CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="ca" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Equació diferencial - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )cawikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","gener","febrer","març","abril","maig","juny","juliol","agost","setembre","octubre","novembre","desembre"],"wgRequestId":"2e2fa19d-1bdc-447f-8089-97b42311ea9d","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Equació_diferencial","wgTitle":"Equació diferencial","wgCurRevisionId":30823175,"wgRevisionId":30823175,"wgArticleId":57774,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Pàgines amb enllaç commonscat des de Wikidata","1.000 articles fonamentals","Ciència (Els 1000 de META)","Control d'autoritats","Equacions diferencials"],"wgPageViewLanguage":"ca","wgPageContentLanguage":"ca","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Equació_diferencial","wgRelevantArticleId":57774,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject": "wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"ca","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"ca"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":30000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q11214","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles": "ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","wikibase.client.data-bridge.externalModifiers":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.UkensKonkurranse","ext.gadget.refToolbar","ext.gadget.charinsert","ext.gadget.AltresViccionari","ext.gadget.purgetab","ext.gadget.DocTabs","ext.gadget.switcher","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init", "ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","wikibase.client.data-bridge.init","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","oojs-ui.styles.icons-media","oojs-ui-core.icons","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ca&modules=ext.cite.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.data-bridge.externalModifiers%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=ca&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ca&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Navier_Stokes_Laminar.svg/1200px-Navier_Stokes_Laminar.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="960"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Navier_Stokes_Laminar.svg/800px-Navier_Stokes_Laminar.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="640"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Navier_Stokes_Laminar.svg/640px-Navier_Stokes_Laminar.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="512"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Equació diferencial - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//ca.m.wikipedia.org/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Modifica" href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Viquipèdia (ca)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//ca.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ca"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Canal de sindicació Atom Viquipèdia" href="/w/index.php?title=Especial:Canvis_recents&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Equació_diferencial rootpage-Equació_diferencial skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Vés al contingut</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Lloc"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menú principal" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menú principal</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menú principal</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">amaga</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navegació </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portada" title="Visiteu la pàgina principal [z]" accesskey="z"><span>Portada</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Article_aleatori" title="Carrega una pàgina a l’atzar [x]" accesskey="x"><span>Article a l'atzar</span></a></li><li id="n-Articles-de-qualitat" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Articles_de_qualitat"><span>Articles de qualitat</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Comunitat" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Comunitat" > <div class="vector-menu-heading"> Comunitat </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Portal" title="Sobre el projecte, què podeu fer, on trobareu les coses"><span>Portal viquipedista</span></a></li><li id="n-Agenda-d'actes" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Trobades"><span>Agenda d'actes</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Canvis_recents" title="Una llista dels canvis recents al wiki [r]" accesskey="r"><span>Canvis recents</span></a></li><li id="n-La-taverna" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:La_taverna"><span>La taverna</span></a></li><li id="n-contactpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Contacte"><span>Contacte</span></a></li><li id="n-Xat" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Canals_IRC"><span>Xat</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Ajuda" title="El lloc per a saber més coses"><span>Ajuda</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Portada" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Viquipèdia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-ca.svg" style="width: 7.5em; height: 1.4375em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="l'Enciclopèdia Lliure" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-ca.svg" width="120" height="14" style="width: 7.5em; height: 0.875em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Especial:Cerca" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Cerca a la Viquipèdia [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Cerca</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Cerca a Viquipèdia" aria-label="Cerca a Viquipèdia" autocapitalize="sentences" title="Cerca a la Viquipèdia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Especial:Cerca"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Cerca</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Eines personals"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aparença"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Aparença" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Aparença</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_ca.wikipedia.org&uselang=ca" class=""><span>Donatius</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Crea_compte&returnto=Equaci%C3%B3+diferencial" title="Us animem a crear un compte i iniciar una sessió, encara que no és obligatori" class=""><span>Crea un compte</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Registre_i_entrada&returnto=Equaci%C3%B3+diferencial" title="Us animem a registrar-vos, però no és obligatori [o]" accesskey="o" class=""><span>Inicia la sessió</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Més opcions" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Eines personals" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Eines personals</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menú d'usuari" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_ca.wikipedia.org&uselang=ca"><span>Donatius</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Crea_compte&returnto=Equaci%C3%B3+diferencial" title="Us animem a crear un compte i iniciar una sessió, encara que no és obligatori"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Crea un compte</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Registre_i_entrada&returnto=Equaci%C3%B3+diferencial" title="Us animem a registrar-vos, però no és obligatori [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Inicia la sessió</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Pàgines per a editors no registrats <a href="/wiki/Ajuda:Introducci%C3%B3" aria-label="Vegeu més informació sobre l'edició"><span>més informació</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Contribucions_pr%C3%B2pies" title="Una llista de les modificacions fetes des d'aquesta adreça IP [y]" accesskey="y"><span>Contribucions</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Discussi%C3%B3_personal" title="Discussió sobre les edicions per aquesta adreça ip. [n]" accesskey="n"><span>Discussió per aquest IP</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Lloc"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Contingut" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Contingut</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">amaga</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Inici</div> </a> </li> <li id="toc-Exemples_inicials" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Exemples_inicials"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Exemples inicials</span> </div> </a> <ul id="toc-Exemples_inicials-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Equació_diferencial,_processos_que_evolucionen_i_determinisme" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Equació_diferencial,_processos_que_evolucionen_i_determinisme"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Equació diferencial, processos que evolucionen i determinisme</span> </div> </a> <ul id="toc-Equació_diferencial,_processos_que_evolucionen_i_determinisme-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Definició_general" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Definició_general"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Definició general</span> </div> </a> <ul id="toc-Definició_general-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Solucions" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Solucions"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Solucions</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Solucions-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció Solucions</span> </button> <ul id="toc-Solucions-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Duració_de_vida" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Duració_de_vida"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Duració de vida</span> </div> </a> <ul id="toc-Duració_de_vida-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Equació_diferencial_en_forma_normal" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Equació_diferencial_en_forma_normal"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Equació diferencial en forma normal</span> </div> </a> <ul id="toc-Equació_diferencial_en_forma_normal-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Exemple" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Exemple"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2.1</span> <span>Exemple</span> </div> </a> <ul id="toc-Exemple-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Forma_normal_i_forma_implícita" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Forma_normal_i_forma_implícita"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2.2</span> <span>Forma normal i forma implícita</span> </div> </a> <ul id="toc-Forma_normal_i_forma_implícita-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Condicions_inicials,_teorema_de_Picard-Lindelöf" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Condicions_inicials,_teorema_de_Picard-Lindelöf"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>Condicions inicials, teorema de Picard-Lindelöf</span> </div> </a> <ul id="toc-Condicions_inicials,_teorema_de_Picard-Lindelöf-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Condicions_de_contorn" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Condicions_de_contorn"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.4</span> <span>Condicions de contorn</span> </div> </a> <ul id="toc-Condicions_de_contorn-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Resolució_explicita" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Resolució_explicita"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.5</span> <span>Resolució explicita</span> </div> </a> <ul id="toc-Resolució_explicita-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Propietats_de_continuïtat_de_les_solucions" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Propietats_de_continuïtat_de_les_solucions"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Propietats de continuïtat de les solucions</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Propietats_de_continuïtat_de_les_solucions-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció Propietats de continuïtat de les solucions</span> </button> <ul id="toc-Propietats_de_continuïtat_de_les_solucions-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Continuïtat_respecte_a_les_condicions_inicials_i_als_paràmetres" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Continuïtat_respecte_a_les_condicions_inicials_i_als_paràmetres"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Continuïtat respecte a les condicions inicials i als paràmetres</span> </div> </a> <ul id="toc-Continuïtat_respecte_a_les_condicions_inicials_i_als_paràmetres-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Propietats_globals" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Propietats_globals"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Propietats globals</span> </div> </a> <ul id="toc-Propietats_globals-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Estabilitat_de_les_solucions" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Estabilitat_de_les_solucions"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>Estabilitat de les solucions</span> </div> </a> <ul id="toc-Estabilitat_de_les_solucions-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Efecte_papallona,_caos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Efecte_papallona,_caos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.4</span> <span>Efecte papallona, caos</span> </div> </a> <ul id="toc-Efecte_papallona,_caos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Classificacions" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Classificacions"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Classificacions</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Classificacions-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció Classificacions</span> </button> <ul id="toc-Classificacions-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Equació_diferencial_autònoma" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Equació_diferencial_autònoma"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>Equació diferencial autònoma</span> </div> </a> <ul id="toc-Equació_diferencial_autònoma-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Equació_diferencial_lineal" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Equació_diferencial_lineal"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>Equació diferencial lineal</span> </div> </a> <ul id="toc-Equació_diferencial_lineal-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Equació_diferencial_holomorfa" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Equació_diferencial_holomorfa"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Equació diferencial holomorfa</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Equació_diferencial_holomorfa-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció Equació diferencial holomorfa</span> </button> <ul id="toc-Equació_diferencial_holomorfa-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Resultats_locals" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Resultats_locals"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>Resultats locals</span> </div> </a> <ul id="toc-Resultats_locals-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Resultats_globals" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Resultats_globals"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2</span> <span>Resultats globals</span> </div> </a> <ul id="toc-Resultats_globals-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Cas_lineal" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Cas_lineal"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.3</span> <span>Cas lineal</span> </div> </a> <ul id="toc-Cas_lineal-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Mètodes_numèrics" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Mètodes_numèrics"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Mètodes