Elektromagnetische Welle

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Elektromagnetische Welle – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"93ead373-54ab-4e90-8ce3-0dcf5c641cbc","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Elektromagnetische_Welle","wgTitle":"Elektromagnetische Welle","wgCurRevisionId":249790258,"wgRevisionId":249790258,"wgArticleId":1459,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":[ "*"],"wgCategories":["Welle","Elektromagnetische Strahlung"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Elektromagnetische_Welle","wgRelevantArticleId":1459,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":249790258,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":40000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled": true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q11386","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready", "ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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width:418px;"><div class="thumbinner"><div style="float:left; padding:1px; width:200px;"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Datei:EM-Wave_noGIF.svg" class="mw-file-description" title="Linear polarisierte elektromagnetische Welle im Vakuum. Die monochromatische Welle mit Wellenlänge '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"' breitet sich in x-Richtung aus, die elektrische Feldstärke '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"' (in blau) und die magnetische Flussdichte '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"' (in rot) stehen zueinander und zur Ausbreitungsrichtung im rechten Winkel und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem."><img alt="Linear polarisierte elektromagnetische Welle im Vakuum. Die monochromatische Welle mit Wellenlänge '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"' breitet sich in x-Richtung aus, die elektrische Feldstärke '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"' (in blau) und die magnetische Flussdichte '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"' (in rot) stehen zueinander und zur Ausbreitungsrichtung im rechten Winkel und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/EM-Wave_noGIF.svg/196px-EM-Wave_noGIF.svg.png" decoding="async" width="196" height="167" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/EM-Wave_noGIF.svg/294px-EM-Wave_noGIF.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/EM-Wave_noGIF.svg/392px-EM-Wave_noGIF.svg.png 2x" data-file-width="290" data-file-height="247" /></a></span></div></div><div style="float:left; padding:1px; width:204px;"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Datei:EM-Wave.gif" class="mw-file-description" title="Linear polarisierte elektromagnetische Welle im Vakuum. Die monochromatische Welle mit Wellenlänge '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"' breitet sich in x-Richtung aus, die elektrische Feldstärke '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"' (in blau) und die magnetische Flussdichte '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"' (in rot) stehen zueinander und zur Ausbreitungsrichtung im rechten Winkel und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem."><img alt="Linear polarisierte elektromagnetische Welle im Vakuum. Die monochromatische Welle mit Wellenlänge '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"' breitet sich in x-Richtung aus, die elektrische Feldstärke '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"' (in blau) und die magnetische Flussdichte '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"' (in rot) stehen zueinander und zur Ausbreitungsrichtung im rechten Winkel und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/EM-Wave.gif/200px-EM-Wave.gif" decoding="async" width="200" height="167" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/EM-Wave.gif/300px-EM-Wave.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/EM-Wave.gif/400px-EM-Wave.gif 2x" data-file-width="627" data-file-height="522" /></a></span></div></div><div style="clear:both;"></div> <div style="clear:both;"></div> <div class="thumbcaption" style="clear:both;text-align:left;">Linear polarisierte elektromagnetische Welle im Vakuum. Die monochromatische Welle mit <a href="/wiki/Wellenl%C3%A4nge" title="Wellenlänge">Wellenlänge</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }"></span> breitet sich in <i>x</i>-Richtung aus, die <a href="/wiki/Elektrische_Feldst%C3%A4rke" title="Elektrische Feldstärke">elektrische Feldstärke</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc18ae485a72f148e85ccbeff2b3dcdd4f5f3f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {E}}}"></span> (in blau) und die <a href="/wiki/Magnetische_Flussdichte" title="Magnetische Flussdichte">magnetische Flussdichte</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {B}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {B}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ae7d80cab55b606de217162280b2279142bbb4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {B}}}"></span> (in rot) stehen zueinander und zur Ausbreitungsrichtung im rechten Winkel und bilden in dieser Reihenfolge ein <a href="/wiki/Rechtssystem_(Mathematik)" title="Rechtssystem (Mathematik)">Rechtssystem</a>.</div></div></div> <p>Eine <b>elektromagnetische Welle</b> ist eine <a href="/wiki/Welle" title="Welle">Welle</a> aus gekoppelten <a href="/wiki/Elektrisches_Feld" title="Elektrisches Feld">elektrischen</a> und <a href="/wiki/Magnetismus" title="Magnetismus">magnetischen</a> Feldern, die sich im Raum ausbreiten. Den damit verbundenen Energietransport bezeichnet man als <b>elektromagnetische Strahlung</b>.<sup id="cite_ref-bfs_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-bfs-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Beispiele für elektromagnetische Wellen sind <a href="/wiki/Radiowelle" title="Radiowelle">Radiowellen</a>, <a href="/wiki/Mikrowellen" title="Mikrowellen">Mikrowellen</a>, <a href="/wiki/Infrarotstrahlung" title="Infrarotstrahlung">Infrarotstrahlung</a>, <a href="/wiki/Licht" title="Licht">Licht</a>, <a href="/wiki/R%C3%B6ntgenstrahlung" title="Röntgenstrahlung">Röntgenstrahlung</a> und <a href="/wiki/Gammastrahlung" title="Gammastrahlung">Gammastrahlung</a> (Aufzählung nach aufsteigender <a href="/wiki/Frequenz" title="Frequenz">Frequenz</a> über 20 Größenordnungen hinweg; ab Infrarot bevorzugt man das Wort „Strahlung“.<sup id="cite_ref-bfs_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-bfs-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>). Die Wechselwirkung elektromagnetischer Wellen mit <a href="/wiki/Materie_(Physik)" title="Materie (Physik)">Materie</a> hängt von ihrer Frequenz ab. </p><p>Anders als zum Beispiel <a href="/wiki/Schall" title="Schall">Schallwellen</a> benötigen elektromagnetische Wellen kein <a href="/wiki/Ausbreitungsmedium" title="Ausbreitungsmedium">Medium</a>, um sich fortzupflanzen. Sie können sich daher auch über weiteste Entfernungen im <a href="/wiki/Weltraum" title="Weltraum">Weltraum</a> ausbreiten. Sie bewegen sich im <a href="/wiki/Vakuum" title="Vakuum">Vakuum</a> unabhängig von ihrer Frequenz mit <a href="/wiki/Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a> fort. Elektromagnetische Wellen können sich aber auch in Materie ausbreiten (etwa einem Gas oder einer Flüssigkeit), ihre <a href="/wiki/Phasengeschwindigkeit" title="Phasengeschwindigkeit">Phasengeschwindigkeit</a> ist dann verringert und hängt vom <a href="/wiki/Brechungsindex" title="Brechungsindex">Brechungsindex</a> ab. </p><p>Freie elektromagnetische Wellen im leeren Raum sind <a href="/wiki/Transversalwelle" title="Transversalwelle">Transversalwellen</a> und zeigen daher das Phänomen der <a href="/wiki/Polarisation" title="Polarisation">Polarisation</a>. Ihre Vektoren des elektrischen und des magnetischen Feldes stehen senkrecht aufeinander und auf der Ausbreitungsrichtung. Bewegliche Ladungsträger beeinflussen die Form der Welle, wobei auch die Transversalität verletzt wird. </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Entstehung"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Entstehung</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Eigenschaften"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Eigenschaften</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#Vorhandene_elektromagnetische_Wellen_feststellen_und_messen"><span class="tocnumber">2.1</span> <span class="toctext">Vorhandene elektromagnetische Wellen feststellen und messen</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#Wellencharakter"><span class="tocnumber">2.2</span> <span class="toctext">Wellencharakter</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-5"><a href="#Teilchencharakter"><span class="tocnumber">2.3</span> <span class="toctext">Teilchencharakter</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Wellen_im_Medium"><span class="tocnumber">2.4</span> <span class="toctext">Wellen im Medium</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Spektrum"><span class="tocnumber">2.5</span> <span class="toctext">Spektrum</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#Biologische_und_chemische_Wirkung"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Biologische und chemische Wirkung</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#Ausbreitungsgeschwindigkeit"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Ausbreitungsgeschwindigkeit</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#Ausbreitungsgeschwindigkeit_als_Konsequenz_der_Maxwellschen_Gleichungen"><span class="tocnumber">4.1</span> <span class="toctext">Ausbreitungsgeschwindigkeit als Konsequenz der Maxwellschen Gleichungen</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-11"><a href="#Lichtgeschwindigkeit_und_spezielle_Relativitätstheorie"><span class="tocnumber">4.2</span> <span class="toctext">Lichtgeschwindigkeit und spezielle Relativitätstheorie</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-12"><a href="#Ausbreitungsgeschwindigkeit_in_einem_Medium"><span class="tocnumber">4.3</span> <span class="toctext">Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem Medium</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-13"><a href="#Transversal_modulierte_Welle_im_Vakuum"><span class="tocnumber">4.4</span> <span class="toctext">Transversal modulierte Welle im Vakuum</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-14"><a href="#Mathematische_Beschreibung"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Mathematische Beschreibung</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-15"><a href="#Herleitung_der_elektromagnetischen_Wellengleichung"><span class="tocnumber">5.1</span> <span class="toctext">Herleitung der elektromagnetischen Wellengleichung</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-16"><a href="#Ausbreitung_elektromagnetischer_Wellen"><span class="tocnumber">5.2</span> <span class="toctext">Ausbreitung elektromagnetischer Wellen</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-17"><a href="#Literatur"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Literatur</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-18"><a href="#Weblinks"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Weblinks</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-19"><a href="#Einzelnachweise"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Einzelnachweise</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Entstehung">Entstehung</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Entstehung" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Entstehung"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Elektromagnetische Wellen können durch unterschiedliche Ursachen entstehen: </p> <ul><li><a href="/wiki/Spontane_Emission" title="Spontane Emission">Spontane Emission</a>, wenn sich die Energie eines Atoms verringert. Dabei sind Energieänderungen der Atomhülle meist um Größenordnungen geringer als Energieänderungen des Atomkerns. Wird das Atom während der Zeitdauer der Energieabstrahlung aus der Hülle „in Ruhe gelassen“ (wie in verdünnten Gasen), entsteht ein scharfes <a href="/wiki/Linienspektrum" title="Linienspektrum">Linienspektrum</a>. Das ist bei hohem Druck, wie in <a href="/wiki/Quecksilberdampflampe#Höchstdrucklampen" title="Quecksilberdampflampe">Höchstdrucklampen</a> und beim <a href="/wiki/Xenonlicht" title="Xenonlicht">Xenonlicht</a> oder bei Atomen in Festkörpern nicht der Fall. Dort können wegen <a href="/wiki/Druckverbreiterung" title="Druckverbreiterung">Druckverbreiterung</a> keine wohldefinierten Spektrallinien mehr gemessen werden.