CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="fr" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Borne supérieure et borne inférieure — Wikipédia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )frwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","janvier","février","mars","avril","mai","juin","juillet","août","septembre","octobre","novembre","décembre"],"wgRequestId":"2f89e84c-ef08-459d-8817-20b7882ff7ac","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Borne_supérieure_et_borne_inférieure","wgTitle":"Borne supérieure et borne inférieure","wgCurRevisionId":210166630,"wgRevisionId":210166630,"wgArticleId":60635,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Portail:Mathématiques/Articles liés","Portail:Sciences/Articles liés","Projet:Mathématiques/Articles","Théorie des ordres","Analyse réelle"],"wgPageViewLanguage":"fr","wgPageContentLanguage":"fr","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Borne_supérieure_et_borne_inférieure","wgRelevantArticleId":60635,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit": [],"wgRestrictionMove":[],"wgRedirectedFrom":"Borne_inférieure","wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"fr","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"fr"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":10000,"wgInternalRedirectTargetUrl":"/wiki/Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure","wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q17502105","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"], "GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["mediawiki.action.view.redirect","ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.ArchiveLinks","ext.gadget.Wdsearch","ext.urlShortener.toolbar", "ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fr&modules=ext.cite.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=fr&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fr&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Borne supérieure et borne inférieure — Wikipédia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//fr.m.wikipedia.org/wiki/Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Modifier" href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipédia (fr)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//fr.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Flux Atom de Wikipédia" href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Modifications_r%C3%A9centes&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Borne_supérieure_et_borne_inférieure rootpage-Borne_supérieure_et_borne_inférieure skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Aller au contenu</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Site"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menu principal" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menu principal</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menu principal</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">masquer</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navigation </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Accueil_principal" title="Accueil général [z]" accesskey="z"><span>Accueil</span></a></li><li id="n-thema" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portail:Accueil"><span>Portails thématiques</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Page_au_hasard" title="Affiche un article au hasard [x]" accesskey="x"><span>Article au hasard</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Contact"><span>Contact</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Contribuer" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Contribuer" > <div class="vector-menu-heading"> Contribuer </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-aboutwp" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Aide:D%C3%A9buter"><span>Débuter sur Wikipédia</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Aide:Accueil" title="Accès à l’aide"><span>Aide</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Accueil_de_la_communaut%C3%A9" title="À propos du projet, ce que vous pouvez faire, où trouver les informations"><span>Communauté</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Modifications_r%C3%A9centes" title="Liste des modifications récentes sur le wiki [r]" accesskey="r"><span>Modifications récentes</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Accueil_principal" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipédia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-fr.svg" style="width: 7.4375em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="l'encyclopédie libre" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-fr.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Recherche" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Rechercher sur Wikipédia [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Rechercher</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Rechercher sur Wikipédia" aria-label="Rechercher sur Wikipédia" autocapitalize="sentences" title="Rechercher sur Wikipédia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Spécial:Recherche"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Rechercher</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Outils personnels"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Modifier l'apparence de la taille, de la largeur et de la couleur de la police de la page" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Apparence" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Apparence</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_fr.wikipedia.org&uselang=fr" class=""><span>Faire un don</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Cr%C3%A9er_un_compte&returnto=Borne+sup%C3%A9rieure+et+borne+inf%C3%A9rieure" title="Nous vous encourageons à créer un compte utilisateur et vous connecter ; ce n’est cependant pas obligatoire." class=""><span>Créer un compte</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Connexion&returnto=Borne+sup%C3%A9rieure+et+borne+inf%C3%A9rieure" title="Nous vous encourageons à vous connecter ; ce n’est cependant pas obligatoire. [o]" accesskey="o" class=""><span>Se connecter</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Plus d’options" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Outils personnels" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Outils personnels</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menu utilisateur" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_fr.wikipedia.org&uselang=fr"><span>Faire un don</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Cr%C3%A9er_un_compte&returnto=Borne+sup%C3%A9rieure+et+borne+inf%C3%A9rieure" title="Nous vous encourageons à créer un compte utilisateur et vous connecter ; ce n’est cependant pas obligatoire."