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Il peut être séparé en deux propositions : la première est que tout point fixe d'un cercle ''C'' de rayon ''r'' roulant sans glisser intérieurement sur un cercle ''C′'' de rayon ''2r'' décrit un diamètre de ''C′'', la seconde plus générale est que dans les mêmes conditions tout point lié au cercle mobile ''C'' décrit une [[ellipse (mathématiques)|ellipse]]. Le diamètre décrit par un point de ''C'' est un [[cas dégénéré]] d'[[hypocycloïde]] (2 points de rebroussement). L'ellipse décrite par un point lié à ''C'' est un cas très particulier d'[[hypotrochoïde]]. La première proposition fournit la justification d'un mécanisme à base d'[[engrenage]]s qui transforme un mouvement circulaire en un mouvement rectiligne. Appelé autrefois ''engrenage de La Hire'' ou ''mouche de La Hire'' celui-ci est déjà décrit par [[Jérôme Cardan]] en 1570. Ce mouvement rectiligne sur un diamètre a aussi joué un rôle important dans l'[[histoire de l'astronomie]] : il a permis en 1247 à [[Nasir ad-Din at-Tusi]] de donner une version du modèle [[géocentrique]] du [[système solaire]] qui n'utilise pas le point [[équant]] de [[Ptolémée]]. Il a été utilisé ensuite par [[Nicolas Copernic]] pour la première version de son modèle [[héliocentrique]], publié en 1543. Ni la première ni la seconde proposition ne sont dues à La Hire, qui n'en revendiquait d'ailleurs probablement pas la paternité. Ainsi le théorème, en particulier la première proposition, apparaît-il sous d'autres noms dans la littérature, Cardan (''cercles de Cardan''), Copernic, ou plus récemment al-Tusi après la redécouverte de ses travaux ('''couple d'al-Tusi'''). Au {{s-|V|e}} [[Proclus]] donnait déjà une forme assez voisine de ces deux propositions. == Description mathématique == La première proposition du théorème est une conséquence directe du [[théorème de l'angle inscrit]] dans un cercle (l'[[angle au centre]] est le double de l'angle inscrit associé), et la seconde se démontre par des considérations élémentaires de [[trigonométrie]]. === Droite d'Al-Tusi === [[Fichier:La Hire-Al Tusi.png|vignette|250x250px|Les arcs K<sub>1</sub>K et KM<sub>1</sub> ont des longueurs égales à chaque instant]] Un cercle mobile <math>\mathcal C</math> de centre <math>\Omega</math> et de rayon <math>r</math> roule sans glisser dans un cercle fixe <math>\mathcal C'</math> de centre <math>O</math> et de rayon <math>2r</math>.<br> Soient <math>K_1</math> le point de contact à un instant initial et <math>M_1</math> le point lié à <math>\mathcal C</math> qui est en contact avec <math>K_1</math> à cet instant initial.<br> Si <math>K</math> est un point de contact ultérieur tel que <math>\widehat {K_1OK}=\alpha</math>, le point de contact s'est déplacé d'un arc de longueur <math>\alpha\times 2r</math> sur <math>\mathcal C'</math>. Le point <math>M_1</math> s'est alors déplacé d'un arc de même longueur <math>2\alpha\times r</math> sur le cercle mobile <math>\mathcal C</math> en sens inverse, donc <math>\widehat{K\Omega M_1}=-2\alpha</math>.<br> <math>O</math> appartenant à <math>\mathcal C</math>, on a <math>\widehat{K O M_1}=-\alpha</math> (voir [[théorème de l'angle inscrit]]), donc <math>M_1</math> est le deuxième point d'intersection de <math>\mathcal C</math> avec <math>(O K_1)</math>.<br> De plus, les points <math>O,\Omega,K</math> restant alignés, <math>\widehat{OM_1K}</math> [[Théorème de Thalès (cercle)|est un angle droit]], donc <math>M_1</math> '''est le [[projeté orthogonal]] du point de contact''' <math>K</math> sur le diamètre de <math>\mathcal C'</math> passant par <math>K_1</math>.