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class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">ページ先頭</div> </a> </li> <li id="toc-概略" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#概略"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>概略</span> </div> </a> <ul id="toc-概略-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-定義" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#定義"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>定義</span> </div> </a> <ul id="toc-定義-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-具体的な群" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#具体的な群"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>具体的な群</span> </div> </a> <ul id="toc-具体的な群-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-基本的な概念" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#基本的な概念"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>基本的な概念</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-基本的な概念-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>基本的な概念サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-基本的な概念-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-位数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#位数"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>位数</span> </div> </a> <ul id="toc-位数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-部分群" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#部分群"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>部分群</span> </div> </a> <ul id="toc-部分群-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-剰余類・剰余群" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#剰余類・剰余群"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>剰余類・剰余群</span> </div> </a> <ul id="toc-剰余類・剰余群-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-群の準同型・同型" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#群の準同型・同型"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.4</span> <span>群の準同型・同型</span> </div> </a> <ul id="toc-群の準同型・同型-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-共役" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#共役"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.5</span> <span>共役</span> </div> </a> <ul id="toc-共役-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-中心・中心化群・正規化群" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#中心・中心化群・正規化群"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.6</span> <span>中心・中心化群・正規化群</span> </div> </a> <ul id="toc-中心・中心化群・正規化群-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-可解群・交換子群・冪零群" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#可解群・交換子群・冪零群"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.7</span> <span>可解群・交換子群・冪零群</span> </div> </a> <ul id="toc-可解群・交換子群・冪零群-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-群の直積と半直積" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#群の直積と半直積"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.8</span> <span>群の直積と半直積</span> </div> </a> <ul id="toc-群の直積と半直積-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-有限群" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#有限群"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>有限群</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-有限群-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>有限群サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-有限群-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-有限アーベル群の基本定理" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#有限アーベル群の基本定理"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>有限アーベル群の基本定理</span> </div> </a> <ul id="toc-有限アーベル群の基本定理-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-コーシーの定理" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#コーシーの定理"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>コーシーの定理</span> </div> </a> <ul id="toc-コーシーの定理-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-シローの定理" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#シローの定理"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>シローの定理</span> </div> </a> <ul id="toc-シローの定理-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-シューア・ツァッセンハウスの定理" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#シューア・ツァッセンハウスの定理"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.4</span> <span>シューア・ツァッセンハウスの定理</span> </div> </a> <ul id="toc-シューア・ツァッセンハウスの定理-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-バーンサイドの_paqb_定理" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#バーンサイドの_paqb_定理"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.5</span> <span>バーンサイドの <i>p<sup>a</sup>q<sup>b</sup></i> 定理</span> </div> </a> <ul id="toc-バーンサイドの_paqb_定理-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-有限べき零群の構造定理" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#有限べき零群の構造定理"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.6</span> <span>有限べき零群の構造定理</span> </div> </a> <ul id="toc-有限べき零群の構造定理-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-歴史" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#歴史"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>歴史</span> </div> </a> <ul id="toc-歴史-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-特殊な応用例" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#特殊な応用例"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>特殊な応用例</span> </div> </a> <ul id="toc-特殊な応用例-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>出典</span> </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>参考文献</span> </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>関連項目</span> </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-外部リンク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#外部リンク"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>外部リンク</span> </div> </a> <ul id="toc-外部リンク-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">目次の表示・非表示を切り替え</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">群 (数学)</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="特定の記事の別の言語版に移動します。利用可能な言語83件" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-83" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">83の言語版</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Groep_(wiskunde)" title="アフリカーンス語: Groep (wiskunde)" lang="af" hreflang="af" data-title="Groep (wiskunde)" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="アフリカーンス語" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D9%85%D8%B1%D8%A9_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" title="アラビア語: زمرة (رياضيات)" lang="ar" hreflang="ar" data-title="زمرة (رياضيات)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="アラビア語" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a 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data-title="Група (алгебра)" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="ブルガリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%97%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A7%81%E0%A6%AA_(%E0%A6%97%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%A4)" title="ベンガル語: গ্রুপ (গণিত)" lang="bn" hreflang="bn" data-title="গ্রুপ (গণিত)" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="ベンガル語" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Grup_(matem%C3%A0tiques)" title="カタロニア語: Grup (matemàtiques)" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Grup (matemàtiques)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="カタロニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a 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(matematika)" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Talde (matematika)" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="バスク語" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D9%88%D9%87_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)" title="ペルシア語: گروه (ریاضیات)" lang="fa" hreflang="fa" data-title="گروه (ریاضیات)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="ペルシア語" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Ryhm%C3%A4_(algebra)" title="フィンランド語: Ryhmä (algebra)" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Ryhmä (algebra)" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="フィンランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)" title="フランス語: Groupe (mathématiques)" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Groupe (mathématiques)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Sk%C3%B6%C3%B6l_(Matematiik)" title="北フリジア語: Skööl (Matematiik)" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Skööl (Matematiik)" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="北フリジア語" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%BApa_(matamaitic)" title="アイルランド語: Grúpa (matamaitic)" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Grúpa (matamaitic)" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="アイルランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1ticas)" title="ガリシア語: Grupo (matemáticas)" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Grupo (matemáticas)" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="ガリシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="ヘブライ語: חבורה (מבנה אלגברי)" lang="he" hreflang="he" data-title="חבורה (מבנה אלגברי)" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ヘブライ語" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%82%E0%A4%B9_(%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A4%B6%E0%A4%BE%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0)" title="ヒンディー語: समूह (गणितशास्त्र)" lang="hi" hreflang="hi" data-title="समूह (गणितशास्त्र)" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="ヒンディー語" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matematika)" title="クロアチア語: Grupa (matematika)" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Grupa (matematika)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Csoport_(matematika)" title="ハンガリー語: Csoport (matematika)" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Csoport (matematika)" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ハンガリー語" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BD%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%A2_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="アルメニア語: Խումբ (մաթեմատիկա)" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Խումբ (մաթեմատիկա)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="アルメニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Gruppo_(mathematica)" title="インターリングア: Gruppo (mathematica)" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Gruppo (mathematica)" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="インターリングア" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Grup_(matematika)" title="インドネシア語: Grup (matematika)" lang="id" hreflang="id" data-title="Grup (matematika)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="インドネシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%BApa" title="アイスランド語: Grúpa" lang="is" hreflang="is" data-title="Grúpa" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="アイスランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_(matematica)" title="イタリア語: Gruppo (matematica)" lang="it" hreflang="it" data-title="Gruppo (matematica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="イタリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%AF%E1%83%92%E1%83%A3%E1%83%A4%E1%83%98_(%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90)" title="ジョージア語: ჯგუფი (მათემატიკა)" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ჯგუფი (მათემატიკა)" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="ジョージア語" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kab mw-list-item"><a href="https://kab.wikipedia.org/wiki/Tagrumma_(tusnakt)" title="カビル語: Tagrumma (tusnakt)" lang="kab" hreflang="kab" data-title="Tagrumma (tusnakt)" data-language-autonym="Taqbaylit" data-language-local-name="カビル語" class="interlanguage-link-target"><span>Taqbaylit</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="カザフ語: Топ (математика)" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Топ (математика)" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="カザフ語" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%97%E0%B3%8D%E0%B2%B0%E0%B3%82%E0%B2%AA%E0%B3%8D" title="カンナダ語: ಗ್ರೂಪ್" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಗ್ರೂಪ್" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="カンナダ語" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%B0_(%EC%88%98%ED%95%99)" title="韓国語: 군 (수학)" lang="ko" hreflang="ko" data-title="군 (수학)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Caterva_(mathematica)" title="ラテン語: Caterva (mathematica)" lang="la" hreflang="la" data-title="Caterva (mathematica)" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="ラテン語" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Grupp_(Algeber)" title="ルクセンブルク語: Grupp (Algeber)" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Grupp (Algeber)" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="ルクセンブルク語" class="interlanguage-link-target"><span>Lëtzebuergesch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Grupp_(matem%C3%A0tica)" title="ロンバルド語: Grupp (matemàtica)" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Grupp (matemàtica)" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="ロンバルド語" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Grup%C4%97_(algebra)" title="リトアニア語: Grupė (algebra)" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Grupė (algebra)" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="リトアニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matem%C4%81tika)" title="ラトビア語: Grupa (matemātika)" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Grupa (matemātika)" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="ラトビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Vory_(matematika)" title="マダガスカル語: Vory (matematika)" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Vory (matematika)" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="マダガスカル語" class="interlanguage-link-target"><span>Malagasy</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%97%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B5%82%E0%B4%AA%E0%B5%8D%E0%B4%AA%E0%B5%8D" title="マラヤーラム語: ഗ്രൂപ്പ്" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ഗ്രൂപ്പ്" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="マラヤーラム語" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Kumpulan_(matematik)" title="マレー語: Kumpulan (matematik)" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Kumpulan (matematik)" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="マレー語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Grupp_(matematika)" title="マルタ語: Grupp (matematika)" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Grupp (matematika)" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="マルタ語" class="interlanguage-link-target"><span>Malti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Groep_(wiskunde)" title="オランダ語: Groep (wiskunde)" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Groep (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="オランダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Matematisk_gruppe" title="ノルウェー語(ニーノシュク): Matematisk gruppe" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Matematisk gruppe" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="ノルウェー語(ニーノシュク)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Gruppe_(matematikk)" title="ノルウェー語(ブークモール): Gruppe (matematikk)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Gruppe (matematikk)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="ノルウェー語(ブークモール)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nov mw-list-item"><a href="https://nov.wikipedia.org/wiki/Grupe_(matematike)" title="ノヴィアル: Grupe (matematike)" lang="nov" hreflang="nov" data-title="Grupe (matematike)" data-language-autonym="Novial" data-language-local-name="ノヴィアル" class="interlanguage-link-target"><span>Novial</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Grop_(matematicas)" title="オック語: Grop (matematicas)" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Grop (matematicas)" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="オック語" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matematyka)" title="ポーランド語: Grupa (matematyka)" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Grupa (matematyka)" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Strop" title="ピエモンテ語: Strop" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Strop" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="ピエモンテ語" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D9%88%DB%81_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="Western Punjabi: گروہ (ریاضی)" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="گروہ (ریاضی)" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)" title="ポルトガル語: Grupo (matemática)" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Grupo (matemática)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="ポルトガル語" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="秀逸な記事"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Grup_(matematic%C4%83)" title="ルーマニア語: Grup (matematică)" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Grup (matematică)" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="ルーマニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="ロシア語: Группа (математика)" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Группа (математика)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Gruppu_(matimatica)" title="シチリア語: Gruppu (matimatica)" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Gruppu (matimatica)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="シチリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matematika)" title="セルボ・クロアチア語: Grupa (matematika)" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Grupa (matematika)" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="セルボ・クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)" title="シンプル英語: Group (mathematics)" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Group (mathematics)" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matematika)" title="スロバキア語: Grupa (matematika)" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Grupa (matematika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="スロバキア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Grupa" title="スロベニア語: Grupa" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Grupa" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="セルビア語: Група (математика)" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Група (математика)" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="セルビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Grupp_(matematik)" title="スウェーデン語: Grupp (matematik)" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Grupp (matematik)" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="スウェーデン語" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matymatyka)" title="シレジア語: Grupa (matymatyka)" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Grupa (matymatyka)" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="シレジア語" class="interlanguage-link-target"><span>Ślůnski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%95%E0%AF%81%E0%AE%B2%E0%AE%AE%E0%AF%8D_(%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D)" title="タミル語: குலம் (கணிதம்)" lang="ta" hreflang="ta" data-title="குலம் (கணிதம்)" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="タミル語" 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title="タガログ語: Grupo (matematika)" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Grupo (matematika)" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="タガログ語" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Grup_(matematik)" title="トルコ語: Grup (matematik)" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Grup (matematik)" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="トルコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="ウクライナ語: Група (математика)" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Група (математика)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ウクライナ語" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D9%88%DB%81_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="ウルドゥー語: گروہ (ریاضی)" lang="ur" hreflang="ur" data-title="گروہ (ریاضی)" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="ウルドゥー語" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="秀逸な記事"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%B3m_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="ベトナム語: Nhóm (toán học)" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Nhóm (toán học)" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="ベトナム語" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vls mw-list-item"><a href="https://vls.wikipedia.org/wiki/Groep_(algebra)" title="西フラマン語: Groep (algebra)" lang="vls" hreflang="vls" data-title="Groep (algebra)" data-language-autonym="West-Vlams" data-language-local-name="西フラマン語" 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/><small><span class="plainlinks">出典検索<a href="/wiki/Template:Find_sources_mainspace" title="Template:Find sources mainspace"><sup>?</sup></a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&as_eq=wikipedia&q=%22%E7%BE%A4%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6&num=50">"群" 数学</a> – <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%22%E7%BE%A4%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6&tbm=nws">ニュース</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&tbs=bks:1&q=%22%E7%BE%A4%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6">書籍</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="//scholar.google.co.jp/scholar?num=100&hl=ja&q=%22%E7%BE%A4%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6">スカラー</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ci.nii.ac.jp/opensearch/search?lang=ja&q=%22%E7%BE%A4%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6&range=2&count=200&sortorder=1&type=0">CiNii</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jstage.jst.go.jp/result/global/-char/ja?globalSearchKey=%22%E7%BE%A4%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6">J-STAGE</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ndlsearch.ndl.go.jp/api/openurl?any=%22%E7%BE%A4%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6">NDL</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dlib.jp/?q=%22%E7%BE%A4%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6">dlib.jp</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://jpsearch.go.jp/csearch/jps-cross?csid=jps-cross&keyword=%22%E7%BE%A4%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6">ジャパンサーチ</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikipedialibrary.wmflabs.org/partners/">TWL</a></span></small></span> <span class="date-container"><i>(<span class="date"><span title="2015年9月">2015年9月</span></span>)</i></span></div></td></tr></tbody></table> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101384370">.mw-parser-output .sidebar{width:auto;float:right;clear:right;margin:0.5em 0 1em 1em;background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa);border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);padding:0.2em;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%;border-collapse:collapse;display:table}body.skin-minerva .mw-parser-output .sidebar{display:table!important;float:right!important;margin:0.5em 0 1em 1em!important}.mw-parser-output .sidebar-subgroup{width:100%;margin:0;border-spacing:0}.mw-parser-output .sidebar-left{float:left;clear:left;margin:0.5em 1em 1em 0}.mw-parser-output .sidebar-none{float:none;clear:both;margin:0.5em 1em 1em 0}.mw-parser-output .sidebar-outer-title{padding:0 0.4em 0.2em;font-size:125%;line-height:1.2em;font-weight:bold}.mw-parser-output .sidebar-top-image{padding:0.4em}.mw-parser-output .sidebar-top-caption,.mw-parser-output .sidebar-pretitle-with-top-image,.mw-parser-output .sidebar-caption{padding:0.2em 0.4em 0;line-height:1.2em}.mw-parser-output .sidebar-pretitle{padding:0.4em 0.4em 0;line-height:1.2em}.mw-parser-output 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3.3em}@media(max-width:720px){body.mediawiki .mw-parser-output .sidebar{width:100%!important;clear:both;float:none!important;margin-left:0!important;margin-right:0!important}}</style><table class="sidebar sidebar-collapse nomobile nowraplinks" style="width:20.0em;"><tbody><tr><th class="sidebar-title" style="padding-bottom:0.4em;"><span style="font-size: 8pt; font-weight: none"><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0" title="代数的構造">代数的構造</a> → <b>群論</b></span><br /><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="群論">群論</a></th></tr><tr><td class="sidebar-image"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Rubik%27s_cube.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Rubik%27s_cube.svg/120px-Rubik%27s_cube.svg.png" decoding="async" width="120" height="125" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Rubik%27s_cube.svg/180px-Rubik%27s_cube.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Rubik%27s_cube.svg/240px-Rubik%27s_cube.svg.png 2x" data-file-width="480" data-file-height="500" /></a></span></td></tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="font-size:110%;">基本概念</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content hlist" style="border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar nomobile nowraplinks" style="border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="部分群">部分群</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="正規部分群">正規部分群</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E5%95%86%E7%BE%A4" title="商群">商群</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%8A%E7%9B%B4%E7%A9%8D" title="半直積">（半）</a><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E7%9B%B4%E7%A9%8D" title="群の直積">直積</a></li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> <b><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="群準同型">群準同型</a></b></th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%A0%B8_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)#群準同型" title="核 (代数学)">核</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%83%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="像 (数学)">像</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E7%9B%B4%E5%92%8C" title="群の直和">直和</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E8%BC%AA%E7%A9%8D" title="輪積">リース積</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4" title="単純群">単純</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4" title="有限群">有限</a></li></ul> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E9%99%90%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「無限群」 (存在しないページ)">無限</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_group" class="extiw" title="en:Infinite group">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="連続群">連続</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95%E7%BE%A4" title="乗法群">乗法</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95%E7%BE%A4" title="加法群">加法</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4" title="巡回群">巡回</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="アーベル群">アーベル</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93%E7%BE%A4" title="二面体群">二面体</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%B6%E7%BE%A4" title="冪零群">冪零</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4" title="可解群">可解</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96%E3%81%AE%E7%94%A8%E8%AA%9E" title="群論の用語">群論の用語</a></li></ul></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96%E3%81%AE%E7%94%A8%E8%AA%9E" title="群論の用語">群論のトピックス一覧</a></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4" title="有限群">有限群</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content hlist" style="border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar nomobile nowraplinks" style="border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><th class="sidebar-heading"> <a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E" title="有限単純群の分類">有限単純群の分類</a></th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4" title="巡回群">巡回</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E7%BE%A4" title="交代群">交代</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E5%9E%8B%E3%81%AE%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「リー型の群」 (存在しないページ)">リー型</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Group_of_Lie_type" class="extiw" title="en:Group of Lie type">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%95%A3%E5%9C%A8%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「散在群」 (存在しないページ)">散在</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sporadic_group" class="extiw" title="en:Sporadic group">英語版</a>）</span></span></li></ul></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)" title="コーシーの定理 (群論)">コーシーの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)" title="ラグランジュの定理 (群論)">ラグランジュの定理</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="シローの定理">シローの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="ホール部分群">ホールの定理</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/P%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="P群"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span> 群</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="基本アーベル群">基本アーベル群</a></li></ul> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%99%E3%83%8B%E3%82%A6%E3%82%B9%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「フロベニウス群」 (存在しないページ)">フロベニウス群</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_group" class="extiw" title="en:Frobenius group">英語版</a>）</span></span></li></ul> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%A2_multiplier&action=edit&redlink=1" class="new" title="「シューア multiplier」 (存在しないページ)">シューア multiplier</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Schur_multiplier" class="extiw" title="en:Schur multiplier">英語版</a>）</span></span></li></ul></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4" title="対称群">対称群</a> <span lang="en" class="texhtml">S<sub><i>n</i></sub></span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4" title="クラインの四元群">クラインの四元群</a> <span lang="en" class="texhtml">V</span></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93%E7%BE%A4" title="二面体群">二面体群</a> <span lang="en" class="texhtml">D<sub><i>n</i></sub></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="四元数群">四元数群</a> <span lang="en" class="texhtml">Q<sub>8</sub></span></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%87%8D%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="二重巡回群">二重巡回群</a> <span lang="en" class="texhtml">Dic<sub><i>n</i></sub></span></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="font-size:110%;"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r99966302">.mw-parser-output .hlist ul,.mw-parser-output .hlist ol{padding-left:0}.mw-parser-output .hlist li,.