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Créer un compte</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Connexion&returnto=Borne+sup%C3%A9rieure+et+borne+inf%C3%A9rieure" title="Nous vous encourageons à vous connecter ; ce n’est cependant pas obligatoire. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Se connecter</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Pages pour les contributeurs déconnectés <a href="/wiki/Aide:Premiers_pas" aria-label="En savoir plus sur la contribution"><span>en savoir plus</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Mes_contributions" title="Une liste des modifications effectuées depuis cette adresse IP [y]" accesskey="y"><span>Contributions</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Mes_discussions" title="La page de discussion pour les contributions depuis cette adresse IP [n]" accesskey="n"><span>Discussion</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Site"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Sommaire" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Sommaire</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">masquer</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Début</div> </a> </li> <li id="toc-Définition" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Définition"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Définition</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Définition-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Définition</span> </button> <ul id="toc-Définition-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Cas_général" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Cas_général"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Cas général</span> </div> </a> <ul id="toc-Cas_général-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Cas_d'un_ordre_total" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Cas_d'un_ordre_total"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>Cas d'un ordre total</span> </div> </a> <ul id="toc-Cas_d'un_ordre_total-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Cas_des_réels" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Cas_des_réels"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.3</span> <span>Cas des réels</span> </div> </a> <ul id="toc-Cas_des_réels-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Propriété_de_la_borne_supérieure" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Propriété_de_la_borne_supérieure"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Propriété de la borne supérieure</span> </div> </a> <ul id="toc-Propriété_de_la_borne_supérieure-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Exemples" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Exemples"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Exemples</span> </div> </a> <ul id="toc-Exemples-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Associativité" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Associativité"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Associativité</span> </div> </a> <ul id="toc-Associativité-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notes_et_références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes_et_références"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Notes et références</span> </div> </a> <ul id="toc-Notes_et_références-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Voir_aussi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Voir_aussi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Voir aussi</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Voir_aussi-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Voir aussi</span> </button> <ul id="toc-Voir_aussi-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Articles_connexes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Articles_connexes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>Articles connexes</span> </div> </a> <ul id="toc-Articles_connexes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Lien_externe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Lien_externe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>Lien externe</span> </div> </a> <ul id="toc-Lien_externe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Basculer la table des matières</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Borne supérieure et borne inférieure</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 22 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-22" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">22 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Suprem_i_%C3%ADnfim_(elements)" title="Suprem i ínfim (elements) – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Suprem i ínfim (elements)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%BC_%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B0_%D0%B8%D0%BD%D1%84%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC" title="Супремум тата инфимум – tchouvache" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Супремум тата инфимум" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="tchouvache" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Infimum_und_Supremum" title="Infimum und Supremum – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Infimum und Supremum" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum_and_supremum" title="Infimum and supremum – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Infimum and supremum" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_supremo_e_%C3%ADnfimo" title="Elemento supremo e ínfimo – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Elemento supremo e