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href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Ordre_total" title="Ordre total – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Ordre total" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs badge-Q70893996 mw-list-item" title=""><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Line%C3%A1rn%C3%AD_uspo%C5%99%C3%A1d%C3%A1n%C3%AD" title="Lineární uspořádání – tchèque" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Lineární uspořádání" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tchèque" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D0%B5_%D0%B9%C4%95%D1%80%D0%BA%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%C4%95_%D0%B9%D1%8B%D1%88" title="Линилле йĕркеленнĕ йыш – tchouvache" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Линилле йĕркеленнĕ йыш" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="tchouvache" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Total_ordning" title="Total ordning – danois" lang="da" hreflang="da" data-title="Total ordning" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danois" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Totalordnung" title="Totalordnung – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Totalordnung" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Total_order" title="Total order – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Total order" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Totala_ordo" title="Totala ordo – espéranto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Totala ordo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Orden_total" title="Orden total – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Orden total" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Lineaarne_j%C3%A4rjestus" title="Lineaarne järjestus – estonien" lang="et" hreflang="et" data-title="Lineaarne järjestus" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonien" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%B1%D8%AA%DB%8C%D8%A8_%DA%A9%D9%84%DB%8C" title="ترتیب کلی – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="ترتیب کلی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Orde_total" title="Orde total – galicien" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Orde total" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicien" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A1%D7%93%D7%A8_%D7%9E%D7%9C%D7%90" title="סדר מלא – hébreu" lang="he" hreflang="he" data-title="סדר מלא" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hébreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Totalno_ure%C4%91en_skup" title="Totalno uređen skup – croate" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Totalno uređen skup" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croate" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Urutan_total" title="Urutan total – indonésien" lang="id" hreflang="id" data-title="Urutan total" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésien" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Ordine_totale" title="Ordine totale – italien" lang="it" hreflang="it" data-title="Ordine totale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F" title="全順序 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="全順序" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%84%EC%88%9C%EC%84%9C_%EC%A7%91%ED%95%A9" title="전순서 집합 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="전순서 집합" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Totale_orde" title="Totale orde – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Totale orde" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Total_orden" title="Total orden – norvégien bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Total orden" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvégien bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Porz%C4%85dek_liniowy" title="Porządek liniowy – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Porządek liniowy" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Rela%C8%9Bie_de_ordine_total%C4%83" title="Relație de ordine totală – roumain" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Relație de ordine totală" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="roumain" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Линейно упорядоченное множество – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Линейно упорядоченное множество" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Line%C3%A1rne_usporiadan%C3%A1_mno%C5%BEina" title="Lineárne usporiadaná množina – slovaque" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Lineárne usporiadaná množina" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaque" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4r_ordning" title="Linjär ordning – suédois" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Linjär ordning" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suédois" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%BE_%D0%B2%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Лінійно впорядкована множина – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Лінійно впорядкована множина" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Th%E1%BB%A9_t%E1%BB%B1_to%C3%A0n_ph%E1%BA%A7n" title="Thứ tự toàn phần – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Thứ tự toàn phần" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E5%BA%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB" title="全序关系 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="全序关系" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q369377#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Ordre_total" title="Voir le contenu de la page [c]" accesskey="c"><span>Article</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discussion:Ordre_total" rel="discussion" title="Discussion au sujet de cette page de contenu [t]" accesskey="t"><span>Discussion</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " 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mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&action=history" title="Historique des versions de cette page [h]" accesskey="h"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Outils" > <label 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</div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><div class="bandeau-container metadata bandeau-article bandeau-niveau-ebauche"><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/35px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png" decoding="async" width="35" height="35" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/53px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/70px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p><strong class="bandeau-titre">Cet article est une <a href="/wiki/Aide:%C3%89bauche" title="Aide:Ébauche">ébauche</a> concernant les <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>.</strong> </p><p>Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (<b><a href="/wiki/Aide:Comment_modifier_une_page" title="Aide:Comment modifier une page">comment ?</a></b>) selon les recommandations des <a href="/wiki/Projet:Accueil" title="Projet:Accueil">projets correspondants</a>. </p> </div></div> <div class="bandeau-container metadata bandeau-article bandeau-niveau-modere"><figure class="mw-halign-right noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:%C3%80_sourcer" title="Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus."><img alt="Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/12px-Info_Simple.svg.png" decoding="async" width="12" height="12" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/18px-Info_Simple.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/24px-Info_Simple.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a><figcaption>Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus.</figcaption></figure><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:2017-fr.wp-orange-source.svg" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/2017-fr.wp-orange-source.svg/45px-2017-fr.wp-orange-source.svg.png" decoding="async" width="45" height="45" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/2017-fr.wp-orange-source.svg/68px-2017-fr.wp-orange-source.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/2017-fr.wp-orange-source.svg/90px-2017-fr.wp-orange-source.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p><strong class="bandeau-titre">Cet article <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Citez_vos_sources" title="Wikipédia:Citez vos sources">ne cite pas suffisamment ses sources</a></strong> <small>(<time class="nowrap" datetime="2015-08" data-sort-value="2015-08">août 2015</time>).</small> </p><p>Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les <b>références utiles à sa <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:V%C3%A9rifiabilit%C3%A9" title="Wikipédia:Vérifiabilité">vérifiabilité</a></b> et en les liant à la section « <a href="/wiki/Aide:Ins%C3%A9rer_une_r%C3%A9f%C3%A9rence" title="Aide:Insérer une référence">Notes et références</a> ». </p><p><b>En pratique :</b> <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Citez_vos_sources#Qualité_des_sources" title="Wikipédia:Citez vos sources">Quelles sources sont attendues ?