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class="vector-toc-list"> <li id="toc-Poliedros_e_polítopos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Poliedros_e_polítopos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Poliedros e polítopos</span> </div> </a> <ul id="toc-Poliedros_e_polítopos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Embalagens,_coberturas_e_inclinações" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Embalagens,_coberturas_e_inclinações"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Embalagens, coberturas e inclinações</span> </div> </a> <ul id="toc-Embalagens,_coberturas_e_inclinações-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Rigidez_estrutural_e_flexibilidade" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Rigidez_estrutural_e_flexibilidade"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Rigidez estrutural e flexibilidade</span> </div> </a> <ul id="toc-Rigidez_estrutural_e_flexibilidade-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Estruturas_de_incidência" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Estruturas_de_incidência"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4</span> <span>Estruturas de incidência</span> </div> </a> <ul id="toc-Estruturas_de_incidência-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Matróides_orientados" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Matróides_orientados"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.5</span> <span>Matróides orientados</span> </div> </a> <ul id="toc-Matróides_orientados-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Teoria_geométrica_dos_gráfos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" 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class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Treliças_e_grupos_discretos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.9</span> <span>Treliças e grupos discretos</span> </div> </a> <ul id="toc-Treliças_e_grupos_discretos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Geometria_digital" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Geometria_digital"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.10</span> <span>Geometria digital</span> </div> </a> <ul id="toc-Geometria_digital-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Geometria_diferencial_discreta" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Geometria_diferencial_discreta"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.11</span> <span>Geometria diferencial discreta</span> </div> </a> <ul id="toc-Geometria_diferencial_discreta-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Ver_também" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ver_também"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Ver também</span> </div> </a> <ul id="toc-Ver_também-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Notas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Notas</span> </div> </a> <ul id="toc-Notas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referências" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referências"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Referências</span> </div> </a> <ul id="toc-Referências-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referências_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referências_2"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Referências</span> </div> </a> <ul id="toc-Referências_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Conteúdo" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Alternar o índice" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" 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Disponível em 24 línguas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-24" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">24 línguas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D8%A9_%D9%85%D8%AA%D9%82%D8%B7%D8%B9%D8%A9" title="هندسة متقطعة — árabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="هندسة متقطعة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F" title="Дискретна геометрия — búlgaro" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Дискретна геометрия" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Diskretna_geometrija" title="Diskretna geometrija — bósnio" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Diskretna geometrija" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bósnio" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Geometria_discreta" title="Geometria discreta — catalão" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Geometria discreta" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalão" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BA%CF%81%CE%B9%CF%84%CE%AE_%CE%B3%CE%B5%CF%89%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%AF%CE%B1" title="Διακριτή γεωμετρία — grego" lang="el" hreflang="el" data-title="Διακριτή