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt{margin-right:0;display:inline-block;white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist 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line-height:1.2em;"><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="モジュラー群">モジュラー群</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r99966302"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r99966302"><div class="hlist"><ul><li><span lang="en" class="texhtml">PSL(2, <b>Z</b>)</span></li><li><span lang="en" class="texhtml">SL(2, <b>Z</b>)</span></li></ul></div></div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%BE%A4" title="位相群">位相</a> / <a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="リー群">リー群</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content hlist" style="border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%BD%E3%83%AC%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ソレノイド (数学)」 (存在しないページ)">ソレノイド</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/solenoid_(mathematics)" class="extiw" title="en:solenoid (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4" title="円周群">円周</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="一般線型群">一般線型</a> <span lang="en" class="texhtml">GL(<i>n</i>)</span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="特殊線型群">特殊線型</a> <span lang="en" class="texhtml">SL(<i>n</i>)</span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" title="直交群">直交</a> <span lang="en" class="texhtml">O(<i>n</i>)</span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E3%81%AE%E9%81%8B%E5%8B%95%E7%BE%A4" title="ユークリッドの運動群">ユークリッド</a> <span lang="en" class="texhtml">E(<i>n</i>)</span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="特殊直交群">特殊直交</a> <span lang="en" class="texhtml">SO(<i>n</i>)</span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="ユニタリ群">ユニタリ</a> <span lang="en" class="texhtml">U(<i>n</i>)</span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="特殊ユニタリ群">特殊ユニタリ</a> <span lang="en" class="texhtml">SU(<i>n</i>)</span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E6%96%9C%E4%BA%A4%E7%BE%A4" title="斜交群">斜交</a> <span lang="en" class="texhtml">Sp(<i>n</i>)</span></li></ul> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=G2_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「G2 (数学)」 (存在しないページ)"><span lang="en" class="texhtml">G<sub>2</sub></span></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/G2_(mathematics)" class="extiw" title="en:G2 (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=F4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「F4 (数学)」 (存在しないページ)"><span lang="en" class="texhtml">F<sub>4</sub></span></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/F4_(mathematics)" class="extiw" title="en:F4 (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=E6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「E6 (数学)」 (存在しないページ)"><span lang="en" class="texhtml">E<sub>6</sub></span></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/E6_(mathematics)" class="extiw" title="en:E6 (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=E7_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「E7 (数学)」 (存在しないページ)"><span lang="en" class="texhtml">E<sub>7</sub></span></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/E7_(mathematics)" class="extiw" title="en:E7 (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/E8_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="E8 (数学)"><span lang="en" class="texhtml">E<sub>8</sub></span></a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E7%BE%A4" title="ローレンツ群">ローレンツ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E7%BE%A4" title="ポアンカレ群">ポアンカレ</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%85%B1%E5%BD%A2%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「共形群」 (存在しないページ)">共形</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/conformal_group" class="extiw" title="en:conformal group">英語版</a>）</span></span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%90%8C%E7%9B%B8" class="mw-redirect" title="微分同相">微分同相</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%97%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ループ群」 (存在しないページ)">ループ</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/loop_group" class="extiw" title="en:loop group">英語版</a>）</span></span></li></ul> <div style="padding:0.2em 0.4em; line-height:1.2em;"><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「無限次元リー群」 (存在しないページ)">無限次元リー群</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_dimensional_Lie_group" class="extiw" title="en:Infinite dimensional Lie group">英語版</a>）</span></span> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r99966302"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r99966302"><div class="hlist"><ul><li><span lang="en" class="texhtml">O(∞)</span></li><li><span lang="en" class="texhtml">SU(∞)</span></li><li><span lang="en" class="texhtml">Sp(∞)</span></li></ul></div></div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%BE%A4" title="代数群">代数群</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content hlist" style="border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="楕円曲線">楕円曲線</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%BE%A4" title="線型代数群">線型代数群</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="アーベル多様体">アーベル多様体</a></li></ul></div></div></td> </tr></tbody></table> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar sidebar-collapse nomobile nowraplinks plainlist" style="width:20.0em;"><tbody><tr><th class="sidebar-title"><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0" title="代数的構造">代数的構造</a></th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><a class="mw-selflink selflink">群</a>に似た構造</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">群</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%8A%E7%BE%A4" title="半群">半群</a> / <a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89" title="モノイド">モノイド</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9C%AD_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="圭 (数学)">圭</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%BA%96%E7%BE%A4" title="準群">準群とループ</a></li></ul> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="アーベル群">アーベル群</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%9E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="マグマ (数学)">マグマ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="リー群">リー群</a></li></ul> </div> <a href="/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="群論">群論</a></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="環 (数学)">環</a>に似た構造</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="環 (数学)">環</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%8A%E7%92%B0" title="半環">半環</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E8%BF%91%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「近環」 (存在しないページ)">近環</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Near-ring" class="extiw" title="en:Near-ring">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0" title="可換環">可換環</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B4%E5%9F%9F" title="整域">整域</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E9%99%A4%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="可除環">可除環</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="リー環">リー環</a></li></ul> </div> <a href="/wiki/%E7%92%B0%E8%AB%96" title="環論">環論</a></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%E6%9D%9F_(%E6%9D%9F%E8%AB%96)" title="束 (束論)">束</a>に似た構造</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%9D%9F_(%E6%9D%9F%E8%AB%96)" title="束 (束論)">束</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9D%9F_(%E6%9D%9F%E8%AB%96)" title="束 (束論)">半束</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E8%A3%9C%E6%9D%9F" title="可補束">可補束</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F" title="全順序">全順序</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="ハイティング代数">ハイティング代数</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%96%E3%83%BC%E3%83%AB%E4%BB%A3%E6%95%B0_(%E6%A7%8B%E9%80%A0)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ブール代数 (構造)」 (存在しないページ)">ブール代数</a></li></ul> </div> <ul><li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Map_of_lattices" class="extiw" title="en:Map of lattices">en:Map of lattices</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9D%9F_(%E6%9D%9F%E8%AB%96)" title="束 (束論)">束論</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4" title="環上の加群">加群</a>に似た構造</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4" title="環上の加群">加群</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%9C%E7%94%A8%E3%82%92%E6%8C%81%E3%81%A4%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="作用を持つ群">作用を持つ群</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a></li></ul> </div> <ul><li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="線形代数">線形代数</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%E4%BD%93%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" title="体上の多元環">代数</a>に似た構造</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BD%93%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" title="体上の多元環">代数</a></li></ul> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" title="結合多元環">結合</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%88%86%E9%85%8D%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" title="分配多元環">非結合</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%90%88%E6%88%90%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="合成代数">合成代数</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="リー代数">リー代数</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%BB%98%E3%81%8D%E7%92%B0" title="次数付き環">次数付き</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="双代数">双代数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9B%E3%83%83%E3%83%97%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="ホップ代数">ホップ代数</a></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-navbar"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r99966302"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r96787822">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:75%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar-mini 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href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0&action=edit"><abbr title="参照先のページを編集します。">編</abbr></a></li><li class="nv-hist"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0&action=history"><abbr title="参照先のページの履歴を表示します。">歴</abbr></a></li></ul></div></td></tr></tbody></table> <p><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>における<b>群</b>（ぐん、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">group</span>）とは、ある二項演算とその対象となる集合とを合わせて見たときに結合性を伴い単位元と逆元を備えるものをいう。数学において最も基本的と見なされる<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0" title="代数的構造">代数的構造</a>の一つであり、<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>や<a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="物理学">物理学</a>全般において、さまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。群はそれ自体が研究対象であり、その領域は<a href="/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="群論">群論</a>と呼ばれる。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="概略"><span id=".E6.A6.82.E7.95.A5"></span>概略</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=1" title="節を編集: 概略"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>群</b>の概念は、数学的対象 <i>X</i> から <i>X</i> への<a href="/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="自己同型">自己同型</a>の集まりの満たす性質を代数的に抽象化することによって得られる。この集まりは <i>X</i> の<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E6%80%A7" title="対称性">対称性</a>を表現していると考えられ、<a href="/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87" title="結合法則">結合法則</a>・<a href="/wiki/%E6%81%92%E7%AD%89%E5%A4%89%E6%8F%9B" class="mw-redirect" title="恒等変換">恒等変換</a>の存在・<a href="/wiki/%E9%80%86%E5%A4%89%E6%8F%9B" class="mw-redirect" title="逆変換">逆変換</a>の存在などがなりたっている。集合論にもとづき <i>X</i> が集合として実現されている場合には、自己同型として <i>X</i> からそれ自身への全単射写像を考えることになるが、空間や対象の持つ構造に応じてさらに付加条件を課すことが多い。例えば、ベクトル空間 <i>X</i> に対してその自己同型写像の集まりを考えると群が得られる。また、平面上に正三角形など何らかの対称性を持った図形が与えられているとき、平面全体の変換のうちでその図形を保つようなものだけを考えることによって、図形の対称性を表す群を取り出すことができる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="定義"><span id=".E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>定義</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=2" title="節を編集: 定義"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88" title="集合">集合</a> <i>G</i> とその上の<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E6%BC%94%E7%AE%97" title="二項演算">二項演算</a> μ: <i>G</i> × <i>G</i> → <i>G</i> の組 (<i>G</i>, μ) が<b>群</b>であるとは、以下の3つの条件を満たすことをいう： </p> <ol><li>（<a href="/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87" title="結合法則">結合法則</a>）任意の <i>G</i> の<a href="/wiki/%E5%85%83_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="元 (数学)">元</a> <i>g</i>, <i>h</i>, <i>k</i> に対して、μ(<i>g</i>, μ(<i>h</i>, <i>k</i>)) = μ(μ(<i>g</i>, <i>h</i>), <i>k</i>) を満たす： <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\forall g,h,k\in G)[\mu (g,\mu (h,k))=\mu (\mu (g,h),k)].}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall g,h,k\in G)[\mu (g,\mu (h,k))=\mu (\mu (g,h),k)].}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cea1478a48afce58610e1f061c6ba18251a76802" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.854ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\forall g,h,k\in G)[\mu (g,\mu (h,k))=\mu (\mu (g,h),k)].