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href="/w/index.php?title=%E6%9D%8E%E7%BE%A4_(%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「李群 (有限単純群)」 (存在しないページ)">李群 (有限単純群)</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ree_group" class="extiw" title="en:Ree group">英語版</a>）</span></span>」をご覧ください。</td> </tr></tbody></table></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Circle_as_Lie_group.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/220px-Circle_as_Lie_group.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/330px-Circle_as_Lie_group.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/440px-Circle_as_Lie_group.svg.png 2x" data-file-width="512" 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src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Rubik%27s_cube.svg/120px-Rubik%27s_cube.svg.png" decoding="async" width="120" height="125" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Rubik%27s_cube.svg/180px-Rubik%27s_cube.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Rubik%27s_cube.svg/240px-Rubik%27s_cube.svg.png 2x" data-file-width="480" data-file-height="500" /></a></span></td></tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="font-size:110%;">基本概念</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content hlist" style="border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar nomobile nowraplinks" style="border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="部分群">部分群</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="正規部分群">正規部分群</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E5%95%86%E7%BE%A4" title="商群">商群</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%8A%E7%9B%B4%E7%A9%8D" title="半直積">（半）</a><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E7%9B%B4%E7%A9%8D" title="群の直積">直積</a></li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> <b><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="群準同型">群準同型</a></b></th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%A0%B8_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)#群準同型" title="核 (代数学)">核</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%83%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="像 (数学)">像</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E7%9B%B4%E5%92%8C" title="群の直和">直和</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E8%BC%AA%E7%A9%8D" title="輪積">リース積</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4" title="単純群">単純</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4" title="有限群">有限</a></li></ul> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E9%99%90%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「無限群」 (存在しないページ)">無限</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_group" class="extiw" title="en:Infinite group">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="連続群">連続</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95%E7%BE%A4" title="乗法群">乗法</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95%E7%BE%A4" title="加法群">加法</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4" title="巡回群">巡回</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="アーベル群">アーベル</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93%E7%BE%A4" title="二面体群">二面体</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%B6%E7%BE%A4" title="冪零群">冪零</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4" title="可解群">可解</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96%E3%81%AE%E7%94%A8%E8%AA%9E" title="群論の用語">群論の用語</a></li></ul></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96%E3%81%AE%E7%94%A8%E8%AA%9E" title="群論の用語">群論のトピックス一覧</a></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4" title="有限群">有限群</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content hlist" style="border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar nomobile nowraplinks" style="border-collapse:collapse; border-spacing:0px; border:none; width:100%; margin:0px; font-size:100%; clear:none; float:none"><tbody><tr><th class="sidebar-heading"> <a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E" title="有限単純群の分類">有限単純群の分類</a></th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4" title="巡回群">巡回</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E7%BE%A4" title="交代群">交代</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E5%9E%8B%E3%81%AE%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「リー型の群」 (存在しないページ)">リー型</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Group_of_Lie_type" class="extiw" title="en:Group of Lie type">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%95%A3%E5%9C%A8%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「散在群」 (存在しないページ)">散在</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sporadic_group" class="extiw" title="en:Sporadic group">英語版</a>）</span></span></li></ul></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)" title="コーシーの定理 (群論)">コーシーの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)" title="ラグランジュの定理 (群論)">ラグランジュの定理</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="シローの定理">シローの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="ホール部分群">ホールの定理</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/P%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="P群"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span> 群</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="基本アーベル群">基本アーベル群</a></li></ul> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%99%E3%83%8B%E3%82%A6%E3%82%B9%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「フロベニウス群」 (存在しないページ)">フロベニウス群</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_group" class="extiw" title="en:Frobenius group">英語版</a>）</span></span></li></ul> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%A2_multiplier&action=edit&redlink=1" class="new" title="「シューア multiplier」 (存在しないページ)">シューア multiplier</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Schur_multiplier" class="extiw" title="en:Schur multiplier">英語版</a>）</span></span></li></ul></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4" title="対称群">対称群</a> <span lang="en" class="texhtml">S<sub><i>n</i></sub></span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4" title="クラインの四元群">クラインの四元群</a> <span lang="en" class="texhtml">V</span></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93%E7%BE%A4" title="二面体群">二面体群</a> <span lang="en" class="texhtml">D<sub><i>n</i></sub></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="四元数群">四元数群</a> <span lang="en" class="texhtml">Q<sub>8</sub></span></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%87%8D%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="二重巡回群">二重巡回群</a> <span lang="en" class="texhtml">Dic<sub><i>n</i></sub></span></li></ul></td> </tr></tbody></table></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="font-size:110%;"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r99966302">.mw-parser-output .hlist ul,.mw-parser-output .hlist ol{padding-left:0}.mw-parser-output .hlist li,.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt{margin-right:0;display:inline-block;white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dt:after,.