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class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Usages de l'arithmétique de <i>K</i>[<i>X</i>]</span> </button> <ul id="toc-Usages_de_l'arithmétique_de_K[X]-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Extension_finie_de_ℝ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Extension_finie_de_ℝ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Extension finie de ℝ</span> </div> </a> <ul id="toc-Extension_finie_de_ℝ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Équation_algébrique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Équation_algébrique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Équation algébrique</span> </div> </a> <ul id="toc-Équation_algébrique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Corps_fini" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Corps_fini"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Corps fini</span> </div> </a> <ul id="toc-Corps_fini-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Anneau_factoriel" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Anneau_factoriel"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Anneau factoriel</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Anneau_factoriel-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Anneau factoriel</span> </button> <ul id="toc-Anneau_factoriel-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Lemme_de_Gauss" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Lemme_de_Gauss"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Lemme de Gauss</span> </div> </a> <ul id="toc-Lemme_de_Gauss-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Théorème" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Théorème"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Théorème</span> </div> </a> <ul id="toc-Théorème-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Usages_de_l'arithmétique_de_A[X]" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Usages_de_l'arithmétique_de_A[X]"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>Usages de l'arithmétique de <i>A</i>[<i>X</i>]</span> </div> </a> <ul id="toc-Usages_de_l'arithmétique_de_A[X]-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Notes_et_références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes_et_références"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Notes et références</span> </div> </a> <ul id="toc-Notes_et_références-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Voir_aussi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Voir_aussi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Voir aussi</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Voir_aussi-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Voir aussi</span> </button> <ul id="toc-Voir_aussi-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Article_connexe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Article_connexe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Article connexe</span> </div> </a> <ul id="toc-Article_connexe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliographie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliographie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Bibliographie</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliographie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liens_externes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liens_externes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>Liens externes</span> </div> </a> <ul id="toc-Liens_externes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header 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</nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Arithmétique des polynômes</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 2 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-2" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">2 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q70893996 mw-list-item" title=""><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_arithmetic" title="Polynomial arithmetic – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Polynomial arithmetic" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Polinomok_sz%C3%A1melm%C3%A9lete" title="Polinomok számelmélete – hongrois" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Polinomok számelmélete" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongrois" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1238474#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes" title="Voir le contenu de la page [c]" accesskey="c"><span>Article</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discussion:Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes" rel="discussion" title="Discussion au sujet de cette page de contenu [t]" accesskey="t"><span>Discussion</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Modifier la variante de langue" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">français</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Affichages"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes"><span>Lire</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=history" title="Historique des versions de cette page [h]" accesskey="h"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Outils" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span 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id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Plus d’options" > <div class="vector-menu-heading"> Actions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes"><span>Lire</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=history"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Général </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_li%C3%A9es/Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes" title="Liste des pages liées qui pointent sur celle-ci [j]" accesskey="j"><span>Pages liées</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Suivi_des_liens/Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes" rel="nofollow" title="Liste des modifications récentes des pages appelées par celle-ci [k]" accesskey="k"><span>Suivi des pages liées</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Aide:Importer_un_fichier" title="Téléverser