</li> <li><a href="/wiki/Bremsstrahlung" title="Bremsstrahlung">Bremsstrahlung</a>: Elektromagnetische Wellen entstehen auch, wenn Ladungsträger beschleunigt werden. Das geschieht beispielsweise im Plasma der Sonne oder in der <a href="/wiki/R%C3%B6ntgenr%C3%B6hre" title="Röntgenröhre">Röntgenröhre</a>.</li> <li><a href="/wiki/Molek%C3%BClschwingung" title="Molekülschwingung">Molekülschwingungen</a> (periodische Bewegungen von benachbarten Atomen in einem Molekül)</li> <li><a href="/wiki/Larmorpr%C3%A4zession" title="Larmorpräzession">Larmorpräzession</a> eines Teilchens mit einem <a href="/wiki/Magnetisches_Dipolmoment" title="Magnetisches Dipolmoment">magnetischen Dipolmoment</a> um die Richtung eines von außen angelegten <a href="/wiki/Magnetismus" title="Magnetismus">Magnetfelds</a>.</li> <li>Eine Bewegung von elektrisch geladenen Teilchen mit hoher Geschwindigkeit durch ein <a href="/wiki/Ausbreitungsmedium" title="Ausbreitungsmedium">Medium</a>. Wenn die Geschwindigkeit der Teilchen größer ist als die <a href="/wiki/Phasengeschwindigkeit" title="Phasengeschwindigkeit">Phasengeschwindigkeit</a> elektromagnetischer Wellen in diesem Medium, entsteht <a href="/wiki/Tscherenkow-Strahlung" title="Tscherenkow-Strahlung">Tscherenkow-Strahlung</a>.</li> <li>Ein zeitlich veränderlicher elektrischer Strom gibt elektromagnetische Wellen ab. Im einfachsten Fall handelt es sich um einen hochfrequenten Wechselstrom in einem geraden elektrischen Leiter, dem <a href="/wiki/Hertzscher_Dipol" title="Hertzscher Dipol">Hertzschen Dipol</a>. In der <a href="/wiki/Funktechnik" title="Funktechnik">Funktechnik</a> nutzt man dies mit <a href="/wiki/Antennentechnik" class="mw-redirect" title="Antennentechnik">Sende-Antennen</a> zur drahtlosen Übertragung von Signalen.</li> <li>Bei der <a href="/wiki/Annihilation" title="Annihilation">Paarvernichtung</a> wird <a href="/wiki/Materie_(Physik)" title="Materie (Physik)">Materie</a> in elektromagnetische Strahlung verwandelt. Die Energie der Strahlung ergibt sich dabei aus der <a href="/wiki/Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a> und der <a href="/wiki/Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetischen Energie</a> der Teilchen.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Eigenschaften" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Eigenschaften"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vorhandene_elektromagnetische_Wellen_feststellen_und_messen">Vorhandene elektromagnetische Wellen feststellen und messen</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Vorhandene elektromagnetische Wellen feststellen und messen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Vorhandene elektromagnetische Wellen feststellen und messen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Empfänger für elektromagnetische Strahlung nennt man <a href="/wiki/Sensor" title="Sensor">Sensoren</a> oder <a href="/wiki/Strahlungsdetektor" title="Strahlungsdetektor">Detektoren</a>, bei Lebewesen <a href="/wiki/Photorezeptoren" class="mw-redirect" title="Photorezeptoren">Photorezeptoren</a>. Radio-, Fernseh- und Mobilfunkwellen können mittels <a href="/wiki/Antennentechnik" class="mw-redirect" title="Antennentechnik">Antennen</a> detektiert werden. </p><p>An einer elektromagnetischen Welle lässt sich (unter anderem) die <a href="/wiki/Wellengeschwindigkeit" title="Wellengeschwindigkeit">Wellengeschwindigkeit</a> messen, einerseits die im <a href="/wiki/Vakuum" title="Vakuum">Vakuum</a> universale Konstante <a href="/wiki/Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span>, sowie davon abweichende Werte für die <a href="/wiki/Phasengeschwindigkeit" title="Phasengeschwindigkeit">Phasengeschwindigkeit</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{\mathrm {med} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{\mathrm {med} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364c4ea2a2cee99c854772fd3644716c312762c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.252ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{\mathrm {med} }}"></span> in einem durchlässigen (durchsichtigen) Medium. Messbar ist ferner die Intensität, gleichbedeutend mit der <a href="/wiki/Leistung_(Physik)" title="Leistung (Physik)">Leistung</a>, bzw. mit der pro Zeit-Einheit durch einen bestimmten Querschnitt transportierten <a href="/wiki/Energie" title="Energie">Energie</a>. </p><p>Um die Wellenlänge und Frequenz zu messen, gibt es je nach Wertebereich unterschiedliche Methoden. Wellenlänge <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }"></span> und Frequenz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ν</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.232ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \nu }"></span> lassen sich durch </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu ={\frac {c_{\mathrm {med} }}{\lambda }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ν</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>λ</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu ={\frac {c_{\mathrm {med} }}{\lambda }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035703525521740e97c6120caadb8451f60fef39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.419ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \nu ={\frac {c_{\mathrm {med} }}{\lambda }}}"></span></dd></dl> <p>ineinander umrechnen. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wellencharakter">Wellencharakter</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Wellencharakter" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Wellencharakter"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Physikalisch betrachtet handelt es sich bei elektromagnetischen Wellen um sich ausbreitende Schwingungen des elektromagnetischen Feldes. Hierbei stehen <a href="/wiki/Elektrisches_Feld" title="Elektrisches Feld">elektrisches</a> und <a href="/wiki/Magnetismus" title="Magnetismus">magnetisches</a> <a href="/wiki/Feld_(Physik)" title="Feld (Physik)">Feld</a> bei linear polarisierten Wellen senkrecht aufeinander und haben ein festes Größenverhältnis, welches durch die <a href="/wiki/Wellenimpedanz" class="mw-redirect" title="Wellenimpedanz">Wellenimpedanz</a> gegeben ist. Insbesondere verschwinden elektrisches und magnetisches Feld an denselben Orten zur selben Zeit, so dass die häufig gelesene Darstellung, dass sich elektrische und magnetische Energie zyklisch ineinander umwandeln, im <a href="/wiki/Nahfeld_und_Fernfeld_(Antennen)" title="Nahfeld und Fernfeld (Antennen)">Fernfeld</a> <i>nicht</i> richtig ist. Sie stimmt allerdings zum Beispiel für das <a href="/wiki/Nahfeld_und_Fernfeld_(Antennen)" title="Nahfeld und Fernfeld (Antennen)">Nahfeld</a> eines elektromagnetische Wellen erzeugenden elektrischen <a href="/wiki/Dipol_(Physik)" title="Dipol (Physik)">Dipols</a> oder <a href="/wiki/Schwingkreis" title="Schwingkreis">Schwingkreises</a>. </p><p>Die Entstehung elektromagnetischer Wellen erklärt sich aus den <a href="/wiki/Maxwell-Gleichungen" title="Maxwell-Gleichungen">maxwellschen Gleichungen</a>: Die zeitliche Änderung des elektrischen Feldes ist stets mit einer räumlichen Änderung des magnetischen Feldes verknüpft. Ebenso ist wiederum die zeitliche Änderung des magnetischen Feldes mit einer räumlichen Änderung des elektrischen Feldes verknüpft. Für periodisch (insbesondere <a href="/wiki/Sinus_und_Kosinus" title="Sinus und Kosinus">sinusförmig</a>) wechselnde Felder ergeben diese Effekte zusammen eine fortschreitende Welle. </p><p><i>Beispiele für Experimente, in denen der Wellencharakter zum Tragen kommt:</i> </p> <ul><li>Erscheinungen wie <a href="/wiki/Koh%C3%A4renz_(Physik)" title="Kohärenz (Physik)">Kohärenz</a> und <a href="/wiki/Interferenz_(Physik)" title="Interferenz (Physik)">Interferenz</a> lassen sich nur mit dem Wellenmodell erklären, weil dafür die Phase der Welle gebraucht wird.</li> <li>Antennen für die von Rundfunksendern emittierte Strahlung sind auf die Größe der Wellenlänge abgestimmt. Beispielsweise ist eine effiziente <a href="/wiki/Dipolantenne" title="Dipolantenne">Dipolantenne</a> halb so lang wie die Wellenlänge. Eine Beschreibung der Strahlung als sehr große Anzahl an Photonen bietet keinen Vorteil, da es kein Messgerät gibt, um derart energiearme Photonen einzeln nachzuweisen.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teilchencharakter">Teilchencharakter</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Teilchencharakter" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Teilchencharakter"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Für bestimmte Eigenschaften elektromagnetischer Wellen (z. B. <a href="/wiki/Photoelektrischer_Effekt" title="Photoelektrischer Effekt">photoelektrischer Effekt</a>) genügt das oben beschriebene Wellenmodell nicht, um alle beobachtbaren Phänomene zu beschreiben, vielmehr treten die Teilcheneigenschaften einzelner <a href="/wiki/Photon" title="Photon">Photonen</a>, der <a href="/wiki/Quant" title="Quant">Quanten</a> des elektromagnetischen Feldes, in den Vordergrund. Der Wellencharakter (etwa <a href="/wiki/Interferenz_(Physik)" title="Interferenz (Physik)">Interferenz</a>) bleibt aber voll erhalten. Man spricht deshalb vom <a href="/wiki/Welle-Teilchen-Dualismus" title="Welle-Teilchen-Dualismus">Dualismus von Teilchen und Welle</a>. </p><p>Im Rahmen dieser Teilchenvorstellung des Lichtes werden einer Welle der Frequenz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ν</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.232ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \nu }"></span> Photonen der Energie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\cdot \nu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>⋅</mo> <mi>ν</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\cdot \nu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3406851f7e439174cab6ed3e9aea8847474d0b8b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.25ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h\cdot \nu }"></span> zugeordnet, wobei <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"></span> die <a href="/wiki/Planck-Konstante" title="Planck-Konstante">Planck-Konstante</a> ist. Umgekehrt haben auch Teilchen wie zum Beispiel <a href="/wiki/Elektron" title="Elektron">Elektronen</a> Welleneigenschaften (siehe auch <a href="/wiki/Elektrischer_Strom" title="Elektrischer Strom">Elektrischer Strom</a>). Beide Aspekte elektromagnetischer Wellen lassen sich im Rahmen der <a href="/wiki/Quantenelektrodynamik" title="Quantenelektrodynamik">Quantenelektrodynamik</a> erklären. </p><p><i>Beispiele für Wirkungen, in denen der Teilchencharakter zum Tragen kommt:</i> </p> <ul><li>Beim <a href="/wiki/Compton-Effekt" title="Compton-Effekt">Compton-Effekt</a> trifft eine elektromagnetische Welle aus einer bestimmten Richtung auf ein Elektron und fliegt dann in anderer Richtung und mit anderer Wellenlänge weiter. Bei jedem Ablenkwinkel entspricht die Änderung der Wellenlänge genau dem Energieverlust, den ein Photon der ankommenden Welle erleidet, wenn es wie ein elastischer Körper mit dem Elektron zusammengestoßen ist. Zur Beschreibung dieser Wechselwirkung muss also der Teilchencharakter des Lichts herangezogen werden. Jeder Versuch, die beobachtete Änderung der Wellenlänge mit dem Wellenmodell zu erklären, scheitert.</li> <li>Beim <a href="/wiki/Photoelektrischer_Effekt" title="Photoelektrischer Effekt">photoelektrischen Effekt</a> ist die kinetische Energie der herausgeschlagenen Elektronen nicht von der Amplitude der Strahlung abhängig, sondern wächst linear mit der Frequenz. Dies ist nur über den Teilchencharakter erklärbar.</li> <li>Photonen mit genügender Energie (etwa von einigen <a href="/wiki/Elektronvolt" class="mw-redirect" title="Elektronvolt">Elektronvolt</a> aufwärts) wirken auf Materie <a href="/wiki/Ionisation" title="Ionisation">ionisierend</a>, wenn ihre Energie die <a href="/wiki/Bindungsenergie#Atomphysik" title="Bindungsenergie">Bindungsenergie</a> der Elektronen überschreitet (<a href="/wiki/Fotochemie" class="mw-redirect" title="Fotochemie">Fotochemie</a>). Sie können chemische (<i>photochemische</i>) Wirkungen auslösen, was auch als <a href="/wiki/Aktinit%C3%A4t" title="Aktinität">Aktinität</a> bezeichnet wird.