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{white-space:normal}.mw-parser-output .hlist li:after,.mw-parser-output .hlist dd:after{content:" ·\a0 ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dt:after{content:": "}.mw-parser-output .hlist-pipe dd:after,.mw-parser-output .hlist-pipe li:after{content:" |\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-hyphen dd:after,.mw-parser-output .hlist-hyphen li:after{content:" -\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-comma dd:after,.mw-parser-output .hlist-comma li:after{content:"、";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-slash dd:after,.mw-parser-output .hlist-slash li:after{content:" /\a0 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style="border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a> (<span lang="en" class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">Z</span></span>)</li> <li><a href="/wiki/%E6%A0%BC%E5%AD%90_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="格子 (数学)">格子</a></li></ul> <div style="padding:0.2em 0.4em; line-height:1.2em;"><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="モジュラー群">モジュラー群</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r99966302"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r99966302"><div class="hlist"><ul><li><span lang="en" class="texhtml">PSL(2, <b>Z</b>)</span></li><li><span lang="en" class="texhtml">SL(2, <b>Z</b>)</span></li></ul></div></div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%BE%A4" title="位相群">位相</a> / <a class="mw-selflink selflink">リー群</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content hlist" style="border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%BD%E3%83%AC%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ソレノイド (数学)」 (存在しないページ)">ソレノイド</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/solenoid_(mathematics)" class="extiw" title="en:solenoid (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4" title="円周群">円周</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="一般線型群">一般線型</a> <span lang="en" class="texhtml">GL(<i>n</i>)</span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="特殊線型群">特殊線型</a> <span lang="en" class="texhtml">SL(<i>n</i>)</span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" title="直交群">直交</a> <span lang="en" class="texhtml">O(<i>n</i>)</span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E3%81%AE%E9%81%8B%E5%8B%95%E7%BE%A4" title="ユークリッドの運動群">ユークリッド</a> <span lang="en" class="texhtml">E(<i>n</i>)</span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="特殊直交群">特殊直交</a> <span lang="en" class="texhtml">SO(<i>n</i>)</span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="ユニタリ群">ユニタリ</a> <span lang="en" class="texhtml">U(<i>n</i>)</span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="特殊ユニタリ群">特殊ユニタリ</a> <span lang="en" class="texhtml">SU(<i>n</i>)</span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E6%96%9C%E4%BA%A4%E7%BE%A4" title="斜交群">斜交</a> <span lang="en" class="texhtml">Sp(<i>n</i>)</span></li></ul> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=G2_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「G2 (数学)」 (存在しないページ)"><span lang="en" class="texhtml">G<sub>2</sub></span></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/G2_(mathematics)" class="extiw" title="en:G2 (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=F4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「F4 (数学)」 (存在しないページ)"><span lang="en" class="texhtml">F<sub>4</sub></span></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/F4_(mathematics)" class="extiw" title="en:F4 (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=E6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「E6 (数学)」 (存在しないページ)"><span lang="en" class="texhtml">E<sub>6</sub></span></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/E6_(mathematics)" class="extiw" title="en:E6 (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=E7_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「E7 (数学)」 (存在しないページ)"><span lang="en" class="texhtml">E<sub>7</sub></span></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/E7_(mathematics)" class="extiw" title="en:E7 (mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/E8_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="E8 (数学)"><span lang="en" class="texhtml">E<sub>8</sub></span></a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E7%BE%A4" title="ローレンツ群">ローレンツ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E7%BE%A4" title="ポアンカレ群">ポアンカレ</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%85%B1%E5%BD%A2%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「共形群」 (存在しないページ)">共形</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/conformal_group" class="extiw" title="en:conformal group">英語版</a>）</span></span></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%90%8C%E7%9B%B8" class="mw-redirect" title="微分同相">微分同相</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%97%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ループ群」 (存在しないページ)">ループ</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/loop_group" class="extiw" title="en:loop group">英語版</a>）</span></span></li></ul> <div style="padding:0.2em 0.4em; line-height:1.2em;"><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「無限次元リー群」 (存在しないページ)">無限次元リー群</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_dimensional_Lie_group" class="extiw" title="en:Infinite dimensional Lie group">英語版</a>）</span></span> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r99966302"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r99966302"><div class="hlist"><ul><li><span lang="en" class="texhtml">O(∞)</span></li><li><span lang="en" class="texhtml">SU(∞)</span></li><li><span lang="en" class="texhtml">Sp(∞)</span></li></ul></div></div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="font-size:110%;"><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%BE%A4" title="代数群">代数群</a></div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content hlist" style="border-top:1px solid #aaa;border-bottom:1px solid #aaa;"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="楕円曲線">楕円曲線</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%BE%A4" title="線型代数群">線型代数群</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="アーベル多様体">アーベル多様体</a></li></ul></div></div></td> </tr></tbody></table> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101384370"><table class="sidebar sidebar-collapse nomobile nowraplinks plainlist" style="width:20.0em;"><tbody><tr><th class="sidebar-title"><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0" title="代数的構造">代数的構造</a></th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="群 (数学)">群</a>に似た構造</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="群 (数学)">群</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%8A%E7%BE%A4" title="半群">半群</a> / <a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89" title="モノイド">モノイド</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9C%AD_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="圭 (数学)">圭</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%BA%96%E7%BE%A4" title="準群">準群とループ</a></li></ul> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="アーベル群">アーベル群</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%9E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="マグマ (数学)">マグマ</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">リー群</a></li></ul> </div> <a href="/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="群論">群論</a></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="環 (数学)">環</a>に似た構造</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="環 (数学)">環</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%8A%E7%92%B0" title="半環">半環</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E8%BF%91%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「近環」 (存在しないページ)">近環</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Near-ring" class="extiw" title="en:Near-ring">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0" title="可換環">可換環</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B4%E5%9F%9F" title="整域">整域</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E9%99%A4%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="可除環">可除環</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="リー環">リー環</a></li></ul> </div> <a