γεωμετρία" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grego" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_geometry" title="Discrete geometry — inglês" lang="en" hreflang="en" data-title="Discrete geometry" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglês" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_discreta" title="Geometría discreta 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href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Diszkr%C3%A9t_geometria" title="Diszkrét geometria — húngaro" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Diszkrét geometria" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="húngaro" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Geometri_diskrit" title="Geometri diskrit — indonésio" lang="id" hreflang="id" data-title="Geometri diskrit" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_discreta" title="Geometria discreta — italiano" lang="it" hreflang="it" data-title="Geometria discreta" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="離散幾何学 — japonês" lang="ja" hreflang="ja" data-title="離散幾何学" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonês" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%EC%82%B0%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99" title="이산기하학 — coreano" lang="ko" hreflang="ko" data-title="이산기하학" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F%D1%81%D1%8B" title="Комбинаторика геометриясы — quirguiz" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Комбинаторика 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class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Heometriyang_natatangi" title="Heometriyang natatangi — tagalo" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Heometriyang natatangi" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalo" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Комбінаторна геометрія — ucraniano" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Комбінаторна геометрія" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%ACnh_h%E1%BB%8Dc_r%E1%BB%9Di_r%E1%BA%A1c" title="Hình học rời rạc — vietnamita" 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href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q906377#sitelinks-wikipedia" title="Editar hiperligações interlínguas" class="wbc-editpage">Editar hiperligações</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaços nominais"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Geometria_discreta" title="Ver a página de conteúdo [c]" accesskey="c"><span>Artigo</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discuss%C3%A3o:Geometria_discreta" rel="discussion" title="Discussão sobre o conteúdo da página [t]" accesskey="t"><span>Discussão</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" 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vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Geometria_discreta"><span>Ler</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit" title="Editar esta página [v]" accesskey="v"><span>Editar</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit" title="Editar o código-fonte desta página [e]" accesskey="e"><span>Editar código-fonte</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=history"><span>Ver histórico</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Geral </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a 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wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Discrete_geometry" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q906377" title="Hiperligação para o elemento do repositório de dados [g]" accesskey="g"><span>Elemento Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Ferramentas de página"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aspeto"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Aspeto</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mover para a barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ocultar</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pt" dir="ltr"><figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Unit_disk_graph.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/Unit_disk_graph.svg/220px-Unit_disk_graph.svg.png" decoding="async" width="220" height="203" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/Unit_disk_graph.svg/330px-Unit_disk_graph.