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Congruencia de triángulos</span> </button> <ul id="toc-Congruencia_de_triángulos-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Criterios_de_congruencia_de_triángulos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Criterios_de_congruencia_de_triángulos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Criterios de congruencia de triángulos</span> </div> </a> <ul id="toc-Criterios_de_congruencia_de_triángulos-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Lado-lado-ángulo" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Lado-lado-ángulo"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1.1</span> <span>Lado-lado-ángulo</span> </div> </a> <ul id="toc-Lado-lado-ángulo-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ángulo-ángulo-ángulo" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Ángulo-ángulo-ángulo"> <div 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id="toc-Definición_de_congruencia_en_geometría_analítica_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Definición_de_congruencia_en_geometría_analítica_2"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Definición de congruencia en geometría analítica</span> </div> </a> <ul id="toc-Definición_de_congruencia_en_geometría_analítica_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Secciones_cónicas_congruentes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Secciones_cónicas_congruentes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Secciones cónicas congruentes</span> </div> </a> <ul id="toc-Secciones_cónicas_congruentes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Poliedros_congruentes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Poliedros_congruentes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Poliedros congruentes</span> </div> </a> <ul id="toc-Poliedros_congruentes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Véase_también" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Véase_también"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Véase también</span> </div> </a> <ul id="toc-Véase_también-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referencias" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referencias"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>Referencias</span> </div> </a> <ul id="toc-Referencias-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Enlaces_externos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Enlaces_externos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">12</span> <span>Enlaces externos</span> </div> </a> <ul id="toc-Enlaces_externos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contenidos" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar a la tabla de contenidos" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button 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Disponible en 56 idiomas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-56" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">56 idiomas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%B7%D8%A7%D8%A8%D9%82_(%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D8%A9)" title="تطابق (هندسة) (árabe)" lang="ar" hreflang="ar" data-title="تطابق (هندسة)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_congruentes" title="Ángulos congruentes (asturiano)" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Ángulos congruentes" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiano" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B3%D1%80%D1%83%D1%8D%D0%BD%D1%82%D0%BB%D1%8B%D2%A1_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)" title="Конгруэнтлыҡ (геометрия) (baskir)" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Конгруэнтлыҡ (геометрия)" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baskir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82" title="Еднаквост (búlgaro)" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Еднаквост" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A6%B0%E0%A7%8D%E0%A6%AC%E0%A6%B8%E0%A6%AE%E0%A6%A4%E0%A6%BE_(%E0%A6%9C%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE%E0%A6%AE%E0%A6%BF%E0%A6%A4%E0%A6%BF)" title="সর্বসমতা (জ্যামিতি) (bengalí)" lang="bn" hreflang="bn" data-title="সর্বসমতা (জ্যামিতি)" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalí" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Podudarnost_(geometrija)" title="Podudarnost (geometrija) (bosnio)" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Podudarnost (geometrija)" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosnio" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Congru%C3%A8ncia_(geometria)" title="Congruència (geometria) (catalán)" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Congruència (geometria)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%DB%8E%DA%A9%DA%A9%DB%95%D9%88%D8%AA%D9%88%D9%88%DB%8C%DB%8C_(%D8%A6%DB%95%D9%86%D8%AF%D8%A7%D8%B2%DB%95)" title="پێککەوتوویی (ئەندازە) (kurdo sorani)" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="پێککەوتوویی (ئەندازە)" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="kurdo sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B3%D1%80%D1%83%D1%8D%D0%BD%D1%82%D0%BB%C4%83%D1%85_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8)" title="Конгруэнтлăх (геометри) (chuvasio)" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Конгруэнтлăх (геометри)" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="chuvasio" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Cyfathiant" title="Cyfathiant (galés)" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Cyfathiant" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="galés" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Kongruens" title="Kongruens (danés)" lang="da" hreflang="da" data-title="Kongruens" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danés" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Geometrie)" title="Kongruenz (Geometrie) (alemán)" lang="de" hreflang="de" data-title="Kongruenz (Geometrie)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemán" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_(geometry)" title="Congruence (geometry) (inglés)" lang="en" hreflang="en" data-title="Congruence (geometry)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglés" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Kongruentsus" title="Kongruentsus (estonio)" lang="et" hreflang="et" data-title="Kongruentsus" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonio" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Kongruentzia_(geometria)" title="Kongruentzia (geometria) (euskera)" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Kongruentzia (geometria)" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="euskera" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%87%D9%85%E2%80%8C%D9%86%D9%87%D8%B4%D8%AA%DB%8C_(%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87)" title="هم‌نهشتی (هندسه) (persa)" lang="fa" hreflang="fa" data-title="هم‌نهشتی (هندسه)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Yhtenevyys" title="Yhtenevyys (finés)" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Yhtenevyys" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finés" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Congruence_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Congruence (géométrie) (francés)" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Congruence (géométrie)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francés" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Congruencia_(xeometr%C3%ADa)" title="Congruencia (xeometría) (gallego)" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Congruencia (xeometría)" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="gallego" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%A4%D7%99%D7%A4%D7%94" title="חפיפה (hebreo)" lang="he" hreflang="he" data-title="חפיפה" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreo" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%B5%E0%A4%BE%E0%A4%82%E0%A4%97%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A4%A4%E0%A4%BE" title="सर्वांगसमता (hindi)" lang="hi" hreflang="hi" data-title="सर्वांगसमता" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Sukladnost_(geometrija)" title="Sukladnost (geometrija) (croata)" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Sukladnost (geometrija)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croata" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Egybev%C3%A1g%C3%B3s%C3%A1g" title="Egybevágóság (húngaro)" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Egybevágóság" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="húngaro" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Kongruen" title="Kongruen (indonesio)" lang="id" hreflang="id" data-title="Kongruen" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Kongruo_(geometrio)" title="Kongruo (geometrio) (ido)" lang="io" hreflang="io" data-title="Kongruo (geometrio)" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Congruenza_(geometria)" title="Congruenza (geometria) (italiano)" lang="it" hreflang="it" data-title="Congruenza (geometria)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%B3%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%90%88%E5%90%8C" title="図形の合同 (japonés)" lang="ja" hreflang="ja" data-title="図形の合同" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonés" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B3%D1%80%D1%83%D1%8D%D0%BD%D1%82%D1%82%D1%96%D0%BB%D1%96%D0%BA" title="Конгруэнттілік (kazajo)" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Конгруэнттілік" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazajo" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%A9%EB%8F%99_(%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99)" title="합동 (기하학) (coreano)" lang="ko" hreflang="ko" data-title="합동 (기하학)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ksh mw-list-item"><a href="https://ksh.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Jeometri)" title="Kongruenz (Jeometri) (kölsch)" lang="ksh" hreflang="ksh" data-title="Kongruenz (Jeometri)" data-language-autonym="Ripoarisch" data-language-local-name="kölsch" class="interlanguage-link-target"><span>Ripoarisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Congruentia_(geometria)" title="Congruentia (geometria) (latín)" lang="la" hreflang="la" data-title="Congruentia (geometria)" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latín" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="Складност (macedonio)" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Складност" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedonio" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Kongruen_(geometri)" title="Kongruen (geometri) (malayo)" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Kongruen (geometri)" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malayo" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%91%E1%80%95%E1%80%BA%E1%80%90%E1%80%B0%E1%80%8A%E1%80%AE%E1%80%81%E1%80%BC%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8" title="ထပ်တူညီခြင်း (birmano)" lang="my" hreflang="my" data-title="ထပ်တူညီခြင်း" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birmano" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Congruentie_(meetkunde)" title="Congruentie (meetkunde) (neerlandés)" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Congruentie (meetkunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Kongruens_(geometri)" title="Kongruens (geometri) (noruego bokmal)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Kongruens (geometri)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="noruego bokmal" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Przystawanie_(geometria)" title="Przystawanie (geometria) (polaco)" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Przystawanie (geometria)" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Congru%C3%AAncia_(geometria)" title="Congruência (geometria) (portugués)" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Congruência (geometria)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugués" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Congruen%C8%9B%C4%83_(geometrie)" title="Congruență (geometrie) (rumano)" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Congruență (geometrie)" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumano" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B3%D1%80%D1%83%D1%8D%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)" title="Конгруэнтность (геометрия) (ruso)" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Конгруэнтность (геометрия)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ruso" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Podudarnost_(geometrija)" title="Podudarnost (geometrija) (serbocroata)" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Podudarnost (geometrija)" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbocroata" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple 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class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Kongruenca_(gjeometri)" title="Kongruenca (gjeometri) (albanés)" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Kongruenca (gjeometri)" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanés" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/Podudarnost_(geometrija)" title="Podudarnost (geometrija) (serbio)" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Podudarnost (geometrija)" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Kongruens_(geometri)" title="Kongruens (geometri) (sueco)" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Kongruens (geometri)" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" 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href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F)" title="Конгруентність (геометрія) (ucraniano)" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Конгруентність (геометрія)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Kongruentlik" title="Kongruentlik (uzbeko)" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Kongruentlik" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbeko" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/T%C6%B0%C6%A1ng_%C4%91%E1%BA%B3ng_(h%C3%ACnh_h%E1%BB%8Dc)" title="Tương đẳng (hình học) (vietnamita)" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Tương đẳng (hình học)" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E7%AD%89%EF%BC%88%E5%87%A0%E4%BD%95%EF%BC%89" title="全等（几何） (chino wu)" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="全等（几何）" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="chino wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E7%AD%89" title="全等 (chino)" lang="zh" hreflang="zh" data-title="全等" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chino" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E7%AD%89" title="全等 (Literary Chinese)" lang="lzh" 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data-file-height="227" /></a><figcaption>Un ejemplo de congruencia. Los dos triángulos de la izquierda son congruentes, mientras que el tercero es <a href="/wiki/Semejanza_(geometr%C3%ADa)" title="Semejanza (geometría)">similar</a> a ellos. El último triángulo no es ni congruente ni semejante a ninguno de los otros. La congruencia permite modificar algunas propiedades, como la posición y la orientación, pero no modifica otras, como la <a href="/wiki/Distancia" title="Distancia">distancia</a> y el <a href="/wiki/%C3%81ngulo" title="Ángulo">ángulo</a>. Las propiedades que no cambian se llaman <a href="/w/index.php?title=Invariante_(matem%C3%A1ticas)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Invariante (matemáticas) (aún no redactado)">invariantes</a>.</figcaption></figure> <p>En <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa" title="Geometría">geometría</a>, dos figuras u objetos son <b>congruentes</b> si tienen la misma forma y tamaño, o si una tiene la misma forma y tamaño que la <a href="/wiki/Imagen_especular" title="Imagen especular">imagen especular</a> de la otra.<sup id="cite_ref-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Una congruencia queda determinada conociendo dos pares de puntos homólogos. Más formalmente, dos conjuntos de <a href="/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)" title="Punto (geometría)">puntos</a> se denominan <b>congruentes</b> si, y solo si, uno puede transformarse en el otro mediante una <a href="/wiki/Isometr%C3%ADa" title="Isometría">isometría</a>, es decir, una combinación de movimientos rígidos, a saber, una <a href="/wiki/Traslaci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)" title="Traslación (geometría)">traslación</a>, una <a href="/wiki/Rotaci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)" title="Rotación (matemáticas)">rotación</a> y una <a href="/wiki/Reflexi%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)" class="mw-redirect" title="Reflexión (matemáticas)">reflexión</a>. Esto significa que cualquiera de los objetos puede reposicionarse y reflejarse (pero no redimensionarse) de modo que coincida exactamente con el otro objeto. Por lo tanto, dos figuras planas distintas en un trozo de papel son congruentes si se pueden recortar y luego hacer coincidir completamente. Se permite dar la vuelta al papel. </p><p>La congruencia es un movimiento directo del plano, al conservarse las distancias y la orientación de las figuras. </p> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Angle-angle-side_triangle_congruence.