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<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Trapez (Geometrie) – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"3fed77fd-ff06-4d7f-b205-6ba4097427fb","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Trapez_(Geometrie)","wgTitle":"Trapez 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class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Trapez (Geometrie)</span></h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Zur Navigation springen</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Zur Suche springen</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Ein <b>Trapez</b> (<span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="/wiki/Latein" title="Latein">lateinisch</a></span> <span lang="la-Latn" style="font-style:italic">trapezium</span> von <span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="/wiki/Altgriechische_Sprache" title="Altgriechische Sprache">altgriechisch</a></span> <span lang="grc-Grek" class="Grek" style="font-style:normal">τραπέζιον</span> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r183723573">.mw-parser-output .Latn{font-family:"Akzidenz Grotesk","Arial","Avant Garde Gothic","Calibri","Futura","Geneva","Gill Sans","Helvetica","Lucida Grande","Lucida Sans Unicode","Lucida Grande","Stone Sans","Tahoma","Trebuchet","Univers","Verdana"}</style><span class="Latn" lang="grc-Latn" style="font-weight:normal;font-style:italic">trapézion</span>, Verkleinerungsform von <span lang="grc-Grek" class="Grek">τράπεζα</span> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r183723573"><span class="Latn" lang="grc-Latn" style="font-weight:normal;font-style:italic">trapeza</span> „Tisch“, „Vierfuß“<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>) ist in der <a href="/wiki/Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> ein ebenes <a href="/wiki/Viereck" title="Viereck">Viereck</a> mit mindestens zwei <a href="/wiki/Parallel_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Parallel (Geometrie)">parallel</a> zueinander liegenden Seiten.<sup id="cite_ref-Bronstein_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Bronstein-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Allgemeines"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Allgemeines</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Formeln"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Formeln</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Spezialfälle"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Spezialfälle</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#Gleichschenkliges_und_symmetrisches_Trapez"><span class="tocnumber">3.1</span> <span class="toctext">Gleichschenkliges und symmetrisches Trapez</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-5"><a href="#Rechtwinkliges_Trapez"><span class="tocnumber">3.2</span> <span class="toctext">Rechtwinkliges Trapez</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Überschlagenes_oder_verschränktes_Trapez"><span class="tocnumber">3.3</span> <span class="toctext">Überschlagenes oder verschränktes Trapez</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-7"><a href="#Quadratisches_Mittel_im_Trapez"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Quadratisches Mittel im Trapez</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#Begriffsgeschichte"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Begriffsgeschichte</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#Weblinks"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Weblinks</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-10"><a href="#Einzelnachweise"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Einzelnachweise</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeines">Allgemeines</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Allgemeines" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Allgemeines"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Trapez_mittellinie.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Trapez_mittellinie.svg/220px-Trapez_mittellinie.svg.png" decoding="async" width="220" height="218" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Trapez_mittellinie.svg/330px-Trapez_mittellinie.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Trapez_mittellinie.svg/440px-Trapez_mittellinie.svg.png 2x" data-file-width="461" data-file-height="457" /></a><figcaption>Trapez mit den <a href="/wiki/Ecke" title="Ecke">Ecken</a> <i>A</i>, <i>B</i>, <i>C, </i>D<i>,<br />den Seiten </i>a<i>, </i>b<i>, </i>c, <i>d</i><br />und den Winkeln <i>α</i>, <i>β</i>, <i>γ</i>, <i>δ</i>.<br />Mit unterbrochenen Linien sind eingezeichnet:<br />die Höhe <i>h</i> sowie<br />die Diagonalen <i>e</i> und <i>f</i> des Trapezes und deren Schnittpunkt <i>S</i>, sowie die Mittellinie <i>m</i>, die die Seitenmitten von <i>AD</i> und <i>BC</i> verbindet</figcaption></figure> <p>Die beiden <a href="/wiki/Parallelit%C3%A4t_(Geometrie)" title="Parallelität (Geometrie)">parallelen</a> Seiten werden <i>Grundseiten</i> des Trapezes genannt. Eine dieser Grundseiten (meistens die längere) wird oft als <i>Basis</i> des Trapezes bezeichnet, die beiden angrenzenden im Allgemeinen nicht parallelen Seiten oft als <i>Schenkel.</i> Im Trapez gibt es zwei Paare benachbarter <a href="/wiki/Supplementwinkel" class="mw-redirect" title="Supplementwinkel">Supplementwinkel</a>, das heißt, die <a href="/wiki/Winkel" title="Winkel">Winkel</a> ergänzen sich zu 180 <a href="/wiki/Grad_(Winkel)" title="Grad (Winkel)">Grad</a>. </p><p>Die <i>Höhe</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"></span> des Trapezes ist der Abstand zwischen den zwei parallelen Seiten. </p><p>Jedes <a href="/wiki/Konvexe_Menge" title="Konvexe Menge">konvexe</a> Trapez besitzt zwei <a href="/wiki/Diagonale_(Geometrie)" title="Diagonale (Geometrie)">Diagonalen</a>, die einander im gleichen <a href="/wiki/Verh%C3%A4ltnis_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Verhältnis (Mathematik)">Verhältnis</a> schneiden. Die Diagonalen teilen das Trapez in vier <a href="/wiki/Dreieck" title="Dreieck">Dreiecke</a>, von denen zwei zueinander <a href="/wiki/%C3%84hnlichkeit_(Geometrie)" title="Ähnlichkeit (Geometrie)">ähnlich</a> und zwei flächengleich sind. Das lässt sich so beweisen: </p><p>Sei <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABCD}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABCD}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412b7d8df4db6ca8093d971320c405598c49c339" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.198ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ABCD}"></span> ein konvexes Trapez und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"></span> der <a href="/wiki/Schnittpunkt" title="Schnittpunkt">Schnittpunkt</a> seiner <a href="/wiki/Diagonale_(Geometrie)" title="Diagonale (Geometrie)">Diagonalen</a> (siehe Abbildung), dann sind die Dreiecke <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle DCS}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mi>C</mi> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle DCS}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44cb7db546e057b57523dbdbd8191f2685a3bac6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.19ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle DCS}"></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABS}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABS}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940a2a582c1cb1f7f2f94ff021c2b00940a9c41b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.006ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ABS}"></span> einander ähnlich, weil sie gleiche <a href="/wiki/Winkel" title="Winkel">Winkel</a> haben, denn diese Winkel sind <a href="/wiki/Scheitelwinkel" class="mw-redirect" title="Scheitelwinkel">Scheitelwinkel</a> und <a href="/wiki/Wechselwinkel" class="mw-redirect" title="Wechselwinkel">Wechselwinkel</a> bei Parallelen. Aus der Ähnlichkeit dieser beiden Dreiecke folgt direkt, dass die Diagonalen einander im gleichen Verhältnis schneiden, das heißt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {DS}{BS}}={\tfrac {CS}{AS}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>D</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mi>B</mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>C</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mi>A</mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {DS}{BS}}={\tfrac {CS}{AS}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a682315204e85275df884fcfaab6acbbfbf7b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:9.501ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {DS}{BS}}={\tfrac {CS}{AS}}}"></span>. Die Dreiecke <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ADS}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>D</mi> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ADS}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ce34747417a04b595702e88f95953683a18033" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.167ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ADS}"></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle BCS}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mi>C</mi> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BCS}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9253f8a8b4725e8389cab6bb5c200df01d8dd81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.03ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle BCS}"></span> sind flächengleich, weil die Dreiecke <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABC}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABC}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e55b44cfd965fbdc7a328d5db8a35a619db0971" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.273ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ABC}"></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABD}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABD}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f713069ead1e61a3b6b2e4dbf6d7b45988513ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.431ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ABD}"></span> flächengleich sind, denn beide haben die gleiche Grundseite und die gleiche <a href="/wiki/H%C3%B6he_(Geometrie)" title="Höhe (Geometrie)">Höhe</a>. Von beiden Dreiecken braucht nur noch das gemeinsame Dreieck <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABS}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABS}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940a2a582c1cb1f7f2f94ff021c2b00940a9c41b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.006ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ABS}"></span> abgezogen zu werden. </p><p>Ein Trapez ist entweder ein konvexes oder ein <i>überschlagenes</i> <a href="/wiki/Viereck" title="Viereck">Viereck</a>. Überschlagene Trapeze werden jedoch normalerweise nicht zu den Trapezen gerechnet. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formeln">Formeln</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Formeln" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Formeln"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th colspan="3" style="background:#C0C0FF">Mathematische Formeln zum Trapez </th></tr> <tr> <td><b><a href="/wiki/Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a></b> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A={\frac {(a+c)\cdot h}{2}}=m\cdot h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>h</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {(a+c)\cdot h}{2}}=m\cdot h}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f021b4c6ac6392945316203fad560e6df80537c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.739ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {(a+c)\cdot h}{2}}=m\cdot h}"></span> </td> <td rowspan="8"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File/Frameless"><a href="/wiki/Datei:Trapez_mittellinie.svg" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Trapez_mittellinie.svg/220px-Trapez_mittellinie.svg.png" decoding="async" width="220" height="218" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Trapez_mittellinie.svg/330px-Trapez_mittellinie.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Trapez_mittellinie.svg/440px-Trapez_mittellinie.svg.png 2x" data-file-width="461" data-file-height="457" /></a></span> </td></tr> <tr> <td rowspan="3"><b><a href="/wiki/H%C3%B6he" title="Höhe">Höhe</a></b> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h={\frac {2}{|a-c|}}\cdot {\sqrt {s\cdot (s-|a-c|)\cdot (s-b)\cdot (s-d)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>s</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\frac {2}{|a-c|}}\cdot {\sqrt {s\cdot (s-|a-c|)\cdot (s-b)\cdot (s-d)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f93c1d574e1797dba9de1c66e83b3362f0c042b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:47.58ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle h={\frac {2}{|a-c|}}\cdot {\sqrt {s\cdot (s-|a-c|)\cdot (s-b)\cdot (s-d)}}}"></span> (für <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>≠</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46be8e01fbd199a90dc7c36b2cb001986960e141" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.335ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq c}"></span>), <p>mit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s={\frac {|a-c|+b+d}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s={\frac {|a-c|+b+d}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5452cac223520f458837ea19b68fc9446c4028d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.29ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle s={\frac {|a-c|+b+d}{2}}}"></span> </p> </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h={\frac {2\cdot A}{a+c}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\frac {2\cdot A}{a+c}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff6294e3e89e1170e3917ccdef19659f232ecea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:10.351ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle h={\frac {2\cdot A}{a+c}}}"></span> </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h=b\cdot \sin(\beta )=b\cdot \sin(\gamma )=d\cdot \sin(\delta )=d\cdot \sin(\alpha )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>β</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mo>⋅</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mo>⋅</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=b\cdot \sin(\beta )=b\cdot \sin(\gamma )=d\cdot \sin(\delta )=d\cdot \sin(\alpha )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd7e610e94c6c9c88de33fdef93daf77bb40046" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.666ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h=b\cdot \sin(\beta )=b\cdot \sin(\gamma )=d\cdot \sin(\delta )=d\cdot \sin(\alpha )}"></span> </td></tr> <tr> <td><b><a href="/wiki/Umfang_(Geometrie)" title="Umfang (Geometrie)">Umfang</a></b> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U=a+b+c+d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U=a+b+c+d}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1a8b8d16de2eac7f83a7711d9e42e220d269705" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.852ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U=a+b+c+d}"></span> </td></tr> <tr> <td rowspan="2">Längen der <a href="/wiki/Diagonale_(Geometrie)" title="Diagonale (Geometrie)"><b>Diagonalen</b></a><br /> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e={\sqrt {\frac {a\cdot d^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot b^{2}}{a-c}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e={\sqrt {\frac {a\cdot d^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot b^{2}}{a-c}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64bfd63ad1320c47b5c3bc1385478c637b3f1d0c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:35.722ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle e={\sqrt {\frac {a\cdot d^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot b^{2}}{a-c}}}}"></span> (für <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>≠</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46be8e01fbd199a90dc7c36b2cb001986960e141" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.335ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq c}"></span>) </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f={\sqrt {\frac {a\cdot b^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot d^{2}}{a-c}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f={\sqrt {\frac {a\cdot b^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot d^{2}}{a-c}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76fcace0033c26b2aaf9efe8b28995cd4cba78a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:35.917ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle f={\sqrt {\frac {a\cdot b^{2}+a^{2}\cdot c-a\cdot c^{2}-c\cdot d^{2}}{a-c}}}}"></span> (für <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>≠</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46be8e01fbd199a90dc7c36b2cb001986960e141" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.335ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq c}"></span>) </td></tr> <tr> <td><b><a href="/wiki/Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkel</a></b> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha +\delta =\beta +\gamma =180^{\circ }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>δ</mi> <mo>=</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>=</mo> <msup> <mn>180</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha +\delta =\beta +\gamma =180^{\circ }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43aeb119f995de94e1c75fc585b05a1d40ea520" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.55ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha +\delta =\beta +\gamma =180^{\circ }}"></span> </td></tr></tbody></table> <p>Die Formel zur Berechnung der Höhe aus den Seitenlängen lässt sich aus der <a href="/wiki/Satz_des_Heron" title="Satz des Heron">heronischen Formel</a> für die <a href="/wiki/Dreieck" title="Dreieck">Dreiecksfläche</a> herleiten. Die Beziehungen für die Diagonalenlängen beruhen auf dem <a href="/wiki/Kosinussatz" title="Kosinussatz">Kosinussatz</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spezialfälle"><span id="Spezialf.C3.A4lle"></span>Spezialfälle</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Spezialfälle" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Spezialfälle"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Gleichschenkliges_und_symmetrisches_Trapez">Gleichschenkliges und symmetrisches Trapez</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Gleichschenkliges und symmetrisches Trapez" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Gleichschenkliges und symmetrisches Trapez"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Trapez_mit_Umkreis.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Trapez_mit_Umkreis.svg/220px-Trapez_mit_Umkreis.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Trapez_mit_Umkreis.svg/330px-Trapez_mit_Umkreis.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Trapez_mit_Umkreis.svg/440px-Trapez_mit_Umkreis.svg.png 2x" data-file-width="251" data-file-height="251" /></a><figcaption>Gleichschenkliges Trapez mit Umkreis</figcaption></figure> <p>In Lehrbüchern finden sich mehrere Varianten zur Charakterisierung eines <b>gleichschenkligen Trapezes</b>, insbesondere:<sup id="cite_ref-MathOl_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-MathOl-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <ul><li>Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden Seiten, die nicht Grundseiten sind, gleich lang sind.<sup id="cite_ref-Bronstein_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-Bronstein-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li> <li>Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden <a href="/wiki/Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkel</a> an einer der parallelen Seiten gleich groß sind.<sup id="cite_ref-Zech_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-Zech-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-matheduden_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-matheduden-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li> <li>Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn es eine zu einer Seite senkrechte <a href="/wiki/Symmetrieachse" class="mw-redirect" title="Symmetrieachse">Symmetrieachse</a> besitzt.<sup id="cite_ref-MathOl_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-MathOl-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li></ul> <p>Die erste Charakterisierung schließt formal auch <a href="/wiki/Parallelogramm" title="Parallelogramm">Parallelogramme</a> mit ein, die aber manchmal – wenn auch nicht ausdrücklich – ausgeschlossen werden.<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Die letzten beiden Charakterisierungen sind gleichwertig und in diesem Fall wird das gleichschenklige Trapez wegen der <a href="/wiki/Achsensymmetrie" title="Achsensymmetrie">Achsensymmetrie</a> auch <b>symmetrisches Trapez</b> genannt. Daher sind die Innenwinkel an beiden parallelen Seiten jeweils gleich groß. Die beiden <a href="/wiki/Diagonale_(Geometrie)" title="Diagonale (Geometrie)">Diagonalen</a> sind im symmetrischen Trapez gleich lang. </p><p>Die <a href="/wiki/Eckpunkt" class="mw-redirect" title="Eckpunkt">Eckpunkte</a> eines symmetrischen Trapezes liegen auf einem <a href="/wiki/Kreis" title="Kreis">Kreis</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"></span>, dem <a href="/wiki/Umkreis" title="Umkreis">Umkreis</a> des Trapezes. Das Trapez ist somit ein <a href="/wiki/Sehnenviereck" title="Sehnenviereck">Sehnenviereck</a> dieses Kreises. Der Umkreismittelpunkt ist der <a href="/wiki/Schnittpunkt" title="Schnittpunkt">Schnittpunkt</a> der <a href="/wiki/Mittelsenkrechte" title="Mittelsenkrechte">Mittelsenkrechten</a> der Seiten des Trapezes. Das Trapez wird von der <a href="/wiki/H%C3%B6he_(Geometrie)" title="Höhe (Geometrie)">Höhe</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"></span>, die durch den Umkreismittelpunkt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"></span> geht, in zwei <a href="/wiki/Symmetrie_(Geometrie)" title="Symmetrie (Geometrie)">spiegelsymmetrische</a> Teile zerlegt. </p> <div style="clear:both;"></div> <p>Ein Trapez, das zwei der Eigenschaften <i>rechtwinklig, punktsymmetrisch</i> (Parallelogramm) und <i>achsensymmetrisch</i> hat, besitzt automatisch auch die dritte und ist somit ein Rechteck. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rechtwinkliges_Trapez">Rechtwinkliges Trapez</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Rechtwinkliges Trapez" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Rechtwinkliges Trapez"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Rechtwinkliges_Trapez.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Rechtwinkliges_Trapez.svg/220px-Rechtwinkliges_Trapez.svg.png" decoding="async" width="220" height="208" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Rechtwinkliges_Trapez.svg/330px-Rechtwinkliges_Trapez.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Rechtwinkliges_Trapez.svg/440px-Rechtwinkliges_Trapez.svg.png 2x" data-file-width="227" data-file-height="215" /></a><figcaption>Rechtwinkliges Trapez</figcaption></figure> <p>Ein Trapez heißt <b>rechtwinklig</b> (oder auch <b>orthogonal</b>), wenn es mindestens einen <a href="/wiki/Rechter_Winkel" title="Rechter Winkel">rechten</a> <a href="/wiki/Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkel</a> besitzt. Da in einem Trapez alle <a href="/wiki/Winkel" title="Winkel">Winkel</a> an einer der <a href="/wiki/Parallelit%C3%A4t_(Geometrie)" title="Parallelität (Geometrie)">parallelen</a> Grundseiten anliegen, muss ein rechtwinkliges Trapez immer mindestens zwei rechte Winkel besitzen, die nebeneinander liegen. Ein <a href="/wiki/Rechteck" title="Rechteck">Rechteck</a> ist der Spezialfall eines rechtwinkligen Trapezes. Es besitzt sogar vier rechte Innenwinkel. </p> <div style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Überschlagenes_oder_verschränktes_Trapez"><span id=".C3.9Cberschlagenes_oder_verschr.C3.A4nktes_Trapez"></span>Überschlagenes oder verschränktes Trapez</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Überschlagenes oder verschränktes Trapez" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Überschlagenes oder verschränktes Trapez"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:%C3%9Cberschlagenes_Trapez.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/%C3%9Cberschlagenes_Trapez.svg/220px-%C3%9Cberschlagenes_Trapez.svg.png" decoding="async" width="220" height="242" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/%C3%9Cberschlagenes_Trapez.svg/330px-%C3%9Cberschlagenes_Trapez.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/%C3%9Cberschlagenes_Trapez.svg/440px-%C3%9Cberschlagenes_Trapez.svg.png 2x" data-file-width="201" data-file-height="221" /></a><figcaption>Überschlagenes Trapez</figcaption></figure> <p>Beim <b>überschlagenen</b> oder <b>verschränkten Trapez</b> sind nicht die gleichseitigen Enden der Grundseiten durch die übrigen Seiten verbunden, sondern die gegenüber liegenden. Diese Seiten überkreuzen sich also im <a href="/wiki/Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkt</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"></span> des Trapezes. Man kann sich ein überschlagenes Trapez vorstellen als das <a href="/wiki/Viereck" title="Viereck">Viereck</a>, das aus den Grundseiten und den <a href="/wiki/Diagonale_(Geometrie)" title="Diagonale (Geometrie)">Diagonalen</a> eines konvexen Trapezes gebildet wird. Die beiden Teilflächen sind einander <a href="/wiki/%C3%84hnlichkeit_(Geometrie)" title="Ähnlichkeit (Geometrie)">ähnliche</a> <a href="/wiki/Dreieck" title="Dreieck">Dreiecke</a>. Überschlagene Trapeze werden jedoch normalerweise nicht zu den (normalen oder „echten“) Trapezen gezählt. </p><p>Der Flächeninhalt des überschlagenen Trapezes, das heißt die Summe der <a href="/wiki/Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalte</a> der beiden Dreiecke, berechnet sich wie folgt: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A={\frac {h}{2}}\cdot {\frac {a^{2}+c^{2}}{a+c}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>h</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {h}{2}}\cdot {\frac {a^{2}+c^{2}}{a+c}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad4e7e7b7021f1b7b1e2fa90b139bb4faeae55d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.717ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {h}{2}}\cdot {\frac {a^{2}+c^{2}}{a+c}}}"></span></dd></dl> <div style="clear:both;"></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Verschr%C3%A4nktes_Trapez.