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/Unit_disk_graph.svg/440px-Unit_disk_graph.svg.png 2x" data-file-width="543" data-file-height="500" /></a><figcaption> Uma coleção de <a href="/wiki/Circunfer%C3%AAncia" title="Circunferência">círculos</a> e o gráfico de discos unitários correspondente</figcaption></figure> <p><b>Geometria discreta</b> e <b>geometria</b> <b>combinatória</b> são ramos da <a href="/wiki/Geometria" title="Geometria">geometria</a> que estudam propriedades <a href="/wiki/Combinat%C3%B3ria" title="Combinatória">combinatórias</a> e métodos construtivos de objetos geométricos <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_discreta" title="Matemática discreta">discretos</a> . A maioria dos problemas em geometria discreta envolvem <a href="/wiki/Conjunto" title="Conjunto">conjuntos</a> <a href="/wiki/Topologia_discreta" title="Topologia discreta">discretos</a> e <a href="/wiki/Conjunto_finito" title="Conjunto finito">conjuntos finitos</a> de objetos geométricos básicos, tais como <a href="/wiki/Ponto_(matem%C3%A1tica)" title="Ponto (matemática)">pontos</a>, <a href="/wiki/Reta" title="Reta">linhas</a>, <a href="/wiki/Plano_(geometria)" title="Plano (geometria)">planos</a>, <a href="/wiki/Circunfer%C3%AAncia" title="Circunferência">círculos</a>, <a href="/wiki/Esfera" title="Esfera">esferas</a>, <a href="/wiki/Pol%C3%ADgono" title="Polígono">polígonos</a>, e assim por diante. O assunto se concentra nas propriedades combinatórias desses objetos, como como eles se <a href="/wiki/Interse%C3%A7%C3%A3o" title="Interseção">cruzam</a> ou como eles podem ser organizados para cobrir um objeto maior. </p><p>A geometria discreta tem uma grande sobreposição com <a href="/wiki/Geometria_convexa" title="Geometria convexa">geometria convexa</a> e geometria <a href="/wiki/Geometria_computacional" title="Geometria computacional">computacional</a> e está intimamente relacionada a assuntos como <a href="/wiki/Geometria_finita" title="Geometria finita">geometria finita</a>, <a href="/wiki/Otimiza%C3%A7%C3%A3o_combinat%C3%B3ria" title="Otimização combinatória">otimização combinatória</a>, geometria digital, geometria diferencial discreta, teoria de geométrica de gráficos, geometria tórica e topologia combinatória . </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="História"><span id="Hist.C3.B3ria"></span>História</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit&section=1" title="Editar secção: História" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit&section=1" title="Editar código-fonte da secção: História"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Embora <a href="/wiki/Poliedro" title="Poliedro">poliedros</a> e <a href="/wiki/Tessela%C3%A7%C3%A3o" title="Tesselação">mosaicos</a> tenham sido estudados por muitos anos por pessoas como <a href="/wiki/Johannes_Kepler" title="Johannes Kepler">Kepler</a> e <a href="/wiki/Augustin-Louis_Cauchy" title="Augustin-Louis Cauchy">Cauchy</a>, a geometria discreta moderna tem suas origens no final do século XIX. Os primeiros tópicos estudados foram: a densidade de <a href="/wiki/Empacotamento_de_c%C3%ADrculos" title="Empacotamento de círculos">embalagens circulares</a> de <a href="/wiki/Axel_Thue" title="Axel Thue">Thue</a>, configurações projetivas de Reye e <a href="/wiki/Ernst_Steinitz" title="Ernst Steinitz">Steinitz</a>, a geometria dos números de Minkowski e as <a href="/wiki/Teorema_das_quatro_cores" title="Teorema das quatro cores">cores dos mapas</a> de Tait, Heawood e <a href="/wiki/Hugo_Hadwiger" title="Hugo Hadwiger">Hadwiger</a> . </p><p><a href="/wiki/L%C3%A1szl%C3%B3_Fejes_T%C3%B3th" title="László Fejes Tóth">László Fejes Tóth</a>, <a href="/wiki/Harold_Scott_MacDonald_Coxeter" title="Harold Scott MacDonald Coxeter">HSM Coxeter</a> e <a href="/wiki/Paul_Erd%C5%91s" title="Paul Erdős">Paul Erdős</a>, lançaram as bases da <i>geometria discreta</i> .<sup id="cite_ref-Intuitive_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-Intuitive-1"><span>[</span>1<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span>[</span>2<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-DiscreteGeom1_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-DiscreteGeom1-3"><span>[</span>3<span>]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tópicos"><span id="T.C3.B3picos"></span>Tópicos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit&section=2" title="Editar secção: Tópicos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit&section=2" title="Editar código-fonte da secção: Tópicos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Poliedros_e_polítopos"><span id="Poliedros_e_pol.C3.ADtopos"></span>Poliedros e polítopos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit&section=3" title="Editar secção: Poliedros e polítopos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit&section=3" title="Editar código-fonte da secção: Poliedros e polítopos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Um <a href="/wiki/Pol%C3%ADtopo" title="Polítopo">polítopo</a> é um objeto geométrico com lados planos que existe em qualquer número de dimensões. Um <a href="/wiki/Pol%C3%ADgono" title="Polígono">polígono</a> é um polítopo em duas dimensões, um <a href="/wiki/Poliedro" title="Poliedro">poliedro</a> em três dimensões, e assim por diante em mais dimensões (como um <a href="/wiki/Pol%C3%ADcoro" title="Polícoro">polítopo 4 em quatro dimensões</a> ). Algumas teorias generalizam ainda mais a ideia de incluir objetos como polítopos ilimitados ( apeirotopos e <a href="/wiki/Tessela%C3%A7%C3%A3o" title="Tesselação">pavimentações</a> ) e polítopos abstratos . </p><p>A seguir, são apresentados alguns dos aspectos dos polítopos