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Angle-angle-side_triangle_congruence.svg/333px-Angle-angle-side_triangle_congruence.svg.png" decoding="async" width="333" height="222" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Angle-angle-side_triangle_congruence.svg/500px-Angle-angle-side_triangle_congruence.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Angle-angle-side_triangle_congruence.svg/666px-Angle-angle-side_triangle_congruence.svg.png 2x" data-file-width="135" data-file-height="90" /></a><figcaption>Este diagrama ilustra el principio geométrico de congruencia ángulo-ángulo-lado triángulo: dados el triángulo ABC y el triángulo A'B'C', el triángulo ABC es congruente con el triángulo A'B'C' si y sólo si: el ángulo CAB es congruente con el ángulo C'A'B', y el ángulo ABC es congruente con el ángulo A'B'C', y BC es congruente con B'C'. Nota <a href="/w/index.php?title=Hatch_mark&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hatch mark (aún no redactado)">hatch marks</a> se usan aquí para mostrar igualdades de ángulos y lados.</figcaption></figure> <p>En geometría elemental la palabra <i>congruente</i> se usa a menudo de la siguiente manera.<sup id="cite_ref-2" class="reference separada"><a href="#cite_note-2"><span class="corchete-llamada">[</span>2<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> La palabra <i>igual</i> se usa a menudo en lugar de <i>congruente</i> para estos objetos. </p> <ul><li>Dos <a href="/wiki/Segmento" title="Segmento">segmento de líneas</a> son congruentes si tienen la misma longitud.</li> <li>Dos <a href="/wiki/%C3%81ngulos" class="mw-redirect" title="Ángulos">ángulos</a> son congruentes si tienen la misma medida.</li> <li>Dos <a href="/wiki/C%C3%ADrculo" title="Círculo">círculos</a> son congruentes si tienen el mismo <a href="/wiki/Di%C3%A1metro" title="Diámetro">diámetro</a>.</li></ul> <p>En este sentido, <i>dos figuras planas son congruentes</i> implica que sus correspondientes características son <i>congruentes</i> o <i>iguales</i> incluyendo no sólo sus correspondientes lados y ángulos, sino también sus correspondientes diagonales, perímetros y áreas. </p><p>El concepto relacionado de <a href="/wiki/Semejanza_(geometr%C3%ADa)" title="Semejanza (geometría)">semejanza</a> se aplica si los objetos tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. (La mayoría de las definiciones consideran que la congruencia es una forma de semejanza, aunque una minoría exige que los objetos tengan tamaños diferentes para calificarlos de semejantes). </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Concepto">Concepto</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Congruencia_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=1" title="Editar sección: Concepto"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dos o más figuras son congruentes si se cumple que son equivalentes tanto en forma como en tamaño, es decir si sus lados y sus ángulos respectivos tienen la correspondiencia en la medida, aunque su posición y orientación sean distintas. </p><p>El símbolo de congruencia es ( ≅ ). </p><p> Las partes coincidentes de las figuras congruentes<sup id="cite_ref-3" class="reference separada"><a href="#cite_note-3"><span class="corchete-llamada">[</span>3<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> se llaman homólogas o correspondientes.</p><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Geom_shodnost_translace.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/Geom_shodnost_translace.svg/220px-Geom_shodnost_translace.svg.png" decoding="async" width="220" height="66" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/Geom_shodnost_translace.svg/330px-Geom_shodnost_translace.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/Geom_shodnost_translace.svg/440px-Geom_shodnost_translace.svg.png 2x" data-file-width="670" data-file-height="200" /></a><figcaption>Figuras congruentes relacionadas mediante traslación.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Hatch_marks.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Hatch_marks.svg/220px-Hatch_marks.svg.png" decoding="async" width="220" height="145" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Hatch_marks.svg/330px-Hatch_marks.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Hatch_marks.svg/440px-Hatch_marks.svg.png 2x" data-file-width="274" data-file-height="181" /></a><figcaption>Figuras congruentes relacionadas mediante reflexión y rotación.</figcaption></figure> <p>En <a href="/wiki/Matem%C3%A1ticas" title="Matemáticas">matemáticas</a>, dos figuras geométricas son <b>congruentes</b> si tienen las mismas dimensiones y la misma forma sin importar su posición u orientación,<sup id="cite_ref-4" class="reference separada"><a href="#cite_note-4"><span class="corchete-llamada">[</span>4<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> es decir, si existe una <a href="/wiki/Isometr%C3%ADa" title="Isometría">isometría</a> que los relaciona: una transformación que puede ser de <a href="/wiki/Traslaci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)" title="Traslación (geometría)">traslación</a>, <a href="/wiki/Movimiento_de_rotaci%C3%B3n#Transformaciones_de_rotación" title="Movimiento de rotación">rotación</a> o <a href="/wiki/Reflexi%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)" class="mw-redirect" title="Reflexión (geometría)">reflexión</a>. Las partes relacionadas entre las figuras congruentes se llaman <b>homólogas</b> o correspondientes. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Determinación_de_la_congruencia_de_polígonos"><span id="Determinaci.C3.B3n_de_la_congruencia_de_pol.C3.ADgonos"></span>Determinación de la congruencia de polígonos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Congruencia_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=2" title="Editar sección: Determinación de la congruencia de polígonos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Quadrilateral_congruence.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Quadrilateral_congruence.png/333px-Quadrilateral_congruence.png" decoding="async" width="333" height="214" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cf/Quadrilateral_congruence.png 1.5x" data-file-width="379" data-file-height="244" /></a><figcaption>Los cuadriláteros naranja y verde son congruentes; el azul no lo es con ellos. Los tres tienen el mismo <a href="/wiki/Per%C3%ADmetro" title="Perímetro">perímetro</a> y <a href="/wiki/%C3%81rea" title="Área">área</a>. (La ordenación de los lados del cuadrilátero azul es "mixta", lo que hace que dos de los ángulos interiores y una de las diagonales no sean congruentes).</figcaption></figure> <p>Para que dos polígonos sean congruentes, deben tener el mismo número de lados (y, por tanto, el mismo número de vértices). Dos polígonos con <i>n</i> lados son congruentes si y sólo si cada uno tiene secuencias numéricamente idénticas (incluso en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en el sentido contrario para el otro) lado-ángulo-lado-ángulo-... para <i>n</i> lados y <i>n</i> ángulos. </p><p>La congruencia de polígonos puede establecerse gráficamente de la siguiente manera: </p> <ul><li>Primero, emparejar y etiquetar los vértices correspondientes de las dos figuras.</li> <li>En segundo lugar, dibuja un vector desde uno de los vértices de una de las figuras hasta el vértice correspondiente de la otra figura. <i>Traslada</i> la primera figura mediante este vector para que estos dos vértices coincidan.</li> <li>Tercero, <i>gira</i> la figura trasladada alrededor del vértice correspondiente hasta que un par de <a href="/wiki/Lados_correspondientes" class="mw-redirect" title="Lados correspondientes">lados correspondientes</a> coincidan.</li> <li>Cuarto, <i>reflejar</i> la figura rotada sobre este lado coincidente hasta que las figuras coincidan.