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cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Constructions de nouvelles structures</span> </button> <ul id="toc-Constructions_de_nouvelles_structures-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Corps_des_fractions" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Corps_des_fractions"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Corps des fractions</span> </div> </a> <ul id="toc-Corps_des_fractions-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Corps_de_rupture" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Corps_de_rupture"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Corps de rupture</span> </div> </a> <ul id="toc-Corps_de_rupture-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Autres_opérations_sur_les_polynômes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Autres_opérations_sur_les_polynômes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Autres opérations sur les polynômes</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Autres_opérations_sur_les_polynômes-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Autres opérations sur les polynômes</span> </button> <ul id="toc-Autres_opérations_sur_les_polynômes-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Polynôme_dérivé" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Polynôme_dérivé"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>Polynôme dérivé</span> </div> </a> <ul id="toc-Polynôme_dérivé-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Division" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Division"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>Division</span> </div> </a> <ul id="toc-Division-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Polynôme_en_plusieurs_indéterminées" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Polynôme_en_plusieurs_indéterminées"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Polynôme en plusieurs indéterminées</span> </div> </a> <ul id="toc-Polynôme_en_plusieurs_indéterminées-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Polynôme_de_Laurent" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Polynôme_de_Laurent"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Polynôme de Laurent</span> </div> </a> <ul id="toc-Polynôme_de_Laurent-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Voir_aussi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Voir_aussi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Voir aussi</span> </div> </a> <ul id="toc-Voir_aussi-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Basculer la table des matières</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Polynôme</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 82 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-82" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">82 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Polinoom" title="Polinoom – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Polinoom" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%AA%D8%B9%D8%AF%D8%AF%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AD%D8%AF%D9%88%D8%AF" title="متعددة الحدود – arabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="متعددة الحدود" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Polinomiu" title="Polinomiu – asturien" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Polinomiu" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturien" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/%C3%87oxh%C9%99dli" title="Çoxhədli – azerbaïdjanais" lang="az" hreflang="az" data-title="Çoxhədli" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaïdjanais" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D2%AF%D0%BF%D0%B1%D1%8B%D1%83%D1%8B%D0%BD" title="Күпбыуын – bachkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Күпбыуын" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="bachkir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD" title="Мнагачлен – biélorusse" lang="be" hreflang="be" data-title="Мнагачлен" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="biélorusse" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4" title="Мнагасклад – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Мнагасклад" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD" title="Многочлен – bulgare" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Многочлен" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bulgare" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A6%B9%E0%A7%81%E0%A6%AA%E0%A6%A6%E0%A7%80" title="বহুপদী – bengali" lang="bn" hreflang="bn" data-title="বহুপদী" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengali" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Polinom" title="Polinom – bosniaque" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Polinom" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosniaque" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Polinomi" title="Polinomi – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Polinomi" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%95%D8%A7%D8%AF%DB%95%D8%AF%D8%A7%D8%B1" title="ڕادەدار – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ڕادەدار" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Polynom" title="Polynom – tchèque" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Polynom" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tchèque" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC" title="Полином – tchouvache" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Полином" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="tchouvache" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Polynomial" title="Polynomial – gallois" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Polynomial" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="gallois" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Polynomium" title="Polynomium – danois" lang="da" hreflang="da" data-title="Polynomium" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danois" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Polynom" title="Polynom – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Polynom" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-diq mw-list-item"><a href="https://diq.wikipedia.org/wiki/Polinom" title="Polinom – Zazaki" lang="diq" hreflang="diq" data-title="Polinom" data-language-autonym="Zazaki" data-language-local-name="Zazaki" class="interlanguage-link-target"><span>Zazaki</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CF%85%CF%8E%CE%BD%CF%85%CE%BC%CE%BF" title="Πολυώνυμο – grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Πολυώνυμο" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grec" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial" title="Polynomial – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Polynomial" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Polinomo" title="Polinomo – espéranto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Polinomo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio" title="Polinomio – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Polinomio" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%BCnoom" title="Polünoom – estonien" lang="et" hreflang="et" data-title="Polünoom" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonien" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Polinomio" title="Polinomio – basque" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Polinomio" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basque" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%86%D9%86%D8%AF%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" title="چندجمله‌ای – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="چندجمله‌ای" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Polynomi" title="Polynomi – finnois" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Polynomi" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finnois" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fy