estudados em geometria discreta: </p> <ul><li>Combinações poliédricas</li> <li>Polítopos de treliça</li> <li>Polinômios de Ehrhart</li> <li><a href="/wiki/Teorema_de_Pick" title="Teorema de Pick">Teorema de Pick</a></li> <li>Conjectura de Hirsch</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Embalagens,_coberturas_e_inclinações"><span id="Embalagens.2C_coberturas_e_inclina.C3.A7.C3.B5es"></span>Embalagens, coberturas e inclinações</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit&section=4" title="Editar secção: Embalagens, coberturas e inclinações" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit&section=4" title="Editar código-fonte da secção: Embalagens, coberturas e inclinações"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Embalagens, coberturas e inclinações são formas de organizar objetos uniformes (normalmente círculos, esferas ou ladrilhos) de maneira regular em uma superfície ou <a href="/wiki/Variedade_(matem%C3%A1tica)" title="Variedade (matemática)">coletor</a> . </p><p>Um <b>empacotamento de esferas</b> é um arranjo de <a href="/wiki/Esfera" title="Esfera">esferas</a> não sobrepostas dentro de um espaço contido. As esferas consideradas são geralmente todas de tamanho idêntico, e o espaço geralmente é um <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_euclidiano" title="Espaço euclidiano">espaço euclidiano</a> <a href="/wiki/Dimens%C3%A3o" title="Dimensão">tridimensional</a> . No entanto, problemas de empacotamento de esferas podem ser generalizados para considerar esferas desiguais,em um espaço euclidiano <i>n-</i> dimensional (onde o problema se torna <a href="/wiki/Empacotamento_de_c%C3%ADrculos" title="Empacotamento de círculos">empacotamento circular</a> em duas dimensões ou empacotamento hiperesférico em dimensões mais altas) ou espaços <a href="/wiki/Geometria_n%C3%A3o_euclidiana" title="Geometria não euclidiana">não-euclidianos</a>, como <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_hiperb%C3%B3lico" title="Espaço hiperbólico">espaço hiperbólico</a> . </p><p>Um <b>mosaico</b> de uma superfície plana é o lado a lado de um <a href="/wiki/Plano_(geometria)" title="Plano (geometria)">plano</a> usando uma ou mais formas geométricas, chamados ladrilhos, sem sobreposições e sem espaços. Em <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica" title="Matemática">matemática</a>, os mosaicos podem ser generalizados para dimensões superiores. </p><p>Os tópicos específicos nesta área incluem: </p> <ul><li><a href="/wiki/Empacotamento_de_c%C3%ADrculos" title="Empacotamento de círculos">Empacotamento de círculos</a></li> <li><a href="/wiki/Empacotamento_de_esferas" title="Empacotamento de esferas">Empacotamento de esferas</a></li> <li><a href="/wiki/Conjectura_de_Kepler" title="Conjectura de Kepler">Conjectura de Kepler</a></li> <li><a href="/wiki/Quase-cristal" title="Quase-cristal">Quase-cristal</a></li> <li>Inclinações aperiódicas</li> <li>Gráfico periódico</li> <li>Regras de subdivisão finita</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rigidez_estrutural_e_flexibilidade">Rigidez estrutural e flexibilidade</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit&section=5" title="Editar secção: Rigidez estrutural e flexibilidade" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit&section=5" title="Editar código-fonte da secção: Rigidez estrutural e flexibilidade"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Structural_rigidity_basic_examples.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Structural_rigidity_basic_examples.svg/150px-Structural_rigidity_basic_examples.svg.png" decoding="async" width="150" height="123" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Structural_rigidity_basic_examples.svg/225px-Structural_rigidity_basic_examples.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Structural_rigidity_basic_examples.svg/300px-Structural_rigidity_basic_examples.svg.png 2x" data-file-width="161" data-file-height="132" /></a><figcaption> Os gráficos são desenhados como hastes conectadas por dobradiças rotativas. O <a href="/wiki/Grafo_ciclo" title="Grafo ciclo">ciclo gráfico</a> C <sub>4</sub> desenhado como um quadrado pode ser transformado em um paralelogramo pela força azul, de modo que é um gráfico flexível. K <sub>3,</sub> desenhado como um triângulo, não pode ser alterado por qualquer força que lhe seja aplicada, por isso, é um gráfico rígido.</figcaption></figure> <p><b>A rigidez estrutural</b> é uma <a href="/wiki/Combinat%C3%B3ria" title="Combinatória">teoria combinatória</a> para prever a flexibilidade de conjuntos formados por <a href="/wiki/Corpo_r%C3%ADgido" title="Corpo rígido">corpos rígidos</a> conectados por articulações ou <a href="/wiki/Dobradi%C3%A7a" title="Dobradiça">dobradiças</a> flexíveis. </p><p>Os tópicos nesta área incluem: </p> <ul><li><a href="/wiki/Teorema_de_Cauchy_sobre_poliedros" title="Teorema de Cauchy sobre poliedros">Teorema de Cauchy sobre poliedros</a></li> <li>Poliedros flexíveis</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Estruturas_de_incidência"><span id="Estruturas_de_incid.C3.AAncia"></span>Estruturas de incidência</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit&section=6" title="Editar secção: Estruturas de incidência" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit&section=6" title="Editar código-fonte da secção: Estruturas de incidência"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Fano_plane_with_nimber_labels.