}"></span></dd></dl></li> <li>（<a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83" title="単位元">単位元</a>の存在）μ(<i>g</i>, <i>e</i>) = μ(<i>e</i>, <i>g</i>) = <i>g</i> を <i>G</i> のどんな元 <i>g</i> に対しても満たすような <i>G</i> の元 <i>e</i> が存在する： <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\exists e\in G)(\forall g\in G)[\mu (g,e)=\mu (e,g)=g].}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>e</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>g</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\exists e\in G)(\forall g\in G)[\mu (g,e)=\mu (e,g)=g].}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e04d86a25e3e0551a43fa9648e026f94ee945ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.88ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\exists e\in G)(\forall g\in G)[\mu (g,e)=\mu (e,g)=g].}"></span></dd></dl> <ul><li>このような <i>e</i> は存在すれば一意であり、<i>G</i> の<b>単位元</b>という。</li></ul></li> <li>（<a href="/wiki/%E9%80%86%E5%85%83" title="逆元">逆元</a>の存在）<i>G</i> のどんな元 <i>g</i> に対しても、μ(<i>g</i>, <i>x</i>) = μ(<i>x</i>, <i>g</i>) = <i>e</i> となるような <i>G</i> の元 <i>x</i> が存在する： <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\forall g\in G)(\exists x\in G)[\mu (g,x)=\mu (x,g)=e].}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>g</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall g\in G)(\exists x\in G)[\mu (g,x)=\mu (x,g)=e].}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6f8d4db07ff51dc1caaf29bcbee1b755e798ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.586ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\forall g\in G)(\exists x\in G)[\mu (g,x)=\mu (x,g)=e].}"></span></dd></dl> <ul><li>このような <i>x</i> は存在すれば一意であり、この <i>x</i> を <i>g</i> の <i>G</i> における<b>逆元</b>といい、しばしば <i>g</i><sup>−1</sup>, あるいは演算を加法的に書く場合には −<i>g</i> で表される。</li></ul></li></ol> <p>群よりも広い概念として、1 を満たすものは<a href="/wiki/%E5%8D%8A%E7%BE%A4" title="半群">半群</a>、1 と 2 を満たすものは<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89" title="モノイド">モノイド</a>という。 </p><p>なお、<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E6%BC%94%E7%AE%97" title="二項演算">二項演算</a>を写像として強調したい場合を除けば、通常　μ(<i>g</i>, <i>h</i>) のことを <i>g</i>・<i>h</i> や単に <i>gh</i> と書くことが多い。またこの演算を「積」や「乗法」と呼ぶことが多いが、<a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95" title="加法">加法</a>と呼ばれている二項演算をもとにしてできる群もあるので、注意する必要がある。さらに積が文脈から明らかなときには、群 (<i>G</i>, μ) のことを単に群 <i>G</i> と<a href="/wiki/%E5%8F%B0%E9%9B%86%E5%90%88" class="mw-redirect" title="台集合">台集合</a>を指定するだけで済ませることがほとんどである<sup id="cite_ref-R,_p._2_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-R,_p._2-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>群 (<i>G</i>, μ) がさらに </p> <dl><dd>4. （<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87" title="交換法則">交換法則</a>）任意の元 <i>g</i>, <i>h</i> に対して μ(<i>g</i>, <i>h</i>) = μ(<i>h</i>, <i>g</i>)</dd></dl> <p>を満たすとき、この群のことを<b><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="アーベル群">アーベル群</a></b>（<b>可換群</b>）という。アーベル群の演算は "+" を用いて加法的にも書かれ、この際 <i>g</i> の逆元は −<i>g</i> と書かれる。 </p><p>現代の標準的な群の定義は上述のようなものであり、公理は左右対称に書かれているが、これらは冗長であることが知られていて、たとえば結合法則と左単位元の存在と左逆元の存在だけを要請してもよい<sup id="cite_ref-FOOTNOTEバーコフマクレーン1967第VI章_4._抽象群_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEバーコフマクレーン1967第VI章_4._抽象群-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。あるいは <i>G</i> が<a href="/wiki/%E7%A9%BA%E9%9B%86%E5%90%88" title="空集合">空集合</a>でなく、結合法則と左右の商が存在すること </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\forall a,b\in G)(\exists x,y\in G)[ax=b=ya]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall a,b\in G)(\exists x,y\in G)[ax=b=ya]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2658fb6f7ee7b1eb08cff470890f66113219ca9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.752ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\forall a,b\in G)(\exists x,y\in G)[ax=b=ya]}"></span></dd></dl> <p>を要請してもよい<sup id="cite_ref-FOOTNOTEバーコフマクレーン1967第VI章_4._抽象群_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEバーコフマクレーン1967第VI章_4._抽象群-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。また複雑な単一の公理により群を定義する方法もいくつか知られている<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="具体的な群"><span id=".E5.85.B7.E4.BD.93.E7.9A.84.E3.81.AA.E7.BE.A4"></span>具体的な群</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=3" title="節を編集: 具体的な群"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>集合 {1, 2, ..., <i>n</i>} の上の置換（<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%8D%98%E5%B0%84" title="全単射">全単射</a>）全体は、写像の合成を二項演算とし、単位元を恒等写像、逆元を逆写像とすることで群になる。この群を <i>n</i> 次の<b><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4" title="対称群">対称群</a></b>といい、<i>S</i><sub><i>n</i></sub> と表記する。</li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a>、<a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" title="有理数">有理数</a>、<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>、<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a>は全て加法に関してアーベル群を成す。</li> <li>また有理数、実数、複素数から 0 を除いたものは乗法に関してアーベル群を成す．</li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0" title="四元数">四元数</a>から 0 を除いたものは乗法に関して非可換群を成す。群を成す超複素数系は四元数までであり、結合法則を満たさない<a href="/wiki/%E5%85%AB%E5%85%83%E6%95%B0" title="八元数">八元数</a>は群を成さない。</li> <li>（実数係数の）<i>n</i> 次<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正則行列">正則行列</a>全体の集合はどの<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" class="mw-redirect" title="行列 (数学)">行列</a>も<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正則行列">逆行列</a>を持つから群になる。この群のことを <i>GL</i><sub><i>n</i></sub>(<b>R</b>) と表し、<i>n</i> 次の<b>実<a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="一般線型群">一般線型群</a></b>と呼ぶ。さらに<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="行列式">行列式</a>が 1 であるという条件を課したものも群を成す。この群を <i>SL</i><sub><i>n</i></sub>(<b>R</b>) と書き、<i>n</i> 次の<b>実<a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="特殊線型群">特殊線型群</a></b>と呼ぶ。</li> <li><i>n</i> 次<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E8%A1%8C%E5%88%97" title="直交行列">直交行列</a>全体も群を成す。この群を <i>O</i><sub><i>n</i></sub> と書き、<b><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" title="直交群">直交群</a></b>と呼ぶ。これは、<i>n</i> 次元<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ユークリッド空間">ユークリッド空間</a>において、長さを変えないような変換全体の成す群である。直交行列の行列式は ±1 である。行列式が 1 であるような直交行列全体からなる群を <i>SO</i><sub><i>n</i></sub> と書き、<b><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="特殊直交群">特殊直交群</a></b>と呼ぶ。</li> <li>複素数係数の行列に対しても同様な群が定義できる；その時、直交行列の類似物として<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ユニタリ行列">ユニタリ行列</a>を考える。直交群に対応するものは<b><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="ユニタリ群">ユニタリ群</a></b> <i>U</i><sub><i>n</i></sub> であり、特殊直交群の類似物は<a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="特殊ユニタリ群">特殊ユニタリ群</a> <i>SU</i><sub><i>n</i></sub> になる。</li> <li>正則行列による群の構成は<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a>の自己同型写像による群の構成の特別な場合だと見なすことができる。ベクトル空間 <i>V</i> 上の可逆線型変換全体 <i>GL</i>(<i>V</i>) は <i>V</i> のベクトル空間としての対称性を表していると考えられるが、これは <i>V</i> 上の<a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="一般線型群">一般線型群</a>と呼ばれる。<i>V</i> に付加的な構造を与えることでその対称性は変わり、例えばベクトルの長さを定める計量を保つような線型同型写像を考えることで（考えている計量に付随した）<a href="/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%A4%89%E6%8F%9B%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「直交変換群」 (存在しないページ)">直交変換群</a>が得られる。</li> <li><i>T</i> を座標平面の原点を重心とする正三角形とする。平面全体の等長変換のうちで <i>T</i> を保つものには、恒等変換、原点に関する120度、240度の回転と各頂点と対辺の中点を結ぶ軸を対称軸とする折り返しの6つがある。これらによって <i>T</i> の対称性が表されていると考えることができる。これら6つの変換の成す群は3次<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4" title="対称群">対称群</a>あるいは位数6の<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93%E7%BE%A4" title="二面体群">二面体群</a>と呼ばれる群に同型になる。位数6の非可換群は同型の違いを除いて唯一であり、また、この群は位数最小の非可換群でもある。</li> <li><a href="/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="楕円曲線">楕円曲線</a>は可換群の構造を持つことが知られている。</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="リー群">リー群</a>（<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%BE%A4" title="位相群">連続群</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AA%E3%83%AC%E3%82%A4%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="ガリレイ変換">ガリレイ変換</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E7%BE%A4" title="ローレンツ群">ローレンツ群</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93%E7%BE%A4" title="空間群">空間群</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B5%90%E6%99%B6%E7%82%B9%E7%BE%A4" title="結晶点群">結晶点群</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E7%A3%81%E6%B0%97%E7%A9%BA%E9%96%93%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「磁気空間群」 (存在しないページ)">磁気空間群</a>（<a href="/w/index.php?title=%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%96%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%95%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「シュブニコフ群」 (存在しないページ)">シュブニコフ群</a>）</li> <li><a href="/w/index.php?title=%E7%A3%81%E6%B0%97%E7%82%B9%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「磁気点群」 (存在しないページ)">磁気点群</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E7%81%B0%E8%89%B2%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「灰色群」 (存在しないページ)">灰色群</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="基本的な概念"><span id=".E5.9F.BA.E6.9C.AC.E7.9A.84.E3.81.AA.E6.A6.82.E5.BF.B5"></span>基本的な概念</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=4" title="節を編集: 基本的な概念"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="位数"><span id=".E4.BD.8D.E6.95.B0"></span>位数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=5" title="節を編集: 位数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>群 <i>G</i> の元の数（<a href="/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="濃度 (数学)">基数</a>）のことを<b><a href="/wiki/%E4%BD%8D%E6%95%B0_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)" title="位数 (群論)">位数</a></b> (order) という<sup id="cite_ref-R,_p._2_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-R,_p._2-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。位数は集合に倣って |<i>G</i>| や #<i>G</i> などの記号で表される。位数が有限な群を<a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4" title="有限群">有限群</a>という。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="部分群"><span id=".E9.83.A8.E5.88.86.E7.BE.A4"></span>部分群</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=6" title="節を編集: 部分群"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>群 <i>G</i> の空でない部分集合 <i>H</i> が <i>G</i> の群演算に関して閉じていて、<i>H</i> の任意の元に対して、逆元が <i>H</i> の元であるとき、この部分集合 <i>H</i> を <i>G</i> の<b><a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="部分群">部分群</a></b>といい <i>H</i> ≤ <i>G</i> または <i>G</i> ≥ <i>H</i> と表す。これは空でない部分集合 <i>H</i> の任意の元 <i>a</i>, <i>b</i> に対して <i>ab</i><sup>−1</sup> ∈ <i>H</i> が成り立つことと同値である<sup id="cite_ref-FOOTNOTERobinson19961.3.1_(The_Subgroup_Criterion)_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTERobinson19961.3.1_(The_Subgroup_Criterion)-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p><i>G</i> が群であれば、<i>G</i> および {<i>e</i>}（単位元のみからなる群、<a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="単位群">単位群</a>）は必ず <i>G</i> の部分群になる。これらを<b>自明な部分群</b>という（単位元のみからなる部分群のみを指す場合もある）。それ以外の部分群は、自明でない部分群あるいは<b>真の部分群</b>と呼ぶ（真部分集合であるような部分群という意味で、真の部分群に単位群を含める場合もある）。 </p><p>部分群 <i>N</i> が群 <i>G</i> の任意の元 <i>g</i> に対して <i>gNg</i><sup>−1</sup> = <i>N</i> を満たすとき、<i>N</i> を<i>G</i>の<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="正規部分群">正規部分群</a>といい、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\triangleleft G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo>◃</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\triangleleft G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0e9c0a7a5a195165b7f0916b460aae7b697585" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.085ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N\triangleleft G}"></span> または <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\triangleright N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>▹</mo> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\triangleright N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4070110c5ca0dfe9909b168468027408cbf6a77a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.085ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G\triangleright N}"></span> と書く。 </p><p>アーベル群 <i>G</i> の任意の部分群は正規部分群である。また、自明でない群 <i>G</i> が自身と自明な部分群しか正規部分群を持たないとき、<i>G</i> は<a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4" title="単純群">単純群</a>であるという。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="剰余類・剰余群"><span id=".E5.89.B0.E4.BD.99.E9.A1.9E.E3.83.BB.E5.89.B0.E4.BD.99.E7.BE.A4"></span>剰余類・剰余群</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=7" title="節を編集: 剰余類・剰余群"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>部分群 <i>H</i> と <i>G</i> の元 <i>g</i> について、<i>gH</i> はある <i>G</i> の部分集合になる。2 つの <i>g</i>, <i>g' </i> について <i>gH</i>, <i>g'H</i> は全く一致するか交わらないかのいずれかである。従って、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=\bigsqcup _{\lambda \in \Lambda }g_{\lambda }H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>⨆</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>λ</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>λ</mi> </mrow> </msub> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=\bigsqcup _{\lambda \in \Lambda }g_{\lambda }H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984b6103bbf2bbcd5c81c74275c6ccec45f6f6ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:12.871ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle G=\bigsqcup _{\lambda \in \Lambda }g_{\lambda }H}"></span></dd></dl> <p>と<a href="/wiki/%E5%92%8C%E9%9B%86%E5%90%88#定義" title="和集合">非交和</a>に書き表せる。それぞれの <i>gH</i> を（<i>H</i> を法とする <i>g</i> の属する <i>G</i> の） <b><a href="/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E9%A1%9E" title="剰余類">剰余類</a></b>（または傍系）という。|<i>gH</i>| = |<i>H</i>| が成り立つので結局 |<i>G</i>| = |Λ||<i>H</i>| が成り立つ。<i>G</i> が有限群ならばこれは <i>H</i> の位数が <i>G</i> の位数を割り切るということをいっている（<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)" title="ラグランジュの定理 (群論)">ラグランジュの定理</a>）。特に素数位数の群は<a href="/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4" title="巡回群">巡回群</a>である。|Λ| を [<i>G</i> : <i>H</i>] とか (<i>G</i> : <i>H</i>) などと書いて <i>H</i> の（<i>G</i> に対する）<b><a href="/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)" class="mw-redirect" title="指数 (群論)">指数</a></b>という。指数 1 の部分群はもとの群であり、指数 2 の部分群は常に正規部分群である。 </p><p><i>N</i> を正規部分群とするとき <i>gN</i> = <i>Ng</i> が成り立つ。すると、二つの剰余類 <i>gN</i>, <i>hN</i> について <i>gN</i> · <i>hN</i> = <i>ghNN</i> = <i>ghN</i> が成り立ち、剰余類の間に演算を定義することができる。ここからすぐにこの剰余類全体は群を成すことが分かる。この群を <i>G</i> の <i>N</i> による<b><a href="/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="剰余群">剰余群</a></b>または<b>商群</b>といい、<i>G</i>/<i>N</i> と表す。