href="/wiki/%E7%92%B0%E8%AB%96" title="環論">環論</a></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%E6%9D%9F_(%E6%9D%9F%E8%AB%96)" title="束 (束論)">束</a>に似た構造</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%9D%9F_(%E6%9D%9F%E8%AB%96)" title="束 (束論)">束</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9D%9F_(%E6%9D%9F%E8%AB%96)" title="束 (束論)">半束</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E8%A3%9C%E6%9D%9F" title="可補束">可補束</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F" title="全順序">全順序</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="ハイティング代数">ハイティング代数</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%96%E3%83%BC%E3%83%AB%E4%BB%A3%E6%95%B0_(%E6%A7%8B%E9%80%A0)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ブール代数 (構造)」 (存在しないページ)">ブール代数</a></li></ul> </div> <ul><li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Map_of_lattices" class="extiw" title="en:Map of lattices">en:Map of lattices</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9D%9F_(%E6%9D%9F%E8%AB%96)" title="束 (束論)">束論</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4" title="環上の加群">加群</a>に似た構造</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"><div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4" title="環上の加群">加群</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%9C%E7%94%A8%E3%82%92%E6%8C%81%E3%81%A4%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="作用を持つ群">作用を持つ群</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a></li></ul> </div> <ul><li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="線形代数">線形代数</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-content"> <div class="sidebar-list mw-collapsible mw-collapsed"><div class="sidebar-list-title" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%E4%BD%93%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" title="体上の多元環">代数</a>に似た構造</div><div class="sidebar-list-content mw-collapsible-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BD%93%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" title="体上の多元環">代数</a></li></ul> <div class="hlist hlist-separated"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" title="結合多元環">結合</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%88%86%E9%85%8D%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" title="分配多元環">非結合</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%90%88%E6%88%90%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="合成代数">合成代数</a></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="リー代数">リー代数</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%BB%98%E3%81%8D%E7%92%B0" title="次数付き環">次数付き</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="双代数">双代数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9B%E3%83%83%E3%83%97%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="ホップ代数">ホップ代数</a></li></ul> </div></div></div></td> </tr><tr><td class="sidebar-navbar"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r99966302"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r96787822">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:75%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output 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title="参照先のノートを表示します。">話</abbr></a></li><li class="nv-edit"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0&action=edit"><abbr title="参照先のページを編集します。">編</abbr></a></li><li class="nv-hist"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0&action=history"><abbr title="参照先のページの履歴を表示します。">歴</abbr></a></li></ul></div></td></tr></tbody></table> <p><b>リー群</b>（リーぐん、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英語</a>: <span lang="en">Lie group</span>）は、<a href="/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="群論">群構造</a>を持つ<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="可微分多様体">可微分多様体</a>で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。<a href="/wiki/%E3%82%BD%E3%83%95%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%BC" title="ソフス・リー">ソフス・リー</a>の無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="定義"><span id=".E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>定義</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&section=1" title="節を編集: 定義"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><i>G</i> を<a href="/wiki/%E5%8F%B0%E9%9B%86%E5%90%88" class="mw-redirect" title="台集合">台集合</a>とする<b>実リー群</b>とは、<i>G</i> には<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>体上有限次元かつ可微分<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>な実多様体の構造が定められていて、<i>G</i> はまた群の構造を持ち、さらにその群の演算である乗法および逆元を取る操作が多様体としての <i>G</i> 上の写像として可微分であるもののことである<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。このような構造が入っているという前提の下で、通常は「<i>G</i> はリー群である」というように台を表す記号を使ってリー群を表す。また、実数（実多様体）を複素数（複素多様体）にとりかえて<b>複素リー群</b>の概念が定まる。 </p><p><a href="/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96" title="圏論">圏論</a>の言葉を使うとリー群の定義が簡潔になる：リー群とは可微分多様体の<a href="/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="圏 (数学)">圏</a>の<a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4%E5%AF%BE%E8%B1%A1&action=edit&redlink=1" class="new" title="「群対象」 (存在しないページ)">群対象</a>のことである。この圏論に基づく定義は重要である。なぜなら、この定義表現を介して、リー群の概念を<a href="/w/index.php?title=Supergroup_(physics)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Supergroup (physics)」 (存在しないページ)">Supergroup_(physics)</a>へと一般化することが可能になるからである。圏論の視点を用いることで、リー群に対して別のタイプの一般化を考えることができる。リー亜群(<a href="/w/index.php?title=Lie_groupoids&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Lie groupoids」 (存在しないページ)">Lie groupoids</a>)のことである。これは、条件を付加した可微分多様体の圏の亜群対象のことである。 </p><p><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a>体 <b>C</b> 上の二次<a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="特殊線型群">特殊線型群</a> <i>SL</i>(2, <b>C</b>) などは複素リー群の例である。また、直交群や斜交群は、成分の属する体の直積位相からの相対位相に関して多様体とみるとリー群である。このような行列からなるリー群は総じて（代数的）<b>行列群</b>あるいは<b>線型代数群</b>と呼ばれる一類に属する<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>一般化として、台となる多様体が無限次元であることを許すことにより<b>無限次元リー群</b>が同様の方法で定義される。また、類似物として係数の属する体を<a href="/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0" title="P進数"> <i>p</i>-進数体</a>にとりかえて <i>p</i>-<b>進リー群</b>が定義される。あるいは係数体を<a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E4%BD%93" title="有限体">有限体</a>に取り替えれば、リー群の有限な類似物として<b>リー型の群</b>が豊富に得られるが、これらは<a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「有限単純群」 (存在しないページ)">有限単純群</a>の多くの部分を占めるものである。また、可微分多様体を用いる代わりに解析多様体や位相多様体を台にすることもできるが、それによって新たなものが得られるというわけではない。事実、<a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BD%E3%83%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="「アンドリュー・グリーソン」 (存在しないページ)">アンドリュー・グリーソン</a>、<a href="/w/index.php?title=%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%88%E3%82%B4%E3%83%A1%E3%83%AA&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ディーン・モントゴメリ」 (存在しないページ)">ディーン・モントゴメリ</a>、<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%BB%E3%82%B8%E3%83%83%E3%83%94%E3%83%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="「レオ・ジッピン」 (存在しないページ)">レオ・ジッピン</a>らは<a href="/wiki/1950%E5%B9%B4%E4%BB%A3" title="1950年代">1950年代</a>に次のことを証明している。すなわち、<i>G</i> が位相多様体であって、連続な群演算をもつ群でもあるならば、<i>G</i> 上の解析的構造が唯一つ存在して、<i>G</i> をリー群にすることができる（ヒルベルトの第５問題あるいはヒルベルト-スミス予想）。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="例"><span id=".E4.BE.8B"></span>例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&section=2" title="節を編集: 例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>いくつかの例と、それらに関連する数学や物理学の分野について触れる。 </p> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ユークリッド空間">ユークリッド空間</a> <b>R</b><sup><i>n</i></sup> は、ベクトルの加法を群演算と見て可換リー群である。</li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正則行列">可逆</a>な <i>n</i> 次<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正方行列">正方行列</a>全体 <i>GL</i><sub><i>n</i></sub>(<b>R</b>) は行列の積によって群をなす（<b>一般線型群</b>と呼ばれる）が、これを <i>n</i><sup>2</sup> 次元のユークリッド空間の部分多様体とみるとリー群である。