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wellen_im_Medium">Wellen im Medium</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Wellen im Medium" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Wellen im Medium"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die <a href="/wiki/Phasengeschwindigkeit" title="Phasengeschwindigkeit">Phasengeschwindigkeit</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{\text{med}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>med</mtext> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{\text{med}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84448ef8042f26f92e5ba8cb846008bfe3365d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.252ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{\text{med}}}"></span> mit der sich eine monochromatische Welle in einem Medium bewegt, ist typischerweise geringer als im Vakuum. Sie hängt in linearer Näherung von der <a href="/wiki/Permittivit%C3%A4t" title="Permittivität">Permittivität</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }"></span> und der <a href="/wiki/Permeabilit%C3%A4t_(Magnetismus)" class="mw-redirect" title="Permeabilität (Magnetismus)">Permeabilität</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"></span> des Stoffes ab, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{\text{med}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}\,,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>med</mtext> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mi>μ</mi> <mi>ε</mi> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{\text{med}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}\,,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104137d08f7761403ac97467e5e5093defd9cbcf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:13.642ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle c_{\text{med}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}\,,}"></span></dd></dl> <p>und ist damit abhängig von der <a href="/wiki/Frequenz" title="Frequenz">Frequenz</a> der Welle (siehe <a href="/wiki/Dispersion_(Physik)" title="Dispersion (Physik)">Dispersion</a>) und bei <a href="/wiki/Doppelbrechung" title="Doppelbrechung">doppelbrechenden</a> Medien auch von ihrer <a href="/wiki/Polarisation" title="Polarisation">Polarisation</a> und Ausbreitungsrichtung. Die Beeinflussung der optischen Eigenschaften eines Mediums durch statische Felder führt zur <a href="/wiki/Elektrooptik" title="Elektrooptik">Elektrooptik</a> bzw. <a href="/wiki/Magnetooptik" title="Magnetooptik">Magnetooptik</a>. </p><p>Eine direkte Krafteinwirkung (z. B. Richtungsänderung) auf eine sich ausbreitende elektromagnetische Welle kann nur durch das Ausbreitungsmedium erfolgen (siehe <a href="/wiki/Brechung_(Physik)" title="Brechung (Physik)">Brechung</a>, <a href="/wiki/Reflexion_(Physik)" title="Reflexion (Physik)">Reflexion</a>, <a href="/wiki/Streuung_(Physik)" title="Streuung (Physik)">Streuung</a> und <a href="/wiki/Absorption_(Physik)" title="Absorption (Physik)">Absorption</a>) bzw. vermittelt werden (siehe <a href="/wiki/Nichtlineare_Optik" title="Nichtlineare Optik">Nichtlineare Optik</a> und <a href="/wiki/Akustooptischer_Modulator" title="Akustooptischer Modulator">Akustooptischer Modulator</a>). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Spektrum">Spektrum</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Spektrum" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Spektrum"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Elektromagnetische Wellen sind im <a href="/wiki/Elektromagnetisches_Spektrum" title="Elektromagnetisches Spektrum">elektromagnetischen Spektrum</a> nach der Wellenlänge eingeteilt. Eine Liste von Frequenzen und Beispiele elektromagnetischer Wellen gibt es im entsprechenden Artikel. </p><p>Das sichtbare Licht stellt nur einen geringen Teil des gesamten Spektrums dar und ist, mit Ausnahme der Infrarotstrahlung (Wärme), der einzige Bereich, der von Menschen ohne technische Hilfsmittel wahrgenommen werden kann. Bei niedrigeren Frequenzen ist die Energie der <a href="/wiki/Photon" title="Photon">Photonen</a> zu gering, um chemische Prozesse auslösen zu können. Bei höheren Frequenzen hingegen beginnt der Bereich der <a href="/wiki/Ionisierende_Strahlung" title="Ionisierende Strahlung">ionisierenden Strahlung</a> (<a href="/wiki/Radioaktivit%C3%A4t" title="Radioaktivität">Radioaktivität</a>), bei der ein einziges Photon Moleküle zerstören kann. Dieser Effekt tritt bereits bei Ultraviolett-Strahlung auf und ist für die Bildung von Hautkrebs bei übermäßiger Sonnenexposition verantwortlich. </p><p>Beim Eintritt in ein optisch dichteres oder dünneres Medium ändert sich die Wellenlänge, während die Frequenz unverändert bleibt. Daher bestimmt nicht die Wellenlänge, sondern die Frequenz die <a href="/wiki/Farbe" title="Farbe">Farbe</a> von Licht und generell die Zugehörigkeit zu einem Spektralbereich. In Spektren wird aus historischen Gründen aber meist die Wellenlänge als charakteristische Eigenschaft angegeben. Gemeint ist dabei die Wellenlänge im Vakuum; die Wellenlänge von sichtbarem Licht ist in Luft um ca. 0,03 % kürzer. Die Farben von <a href="/wiki/Monochromatisches_Licht" title="Monochromatisches Licht">monochromatischem</a>, also Licht mit nur einer einzigen Wellenlänge, nennt man <a href="/wiki/Spektralfarbe" title="Spektralfarbe">Spektralfarben</a>. </p> <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Datei:Electromagnetic_spectrum_-de_c.svg" class="mw-file-description" title="Übersicht über das elektromagnetische Spektrum, sichtbarer Anteil detailliert"><img alt="Übersicht über das elektromagnetische Spektrum, sichtbarer Anteil detailliert" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Electromagnetic_spectrum_-de_c.svg/800px-Electromagnetic_spectrum_-de_c.svg.png" decoding="async" width="800" height="245" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Electromagnetic_spectrum_-de_c.svg/1200px-Electromagnetic_spectrum_-de_c.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Electromagnetic_spectrum_-de_c.svg/1600px-Electromagnetic_spectrum_-de_c.svg.png 2x" data-file-width="1176" data-file-height="360" /></a><figcaption>Übersicht über das elektromagnetische Spektrum, sichtbarer Anteil detailliert</figcaption></figure> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Biologische_und_chemische_Wirkung">Biologische und chemische Wirkung</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Biologische und chemische Wirkung" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Biologische und chemische Wirkung"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Cone-absorbance-de.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Cone-absorbance-de.svg/220px-Cone-absorbance-de.svg.png" decoding="async" width="220" height="138" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Cone-absorbance-de.svg/330px-Cone-absorbance-de.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Cone-absorbance-de.svg/440px-Cone-absorbance-de.svg.png 2x" data-file-width="550" data-file-height="346" /></a><figcaption>Empfindlichkeitsverteilung der drei <a href="/wiki/Zapfen_(Auge)" title="Zapfen (Auge)">Zapfenarten</a> beim Menschen: Schwarz gezeichnet ist die Empfindlichkeit der <a href="/wiki/St%C3%A4bchen_(Auge)" title="Stäbchen (Auge)">Stäbchen</a>. Die Kurven sind jeweils so skaliert, dass ihr Maximum bei 100 % liegt.</figcaption></figure> <div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;"><span class="sieheauch-text">Siehe auch</span>: <a href="/wiki/Elektromagnetische_Umweltvertr%C3%A4glichkeit" title="Elektromagnetische Umweltverträglichkeit">Elektromagnetische Umweltverträglichkeit</a></div> <p>Bei der Wechselwirkung von elektromagnetischer Strahlung mit biologischer Materie muss zwischen <a href="/wiki/Ionisierende_Strahlung" title="Ionisierende Strahlung">ionisierender Strahlung</a> (größer 5 <a href="/wiki/Elektronenvolt" title="Elektronenvolt">eV</a>) und nicht-ionisierender Strahlung unterschieden werden. Bei der ionisierenden Strahlung reicht die Energie aus, um Atome oder Moleküle zu ionisieren, d. h. Elektronen herauszuschlagen. Dadurch werden freie Radikale erzeugt, die biologisch schädliche Reaktionen hervorrufen. Erreicht oder übersteigt die Energie von Photonen die Bindungsenergie eines Moleküls, kann jedes Photon ein Molekül zerstören, sodass beispielsweise eine beschleunigte Alterung der Haut oder <a href="/wiki/Hautkrebs" title="Hautkrebs">Hautkrebs</a> auftreten kann. Chemische <a href="/wiki/Bindungsenergie_(Chemie)" title="Bindungsenergie (Chemie)">Bindungsenergien</a> stabiler Moleküle liegen oberhalb von etwa 3 eV pro Bindung. Soll es zu Moleküländerungen kommen, müssen Photonen mindestens diese Energie besitzen, was violettem Licht oder höherfrequenter Strahlung entspricht. </p><p>Bei der Wechselwirkung von nicht-ionisierender Strahlung unterscheidet man zwischen thermischen Effekten<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (Strahlung wirkt erwärmend, weil sie durch das Gewebe <a href="/wiki/Absorption_(Physik)#Elektromagnetische_Wellen" title="Absorption (Physik)">absorbiert</a> wird), direkten Feldeffekten (induzierte Dipolmomente, Änderung von Membran-Potentialen), Quanten-Effekten<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> und Resonanzeffekten (Synchronisation mit Schwingung der Zellstruktur).<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Ein Photon mit einer Wellenlänge von 700 nm oder kürzer kann im Molekül <a href="/wiki/Rhodopsin" title="Rhodopsin">Rhodopsin</a> die Änderung der <a href="/wiki/Konformation" title="Konformation">Konformation</a> hervorrufen. Im <a href="/wiki/Auge" title="Auge">Auge</a> wird diese Änderung aufgenommen und als Signal vom Nervensystem weiter verarbeitet. Die Empfindlichkeit für eine bestimmte Wellenlänge ändert sich bei Modifikationen des Rhodopsins. Dies ist die biochemische Grundlage des <a href="/wiki/Farbsinn" class="mw-redirect" title="Farbsinn">Farbsinns</a>. Photonen von Licht mit einer Wellenlänge über 0,7 μm haben eine Energie unter 1,7 eV. Diese Wellen können keine chemischen Reaktionen an Molekülen bewirken, die bei Zimmertemperatur stabil sind. Aus diesem Grund können Tieraugen normalerweise keine Infrarot- oder Wärmestrahlung sehen. 2013 entdeckten Forscher jedoch, dass der Buntbarsch <i><a href="/wiki/Pelvicachromis_taeniatus" title="Pelvicachromis taeniatus">Pelvicachromis taeniatus</a></i> im Nah-Infrarotbereich sehen kann.<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Es gibt außerdem andere Sinnesorgane für Infrarotstrahlung, wie das <a href="/wiki/Grubenorgan" class="mw-redirect" title="Grubenorgan">Grubenorgan</a> bei <a href="/wiki/Schlangen" title="Schlangen">Schlangen</a>. </p><p>Photonen können Schwingungen von Molekülen oder im Kristallgitter eines <a href="/wiki/Festk%C3%B6rper" title="Festkörper">Festkörpers</a> anregen. Diese Schwingungen machen sich im Material als <a href="/wiki/Thermische_Energie" title="Thermische Energie">thermische Energie</a> bemerkbar. Zusätzliche durch elektromagnetische Wellen angeregte Schwingungen erhöhen die Temperatur des Materials. Anders als bei der Wirkung von einzelnen Photonen auf chemischen Bindungen, kommt es hierbei nicht auf die Energie der einzelnen Photonen an, sondern auf die Summe der Energie aller Photonen, also auf die Intensität der Strahlung. Durch <a href="/wiki/Denaturierung_(Biochemie)#Hitzedenaturierung" title="Denaturierung (Biochemie)">Hitzedenaturierung</a> kann langwellige elektromagnetische Strahlung auf indirekte Weise biologische Stoffe ändern. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ausbreitungsgeschwindigkeit">Ausbreitungsgeschwindigkeit</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Ausbreitungsgeschwindigkeit" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Ausbreitungsgeschwindigkeit"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ausbreitungsgeschwindigkeit_als_Konsequenz_der_Maxwellschen_Gleichungen">Ausbreitungsgeschwindigkeit als Konsequenz der Maxwellschen Gleichungen</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Ausbreitungsgeschwindigkeit als Konsequenz der Maxwellschen Gleichungen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Ausbreitungsgeschwindigkeit als Konsequenz der Maxwellschen Gleichungen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Wie schnell sich Licht ungefähr <a href="/wiki/Lichtgeschwindigkeit#Messung_der_Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">ausbreitet</a>, war seit 1676 bekannt. Allerdings fehlte bis 1865 jeder Zusammenhang zu anderen physikalischen Erscheinungen. Diesen konnte <a href="/wiki/James_Clerk_Maxwell" title="James Clerk Maxwell">James Clerk Maxwell</a> in den Jahren 1861 bis 1862 durch die von ihm gefundenen <a href="/wiki/Maxwell-Gleichungen" title="Maxwell-Gleichungen">Maxwell-Gleichungen</a> herstellen<sup id="cite_ref-guarnieri_7-1_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-guarnieri_7-1-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, welche die Existenz elektromagnetischer Wellen vorhersagen. Deren Geschwindigkeit stimmte mit der damals bekannten Lichtgeschwindigkeit so gut überein, dass sofort ein Zusammenhang hergestellt wurde. Diese Wellen konnte <a href="/wiki/Heinrich_Hertz" title="Heinrich Hertz">Heinrich Hertz</a> in den 1880er-Jahren experimentell nachweisen. </p><p>In der klassischen Mechanik werden Wellen (in Ausbreitungsrichtung <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>) durch die <a href="/wiki/Wellengleichung" title="Wellengleichung">Wellengleichung</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {f}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\vec {f}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {f}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\vec {f}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e97510a0733d13b33a0b29aeb2bd4cb8ec2eb7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:17.075ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {f}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\vec {f}}}"></span></dd></dl> <p>beschrieben. Hierbei bezeichnet <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c36da6dad4ad8949b0f84bbaf0b5cb6d811fe5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.665ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}}"></span> die <a href="/wiki/Auslenkung" title="Auslenkung">Auslenkung</a> der Welle und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span> ihre <a href="/wiki/Phasengeschwindigkeit" title="Phasengeschwindigkeit">Phasengeschwindigkeit</a>, die hier als Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle interpretiert werden kann. </p><p>Aus den Maxwellgleichungen lässt sich im Vakuum für die <a href="/wiki/Elektrische_Feldst%C3%A4rke" title="Elektrische Feldstärke">elektrische Feldstärke</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc18ae485a72f148e85ccbeff2b3dcdd4f5f3f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {E}}}"></span> die Beziehung: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {E}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\vec {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {E}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\vec {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87d81fedcd556c8aa985be77793b019a6a71042" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.666ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {E}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\vec {E}}}"></span></dd></dl> <p>herleiten (in <a href="/wiki/Internationales_Einheitensystem" title="Internationales Einheitensystem">SI-Einheiten</a>; siehe Abschnitt <a href="#Mathematische_Beschreibung">Mathematische Beschreibung</a>). Die elektrische Feldstärke verhält sich in dieser Beziehung also wie eine Welle; die Größe </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3720d3b0fb9800ba7ec863ab79267629463b8da4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:11.471ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}"></span></dd></dl> <p>tritt als Ausbreitungsgeschwindigkeit auf. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lichtgeschwindigkeit_und_spezielle_Relativitätstheorie"><span id="Lichtgeschwindigkeit_und_spezielle_Relativit.C3.A4tstheorie"></span>Lichtgeschwindigkeit und spezielle Relativitätstheorie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=11" title="Abschnitt bearbeiten: Lichtgeschwindigkeit und spezielle Relativitätstheorie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=11" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Lichtgeschwindigkeit und spezielle Relativitätstheorie"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="/wiki/Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a> und <a href="/wiki/Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Spezielle Relativitätstheorie">Spezielle Relativitätstheorie</a></i></div> <p>Grundlage der klassischen Mechanik ist das galileische <a href="/wiki/Relativit%C3%A4tsprinzip" title="Relativitätsprinzip">Relativitätsprinzip</a>, das besagt, dass die Naturgesetze in allen <a href="/wiki/Inertialsystem" title="Inertialsystem">Inertialsystemen</a> dieselbe Form haben (<i>Galilei-Invarianz</i>). Ein sich zu einem Inertialsystem mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegendes Bezugssystem ist ebenfalls ein Inertialsystem. Insbesondere gilt, dass bei einem Wechsel des Bezugssystems die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Systemen bei jeder beobachteten Bewegung subtrahiert werden muss. </p><p>Nach den Maxwellschen Gleichungen breitet sich eine elektromagnetische Welle mit einer vom Bewegungszustand der Lichtquelle unabhängigen Geschwindigkeit aus. Bewegt sich ein Beobachter relativ zur Lichtquelle, so müsste er, wenn man die Galilei-Transformation auf die Maxwell-Gleichungen anwendet, eine veränderte Lichtgeschwindigkeit messen. Dies steht einerseits im Widerspruch zum Relativitätsprinzip, demzufolge in allen Inertialsystemen dieselben physikalischen Gesetze gelten sollten. Andererseits ließ sich eine solche Abhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom Bezugssystem experimentell nicht nachweisen<sup id="cite_ref-ZEDbK_7-0" class="reference"><a href="#cite_note-ZEDbK-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (siehe <a href="/wiki/Michelson-Morley-Experiment" title="Michelson-Morley-Experiment">Michelson-Morley-Experiment</a>). </p><p>Albert Einstein löste diesen scheinbaren Widerspruch mit der <a href="/wiki/Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Spezielle Relativitätstheorie">speziellen Relativitätstheorie</a> auf, die er im Jahr 1905 veröffentlichte. Er gab die Vorstellung eines absoluten, für alle Beobachter gleichen Bezugsrahmens auf, wie er in Form des so genannten <a href="/wiki/Licht%C3%A4ther" class="mw-redirect" title="Lichtäther">Lichtäthers</a> in der Physik des 19. Jahrhunderts angenommen wurde. An dessen Stelle setzte er zwei Postulate: Das <i>Relativitätsprinzip</i> und die <i>Konstanz der Lichtgeschwindigkeit</i>, also die Unabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom Bewegungszustand der Lichtquelle.<sup id="cite_ref-ZEDbK_7-1" class="reference"><a href="#cite_note-ZEDbK-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Aus beiden Postulaten folgte unmittelbar, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen denselben Wert hat, allerdings um den Preis, dass Längen und Zeiten nun bezugssystemabhängig sind. An Stelle der Galilei-Transformation tritt die sogenannte <i>Lorentz-Transformation</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ausbreitungsgeschwindigkeit_in_einem_Medium">Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem Medium</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=12" title="Abschnitt bearbeiten: Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem Medium" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=12" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem Medium"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>In einem Medium werden die beiden Feldkonstanten durch das Material geändert, was durch die Faktoren <i>relative <a href="/wiki/Permittivit%C3%A4t" title="Permittivität">Permittivität</a></i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c4782dbcea8ba1dc121b9aad09d006ea90fb49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.96ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }}"></span> und <i>relative <a href="/wiki/Magnetische_Permeabilit%C3%A4t" title="Magnetische Permeabilität">Permeabilität</a></i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6a7458faaa5ff5912633d5305ae3c086041a21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.279ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }}"></span> berücksichtigt wird. Beide hängen von der Frequenz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }"></span> ab. Die Lichtgeschwindigkeit im Medium ist dementsprechend </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{\text{medium}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon (\omega )\,\mu (\omega )}}}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\,\varepsilon _{\mathrm {r} }(\omega )\,\mu _{0}\,\mu _{\mathrm {r} }(\omega )}}}={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon _{\mathrm {r} }(\omega )\,\mu _{\mathrm {r} }(\omega )}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>medium</mtext> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mi>ε</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <msqrt> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{\text{medium}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon (\omega )\,\mu (\omega )}}}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\,\varepsilon _{\mathrm {r} }(\omega )\,\mu _{0}\,\mu _{\mathrm {r} }(\omega )}}}={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon _{\mathrm {r} }(\omega )\,\mu _{\mathrm {r} }(\omega )}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be9110e814d7b94438bf84cc2954f566e6ba53a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:66.045ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle c_{\text{medium}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon (\omega )\,\mu (\omega )}}}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\,\varepsilon _{\mathrm {r} }(\omega )\,\mu _{0}\,\mu _{\mathrm {r} }(\omega )}}}={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon _{\mathrm {r} }(\omega )\,\mu _{\mathrm {r} }(\omega )}}}}"></span>.</dd></dl> <p><span id="maxwellsche_Relation"></span>Das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit in Vakuum zu der in einem Medium ist der (<a href="/wiki/Dispersion_(Physik)" title="Dispersion (Physik)">frequenzabhängige</a>) <a href="/wiki/Brechungsindex" title="Brechungsindex">Brechungsindex</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> des Mediums. Der Zusammenhang des Brechungsindex mit der relativen Permittivität und der relativen Permeabilität heißt auch <b>maxwellsche Relation:</b> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n(\omega )={\frac {c}{c_{\text{medium}}(\omega )}}={\sqrt {\varepsilon _{\mathrm {r} }(\omega )\,\mu _{\mathrm {r} }(\omega )}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>medium</mtext> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n(\omega )={\frac {c}{c_{\text{medium}}(\omega )}}={\sqrt {\varepsilon _{\mathrm {r} }(\omega )\,\mu _{\mathrm {r} }(\omega )}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab85dcc20827966ca72b37f5129fda48164a476" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:35.39ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle n(\omega )={\frac {c}{c_{\text{medium}}(\omega )}}={\sqrt {\varepsilon _{\mathrm {r} }(\omega )\,\mu _{\mathrm {r} }(\omega )}}}"></span></dd></dl> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Wave_group.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bd/Wave_group.gif/388px-Wave_group.gif" decoding="async" width="388" height="30" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/Wave_group.gif 1.5x" data-file-width="465" data-file-height="36" /></a><figcaption>Der rote Punkt bewegt sich mit der (mittleren) Phasengeschwindigkeit, die grünen Punkte mit der Gruppengeschwindigkeit</figcaption></figure> <p>Wegen der im Allgemeinen gegebenen Abhängigkeit von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c4782dbcea8ba1dc121b9aad09d006ea90fb49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.96ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }}"></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6a7458faaa5ff5912633d5305ae3c086041a21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.279ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }}"></span> von der Frequenz der Welle ist zu beachten, dass <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{\mathrm {medium} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">u</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{\mathrm {medium} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c036c79875c4bfa9702f6eea34b73be60012c65c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.992ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{\mathrm {medium} }}"></span> die <a href="/wiki/Phasengeschwindigkeit" title="Phasengeschwindigkeit">Phasengeschwindigkeit</a> im Medium bezeichnet, mit der Punkte gleicher Phase (z. B. Minima oder Maxima) einer ebenen Welle mit konstanter Amplitude fortschreiten. Die Hüllkurve eines räumlich begrenzten <a href="/wiki/Wellenpaket" title="Wellenpaket">Wellenpakets</a> pflanzt sich hingegen mit der <a href="/wiki/Gruppengeschwindigkeit" title="Gruppengeschwindigkeit">Gruppengeschwindigkeit</a> fort. In Medien weichen diese beiden Geschwindigkeiten mehr oder weniger voneinander ab. Insbesondere bedeutet ein Brechungsindex <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n<1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo><</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n<1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffd3f7a2c3b20dc8e615dfd85f820287a8fc06b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n<1}"></span> lediglich, dass sich die Wellenberge schneller als <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span> ausbreiten. Wellenpakete, mit denen Information und Energie transportiert werden, sind weiterhin langsamer als <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span>.