numèrics</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Mètodes_numèrics-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció Mètodes numèrics</span> </button> <ul id="toc-Mètodes_numèrics-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Mètode_d'Euler" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Mètode_d'Euler"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.1</span> <span>Mètode d'Euler</span> </div> </a> <ul id="toc-Mètode_d'Euler-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Altres_mètodes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Altres_mètodes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.2</span> <span>Altres mètodes</span> </div> </a> <ul id="toc-Altres_mètodes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Equació_diferencial_en_forma_implícita" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Equació_diferencial_en_forma_implícita"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Equació diferencial en forma implícita</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Equació_diferencial_en_forma_implícita-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció Equació diferencial en forma implícita</span> </button> <ul id="toc-Equació_diferencial_en_forma_implícita-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Tractament_d'un_exemple" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Tractament_d'un_exemple"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.1</span> <span>Tractament d'un exemple</span> </div> </a> <ul id="toc-Tractament_d'un_exemple-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Generalització" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Generalització"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.2</span> <span>Generalització</span> </div> </a> <ul id="toc-Generalització-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Programari" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Programari"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Programari</span> </div> </a> <ul id="toc-Programari-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Vegeu_també" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Vegeu_també"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>Vegeu també</span> </div> </a> <ul id="toc-Vegeu_també-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">12</span> <span>Bibliografia</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referències" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Referències"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">13</span> <span>Referències</span> </div> </a> <ul id="toc-Referències-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contingut" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Commuta la taula de continguts." > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Commuta la taula de continguts.</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Equació diferencial</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Vés a un article en una altra llengua. Disponible en 95 llengües" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-95" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">95 llengües</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Differensiaalvergelyking" title="Differensiaalvergelyking - afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Differensiaalvergelyking" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung" title="Differentialgleichung - alemany suís" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Differentialgleichung" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="alemany suís" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial" title="Ecuación diferencial - aragonès" lang="an" hreflang="an" data-title="Ecuación diferencial" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="aragonès" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A9_%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B6%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="معادلة تفاضلية - àrab" lang="ar" hreflang="ar" data-title="معادلة تفاضلية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="àrab" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial" title="Ecuación diferencial - asturià" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Ecuación diferencial" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturià" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Diferensial_t%C9%99nlikl%C9%99r" title="Diferensial tənliklər - azerbaidjanès" lang="az" hreflang="az" data-title="Diferensial tənliklər" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaidjanès" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C_%D1%82%D0%B8%D0%B3%D0%B5%D2%99%D0%BB%D3%99%D0%BC%D3%99" title="Дифференциаль тигеҙләмә - baixkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Дифференциаль тигеҙләмә" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baixkir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D1%8B%D1%84%D0%B5%D1%80%D1%8D%D0%BD%D1%86%D1%8B%D1%8F%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D0%B5_%D1%9E%D1%80%D0%B0%D1%9E%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B5" title="Дыферэнцыяльнае ўраўненне - belarús" lang="be" hreflang="be" data-title="Дыферэнцыяльнае ўраўненне" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="belarús" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D1%8B%D1%84%D1%8D%D1%80%D1%8D%D0%BD%D1%86%D1%8B%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%9E%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%8C%D0%BD%D0%B5" title="Дыфэрэнцыйнае раўнаньне - Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Дыфэрэнцыйнае раўнаньне" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%BE_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Диференциално уравнение - búlgar" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Диференциално уравнение" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgar" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AC%E0%A6%95%E0%A6%B2%E0%A6%A8%E0%A7%80%E0%A6%AF%E0%A6%BC_%E0%A6%B8%E0%A6%AE%E0%A7%80%E0%A6%95%E0%A6%B0%E0%A6%A3" title="ব্যবকলনীয় সমীকরণ - bengalí" lang="bn" hreflang="bn" data-title="ব্যবকলনীয় সমীকরণ" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalí" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Diferencijalna_jedna%C4%8Dina" title="Diferencijalna jednačina - bosnià" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Diferencijalna jednačina" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosnià" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%BE%D8%A7%D9%88%DA%A9%DB%8E%D8%B4%DB%95%DB%8C_%D8%AC%DB%8C%D8%A7%DA%A9%D8%A7%D8%B1%DB%8C" title="ھاوکێشەی جیاکاری - kurd central" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ھاوکێشەی جیاکاری" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="kurd central" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Diferenci%C3%A1ln%C3%AD_rovnice" title="Diferenciální rovnice - txec" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Diferenciální rovnice" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="txec" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BB%C4%83_%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BB%C4%83%D1%85" title="Дифференциаллă танлăх - txuvaix" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Дифференциаллă танлăх" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="txuvaix" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Hafaliad_differol" title="Hafaliad differol - gal·lès" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Hafaliad differol" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="gal·lès" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Differentialligning" title="Differentialligning - danès" lang="da" hreflang="da" data-title="Differentialligning" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danès" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung" title="Differentialgleichung - alemany" lang="de" hreflang="de" data-title="Differentialgleichung" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemany" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CF%86%CE%BF%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B5%CE%BE%CE%AF%CF%83%CF%89%CF%83%CE%B7" title="Διαφορική εξίσωση - grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Διαφορική εξίσωση" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grec" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation" title="Differential equation - anglès" lang="en" hreflang="en" data-title="Differential equation" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglès" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Diferenciala_ekvacio" title="Diferenciala ekvacio - esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Diferenciala ekvacio" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial" title="Ecuación diferencial - espanyol" lang="es" hreflang="es" data-title="Ecuación diferencial" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espanyol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Diferentsiaalv%C3%B5rrand" title="Diferentsiaalvõrrand - estonià" lang="et" hreflang="et" data-title="Diferentsiaalvõrrand" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonià" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Ekuazio_diferentzial" title="Ekuazio diferentzial - basc" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Ekuazio diferentzial" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basc" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D9%87_%D8%AF%DB%8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84" title="معادله دیفرانسیل - persa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="معادله دیفرانسیل" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Differentiaaliyht%C3%A4l%C3%B6" title="Differentiaaliyhtälö - finès" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Differentiaaliyhtälö" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finès" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle" title="Équation différentielle - francès" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Équation différentielle" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francès" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Cothrom%C3%B3id_dhifre%C3%A1lach" title="Cothromóid dhifreálach - irlandès" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Cothromóid dhifreálach" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandès" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B" title="微分方程 - xinès gan" lang="gan" hreflang="gan" data-title="微分方程" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="xinès gan" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial" title="Ecuación diferencial - gallec" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Ecuación diferencial" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="gallec" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%90%D7%94_%D7%93%D7%99%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%9C%D7%99%D7%AA" title="משוואה דיפרנציאלית - hebreu" lang="he" hreflang="he" data-title="משוואה דיפרנציאלית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%B5%E0%A4%95%E0%A4%B2_%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3" title="अवकल समीकरण - hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="अवकल समीकरण" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Differential_equation" title="Differential equation - hindi de Fiji" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Differential equation" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="hindi de Fiji" class="interlanguage-link-target"><span>Fiji Hindi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Diferencijalne_jednad%C5%BEbe" title="Diferencijalne jednadžbe - croat" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Diferencijalne jednadžbe" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croat" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Differenci%C3%A1legyenlet" title="Differenciálegyenlet - hongarès" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Differenciálegyenlet" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongarès" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B4%D5%AB%D6%86%D5%A5%D6%80%D5%A5%D5%B6%D6%81%D5%AB%D5%A1%D5%AC_%D5%B0%D5%A1%D5%BE%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Դիֆերենցիալ հավասարումներ - armeni" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Դիֆերենցիալ հավասարումներ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armeni" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hyw mw-list-item"><a href="https://hyw.wikipedia.org/wiki/%D5%8F%D5%A1%D6%80%D5%A2%D5%A5%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D6%82%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Տարբերական հաւասարումներ - Western Armenian" lang="hyw" hreflang="hyw" data-title="Տարբերական հաւասարումներ" data-language-autonym="Արեւմտահայերէն" data-language-local-name="Western Armenian" class="interlanguage-link-target"><span>Արեւմտահայերէն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial" title="Persamaan diferensial - indonesi" lang="id" hreflang="id" data-title="Persamaan diferensial" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesi" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Diffurjafna" title="Diffurjafna - islandès" lang="is" hreflang="is" data-title="Diffurjafna" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandès" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_differenziale" title="Equazione differenziale - italià" lang="it" hreflang="it" data-title="Equazione differenziale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italià" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="微分方程式 - japonès" lang="ja" hreflang="ja" data-title="微分方程式" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonès" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Difrenshal_ikwiejan" title="Difrenshal ikwiejan - crioll anglès de Jamaica" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Difrenshal ikwiejan" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="crioll anglès de Jamaica" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%93%E1%83%98%E1%83%A4%E1%83%94%E1%83%A0%E1%83%94%E1%83%9C%E1%83%AA%E1%83%98%E1%83%90%E1%83%9A%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%98_%E1%83%92%E1%83%90%E1%83%9C%E1%83%A2%E1%83%9D%E1%83%9A%E1%83%94%E1%83%91%E1%83%94%E1%83%91%E1%83%98" title="დიფერენციალური განტოლებები - georgià" lang="ka" hreflang="ka" data-title="დიფერენციალური განტოლებები" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="georgià" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kaa mw-list-item"><a href="https://kaa.wikipedia.org/wiki/Differensial_te%C5%84leme" title="Differensial teńleme - karakalpak" lang="kaa" hreflang="kaa" data-title="Differensial teńleme" data-language-autonym="Qaraqalpaqsha" data-language-local-name="karakalpak" class="interlanguage-link-target"><span>Qaraqalpaqsha</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%B4%D1%8B%D2%9B_%D1%82%D0%B5%D2%A3%D0%B4%D0%B5%D1%83" title="Дифференциалдық теңдеу - kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Дифференциалдық теңдеу" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazakh" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%9F%E1%9E%98%E1%9E%B8%E1%9E%80%E1%9E%B6%E1%9E%9A%E1%9E%8C%E1%9E%B8%E1%9E%95%E1%9F%81%E1%9E%9A%E1%9F%89%E1%9E%84%E1%9F%8B%E1%9E%9F%E1%9F%92%E1%9E%99%E1%9F%82%E1%9E%9B" title="សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល - khmer" lang="km" hreflang="km" data-title="សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="khmer" class="interlanguage-link-target"><span>ភាសាខ្មែរ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D" title="미분방정식 - coreà" lang="ko" hreflang="ko" data-title="미분방정식" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreà" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a href="https://ku.wikipedia.org/wiki/Hevk%C3%AA%C5%9Feya_d%C3%AEferensiyel" title="Hevkêşeya dîferensiyel - kurd" lang="ku" hreflang="ku" data-title="Hevkêşeya dîferensiyel" data-language-autonym="Kurdî" data-language-local-name="kurd" class="interlanguage-link-target"><span>Kurdî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Aequatio_differentialis" title="Aequatio differentialis - llatí" lang="la" hreflang="la" data-title="Aequatio differentialis" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="llatí" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lez mw-list-item"><a href="https://lez.