この一般線型群は、行列式の値が 1 となる行列全体のなす群（<b>特殊線型群</b>と呼ばれる）を部分群として含むが、これもやはりリー群の例となる。</li> <li><i>n</i> 次元ベクトル空間における回転と鏡映が生成する変換群 <i>O</i><sub><i>n</i></sub>(<b>R</b>) は<b>直交群</b>と呼ばれるリー群である。（回転だけから生成される直交群の部分群SOn(R)は特殊直交群と呼ばれるリー群である。）</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%94%E3%83%8E%E3%83%AB%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="スピノル群">スピノル群</a>は<a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="特殊直交群">特殊直交群</a>の二重被覆であり、<a href="/wiki/%E5%A0%B4%E3%81%AE%E9%87%8F%E5%AD%90%E8%AB%96" title="場の量子論">場の量子論</a>における<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9F%E7%B2%92%E5%AD%90" title="フェルミ粒子">フェルミ粒子</a>の研究に用いられる。</li> <li><a href="/wiki/%E6%96%9C%E4%BA%A4%E7%BE%A4" title="斜交群">斜交群</a> <i>Sp</i><sub>2<i>n</i></sub>(<b>R</b>) は、シンプレクティック形式を保つ行列全体のなすリー群である。</li> <li>0 次元球面 <i>S</i><sup>0</sup>, 1 次元球面 <i>S</i><sup>1</sup> および 3 次元球面 <i>S</i><sup>3</sup> は、これらをそれぞれ絶対値が 1 の実数全体、複素数全体、四元数全体と同一視することでリー群にすることができる。他の次元の球面ではこのようなことはできないし、リー群にはならない。リー群としての <i>S</i><sup>1</sup> はしばしば<a href="/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4" title="円周群">円周群</a>と呼ばれる。いくつかの円周群同士の直積リー群は<a href="/wiki/%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%82%B9" title="トーラス">トーラス群</a>と呼ばれる。</li> <li><i>n</i> 次の上三角行列の全体からなる群 <i>B</i> は <i>n</i>(<i>n</i> + 1)/2 次元の可解リー群である。しばしば標準ボレル部分群と呼ばれる。</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E7%BE%A4" title="ローレンツ群">ローレンツ群</a>および<a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%83%AF%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="ポワンカレ群">ポワンカレ群</a>は<a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96" title="特殊相対性理論">特殊相対性理論</a>において<a href="/wiki/%E6%99%82%E7%A9%BA" title="時空">時空</a>の等長性を記述するリー群で、それぞれ 6 および 10 次元である。</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%82%AF%E7%BE%A4" title="ハイゼンベルク群">ハイゼンベルク群</a>は 3 次元リー群で<a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="量子力学">量子力学</a>に登場する。</li> <li><i>n</i> 次<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="ユニタリ群">ユニタリ群</a> <i>U</i>(<i>n</i>) は<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="ユニタリ作用素">ユニタリ行列</a>全体のなす <i>n</i><sup>2</sup> 次元のコンパクトリー群である。行列式の値が 1 のユニタリ行列全体のなすリー群 <i>SU</i>(<i>n</i>) を部分群として含む。</li> <li>直積リー群 <i>U</i>(1) × <i>SU</i>(2) × <i>SU</i>(3) は 1 + 3 + 8 = 12 次元のリー群である。これは<a href="/wiki/%E6%A8%99%E6%BA%96%E6%A8%A1%E5%9E%8B" title="標準模型">標準模型</a>の<a href="/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%82%B8%E7%BE%A4" title="ゲージ群">ゲージ群</a>で、それぞれの次元は 1 が<a href="/wiki/%E5%85%89%E5%AD%90" title="光子">光子</a>、3 が<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E3%83%9C%E3%82%BD%E3%83%B3" class="mw-redirect" title="ベクトルボソン">ベクトルボソン</a>、8 が<a href="/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%82%AA%E3%83%B3" title="グルーオン">グルーオン</a>に対応している。</li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A1%E3%82%BF%E3%83%97%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「メタプレクティック群」 (存在しないページ)">メタプレクティック群</a> <i>Mp</i> は 3 次元のリー群である。<i>SL</i><sub>2</sub>(<b>R</b>) の二重被覆群で、<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="モジュラー形式">モジュラー形式</a>の理論に用いられる。これを有限行列表現することはできない。</li> <li><a href="/w/index.php?title=G2_(mathematics)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「G2 (mathematics)」 (存在しないページ)"><i>G</i><sub>2</sub></a>, <a href="/w/index.php?title=F4_(mathematics)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「F4 (mathematics)」 (存在しないページ)"><i>F</i><sub>4</sub></a>, <a href="/w/index.php?title=E6_(mathematics)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「E6 (mathematics)」 (存在しないページ)"><i>E</i><sub>6</sub></a>, <a href="/w/index.php?title=E7_(mathematics)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「E7 (mathematics)」 (存在しないページ)"><i>E</i><sub>7</sub></a>, <a href="/w/index.php?title=E8_(mathematics)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「E8 (mathematics)」 (存在しないページ)"><i>E</i><sub>8</sub></a> 型の<a href="/wiki/%E4%BE%8B%E5%A4%96%E5%9E%8B%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="例外型リー群">例外型リー群</a>はそれぞれ 14, 52, 78, 133, 248 次元である。次元 190 のリー群 <a href="/w/index.php?title=E7%C2%BD_(Lie_algebra)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「E7½ (Lie algebra)」 (存在しないページ)"> E7½</a> もある。</li></ul> <p>リー群から新たなリー群を作り出す標準的な方法がいくつか挙げられる。たとえば、 </p> <ul><li>二つのリー群から直積群をつくると、これは直積位相に関してリー群になる（直積リー群）。</li> <li>リー群の閉部分群をとると、これは相対位相でリー群をなす（リー部分群）。</li> <li>リー群をその正規閉部分群で割った商はリー群である（商リー群）。</li> <li>連結リー群の<a href="/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E8%A2%AB%E8%A6%86" class="mw-redirect" title="普遍被覆">普遍被覆</a>もまたリー群である（普遍被覆リー群）。例として、円周群 <i>S</i><sup>1</sup> の普遍被覆は加法に関するリー群 <b>R</b> である。</li></ul> <p>リー群でないものの例を挙げる： </p> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%E7%A9%BA%E9%96%93" title="バナッハ空間">無限次元実ベクトル空間</a>を加法群と見たもののような無限次元群。これは有限次元の多様体ではないのでリー群ではない（無限次元リー群ではある）。</li> <li>ある種の完全不連結群、たとえば<a href="/wiki/%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7" title="体の拡大">体の無限次拡大</a>の<a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96" title="ガロア理論">ガロア群</a>や、<a href="/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0" title="P進数"><i>p</i>-進数</a>全体のなす加法群などがそうである。これらがリー群でないのは実多様体を台としないからである（後者は <i>p</i>-進リー群に属する）。</li> <li>連結リー群のリー群準同型像は必ずしもリー群にはならない。典型的な例として、可換リー群 <b>R</b> を直積リー群 <i>S</i><sup>1</sup> × <i>S</i><sup>1</sup> へ、写像 <i>x</i> ↦ (<i>x</i>, <span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">2</span></span> <i>x</i>) によって写すことを考える。この像は <i>S</i><sup>1</sup> × <i>S</i><sup>1</sup> の稠密な部分群で、したがってこれは多様体にならないし、特にリー群にはならない。これはまた、リー環の部分リー環がリー群の部分リー群に対応しないことの例ともなっている。</li> <li>有理数体の加法群に実数体における位相の相対位相を入れたものも、多様体にならないのでやはりリー群ではない。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="リー群の型"><span id=".E3.83.AA.E3.83.BC.E7.BE.A4.E3.81.AE.E5.9E.8B"></span>リー群の型</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&section=3" title="節を編集: リー群の型"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>リー群の分類法の一つは、その代数的な性質によるものである。例えば、単純リー群、半単純リー群、可解リー群、冪零リー群、可換リー群は、その群としての<a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4" title="単純群">単純性</a>、<a href="/w/index.php?title=%E5%8D%8A%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「半単純群」 (存在しないページ)">半単純性</a>、<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4" title="可解群">可解性</a>、<a href="/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%B6%E7%BE%A4" title="冪零群">冪零性</a>、<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="アーベル群">可換性</a>に従った分類である。また、リー群の多様体としての性質による分類もある。<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B5%90%E7%A9%BA%E9%96%93" title="連結空間">連結性</a>や<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93" title="コンパクト空間">コンパクト性</a>に着目して、連結リー群、単連結リー群、あるいはコンパクトリー群などを考えることができる。 </p> <ul><li>リー群の単位元を含む連結成分（単位成分）は正規閉部分群で、それによる商は離散群である。</li> <li>リー群の<a href="/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E8%A2%AB%E8%A6%86" class="mw-redirect" title="普遍被覆">普遍被覆</a>群は単連結リー群である。逆に、連結リー群はかならず、単連結リー群の（その中心に含まれる正規離散部分群による）商として得られる。</li> <li><b>コンパクトリー群</b>の分類は終わっており、それは単純コンパクトリー群とトーラス群の直積リー群の有限中心拡大であるか、さもなくば連結な<a href="/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%AD%E3%83%B3%E5%9B%B3%E5%BD%A2" title="ディンキン図形">ディンキン図形</a>に対応する単純コンパクトリー群であることが知られている。</li> <li><b>単連結可解リー群</b>は、ある階数の可逆<a href="/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E8%A1%8C%E5%88%97" title="三角行列">上三角行列</a>全体のなす群の閉部分群に同型であり、そのような群の有限次元既約表現は 1 次元表現（既約<a href="/wiki/%E6%8C%87%E6%A8%99" class="mw-disambig" title="指標">指標</a>）である。可解リー群の分類は、ごくちいさい次元での場合を除けば、非常に厄介なものである。</li> <li><b>単連結冪零リー群</b>は、ある階数の対角成分がすべて 1 の可逆上三角行列のなす群の閉部分群に同型である。よってその有限次元既約表現は全て 1 次元である。冪零リー群の分類もやはりごく小さい次元での場合を除いて非常に困難である。</li> <li><b>単純リー群</b>という概念は、単に抽象群として単純であることを以ってその定義とする場合もあれば、単純リー環に対応する連結リー群として定義する場合もある。