<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Transversal_modulierte_Welle_im_Vakuum">Transversal modulierte Welle im Vakuum</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=13" title="Abschnitt bearbeiten: Transversal modulierte Welle im Vakuum" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=13" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Transversal modulierte Welle im Vakuum"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Nach den Maxwell-Gleichungen ergibt sich die von der Wellenlänge unabhängige Lichtgeschwindigkeit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=1/{\sqrt {\varepsilon _{0}\,\mu _{0}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=1/{\sqrt {\varepsilon _{0}\,\mu _{0}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adbf3dd9e3877db42c9da92189dd2f7ff8c77c39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.347ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle c=1/{\sqrt {\varepsilon _{0}\,\mu _{0}}}}"></span> u. a. für den Fall einer im Vakuum unendlich ausgedehnten <a href="/wiki/Ebene_Welle" title="Ebene Welle">ebenen Welle</a> mit einer wohldefinierten Fortpflanzungsrichtung. Demgegenüber hat jede praktisch realisierbare Lichtwelle immer ein gewisses Strahlprofil. Wird dies als Überlagerung von ebenen Wellen mit leicht veränderten Fortpflanzungsrichtungen dargestellt, haben die einzelnen ebenen Wellen zwar alle die Vakuumlichtgeschwindigkeit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span>, jedoch gilt dies nicht notwendig für die durch die Überlagerung entstehende Welle. Es resultiert eine leicht verlangsamte Welle. Das konnte an speziell geformten <a href="/wiki/Bessel-Strahl" title="Bessel-Strahl">Bessel-Strahlen</a> von Mikrowellen und sichtbarem Licht auch nachgewiesen werden, sogar für die Geschwindigkeit einzelner Photonen.<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Bei allen praktisch realisierbaren Lichtwellen, auch bei scharf gebündelten Laserstrahlen, ist dieser Effekt aber vernachlässigbar klein. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathematische_Beschreibung">Mathematische Beschreibung</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=14" title="Abschnitt bearbeiten: Mathematische Beschreibung" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=14" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Mathematische Beschreibung"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die elektromagnetische Wellengleichung ergibt sich direkt aus den Maxwellgleichungen sowie der <a href="/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes" title="Divergenz eines Vektorfeldes">Divergenzfreiheit</a> elektromagnetischer Wellen und lautet im Vakuum </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right){\vec {E}}({\vec {r}},t)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right){\vec {E}}({\vec {r}},t)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175b060051faff2a2c12505926e8580d82673750" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.527ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right){\vec {E}}({\vec {r}},t)=0}"></span>.</dd></dl> <p>Betrachtet man die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in <a href="/wiki/Polarisation_(Elektrizit%C3%A4t)" class="mw-redirect" title="Polarisation (Elektrizität)">polarisierbaren</a> Medien, so muss zusätzlich die Polarisation <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {P}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {P}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765f1dd50e122eb3e565c9bfee85de8f74d47f27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.778ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {P}}}"></span> betrachtet werden: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right){\vec {E}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {P}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right){\vec {E}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {P}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e74c91124a5e39ee8ca33f9dd88e933dfb119c25" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:37.225ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right){\vec {E}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {P}}}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Herleitung_der_elektromagnetischen_Wellengleichung">Herleitung der elektromagnetischen Wellengleichung</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=15" title="Abschnitt bearbeiten: Herleitung der elektromagnetischen Wellengleichung" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=15" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Herleitung der elektromagnetischen Wellengleichung"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die zur Wellenausbreitung gehörigen mathematischen Beziehungen lassen sich auf Basis der maxwellschen Gleichungen nachvollziehen. Insbesondere lässt sich dieselbe Form der Wellengleichung herleiten, mit der sich andere Arten von Wellen, beispielsweise Schallwellen, ausbreiten. </p><p>Im Vakuum, also im ladungsfreien Raum unter Ausschluss von <a href="/wiki/Dielektrikum" title="Dielektrikum">dielektrischen</a>, <a href="/wiki/Diamagnetismus" title="Diamagnetismus">dia-</a> und <a href="/wiki/Paramagnetismus" title="Paramagnetismus">paramagnetischen</a> Effekten sind die <a href="/wiki/Materialgleichungen_der_Elektrodynamik" title="Materialgleichungen der Elektrodynamik">Materialgleichungen der Elektrodynamik</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c1e902b570b2a0b94ed87de137cb9997906959" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.936ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}}"></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {H}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {H}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae044766f754bd29b87554f9fca532fcec5ed880" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.382ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {H}}}"></span>. Außerdem sind die <a href="/wiki/Elektrische_Stromdichte" title="Elektrische Stromdichte">Stromdichte</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\jmath }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ȷ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\jmath }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717dbba96b60cf0173a6e5162c619c62b5e4c526" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.094ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\jmath }}}"></span> und <a href="/wiki/Ladungsdichte" title="Ladungsdichte">Ladungsdichte</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varrho }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϱ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varrho }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef8582f3ad9ff59a6a98996548dc156de87d7c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.202ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varrho }"></span> null. </p><p>Ausgehend von der dritten maxwellschen Gleichung </p> <table class="centered" style="clear:both; margin-left: 1.5em; border-collapse:collapse;"> <tbody><tr style="height:3pt"> <td rowspan="2" style="white-space: nowrap;"><div style="margin:0;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24758ce37a7e98fab73dfe6cef421053ad5afff9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:15.377ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}"></span> </div> </td> <td><div style="font-size:1pt; margin:0;"> </div> </td> <td rowspan="2" style="white-space: nowrap; text-align:right;"><div style="margin:0;"> <span style="">(1)</span></div> </td></tr> <tr style="height:2pt"> <td style="border-top:5px none; width:98%;"><div style="font-size:1pt; margin:0;"> </div> </td></tr></tbody></table> <p>wendet man auf beide Seiten den <a href="/wiki/Rotation_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Rotation (Mathematik)">Rotationsoperator</a> an. Dadurch erhält man: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-\nabla \times \left({\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)=-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times {\vec {H}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-\nabla \times \left({\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)=-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times {\vec {H}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab89804507871cf0eadae5bbc177c78a19dd7673" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:50.779ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-\nabla \times \left({\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)=-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times {\vec {H}}\right)}"></span>.</dd></dl> <p>Setzt man darin die vierte maxwellsche Gleichung (mit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\jmath }}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ȷ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\jmath }}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153e9266277667e5cd4c0047fb4add23b8ebf3fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.355ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\jmath }}=0}"></span>) ein, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ac176830cb3dda863f53e51872ad75d63eef22" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.017ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}"></span>,</dd></dl> <p>ergibt sich </p> <table class="centered" style="clear:both; margin-left: 1.5em; border-collapse:collapse;"> <tbody><tr style="height:3pt"> <td rowspan="2" style="white-space: nowrap;"><div style="margin:0;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d058d378e3e60347a4ee82866d652661f8e8a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:46.15ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}"></span>. </div> </td> <td><div style="font-size:1pt; margin:0;"> </div> </td> <td rowspan="2" style="white-space: nowrap; text-align:right;"><div style="margin:0;"> <span style="">(2)</span></div> </td></tr> <tr style="height:2pt"> <td style="border-top:0px none; width:98%;"><div style="font-size:1pt; margin:0;"> </div> </td></tr></tbody></table> <p>Dazu gilt ganz allgemein die vektoranalytische Beziehung </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\Delta {\vec {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\Delta {\vec {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de65a1418cf7b2c0b16383d18729d40abeb69b67" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.826ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\Delta {\vec {A}}}"></span>.