円 (数学) - Wikipedia

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class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">ページ先頭</div> </a> </li> <li id="toc-円の性質" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#円の性質"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>円の性質</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-円の性質-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>円の性質サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-円の性質-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-弦と弧" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#弦と弧"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>弦と弧</span> </div> </a> <ul id="toc-弦と弧-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-中心角と円周角" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#中心角と円周角"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>中心角と円周角</span> </div> </a> <ul id="toc-中心角と円周角-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-2円の位置関係" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#2円の位置関係"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>2円の位置関係</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-2円の位置関係-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>2円の位置関係サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-2円の位置関係-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-位置関係" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#位置関係"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>位置関係</span> </div> </a> <ul id="toc-位置関係-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-共通弦の性質" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#共通弦の性質"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>共通弦の性質</span> </div> </a> <ul id="toc-共通弦の性質-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-共通接線" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#共通接線"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>共通接線</span> </div> </a> <ul id="toc-共通接線-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-円の方程式" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#円の方程式"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>円の方程式</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-円の方程式-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>円の方程式サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-円の方程式-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-別の表示法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#別の表示法"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>別の表示法</span> </div> </a> <ul id="toc-別の表示法-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-その他の標準形" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#その他の標準形"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>その他の標準形</span> </div> </a> <ul id="toc-その他の標準形-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-射影平面" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#射影平面"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>射影平面</span> </div> </a> <ul id="toc-射影平面-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-極座標系" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#極座標系"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4</span> <span>極座標系</span> </div> </a> <ul id="toc-極座標系-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-複素数平面" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#複素数平面"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.5</span> <span>複素数平面</span> </div> </a> <ul id="toc-複素数平面-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-接線の方程式" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#接線の方程式"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.6</span> <span>接線の方程式</span> </div> </a> <ul id="toc-接線の方程式-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-円の幾何学" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#円の幾何学"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>円の幾何学</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-円の幾何学-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>円の幾何学サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-円の幾何学-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-九点円の定理" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#九点円の定理"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>九点円の定理</span> </div> </a> <ul id="toc-九点円の定理-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-六点円の定理" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#六点円の定理"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>六点円の定理</span> </div> </a> <ul id="toc-六点円の定理-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-パスカルの定理" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#パスカルの定理"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>パスカルの定理</span> </div> </a> <ul id="toc-パスカルの定理-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-フォイエルバッハの定理" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#フォイエルバッハの定理"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.4</span> <span>フォイエルバッハの定理</span> </div> </a> <ul id="toc-フォイエルバッハの定理-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-一般化" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#一般化"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>一般化</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-一般化-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>一般化サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-一般化-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-球面・超球面" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#球面・超球面"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>球面・超球面</span> </div> </a> <ul id="toc-球面・超球面-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-円錐曲線" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#円錐曲線"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>円錐曲線</span> </div> </a> <ul id="toc-円錐曲線-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-距離円、ノルム円" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#距離円、ノルム円"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>距離円、ノルム円</span> </div> </a> <ul id="toc-距離円、ノルム円-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-その他の円を特別の場合として含む曲線族" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#その他の円を特別の場合として含む曲線族"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.4</span> <span>その他の円を特別の場合として含む曲線族</span> </div> </a> <ul id="toc-その他の円を特別の場合として含む曲線族-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-拡幅円弧の長さ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#拡幅円弧の長さ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>拡幅円弧の長さ</span> </div> </a> <ul id="toc-拡幅円弧の長さ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>脚注</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-脚注-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>脚注サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>出典</span> </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>参考文献</span> </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>関連項目</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-関連項目-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>関連項目サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-特別な名称のある円" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#特別な名称のある円"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.1</span> <span>特別な名称のある円</span> </div> </a> <ul id="toc-特別な名称のある円-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-三角形に関する円" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#三角形に関する円"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.1.1</span> <span>三角形に関する円</span> </div> </a> <ul id="toc-三角形に関する円-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-四辺形に関する円" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#四辺形に関する円"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.1.2</span> <span>四辺形に関する円</span> </div> </a> <ul id="toc-四辺形に関する円-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-多角形に関する円" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#多角形に関する円"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.1.3</span> <span>多角形に関する円</span> </div> </a> <ul id="toc-多角形に関する円-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-円錐曲線に関する円" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#円錐曲線に関する円"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.1.4</span> <span>円錐曲線に関する円</span> </div> </a> <ul id="toc-円錐曲線に関する円-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-球面に関する円" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#球面に関する円"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.1.5</span> <span>球面に関する円</span> </div> </a> <ul id="toc-球面に関する円-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-トーラスに関する円" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#トーラスに関する円"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.1.6</span> <span>トーラスに関する円</span> </div> </a> <ul id="toc-トーラスに関する円-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-外部リンク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#外部リンク"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>外部リンク</span> </div> </a> <ul id="toc-外部リンク-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">目次の表示・非表示を切り替え</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">円 (数学)</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="特定の記事の別の言語版に移動します。利用可能な言語144件" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-144" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">144の言語版</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Sirkel" title="アフリカーンス語: Sirkel" lang="af" hreflang="af" data-title="Sirkel" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="アフリカーンス語" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Kreis_(Geometrie)" title="スイスドイツ語: Kreis (Geometrie)" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Kreis (Geometrie)" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="スイスドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8A%AD%E1%89%A5" title="アムハラ語: ክብ" lang="am" hreflang="am" data-title="ክብ" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="アムハラ語" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Circumferencia" title="アラゴン語: Circumferencia" lang="an" hreflang="an" data-title="Circumferencia" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="アラゴン語" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="秀逸な記事"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D8%B1%D8%A9" title="アラビア語: دائرة" lang="ar" hreflang="ar" data-title="دائرة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="アラビア語" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-arz mw-list-item"><a href="https://arz.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%8A%D8%B1%D9%87" title="エジプト・アラビア語: دايره" lang="arz" hreflang="arz" data-title="دايره" data-language-autonym="مصرى" data-language-local-name="エジプト・アラビア語" class="interlanguage-link-target"><span>مصرى</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A7%83%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%A4" title="アッサム語: বৃত্ত" lang="as" hreflang="as" data-title="বৃত্ত" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="アッサム語" class="interlanguage-link-target"><span>অসমীয়া</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Circunferencia" title="アストゥリアス語: Circunferencia" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Circunferencia" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="アストゥリアス語" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ay mw-list-item"><a href="https://ay.wikipedia.org/wiki/Muyu" title="アイマラ語: Muyu" lang="ay" hreflang="ay" data-title="Muyu" data-language-autonym="Aymar aru" data-language-local-name="アイマラ語" class="interlanguage-link-target"><span>Aymar aru</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/%C3%87evr%C9%99" title="アゼルバイジャン語: Çevrə" lang="az" hreflang="az" data-title="Çevrə" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="アゼルバイジャン語" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%DB%8C%D8%B1%D9%87" title="South Azerbaijani: دایره" lang="azb" hreflang="azb" data-title="دایره" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target"><span>تۆرکجه</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D3%98%D0%B9%D0%BB%D3%99%D0%BD%D3%99" title="バシキール語: Әйләнә" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Әйләнә" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="バシキール語" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Apskr%C4%97t%C4%97ms" title="サモギティア語: Apskrėtėms" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Apskrėtėms" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="サモギティア語" class="interlanguage-link-target"><span>Žemaitėška</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Bilog" title="ビコール語: Bilog" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Bilog" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="ビコール語" class="interlanguage-link-target"><span>Bikol Central</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%B0%D1%81%D1%86%D1%8C" title="ベラルーシ語: Акружнасць" lang="be" hreflang="be" data-title="Акружнасць" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="ベラルーシ語" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D1%8B%D0%BD%D0%B0" title="Belarusian (Taraškievica orthography): Акружына" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Акружына" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%80%D1%8A%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="ブルガリア語: Окръжност" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Окръжност" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="ブルガリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A7%83%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%A4" title="ベンガル語: বৃত্ত" lang="bn" hreflang="bn" data-title="বৃত্ত" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="ベンガル語" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bo mw-list-item"><a href="https://bo.wikipedia.org/wiki/%E0%BD%A6%E0%BE%92%E0%BD%BC%E0%BD%A2%E0%BC%8B%E0%BD%90%E0%BD%B2%E0%BD%82%E0%BC%8B" title="チベット語: སྒོར་ཐིག་" lang="bo" hreflang="bo" data-title="སྒོར་ཐིག་" data-language-autonym="བོད་ཡིག" data-language-local-name="チベット語" class="interlanguage-link-target"><span>བོད་ཡིག</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Kelc%27h" title="ブルトン語: Kelc'h" lang="br" hreflang="br" data-title="Kelc'h" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="ブルトン語" class="interlanguage-link-target"><span>Brezhoneg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Kru%C5%BEnica" title="ボスニア語: Kružnica" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Kružnica" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="ボスニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Circumfer%C3%A8ncia" title="カタロニア語: Circumferència" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Circumferència" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="カタロニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%D8%A7%D8%B2%D9%86%DB%95_(%D8%A6%DB%95%D9%86%D8%AF%D8%A7%D8%B2%DB%95)" title="中央クルド語: بازنە (ئەندازە)" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="بازنە (ئەندازە)" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="中央クルド語" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Kru%C5%BEnice" title="チェコ語: Kružnice" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Kružnice" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="チェコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%C3%87%D0%B0%D0%B2%D1%80%D0%B0%D0%BA%C4%83%D1%88" title="チュヴァシ語: Çавракăш" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Çавракăш" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="チュヴァシ語" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Cylch" title="ウェールズ語: Cylch" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Cylch" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="ウェールズ語" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Cirkel" title="デンマーク語: Cirkel" lang="da" hreflang="da" data-title="Cirkel" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="デンマーク語" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis" title="ドイツ語: Kreis" lang="de" hreflang="de" data-title="Kreis" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="ドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-dsb mw-list-item"><a href="https://dsb.wikipedia.org/wiki/Cera_krejza" title="低地ソルブ語: Cera krejza" lang="dsb" hreflang="dsb" data-title="Cera krejza" data-language-autonym="Dolnoserbski" data-language-local-name="低地ソルブ語" class="interlanguage-link-target"><span>Dolnoserbski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9A%CF%8D%CE%BA%CE%BB%CE%BF%CF%82" title="ギリシャ語: Κύκλος" lang="el" hreflang="el" data-title="Κύκλος" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="ギリシャ語" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eml mw-list-item"><a href="https://eml.wikipedia.org/wiki/Ser%C4%87_(giometr%C3%ACa)" title="エミリア・ロマーニャ語: Serć (giometrìa)" lang="egl" hreflang="egl" data-title="Serć (giometrìa)" data-language-autonym="Emiliàn e rumagnòl" data-language-local-name="エミリア・ロマーニャ語" class="interlanguage-link-target"><span>Emiliàn e rumagnòl</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Circle" title="英語: Circle" lang="en" hreflang="en" data-title="Circle" data-language-autonym="English" data-language-local-name="英語" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Cirklo" title="エスペラント語: Cirklo" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Cirklo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="エスペラント語" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo" title="スペイン語: Círculo" lang="es" hreflang="es" data-title="Círculo" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="スペイン語" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Ringjoon" title="エストニア語: Ringjoon" lang="et" hreflang="et" data-title="Ringjoon" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="エストニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Zirkulu" title="バスク語: Zirkulu" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Zirkulu" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="バスク語" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="良質な記事"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%DB%8C%D8%B1%D9%87" title="ペルシア語: دایره" lang="fa" hreflang="fa" data-title="دایره" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="ペルシア語" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Ympyr%C3%A4" title="フィンランド語: Ympyrä" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Ympyrä" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="フィンランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fiu-vro mw-list-item"><a href="https://fiu-vro.wikipedia.org/wiki/Ts%C3%B5%C3%B5rjuun" title="ヴォロ語: Tsõõrjuun" lang="vro" hreflang="vro" data-title="Tsõõrjuun" data-language-autonym="Võro" data-language-local-name="ヴォロ語" class="interlanguage-link-target"><span>Võro</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Iwirini" title="フィジー語: Iwirini" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Iwirini" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="フィジー語" class="interlanguage-link-target"><span>Na Vosa Vakaviti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Sirkul" title="フェロー語: Sirkul" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Sirkul" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="フェロー語" class="interlanguage-link-target"><span>Føroyskt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle" title="フランス語: Cercle" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Cercle" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Kreis_(Geometrii)" title="北フリジア語: Kreis (Geometrii)" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Kreis (Geometrii)" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="北フリジア語" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Ciorcal" title="アイルランド語: Ciorcal" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Ciorcal" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="アイルランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%93%E5%BD%A2" title="贛語: 圓形" lang="gan" hreflang="gan" data-title="圓形" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="贛語" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Serk" title="Guianan Creole: Serk" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Serk" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gd mw-list-item"><a href="https://gd.wikipedia.org/wiki/Cearcall" title="スコットランド・ゲール語: Cearcall" lang="gd" hreflang="gd" data-title="Cearcall" data-language-autonym="Gàidhlig" data-language-local-name="スコットランド・ゲール語" class="interlanguage-link-target"><span>Gàidhlig</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Circunferencia" title="ガリシア語: Circunferencia" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Circunferencia" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="ガリシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gu mw-list-item"><a href="https://gu.wikipedia.org/wiki/%E0%AA%B5%E0%AA%B0%E0%AB%8D%E0%AA%A4%E0%AB%81%E0%AA%B3" title="グジャラート語: વર્તુળ" lang="gu" hreflang="gu" data-title="વર્તુળ" data-language-autonym="ગુજરાતી" data-language-local-name="グジャラート語" class="interlanguage-link-target"><span>ગુજરાતી</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gv mw-list-item"><a href="https://gv.wikipedia.org/wiki/Kiarkyl" title="マン島語: Kiarkyl" lang="gv" hreflang="gv" data-title="Kiarkyl" data-language-autonym="Gaelg" data-language-local-name="マン島語" class="interlanguage-link-target"><span>Gaelg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A2%D7%92%D7%9C" title="ヘブライ語: מעגל" lang="he" hreflang="he" data-title="מעגל" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ヘブライ語" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A5%83%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%A4" title="ヒンディー語: वृत्त" lang="hi" hreflang="hi" data-title="वृत्त" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="ヒンディー語" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Circle" title="フィジー・ヒンディー語: Circle" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Circle" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="フィジー・ヒンディー語" class="interlanguage-link-target"><span>Fiji Hindi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Kru%C5%BEnica" title="クロアチア語: Kružnica" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Kružnica" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hsb mw-list-item"><a href="https://hsb.wikipedia.org/wiki/Kru%C5%BEnica" title="高地ソルブ語: Kružnica" lang="hsb" hreflang="hsb" data-title="Kružnica" data-language-autonym="Hornjoserbsce" data-language-local-name="高地ソルブ語" class="interlanguage-link-target"><span>Hornjoserbsce</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ht mw-list-item"><a href="https://ht.wikipedia.org/wiki/S%C3%A8k_(non)" title="ハイチ・クレオール語: Sèk (non)" lang="ht" hreflang="ht" data-title="Sèk (non)" data-language-autonym="Kreyòl ayisyen" data-language-local-name="ハイチ・クレオール語" class="interlanguage-link-target"><span>Kreyòl ayisyen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6r_(geometria)" title="ハンガリー語: Kör (geometria)" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Kör (geometria)" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ハンガリー語" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%87%D6%80%D5%BB%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%A3%D5%AB%D5%AE" title="アルメニア語: Շրջանագիծ" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Շրջանագիծ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="アルメニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Circulo" title="インターリングア: Circulo" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Circulo" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="インターリングア" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Lingkaran" title="インドネシア語: Lingkaran" lang="id" hreflang="id" data-title="Lingkaran" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="インドネシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Cirklo" title="イド語: Cirklo" lang="io" hreflang="io" data-title="Cirklo" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="イド語" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Hringur_(r%C3%BAmfr%C3%A6%C3%B0i)" title="アイスランド語: Hringur (rúmfræði)" lang="is" hreflang="is" data-title="Hringur (rúmfræði)" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="アイスランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Circonferenza" title="イタリア語: Circonferenza" lang="it" hreflang="it" data-title="Circonferenza" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="イタリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Soerkl" title="ジャマイカ・クレオール語: Soerkl" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Soerkl" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="ジャマイカ・クレオール語" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Bunderan" title="ジャワ語: Bunderan" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Bunderan" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="ジャワ語" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%AC%E1%83%A0%E1%83%94%E1%83%AC%E1%83%98%E1%83%A0%E1%83%98" title="ジョージア語: წრეწირი" lang="ka" hreflang="ka" data-title="წრეწირი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="ジョージア語" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kab mw-list-item"><a href="https://kab.wikipedia.org/wiki/Tawinest" title="カビル語: Tawinest" lang="kab" hreflang="kab" data-title="Tawinest" data-language-autonym="Taqbaylit" data-language-local-name="カビル語" class="interlanguage-link-target"><span>Taqbaylit</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D0%B5%D2%A3%D0%B1%D0%B5%D1%80" title="カザフ語: Шеңбер" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Шеңбер" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="カザフ語" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%9A%E1%9E%84%E1%9F%92%E1%9E%9C%E1%9E%84%E1%9F%8B" title="クメール語: រង្វង់" lang="km" hreflang="km" data-title="រង្វង់" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="クメール語" class="interlanguage-link-target"><span>ភាសាខ្មែរ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%B5%E0%B3%83%E0%B2%A4%E0%B3%8D%E0%B2%A4" title="カンナダ語: ವೃತ್ತ" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ವೃತ್ತ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="カンナダ語" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9B%90_(%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99)" title="韓国語: 원 (기하학)" lang="ko" hreflang="ko" data-title="원 (기하학)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a href="https://ku.wikipedia.org/wiki/Gilover" title="クルド語: Gilover" lang="ku" hreflang="ku" data-title="Gilover" data-language-autonym="Kurdî" data-language-local-name="クルド語" class="interlanguage-link-target"><span>Kurdî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kw mw-list-item"><a href="https://kw.wikipedia.org/wiki/Kylgh" title="コーンウォール語: Kylgh" lang="kw" hreflang="kw" data-title="Kylgh" data-language-autonym="Kernowek" data-language-local-name="コーンウォール語" class="interlanguage-link-target"><span>Kernowek</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B9%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="キルギス語: Айлана (математика)" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Айлана (математика)" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="キルギス語" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Circulus" title="ラテン語: Circulus" lang="la" hreflang="la" data-title="Circulus" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="ラテン語" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Krees_(Geometrie)" title="ルクセンブルク語: Krees (Geometrie)" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Krees (Geometrie)" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="ルクセンブルク語" class="interlanguage-link-target"><span>Lëtzebuergesch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lfn mw-list-item"><a href="https://lfn.wikipedia.org/wiki/Sirculo" title="リングア・フランカ・ノバ: Sirculo" lang="lfn" hreflang="lfn" data-title="Sirculo" data-language-autonym="Lingua Franca Nova" data-language-local-name="リングア・フランカ・ノバ" class="interlanguage-link-target"><span>Lingua Franca Nova</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-li mw-list-item"><a href="https://li.wikipedia.org/wiki/Cirkel" title="リンブルフ語: Cirkel" lang="li" hreflang="li" data-title="Cirkel" data-language-autonym="Limburgs" data-language-local-name="リンブルフ語" class="interlanguage-link-target"><span>Limburgs</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rcc" title="ロンバルド語: Sércc" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Sércc" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="ロンバルド語" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Apskritimas" title="リトアニア語: Apskritimas" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Apskritimas" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="リトアニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Ri%C5%86%C4%B7a_l%C4%ABnija" title="ラトビア語: Riņķa līnija" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Riņķa līnija" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="ラトビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Faribolana" title="マダガスカル語: Faribolana" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Faribolana" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="マダガスカル語" class="interlanguage-link-target"><span>Malagasy</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mhr mw-list-item"><a href="https://mhr.