<br> <math>M_1</math> décrit ce diamètre lorsque <math>\mathcal C</math> roule dans <math>\mathcal C'</math>. Le diamètre décrit par le point <math>M_1</math> est un cas particulier d'[[hypocycloïde]]. === Ellipse de La Hire === [[Fichier:Ellipse de La Hire.png|vignette|250x250px]] <math>M</math> est un point appartenant au plan du cercle mobile <math>\mathcal C</math> tel que <math>\Omega M = d</math>. Soit <math>M_1</math> le point d'intersection de la demi-droite <math>[\Omega M)</math> avec <math>\mathcal C</math>.<br> Quitte à faire rouler <math>\mathcal C</math> jusqu'à ce que <math>M_1</math> soit en contact avec <math>\mathcal C'</math> en un point <math> K_1</math>, on choisit un repère tel que <math>[Ox)=[OK_1)</math> et on désigne par <math>\alpha</math> l'angle <math>\widehat {K_1O\Omega}</math>.<br> Les coordonnées de <math>M</math> sont alors :<br> <math>x=r\cos \alpha + d\cos (-\alpha) = (r+d)\cos \alpha</math><br> <math>y=r\sin \alpha + d\sin (-\alpha) = (r-d)\sin \alpha</math><br> Lorsque <math>\alpha</math> varie de <math>0</math> à <math>2\pi</math>, <math>M</math> décrit l'ellipse de centre <math>O</math>, de grand-axe <math>2(r+d)</math> et de petit-axe <math>2|r-d|</math>. L'ellipse de La Hire est un cas particulier d'[[hypotrochoïde]]. == Histoire == [[Image:Tusi couple.jpg|right|thumb|250 px|Le couple d'al-Tusi d'après une copie du {{s-|XIV|e}} de son manuscrit (Vatican Arabic ms 319, fol. 28v; 13th. c.]] La première proposition (le mouvement rectiligne) est connue de l'astronome perse [[Nasir ad-Din at-Tusi]] qui le décrit en 1247 dans son Tahrir al-Majisti (Commentaire de l'[[Almageste]]). Celui-ci, et plus largement les astronomes de l'école de [[Maragha]], l'utilisent pour éliminer le point [[équant]] du modèle de Ptolémée du système solaire. Elle apparait également dans le ''[[De revolutionibus orbium coelestium]]'' de [[Nicolas Copernic]] publié en 1543. Du fait que Copernic n'utilise que des mouvements circulaires, il doit composer ceux-ci pour remédier à certaines anomalies observées, vis-à-vis d'un modèle simplifié où les orbites des planètes seraient circulaires, et utilise pour ceci le couple d'al-Tusi pour des raisons analogues à ce dernier, même si son modèle est héliocentrique<ref>Copernic ne cite pas al-Tusi, ni aucun des travaux de son école. Il existe quelques indices de ce que Copernic ait pu avoir une connaissance au moins indirecte des travaux de l'école de Maragha, mais cela fait aujourd'hui débat chez les historiens, cf. F. Jamil Ragep ''Copernicus and his Islamic Predecessors: Some Historical Remarks'', Filozofski Vestnik, 2004 [http://filozofskivestnikonline.com/index.php/journal/article/viewArticle/65 lire en ligne].</ref>. Il l'utilisait déjà dans un manuscrit (appelé aujourd'hui ''commentariolus'') dont il a fait circuler un nombre très réduit d'exemplaires avant 1514. Copernic démontre la première proposition (le mouvement sur un diamètre) dans le ''De revolutionibus orbium coelestium'', et mentionne qu'il est possible de l'utiliser mais opte finalement pour une solution un peu différente (toujours à base de mouvements circulaires). La seconde sur le mouvement elliptique apparait dans son manuscrit mais n'a pas été reprise dans l'ouvrage imprimé. Copernic comptait semble-t-il l'exploiter ultérieurement. On n'en a pas retrouvé de démonstration de sa main, mais celle-ci semble à sa portée<ref name="boyer">{{Article|langue=en|auteur=[[Carl Benjamin Boyer|Carl B. Boyer]]|périodique=Isis|volume=38|numéro=1/2|date=novembre 1947|pages=54-56|titre=Note on Epicycles & the Ellipse from Copernicus to Lahire|doi=10.1086/348035|jstor=225449}}.</ref>. Copernic ne décrit pas le résultat en termes de cercle roulant sans glisser, comme le fera La Hire, mais en termes d'[[épicycle]]<ref>{{harvsp|Boyer|1947|p=54}}.