</li></ul> <p>Si en algún momento no se puede completar el paso, los polígonos no son congruentes. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definición_de_congruencia_en_geometría_analítica"><span id="Definici.C3.B3n_de_congruencia_en_geometr.C3.ADa_anal.C3.ADtica"></span>Definición de congruencia en geometría analítica</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Congruencia_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=3" title="Editar sección: Definición de congruencia en geometría analítica"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En la <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana" title="Geometría euclidiana">geometría euclidiana</a>, la congruencia es equivalente a <a href="/wiki/Igualdad_matem%C3%A1tica" title="Igualdad matemática">igualdad matemática</a> en aritmética y álgebra. En <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica" title="Geometría analítica">geometría analítica</a>, la congruencia puede ser definida así: dos figuras determinadas por puntos sobre un sistema y por de <a href="/wiki/Coordenadas_cartesianas" title="Coordenadas cartesianas">coordenadas cartesianas</a> son congruentes <a href="/wiki/Bicondicional" title="Bicondicional">si y solo si</a>, la <a href="/wiki/Distancia_euclidiana" title="Distancia euclidiana">distancia euclidiana</a> entre cualquier par de puntos de la primera figura es igual a la distancia euclidiana entre los puntos correspondientes de la segunda figura </p><p>Definición formal: Dos <a href="/wiki/Subconjunto" title="Subconjunto">subconjuntos</a> A y B de un <a href="/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo" title="Espacio euclídeo">espacio euclídeo</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"></span> son llamados congruentes si existe una <a href="/wiki/Isometr%C3%ADa" title="Isometría">isometría</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14708a3459e31d073fb8313d16cb761ea49ce2c7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.623ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}"></span> con <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(A)=B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(A)=B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/451228129b857c7ed7d5d574e3e79f793baf2a9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.693ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(A)=B}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ángulos_congruentes"><span id=".C3.81ngulos_congruentes"></span>Ángulos congruentes</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Congruencia_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=4" title="Editar sección: Ángulos congruentes"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Los <a href="/wiki/%C3%81ngulos_opuestos_por_el_v%C3%A9rtice" title="Ángulos opuestos por el vértice">ángulos opuestos</a> son congruentes debido a que una rotación de 180° sobre su vértice hace coincidir uno y el otro. </p> <ul class="gallery mw-gallery-traditional"> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:OppositeAngles.svg" class="mw-file-description" title="Los ángulos '"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"' y '"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"' son congruentes y opuestos por el vértice."><img alt="Los ángulos '"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"' y '"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"' son congruentes y opuestos por el vértice." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/OppositeAngles.svg/120px-OppositeAngles.svg.png" decoding="async" width="120" height="50" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/OppositeAngles.svg/180px-OppositeAngles.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/OppositeAngles.svg/240px-OppositeAngles.svg.png 2x" data-file-width="420" data-file-height="175" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Los ángulos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }"></span> son congruentes y opuestos por el vértice.</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Paralelni_transverzala_cor.svg" class="mw-file-description" title="Una recta que corta dos paralelas generan ángulos congruentes."><img alt="Una recta que corta dos paralelas generan ángulos congruentes." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Paralelni_transverzala_cor.svg/120px-Paralelni_transverzala_cor.svg.png" decoding="async" width="120" height="111" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Paralelni_transverzala_cor.svg/180px-Paralelni_transverzala_cor.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Paralelni_transverzala_cor.svg/240px-Paralelni_transverzala_cor.svg.png 2x" data-file-width="120" data-file-height="111" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Una <a href="/wiki/%C3%81ngulos_entre_paralelas" title="Ángulos entre paralelas">recta que corta dos paralelas</a> generan ángulos congruentes.</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Parallelogram2.svg" class="mw-file-description" title="Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes."><img alt="Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Parallelogram2.svg/120px-Parallelogram2.svg.png" decoding="async" width="120" height="76" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Parallelogram2.svg/180px-Parallelogram2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Parallelogram2.svg/240px-Parallelogram2.svg.png 2x" data-file-width="100" data-file-height="63" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Los ángulos opuestos de un <a href="/wiki/Paralelogramo" title="Paralelogramo">paralelogramo</a> son congruentes.</div> </li> </ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Congruencia_de_triángulos"><span id="Congruencia_de_tri.C3.A1ngulos"></span>Congruencia de triángulos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Congruencia_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=5" title="Editar sección: Congruencia de triángulos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dos triángulos son congruentes cuando sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida. </p><p>Simbólicamente, escribimos la congruencia e incongruencia de dos triángulos <span class="texhtml">△<i>ABC</i></span> y <span class="texhtml">△<i>A′B′C′</i></span> como sigue: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABC\cong A'B'C'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> <mo>≅</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>B</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>C</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABC\cong A'B'C'}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831487b988352b643b14f52b10017985f068407f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.731ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle ABC\cong A'B'C'}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABC\ncong A'B'C'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> <mo>≆</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>B</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>C</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABC\ncong A'B'C'}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862e408fb0446733b6f758ccfd2a6dd87a2e2082" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.731ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ABC\ncong A'B'C'}"></span></dd></dl> <p>En muchos casos basta con establecer la igualdad de las tres partes correspondientes y utilizar uno de los siguientes resultados para deducir la congruencia de los dos triángulos. </p><p><b>Notación:</b> Si dos triángulos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \triangle ABC}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">△</mi> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \triangle ABC}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/821677f03b63c3c2e448dffc2ae9c8eea31d9d48" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \triangle ABC}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \triangle DEF}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">△</mi> <mi>D</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \triangle DEF}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d89940fa9274c5838dc8b7f9157edd3df8761e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.507ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \triangle DEF}"></span> son congruentes, esto se notará como: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">△</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> <mi mathvariant="normal">B</mi> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> <mo>≅</mo> <mi mathvariant="normal">△</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi mathvariant="normal">E</mi> <mi mathvariant="normal">F</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe82bec77f2305406fa2f93326edaff1a0dd3cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:17.173ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF} }"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Criterios_de_congruencia_de_triángulos"><span id="Criterios_de_congruencia_de_tri.C3.A1ngulos"></span>Criterios de congruencia de triángulos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Congruencia_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=6" title="Editar sección: Criterios de congruencia de triángulos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Criterios para establecer que dos triángulos sean congruentes con un mínimo de condiciones, a veces llamado de forma genérica <i>postulados</i> o <i>teoremas de congruencia</i> ya que aunque triviales se tienen que demostrar.