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D2%A5%D0%B3%D0%BE" title="東部マリ語: Оҥго" lang="mhr" hreflang="mhr" data-title="Оҥго" data-language-autonym="Олык марий" data-language-local-name="東部マリ語" class="interlanguage-link-target"><span>Олык марий</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-min mw-list-item"><a href="https://min.wikipedia.org/wiki/Lingkaran" title="ミナンカバウ語: Lingkaran" lang="min" hreflang="min" data-title="Lingkaran" data-language-autonym="Minangkabau" data-language-local-name="ミナンカバウ語" class="interlanguage-link-target"><span>Minangkabau</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="秀逸な記事"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0" title="マケドニア語: Кружница" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Кружница" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="マケドニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B5%E0%B5%83%E0%B4%A4%E0%B5%8D%E0%B4%A4%E0%B4%82" title="マラヤーラム語: വൃത്തം" lang="ml" hreflang="ml" data-title="വൃത്തം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="マラヤーラム語" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%B9%D1%80%D0%BE%D0%B3" title="モンゴル語: Тойрог" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Тойрог" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="モンゴル語" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%A4%E0%A5%81%E0%A4%B3" title="マラーティー語: वर्तुळ" lang="mr" hreflang="mr" data-title="वर्तुळ" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="マラーティー語" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Bulatan" title="マレー語: Bulatan" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Bulatan" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="マレー語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%85%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%9D%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8" title="ミャンマー語: စက်ဝိုင်း" lang="my" hreflang="my" data-title="စက်ဝိုင်း" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="ミャンマー語" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Krink" title="低地ドイツ語: Krink" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Krink" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="低地ドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A5%83%E0%A4%A4" title="ネパール語: वृत" lang="ne" hreflang="ne" data-title="वृत" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="ネパール語" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-new mw-list-item"><a href="https://new.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%95%E0%A4%83" title="ネワール語: चाकः" lang="new" hreflang="new" data-title="चाकः" data-language-autonym="नेपाल भाषा" data-language-local-name="ネワール語" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाल भाषा</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Cirkel" title="オランダ語: Cirkel" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Cirkel" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="オランダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Sirkel" title="ノルウェー語(ニーノシュク): Sirkel" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Sirkel" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="ノルウェー語(ニーノシュク)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Sirkel" title="ノルウェー語(ブークモール): Sirkel" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Sirkel" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="ノルウェー語(ブークモール)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Cercle" title="オック語: Cercle" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Cercle" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="オック語" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Geengoo" title="オロモ語: Geengoo" lang="om" hreflang="om" data-title="Geengoo" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="オロモ語" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-or mw-list-item"><a href="https://or.wikipedia.org/wiki/%E0%AC%AC%E0%AD%83%E0%AC%A4%E0%AD%8D%E0%AC%A4" title="オディア語: ବୃତ୍ତ" lang="or" hreflang="or" data-title="ବୃତ୍ତ" data-language-autonym="ଓଡ଼ିଆ" data-language-local-name="オディア語" class="interlanguage-link-target"><span>ଓଡ଼ିଆ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%9A%E0%A9%B1%E0%A8%95%E0%A8%B0" title="パンジャブ語: ਚੱਕਰ" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਚੱਕਰ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="パンジャブ語" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pih mw-list-item"><a href="https://pih.wikipedia.org/wiki/Sirkil" title="ノーフォーク語・ピトケアン語: Sirkil" lang="pih" hreflang="pih" data-title="Sirkil" data-language-autonym="Norfuk / Pitkern" data-language-local-name="ノーフォーク語・ピトケアン語" class="interlanguage-link-target"><span>Norfuk / Pitkern</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Okr%C4%85g" title="ポーランド語: Okrąg" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Okrąg" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D8%B1%DB%81" title="Western Punjabi: دائرہ" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="دائرہ" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ps mw-list-item"><a href="https://ps.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D8%AF%DA%A9%D9%87" title="パシュトゥー語: گردکه" lang="ps" hreflang="ps" data-title="گردکه" data-language-autonym="پښتو" data-language-local-name="パシュトゥー語" class="interlanguage-link-target"><span>پښتو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Circunfer%C3%AAncia" title="ポルトガル語: Circunferência" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Circunferência" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="ポルトガル語" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/P%27allta_muyu" title="ケチュア語: P'allta muyu" lang="qu" hreflang="qu" data-title="P'allta muyu" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="ケチュア語" class="interlanguage-link-target"><span>Runa Simi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Cerc" title="ルーマニア語: Cerc" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Cerc" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="ルーマニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-roa-rup mw-list-item"><a href="https://roa-rup.wikipedia.org/wiki/%C8%9Aerc%C4%BEiu" title="アルーマニア語: Țercľiu" lang="rup" hreflang="rup" data-title="Țercľiu" data-language-autonym="Armãneashti" data-language-local-name="アルーマニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Armãneashti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="ロシア語: Окружность" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Окружность" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-rue mw-list-item"><a href="https://rue.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3" title="ルシン語: Круг" lang="rue" hreflang="rue" data-title="Круг" data-language-autonym="Русиньскый" data-language-local-name="ルシン語" class="interlanguage-link-target"><span>Русиньскый</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Raing" title="スコットランド語: Raing" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Raing" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="スコットランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sd mw-list-item"><a href="https://sd.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D9%88%D9%84" title="シンド語: گول" lang="sd" hreflang="sd" data-title="گول" data-language-autonym="سنڌي" data-language-local-name="シンド語" class="interlanguage-link-target"><span>سنڌي</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Kru%C5%BEnica" title="セルボ・クロアチア語: Kružnica" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Kružnica" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="セルボ・クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Circle" title="シンプル英語: Circle" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Circle" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Kru%C5%BEnica" title="スロバキア語: Kružnica" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Kružnica" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="スロバキア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Kro%C5%BEnica" title="スロベニア語: Krožnica" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Krožnica" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Denderedzwa" title="ショナ語: Denderedzwa" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Denderedzwa" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="ショナ語" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Goobo" title="ソマリ語: Goobo" lang="so" hreflang="so" data-title="Goobo" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="ソマリ語" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Rrethi" title="アルバニア語: Rrethi" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Rrethi" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="アルバニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0" title="セルビア語: Кружница" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Кружница" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="セルビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Bunderan_(%C3%A9lmu_ukur)" title="スンダ語: Bunderan (élmu ukur)" lang="su" hreflang="su" data-title="Bunderan (élmu ukur)" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="スンダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Cirkel" title="スウェーデン語: Cirkel" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Cirkel" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="スウェーデン語" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Duara" title="スワヒリ語: Duara" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Duara" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="スワヒリ語" class="interlanguage-link-target"><span>Kiswahili</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%B5%E0%AE%9F%E0%AF%8D%E0%AE%9F%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="タミル語: வட்டம்" lang="ta" hreflang="ta" data-title="வட்டம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="タミル語" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%B5%E0%B1%83%E0%B0%A4%E0%B1%8D%E0%B0%A4%E0%B0%AE%E0%B1%81" title="テルグ語: వృత్తము" lang="te" hreflang="te" data-title="వృత్తము" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="テルグ語" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B9%E0%B8%9B%E0%B8%A7%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%A1" title="タイ語: รูปวงกลม" lang="th" hreflang="th" data-title="รูปวงกลม" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="タイ語" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Bilog" title="タガログ語: Bilog" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Bilog" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="タガログ語" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%87ember" title="トルコ語: Çember" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Çember" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="トルコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt 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srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/75px-Question_book-4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/100px-Question_book-4.svg.png 2x" data-file-width="262" data-file-height="204" /></span></span></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span"><b>この記事は<a href="/wiki/Wikipedia:%E6%A4%9C%E8%A8%BC%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7" title="Wikipedia:検証可能性">検証可能</a>な<a href="/wiki/Wikipedia:%E4%BF%A1%E9%A0%BC%E3%81%A7%E3%81%8D%E3%82%8B%E6%83%85%E5%A0%B1%E6%BA%90" title="Wikipedia:信頼できる情報源">参考文献や出典</a>が全く示されていないか、不十分です。</b><span class="hide-when-compact"> <a href="/wiki/Wikipedia:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%82%92%E6%98%8E%E8%A8%98%E3%81%99%E3%82%8B" title="Wikipedia:出典を明記する">出典を追加</a>して記事の信頼性向上にご協力ください。<small>（<a href="/wiki/Template:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%81%AE%E6%98%8E%E8%A8%98/doc" title="Template:出典の明記/doc">このテンプレートの使い方</a>）</small><br /><small><span class="plainlinks">出典検索<a href="/wiki/Template:Find_sources_mainspace" title="Template:Find sources mainspace"><sup>?</sup></a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&as_eq=wikipedia&q=%22%E5%86%86%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6&num=50">"円" 数学</a> – <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%22%E5%86%86%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6&tbm=nws">ニュース</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&tbs=bks:1&q=%22%E5%86%86%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6">書籍</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="//scholar.google.co.jp/scholar?num=100&hl=ja&q=%22%E5%86%86%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6">スカラー</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ci.nii.ac.jp/opensearch/search?lang=ja&q=%22%E5%86%86%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6&range=2&count=200&sortorder=1&type=0">CiNii</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jstage.jst.go.jp/result/global/-char/ja?globalSearchKey=%22%E5%86%86%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6">J-STAGE</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ndlsearch.ndl.go.jp/api/openurl?any=%22%E5%86%86%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6">NDL</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dlib.jp/?q=%22%E5%86%86%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6">dlib.jp</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://jpsearch.go.jp/csearch/jps-cross?csid=jps-cross&keyword=%22%E5%86%86%22+%E6%95%B0%E5%AD%A6">ジャパンサーチ</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikipedialibrary.wmflabs.org/partners/">TWL</a></span></small></span> <span class="date-container"><i>(<span class="date"><span title="2020年9月">2020年9月</span></span>)</i></span></div></td></tr></tbody></table> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101346560">.mw-parser-output .hatnote{margin:0.5em 0;padding:3px 2em;background-color:transparent;border-bottom:1px solid #a2a9b1;font-size:90%}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .hatnote>table{color:inherit}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .hatnote>table{color:inherit}}</style><div class="hatnote dablink noprint"><table style="width:100%; background:transparent;"> <tbody><tr><td style="width:25px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Disambig_gray.svg" class="mw-file-description" title="曖昧さ回避"><img alt="曖昧さ回避" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png" decoding="async" width="25" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/38px-Disambig_gray.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/50px-Disambig_gray.svg.png 2x" data-file-width="220" data-file-height="168" /></a></span></td> <td>この項目では、<b><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>における<a href="/wiki/%E5%9B%B3%E5%BD%A2" title="図形">図形</a>の「円」</b>について説明しています。 <ul><li><a href="/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC" title="日本">日本</a>の現行<a href="/wiki/%E9%80%9A%E8%B2%A8" title="通貨">通貨</a>については「<a href="/wiki/%E5%86%86_(%E9%80%9A%E8%B2%A8)" title="円 (通貨)">円 (通貨)</a>」をご覧ください。</li> <li>その他の用法については「<a href="/wiki/%E5%86%86" class="mw-disambig" title="円">円</a>」をご覧ください。