mw-list-item"><a href="https://fy.wikipedia.org/wiki/Mearterm" title="Mearterm – frison occidental" lang="fy" hreflang="fy" data-title="Mearterm" data-language-autonym="Frysk" data-language-local-name="frison occidental" class="interlanguage-link-target"><span>Frysk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Ilt%C3%A9armach" title="Iltéarmach – irlandais" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Iltéarmach" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Polinomio" title="Polinomio – galicien" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Polinomio" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicien" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9D" title="פולינום – hébreu" lang="he" hreflang="he" data-title="פולינום" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hébreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AC%E0%A4%B9%E0%A5%81%E0%A4%AA%E0%A4%A6" title="बहुपद – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="बहुपद" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Polinom" title="Polinom – croate" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Polinom" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croate" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Polinom" title="Polinom – hongrois" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Polinom" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongrois" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%A6%D5%B4%D5%A1%D5%B6%D5%A4%D5%A1%D5%B4" title="Բազմանդամ – arménien" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Բազմանդամ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="arménien" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-iba mw-list-item"><a href="https://iba.wikipedia.org/wiki/Polinomial" title="Polinomial – iban" lang="iba" hreflang="iba" data-title="Polinomial" data-language-autonym="Jaku Iban" data-language-local-name="iban" class="interlanguage-link-target"><span>Jaku Iban</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Polinomial" title="Polinomial – indonésien" lang="id" hreflang="id" data-title="Polinomial" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésien" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Polinomio" title="Polinomio – ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Polinomio" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Margli%C3%B0a" title="Margliða – islandais" lang="is" hreflang="is" data-title="Margliða" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandais" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Polinomio" title="Polinomio – italien" lang="it" hreflang="it" data-title="Polinomio" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F" title="多項式 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="多項式" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%9B%E1%83%A0%E1%83%90%E1%83%95%E1%83%90%E1%83%9A%E1%83%AC%E1%83%94%E1%83%95%E1%83%A0%E1%83%98" title="მრავალწევრი – géorgien" lang="ka" hreflang="ka" data-title="მრავალწევრი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="géorgien" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D3%A9%D0%BF%D0%BC%D2%AF%D1%88%D0%B5%D0%BB%D1%96%D0%BA" title="Көпмүшелік – kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Көпмүшелік" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazakh" 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class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Polinomas" title="Polinomas – lituanien" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Polinomas" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituanien" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Polinoms" title="Polinoms – letton" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Polinoms" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letton" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Maromiantoana" title="Maromiantoana – malgache" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Maromiantoana" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="malgache" class="interlanguage-link-target"><span>Malagasy</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC" title="Полином – macédonien" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Полином" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macédonien" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AC%E0%B4%B9%E0%B5%81%E0%B4%AA%E0%B4%A6%E0%B4%82" title="ബഹുപദം – malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ബഹുപദം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AC%E0%A4%B9%E0%A5%81%E0%A4%AA%E0%A4%A6%E0%A5%80" title="बहुपदी – marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="बहुपदी" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Polinomial" title="Polinomial – malais" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Polinomial" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malais" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Polynoom" title="Polynoom – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Polynoom" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Polynom" title="Polynom – norvégien nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Polynom" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norvégien nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Polynom" title="Polynom – norvégien bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Polynom" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvégien bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Wielomian" title="Wielomian – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Wielomian" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt badge-Q70893996 mw-list-item" title=""><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Polin%C3%B3mio" title="Polinómio – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Polinómio" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Polinom" title="Polinom – roumain" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Polinom" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="roumain" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD" title="Многочлен – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Многочлен" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Polinom" title="Polinom – serbo-croate" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Polinom" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbo-croate" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%B6%E0%B7%84%E0%B7%94_%E0%B6%B4%E0%B6%AF%E0%B6%BA" title="බහු පදය – cingalais" lang="si" hreflang="si" data-title="බහු පදය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="cingalais" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Polynomial" title="Polynomial – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Polynomial" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Mnoho%C4%8Dlen" title="Mnohočlen – slovaque" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Mnohočlen" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaque" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Polinom" title="Polinom – slovène" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Polinom" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovène" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Polinomet" title="Polinomet – albanais" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Polinomet" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanais" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC" title="Полином – serbe" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Полином" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbe" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Polynom" title="Polynom – suédois" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Polynom" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suédois" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AA%E0%AE%B2%E0%AF%8D%E0%AE%B2%E0%AF%81%E0%AE%B1%E0%AF%81%E0%AE%AA%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%81%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%8B%E0%AE%B5%E0%AF%88" title="பல்லுறுப்புக்கோவை – tamoul" lang="ta" hreflang="ta" data-title="பல்லுறுப்புக்கோவை" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamoul" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D1%81%D1%91%D1%80%D1%8A%D1%83%D0%B7%D0%B2%D0%B0" title="Бисёръузва – tadjik" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Бисёръузва" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="tadjik" class="interlanguage-link-target"><span>Тоҷикӣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%B8%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1" title="พหุนาม – thaï" lang="th" hreflang="th" data-title="พหุนาม" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thaï" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Polynomial" title="Polynomial – tagalog" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Polynomial" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalog" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Polinom" title="Polinom – turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Polinom" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD" title="Многочлен – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Многочлен" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D8%AB%DB%8C%D8%B1_%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%B3%D9%85%DB%8C" title="کثیر الاسمی – ourdou" lang="ur" hreflang="ur" data-title="کثیر الاسمی" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="ourdou" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Ko%CA%BBphad" title="Koʻphad – ouzbek" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Koʻphad" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="ouzbek" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90a_th%E1%BB%A9c" title="Đa thức – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Đa thức" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F" title="多项式 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="多项式" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%90%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%9D" title="פאלינאם – yiddish" lang="yi" hreflang="yi" data-title="פאלינאם" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="yiddish" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yo badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="bon article"><a href="https://yo.wikipedia.org/wiki/On%C3%ADr%C3%BAiyep%C3%BAp%E1%BB%8D%CC%80" title="Onírúiyepúpọ̀ – yoruba" lang="yo" hreflang="yo" data-title="Onírúiyepúpọ̀" data-language-autonym="Yorùbá" data-language-local-name="yoruba" class="interlanguage-link-target"><span>Yorùbá</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F" title="多項式 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="多項式" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F" title="多項式 – chinois littéraire" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="多項式" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="chinois littéraire" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F" title="多項式 – cantonais" lang="yue" hreflang="yue" data-title="多項式" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonais" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a 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wb-otherproject-wikiversity mw-list-item"><a href="https://fr.wikiversity.org/wiki/Polyn%C3%B4me" hreflang="fr"><span>Wikiversité</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q43260" title="Lien vers l’élément dans le dépôt de données connecté [g]" accesskey="g"><span>Élément Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><div class="bandeau-container metadata homonymie hatnote"><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Aide:Homonymie" title="Aide:Homonymie"><img alt="Page d’aide sur l’homonymie" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Confusion_colour.svg/20px-Confusion_colour.svg.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Confusion_colour.svg/30px-Confusion_colour.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Confusion_colour.svg/40px-Confusion_colour.svg.png 2x" data-file-width="260" data-file-height="200" /></a></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p>Ne doit pas être confondu avec <a href="/wiki/Polygone" title="Polygone">Polygone</a> ou <a href="/wiki/Polynom%C3%A9" title="Polynomé">Polynomé</a>. </p> </div></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Polynomialdeg3.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Polynomialdeg3.svg/220px-Polynomialdeg3.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Polynomialdeg3.svg/330px-Polynomialdeg3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Polynomialdeg3.svg/440px-Polynomialdeg3.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="400" /></a><figcaption><a href="/wiki/Courbe_repr%C3%A9sentative" class="mw-redirect" title="Courbe représentative">Courbe représentative</a> d'une <a href="/wiki/Fonction_cubique" title="Fonction cubique">fonction cubique</a>.</figcaption></figure> <p>En <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, un <b>polynôme</b> est une expression formée uniquement de <a href="/wiki/Produit_(math%C3%A9matiques)" title="Produit (mathématiques)">produits</a> et de <a href="/wiki/Somme_(arithm%C3%A9tique)" title="Somme (arithmétique)">sommes</a> de constantes et d'<a href="/wiki/Construction_de_l%27anneau_des_polyn%C3%B4mes" title="Construction de l'anneau des polynômes">indéterminées</a> (aussi appelées <a href="/wiki/Variables" class="mw-redirect mw-disambig" title="Variables">variables</a>), habituellement notées <i>X</i>, <i>Y</i>, <i>Z</i>, etc. Les polynômes sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une <a href="/wiki/Valeur_approch%C3%A9e" title="Valeur approchée">valeur approchée</a> de toute <a href="/wiki/Fonction_(math%C3%A9matiques)" title="Fonction (mathématiques)">fonction</a> dérivable (voir l'article <a href="/wiki/D%C3%A9veloppement_limit%C3%A9" title="Développement limité">Développement limité</a>) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article <a href="/wiki/Courbe_de_B%C3%A9zier" title="Courbe de Bézier">Courbe de Bézier</a>, décrivant un cas particulier de <a href="/wiki/Fonction_polynomiale" title="Fonction polynomiale">fonction polynomiale</a>). </p><p>Un <b>polynôme</b>, en <a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale" title="Algèbre générale">algèbre générale</a>, à une indéterminée sur un <a href="/wiki/Anneau_unitaire" title="Anneau unitaire">anneau unitaire</a> est une expression de la forme : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}+a_{1}X^{1}+a_{2}X^{2}+\dots +a_{n}X^{n}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}+a_{1}X^{1}+a_{2}X^{2}+\dots +a_{n}X^{n}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d381b5b88fc0a2d3e5e63fe22e617ab3de79d12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:33.09ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a_{0}+a_{1}X^{1}+a_{2}X^{2}+\dots +a_{n}X^{n}\,}"></span></dd></dl> <p>où <i>X</i> est un symbole appelé « indéterminée du polynôme », supposé être distinct de tout élément de l'anneau, les coefficients <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a<sub>i</sub></span> sont dans l'anneau et <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> est un <a href="/wiki/Entier_naturel" title="Entier naturel">entier naturel</a>. </p><p>Si, en <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques_appliqu%C3%A9es" title="Mathématiques appliquées">mathématiques appliquées</a>, en <a href="/wiki/Analyse_(math%C3%A9matiques)" title="Analyse (mathématiques)">analyse</a> et en <a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire" title="Algèbre linéaire">algèbre linéaire</a>, il est fréquent de confondre le polynôme avec la fonction polynomiale, il n'en est pas de même en algèbre générale. Cet article traite principalement du <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_formel" title="Polynôme formel">polynôme formel</a> à une indéterminée. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Considérations_historiques"><span id="Consid.C3.A9rations_historiques"></span>Considérations historiques</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Considérations historiques" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Considérations historiques"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Histoire_des_polyn%C3%B4mes" title="Histoire des polynômes">Histoire des polynômes</a>.</div></div> <p>L'histoire des polynômes est inséparable de celle de l'<a href="/wiki/Alg%C3%A8bre" title="Algèbre">algèbre</a>. Initialement créés pour résoudre des équations, ils se trouvent confondus avec les fonctions polynomiales. Au fur et à mesure que les recherches s'approfondissent, il se révèle nécessaire de distinguer plus nettement le polynôme formel de la <a href="#Fonctions_polynomiales">fonction polynomiale</a>. Cette évolution se fait conjointement avec le développement de l'<a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale" title="Algèbre générale">algèbre générale</a>. Les coefficients quittent alors le domaine des nombres usuels, comme les réels ou les complexes, pour appartenir à des <a href="/wiki/Anneau_commutatif" title="Anneau commutatif">anneaux commutatifs</a> unitaires ou à des <a href="/wiki/Corps_commutatif" title="Corps commutatif">corps commutatifs</a> quelconques. L'étude des polynômes formels ouvre la porte à celle des <a href="/wiki/S%C3%A9rie_formelle" title="Série formelle">séries formelles</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Polynômes_formels"><span id="Polyn.C3.B4mes_formels"></span>Polynômes formels</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Polynômes formels" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Polynômes formels"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_formel" title="Polynôme formel">Polynôme formel</a>.</div></div> <p>Un polynôme <i>f</i> à une <a href="/wiki/Construction_de_l%27anneau_des_polyn%C3%B4mes" title="Construction de l'anneau des polynômes">indéterminée</a> est défini comme une expression formelle de la forme </p> <dl><dd><center> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>X</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83018d2fb3aa7ba9c79216f606879daff628fd02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:40.538ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}}"></span> </center></dd></dl> <p>où les coefficients <i>a</i><sub>0</sub>, … , <i>a</i><sub>n</sub> sont éléments d'un <a href="/wiki/Anneau_unitaire" title="Anneau unitaire">anneau</a> <i><b>A</b></i>, et <i>X</i> est un symbole formel appelé <i>indéterminée du polynôme</i>. </p><p>Plus formellement, on peut définir un polynôme comme une suite d'éléments, d'un anneau, qui s'annule à partir d'un certain rang. Ainsi, la formule précédente sera une conséquence immédiate (en faisant recours à des <a href="/wiki/Notation_(math%C3%A9matiques)" title="Notation (mathématiques)">notations mathématiques</a> classiques à savoir la notation de Kronecker). Dans ce cas, les coefficients du polynôme coïncident avec les éléments de la suite associée. </p><p>L'ensemble des polynômes à une indéterminée <i>X</i> à coefficients dans un anneau <i><b>A</b></i>, noté <i><b>A</b></i>[<i>X</i>], peut être construit à partir de l'ensemble des suites <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588d62e83fbea49087c96143322bfbc356fedb60" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.921ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }}"></span> à support fini (donc nulles à partir d'un certain rang, appelées également <i>suites presque nulles</i>) d'éléments de <i><b>A</b></i>, en le <a href="/wiki/Construction_de_l%27anneau_des_polyn%C3%B4mes" title="Construction de l'anneau des polynômes">munissant d'une structure d'anneau</a>. Dans cette construction, un <a href="/wiki/Mon%C3%B4me_(math%C3%A9matiques)" title="Monôme (mathématiques)">monôme</a> <i>aX<sup>k</sup></i> est représenté par la suite qui est nulle partout, sauf en l'indice <i>k</i> où elle vaut <i>a</i>. </p><p>Le <a href="/wiki/Degr%C3%A9_d%27un_polyn%C3%B4me" title="Degré d'un polynôme">degré de ce polynôme</a> est défini, si le polynôme est non nul (c'est-à-dire si ses coefficients ne sont pas tous nuls), par <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d=\max\{j\in \mathbb {N} \mid a_{j}\neq 0_{A}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">max</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>j</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo>∣</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=\max\{j\in \mathbb {N} \mid a_{j}\neq 0_{A}\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6792fbc8fb232184d20806393b7a280c9a603a02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:26.244ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle d=\max\{j\in \mathbb {N} \mid a_{j}\neq 0_{A}\}}"></span>, c'est le plus grand exposant de <i>X</i> devant lequel le coefficient n'est pas nul. Le coefficient dominant de ce polynôme est alors <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{d}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{d}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6db2d43804cd267b37b29af0fdf8dea41a9bc64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.322ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{d}}"></span>. On note généralement le degré d'un polynôme <i>P</i>, <span class="texhtml">deg(<i>P</i>)</span> ou <span class="texhtml">d°(<i>P</i>)</span>. Selon une convention courante, le degré du polynôme nul vaut <span class="texhtml">−∞</span>. Pourtant, si on souhaite que la relation de divisibilité sur les polynômes soit en accord avec la relation d'ordre sur leurs degrés, on doit définir le degré du polynôme nul comme <span class="texhtml">∞</span>. En pratique, surtout en réalisant des algorithmes algébriques, il peut être mieux de laisser le degré du polynôme nul indéfini et traiter son cas à part. </p><p>Deux polynômes sont égaux si et seulement si les suites de leurs coefficients sont égales. Les polynômes à coefficients dans <i><b>A</b></i> peuvent être ajoutés simplement par l'addition des coefficients correspondants, et multipliés en utilisant la <a href="/wiki/Distributivit%C3%A9" title="Distributivité">distributivité</a> de la multiplication par rapport à l'addition et la règle suivante : </p> <dl><dd><i>aX<sup>j</sup> bX<sup>k</sup> = ab X<sup>j+k</sup></i> pour tous les <a href="/wiki/Entier_naturel" title="Entier naturel">entiers naturels</a> <i>j</i> et <i>k</i>.</dd></dl> <p>On peut alors vérifier que l'ensemble de tous les polynômes à coefficients dans l'anneau <i><b>A</b></i> forme lui-même un anneau, et que l'application de <i><b>A</b></i> vers cet anneau qui envoie <i>a</i> sur <i>a</i> <i>X</i><sup>0</sup> est un <a href="/wiki/Morphisme_d%27anneaux" title="Morphisme d'anneaux">morphisme</a> <a href="/wiki/Injectif" class="mw-redirect" title="Injectif">injectif</a>. L'anneau des polynômes à coefficients dans <i><b>A</b></i> est noté <i><b>A</b></i>[<i>X</i>] et on considère <i><b>A</b></i> comme <a href="/wiki/Sous-anneau" title="Sous-anneau">sous-anneau</a> de <i><b>A</b></i>[<i>X</i>] par le morphisme mentionné. </p><p>Si <i><b>A</b></i> est commutatif, alors <i><b>A</b></i>[<i>X</i>] est une <a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_associative" title="Algèbre associative">algèbre associative</a> sur <i><b>A</b></i>. </p><p>On peut engendrer l'anneau <i><b>A</b></i>[<i>X</i>] à partir de <i><b>A</b></i> en adjoignant un nouvel élément <i>X</i> à <i><b>A</b></i> et en exigeant que <i>X</i> commute avec tous éléments de l'ensemble <i><b>A</b></i>. Pour que l'ensemble obtenu devienne un anneau, toutes les combinaisons linéaires de puissances de <i>X</i> doivent être aussi adjointes à l'ensemble. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fonctions_polynomiales">Fonctions polynomiales</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Fonctions polynomiales" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Fonctions polynomiales"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Fonction_polynomiale" title="Fonction polynomiale">Fonction polynomiale</a>.</div></div> <p>À tout polynôme <i>P</i>(<i>X</i>) de <i><b>A</b></i>[<i>X</i>], on peut associer une fonction polynomiale, d'ensemble de définition et d'arrivée <i><b>A</b></i>. On obtient la valeur de cette fonction pour un argument donné <i>x</i> en remplaçant partout le symbole <i>X</i> dans <i>P</i>(<i>X</i>) par <i>x</i>. Les algébristes font une distinction entre un polynôme et une fonction polynomiale car, sur certains anneaux <i><b>A</b></i> (par exemple sur les <a href="/wiki/Corps_fini" title="Corps fini">corps finis</a>), deux polynômes différents peuvent avoir la même fonction polynomiale associée. Ceci n'est pas le cas sur le corps des réels ou des complexes et donc les « analystes » ne séparent pas les deux concepts. </p><p>Par exemple, sur le corps fini ℤ/2ℤ, le polynôme <i>X</i> + <i>X</i><sup>2</sup> est non nul, mais sa fonction polynomiale associée l'est. </p><p><a href="/wiki/Morphisme_d%27anneaux" title="Morphisme d'anneaux">Morphisme</a> d'évaluation : plus généralement, dans un polynôme <i>P</i>(<i>X</i>), on peut remplacer le symbole <i>X</i> par n'importe quel élément <i>e </i>appartenant à une algèbre associative <b>E</b> sur <i><b>A</b></i>. L'application qui, à tout polynôme <i>P</i>(<i>X</i>) dans <i><b>A</b></i>[<i>X</i>], associe l'élément <i>P</i>(<i>e</i>) de <b>E</b> (défini comme ci-dessus) est appelée morphisme d'évaluation en <i>e </i>de <i><b>A</b></i>[<i>X</i>] dans <i><b>E</b></i>. Un cas très fréquent est celui où <i><b>A</b></i> est un corps <i>K</i>, et <i><b>E</b></i> l'algèbre des matrices <i>n</i> × <i>n</i> sur <i>K</i>, ou bien l'algèbre des <a href="/wiki/Endomorphisme_lin%C3%A9aire" title="Endomorphisme linéaire">endomorphismes d'un espace vectoriel</a> sur <i>K</i>. On définit ainsi des polynômes de <a href="/wiki/Matrice_(math%C3%A9matiques)" title="Matrice (mathématiques)">matrices</a> et d'endomorphismes : </p> <dl><dd><center> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(M)=a_{n}M^{n}+a_{n-1}M^{n-1}+\dots +a_{1}M+a_{0}I_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>M</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(M)=a_{n}M^{n}+a_{n-1}M^{n-1}+\dots +a_{1}M+a_{0}I_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f720d134a0523f511eb51fbd7de68ef8a7619e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.964ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle P(M)=a_{n}M^{n}+a_{n-1}M^{n-1}+\dots +a_{1}M+a_{0}I_{n}}"></span> ; </center></dd> <dd><center> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(u)=a_{n}u^{n}+a_{n-1}u^{n-1}+\dots +a_{1}u+a_{0}Id_{E}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>I</mi> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>E</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(u)=a_{n}u^{n}+a_{n-1}u^{n-1}+\dots +a_{1}u+a_{0}Id_{E}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104de9b78bb35efeb9c7879c66851eb4c3ef1271" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:46.028ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle P(u)=a_{n}u^{n}+a_{n-1}u^{n-1}+\dots +a_{1}u+a_{0}Id_{E}}"></span>. </center></dd></dl> <p>Ainsi, pour tout polynôme <i>P</i>(<i>X</i>) d'indéterminée <i>X</i>, <i>P</i>(<i>u</i>) est un « <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_d%27endomorphisme" title="Polynôme d'endomorphisme">polynôme d'endomorphisme</a> » pour chaque endomorphisme <i>u</i> et <i>P</i>(<i>M</i>) est un « polynôme de matrice » pour chaque matrice <i>M</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Divisibilité"><span id="Divisibilit.C3.A9"></span>Divisibilité</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Divisibilité" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Divisibilité"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En <a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_commutative" title="Algèbre commutative">algèbre commutative</a>, et plus précisément dans un <a href="/wiki/Anneau_int%C3%A8gre" title="Anneau intègre">anneau intègre</a> (toujours commutatif et unitaire par définition), une attention particulière est portée sur l'étude de la <a href="/wiki/Divisibilit%C3%A9" title="Divisibilité">divisibilité</a> entre les polynômes. Des résultats plus forts existent quand les coefficients sont pris dans un corps. </p><p><span id="Coefficients_dans_un_anneau_commutatif_unitaire_intègre"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Coefficients_dans_un_anneau_intègre"><span id="Coefficients_dans_un_anneau_int.C3.A8gre"></span>Coefficients dans un anneau intègre</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Coefficients dans un anneau intègre" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Coefficients dans un anneau intègre"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Si <i>f</i> et <i>g</i> sont des polynômes dans <i><b>A</b></i>[<i>X</i>], on dit que <i>f</i> divise <i>g</i> s'il existe un polynôme <i>q</i> dans <i><b>A</b></i>[<i>X</i>] tel que <i>fq</i> = <i>g</i>. </p><p>On peut démontrer alors que « chaque <a href="/wiki/Racine_d%27un_polyn%C3%B4me" title="Racine d'un polynôme">racine</a> engendre un facteur linéaire », ou plus formellement que : si <i>P </i>est un polynôme dans <i><b>A</b></i>[<i>X</i>] et <i>a</i> est un élément de <i><b>A</b></i> tel que <i>P</i>(<i>a</i>) = 0, alors le polynôme <span class="nowrap"><i>X – a</i></span> divise <i>P </i>(la réciproque est immédiate). Le quotient peut être calculé en utilisant la <a href="/wiki/M%C3%A9thode_de_Horner" class="mw-redirect" title="Méthode de Horner">méthode de Horner</a>. </p><p>Certains polynômes aux propriétés particulières se détachent alors : </p> <ul><li>polynôme inversible : un polynôme <i>P</i> est <a href="/wiki/Groupe_des_unit%C3%A9s" title="Groupe des unités">inversible</a> s'il existe un polynôme <i>Q</i> tel que <i>PQ</i> = 1.<br />Les seuls polynômes inversibles de <i><b>A</b></i>[<i>X</i>] sont les polynômes constants dont la constante est inversible dans <i><b>A</b></i> ;</li> <li>polynôme irréductible : <i>P</i> est un <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_irr%C3%A9ductible" title="Polynôme irréductible">polynôme irréductible</a> s'il n'est ni nul, ni inversible, ni produit de deux polynômes non inversibles.<br />Un polynôme du premier degré <i>aX + b</i> est donc irréductible si et seulement si <i>a</i> et <i>b</i> sont <a href="/wiki/Primalit%C3%A9_dans_un_anneau" title="Primalité dans un anneau">premiers entre eux</a> (par exemple, tout <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_unitaire" title="Polynôme unitaire">polynôme unitaire</a> du premier degré est irréductible, tandis que <span class="nowrap">2<i>X </i>+ 2 = 2(<i>X </i>+ 1)</span> n'est pas irréductible dans ℤ[<i>X</i>]).<br />Le polynôme <i>X</i><sup> 2</sup> + 1 est irréductible dans ℝ[<i>X</i>], mais pas dans ℂ[<i>X</i>].<br />Si <i><b>A</b></i> est un <a href="/wiki/Anneau_factoriel" title="Anneau factoriel">anneau factoriel</a>, alors tout polynôme se décompose de manière unique, à un inversible près, en produit de polynômes irréductibles. <i><b>A</b></i>[<i>X</i>] est donc aussi factoriel ;</li> <li>polynôme premier : <i>P</i> est un polynôme <a href="/wiki/Primalit%C3%A9_dans_un_anneau" title="Primalité dans un anneau">premier</a> s'il n'est ni nul ni inversible et si, pour tout produit <i>QS </i>divisible par <i>P</i>, l'un des deux polynômes <i>Q</i> ou <i>S</i> est divisible par <i>P</i>.