</dd></dl> <p>Dabei ist mit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta {\vec {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta {\vec {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a1e137b1ba8b2c7a65d1905dc2fad33600372a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.679ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \Delta {\vec {A}}}"></span> die Anwendung des <a href="/wiki/Vektorieller_Laplace-Operator" class="mw-redirect" title="Vektorieller Laplace-Operator">vektoriellen Laplace-Operators</a> auf das Vektorfeld <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391292ffadc65b0cde3e96f23afcdb811619dd95" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {A}}}"></span> gemeint. In kartesischen Koordinaten wirkt der vektorielle Laplace-Operator wie der <a href="/wiki/Laplace-Operator" title="Laplace-Operator">skalare Laplace-Operator</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0291090e416c40686c8945cf0691c123f66d8c85" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.046ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}"></span> auf jede Komponente von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391292ffadc65b0cde3e96f23afcdb811619dd95" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {A}}}"></span>. </p><p>Wendet man diese Beziehung auf <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc18ae485a72f148e85ccbeff2b3dcdd4f5f3f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {E}}}"></span> an und berücksichtigt, dass der ladungsfreie Raum betrachtet wird, in dem nach der ersten maxwellschen Gleichung die Divergenz von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {D}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {D}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4bab6670be71833b1e405dab053af4f29dda49d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {D}}}"></span> null beträgt, so folgt: </p> <table class="centered" style="clear:both; margin-left: 1.5em; border-collapse:collapse;"> <tbody><tr style="height:3pt"> <td rowspan="2" style="white-space: nowrap;"><div style="margin:0;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {E}})-\Delta {\vec {E}}=-\Delta {\vec {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {E}})-\Delta {\vec {E}}=-\Delta {\vec {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93f2f308ba68cf9f468f7096639087e6bd65bc91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.542ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {E}})-\Delta {\vec {E}}=-\Delta {\vec {E}}}"></span>. </div> </td> <td><div style="font-size:1pt; margin:0;"> </div> </td> <td rowspan="2" style="white-space: nowrap; text-align:right;"><div style="margin:0;"> <span style="">(3)</span></div> </td></tr> <tr style="height:2pt"> <td style="border-top:0px none; width:98%;"><div style="font-size:1pt; margin:0;"> </div> </td></tr></tbody></table> <p>Setzt man nun (2) und (3) zusammen, ergibt sich folgende <a href="/wiki/Wellengleichung" title="Wellengleichung">Wellengleichung</a>: </p> <table class="centered" style="clear:both; margin-left: 1.5em; border-collapse:collapse;"> <tbody><tr style="height:3pt"> <td rowspan="2" style="white-space: nowrap;"><div style="margin:0;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta {\vec {E}}=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta {\vec {E}}=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5209fa808d43f8e945f27c2641a76701e825669" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:16.413ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \Delta {\vec {E}}=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}"></span>. </div> </td> <td><div style="font-size:1pt; margin:0;"> </div> </td> <td rowspan="2" style="white-space: nowrap; text-align:right;"><div style="margin:0;"> <span style="">(4)</span></div> </td></tr> <tr style="height:2pt"> <td style="border-top:0px none; width:98%;"><div style="font-size:1pt; margin:0;"> </div> </td></tr></tbody></table> <p>Fast alle Wellen lassen sich durch Gleichungen der Form </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3017090ff769379334af57e6f98ee756b7b0584" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.007ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta f}"></span></dd></dl> <p>beschreiben, wobei <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}"></span> die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist. Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen, die <a href="/wiki/Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span>, gilt daher: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b574afeeb039db328b24e74bbb0539e9b4772d0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:10.589ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}"></span>.</dd></dl> <p>Damit erhält man aus (4) die Gleichung </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=c^{2}\Delta {\vec {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=c^{2}\Delta {\vec {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b8ed4e5884bd983eff344552bfe4d0e9da213b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.88ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=c^{2}\Delta {\vec {E}}}"></span>.</dd></dl> <p>Analog kann man für die magnetische Flussdichte <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {B}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {B}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ae7d80cab55b606de217162280b2279142bbb4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {B}}}"></span> die Beziehung </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}=c^{2}\Delta {\vec {B}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}=c^{2}\Delta {\vec {B}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a997a01b089675a8d9664c6bfd3d22b66f49de0e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.857ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}=c^{2}\Delta {\vec {B}}}"></span></dd></dl> <p>herleiten. Die Lösungen dieser Gleichungen beschreiben Wellen, die sich im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span> ausbreiten. Breitet sich die elektromagnetische Welle in isotropem Material mit der <a href="/wiki/Permittivit%C3%A4t" title="Permittivität">Dielektrizitätskonstante</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }"></span> und der <a href="/wiki/Permeabilit%C3%A4t_(Magnetismus)" class="mw-redirect" title="Permeabilität (Magnetismus)">Permeabilität</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"></span> aus, beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{\text{med}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>med</mtext> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mi>μ</mi> <mi>ε</mi> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{\text{med}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96fdc774f382e2cc5c0b856335a9b530cf59afac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:12.608ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle c_{\text{med}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}}"></span>.</dd></dl> <p>Darin sind aber im Allgemeinen die Materialkonstanten nicht linear, sondern können von der Feldstärke oder der Frequenz abhängen. Während Licht sich in der Luft fast mit Vakuumlichtgeschwindigkeit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span> ausbreitet (die Materialkonstanten sind in guter Näherung 1), gilt das für die Ausbreitung in Wasser nicht, was unter anderem den <a href="/wiki/Tscherenkow-Strahlung" title="Tscherenkow-Strahlung">Tscherenkow-Effekt</a> ermöglicht. </p><p>Das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit im Medium wird als <a href="/wiki/Brechungsindex" title="Brechungsindex">Brechungsindex</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> bezeichnet. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n={\sqrt {\frac {\mu \varepsilon }{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}={\sqrt {\mu _{r}\varepsilon _{r}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mrow> <mi>μ</mi> <mi>ε</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n={\sqrt {\frac {\mu \varepsilon }{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}={\sqrt {\mu _{r}\varepsilon _{r}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/246dc199a273f5ee82239e151aa7943b2ea67cfc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:21.714ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle n={\sqrt {\frac {\mu \varepsilon }{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}={\sqrt {\mu _{r}\varepsilon _{r}}}}"></span>,</dd></dl> <p>wo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{r}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{r}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e2dc5a760017c379bd66f0043d213db98bf77b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.375ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu _{r}}"></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{r}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{r}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287bce0849b56661bbaebca9942dfe3a6cadc21c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.057ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{r}}"></span> die relative Permeabilität und die relative Permittivität des Mediums bezeichnen. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ausbreitung_elektromagnetischer_Wellen">Ausbreitung elektromagnetischer Wellen</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=16" title="Abschnitt bearbeiten: Ausbreitung elektromagnetischer Wellen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=16" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Ausbreitung elektromagnetischer Wellen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Mit Hilfe der Maxwellgleichungen lassen sich aus der Wellengleichung noch weitere Schlüsse ziehen. Betrachten wir eine allgemeine ebene Welle für das elektrische Feld </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {E}}={\vec {E}}_{0}f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {E}}={\vec {E}}_{0}f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85aeceacf7f424fd72a50fbc3f5c63c26fe0c293" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.699ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {E}}={\vec {E}}_{0}f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}"></span>,</dd></dl> <p>wo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {E}}_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {E}}_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e959e6fc778caf7efb1ec32eb8409a421a2836" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.83ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {E}}_{0}}"></span> die (konstante) Amplitude ist, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> eine beliebige zweimal <a href="/wiki/Differenzierbarkeit" title="Differenzierbarkeit">differenzierbare</a> Funktion, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {k}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {k}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118731403eb43bdbd3656e87603f013d6804a791" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {k}}}"></span> ein Einheitsvektor, der in Propagationsrichtung zeigt, und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}"></span> ein Ortsvektor. Zunächst sieht man durch Einsetzen in die Wellengleichung, dass <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/380bbfc5c9f725cf8ff288d7cdd62b3075b8089d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.995ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}"></span> die Wellengleichung erfüllt, dass also </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa027253893ed1db00214bdc062ef43fb483e0d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:35.969ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \Delta f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}"></span>.</dd></dl> <p>Damit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc18ae485a72f148e85ccbeff2b3dcdd4f5f3f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {E}}}"></span> nun eine elektromagnetische Welle beschreibt, muss es aber nicht nur die Wellengleichung erfüllen, sondern auch die Maxwellgleichungen. Das bedeutet </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}={\hat {k}}\cdot {\vec {E}}_{0}{\frac {\partial f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}{\partial ({\hat {k}}\cdot {\vec {x}})}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}={\hat {k}}\cdot {\vec {E}}_{0}{\frac {\partial f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}{\partial ({\hat {k}}\cdot {\vec {x}})}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3c09b429584541b389cbc77c4dce85a41d5108" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:32.619ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}={\hat {k}}\cdot {\vec {E}}_{0}{\frac {\partial f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}{\partial ({\hat {k}}\cdot {\vec {x}})}}=0}"></span>,</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {E}}\cdot {\hat {k}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {E}}\cdot {\hat {k}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6be59cd92ff7d905f9d035bdf3fa4a46953ee5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.927ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {E}}\cdot {\hat {k}}=0}"></span>.