des fichiers [u]" accesskey="u"><span>Téléverser un 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<div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><p>En <a href="/wiki/Alg%C3%A8bre" title="Algèbre">algèbre</a>, l'<b>arithmétique des polynômes</b> décrit, parmi les propriétés des <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me" title="Polynôme">polynômes</a>, celles qui sont de nature <a href="/wiki/Arithm%C3%A9tique" title="Arithmétique">arithmétique</a>. Elles sont en partie analogues à celles des <a href="/wiki/Entiers_relatifs" class="mw-redirect" title="Entiers relatifs">entiers relatifs</a>. L'<a href="/wiki/Anneau_commutatif" title="Anneau commutatif">anneau commutatif</a> <i>K</i>[<i>X</i>] des <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_formel" title="Polynôme formel">polynômes formels</a> <a href="/wiki/Construction_de_l%27anneau_des_polyn%C3%B4mes" title="Construction de l'anneau des polynômes">à une indéterminée <i>X</i></a> et à coefficients dans un <a href="/wiki/Corps_commutatif" title="Corps commutatif">corps commutatif</a> <i>K</i>, par exemple le corps des <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombres</a> réels ou celui des <a href="/wiki/Nombre_complexe" title="Nombre complexe">complexes</a>, dispose d'une <a href="/wiki/Division_d%27un_polyn%C3%B4me" title="Division d'un polynôme">division</a> euclidienne. Les propriétés de la <a href="/wiki/Division_euclidienne" title="Division euclidienne">division euclidienne</a> sont à l'origine des théorèmes clés de l'<a href="/wiki/Arithm%C3%A9tique_%C3%A9l%C3%A9mentaire" title="Arithmétique élémentaire">arithmétique élémentaire</a>. Il en est de même pour l'arithmétique des polynômes. On démontre de la même manière l'<a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Bachet-B%C3%A9zout" title="Théorème de Bachet-Bézout">identité de Bézout</a> et le <a href="/wiki/Lemme_d%27Euclide" title="Lemme d'Euclide">lemme d'Euclide</a>. L'existence et l'unicité (à l'ordre près) de la <a href="/wiki/Factorisation_des_polyn%C3%B4mes" title="Factorisation des polynômes">décomposition en facteurs irréductibles d'un polynôme</a> s'avère être un équivalent du <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27arithm%C3%A9tique" title="Théorème fondamental de l'arithmétique">théorème fondamental de l'arithmétique</a>, les polynômes <a href="/wiki/Primalit%C3%A9_dans_un_anneau" title="Primalité dans un anneau">irréductibles</a> et unitaires jouant le rôle des <a href="/wiki/Nombre_premier" title="Nombre premier">nombres premiers</a>. </p><p>Ces résultats ne s'appliquent plus de la même manière si les coefficients sont choisis dans un anneau <i>A</i> comme celui des nombres entiers, où les éléments ne sont pas toujours inversibles pour la multiplication. L'étude de cette configuration demande l'usage d'un attirail d'outils mathématiques plus puissants. Ils permettent de montrer que si l'identité de Bézout n'est plus vérifiée, un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique reste encore valable. Cette propriété reste vraie si l'anneau comporte <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_en_plusieurs_ind%C3%A9termin%C3%A9es" title="Polynôme en plusieurs indéterminées">plusieurs indéterminées</a>. Autrement dit, si <i>A</i> est un <a href="/wiki/Anneau_factoriel" title="Anneau factoriel">anneau factoriel</a>, l'anneau des polynômes à coefficients dans <i>A</i> est aussi factoriel, quel que soit le nombre d'indéterminées. Dans certains cas, l'anneau <i>A</i> n'est pas factoriel ; mais s'il est <a href="/wiki/Anneau_noeth%C3%A9rien" title="Anneau noethérien">noethérien</a>, tout anneau de polynômes à un nombre fini d'indéterminées sur <i>A</i> est aussi noethérien. </p><p>Ces différents résultats sont à l'origine de théorèmes fondateurs de diverses branches de l'algèbre. La <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois" title="Théorie de Galois">théorie de Galois</a> s'appuie sur la structure euclidienne de <i>K</i>[<i>X</i>] ; la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_alg%C3%A9brique_des_nombres" title="Théorie algébrique des nombres">théorie algébrique des nombres</a> fait usage du caractère factoriel ou noethérien des anneaux de polynômes à une ou plusieurs indéterminées sur divers anneaux. Enfin, des théorèmes comme celui de <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_base_de_Hilbert" title="Théorème de la base de Hilbert">la base de Hilbert</a> ou le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_z%C3%A9ros_de_Hilbert" title="Théorème des zéros de Hilbert">Nullstellensatz</a>, essentiels en <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_alg%C3%A9brique" title="Géométrie algébrique">géométrie algébrique</a>, sont des conséquences directes de l'arithmétique des polynômes. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Corps_commutatif">Corps commutatif</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Corps commutatif" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Corps commutatif"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dans le reste de l'article <i>K</i> désigne un corps commutatif. Ce corps peut être égal à ℚ celui des nombres rationnels, ℝ celui des réels ou ℂ pour les complexes, ou encore un <a href="/wiki/Corps_fini" title="Corps fini">corps fini</a>. Dans ce paragraphe tous les polynômes sont en une indéterminée et à coefficients dans <i>K</i>, l'anneau de ces polynômes est noté <i>K</i>[<i>X</i>]. L'anneau <i>K</i>[<i>X</i>] possède une division euclidienne (cf. l'article « <a href="/wiki/Division_d%27un_polyn%C3%B4me" title="Division d'un polynôme">Division d'un polynôme</a> ») et comme pour tout anneau euclidien, les conséquences sont multiples. Elles sont exactement semblables à celle traitées dans l'article « <a href="/wiki/Arithm%C3%A9tique_%C3%A9l%C3%A9mentaire" title="Arithmétique élémentaire">Arithmétique élémentaire</a> », qui traite de l'arithmétique des nombres entiers. </p><p>Il est possible d'exprimer ces résultats sous deux formes, la première et la plus simple est celle utilisé dans l'article <i>arithmétique élémentaire</i>. La deuxième, emploie le vocabulaire de la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_anneaux" title="Théorie des anneaux">théorie des anneaux</a>, c'est-à-dire des termes comme <a href="/wiki/Id%C3%A9al" title="Idéal">idéal</a>, <a href="/wiki/Id%C3%A9al_principal" title="Idéal principal">idéal principal</a>, <a href="/wiki/Id%C3%A9al_premier" title="Idéal premier">premier</a> ou encore <a href="/wiki/Id%C3%A9al_maximal" title="Idéal maximal">maximal</a>. L'article explicite les résultats dans les deux langages. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Identité_de_Bézout"><span id="Identit.C3.A9_de_B.C3.A9zout"></span>Identité de Bézout</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Identité de Bézout" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Identité de Bézout"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Suivre le plan de l'article « <a href="/wiki/Arithm%C3%A9tique_%C3%A9l%C3%A9mentaire" title="Arithmétique élémentaire">Arithmétique élémentaire</a> » suppose dans un premier temps de s'intéresser aux sous-ensembles de <i>K</i>[<i>X</i>] non vides et stables pour l'addition et la soustraction. Pour que les conséquences soient aussi riches que dans l'article sur les entiers, il est nécessaire d'ajouter la stabilité de l'ensemble par multiplication par un polynôme quelconque. On obtient le résultat suivant : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Sous-ensemble stable</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Un sous-ensemble non vide <i>M</i> de <i>K</i>[<i>X</i>] est stable par addition, soustraction et multiplication par un polynôme quelconque si et seulement s'il existe un polynôme <i>m</i> tel que <i>M</i> soit l'ensemble des multiples de <i>m</i>. </p> </div> <p>En termes de théorie des anneaux, ce résultat indique que <i>K</i>[<i>X</i>] est un <a href="/wiki/Anneau_principal" title="Anneau principal">anneau principal</a>, ce qui est le cas de tout anneau euclidien (une démonstration se trouve dans l'article « <a href="/wiki/Anneau_euclidien" title="Anneau euclidien">Anneau euclidien</a> »). </p><p>Une conséquence directe est : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Identité de Bézout</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Soit <i>P</i> et <i>Q</i> deux<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> polynômes, <i>P</i> et <i>Q</i> sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux polynômes <i>M</i> et <i>N</i> tels que : </p> <div class="center"><i>PM + QN </i>= 1.</div> </div> <p>Il devient nécessaire de définir l'expression « polynômes <a href="/wiki/Primalit%C3%A9_dans_un_anneau" title="Primalité dans un anneau">premiers entre eux</a> ». Deux polynômes à coefficients dans un corps<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> sont premiers entre eux si et seulement si les seuls polynômes qui les divisent tous les deux sont les polynômes constants non nuls. Cette définition est très proche de celle des entiers qui sont premiers entre eux lorsque les seuls diviseurs communs sont 1 et –1, c'est-à-dire les éléments inversibles de l'anneau. </p><p>Dans le vocabulaire des anneaux, l'identité se traduit un peu différemment. Soit <i>A</i> et <i>B</i> deux idéaux de <i>K</i>[<i>X</i>], <span class="need_ref" title="Ce passage nécessite une référence (demandé le juillet 2013)." style="cursor:help;">si l'intersection de <i>A</i> et de <i>B</i> est égale au produit des idéaux <i>A.B</i> (ce qui est l'équivalent de l'expression <i>premiers entre eux</i>), alors l'idéal <i>A</i> + <i>B</i> est égal à <i>K</i>[<i>X</i>].</span><sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><a href="/wiki/Aide:R%C3%A9f%C3%A9rence_n%C3%A9cessaire" title="Aide:Référence nécessaire">[réf. nécessaire]</a></sup> Voir plutôt « <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_restes_chinois#Résultat_pour_les_anneaux_généraux" title="Théorème des restes chinois">Théorème des restes chinois, § Résultat pour les anneaux généraux</a> ». </p> <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstrations</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> <p>Les démonstrations étant les mêmes que celles de l'article « <a href="/wiki/Arithm%C3%A9tique_%C3%A9l%C3%A9mentaire" title="Arithmétique élémentaire">Arithmétique élémentaire</a> », la rédaction proposée ici est succincte. </p> <ul><li><b>M est stable par addition, soustraction et multiplication par un polynôme quelconque si et seulement s'il existe un polynôme <i>m</i> tel que <i>M</i> soit l'ensemble des multiples de <i>m</i> :</b><br />Il est simple de remarquer que les ensembles de multiples sont stables au sens de l'énoncé.<br />Réciproquement on suppose que <i>M</i> est un ensemble stable au sens de l'énoncé et non réduit à 0. Soit <i>m</i> un polynôme de <i>M</i> non nul et de degré minimal ; par stabilité, <i>M</i> contient tous les multiples de <i>m</i>. Réciproquement, soit <i>p</i> un polynôme quelconque de <i>M</i> ; par stabilité, le reste de la division de <i>p</i> par <i>m</i> est un polynôme de <i>M</i> ; or le degré de ce polynôme est strictement inférieur à <i>m</i> donc par définition de <i>m</i> ce reste est nécessairement nul. Cela montre que tout élément <i>p</i> de <i>M</i> est un multiple de <i>m</i> et termine la démonstration.</li> <li><b>Identité de Bézout :</b><br />L'ensemble des polynômes de la forme <i>MP</i> + <i>NQ</i> est stable au sens de l'énoncé précédent, c'est donc l'ensemble des multiples d'un certain polynôme <i>m</i>.<br />L'ensemble étudié contient <i>P</i> et <i>Q</i>, ce qui montre que <i>m</i> est un diviseur commun de <i>P</i> et <i>Q</i>. Si <i>P</i> et <i>Q</i> sont premiers entre eux, <i>m</i> est donc un polynôme constant non nul. L'ensemble des multiples de <i>m</i> contient alors <i>m m</i><sup>−1</sup> égal à 1, ce qui montre que l'identité de Bézout est vérifiée pour au moins un couple de polynôme (<i>M</i>,  <i>N</i>).<br />Réciproquement, si <i>P</i> et <i>Q</i> ne sont pas premiers entre eux, ils ont un diviseur commun <i>C</i> qui n'est pas de degré nul. Les <i>MP</i> + <i>NQ</i> sont alors des multiples de <i>C</i>, donc aucun peut être égal à 1.