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB_%D0%B1%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%B0%D1%80%D0%B2%D0%B0%D0%BB" title="Дифференциал барабарвал - lesguià" lang="lez" hreflang="lez" data-title="Дифференциал барабарвал" data-language-autonym="Лезги" data-language-local-name="lesguià" class="interlanguage-link-target"><span>Лезги</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Equazzion_diferenziala" title="Equazzion diferenziala - llombard" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Equazzion diferenziala" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="llombard" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Diferencialin%C4%97_lygtis" title="Diferencialinė lygtis - lituà" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Diferencialinė lygtis" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituà" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Diferenci%C4%81lvien%C4%81dojums" title="Diferenciālvienādojums - letó" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Diferenciālvienādojums" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letó" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Диференцијална равенка - macedoni" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Диференцијална равенка" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedoni" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%85%E0%B4%B5%E0%B4%95%E0%B4%B2%E0%B4%B8%E0%B4%AE%E0%B4%B5%E0%B4%BE%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%AF%E0%B4%82" title="അവകലസമവാക്യം - malaiàlam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="അവകലസമവാക്യം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malaiàlam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Persamaan_pembezaan" title="Persamaan pembezaan - malai" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Persamaan pembezaan" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malai" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Ekwazzjoni_differenzjali" title="Ekwazzjoni differenzjali - maltès" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Ekwazzjoni differenzjali" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="maltès" class="interlanguage-link-target"><span>Malti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Differentiaalvergelijking" title="Differentiaalvergelijking - neerlandès" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Differentiaalvergelijking" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandès" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Differensiallikning" title="Differensiallikning - noruec nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Differensiallikning" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruec nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Differensialligning" title="Differensialligning - noruec bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Differensialligning" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="noruec bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Equacion_diferenciala" title="Equacion diferenciala - occità" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Equacion diferenciala" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occità" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%A1%E0%A8%BF%E0%A8%AB%E0%A8%BC%E0%A8%B0%E0%A9%88%E0%A8%82%E0%A8%B8%E0%A8%BC%E0%A9%80%E0%A8%85%E0%A8%B2_%E0%A8%B8%E0%A8%AE%E0%A9%80%E0%A8%95%E0%A8%B0%E0%A8%A8" title="ਡਿਫ਼ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ - panjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਡਿਫ਼ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="panjabi" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe" title="Równanie różniczkowe - polonès" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Równanie różniczkowe" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonès" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Equassion_diferensial" title="Equassion diferensial - piemontès" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Equassion diferensial" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="piemontès" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%81%D8%B1%DB%8C%D9%82%DB%8C_%D9%85%D8%B3%D8%A7%D9%88%D8%A7%D8%AA" title="تفریقی مساوات - Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="تفریقی مساوات" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial" title="Equação diferencial - portuguès" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Equação diferencial" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portuguès" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Ecua%C8%9Bie_diferen%C8%9Bial%C4%83" title="Ecuație diferențială - romanès" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Ecuație diferențială" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="romanès" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Дифференциальное уравнение - rus" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Дифференциальное уравнение" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rus" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Equazzioni_diffirinziali" title="Equazzioni diffirinziali - sicilià" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Equazzioni diffirinziali" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sicilià" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Differential_equation" title="Differential equation - escocès" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Differential equation" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="escocès" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Diferencijalna_jedna%C4%8Dina" title="Diferencijalna jednačina - serbocroat" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Diferencijalna jednačina" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbocroat" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%85%E0%B7%80%E0%B6%9A%E0%B6%BD_%E0%B7%83%E0%B6%B8%E0%B7%93%E0%B6%9A%E0%B6%BB%E0%B6%AB%E0%B6%BA" title="අවකල සමීකරණය - singalès" lang="si" hreflang="si" data-title="අවකල සමීකරණය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="singalès" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Differential_equation" title="Differential equation - Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Differential equation" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Diferenci%C3%A1lna_rovnica" title="Diferenciálna rovnica - eslovac" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Diferenciálna rovnica" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovac" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Diferencialna_ena%C4%8Dba" title="Diferencialna enačba - eslovè" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Diferencialna enačba" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="eslovè" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Ekuacionet_diferenciale" title="Ekuacionet diferenciale - albanès" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Ekuacionet diferenciale" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanès" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D1%98%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Диференцијална једначина - serbi" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Диференцијална једначина" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbi" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Differentialekvation" title="Differentialekvation - suec" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Differentialekvation" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suec" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Mlinganyo_tenguo" title="Mlinganyo tenguo - suahili" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Mlinganyo tenguo" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="suahili" class="interlanguage-link-target"><span>Kiswahili</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%B5%E0%AE%95%E0%AF%88%E0%AE%AF%E0%AF%80%E0%AE%9F%E0%AF%8D%E0%AE%9F%E0%AF%81%E0%AE%9A%E0%AF%8D_%E0%AE%9A%E0%AE%AE%E0%AE%A9%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AE%BE%E0%AE%9F%E0%AF%81" title="வகையீட்டுச் சமன்பாடு - tàmil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="வகையீட்டுச் சமன்பாடு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tàmil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C" title="สมการเชิงอนุพันธ์ - tai" lang="th" hreflang="th" data-title="สมการเชิงอนุพันธ์" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tai" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tk mw-list-item"><a href="https://tk.wikipedia.org/wiki/Differensial_de%C5%88lemeler" title="Differensial deňlemeler - turcman" lang="tk" hreflang="tk" data-title="Differensial deňlemeler" data-language-autonym="Türkmençe" data-language-local-name="turcman" class="interlanguage-link-target"><span>Türkmençe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Ekwasyong_diperensiyal" title="Ekwasyong diperensiyal - tagal" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Ekwasyong diperensiyal" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagal" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Diferansiyel_denklem" title="Diferansiyel denklem - turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Diferansiyel denklem" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Диференціальні рівняння - ucraïnès" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Диференціальні рівняння" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraïnès" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%81%D8%B1%D9%82%DB%8C_%D9%85%D8%B3%D8%A7%D9%88%D8%A7%D8%AA" title="تفرقی مساوات - urdú" lang="ur" hreflang="ur" data-title="تفرقی مساوات" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdú" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Differensial_tenglama" title="Differensial tenglama - uzbek" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Differensial tenglama" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbek" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vep mw-list-item"><a href="https://vep.wikipedia.org/wiki/Differencialine_tazostuz" title="Differencialine tazostuz - vepse" lang="vep" hreflang="vep" data-title="Differencialine tazostuz" data-language-autonym="Vepsän kel’" data-language-local-name="vepse" class="interlanguage-link-target"><span>Vepsän kel’</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_vi_ph%C3%A2n" title="Phương trình vi phân - vietnamita" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Phương trình vi phân" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Ekwasyon_diferensyal" title="Ekwasyon diferensyal - waray" lang="war" hreflang="war" data-title="Ekwasyon diferensyal" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="waray" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B" title="微分方程 - xinès wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="微分方程" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="xinès wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%93%D7%99%D7%A4%D7%A2%D7%A8%D7%A2%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%9C-%D7%92%D7%9C%D7%99%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%92" title="דיפערענציאל-גלייכונג - ídix" lang="yi" hreflang="yi" data-title="דיפערענציאל-גלייכונג" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="ídix" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B" title="微分方程 - xinès" lang="zh" hreflang="zh" data-title="微分方程" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="xinès" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/B%C3%AE-hun_hong-t%C3%AAng-sek" title="Bî-hun hong-têng-sek - xinès min del sud" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Bî-hun hong-têng-sek" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="xinès min del sud" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B" title="微分方程 - cantonès" lang="yue" hreflang="yue" data-title="微分方程" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonès" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11214#sitelinks-wikipedia" title="Modifica enllaços interlingües" class="wbc-editpage">Modifica els enllaços</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espais de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial" title="Vegeu el contingut de la pàgina [c]" accesskey="c"><span>Pàgina</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discussi%C3%B3:Equaci%C3%B3_diferencial" rel="discussion" title="Discussió sobre el contingut d'aquesta pàgina [t]" accesskey="t"><span>Discussió</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Canvia la variant de llengua" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">català</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Vistes"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial"><span>Mostra</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit" title="Modifica el codi font d'aquesta pàgina [e]" accesskey="e"><span>Modifica</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=history" title="Versions antigues d'aquesta pàgina [h]" accesskey="h"><span>Mostra l'historial</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Eines de la pàgina"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Eines" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Eines</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Eines</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">amaga</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Més opcions" > <div class="vector-menu-heading"> Accions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial"><span>Mostra</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit" title="Modifica el codi font d'aquesta pàgina [e]" accesskey="e"><span>Modifica</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=history"><span>Mostra l'historial</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> General </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Enlla%C3%A7os/Equaci%C3%B3_diferencial" title="Una llista de totes les pàgines wiki que enllacen amb aquesta [j]" accesskey="j"><span>Què hi enllaça</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Seguiment/Equaci%C3%B3_diferencial" rel="nofollow" title="Canvis recents a pàgines enllaçades des d'aquesta pàgina [k]" accesskey="k"><span>Canvis relacionats</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:P%C3%A0gines_especials" title="Llista totes les pàgines especials [q]" accesskey="q"><span>Pàgines especials</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&oldid=30823175" title="Enllaç permanent a aquesta revisió de la pàgina"><span>Enllaç permanent</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=info" title="Més informació sobre aquesta pàgina"><span>Informació de la pàgina</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Citau&page=Equaci%C3%B3_diferencial&id=30823175&wpFormIdentifier=titleform" title="Informació sobre com citar aquesta pàgina"><span>Citau aquest article</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fca.wikipedia.org%2Fwiki%2FEquaci%25C3%25B3_diferencial"><span>Obtén una URL abreujada</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:QrCode&url=https%3A%2F%2Fca.wikipedia.org%2Fwiki%2FEquaci%25C3%25B3_diferencial"><span>Descarrega el codi QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimeix/exporta </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Llibre&bookcmd=book_creator&referer=Equaci%C3%B3+diferencial"><span>Crea un llibre</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:DownloadAsPdf&page=Equaci%C3%B3_diferencial&action=show-download-screen"><span>Baixa com a PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&printable=yes" title="Versió per a impressió d'aquesta pàgina [p]" accesskey="p"><span>Versió per a impressora</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> En altres projectes </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Differential_equations" hreflang="en"><span>Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11214" title="Enllaç a l'element del repositori de dades connectat [g]" accesskey="g"><span>Element a Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Eines de la pàgina"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aparença"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Aparença</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">amaga</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> <div id="mw-indicator-ind-100" class="mw-indicator"><div class="mw-parser-output"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Llista_dels_1000_articles_fonamentals" title="Els 1.000 fonamentals de la Viquipèdia"><img alt="Els 1.000 fonamentals de la Viquipèdia" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg/30px-Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg.png" decoding="async" width="30" height="36" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg/45px-Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg/60px-Segell_1000_unificat_Viquip%C3%A8dia.svg.png 2x" data-file-width="2408" data-file-height="2896" /></a></span></div></div> </div> <div id="siteSub" class="noprint">De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ca" dir="ltr"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r34261971">.mw-parser-output .hatnote{width:100%;border-color:#77ccff;color:var(--color-base,#202122);background-color:#f5f5f5;margin-bottom:1em;font-style:italic}.mw-parser-output .hatnote i{font-style:normal}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .hatnote{color:var(--color-inverted,#fff);background-color:var(--background-color-inverted,#101418)}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .hatnote{color:var(--color-inverted,#fff);background-color:var(--background-color-inverted,#101418)}}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .hatnote{display:none!important}}</style> <table class="hatnote" cellspacing="5"> <tbody><tr> <td style="width: 25px; vertical-align: top;"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Confusion_grey.svg/22px-Confusion_grey.svg.png" decoding="async" width="22" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Confusion_grey.svg/33px-Confusion_grey.