<br />Dans un anneau factoriel (donc dans <i><b>A</b></i>[<i>X</i>] si <i><b>A</b> </i>est factoriel), les notions d'élément premier et d'élément irréductible sont équivalentes, mais dans un anneau quelconque on a seulement la propriété suivante : tout élément premier est irréductible ;</li> <li>polynôme primitif : si <i><b>A</b></i> est un <a href="/wiki/Anneau_factoriel" title="Anneau factoriel">anneau factoriel</a>, <i>P</i> est un polynôme primitif si le <a href="/wiki/Plus_grand_commun_diviseur" title="Plus grand commun diviseur">PGCD</a> de ses coefficients est inversible.<br />Dans un anneau commutatif unitaire, un polynôme est dit primitif lorsque l'anneau est le plus petit <a href="/wiki/Id%C3%A9al_principal" title="Idéal principal">idéal principal</a> contenant les coefficients du polynôme ;</li> <li>polynôme scindé : polynôme qui peut s'écrire comme produit de polynômes du premier degré.<br /><i>X</i><sup> 2</sup> + 1 est scindé sur ℂ (il se décompose en (<i>X </i>+ <span class="texhtml">i</span>)(<i>X </i>– <span class="texhtml">i</span>)), mais pas sur ℝ ;</li> <li>polynôme <a href="/wiki/Extension_s%C3%A9parable#Critères_de_séparabilité_des_polynômes" title="Extension séparable">séparable</a> (sur un corps) : polynôme étant premier avec son <a href="#Polynôme_dérivé">polynôme dérivé</a> ;</li> <li>polynômes premiers entre eux : <i>P</i> et <i>Q</i> sont <a href="/wiki/Primalit%C3%A9_dans_un_anneau" title="Primalité dans un anneau">premiers entre eux</a> si les seuls polynômes qui divisent à la fois <i>P</i> et <i>Q</i> sont les polynômes inversibles ;</li> <li>polynôme unitaire : polynôme dont le coefficient du terme de plus haut degré est 1 ;</li> <li><a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_cyclotomique" title="Polynôme cyclotomique">polynôme cyclotomique</a> : pour tout entier <i>n </i>> 0, le <i>n</i>-ième polynôme cyclotomique est le produit des <i>X </i>– ζ, avec ζ parcourant les <a href="/wiki/Racine_de_l%27unit%C3%A9" title="Racine de l'unité">racines complexes <i>n</i>-ièmes primitives de l'unité</a> ;</li> <li>polynômes associés : on dit que deux polynômes <i>P</i> et <i>Q</i> sont associés si <i>P</i> divise <i>Q</i> et <i>Q</i> divise <i>P</i>, autrement dit s'il existe <i>k</i> inversible dans <i><b>A</b></i> tel que <i>P = kQ</i>. Dans toutes les propriétés de divisibilité, un polynôme peut être remplacé par un autre polynôme associé. Ainsi, <i>X</i> – ¼, 4<i>X</i> – 1 et –4<i>X</i> + 1 sont associés dans ℚ[<i>X</i>] car on peut les écrire sous la forme d'un même polynôme multiplié par un scalaire inversible : <i>X</i> – ¼, 4(<i>X</i> – ¼) et –4(<i>X</i> – ¼).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Coefficients_dans_un_corps_commutatif">Coefficients dans un corps commutatif</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Coefficients dans un corps commutatif" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Coefficients dans un corps commutatif"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Si <i>K</i> est un <a href="/wiki/Corps_commutatif" title="Corps commutatif">corps commutatif</a> et <i>f</i> et <i>g</i> sont des polynômes dans <i>K</i>[<i>X</i>] avec <i>g</i> ≠ 0, alors il existe des polynômes <i>q</i> et <i>r</i> dans <i>K</i>[<i>X</i>] avec : <i>f</i> = <i>q</i> <i>g</i> + <i>r</i> et tels que le degré de <i>r</i> soit strictement plus petit que le degré de <i>g</i>. Les polynômes <i>q</i> et <i>r</i> sont uniquement déterminés par <i>f</i> et <i>g</i>. C'est ce que l'on appelle la <a href="/wiki/Division_euclidienne" title="Division euclidienne">division euclidienne</a> ou « la division suivant les puissances décroissantes » de <i>f</i> par <i>g</i> et cela montre que l'anneau <i>K</i>[<i>X</i>] est un <a href="/wiki/Anneau_euclidien" title="Anneau euclidien">anneau euclidien</a>. </p><p><i>K</i>[<i>X</i>] est donc un anneau euclidien (seuls les anneaux de polynômes à coefficients dans un corps sont des anneaux euclidiens) et cela permet alors de définir les notions de <a href="/wiki/Plus_petit_commun_multiple" title="Plus petit commun multiple">PPCM</a> et de <a href="/wiki/Plus_grand_commun_diviseur" title="Plus grand commun diviseur">PGCD</a> avec la mise en place d'un <a href="/wiki/Algorithme_d%27Euclide" title="Algorithme d'Euclide">algorithme d'Euclide</a> de recherche de PGCD. On retrouve aussi l'<a href="/wiki/Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes" title="Arithmétique des polynômes">identité de Bézout</a> sur les polynômes premiers entre eux : si <i>P</i> et <i>Q</i> sont premiers entre eux, il existe deux polynômes <i>U</i> et <i>V</i> tels que <i>UP + VQ</i> = 1. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Réductibilité_des_polynômes_de_ℤ[X]"><span id="R.C3.A9ductibilit.C3.A9_des_polyn.C3.B4mes_de_.E2.84.A4.5BX.5D"></span>Réductibilité des polynômes de ℤ[<i>X</i>]</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Réductibilité des polynômes de ℤ[X]" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Réductibilité des polynômes de ℤ[X]"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/Lemme_de_Gauss_(polyn%C3%B4mes)" title="Lemme de Gauss (polynômes)">Lemme de Gauss (polynômes)</a> et <a href="/wiki/Anneau_factoriel#Anneaux_des_polynômes" title="Anneau factoriel">Anneau factoriel : § Anneaux des polynômes</a>.</div></div> <p>Un polynôme primitif <i>A </i>de ℤ[<i>X</i>] est irréductible si et seulement si, considéré comme polynôme de ℚ[<i>X</i>], il est irréductible dans ℚ[<i>X</i>]. De plus, si <i>A = BC</i> dans ℚ[<i>X</i>], il existe un rationnel non nul λ tel que λ<i>B</i> et λ<sup>−1</sup><i>C</i> soient dans ℤ[<i>X</i>]. </p><p>Si des polynômes <i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i> de ℤ[<i>X</i>] vérifient <i>A = BC</i> et si <i>A</i> est <i>unitaire</i>, alors <i>B</i> et <i>C</i> sont également unitaires (au signe près). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Constructions_de_nouvelles_structures">Constructions de nouvelles structures</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Constructions de nouvelles structures" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Constructions de nouvelles structures"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les constructions de nouvelles structures sont de deux types : extensions de l'anneau <i>A</i>[<i>X</i>] ou de l'anneau <i>A </i>de départ. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Corps_des_fractions">Corps des fractions</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Corps des fractions" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Corps des fractions"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Fraction_rationnelle" title="Fraction rationnelle">Fraction rationnelle</a>.</div></div> <p>Si <i>A </i>est un anneau intègre (donc commutatif et unitaire), il en est de même de son anneau de polynômes ; on peut donc construire le <a href="/wiki/Corps_des_fractions" title="Corps des fractions">corps des fractions</a> de <i>A</i>[<i>X</i>], appelé corps des fractions rationnelles à coefficients dans <i>A </i>et d'indéterminée <i>X</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Corps_de_rupture">Corps de rupture</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Corps de rupture" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Corps de rupture"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Corps_de_rupture" title="Corps de rupture">Corps de rupture</a>.