</a> <a href="/wiki/Aide:Ins%C3%A9rer_une_r%C3%A9f%C3%A9rence_(%C3%89diteur_visuel)" title="Aide:Insérer une référence (Éditeur visuel)">Comment ajouter mes sources ?</a> </p> </div></div> <p>En <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, on appelle <b>relation d'ordre total</b> ou <b>d'ordre linéaire</b> sur un <a href="/wiki/Ensemble" title="Ensemble">ensemble</a> <i>E</i> toute <a href="/wiki/Relation_d%27ordre" title="Relation d'ordre">relation d'ordre</a> ≤ pour laquelle deux éléments de <i>E</i> sont toujours comparables, c'est-à-dire que </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x,y\in E\quad x\leq y{\text{ ou }}y\leq x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>E</mi> <mspace width="1em" /> <mi>x</mi> <mo>≤</mo> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> ou </mtext> </mrow> <mi>y</mi> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x,y\in E\quad x\leq y{\text{ ou }}y\leq x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc292662f47e1bd2e9cdebc8197407fd9267367e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.534ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \forall x,y\in E\quad x\leq y{\text{ ou }}y\leq x}"></span>.</center> <p>On dit alors que <i>E</i> est totalement ordonné par ≤. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définition"><span id="D.C3.A9finition"></span>Définition</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Définition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Définition"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Une <a href="/wiki/Relation_binaire" title="Relation binaire">relation binaire</a> ≤ sur un ensemble <i>E</i> est un ordre total si (pour tous éléments <i>x</i>, <i>y</i> et <i>z</i> de <i>E</i>) : </p> <ul><li><i>x</i> ≤ <i>x</i> (<a href="/wiki/Relation_r%C3%A9flexive" title="Relation réflexive">réflexivité</a>) ;</li> <li>si <i>x</i> ≤ <i>y</i> et <i>y</i> ≤ <i>x</i>, alors <i>x</i> = <i>y</i> (<a href="/wiki/Relation_antisym%C3%A9trique" title="Relation antisymétrique">antisymétrie</a>) ;</li> <li>si <i>x</i> ≤ <i>y</i> et <i>y</i> ≤ <i>z</i>, alors <i>x</i> ≤ <i>z</i> (<a href="/wiki/Relation_transitive" title="Relation transitive">transitivité</a>) ;</li> <li><i>x</i> ≤ <i>y</i> <a href="/wiki/Disjonction_logique" title="Disjonction logique">ou</a> <i>y</i> ≤ <i>x</i> (<a href="/wiki/Relation_binaire#Relation_totale" title="Relation binaire">totalité</a>).</li></ul> <p>Les trois premières propriétés sont celles faisant de ≤ une relation d'ordre. La quatrième fait de cet ordre un ordre total. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples">Exemples</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Exemples" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Exemples"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>L'ensemble des lettres d'un <a href="/wiki/Alphabet" title="Alphabet">alphabet</a> est totalement ordonné par un <a href="/wiki/Ordre_alphab%C3%A9tique" class="mw-redirect" title="Ordre alphabétique">ordre alphabétique</a>.</li> <li>Tout <a href="/wiki/Corps_euclidien" title="Corps euclidien">corps euclidien</a>, comme le <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">corps ℝ des réels</a>, est muni d'un ordre total naturel : <i>x</i> ≤ <i>y</i> si et seulement si <i>y – x</i> est un <a href="/wiki/Carr%C3%A9_(alg%C3%A8bre)" title="Carré (algèbre)">carré</a>.</li> <li>Soient <i>f</i> : <i>X</i> → <i>Y</i> une <a href="/wiki/Injection_(math%C3%A9matiques)" title="Injection (mathématiques)">injection</a>, ≤ un ordre sur <i>Y</i>, et ≼ l'ordre induit sur <i>X</i> en posant : <i>x</i><sub>1</sub> ≼ <i>x</i><sub>2</sub> si et seulement si <i>f</i>(<i>x</i><sub>1</sub>) ≤ <i>f</i>(<i>x</i><sub>2</sub>). Si ≤ est total alors ≼ aussi. En particulier : toute restriction à une <a href="/wiki/Inclusion_(math%C3%A9matiques)" title="Inclusion (mathématiques)">partie</a> <i>X</i> de <i>Y</i> d'un ordre total sur <i>Y</i> est un ordre total sur <i>X</i>. Par exemple, toute partie de ℝ est totalement ordonnée par la relation d'ordre usuelle.</li> <li>Si un ordre ≤ sur <i>E</i> est total, alors l'<a href="/wiki/Ordre_oppos%C3%A9" class="mw-redirect" title="Ordre opposé">ordre opposé</a> ≥ sur <i>E</i> est total (la <a href="/wiki/R%C3%A9ciproque" class="mw-redirect" title="Réciproque">réciproque</a> en résulte).