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Fano_plane_with_nimber_labels.svg/150px-Fano_plane_with_nimber_labels.svg.png" decoding="async" width="150" height="150" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Fano_plane_with_nimber_labels.svg/225px-Fano_plane_with_nimber_labels.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Fano_plane_with_nimber_labels.svg/300px-Fano_plane_with_nimber_labels.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a><figcaption> Sete pontos são elementos de sete linhas no plano de Fano, um exemplo de uma estrutura de incidência.</figcaption></figure> <p>As estruturas de incidência generalizam planos (como os planos afins, <a href="/wiki/Plano_projectivo" title="Plano projectivo">projetivos</a> e Möbius), como pode ser visto em suas definições axiomáticas. As estruturas de incidência também generalizam os análogos de dimensões mais altas e as estruturas finitas são algumas vezes chamadas de <a href="/wiki/Geometria_finita" title="Geometria finita">geometrias finitas</a> . </p><p>Formalmente, uma <b>estrutura de incidência</b> é um trio </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C=(P,L,I).\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>,</mo> <mi>L</mi> <mo>,</mo> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C=(P,L,I).\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0dd5948fff4de6f4db2392535dcc884c06bf54c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.276ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C=(P,L,I).\,}"></span></dd></dl> <p>onde <i>P</i> é um conjunto de "pontos", <i>L</i> é um conjunto de "retas" e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I\subseteq P\times L}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo>⊆</mo> <mi>P</mi> <mo>×</mo> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I\subseteq P\times L}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e89d5216cce504b9f50f4b5d0b9e6f27eb9ec3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.439ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle I\subseteq P\times L}"></span> é a relação de incidência . Os elementos de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"></span> são chamados de <b>sinalizadores.</b> E se </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (p,l)\in I,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (p,l)\in I,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c45ff87b682989baeaf9b604e3f31fa093e2f54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.365ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (p,l)\in I,}"></span></dd></dl> <p>dizemos que o ponto <i>p</i> "está na reta" <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}"></span> . </p><p>Os tópicos nesta área incluem: </p> <ul><li>Configurações</li> <li>Arranjos de retas</li> <li>Arranjos de hiperplanos</li> <li>Edificações</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Matróides_orientados"><span id="Matr.C3.B3ides_orientados"></span>Matróides orientados</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit&section=7" title="Editar secção: Matróides orientados" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit&section=7" title="Editar código-fonte da secção: Matróides orientados"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Um <b>matróide orientado</b> é uma estrutura <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica" title="Matemática">matemática</a> que abstrai as propriedades de <a href="/wiki/Grafo_orientado" title="Grafo orientado">gráficos orientados</a> e de arranjos de vetores em um <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial" title="Espaço vetorial">espaço vetorial</a> sobre um <a href="/wiki/Corpo_ordenado" title="Corpo ordenado">corpo ordenado</a> (particularmente para espaços vetoriais parcialmente ordenados ).<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span>[</span>4<span>]</span></a></sup> Em comparação, um matróide comum (ou seja, não orientado) abstrai as propriedades de <a href="/wiki/Independ%C3%AAncia_linear" title="Independência linear">dependência</a> comuns também a <a href="/wiki/Grafo" class="mw-redirect" title="Grafo">gráficos</a>, que não são necessariamente <i>direcionados</i>, e a arranjos de vetores sobre <a href="/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica)" title="Corpo (matemática)">corpos</a>, que não são necessariamente <i>ordenados</i>.