</div></div> <p>La seconde structure conduit à tout le domaine des <a href="/wiki/Extension_alg%C3%A9brique" title="Extension algébrique">extensions</a>. </p><p>Si <i>A</i> est un anneau intègre et si <i>P</i> est un polynôme premier de <i>A</i>[<i>X</i>], on peut construire un anneau intègre <i>A<sub>P</sub> </i>contenant <i>A </i>dans lequel <i>P</i> possède une <a href="/wiki/Racine_d%27un_polyn%C3%B4me" title="Racine d'un polynôme">racine</a>. Lorsque <i>A </i>est un corps, <i>A<sub>P</sub> </i>aussi : c'est le <a href="/wiki/Corps_de_rupture" title="Corps de rupture">corps de rupture</a> de <i>P</i>. </p><p>La construction se fait en considérant l'<a href="/wiki/Id%C3%A9al" title="Idéal">idéal</a> <i>I</i> engendré par <i>P</i>. C'est un <a href="/wiki/Id%C3%A9al_premier" title="Idéal premier">idéal premier</a> de <i>A</i>[<i>X</i>], et même un <a href="/wiki/Id%C3%A9al_maximal" title="Idéal maximal">idéal maximal</a> si <i>A </i>est un corps. L'<a href="/wiki/Anneau_quotient" title="Anneau quotient">anneau quotient</a> <i>A</i>[<i>X</i>]/<i>I </i>est donc un anneau intègre, et même un corps si <i>A </i>en est un. </p><p>On plonge alors <i>A</i> dans cet anneau <i>A<sub>P</sub> </i>par le morphisme injectif qui à tout élément associe sa classe. Si l'on note <i>r</i> la classe de <i>X</i> alors <i>P</i>(<i>r</i>) est la classe de <i>P</i>. Comme <i>P</i> est dans l'idéal <i>I</i>, sa classe est nulle donc <i>P</i>(<i>r</i>) = 0. </p><p>Il est possible de réitérer ce processus jusqu'à obtenir un corps contenant toutes les racines. Ce corps s'appelle le <a href="/wiki/Corps_de_d%C3%A9composition" title="Corps de décomposition">corps de décomposition</a>. </p><p>Un corps est <a href="/wiki/Cl%C3%B4ture_alg%C3%A9brique" title="Clôture algébrique">algébriquement clos</a> quand il est inutile de chercher des corps de rupture, c'est-à-dire quand tous les polynômes sont scindés. C'est le cas en particulier de ℂ. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Autres_opérations_sur_les_polynômes"><span id="Autres_op.C3.A9rations_sur_les_polyn.C3.B4mes"></span>Autres opérations sur les polynômes</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Autres opérations sur les polynômes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Autres opérations sur les polynômes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Polynôme_dérivé"><span id="Polyn.C3.B4me_d.C3.A9riv.C3.A9"></span>Polynôme dérivé</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Polynôme dérivé" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Polynôme dérivé"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Sur <i>A</i>[<i>X</i>], si <i>P</i> est le polynôme défini par <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(X)=\sum _{0\leq i\leq n}a_{i}X^{i},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>i</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(X)=\sum _{0\leq i\leq n}a_{i}X^{i},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af259befb30df9f2c27866e430add1cd4efc315f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:19.426ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle P(X)=\sum _{0\leq i\leq n}a_{i}X^{i},}"></span> le polynôme d<i>P</i> défini par <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {d}}P(X)=\sum _{1\leq i\leq n}ia_{i}X^{i-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>≤</mo> <mi>i</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mi>i</mi> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {d}}P(X)=\sum _{1\leq i\leq n}ia_{i}X^{i-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f197d1984d3082e0e100efaf3113a4fafe9567" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:22.975ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\rm {d}}P(X)=\sum _{1\leq i\leq n}ia_{i}X^{i-1}}"></span> s'appelle le polynôme dérivé de <i>P</i> (en particulier, <a href="/wiki/Somme_vide" title="Somme vide">d<i>a</i><sub>0</sub> = 0</a>). </p><p>L'application d de <i>A</i>[<i>X</i>] dans <i>A</i>[<i>X</i>] est un <a href="/wiki/Module_sur_un_anneau#Applications_linéaires" title="Module sur un anneau">morphisme de modules</a> (et donc <a href="/wiki/Morphisme_de_groupes" title="Morphisme de groupes">de groupes</a>), vérifiant de plus d(<i>PQ</i>) = <i>P</i>d<i>Q</i> + <i>Q</i>d<i>P</i>. À ce titre, c'est une application de <a href="/wiki/D%C3%A9rivation_(alg%C3%A8bre)" title="Dérivation (algèbre)">dérivation</a>. </p><p>Une propriété importante du polynôme dérivé est le fait qu'une racine est multiple si et seulement si elle est aussi racine du polynôme dérivé. (Pour une démonstration et des énoncés plus précis, voir le <a href="/wiki/Racine_d%27un_polyn%C3%B4me#Critère_différentiel_pour_la_multiplicité_d'une_racine" title="Racine d'un polynôme">§ « Critère différentiel pour la multiplicité d'une racine » de l'article <i>Racine d'un polynôme</i></a>.) </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Division">Division</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Division" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Division"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Division_d%27un_polyn%C3%B4me" title="Division d'un polynôme">Division d'un polynôme</a>.</div></div> <p>Si <i>K</i> est un corps commutatif, l'anneau <i>K</i>[<i>X</i>] dispose de deux divisions. La première est euclidienne et confère à l'ensemble des polynômes une structure d'<a href="/wiki/Anneau_euclidien" title="Anneau euclidien">anneau euclidien</a> permettant d'y développer une <a href="/wiki/Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes" title="Arithmétique des polynômes">arithmétique des polynômes</a> un peu analogue à celle des entiers. Cette arithmétique s'avère importante pour la <a href="/wiki/Factorisation_des_polyn%C3%B4mes" title="Factorisation des polynômes">factorisation des polynômes</a>. La deuxième est dite <i>selon les puissances croissantes</i>. Elle est utile dans la recherche d'une <a href="/wiki/Fraction_partielle" class="mw-redirect" title="Fraction partielle">décomposition en éléments simples</a> d'une <a href="/wiki/Fraction_rationnelle" title="Fraction rationnelle">fraction rationnelle</a> ou d'un <a href="/wiki/D%C3%A9veloppement_limit%C3%A9" title="Développement limité">développement limité</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Polynôme_en_plusieurs_indéterminées"><span id="Polyn.C3.B4me_en_plusieurs_ind.C3.A9termin.C3.A9es"></span>Polynôme en plusieurs indéterminées</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : Polynôme en plusieurs indéterminées" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : Polynôme en plusieurs indéterminées"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_en_plusieurs_ind%C3%A9termin%C3%A9es" title="Polynôme en plusieurs indéterminées">Polynôme en plusieurs indéterminées</a>.</div></div> <p>Le cas de ces polynômes sera juste évoqué ici car l'anneau <i>A</i>[<i>X</i>, <i>Y</i>] peut simplement être considéré comme l'anneau des polynômes de la variable <i>Y </i>à coefficients dans <i>A</i>[<i>X</i>]. </p><p>Le degré du polynôme sera alors la plus grande valeur obtenue en faisant les somme des exposants de chaque indéterminée dans chaque monôme. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X^{3}+3XYZ^{2}-5Y+7\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> <msup> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>5</mn> <mi>Y</mi> <mo>+</mo> <mn>7</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X^{3}+3XYZ^{2}-5Y+7\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01fe3f1d41ea870f18d4baa367a43dc35c805910" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:23.736ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X^{3}+3XYZ^{2}-5Y+7\,}"></span></dd></dl> <p>est un polynôme de degré 4 à trois indéterminées. </p><p>Parmi les polynômes à <i>n </i>indéterminées, l'étude des <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_sym%C3%A9trique" title="Polynôme symétrique">polynômes symétriques</a> et de leur <a href="/wiki/Groupe_de_permutations" title="Groupe de permutations">groupe de permutations</a> est un domaine important de l'algèbre. </p><p>Ces polynômes sont également dits <b>multivariés</b>, par opposition aux polynômes <b>univariés</b>, à une seule variable. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Polynôme_de_Laurent"><span id="Polyn.C3.B4me_de_Laurent"></span>Polynôme de Laurent</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&veaction=edit&section=15" title="Modifier la section : Polynôme de Laurent" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&action=edit&section=15" title="Modifier le code source de la section : Polynôme de Laurent"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_de_Laurent" title="Polynôme de Laurent">Polynôme de Laurent</a>.