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Verschr%C3%A4nktes_Trapez.svg/220px-Verschr%C3%A4nktes_Trapez.svg.png" decoding="async" width="220" height="186" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Verschr%C3%A4nktes_Trapez.svg/330px-Verschr%C3%A4nktes_Trapez.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Verschr%C3%A4nktes_Trapez.svg/440px-Verschr%C3%A4nktes_Trapez.svg.png 2x" data-file-width="261" data-file-height="221" /></a><figcaption>Verschränktes, rechtwinkliges Trapez</figcaption></figure> <p>Überschlagene oder verschränkte Trapeze, die zusätzlich rechtwinklig sind, werden in der <a href="/wiki/Geod%C3%A4sie" title="Geodäsie">Geodäsie</a> zur Berechnung von Flächeninhalten, beispielsweise aus <a href="/wiki/Orthogonalverfahren" class="mw-redirect" title="Orthogonalverfahren">Orthogonalaufnahmen</a>, verwendet. Sie bestehen aus zwei <a href="/wiki/Rechtwinkliges_Dreieck" title="Rechtwinkliges Dreieck">rechtwinkligen Dreiecken</a>, die sich an einer <a href="/wiki/Ecke" title="Ecke">Ecke</a> berühren. Die Differenz der Flächeninhalte der beiden Dreiecke ergibt sich zu </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\Delta }=A_{D_{1}}-A_{D_{2}}=h{\frac {a-c}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\Delta }=A_{D_{1}}-A_{D_{2}}=h{\frac {a-c}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4c870a001108934d44da555b0ab36a2f67e2d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:27.969ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle A_{\Delta }=A_{D_{1}}-A_{D_{2}}=h{\frac {a-c}{2}}}"></span></dd></dl> <p>mit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h={\overline {BC}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\overline {BC}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47031d59391968213d2df9fe5e5686d23515a0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.151ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle h={\overline {BC}}}"></span>. Diese Fläche ist vorzeichenbehaftet. Dadurch entfallen bei Flächenberechnungen nach der <a href="/wiki/Gau%C3%9Fsche_Trapezformel" title="Gaußsche Trapezformel">Gaußschen Trapezformel</a> Fallunterscheidungen, wenn eine Umringsseite der Fläche die Bezugslinie schneidet. </p> <div style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Quadratisches_Mittel_im_Trapez">Quadratisches Mittel im Trapez</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Quadratisches Mittel im Trapez" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Quadratisches Mittel im Trapez"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Trapez_Planfigur.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Trapez_Planfigur.svg/220px-Trapez_Planfigur.svg.png" decoding="async" width="220" height="186" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Trapez_Planfigur.svg/330px-Trapez_Planfigur.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Trapez_Planfigur.svg/440px-Trapez_Planfigur.svg.png 2x" data-file-width="176" data-file-height="149" /></a><figcaption><i>Figur 1</i></figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Trapez_Quadratisches_Mittel_Planfigur.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Trapez_Quadratisches_Mittel_Planfigur.svg/220px-Trapez_Quadratisches_Mittel_Planfigur.svg.png" decoding="async" width="220" height="113" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Trapez_Quadratisches_Mittel_Planfigur.svg/330px-Trapez_Quadratisches_Mittel_Planfigur.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Trapez_Quadratisches_Mittel_Planfigur.svg/440px-Trapez_Quadratisches_Mittel_Planfigur.svg.png 2x" data-file-width="580" data-file-height="297" /></a><figcaption><i>Figur 2</i></figcaption></figure> <p>Die Länge einer zur Grundseite eines Trapezes parallelen Strecke <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"></span>, die das Trapez in zwei flächengleiche Teil-Trapeze teilt, ist das <a href="/wiki/Quadratisches_Mittel" title="Quadratisches Mittel">quadratische Mittel</a> aus den Längen seiner <a href="/wiki/Parallelit%C3%A4t_(Geometrie)" title="Parallelität (Geometrie)">parallelen</a> Grundseiten <i>(Figur 1)</i>. </p><p>Der Beweis verwendet <i>Figur 2</i>. </p><p>Aus dem <a href="/wiki/Strahlensatz" title="Strahlensatz">Strahlensatz</a> folgt </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{a}:A_{p}:A_{b}=a^{2}:p^{2}:b^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>:</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>:</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{a}:A_{p}:A_{b}=a^{2}:p^{2}:b^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0151700c4645e31f5afc4611609276dc37730874" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:25.735ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle A_{a}:A_{p}:A_{b}=a^{2}:p^{2}:b^{2}}"></span>.</dd></dl> <p>Wegen </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{a}-A_{p}=A_{p}-A_{b}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{a}-A_{p}=A_{p}-A_{b}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed57b8f9021de1c30a9e65d4ba2b8e5a8bf1565d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.91ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A_{a}-A_{p}=A_{p}-A_{b}}"></span></dd></dl> <p>erhält man </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{p}={\frac {A_{a}+A_{b}}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{p}={\frac {A_{a}+A_{b}}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54cc8f15c998238e3a56f2d8d3a2d11ab0319097" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.103ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle A_{p}={\frac {A_{a}+A_{b}}{2}}}"></span></dd></dl> <p>und damit </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34dc940c8903b584f906a5e75af13b2563751158" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; margin-left: -0.089ex; width:13.424ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle p^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}"></span>,</dd></dl> <p>also </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78142e5686eb1f5afe4046ee54e527495e6a6cb2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; margin-left: -0.089ex; width:14.693ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle p={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}}"></span>.</dd></dl> <p>Folglich ist <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"></span> das quadratische Mittel von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span>.<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Begriffsgeschichte">Begriffsgeschichte</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Begriffsgeschichte" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Begriffsgeschichte"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die Beschränkung des Begriffs auf <a href="/wiki/Viereck" title="Viereck">Vierecke</a> mit zwei <a href="/wiki/Parallelit%C3%A4t_(Geometrie)" title="Parallelität (Geometrie)">parallelen</a> Seiten ist relativ jung. Bis zum Beginn des 20. Jahrhunderts bezeichnete man als Trapez meist ein Viereck, in dem kein Seitenpaar parallel ist, also ein unregelmäßiges Viereck ohne besondere Eigenschaften. Für das Trapez mit zwei parallelen Seiten war die Bezeichnung <i>Paralleltrapez</i> üblich.<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Diese Verwendung leitete sich von Euklids Klassifikation der Vierecke ab, wobei dieser ein Viereck mit einem parallelen Seitenpaar aber nicht gesondert betrachtet, sondern zu den Vierecken ohne besondere Eigenschaften gezählt hatte. Das heißt, das Trapez bei Euklid umfasste sowohl das Trapez als auch das Paralleltrapez im obigen Sinne. <a href="/wiki/Euklid" title="Euklid">Euklids</a> genaue Klassifikation lautete dabei wie folgt: </p> <div class="Vorlage_Zitat" style="margin:1em 40px;"> <div style="margin:1em 0;"><blockquote style="margin:0;"> <p>„Unter den vierseitigen Figuren heißt diejenige ein Quadrat (<span lang="grc-Grek" class="Grek">τετράγωνον</span>), die gleichseitig und rechtwinklig ist; ein Rechteck (<span lang="grc-Grek" class="Grek">ὀρθογώνιον</span>), die zwar rechtwinklig, aber nicht gleichseitig ist; ein Rhombus (ῥόμβος), die zwar gleichseitig, aber nicht rechtwinklig ist; und ein Rhomboid<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (<span lang="grc-Grek" class="Grek">ῥομβοειδὲς σχῆμα</span>), deren einander gegenüberliegende Seiten und Winkel gleich sind, die aber weder gleichseitig noch rechtwinklig ist. Jede andere vierseitige Figur heiße Trapez (<span lang="grc-Grek" class="Grek">τραπέζιον</span>).