</ref> : la courbe est engendrée par un point lié à un cercle mobile (l'[[épicycle]]) tournant sur lui-même et dont le centre se déplace sur un cercle fixe (le [[déférent]]) est une ellipse si la rotation du cercle mobile sur lui-même se fait en sens inverse et à une vitesse double (relativement à la ligne des centres des deux cercles) de celle du déplacement sur le [[déférent]]<ref>Copernic, et plus tard Boulliau et La Hire parlent de vitesse de rotation double, car elle est prise par rapport à la ligne des centres. {{harvsp|Boyer|1947|p=55}}, note 9. Comme le remarque Boyer on pourrait préférer dire que les vitesses de rotation de ces deux mouvements de même période sont identiques.</ref>. [[Jérôme Cardan]] a donné la première proposition du théorème dans son ''Opus novum de proportionibus numerorum, motuum, ponderum, sonorum, aliorumque mensurandum'' paru en 1570<ref name="Franke">Rudolf Franke, 1989, ''Histoire de l'articulation à cardan'', Culture technique [ISSN 0223-4386], 1989, N° 19; p.14-19, [http://documents.irevues.inist.fr/handle/2042/31897 notice], [http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/handle/2042/31897/C&T_1989_19_14.pdf lire en ligne].</ref>. Rien n'indique qu'il connaissait la seconde<ref name="boyer"/>. La seconde proposition, en fait un résultat un peu plus général, est brièvement signalée et attribuée à [[David Fabricius]] par [[Johannes Kepler]] dans une note du ''[[Epitome Astronomiae Copernicanae]]'' paru en 1615. Fabricius n'a pas lui-même publié le résultat, qu'il énonce toujours dans un cadre Ptoléméen mais à l'aide d'excentrique (un procédé équivalent à celui des épicycles) plutôt que d'épicycle<ref name="dreyer">{{en}} [[John Dreyer|J. L. E. Dreyer]], ''A History of Astronomy from Thales to Kepler'', 1906, p 402-404, [https://archive.org/details/historyofplaneta00dreyuoft/page/402/mode/2up lire en ligne].</ref>{{,}}<ref name="boyer"/>. Kepler, en correspondance avec Fabricius, lui a signalé en 1604 sa découverte de la trajectoire elliptique de la planète Mars. Celui-ci ne se satisfait pas de l'abandon du mouvement circulaire, et dans une lettre datée de 1608, indique à Kepler la façon d'engendrer l'ellipse à la manière de [[Ptolémée]]. Mais le procédé de Fabricius ne permet pas de rendre compte de la [[lois de Kepler|loi des aires]], publiée par Kepler en 1609<ref name="dreyer"/>. Kepler ne cite pas Copernic, et ne sait donc probablement pas que le théorème est connu de celui-ci, mais on ne sait rien pour Fabricius<ref name="boyer"/>. [[François Viète]] utilise, peu de temps avant Fabricius, des constructions analogues dans l’''harmonicon celeste'' un ouvrage inachevé et jamais publié sur lequel il travaille les toutes dernières années de sa vie, jusqu'à sa mort en 1603, sans connaître donc les travaux de Kepler, qui à la même époque est en train d'étudier patiemment l'orbite de Mars. Viète étudie et compare les systèmes de Ptolémée et de Copernic, introduisant plusieurs simplifications importantes dans les calculs, entre autres en mettant en évidence les ellipses engendrées par deux mouvements circulaires<ref>{{en}} Noel M. Swerdlow, ''The Planetary Theory of François Viète, Part 1'', Journal for the History of Astronommy 1975, vol vi pp 185-208 [http://articles.adsabs.harvard.edu//full/1975JHA.....6..185S/0000187.000.html lire en ligne].