</li> <li>L'<a href="/wiki/Relation_d%27ordre#Exemples_et_contre-exemples" title="Relation d'ordre">ordre lexicographique</a> sur le <a href="/wiki/Produit_cart%C3%A9sien" title="Produit cartésien">produit cartésien</a> d'un <a href="/wiki/Ensemble_bien_ordonn%C3%A9" title="Ensemble bien ordonné">ensemble bien ordonné</a> d'ensembles totalement ordonnés, est lui-même un ordre total ; par exemple, tout ensemble de mots est totalement ordonné par l'ordre alphabétique, et tout bon ordre est un ordre total.</li> <li>Une <b>chaîne</b> d'un <a href="/wiki/Ordre_partiel" class="mw-redirect" title="Ordre partiel">ensemble partiellement ordonné</a> (<i>E</i>, ≤) est une partie de <i>E</i> sur laquelle l'ordre ≤ est total. Cette notion joue un rôle important en <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles" title="Théorie des ensembles">théorie des ensembles</a>, par le <a href="/wiki/Lemme_de_Zorn" title="Lemme de Zorn">lemme de Zorn</a>.</li> <li>On peut définir un ensemble totalement ordonné comme un <a href="/wiki/Treillis_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Treillis (mathématiques)">treillis</a> dans lequel {<i>a</i>∨<i>b</i>, <i>a</i>∧<i>b</i>} = {<i>a, b</i>} pour tous <i>a</i>, <i>b</i> ; on peut alors poser <i>a</i> ≤ <i>b</i> si et seulement si <i>a</i> = <i>a</i>∧<i>b</i> ; on démontre qu'un ordre total est aussi un treillis distributif.</li> <li>D'après le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27extension_de_Szpilrajn" title="Théorème d'extension de Szpilrajn">théorème d'extension de Szpilrajn</a>, tout ordre partiel ≤ sur un ensemble <i>E</i> est prolongeable en un ordre total sur <i>E</i>, appelé une <a href="/wiki/Extension_lin%C3%A9aire" title="Extension linéaire">extension linéaire</a> de ≤.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Contre-exemples">Contre-exemples</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Contre-exemples" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Contre-exemples"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Divisibilit%C3%A9#Dans_l'ensemble_des_entiers_naturels" title="Divisibilité">Sur l'ensemble des entiers naturels, la relation d'ordre « est un diviseur de »</a> n'est pas un ordre total, car on peut trouver des <a href="/wiki/Paire" title="Paire">paires</a> d'entiers positifs dont aucun n'est diviseur de l'autre.</li> <li>De même, sur l'<a href="/wiki/Ensemble_des_parties_d%27un_ensemble" title="Ensemble des parties d'un ensemble">ensemble des parties d'un ensemble</a> qui contient au moins deux éléments <i>a</i> et <i>b</i> (distincts), l'<a href="/wiki/Inclusion_(math%C3%A9matiques)" title="Inclusion (mathématiques)">inclusion</a> n'est qu'un ordre partiel : on n'a ni {<i>a</i>} ⊂ {<i>b</i>}, ni {<i>b</i>} ⊂ {<i>a</i>}.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Le_cas_fini">Le cas fini</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Le cas fini" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Le cas fini"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Dans un <a href="/wiki/Ensemble_fini" title="Ensemble fini">ensemble fini</a> totalement ordonné, toute partie non vide a un <a href="/wiki/Plus_petit_%C3%A9l%C3%A9ment" class="mw-redirect" title="Plus petit élément">plus petit élément</a>. Autrement dit : sur un ensemble fini, tout ordre total est un <a href="/wiki/Bon_ordre" class="mw-redirect" title="Bon ordre">bon ordre</a>.</li> <li>Tout ensemble fini totalement ordonné est <a href="/wiki/Isomorphisme#Exemples" title="Isomorphisme">isomorphe pour l'ordre</a> à un segment initial de <b>N</b>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="En_théorie_des_catégories"><span id="En_th.C3.A9orie_des_cat.C3.A9gories"></span>En théorie des catégories</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : En théorie des catégories" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : En théorie des catégories"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les ensembles totalement ordonnés forment une <a href="/wiki/Sous-cat%C3%A9gorie" class="mw-redirect" title="Sous-catégorie">sous-catégorie</a> de la <a href="/wiki/Morphisme#Cas_des_ensembles_ordonnés" title="Morphisme">catégorie des ordres</a>, dont les <a href="/wiki/Morphisme" title="Morphisme">morphismes</a> sont les <a href="/wiki/Fonction_croissante" class="mw-redirect" title="Fonction croissante">applications croissantes</a>. </p><p>Toute <a href="/wiki/Bijection" title="Bijection">bijection</a> croissante d'un ordre total dans ordre quelconque est un <a href="/wiki/Isomorphisme_d%27ensembles_ordonn%C3%A9s" class="mw-redirect" title="Isomorphisme d'ensembles ordonnés">isomorphisme d'ordres</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ordre_strict_total">Ordre strict total</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Ordre strict total" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Ordre strict total"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La <a href="/wiki/Relation_d%27ordre#Relation_d'ordre_strict" title="Relation d'ordre">bijection canonique entre les ordres stricts et les ordres</a> sur un même ensemble <i>E</i> associe une relation d'ordre strict < (antiréflexive et transitive donc antisymétrique) à une relation d'ordre ≤ (réflexive, transitive et antisymétrique), par : </p> <dl><dd><i>x</i> < <i>y</i> ⇔ (<i>x</i> ≤ <i>y</i> et <i>x</i> ≠ <i>y</i>)</dd></dl> <p>ou encore : </p> <dl><dd><i>x</i> ≤ <i>y</i> ⇔ (<i>x</i> < <i>y</i> ou <i>x</i> = <i>y</i>).