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Confusion_grey.svg/44px-Confusion_grey.svg.png 2x" data-file-width="260" data-file-height="200" /></span></span> </td> <td>No s'ha de confondre amb <a href="/wiki/Equacions_en_difer%C3%A8ncies" title="Equacions en diferències">Equacions en diferències</a>. </td></tr></tbody></table> <table class="vertical-navbox nowraplinks" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0 0 1.0em 1.0em;color:#202122;background-color:#f8f9fa;border:1px solid #a2a9b1;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%;width:220px"><tbody><tr><th style="padding:0.2em 0.4em 0.2em;font-size:145%;line-height:1.2em"><a href="/wiki/Equacions_diferencials" class="mw-redirect" title="Equacions diferencials">Equacions diferencials</a></th></tr><tr><td style="padding:0.2em 0 0.4em"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fitxer:Navier_Stokes_Laminar.svg" class="mw-file-description" title="Les equacions diferencials de Navier–Stokes s'utilitzen per modelitzar fluids."><img alt="Les equacions diferencials de Navier–Stokes s'utilitzen per modelitzar fluids." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Navier_Stokes_Laminar.svg/235px-Navier_Stokes_Laminar.svg.png" decoding="async" width="235" height="188" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Navier_Stokes_Laminar.svg/353px-Navier_Stokes_Laminar.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Navier_Stokes_Laminar.svg/470px-Navier_Stokes_Laminar.svg.png 2x" data-file-width="900" data-file-height="720" /></a></span></td></tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <a href="/w/index.php?title=Hist%C3%B2ria_de_les_equacions_diferencials&action=edit&redlink=1" class="new" title="Història de les equacions diferencials (encara no existeix)">Història de les equacions diferencials</a><br /><a href="/w/index.php?title=Cronologia_de_les_equacions_diferencials&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cronologia de les equacions diferencials (encara no existeix)">Cronologia de les equacions diferencials</a></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;text-align:left">Àmbits</div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"><b><a href="/wiki/Ci%C3%A8ncies_Naturals" class="mw-redirect" title="Ciències Naturals">Ciències Naturals</a></b> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <b><a href="/wiki/Enginyeria" title="Enginyeria">Enginyeria</a></b> <br /> <a href="/wiki/Astronomia" title="Astronomia">Astronomia</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">Física</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Qu%C3%ADmica" title="Química">Química</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Biologia" title="Biologia">Biologia</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Geologia" title="Geologia">Geologia</a> <br /><br /> <p><b><a href="/wiki/Matem%C3%A0tiques_aplicades" title="Matemàtiques aplicades">Matemàtiques Aplicades</a></b><br /> <a href="/wiki/Mec%C3%A0nica_dels_medis_continus" title="Mecànica dels medis continus">Mecànica dels medis continus</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Teoria_del_caos" title="Teoria del caos">Teoria del caos</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Din%C3%A0mica_de_sistemes" title="Dinàmica de sistemes">Dinàmica de sistemes</a> <br /><br /> </p> <b><a href="/wiki/Ci%C3%A8ncies_Socials" class="mw-redirect" title="Ciències Socials">Ciències Socials</a></b><br /> <a href="/wiki/Economia" title="Economia">Economia</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Din%C3%A0mica_de_poblacions" title="Dinàmica de poblacions">Dinàmica de poblacions</a></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;text-align:left">Classificació</div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"><b>Tipus</b> <br /> <a href="/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial_ordin%C3%A0ria" title="Equació diferencial ordinària">Ordinària</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial_en_derivades_parcials" title="Equació diferencial en derivades parcials">En derivades parcials</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_Diferencial-Algebraica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Equació Diferencial-Algebraica (encara no existeix)">Diferencial-Algebraica</a></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;text-align:left">Conceptes generals</div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"><a href="/wiki/Teorema_de_Picard-Lindel%C3%B6f" title="Teorema de Picard-Lindelöf">Teorema de Picard-Lindelöf</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Wronski%C3%A0" title="Wronskià">Wronskià</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Retrat_de_fase" title="Retrat de fase">Retrat de fase</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Espai_de_fases" title="Espai de fases">Espai de fases</a> <br /> Estabilitat: <a href="/w/index.php?title=Estabilitat_asimpt%C3%B2tica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Estabilitat asimptòtica (encara no existeix)">asimptòtica</a> / <a href="/wiki/Estabilitat_exponencial" title="Estabilitat exponencial">exponencial</a> / <a href="/w/index.php?title=Estabilitat_de_Lyapunov&action=edit&redlink=1" class="new" title="Estabilitat de Lyapunov (encara no existeix)">de Lyapunov</a> <br /> <a href="/wiki/Taxa_de_converg%C3%A8ncia" title="Taxa de convergència">Taxa de convergència</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Integraci%C3%B3_num%C3%A8rica" title="Integració numèrica">Integració numèrica</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Delta_de_Dirac" title="Delta de Dirac">Delta de Dirac</a></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;text-align:left">Mètodes de resolució</div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"><a href="/w/index.php?title=M%C3%A8tode_de_les_caracter%C3%ADstiques&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mètode de les característiques (encara no existeix)">Mètode de les característiques</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/M%C3%A8tode_d%27Euler" title="Mètode d'Euler">Mètode d'Euler</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/M%C3%A8tode_de_difer%C3%A8ncies_finites" title="Mètode de diferències finites">Diferències finites</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/M%C3%A8tode_dels_elements_finits" class="mw-redirect" title="Mètode dels elements finits">Elements finits</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/w/index.php?title=M%C3%A8tode_dels_volums_finits&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mètode dels volums finits (encara no existeix)">Volums finits</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/M%C3%A8tode_de_Galerkin" title="Mètode de Galerkin">Mètode de Galerkin</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Factor_d%27integraci%C3%B3" title="Factor d'integració">Factor d'integració</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Transformada_integral" title="Transformada integral">Transformada integral</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Teoria_de_la_pertorbaci%C3%B3_(mec%C3%A0nica_qu%C3%A0ntica)" title="Teoria de la pertorbació (mecànica quàntica)">Teoria de la pertorbació</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/M%C3%A8todes_de_Runge-Kutta" title="Mètodes de Runge-Kutta">Runge-Kutta</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/w/index.php?title=Separaci%C3%B3_de_variables&action=edit&redlink=1" class="new" title="Separació de variables (encara no existeix)">Separació de variables</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/w/index.php?title=M%C3%A8tode_dels_coeficients_indeterminats&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mètode dels coeficients indeterminats (encara no existeix)">Coeficient indeterminats</a></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;text-align:left">Científics</div><div class="NavContent" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"><a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/%C3%89mile_Picard" class="mw-redirect" title="Émile Picard">Émile Picard</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/J%C3%B3zef_Maria_Hoene-Wro%C5%84ski" class="mw-redirect" title="Józef Maria Hoene-Wroński">Józef Maria Hoene-Wroński</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Ernst_Leonard_Lindel%C3%B6f" title="Ernst Leonard Lindelöf">Ernst Lindelöf</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Rudolf_Lipschitz" title="Rudolf Lipschitz">Rudolf Lipschitz</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Augustin-Louis_Cauchy" class="mw-redirect" title="Augustin-Louis Cauchy">Augustin-Louis Cauchy</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/John_Crank" title="John Crank">John Crank</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Phyllis_Nicolson" title="Phyllis Nicolson">Phyllis Nicolson</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Carle_David_Tolm%C3%A9_Runge" title="Carle David Tolmé Runge">Carle David Tolmé Runge</a> <span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Martin_Wilhelm_Kutta" title="Martin Wilhelm Kutta">Martin Wilhelm Kutta</a></div></div></td> </tr><tr><td style="text-align:right;font-size:115%;padding-top: 0.6em;"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-view"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plantilla:Equacions_diferencials" title="Plantilla:Equacions diferencials"><img alt="Vegeu aquesta plantilla" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/Commons-emblem-notice.svg/18px-Commons-emblem-notice.svg.png" decoding="async" width="18" height="18" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/Commons-emblem-notice.svg/27px-Commons-emblem-notice.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/Commons-emblem-notice.svg/36px-Commons-emblem-notice.svg.png 2x" data-file-width="48" data-file-height="48" /></a></span></li></ul></div></td></tr></tbody></table> <p>En <a href="/wiki/Matem%C3%A0tiques" title="Matemàtiques">matemàtiques</a>, una <b>equació diferencial</b> és una <a href="/wiki/Equaci%C3%B3_funcional" title="Equació funcional">equació funcional</a> entre una o diverses <a href="/wiki/Funci%C3%B3_matem%C3%A0tica" class="mw-redirect" title="Funció matemàtica">funcions</a> desconegudes i les seves <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">funcions derivades</a>. L'ordre d'una equació diferencial correspon al grau màxim de diferenciació al qual ha estat sotmesa una de les funcions desconegudes. Hi ha dos tipus equacions diferencials: </p> <ul><li>Les <a href="/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial_ordin%C3%A0ria" title="Equació diferencial ordinària">equacions diferencials ordinàries</a> (EDO), les quals només contenen funcions d'una variable independent i les derivades d'aquesta variable.</li> <li>Les <a href="/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial_en_derivades_parcials" title="Equació diferencial en derivades parcials">equacions diferencials en derivades parcials</a> (EDP), les quals contenen funcions de més d'una variable i llurs <a href="/wiki/Derivada_parcial" title="Derivada parcial">derivades parcials</a>.</li></ul> <p>S'anomena <b>ordre</b> d'una equació diferencial a l'ordre de la màxima derivada que conté. Així, una <b>equació diferencial de primer ordre</b> només conté derivades primeres. </p><p>Les equacions diferencials són, en general, difícils de resoldre i no tenen un mètode general de <a href="/w/index.php?title=Soluci%C3%B3_anal%C3%ADtica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Solució analítica (encara no existeix)">resolució analítica</a>, ara bé, hi ha tot un seguit de casos particulars que sí que es poden resoldre analíticament. A més a més, sempre es pot optar per mètodes numèrics. Aquest darrer mètode és el de més interès per part de la matemàtica aplicada, la física i l'enginyeria. </p><p>Les equacions diferencials tenen grans aplicacions en <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">física</a> i <a href="/wiki/Qu%C3%ADmica" title="Química">química</a>, i s'usen sovint en <a href="/wiki/Model_matem%C3%A0tic" title="Model matemàtic">models matemàtics</a> per explicar fenòmens <a href="/wiki/Biol%C3%B2gics" class="mw-redirect" title="Biològics">biològics</a>, <a href="/wiki/Sociologia" title="Sociologia">socials</a> i <a href="/wiki/Economia" title="Economia">econòmics</a>. Exemples famosos d'equacions diferencials són: </p> <ul><li>Les <a href="/wiki/Equacions_de_Maxwell" title="Equacions de Maxwell">equacions de Maxwell</a>, en l'<a href="/wiki/Electromagnetisme" title="Electromagnetisme">electromagnetisme</a>.</li> <li>L'<a href="/wiki/Equaci%C3%B3_de_la_calor" title="Equació de la calor">equació de la calor</a>, en la <a href="/wiki/Termodin%C3%A0mica" title="Termodinàmica">termodinàmica</a>.</li> <li>L'<a href="/wiki/Equaci%C3%B3_d%27ones" class="mw-redirect" title="Equació d'ones">equació d'ones</a>.</li> <li>L'<a href="/wiki/Equaci%C3%B3_de_Laplace" title="Equació de Laplace">equació de Laplace</a>, que defineix <a href="/wiki/Funci%C3%B3_harm%C3%B2nica" title="Funció harmònica">funcions harmòniques</a>.</li> <li>L'<a href="/wiki/Equaci%C3%B3_de_Poisson" title="Equació de Poisson">equació de Poisson</a>.</li></ul> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples_inicials">Exemples inicials</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=1" title="Modifica la secció: Exemples inicials"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Fins i tot si no és la disciplina que ha fet néixer les equacions diferencials, la <a href="/w/index.php?title=Din%C3%A0mica_de_les_poblacions&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dinàmica de les poblacions (encara no existeix)">dinàmica de les poblacions</a> il·lustra de manera senzilla exemples dels més accessibles. Així l'estudi d'una població aïllada, en un mitjà que produeix aliments en abundància, condueix al model següent per l'evolució de la població <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> en funció del temps <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'(t)=K\,x(t)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'(t)=K\,x(t)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5e91a13fafb2f45387e804cfce7cb62fd308122" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.581ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x'(t)=K\,x(t)\,}"></span></dd></dl> <p>És a dir que el creixement de població <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/137a5197e23d156438c8b9514dfa44ab4e3a4460" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.663ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x'(t)}"></span>, és en cada instant, proporcional al volum de la població <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)}"></span>. Les solucions d'aquesta equació fan aparèixer un fenomen de <a href="/wiki/Creixement_exponencial" title="Creixement exponencial">creixement exponencial</a>. </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:Lotka_Volterra_Phase_plane_100.