis]] <math>k</math>, dem [[Umkreis]] des Trapezes. Das Trapez ist somit ein [[Sehnenviereck]] dieses Kreises. Der Umkreismittelpunkt ist der [[Schnittpunkt]] der [[Mittelsenkrechte]]n der Seiten des Trapezes. Das Trapez wird von der [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] <math>h</math>, die durch den Umkreismittelpunkt <math>M</math> geht, in zwei [[Symmetrie (Geometrie)|spiegelsymmetrische]] Teile zerlegt. <div style="clear:both;"></div> Ein Trapez, das zwei der Eigenschaften ''rechtwinklig, punktsymmetrisch'' (Parallelogramm) und ''achsensymmetrisch'' hat, besitzt automatisch auch die dritte und ist somit ein Rechteck. === Rechtwinkliges Trapez === [[Datei:Rechtwinkliges Trapez.svg|miniatur|Rechtwinkliges Trapez]] Ein Trapez heißt '''rechtwinklig''' (oder auch '''orthogonal'''), wenn es mindestens einen [[Rechter Winkel|rechten]] [[Innenwinkel]] besitzt. Da in einem Trapez alle [[Winkel]] an einer der [[Parallelität (Geometrie)|parallelen]] Grundseiten anliegen, muss ein rechtwinkliges Trapez immer mindestens zwei rechte Winkel besitzen, die nebeneinander liegen. Ein [[Rechteck]] ist der Spezialfall eines rechtwinkligen Trapezes. Es besitzt sogar vier rechte Innenwinkel. <div style="clear:both;"></div> === Überschlagenes oder verschränktes Trapez === [[Datei:Überschlagenes Trapez.svg|mini|Überschlagenes Trapez]] Beim '''überschlagenen''' oder '''verschränkten Trapez''' sind nicht die gleichseitigen Enden der Grundseiten durch die übrigen Seiten verbunden, sondern die gegenüber liegenden. Diese Seiten überkreuzen sich also im [[Mittelpunkt]] <math>M</math> des Trapezes. Man kann sich ein überschlagenes Trapez vorstellen als das [[Viereck]], das aus den Grundseiten und den [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] eines konvexen Trapezes gebildet wird. Die beiden Teilflächen sind einander [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnliche]] [[Dreieck]]e. Überschlagene Trapeze werden jedoch normalerweise nicht zu den (normalen oder „echten“) Trapezen gezählt. Der Flächeninhalt des überschlagenen Trapezes, das heißt die Summe der [[Flächeninhalt]]e der beiden Dreiecke, berechnet sich wie folgt: :<math>A = \frac{h}{2} \cdot \frac {a^2+c^2}{a+c}</math> <div style="clear:both;"></div> [[Datei:Verschränktes Trapez.svg|miniatur|Verschränktes, rechtwinkliges Trapez]] Überschlagene oder verschränkte Trapeze, die zusätzlich rechtwinklig sind, werden in der [[Geodäsie]] zur Berechnung von Flächeninhalten, beispielsweise aus [[Orthogonalverfahren|Orthogonalaufnahmen]], verwendet. Sie bestehen aus zwei [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecken]], die sich an einer [[Ecke]] berühren. Die Differenz der Flächeninhalte der beiden Dreiecke ergibt sich zu :<math>A_\Delta = A_{D_1} - A_{D_2} = h\frac{a - c}2</math> mit <math>h = \overline{BC}</math>. Diese Fläche ist vorzeichenbehaftet. Dadurch entfallen bei Flächenberechnungen nach der [[Gaußsche Trapezformel|Gaußschen Trapezformel]] Fallunterscheidungen, wenn eine Umringsseite der Fläche die Bezugslinie schneidet. <div style="clear:both;"></div> == Quadratisches Mittel im Trapez == [[Datei:Trapez Planfigur.svg|mini|hochkant=1|''Figur 