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<li id="toc-自然変換" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#自然変換"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>自然変換</span> </div> </a> <ul id="toc-自然変換-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-関手に対する様々な条件" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関手に対する様々な条件"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>関手に対する様々な条件</span> </div> </a> <ul id="toc-関手に対する様々な条件-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-表現可能関手" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#表現可能関手"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>表現可能関手</span> </div> </a> <ul id="toc-表現可能関手-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-例" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 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data-title="Funktori" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="フィンランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur" title="フランス語: Foncteur" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Foncteur" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8" title="ヘブライ語: פונקטור" lang="he" hreflang="he" data-title="פונקטור" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ヘブライ語" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Fungtor" title="インドネシア語: Fungtor" lang="id" hreflang="id" data-title="Fungtor" data-language-autonym="Bahasa 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wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q864475" title="関連付けられたデータリポジトリ項目へのリンク [g]" accesskey="g"><span>ウィキデータ項目</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ページツール"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="表示"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" 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.ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid #fc3}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output .ambox-protection{border-left:10px solid #a2a9b1}.mw-parser-output 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href="/wiki/Template:Find_sources_mainspace" title="Template:Find sources mainspace"><sup>?</sup></a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&as_eq=wikipedia&q=%22%E9%96%A2%E6%89%8B%22&num=50">"関手"</a> – <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%22%E9%96%A2%E6%89%8B%22&tbm=nws">ニュース</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&tbs=bks:1&q=%22%E9%96%A2%E6%89%8B%22">書籍</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="//scholar.google.co.jp/scholar?num=100&hl=ja&q=%22%E9%96%A2%E6%89%8B%22">スカラー</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ci.nii.ac.jp/opensearch/search?lang=ja&q=%22%E9%96%A2%E6%89%8B%22&range=2&count=200&sortorder=1&type=0">CiNii</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jstage.jst.go.jp/result/global/-char/ja?globalSearchKey=%22%E9%96%A2%E6%89%8B%22">J-STAGE</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ndlsearch.ndl.go.jp/api/openurl?any=%22%E9%96%A2%E6%89%8B%22">NDL</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dlib.jp/?q=%22%E9%96%A2%E6%89%8B%22">dlib.jp</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://jpsearch.go.jp/csearch/jps-cross?csid=jps-cross&keyword=%22%E9%96%A2%E6%89%8B%22">ジャパンサーチ</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikipedialibrary.wmflabs.org/partners/">TWL</a></span></small></span> <span class="date-container"><i>(<span class="date"><span title="2015年10月">2015年10月</span></span>)</i></span></div></td></tr></tbody></table> <p><a href="/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96" title="圏論">圏論</a>における<b>関手</b>（かんしゅ、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">functor</span>）は、<a href="/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="圏 (数学)">圏</a>から圏への構造と両立する対応付けである。関手によって一つの<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>体系から別の体系への組織的な対応が定式化される。関手は「<a href="/wiki/%E5%9C%8F%E3%81%AE%E5%9C%8F" class="mw-redirect" title="圏の圏">圏の圏</a>」における<a href="/wiki/%E5%B0%84_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="射 (圏論)">射</a>と考えることもできる。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="歴史"><span id=".E6.AD.B4.E5.8F.B2"></span>歴史</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&section=1" title="節を編集: 歴史"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>関手の概念の萌芽は<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2" title="エヴァリスト・ガロア">エヴァリスト・ガロア</a>による<a href="/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="群 (数学)">群</a>を用いた<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="代数方程式">代数方程式</a>の研究に見ることができる。 </p><p>20世紀初めの<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%8D%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC" title="エミー・ネーター">エミー・ネーター</a>らによる<a href="/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4" title="環上の加群">加群</a>の研究において拡大加群などさまざまな関手的構成が蓄積された。 </p><p>20世紀半ばの<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="代数的位相幾何学">代数的位相幾何学</a>において実際に関手が定義され、図形から様々な「自然な」代数的構造を取り出す操作を定式化するために利用された。 </p><p>ここでは（<a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%BE%A4" title="基本群">基本群</a>のような）代数的対象が<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93" title="位相空間">位相空間</a>から導かれ、位相空間の間の<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F" title="連続写像">連続写像</a>は基本群の間の代数的<a href="/wiki/%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="準同型">準同型</a>を導いている。 </p><p>その後<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF" title="アレクサンドル・グロタンディーク">アレクサンドル・グロタンディーク</a>らによる<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="代数幾何学">代数幾何学</a>の変革の中で様々な数学的対象の関手による定式化が徹底的に追求された。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="定義"><span id=".E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>定義</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&section=2" title="節を編集: 定義"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="共変関手"><span id=".E5.85.B1.E5.A4.89.E9.96.A2.E6.89.8B"></span>共変関手</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&section=3" title="節を編集: 共変関手"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E5%9C%8F_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" class="mw-redirect" title="圏 (圏論)">圏</a> <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> から圏 <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> への関手、特に<b>共変関手</b>（きょうへんかんしゅ、<span lang="en">covariant functor</span>）<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">F</span> は、 </p> <ul><li><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> の各<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E8%B1%A1_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" class="mw-redirect" title="対象 (圏論)">対象</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> を <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> の各対象 <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>(<i>X</i>)</span> に対応させる</li> <li><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> における<a href="/wiki/%E5%B0%84_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="射 (圏論)">射</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i></span> を <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> における射 <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>(<i>f</i>): <i>F</i>(<i>X</i>) → <i>F</i>(<i>Y</i>)</span> に対応させ、以下の性質を満たす <ul><li>各対象 <span lang="en" class="texhtml"><i>X</i> ∈ <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span></span> に対して <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>(id<sub><i>X</i></sub>) = id<sub><i>F</i>(<i>X</i>) </sub></span>,</li> <li>任意の射 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i></span> および <span lang="en" class="texhtml"><i>g</i>: <i>Y</i> → <i>Z</i></span> に対して <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>(<i>g</i> ∘ <i>f</i>) = <i>F</i>(<i>g</i>) ∘ <i>F</i>(<i>f</i>)</span>.</li></ul></li></ul> <p>すなわち、関手に対して恒等射および射の合成を保存することが要請される。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="反変関手"><span id=".E5.8F.8D.E5.A4.89.E9.96.A2.E6.89.8B"></span>反変関手</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&section=4" title="節を編集: 反変関手"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>関手に似た形式を持ちながら、射を反転させる（合成を逆向きにする）ような対応が多数存在する。そこで、<span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> から <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> への <b>反変関手</b>（はんへんかんしゅ、<span lang="en">contravariant functor</span>）<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">F</span> が、各対象 <span lang="en" class="texhtml"><i>X</i> ∈ <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span></span> を対象 <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>(<i>X</i>) ∈ <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span></span> に対応させ、各射 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i> ∈ <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span></span> を射 <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>(<i>f</i>): <i>F</i>(<i>Y</i>) → <i>F</i>(<i>X</i>) ∈ <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span></span> に対応させるとき、以下の性質 </p> <ul><li>全ての対象 <span lang="en" class="texhtml"><i>X</i> ∈ <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;"><i>C</i></span></span> において <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>(id<sub><i>X</i></sub>) = id<sub><i>F</i>(<i>X</i>)</sub></span>,</li> <li>全ての射 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i></span> および <span lang="en" class="texhtml"><i>g</i>: <i>Y</i> → <i>Z</i></span> に対して <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>(<i>g</i> ∘ <i>f</i>) = <i>F</i>(<i>f</i>) ∘ <i>F</i>(<i>g</i>)</span></li></ul> <p>を満たすものとして定義される。