ínfimo" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Beheren_eta_goren" title="Beheren eta goren – basque" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Beheren eta goren" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basque" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%DB%8C%D9%86%D9%81%DB%8C%D9%85%D9%85_%D9%88_%D8%B3%D9%88%D9%BE%D8%B1%DB%8C%D9%85%D9%85" title="اینفیمم و سوپریمم – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="اینفیمم و سوپریمم" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fur mw-list-item"><a href="https://fur.wikipedia.org/wiki/Estrem_superi%C3%B4r_e_estrem_inferi%C3%B4r" title="Estrem superiôr e estrem inferiôr – frioulan" lang="fur" hreflang="fur" data-title="Estrem superiôr e estrem inferiôr" data-language-autonym="Furlan" data-language-local-name="frioulan" class="interlanguage-link-target"><span>Furlan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dnfimo_e_supremo" title="Ínfimo e supremo – galicien" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Ínfimo e supremo" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicien" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99%D7%9E%D7%95%D7%9D_%D7%95%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%A8%D7%9E%D7%95%D7%9D" title="אינפימום וסופרמום – hébreu" lang="he" hreflang="he" data-title="אינפימום וסופרמום" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hébreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Supremum_i_infimum" title="Supremum i infimum – croate" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Supremum i infimum" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croate" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Infimo_e_supremo" title="Infimo e supremo – interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Infimo e supremo" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Infimum_dan_supremum" title="Infimum dan supremum – indonésien" lang="id" hreflang="id" data-title="Infimum dan supremum" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésien" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Estremo_superiore_e_estremo_inferiore" title="Estremo superiore e estremo inferiore – italien" lang="it" hreflang="it" data-title="Estremo superiore e estremo inferiore" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%83%81%ED%95%9C%EA%B3%BC_%ED%95%98%ED%95%9C" title="상한과 하한 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="상한과 하한" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Estrem_superior_e_inferior" title="Estrem superior e inferior – lombard" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Estrem superior e inferior" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombard" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Kresy_dolny_i_g%C3%B3rny" title="Kresy dolny i górny – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Kresy dolny i górny" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Supremo_e_%C3%ADnfimo" title="Supremo e ínfimo – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Supremo e ínfimo" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%8F%D1%8F_%D0%B8_%D0%BD%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8F%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8B" title="Точная верхняя и нижняя границы – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Точная верхняя и нижняя границы" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Infimum_and_supremum" title="Infimum and supremum – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Infimum and supremum" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%84%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC_%D0%B8_%D1%81%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%BC" title="Инфимум и супремум – serbe" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Инфимум и супремум" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbe" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%84%D1%96%D0%BC%D1%83%D0%BC_%D1%82%D0%B0_%D1%81%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%BC" title="Інфімум та супремум – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Інфімум та супремум" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q17502105#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure" title="Voir le contenu de la page [c]" accesskey="c"><span>Article</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discussion:Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure" rel="discussion" title="Discussion au sujet de cette page de contenu [t]" accesskey="t"><span>Discussion</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Modifier la variante de langue" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">français</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Affichages"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure"><span>Lire</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=history" title="Historique des versions de cette page [h]" accesskey="h"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Outils" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Outils</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Outils</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">masquer</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Plus d’options" > <div class="vector-menu-heading"> Actions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure"><span>Lire</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=history"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Général </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_li%C3%A9es/Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure" title="Liste des pages liées qui pointent sur celle-ci [j]" accesskey="j"><span>Pages liées</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Suivi_des_liens/Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure" rel="nofollow" title="Liste des modifications récentes des pages appelées par celle-ci [k]" accesskey="k"><span>Suivi des pages liées</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Aide:Importer_un_fichier" title="Téléverser des fichiers [u]" accesskey="u"><span>Téléverser un fichier</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_sp%C3%A9ciales" title="Liste de toutes les pages spéciales [q]" accesskey="q"><span>Pages spéciales</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&oldid=210166630" title="Adresse permanente de cette version de cette page"><span>Lien permanent</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=info" title="Davantage d’informations sur cette page"><span>Informations sur la page</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Citer&page=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&id=210166630&wpFormIdentifier=titleform" title="Informations sur la manière de citer cette page"><span>Citer cette page</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FBorne_sup%25C3%25A9rieure_et_borne_inf%25C3%25A9rieure"><span>Obtenir l'URL raccourcie</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:QrCode&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FBorne_sup%25C3%25A9rieure_et_borne_inf%25C3%25A9rieure"><span>Télécharger le code QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimer / exporter </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Livre&bookcmd=book_creator&referer=Borne+sup%C3%A9rieure+et+borne+inf%C3%A9rieure"><span>Créer un livre</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:DownloadAsPdf&page=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=show-download-screen"><span>Télécharger comme PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&printable=yes" title="Version imprimable de cette page [p]" accesskey="p"><span>Version imprimable</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Dans d’autres projets </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Infimum_and_supremum" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q17502105" title="Lien vers l’élément dans le dépôt de données connecté [g]" accesskey="g"><span>Élément Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"><span class="mw-redirectedfrom">(Redirigé depuis <a href="/w/index.php?title=Borne_inf%C3%A9rieure&redirect=no" class="mw-redirect" title="Borne inférieure">Borne inférieure</a>)</span></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><div class="bandeau-container metadata homonymie hatnote"><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Aide:Homonymie" title="Aide:Homonymie"><img alt="Page d’aide sur l’homonymie" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/20px-Logo_disambig.svg.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/30px-Logo_disambig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/40px-Logo_disambig.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="375" /></a></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p>Pour les articles homonymes, voir <a href="/wiki/Borne" class="mw-disambig" title="Borne">Borne</a>. </p> </div></div> <p>En <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, les notions de <b>borne supérieure et borne inférieure</b> d'un <a href="/wiki/Ensemble" title="Ensemble">ensemble</a> de <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombres réels</a> interviennent en <a href="/wiki/Analyse_(math%C3%A9matiques)" title="Analyse (mathématiques)">analyse</a>, comme cas particulier de la définition générale suivante : la borne supérieure (ou le <b>supremum</b>) d'une <a href="/wiki/Sous-ensemble" class="mw-redirect" title="Sous-ensemble">partie</a> d'un <a href="/wiki/Relation_d%27ordre" title="Relation d'ordre">ensemble (partiellement) ordonné</a> est le <a href="/wiki/Extremum" title="Extremum">plus petit</a> de ses <a href="/wiki/Majorant" class="mw-redirect" title="Majorant">majorants</a>. Une telle borne n'existe pas toujours, mais si elle existe alors elle est unique. Elle n'appartient pas nécessairement à la partie considérée. <a href="/wiki/Relation_d%27ordre#Ordre_dual" title="Relation d'ordre">Dualement</a>, la borne inférieure (ou l'<b>infimum</b>) d'une partie est le plus grand de ses minorants. </p><p>Lorsque l'ensemble ordonné est celui des réels, l'existence d'une borne supérieure est assurée pour toute partie non vide et <a href="/wiki/Major%C3%A9" class="mw-redirect" title="Majoré">majorée</a> : on dit que <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el#Approche_axiomatique" title="Nombre réel">ℝ possède la <b>propriété de la borne supérieure</b></a>. Cette même propriété assure aussi l'existence d'une borne inférieure pour tout ensemble non vide et minoré de réels. Les bornes supérieure et inférieure d'un <a href="/wiki/Intervalle_(math%C3%A9matiques)" title="Intervalle (mathématiques)">intervalle</a> <a href="/wiki/Partie_born%C3%A9e" title="Partie bornée">borné</a> non vide de ℝ sont simplement ses extrémités. </p><p>Les bornes supérieure et inférieure d'une <a href="/wiki/Fonction_(math%C3%A9matiques)" title="Fonction (mathématiques)">fonction</a> sont les bornes de l'ensemble de ses valeurs. </p><p>N.B. : Les expressions anglaises <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/upper_bound" class="extiw" title="en:upper bound"><span class="lang-en" lang="en">upper bound</span></a></i> et <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/lower_bound" class="extiw" title="en:lower bound"><span class="lang-en" lang="en">lower bound</span></a></i> ne correspondent <i>pas</i> à « borne supérieure » et « borne inférieure », mais à <a href="/wiki/Majorant" class="mw-redirect" title="Majorant">majorant</a> et <a href="/wiki/Minorant" class="mw-redirect" title="Minorant">minorant</a>, respectivement ; « borne supérieure » se traduit par <i><span class="lang-en" lang="en">least upper bound</span></i> ou <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/supremum" class="extiw" title="en:supremum">supremum</a></i> et « borne inférieure » par <i><span class="lang-en" lang="en">greatest lower bound</span></i> ou <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/infimum" class="extiw" title="en:infimum">infimum</a></i>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définition"><span id="D.C3.A9finition"></span>Définition</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Définition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Définition"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cas_général"><span id="Cas_g.C3.A9n.C3.A9ral"></span>Cas général</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Cas général" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Cas général"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Illustration_of_supremum.