</li></ul> </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Polynôme_irréductible"><span id="Polyn.C3.B4me_irr.C3.A9ductible"></span>Polynôme irréductible</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Polynôme irréductible" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Polynôme irréductible"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Continuer l'analogie avec l'arithmétique élémentaire demande à ce niveau de disposer d'un équivalent des <a href="/wiki/Nombre_premier" title="Nombre premier">nombres premiers</a>. Dans ℤ, un nombre premier n'est divisible que par 1, –1 ou le produit d'un de ces deux éléments et de lui-même. Cependant ces nombres ne sont que qualifiés d'irréductibles. Pour qu'ils soient déclarés premiers il faut en plus qu'ils soient positifs. Ce qui caractérise un nombre premier, ce sont ses multiples, or 2 et –2 ont le même ensemble de multiples, ce qui forme une classe d'équivalence dont la relation <i>R</i> est définie par : <i>a</i> et équivalent à <i>b</i> lorsque <i>a</i> et <i>b</i> possèdent le même ensemble de multiples. Dans le cas général, deux éléments d'un anneau <i>a</i> et <i>b</i> sont <i>équivalents</i>, ou encore ont le même ensemble de multiples, s'il existe un élément <i>c</i>, inversible pour la multiplication, tel que <i>ac</i> = <i>b</i>. Dans ℤ, les deux seuls éléments inversibles sont 1 et –1. On dit qu'ils sont éléments du <a href="/wiki/Groupe_des_unit%C3%A9s" title="Groupe des unités">groupe des unités</a> et les éléments inversibles sont dits des unités. La relation d'équivalence est étudiée dans l'article <i><a href="/wiki/Groupe_des_unit%C3%A9s" title="Groupe des unités">Groupe des unités</a></i>. Dans le cas des polynômes : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Groupe des unités de <i>K</i>[<i>X</i>]</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Le groupe des unités de <i>K</i>[<i>X</i>] est formé par les polynômes constants non nuls. </p> </div> <p>On en déduit une définition pour les polynômes, presque équivalente à celle des nombres premiers : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Polynôme irréductible</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Un polynôme est dit irréductible lorsqu'il n'est pas inversible et que ses diviseurs sont, soit des polynômes constants inversibles, soit le produit de lui-même par un polynôme constant. </p> </div> <p>On dispose, par exemple de la proposition : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Polynôme du premier degré</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Un polynôme du premier degré est toujours irréductible. </p> </div> <p>Pour exprimer l'équivalent du <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27arithm%C3%A9tique" title="Théorème fondamental de l'arithmétique">théorème fondamental de l'arithmétique</a>, il est important de choisir un unique nombre premier dans chaque classe d'équivalence, pour la relation <i>R</i>, de nombres irréductibles. Dans ℤ, il suffit d'indiquer qu'un nombre irréductible est dit premier s'il est positif, car chaque classe d'équivalence contient deux éléments : <i>a</i> et son opposé –<i>a</i>. La même relation d'équivalence dans <i>K</i>[<i>X</i>] existe et la classe d'équivalence d'un polynôme <i>P</i> est l'ensemble des polynômes <i>k.P</i> si <i>k</i> décrit tous les éléments de <i>K</i> non nuls. On choisit généralement l'élément de la classe qui est unitaire, c'est-à-dire celui dont le coefficient du monôme dominant (celui du plus haut degré) est égal à 1. Dans chaque classe d'équivalence de polynôme irréductible, il n'existe en effet qu'un unique polynôme unitaire. </p> <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstrations</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> <ul><li><b>Le groupe des unités de <i>K</i>[<i>X</i>] est formé par les polynômes constants non nuls :</b><br />C'est une conséquence des <a href="/wiki/Construction_de_l%27anneau_des_polyn%C3%B4mes#Degré_et_valuation" title="Construction de l'anneau des polynômes">propriétés des degrés des polynômes</a>. Le polynôme constant 1 est de degré 0 et le produit de deux polynômes est de degré la somme des degrés des deux polynômes. En conséquence, un polynôme de degré différent de ne peut être inversible.<br />Réciproquement, un polynôme de degré 0 est par définition un polynôme constant non nul <i>k</i>, dans un corps tout élément non nul <i>k</i> possède un inverse pour la multiplication <i>k</i><sup>−1</sup>, or <i>k.k</i><sup>−1</sup> est bien égal à 1, et tout polynôme constant non nul est bien un élément du groupe des unités.</li> <li><b>Un polynôme du premier degré est toujours irréductible :</b><br />Soit <i>P</i> un polynôme du premier degré et <i>M</i>, <i>N</i> deux polynômes dont le produit <i>MN</i> est égal à <i>P</i>. L'égalité sur les degrés d'un produit de polynômes montre que le degré de <i>M</i> plus le degré de <i>N</i> est égal à 1. L'un des deux polynômes possède nécessairement un degré égal à 0 et l'autre à 1. Si <i>M</i> est celui de degré égal à 0 alors <i>M</i> est inversible et <i>N</i> est égal à <i>M</i><sup>−1</sup><i>P</i>. Ceci montre que les diviseurs de <i>P</i> sont soit des polynômes constants soit le produit de lui-même par un polynôme constant, il est bien irréductible.</li></ul> </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorème_fondamental_de_l'arithmétique"><span id="Th.C3.A9or.C3.A8me_fondamental_de_l.27arithm.C3.A9tique"></span>Théorème fondamental de l'arithmétique</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Théorème fondamental de l'arithmétique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Théorème fondamental de l'arithmétique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27arithm%C3%A9tique" title="Théorème fondamental de l'arithmétique">Théorème fondamental de l'arithmétique</a>.