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="注意"><span id=".E6.B3.A8.E6.84.8F"></span>注意</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&section=5" title="節を編集: 注意"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> の<a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E5%9C%8F" class="mw-redirect" title="双対圏">双対圏</a> <span lang="en" class="texhtml"><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span><sup>op</sup></span> を考えるならば、反変関手 <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>: <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> → <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span></span> をかわりに（共変）関手 <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>: <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span><sup>op</sup> → <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span></span>（場合によっては <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>: <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> → <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span><sup>op</sup></span>）と見ることによって、共変関手の概念だけで処理することができる。 </p><p>反変関手はまれに「余関手」（よかんしゅ、<span lang="en">cofunctor</span>）と呼ばれることもあるが、圏論の文脈で「（圏論的）双対」（つまり「全ての矢印を逆向きにする」）を意味する接頭辞「余」の使い方とは乖離がある。（共変）関手 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">F</span> は射 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i></span> を射 <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>(<i>f</i>): <i>F</i>(<i>X</i>) → <i>F</i>(<i>Y</i>)</span> に対応させるものだが、ここで双対を得るために全ての矢印を逆向きにするなら射 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> ← <i>Y</i></span> に射 <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>(<i>f</i>): <i>F</i>(<i>X</i>) ← <i>F</i>(<i>Y</i>)</span> が対応することになる。これは結局のところ普通の共変関手の概念を表している。つまり関手とは自己双対的な概念であり、字義どおりにとらえるなら余関手と関手とは同じ概念を表している。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="性質"><span id=".E6.80.A7.E8.B3.AA"></span>性質</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&section=6" title="節を編集: 性質"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>関手の<a href="/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86" title="公理">公理</a>からの重要な帰結として </p> <ul><li><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">F</span> は <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> における<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E5%9B%B3%E5%BC%8F" title="可換図式">可換図式</a>を <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> における可換図式へうつす。</li> <li><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> が <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> における<a href="/wiki/%E5%90%8C%E5%9E%8B%E5%B0%84" class="mw-redirect" title="同型射">同型射</a>ならば <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>(<i>f</i>)</span> は <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> における同型射</li></ul> <p>の二つがあげられる。 </p><p>いかなる圏 <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> においても、<b><span id="恒等関手"></span><span id="恒等函手"></span>恒等関手</b>（こうとうかんしゅ、<span lang="en">identity functor</span>）<span lang="en" class="texhtml">1<sub><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span></sub></span> が、どの対象も射もそれ自身へうつすものとして定まる。函手 <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>: <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">A</span> → <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">B</span></span> および <span lang="en" class="texhtml"><i>G</i>: <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">B</span> → <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span></span> に対し、それらの合成 <span lang="en" class="texhtml"><i>GF</i>: <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">A</span> → <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span></span> を考えることができる。関手の合成は、それが定義される限り結合的である。このことから、関手が<a href="/wiki/%E5%9C%8F%E3%81%AE%E5%9C%8F" class="mw-redirect" title="圏の圏">圏の圏</a>における射となることが示される。 </p><p>唯一つの対象からなる圏は、射をその元とし、合成をその演算とするような<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89" title="モノイド">モノイド</a>と同値である。圏と見なしたモノイドの間の関手はモノイドの準同型に他ならない。その意味で、勝手な圏の間の関手は、モノイドの準同型の、二つ以上の対象を持つ圏へのある種の一般化になっている。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="自然変換"><span id=".E8.87.AA.E7.84.B6.E5.A4.89.E6.8F.9B"></span>自然変換</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&section=7" title="節を編集: 自然変換"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="自然変換">自然変換</a>」を参照</div> <p>圏として定式化された数学理論の上に関手によってさまざまな自然な構成が与えられるが、自然変換によって2つの構成を比較する「自然な準同型」が記述される。時に2つの見かけ上異なった構成が同等の概念を定めていることがあるが、この状況は2つの関手の間の<b>自然同型</b>になっている自然変換によってとらえられる。 </p> <p><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">F, G</span> が圏 <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> と <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> の間の（共変）関手であるとき、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">F</span> から <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> への<b>自然変換</b> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">η</span> は <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> に含まれる全ての対象 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> に対し <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> の射 <span lang="en" class="texhtml"><i>η<sub>X</sub></i>: <i>F</i>(<i>X</i>) → <i>G</i>(<i>X</i>)</span> を与える。このとき、<span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> の任意の射 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i></span> に対し、<span lang="en" class="texhtml"><i>η<sub>Y</sub></i> ∘ <i>F</i>(<i>f</i>) = <i>G</i>(<i>f</i>) ∘ <i>η<sub>X</sub></i></span> が成り立つ。