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Illustration_of_supremum.svg/400px-Illustration_of_supremum.svg.png" decoding="async" width="400" height="128" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Illustration_of_supremum.svg/600px-Illustration_of_supremum.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Illustration_of_supremum.svg/800px-Illustration_of_supremum.svg.png 2x" data-file-width="282" data-file-height="90" /></a><figcaption>L'élément vert est la borne supérieure, comme plus petit des majorants (en rouge) de l'ensemble <i>M</i> des points bleus.</figcaption></figure> <p>Dans un <a href="/wiki/Ensemble_partiellement_ordonn%C3%A9" title="Ensemble partiellement ordonné">ensemble partiellement ordonné</a> <i>E</i>, la borne supérieure d'une <a href="/wiki/Sous-ensemble" class="mw-redirect" title="Sous-ensemble">partie</a> <i>F</i> de <i>E</i> est, s'il existe, le <a href="/wiki/Plus_petit_%C3%A9l%C3%A9ment" class="mw-redirect" title="Plus petit élément">plus petit</a> des <a href="/wiki/Majorant" class="mw-redirect" title="Majorant">majorants</a> de <i>F</i> dans <i>E</i>. Elle est classiquement notée sup(<i>F</i>), et caractérisée par : <span class="nowrap"><i>M</i> = sup(<i>F</i>)</span> si </p> <ol><li><i>M</i> est un majorant de <i>F</i> : <i>x</i> ≤ <i>M</i> pour tout <i>x</i> de <i>F</i>, et</li> <li>c'est le plus petit : pour tout <i>y</i> de <i>E</i>, si <i>y</i> est un majorant de <i>F</i> (c'est-à-dire si pour tout <i>x</i> de <i>F</i>, <i>x</i> ≤ <i>y</i>), alors <i>M</i> ≤ <i>y</i>.</li></ol> <dl><dt>Remarques</dt> <dd> <ul><li>Le lien entre la notion de borne supérieure et celle de <a href="/wiki/Plus_grand_%C3%A9l%C3%A9ment" class="mw-redirect" title="Plus grand élément">plus grand élément</a> (cf. début de la section « Exemples » <a href="#Exemples">ci-dessous</a>) est dû au fait que si <i>M</i> appartient à <i>F</i>, le point 2 ci-dessus est automatiquement vérifié.</li> <li>Si <i>M</i> = sup(<i>F</i>) alors, pour un élément donné <i>y</i> de <i>E</i> : <ul><li>le point 2. se réécrit :<center>pour que <i>y</i> ≥ <i>M</i>, il suffit que <i>y</i> majore chaque élément de <i>F</i> ;</center></li> <li>d'après le point 1. et par transitivité de ≤, la <a href="/wiki/R%C3%A9ciproque" class="mw-redirect" title="Réciproque">réciproque</a> est vraie : si <i>y</i> ≥ <i>M</i>, alors <i>y</i> majore chaque élément de <i>F</i>, ou encore (par <a href="/wiki/Contrapos%C3%A9e" class="mw-redirect" title="Contraposée">contraposée</a>) :<center>pour que <i>y</i> ne soit pas minoré par <i>M</i>, il suffit qu'il existe dans <i>F</i> un élément non majoré par <i>y</i>.</center></li></ul></li></ul></dd></dl> <p>De la même manière, la borne inférieure de <i>F</i> dans <i>E</i> est, s'il existe, le <a href="/wiki/Plus_grand_%C3%A9l%C3%A9ment" class="mw-redirect" title="Plus grand élément">plus grand</a> <a href="/wiki/Minorant" class="mw-redirect" title="Minorant">minorant</a> de <i>F</i>. Elle est classiquement notée inf(<i>F</i>) et caractérisée par les propriétés duales (en inversant le sens des inégalités). </p><p>Une partie, même <a href="/wiki/Majorant" class="mw-redirect" title="Majorant">majorée</a>, d'un ensemble ordonné quelconque ne possède pas nécessairement une borne supérieure, mais <b>si elle en possède une, celle-ci est unique</b>. De même sa borne inférieure, si elle existe, est unique. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cas_d'un_ordre_total"><span id="Cas_d.27un_ordre_total"></span>Cas d'un ordre total</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Cas d'un ordre total" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Cas d'un ordre total"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>On peut toujours, dans la définition précédente, remplacer le point 2. par sa <a href="/wiki/Contrapos%C3%A9e" class="mw-redirect" title="Contraposée">contraposée</a>. Lorsque l'ordre sur <i>E</i> est <a href="/wiki/Ordre_total" title="Ordre total">total</a>, on en déduit qu'un élément <i>M</i> de <i>E</i> est la borne supérieure de la partie <i>F</i> si et seulement si : </p> <ol><li>pour tout <i>x</i> de <i>F, x ≤ M</i>, et</li> <li>pour tout <i>y < M</i> dans <i>E</i>, il existe dans <i>F</i> au moins un <i>x > y</i>.</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cas_des_réels"><span id="Cas_des_r.C3.A9els"></span>Cas des réels</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Cas des réels" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Cas des réels"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Lorsque <i>E</i>=ℝ (muni de l'ordre usuel), on peut de plus remplacer « pour tout <i>y < M</i> » par « pour tout <i>y</i> de la forme <i>M</i>–ε avec ε>0 ». Un réel <i>M</i> est donc la borne supérieure d'une partie <i>F</i> de ℝ si et seulement si : </p> <ol><li>pour tout <i>x</i> de <i>F, x ≤ M</i>, et</li> <li>pour tout réel ε>0, il existe dans <i>F</i> au moins un <i>x > M</i>–ε.</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriété_de_la_borne_supérieure"><span id="Propri.C3.A9t.C3.A9_de_la_borne_sup.C3.A9rieure"></span>Propriété de la borne supérieure</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Propriété de la borne supérieure" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Propriété de la borne supérieure"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Propri%C3%A9t%C3%A9_de_la_borne_sup%C3%A9rieure" title="Propriété de la borne supérieure">Propriété de la borne supérieure</a>.</div></div> <p>On dit qu'un ensemble ordonné <i>E</i> possède la <i>propriété de la borne supérieure</i> si toute partie non vide et majorée de <i>E</i> possède une borne supérieure. </p><p>C'est notamment le cas de l'<a href="/wiki/Construction_des_nombres_r%C3%A9els" title="Construction des nombres réels">ensemble ordonné ℝ des réels</a>. Mais ce n'est pas le cas de <a href="/wiki/Construction_des_nombres_rationnels" title="Construction des nombres rationnels">l'ensemble ordonné ℚ des rationnels</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples">Exemples</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Exemples" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Exemples"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Si <i>F</i> possède un <a href="/wiki/Plus_grand_%C3%A9l%C3%A9ment" class="mw-redirect" title="Plus grand élément">plus grand élément</a> (en particulier si <i>F</i> est une <a href="/wiki/Ensemble_fini" title="Ensemble fini">partie finie</a> d'un ensemble <i>E</i> <a href="/wiki/Ordre_total" title="Ordre total">totalement ordonné</a> comme ℝ), alors cet élément maximum est la borne supérieure de <i>F</i>. Dans ce cas, sup(<i>F</i>) appartient à <i>F</i>. Réciproquement, si sup(<i>F</i>) existe et appartient à <i>F</i>, alors sup(<i>F</i>) est le plus grand élément de <i>F</i>.