</div></div> <p>Avant d'énoncer le théorème fondamental, un premier lemme est utile : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Lemme d'Euclide</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Soit <i>P</i> un polynôme irréductible et <i>A</i>, <i>B</i> deux polynômes. Si le produit <i>AB</i> est un multiple de <i>P</i>, alors <i>A</i> ou <i>B</i> est un multiple de <i>P</i>. </p> </div> <p>En termes d'anneau, ce résultat s'exprime par : <i>Si un idéal premier contient le produit de deux idéaux, alors il contient l'un ou l'autre</i>, proposition toujours vraie dans un <a href="/wiki/Anneau_principal" title="Anneau principal">anneau principal</a> (cf. l'article « <a href="/wiki/Id%C3%A9al_premier" title="Idéal premier">Idéal premier</a> »). </p><p>On obtient finalement le théorème suivant : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Décomposition en facteurs irréductibles</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Un polynôme non nul se décompose de manière unique, à l'ordre près, en un produit comportant un polynôme constant et des polynômes unitaires irréductibles. </p> </div> <p>Autrement dit, l'anneau <i>K</i>[<i>X</i>] est <a href="/wiki/Anneau_factoriel" title="Anneau factoriel">factoriel</a>, comme tout anneau principal. </p> <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstrations</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> <ul><li><b>Lemme d'Euclide :</b> <dl><dd><a href="/wiki/Lemme_d%27Euclide#Lemme_d'Euclide" title="Lemme d'Euclide">il se déduit du lemme de Gauss</a>, dont <a href="https://fr.wikiversity.org/wiki/Arithm%C3%A9tique/Th%C3%A9or%C3%A8mes_de_B%C3%A9zout_et_Gauss#Théorème_de_Gauss" class="extiw" title="v:Arithmétique/Théorèmes de Bézout et Gauss">la démonstration proposée sur Wikiversité</a> s'applique exactement au cas des polynômes, car on dispose de l'identité de Bézout.</dd></dl></li> <li><b>Existence d'une décomposition en facteurs irréductibles :</b> <dl><dd>on applique mot pour mot la méthode de <a href="/wiki/Anneau_euclidien#Propriétés_des_anneaux_euclidiens" title="Anneau euclidien">preuve que tout anneau euclidien est factoriel</a>, en prenant pour stathme l'application « degré ».</dd></dl></li> <li><b>Unicité d'une telle décomposition :</b> <dl><dd>on la déduit du lemme d'Euclide, comme dans la <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27arithm%C3%A9tique#Unicité" title="Théorème fondamental de l'arithmétique">preuve du théorème fondamental de l'arithmétique</a>.</dd></dl></li></ul> </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quotient">Quotient</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Quotient" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Quotient"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Une structure digne d'intérêt sur les entiers est celle du <a href="/wiki/Anneau_Z/nZ" class="mw-redirect" title="Anneau Z/nZ">quotient ℤ/<i>n</i>ℤ</a>. Un élément de ce quotient est représenté par un reste de division euclidienne d'un entier quelconque par <i>n</i>, on trouve toujours un représentant unique d'une classe de <a href="/wiki/Congruence_sur_les_entiers" title="Congruence sur les entiers">congruence</a> modulo <i>n</i> dans les entiers positifs strictement plus petit que <i>n</i>. Si <i>p</i> est un entier irréductible (c'est-à-dire un nombre premier ou son opposé), la structure ℤ/<i>p</i>ℤ est un <a href="/wiki/Corps_commutatif" title="Corps commutatif">corps</a>, autrement dit, tout élément non nul de ℤ/<i>p</i>ℤ est inversible. </p><p>De façon strictement analogue il est possible de considérer les polynômes de <i>K</i>[<i>X</i>] modulo un polynôme <i>P</i>. On obtient une structure avec une addition et une multiplication, qui est un <a href="/wiki/Anneau_commutatif" title="Anneau commutatif">anneau commutatif</a> noté <i>K</i>[<i>X</i>]/(<i>P</i>). Si de plus <i>P</i> est un polynôme irréductible, tout élément non nul est inversible. Autrement dit : </p> <dl><dd>Si <i>P</i>(<i>X</i>) est un polynôme irréductible de <i>K</i>[<i>X</i>], alors l'<a href="/wiki/Anneau_quotient" title="Anneau quotient">anneau quotient</a> <i>K</i>[<i>X</i>]/(<i>P</i>(<i>X</i>)) est un <a href="/wiki/Corps_commutatif" title="Corps commutatif">corps</a>.</dd></dl> <p>Ce corps est appelé le <a href="/wiki/Corps_de_rupture" title="Corps de rupture">corps de rupture</a> de <i>P</i>. C'est un corps contenant <i>K</i>, dont la <a href="/wiki/Dimension_d%27un_espace_vectoriel" title="Dimension d'un espace vectoriel">dimension</a>, en tant que <i>K</i>-<a href="/wiki/Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">espace vectoriel</a>, est finie et égale au degré du polynôme <i>P</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Usages_de_l'arithmétique_de_K[X]"><span id="Usages_de_l.27arithm.C3.A9tique_de_K.5BX.5D"></span>Usages de l'arithmétique de <i>K</i>[<i>X</i>]</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Usages de l'arithmétique de K[X]" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Usages de l'arithmétique de K[X]"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Extension_finie_de_ℝ"><span id="Extension_finie_de_.E2.84.9D"></span>Extension finie de ℝ</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Extension finie de ℝ" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Extension finie de ℝ"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Extension_alg%C3%A9brique#Extensions_algébriques_de_ℝ" title="Extension algébrique">Extension algébrique : § Extensions algébriques de ℝ</a>.</div></div> <p>Un <a href="/wiki/Corollaire_(math%C3%A9matiques)" title="Corollaire (mathématiques)">corollaire</a> du <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_d%27Alembert-Gauss" class="mw-redirect" title="Théorème de d'Alembert-Gauss">théorème de d'Alembert-Gauss</a> est que ℝ ne possède (<a href="/wiki/%C3%80_quelque_chose_pr%C3%A8s" title="À quelque chose près">à isomorphisme près</a>) que deux extensions algébriques : ℝ lui-même et ℂ. Ce sont <i><span class="lang-la" lang="la"><a href="/wiki/A_fortiori" title="A fortiori">a fortiori</a></span></i> ses seules <a href="/wiki/Extension_finie" title="Extension finie">extensions finies</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Équation_algébrique"><span id=".C3.89quation_alg.C3.A9brique"></span>Équation algébrique</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Équation algébrique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Équation algébrique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Corps_de_d%C3%A9composition" title="Corps de décomposition">Corps de décomposition</a>.