</li></ul></td> </tr></tbody></table></div><table class="infobox" style="width:22em"><tbody><tr><th colspan="2" style="text-align:center;font-size:125%;font-weight:bold;background:#e7dcc3;">円</th></tr><tr><td colspan="2" style="text-align:center"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File/Frameless"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Circle-withsegments.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/Circle-withsegments.svg/220px-Circle-withsegments.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/Circle-withsegments.svg/330px-Circle-withsegments.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/Circle-withsegments.svg/440px-Circle-withsegments.svg.png 2x" data-file-width="726" data-file-height="726" /></a></span><div>円 <div class="legend-line"><span style="display: inline-block; vertical-align: middle; width: 2em; height: 0px; border-style: none; border-top: 2px dotted #000; border-top: black solid 3px;"> </span> 円周 <i>C</i></div> <div class="legend-line"><span style="display: inline-block; vertical-align: middle; width: 2em; height: 0px; border-style: none; border-top: 2px dotted #000; border-top: blue solid 2px;"> </span> 直径 <i>D</i></div> <div class="legend-line"><span style="display: inline-block; vertical-align: middle; width: 2em; height: 0px; border-style: none; border-top: 2px dotted #000; border-top: red solid 2px;"> </span> 半径 <i>R</i></div> <div class="legend-line"><span style="display: inline-block; vertical-align: middle; width: 2em; height: 0px; border-style: none; border-top: 2px dotted #000; border-top: green solid 2px;"> </span> 中心または原点 <i>O</i></div></div></td></tr><tr><th scope="row" style="text-align:left;white-space:nowrap">種類</th><td><a href="/wiki/%E5%86%86%E9%8C%90%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="円錐曲線">円錐曲線</a></td></tr><tr><th scope="row" style="text-align:left;white-space:nowrap"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_planar_symmetry_groups#Rosette_groups" class="extiw" title="en:List of planar symmetry groups">対称性群</a></th><td><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" title="直交群"><span lang="en" class="texhtml">O(2)</span></a></td></tr><tr><th scope="row" style="text-align:left;white-space:nowrap"><a href="/wiki/%E9%9D%A2%E7%A9%8D" title="面積">面積</a></th><td><span lang="en" class="texhtml">πR<sup>2</sup></span></td></tr></tbody></table><p><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>において、<b>円</b>（えん、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">circle</span>）とは、<a href="/wiki/%E5%B9%B3%E9%9D%A2" title="平面">平面</a>（2次元<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ユークリッド空間">ユークリッド空間</a>）上の、定点Ｏ（オー）からの距離が等しい<a href="/wiki/%E7%82%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="点 (数学)">点</a>の集合でできる<a href="/wiki/%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="曲線">曲線</a>のことをいう。 </p><p>その「定点　Ｏ（オー）」を円の<b>中心</b>という。円の中心と円周上の 1 点を結ぶ<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%88%86" title="線分">線分</a>や、その線分の長さは<b>半径</b>という<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>円は<a href="/wiki/%E5%AE%9A%E5%B9%85%E5%9B%B3%E5%BD%A2" title="定幅図形">定幅図形</a>の一つ。 </p><p>なお円が囲む部分すなわち「円の内部」を含めて「円」ということもある。この場合、厳密さを必要とする時は、境界となる曲線のほうは「<a href="/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8" title="円周">円周</a> (circumference)」という。これに対して、内部を含めていることを強調するときには「<a href="/wiki/%E5%86%86%E6%9D%BF" title="円板">円板</a> (disk)」という。また、三角形、四角形などと呼称を統一して「円形」ということもある。 </p><p>習慣的に、とりあえず円をひとつ挙げその中心に名称をつける時は「Ｏ（オー）」と呼ぶことが多い。これは<a href="/wiki/%E5%8E%9F%E7%82%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="原点 (数学)">原点</a>を英語で「オリジン（<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">Origin</span>）」というのでその<a href="/wiki/%E9%A0%AD%E6%96%87%E5%AD%97" class="mw-redirect" title="頭文字">頭文字</a>をとったものである。中心が点Ｏである円は「円Ｏ（えんオー）」と呼ぶ。なお中心は英語では「センター（<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">Center</span>）」というので、円の中心が「C（シー）」になっている文献もある<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>なお、数学以外の分野ではこの曲線のことを（あるいはそれに近い<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%AB" title="オーバル">卵形</a>の総称として）「<b>丸</b>（まる）」という俗称で呼称することがある。 </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:%E5%86%86.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8a/%E5%86%86.png" decoding="async" width="218" height="234" class="mw-file-element" data-file-width="218" data-file-height="234" /></a><figcaption>円: 中心、半径・直径、円周</figcaption></figure> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="円の性質"><span id=".E5.86.86.E3.81.AE.E6.80.A7.E8.B3.AA"></span>円の性質</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=1" title="節を編集: 円の性質"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="弦と弧"><span id=".E5.BC.A6.E3.81.A8.E5.BC.A7"></span>弦と弧</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=2" title="節を編集: 弦と弧"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>円周と2 点で交わる直線を<b><a href="/wiki/%E5%89%B2%E7%B7%9A" title="割線">割線</a></b>という。このときの交点を 2 点 A, B とするとき、円周によって、割線から切り取られる線分 AB のことを<b>弦</b>といい、弦 AB と呼ぶ。特に円の中心を通る割線を<b>中心線</b>という。中心線は円の対称軸であり、<a href="/wiki/%E5%86%86%E3%81%AE%E9%9D%A2%E7%A9%8D" title="円の面積">円の面積</a>を 2 等分する。円周が中心線から切り取る弦やその長さを、円の<b>直径</b>という。直径は半径の 2 倍に等しい。円周の長さは、円の大きさによってさまざまであるが、円周の長さの直径に対する比の値は、円に依らず一定であり、これを<b><a href="/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87" title="円周率">円周率</a></b>という。特に断りのない限り、普通、円周率は <a href="/wiki/%CE%A0" title="Π"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">π</span></a> で表す。円の半径を <i>r</i>(半径の英語 radiusの頭文字が由来) とすると、円周の長さは 2<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">π</span><i>r</i> で表される。また、<a href="/wiki/%E5%86%86%E3%81%AE%E9%9D%A2%E7%A9%8D" title="円の面積">円の面積</a>は、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">π</span><i>r</i> <sup>2</sup> で表すことができる。同じ長さの周を持つ閉曲線の中で、面積が最大のものである。（<b>等周問題</b>） </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:%E4%B8%AD%E5%BF%83%E8%A7%92%E3%81%A8%E5%86%86%E5%91%A8%E8%A7%92.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1e/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E8%A7%92%E3%81%A8%E5%86%86%E5%91%A8%E8%A7%92.png" decoding="async" width="217" height="245" class="mw-file-element" data-file-width="217" data-file-height="245" /></a><figcaption>中心角と円周角</figcaption></figure> <p>一方、円周は割線によって 2 つの部分に分けられる。このそれぞれの部分を <b>円弧</b> (arc) または単に<b>弧</b>という。 </p> <dl><dd>2つの弧の長さが等しくないとき、長い方の弧を <b>優弧</b> (major arc)、短い方の弧を<b>劣弧</b> (minor arc) という。</dd> <dd>2つの弧の長さが等しいとき、これらの弧を <b>半円周</b> という。このとき、割線は円の中心を通る中心線である。</dd></dl> <p>円周上の2点 A, B を両端とする弧を弧 AB と呼ぶ。記号では、A͡B と表記する（記号 ⌒ は AB の上にかぶせて書くのが正しい）。これでは優弧・劣弧のどちらであるかを指定できていないデメリットがあり、一方を特定したい場合は、その弧上の点 P を用いて弧APB のように表記する。 </p><p>円 O の周上に2点 A, B があるとき、半径 OA, OB と弧 AB とで囲まれた図形を<b>扇形</b> (sector) O-A͡B という。また、扇形に含まれる側の ∠BOA を弧 AB を見込む<b>中心角</b>という。一つの円で考えるとき、中心角とその角が見込む弧の長さは<a href="/wiki/%E6%AF%94%E4%BE%8B" title="比例">比例</a>する。同様に、中心角とその角が切り取る扇形の面積も比例する。 </p><p>弦 AB と弧 AB で囲まれた図形を<b>弓形</b> (segment) という。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="中心角と円周角"><span id=".E4.B8.AD.E5.BF.83.E8.A7.92.E3.81.A8.E5.86.86.E5.91.A8.E8.A7.92"></span>中心角と円周角</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=3" title="節を編集: 中心角と円周角"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>弧 AB に対して、弧 AB 上にない円 O の周上の点 P を取るとき、∠APB を弧 AB に対する<b><a href="/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E8%A7%92" title="円周角">円周角</a></b>という。弧 AB に対する円周角は点 P の位置に依らず一定であり、中心角 AOB の半分に等しい（<b>円周角の定理</b>）。特に弧 AB が半円周のときは、弧 AB に対する円周角は<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E8%A7%92" title="直角">直角</a>である（<b>直径を見込む円周角</b>:<a href="/wiki/%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="ターレスの定理">ターレスの定理</a>）。 </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:%E5%86%86%E3%81%AB%E5%86%85%E6%8E%A5%E3%81%99%E3%82%8B%E5%9B%9B%E8%A7%92%E5%BD%A2.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/40/%E5%86%86%E3%81%AB%E5%86%85%E6%8E%A5%E3%81%99%E3%82%8B%E5%9B%9B%E8%A7%92%E5%BD%A2.png" decoding="async" width="175" height="161" class="mw-file-element" data-file-width="175" data-file-height="161" /></a><figcaption>円と内接四角形</figcaption></figure> <p>円 O の周上に 4 点 A, B, C, D があるとき、<a href="/wiki/%E5%9B%9B%E8%A7%92%E5%BD%A2" title="四角形">四角形</a> ABCD は円 O に<b>内接する</b>という（<b>内接四角形</b>）。このとき、円 O を四角形 ABCD の<b>外接円</b>という。四角形が円に内接するならば、四角形の対角の和は平角に等しい（<b>内接四角形の定理</b>）。円に内接する四角形の外角の大きさは、その<b>内対角</b>の大きさに等しい。また、これらの逆も成立する（<a href="/wiki/%E5%9B%9B%E7%82%B9%E5%85%B1%E5%86%86%E5%AE%9A%E7%90%86" title="四点共円定理">四点共円定理</a>、内接四角形の定理）。 </p> <div style="clear:both;"></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:%E6%8E%A5%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/%E6%8E%A5%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86.png/220px-%E6%8E%A5%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86.png" decoding="async" width="220" height="225" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/%E6%8E%A5%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86.png 1.5x" data-file-width="325" data-file-height="333" /></a><figcaption>接弦定理</figcaption></figure> <p>円周と直線が1つの共有点を持つとき、その直線を円の<b><a href="/wiki/%E6%8E%A5%E7%B7%9A" title="接線">接線</a></b> (tangent) といい、共有点を<b>接点</b>という。円の中心と<a href="/wiki/%E6%8E%A5%E7%82%B9" class="mw-disambig" title="接点">接点</a>を結ぶ半径（<b>接点半径</b>）は、接線と接点で<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4" title="直交">直交</a>する。 </p><p>円の外部の点 A から円 O に2つの接線が描ける。この接点を S, T とすると、線分 AS, AT の長さを<b>接線の長さ</b>という。接線の長さは等しい。円の接線とその接点を通る弦が作る角は、その角の中にある弧に対する円周角に等しい（<b><a href="/wiki/%E6%8E%A5%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="接弦定理">接弦定理</a></b>）。すなわち、下図で AT が接線ならば、∠BAT = ∠APB である。接弦定理は逆も成立する。 </p><p>円の<a href="/wiki/%E6%8E%A5%E5%90%BB%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="接吻数">接吻数</a>は6である。このことの<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r86009555">@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}</style><span class="fix-domain" title="この記述には信頼できる情報源の提示が求められています。（2016年9月）">完全な証明は<a href="/wiki/1910%E5%B9%B4" title="1910年">1910年</a>までできなかった。</span><sup class="noprint Template-Fact">[<i><a href="/wiki/Wikipedia:%E3%80%8C%E8%A6%81%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%80%8D%E3%82%92%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%9F%E6%96%B9%E3%81%B8" title="Wikipedia:「要出典」をクリックされた方へ"><span title="この記述には信頼できる情報源の提示が求められています。（2016年9月）">要出典</span></a></i>]</sup> </p> <div style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="2円の位置関係"><span id="2.E5.86.86.E3.81.AE.E4.BD.8D.E7.BD.AE.E9.96.A2.E4.BF.82"></span>2円の位置関係</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=4" title="節を編集: 2円の位置関係"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:%E5%86%86%E3%81%AE%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E9%96%A2%E4%BF%82.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/%E5%86%86%E3%81%AE%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E9%96%A2%E4%BF%82.png/220px-%E5%86%86%E3%81%AE%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E9%96%A2%E4%BF%82.png" decoding="async" width="220" height="226" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/%E5%86%86%E3%81%AE%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E9%96%A2%E4%BF%82.png/330px-%E5%86%86%E3%81%AE%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E9%96%A2%E4%BF%82.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/%E5%86%86%E3%81%AE%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E9%96%A2%E4%BF%82.png/440px-%E5%86%86%E3%81%AE%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E9%96%A2%E4%BF%82.png 2x" data-file-width="444" data-file-height="457" /></a><figcaption>半径が異なる2円の位置関係</figcaption></figure> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="位置関係"><span id=".E4.BD.8D.E7.BD.AE.E9.96.A2.E4.BF.82"></span>位置関係</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=5" title="節を編集: 位置関係"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>2つの円（円 A, 円 B とする）の位置関係は次の場合に分けられる。 </p> <ol><li>円 A が円 B の内部にある場合 : 円 B は円 A を<b>内包する</b>という。特に、中心の位置が一致するとき、この2円を<b>同心円</b>と呼ぶ。</li> <li>円 A が円 B の周または内部にあり、1点のみを共有する場合 : 円 A は円 B に<b>内接する</b>という。</li> <li>2円が異なる2点を共有する場合 : 2円は2点で<b>交わる</b>という。この2点を結ぶ弦を<b>共通弦</b>という。</li> <li>2円が互いの周または外部にあり、1点のみを共有する場合 : 円 A は円 B に<b>外接する</b>という。</li> <li>2円が互いの外部にあり、共有点がない場合 : 2円は<b>離れている</b>という。</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="共通弦の性質"><span id=".E5.85.B1.E9.80.9A.E5.BC.A6.E3.81.AE.E6.80.A7.E8.B3.AA"></span>共通弦の性質</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=6" title="節を編集: 共通弦の性質"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%82%92%E6%8C%81%E3%81%A4%E4%BA%8C%E5%86%86%E3%81%A8%E3%81%9D%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%AE%E4%B8%80%E7%AB%AF%E3%82%92%E5%90%AB%E3%82%80%E5%88%A5%E3%81%AE%E5%86%86%E3%81%A8%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%AE%E4%BA%A4%E7%82%B9%E3%81%AE%E6%80%A7%E8%B3%AA.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%82%92%E6%8C%81%E3%81%A4%E4%BA%8C%E5%86%86%E3%81%A8%E3%81%9D%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%AE%E4%B8%80%E7%AB%AF%E3%82%92%E5%90%AB%E3%82%80%E5%88%A5%E3%81%AE%E5%86%86%E3%81%A8%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%AE%E4%BA%A4%E7%82%B9%E3%81%AE%E6%80%A7%E8%B3%AA.gif/220px-%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%82%92%E6%8C%81%E3%81%A4%E4%BA%8C%E5%86%86%E3%81%A8%E3%81%9D%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%AE%E4%B8%80%E7%AB%AF%E3%82%92%E5%90%AB%E3%82%80%E5%88%A5%E3%81%AE%E5%86%86%E3%81%A8%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%AE%E4%BA%A4%E7%82%B9%E3%81%AE%E6%80%A7%E8%B3%AA.gif" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" 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//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%82%92%E6%8C%81%E3%81%A4%E4%BA%8C%E5%86%86%E3%81%A8%E3%81%9D%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%AE%E4%B8%80%E7%AB%AF%E3%82%92%E5%90%AB%E3%82%80%E5%88%A5%E3%81%AE%E5%86%86%E3%81%A8%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%AE%E4%BA%A4%E7%82%B9%E3%81%AE%E6%80%A7%E8%B3%AA.gif/440px-%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%82%92%E6%8C%81%E3%81%A4%E4%BA%8C%E5%86%86%E3%81%A8%E3%81%9D%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%AE%E4%B8%80%E7%AB%AF%E3%82%92%E5%90%AB%E3%82%80%E5%88%A5%E3%81%AE%E5%86%86%E3%81%A8%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%AE%E4%BA%A4%E7%82%B9%E3%81%AE%E6%80%A7%E8%B3%AA.gif 2x" data-file-width="720" data-file-height="720" /></a><figcaption>直線ＸＹを共通弦とする正円をＡ・Ｂ、Ｘを包みＹを外にする正円をＣ、Ｙを包みＸを外にする正円をＤ、ＡＣの共通弦とＢＣの共通弦の交点をＥ、ＡＤの共通弦とＢＤの共通弦の交点をＦ、とした時、ＥとＦはＸＹの線上にある。