</li> <li>Dans l'ensemble des nombres réels : <ul><li>toute partie majorée non vide de l'ensemble des réels possède une borne supérieure ;</li> <li>une partie non majorée (comme <a href="/wiki/Entier_relatif" title="Entier relatif">ℤ</a>) ne possède pas de borne supérieure ;</li> <li>l'<a href="/wiki/Ensemble_vide" title="Ensemble vide">ensemble vide</a> n'a pas de borne supérieure ni inférieure ;</li> <li>l'intervalle ]0, 1[ admet 0 comme borne inférieure et 1 comme borne supérieure ;</li> <li>l'ensemble {(–1)<sup><i>n</i></sup>+1/<i>n</i> | <i>n</i> = 1, 2, 3…} admet –1 comme borne inférieure et 3/2 comme élément maximum (donc comme borne supérieure) ;</li> <li>l'ensemble des rationnels dont le carré est inférieur à 2 admet <span class="racine">√<span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">2</span></span> comme borne supérieure et –<span class="racine">√<span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">2</span></span> comme borne inférieure ;</li> <li>la borne supérieure de la <a href="/wiki/Somme_d%27ensembles#En_algèbre" title="Somme d'ensembles">somme <i>A + B</i></a> de deux ensembles majorés non vides <i>A</i> et <i>B</i> est égale à la somme de leurs bornes supérieures respectives ;</li> <li>les notions d'infimum et de supremum sont duales : inf(<i>S</i>) = –sup(–<i>S</i>), où –<i>S</i> = { –<i>s</i> | <i>s </i>∈ <i>S</i>}.</li></ul></li> <li>Dans l'ensemble des nombres rationnels : <ul><li>l'ensemble des rationnels dont le carré est inférieur à 2 est une partie majorée de ℚ qui n'a pas de borne supérieure.</li></ul></li> <li>Dans la <a href="/wiki/Droite_r%C3%A9elle_achev%C3%A9e" title="Droite réelle achevée">droite réelle achevée</a> <span style="text-decoration: overline;">ℝ</span> = ℝ ∪ { <span class="texhtml">–∞</span>, <span class="texhtml">+∞</span> } : <ul><li>les parties non vides et majorées de ℝ possèdent la même borne supérieure que dans ℝ ;</li> <li>une partie non vide mais non majorée par un réel admet <span class="texhtml">+∞</span> comme borne supérieure ;</li> <li>l'ensemble vide admet <span class="texhtml">–∞</span> comme borne supérieure, car tout élément de <span style="text-decoration: overline;">ℝ</span> est un majorant de l'ensemble vide et le plus petit d'entre eux est <span class="texhtml">–∞</span> (et il admet <span class="texhtml">+∞</span> comme borne inférieure).</li></ul></li> <li>Un <a href="/wiki/Treillis_(ensemble_ordonn%C3%A9)" title="Treillis (ensemble ordonné)">treillis</a> est un ensemble ordonné dans lequel toute <a href="/wiki/Paire" title="Paire">paire</a> possède une borne supérieure et une borne inférieure. Un treillis est dit <a href="/wiki/Treillis_complet" class="mw-redirect" title="Treillis complet">complet</a> si chacune de ses parties possède une borne supérieure et une borne inférieure (cette condition est en fait redondante). Par exemple ℝ est un treillis non complet, tandis que <span style="text-decoration: overline;">ℝ</span> est un treillis complet.</li> <li>Pour tout ensemble non vide <i>X</i>, l'ensemble <span style="text-decoration: overline;">ℝ</span><sup><i>X</i></sup> des applications de <i>X</i> dans <span style="text-decoration: overline;">ℝ</span> (muni de l'<a href="/wiki/Ordre_produit" class="mw-redirect" title="Ordre produit">ordre produit</a>) est par conséquent complet. Ainsi, toute <a href="/wiki/Famille_(math%C3%A9matiques)" title="Famille (mathématiques)">famille</a> <span class="texhtml">(<i>f<sub>i</sub></i>)<sub><i>i</i>∈<i>I</i></sub></span> d'applications de <i>X</i> dans <span style="text-decoration: overline;">ℝ</span> possède une borne supérieure <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sup _{i\in I}f_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sup _{i\in I}f_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ba925241bbedcfad758a045f6a21c0a461eb3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:5.827ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \sup _{i\in I}f_{i}}"></span> et une borne inférieure <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \inf _{i\in I}f_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">inf</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \inf _{i\in I}f_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d880fc6017a9e82474110e123f7c0a94dd6c59" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:4.977ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \inf _{i\in I}f_{i}}"></span>. Il résulte de leur définition que pour tout <span class="texhtml"><i>x</i> ∈ <i>X</i></span>,<span style="display: block; margin-left:1.6em;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(\sup _{i\in I}f_{i}\right)(x)=\sup _{i\in I}\left(f_{i}(x)\right)\quad {\text{et}}\quad \left(\inf _{i\in I}f_{i}\right)(x)=\inf _{i\in I}\left(f_{i}(x)\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>et</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">inf</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">inf</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(\sup _{i\in I}f_{i}\right)(x)=\sup _{i\in I}\left(f_{i}(x)\right)\quad {\text{et}}\quad \left(\inf _{i\in I}f_{i}\right)(x)=\inf _{i\in I}\left(f_{i}(x)\right).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9bf546aa77607096b869515ddde6892e88937d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:59.987ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left(\sup _{i\in I}f_{i}\right)(x)=\sup _{i\in I}\left(f_{i}(x)\right)\quad {\text{et}}\quad \left(\inf _{i\in I}f_{i}\right)(x)=\inf _{i\in I}\left(f_{i}(x)\right).