</div></div> <p>Soit <i>P</i> un polynôme non nul à coefficients dans un corps <i>K</i>. L'article détaillé montre qu'il existe un « plus petit » corps « contenant toutes les racines de <i>P</i> ». Plus précisément : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Corps de décomposition</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>À isomorphisme près, il existe un unique corps engendré sur <i>K</i> par les racines de <i>P</i> et sur lequel <i>P</i> est <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_scind%C3%A9" class="mw-redirect" title="Polynôme scindé">scindé</a>. </p> </div> <p>Cette extension est appelée « corps de décomposition » du polynôme <i>P</i>. Ce corps est un des ingrédients utilisé dans le cadre de la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois" title="Théorie de Galois">théorie de Galois</a> pour déterminer exactement quelles équations polynomiales sont résolubles par radicaux (cf. l'article « <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Abel_(alg%C3%A8bre)" title="Théorème d'Abel (algèbre)">Théorème d'Abel (algèbre)</a> »). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Corps_fini">Corps fini</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Corps fini" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Corps fini"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Corps_fini#Exemple_:_les_corps_à_p2_éléments" title="Corps fini">Corps fini, § Exemple : les corps à <i>p</i><sup>2</sup> éléments</a>.</div></div> <p>Les congruences sur les anneaux sont la méthode principale d'étude des corps finis. Pour l'illustrer, considérons un nombre premier <i>p</i> strictement supérieur à 2 et recherchons un corps fini à <i>p</i><sup>2</sup> éléments. On considère dans un premier temps le corps <b>F</b><sub><i>p</i></sub> à <i>p</i> éléments, isomorphe à <a href="/wiki/Anneau_Z/nZ" class="mw-redirect" title="Anneau Z/nZ">ℤ/<i>p</i>ℤ</a>. Dans ce corps, il existe des éléments qui ne sont pas des carrés. Pour un tel élément <i>a</i>, le polynôme <span class="nowrap"><i>P<sub>a</sub> = X</i><sup>2</sup> – <i>a</i></span> est irréductible et le <a href="#Quotient">quotient <b>F</b><sub><i>p</i></sub>[<i>X</i>]/(<i>P<sub>a</sub></i>)</a>, son corps de rupture, est de dimension 2 sur <b>F</b><sub><i>p</i></sub>. On obtient bien un corps à <i>p</i><sup>2</sup> éléments. </p><p>L'article détaillé montre qu'il n'existe pas d'autres corps à <i>p</i><sup>2</sup> éléments à un isomorphisme près. Cette méthode se généralise et permet de construire tous les corps finis. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anneau_factoriel">Anneau factoriel</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Anneau factoriel" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Anneau factoriel"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Si l'anneau commutatif <i>A</i> est quelconque : </p> <ul><li>les <a href="/wiki/Inversible" class="mw-redirect" title="Inversible">inversibles</a> de <i>A</i>[<i>X</i>] sont les polynômes dont le <a href="/wiki/Construction_de_l%27anneau_des_polyn%C3%B4mes#Polynômes_constants" title="Construction de l'anneau des polynômes">terme constant</a> est inversible dans <i>A</i> et les autres coefficients sont <a href="/wiki/Nilpotent" title="Nilpotent">nilpotents</a><sup id="cite_ref-Randé_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-Randé-3"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> ;</li> <li>un polynôme est nilpotent si et seulement si tous ses coefficients le sont<sup id="cite_ref-Randé_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-Randé-3"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> ;</li> <li>un polynôme <i>P</i> est <a href="/wiki/Diviseur_de_z%C3%A9ro" title="Diviseur de zéro">diviseur de zéro</a> si et seulement si il existe un élément non nul <i>b</i> de <i>A</i> tel que <i>bP</i> = 0<sup id="cite_ref-Randé_3-2" class="reference"><a href="#cite_note-Randé-3"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</li></ul> <p>Dans ce paragraphe, l'anneau <i>A</i> est supposé <a href="/wiki/Anneau_int%C3%A8gre" title="Anneau intègre">intègre</a>. Le groupe des unités de <i>A</i>[<i>X</i>] est donc alors réduit à celui de <i>A</i>, et <i>A</i>[<i>X</i>] est intègre. </p> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Anneau_factoriel" title="Anneau factoriel">Anneau factoriel</a>.</div></div> <p>On suppose même que <i>A</i> est factoriel. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lemme_de_Gauss">Lemme de Gauss</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Lemme de Gauss" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Lemme de Gauss"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Lemme_de_Gauss_(polyn%C3%B4mes)" title="Lemme de Gauss (polynômes)">Lemme de Gauss (polynômes)</a>.</div></div> <p>Comme <i>A</i> est intègre, il possède un <a href="/wiki/Corps_des_fractions" title="Corps des fractions">corps des fractions</a> <i>K</i>. Un polynôme de <i>A</i>[<i>X</i>] peut aussi être considéré comme un polynôme à coefficients dans <i>K</i>. </p><p>On dit qu'un polynôme est <i>primitif</i> lorsque ses coefficients sont <a href="/wiki/Anneau_factoriel#Diviseur_et_multiple_communs" title="Anneau factoriel">premiers entre eux dans leur ensemble</a>. On dispose d'une première propriété, vraie pour tout anneau factoriel <i>A</i> : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> <p><strong class="theoreme-nom">Lemme de Gauss pour les polynômes</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Un polynôme non constant de <i>A</i>[<i>X</i>] est irréductible si et seulement s'il est primitif et irréductible dans <i>K</i>[<i>X</i>]. </p> </div> <p>Pour montrer qu'un polynôme est irréductible dans ℤ[<i>X</i>], il suffit de vérifier que ses différents coefficients ne comportent aucun facteur commun et qu'il est irréductible dans ℚ[<i>X</i>]. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorème"><span id="Th.C3.A9or.C3.A8me"></span>Théorème</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Théorème" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Théorème"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Une conséquence de ce lemme est le théorème : </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> <p><strong class="theoreme-nom">Anneau factoriel</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>L'anneau <i>A</i>[<i>X</i>] est factoriel. </p> </div> <p>L'équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique est encore valable, au même titre que le lemme d'Euclide, mais si <i>A</i> n'est pas un corps alors <a href="/wiki/Division_d%27un_polyn%C3%B4me#Absence_de_division_euclidienne" title="Division d'un polynôme">la propriété de Bézout n'est plus vraie</a> et l'anneau des polynômes n'est pas principal, donc pas euclidien. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Usages_de_l'arithmétique_de_A[X]"><span id="Usages_de_l.27arithm.C3.A9tique_de_A.5BX.5D"></span>Usages de l'arithmétique de <i>A</i>[<i>X</i>]</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Usages de l'arithmétique de A[X]" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Usages de l'arithmétique de A[X]"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Ces propriétés permettent parfois d'étudier la décomposition en facteurs premiers dans ℚ[<i>X</i>]. C'est le cas pour l'étude du <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_cyclotomique" title="Polynôme cyclotomique">polynôme cyclotomique</a>, le lemme de Gauss permet de montrer que les facteurs irréductibles sont à coefficients dans ℤ, il devient possible de quotienter ℤ, l'anneau des coefficients, par <i>p</i>ℤ où <i>p</i> est un nombre premier, et de conclure sur l'expression exacte des facteurs irréductibles des polynômes de la forme <i>X<sup>n</sup></i> – 1. Le lemme de Gauss peut être aussi utilisé pour démontrer le <a href="/wiki/Crit%C3%A8re_d%27Eisenstein" title="Critère d'Eisenstein">critère d'Eisenstein</a> sur les polynômes à coefficients dans ℤ. </p><p>Une autre conséquence influe sur l'étude de la <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_alg%C3%A9brique" title="Géométrie algébrique">géométrie algébrique</a>. Cette branche des mathématiques porte sur l'étude des variétés définies comme intersections des racines d'une famille (<i>P<sub>k</sub></i>) de <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_en_plusieurs_ind%C3%A9termin%C3%A9es" title="Polynôme en plusieurs indéterminées">polynômes en un nombre fini d'indéterminées</a> sur un corps <i>K</i>. L'anneau <i>K</i>[<i>X</i><sub>1</sub>, <i>X</i><sub>2</sub>] est isomorphe à l'anneau de polynômes en une indéterminée à coefficients dans <i>K</i>[<i>X</i><sub>1</sub>], qui est factoriel. Il est donc factoriel et une récurrence montre que <i>K</i>[<i>X</i><sub>1</sub>, …, <i>X<sub>n</sub></i>] l'est aussi. </p><p>Une <a href="/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_alg%C3%A9brique_affine" title="Variété algébrique affine">variété algébrique affine</a> peut encore être vue comme l'ensemble des points en lesquels les polynômes de l'idéal engendré par la famille (<i>P<sub>k</sub></i>) s'annulent. Le caractère factoriel de l'anneau offre immédiatement des théorèmes sur les idéaux de l'anneau, offrant ainsi deux axes d'analyse, géométrique en étudiant la variété et algébrique en étudiant l'idéal. Le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_base_de_Hilbert" title="Théorème de la base de Hilbert">théorème de la base de Hilbert</a> et le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_z%C3%A9ros_de_Hilbert" title="Théorème des zéros de Hilbert">Nullstellensatz</a>, qui découlent de l'étude de la structure des idéaux, s'interprètent comme deux résultats géométriques sur les variétés. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text">Pour une généralisation à <i>n</i> polynômes de cet énoncé, voir le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Bachet-B%C3%A9zout#Identité_de_Bézout_dans_l'ensemble_des_polynômes" title="Théorème de Bachet-Bézout">§ « Identité de Bézout dans l'ensemble des polynômes »</a> de l'article sur le théorème de Bachet-Bézout.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text">Cette caractérisation n'est pas valide pour des polynômes à coefficients dans un anneau commutatif quelconque : par exemple dans ℤ[<i>X</i>], seul 0 est divisible par <i>toutes</i> les constantes non nulles, et 4 et 6 ne sont pas premiers entre eux bien que leurs seuls diviseurs communs soient <i>des</i> constantes non nulles.</span> </li> <li id="cite_note-Randé-3"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-Randé_3-0">a</a> <a href="#cite_ref-Randé_3-1">b</a> et <a href="#cite_ref-Randé_3-2">c</a></sup> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Randé"><span class="ouvrage" id="Bernard_Randé">Bernard Randé, <cite class="italique">Polynomes, étude algébrique</cite>, Techniques de l'ingénieur <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=XCkDH7rYLM0C&pg=PA5">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 5<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Polynomes%2C+%C3%A9tude+alg%C3%A9brique&rft.pub=Techniques+de+l%27ing%C3%A9nieur&rft.aulast=Rand%C3%A9&rft.aufirst=Bernard&rft.pages=5&rft_id=%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DXCkDH7rYLM0C%26pg%3DPA5&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AArithm%C3%A9tique+des+polyn%C3%B4mes"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="AtiyahMacdonald"><span class="ouvrage" id="Michael_AtiyahIan_G._Macdonald"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Michael_Atiyah" title="Michael Atiyah">Michael Atiyah</a> et <a href="/wiki/Ian_G._Macdonald" title="Ian G. Macdonald">Ian G. Macdonald</a>, <cite class="italique" lang="en">Commutative Algebra</cite>, <abbr class="abbr" title="chapitre(s)">chap.</abbr> 1<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Commutative+Algebra&rft.aulast=Atiyah&rft.aufirst=Michael&rft.au=Ian+G.+Macdonald&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AArithm%C3%A9tique+des+polyn%C3%B4mes"></span></span></span>, exercice 2. Corrigé <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">1-2</span> de <span class="ouvrage" id="Yah"><span class="ouvrage" id="Thomas_Yah"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Thomas Yah, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.math.tamu.edu/~thomasjyahl/misc/comAlgAM.pdf"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Commutative Algebra Problems From Atiyah & McDonald</cite></a> », sur <span class="italique">math.<a href="/wiki/Universit%C3%A9_A%26M_du_Texas" title="Université A&M du Texas">tamu.edu</a></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-5">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Bourbaki"><span class="ouvrage" id="N._Bourbaki"><a href="/wiki/N._Bourbaki" class="mw-redirect" title="N. Bourbaki">N. Bourbaki</a>, <cite class="italique"><a href="/wiki/%C3%89l%C3%A9ments_de_math%C3%A9matique" title="Éléments de mathématique">Algèbre, chapitres 4 à 7</a></cite> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=Dc-TU2Iub6sC&pg=PA9">lire en ligne</a>)</small>, IV.9<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Alg%C3%A8bre%2C+chapitres+4+%C3%A0+7&rft.aulast=Bourbaki&rft.aufirst=N.