“ </p> </blockquote> </div><div class="cite" style="margin:-1em 0 1em 1em;">– <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r181095833">.mw-parser-output .Person{font-variant:small-caps}</style><span class="Person h-card"><a href="/wiki/Euklid" title="Euklid">Euklid</a></span>: <cite style="font-style:normal"><a href="/wiki/Elemente_(Euklid)" title="Elemente (Euklid)">Elemente</a> Buch I, 22</cite><sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></div></div> <p>Im Gegensatz dazu verwendeten <a href="/wiki/Proklos" title="Proklos">Proklos</a>, <a href="/wiki/Heron_von_Alexandria" title="Heron von Alexandria">Heron</a> und <a href="/wiki/Poseidonios" title="Poseidonios">Poseidonios</a> die Bezeichnung <i>Trapez</i> im modernen Sinn, also für das Paralleltrapez. Das unregelmäßige <a href="/wiki/Viereck" title="Viereck">Viereck</a> bezeichneten sie als <i>Trapezoid</i> (<span lang="grc-Grek" class="Grek">τραπεζοειδῆ</span>).<sup id="cite_ref-Tropfke_13-0" class="reference"><a href="#cite_note-Tropfke-13"><span class="cite-bracket">[</span>13<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Diese Unterscheidung von Trapez (engl. <i>trapezium</i>) und Trapezoid gibt es so im Deutschen und im britischen Englisch. Im amerikanischen Englisch werden die Begriffe <i>trapezium</i> und <i>trapezoid</i> verwirrenderweise umgekehrt verwendet. </p><p>Die meisten <a href="/wiki/Mathematiker" title="Mathematiker">Mathematiker</a> des Mittelalters ab <a href="/wiki/Boethius" title="Boethius">Boethius</a> übernahmen Euklids Verwendung des Begriffs als unregelmäßiges Viereck. Die Unterscheidung nach Poseidonios wurde nur selten wieder aufgegriffen. Erst seit dem 18. Jahrhundert findet man sie häufiger, z. B. bei <a href="/wiki/Adrien-Marie_Legendre" title="Adrien-Marie Legendre">Legendre</a> und <a href="/wiki/Bernhard_Friedrich_Thibaut" title="Bernhard Friedrich Thibaut">Thibaut</a>. <a href="/wiki/Jean_Henri_van_Swinden" title="Jean Henri van Swinden">Jean Henri van Swinden</a> verwendete die Bezeichnung „Trapez“ im Sinne Euklids und nannte das Viereck mit zwei <a href="/wiki/Parallelit%C3%A4t_(Geometrie)" title="Parallelität (Geometrie)">parallelen</a> Seiten <i>Paralleltrapez.</i><sup id="cite_ref-Tropfke_13-1" class="reference"><a href="#cite_note-Tropfke-13"><span class="cite-bracket">[</span>13<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/12px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="12" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/18px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/24px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span></div><b><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Trapezoids?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Trapeze</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div> <ul><li><a href="/wiki/Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Trapezoid.html"><i>Trapezoid</i>.</a> In: <i><a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch).</li> <li><a href="/wiki/Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Trapezium.html"><i>Trapezium</i>.</a> In: <i><a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Bei <span lang="grc-Grek" class="Grek">τράπεζα</span> handelt es sich um eine Kurzform von <span lang="grc-Grek" class="Grek">τετράπεζα</span> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r183723573"><span class="Latn" lang="grc-Latn" style="font-weight:normal;font-style:italic">tetrapeza</span> „Vierfuß“ (<span lang="grc-Grek" class="Grek">τέτρα</span> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r183723573"><span class="Latn" lang="grc-Latn" style="font-weight:normal;font-style:italic">tetra</span> „vier“; <span lang="grc-Grek" class="Grek">πέζα</span> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r183723573"><span class="Latn" lang="grc-Latn" style="font-weight:normal;font-style:italic">peza</span> „Fuß“). Vergleiche <a href="/wiki/Karl_Menninger_(Mathematiker)" title="Karl Menninger (Mathematiker)">Karl Menninger</a>: <i>Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl.</i> Vandenhoeck & Ruprecht, 1979, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3525407254" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-525-40725-4</a>. S. 190 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=dbyR3WAaxgQC&pg=PA190#v=onepage">Auszug (Google)</a>)</span> </li> <li id="cite_note-Bronstein-2"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-Bronstein_2-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Bronstein_2-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"> Ilja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjajew: <cite style="font-style:italic"><a href="/wiki/Taschenbuch_der_Mathematik" title="Taschenbuch der Mathematik">Taschenbuch der Mathematik</a></cite>. 24. Auflage. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 1989, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3871444928" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-87144-492-8</a>, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>192</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Trapez+%28Geometrie%29&rft.au=Ilja+N.+Bronstein%2C+Konstantin+A.+Semendjajew&rft.btitle=Taschenbuch+der+Mathematik&rft.date=1989&rft.edition=24.&rft.genre=book&rft.isbn=3871444928&rft.pages=192&rft.place=Thun+und+Frankfurt+am+Main&rft.pub=Harri+Deutsch" style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-MathOl-3"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-MathOl_3-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-MathOl_3-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"> Bundeswettwerb Mathematik: <cite style="font-style:italic">Aufgaben und Lösungen, 1. Runde 2012</cite>. <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>8</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathe-wettbewerbe.de/bwm/aufgaben/aufgaben-2012/loes-12-1-e.pdf">PDF</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Trapez+%28Geometrie%29&rft.au=Bundeswettwerb+Mathematik&rft.btitle=Aufgaben+und+L%C3%B6sungen%2C+1.+Runde+2012&rft.genre=book&rft.pages=8" style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-Zech-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Zech_4-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> Friedrich Zech: <cite style="font-style:italic">Grundkurs Mathematikdidaktik</cite>. 10. Auflage. Beltz, Weinheim und Basel 2002, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3407252161" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-407-25216-1</a>, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>256</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Trapez+%28Geometrie%29&rft.au=Friedrich+Zech&rft.btitle=Grundkurs+Mathematikdidaktik&rft.date=2002&rft.edition=10.&rft.genre=book&rft.isbn=3407252161&rft.pages=256&rft.place=Weinheim+und+Basel&rft.pub=Beltz" style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-matheduden-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-matheduden_5-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <i>Schülerduden: Mathematik I.</i> Dudenverlag, 8. Auflage, Mannheim 2008, S. 457.</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">In Bronstein/Semendjajew wird das gleichschenkelige Trapez zwar über die Länge der Schenkel charakterisiert, die anschließend angegebene Formel gilt jedoch nicht für Parallelogramme. In den Lösungen des Bundeswettbewerbs Mathematik 2012 werden die Charakterisierungen über Seitenlängen und Innenwinkel als Alternativen genannt. Sie sind nur gleichwertig, wenn im ersten Fall Parallelogramme ausgeschlossen werden.</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://wwwdid.mathematik.tu-darmstadt.de/mathezirkel/content/download/Mittelwerte.pdf">Mathezirkel</a> der <a href="/wiki/Technische_Universit%C3%A4t_Darmstadt" title="Technische Universität Darmstadt">TU Darmstadt</a></span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text">Pierer’s Universal-Lexikon. 4. Auflage 1857–1865, Artikel <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.zeno.org/Pierer-1857/A/Trapez">„Trapez“</a>.</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text">Meyers Großes Konversations-Lexikon. 6. Auflage 1905–1909, Artikel <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.zeno.org/nid/20007213603">„Paralleltrapēz“</a>.</span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text">Dabei handelte es sich also um ein „echtes“ Parallelogramm: ein Parallelogramm, das weder ein Rhombus noch ein Rechteck (und daher erst recht kein Quadrat) ist.