</ref>. En 1645, [[Ismael Boulliau]] énonce et démontre les deux propositions dans son ''astronomia philolaica'', où il utilise la seconde (la forme plus générale mentionnée ci-dessus) pour engendrer le mouvement elliptique des planètes, mais ne peut rendre compte de la seconde loi de Kepler, comme ce dernier l'avait déjà remarqué (à propos du résultat analogue de Fabricius) en 1615<ref name="boyer"/>. Dans son traité de 1706, La Hire démontre le théorème, d'une façon très semblable à celle de Boulliau<ref name="boyer"/>. L'ouvrage de Boulliau est largement connu, et il est peu vraisemblable que La Hire ne l'ait pas lu<ref name="boyer"/>. Ni Boulliau, ni La Hire ne donnent une source pour le théorème, ce qui ne signifie pas qu'ils se l'attribuent, mais peut vouloir dire simplement que celui-ci est bien connu parmi les mathématiciens parisiens de leur époque<ref name="boyer"/>. On trouve également le théorème (les deux propositions) brièvement décrit dans un commentaire de [[Proclus]] des [[éléments d'Euclide]], qui date donc du {{s-|V|e}}<ref>I. N. Veselovsky, [http://articles.adsabs.harvard.edu/full/seri/JHA../0004//0000128.000.html "Copernicus and Nasir al-Din al-Tusi"], ''Journal for the History of Astronomy'', 4 (1973), p 128-30.</ref>, sans qu'on sache, dans l'histoire moderne, à partir de quand et par qui cela a été remarqué. Proclus décrit une sorte de réciproque, partant du mouvement d'un segment (correspondant à un diamètre du petit cercle) dont les extrémités se déplacent de façon rectiligne sur les côtés d'un angles droit. Le centre du segment décrit alors un cercle et les autres points des ellipses. == Mécanique == [[File:LaHire.gif|thumb|250 px|Engrenage de La Hire.]] Cette propriété géométrique est utilisée dans plusieurs mécanismes astucieux qui permettent la transformation d'un mouvement circulaire en un mouvement rectiligne, comme l'engrenage dit de La Hire<ref>Voir ci-dessous l'illustration du musée des Arts et Métiers</ref>, et d'autres à base de doigts coulissant dans deux rainures perpendiculaires<ref>Voir Rudolf Franke, 1989 article cité, p 19 ; un axe entraine en rotation une barre perpendiculaire portant deux doigts diamétralement opposés s'engageant dans deux rainures perpendiculaires tournant autour d'un autre axe parallèle au premier, positionné de façon que les doigts passent par le second axe quand le premier arbre fait un tour, le second fait un demi-tour.</ref>. == Notes et références == <references/> == Liens externes== {{Autres projets|commons=Category:Tusi-couple|commons titre=Théorème de La Hire}} * {{Lien web|url=https://www.arts-et-metiers.net/musee/modele-engrenage-cylindrique-interieur-de-lahire-denture-helicoidale-transmettant-un|titre=Modèle : Engrenage cylindrique intérieur de La Hire, à denture hélicoïdale transmettant un mouvement rectiligne à un piston de pompe|auteur= [[musée des arts et métiers]] (n° inv. 8384)|site=www.arts-et-metiers.net}} ou bien {{Lien web|url=http://www.savoirs.essonne.fr/sections/ressources/photos/photo/engrenage-cylindrique-interieur-de-la-hire-fin-xviiie-siecle-modele-realise-par-alexandre-cla/|titre=Engrenage cylindrique intérieur de La Hire, fin XVIIIe siècle. Modèle réalisé par Alexandre Clair, vers 1860|site=www.savoirs.essonne.fr}}. *{{Lien web|url=http://www.mathcurve.com/courbes2d/lahire/lahire.shtml|titre=Droite de La Hire|site=mathcurve.com}} {{portail|géométrie|astronomie}} [[Catégorie:Théorème de géométrie|La Hire]] [[Catégorie:Courbe]] </textarea><div class="templatesUsed"><div class="mw-templatesUsedExplanation"><p>Modèles utilisés par cette page : </p></div><ul> <li><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:," title="Modèle:,">Modèle:,</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:,&action=edit" title="Modèle:,">voir la source</a>) (protégé)</li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Article" title="Modèle:Article">Modèle:Article</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Article&action=edit" title="Modèle:Article">voir la source</a>) (protégé)</li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Autres_projets" title="Modèle:Autres projets">Modèle:Autres projets</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Autres_projets&action=edit" title="Modèle:Autres projets">voir 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