</dd></dl> <p>Das elektrische Feld steht also stets senkrecht zur Propagationsrichtung, es handelt sich somit um eine <a href="/wiki/Transversalwelle" title="Transversalwelle">Transversalwelle</a>. Einsetzen von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc18ae485a72f148e85ccbeff2b3dcdd4f5f3f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {E}}}"></span> in eine weitere Maxwellgleichung ergibt </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}={\hat {k}}\times {\vec {E}}_{0}{\frac {\partial f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}{\partial ({\hat {k}}\cdot {\vec {x}})}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}={\hat {k}}\times {\vec {E}}_{0}{\frac {\partial f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}{\partial ({\hat {k}}\cdot {\vec {x}})}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eca173f3f89b04631f8a95a08e60fb715b6f176" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:39.506ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}={\hat {k}}\times {\vec {E}}_{0}{\frac {\partial f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}{\partial ({\hat {k}}\cdot {\vec {x}})}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}"></span></dd></dl> <p>und da <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle -{\frac {\partial f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}{\partial ({\hat {k}}\cdot {\vec {x}})}}={\frac {\partial f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}{\partial (ct)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle -{\frac {\partial f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}{\partial ({\hat {k}}\cdot {\vec {x}})}}={\frac {\partial f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}{\partial (ct)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f293efe785a9b85bee1b71dd05c851ba089e4997" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:22.486ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle -{\frac {\partial f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}{\partial ({\hat {k}}\cdot {\vec {x}})}}={\frac {\partial f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}{\partial (ct)}}}"></span> ist, folgt daraus </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {B}}={\frac {1}{c}}{\hat {k}}\times {\vec {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {B}}={\frac {1}{c}}{\hat {k}}\times {\vec {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af9f332d8cc3680af081888bb15725fae4acdfe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.688ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {B}}={\frac {1}{c}}{\hat {k}}\times {\vec {E}}}"></span>.</dd></dl> <p>Die magnetische Flussdichte in der elektromagnetischen Welle steht also ebenfalls senkrecht zur Propagationsrichtung und auch senkrecht zum elektrischen Feld. Außerdem stehen ihre Amplituden in einem festen Verhältnis. Ihr Quotient ist die Lichtgeschwindigkeit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"></span> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {E_{0}}{B_{0}}}\;=\;c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>=</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {E_{0}}{B_{0}}}\;=\;c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525fa01e8cb95e7f65123b969a199ef3de1e5b2b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:9.05ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {E_{0}}{B_{0}}}\;=\;c}"></span>.</dd></dl> <p>In <a href="/wiki/Nat%C3%BCrliche_Einheiten" title="Natürliche Einheiten">natürlichen Einheiten</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3467f9e219a5ea38a30da5c3a02c2c23f61a79" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.268ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c=1}"></span>) haben beide Amplituden den gleichen Wert. </p><p>Mit dieser Beziehung lässt sich eine Aussage über die <a href="/wiki/Energiedichte" title="Energiedichte">Energiedichte</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w_{\mathrm {em} }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(E^{2}+c^{2}B^{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{\mathrm {em} }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(E^{2}+c^{2}B^{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb8b7b62ff3d472ea8d2a9d129537b04245763f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.607ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle w_{\mathrm {em} }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(E^{2}+c^{2}B^{2})}"></span></dd></dl> <p>des elektromagnetischen Felds für den Fall der elektromagnetischen Welle herleiten: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w_{\mathrm {em} }=\varepsilon _{0}E^{2}={\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{\mathrm {em} }=\varepsilon _{0}E^{2}={\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aad44bbccda077fb9f1e1b4fabfdff488e69ab82" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.288ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle w_{\mathrm {em} }=\varepsilon _{0}E^{2}={\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}}"></span>.</dd></dl> <p>Nicht jede elektromagnetische Welle hat die Eigenschaft, dass ihre Ausbreitungsrichtung sowie die Richtungen des elektrischen als auch des magnetischen Feldes paarweise orthogonal zueinander sind, die Welle also eine reine <a href="/wiki/Transversalwelle" title="Transversalwelle">Transversalwelle</a> ist, auch <a href="/wiki/Transversalelektromagnetische_Welle" title="Transversalelektromagnetische Welle">TEM-Welle</a> genannt. Die hier demonstrierten ebenen Wellen sind von diesem Typ, daneben existieren aber auch Wellen, in denen nur einer der beiden Feldvektoren senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung steht, der andere aber eine Komponente in Ausbreitungsrichtung hat (<a href="/wiki/Transversalelektromagnetische_Welle" title="Transversalelektromagnetische Welle">TM- und TE-Wellen</a>). Ein wichtiger Anwendungsfall für solche nicht rein transversale elektromagnetische Wellen sind zylindrische <a href="/wiki/Wellenleiter" title="Wellenleiter">Wellenleiter</a>. Das Gesagte gilt aber vor allem in Kristallen mit <a href="/wiki/Doppelbrechung" title="Doppelbrechung">Doppelbrechung</a>.<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Allerdings gibt es keine rein <a href="/wiki/Longitudinalwelle" title="Longitudinalwelle">longitudinalen</a> elektromagnetischen Wellen. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=17" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=17" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/John_David_Jackson_(Physiker)" title="John David Jackson (Physiker)">John David Jackson</a>: <i><a href="/wiki/Classical_Electrodynamics" title="Classical Electrodynamics">Klassische Elektrodynamik</a>.</i> 4. Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 2006, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3110189704" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-11-018970-4</a>.</li> <li><a href="/wiki/Karl_K%C3%BCpfm%C3%BCller" title="Karl Küpfmüller">Karl Küpfmüller</a>, <a href="/wiki/Wolfgang_Mathis" title="Wolfgang Mathis">Wolfgang Mathis</a>, Albrecht Reibiger: <i>Theoretische Elektrotechnik. Eine Einführung.</i> 16. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540207929" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-20792-9</a>.</li> <li><a href="/wiki/Claus_M%C3%BCller_(Mathematiker)" title="Claus Müller (Mathematiker)">Claus Müller</a>: <i>Grundprobleme der mathematischen Theorie elektromagnetischer Schwingungen</i> (= <i>Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen.</i> 88, <span class="plainlinks-print"><a href="/wiki/Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <span style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220072-7830%22&key=cql">0072-7830</a></span></span>). Springer, Berlin u. a. 1957.</li> <li><a href="/wiki/Eduard_Rhein" title="Eduard Rhein">Eduard Rhein</a>: <i>Wunder der Wellen : Rundfunk u. Fernsehen, dargest. f. jedermann</i>, Ausgabe 69.–80. Tsd., Deutscher Verl. d. Ullstein A.G., Berlin-Tempelhof 1954. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&cqlMode=true&query=idn%3D575809183">DNB</a></li> <li><a href="/wiki/K%C3%A1roly_Simonyi_(Physiker)" title="Károly Simonyi (Physiker)">Károly Simonyi</a>: <i>Theoretische Elektrotechnik.</i> 10. Auflage. Barth, Leipzig u. a. 1993, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3335003756" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-335-00375-6</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=18" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=18" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/12px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="12" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/18px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/24px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span></div><b><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Electromagnetic_radiation?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Elektromagnetische Welle</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/elektromagnetische-wellen">Versuche und Aufgaben</a> auf Schülerniveau (<a href="/wiki/LEIFI" class="mw-redirect" title="LEIFI">LEIFI</a>)</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.phys.hawaii.edu/~teb/java/ntnujava/emWave/emWave.html">Einfache Simulation zur Ausbreitung von elektromagnetischer Strahlung</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2010/08/26/die-maxwellgleichungen-fast-ohne-formeln-3-wir-bauen-eine-welle/">Anschauliche Herleitung von elektromagnetischen Wellen aus den Maxwell-Gleichungen, nahezu formelfrei</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&veaction=edit&section=19" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&action=edit&section=19" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-bfs-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-bfs_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-bfs_1-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.bfs.de/DE/themen/emf/einfuehrung/einfuehrung.html">Was sind elektromagnetische Felder</a>, Bundesamt für Strahlenschutz</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Kenneth R. Foster, <a href="/wiki/Michael_Repacholi" title="Michael Repacholi">Michael H. Repacholi</a>: <i>Biological Effects of Radiofrequency Fields: Does Modulation Matter?</i> In: <i>Radiation Research.</i> Bd. 162, Nr. 2, 2004, S. 219–225, <a href="/wiki/JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.jstor.org/stable/3581139">3581139</a>.</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Henrik Bohr, Søren Brunak, Jakob Bohr: <i>Molecular wring resonances in chain molecules.</i> In: <i>Bioelectromagnetics.</i> Bd. 18, Nr. 2, 1997, S. 187–189, <a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1002/%28SICI%291521-186X%281997%2918%3A2%3C187%3A%3AAID-BEM13%3E3.0.CO%3B2-O">10.1002/(SICI)1521-186X(1997)18:2<187::AID-BEM13>3.0.CO;2-O</a></span>.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Walter Hoppe, Wolfgang Lohmann, <a href="/wiki/Hubert_Markl" title="Hubert Markl">Hubert Markl</a>, <a href="/wiki/Hubert_Ziegler_(Botaniker)" title="Hubert Ziegler (Botaniker)">Hubert Ziegler</a> (Hrsg.): <i>Biophysik.</i> 2., völlig neubearbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 1982, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540113355" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-11335-5</a>.</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Reinhard Wandtner: <cite style="font-style:italic">Erster Nachweis bei Tieren: Infrarot beim Beutefang</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Frankfurter Allgemeine Zeitung</cite>. 4. Februar 2013 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.faz.net/aktuell/wissen/natur/erster-nachweis-bei-tieren-infrarot-beim-beutefang-12011232.html">faz.net</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elektromagnetische+Welle&rft.atitle=Erster+Nachweis+bei+Tieren%3A+Infrarot+beim+Beutefang&rft.au=Reinhard+Wandtner&rft.btitle=Frankfurter+Allgemeine+Zeitung&rft.date=2013-02-04&rft.genre=book" style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-guarnieri_7-1-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-guarnieri_7-1_6-0">↑</a></span> <span class="reference-text">M. Guarnieri: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Two Millennia of Light: The Long Path to Maxwell’s Waves</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">IEEE Industrial Electronics Magazine</cite>. 