</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%90%84%E8%BE%BA%E3%82%92%E7%9B%B4%E5%BE%84%E3%81%A8%E3%81%99%E3%82%8B%E6%AD%A3%E5%86%86%E5%90%8C%E5%A3%AB%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%8C%E9%A0%82%E5%9E%82%E7%B7%9A%E3%81%A8%E3%81%AA%E3%82%8B%E5%9B%B3.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%90%84%E8%BE%BA%E3%82%92%E7%9B%B4%E5%BE%84%E3%81%A8%E3%81%99%E3%82%8B%E6%AD%A3%E5%86%86%E5%90%8C%E5%A3%AB%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%8C%E9%A0%82%E5%9E%82%E7%B7%9A%E3%81%A8%E3%81%AA%E3%82%8B%E5%9B%B3.gif/220px-%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%90%84%E8%BE%BA%E3%82%92%E7%9B%B4%E5%BE%84%E3%81%A8%E3%81%99%E3%82%8B%E6%AD%A3%E5%86%86%E5%90%8C%E5%A3%AB%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%8C%E9%A0%82%E5%9E%82%E7%B7%9A%E3%81%A8%E3%81%AA%E3%82%8B%E5%9B%B3.gif" decoding="async" width="220" height="124" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%90%84%E8%BE%BA%E3%82%92%E7%9B%B4%E5%BE%84%E3%81%A8%E3%81%99%E3%82%8B%E6%AD%A3%E5%86%86%E5%90%8C%E5%A3%AB%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%8C%E9%A0%82%E5%9E%82%E7%B7%9A%E3%81%A8%E3%81%AA%E3%82%8B%E5%9B%B3.gif/330px-%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%90%84%E8%BE%BA%E3%82%92%E7%9B%B4%E5%BE%84%E3%81%A8%E3%81%99%E3%82%8B%E6%AD%A3%E5%86%86%E5%90%8C%E5%A3%AB%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%8C%E9%A0%82%E5%9E%82%E7%B7%9A%E3%81%A8%E3%81%AA%E3%82%8B%E5%9B%B3.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%90%84%E8%BE%BA%E3%82%92%E7%9B%B4%E5%BE%84%E3%81%A8%E3%81%99%E3%82%8B%E6%AD%A3%E5%86%86%E5%90%8C%E5%A3%AB%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%8C%E9%A0%82%E5%9E%82%E7%B7%9A%E3%81%A8%E3%81%AA%E3%82%8B%E5%9B%B3.gif/440px-%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%90%84%E8%BE%BA%E3%82%92%E7%9B%B4%E5%BE%84%E3%81%A8%E3%81%99%E3%82%8B%E6%AD%A3%E5%86%86%E5%90%8C%E5%A3%AB%E3%81%AE%E5%85%B1%E9%80%9A%E5%BC%A6%E3%81%8C%E9%A0%82%E5%9E%82%E7%B7%9A%E3%81%A8%E3%81%AA%E3%82%8B%E5%9B%B3.gif 2x" data-file-width="1920" data-file-height="1080" /></a><figcaption>三角形の三辺の位置と長さそのものを<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E5%BE%84" class="mw-redirect" title="直径">直径</a>とする三つの円によって生じる３本の共通弦は、その三角形の３本の<a href="/wiki/%E9%A0%82%E5%9E%82%E7%B7%9A_(%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2)" title="頂垂線 (三角形)">頂垂線</a>となる。</figcaption></figure> <ol><li>既定の共通弦を持つ2円(A・B)と、その共通弦の一端のみを包む任意の別の円Cとの間にできる2本の共通弦(ACとBCの共通弦)の交点は、ABの共通弦上に存在する。</li> <li>三角形の三辺の位置と長さそのものを<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E5%BE%84" class="mw-redirect" title="直径">直径</a>とする三つの円によって生じる３本の共通弦は、その三角形の３本の<a href="/wiki/%E9%A0%82%E5%9E%82%E7%B7%9A_(%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2)" title="頂垂線 (三角形)">頂垂線</a>となる。</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="共通接線"><span id=".E5.85.B1.E9.80.9A.E6.8E.A5.E7.B7.9A"></span>共通接線</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=7" title="節を編集: 共通接線"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>2つの円に共通する<a href="/wiki/%E6%8E%A5%E7%B7%9A" title="接線">接線</a>を<b>共通接線</b>という。 </p><p>特に、2円が共通接線に関して、同じ側にあるとき<b>共通外接線</b>、異なる側にあるとき<b>共通内接線</b>という。 </p><p>上記の場合分けにおいて、描ける共通接線の個数は、 </p> <ol><li>なし</li> <li>共通外接線1本</li> <li>共通外接線2本</li> <li>共通内接線1本、共通外接線2本の計3本</li> <li>共通内接線2本、共通外接線2本の計4本</li></ol> <p>のいずれか。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="円の方程式"><span id=".E5.86.86.E3.81.AE.E6.96.B9.E7.A8.8B.E5.BC.8F"></span>円の方程式</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=8" title="節を編集: 円の方程式"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Circle_center_a_b_radius_r.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Circle_center_a_b_radius_r.svg/220px-Circle_center_a_b_radius_r.svg.png" decoding="async" width="220" height="199" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Circle_center_a_b_radius_r.svg/330px-Circle_center_a_b_radius_r.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Circle_center_a_b_radius_r.svg/440px-Circle_center_a_b_radius_r.svg.png 2x" data-file-width="288" data-file-height="260" /></a><figcaption>半径 <span lang="en" class="texhtml"><i>r</i> ≔ 1</span>, 中心 <span lang="en" class="texhtml">(<i>a</i>, <i>b</i>) ≔ (1.2, −0.5)</span> の円</figcaption></figure> <p><a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="解析幾何学">解析幾何学</a>において、<span lang="en" class="texhtml">(<i>a</i>, <i>b</i>)</span> を中心とする半径 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> の円は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8888bb9e8d52fd12fbc05a98715f64c105a884" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.162ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}"></span> を満たす点 <span lang="en" class="texhtml">(<i>x</i>, <i>y</i>)</span> 全体の<a href="/wiki/%E8%BB%8C%E8%B7%A1_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="軌跡 (数学)">軌跡</a>である。この方程式を、<b>円の方程式</b>と言う。これは、中心 <span lang="en" class="texhtml">(<i>a</i>, <i>b</i>)</span> と円上の任意の点 <span lang="en" class="texhtml">(<i>x</i>, <i>y</i>)</span> との二点間の距離が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> であるということを述べたものに他ならず、半径を斜辺とする直角三角形に<a href="/wiki/%E3%83%94%E3%82%BF%E3%82%B4%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ピタゴラスの定理">ピタゴラスの定理</a>を適用しすることで導出できる（直角を挟む二辺は、各座標の<a href="/wiki/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%B7%AE" title="絶対差">絶対差</a> <span lang="en" class="texhtml">|<i>x − a</i>|, |<i>y − b</i>|</span> を長さとする）。 </p> <ul><li>中心を原点に取れば、方程式は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a7c926e2be6ce69622acb0a8bd0d6c4a55930cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.64ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}"></span> と簡単になる。</li></ul> <p><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">α, β, γ, δ</span> は実数で <span lang="en" class="texhtml"><i>α</i> ≠ 0</span> なるものとし、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a:={\frac {-\beta }{\alpha }},\quad b:={\frac {-\gamma }{\alpha }},\quad \rho :={\frac {\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha \delta }{\alpha ^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>β</mi> </mrow> <mi>α</mi> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>b</mi> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>γ</mi> </mrow> <mi>α</mi> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>ρ</mi> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>β</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <mi>δ</mi> </mrow> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a:={\frac {-\beta }{\alpha }},\quad b:={\frac {-\gamma }{\alpha }},\quad \rho :={\frac {\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha \delta }{\alpha ^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1f5f6cd0b68101a7093639e0e892cf0490a961" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:43.04ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle a:={\frac {-\beta }{\alpha }},\quad b:={\frac {-\gamma }{\alpha }},\quad \rho :={\frac {\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha \delta }{\alpha ^{2}}}}"></span> と書けば、上記の方程式は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x,y):=\alpha (x^{2}+y^{2})+2(\beta x+\gamma y)+\delta =0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>β</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>δ</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y):=\alpha (x^{2}+y^{2})+2(\beta x+\gamma y)+\delta =0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61fabd1a79ea38aed147bc95762b4e17a125c94e" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.97ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x,y):=\alpha (x^{2}+y^{2})+2(\beta x+\gamma y)+\delta =0}"></span> の形になる。この形（<span lang="en" class="texhtml"><i>x</i><sup>2</sup>, <i>y</i><sup>2</sup></span> の係数が等しく、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">xy</span> の項を持たない）の方程式が与えられたとき、以下の何れか一つのみが成り立つ: </p> <ul><li><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><i>ρ</i> < 0</span> のときは、この方程式に解となる実点は存在しない。この場合を<b>虚円</b><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (<i>imaginary circle</i>) の方程式と呼ぶ。</li> <li><span lang="en" class="texhtml"><i>ρ</i> = 0</span> のとき、方程式 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) = 0</span> は中心となる一点 <span lang="en" class="texhtml"><i>O</i> ≔ (<i>a</i>, <i>b</i>)</span> のみを解とし、<b>点円</b><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (<i>point circle</i>) の方程式と言う。</li> <li><span lang="en" class="texhtml"><i>ρ</i> > 0</span> のときには、<span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) = 0</span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">O</span> を中心とする半径 <span lang="en" class="texhtml"><i>r</i> ≔ <span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;"><i>ρ</i></span></span></span> の円（あるいは<b>実円</b> (<i>real circle</i>)）の方程式になる。</li></ul> <p><span lang="en" class="texhtml"><i>α</i> = 0</span> のとき <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) = 0</span> は直線の方程式であり、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a, b, ρ</span> は（射影平面上で、あるいは見かけ上）無限大になる。実は、直線を「<a href="/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E9%81%A0%E7%82%B9" title="無限遠点">無限遠点</a>を中心とする半径無限大の円」と考えることができる（<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%9F%E5%86%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「一般化された円」 (存在しないページ)">一般化された円</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/generalized_circle" class="extiw" title="en:generalized circle">英語版</a>）</span></span> の項を参照）。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="別の表示法"><span id=".E5.88.A5.E3.81.AE.E8.A1.A8.E7.A4.BA.E6.B3.95"></span>別の表示法</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=9" title="節を編集: 別の表示法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dt><span id="ベクトル表示"></span>ベクトル表示</dt> <dd>中心の位置ベクトルを <span lang="en" class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">c</span></span> とし、円上の任意の点の位置ベクトルを <span lang="en" class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">x</span></span> とすると、これら二点間の距離は、ベクトルの<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0" class="mw-redirect" title="ユークリッドノルム">ユークリッドノルム</a> <span lang="en" class="texhtml">‖ • ‖ ≔ ‖ • ‖<sub>2</sub></span>: (<i>x</i>, <i>y</i>) ↦ <span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;"><i>x</i><sup>2</sup> + <i>y</i><sup>2</sup></span></span> を用いて、<span lang="en" class="texhtml">‖ <b>x</b> − <b>c</b> ‖</span> と書けるから、半径 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> の円の方程式は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|=r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|=r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/932a8380cd3d0c46f8815c2172599548eda0bb38" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.911ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|=r}"></span> となる。各点の成分表示が <span lang="en" class="texhtml"><b>c</b> ≔ (<i>a</i>, <i>b</i>), <b>x</b> ≔ (<i>x</i>, <i>y</i>)</span> と与えられれば、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle r^{2}=\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle r^{2}=\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1b024ba487159a539db3c608c833a57aebeb7f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.079ex; height:3.009ex;" alt="{\textstyle r^{2}=\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}"></span> は上記の円の方程式である。</dd> <dt><span id="媒介変数表示"></span>媒介変数表示</dt> <dd><span lang="en" class="texhtml">(<i>a</i>, <i>b</i>)</span> を中心とする半径 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> の円の方程式を<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="正弦函数">正弦函数</a>および<a href="/wiki/%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="余弦函数">余弦函数</a>を用いて <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{cases}x=a+r\cos(\theta )\\y=b+r\sin(\theta )\end{cases}}\qquad (0\leq \theta <2\pi )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> <mspace width="2em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>θ</mi> <mo><</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{cases}x=a+r\cos(\theta )\\y=b+r\sin(\theta )\end{cases}}\qquad (0\leq \theta <2\pi )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e257e1e04ec947c461e8e7f6e4a2ed3058cc58" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:35.838ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{cases}x=a+r\cos(\theta )\\y=b+r\sin(\theta )\end{cases}}\qquad (0\leq \theta <2\pi )}"></span> と媒介表示できる。幾何学的には、媒介変数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">θ</span> を <span lang="en" class="texhtml">(<i>a</i>, <i>b</i>)</span> から出る <span lang="en" class="texhtml">(<i>x</i>, <i>y</i>)</span> を通る<a href="/wiki/%E5%8D%8A%E7%9B%B4%E7%B7%9A" class="mw-redirect" title="半直線">半直線</a>が、始線（<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>-軸の正の部分）に対してなす角の<a href="/wiki/%E8%A7%92%E5%BA%A6" title="角度">角度</a>と解釈できる。</dd> <dd>円の別の媒介表示が<a href="/wiki/%E5%8D%8A%E8%A7%92%E6%AD%A3%E6%8E%A5%E7%BD%AE%E6%8F%9B" title="半角正接置換">半角正接置換</a>により、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{cases}x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{cases}x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cadf18bfee3826bf554bab330233b3099a778b80" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:16.726ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{cases}x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{cases}}}"></span> と与えられる。幾何学的には、この媒介変数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span> の <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> に対する比を、中心を通り <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>-軸に平行な直線に関する<a href="/wiki/%E7%AB%8B%E4%BD%93%E5%B0%84%E5%BD%B1" class="mw-redirect" title="立体射影">立体射影</a>として解釈できる。この媒介表示は、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span> が任意の実数のみならず無限遠点においても意味を持つが、その一方で円の最も下にある一点は表せないので除かなければならない。</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="その他の標準形"><span id=".E3.81.9D.E3.81.AE.E4.BB.96.E3.81.AE.E6.A8.99.E6.BA.96.E5.BD.A2"></span>その他の標準形</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=10" title="節を編集: その他の標準形"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dt>三点標準形</dt> <dd><a href="/wiki/%E5%85%B1%E7%B7%9A" title="共線">同一直線上</a>にない三点を <span lang="en" class="texhtml">(<i>x<sub>i</sub></i>, <i>y<sub>i</sub></i>)</span> (<span lang="en" class="texhtml"><i>i</i> = 1, 2, 3</span>) とすると、その三点を通るという条件を満たす円は一つに決まり、その方程式を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="green"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="green"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="red"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="red"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="red"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="green"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="red"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="green"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae23369c0e095570243176e29cd64f7390dd070a" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:80.084ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}}"></span> という形に表すことができる。