</span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a></span> <span class="reference-text"><i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.physics.ntua.gr/~mourmouras/euclid/index.html">Euklids Elemente.</a></i> Griechischer Originaltext.</span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/defI22.html">Englische Übersetzung von Euklids Elemente (Buch I, Definition 22) mit Anmerkungen.</a></span> </li> <li id="cite_note-Tropfke-13"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-Tropfke_13-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Tropfke_13-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">Johannes Tropfke: <i>Geschichte der Elementarmathematik. Band 4: Ebene Geometrie.</i> de Gruyter, 1940 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=yWphyOlNZfgC&pg=PA119">f.#v=onepage eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).</span> </li> </ol></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&oldid=250469979">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Trapez_(Geometrie)&oldid=250469979</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Viereck" title="Kategorie:Viereck">Viereck</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Vierecksgeometrie" title="Kategorie:Vierecksgeometrie">Vierecksgeometrie</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Meine Werkzeuge</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Benutzerseite der IP-Adresse, von der aus du Änderungen durchführst">Nicht angemeldet</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n"><span>Diskussionsseite</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y"><span>Beiträge</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Trapez+%28Geometrie%29" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. 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class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B4%D8%A8%D9%87_%D9%85%D9%86%D8%AD%D8%B1%D9%81" title="شبه منحرف – Arabisch" lang="ar" hreflang="ar" data-title="شبه منحرف" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="Arabisch" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Trapeciu_(xeometr%C3%ADa)" title="Trapeciu (xeometría) – Asturisch" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Trapeciu (xeometría)" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="Asturisch" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Trapesiya" title="Trapesiya – Aserbaidschanisch" lang="az" hreflang="az" data-title="Trapesiya" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="Aserbaidschanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Трапеция – Baschkirisch" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Трапеция" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="Baschkirisch" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Trapesoyd" title="Trapesoyd – Zentralbikolano" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Trapesoyd" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="Zentralbikolano" class="interlanguage-link-target"><span>Bikol Central</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%8B%D1%8F" title="Трапецыя – Belarussisch" lang="be" hreflang="be" data-title="Трапецыя" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="Belarussisch" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D1%8D%D1%86%D1%8B%D1%8F" title="Трапэцыя – Weißrussisch (Taraschkewiza)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Трапэцыя" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Weißrussisch (Taraschkewiza)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86" title="Трапец – Bulgarisch" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Трапец" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="Bulgarisch" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%9F%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A6%BE%E0%A6%AA%E0%A6%BF%E0%A6%9C%E0%A6%BF%E0%A6%AF%E0%A6%BC%E0%A6%BE%E0%A6%AE" title="ট্রাপিজিয়াম – Bengalisch" lang="bn" hreflang="bn" data-title="ট্রাপিজিয়াম" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="Bengalisch" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bo mw-list-item"><a href="https://bo.wikipedia.org/wiki/%E0%BD%A6%E0%BE%90%E0%BD%A6%E0%BC%8B%E0%BD%91%E0%BD%96%E0%BE%B1%E0%BD%B2%E0%BD%96%E0%BD%A6%E0%BC%8B" title="སྐས་དབྱིབས་ – Tibetisch" lang="bo" hreflang="bo" data-title="སྐས་དབྱིབས་" data-language-autonym="བོད་ཡིག" data-language-local-name="Tibetisch" class="interlanguage-link-target"><span>བོད་ཡིག</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Trapez" title="Trapez – Bretonisch" lang="br" hreflang="br" data-title="Trapez" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="Bretonisch" class="interlanguage-link-target"><span>Brezhoneg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Trapez" title="Trapez – Bosnisch" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Trapez" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="Bosnisch" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Trapezi" title="Trapezi – Katalanisch" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Trapezi" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="Katalanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%86%DB%8C%D9%85%DA%86%DB%95%D9%84%D8%A7%D8%AA%DB%95%D8%B1%DB%8C%D8%A8" title="نیمچەلاتەریب – Zentralkurdisch" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="نیمچەلاتەریب" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="Zentralkurdisch" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Lichob%C4%9B%C5%BEn%C3%ADk" title="Lichoběžník – Tschechisch" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Lichoběžník" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="Tschechisch" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8" title="Трапеци – Tschuwaschisch" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Трапеци" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="Tschuwaschisch" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Trapesiwm" title="Trapesiwm – Walisisch" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Trapesiwm" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="Walisisch" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Trapez_(matematik)" title="Trapez (matematik) – Dänisch" lang="da" hreflang="da" data-title="Trapez (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="Dänisch" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A4%CF%81%CE%B1%CF%80%CE%AD%CE%B6%CE%B9%CE%BF" title="Τραπέζιο – Griechisch" lang="el" hreflang="el" data-title="Τραπέζιο" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="Griechisch" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Trapezoid" title="Trapezoid – Englisch" lang="en" hreflang="en" data-title="Trapezoid" data-language-autonym="English" data-language-local-name="Englisch" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Trapezo" title="Trapezo – Esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Trapezo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="Esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Trapecio_(geometr%C3%ADa)" title="Trapecio (geometría) – Spanisch" lang="es" hreflang="es" data-title="Trapecio (geometría)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="Spanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Trapets" title="Trapets – Estnisch" lang="et" hreflang="et" data-title="Trapets" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="Estnisch" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Trapezio" title="Trapezio – Baskisch" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Trapezio" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="Baskisch" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B0%D9%88%D8%B2%D9%86%D9%82%D9%87" title="ذوزنقه – Persisch" lang="fa" hreflang="fa" data-title="ذوزنقه" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="Persisch" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Puolisuunnikas" title="Puolisuunnikas – Finnisch" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Puolisuunnikas" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="Finnisch" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Trap%C3%A8ze" title="Trapèze – Französisch" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Trapèze" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Französisch" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Trapeets" title="Trapeets – Nordfriesisch" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Trapeets" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="Nordfriesisch" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Traip%C3%A9isiam" title="Traipéisiam – Irisch" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Traipéisiam" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="Irisch" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Trapecio" title="Trapecio – Galicisch" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Trapecio" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="Galicisch" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gu mw-list-item"><a href="https://gu.wikipedia.org/wiki/%E0%AA%B8%E0%AA%AE%E0%AA%BE%E0%AA%82%E0%AA%A4%E0%AA%B0%E0%AA%AC%E0%AA%BE%E0%AA%9C%E0%AB%81_%E0%AA%9A%E0%AA%A4%E0%AB%81%E0%AA%B7%E0%AB%8D%E0%AA%95%E0%AB%8B%E0%AA%A3" title="સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ – Gujarati" lang="gu" hreflang="gu" data-title="સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ" data-language-autonym="ગુજરાતી" data-language-local-name="Gujarati" class="interlanguage-link-target"><span>ગુજરાતી</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%98%D7%A8%D7%A4%D7%96" title="טרפז – Hebräisch" lang="he" hreflang="he" data-title="טרפז" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="Hebräisch" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A4%B2%E0%A4%AE%E0%A5%8D%E0%A4%AC_%E0%A4%9A%E0%A4%A4%E0%A5%81%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AD%E0%A5%81%E0%A4%9C" title="समलम्ब चतुर्भुज – Hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="समलम्ब चतुर्भुज" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="Hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Trapez_(geometrija)" title="Trapez (geometrija) – Kroatisch" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Trapez (geometrija)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="Kroatisch" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hsb mw-list-item"><a href="https://hsb.wikipedia.org/wiki/Trapec" title="Trapec – Obersorbisch" lang="hsb" hreflang="hsb" data-title="Trapec" data-language-autonym="Hornjoserbsce" data-language-local-name="Obersorbisch" class="interlanguage-link-target"><span>Hornjoserbsce</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Trap%C3%A9z" title="Trapéz – Ungarisch" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Trapéz" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="Ungarisch" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8D%D5%A5%D5%B2%D5%A1%D5%B6_(%D5%A5%D6%80%D5%AF%D6%80%D5%A1%D5%B9%D5%A1%D6%83%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6)" title="Սեղան (երկրաչափություն) – Armenisch" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Սեղան (երկրաչափություն)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="Armenisch" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Trapezio" title="Trapezio – Interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Trapezio" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="Interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Trapesium_(geometri)" title="Trapesium (geometri) – Indonesisch" lang="id" hreflang="id" data-title="Trapesium (geometri)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="Indonesisch" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Trapezoido" title="Trapezoido – Ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Trapezoido" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="Ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Trapisa" title="Trapisa – Isländisch" lang="is" hreflang="is" data-title="Trapisa" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="Isländisch" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Trapezio" title="Trapezio – Italienisch" lang="it" hreflang="it" data-title="Trapezio" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="Italienisch" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%B0%E5%BD%A2" title="台形 – Japanisch" lang="ja" hreflang="ja" data-title="台形" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Japanisch" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Ngapan-apan" title="Ngapan-apan – Javanisch" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Ngapan-apan" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="Javanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A2%E1%83%A0%E1%83%90%E1%83%9E%E1%83%94%E1%83%AA%E1%83%98%E1%83%90" title="ტრაპეცია – Georgisch" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ტრაპეცია" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="Georgisch" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Трапеция – Kasachisch" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Трапеция" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="Kasachisch" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%85%E1%9E%8F%E1%9E%BB%E1%9E%80%E1%9F%84%E1%9E%8E%E1%9E%96%E1%9F%92%E1%9E%93%E1%9E%B6%E1%9E%99" title="ចតុកោណព្នាយ – Khmer" lang="km" hreflang="km" data-title="ចតុកោណព្នាយ" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="Khmer" class="interlanguage-link-target"><span>ភាសាខ្មែរ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%AC%EB%8B%A4%EB%A6%AC%EA%BC%B4" title="사다리꼴 – Koreanisch" lang="ko" hreflang="ko" data-title="사다리꼴" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Koreanisch" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Трапеция – Kirgisisch" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Трапеция" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="Kirgisisch" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Trapezium" title="Trapezium – Latein" lang="la" hreflang="la" data-title="Trapezium" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="Latein" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Trap%C3%A9se_(geometr%C3%ACa)" title="Trapése (geometrìa) – Lombardisch" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Trapése (geometrìa)" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="Lombardisch" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Trapecija" title="Trapecija – Litauisch" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Trapecija" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="Litauisch" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Trapece" title="Trapece – Lettisch" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Trapece" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="Lettisch" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mhr mw-list-item"><a href="https://mhr.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%B9" title="Трапеций – Ostmari" lang="mhr" hreflang="mhr" data-title="Трапеций" data-language-autonym="Олык марий" data-language-local-name="Ostmari" class="interlanguage-link-target"><span>Олык марий</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D0%B7" title="Трапез – Mazedonisch" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Трапез" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="Mazedonisch" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B2%E0%B4%82%E0%B4%AC%E0%B4%95%E0%B4%82" title="ലംബകം – Malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ലംബകം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="Malayalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86" title="Трапец – Mongolisch" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Трапец" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="Mongolisch" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A4%B2%E0%A4%82%E0%A4%AC_%E0%A4%9A%E0%A5%8C%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A8" title="समलंब चौकोन – Marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="समलंब चौकोन" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="Marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Trapezium" title="Trapezium – Malaiisch" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Trapezium" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="Malaiisch" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Trapezium" title="Trapezium – Niederländisch" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Trapezium" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Niederländisch" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Trapes_i_geometri" title="Trapes i geometri – Norwegisch (Nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Trapes i geometri" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Norwegisch (Nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Trapes_(geometri)" title="Trapes (geometri) – Norwegisch (Bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Trapes (geometri)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="Norwegisch (Bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-or mw-list-item"><a href="https://or.wikipedia.org/wiki/%E0%AC%9F%E0%AD%8D%E0%AC%B0%E0%AC%BE%E0%AC%AA%E0%AC%BF%E0%AC%9C%E0%AC%BF%E0%AC%85%E0%AC%AE" title="ଟ୍ରାପିଜିଅମ – Oriya" lang="or" hreflang="or" data-title="ଟ୍ରାପିଜିଅମ" data-language-autonym="ଓଡ଼ିଆ" data-language-local-name="Oriya" class="interlanguage-link-target"><span>ଓଡ଼ିଆ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B8%E0%A8%AE%E0%A8%B2%E0%A9%B0%E0%A8%AC_%E0%A8%9A%E0%A8%A4%E0%A9%81%E0%A8%B0%E0%A8%AD%E0%A9%81%E0%A8%9C" title="ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜ – Punjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Trapez" title="Trapez – Polnisch" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Trapez" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="Polnisch" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Trapessi" title="Trapessi – Piemontesisch" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Trapessi" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piemontesisch" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Trap%C3%A9zio_(geometria)" title="Trapézio (geometria) – Portugiesisch" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Trapézio (geometria)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="Portugiesisch" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Putuq" title="Putuq – Quechua" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Putuq" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="Quechua" class="interlanguage-link-target"><span>Runa Simi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Trapez" title="Trapez – Rumänisch" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Trapez" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="Rumänisch" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Трапеция – Russisch" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Трапеция" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Russisch" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-se mw-list-item"><a href="https://se.wikipedia.org/wiki/Trapesa" title="Trapesa – Nordsamisch" lang="se" hreflang="se" data-title="Trapesa" data-language-autonym="Davvisámegiella" data-language-local-name="Nordsamisch" class="interlanguage-link-target"><span>Davvisámegiella</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Trapez_(geometrija)" title="Trapez (geometrija) – Serbokroatisch" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Trapez (geometrija)" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="Serbokroatisch" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Trapezoid" title="Trapezoid – einfaches Englisch" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Trapezoid" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="einfaches Englisch" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Lichobe%C5%BEn%C3%ADk" title="Lichobežník – Slowakisch" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Lichobežník" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Slowakisch" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Trapez" title="Trapez – Slowenisch" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Trapez" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Slowenisch" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Gonyoina_sambambiri" title="Gonyoina sambambiri – Shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Gonyoina sambambiri" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="Shona" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Koor" title="Koor – Somali" lang="so" hreflang="so" data-title="Koor" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="Somali" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D0%B7_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B0)" title="Трапез (геометрија) – Serbisch" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Трапез (геометрија)" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="Serbisch" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Trap%C3%A9sium" title="Trapésium – Sundanesisch" lang="su" hreflang="su" data-title="Trapésium" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="Sundanesisch" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Parallelltrapets" title="Parallelltrapets – Schwedisch" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Parallelltrapets" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="Schwedisch" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/Trapez" title="Trapez – Schlesisch (Wasserpolnisch)" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Trapez" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="Schlesisch (Wasserpolnisch)" class="interlanguage-link-target"><span>Ślůnski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%9A%E0%AE%B0%E0%AE%BF%E0%AE%B5%E0%AE%95%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="சரிவகம் – Tamil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="சரிவகம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="Tamil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%B8%E0%B0%AE%E0%B0%B2%E0%B0%82%E0%B0%AC_%E0%B0%9A%E0%B0%A4%E0%B1%81%E0%B0%B0%E0%B1%8D%E0%B0%AD%E0%B1%81%E0%B0%9C%E0%B0%82" title="సమలంబ చతుర్భుజం – Telugu" lang="te" hreflang="te" data-title="సమలంబ చతుర్భుజం" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="Telugu" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B9%E0%B8%9B%E0%B8%AA%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B9%80%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%A1%E0%B8%84%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9" title="รูปสี่เหลี่ยมคางหมู – Thailändisch" lang="th" hreflang="th" data-title="รูปสี่เหลี่ยมคางหมู" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="Thailändisch" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tk mw-list-item"><a href="https://tk.wikipedia.org/wiki/Trapesi%C3%BDa" title="Trapesiýa – Turkmenisch" lang="tk" hreflang="tk" data-title="Trapesiýa" data-language-autonym="Türkmençe" data-language-local-name="Turkmenisch" class="interlanguage-link-target"><span>Türkmençe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Trapesoid" title="Trapesoid – Tagalog" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Trapesoid" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="Tagalog" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Yamuk" title="Yamuk – Türkisch" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Yamuk" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="Türkisch" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Трапеція – Ukrainisch" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Трапеція" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="Ukrainisch" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B4%DA%A9%D9%84_%D9%85%D9%86%D8%AD%D8%B1%D9%81" title="شکل منحرف – Urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="شکل منحرف" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="Urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Trapetsiya" title="Trapetsiya – Usbekisch" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Trapetsiya" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="Usbekisch" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%ACnh_thang" title="Hình thang – Vietnamesisch" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Hình thang" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="Vietnamesisch" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vls mw-list-item"><a href="https://vls.wikipedia.org/wiki/Trapezium" title="Trapezium – Westflämisch" lang="vls" hreflang="vls" data-title="Trapezium" data-language-autonym="West-Vlams" data-language-local-name="Westflämisch" class="interlanguage-link-target"><span>West-Vlams</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Trapesoyd" title="Trapesoyd – Waray" lang="war" hreflang="war" data-title="Trapesoyd" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="Waray" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E6%A2%AF%E5%BD%A2" title="梯形 – Wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="梯形" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="Wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xmf mw-list-item"><a href="https://xmf.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A2%E1%83%A0%E1%83%90%E1%83%9E%E1%83%94%E1%83%AA%E1%83%98%E1%83%90" title="ტრაპეცია – Mingrelisch" lang="xmf" hreflang="xmf" data-title="ტრაპეცია" data-language-autonym="მარგალური" data-language-local-name="Mingrelisch" class="interlanguage-link-target"><span>მარგალური</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%98%D7%A8%D7%90%D7%A4%D7%A2%D7%96" title="טראפעז – Jiddisch" lang="yi" hreflang="yi" data-title="טראפעז" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="Jiddisch" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A2%AF%E5%BD%A2" title="梯形 – Chinesisch" lang="zh" hreflang="zh" data-title="梯形" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="Chinesisch" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E6%A2%AF%E5%BD%A2" title="梯形 – Kantonesisch" lang="yue" hreflang="yue" data-title="梯形" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="Kantonesisch" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q46303#sitelinks-wikipedia" title="Links auf Artikel in anderen Sprachen bearbeiten" class="wbc-editpage">Links bearbeiten</a></span></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Diese Seite wurde zuletzt am 18. 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