これは即ち、以下の図式</p><figure class="mw-default-size mw-halign-center" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Natural_transformation.svg" class="mw-file-description" title="自然変換を定義する可換図式"><img alt="自然変換を定義する可換図式" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Natural_transformation.svg/125px-Natural_transformation.svg.png" decoding="async" width="125" height="101" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Natural_transformation.svg/188px-Natural_transformation.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Natural_transformation.svg/250px-Natural_transformation.svg.png 2x" data-file-width="125" data-file-height="101" /></a><figcaption>自然変換を定義する可換図式</figcaption></figure><p>が<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E5%9B%B3%E5%BC%8F" title="可換図式">可換</a>になることを意味している。 </p><p>函手 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">F</span> から <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> への自然変換 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">η</span> が存在して <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">η<sub>X</sub></span> が <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> に含まれる全ての対象 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> に対して<a href="/wiki/%E5%90%8C%E5%9E%8B%E5%B0%84" class="mw-redirect" title="同型射">同型射</a>となるとき、この自然変換は<b>自然同型</b>であるといい、<span lang="en" class="texhtml"><i>F</i> ≈<sub><i>η</i></sub> <i>G</i></span> などと書く。圏 <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C, D</span> の間の関手 <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>: <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> → <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span>, <i>G</i>: <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> → <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span></span> について自然同型 <span lang="en" class="texhtml"><i>GF</i> ≈ Id<sub><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span></sub>, <i>FG</i> ≈ Id<sub><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span></sub></span> がともに成り立つならば <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> と <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> は同等なもの（<b><a href="/wiki/%E5%9C%8F%E5%90%8C%E5%80%A4" title="圏同値">圏同値</a></b>）と見なされる（さらにこれら二つの自然同型 (≈) が厳密に等号 (=) で成り立つ<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%9C%8F%E5%90%8C%E5%9E%8B&action=edit&redlink=1" class="new" title="「圏同型」 (存在しないページ)">圏同型</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphism_of_categories" class="extiw" title="en:Isomorphism of categories">英語版</a>）</span></span>を考えることもできるが、実用上これは条件として強すぎる）。 </p><p><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> から <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> への関手を対象とし、関手の間の自然変換を射とすることで<b><a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%89%8B%E5%9C%8F" title="関手圏">関手圏</a></b> <span lang="en" class="texhtml">Funct(<span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span>, <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span>)</span> が考えられる。こうして得られる圏に図式の圏や前層の圏、層の圏がある。また、群 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> が<a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E4%BD%9C%E7%94%A8" class="mw-redirect" title="群の作用">作用</a>する集合の圏は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> を圏と見なしたときの <span lang="en" class="texhtml">Funct(<i>G</i>, <b>Sets</b>)</span> と同値になる<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関手に対する様々な条件"><span id=".E9.96.A2.E6.89.8B.E3.81.AB.E5.AF.BE.E3.81.99.E3.82.8B.E6.A7.98.E3.80.85.E3.81.AA.E6.9D.A1.E4.BB.B6"></span>関手に対する様々な条件</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&section=8" title="節を編集: 関手に対する様々な条件"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>以下 <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>: <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> → <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span></span> を関手とする。 </p> <dl><dt><a href="/wiki/%E5%BF%A0%E5%AE%9F%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="忠実関手">忠実関手</a>と<a href="/wiki/%E5%85%85%E6%BA%80%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="充満関手">充満関手</a></dt> <dd><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> の任意の対象 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X, Y</span> について <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i>: Hom<sub><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span></sub>(<i>X</i>, <i>Y</i>) → Hom<sub><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span></sub>(<i>FX</i>, <i>FY</i>); <i>f</i> → <i>F</i>(<i>f</i>)</span> が<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E5%B0%84" class="mw-redirect" title="モノ射">単射</a>のとき <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">F</span> は<b>忠実</b>であるといい、この対応が<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%94%E5%B0%84" title="エピ射">全射</a>のとき <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">F</span> は<b>充満</b>であるという。