これは<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="行列式">行列式</a>を用いて <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>|</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97186091efae737400aa14449751f0c9ed02ee88" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.171ex; margin-top: -0.22ex; width:26.453ex; height:13.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0}"></span> と表すこともできる。</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="射影平面"><span id=".E5.B0.84.E5.BD.B1.E5.B9.B3.E9.9D.A2"></span><span id="射影平面"></span><span id="斉次形の方程式"></span>射影平面</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=11" title="節を編集: 射影平面"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%B9%B3%E9%9D%A2" title="射影平面">射影平面</a>上の円の方程式は、円上の任意の点の<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%96%89%E6%AC%A1%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB&action=edit&redlink=1" class="new" title="「斉次座標系」 (存在しないページ)">斉次座標</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_coordinates" class="extiw" title="en:Homogeneous coordinates">英語版</a>）</span></span>を（<a href="/wiki/%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="埋め込み (数学)">埋め込み</a> <span lang="en" class="texhtml">(<i>x</i>, <i>y</i>) ↦ [<i>x</i> : <i>y</i> : 1]</span> のもとで） <span lang="en" class="texhtml">[<i>x</i> : <i>y</i> : <i>z</i>]</span> と書くとき、その一般形を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>b</mi> <mi>y</mi> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a9e9c33372b26c7e4ce1ccf333c56a9e510b74" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:32.586ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0}"></span> と書くことができる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="極座標系"><span id=".E6.A5.B5.E5.BA.A7.E6.A8.99.E7.B3.BB"></span>極座標系</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=12" title="節を編集: 極座標系"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>平面の座標系として、<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" title="直交座標系">直交座標系</a>の代わりに<a href="/wiki/%E6%A5%B5%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" title="極座標系">極座標系</a>を用いれば、円の方程式の極座標表示が作れる。円上の任意の点の極座標を <span lang="en" class="texhtml">(<i>r</i>, <i>θ</i>)</span> とし、中心の極座標を <span lang="en" class="texhtml">(<i>r</i><sub>0</sub>, <i>φ</i>)</span>（つまり、中心の原点からの距離が <span lang="en" class="texhtml"><i>r</i><sub>0</sub></span> で、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">φ</span> は原点から中心へ結んだ半直線が、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>-軸の正の部分から反時計回りになす角）とするとき、半径 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ρ</span> の<b><span id="円の極方程式"></span>円の極方程式</b>は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=\rho ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>r</mi> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo>−</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>ρ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=\rho ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f6f960d5263259b77a38e6f1145c0a0cba4f12" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:30.314ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=\rho ^{2}}"></span> と書ける。 </p> <ul><li>中心が原点にあるときには、方程式は <span lang="en" class="texhtml"><i>r</i> = <i>ρ</i></span> (<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">θ</span> は任意) という単純な形をしている（極座標系において原点は、動径成分が <span lang="en" class="texhtml"><i>r</i> = 0</span> かつ偏角成分 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">θ</span> は任意と表されるのであった）。</li> <li>原点が円上にあるとき、方程式は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle r=2\rho \cos(\theta -\varphi )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>ρ</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo>−</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle r=2\rho \cos(\theta -\varphi )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/585b259549fb588054d34b9e9c2e3603f341e5c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.27ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle r=2\rho \cos(\theta -\varphi )}"></span> と簡約される。例えば、半径 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ρ</span> が中心の動径成分 <span lang="en" class="texhtml"><i>r</i><sub>0</sub></span> に等しいときはそうである。</li> <li>一般の場合の方程式を <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> について解くことができて、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {\rho ^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\varphi )}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo>−</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>±</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>ρ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo>−</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {\rho ^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\varphi )}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48171ad736bc19c4d14e70e07352a3dad6b0750" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:40.795ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {\rho ^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\varphi )}}}"></span> となる。ここで <span lang="en" class="texhtml">±</span> の符号を両方取らないと、半円しか記述できない場合があるので注意。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="複素数平面"><span id=".E8.A4.87.E7.B4.A0.E6.95.B0.E5.B9.B3.E9.9D.A2"></span>複素数平面</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=13" title="節を編集: 複素数平面"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%B9%B3%E9%9D%A2" class="mw-redirect" title="複素数平面">複素数平面</a>を用いれば、平面上の円は複素数を用いても記述できる。中心が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">c</span> で半径が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> の円の方程式は、<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%80%A4" title="複素数の絶対値">複素数の絶対値</a>を用いて <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |z-c|=r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |z-c|=r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fca6b71d4a0197aa322b6dd486822ef683540e5" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.376ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |z-c|=r}"></span> と書ける。これは本質的に<a href="#ベクトル表示">円のベクトル方程式</a>と同じものである（複素数平面における複素数の加法および実数倍は、成分表示された平面ベクトルの加法および実数倍と同一であり、複素数の絶対値はユークリッドノルムと同一視できる）。<a href="/wiki/%E6%A5%B5%E5%BD%A2%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="極形式">極形式</a>を考えれば、<span lang="en" class="texhtml">|<i>z − c</i>| = <i>r</i></span> という条件は、<span lang="en" class="texhtml"><i>z − c</i> = <i>r</i>⋅<a href="/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="指数函数">exp</a>(<i>iθ</i>)</span> (<span lang="en" class="texhtml">θ</span> は任意) と同値であることがわかる（これは上記の<a href="#媒介変数表示">媒介変数表示</a>に対応する）。 </p><p>複素数の積に関して <span lang="en" class="texhtml">|<i>z</i>|<sup>2</sup> = <i>z</i>⋅<span style="text-decoration-line:overline"><i>z</i></span></span> が成り立つことに注意すれば、この方程式は実数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p, q</span> および複素数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> を用いて <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>g</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028f215ad8f29eeb316058469a7fe70c4482dc4d" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:17.931ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q}"></span> の形に書ける（<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p:=1,\,g:=-{\overline {c}},\,q:=r^{2}-|c|^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>:=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>g</mi> <mo>:=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>c</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>q</mi> <mo>:=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>c</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p:=1,\,g:=-{\overline {c}},\,q:=r^{2}-|c|^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4305ee9f6c35676afcef804304939167acf234a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:29.913ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle p:=1,\,g:=-{\overline {c}},\,q:=r^{2}-|c|^{2}}"></span>）。この形の方程式は、円だけでなく一般には<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%9F%E5%86%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「一般化された円」 (存在しないページ)">一般化された円</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/generalised_circle" class="extiw" title="en:generalised circle">英語版</a>）</span></span>を表すものである（一般化された円とは、通常の円となるか、さもなくば<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E7%B7%9A" title="直線">直線</a>である）。 </p><p><a href="#円の極方程式">極方程式</a>も<a href="/wiki/%E6%A5%B5%E5%BD%A2%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="極形式">極形式</a>を用いれば複素数で記述できる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="接線の方程式"><span id=".E6.8E.A5.E7.B7.9A.E3.81.AE.E6.96.B9.E7.A8.8B.E5.BC.8F"></span>接線の方程式</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=14" title="節を編集: 接線の方程式"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>円上の点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">P</span> における<a href="/wiki/%E6%8E%A5%E7%B7%9A" title="接線">接線</a>は、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">P</span> を通る直径に垂直である。したがって、円の中心を <span lang="en" class="texhtml">(<i>a</i>, <i>b</i>)</span>, 半径を <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> とし、<span lang="en" class="texhtml"><i>P</i> ≔ (<i>x</i><sub>1</sub>, <i>y</i><sub>1</sub>)</span> とすれば、垂直条件により接線の方程式は <span lang="en" class="texhtml">(<i>x</i><sub>1</sub> − <i>a</i>)<i>x</i> + (<i>y</i><sub>1</sub> – <i>b</i>)<i>y</i> = <i>c</i></span> の形をしていなければならない。これが <span lang="en" class="texhtml">(<i>x</i><sub>1</sub>, <i>y</i><sub>1</sub>)</span> を通るから <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">c</span> は決定できて、接線の方程式は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17286f7a77d10a3eb97b3325bcbe1301463c0f78" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.05ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1}}"></span> または <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68d92d137f5cbd16edecd5354be3b38e646f5e7" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.158ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}}"></span> の形に書ける。<span lang="en" class="texhtml"><i>y</i><sub>1</sub> ≠ <i>b</i></span> ならばこの接線の傾きは <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5d96c928a29a852f557a253ccfac7d0beb12da" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.579ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}}"></span> であるが、これを<a href="/wiki/%E9%99%B0%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95" class="mw-redirect" title="陰函数微分法">陰函数微分法</a>を用いて求めることもできる。 </p><p>中心が原点にあるときは、接線の方程式は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389ec5c41dc831100010cab26fe38f5d61954770" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.104ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2}}"></span> となり、傾きは<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0d477582b02a1179715ea4e9be354c60f5ce55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:10.151ex; height:4.343ex;" alt="{\textstyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}}"></span> である。原点を中心とする円では、各点の位置ベクトル <span lang="en" class="texhtml">(<i>x</i>, <i>y</i>)</span> と接ベクトル <span lang="en" class="texhtml">(<i>dx</i>, <i>dy</i>)</span> が常に<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4" title="直交">直交</a>する（つまり、内積が零になる）から、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x{\mathit {dx}}+y{\mathit {dy}}=0"> <semantics> <mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">d</mi> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">d</mi> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">y</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">x{\mathit {dx}}+y{\mathit {dy}}=0</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64dcf6013b10dd07d7c72413360eedc0718ae702" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.171ex; height:2.509ex;" alt="x{\mathit {dx}}+y{\mathit {dy}}=0"></span> は微分形の円の方程式である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="円の幾何学"><span id=".E5.86.86.E3.81.AE.E5.B9.BE.E4.BD.95.E5.AD.A6"></span>円の幾何学</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=15" title="節を編集: 円の幾何学"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2" title="三角形">三角形</a>や円に関する事柄を扱う<a href="/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="幾何学">幾何学</a>（相似や面積を用いない）は<b>円論</b>と呼ばれ、古来非常に深く研究されてきた。最も<a href="/wiki/%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" class="mw-redirect" title="平面幾何学">平面幾何学</a>らしい幾何学とも呼ばれる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="九点円の定理"><span id=".E4.B9.9D.E7.82.B9.E5.86.86.E3.81.AE.E5.AE.9A.E7.90.86"></span>九点円の定理</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=16" title="節を編集: 九点円の定理"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→「<a href="/wiki/%E4%B9%9D%E7%82%B9%E5%86%86" title="九点円">九点円</a>」も参照</div> <p>三角形の </p> <dl><dd>それぞれの頂点から対辺に下ろした垂線の足（3つ）</dd> <dd>辺の中点（3つ）</dd> <dd>頂点と垂心を結んだ線分の中点（3つ）</dd></dl> <p>は全て同一円上にある。この円のことを九点円と呼ぶ。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="六点円の定理"><span id=".E5.85.AD.E7.82.B9.E5.86.86.E3.81.AE.E5.AE.9A.E7.90.86"></span>六点円の定理</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=17" title="節を編集: 六点円の定理"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→「<a href="/wiki/%E5%85%AD%E7%82%B9%E5%86%86" title="六点円">六点円</a>」も参照</div> <p>三角形のそれぞれの頂点から下ろした垂線の足から他の二辺に下ろした、合計 6 個の垂線の足は、同一円周上にある、という定理。中学で習う円の性質だけで証明することができるが、かなり難解。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="パスカルの定理"><span id=".E3.83.91.E3.82.B9.E3.82.AB.E3.83.AB.E3.81.AE.E5.AE.9A.E7.90.86"></span>パスカルの定理</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=18" title="節を編集: パスカルの定理"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→「<a href="/wiki/%E3%83%96%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%AB" title="ブレーズ・パスカル">ブレーズ・パスカル</a>」も参照</div> <p>円に内接する六角形の対辺の延長線の交点は一直線上にある。さらに拡張して、二次曲線上に異なる6つの点 P<sub>1</sub>～P<sub>6</sub> を取ると、直線 P<sub>1</sub>P<sub>2</sub> と P<sub>4</sub>P<sub>5</sub> の交点 Q<sub>1</sub>、P<sub>2</sub>P<sub>3</sub> と P<sub>5</sub>P<sub>6</sub> の交点 Q<sub>2</sub>、P<sub>3</sub>P<sub>4</sub> と P<sub>6</sub>P<sub>1</sub> の交点 Q<sub>3</sub> は同一直線上にある。また、P<sub><i>i</i></sub> における接線と P<sub><i>j</i></sub> における接線の交点を R<sub><i>ij</i></sub> とすると、3 直線 R<sub>12</sub>R<sub>45</sub>, R<sub>23</sub>R<sub>56</sub>, R<sub>34</sub>R<sub>61</sub> は1点で交わる。一番初めの、円に内接する六角形の証明は、うまく補助円を書くことで、円の性質と三角形の相似だけですることができる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="フォイエルバッハの定理"><span id=".E3.83.95.E3.82.A9.E3.82.A4.E3.82.A8.E3.83.AB.E3.83.90.E3.83.83.E3.83.8F.E3.81.AE.E5.AE.9A.E7.90.86"></span>フォイエルバッハの定理</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=19" title="節を編集: フォイエルバッハの定理"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>三角形の<b>内接円</b>は、九点円に内接する。