<sup id="cite_ref-5" class="reference separada"><a href="#cite_note-5"><span class="corchete-llamada">[</span>5<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-6" class="reference separada"><a href="#cite_note-6"><span class="corchete-llamada">[</span>6<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-7" class="reference separada"><a href="#cite_note-7"><span class="corchete-llamada">[</span>7<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> En principio se busca construir triángulos congruentes con el mínimo de información sobre este. </p><p>1. <b>Caso AAL o ALA</b>: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado entre ellos. En un triángulo si conocemos dos de sus ángulos el tercer ángulo queda unívocamente determinado. </p> <ul class="gallery mw-gallery-traditional"> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Postulado_ALA_0.svg" class="mw-file-description" title="ALA"><img alt="ALA" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/Postulado_ALA_0.svg/120px-Postulado_ALA_0.svg.png" decoding="async" width="120" height="80" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/Postulado_ALA_0.svg/180px-Postulado_ALA_0.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/Postulado_ALA_0.svg/240px-Postulado_ALA_0.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="200" /></a></span></div> <div class="gallerytext">ALA</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Postulado_ALA_1.svg" class="mw-file-description" title="AAL"><img alt="AAL" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Postulado_ALA_1.svg/120px-Postulado_ALA_1.svg.png" decoding="async" width="120" height="80" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Postulado_ALA_1.svg/180px-Postulado_ALA_1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Postulado_ALA_1.svg/240px-Postulado_ALA_1.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="200" /></a></span></div> <div class="gallerytext">AAL</div> </li> </ul> <p>2. <b>Caso LAL</b>: Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales y el mismo ángulo comprendido entre ellos. </p> <ul class="gallery mw-gallery-traditional"> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Postulado_LAL_0.svg" class="mw-file-description" title="LAL"><img alt="LAL" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/Postulado_LAL_0.svg/120px-Postulado_LAL_0.svg.png" decoding="async" width="120" height="80" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/Postulado_LAL_0.svg/180px-Postulado_LAL_0.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/Postulado_LAL_0.svg/240px-Postulado_LAL_0.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="200" /></a></span></div> <div class="gallerytext">LAL</div> </li> </ul> <p>3. <b>Caso LLL</b>: Dos triángulos son congruentes si tienen los tres lados iguales. </p><p>4. <b>Caso LLA</b>: Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo sobre uno de ellos iguales. Este caso no es de congruencia si no damos más información sobre el triángulo, como la de ser <a href="/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo" title="Triángulo rectángulo">triángulo rectángulo</a> o si tiene o no ángulos obtusos. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Lado-lado-ángulo"><span id="Lado-lado-.C3.A1ngulo"></span>Lado-lado-ángulo</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Congruencia_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=7" title="Editar sección: Lado-lado-ángulo"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La condición LLA (lado-lado-ángulo) que especifica dos lados y un ángulo no incluido (también conocida como ASS, o ángulo-lado-lado) no demuestra por sí misma la congruencia. Para demostrar la congruencia se necesita información adicional, como la medida de los ángulos correspondientes y, en algunos casos, las longitudes de los dos pares de lados correspondientes. Hay algunos casos posibles: </p><p>Si dos triángulos cumplen la condición SSA y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor o igual que la longitud del lado adyacente (SSA, o lado largo-lado corto-ángulo), entonces los dos triángulos son congruentes. El lado opuesto es a veces más largo cuando los ángulos correspondientes son agudos, pero es <i>siempre</i> más largo cuando los ángulos correspondientes son rectos u obtusos. Cuando el ángulo es recto, también conocido como postulado de la hipotenusa-pierna (HL) o condición del ángulo recto-hipotenusa-lado (RHA), el tercer lado puede calcularse mediante el <a href="/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras" title="Teorema de Pitágoras">teorema de Pitágoras</a>, lo que permite aplicar el postulado de la SSS. </p><p>Si dos triángulos cumplen la condición SSA y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es igual a la longitud del lado adyacente multiplicada por el seno del ángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. </p><p>Si dos triángulos cumplen la condición SSA y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor que la longitud del lado adyacente multiplicada por el seno del ángulo (pero menor que la longitud del lado adyacente), entonces no se puede demostrar que los dos triángulos sean congruentes. Este es el caso ambiguo y se pueden formar dos triángulos diferentes a partir de la información dada, pero si se dispone de más información que los distinga se puede demostrar la congruencia. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Ángulo-ángulo-ángulo"><span id=".C3.81ngulo-.C3.A1ngulo-.C3.A1ngulo"></span>Ángulo-ángulo-ángulo</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Congruencia_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=8" title="Editar sección: Ángulo-ángulo-ángulo"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En geometría euclídea, AAA (ángulo-ángulo-ángulo) (o simplemente AA, ya que en geometría euclídea los ángulos de un triángulo suman 180°) no proporciona información sobre el tamaño de los dos triángulos y, por tanto, sólo demuestra <a href="/wiki/Semejanza_(geometr%C3%ADa)" title="Semejanza (geometría)">similitud</a> y no congruencia en el espacio euclídeo. </p><p>Sin embargo, en <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_esf%C3%A9rica" title="Geometría esférica">geometría esférica</a> y <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_hiperb%C3%B3lica" title="Geometría hiperbólica">geometría hiperbólica</a> (donde la suma de los ángulos de un triángulo varía con el tamaño) AAA es suficiente para la congruencia en una curvatura dada de la superficie.<sup id="cite_ref-8" class="reference separada"><a href="#cite_note-8"><span class="corchete-llamada">[</span>8<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="CPCTC"><span id="CPCTC"></span> CPCTC</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Congruencia_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=9" title="Editar sección: CPCTC"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Este <a href="/wiki/Acr%C3%B3nimo" title="Acrónimo">acrónimo</a> del inglés <i>Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent</i>, que significa <i>Partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes</i>, que es una versión abreviada de la definición de triángulos congruentes.