<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span>[</span>5<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span>[</span>6<span>]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teoria_geométrica_dos_gráfos"><span id="Teoria_geom.C3.A9trica_dos_gr.C3.A1fos"></span>Teoria geométrica dos gráfos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit&section=8" title="Editar secção: Teoria geométrica dos gráfos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit&section=8" title="Editar código-fonte da secção: Teoria geométrica dos gráfos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Um <b>grafo geométrico</b> é um <a href="/wiki/Grafo" class="mw-redirect" title="Grafo">gráfico</a> no qual os <a href="/wiki/V%C3%A9rtice_(teoria_dos_grafos)" title="Vértice (teoria dos grafos)">vértices</a> ou <a href="/wiki/Lista_de_termos_t%C3%A9cnicos_relacionados_%C3%A0_teoria_dos_grafos" title="Lista de termos técnicos relacionados à teoria dos grafos">arestas</a> estão associadas a objetos <a href="/wiki/Geometria" title="Geometria">geométricos</a> . Os exemplos incluem grafos euclidianos, o 1- <a href="/wiki/N-esqueleto" title="N-esqueleto">esqueleto</a> de um <a href="/wiki/Poliedro" title="Poliedro">poliedro</a> ou <a href="/wiki/Pol%C3%ADtopo" title="Polítopo">polítopo</a>, gráficos de interseção e gráficos de visibilidade . </p><p>Os tópicos nesta área incluem: </p> <ul><li>Desenho gráfico</li> <li>Gráficos poliédricos</li> <li><a href="/wiki/Diagrama_de_Voronoy" title="Diagrama de Voronoy">Diagramas de Voronoi</a> e <a href="/wiki/Triangula%C3%A7%C3%A3o_de_Delaunay" title="Triangulação de Delaunay">triangulações de Delaunay</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Complexos_simpliciais">Complexos simpliciais</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit&section=9" title="Editar secção: Complexos simpliciais" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit&section=9" title="Editar código-fonte da secção: Complexos simpliciais"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Um <b>complexo simplicial</b> é um <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_topol%C3%B3gico" title="Espaço topológico">espaço topológico</a> de um certo tipo, construído pela "colagem" de <a href="/wiki/Ponto_(matem%C3%A1tica)" title="Ponto (matemática)">pontos</a>, <a href="/wiki/Segmento_de_reta" class="mw-redirect" title="Segmento de reta">segmentos de retas</a>, <a href="/wiki/Tri%C3%A2ngulo" title="Triângulo">triângulos</a> e suas <a href="/wiki/Simplex_(topologia)" title="Simplex (topologia)">contrapartes <i>n-</i> dimensionais</a> (veja a ilustração). Complexos simpliciais não devem ser confundidos com a noção mais abstrata de um conjunto simplicial que aparece na teoria moderna da homotopia simplicial. A contrapartida puramente combinatória a um complexo simplicial é um complexo simplicial abstrato . </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Topologia_combinatória"><span id="Topologia_combinat.C3.B3ria"></span>Topologia combinatória</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit&section=10" title="Editar secção: Topologia combinatória" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit&section=10" title="Editar código-fonte da secção: Topologia combinatória"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A disciplina de topologia combinatória usou conceitos combinatórios em <a href="/wiki/Topologia_(matem%C3%A1tica)" title="Topologia (matemática)">topologia</a> e, no início do século XX, se transformou no campo da <a href="/wiki/Topologia_alg%C3%A9brica" title="Topologia algébrica">topologia algébrica</a> . </p><p>Em 1978, a situação foi revertida - métodos da topologia algébrica foram usados para resolver um problema na <a href="/wiki/Combinat%C3%B3ria" title="Combinatória">matemática combinatória</a> - quando <a href="/wiki/L%C3%A1szl%C3%B3_Lov%C3%A1sz" title="László Lovász">László Lovász</a> provou a conjectura de Kneser, iniciando assim um novo estudo da <b>topologia combinatória</b> . A prova de Lovász usou o <a href="/wiki/Teorema_de_Borsuk-Ulam" title="Teorema de Borsuk-Ulam">teorema de Borsuk-Ulam</a> e esse teorema mantém um papel de destaque nesse novo campo. Este teorema tem muitas versões e análogos equivalentes e tem sido usado no estudo de problemas de divisão justa . </p> <ul><li>Lema de Sperner</li> <li>Mapas regulares</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Treliças_e_grupos_discretos"><span id="Treli.C3.A7as_e_grupos_discretos"></span>Treliças e grupos discretos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit&section=11" title="Editar secção: Treliças e grupos discretos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit&section=11" title="Editar código-fonte da secção: Treliças e grupos discretos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Um <b>grupo discreto</b> é um <a href="/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)" title="Grupo (matemática)">grupo</a> <i>G</i> equipado com a <a href="/wiki/Topologia_discreta" title="Topologia discreta">topologia discreta</a> . Com essa topologia, <i>G</i> se torna um <a href="/wiki/Grupo_topol%C3%B3gico" title="Grupo