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Lotka_Volterra_Phase_plane_100.svg/220px-Lotka_Volterra_Phase_plane_100.svg.png" decoding="async" width="220" height="165" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Lotka_Volterra_Phase_plane_100.svg/330px-Lotka_Volterra_Phase_plane_100.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Lotka_Volterra_Phase_plane_100.svg/440px-Lotka_Volterra_Phase_plane_100.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="384" /></a><figcaption>Les corbes d'evolució de les poblacions per a les equacions de Lotka-Volterra.</figcaption></figure> <p>Un sistema més complex, format de dues espècies, presa i depredador, condueix a les <a href="/wiki/Equacions_de_Lotka-Volterra" title="Equacions de Lotka-Volterra">Equacions de Lotka-Volterra</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{cases}x'(t)&=A\,x(t)-B\,x(t)\,y(t)\\y'(t)&=-C\,y(t)+D\,x(t)\,y(t)\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>B</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>C</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>D</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{cases}x'(t)&=A\,x(t)-B\,x(t)\,y(t)\\y'(t)&=-C\,y(t)+D\,x(t)\,y(t)\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a9110944fab38a6a6d7d50104061c7aa99707a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:33.022ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{cases}x'(t)&=A\,x(t)-B\,x(t)\,y(t)\\y'(t)&=-C\,y(t)+D\,x(t)\,y(t)\end{cases}}}"></span></dd></dl> <p>La població de les preses és <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)}"></span>, la dels depredadors <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397de1edef5bf2ee15c020f325d7d781a3aa7f50" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.804ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(t)}"></span>. Es retroba el cas precedent si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> és nul. La quantitat <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)y(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)y(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3758b6acae11180bf1336835166c8a613318c76e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.783ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)y(t)}"></span> és una probabilitat que es trobin, que influeix negativament en una població (les preses) i positivament sobre l'altre (els depredadors). En cada instant, coneixent les poblacions existents, es pot descriure l'evolució. Aquestes dues equacions estan <b>acoblades</b> és a dir que cal resoldre-les conjuntament. Matemàticament, cal concebre-les com una sola equació de desconeguda la parella <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x(t),y(t))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x(t),y(t))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b80868600db89fef84e4d41317b7c8a1e0d047" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.626ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x(t),y(t))}"></span>. Si la magnitud inicial de les poblacions és coneguda, l'evolució ulterior queda perfectament determinada. Es fa al llarg d'una de les corbes d'evolució representades a la figura, que mostren que apareix un comportament cíclic. </p><p>Una de les més cèlebres equacions diferencials és la <a href="/wiki/Lleis_de_Newton" title="Lleis de Newton">segona llei de Newton</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=ma}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=ma}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fec3c524e20d7c3ba6e40b4db898c6a54eb543a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.647ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f=ma}"></span>, on <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"></span> és la massa d'una partícula, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> la força exercitada sobre aquesta i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> l'acceleració que en resulta. En el cas d'un moviment rectilini, si la força experimentada és funció de la posició (per exemple en el cas d'una <a href="/wiki/Molla" title="Molla">molla</a>) s'obté una equació de la forma </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc7f430b8b8dca3d605f6323113b3e6714b8464" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.995ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x)}"></span></dd></dl> <p>En aquest cas, per determinar perfectament el moviment, cal donar la posició i la velocitat inicials. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Equació_diferencial,_processos_que_evolucionen_i_determinisme"><span id="Equaci.C3.B3_diferencial.2C_processos_que_evolucionen_i_determinisme"></span>Equació diferencial, processos que evolucionen i determinisme</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=2" title="Modifica la secció: Equació diferencial, processos que evolucionen i determinisme"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les característiques d'un sistema regit per una equació diferencial són les següents : </p> <ul><li>Els <b>estats</b> possibles <i>a priori</i> pel sistema formen un espai de dimensió finita, és a dir es poden descriure per un nombre finit de variables. Aquest espai és l'<a href="/wiki/Espai_de_fases" title="Espai de fases">espai de fases</a>. Per exemple, per descriure el moviment d'una partícula en l'espai usual, calen tres variables. Per al moviment d'un sòlid, en calen sis.</li></ul> <ul><li>Les lleis que governen l'evolució temporal són funcions almenys <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">derivables</a>.</li></ul> <ul><li>L'evolució del sistema és <b><a href="/wiki/Determinisme" title="Determinisme">determinista</a></b>: coneixent les <b>condicions inicials</b>, és a dir, l'estat del sistema al temps present, se'n pot deduir l'estat del sistema a qualsevol temps del futur o del passat.</li></ul> <p>L'aspecte determinista de les equacions diferencials té implicacions particularment fortes, i es plasma matemàticament pel <a href="/wiki/Teorema_de_Picard-Lindel%C3%B6f" title="Teorema de Picard-Lindelöf">teorema de Picard-Lindelöf</a>. </p><p>Les equacions diferencials ordinàries (de vegades representades per les sigles EDO) s'han de distingir de les <b><a href="/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial_en_derivades_parcials" title="Equació diferencial en derivades parcials">equacions diferencials en derivades parcials</a></b> (EDP), on <i>y</i> és funció de diverses <a href="/wiki/Variable_(matem%C3%A0tiques)" title="Variable (matemàtiques)">variables</a> i on intervenen les derivades parcials. Aquestes últimes tenen un espai d'estat de dimensió infinita i no són més necessàriament processos d'evolució determinista. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definició_general"><span id="Definici.C3.B3_general"></span>Definició general</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=3" title="Modifica la secció: Definició general"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Sigui <i>E</i> un <a href="/wiki/Espai_vectorial" title="Espai vectorial">espai vectorial</a> de dimensió finita. </p><p>Per definició, una <b>equació diferencial</b> (de vegades: equació diferencial ordinària) és una <a href="/wiki/Equaci%C3%B3" title="Equació">equació</a> amb la forma següent </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y,y',\dots ,y^{(n)})=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y,y',\dots ,y^{(n)})=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8fba90970af2cf90dec6484f221fe0b32b1641" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.046ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle F(x,y,y',\dots ,y^{(n)})=0}"></span> </p><p>on <i>F</i> és una funció contínua sobre un obert <i>U</i> de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} \times E^{n+1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>×</mo> <msup> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \times E^{n+1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1348e551d21464772e98b2734451fbb0ea9c5d1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.631ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \times E^{n+1}}"></span>, anomenat <b>domini</b>. </p><p>L'<b>ordre</b> d'aquesta equació diferencial és l'ordre <i>n</i> de la derivada de major ordre que hi aparegui. Siguin <i>y</i> una funció de <i>x</i> definida en un interval <i>I</i> en <i>E</i> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y',y'',\ldots ,y^{(n)}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y',y'',\ldots ,y^{(n)}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1642d101dfa74609b633525f4521e3a19466975a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.4ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y',y'',\ldots ,y^{(n)}\,}"></span> les <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">derivades</a> successives de la funció <i>y</i>. Aquesta funció <i>y</i> s'anomena solució si és de classe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {C}}^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">C</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {C}}^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa78532f9ecd4d2c24067453326c56c10a2507f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.462ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {C}}^{n}}"></span> i si </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x\in I,\qquad F(x,y(x),y'(x),\dots ,y^{(n)}(x))=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in I,\qquad F(x,y(x),y'(x),\dots ,y^{(n)}(x))=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d6f282a562c6df71cebf590a0c6c446df61295a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.776ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \forall x\in I,\qquad F(x,y(x),y'(x),\dots ,y^{(n)}(x))=0}"></span></dd></dl> <p>Resoldre una equació diferencial significa trobar els <b>funcions solucions</b> <i>y</i>. Per exemple, l'equació diferencial <i>y' ' + y = 0</i> té una solució general de forma: </p> <dl><dd><i>y</i>(<i>x</i>) = <i>A</i>·cos <i>x</i> + <i>B</i>·sin <i>x</i></dd></dl> <p>on <i>A, B</i> són constants (que es poden determinar si s'afegeixen condicions inicials). </p><p>En una equació diferencial, la funció <i>y</i> pot ser de valors reals, o de valors en un <a href="/wiki/Espai_vectorial" title="Espai vectorial">espai vectorial</a> de dimensió finita, així si <i>y</i> té per components <i>y<sub>1</sub></i> i <i>y₂</i>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{cases}y'_{1}&=y_{1}-2xy_{2}+x^{2}\\y'_{2}&=xy_{1}-2y_{2}\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{cases}y'_{1}&=y_{1}-2xy_{2}+x^{2}\\y'_{2}&=xy_{1}-2y_{2}\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddc0433f519393f532bd4772f41ef4a97ea76a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.408ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{cases}y'_{1}&=y_{1}-2xy_{2}+x^{2}\\y'_{2}&=xy_{1}-2y_{2}\end{cases}}}"></span></dd></dl> <p>L'habitual en física és de parlar llavors de <b>sistema d'equacions diferencials acoblades</b>. Però el punt de vista fecund en matemàtiques és de no veure-hi més que una sola equació, per a una funció amb valors vectorials. </p><p>Encara es pot ampliar la definició, considerant equacions diferencials sobre <a href="/wiki/Varietat_diferencial" class="mw-redirect" title="Varietat diferencial">varietats diferencials</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Solucions">Solucions</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=4" title="Modifica la secció: Solucions"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Duració_de_vida"><span id="Duraci.C3.B3_de_vida"></span>Duració de vida</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=5" title="Modifica la secció: Duració de vida"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Si <i>y</i> és solució d'una equació diferencial a l'interval I, es pot considerar la seva <a href="/wiki/Funci%C3%B3_matem%C3%A0tica" class="mw-redirect" title="Funció matemàtica">restricció</a> a un interval J inclòs en I. Aquesta es continuarà sent solució de l'equació diferencial. Una solució també s'anomena <b>corba integral</b>. </p><p>Sovint és assenyat de no considerar més que les <b>solucions màximes</b>, també anomenades <b>corbes integrals màximals</b>, és a dir les que no són restriccions de cap altra. L'interval de definició s'anomena <b>interval maximal</b>. </p><p>No cal creure per a tant que les solucions màximes estan definides a tot <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span>. És perfectament possible que tinguin una <b>duració de vida finita</b> en el futur o en el passat. És el cas de les solucions de l'equació y'=y², per exemple. </p><p>Tanmateix, si una solució es manté confinada en un domini <a href="/wiki/Espai_compacte" title="Espai compacte">compacte</a>, llavors té una duració de vida infinita. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Equació_diferencial_en_forma_normal"><span id="Equaci.C3.B3_diferencial_en_forma_normal"></span>Equació diferencial en forma normal</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=6" title="Modifica la secció: Equació diferencial en forma normal"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Una equació diferencial d'ordre <i>n</i> està en <b>forma normal</b> quan es pot expressar la derivada de major grau en funció de <i>x</i> i de les derivades de graus inferiors </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y^{(n)}=G(x,y,y',\dots ,y^{(n-1)})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{(n)}=G(x,y,y',\dots ,y^{(n-1)})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cead42b3641a2be5787083c6a478e7f5f429e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.728ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle y^{(n)}=G(x,y,y',\dots ,y^{(n-1)})}"></span></dd></dl> <p>on <i>G</i> és una funció continua. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Exemple">Exemple</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=7" title="Modifica la secció: Exemple"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>L'equació diferencial escalar d'ordre 1 en forma normal: <i>y '= G(x, y)</i>, admet una interpretació geomètrica senzilla en el pla portat d'eixos <i>(Ox)</i>, <i>(Oy)</i>. Es pot representar, associar a cada punt de coordenades <i>x, y</i>, el vector de components 1 i <i>G(x, y)</i>, el que constitueix un <a href="/wiki/Camp_vectorial" title="Camp vectorial">camp vectorial</a> al pla. Les corbes solucions són les representacions gràfiques de funcions <i>y = f(x)</i>, continûment derivables, la tangent de les quals en cada punt ve donada pel camp vectorial. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Forma_normal_i_forma_implícita"><span id="Forma_normal_i_forma_impl.C3.ADcita"></span>Forma normal i forma implícita</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=8" title="Modifica la secció: Forma normal i forma implícita"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les equacions diferencials que es poden posar sota forma normal gaudeixen de bones propietats teòriques, amb un teorema d'existència i d'unicitat de solucions: el <a href="/wiki/Teorema_de_Picard-Lindel%C3%B6f" title="Teorema de Picard-Lindelöf">teorema de Picard-Lindelöf</a> també anomenat teorema de Cauchy-Lipschitz. </p><p>En cas contrari es diu que l'equació diferencial està en <b>forma implícita</b>. S'intenta, en els dominis més grans possibles, posar l'equació diferencial en forma normal. Després s'ha de procedir a l'enllaç de les solucions obtingudes. El tractament de les equacions diferencials d'aquest tipus es trctarà al final de l'article. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Condicions_inicials,_teorema_de_Picard-Lindelöf"><span id="Condicions_inicials.2C_teorema_de_Picard-Lindel.C3.B6f"></span>Condicions inicials, teorema de Picard-Lindelöf</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=9" title="Modifica la secció: Condicions inicials, teorema de Picard-Lindelöf"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r30997230">.mw-parser-output .hatnote{font-style:italic}.mw-parser-output div.hatnote{padding-left:1.6em;margin-bottom:0.5em}.mw-parser-output .hatnote i{font-style:normal}.mw-parser-output .hatnote+link+.hatnote{margin-top:-0.5em}</style><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Article principal: <a href="/wiki/Teorema_de_Picard-Lindel%C3%B6f" title="Teorema de Picard-Lindelöf">teorema de Picard-Lindelöf</a></div> <p>Una <b>condició inicial</b> o <b>condició de Cauchy</b>, per a una equació d'ordre <i>n</i> de desconeguda <i>y</i> és la dada d'un valor <i>x<sub>0</sub></i> i de <i>n</i> vectors <i>Y<sub>0</sub>,..., Y<sub>n-1</sub></i>. La funció solució <i>y</i> satisfa aquestes condicions inicials si </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(x_{0})=Y_{0},\qquad y'(x_{0})=Y_{1},\qquad \dots \qquad y^{(n-1)}(x_{0})=Y_{n-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mo>…</mo> <mspace width="2em" /> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(x_{0})=Y_{0},\qquad y'(x_{0})=Y_{1},\qquad \dots \qquad y^{(n-1)}(x_{0})=Y_{n-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a3d8817ccb13247a63d3388e1d8b5cb2c2e44d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:59.228ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle y(x_{0})=Y_{0},\qquad y'(x_{0})=Y_{1},\qquad \dots \qquad y^{(n-1)}(x_{0})=Y_{n-1}}"></span></dd></dl> <p>Un <b>problema de Cauchy</b> és aquell en què hi ha una equació diferencial conjuntament amb un joc de condicions inicials. </p><p>Per a una equació diferencial <i>en forma normal</i>, mitjançant una hipòtesi de regularitat bastant poc exigent (caràcter localment <a href="/wiki/Funci%C3%B3_Lipschitz" title="Funció Lipschitz">lipschitzià</a> a <i>x</i> fixat, respecte al bloc de les altres variables), el <a href="/wiki/Teorema_de_Picard-Lindel%C3%B6f" title="Teorema de Picard-Lindelöf">teorema de Picard-Lindelöf</a> estableix que, per a cada condició inicial: </p> <ul><li>existeix una solució que la satisfà i que està definida en un interval de forma <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ]x_{0}-\alpha ,x_{0}+\alpha [}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">]</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">[</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ]x_{0}-\alpha ,x_{0}+\alpha [}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8f78ad1b7090cf93351348c8f8901b02374ad3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.751ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ]x_{0}-\alpha ,x_{0}+\alpha [}"></span></li></ul> <ul><li>existeix una única solució màximal que la satisfà.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Condicions_de_contorn">Condicions de contorn</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=10" title="Modifica la secció: Condicions de contorn"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Un altre problema clàssic és el de les <b><a href="/w/index.php?title=Condicions_de_contorn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Condicions de contorn (encara no existeix)">condicions de contorn</a></b>, pel qual es prescriuen els valors d'una funció solució en diversos punts, fins i tot els valors als límits d'una funció solució als extrems del domini. Com el problema: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{cases}y''+y=0\\y(0)=y(2\pi )=0\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <msup> <mi>y</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{cases}y''+y=0\\y(0)=y(2\pi )=0\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214a49c96187eb73589aeee5718be4b4e677ce06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.44ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{cases}y''+y=0\\y(0)=y(2\pi )=0\end{cases}}}"></span></dd></dl> <p>Tal problema (de vegades anomenat <b>problema de Dirichlet</b>) pot perfectament no tenir cap solució o al contrari tenir una infinitat de funcions solució. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Resolució_explicita"><span id="Resoluci.C3.B3_explicita"></span>Resolució explicita</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=11" title="Modifica la secció: Resolució explicita"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La resolució explícita de les equacions diferencials, amb l'ajuda de les funcions usuals i de l'operador de càlcul de primitives, rarament és possible. Un petit nombre d'equacions que posseeixen formes particulars es poden portar per <a href="/wiki/Canvi_de_variable" title="Canvi de variable">canvis de variables</a> successius a l'equació més senzilla de totes: l'equació <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'=f\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'=f\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e56e008c348b641be2cabe5c2c4d3afeb7bcc1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.609ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y'=f\,}"></span> que és un senzill càlcul d'una primitiva. </p><p>Entre les equacions diferencials que poden ser resoltes completament hi ha les <a href="/w/index.php?title=Equacions_diferencials_lineals_d%27ordre_u&action=edit&redlink=1" class="new" title="Equacions diferencials lineals d'ordre u (encara no existeix)">equacions diferencials lineals d'ordre u</a>, les <a href="/w/index.php?title=Equacions_diferencials_de_variables_separades&action=edit&redlink=1" class="new" title="Equacions diferencials de variables separades (encara no existeix)">equacions diferencials de variables separades</a>, els <a href="/w/index.php?title=Equacions_diferencial_homog%C3%A8nies&action=edit&redlink=1" class="new" title="Equacions diferencial homogènies (encara no existeix)">equacions diferencial homogènies</a>, l'<a href="/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial_de_Bernoulli" title="Equació diferencial de Bernoulli">Equació de Bernoulli</a>, les equacions diferencials vectorials de coeficients constants. </p><p>Altres poden ser resoltes completament des del moment que es coneix una solució particular, com l'<a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial_lineal_d%27ordre_dos&action=edit&redlink=1" class="new" title="Equació diferencial lineal d'ordre dos (encara no existeix)">equació diferencial lineal d'ordre dos</a> i l'<a href="/wiki/Equaci%C3%B3_de_Riccati" title="Equació de Riccati">equació diferencial de Riccati</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propietats_de_continuïtat_de_les_solucions"><span id="Propietats_de_continu.C3.AFtat_de_les_solucions"></span>Propietats de continuïtat de les solucions</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=12" title="Modifica la secció: Propietats de continuïtat de les solucions"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Continuïtat_respecte_a_les_condicions_inicials_i_als_paràmetres"><span id="Continu.C3.AFtat_respecte_a_les_condicions_inicials_i_als_par.C3.A0metres"></span>Continuïtat respecte a les condicions inicials i als paràmetres</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=13" title="Modifica la secció: Continuïtat respecte a les condicions inicials i als paràmetres"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La dada de les condicions inicials <i>x<sub>0</sub></i>, <i>Y<sub>0</sub>... Y<sub>n-1</sub></i> defineix una única funció solució que es pot notar <i>S(x<sub>0</sub>, Y<sub>0</sub>... Y<sub>n-1</sub>, x)</i>. Es defineix així una funció global <i>S</i> que pren el nom de <b>flux</b>, o <b>corrent</b> i que dona compte de la manera com les solucions varien amb les condicions inicials. El seu domini d'existència és un <a href="/wiki/Topologia" title="Topologia">obert</a>. </p><p>Si es compleixen les hipòtesis del <a href="/wiki/Teorema_de_Picard-Lindel%C3%B6f" title="Teorema de Picard-Lindelöf">teorema de Picard-Lindelöf</a>, les solucions depenen contínuament de les condicions inicials, és a dir que la funció <i>S</i> és una funció contínua del conjunt de les seves variables. </p><p>Si es fa dependre contínuament el sistema d'un paràmetre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }"></span>, també hi ha continuïtat de <i>S</i> respecte a aquest paràmetre. En efecte afegir un paràmetre pot arribar a modificar el sistema. N'hi ha prou amb afegir un component <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda }"></span> a la funció buscada, i imposar-li que verifiqui l'equació <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda '=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda '=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29dcf82e8c77bb15f7645139a441174d92f9e6a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.559ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Lambda '=0}"></span> i la condició inicial <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda (x_{0})=\lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda (x_{0})=\lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50fc27030b95f86ec86e11b900e199958d6fff1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.26ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Lambda (x_{0})=\lambda }"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Propietats_globals">Propietats globals</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=14" title="Modifica la secció: Propietats globals"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Sigui <i>y</i> una solució particular de l'equació diferencial, que té per condicions inicials <i>x<sub>0</sub></i>, <i>Y<sub>0</sub>... Y<sub>n-1</sub></i>. La propietat de continuïtat permet donar el comportament de les solucions que corresponen a condicions inicials veïnes. </p> <ul><li>si es restringeix la solució a un <a href="/wiki/Interval_(matem%C3%A0tiques)" title="Interval (matemàtiques)">segment</a> <i>[x<sub>i</sub>, x<sub>f</sub>]</i> que conté <i>x<sub>0</sub></i>, les solucions de condicions inicials veïnes formen un <b>tub de solucions</b> al voltant de la solució <i>y</i>.</li></ul> <p>Més precisament, per a tot <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon >0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon >0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon >0}"></span>, existeix <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta >0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>η</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta >0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce70a0b6474dcb5aaeea68b799038e8f60b54ef1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.43ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \eta >0}"></span> tal que si <i>z</i> és solució amb condicions inicials <i>x<sub>0</sub></i>, <i>Z<sub>0</sub>... Z<sub>n-1</sub></i> i els <i>Z<sub>i</sub></i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>η</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \eta }"></span> dels <i>Y<sub>i</sub></i>, llavors la solució <i>z</i> es troba en un <a href="/w/index.php?title=Ve%C3%AFnatge_tubular&action=edit&redlink=1" class="new" title="Veïnatge tubular (encara no existeix)">veïnatge tubular</a> de <i>y</i>, de radi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }"></span>. </p><p>Per tant, si es pren una successió <i>z<sub>n</sub></i> de tals solucions, les condicions inicials de les quals tendeixen cap a les de <i>y</i>, la successió <i>z<sub>n</sub></i> <a href="/wiki/Converg%C3%A8ncia_uniforme" title="Convergència uniforme">convergeix uniformement</a> cap a <i>y</i>. </p> <ul><li>si s'estudia la solució sobre tot el seu àmbit d'existència, aquesta propietat ja no es verifica.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Estabilitat_de_les_solucions">Estabilitat de les solucions</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=15" title="Modifica la secció: Estabilitat de les solucions"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La solució (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span>,0) de l'equació diferencial x'=f(t,x) és estable si existeix una <a href="/w/index.php?title=Funci%C3%B3_de_liapounov&action=edit&redlink=1" class="new" title="Funció de liapounov (encara no existeix)">Funció de liapounov</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Efecte_papallona,_caos"><span id="Efecte_papallona.2C_caos"></span>Efecte papallona, caos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=16" title="Modifica la secció: Efecte papallona, caos"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r30997230"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Article principal: <a href="/wiki/Teoria_del_caos" title="Teoria del caos">teoria del caos</a></div> <p>Les propietats de continuïtat precedents s'han de manejar amb precaució, ja que no aporten informació quantificada. En la pràctica, s'observa en nombrosos sistemes una <a href="/w/index.php?title=Sensibilitat_(metrologia)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sensibilitat (metrologia) (encara no existeix)">sensibilitat</a> extrema a llarg termini respecte de petites variacions inicials, fenomen popularitzat per <a href="/wiki/Edward_Lorenz" title="Edward Lorenz">Edward Lorenz</a> sota el nom d'<a href="/wiki/Efecte_papallona" title="Efecte papallona">efecte papallona</a>. Per donar compte de manera satisfactòria de l'evolució d'un sistema físic en un temps molt llarg, caldria portar les mesures de les condicions inicials fins a una precisió impensable. Així caldria incloure en el càlcul de <a href="/wiki/Model_num%C3%A8ric_de_predicci%C3%B3_meteorol%C3%B2gica" title="Model numèric de predicció meteorològica">previsions meteorològiques</a> de molt llarg terme fins i tot l'aleteig de les ales d'una papallona. </p><p>Els sistemes regits per equacions diferencials, encara que siguin en principi deterministes, poden arborar comportaments extremadament complexos i semblar desordenats, caòtics. <a href="/wiki/Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Henri Poincaré</a> va ser el primer a aclarir aquesta noció de <a href="/wiki/Teoria_del_caos" title="Teoria del caos">caos</a> determinista. Les seves idees trigaran a ser represes, però serveixen ara de fonament a la teoria dels <a href="/wiki/Sistemes_din%C3%A0mics" class="mw-redirect" title="Sistemes dinàmics">sistemes dinàmics</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Classificacions">Classificacions</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=17" title="Modifica la secció: Classificacions"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Equació_diferencial_autònoma"><span id="Equaci.C3.B3_diferencial_aut.C3.B2noma"></span>Equació diferencial autònoma</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=18" title="Modifica la secció: Equació diferencial autònoma"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r30997230"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Article principal: <a href="/wiki/Camp_vectorial" title="Camp vectorial">camp vectorial</a></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:Line-Integral.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/Line-Integral.gif/220px-Line-Integral.gif" decoding="async" width="220" height="202" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/Line-Integral.gif 1.5x" data-file-width="300" data-file-height="275" /></a><figcaption>Traçat d'una corba integral (blau) seguint un camp vectorial (verd)</figcaption></figure> <p>Un cas particular important és aquell on la variable no apareix en l'equació funcional, llavors es qualifica d'<i>autònoma</i>: així l'equació <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'=f(y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'=f(y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e971a50bfd9deb2a65bc0df37cd8e08d0cccaec9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.187ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y'=f(y)}"></span> ho és. </p><p>Les lleis de la física s'apliquen en general a funcions del temps, i es presenten en forma d'equacions diferencials autònomes, el que manifesta la invariància d'aquestes lleis amb el temps. Així si un sistema autònom torna a la seva posició inicial al cap d'un interval de temps <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span>, presenta des de llavors una evolució periòdica de període <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span>. </p><p>L'estudi de les equacions autònomes és equivalent al dels <a href="/wiki/Camp_vectorial" title="Camp vectorial">camps vectorials</a>. Per a una equació del primer ordre, les solucions són una família de corbes que no es tallen (segons el <a href="/wiki/Teorema_de_Picard-Lindel%C3%B6f" title="Teorema de Picard-Lindelöf">teorema de Picard-Lindelöf</a>) i que omplen l'espai. Són tangents al camp vectorial en cada punt. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Equació_diferencial_lineal"><span id="Equaci.C3.B3_diferencial_lineal"></span>Equació diferencial lineal</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=19" title="Modifica la secció: Equació diferencial lineal"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r30997230"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Article principal: <a href="/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial_lineal" title="Equació diferencial lineal">equació diferencial lineal</a></div> <p>Una equació diferencial s'anomena lineal quan l'expressió de l'equació és <a href="/wiki/Equaci%C3%B3_lineal" title="Equació lineal">lineal</a> (o més generalment afí) respecte al bloc de variables <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (y,y',...y^{(n)})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (y,y',...y^{(n)})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cca296aedca2f4830a5bc3ed5bc5fc3afdaad73" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.638ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (y,y',...y^{(n)})}"></span>. Una equació diferencial lineal escalar d'ordre n i de desconeguda y serà doncs de la forma </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+...+a_{n}y^{(n)}=a_{n+1}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>y</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+...+a_{n}y^{(n)}=a_{n+1}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578b7c2de3bcc34bcbe7776ff139cd3b7e1edba6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:38.69ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+...+a_{n}y^{(n)}=a_{n+1}\,}"></span></dd></dl> <p>on <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e26edb91f3d193b20a8caac8b82028965838be40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.671ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{0}\,}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ec22acb8590a4f4e5896620652180e0d559fd0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.671ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{1}\,}"></span>... <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f1e65b9a17bdac870b98385804e7009cdacfdd7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.835ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n}\,}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n+1}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n+1}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58890bae967a452811a9ddcfd891e2fd48a72ffb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.936ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n+1}\,}"></span> són funcions numèriques. </p><p>Una equació diferencial lineal vectorial d'ordre <i>n</i> tindrà el mateix aspecte, reemplaçant els <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.029ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{i}}"></span> per aplicacions lineals (o sovint per matrius) funcions de <i>x</i>. Tal equació de vegades també s'anomena <a href="/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial_lineal" title="Equació diferencial lineal">sistema diferencial lineal</a>. </p><p><b>Particularitats de les equacions diferencials lineals en forma normal</b> </p> <ul><li>les solucions tenen una duració de vida infinita.</li></ul> <ul><li>es poden superposar (fer combinacions lineals de solucions d'equacions diferencials lineals).</li></ul> <ul><li>quan l'equació és <b>homogènia</b> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n+1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n+1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ca63bae846c1f453ed862ef56a5747ca45f139" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.549ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n+1}}"></span> = 0), el seu conjunt de solucions és un espai vectorial de dimensió <i>n</i> vegades la dimensió de <i>E</i>.</li></ul> <ul><li>n'hi ha prou doncs amb trobar un nombre suficient de solucions independents de l'equació homogènia per resoldre-la. Es pot provar la independència de solucions amb l'ajuda del <a href="/wiki/Wronski%C3%A0" title="Wronskià">wronskià</a>.</li></ul> <ul><li>el conjunt de les solucions de l'equació general és un espai afí: la solució general està formada per la suma d'aquesta solució particular amb la solució general de l'equació lineal homogènia associada.</li></ul> <ul><li>el <a href="/w/index.php?title=M%C3%A8tode_de_variaci%C3%B3_de_les_constants&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mètode de variació de les constants (encara no existeix)">Mètode de variació de les constants</a> permet, una vegada resolta l'equació homogènia, resoldre l'equació completa.</li></ul> <ul><li>en el cas d'equacions de coeficients constants, es disposa de fórmules de resolució explícites amb l'ajuda d'<a href="/wiki/Funci%C3%B3_exponencial" title="Funció exponencial">exponencials</a> de matrius o d'endomorfismes, o també utilitzant la <a href="/wiki/Transformada_de_Laplace" title="Transformada de Laplace">transformada de Laplace</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Equació_diferencial_holomorfa"><span id="Equaci.C3.B3_diferencial_holomorfa"></span>Equació diferencial holomorfa</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=20" title="Modifica la secció: Equació diferencial holomorfa"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Una <a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial_holomorfa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Equació diferencial holomorfa (encara no existeix)">equació diferencial holomorfa</a> és l'homòloga, per a la variable complexa, d'una equació diferencial ordinària. La teoria general és però molt més complexa. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Resultats_locals">Resultats locals</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=21" title="Modifica la secció: Resultats locals"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Una equació diferencial holomorfa en forma normal verifica l'equivalent del teorema de Picard-Lindelöf: existència i unicitat locals d'una funció solució, ella mateixa holomorfa. A més a més si l'equació depèn de paràmetres de manera holomorfa, la solució també. Hi ha també dependència holomorfa en les condicions inicials. Tanmateix ja no hi ha, en general, concordança en una única solució màximal. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Resultats_globals">Resultats globals</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=22" title="Modifica la secció: Resultats globals"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Es troben dificultats fins i tot per a l'equació diferencial més senzilla: el càlcul de <a href="/wiki/Primitiva" title="Primitiva">primitives</a>. Per exemple: la construcció d'una funció tal com el <a href="/w/index.php?title=Logaritme_complex&action=edit&redlink=1" class="new" title="Logaritme complex (encara no existeix)">logaritme complex</a> no és unívoca. Es pot intentar construir determinacions de la funció logaritme sobre oberts els més gran possible. També es pot construir una de primitiva «al llarg d'un camí». Apareix llavors el fenomen de <a href="/wiki/Monodromia" title="Monodromia">monodromia</a>: si el camí fa un tomb en el sentit directe al voltant de l'origen, la primitiva es modifica per una constant (2iπ;). Per donar compte de la situació, cal fer intervenir els conceptes de <a href="/wiki/Espai_revestiment" title="Espai revestiment">revestiment</a>, <a href="/w/index.php?title=Punt_de_ramificaci%C3%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Punt de ramificació (encara no existeix)">punt de ramificació</a>. </p><p>Les funcions potèncial són igualment solucions d'equacions diferencials senzilles i susceptibles de presentar monodromia. Així l'equació <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z'=-z^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>z</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z'=-z^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bd4a32f4d5c9e3a1ac91dc2718f2fe3d43499a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.826ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z'=-z^{3}}"></span> no admet cap solució no nul·la holomorfa, ni fins i tot <a href="/wiki/Funci%C3%B3_meromorfa" title="Funció meromorfa">meromorfa</a> en tot el pla. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cas_lineal">Cas lineal</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=23" title="Modifica la secció: Cas lineal"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La teoria de les equacions diferencials holomorfes lineals sota forma normal és molt semblant a la de les equacions de variable real, en tant es mantingui sobre dominis <a href="/w/index.php?title=Simplement_connexos&action=edit&redlink=1" class="new" title="Simplement connexos (encara no existeix)">simplement connexos</a>. Si no, també dona lloc a problemes de tipus <a href="/w/index.php?title=Punt_de_ramificaci%C3%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Punt de ramificació (encara no existeix)">punt de ramificació</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mètodes_numèrics"><span id="M.C3.A8todes_num.C3.A8rics"></span>Mètodes numèrics</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=24" title="Modifica la secció: Mètodes numèrics"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La resolució de les equacions diferencials <b>per quadratura</b> (és a dir, amb l'ajuda de les operacions elementals i del càlcul de primitives) no és possible més que en un nombre de casos molt limitat. Per exemple, ni tan sols les equacions diferencials lineals escalars d'ordre dos no admeten tal fórmula de resolució general. És doncs indispensable disposar de tècniques de resolució aproximada. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mètode_d'Euler"><span id="M.C3.A8tode_d.27Euler"></span>Mètode d'Euler</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=25" title="Modifica la secció: Mètode d'Euler"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r30997230"><div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Article principal: <a href="/wiki/M%C3%A8tode_d%27Euler" title="Mètode d'Euler">Mètode d'Euler</a></div> <p>Aquest mètode, el més antic i el més senzill, posseeix també un interès teòric, ja que permet demostrar l'existència de solucions sota hipòtesis més febles que el teorema de Picard-Lindelöf: és el <a href="/w/index.php?title=Teorema_de_Cauchy-Peano-Arzela&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teorema de Cauchy-Peano-Arzela (encara no existeix)">Teorema de Cauchy-Peano-Arzela</a>. </p><p>Es considera una equació diferencial d'ordre 1 en forma normal y'=f(x, y), amb la condició inicial y(x<sub>0</sub>)=y<sub>0</sub>. </p><p>El principi és d'aproximar la solució <i>y</i> sobre [a, b] per una funció afí per trossos, efectuant una discretització del paràmetre: es posa </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}=a+ih}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}=a+ih}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b12244b514e67921d8da40351d0f7642df05759" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.439ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{i}=a+ih}"></span> on <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h=(b-a)/n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=(b-a)/n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3c963e71ece9c703fdf76d899a8ac8b3ab636d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.872ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h=(b-a)/n}"></span> és el <b>pas</b>.</dd></dl> <p>La funció afí per trossos ajuntarà doncs els punts de coordenades (x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>), i es tracta de proposar un algorisme per construir els y<sub>i</sub> a partir de y<sub>0</sub>. Sobre cada interval [x<sub>i</sub>, x<sub>i+1</sub>] es pren per pendent del segment afí la que suggereix l'equació: f(x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Altres_mètodes"><span id="Altres_m.C3.A8todes"></span>Altres mètodes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=26" title="Modifica la secció: Altres mètodes"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Els més clàssics són el mètode d'Euler millorat (l'error es divideix per 4 si el pas es divideix per 2, el que és una millora notòria del mètode d'Euler senzill), els <a href="/wiki/M%C3%A8todes_de_Runge-Kutta" title="Mètodes de Runge-Kutta">mètodes de Runge-Kutta</a>, el <a href="/wiki/M%C3%A8tode_de_Newmark" title="Mètode de Newmark">mètode de Newmark</a>, el <a href="/w/index.php?title=M%C3%A8tode_de_les_difer%C3%A8ncies_finites&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mètode de les diferències finites (encara no existeix)">mètode de les diferències finites</a> o el <a href="/wiki/An%C3%A0lisi_d%27elements_finits" title="Anàlisi d'elements finits">mètode dels elements finits</a> que està més adaptat per als E.D.P. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Equació_diferencial_en_forma_implícita"><span id="Equaci.C3.B3_diferencial_en_forma_impl.C3.ADcita"></span>Equació diferencial en forma implícita</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=27" title="Modifica la secció: Equació diferencial en forma implícita"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tractament_d'un_exemple"><span id="Tractament_d.27un_exemple"></span>Tractament d'un exemple</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=28" title="Modifica la secció: Tractament d'un exemple"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:Diffeq.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9f/Diffeq.svg/220px-Diffeq.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9f/Diffeq.svg/330px-Diffeq.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9f/Diffeq.svg/440px-Diffeq.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a><figcaption>Traçat d'algunes solucions de (y')²+xy'-y=0. En blau les solucions regulars, en verd la solució singular, en vermell la solució hibrida mencionada al text</figcaption></figure> <p>Sigui l'equació diferencial implícita </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (y')^{2}+xy'-y=0\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (y')^{2}+xy'-y=0\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4981284dee2f80bf37d319c73cbb5c29e0e771a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.368ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (y')^{2}+xy'-y=0\,}"></span></dd></dl> <p>Per estudiar-la s'efectua una partició del <a href="/wiki/Pla" title="Pla">pla</a>: es distingeixen els valors <i>(x, y)</i> per als quals l'equació <i>T²+xT-y=0</i> admet 0,1 o 2 solucions. S'obtenen tres regions <i>U</i>, <i>V</i>, <i>W</i>. La regió <i>V</i> és la <a href="/wiki/Par%C3%A0bola" title="Paràbola">paràbola</a> d'equació <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=-{\frac {1}{4}}x^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=-{\frac {1}{4}}x^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3001e7f2737d7824400b514019d9f141989c5e80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.445ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle y=-{\frac {1}{4}}x^{2}}"></span>, les regions <i>U</i> i <i>W</i> són els dos <a href="/wiki/Conjunt_obert" title="Conjunt obert">oberts</a> que delimita. </p><p>Es comença per centrar l'interés en les solucions que no són traçades més que sobre un dels tres dominis </p> <ol><li>A la regió <i>U</i>, l'equació no admet cap solució.