<i>SL</i><sub>2</sub>(<b>R</b>) は第二の定義であれば単純であるが、第一の定義では単純でない。いずれの定義に従った場合も、単純リー群すべての分類は完全に解決済みである。</li> <li><b>半単純リー群</b>は、その付随するリー環が半単純（単純リー環の直積）となる連結群のことである。これは単純リー群の直積の中心拡大として得られる。</li> <li><b>連結可換リー群</b>はすべて、ユークリッド空間を加法に関する群と見たものとトーラス群との直積に同型である。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="構造"><span id=".E6.A7.8B.E9.80.A0"></span>構造</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&section=4" title="節を編集: 構造"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>リー群は標準的に、離散リー群、単純リー群、可換リー群に以下のように分解される：ここでリー群 <i>G</i> に対して </p> <dl><dd><i>G</i><sub>0</sub> を <i>G</i> の単位元を含む連結成分、</dd> <dd><i>G</i><sub>sol</sub> を <i>G</i> の最大の連結可解正規部分群、</dd> <dd><i>G</i><sub>nil</sub> を <i>G</i> の最大の連結正規冪零部分群、</dd></dl> <p>とすると、次の正規列がえられる： </p> <dl><dd>1 ⊂ <i>G</i><sub>nil</sub> ⊂ <i>G</i><sub>sol</sub> ⊂ <i>G</i><sub>0</sub> ⊂ <i>G</i></dd></dl> <p>そしてこのとき、 </p> <dl><dd><i>G</i>/<i>G</i><sub>0</sub> は離散的、</dd> <dd><i>G</i><sub>0</sub>/<i>G</i><sub>sol</sub> は連結単純リー群の積の中心拡大、</dd> <dd><i>G</i><sub>sol</sub>/<i>G</i><sub>nil</sub> 可換リー群（これはユークリッド空間とトーラスの積として書ける）、</dd> <dd><i>G</i><sub>nil</sub>/1 は冪零、したがって特にその昇中心列の組成因子は可換群。</dd></dl> <p>これにより、リー群に対する問題の一部（たとえばリー群のユニタリ表現を求める問題など）は連結単純リー群の同種の問題に帰着して考えることができる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="付随するリー環"><span id=".E4.BB.98.E9.9A.8F.E3.81.99.E3.82.8B.E3.83.AA.E3.83.BC.E7.92.B0"></span>付随するリー環</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&section=5" title="節を編集: 付随するリー環"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>リー群に対して、その<a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83" title="単位元">単位元</a>における<a href="/wiki/%E6%8E%A5%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="接ベクトル空間">接空間</a>（を台となるベクトル空間としてそれに積を定義したもの）として<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="リー代数">リー環</a>を対応付けることができる。このリー環は、もとのリー群の局所的な構造を完全に反映しており、リー群に<b>付随するリー環</b>と呼ばれる。このリー環の元は、略式的には（ユークリッド空間内にある<a href="/wiki/%E6%9B%B2%E9%9D%A2" title="曲面">曲面</a>の古典的な接平面に対するイメージをそのまま反映して）リー群の単位元に無限に近いところにある元であると見ることができるし、リー環の括弧積はそのような無限小の交換子が定めるものと考えることができる。厳密な定義に先立って例を挙げる： </p><p>可換リー群 <b>R</b><sup><i>n</i></sup> のリー環はちょうど <b>R</b><sup><i>n</i></sup> に括弧積を、任意の <i>A</i>, <i>B</i> に対して </p> <dl><dd>[<i>A</i>, <i>B</i>] = 0.</dd></dl> <p>とおくことによって与えたものである。一般に、付随するリー環の括弧積が恒等的に 0 となることは対応するリー群が可換群であることに同値である。 </p><p>一般線型群 <i>GL</i><sub><i>n</i></sub>(<b>R</b>) のリー環は全行列環 <i>M</i><sub><i>n</i></sub>(<b>R</b>) に </p> <dl><dd>[<i>A</i>, <i>B</i>] = <i>AB</i> − <i>BA</i></dd></dl> <p>なる括弧積を入れたものである。 </p><p><i>G</i> が <i>GL</i><sub><i>n</i></sub>(<b>R</b>) の閉部分群なら、<i>G</i> のリー環は略式的に <i>M</i><sub><i>n</i></sub>(<b>R</b>) に属する行列 <i>m</i>であって 1 + ε<i>m</i> が <i>G</i> に属すようなもの全体からなるものと見ることができる。ここで ε は正の無限小で、ε<sup>2</sup> = 0 となるもの（もちろん実数ではない）である。例えば直交群 <i>O</i><sub><i>n</i></sub>(<b>R</b>) （<i>AA</i><sup>T</sup> = 1 となる行列 <i>A</i> の全体）に付随するリー環は </p> <dl><dd>(1 + ε<i>m</i>)(1 + ε<i>m</i>)<sup>T</sup> = 1</dd></dl> <p>あるいは ε<sup>2</sup> = 0 と考えると同じことだが </p> <dl><dd><i>m</i> + <i>m</i><sup>T</sup> = 0</dd></dl> <p>となる行列 <i>m</i> の全体からなる。 </p><p>上で与えた即物的な定義は安直で使い易いものであるが、いくつか問題がある。たとえば、この定義を考える前にリー群を行列群として表現できている必要があるが、任意のリー群を考えるときにはそんなことはできないし、また表現の仕方によらず対応するリー環が定まるかどうかということはまったく明らかなことではない。これらの問題はリー群に付随するリー環の一般的な定義を与えることで回避される。定義以下のような考察に従って与えられる： </p> <ol><li>可微分多様体 <i>M</i> 上の<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E5%A0%B4" title="ベクトル場">ベクトル場</a>は、<i>M</i> 上の<a href="/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E9%96%A2%E6%95%B0" title="滑らかな関数">滑らかな関数</a>のなす環の微分 <i>X</i> と考えることができる。また、二つの微分 <i>X</i>, <i>Y</i> に対して、そのリー括弧積 [<i>X</i>, <i>Y</i>] = <i>XY</i> − <i>YX</i> は再び微分となるので、この括弧積のもとでベクトル場の全体をリー環にすることができる。</li> <li><i>G</i> が可微分多様体 <i>M</i> に滑らかに<a href="/wiki/%E7%BE%A4%E4%BD%9C%E7%94%A8" title="群作用">作用</a>するリー群とすると、<i>G</i> の作用を関数環へ移行し、さらに微分に移行することで <i>G</i> はベクトル場に対して作用させることができる。この <i>G</i> の作用によって不変なベクトル場全体のなすベクトル空間は、リー括弧積に関して閉じているのでリー環となる。</li> <li>この構成法をリー群 <i>G</i> に、その台の多様体構造に着目して適用する。つまり、<i>G</i> は <i>G</i> = <i>M</i> に左からの積で作用していると見なすと、<i>G</i> 上の左不変ベクトル場の全体はベクトル場のリー括弧積のもとでリー環となる。</li> <li>リー群の単位元における接ベクトルはどれも（それを群の左移動作用で各点に移し変えることにより）左不変ベクトル場に拡張することができる。これにより、単位元 <i>e</i> における接空間 <i>T<sub>e</sub></i> と左不変ベクトル場全体の作るベクトル空間とを同一視して、接空間をリー環にすることができる。これをリー群 <i>G</i> のリー環（<i>G</i> に付随するリー環、<i>G</i> に対応するリー環）と呼んで、リー群を表すのに使っている文字の対応する小文字（慣習的に<a href="/wiki/%E3%83%89%E3%82%A4%E3%83%84%E6%96%87%E5%AD%97" class="mw-redirect" title="ドイツ文字">ドイツ文字</a>を用いることが多い）を充てて表す。例えばリー群を <i>G</i> で表しているのなら、そのリー環は <i>g</i> や <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"></span> で表す。また Lie(<i>G</i>) などとして付随するリー環を表すこともある。</li></ol> <p>リー群に付随するリー環は有限次元で、とくに元のリー群と同じ次元を持つ。リー群 <i>G</i> に付随するリー環 <i>g</i> は局所同型の違いを除いて一意に定まる。ここで、二つのリー群が「局所同型」であるとは、単位元の適当な近傍を選ぶと、その上で同型対応がとれることをいう。リー群に対する問題は、対応するリー環に対する問題を先に解決し、その結果を用いることによって（通常は簡単に）解決されるということがよくある。例えば、単純リー群の分類問題は対応するリー環の分類をまず済ませることによって解決される。 </p><p>左不変ベクトル場を用いる代わりに右不変ベクトル場を用いても、単位元における接空間 <i>T</i><sub><i>e</i></sub> にリー環の構造を入れることができるが、この場合も左不変ベクトル場を用いたと同じリー環が定まる。これは、リー群 <i>G</i> 上で逆元をとる写像を考えると、それを移行して右不変ベクトル場と左不変ベクトル場が対応付けられ、特に接空間 <i>T</i><sub><i>e</i></sub> 上では −1 を乗じる操作として作用することから従う。 </p><p>接空間 <i>T</i><sub><i>e</i></sub> 上のリー環構造は次のように記述することもできる：直積リー群 <i>G</i> × <i>G</i> 上の交換子作用素 </p> <dl><dd>(<i>x</i>, <i>y</i>) → <i>xyx</i><sup>−1</sup><i>y</i><sup>−1</sup></dd></dl> <p>は (<i>e</i>, <i>e</i>) を <i>e</i> に写すので、その微分は <i>T</i><sub><i>e</i></sub> 上の双線型作用素を引き起こす。この双線型作用素は実際には零写像なのだが、接空間との厳密な同一視の元で、二階微分はリー括弧積の公理を満たす作用素を引き起こし、それは左不変ベクトル場を用いて定義される場合のちょうど二倍に等しい。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="準同型と同型"><span id=".E6.BA.96.E5.90.8C.E5.9E.8B.E3.81.A8.E5.90.8C.E5.9E.8B"></span>準同型と同型</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&section=6" title="節を編集: 準同型と同型"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><i>G</i>, <i>H</i> をリー群（実なら双方とも実、複素なら双方とも複素）とする。写像 <i>f</i>: <i>G</i> → <i>H</i> が<b>リー群の準同型</b>であるとは、<i>f</i> は抽象群としての群準同型であって、かつ <i>f</i> が<a href="/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E9%96%A2%E6%95%B0" title="滑らかな関数">解析的</a>であるときにいう。ただし、<i>f</i> が「解析的」であるという条件を「<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="連続 (数学)">連続</a>」であるという条件に弱めても定義としては同値になることが示せる。文脈上リー群の準同型であると明らかなときは単に準同型とよぶ。リー群準同型の合成はまたリー群準同型である。全ての実リー群のなす<a href="/wiki/%E9%A1%9E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" class="mw-redirect" title="類 (数学)">類</a>、あるいは全ての複素リー群のなす類に、それぞれの意味でのリー群準同型を射と見なしてリー群の<a href="/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="圏 (数学)">圏</a>ができる。二つのリー群が<b>同型</b>であるとは、その間に全単射なリー群準同型で、その逆写像もまたリー群準同型になるようなものが存在することをいう。同型なリー群同士を区別する必要は実用上はなく、それらは単に元の表し方が異なるだけだと考えられる。 </p><p>リー群の準同型 <i>f</i>: <i>G</i> → <i>H</i> は付随するリー環たちの間の準同型 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Lie} (f)\colon \mathrm {Lie} (G)\to \mathrm {Lie} (H)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">L</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">L</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">L</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Lie} (f)\colon \mathrm {Lie} (G)\to \mathrm {Lie} (H)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4b69b8e992de239e4272d25e4e12306a62611cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.641ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Lie} (f)\colon \mathrm {Lie} (G)\to \mathrm {Lie} (H)}"></span></dd></dl> <p>を引き起こす。したがって、リー群をそれに付随するリー環へ移す対応 "Lie" は<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%89%8B" title="関手">関手</a>である。 </p><p><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%83%89%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「アドの定理」 (存在しないページ)">アドの定理</a>の一つの形は、有限次元リー環は行列リー環に同型であると述べられる。有限次元の行列リー環に対しては、それを付随するリー環にもつような線型代数群（行列リー群）が存在するので、したがってどんな抽象リー環もある行列のリー群のリー環として記述することができる。 </p><p>リー群の<b>大域的構造</b>をそのリー環によって完全に記述することは一般にはできない。たとえば <i>Z</i> を <i>G</i> の中心に属する任意の離散群としてやると、 <i>G</i> と <i>G</i>/<i>Z</i> は同じリー環をもつ。