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="一般化"><span id=".E4.B8.80.E8.88.AC.E5.8C.96"></span>一般化</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=20" title="節を編集: 一般化"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="球面・超球面"><span id=".E7.90.83.E9.9D.A2.E3.83.BB.E8.B6.85.E7.90.83.E9.9D.A2"></span>球面・超球面</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=21" title="節を編集: 球面・超球面"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2" title="球面">球面</a>」および「<a href="/wiki/%E8%B6%85%E7%90%83%E9%9D%A2" title="超球面">超球面</a>」を参照</div> <p>3 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合を球面という。内部を含めた球面を<a href="/wiki/%E7%90%83%E4%BD%93" title="球体">球</a>という。一般に、<i>n</i> を自然数とするとき、<i>n</i> + 1 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合のことを、<i>n</i> 次元球面といい、<i>S<sup>n</sup></i> と書く。円は 1 次元球面である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="円錐曲線"><span id=".E5.86.86.E9.8C.90.E6.9B.B2.E7.B7.9A"></span>円錐曲線</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=22" title="節を編集: 円錐曲線"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E5%86%86%E9%8C%90%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="円錐曲線">円錐曲線</a>」、「<a href="/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86" title="楕円">楕円</a>」、「<a href="/wiki/%E6%94%BE%E7%89%A9%E7%B7%9A" title="放物線">放物線</a>」、および「<a href="/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="双曲線">双曲線</a>」を参照</div> <p>2つの点（焦点と呼ばれる）からの距離の和が一定であるような点の軌跡を<a href="/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86" title="楕円">楕円</a>という。楕円は一般に円を潰したような形をしており、楕円のうち特別な場合――2つの焦点が一点で一致する場合――が円である（このとき、焦点は「円の中心」と呼ばれる）。一般の楕円でなく円であることを特に明示したいときには、円のことを<b>正円</b>（せいえん）または<b>真円</b>（しんえん）と呼ぶことがある。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="距離円、ノルム円"><span id=".E8.B7.9D.E9.9B.A2.E5.86.86.E3.80.81.E3.83.8E.E3.83.AB.E3.83.A0.E5.86.86"></span>距離円、ノルム円</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=23" title="節を編集: 距離円、ノルム円"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Vector-p-Norms_qtl1.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d4/Vector-p-Norms_qtl1.svg/220px-Vector-p-Norms_qtl1.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d4/Vector-p-Norms_qtl1.svg/330px-Vector-p-Norms_qtl1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d4/Vector-p-Norms_qtl1.svg/440px-Vector-p-Norms_qtl1.svg.png 2x" data-file-width="410" data-file-height="410" /></a><figcaption>異なる <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span> に対する <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span>-ノルム<a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%86%86" title="単位円">単位円</a>を図示したもの。</figcaption></figure> <p>「定点からの距離が一定である点全体の成す集合」として円を定義するならば、定義に用いる「距離」の定義を変えれば異なる形状の「円」を考えることができるということになる。<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=P%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Pノルム」 (存在しないページ)"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span>-ノルム</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/p-norm" class="extiw" title="en:p-norm">英語版</a>）</span></span>の誘導する距離は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|x\|_{p}:=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p})^{1/p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>x</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|x\|_{p}:=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p})^{1/p}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b27ced6fd8d1a61519efff7de2ea461f3bf789" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:38.59ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \|x\|_{p}:=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p})^{1/p}}"></span> で与えられる。ユークリッド幾何学における通常の<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E8%B7%9D%E9%9B%A2" title="ユークリッド距離">ユークリッド距離</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>x</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bd9854c2270a366a8ffbdbbc2164533129809c9" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:35.735ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}}}}"></span> は <span lang="en" class="texhtml"><i>p</i> = 2</span> の場合である。 </p><p>タクシー幾何学で用いる<a href="/wiki/%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%83%E3%82%BF%E3%83%B3%E8%B7%9D%E9%9B%A2" title="マンハッタン距離">マンハッタン距離</a>（<span lang="en" class="texhtml"><i>L</i><sup>1</sup></span>-距離）は <span lang="en" class="texhtml"><i>p</i> = 1</span> の場合であり、この距離に関する円（タクシー円）は各辺が座標軸から<span lang="en" class="texhtml">45°</span>ずれた<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2" title="正方形">正方形</a>となる。半径 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> のタクシー円の各辺の長さは、ユークリッド距離で測れば <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><span style="vertical-align:0.02em;">√</span><span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">2</span></span><i>r</i></span> だが、タクシー距離で測れば <span lang="en" class="texhtml">2<i>r</i></span> である。よって、この幾何学で<a href="/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87" title="円周率">円周率</a>（半径に対する周長の比）に相当するものは <span lang="en" class="texhtml">4</span> ということになる。タクシー幾何学における単位円（半径が 1 の円）の方程式は、<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" title="直交座標系">直交座標系</a>では <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle |x|+|y|=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle |x|+|y|=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a88272db8ead3489bb4f354480bfa28d2c5c92ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.174ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle |x|+|y|=1}"></span>, <a href="/wiki/%E6%A5%B5%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" title="極座標系">極座標系</a>では <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle r={\frac {1}{|\sin \theta |+|\cos \theta |}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle r={\frac {1}{|\sin \theta |+|\cos \theta |}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e057237d857b1d0af3462a6a247126eb29a793c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.401ex; height:4.176ex;" alt="{\textstyle r={\frac {1}{|\sin \theta |+|\cos \theta |}}}"></span> と書ける。これは、その中心の<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E8%BF%91%E5%82%8D&action=edit&redlink=1" class="new" title="「フォンノイマン近傍」 (存在しないページ)">フォンノイマン近傍</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/von_Neumann_neighborhood" class="extiw" title="en:von Neumann neighborhood">英語版</a>）</span></span>である。 </p><p>平面上の<a href="/wiki/%E3%83%81%E3%82%A7%E3%83%93%E3%82%B7%E3%82%A7%E3%83%95%E8%B7%9D%E9%9B%A2" title="チェビシェフ距離">チェビシェフ距離</a>（<a href="/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="ルベーグ空間"><i>L</i><sub>∞</sub></a>-距離）に対する半径 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> の円もまた各辺の長さが <span lang="en" class="texhtml">2<i>r</i></span> の正方形（ただし、各辺は座標軸に平行）であるから、平面チェビシェフ距離は平面マンハッタン距離を回転およびスケール変換したものと看做せる。しかし <span lang="en" class="texhtml"><i>L</i><sup>1</sup></span> と <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><i>L</i><sup>∞</sup></span> の間に成り立つこの同値性は他の次元に一般化することはできない。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="その他の円を特別の場合として含む曲線族"><span id=".E3.81.9D.E3.81.AE.E4.BB.96.E3.81.AE.E5.86.86.E3.82.92.E7.89.B9.E5.88.A5.E3.81.AE.E5.A0.B4.E5.90.88.E3.81.A8.E3.81.97.E3.81.A6.E5.90.AB.E3.82.80.E6.9B.B2.E7.B7.9A.E6.97.8F"></span>その他の円を特別の場合として含む曲線族</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=24" title="節を編集: その他の円を特別の場合として含む曲線族"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>円は他の様々な図形の極限の場合と見ることができる: </p> <ul><li>デカルトの卵形線は<a href="/wiki/%E7%84%A6%E7%82%B9_(%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)" title="焦点 (幾何学)">焦点</a>と呼ばれるふたつの定点からの距離の重み付き和が一定となるような点全体の成す軌跡である。各距離に付ける重みが全て等しいとき<a href="/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86" title="楕円">楕円</a>となり、<a href="/wiki/%E9%9B%A2%E5%BF%83%E7%8E%87" title="離心率">離心率</a>が <span lang="en" class="texhtml">0</span> であるような楕円として円が得られる（これは二つの焦点が互いに重なる極限の場合であり、一致した焦点は得られる円の中心となる）。ふたつの重みのうちの一方を <span lang="en" class="texhtml">0</span> として得られるデカルトの卵形線としても、円が得られる。</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%BC%E3%83%91%E3%83%BC%E6%A5%95%E5%86%86" title="スーパー楕円">超楕円</a>は、適当な正数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a, b > 0</span> と自然数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> に対する <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>y</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a298c4207c47ab7bf9088b0d2f3b19591b0df19f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:15.555ex; height:3.843ex;" alt="{\textstyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1}"></span> の形の方程式を持つ。<span lang="en" class="texhtml"><i>b</i> = <i>a</i></span> のとき超円と言う。円は <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i> = 2</span> となる特別な超円である。</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%83%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%83%8B%E3%81%AE%E5%8D%B5%E5%BD%A2%E7%B7%9A" title="カッシーニの卵形線">カッシーニの卵形線</a>は二つの定点からの距離の積が一定となるような点全体の軌跡を言う。ふたつの定点が一致するとき、円が得られる。</li> <li><a href="/wiki/%E5%AE%9A%E5%B9%85%E6%9B%B2%E7%B7%9A" class="mw-redirect" title="定幅曲線">定幅曲線</a>は、その幅—図形の幅は、それを挟む二つの平行線が、各々その図形の境界と一点のみを共有するときの、それら平行線間の距離として定める—が平行線の方向のとり方に依らず一定であるような図形を言う。円はもっとも単純な定幅曲線形の例である。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="拡幅円弧の長さ"><span id=".E6.8B.A1.E5.B9.85.E5.86.86.E5.BC.A7.E3.81.AE.E9.95.B7.E3.81.95"></span>拡幅円弧の長さ</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=25" title="節を編集: 拡幅円弧の長さ"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>半径 <i>R</i> の円弧上の始点で幅 <i>w</i><sub>1</sub>、終点で幅 <i>w</i><sub>2</sub> の拡幅円弧の長さの計算 </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=R\theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=R\theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54149855d9e3aa3760fd3dce4b453f7083b218c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.536ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L=R\theta }"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k={\frac {w_{2}-w_{1}}{L}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mi>L</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k={\frac {w_{2}-w_{1}}{L}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12508b5ff11a76e0c877b08d77858f011b4dedc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.423ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle k={\frac {w_{2}-w_{1}}{L}}}"></span></li></ul> <p>とすると、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dL=(R+w_{1}+kR\theta )d\theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>R</mi> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dL=(R+w_{1}+kR\theta )d\theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66bac3c7ef60a76e8c073cd18e88d21c8ae696c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.242ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle dL=(R+w_{1}+kR\theta )d\theta }"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{rcl}Lw&=&\displaystyle (R+w_{1})\theta +{\frac {1}{2}}kR\theta ^{2}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {w_{1}}{R}}+{\frac {kL}{2R}}\right\}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {1}{R}}(w_{1}+{\frac {1}{2}}kL)\right\}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {1}{R}}\left(w_{1}+{\frac {1}{2}}(w_{2}-w_{1})\right)\right\}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {1}{R}}{\frac {w_{1}+w_{2}}{2}}\right\}\\&=&\displaystyle \left(R+{\frac {w_{1}+w_{2}}{2}}\right)\theta \end{array}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right center left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>L</mi> <mi>w</mi> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>k</mi> <mi>R</mi> <msup> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>R</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>k</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>R</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>k</mi> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>R</mi> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>R</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>θ</mi> </mstyle> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{rcl}Lw&=&\displaystyle (R+w_{1})\theta +{\frac {1}{2}}kR\theta ^{2}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {w_{1}}{R}}+{\frac {kL}{2R}}\right\}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {1}{R}}(w_{1}+{\frac {1}{2}}kL)\right\}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {1}{R}}\left(w_{1}+{\frac {1}{2}}(w_{2}-w_{1})\right)\right\}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {1}{R}}{\frac {w_{1}+w_{2}}{2}}\right\}\\&=&\displaystyle \left(R+{\frac {w_{1}+w_{2}}{2}}\right)\theta \end{array}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1aa80962e8add272e10d6e7d635564b57329cb4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -18.338ex; width:43.963ex; height:37.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{rcl}Lw&=&\displaystyle (R+w_{1})\theta +{\frac {1}{2}}kR\theta ^{2}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {w_{1}}{R}}+{\frac {kL}{2R}}\right\}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {1}{R}}(w_{1}+{\frac {1}{2}}kL)\right\}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {1}{R}}\left(w_{1}+{\frac {1}{2}}(w_{2}-w_{1})\right)\right\}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {1}{R}}{\frac {w_{1}+w_{2}}{2}}\right\}\\&=&\displaystyle \left(R+{\frac {w_{1}+w_{2}}{2}}\right)\theta \end{array}}}"></span></dd></dl> <p>ゆえに、拡幅円の長さは、平均半径に中心角をかけたものとなる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=26" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け"><span title="この欄の操作法">脚注の使い方</span></a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=27" title="節を編集: 出典"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text">デジタル大辞泉【半径】<a rel="nofollow" class="external autonumber" href="https://kotobank.jp/word/%E5%8D%8A%E5%BE%84-606289">[1]</a></span> </li> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text">精選版日本国語大辞典【半径】<a rel="nofollow" class="external autonumber" href="https://kotobank.jp/word/%E5%8D%8A%E5%BE%84-606289">[2]</a></span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.kyo-kai.co.jp/img/support/motto/motto24.pdf">もっと数学の世界、「原点はオー！」