}"></span></span>Ainsi, l'<a href="/wiki/Enveloppe_sup%C3%A9rieure" title="Enveloppe supérieure">enveloppe supérieure</a> d'une famille de fonctions n'est autre que sa borne supérieure<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Associativité"><span id="Associativit.C3.A9"></span>Associativité</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Associativité" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Associativité"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les bornes supérieures — et, de même, les bornes inférieures — vérifient la propriété suivante d'<a href="/wiki/Associativit%C3%A9" title="Associativité">associativité</a> : </p> <blockquote style="width:90%; border-left: solid #D0D0D0 1px; padding-left:1em;"> <p>Dans un ensemble ordonné, soit (<i>F<sub>t</sub></i>)<sub><i>t</i>∈<i>T</i></sub> une famille de parties ayant chacune une borne supérieure. Alors </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sup _{t\in T}\left(\sup(F_{t})\right)=\sup \left({\cup _{t\in T}F_{t}}\right),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mo>∪</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sup _{t\in T}\left(\sup(F_{t})\right)=\sup \left({\cup _{t\in T}F_{t}}\right),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aafda6323324d95a02e4980ff5aaadd648f1462" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.109ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle \sup _{t\in T}\left(\sup(F_{t})\right)=\sup \left({\cup _{t\in T}F_{t}}\right),}"></span></center><p> au sens où le membre de gauche de l'égalité existe si et seulement si<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> celui de droite existe, et dans ce cas ils sont égaux.</p></blockquote> <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> <p>Notons <i>y<sub>t</sub></i> (pour chaque indice <i>t</i>) la borne supérieure de <i>F<sub>t</sub></i>, <i>Y</i> l'ensemble de tous ces <i>y<sub>t</sub></i> et <i>F</i> la réunion des <i>F<sub>t</sub></i>. Il suffit de vérifier que les deux ensembles <i>Y</i> et <i>F</i> ont le même ensemble de majorants. </p> <ul><li>Tout majorant de <i>F</i> majore chaque partie <i>F<sub>t</sub></i> donc chaque borne supérieure <i>y<sub>t</sub></i>, si bien qu'il majore <i>Y</i>.</li> <li>Tout majorant de <i>Y</i> majore chaque <i>y<sub>t</sub></i> et a fortiori chaque partie <i>F<sub>t</sub></i>, si bien qu'il majore leur réunion <i>F</i>.</li></ul> </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <p>Dans un treillis complet comme <span style="text-decoration: overline;">ℝ</span> — cf. § « Exemples » ci-dessus — l'énoncé peut être simplifié (les bornes supérieures existent toujours) et l'on en déduit par exemple, pour toute famille doublement indexée <span class="texhtml">(<i>x<sub>s,t</sub></i>)</span> d'éléments du treillis : </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sup _{s\in S}\left(\sup _{t\in T}(x_{s,t})\right)=\sup _{t\in T}\left(\sup _{s\in S}(x_{s,t})\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sup _{s\in S}\left(\sup _{t\in T}(x_{s,t})\right)=\sup _{t\in T}\left(\sup _{s\in S}(x_{s,t})\right).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf931a4f54fd657fb4bec4d89c2d0359cb6d734" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.141ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \sup _{s\in S}\left(\sup _{t\in T}(x_{s,t})\right)=\sup _{t\in T}\left(\sup _{s\in S}(x_{s,t})\right).}"></span></center> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Infimum&oldid=72335173">Infimum</a> » <small>(voir <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Infimum&oldid=72335173&action=history">la liste des auteurs</a></span>)</small></span>.</li></ul> <ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé <span class="plainlinks">« <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum?oldid=271092938">Infimum</a> » <small>(<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum?action=history">voir la liste des auteurs</a>)</small></span>.</li></ul> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="/wiki/Gustave_Choquet" title="Gustave Choquet">Gustave Choquet</a>, <i>Cours d'analyse, tome II : Topologie</i>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=BmVwQYR6JqgC&pg=PA129"><abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">129-130</span> de la traduction en anglais</a>.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Vladimirov2002"><span class="ouvrage" id="D._A._Vladimirov2002"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> D. A. Vladimirov, <cite class="italique" lang="en">Boolean Algebras in Analysis</cite>, <a href="/wiki/Springer_Science%2BBusiness_Media" title="Springer Science+Business Media">Springer</a>, <time>2002</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=KgKvVv_PKnsC&pg=PA5">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 5<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Boolean+Algebras+in+Analysis&rft.pub=Springer&rft.aulast=Vladimirov&rft.aufirst=D.+A.&rft.date=2002&rft.pages=5&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.fr%2Fbooks%3Fid%3DKgKvVv_PKnsC%26pg%3DPA5&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ABorne+sup%C3%A9rieure+et+borne+inf%C3%A9rieure"></span></span></span> n'énonce et ne démontre que le « seulement si », sous l'hypothèse superflue <i>T</i> non vide.</span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Articles connexes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Articles connexes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div style="column-count:2;column-gap:1em;" class="colonnes"> <ul><li><a href="/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_maximal" title="Élément maximal">Élément maximal</a></li> <li><a href="/wiki/Extremum" title="Extremum">Extremum</a></li> <li><a href="/wiki/Lemme_de_Cousin" title="Lemme de Cousin">Lemme de Cousin</a></li> <li><a href="/wiki/Limites_inf%C3%A9rieure_et_sup%C3%A9rieure" class="mw-redirect" title="Limites inférieure et supérieure">Limites inférieure et supérieure</a></li> <li><a href="/wiki/Partie_born%C3%A9e" title="Partie bornée">Partie bornée</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_L%E2%88%9E" title="Espace L∞">Sup et inf essentiels</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_bornes" class="mw-redirect" title="Théorème des bornes">Théorème