&rft.pages=IV.9&rft_id=%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DDc-TU2Iub6sC%26pg%3DPA9&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AArithm%C3%A9tique+des+polyn%C3%B4mes"></span></span></span>, Proposition 9.</span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=15" title="Modifier la 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class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Multiplicateurs_de_Lagrange" class="mw-redirect" title="Multiplicateurs de Lagrange">Multiplicateurs de Lagrange</a> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=17" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit&section=17" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="ouvrage" id="Lang"><span class="ouvrage" id="Serge_Lang"><a href="/wiki/Serge_Lang" title="Serge Lang">Serge <span class="nom_auteur">Lang</span></a>, <cite class="italique">Algèbre</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Alg%C3%A8bre_(Lang)" title="Référence:Algèbre (Lang)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Alg%C3%A8bre&rft.aulast=Lang&rft.aufirst=Serge&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AArithm%C3%A9tique+des+polyn%C3%B4mes"></span></span></span></li> <li>Patrice Tauvel, <i>Algèbre Agrégation, Licence <abbr class="abbr" title="Troisième">3<sup>e</sup></abbr> année</i> Dunod (2005) <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2100494120" title="Spécial:Ouvrages de référence/2100494120"><span class="nowrap">2100494120</span></a>)</small></li> <li><span class="ouvrage" id="Perrin"><span class="ouvrage" id="Daniel_Perrin"><a href="/wiki/Daniel_Perrin" title="Daniel Perrin">Daniel <span class="nom_auteur">Perrin</span></a>, <cite class="italique">Cours d'algèbre</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Cours_d%27alg%C3%A8bre_(Daniel_Perrin)" title="Référence:Cours d'algèbre (Daniel Perrin)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Cours+d%27alg%C3%A8bre&rft.aulast=Perrin&rft.aufirst=Daniel&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AArithm%C3%A9tique+des+polyn%C3%B4mes"></span></span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&veaction=edit&section=18" title="Modifier la section : Liens externes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Arithm%C3%A9tique_des_polyn%C3%B4mes&action=edit&section=18" title="Modifier le code source de la section : Liens externes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>B. Parisse, <i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/mat249/mat249/node21.html">Arithmétique des polynomes: Bézout et applications</a></i>, Institut Fourier (CNRS UMR 5582)</li> <li><span class="ouvrage" id="Antonini"><span class="ouvrage" id="C._Antonini">C. Antonini <i><abbr class="abbr" title="et alii (et d’autres)">et al.</abbr></i>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.wikiwix.com/cache/index2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.les-mathematiques.net%2Fb%2Fc%2Fe%2Fnode1.php3#&"><cite style="font-style:normal;">Polynômes à une indéterminée</cite></a> », sur <span class="italique">les-mathematiques.net</span></span></span></li> <li>B. Ycart, <i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/pf/node4.html">Arithmétique des polynômes</a></i>, Laboratoire <a href="/wiki/Jean_Kuntzmann" title="Jean Kuntzmann">Jean Kuntzmann</a></li></ul> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Alg%C3%A8bre" title="Portail de l’algèbre"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Arithmetic_symbols.svg/24px-Arithmetic_symbols.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Arithmetic_symbols.svg/36px-Arithmetic_symbols.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Arithmetic_symbols.svg/48px-Arithmetic_symbols.svg.png 2x" data-file-width="210" data-file-height="210" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Alg%C3%A8bre" title="Portail:Algèbre">Portail de l’algèbre</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ce document provient de « <a dir="ltr" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Arithmétique_des_polynômes&oldid=217695785">https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Arithmétique_des_polynômes&oldid=217695785</a> ».</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Accueil" title="Catégorie:Accueil">Catégorie</a> : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Polyn%C3%B4me" title="Catégorie:Polynôme">Polynôme</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Catégories cachées : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Article_%C3%A0_r%C3%A9f%C3%A9rence_n%C3%A9cessaire" title="Catégorie:Article à référence nécessaire">Article à référence nécessaire</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Alg%C3%A8bre/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Algèbre/Articles liés">Portail:Algèbre/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Sciences/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Sciences/Articles liés">Portail:Sciences/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Projet:Math%C3%A9matiques/Articles" title="Catégorie:Projet:Mathématiques/Articles">Projet:Mathématiques/Articles</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> La dernière modification de cette page a été faite le 15 août 2024 à 11:05.</li> <li id="footer-info-copyright"><span style="white-space: normal"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Citation_et_r%C3%A9utilisation_du_contenu_de_Wikip%C3%A9dia" title="Wikipédia:Citation et réutilisation du contenu de Wikipédia">Droit d'auteur</a> : les textes sont disponibles sous <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions</a> ; d’autres conditions peuvent s’appliquer. Voyez les <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/fr">conditions d’utilisation</a> pour plus de détails, ainsi que les <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Cr%C3%A9dits_graphiques" title="Wikipédia:Crédits graphiques">crédits graphiques</a>. 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