9. Jahrgang, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>2</span>, 2015, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>54–56+60</span>, <a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1109/MIE.2015.2421754">10.1109/MIE.2015.2421754</a></span> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elektromagnetische+Welle&rft.atitle=Two+Millennia+of+Light%3A+The+Long+Path+to+Maxwell%E2%80%99s+Waves&rft.au=M.%26%2332%3BGuarnieri&rft.date=2015&rft.doi=10.1109%2FMIE.2015.2421754&rft.genre=journal&rft.issue=2&rft.jtitle=IEEE+Industrial+Electronics+Magazine&rft.pages=54-56%2B60&rft.volume=9.+Jahrgang" style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-ZEDbK-7"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-ZEDbK_7-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-ZEDbK_7-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">Albert Einstein: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://myweb.rz.uni-augsburg.de/~eckern/adp/history/einstein-papers/1905_17_891-921.pdf">„Zur Elektrodynamik bewegter Körper“</a>, Annalen der Physik, 1905, S. 891–921</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text">Die Beziehungen für die <a href="/wiki/Phasengeschwindigkeit" title="Phasengeschwindigkeit">Phasengeschwindigkeit</a> bzw. die <a href="/wiki/Gruppengeschwindigkeit" title="Gruppengeschwindigkeit">Gruppengeschwindigkeit</a> werden mathematisch besonders einfach, wenn man statt der Frequenz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> die Kreisfrequenz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega =2\pi f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =2\pi f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1bf35d395c2d52391265e4bbda0aed14f52579" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.317ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \omega =2\pi f}"></span> und statt der Wellenlänge <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }"></span> die reziproke Größe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k:=2\pi \lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>:=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k:=2\pi \lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/691eee2e9e6652e2c03a48c2a013b9f375069bf1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.806ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k:=2\pi \lambda }"></span> benutzt, die sogenannte „Wellenzahl“: Dann ist die Phasengeschwindigkeit durch den Quotienten <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{P}=\omega /k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>P</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{P}=\omega /k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbcb75acc217cbdafa92a27e1c13ab3997420d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.512ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v_{P}=\omega /k}"></span> gegeben, die Gruppengeschwindigkeit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{G}=\mathrm {d} \omega /\mathrm {d} k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>G</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{G}=\mathrm {d} \omega /\mathrm {d} k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95aacc3207a6f3fdd5cb7bfedba161fa5424da2c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.155ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v_{G}=\mathrm {d} \omega /\mathrm {d} k}"></span> durch die Ableitung der Funktion <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega (k).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega (k).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ace4d372808dcb00e41de148a6f0767fff783c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.113ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega (k).}"></span></span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text">D. Giovannini u. a.: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.sciencemag.org/content/early/2015/01/21/science.aaa3035"><i>Spatially structured photons that travel in free space slower than the speed of light.</i></a> Auf: <i>sciencemag.org.</i> 22. Januar 2015. <a href="//doi.org/10.1126/science.aaa3035" class="extiw" title="doi:10.1126/science.aaa3035">doi:10.1126/science.aaa3035</a>.</span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.pro-physik.de/details/opnews/7298581/Lichtquanten_troedeln_im_Vakuum.html"><i>Lichtquanten trödeln im Vakuum.</i></a> Auf: <i>pro-physik.de.</i> 22. Januar 2015.</span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a></span> <span class="reference-text">Näheres zur Kristalloptik (<a href="/wiki/Doppelbrechung" title="Doppelbrechung">Doppelbrechung</a> u. a.) in: W. Döring, Göschen-Bändchen zur Theoretischen Physik, Band „Optik“.</span> </li> </ol></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&oldid=249790258">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Elektromagnetische_Welle&oldid=249790258</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Welle" title="Kategorie:Welle">Welle</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Elektromagnetische_Strahlung" title="Kategorie:Elektromagnetische Strahlung">Elektromagnetische Strahlung</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Meine Werkzeuge</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Benutzerseite der IP-Adresse, von der aus du Änderungen durchführst">Nicht angemeldet</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n"><span>Diskussionsseite</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y"><span>Beiträge</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Elektromagnetische+Welle&returntoquery=section%3D18%26veaction%3Dedit" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. Es ist jedoch nicht zwingend erforderlich."><span>Benutzerkonto erstellen</span></a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Anmelden&returnto=Elektromagnetische+Welle&returntoquery=section%3D18%26veaction%3Dedit" title="Anmelden ist zwar keine Pflicht, wird aber gerne gesehen. [o]" accesskey="o"><span>Anmelden</span></a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Namensräume</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Elektromagnetische_Welle" title="Seiteninhalt anzeigen [c]" accesskey="c"><span>Artikel</span></a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Elektromagnetische_Welle" rel="discussion" title="Diskussion zum Seiteninhalt [t]" accesskey="t"><span>Diskussion</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" 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class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Electromagnetic_waves" hreflang="en"><span>Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11386" title="Link zum verbundenen Objekt im Datenrepositorium [g]" accesskey="g"><span>Wikidata-Datenobjekt</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">In anderen Sprachen</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Elektromagnetische_Welle" title="Elektromagnetische Welle – Schweizerdeutsch" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Elektromagnetische Welle" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="Schweizerdeutsch" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%88%D9%84%D9%81%D8%A9_%D8%A8%D9%8A%D9%86_%D8%A7%D9%84%D9%85%D9%88%D8%AC%D8%A7%D8%AA_%D8%A7%D9%84%D9%83%D9%87%D8%B1%D9%88%D9%85%D8%BA%D9%86%D8%A7%D8%B7%D9%8A%D8%B3%D9%8A%D8%A9_%D9%88%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%B3%D9%8A%D9%85%D8%A7%D8%AA" title="التولفة بين الموجات الكهرومغناطيسية والجسيمات – Arabisch" lang="ar" hreflang="ar" data-title="التولفة بين الموجات الكهرومغناطيسية والجسيمات" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="Arabisch" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Onda_electromagn%C3%A9tica" title="Onda electromagnética – Asturisch" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Onda electromagnética" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="Asturisch" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Elektromaqnit_dal%C4%9Falar%C4%B1" title="Elektromaqnit dalğaları – Aserbaidschanisch" lang="az" hreflang="az" data-title="Elektromaqnit dalğaları" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="Aserbaidschanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D1%96%D1%82%D0%BD%D1%8B%D1%8F_%D0%B2%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%96" title="Электрамагнітныя ваганні – Belarussisch" lang="be" hreflang="be" data-title="Электрамагнітныя ваганні" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="Belarussisch" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg badge-Q70893996 mw-list-item" title=""><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B2%D1%8A%D0%BB%D0%BD%D0%B0" title="Електромагнитна вълна – Bulgarisch" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Електромагнитна вълна" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="Bulgarisch" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bxr mw-list-item"><a href="https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B0%D1%85%D0%B8%D0%BB%D0%B3%D0%B0%D0%B0%D0%BD_%D1%81%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B7%D0%B0%D0%BD_%D1%81%D0%B0%D1%81%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Сахилгаан суранзан сасарал – Russisches Burjatisch" lang="bxr" hreflang="bxr" data-title="Сахилгаан суранзан сасарал" 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href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%BB%D0%B0_%D1%81%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D1%83%D1%81%D0%B5%D0%BC" title="Электромагнитла сулланусем – Tschuwaschisch" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Электромагнитла сулланусем" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="Tschuwaschisch" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q70893996 mw-list-item" title=""><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_wave" title="Electromagnetic wave – Englisch" lang="en" hreflang="en" data-title="Electromagnetic wave" data-language-autonym="English" data-language-local-name="Englisch" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Elektromagneta_ondo" title="Elektromagneta ondo – Esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Elektromagneta ondo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="Esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Onde_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique" title="Onde électromagnétique – Französisch" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Onde électromagnétique" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Französisch" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Onda_electromagn%C3%A9tica" title="Onda electromagnética – Galicisch" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Onda electromagnética" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="Galicisch" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gu mw-list-item"><a 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href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B8%D1%82%D1%82%D1%96%D0%BA_%D1%82%D0%BE%D0%BB%D2%9B%D1%8B%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80" title="Электромагниттік толқындар – Kasachisch" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Электромагниттік толқындар" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="Kasachisch" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-krc mw-list-item"><a href="https://krc.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D1%81_%D0%B6%D0%B0%D0%B9%D1%8B%D1%83" title="Шибладис жайыу – Karatschaiisch-Balkarisch" lang="krc" hreflang="krc" data-title="Шибладис жайыу" data-language-autonym="Къарачай-малкъар" data-language-local-name="Karatschaiisch-Balkarisch" class="interlanguage-link-target"><span>Къарачай-малкъар</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a 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interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Onda_eletromagn%C3%A9tica" title="Onda eletromagnética – Piemontesisch" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Onda eletromagnética" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piemontesisch" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%D8%AC%D9%86%D8%A7%D8%B7%DB%8C%D8%B3%DB%8C_%DA%A9%D8%B1%D9%86" title="بجناطیسی کرن – Westliches Panjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="بجناطیسی کرن" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Westliches Panjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Iliktrumaqnitiku_illanchay" title="Iliktrumaqnitiku illanchay – Quechua" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Iliktrumaqnitiku illanchay" 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Elektromagnetische Welle – Wikipedia