しかしながら連結リー群に関しては、それが単純、半単純、可解、冪零あるいは可換となることが、付随するリー環の対応する性質が成り立つことに同値であるということができる。 </p><p>リー群が単連結であることを仮定すると、その大域的構造はそのリー環によって完全に決定される。任意の有限次元リー環 <i>g</i> に対して、単連結リー群 <i>G</i> でそのリー環が <i>g</i> であるものが同型を除いて唯一つ定まる。さらに、リー環の準同型は対応する単連結リー群の間の準同型へ一意的に持ち上げられる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="指数写像"><span id=".E6.8C.87.E6.95.B0.E5.86.99.E5.83.8F"></span>指数写像</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&section=7" title="節を編集: 指数写像"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>リー環 <i>M</i><sub><i>n</i></sub>(<b>R</b>) からリー群 <i>GL</i><sub><i>n</i></sub>(<b>R</b>) への<b><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0%E3%81%AE%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%86%99%E5%83%8F" title="リー環の指数写像">指数写像</a></b>は通常の<a href="/wiki/%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="冪級数">冪級数</a>として、行列 <i>A</i> に対して </p> <dl><dd>exp(<i>A</i>) = 1 + <i>A</i> + <i>A</i><sup>2</sup>/2! + <i>A</i><sup>3</sup>/3! + ⋯</dd></dl> <p>によって定められる。<i>G</i> が <i>GL</i><sub><i>n</i></sub>(<b>R</b>) の部分群ならば、この指数写像は <i>G</i> のリー環を <i>G</i> のなかへ写す。したがって、任意の行列のリー群に対して指数写像を考えることができる。 </p><p>この指数写像の定義は扱いやすいが、行列群ではないリー群に対しては定義されていないし、指数写像が行列群としての表し方に依らないかどうかについては自明なことではない。これは以下のように抽象的な指数写像の定義を与えることで解決することができる。 </p><p>リー環 <i>g</i> の任意のベクトル <i>v</i> は、1 を <i>v</i> へと写す <b>R</b> から <i>g</i> への線型写像（これをリー環準同型と考えることができる）を定める。<b>R</b> は単連結リー群 <b>R</b> のリー環になっているので、これは対応するリー群の間の準同型 <i>c</i>: <b>R</b> → <i>G</i> を引き起こす。これは <i>s</i>, <i>t</i> ∈ <b>R</b> に対して </p> <dl><dd><i>c</i>(<i>s</i> + <i>t</i>) = <i>c</i>(<i>s</i>) <i>c</i>(<i>t</i>)</dd></dl> <p>を満たす（右辺は <i>G</i> における乗法である）。この式と指数関数が満たす公式との類似性から、 </p> <dl><dd>exp(<i>v</i>) = <i>c</i>(1)</dd></dl> <p>とおくと、行列群に対しては今の定義は先の定義と同じものを定めることが確かめられる。これを<b>指数写像</b>と呼ぶ。作り方からこれはリー環 <i>g</i> を対応するリー群 <i>G</i> のなかへ写すことが判る。指数写像は、リー環 <i>g</i> の零元 0 の近傍からリー群 <i>G</i> の単位元 <i>e</i> の近傍への可微分同相写像である。実数全体が成す可換リー環 <b>R</b> は正の実数全体が乗法に関して成すリー群 <b>R</b><sub>+</sub><sup>×</sup> に付随するリー環になっているので、指数写像は実数に対する<a href="/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="指数関数">指数関数</a>の一般化になっていることがわかる。同様に複素数全体が成す可換リー環 <b>C</b> が非零な複素数全体が乗法に関して成すリー群 <b>C</b><sup>×</sup> のリー環であることから、指数写像は複素数に対する指数関数の一般化にもなっている。もちろん、正方行列全体 <i>M</i><sub><i>n</i></sub>(<b>R</b>) が通常の交換子をリー括弧積として成すリー環が、リー群 <i>GL</i><sub><i>n</i></sub>(<b>R</b>) のリー環であることから指数写像は<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="行列指数関数">行列の指数関数</a>の一般化でもある。 </p><p>指数写像がリー群 <i>G</i> の単位元 <i>e</i> の適当な近傍 <i>N</i> の<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%B0%84" title="全射">上への写像</a>であるので、付随するリー環の元は <i>G</i> 上の<b>無限小生成作用素</b> (infinitesimal generator) と呼ばれる。<i>N</i> の生成する <i>G</i> の部分群は <i>G</i> の単位成分である。 </p><p>指数写像とリー環は連結リー群の<b>局所群構造</b>を決定する。実際、リー環 <i>g</i> の零元の適当な近傍 <i>U</i> で、<i>u</i>, <i>v</i> が <i>U</i> の元ならば </p> <dl><dd>exp(<i>u</i>) exp(<i>v</i>) = exp(<i>u</i> + <i>v</i> + (1/2) [<i>u</i>, <i>v</i>] + (1/12) [[<i>u</i>, <i>v</i>], <i>v</i>] − (1/12) [[<i>u</i>, <i>v</i>], <i>u</i>] − ⋯)</dd></dl> <p>が成り立つ（<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%AD%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式」 (存在しないページ)">ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Baker%E2%80%93Campbell%E2%80%93Hausdorff_formula" class="extiw" title="en:Baker–Campbell–Hausdorff formula">英語版</a>）</span></span>）。ここで、省略した項は判っていて、4 つ以上の元のリー括弧積が関係するものである。<i>u</i> と <i>v</i> が可換なときはこれは簡約されて、見慣れた指数法則の式 exp(<i>u</i>) exp(<i>v</i>) = exp(<i>u</i> + <i>v</i>) となる。 </p><p>リー環からリー群への指数写像は必ずしも全射とはならない。群が連結であってもそれは同じである（連結群がさらにコンパクトか可解であるならば全射になる）。例えば、<i>SL</i><sub>2</sub>(<b>R</b>) の指数写像は全射にはならない。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="無限次元リー群"><span id=".E7.84.A1.E9.99.90.E6.AC.A1.E5.85.83.E3.83.AA.E3.83.BC.E7.BE.A4"></span>無限次元リー群</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&section=8" title="節を編集: 無限次元リー群"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>リー群は定義から有限次元である。しかし、有限次元性を除けばリー群に酷似した群というものがたくさん存在する。これらの群に対する一般論は少ないが、いくつかの例では研究がなされ結果が得られている。 </p> <ul><li>多様体上の可微分同相写像全体の成す群。円周上定義される可微分同相写像全体の成す群はきわめてよく知られている例である。そのリー環というのは実質的に<a href="/w/index.php?title=%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%88%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ヴィット環」 (存在しないページ)">ヴィット環</a> (Witt algebra) で、その中心拡大は<a href="/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%82%BD%E3%83%AD%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="ヴィラソロ代数">ヴィラソロ代数</a>と呼ばれ、<a href="/wiki/%E5%BC%A6%E7%90%86%E8%AB%96" title="弦理論">弦理論</a>や<a href="/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%A2%E5%A0%B4%E7%90%86%E8%AB%96" title="共形場理論">共形場理論</a>などで用いられている。より大きな次元の多様体上の可微分同相写像群についてはあまり知られていない。時空の可微分同相写像群は、重力の量子化に際してしばしば現れる。</li> <li>多様体から有限次元群への滑らかな写像全体の成す群は<a href="/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%82%B8%E7%BE%A4" title="ゲージ群">ゲージ群</a>と呼ばれ、<a href="/wiki/%E5%A0%B4%E3%81%AE%E9%87%8F%E5%AD%90%E8%AB%96" title="場の量子論">場の量子論</a>や<a href="/wiki/%E3%83%89%E3%83%8A%E3%83%AB%E3%83%89%E3%82%BD%E3%83%B3%E7%90%86%E8%AB%96" class="mw-redirect" title="ドナルドソン理論">ドナルドソン理論</a>で用いられている。多様体として円周をとるときは、<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%97%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ループ群」 (存在しないページ)">ループ群</a>と呼ばれ、付随するリー環が実質的に<a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%83%E3%83%84%E3%83%BB%E3%83%A0%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%A3%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="カッツ・ムーディ代数">カッツ・ムーディ代数</a>であるような中心拡大を持つ。</li> <li>一般線型群や直交群などに対する無限次元の類似物。重要な側面のひとつは、これらが「簡素な」位相的性質を持っているだろうということである。たとえば、<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%AF%E3%83%BC%E3%83%91%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「クーパーの定理」 (存在しないページ)">クーパーの定理</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Kuiper%27s_theorem" class="extiw" title="en:Kuiper's theorem">英語版</a>）</span></span>を参照。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&section=9" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text">多くの場合無限回微分可能を含意する。</span> </li> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text">群演算が可微分写像となっていることを「群演算が可微分多様体の構造と両立する（可換である、あるいはうまくいっている）」といい表す。</span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text">正確には、ある<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E9%96%89%E4%BD%93" class="mw-redirect" title="代数閉体">代数閉体</a>上の<a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="一般線型群">一般線型群</a>の部分群であって、<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E8%A6%81%E7%B4%A0" title="行列要素">成分</a>の<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="代数方程式">代数方程式</a>によって与えられる。</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&section=10" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101304250">.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px 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src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/50px-Question_book-4.svg.png" decoding="async" width="50" height="39" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/75px-Question_book-4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/100px-Question_book-4.svg.png 2x" data-file-width="262" data-file-height="204" /></span></span></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span"><b><a href="/wiki/Wikipedia:%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%82%A2%E3%83%AB_(%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%82%A6%E3%83%88)#参考文献" class="mw-redirect" title="Wikipedia:スタイルマニュアル (レイアウト)">出典</a>は列挙するだけでなく、<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8" title="Help:脚注">脚注</a>などを用いて<a href="/wiki/Wikipedia:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%82%92%E6%98%8E%E8%A8%98%E3%81%99%E3%82%8B#出典の示し方" title="Wikipedia:出典を明記する">どの記述の情報源であるかを明記</a>してください。