</div></div> <p>Il est également possible d'introduire les puissances négatives d'une variable et d'obtenir ainsi un anneau <i>A</i>[<i>X</i>, <i>X</i><sup>−1</sup>] dit de <a href="/wiki/Pierre_Alphonse_Laurent" title="Pierre Alphonse Laurent">Laurent</a>. C'est l'<a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_d%27un_mono%C3%AFde" title="Algèbre d'un monoïde">algèbre du groupe</a> ℤ sur l'anneau <i>A</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&veaction=edit&section=16" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Polyn%C3%B4me&action=edit&section=16" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r194021218">.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}</style><div class="autres-projets boite-grise boite-a-droite noprint js-interprojets"> <p class="titre">Sur les autres projets Wikimedia :</p> <ul class="noarchive plainlinks"> <li class="commons"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Polynomials?uselang=fr">Polynôme</a>, sur <span class="project">Wikimedia Commons</span></li><li class="wiktionary"><a href="https://fr.wiktionary.org/wiki/polyn%C3%B4me" class="extiw" title="wikt:polynôme">polynôme</a>, <span class="nowrap">sur le <span class="project">Wiktionnaire</span></span></li><li class="wikiversity"><a href="https://fr.wikiversity.org/wiki/Polyn%C3%B4me" class="extiw" title="v:Polynôme">Polynôme</a>, <span class="nowrap">sur <span class="project">Wikiversity</span></span></li> </ul> </div> <ul><li><a href="/wiki/Fonction_polynomiale" title="Fonction polynomiale">Fonction polynomiale</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89quation_polynomiale" title="Équation polynomiale">Équation polynomiale</a></li> <li>Dans le domaine de l'<a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire" title="Algèbre linéaire">algèbre linéaire</a> : <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_minimal_d%27un_endomorphisme" title="Polynôme minimal d'un endomorphisme">Polynôme minimal d'un endomorphisme</a>, <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_caract%C3%A9ristique" title="Polynôme caractéristique">Polynôme caractéristique</a></li> <li>Dans le domaine de la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois" title="Théorie de Galois">théorie de Galois</a> : <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_minimal_d%27un_nombre_alg%C3%A9brique" class="mw-redirect" title="Polynôme minimal d'un nombre algébrique">Polynôme minimal d'un nombre algébrique</a></li> <li>Dans le domaine de l'<a href="/wiki/Analyse_(math%C3%A9matiques)" title="Analyse (mathématiques)">analyse</a> : <a href="/wiki/Interpolation_polynomiale" title="Interpolation polynomiale">Polynôme d'interpolation</a>, <a href="/wiki/Polyn%C3%B4mes_orthogonaux" class="mw-redirect" title="Polynômes orthogonaux">Polynômes orthogonaux</a></li> <li><a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_s%C3%A9quentiel" title="Polynôme séquentiel">Polynôme séquentiel</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Gauss-Lucas" title="Théorème de Gauss-Lucas">Théorème de Gauss-Lucas</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Laguerre" title="Théorème de Laguerre">Théorème de Laguerre</a></li> <li><a href="/wiki/Liste_des_polyn%C3%B4mes_remarquables" class="mw-redirect" title="Liste des polynômes remarquables">Liste des polynômes remarquables</a></li> <li>En <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_la_complexit%C3%A9_des_algorithmes" class="mw-redirect" title="Théorie de la complexité des algorithmes">théorie de la complexité</a>, la classe P contient exactement les <a href="/wiki/Probl%C3%A8me_de_d%C3%A9cision" title="Problème de décision">problèmes de décision</a> résolubles en temps polynomial, et la classe NP contient ceux résolubles en temps polynomial sur une machine non-déterministe.</li></ul> <div class="navbox-container" style="clear:both;"> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Polyn%C3%B4mes" title="Modèle:Palette Polynômes"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Polyn%C3%B4mes&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a class="mw-selflink selflink">Polynômes</a></div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a href="/wiki/Degr%C3%A9_d%27un_polyn%C3%B4me" title="Degré d'un polynôme">Degrés</a></th> <td class="navbox-list" style=""><table class="navbox-subgroup" style=""> <tbody><tr> <th class="navbox-group" style="width:150px"><a href="/wiki/Fonction_polynomiale" title="Fonction polynomiale">Fonctions</a></th> <td class="navbox-list" style=";background:#ECECFF; text-align:left;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Fonction_nulle" title="Fonction nulle">Nulle</a></li> <li><a href="/wiki/Fonction_constante" title="Fonction constante">Constante</a></li> <li><a href="/wiki/Fonction_lin%C3%A9aire_(analyse)" title="Fonction linéaire (analyse)">Linéaire</a></li> <li><a href="/wiki/Fonction_affine" title="Fonction affine">Affine</a></li> <li><a href="/wiki/Fonction_du_second_degr%C3%A9" title="Fonction du second degré">Du second degré</a></li> <li><a href="/wiki/Fonction_cubique" title="Fonction cubique">Cubique</a></li> <li><a href="/wiki/Fonction_inverse" title="Fonction inverse">Inverse</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:150px"><a href="/wiki/%C3%89quation_polynomiale" title="Équation polynomiale">Équations</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style=";background:#ECECFF; text-align:left;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/%C3%89quation_lin%C3%A9aire" title="Équation linéaire">Linéaire</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9" title="Équation du second degré">Du second degré</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89quation_cubique" title="Équation cubique">Cubique</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89quation_quartique" title="Équation quartique">Quartique</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89quation_quintique" title="Équation quintique">Quintique</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89quation_sextique" title="Équation sextique">Sextique</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Nombre de termes</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Mon%C3%B4me_(math%C3%A9matiques)" title="Monôme (mathématiques)">Monôme</a></li> <li><a href="/wiki/Bin%C3%B4me_(math%C3%A9matique)" title="Binôme (mathématique)">Binôme</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Polynôme</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Algorithmes</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Division_d%27un_polyn%C3%B4me" title="Division d'un polynôme">Division</a></li> <li><a href="/wiki/Factorisation_des_polyn%C3%B4mes" title="Factorisation des polynômes">Factorisation</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9thode_de_Ruffini-Horner" title="Méthode de Ruffini-Horner">Méthode de Ruffini-Horner</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%A9sultant" title="Résultant">Résultant</a></li> <li><a href="/wiki/Discriminant" title="Discriminant">Discriminant</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table> </div> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Alg%C3%A8bre" title="Portail de l’algèbre"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Arithmetic_symbols.svg/24px-Arithmetic_symbols.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Arithmetic_symbols.svg/36px-Arithmetic_symbols.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Arithmetic_symbols.svg/48px-Arithmetic_symbols.svg.png 2x" data-file-width="210" data-file-height="210" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Alg%C3%A8bre" title="Portail:Algèbre">Portail de l’algèbre</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; 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