1'']] [[Datei:Trapez Quadratisches Mittel Planfigur.svg|mini|hochkant=1|''Figur 2'']] Die Länge einer zur Grundseite eines Trapezes parallelen Strecke <math>p</math>, die das Trapez in zwei flächengleiche Teil-Trapeze teilt, ist das [[Quadratisches Mittel|quadratische Mittel]] aus den Längen seiner [[Parallelität (Geometrie)|parallelen]] Grundseiten ''(Figur 1)''. Der Beweis verwendet ''Figur 2''. Aus dem [[Strahlensatz]] folgt :<math>A_a:A_p:A_b=a^2:p^2:b^2</math>. Wegen :<math>A_a-A_p=A_p-A_b</math> erhält man :<math>A_p=\frac{A_a+A_b}{2}</math> und damit :<math>p^2=\frac{a^2+b^2}{2}</math>, also :<math>p=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}</math>. Folglich ist <math>p</math> das quadratische Mittel von <math>a</math> und <math>b</math>.<ref>[https://wwwdid.mathematik.tu-darmstadt.de/mathezirkel/content/download/Mittelwerte.pdf Mathezirkel] der [[Technische Universität Darmstadt|TU Darmstadt]]</ref> == Begriffsgeschichte == Die Beschränkung des Begriffs auf [[Viereck]]e mit zwei [[Parallelität (Geometrie)|parallelen]] Seiten ist relativ jung. Bis zum Beginn des 20.&nbsp;Jahrhunderts bezeichnete man als Trapez meist ein Viereck, in dem kein Seitenpaar parallel ist, also ein unregelmäßiges Viereck ohne besondere Eigenschaften. Für das Trapez mit zwei parallelen Seiten war die Bezeichnung ''Paralleltrapez'' üblich.<ref>Pierer’s Universal-Lexikon. 4. Auflage 1857–1865, Artikel [http://www.zeno.org/Pierer-1857/A/Trapez „Trapez“].</ref><ref>Meyers Großes Konversations-Lexikon. 6. Auflage 1905–1909, Artikel [http://www.zeno.org/nid/20007213603 „Paralleltrapēz“].</ref> Diese Verwendung leitete sich von Euklids Klassifikation der Vierecke ab, wobei dieser ein Viereck mit einem parallelen Seitenpaar aber nicht gesondert betrachtet, sondern zu den Vierecken ohne besondere Eigenschaften gezählt hatte. Das heißt, das Trapez bei Euklid umfasste sowohl das Trapez als auch das Paralleltrapez im obigen Sinne. [[Euklid]]s genaue Klassifikation lautete dabei wie folgt: {{Zitat | Text=Unter den vierseitigen Figuren heißt diejenige ein Quadrat ({{lang|grc|τετράγωνον}}), die gleichseitig und rechtwinklig ist; ein Rechteck ({{lang|grc|ὀρθογώνιον}}), die zwar rechtwinklig, aber nicht gleichseitig ist; ein Rhombus (ῥόμβος), die zwar gleichseitig, aber nicht rechtwinklig ist; und ein Rhomboid<ref>Dabei handelte es sich also um ein „echtes“ Parallelogramm: ein Parallelogramm, das weder ein Rhombus noch ein Rechteck (und daher erst recht kein Quadrat) ist.</ref> ({{lang|grc|ῥομβοειδὲς σχῆμα}}), deren einander gegenüberliegende Seiten und Winkel gleich sind, die aber weder gleichseitig noch rechtwinklig ist. Jede andere vierseitige Figur heiße Trapez ({{lang|grc|τραπέζιον}}). | Autor=[[Euklid]] | Quelle=[[Elemente (Euklid)|Elemente]] Buch I, 22 | ref=<ref>''[http://www.physics.ntua.gr/~mourmouras/euclid/index.html Euklids Elemente.]'' Griechischer Originaltext.</ref><ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/defI22.html Englische Übersetzung von Euklids Elemente (Buch I, Definition 22) mit Anmerkungen.]