</dd></dl> <p>Un ordre ≤ est total si et seulement si son ordre strict associé < vérifie : </p> <dl><dd>∀ <i>x</i>, <i>y</i> ∈ <i>E</i> (<i>x</i> < <i>y</i> ou <i>x</i> = <i>y</i> ou <i>y</i> < <i>x</i>).</dd></dl> <p>On appelle <i>ordre strict total</i> tout ordre strict vérifiant cette propriété, dite « de trichotomie ». </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Référence"><span id="R.C3.A9f.C3.A9rence"></span>Référence</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Référence" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Référence"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div style="font-size:85%; padding-left:1.6em; margin:0.3em 0;"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé <span class="plainlinks">« <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Total_order?oldid=300575966">Total order</a> » <small>(<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Total_order?action=history">voir la liste des auteurs</a>)</small></span>.</div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Ordre_total&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Groupe_totalement_ordonn%C3%A9" class="mw-redirect" title="Groupe totalement ordonné">Groupe totalement ordonné</a></li> <li><a href="/wiki/Corps_totalement_ordonn%C3%A9" class="mw-redirect" title="Corps totalement ordonné">Corps totalement ordonné</a></li> <li><a href="/wiki/Probl%C3%A8me_de_Souslin" title="Problème de Souslin">Problème de Souslin</a></li></ul> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer skin-invert-image" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail des mathématiques"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/24px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/36px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/48px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ce document provient de « <a dir="ltr" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Ordre_total&oldid=218081605">https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Ordre_total&oldid=218081605</a> ».</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Accueil" title="Catégorie:Accueil">Catégorie</a> : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Pr%C3%A9ordre" title="Catégorie:Préordre">Préordre</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Catégories cachées : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Wikip%C3%A9dia:%C3%A9bauche_math%C3%A9matiques" title="Catégorie:Wikipédia:ébauche mathématiques">Wikipédia:ébauche mathématiques</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Article_manquant_de_r%C3%A9f%C3%A9rences_depuis_ao%C3%BBt_2015" title="Catégorie:Article manquant de références depuis août 2015">Article manquant de références depuis août 2015</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Article_manquant_de_r%C3%A9f%C3%A9rences/Liste_compl%C3%A8te" title="Catégorie:Article manquant de références/Liste complète">Article manquant de références/Liste complète</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Math%C3%A9matiques/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Mathématiques/Articles liés">Portail:Mathématiques/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Sciences/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Sciences/Articles liés">Portail:Sciences/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Projet:Math%C3%A9matiques/Articles" title="Catégorie:Projet:Mathématiques/Articles">Projet:Mathématiques/Articles</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> La dernière modification de cette page a été faite le 27 août 2024 à 12:36.</li> <li id="footer-info-copyright"><span style="white-space: normal"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Citation_et_r%C3%A9utilisation_du_contenu_de_Wikip%C3%A9dia" title="Wikipédia:Citation et réutilisation du contenu de Wikipédia">Droit d'auteur</a> : les textes sont disponibles sous <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions</a> ; 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