</dd> <dt><a href="/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E9%96%A2%E6%89%8B" title="随伴関手">随伴関手</a></dt> <dd>函手 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">F</span> に対して函手 <span lang="en" class="texhtml"><i>G</i>: <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> → <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span></span> が <span lang="en" class="texhtml">Hom<sub><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span></sub>(<i>FX</i>, <i>Y</i>) ≡ Hom<sub><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span></sub>(<i>X</i>, <i>GY</i>)</span> を満たすならば <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">F</span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> の<b>左随伴</b>であると言い、 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">F</span> の<b>右随伴</b>であると言う。</dd> <dt><a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95%E7%9A%84%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="加法的関手">加法的関手</a></dt> <dd>射の集合が<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="アーベル群">アーベル群</a>となっている圏（<span lang="en" class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">Ab</span></span>-豊饒圏）の間の函手が、射の集合の間の群準同型を与えるならば<b>加法的</b>であると言う。</dd> <dt><a href="/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E9%96%A2%E6%89%8B" title="完全関手">完全関手</a></dt> <dd><a href="/wiki/%E7%9F%AD%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%88%97" class="mw-redirect" title="短完全列">短完全列</a> を短完全列に写すような関手は<b>完全</b>であると言い、完全関手は任意の完全系列を保つ。有限の極限のみを保つ関手は<b>左完全</b>、双対的に有限の余極限のみを保つ関手は<b>右完全</b>と言う。</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="表現可能関手"><span id=".E8.A1.A8.E7.8F.BE.E5.8F.AF.E8.83.BD.E9.96.A2.E6.89.8B"></span>表現可能関手</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&section=9" title="節を編集: 表現可能関手"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>圏 <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> の対象 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> について <span lang="en" class="texhtml">Hom<sub><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span></sub>(—, <i>X</i>)</span> や <span lang="en" class="texhtml">Hom<sub><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span></sub>(<i>X</i>, —)</span> の形にかけるような <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> から <a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="集合の圏"><b>Sets</b></a> （または <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> の hom-集合の<a href="/wiki/%E8%B1%8A%E9%A5%92%E5%9C%8F" class="mw-redirect" title="豊饒圏">構造</a>を表すしかるべき圏）への関手は<b><a href="/wiki/%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="表現可能関手">表現可能関手</a></b>とよばれる。<a href="/wiki/%E7%B1%B3%E7%94%B0%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C" title="米田の補題">米田の補題</a>によって表現可能関手たちとその間の自然変換はもとの圏の構造を完全に反映していることが知られる。数学のさまざまな場面で与えられた関手が表現可能であるかどうかやどんな対象によって表現されるか、あるいはその関手が表現可能になるように圏を変形できるかということが問題になる。 </p><p>特定の形の図式に関する極限は図式圏への対角埋め込み関手に対する右随伴関手として定式化できる。<a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D" title="テンソル積">テンソル積</a>や対象積、交代積は多重線形写像の関手を表現するような対象として定式化できる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="例"><span id=".E4.BE.8B"></span>例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&section=10" title="節を編集: 例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dt><span id="自己関手"></span><span id="自己函手"></span>自己関手</dt> <dd>圏 <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> から同じ圏 <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> への関手は、<b>自己関手</b>（じこかんしゅ、<span lang="en"><i>endofunctor</i></span>）と呼ばれる。恒等関手は自己関手の自明な例である。また、圏 <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> から、その<a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E5%9C%8F" title="部分圏">部分圏</a> <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> への関手は、圏 <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> における自己関手でもある。</dd> <dt><span id="定関手"></span><span id="定函手"></span><span id="定値函手"></span><span id="選択函手"></span>定関手</dt> <dd>空でない圏 <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> の対象 <i>X</i> について、任意の圏 <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> から <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> への <i>X</i> が定める<b>定関手</b>（ていかんしゅ、<span lang="en">constant functor</span>）を以下のようにして構成できる： <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> の全ての対象を <i>X</i> に写し、<span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> の全ての射を <i>X</i> の恒等射に写す。定関手は <span lang="en"><i>selection functor</i></span> ともよばれる。</dd> <dt>冪集合関手</dt> <dd><a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="集合の圏">集合の圏</a> <span lang="en" class="texhtml"><b>Sets</b></span> からそれ自身への関手 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">P</span> を、各集合をその<a href="/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88" title="冪集合">冪集合</a>へと写し、各写像 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i></span> を写像 <span lang="en" class="texhtml"><i>X</i> ⊃ <i>U</i> → <i>f</i>(<i>U</i>) ⊂ <i>Y</i></span> に写すことにより考えることができる。また写像 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i></span> を <span lang="en" class="texhtml"><i>Y </i> ⊃ <i>U</i> → <i>f</i><sup>−1</sup>(<i>U</i>) ⊂ <i>X</i></span> なる写像に対応させることで反変の冪集合関手を考えることもできる。反変版の冪集合関手は2点集合によって表現されている。