topológico">grupo topológico</a> . Um <b>subgrupo discreto</b> de um grupo topológico <i>G</i> é um <a href="/wiki/Subgrupo" title="Subgrupo">subgrupo</a> <i>H</i> cuja <a href="/wiki/Subespa%C3%A7o_topol%C3%B3gico" title="Subespaço topológico">topologia relativa</a> é a discreta. Por exemplo, os <a href="/wiki/N%C3%BAmero_inteiro" title="Número inteiro">números inteiros</a> <b>Z</b> formam um subgrupo discreto dos <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">reais</a> <b>R</b> (com a <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_m%C3%A9trico" title="Espaço métrico">topologia métrica</a> padrão), mas os <a href="/wiki/N%C3%BAmero_racional" title="Número racional">números racionais</a> <b>Q</b> não. </p><p>Uma <b>treliça</b> em um grupo topológico compacto localmente é um subgrupo discreto com a propriedade de que o <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_topol%C3%B3gico_quociente" title="Espaço topológico quociente">espaço</a> do quociente possui uma medida invariante finita. No caso especial de subgrupos do <b>R</b> <sup><i>n,</i></sup> isso equivale à noção geométrica habitual de uma <a href="/wiki/Rede_diagonal" title="Rede diagonal">treliça</a>, e tanto a estrutura algébrica das treliças e a geometria da totalidade de todos as malhas são relativamente bem compreendidas. Resultados profundos de <a href="/wiki/Armand_Borel" title="Armand Borel">Borel</a>, <a href="/wiki/Harish-Chandra" title="Harish-Chandra">Harish-Chandra</a>, <a href="/wiki/George_Mostow" title="George Mostow">Mostow</a>, Tamagawa, <a href="/wiki/M.S._Raghunathan" title="M.S. Raghunathan">MS Raghunathan</a>, <a href="/wiki/Grigory_Margulis" title="Grigory Margulis">Margulis</a>, <a href="/wiki/Robert_Zimmer" title="Robert Zimmer">Zimmer</a>, obtidos entre os anos 50 e 70, forneceram exemplos e generalizaram grande parte da teoria ao conjunto de <a href="/wiki/Grupo_de_Lie" title="Grupo de Lie">grupos de Lie</a> <a href="/wiki/Grupo_nilpotente" title="Grupo nilpotente">nilpotentes</a> e grupos algébricos semi - simples em um <a href="/wiki/Corpo_local" title="Corpo local">corpo local</a> . Na década de 1990, <a href="/wiki/Hyman_Bass" title="Hyman Bass">Bass</a> e <a href="/wiki/Alexander_Lubotzky" title="Alexander Lubotzky">Lubotzky</a> iniciaram o estudo de treliças de <i>árvores</i>, que continua sendo uma área de pesquisa ativa. </p><p>Os tópicos nesta área incluem: </p> <ul><li>Grupos de reflexão</li> <li>Grupos de triângulos</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geometria_digital">Geometria digital</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit&section=12" title="Editar secção: Geometria digital" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit&section=12" title="Editar código-fonte da secção: Geometria digital"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>A geometria digital</b> lida com conjuntos <a href="/wiki/Topologia_discreta" title="Topologia discreta">discretos</a> (geralmente conjuntos de <a href="/wiki/Ponto_(matem%C3%A1tica)" title="Ponto (matemática)">pontos</a> discretos) considerados <a href="/wiki/Maquete" title="Maquete">modelos</a> <a href="/wiki/Digitaliza%C3%A7%C3%A3o" title="Digitalização">digitalizados</a> ou <a href="/wiki/Imagem" title="Imagem">imagens</a> de objetos do <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_euclidiano" title="Espaço euclidiano">espaço euclidiano</a> 2D ou 3D. </p><p>Simplificando, a <b>digitalização</b> está substituindo um objeto por um conjunto discreto de pontos. As imagens que vemos na tela da TV, a exibição <a href="/wiki/Raster" title="Raster">raster</a> de um computador ou nos jornais são de fato imagens <a href="/wiki/Dados_digitais" title="Dados digitais">digitais</a> . </p><p>Suas principais áreas de aplicação são <a href="/wiki/Computa%C3%A7%C3%A3o_gr%C3%A1fica" title="Computação gráfica">computação gráfica</a> e análise de imagens .<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span>[</span>7<span>]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geometria_diferencial_discreta">Geometria diferencial discreta</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit&section=13" title="Editar secção: Geometria diferencial discreta" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit&section=13" title="Editar código-fonte da secção: Geometria diferencial discreta"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>Geometria diferencial discreta</b> é o estudo de contrapartes discretas de noções em <a href="/wiki/Geometria_diferencial" title="Geometria diferencial">geometria diferencial</a> . Em vez de curvas e superfícies suaves, existem <a href="/wiki/Pol%C3%ADgono" title="Polígono">polígonos</a>, malhas e <a href="/wiki/Complexo_simplicial" title="Complexo simplicial">complexos simpliciais</a> . É utilizado no estudo de <a href="/wiki/Computa%C3%A7%C3%A3o_gr%C3%A1fica" title="Computação gráfica">computação gráfica</a> e topologia combinatória . </p><p>Os tópicos nesta área