</b><span class="hide-when-compact"> 記事の<a href="/wiki/Wikipedia:%E6%A4%9C%E8%A8%BC%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7" title="Wikipedia:検証可能性">信頼性向上</a>にご協力をお願いいたします。<small>（<span title="2017年11月">2017年11月</span>）</small></span></div></td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="和書"><span id=".E5.92.8C.E6.9B.B8"></span>和書</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&section=11" title="節を編集: 和書"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>佐々木重夫：「連續群論」、東海書房、(1948年3月1日)。</li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book"><a href="/wiki/%E5%B1%B1%E5%86%85%E6%81%AD%E5%BD%A6" title="山内恭彦">山内恭彦</a>、<a href="/wiki/%E6%9D%89%E6%B5%A6%E5%85%89%E5%A4%AB" title="杉浦光夫">杉浦光夫</a>『連続群論入門』<a href="/wiki/%E5%9F%B9%E9%A2%A8%E9%A4%A8" title="培風館">培風館</a>、1960年10月30日。<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E9%80%A3%E7%B6%9A%E7%BE%A4%E8%AB%96%E5%85%A5%E9%96%80&rft.aulast=%E5%B1%B1%E5%86%85%E6%81%AD%E5%BD%A6&rft.au=%E5%B1%B1%E5%86%85%E6%81%AD%E5%BD%A6&rft.au=%E6%9D%89%E6%B5%A6%E5%85%89%E5%A4%AB&rft.date=1960-10-30&rft.pub=%5B%5B%E5%9F%B9%E9%A2%A8%E9%A4%A8%5D%5D&rft.isbn=4-563-00318-2&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Gerhard_Hochschild" class="extiw" title="en:Gerhard Hochschild">ホッホシルト</a>、橋本浩治(訳)：「リー群の構造」、<a href="/wiki/%E5%90%89%E5%B2%A1%E6%9B%B8%E5%BA%97" title="吉岡書店">吉岡書店</a>、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4842701579" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-8427-0157-9</a> (1972年5月15日)。</li> <li>東郷重明：「リー代数」、槇書店、（1983年10月30日）。</li> <li>東郷重明：「無限次元リー代数」、槇書店、（1990年3月1日）。</li> <li>横田一郎：「古典型単純リー群」、現代数学社、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/476870171X" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-7687-0171-X</a> (1990年12月6日)。</li> <li>伊勢幹夫、竹内勝：「リー群論」、<a href="/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97" title="岩波書店">岩波書店</a>、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4000061402" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-00-006140-2</a> (1992年5月21日)。</li> <li>横田一郎：「例外型単純リー群」、現代数学社、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4768701728" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-7687-0172-8</a> (1992年6月25日)。</li> <li>杉浦光夫：「リー群論」、<a href="/wiki/%E5%85%B1%E7%AB%8B%E5%87%BA%E7%89%88" title="共立出版">共立出版</a>、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4320016378" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-320-01637-8</a> (2000年3月25日)。</li> <li>佐藤肇：「リー代数入門：線型代数の続編として」、<a href="/wiki/%E8%A3%B3%E8%8F%AF%E6%88%BF" title="裳華房">裳華房</a>、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4785315237" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-7853-1523-7</a> (2000年10月25日)。</li> <li>谷崎俊之：「リー代数と量子群」、共立出版、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4320016920" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-320-01692-0</a> (2002年4月15日)。</li> <li>松澤淳一：「特異点とルート系」、<a href="/wiki/%E6%9C%9D%E5%80%89%E6%9B%B8%E5%BA%97" title="朝倉書店">朝倉書店</a>、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4254115563" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-254-11556-3</a> (2002年4月15日)。</li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="大島＆小林2005"><a href="/wiki/%E5%B0%8F%E6%9E%97%E4%BF%8A%E8%A1%8C" title="小林俊行">小林俊行</a>、<a href="/wiki/%E5%A4%A7%E5%B3%B6%E5%88%A9%E9%9B%84" title="大島利雄">大島利雄</a>『<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/9/0061420.html">リー群と表現論</a>』岩波書店、2005年4月6日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4-00-006142-9" title="特別:文献資料/4-00-006142-9">4-00-006142-9</a><span style="display:none;">。<a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/9/0061420.html">http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/9/0061420.html</a></span>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E3%81%A8%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96&rft.aulast=%E5%B0%8F%E6%9E%97%E4%BF%8A%E8%A1%8C&rft.au=%E5%B0%8F%E6%9E%97%E4%BF%8A%E8%A1%8C&rft.au=%E5%A4%A7%E5%B3%B6%E5%88%A9%E9%9B%84&rft.date=2005-04-06&rft.pub=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97&rft.isbn=4-00-006142-9&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.iwanami.co.jp%2F.BOOKS%2F00%2F9%2F0061420.html&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li>松本敏彦：「リー群入門」、<a href="/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%A9%95%E8%AB%96%E7%A4%BE" title="日本評論社">日本評論社</a> （日評数学選書）, <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784535601420" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4-535-60142-0</a> (2005年2月).</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%BC" title="クロード・シュヴァレー">クロード・シュヴァレー</a>, <a href="/wiki/%E6%96%8E%E8%97%A4%E6%AD%A3%E5%BD%A6" title="斎藤正彦">齋藤正彦</a> (訳)：「シュヴァレー　リー群論」、<a href="/wiki/%E7%AD%91%E6%91%A9%E6%9B%B8%E6%88%BF" title="筑摩書房">筑摩書房</a>、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784480094513" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4480094513</a>（2012年6月6日）。</li> <li>井ノ口順一：「はじめて学ぶリー群-<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="線型代数">線型代数</a>から始めよう-」, 現代数学社, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-7687-0470-7" title="特別:文献資料/978-4-7687-0470-7">978-4-7687-0470-7</a>, (2017年7月21日).</li> <li>平井武：「リー群のユニタリ表現論」，共立出版、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784320112087" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4-320112087</a>、(2022）．</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="洋書"><span id=".E6.B4.8B.E6.9B.B8"></span>洋書</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&section=12" title="節を編集: 洋書"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="Adams1996">Adams, J. Frank (December 1, 1996). <i>Lectures on Exceptional Lie Groups</i>. Chicago Lectures in Mathematics. University Of Chicago Press. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0-226-00527-5" title="特別:文献資料/0-226-00527-5">0-226-00527-5</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Lectures+on+Exceptional+Lie+Groups&rft.aulast=Adams&rft.aufirst=J.+Frank&rft.au=Adams%2C%26%2332%3BJ.+Frank&rft.date=December+1%2C+1996&rft.series=Chicago+Lectures+in+Mathematics&rft.pub=University+Of+Chicago+Press&rft.isbn=0-226-00527-5&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="Fulton&Harris1999">Fulton, William; Harris, Joe (July 30, 1999). <i>Representation Theory : A First Course</i>. Graduate Texts in Mathematics / Readings in Mathematics (1st ed.). Springer Verlag. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0-387-97495-4" title="特別:文献資料/0-387-97495-4">0-387-97495-4</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Representation+Theory+%3A+A+First+Course&rft.aulast=Fulton&rft.aufirst=William&rft.au=Fulton%2C%26%2332%3BWilliam&rft.au=Harris%2C%26%2332%3BJoe&rft.date=July+30%2C+1999&rft.series=Graduate+Texts+in+Mathematics+%2F+Readings+in+Mathematics&rft.edition=1st&rft.pub=Springer+Verlag&rft.isbn=0-387-97495-4&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="Knapp2002">Knapp, Anthony W. (2002). <i>Lie Groups Beyond an Introduction</i>. Birkhäuser. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0-8176-4259-5" title="特別:文献資料/0-8176-4259-5">0-8176-4259-5</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Lie+Groups+Beyond+an+Introduction&rft.aulast=Knapp&rft.aufirst=Anthony+W.&rft.au=Knapp%2C%26%2332%3BAnthony+W.&rft.date=2002&rft.pub=Birkh%C3%A4user&rft.isbn=0-8176-4259-5&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="Rossmann2006">Rossmann, Wulf (August 24, 2006). <i>Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups</i>. Oxford Graduate Texts in Mathematics. Oxford University Press. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0-19-920251-6" title="特別:文献資料/0-19-920251-6">0-19-920251-6</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Lie+Groups%3A+An+Introduction+Through+Linear+Groups&rft.aulast=Rossmann&rft.aufirst=Wulf&rft.au=Rossmann%2C%26%2332%3BWulf&rft.date=August+24%2C+2006&rft.series=Oxford+Graduate+Texts+in+Mathematics&rft.pub=Oxford+University+Press&rft.isbn=0-19-920251-6&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4"><span style="display: none;"> </span></span> - 注意：2003年刊の再版で初版の誤植が訂正されている。線型群（すなわち有限次元の行列で定義される連続群）のトリビアルでない実例を通じたリー群とリー代数の入門書。</li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="Serre1992">Serre, Jean-Pierre (1992). <i>Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University</i>. Lecture Notes in Mathematics (2nd sub ed.). Springer. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/3-540-55008-9" title="特別:文献資料/3-540-55008-9">3-540-55008-9</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Lie+Algebras+and+Lie+Groups%3A+1964+Lectures+given+at+Harvard+University&rft.aulast=Serre&rft.aufirst=Jean-Pierre&rft.au=Serre%2C%26%2332%3BJean-Pierre&rft.date=1992&rft.series=Lecture+Notes+in+Mathematics&rft.edition=2nd+sub&rft.pub=Springer&rft.isbn=3-540-55008-9&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li>Johan G.F.Belinfante and Bernard Kolman: <i>A Survey of Lie Groups and Lie Algebras with Applications and Computational Methods</i>, SIAM, <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0898712432" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-89871-243-2</a> (1972).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&section=13" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%BD%E3%83%95%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%BC" title="ソフス・リー">ソフス・リー</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%AB" title="アルマン・ボレル">アルマン・ボレル</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E8%A1%A8%E7%8F%BE" title="随伴表現">随伴表現</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%AD%89%E8%B3%AA%E7%A9%BA%E9%96%93" title="等質空間">等質空間</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E3%81%AE%E3%83%88%E3%83%94%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E4%B8%80%E8%A6%A7%E8%A1%A8&action=edit&redlink=1" class="new" title="「リー群のトピックス一覧表」 (存在しないページ)">リー群のトピックス一覧表</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Lie_group_topics" class="extiw" title="en:List of Lie group topics">英語版</a>）</span></span> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE" title="リー群の表現">リー群の表現</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%80%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%BC%E5%B0%8E%E9%96%A2%E6%95%B0" title="ダルブー導関数">ダルブー導関数</a>：リー群上の微分概念</li></ul></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7%E8%A1%A8&action=edit&redlink=1" class="new" title="「単純リー群の一覧表」 (存在しないページ)">単純リー群の一覧表</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_simple_Lie_groups" class="extiw" title="en:List of simple Lie groups">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="リーマン多様体">リーマン多様体</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8&action=edit&redlink=1" class="new" title="「リー群の表」 (存在しないページ)">リー群の表</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_Lie_groups" class="extiw" title="en:Table of Lie groups">英語版</a>）</span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4&action=edit&section=14" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>日本大百科全書(ニッポニカ)『<a rel="nofollow" class="external text" href="//kotobank.jp/word/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4">リー群</a>』 - <a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%88%E3%83%90%E3%83%B3%E3%82%AF" title="コトバンク">コトバンク</a> (菅野恒雄著)</li> <li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Lie_Group"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><cite id="CITEREFRowland,_Todd." class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Rowland, Todd. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/LieGroup.html">"Lie Group"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Lie+Group&rft.au=Rowland%2C+Todd.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FLieGroup.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" class="Z3988"></span></span></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://ncatlab.org/nlab/show/Lie+group">Lie group</a> in <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/nLab" class="extiw" title="en:nLab">nLab</a></i></li> <li><i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/LieGroup">Lie group</a></i> - <a href="/wiki/PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath</a>.<span class="tmpl-language-icon" style="font-size:0.95em; font-weight:bold; color:#555">（英語）</span></li> <li><a href="//www.proofwiki.org/wiki/Definition:Lie_Group" class="extiw" title="proofwiki:Definition:Lie Group">Definition:Lie Group</a> at <a rel="nofollow" class="external text" href="https://proofwiki.org/">ProofWiki</a></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFPlatonov,_V.P.2001">Platonov, V.P. (2001), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Lie_group">“Lie group”</a>, in Hazewinkel, Michiel, <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Encyclopedia_of_Mathematics" class="extiw" title="en:Encyclopedia of Mathematics">Encyclopedia of Mathematics</a></i>, Springer, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-1-55608-010-4" title="特別:文献資料/978-1-55608-010-4">978-1-55608-010-4</a><span style="display:none;">, <a rel="nofollow" class="external free" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Lie_group">https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Lie_group</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Lie+group&rft.atitle=%5B%5B%3Aen%3AEncyclopedia+of+Mathematics%7CEncyclopedia+of+Mathematics%5D%5D&rft.aulast=Platonov%2C+V.P.&rft.au=Platonov%2C+V.P.&rft.date=2001&rft.pub=Springer&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-labelledby="典拠管理データベース_frameless&#124;text-top&#124;10px&#124;alt=ウィキデータを編集&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q622679#identifiers&#124;class=noprint&#124;ウィキデータを編集" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div id="典拠管理データベース_frameless&#124;text-top&#124;10px&#124;alt=ウィキデータを編集&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q622679#identifiers&#124;class=noprint&#124;ウィキデータを編集" style="font-size:110%;margin:0 4em"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a> <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q622679#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></span></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">全般</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.worldcat.org/fast/998135/">FAST</a></span></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">国立図書館</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogo.bne.es/uhtbin/authoritybrowse.cgi?action=display&authority_id=XX535210">スペイン</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11946908c">フランス</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb11946908c">BnF data</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4035695-4">ドイツ</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007529233305171">イスラエル</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85076786">アメリカ</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00567368">日本</a></span></li> <li><span class="uid"><abbr title="Lieovy grupy"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph117709&CON_LNG=ENG">チェコ</a></abbr></span></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.idref.fr/02742474X">IdRef</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=リー群&oldid=102537997">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=リー群&oldid=102537997</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA" title="特別:カテゴリ">カテゴリ</a>: <ul><li><a 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