</a></span> </li> <li id="cite_note-4"><b><a href="#cite_ref-4">^</a></b> <span class="reference-text">精選版日本国語大辞典『<a rel="nofollow" class="external text" href="//kotobank.jp/word/%E8%99%9A%E5%86%86">虚円</a>』 - <a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%88%E3%83%90%E3%83%B3%E3%82%AF" title="コトバンク">コトバンク</a></span> </li> <li id="cite_note-5"><b><a href="#cite_ref-5">^</a></b> <span class="reference-text">ブリタニカ国際大百科事典小項目事典『<a rel="nofollow" class="external text" href="//kotobank.jp/word/%E7%82%B9%E5%86%86">点円</a>』 - <a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%88%E3%83%90%E3%83%B3%E3%82%AF" title="コトバンク">コトバンク</a></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=28" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=29" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r94202605">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}</style><div class="side-box side-box-right plainlinks sistersitebox noprint" style="width:22em;"> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="30" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/45px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/59px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span></div> <div class="side-box-text plainlist" style="font-size:100%;">ウィキメディア・コモンズには、<b>円 (数学)</b>に関連する<b><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Circle_geometry?uselang=ja">メディア</a></span></b>および<b><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Circle_geometry?uselang=ja">カテゴリ</a></span></b>があります。</div></div> </div> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%B3%E7%90%83%E9%9D%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="「アフィン球面」 (存在しないページ)">アフィン球面</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_sphere" class="extiw" title="en:Affine sphere">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%82%B9" title="アニュラス">アニュラス</a>: 円帯、二つの同心円に囲まれた領域</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E9%99%90%E8%BE%BA%E5%BD%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="「無限辺形」 (存在しないページ)">無限辺形</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Apeirogon" class="extiw" title="en:Apeirogon">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86%E3%81%82%E3%81%A6%E3%81%AF%E3%82%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="「円あてはめ」 (存在しないページ)">円あてはめ</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_fitting" class="extiw" title="en:Circle fitting">英語版</a>）</span></span>: 円に対する<a href="/wiki/%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E3%81%82%E3%81%A6%E3%81%AF%E3%82%81" title="曲線あてはめ">曲線あてはめ</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E8%A9%B1%E9%A1%8C%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="「円に関する話題の一覧」 (存在しないページ)">円に関する話題の一覧</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_circle_topics" class="extiw" title="en:List of circle topics">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2" title="球面">球面</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%B8%89%E7%82%B9%E3%81%A7%E5%86%86%E3%81%8C%E6%B1%BA%E3%81%BE%E3%82%8B%E3%81%93%E3%81%A8&action=edit&redlink=1" class="new" title="「三点で円が決まること」 (存在しないページ)">三点で円が決まること</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Three_points_determine_a_circle" class="extiw" title="en:Three points determine a circle">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E8%BB%B8%E3%81%AE%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E7%A7%BB%E5%8B%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「軸の平行移動」 (存在しないページ)">軸の平行移動</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Translation_of_axes" class="extiw" title="en:Translation of axes">英語版</a>）</span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="特別な名称のある円"><span id=".E7.89.B9.E5.88.A5.E3.81.AA.E5.90.8D.E7.A7.B0.E3.81.AE.E3.81.82.E3.82.8B.E5.86.86"></span>特別な名称のある円</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=30" title="節を編集: 特別な名称のある円"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="div-col columns column-count column-count-" style="-moz-column-count:; -webkit-column-count:; column-count:; -moz-column-width: 18em; -webkit-column-width: 18em; column-width: 18em;"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%86%86" title="単位円">単位円</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%9D%E3%83%AD%E3%83%8B%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%86%86" title="アポロニウスの円">アポロニウスの円</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%9E%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AB&action=edit&redlink=1" class="new" title="「クロマティック・サークル」 (存在しないページ)">クロマティック・サークル</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Chromatic_circle" class="extiw" title="en:Chromatic circle">英語版</a>）</span></span>（半音円）: 12<a href="/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B" title="平均律">平均律</a>の<a href="/wiki/%E3%83%94%E3%83%83%E3%83%81%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9" title="ピッチクラス">ピッチクラス</a>を円形に並べたもの</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%89%E3%81%AE%E5%86%86" title="フォードの円">フォードの円</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8D%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E5%86%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「反相似円」 (存在しないページ)">反相似円</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_of_antisimilitude" class="extiw" title="en:Circle of antisimilitude">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%AB%E5%86%86" title="カーライル円">カーライル円</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%90%E3%83%B3%E3%82%B3%E3%83%95%E3%81%AE%E5%86%86" title="バンコフの円">バンコフの円</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%AD%E3%83%A1%E3%83%87%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%8F%8C%E5%AD%90%E3%81%AE%E5%86%86" title="アルキメデスの双子の円">アルキメデスの双子の円</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%AD%E3%83%A1%E3%83%87%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%86%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「アルキメデスの円」 (存在しないページ)">アルキメデスの円</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_circle" class="extiw" title="en:Archimedean circle">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B7%E3%83%A7%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E5%86%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ショックの円」 (存在しないページ)">ショックの円</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Schoch_circles" class="extiw" title="en:Schoch circles">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A6%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%86%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ウーの円」 (存在しないページ)">ウーの円</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Woo_circles" class="extiw" title="en:Woo circles">英語版</a>）</span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="三角形に関する円"><span id=".E4.B8.89.E8.A7.92.E5.BD.A2.E3.81.AB.E9.96.A2.E3.81.99.E3.82.8B.E5.86.86"></span>三角形に関する円</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=31" title="節を編集: 三角形に関する円"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%AB%E3%83%88%E5%86%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「マンダルト円」 (存在しないページ)">マンダルト円</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Mandart_circle" class="extiw" title="en:Mandart circle">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%94%E3%83%BC%E3%82%AB%E3%83%BC%E5%86%86" title="シュピーカー円">シュピーカー円</a>: <a href="/wiki/%E4%B8%AD%E7%82%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2" title="中点三角形">中点三角形</a>の内接円</li> <li><a href="/wiki/%E4%B9%9D%E7%82%B9%E5%86%86" title="九点円">九点円</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AB%E3%83%A2%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%83%8C%E5%86%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ルモワーヌ円」 (存在しないページ)">ルモワーヌ円</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%96%E6%8E%A5%E5%86%86" title="外接円">外接円</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%85%E6%8E%A5%E5%86%86" title="内接円">内接円</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%86%85%E6%8E%A5%E5%86%86%E3%81%A8%E5%82%8D%E6%8E%A5%E5%86%86" title="三角形の内接円と傍接円">傍接円</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%82%8D%E6%8E%A5%E5%86%86%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E3%82%A2%E3%83%9D%E3%83%AD%E3%83%8B%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%86%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「傍接円に関するアポロニウスの円」 (存在しないページ)">傍接円に関するアポロニウスの円</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Incircle_and_excircles_of_a_triangle#Other_excircle_properties" class="extiw" title="en:Incircle and excircles of a triangle">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="レスターの定理">レスター円</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9E%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%83%E3%83%86%E3%82%A3%E3%81%AE%E5%86%86" title="マルファッティの円">マルファッティの円</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%96%E3%83%AD%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%86%86" title="ブロカール円">ブロカール円</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9E%82%E9%87%8D%E5%86%86" title="垂重円">垂重円</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%A2%E3%83%B3%E5%86%86" title="ヴァン・ラモン円">ヴァン・ラモン円</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%91%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%82%B9" title="パリー点">パリー点</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A5%B5%E5%86%86_(%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)" title="極円 (幾何学)">極円</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%B3%E5%86%86" title="ジョンソン円">ジョンソン円</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="四辺形に関する円"><span id=".E5.9B.9B.E8.BE.BA.E5.BD.A2.E3.81.AB.E9.96.A2.E3.81.99.E3.82.8B.E5.86.86"></span>四辺形に関する円</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=32" title="節を編集: 四辺形に関する円"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E5%9B%9B%E8%A7%92%E5%BD%A2" title="直交対角線四角形">直交対角線四角形</a>に関する<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%85%AB%E7%82%B9%E5%86%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「八点円」 (存在しないページ)">八点円</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Eight-point_circle" class="extiw" title="en:Eight-point circle">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%86%E3%81%AB%E5%A4%96%E6%8E%A5%E3%81%99%E3%82%8B%E5%9B%9B%E8%A7%92%E5%BD%A2" title="円に外接する四角形">円に外接する四角形</a>の内接円</li> <li><a href="/wiki/%E5%85%B1%E5%86%86%E5%9B%9B%E8%BE%BA%E5%BD%A2" class="mw-redirect" title="共円四辺形">共円四辺形</a>の外接円</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="多角形に関する円"><span id=".E5.A4.9A.E8.A7.92.E5.BD.A2.E3.81.AB.E9.96.A2.E3.81.99.E3.82.8B.E5.86.86"></span>多角形に関する円</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=33" title="節を編集: 多角形に関する円"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E5%85%B1%E5%86%86%E5%A4%9A%E8%A7%92%E5%BD%A2" class="mw-redirect" title="共円多角形">共円多角形</a>の外接円</li> <li><a href="/wiki/%E5%86%86%E5%A4%96%E6%8E%A5%E5%A4%9A%E8%A7%92%E5%BD%A2" title="円外接多角形">円外接多角形</a>の内接円</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="円錐曲線に関する円"><span id=".E5.86.86.E9.8C.90.E6.9B.B2.E7.B7.9A.E3.81.AB.E9.96.A2.E3.81.99.E3.82.8B.E5.86.86"></span>円錐曲線に関する円</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=34" title="節を編集: 円錐曲線に関する円"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E6%BA%96%E5%86%86" title="準円">準円</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%BA%96%E7%B7%9A%E5%86%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「準線円」 (存在しないページ)">準線円</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Directrix_circle" class="extiw" title="en:Directrix circle">英語版</a>）</span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="球面に関する円"><span id=".E7.90.83.E9.9D.A2.E3.81.AB.E9.96.A2.E3.81.99.E3.82.8B.E5.86.86"></span>球面に関する円</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=35" title="節を編集: 球面に関する円"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E5%A4%A7%E5%86%86" title="大円">大円</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%86%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「リーマン円」 (存在しないページ)">リーマン円</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_circle" class="extiw" title="en:Riemannian circle">英語版</a>）</span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="トーラスに関する円"><span id=".E3.83.88.E3.83.BC.E3.83.A9.E3.82.B9.E3.81.AB.E9.96.A2.E3.81.99.E3.82.8B.E5.86.86"></span>トーラスに関する円</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=36" title="節を編集: トーラスに関する円"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%BC%E5%86%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ヴィラルソー円」 (存在しないページ)">ヴィラルソー円</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Villarceau_circles" class="extiw" title="en:Villarceau circles">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=37" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Circle"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription 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href="https://mathworld.wolfram.com/Circle.html">"Circle"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Circle&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FCircle.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E5%86%86+%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29" class="Z3988"></span></span></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://ncatlab.org/nlab/show/circle">circle</a> in <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/nLab" class="extiw" title="en:nLab">nLab</a></i></li> <li><i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/circle">circle</a></i> - <a href="/wiki/PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath</a>.<span class="tmpl-language-icon" style="font-size:0.95em; font-weight:bold; color:#555">（英語）</span></li> <li><a href="//www.proofwiki.org/wiki/Definition:Circle" class="extiw" title="proofwiki:Definition:Circle">Definition:Circle</a> at <a rel="nofollow" class="external text" href="https://proofwiki.org/">ProofWiki</a></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFIvanov2001">Ivanov, A.B. 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Circle&rft.atitle=%5B%5B%3Aen%3AEncyclopedia+of+Mathematics%7CEncyclopedia+of+Mathematics%5D%5D&rft.aulast=Ivanov&rft.aufirst=A.B.&rft.au=Ivanov%2C%26%2332%3BA.B.&rft.date=2001&rft.pub=Springer&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a>: 国立図書館 <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q17278#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></span></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4032962-8">ドイツ</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007286430105171">イスラエル</a></span></li> <li><span class="uid"><abbr title="Circle"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85026057">アメリカ</a></abbr></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://kopkatalogs.lv/F?func=direct&local_base=lnc10&doc_number=000321923&P_CON_LNG=ENG">ラトビア</a></span></li> <li><span class="uid"><abbr title="kružnice"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph121971&CON_LNG=ENG">チェコ</a></abbr></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" 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