<sup id="cite_ref-9" class="reference separada"><a href="#cite_note-9"><span class="corchete-llamada">[</span>9<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-10" class="reference separada"><a href="#cite_note-10"><span class="corchete-llamada">[</span>10<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>En más detalle, es una manera de decir que si los triángulos <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ABC</span> y <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">DEF</span> son congruentes, es decir, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">△</mi> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> <mo>≅</mo> <mi mathvariant="normal">△</mi> <mi>D</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eae89d6a70f8813eb27b471d343b4dad2b4d3de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.591ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF,}"></span></dd></dl> <p>con los correspondientes pares de ángulos en los vértices <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">A</span> y <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">D</span>; <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">B</span> y <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">E</span>; y <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">C</span>, y con los correspondientes pares de lados <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">AB</span> y <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">DE</span>; <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">BC</span> y <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">EF</span>; y <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">CA</span> y <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">FD</span>, entonces las siguientes afirmaciones son ciertas: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}\cong {\overline {DE}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>≅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>D</mi> <mi>E</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}\cong {\overline {DE}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6aa4eb177e18cf62014ae0ace26755a3f1575f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.575ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}\cong {\overline {DE}}}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {BC}}\cong {\overline {EF}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>≅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>E</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {BC}}\cong {\overline {EF}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994739a1d9b87fb2edabf451a8292d824c7321d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.603ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {BC}}\cong {\overline {EF}}}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AC}}\cong {\overline {DF}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>≅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>D</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AC}}\cong {\overline {DF}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e44cf69bc8cae29c4a6e557645fd8b74296a13de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.731ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AC}}\cong {\overline {DF}}}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \angle BAC\cong \angle EDF}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∠</mi> <mi>B</mi> <mi>A</mi> <mi>C</mi> <mo>≅</mo> <mi mathvariant="normal">∠</mi> <mi>E</mi> <mi>D</mi> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \angle BAC\cong \angle EDF}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e639c7ff9f3fd907dfadb745817b96dcfa2d2f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:17.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \angle BAC\cong \angle EDF}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \angle ABC\cong \angle DEF}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∠</mi> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> <mo>≅</mo> <mi mathvariant="normal">∠</mi> <mi>D</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \angle ABC\cong \angle DEF}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d032d33bfbc146f5d9cd03c7650cf1eed29b60e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:17.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \angle ABC\cong \angle DEF}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \angle BCA\cong \angle EFD.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∠</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> <mi>A</mi> <mo>≅</mo> <mi mathvariant="normal">∠</mi> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>D</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \angle BCA\cong \angle EFD.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7105a1268007df1c292a69c9ecaf01ba8d7ce56c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:17.816ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \angle BCA\cong \angle EFD.}"></span></dd></dl> <p>El enunciado se utiliza a menudo como justificación en las pruebas de geometría elemental cuando se necesita una conclusión de la congruencia de las partes de dos triángulos después de haber establecido la congruencia de los triángulos. Por ejemplo, si se ha demostrado que dos triángulos son congruentes por el criterio <i>SSS</i> y en una demostración se necesita una afirmación de que los ángulos correspondientes son congruentes, entonces CPCTC puede usarse como justificación de esta afirmación. </p><p>Un teorema relacionado es <b>CPCFC'</b>, en el que <i>triángulos</i> se sustituye por <i>figuras</i> de modo que el teorema se aplica a cualquier par de <a href="/wiki/Pol%C3%ADgono" title="Polígono">polígonos</a> o <a href="/wiki/Poliedro" title="Poliedro">poliedros</a> que sean congruentes. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Determinación_de_la_congruencia_de_polígonos_2"><span id="Determinaci.C3.B3n_de_la_congruencia_de_pol.C3.ADgonos_2"></span>Determinación de la congruencia de polígonos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Congruencia_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=10" title="Editar sección: Determinación de la congruencia de polígonos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Quadrilateral_congruence.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Quadrilateral_congruence.png/333px-Quadrilateral_congruence.png" decoding="async" width="333" height="214" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cf/Quadrilateral_congruence.png 1.5x" data-file-width="379" data-file-height="244" /></a><figcaption>Los cuadriláteros naranja y verde son congruentes; el azul no lo es con ellos. Los tres tienen el mismo <a href="/wiki/Per%C3%ADmetro" title="Perímetro">perímetro</a> y <a href="/wiki/%C3%81rea" title="Área">área</a>. (La ordenación de los lados del cuadrilátero azul es "mixta", lo que hace que dos de los ángulos interiores y una de las diagonales no sean congruentes).</figcaption></figure> <p>Para que dos polígonos sean congruentes, deben tener el mismo número de lados (y, por tanto, el mismo número de vértices). Dos polígonos con <i>n</i> lados son congruentes si y sólo si cada uno tiene secuencias numéricamente idénticas (incluso en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en el sentido contrario para el otro) lado-ángulo-lado-ángulo-... para <i>n</i> lados y <i>n</i> ángulos. </p><p>La congruencia de polígonos puede establecerse gráficamente de la siguiente manera: </p> <ul><li>Primero, emparejar y etiquetar los vértices correspondientes de las dos figuras.</li> <li>En segundo lugar, dibuja un vector desde uno de los vértices de una de las figuras hasta el vértice correspondiente de la otra figura. <i>Traslada</i> la primera figura mediante este vector para que estos dos vértices coincidan.</li> <li>Tercero, <i>gira</i> la figura trasladada alrededor del vértice correspondiente hasta que un par de <a href="/wiki/Lados_correspondientes" class="mw-redirect" title="Lados correspondientes">lados correspondientes</a> coincidan.</li> <li>Cuarto, <i>reflejar</i> la figura rotada sobre este lado coincidente hasta que las figuras coincidan.</li></ul> <p>Si en algún momento no se puede completar el paso, los polígonos no son congruentes. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definición_de_congruencia_en_geometría_analítica_2"><span id="Definici.C3.B3n_de_congruencia_en_geometr.C3.ADa_anal.C3.ADtica_2"></span>Definición de congruencia en geometría analítica</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Congruencia_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=11" title="Editar sección: Definición de congruencia en geometría analítica"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana" title="Geometría euclidiana">sistema euclidiano</a>, la congruencia es fundamental; es la contrapartida de la igualdad para los números. En <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica" title="Geometría analítica">geometría analítica</a>, la congruencia puede definirse intuitivamente así: dos mapeados de figuras sobre un sistema de coordenadas cartesianas son congruentes si y sólo si, para dos puntos <i>cualesquiera</i> del primer mapeado, la <a href="/wiki/Distancia_eucl%C3%ADdea" class="mw-redirect" title="Distancia euclídea">distancia euclídea</a> entre ellos es igual a la distancia euclídea entre los puntos correspondientes del segundo mapeado. </p><p>Una definición más formal establece que dos <a href="/wiki/Subconjunto" title="Subconjunto">subconjuntos</a> <i>A</i> y <i>B</i> del <a href="/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo" title="Espacio euclídeo">espacio euclídeo</a> <b>R</b><sup><i>n</i></sup> se llaman congruentes si existe una <a href="/wiki/Isometr%C3%ADa" title="Isometría">isometría</a> <i>f</i>: <b>R</b><sup><i>n</i></sup> → <b>R</b><sup><i>n</i></sup> (un elemento del <a href="/wiki/Grupo_eucl%C3%ADdeo" title="Grupo euclídeo">grupo euclídeo</a> <i>E</i>(<i>n</i>)) con <i>f</i>(<i>A</i>) = <i>B</i>. La congruencia es una <a href="/wiki/Relaci%C3%B3n_de_equivalencia" title="Relación de equivalencia">relación de equivalencia</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Secciones_cónicas_congruentes"><span id="Secciones_c.C3.B3nicas_congruentes"></span>Secciones cónicas congruentes</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Congruencia_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=12" title="Editar sección: Secciones cónicas congruentes"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dos secciones cónicas son congruentes si sus <a href="/wiki/Excentricidad_(matem%C3%A1tica)" title="Excentricidad (matemática)">excentricidades</a> y otro parámetro distinto que las caracteriza son iguales. Sus excentricidades establecen sus formas, cuya igualdad es suficiente para establecer la semejanza, y el segundo parámetro establece el tamaño. Dado que dos <a href="/wiki/Circunferencia" title="Circunferencia">circunferencias</a>, <a href="/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)" title="Parábola (matemática)"> parábolas</a> o hipérbolas rectangulares siempre tienen la misma excentricidad (0 en el caso de las circunferencias, 1 en el caso de las parábolas y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"></span> en el caso de las hipérbolas rectangulares), dos circunferencias, parábolas o hipérbolas rectangulares sólo necesitan tener otro parámetro común, que establezca su tamaño, para ser congruentes. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Poliedros_congruentes">Poliedros congruentes</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Congruencia_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=13" title="Editar sección: Poliedros congruentes"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Para dos <a href="/wiki/Poliedros" class="mw-redirect" title="Poliedros">poliedros</a> con el mismo tipo combinatorio (es decir, el mismo número <i>E</i> de aristas, el mismo número de <a href="/wiki/Cara_(geometr%C3%ADa)" title="Cara (geometría)">caras</a>, y el mismo número de lados en las caras correspondientes), existe un conjunto de medidas <i>E</i> que puede establecer si los poliedros son o no congruentes.<sup id="cite_ref-11" class="reference separada"><a href="#cite_note-11"><span class="corchete-llamada">[</span>11<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-12" class="reference separada"><a href="#cite_note-12"><span class="corchete-llamada">[</span>12<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> El número es ajustado, lo que significa que menos de <i>E</i> medidas no son suficientes si los poliedros son genéricos entre su tipo combinatorio. Pero menos medidas pueden funcionar para casos especiales. Por ejemplo, los <a href="/wiki/Cubo" title="Cubo">cubos</a> tienen 12 aristas, pero bastan 9 medidas para decidir si un poliedro de ese tipo combinatorio es congruente con un cubo regular dado. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Congruencia_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=14" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Relaciones aritméticas entre ángulos: </p> <ul><li><a href="/wiki/%C3%81ngulos_complementarios" title="Ángulos complementarios">Ángulos complementarios</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81ngulos_suplementarios" title="Ángulos suplementarios">Ángulos suplementarios</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81ngulos_conjugados" title="Ángulos conjugados">Ángulos conjugados</a></li></ul> <p>Relaciones posicionales entre ángulos: </p> <ul><li><a href="/wiki/%C3%81ngulos_adyacentes" title="Ángulos adyacentes">Ángulos adyacentes</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81ngulos_consecutivos" title="Ángulos consecutivos">Ángulos consecutivos</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81ngulos_opuestos_por_el_v%C3%A9rtice" title="Ángulos opuestos por el vértice">Ángulos opuestos por el vértice</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81ngulos_interiores" class="mw-redirect" title="Ángulos interiores">Ángulos interiores</a> y <a href="/wiki/%C3%81ngulo_exterior_de_un_pol%C3%ADgono" title="Ángulo exterior de un polígono">exteriores</a></li></ul> <p>Determinados por dos paralelas y una transversal </p> <ul><li><a href="/wiki/%C3%81ngulos_correspondientes" class="mw-redirect" title="Ángulos correspondientes">Ángulos correspondientes</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81ngulos_alternos" class="mw-redirect" title="Ángulos alternos">Ángulos alternos</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referencias">Referencias</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Congruencia_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=15" title="Editar sección: Referencias"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="listaref" style="list-style-type: decimal;"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFClaphamNicholson2009" class="citation web">Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20131029203826/http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf">«Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures»</a>. Addison-Wesley. p. 167. Archivado desde <a rel="nofollow" class="external text" href="http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf">el original</a> el 29 de octubre de 2013<span class="reference-accessdate">. Consultado el 2 de junio de 2017</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ACongruencia+%28geometr%C3%ADa%29&rft.au=Clapham%2C+C.&rft.au=Nicholson%2C+J.&rft.aufirst=C.&rft.aulast=Clapham&rft.btitle=Oxford+Concise+Dictionary+of+Mathematics%2C+Congruent+Figures&rft.date=2009&rft.genre=book&rft.pages=167&rft.pub=Addison-Wesley&rft_id=http%3A%2F%2Fweb.cortland.edu%2Fmatresearch%2FOxfordDictionaryMathematics.pdf&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathopenref.com/congruent.html">«Congruencia»</a>. Math Open Reference. 2009<span class="reference-accessdate">. Consultado el 2 de junio de 2017</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ACongruencia+%28geometr%C3%ADa%29&rft.btitle=Congruencia&rft.date=2009&rft.genre=book&rft.pub=Math+Open+Reference&rft_id=http%3A%2F%2Fmathopenref.com%2Fcongruent.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.geogebra.org/m/MXWFRH8J">«Criterios de Congruencia: LLL, ALA, LAL.»</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ACongruencia+%28geometr%C3%ADa%29&rft.btitle=Criterios+de+Congruencia%3A+LLL%2C+ALA%2C+LAL.&rft.genre=book&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.geogebra.org%2Fm%2FMXWFRH8J&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFCK-12" class="citation libro">CK-12. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.es/books?id=RE-klVrTSsIC&pg=PA192#v=onepage&q&f=false"><i>CK-12</i></a>. CK-12 Foundation. p. 192<span class="reference-accessdate">. Consultado el 17 de diciembre de 2019</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ACongruencia+%28geometr%C3%ADa%29&rft.au=CK-12&rft.aulast=CK-12&rft.btitle=CK-12&rft.genre=book&rft.pages=192&rft.pub=CK-12+Foundation&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.es%2Fbooks%3Fid%3DRE-klVrTSsIC%26pg%3DPA192%23v%3Donepage%26q%26f%3Dfalse&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Clemens y otros. <i>Geometría con aplicaciones y solución de problemas</i>. <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/020164407X" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-201-64407-X</a></span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">Dolciani y otros: <i>Geometría Moderna</i>-</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">CK-12 Geometría, página 222</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFCornel2002" class="citation libro">Cornel, Antonio (2002). <i>Geometry for Secondary Schools</i>. 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(1974), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/geometry0000jaco/page/160/mode/2up"><i>Geometry</i></a>, W.H. Freeman, p. 160, <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-7167-0456-0" title="Especial:FuentesDeLibros/0-7167-0456-0">0-7167-0456-0</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ACongruencia+%28geometr%C3%ADa%29&rft.au=Jacobs%2C+Harold+R.&rft.aufirst=Harold+R.&rft.aulast=Jacobs&rft.btitle=Geometry&rft.date=1974&rft.genre=book&rft.isbn=0-7167-0456-0&rft.pages=160&rft.pub=W.H.+Freeman&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fgeometry0000jaco%2Fpage%2F160%2Fmode%2F2up&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>. Jacobs uses a slight variation of the phrase</span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/triangles/congruent-triangles">«Congruent Triangles»</a>. Cliff's Notes<span class="reference-accessdate">. Consultado el 4 de febrero de 2014</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ACongruencia+%28geometr%C3%ADa%29&rft.btitle=Congruent+Triangles&rft.genre=book&rft.pub=Cliff%27s+Notes&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.cliffsnotes.com%2Fstudy-guides%2Fgeometry%2Ftriangles%2Fcongruent-triangles&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFBorisovDickinsonHastingsMarch_2010" class="citation publicación">Borisov, Alexander; Dickinson, Mark; Hastings, Stuart (March 2010). «Un problema de congruencia para poliedros». <i><a href="/wiki/American_Mathematical_Monthly" title="American Mathematical Monthly">American Mathematical Monthly</a></i> <b>117</b> (3): 232-249. <small><a href="/wiki/Semantic_Scholar" title="Semantic Scholar">S2CID</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://api.semanticscholar.org/CorpusID:8166476">8166476</a></small>. <small><a href="/wiki/ArXiv" title="ArXiv">arXiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="//arxiv.org/abs/0811.4197">0811.4197</a></small>. <small><a href="/wiki/Digital_object_identifier" class="mw-redirect" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.4169%2F000298910X480081">10.4169/000298910X480081</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&pre=8166476&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ACongruencia+%28geometr%C3%ADa%29&rft.atitle=Un+problema+de+congruencia+para+poliedros&rft.au=Borisov%2C+Alexander&rft.au=Dickinson%2C+Mark&rft.au=Hastings%2C+Stuart&rft.aufirst=Alexander&rft.aulast=Borisov&rft.date=March+2010&rft.genre=article&rft.issue=3&rft.jtitle=American+Mathematical+Monthly&rft.pages=232-249&rft.volume=117&rft_id=info%3Aarxiv%2F0811.4197&rft_id=info%3Adoi%2F10.4169%2F000298910X480081&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFCreech" class="citation web">Creech, Alexa. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20131111162553/http://146.163.152.131/teaching/projects/creech_final.pdf">«Un Problema de Congruencia»</a>. Archivado desde <a rel="nofollow" class="external text" href="http://146.">163.152.131/teaching/projects/creech_final.pdf el original</a> el 11 de noviembre de 2013.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ACongruencia+%28geometr%C3%ADa%29&rft.au=Creech%2C+Alexa&rft.aufirst=Alexa&rft.aulast=Creech&rft.btitle=Un+Problema+de+Congruencia&rft.genre=book&rft_id=http%3A%2F%2F146.+163.152.131%2Fteaching%2Fprojects%2Fcreech_final.pdf&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Enlaces_externos">Enlaces externos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Congruencia_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=16" title="Editar sección: Enlaces externos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span> <a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Wikimedia Commons">Wikimedia Commons</a> alberga una categoría multimedia sobre <b><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Congruence" class="extiw" title="commons:Category:Congruence">Congruencia</a></b>.</li> <li><a rel="nofollow" class="external free" href="https://web.archive.org/web/20110905041903/http://www.uv.es/ivorra/Libros/Geometria.pdf">https://web.archive.org/web/20110905041903/http://www.uv.es/ivorra/Libros/Geometria.pdf</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/SSA.shtml">The SSA</a> en Cut-the-Knot.</li> <li><div class="plainlinks" style="display:inline">Esta obra contiene una traducción derivada de «<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_(geometry)" class="extiw" title="en:Congruence (geometry)">Congruence (geometry)</a>» de Wikipedia en inglés, concretamente de <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_(geometry)?oldid=2011">esta versión</a>, publicada por <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_(geometry)?action=history">sus editores</a> bajo la <a href="/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_de_documentaci%C3%B3n_libre_de_GNU" title="Wikipedia:Texto de la Licencia de documentación libre de GNU">Licencia de documentación libre de GNU</a> y la <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.es">Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional</a>.</div></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161257576">.mw-parser-output .mw-authority-control{margin-top:1.5em}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox table{margin:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral,#eaecf0);color:var(--color-base,#202122)}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects ul li{margin-bottom:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox 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autoridades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b>Proyectos Wikimedia</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q154210" class="extiw" title="wikidata:Q154210">Q154210</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Congruence">Congruence</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q154210%22">Q154210</a></span></span></li></ul> <hr /> <ul><li><b>Identificadores</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4164978-3">4164978-3</a></span></li> <li><b>Diccionarios y enciclopedias</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Enciclopedia_Brit%C3%A1nica" title="Enciclopedia Británica">Britannica</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/congruence">url</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, 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href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Congruence">Congruence</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q154210%22">Q154210</a></span></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtenido de «<a dir="ltr" href="https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Congruencia_(geometría)&oldid=163577528">https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Congruencia_(geometría)&oldid=163577528</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categorías</a>: <ul><li><a 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href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_identificadores_GND" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con identificadores GND">Wikipedia:Artículos con identificadores GND</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página se editó por última vez el 14 nov 2024 a las 12:15.</li> <li id="footer-info-copyright">El texto está disponible bajo la <a href="/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_4.0_Internacional" title="Wikipedia:Texto de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional">Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0</a>; pueden aplicarse cláusulas adicionales. 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