incluem: </p> <ul><li>Operador discreto de Laplace</li> <li>Cálculo externo discreto</li> <li>Cálculo discreto</li> <li>Teoria discreta de Morse</li> <li>Topologia combinatória</li> <li>Análise de formas espectrais</li> <li>Geometria diferencial abstrata</li> <li>Análise em fractais</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ver_também"><span id="Ver_tamb.C3.A9m"></span>Ver também</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit&section=14" title="Editar secção: Ver também" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit&section=14" title="Editar código-fonte da secção: Ver também"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><i>Geometria Discreta e Computacional</i> (journal)</li> <li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_discreta" title="Matemática discreta">Matemática discreta</a></li> <li><a href="/wiki/Paul_Erd%C5%91s" title="Paul Erdős">Paul Erdős</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notas">Notas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit&section=15" title="Editar secção: Notas" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit&section=15" title="Editar código-fonte da secção: Notas"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <h2 id="Referências" style="cursor: help;" title="Esta seção foi configurada para não ser editável diretamente. Edite a página toda ou a seção anterior em vez disso."><span id="Refer.C3.AAncias"></span>Referências</h2> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-Intuitive-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Intuitive_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite id="CITEREFPach2008" class="citation">Pach, János; et al. (2008), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.renyi.hu/conferences/intuitiv_geometry/"><i>Intuitive Geometry, in Memoriam László Fejes Tóth</i></a>, Alfréd Rényi Institute of Mathematics</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AGeometria+discreta&rft.aufirst=J%C3%A1nos&rft.aulast=Pach&rft.btitle=Intuitive+Geometry%2C+in+Memoriam+L%C3%A1szl%C3%B3+Fejes+T%C3%B3th&rft.date=2008&rft.genre=book&rft.pub=Alfr%C3%A9d+R%C3%A9nyi+Institute+of+Mathematics&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.renyi.hu%2Fconferences%2Fintuitiv_geometry%2F&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite id="CITEREFKatona2005" class="citation">Katona, G. O. H. 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For learning about oriented matroids, a good preparation is to study the textbook on <a href="/w/index.php?title=Linear_optimization&action=edit&redlink=1" class="new" title="Linear optimization (página não existe)">linear optimization</a> by Nering and Tucker, which is infused with oriented-matroid ideas, and then to proceed to Ziegler's lectures on polytopes.</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">See <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.springer.com/us/book/9783319120980">Li Chen, Digital and discrete geometry: Theory and Algorithms, Springer, 2014.</a></span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referências_2"><span id="Refer.C3.AAncias_2"></span>Referências</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&veaction=edit&section=16" title="Editar secção: Referências" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Geometria_discreta&action=edit&section=16" title="Editar código-fonte da secção: Referências"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation book">Bezdek, András (2003). <i>Discrete geometry: in honor of W. 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New York, N.Y: [s.n.] <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-3-319-00200-2" title="Especial:Fontes de livros/978-3-319-00200-2">978-3-319-00200-2</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AGeometria+discreta&rft.au=Deza%2C+Antoine&rft.au=Ye%2C+Yinyu&rft.aufirst=K%C3%A1roly&rft.aulast=Bezdek&rft.btitle=Discrete+Geometry+and+Optimization&rft.date=2013&rft.genre=book&rft.isbn=978-3-319-00200-2&rft.place=New+York%2C+N.Y&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><cite class="citation book">Brass, Peter; Moser, William; Pach, János (2005). <i>Research problems in discrete geometry</i>. <i>Springer</i>. 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Gruber Resumo divulgativo]<span style="font-size:100%" class="error citation-comment"> Verifique valor <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|resumo-url=</code> (<a href="/wiki/Ajuda:Erros_nas_refer%C3%AAncias#bad_url" title="Ajuda:Erros nas referências">ajuda</a>)</span></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AGeometria+discreta&rft.aufirst=Peter+M.&rft.aulast=Gruber&rft.btitle=Convex+and+Discrete+Geometry&rft.date=2007&rft.genre=book&rft.isbn=3-540-71132-5&rft.place=Berlin&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><cite class="citation book">Matoušek, Jiří (2002). <i>Lectures on discrete geometry</i>. <i>Springer</i>. 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