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="群の準同型・同型"><span id=".E7.BE.A4.E3.81.AE.E6.BA.96.E5.90.8C.E5.9E.8B.E3.83.BB.E5.90.8C.E5.9E.8B"></span>群の準同型・同型</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=8" title="節を編集: 群の準同型・同型"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>群 <i>G</i><sub>1</sub> から群 <i>G</i><sub>2</sub> への写像 <i>f</i> が任意の <i>G</i><sub>1</sub> の元 <i>g</i>, <i>g' </i> について <i>f</i>(<i>gg' </i>) = <i>f</i>(<i>g</i>)<i>f</i>(<i>g' </i>) を満たすとき、<i>f</i> を<b><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="群準同型">準同型</a></b>（写像）という。（<i>G</i><sub>1</sub> = <i>G</i><sub>2</sub>のときは特に<b>自己準同型</b>という。）さらに準同型 <i>f</i> が<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%8D%98%E5%B0%84" title="全単射">全単射</a>であれば、<i>f</i> を<b>同型</b>（写像）という。<i>G</i><sub>1</sub> から <i>G</i><sub>2</sub> への同型が存在するとき、<i>G</i><sub>1</sub> と <i>G</i><sub>2</sub> は同型であるといい、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{1}\simeq G_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>≃</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{1}\simeq G_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd79b391af122b70ecb453d0eaa6ea4b0e433b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.86ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G_{1}\simeq G_{2}}"></span>　あるいは　<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{1}\cong G_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>≅</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{1}\cong G_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f8f205e05389478fe8b1c53c2c3ffa11c9b1eb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.86ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G_{1}\cong G_{2}}"></span></dd></dl> <p>と表す。2つの群 <i>G</i><sub>1</sub>, <i>G</i><sub>2</sub> とその間の準同型写像 <i>f</i>: <i>G</i><sub>1</sub> → <i>G</i><sub>2</sub> に対し、準同型 <i>f</i> の<a href="/wiki/%E6%A0%B8_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="核 (代数学)">核</a> Ker <i>f</i> は <i>G</i><sub>1</sub> の正規部分群である。このとき <i>f</i> の像 Im <i>f</i> は <i>G</i> を <i>f</i> の核 Ker <i>f</i> で割った剰余群に同型である： </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{1}/\mathrm {Ker} \,f\simeq \mathrm {Im} \,f.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">K</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>f</mi> <mo>≃</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">I</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>f</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{1}/\mathrm {Ker} \,f\simeq \mathrm {Im} \,f.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3da6b8a3d7eeb08de05d1bad9c8890a41dd885a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.648ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G_{1}/\mathrm {Ker} \,f\simeq \mathrm {Im} \,f.}"></span></dd></dl> <p>これを（群の）<b><a href="/wiki/%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B%E5%AE%9A%E7%90%86" title="準同型定理">準同型定理</a></b>（特に<a href="/wiki/%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%90%8C%E5%9E%8B%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="第一同型定理">第一同型定理</a>）という。 </p><p>群 <i>G</i> の自己同型（<i>G</i> から <i>G</i> への同型写像）全体の成す集合を Aut(<i>G</i>) と表すと、 Aut(<i>G</i>) は写像の合成を積として群となる。Aut(<i>G</i>) を <i>G</i> の<b><a href="/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="自己同型群">自己同型群</a></b>と呼ぶ。 </p><p>群 <i>G</i> の任意の元 <i>g</i> に対し、写像 <i>A</i><sub><i>g</i></sub>: <i>G</i> → <i>G</i> を </p> <dl><dd><i>A</i><sub><i>g</i></sub>(<i>x</i>) = <i>gxg</i><sup>−1</sup> (for all <i>x</i> ∈ <i>G</i>)</dd></dl> <p>で定めると、この写像は <i>G</i> の自己同型を定める。この形で得られる自己同型を <i>G</i> の<b><a href="/wiki/%E5%86%85%E9%83%A8%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="内部自己同型">内部自己同型</a></b>と呼び、<i>G</i> の内部自己同型全体の成す集合を Inn(<i>G</i>) と表す。Inn(<i>G</i>) は Aut(<i>G</i>) の正規部分群であり、Inn(<i>G</i>) を <i>G</i> の<a href="/wiki/%E5%86%85%E9%83%A8%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="内部自己同型群">内部自己同型群</a>と呼ぶ。さらに剰余群 Out(<i>G</i>) = Aut(<i>G</i>)/Inn(<i>G</i>) を<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%A4%96%E9%83%A8%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「外部自己同型群」 (存在しないページ)">外部自己同型群</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Outer_automorphism_group" class="extiw" title="en:Outer automorphism group">英語版</a>）</span></span>とよび、その元を外部自己同型という。群 <i>G</i> の部分群 <i>N</i> が正規部分群であることと、<i>N</i> が <i>G</i> の任意の内部自己同型で不変であることは同値である。さらに <i>N</i> が Aut(<i>G</i>) の作用で不変なら <i>N</i> は <i>G</i> の<b><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%80%A7%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="特性部分群">特性部分群</a></b>であるという。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="共役"><span id=".E5.85.B1.E5.BD.B9"></span>共役</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=9" title="節を編集: 共役"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>群 <i>G</i> の二つの元 <i>x</i>, <i>y</i> に対し、<i>y</i> = <i>A</i><sub><i>g</i></sub>(<i>x</i>) = <i>gxg</i><sup>−1</sup> となる <i>g</i> ∈ <i>G</i> が存在するとき、<i>x</i> と <i>y</i> は互いに<b>共役</b>（<a href="/wiki/%E5%85%B1%E8%BB%9B" class="mw-redirect mw-disambig" title="共軛">共軛</a>ともかく）であるという。同様に、部分群 <i>H</i>, <i>K</i> に対し、<i>H</i> = <i>gKg</i><sup>−1</sup> となる <i>g</i> ∈ <i>G</i> が存在するなら、二つの部分群 <i>H</i>, <i>K</i> は互いに共役であるという。共役であるという関係は群 <i>G</i> の<a href="/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82" title="同値関係">同値関係</a>である。群 <i>G</i> を共役という同値関係で類別したときの同値類を<b><a href="/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%B9%E9%A1%9E" title="共役類">共役類</a></b>という。有限群 <i>G</i> をその共役類 Cl<sub>1</sub>, ..., Cl<sub><i>n</i></sub> に類別すれば、位数に関して次の等式 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |G|=\sum _{k}|\mathrm {Cl} _{k}|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> <mi mathvariant="normal">l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |G|=\sum _{k}|\mathrm {Cl} _{k}|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597d54fce25fcd0758011e064708fa8490537f3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.668ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle |G|=\sum _{k}|\mathrm {Cl} _{k}|}"></span></dd></dl> <p>を考えることができる。これを<a href="/wiki/%E9%A1%9E%E7%AD%89%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="類等式">類等式</a>と呼ぶ。<i>G</i> の元 <i>x</i> がその中心 <i>Z</i>(<i>G</i>) に属することと <i>x</i> の属する共役類が {<i>x</i>} なる一元集合であることとは（中心の定義から直ちにわかるように）同値であり、2 個以上の元からなる共役類の全体を <i>C</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>2</sub>, ..., <i>C</i><sub><i>r</i></sub> とすれば、類等式は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i=1}^{r}|C_{i}|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i=1}^{r}|C_{i}|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31bb09f10dd06c2386d4e4f4a2159df729eb1d6e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:23.167ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i=1}^{r}|C_{i}|}"></span></dd></dl> <p>の形に書くことができる。有限群 <i>G</i> が<a href="/wiki/P%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="P群"> <i>p</i>-群</a>（位数が <i>p</i> の冪であるような群）ならば、その中心が自明群でないことは類等式から直ちにわかる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="中心・中心化群・正規化群"><span id=".E4.B8.AD.E5.BF.83.E3.83.BB.E4.B8.AD.E5.BF.83.E5.8C.96.E7.BE.A4.E3.83.BB.E6.AD.A3.E8.A6.8F.E5.8C.96.E7.BE.A4"></span>中心・中心化群・正規化群</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=10" title="節を編集: 中心・中心化群・正規化群"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>群 <i>G</i> のすべての元と可換な <i>G</i> の元の全体を <i>Z</i>(<i>G</i>) や <i>C</i>(<i>G</i>) などと書いて、<i>G</i> の<b><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E4%B8%AD%E5%BF%83" title="群の中心">中心</a></b>という。群 <i>G</i> とその部分集合 <i>S</i> に対し、<i>G</i> の部分集合 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{G}(S)=\{g\in G\mid sg=gs\ (\forall s\in S)\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>G</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>g</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>∣</mo> <mi>s</mi> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>s</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{G}(S)=\{g\in G\mid sg=gs\ (\forall s\in S)\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ed0d5f1ead77c699e0800f63ec8c3409152a2c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.262ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{G}(S)=\{g\in G\mid sg=gs\ (\forall s\in S)\}}"></span></dd></dl> <p>は <i>S</i> をその中心に含む <i>G</i> の部分群となる。この群 <i>C</i><sub><i>G</i></sub>(<i>S</i>) を <i>S</i> の <i>G</i> における<b><a href="/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%8C%96%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="中心化群">中心化群</a></b>という。<i>S</i> が一元集合 {<i>x</i>} であるとき、<i>C</i><sub><i>G</i></sub>({<i>x</i>}) を <i>C</i><sub><i>G</i></sub>(<i>x</i>) と略記する。<i>G</i> の各元 <i>x</i> に対して、その中心化群 <i>C</i><sub><i>G</i></sub>(<i>x</i>) の <i>G</i> に対する指数 [<i>G</i> : <i>C</i><sub><i>G</i></sub>(<i>x</i>)] は <i>x</i> の属する共役類の位数に等しい。 </p><p>群 <i>G</i> の部分集合 <i>S</i> に対して、<i>G</i> の部分集合 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{G}(S)=\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>G</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>g</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>∣</mo> <mi>g</mi> <mi>S</mi> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>S</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{G}(S)=\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac1079f4950f8d84f28ace679b3e7bb96f17f3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.507ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle N_{G}(S)=\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\}}"></span></dd></dl> <p>は（<i>S</i> が部分群でなくとも）<i>G</i> の部分群となる。この <i>N</i><sub><i>G</i></sub>(<i>S</i>) を <i>S</i> の <i>G</i> における<b><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%8C%96%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="正規化群">正規化群</a></b>と呼ぶ。<i>H</i> が群 <i>G</i> の部分群であるときは、その正規化群 <i>N</i><sub><i>G</i></sub>(<i>H</i>) は <i>H</i> を含む。また <i>H</i> は正規化群 <i>N</i><sub><i>G</i></sub>(<i>H</i>) の正規部分群である。これを、<i>N</i><sub><i>G</i></sub>(<i>H</i>) は <i>H</i> を<b>正規化</b> (normalize) するといい表す。一般に <i>G</i> のふたつの部分群 <i>H</i><sub>1</sub>, <i>H</i><sub>2</sub> に対し、<i>H</i><sub>1</sub> が <i>H</i><sub>2</sub> を正規化するとは、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle hH_{2}h^{-1}=H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle hH_{2}h^{-1}=H_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a9ef6ec9fd83a4d3e91230980e3ac307be469e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.08ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle hH_{2}h^{-1}=H_{2}}"></span></dd></dl> <p>が <i>H</i><sub>1</sub> のどの <i>h</i> についても成立することを言う。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="可解群・交換子群・冪零群"><span id=".E5.8F.AF.E8.A7.A3.E7.BE.A4.E3.83.BB.E4.BA.A4.E6.8F.9B.E5.AD.90.E7.BE.A4.E3.83.BB.E5.86.AA.E9.9B.B6.E7.BE.A4"></span>可解群・交換子群・冪零群</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=11" title="節を編集: 可解群・交換子群・冪零群"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Hierarchy_of_finite_groups.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Hierarchy_of_finite_groups.svg/300px-Hierarchy_of_finite_groups.svg.png" decoding="async" width="300" height="208" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Hierarchy_of_finite_groups.svg/450px-Hierarchy_of_finite_groups.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Hierarchy_of_finite_groups.svg/600px-Hierarchy_of_finite_groups.svg.png 2x" data-file-width="412" data-file-height="285" /></a><figcaption>基本的な有限群のクラスがなす階層</figcaption></figure> <p>群 <i>G</i> が、<i>G</i> の部分群の有限列 <i>G</i><sub>0</sub>, <i>G</i><sub>1</sub>, ..., <i>G</i><sub><i>n</i></sub> で 2 条件 </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{e\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dotsb \triangleleft G_{n-1}\triangleleft G_{n}=G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>e</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>◃</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>◃</mo> <mo>⋯</mo> <mo>◃</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>◃</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{e\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dotsb \triangleleft G_{n-1}\triangleleft G_{n}=G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a657999de501f3c0663cf9df3c96645e29125d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.887ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{e\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dotsb \triangleleft G_{n-1}\triangleleft G_{n}=G}"></span></li> <li><i>G</i><sub><i>i</i>+1</sub>/<i>G</i><sub><i>i</i></sub> (0 ≤ <i>i</i> < <i>n</i>) は全てアーベル群</li></ul> <p>を満たすもの（アーベル的正規列）を持つとき、<i>G</i> は<b><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4" title="可解群">可解群</a></b>であるという。 </p><p>最小位数の非可解群は5次の<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E7%BE%A4" title="交代群">交代群</a> <i>A</i><sub>5</sub> である。 </p><p>奇数位数の有限群はすべて可解であることが、<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BBG%E3%83%BB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%83%97%E3%82%BD%E3%83%B3" title="ジョン・G・トンプソン">ジョン・G・トンプソン</a>らによって証明されている（<a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%83%97%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ファイト・トンプソンの定理」 (存在しないページ)">ファイト・トンプソンの定理</a>）。トンプソンはこの業績により<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E8%B3%9E" title="フィールズ賞">フィールズ賞</a>を受けた。 </p><p><a href="/wiki/%E6%A8%99%E6%95%B0" title="標数">標数</a> 0 の体上において、代数方程式が代数的に可解となることと、その方程式の<a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%BE%A4" title="ガロア群">ガロア群</a>が可解群となることは同値である（一般の正標数では同値にならない）。このことが可解群の名の由来である。また、4 次以下の交代群は可解であるのに対し、5 次の<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4" title="対称群">交代群</a> <i>A</i><sub>5</sub> は可解でなく、したがってそれは「5 次の一般代数方程式はべき根のみによって解くことは出来ない」という命題の証明となる。 </p><p>また、可解群の定義は次のように述べることもできる（上の定義と同値）： </p><p><i>G</i> の部分群 <i>D</i>(<i>G</i>) を </p> <dl><dd><i>D</i>(<i>G</i>) = ⟨ <i>xyx</i><sup>−1</sup><i>y</i><sup>−1</sup> | <i>x</i>, <i>y</i> ∈ <i>G</i> ⟩</dd></dl> <p>と定め、<i>H</i><sub>1</sub> = <i>D</i>(<i>G</i>), <i>H</i><sub>2</sub> = <i>D</i>(<i>H</i><sub>1</sub>), ... と帰納的に <i>G</i> の部分群 <i>H</i><sub><i>i</i></sub> を定めるとき、<i>H</i><sub><i>r</i></sub> = {<i>e</i>} となる自然数 <i>r</i> が存在するならば <i>G</i> を可解群と呼ぶ。 </p><p>一般に、<i>xyx</i><sup>−1</sup><i>y</i><sup>−1</sup> を <i>x</i> と <i>y</i> の<b><a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%AD%90" title="交換子">交換子</a></b>と呼び、[<i>x</i>, <i>y</i>] であらわす。さらに <i>G</i> の部分群 <i>H</i>, <i>K</i> に対し、[<i>h</i>, <i>k</i>] (<i>h</i> ∈ <i>H</i>, <i>k</i> ∈ <i>K</i>) の形の元で<a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E7%94%9F%E6%88%90%E7%B3%BB" title="群の生成系">生成</a>される <i>G</i> の部分群を [<i>H</i>, <i>K</i>] で表し、<i>H</i> と <i>K</i> の<b><a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%AD%90%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="交換子群">交換子群</a></b>という。 </p><p>この記号を用いれば、<i>D</i>(<i>G</i>) = [<i>G</i>, <i>G</i>] であり、これを <i>G</i> の<b><a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%AD%90%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="交換子群">交換子群</a></b>と呼ぶ。<i>D</i>(<i>G</i>) は <i>G</i> の<a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%80%A7%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="特性部分群">特性部分群</a>、したがって特に正規部分群である。すぐに分かるように、<i>D</i>(<i>G</i>) = {<i>e</i>} は <i>G</i> がアーベル群となることに同値である。したがって、剰余群 <i>G</i>/<i>H</i> がアーベル群となるなら <i>H</i> ⊇ <i>D</i>(<i>G</i>) であり、自然に <i>G</i>/<i>H</i> ⊆ <i>G</i>/<i>D</i>(<i>G</i>) と見なせるので、<i>G</i>/<i>D</i>(<i>G</i>) は <i>G</i> の剰余アーベル群の中で最大のものになる。よって <i>G</i>/<i>D</i>(<i>G</i>) を <i>G</i> の<b>最大剰余アーベル群</b>あるいは <i>G</i> の<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E5%8C%96" class="mw-redirect" title="アーベル化">アーベル化</a>、アーベル商などと呼ぶ。 </p><p>次の2つの同値な条件を満たす群を<b><a href="/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%B6%E7%BE%A4" title="冪零群">冪零群</a></b> という。 </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{1}(G)=[G,G]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{1}(G)=[G,G]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a1f4dc0402f92aa0caf657565d5ee6ea0efc84" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.223ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{1}(G)=[G,G]}"></span> とし、以下 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{i+1}(G)=[G,\Gamma _{i}(G)]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{i+1}(G)=[G,\Gamma _{i}(G)]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d8ede77139b83f644a2dcae2ff377fd081b335" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.13ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{i+1}(G)=[G,\Gamma _{i}(G)]}"></span> と定めるとき、ある <i>r</i> が存在して <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{r}=\{e\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>e</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{r}=\{e\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69002587899d6635f4eae85aba0bca92fa361ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.933ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{r}=\{e\}}"></span> となる。</li> <li><i>G</i> の部分群の列</li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{e\}=G_{0}<G_{1}<\cdots <G_{n}=G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>e</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo><</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo><</mo> <mo>⋯</mo> <mo><</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{e\}=G_{0}<G_{1}<\cdots <G_{n}=G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd44ccf6a262288941e85eb0084a4b3d1121005" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.258ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{e\}=G_{0}<G_{1}<\cdots <G_{n}=G}"></span></dd></dl></dd> <dd>であって、各 <i>G</i><sub><i>i</i></sub> が <i>G</i> の正規部分群であり、<i>G</i><sub><i>i</i></sub>/<i>G</i><sub><i>i</i> − 1</sub> が <i>G</i>/<i>G</i><sub><i>i</i> − 1</sub> の中心に含まれるようなものが存在する。</dd></dl> <p>可換群および有限 <i>p</i> 群はべき零群である。また、べき零群は可解群である。 </p><p><b>可解性・べき零性の遺伝</b>：べき零群の部分群および剰余群はべき零群である。可解群の部分群および剰余群は可解群である。逆に <i>G</i> の正規部分群 <i>N</i> と剰余群 <i>G</i>/<i>N</i> がともに可解群なら <i>G</i> は可解群である。（べき零群の場合には同様の主張は成り立たない。） </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="群の直積と半直積"><span id=".E7.BE.A4.E3.81.AE.E7.9B.B4.E7.A9.8D.E3.81.A8.E5.8D.8A.E7.9B.B4.E7.A9.8D"></span>群の直積と半直積</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=12" title="節を編集: 群の直積と半直積"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>群 <i>G</i> と群 <i>H</i> に対し、その直積集合 <i>G</i> × <i>H</i> 上に </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (g_{1},h_{1})(g_{2},h_{2})=(g_{1}g_{2},h_{1}h_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g_{1},h_{1})(g_{2},h_{2})=(g_{1}g_{2},h_{1}h_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e46980c22a544d75d1074ff32d441df82f394a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.854ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (g_{1},h_{1})(g_{2},h_{2})=(g_{1}g_{2},h_{1}h_{2})}"></span></dd></dl> <p>という積を定めることで群となる。これを群の（外部）<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="直積群"><b>直積</b></a>または構成的直積という。また、群 <i>G</i> がその部分群 <i>H</i><sub>1</sub>, <i>H</i><sub>2</sub> の（内部）直積である、あるいは直積に分解されるとは、以下の条件 </p> <ol><li><i>H</i><sub>1</sub> と <i>H</i><sub>2</sub> は <i>G</i> の部分群で <i>G</i> = <i>H</i><sub>1</sub><i>H</i><sub>2</sub> = {<i>h</i><sub>1</sub><i>h</i><sub>2</sub> | <i>h</i><sub>1</sub> ∈ <i>H</i><sub>1</sub>, <i>h</i><sub>2</sub> ∈ <i>H</i><sub>2</sub>} が成り立つ。</li> <li><i>H</i><sub>1</sub> ∩ <i>H</i><sub>2</sub> = {1<sub><i>G</i></sub>}, ただし 1<sub><i>G</i></sub> は <i>G</i> の単位元。</li> <li><i>H</i><sub>1</sub> の元と <i>H</i><sub>2</sub> の元は可換である。</li></ol> <p>がすべて満たされることをいう。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=H_{1}\times H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=H_{1}\times H_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/889f97285288e7d6e8ebeee2e8c9c3017bfaffd1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.737ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G=H_{1}\times H_{2}}"></span></dd></dl> <p>で表す。右辺の直積を構成的直積と呼ぶこともある。<i>G</i> の部分群という構造を落として、<i>H</i><sub>1</sub>, <i>H</i><sub>2</sub> の外部直積をつくったものと内部直積とは、二つの自然な埋め込み </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\to H_{1}\times H_{2};\ h\mapsto (h,1_{g}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <mtext> </mtext> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <msub> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\to H_{1}\times H_{2};\ h\mapsto (h,1_{g}),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/093c9e8312334ae9f9a6d313a5e720256b1b377f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:28.991ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\to H_{1}\times H_{2};\ h\mapsto (h,1_{g}),}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{2}\to H_{1}\times H_{2};\ h\mapsto (1_{g},h)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <mtext> </mtext> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{2}\to H_{1}\times H_{2};\ h\mapsto (1_{g},h)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e80eec8623bfe20876c547f0d051a2f74549714" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:28.345ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle H_{2}\to H_{1}\times H_{2};\ h\mapsto (1_{g},h)}"></span></dd></dl> <p>をそれぞれ同一視することで本質的に同じものであることがわかる。 </p><p>群 <i>H</i> と群 <i>N</i> と準同型写像 <i>f</i>: <i>H</i> → Aut(<i>N</i>) が与えられているとき、直積集合 <i>N</i> × <i>H</i> 上に </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n_{1},h_{1})(n_{2},h_{2})=(n_{1}f(h_{1})(n_{2}),h_{1}h_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n_{1},h_{1})(n_{2},h_{2})=(n_{1}f(h_{1})(n_{2}),h_{1}h_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b3777d4d76bdd3724a4cbcb9d38edb45867c29" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.287ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n_{1},h_{1})(n_{2},h_{2})=(n_{1}f(h_{1})(n_{2}),h_{1}h_{2})}"></span></dd></dl> <p>で積を定めると群となる。これを <i>H</i> と <i>N</i> の <i>f</i> による<b><a href="/wiki/%E5%8D%8A%E7%9B%B4%E7%A9%8D" title="半直積">半直積</a></b>といい、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=N\rtimes H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo>⋊</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=N\rtimes H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e88cf0169ffa6973fdcea1a8fc8c0ffe9b6ced" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.893ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G=N\rtimes H}"></span></dd></dl> <p>で表す。なお、この群で <i>N</i> は正規部分群となる。<a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7" title="群の拡大">群の拡大</a>も参照。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="有限群"><span id=".E6.9C.89.E9.99.90.E7.BE.A4"></span>有限群</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=13" title="節を編集: 有限群"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4#主要な定理" title="有限群">有限群 § 主要な定理</a>」を参照</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="有限アーベル群の基本定理"><span id=".E6.9C.89.E9.99.90.E3.82.A2.E3.83.BC.E3.83.99.E3.83.AB.E7.BE.A4.E3.81.AE.E5.9F.BA.E6.9C.AC.E5.AE.9A.E7.90.86"></span>有限アーベル群の基本定理</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=14" title="節を編集: 有限アーベル群の基本定理"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4%E3%81%AE%E6%A7%8B%E9%80%A0%E5%AE%9A%E7%90%86" title="有限アーベル群の構造定理">有限アーベル群の構造定理</a>」を参照</div> <p><i>G</i> を有限可換群とすると、2以上の整数 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{1}|e_{2}|\cdots |e_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>⋯</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{1}|e_{2}|\cdots |e_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3270be2288bad83b6590ef7cb420fac5993d1a78" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.015ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle e_{1}|e_{2}|\cdots |e_{n}}"></span></dd></dl> <p>が存在して、<i>G</i> は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\cong \mathbb {Z} /e_{1}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /e_{n}\mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>≅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mo>⋯</mo> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\cong \mathbb {Z} /e_{1}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /e_{n}\mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/399d93f507bfda8d6ababfb0c8e073ced7fe4c0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.295ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G\cong \mathbb {Z} /e_{1}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /e_{n}\mathbb {Z} }"></span></dd></dl> <p>と巡回群の直積に分解する。このような <i>e</i><sub><i>i</i></sub> たちは一意的に定まる。 </p><p>また、素数 <i>p</i><sub>1</sub>, ..., <i>p</i><sub><i>r</i></sub>（重複してもよい）と、正の整数 <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a</i><sub><i>r</i></sub> が存在して、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{r}^{a_{r}}\mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>≅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mo>⋯</mo> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{r}^{a_{r}}\mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9017d67bb5fb7c9c595ab0b02a7ca307fbcddae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:27.996ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle G\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{r}^{a_{r}}\mathbb {Z} }"></span></dd></dl> <p>と素数べき位数の巡回群の直積に分解する。このとき、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {p_{1}^{a_{1}},p_{2}^{a_{2}},\cdots ,p_{r}^{a_{r}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {p_{1}^{a_{1}},p_{2}^{a_{2}},\cdots ,p_{r}^{a_{r}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa83004e727148a9461984d7261fb5d7077b3331" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:15.545ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {p_{1}^{a_{1}},p_{2}^{a_{2}},\cdots ,p_{r}^{a_{r}}}}"></span> は順序の差を除き一意的に定まる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="コーシーの定理"><span id=".E3.82.B3.E3.83.BC.E3.82.B7.E3.83.BC.E3.81.AE.E5.AE.9A.E7.90.86"></span>コーシーの定理</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=15" title="節を編集: コーシーの定理"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)" title="コーシーの定理 (群論)">コーシーの定理 (群論)</a>」を参照</div> <p>有限群 <i>G</i> の位数 |<i>G</i>| の素因数を <i>p</i> とするとき、位数 <i>p</i> をもつ <i>G</i> の元が存在する<sup id="cite_ref-FOOTNOTERobinson19961.6.17_(Cauchy&#039;s_Theorem)_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTERobinson19961.6.17_(Cauchy&#039;s_Theorem)-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="シローの定理"><span id=".E3.82.B7.E3.83.AD.E3.83.BC.E3.81.AE.E5.AE.9A.E7.90.86"></span>シローの定理</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=16" title="節を編集: シローの定理"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="シローの定理">シローの定理</a>」を参照</div> <p>素数 <i>p</i> が与えられているとき、有限群 <i>G</i> の位数を |<i>G</i>| = <i>p<sup>a</sup>m</i> （ただし <i>m</i> は <i>p</i> と<a href="/wiki/%E4%BA%92%E3%81%84%E3%81%AB%E7%B4%A0_(%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96)" title="互いに素 (整数論)">互いに素</a>）と表す。このとき位数 <i>p<sup>a</sup></i> の <i>G</i> の部分群を <i>p</i>-<b><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%BC%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="シロー部分群">シロー部分群</a></b>という。<i>p</i>-シロー部分群について以下が成り立つ<sup id="cite_ref-FOOTNOTERobinson19961.6.16_(Sylow&#039;s_Theorem)_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTERobinson19961.6.16_(Sylow&#039;s_Theorem)-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <ol><li><i>G</i> のどの <i>p</i>-部分群も、ある位数 <i>p</i><sup><i>a</i></sup> の部分群に含まれる。特に <i>p</i>-シロー部分群は存在する</li> <li>相異なる <i>p</i>-シロー部分群の個数 <i>n<sub>p</sub></i> は <i>p</i> を法として 1 と<a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%90%88%E5%90%8C" title="整数の合同">合同</a>である： <i>n<sub>p</sub></i> ≡ 1 mod <i>p</i></li> <li>任意の <i>p</i>-シロー部分群は <i>G</i> 内で互いに共役である</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="シューア・ツァッセンハウスの定理"><span id=".E3.82.B7.E3.83.A5.E3.83.BC.E3.82.A2.E3.83.BB.E3.83.84.E3.82.A1.E3.83.83.E3.82.BB.E3.83.B3.E3.83.8F.E3.82.A6.E3.82.B9.E3.81.AE.E5.AE.9A.E7.90.86"></span>シューア・ツァッセンハウスの定理</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=17" title="節を編集: シューア・ツァッセンハウスの定理"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%A2%E2%80%93%E3%83%84%E3%82%A1%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「シューア–ツァッセンハウスの定理」 (存在しないページ)">シューア–ツァッセンハウスの定理</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Schur%E2%80%93Zassenhaus_theorem" class="extiw" title="en:Schur–Zassenhaus theorem">英語版</a>）</span></span>」を参照</div> <p><i>N</i> を有限群 <i>G</i> の正規部分群とし、|<i>N</i>| と |<i>G:N</i>| が互いに素であるとき、<i>G</i> の部分群 <i>C</i> が存在して、<i>G</i> は <i>N</i> と <i>C</i> の半直積となる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="バーンサイドの_paqb_定理"><span id=".E3.83.90.E3.83.BC.E3.83.B3.E3.82.B5.E3.82.A4.E3.83.89.E3.81.AE_paqb_.E5.AE.9A.E7.90.86"></span>バーンサイドの <i>p<sup>a</sup>q<sup>b</sup></i> 定理</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=18" title="節を編集: バーンサイドの paqb 定理"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><i>p</i>, <i>q</i> を素数とするとき、位数 <i>p<sup>a</sup>q<sup>b</sup></i> の有限群は可解である<sup id="cite_ref-FOOTNOTEDoerkHawkes1992210_7-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEDoerkHawkes1992210-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="有限べき零群の構造定理"><span id=".E6.9C.89.E9.99.90.E3.81.B9.E3.81.8D.E9.9B.B6.E7.BE.A4.E3.81.AE.E6.A7.8B.E9.80.A0.E5.AE.9A.E7.90.86"></span>有限べき零群の構造定理</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=19" title="節を編集: 有限べき零群の構造定理"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>有限べき零群はそのシロー部分群の直積に同型である<sup id="cite_ref-FOOTNOTERobinson19965.2.4_8-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTERobinson19965.2.4-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="歴史"><span id=".E6.AD.B4.E5.8F.B2"></span>歴史</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=20" title="節を編集: 歴史"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>群の概念が初めてはっきりと取り出されたのは、<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2" title="エヴァリスト・ガロア">エヴァリスト・ガロア</a>による根の置換群を用いた代数方程式の研究だとされている。 </p><p>16世紀中頃に、<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%AD%E3%83%A9%E3%83%A2%E3%83%BB%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%8E" title="ジェロラモ・カルダーノ">ジェロラモ・カルダーノ</a>、<a href="/wiki/%E3%83%AB%E3%83%89%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%B3%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%AA" title="ルドヴィコ・フェラーリ">ルドヴィコ・フェラーリ</a>らによって<a href="/wiki/%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="四次方程式">四次方程式</a>までは<a href="/wiki/%E5%86%AA%E6%A0%B9" title="冪根">冪根</a>による解の公式が得られていたが、5 次以上の方程式に解の公式が存在するのかどうかはわかっていなかった。その後18世紀後半になって<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%82%BC%E3%83%95%EF%BC%9D%E3%83%AB%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5" title="ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ">ラグランジュ</a>によって代数方程式の解法が根の置換と関係していることが見出された。（「<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)" title="ラグランジュの定理 (群論)">ラグランジュの定理</a>」にその名が残っているのはこのためである。）19世紀に入り、ルフィニや<a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB" title="ニールス・アーベル">ニールス・アーベル</a>によって五次以上の方程式にはべき根による解の公式が存在しないことが示された。 </p><p>ガロアは、より一般に任意の代数方程式について根が方程式の係数から加減乗除や冪根の操作によって得られるかどうかという問題を、方程式のガロア群の<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3" class="mw-disambig" title="可解">可解</a>性という性質に帰着した。ガロアの研究に端を発する群を用いた代数方程式の理論は今では<a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96" title="ガロア理論">ガロア理論</a>と呼ばれている。 </p><p>ガロア理論によれば五次以上の代数方程式の非可解性は交代群が単純であることによって説明される。このような有限単純群の分類は<a href="/wiki/20%E4%B8%96%E7%B4%80" title="20世紀">20世紀</a>に大きく発展し、1980年代までにいくつかの系列と26の例外からなる有限単純群の同型類のリストアップが完成した。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="特殊な応用例"><span id=".E7.89.B9.E6.AE.8A.E3.81.AA.E5.BF.9C.E7.94.A8.E4.BE.8B"></span>特殊な応用例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=21" title="節を編集: 特殊な応用例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>抽象的な群の概念を考えることによって古典的な数学の対象とは異なるものに群の言葉を導入することができるようになる。文化人類学に群の理論が応用された例として、<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AC%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%A6" title="アンドレ・ヴェイユ">アンドレ・ヴェイユ</a>によるムルンギン族の<a href="/wiki/%E5%A9%9A%E5%A7%BB" class="mw-redirect" title="婚姻">婚姻</a>体系の解析が挙げられる。<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%AA%E3%82%A2" title="オーストラリア">オーストラリア</a>・<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%9C%E3%83%AA%E3%82%B8%E3%83%8B" title="アボリジニ">アボリジニ</a>のムルンギン族は独特の婚姻体系を持っており、結婚が許される間柄や許されない間柄を定める規則が<a href="/wiki/%E8%A5%BF%E6%B4%8B" title="西洋">西洋</a>や<a href="/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC" title="日本">日本</a>のものとは全く異なっていた。文化人類学の研究では婚姻関係の規則を列挙して述べるのが普通だったが、ムルンギン族の体系は厳密だがとても複雑なもので、そうした手法による理解は困難に思われた。<a href="/wiki/1945%E5%B9%B4" title="1945年">1945年</a>に<a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%EF%BC%9D%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%82%B9" title="クロード・レヴィ＝ストロース">クロード・レヴィ＝ストロース</a>からこの話を聞いた<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AC%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%A6" title="アンドレ・ヴェイユ">アンドレ・ヴェイユ</a>は、許される婚姻の型を決定する規則が群をなしていることなどを発見し、群論を活用してその体系を解明した。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=22" title="節を編集: 出典"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け"><span title="この欄の操作法">脚注の使い方</span></a>]</div> <div class="reflist" style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2; -moz-column-width: 20em; -webkit-column-width: 20em; column-width: 20em; list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-R,_p._2-1">^ <a href="#cite_ref-R,_p._2_1-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-R,_p._2_1-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFRobinson1996">Robinson 1996</a>, p. <span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=zLfkBwAAQBAJ&pg=PA2">2</a></span></span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEバーコフマクレーン1967第VI章_4._抽象群-2">^ <a href="#cite_ref-FOOTNOTEバーコフマクレーン1967第VI章_4._抽象群_2-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTEバーコフマクレーン1967第VI章_4._抽象群_2-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFバーコフマクレーン1967">バーコフ & マクレーン 1967</a>, 第VI章 4. 抽象群.</span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFMcCune1993">McCune, W.W. (1993), “Single axioms for groups and Abelian groups with various operations”, <i>Journal of Automated Reasoning</i> <b>10</b>: 1–13, <a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2FBF00881862">10.1007/BF00881862</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Single+axioms+for+groups+and+Abelian+groups+with+various+operations&rft.jtitle=Journal+of+Automated+Reasoning&rft.aulast=McCune&rft.aufirst=W.W.&rft.au=McCune%2C%26%2332%3BW.W.&rft.date=1993&rft.volume=10&rft.pages=1%E2%80%9313&rft_id=info:doi/10.1007%2FBF00881862&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTERobinson19961.3.1_(The_Subgroup_Criterion)-4"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTERobinson19961.3.1_(The_Subgroup_Criterion)_4-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFRobinson1996">Robinson 1996</a>, <span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=zLfkBwAAQBAJ&pg=PA8">1.3.1 (The Subgroup Criterion)</a></span>.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTERobinson19961.6.17_(Cauchy&#039;s_Theorem)-5"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTERobinson19961.6.17_(Cauchy&#039;s_Theorem)_5-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFRobinson1996">Robinson 1996</a>, <span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=zLfkBwAAQBAJ&pg=PA40">1.6.17 (Cauchy's Theorem)</a></span>.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTERobinson19961.6.16_(Sylow&#039;s_Theorem)-6"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTERobinson19961.6.16_(Sylow&#039;s_Theorem)_6-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFRobinson1996">Robinson 1996</a>, <span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=zLfkBwAAQBAJ&pg=PA39">1.6.16 (Sylow's Theorem)</a></span>.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEDoerkHawkes1992210-7"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTEDoerkHawkes1992210_7-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFDoerkHawkes1992">Doerk & Hawkes 1992</a>, p. <span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=E7iL1eWB1TkC&pg=PA210">210</a></span>.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTERobinson19965.2.4-8"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTERobinson19965.2.4_8-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFRobinson1996">Robinson 1996</a>, <span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=zLfkBwAAQBAJ&pg=PA130">5.2.4</a></span>.</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=23" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFバーコフマクレーン1967"><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%B3%E3%83%95" title="ガーレット・バーコフ">ガーレット・バーコフ</a>、<a href="/wiki/%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%9E%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B3" class="mw-redirect" title="ソンダース・マクレーン">ソンダース・マクレーン</a>『現代代数学概論』（改訂3版）<a href="/wiki/%E7%99%BD%E6%B0%B4%E7%A4%BE" title="白水社">白水社</a>、1967年。<a href="/wiki/%E5%9B%BD%E7%AB%8B%E5%9B%BD%E4%BC%9A%E5%9B%B3%E6%9B%B8%E9%A4%A8#電子図書館事業" title="国立国会図書館">NDLJP</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/2422244">2422244</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%A6%82%E8%AB%96&rft.aulast=%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%B3%E3%83%95&rft.au=%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%B3%E3%83%95&rft.au=%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%9E%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B3&rft.date=1967&rft.edition=%E6%94%B9%E8%A8%823%E7%89%88&rft.pub=%5B%5B%E7%99%BD%E6%B0%B4%E7%A4%BE%5D%5D&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFDoerkHawkes1992">Doerk, Klaus; Hawkes, Trevor (1992). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=E7iL1eWB1TkC"><i>Finite soluble groups</i></a>. de Gruyter Expositions in Mathematics. <b>4</b>. Walter de Gruyter & Co. <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:var(--color-success,#3a3);margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/3-11-012892-6" title="特別:文献資料/3-11-012892-6">3-11-012892-6</a>. <a href="/wiki/MathSciNet" title="MathSciNet">MR</a><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1169099">1169099</a>. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/Zentralblatt_MATH" class="mw-redirect" title="Zentralblatt MATH">Zbl</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zbmath.org/?format=complete&q=an:0753.20001">0753.20001</a><span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://books.google.co.jp/books?id=E7iL1eWB1TkC">https://books.google.co.jp/books?id=E7iL1eWB1TkC</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Finite+soluble+groups&rft.aulast=Doerk&rft.aufirst=Klaus&rft.au=Doerk%2C%26%2332%3BKlaus&rft.au=Hawkes%2C%26%2332%3BTrevor&rft.date=1992&rft.series=de+Gruyter+Expositions+in+Mathematics&rft.volume=4&rft.pub=Walter+de+Gruyter+%26+Co&rft.isbn=3-11-012892-6&rft.mr=1169099&rft_id=info:zbl/0753.20001&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.co.jp%2Fbooks%3Fid%3DE7iL1eWB1TkC&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFRobinson1996">Robinson, Derek J. 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Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Group.html">"Group"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Group&rft.aulast=Rowland&rft.aufirst=Todd&rft.au=Weisstein%2C+Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FGroup.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E7%BE%A4+%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29" class="Z3988"></span></span></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://ncatlab.org/nlab/show/group">group</a> in <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/nLab" class="extiw" title="en:nLab">nLab</a></i></li> <li><i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/Group">group</a></i> - <a href="/wiki/PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath</a>.<span class="tmpl-language-icon" style="font-size:0.95em; font-weight:bold; color:#555">（英語）</span></li> <li><a href="//www.proofwiki.org/wiki/Definition:Group" class="extiw" title="proofwiki:Definition:Group">Definition:Group</a> at <a rel="nofollow" class="external text" href="https://proofwiki.org/">ProofWiki</a></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFKargapolov,_M.I.;_Merzlyakov,_Yu.I.2001">Kargapolov, M.I.; 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Group&rft.atitle=%5B%5B%3Aen%3AEncyclopedia+of+Mathematics%7CEncyclopedia+of+Mathematics%5D%5D&rft.aulast=Kargapolov%2C+M.I.%3B+Merzlyakov%2C+Yu.I.&rft.au=Kargapolov%2C+M.I.%3B+Merzlyakov%2C+Yu.I.&rft.date=2001&rft.pub=Springer&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div class="navbox" aria-labelledby="群論" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="Template:群論"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E7%BE%A4%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:群論」 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E7%BE%A4%E8%AB%96&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E7%BE%A4%E8%AB%96&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="群論" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="群論">群論</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">具体的な群</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4" title="対称群">対称群</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="一般線型群">一般線型群</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="特殊線型群">特殊線型群</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93%E7%BE%A4" title="二面体群">二面体群</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%82%AF%E3%82%BB%E3%82%BF%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="コクセター群">コクセター群</a></li></ul> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="アーベル群">アーベル群</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4" title="巡回群">巡回群</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4" title="クラインの四元群">クラインの四元群</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="基本アーベル群">基本アーベル群</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="プリューファー群">プリューファー群</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4" title="単純群">単純群</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E7%BE%A4" title="交代群">交代群</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="射影特殊線型群">射影特殊線型群</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9E%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「マシュー群」 (存在しないページ)">マシュー群</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="モンスター群">モンスター群</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">ある性質をもつ群</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="アーベル群">アーベル群</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%94%9F%E6%88%90%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="有限生成アーベル群">有限生成アーベル群</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4" title="有限群">有限群</a></li> <li><a href="/wiki/P%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="P群">p群</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%B6%E7%BE%A4" title="冪零群">冪零群</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4" title="可解群">可解群</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E5%AE%8C%E5%85%A8%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「完全群」 (存在しないページ)">完全群</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4" title="単純群">単純群</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%81%AD%E3%81%98%E3%82%8C%E7%BE%A4" title="ねじれ群">ねじれ群</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%81%AD%E3%81%98%E3%82%8C%E3%81%AE%E3%81%AA%E3%81%84%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ねじれのない群」 (存在しないページ)">ねじれのない群</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="自由アーベル群">自由アーベル群</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E7%BE%A4" title="自由群">自由群</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%89%AF%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="副有限群">副有限群</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%BE%A4" title="位相群">位相群</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%BE%A4" title="代数群">代数群</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="リー群">リー群</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="部分群">部分群</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">ある性質をもつ部分群</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="正規部分群">正規部分群</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%80%A7%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="特性部分群">特性部分群</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">具体的な部分群</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83" title="中心">中心</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%8C%96%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="中心化群">中心化群</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%8C%96%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="正規化群">正規化群</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%AD%90%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="交換子部分群">交換子部分群</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%83%83%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%8B%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="フラッティーニ部分群">フラッティーニ部分群</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="フィッティング部分群">フィッティング部分群</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">部分群の列</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%B5%84%E6%88%90%E5%88%97" title="組成列">組成列</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%8E%E6%9D%A5%E5%88%97" class="mw-redirect" title="導来列">導来列</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83#高次の中心" title="中心">昇中心列</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E9%99%8D%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%88%97&action=edit&redlink=1" class="new" title="「降中心列」 (存在しないページ)">降中心列</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E4%BD%9C%E7%94%A8" class="mw-redirect" title="群の作用">群の作用</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">作用の種類</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E4%BD%9C%E7%94%A8#作用の種類" title="群作用">効果的</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E4%BD%9C%E7%94%A8#作用の種類" title="群作用">自由</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E4%BD%9C%E7%94%A8#作用の種類" title="群作用">推移的</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E4%BD%9C%E7%94%A8#作用の種類" title="群作用">正則</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> <ul><li><a href="/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E9%A1%9E" title="剰余類">剰余類</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="置換群">置換群</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E5%AE%9A%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="固定部分群">固定部分群</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%BB%8C%E9%81%93_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)" class="mw-redirect" title="軌道 (群論)">軌道</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%B9%E9%A1%9E" title="共役類">共役類</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%A1%9E%E7%AD%89%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="類等式">類等式</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%85%E9%83%A8%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="内部自己同型群">内部自己同型群</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E5%A4%96%E9%83%A8%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「外部自己同型群」 (存在しないページ)">外部自己同型群</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">群の構成</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%A0%B8_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)" title="核 (群論)">核</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%83%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="像 (数学)">像</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%95%86%E7%BE%A4" title="商群">商群</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E7%9B%B4%E7%A9%8D" title="群の直積">直積</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%8A%E7%9B%B4%E7%A9%8D" title="半直積">半直積</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%BC%AA%E7%A9%8D" title="輪積">輪積</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E7%A9%8D" title="自由積">自由積</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%AD%90%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4#アーベル化" title="交換子部分群">アーベル化</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7" title="群の拡大">群の拡大</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%BE%A4" title="ガロア群">ガロア群</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="自己同型群">自己同型群</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E5%AE%9A%E7%90%86" title="定理">定理</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B%E5%AE%9A%E7%90%86" title="準同型定理">準同型定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)" title="ラグランジュの定理 (群論)">ラグランジュの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)" title="コーシーの定理 (群論)">コーシーの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="シローの定理">シローの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%94%9F%E6%88%90%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="有限生成アーベル群の基本定理">有限生成アーベル群の基本定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="ジョルダン・ヘルダーの定理">ジョルダン・ヘルダーの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%9F%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="クルル・シュミットの定理">クルル・シュミットの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ケイリーの定理">ケイリーの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96#Frobenius相互律" class="mw-redirect" title="群の表現論">フロベニウスの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%89%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C" title="バーンサイドの補題">バーンサイドの補題</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%A2%E3%83%BB%E3%82%B6%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「シューア・ザッセンハウスの定理」 (存在しないページ)">シューア・ザッセンハウスの定理</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%83%97%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「フェイト・トンプソンの定理」 (存在しないページ)">フェイト・トンプソンの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E" title="有限単純群の分類">有限単純群の分類</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96" class="mw-redirect" title="群の表現論">群の表現論</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%97%A2%E7%B4%84%E8%A1%A8%E7%8F%BE" title="既約表現">既約表現</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%8C%87%E6%A8%99%E8%A1%A8" title="指標表">指標表</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E7%92%B0" title="群環">群環</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4" title="群上の加群">群上の加群</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9E%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%B1%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="マシュケの定理">マシュケの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96" title="モジュラー表現論">モジュラー表現論</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="群準同型">群準同型</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%8D%E6%95%B0_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)" title="位数 (群論)">位数</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4%E3%81%AE%E6%8C%87%E6%95%B0" title="部分群の指数">指数</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%A4%BA" title="群の表示">群の表示</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95" title="ケイリーグラフ">ケイリーグラフ</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%82%B3%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC" class="mw-redirect" title="群コホモロジー">群コホモロジー</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%A2%E4%B9%97%E5%9B%A0%E5%AD%90&action=edit&redlink=1" class="new" title="「シューア乗因子」 (存在しないページ)">シューア乗因子</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"> <span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Folder_Hexagonal_Icon.svg" class="mw-file-description" title="カテゴリ"><img alt="カテゴリ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/32px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 2x" data-file-width="36" data-file-height="31" /></a></span> <a href="/wiki/Category:%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="Category:群論">カテゴリ</a></td></tr></tbody></table></div> <div class="navbox" aria-labelledby="代数学" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks hlist mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:Algebra" title="Template:Algebra"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:Algebra&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:Algebra」 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3AAlgebra&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3AAlgebra&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="代数学" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="代数学">代数学</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">一般</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="初等代数学">初等代数学</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="抽象代数学">抽象代数学</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0%E8%AB%96" title="可換環論">可換環論</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E9%A0%86%E5%BA%8F%E7%90%86%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="「順序理論」 (存在しないページ)">順序理論</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Order_theory" class="extiw" title="en:Order theory">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96" title="圏論">圏論</a></li> <li><a href="/wiki/K%E7%90%86%E8%AB%96" title="K理論">K理論</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0" title="代数的構造">代数的構造</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">群</a>（<a href="/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="群論">論</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="環 (数学)">環</a>（<a href="/wiki/%E7%92%B0%E8%AB%96" title="環論">論</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a>（<a href="/wiki/%E4%BD%93%E8%AB%96" title="体論">論</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="普遍代数学">普遍代数学</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="線型代数学">線型代数学</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" class="mw-redirect" title="行列 (数学)">行列（論）</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a>（<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%BA%A7%E6%A8%99%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB&action=edit&redlink=1" class="new" title="「座標ベクトル」 (存在しないページ)">ベクトル</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_vector" class="extiw" title="en:Coordinate vector">英語版</a>）</span></span>）</li> <li><a href="/wiki/%E5%86%85%E7%A9%8D%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="内積空間">内積空間</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%B9%BE%E4%BD%95%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「幾何代数」 (存在しないページ)">幾何代数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_algebra" class="extiw" title="en:Geometric algebra">英語版</a>）</span></span>（<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%A4%9A%E9%87%8D%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB&action=edit&redlink=1" class="new" title="「多重ベクトル」 (存在しないページ)">多重ベクトル</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Multivector" class="extiw" title="en:Multivector">英語版</a>）</span></span>）</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ヒルベルト空間">ヒルベルト空間</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">トピックリスト</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E3%83%88%E3%83%94%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%81%AE%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="「抽象代数学のトピックスのリスト」 (存在しないページ)">抽象代数学</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_abstract_algebra_topics" class="extiw" title="en:List of abstract algebra topics">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0%E3%81%AE%E3%82%A2%E3%82%A6%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="「代数的構造のアウトライン」 (存在しないページ)">代数的構造</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Outline_of_algebraic_structures" class="extiw" title="en:Outline of algebraic structures">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4%E8%AB%96%E3%81%AE%E3%83%88%E3%83%94%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%81%AE%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="「群論のトピックスのリスト」 (存在しないページ)">群論</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_group_theory_topics" class="extiw" title="en:List of group theory topics">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E3%83%88%E3%83%94%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%81%AE%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="「線型代数学のトピックスのリスト」 (存在しないページ)">線型代数学</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_linear_algebra_topics" class="extiw" title="en:List of linear algebra topics">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">用語一覧</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BD%93%E8%AB%96%E7%94%A8%E8%AA%9E%E4%B8%80%E8%A6%A7" title="体論用語一覧">体論</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%94%A8%E8%AA%9E%E4%B8%80%E8%A6%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="「線型代数用語一覧」 (存在しないページ)">線型代数学</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Glossary_of_linear_algebra" class="extiw" title="en:Glossary of linear algebra">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%92%B0%E8%AB%96%E7%94%A8%E8%AA%9E%E4%B8%80%E8%A6%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="「環論用語一覧」 (存在しないページ)">環論</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Glossary_of_ring_theory" class="extiw" title="en:Glossary of ring theory">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"> <ul><li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Portal.svg" class="mw-file-description" title="ポータル"><img alt="ポータル" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Portal.svg/16px-Portal.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Portal.svg/24px-Portal.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Portal.svg/32px-Portal.svg.png 2x" data-file-width="36" data-file-height="32" /></a></span> <a href="/wiki/Portal:%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="Portal:数学">ポータル:数学</a></li> <li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Folder_Hexagonal_Icon.svg" class="mw-file-description" title="カテゴリ"><img alt="カテゴリ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 1.5x, 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src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=群_(数学)&oldid=102324029">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=群_(数学)&oldid=102324029</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA" title="特別:カテゴリ">カテゴリ</a>: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="Category:群論">群論</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="Category:抽象代数学">抽象代数学</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:数学に関する記事">数学に関する記事</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks 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