</ref>}} Im Gegensatz dazu verwendeten [[Proklos]], [[Heron von Alexandria|Heron]] und [[Poseidonios]] die Bezeichnung ''Trapez'' im modernen Sinn, also für das Paralleltrapez. Das unregelmäßige [[Viereck]] bezeichneten sie als ''Trapezoid'' ({{lang|grc|τραπεζοειδῆ}}).<ref name="Tropfke">Johannes Tropfke: ''Geschichte der Elementarmathematik. Band 4: Ebene Geometrie.'' de Gruyter, 1940 ({{Google Buch |BuchID=yWphyOlNZfgC |Seite=119 f.}}).</ref> Diese Unterscheidung von Trapez (engl. ''trapezium'') und Trapezoid gibt es so im Deutschen und im britischen Englisch. Im amerikanischen Englisch werden die Begriffe ''trapezium'' und ''trapezoid'' verwirrenderweise umgekehrt verwendet. Die meisten [[Mathematiker]] des Mittelalters ab [[Boethius]] übernahmen Euklids Verwendung des Begriffs als unregelmäßiges Viereck. Die Unterscheidung nach Poseidonios wurde nur selten wieder aufgegriffen. Erst seit dem 18.&nbsp;Jahrhundert findet man sie häufiger, z.&nbsp;B. bei [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] und [[Bernhard Friedrich Thibaut|Thibaut]]. [[Jean Henri van Swinden]] verwendete die Bezeichnung „Trapez“ im Sinne Euklids und nannte das Viereck mit zwei [[Parallelität (Geometrie)|parallelen]] Seiten ''Paralleltrapez.''<ref name="Tropfke" /> == Weblinks == {{Commonscat|Trapezoids|Trapeze}} * {{MathWorld|Trapezoid|Trapezoid}} * {{MathWorld|Trapezium|Trapezium}} == Einzelnachweise == <references> <ref name="Bronstein"> {{Literatur |Autor=Ilja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjajew |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]] |Auflage=24. |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Thun und Frankfurt am Main |Datum=1989 |ISBN=3-87144-492-8 |Seiten=192}} </ref> <ref name="Zech"> {{Literatur |Autor=Friedrich Zech |Titel=Grundkurs Mathematikdidaktik |Auflage=10. |Verlag=Beltz |Ort=Weinheim und Basel |Datum=2002 |ISBN=3-407-25216-1 |Seiten=256}} </ref> <ref name="MathOl"> {{Literatur |Autor=Bundeswettwerb Mathematik |Titel=Aufgaben und Lösungen, 1. Runde 2012 |Seiten=8 |Online=[http://www.mathe-wettbewerbe.de/bwm/aufgaben/aufgaben-2012/loes-12-1-e.pdf PDF]}} </ref> <ref name="matheduden"> ''Schülerduden: Mathematik I.'' Dudenverlag, 8. Auflage, Mannheim 2008, S. 457. </ref> </references> [[Kategorie:Viereck]] [[Kategorie:Vierecksgeometrie]] </textarea><div class="templatesUsed"><div class="mw-templatesUsedExplanation"><p>Folgende <a href="/wiki/Hilfe:Vorlagen" title="Hilfe:Vorlagen">Vorlagen</a> werden von diesem Artikel verwendet: </p></div><ul> <li><a href="/wiki/Vorlage:Commonscat" title="Vorlage:Commonscat">Vorlage:Commonscat</a> (<a href="/w/index.php?title=Vorlage:Commonscat&action=edit" title="Vorlage:Commonscat">Quelltext anzeigen</a>) (<a href="/wiki/Hilfe:Seitenschutz" title="Hilfe:Seitenschutz">schreibgeschützt</a> (nur Administratoren))</li><li><a href="/wiki/Vorlage:Google_Buch" title="Vorlage:Google Buch">Vorlage:Google Buch</a> (<a href="/w/index.php?title=Vorlage:Google_Buch&action=edit" title="Vorlage:Google Buch">Quelltext anzeigen</a>) (<a href="/wiki/Hilfe:Seitenschutz" title="Hilfe:Seitenschutz">schreibgeschützt</a> (nur angemeldete, nicht neue Benutzer))</li><li><a href="/wiki/Vorlage:GrcS" 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