</li> <li>Hi ha una solució sencera traçada a <i>V</i>, és la solució singular <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=-{\frac {1}{4}}x^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=-{\frac {1}{4}}x^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3001e7f2737d7824400b514019d9f141989c5e80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.445ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle y=-{\frac {1}{4}}x^{2}}"></span> traçada en verd a la figura.</li> <li>En l'obert <i>W</i>, l'equació es pot posar sota una de les dues formes normals</li></ol> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'={\frac {-x+{\sqrt {x^{2}+4y}}}{2}}\qquad y'={\frac {-x-{\sqrt {x^{2}+4y}}}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>y</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mspace width="2em" /> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>y</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'={\frac {-x+{\sqrt {x^{2}+4y}}}{2}}\qquad y'={\frac {-x-{\sqrt {x^{2}+4y}}}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd50447c7e037c2f4c82392c412e02b33410fdf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:47.893ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle y'={\frac {-x+{\sqrt {x^{2}+4y}}}{2}}\qquad y'={\frac {-x-{\sqrt {x^{2}+4y}}}{2}}}"></span></dd></dl> <p>Cadascuna d'aquestes dues equacions verifica el <a href="/wiki/Teorema_de_Picard-Lindel%C3%B6f" title="Teorema de Picard-Lindelöf">teorema de Picard-Lindelöf</a>. Si l'estudi es restringeix a l'obert <i>W</i>, hi ha per tant exactament dues solucions per a cada parella de solucions inicials. Són traçades en blau a la figura adjunta. En el cas present es tracta del feix de rectes, d'equació </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=Ax+A^{2}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=Ax+A^{2}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbce2459e1086afe0cc5e5357e7f9de189f03262" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.352ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y=Ax+A^{2}\,}"></span></dd></dl> <p>Són tangents a la paràbola d'equació <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=-{\frac {1}{4}}x^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=-{\frac {1}{4}}x^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3001e7f2737d7824400b514019d9f141989c5e80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.445ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle y=-{\frac {1}{4}}x^{2}}"></span>. Més precisament, les solucions traçades sobre <i>W</i> són aquestes rectes, parant al punt de tangence, ja que se surt de <i>W</i>. </p><p>Ara es pot fer l'estudi de l'equació diferencial en tot el pla. Existeixen llavors solucions «híbrids» formades enllaçant <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">C</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9791a5c97f2cf7a4a7ab3559dc4968fc60590fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.298ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}"></span> un arc de paràbola (verda) amb les solucions rectilínies (blaves). Així la solució representada en vermell: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y:x\mapsto {\begin{cases}x+1,&{\mbox{si }}x<-2\\-{\frac {1}{4}}x^{2},&{\mbox{si }}-2\leq x<2\\-x+1,&{\mbox{si }}2\leq x\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>si </mtext> </mstyle> </mrow> <mi>x</mi> <mo><</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>si </mtext> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> <mo><</mo> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>si </mtext> </mstyle> </mrow> <mn>2</mn> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y:x\mapsto {\begin{cases}x+1,&{\mbox{si }}x<-2\\-{\frac {1}{4}}x^{2},&{\mbox{si }}-2\leq x<2\\-x+1,&{\mbox{si }}2\leq x\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0494025560d433237ed50011c1c2d1502c921c3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:35.8ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle y:x\mapsto {\begin{cases}x+1,&{\mbox{si }}x<-2\\-{\frac {1}{4}}x^{2},&{\mbox{si }}-2\leq x<2\\-x+1,&{\mbox{si }}2\leq x\end{cases}}}"></span></dd></dl> <p>Tal enllaç no es pot fer més que en un punt de <i>V</i>. La descripció del conjunt de totes les solucions es faria discutint en funció: </p> <ol><li>Condició inicial en <i>U</i>: no hi ha solució.</li></ol> <ol><li>Condició inicial en <i>V</i>: per als valors de <i>x</i> superiors a <i>x<sub>0</sub></i>, la solució pot ser la paràbola sencera, o se segueix un arc de paràbola i després un es bifurca sobre la tangent. També per als valors inferiors a <i>x<sub>0</sub></i>.</li></ol> <ol><li>Condició inicial en <i>W</i>: hi ha en principi dues rectes solució, tangents a la paràbola. O bé se les perllonga indefinidament, o bé se les deixa arribar a la paràbola al nivell del punt de tangència. Es continua llavors sobre la paràbola, o un es continua sobre una tangent una mica més lluny.</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Generalització"><span id="Generalitzaci.C3.B3"></span>Generalització</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=29" title="Modifica la secció: Generalització"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Per generalitzar aquest estudi cal situar-se en un espai de tres dimensions, de coordenades <i>(x, y,p)</i>. A l'equació diferencial se li associa la <a href="/wiki/Superf%C3%ADcie" class="mw-redirect" title="Superfície">superfície</a> d'equació <i>F(x, y,p)=0</i> (la coordenada <i>p</i> permet de representar <i>y' </i>). Les solucions són corbes traçades sobre la superfície. Les dificultats trobades venen del fet que aquestes corbes són projectades sobre el pla <i>(x, y)</i>. L'aplicació de projecció dona lloc a <a href="/wiki/Punt_cr%C3%ADtic_(matem%C3%A0tiques)" title="Punt crític (matemàtiques)">punts crítics</a> als punts on el <a href="/wiki/Gradient_(matem%C3%A0tiques)" title="Gradient (matemàtiques)">gradient</a> de <i>F</i> és «vertical». Són aquests punts els que es projecten en la paràbola verda. </p><p>Finalment, el marc d'estudi és el mateix que el de la teoria dels <a href="/w/index.php?title=Evolupant&action=edit&redlink=1" class="new" title="Evolupant (encara no existeix)">evolupants</a>. La paràbola, solució singular és aquí l'evolupant de la família de les rectes, solucions regulars. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Programari">Programari</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=30" title="Modifica la secció: Programari"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/w/index.php?title=ExpressionsinBar&action=edit&redlink=1" class="new" title="ExpressionsinBar (encara no existeix)">ExpressionsinBar</a></li> <li>Maple:<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> dsolve</li> <li><a href="/wiki/SAGE_(programari_matem%C3%A0tic)" title="SAGE (programari matemàtic)">SageMath</a><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li> <li><a href="/wiki/Xcas" title="Xcas">Xcas</a>:<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> desolve(y'=k*y,y)</li></ul> <p><br /> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vegeu_també"><span id="Vegeu_tamb.C3.A9"></span>Vegeu també</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=31" title="Modifica la secció: Vegeu també"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/APMonitor" title="APMonitor">APMonitor</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=32" title="Modifica la secció: Bibliografia"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Edward_Ince" title="Edward Ince">E. L. Ince</a> <i>Ordinary differential equations</i>, Dover Publicacions, New-York. 1926. Molt útil per a la teoria de les equacions diferencials lineals amb condicions als límits.</li> <li><a href="/wiki/Vladimir_Arnold" class="mw-redirect" title="Vladimir Arnold">Vladimir Arnold</a>, <i>Équations Différentielles Ordinaires</i>, Edicions Mir, Moscu, 1974. Conté molts exemples.</li> <li><i>Équations différentielles et systèmes dynamiques</i>, John Hubbard i Beverly West, Ed. Cassini.</li> <li><i>Calcul différentiel et intégral</i>, F. Laudenbach, edició Escola Politècnica.</li> <li>Lev Pontriaguine, <i>Équations différentielles ordinaires</i>, Moscu, Edicions Mir, 1969; (un dels millors llibres, en francès, sobre l'assumpte amb una exposició molt clara sobre l'<i>application</i> de Poincaré utilitzada en la <a href="/wiki/Teoria_del_caos" title="Teoria del caos">teoria del caos</a>).</li> <li>Vladimir Damgov, <i>Nonlinear and parametric phenomena. Applications to radiometric and mechanical systems,</i> World Scientific, Series on Nonlinear Sciences, 2004</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referències"><span id="Refer.C3.A8ncies"></span>Referències</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&action=edit&section=33" title="Modifica la secció: Referències"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist {{#if: | references-column-count references-column-count-{{{col}}}" style="list-style-type: decimal;"> <div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="citation" style="font-style:normal">«<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=dsolve">dsolve - Maple Programming Help</a>». [Consulta: 15 maig 2020].</span></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="citation" style="font-style:normal">«<a rel="nofollow" class="external text" href="http://doc.sagemath.org/html/en/tutorial/tour_algebra.html">Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0</a>». [Consulta: 15 maig 2020].</span></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="citation" style="font-style:normal">«<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf">Symbolic algebra and Mathematics with Xcas</a>».</span></span> </li> </ol></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r33663753">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1;min-width:0}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}.mw-parser-output .side-box-center{clear:both;margin:auto}}</style><div class="side-box metadata side-box-right plainlinks"> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="30" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/45px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/59px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span></div> <div class="side-box-text plainlist">A <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/P%C3%A0gina_principal?uselang=ca">Wikimedia Commons</a></span> hi ha contingut multimèdia relatiu a: <i><b><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Differential_equations" class="extiw" title="commons:Category:Differential equations">Equació diferencial</a></b></i></div></div> </div> <p><br /> </p> <div role="navigation" class="navbox" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Control_d%27autoritats" title="Control d'autoritats">Registres d'autoritat</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Biblioth%C3%A8que_nationale_de_France" class="mw-redirect" title="Bibliothèque nationale de France">BNF</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb133183122">1</a>)</span></li> <li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4012249-9">1</a>)</span></li> <li><a href="/wiki/LCCN" class="mw-redirect" title="LCCN">LCCN</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85037890">1</a>)</span></li> <li><a href="/wiki/National_Diet_Library" class="mw-redirect" title="National Diet Library">NDL</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00560651">1</a>)</span></li> <li><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_la_Rep%C3%BAblica_Txeca" title="Biblioteca Nacional de la República Txeca">NKC</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph119444&CON_LNG=ENG">1</a>)</span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtingut de «<a dir="ltr" href="https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Equació_diferencial&oldid=30823175">https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Equació_diferencial&oldid=30823175</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categorias" title="Especial:Categorias">Categoria</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:Equacions_diferencials" title="Categoria:Equacions diferencials">Equacions diferencials</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categories ocultes: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:P%C3%A0gines_amb_enlla%C3%A7_commonscat_des_de_Wikidata" title="Categoria:Pàgines amb enllaç commonscat des de Wikidata">Pàgines amb enllaç commonscat des de Wikidata</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:1.000_articles_fonamentals" title="Categoria:1.000 articles fonamentals">1.000 articles fonamentals</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Ci%C3%A8ncia_(Els_1000_de_META)" title="Categoria:Ciència (Els 1000 de META)">Ciència (Els 1000 de META)</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Control_d%27autoritats" title="Categoria:Control d'autoritats">Control d'autoritats</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> La pàgina va ser modificada per darrera vegada el 25 oct 2022 a les 14:13.</li> <li id="footer-info-copyright">El text està disponible sota la <a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Text_de_la_llic%C3%A8ncia_de_Creative_Commons_Reconeixement-Compartir_Igual_4.0_No_adaptada" title="Viquipèdia:Text de la llicència de Creative Commons Reconeixement-Compartir Igual 4.0 No adaptada"> Llicència de Creative Commons Reconeixement i Compartir-Igual</a>; es poden aplicar termes addicionals. Vegeu les <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use/ca">Condicions d'ús</a>. Wikipedia® (Viquipèdia™) és una <a href="/wiki/Marca_comercial" title="Marca comercial">marca registrada</a> de <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wikimediafoundation.org">Wikimedia Foundation, Inc</a>.<br /></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Política de privadesa</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Quant_a_la_Viquip%C3%A8dia">Quant al projecte Viquipèdia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Av%C3%ADs_d%27exempci%C3%B3_de_responsabilitat">Descàrrec de responsabilitat</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Codi de conducta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Desenvolupadors</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/ca.wikipedia.org">Estadístiques</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Declaració de cookies</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//ca.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Equaci%C3%B3_diferencial&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Versió per a mòbils</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.canary-556c5f94cd-4g9m4","wgBackendResponseTime":168,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.219","walltime":"0.409","ppvisitednodes":{"value":1287,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":28353,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":1161,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":11,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":6,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":7009,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 213.103 1 -total"," 27.05% 57.644 1 Plantilla:Confusió"," 26.64% 56.762 1 Plantilla:Commonscat"," 26.01% 55.438 1 Plantilla:Metacaixa_enllaç_de_desambiguació"," 22.83% 48.655 1 Plantilla:Sister"," 21.98% 46.848 1 Plantilla:Caixa_lateral"," 10.79% 23.004 1 Plantilla:Autoritat"," 10.45% 22.266 1 Plantilla:Referències"," 10.14% 21.616 5 Plantilla:Article_principal"," 8.43% 17.974 3 Plantilla:Ref-web"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.055","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":1712992,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-565d46677b-bcxgx","timestamp":"20241128140612","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Equaci\u00f3 diferencial","url":"https:\/\/ca.wikipedia.org\/wiki\/Equaci%C3%B3_diferencial","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11214","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11214","author":{"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2005-12-21T08:44:41Z","dateModified":"2022-10-25T13:13:42Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/7\/73\/Navier_Stokes_Laminar.svg","headline":"equaci\u00f3 donada a partir d'una funci\u00f3 i una o m\u00e9s de les seves derivades"}</script> </body> </html>