des bornes</a></li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lien_externe">Lien externe</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Lien externe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Lien externe"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="ouvrage"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/Infimum"><cite style="font-style:normal;" lang="en"><span class="lang-en" lang="en">Infimum</span></cite></a> », sur <span class="italique"><a href="/wiki/PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath</a></span></span></li></ul> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer skin-invert-image" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail des mathématiques"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/24px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/36px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/48px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ce document provient de « <a dir="ltr" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Borne_supérieure_et_borne_inférieure&oldid=210166630">https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Borne_supérieure_et_borne_inférieure&oldid=210166630</a> ».</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Accueil" title="Catégorie:Accueil">Catégories</a> : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Th%C3%A9orie_des_ordres" title="Catégorie:Théorie des ordres">Théorie des ordres</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Analyse_r%C3%A9elle" title="Catégorie:Analyse réelle">Analyse réelle</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Catégories cachées : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Math%C3%A9matiques/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Mathématiques/Articles liés">Portail:Mathématiques/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Sciences/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Sciences/Articles liés">Portail:Sciences/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Projet:Math%C3%A9matiques/Articles" title="Catégorie:Projet:Mathématiques/Articles">Projet:Mathématiques/Articles</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> La dernière modification de cette page a été faite le 1 décembre 2023 à 15:17.</li> <li id="footer-info-copyright"><span style="white-space: normal"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Citation_et_r%C3%A9utilisation_du_contenu_de_Wikip%C3%A9dia" title="Wikipédia:Citation et réutilisation du contenu de Wikipédia">Droit d'auteur</a> : les textes sont disponibles sous <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions</a> ; d’autres conditions peuvent s’appliquer. Voyez les <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/fr">conditions d’utilisation</a> pour plus de détails, ainsi que les <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Cr%C3%A9dits_graphiques" title="Wikipédia:Crédits graphiques">crédits graphiques</a>. En cas de réutilisation des textes de cette page, voyez <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Citer/Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure" title="Spécial:Citer/Borne supérieure et borne inférieure">comment citer les auteurs et mentionner la licence</a>.<br /> Wikipedia® est une marque déposée de la <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikimediafoundation.org/">Wikimedia Foundation, Inc.</a>, organisation de bienfaisance régie par le paragraphe <a href="/wiki/501c" title="501c">501(c)(3)</a> du code fiscal des États-Unis.</span><br /></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/fr">Politique de confidentialité</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:%C3%80_propos_de_Wikip%C3%A9dia">À propos de Wikipédia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Avertissements_g%C3%A9n%C3%A9raux">Avertissements</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//fr.wikipedia.org/wiki/Wikipédia:Contact">Contact</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Code de conduite</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Développeurs</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/fr.wikipedia.org">Statistiques</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Déclaration sur les témoins (cookies)</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//fr.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Version mobile</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-74cc59cb9d-8mkrx","wgBackendResponseTime":151,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.182","walltime":"0.309","ppvisitednodes":{"value":1127,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":15871,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":1994,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":12,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":2,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":2294,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 208.833 1 -total"," 23.03% 48.101 1 Modèle:Portail"," 19.58% 40.893 1 Modèle:Références"," 15.43% 32.231 1 Modèle:Voir_homonymes"," 14.71% 30.720 1 Modèle:Méta_bandeau_de_note"," 14.67% 30.628 1 Modèle:Ouvrage"," 13.95% 29.137 1 Modèle:Méta_bandeau"," 13.08% 27.305 5 Modèle:Langue"," 9.68% 20.209 1 Modèle:Catégorisation_badges"," 8.86% 18.511 1 Modèle:Suivi_des_biographies"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.071","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":3775799,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.canary-64745488fd-gf2xx","timestamp":"20241128104225","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Borne sup\u00e9rieure et borne inf\u00e9rieure","url":"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q17502105","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q17502105","author":{"@type":"Organization","name":"Contributeurs aux projets Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Fondation Wikimedia, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2004-03-18T10:18:44Z","dateModified":"2023-12-01T14:17:07Z","headline":"plus petit (resp. plus grand) des majorants (resp. des minorants) d'un ensemble partiellement ordonn\u00e9 (n'existent pas n\u00e9cessairement dans cet ensemble)"}</script> </body> </html>