</dd> <dt>双対ベクトル空間</dt> <dd><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">可換体</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">K</span> 上の<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a>をその<a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="双対空間">双対空間</a>に対応させ、<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型写像</a>をその<a href="/wiki/%E8%BB%A2%E7%BD%AE%E5%86%99%E5%83%8F" title="転置写像">転置写像</a>に対応させることで、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">K</span>-ベクトル空間の圏からそれ自身への反変関手が構成できる。</dd> <dt><a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%BE%A4" title="基本群">基本群</a>と<a href="/w/index.php?title=%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E4%BA%9C%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「基本亜群」 (存在しないページ)">基本亜群</a></dt> <dd><a href="/wiki/%E7%82%B9%E3%81%A4%E3%81%8D%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="点つき位相空間">点つき位相空間</a>、すなわち基点を伴った<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93" title="位相空間">位相空間</a>の圏を考える。その対象は位相空間 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> と <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> の固定した一点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> の組 <span lang="en" class="texhtml">(<i>X</i>, <i>x</i>)</span> で、<span lang="en" class="texhtml">(<i>X</i>, <i>x</i>)</span> から <span lang="en" class="texhtml">(<i>Y</i>, <i>y</i>)</span> への射は <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>x</i>) = <i>y</i></span> となる（基点を基点に写す）<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F" title="連続写像">連続写像</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i></span> によって与えられる。</dd> <dd>点つき位相空間 <span lang="en" class="texhtml">(<i>X</i>, <i>x</i>)</span> に対して、<a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%BE%A4" title="基本群">基本群</a> <span lang="en" class="texhtml">π<sub>1</sub>(<i>X</i>, <i>x</i>)</span> が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> を基点とする <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> 内のループの<a href="/wiki/%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%88%E3%83%94%E3%83%BC" title="ホモトピー">ホモトピー</a>類のなす<a href="/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="群 (数学)">群</a>として定義できる。<span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: (<i>X</i>, <i>x</i>) → (<i>Y</i>, <i>y</i>)</span> が点つき位相空間の射ならば、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> 内の <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> を基点とした全ての閉道は、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> を基点とする <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> 内の閉道に写される。この操作は<a href="/wiki/%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%88%E3%83%94%E3%83%BC%E5%90%8C%E5%80%A4" class="mw-redirect" title="ホモトピー同値">ホモトピー同値</a>と閉道の合成とに両立するから <span lang="en" class="texhtml"><i>π</i>(<i>X</i>, <i>x</i>)</span> から <span lang="en" class="texhtml"><i>π</i>(<i>Y</i>, <i>y</i>)</span> への群の<a href="/wiki/%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" class="mw-redirect" title="準同型写像">準同型写像</a>を得る。ここから、点つき位相空間の圏から群の圏への関手が得られる。</dd> <dd>基点を特に指定しない位相空間の圏では一般のパスについて（端点を固定した）ホモトピー類を考えることができる。こうして位相空間の圏から小さな圏の圏への共変関手である<a href="/w/index.php?title=%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E4%BA%9C%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「基本亜群」 (存在しないページ)">基本亜群</a> <span lang="en" class="texhtml">Π</span> が得られるが、これは <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> のそれぞれの点を基点にして得られる基本群と、パスの合成によって与えられる基点の取り替えを表現していると見なせる。連続写像 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i></span> に対応する射 <span lang="en" class="texhtml">Π</span> は函手 <span lang="en" class="texhtml">Π<i>X</i> → Π<i>Y</i></span> になっている。</dd> <dt><a href="/wiki/%E5%B0%8E%E6%9D%A5%E9%96%A2%E6%89%8B" title="導来関手">導来関手</a></dt> <dd>アーベル圏の上の（コ）ホモロジー的関手はしばしば片側完全関手の<b>導来関手</b>として定式化される。</dd> <dt><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%BF%98%E5%8D%B4%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&redlink=1" class="new" title="「忘却関手」 (存在しないページ)">忘却関手</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Forgetful_functor" class="extiw" title="en:Forgetful functor">英語版</a>）</span></span>と<a href="/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%94%B1%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&redlink=1" class="new" title="「自由関手」 (存在しないページ)">自由関手</a></dt> <dd><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> が、<span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> の対象のうちでさらに付加的な構造を持つものの圏として定式化されているとき、<span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> の対象の付加的な構造を無視することで <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> から <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">D</span> への<b>忘却関手</b>（ぼうきゃくかんしゅ、<span lang="en">forgetful functor</span>）を考えることができる。忘却関手の左随伴関手になっているような関手は<b>自由関手</b>（じゆうかんしゅ、<span lang="en">free functor</span>）とよばれる。</dd> <dd>非常に単純な忘却関手として、<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="アーベル群">アーベル群</a>の<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87" title="交換法則">交換法則</a>を無視する忘却関手から群が得られ、群から<a href="/wiki/%E9%80%86%E5%85%83" title="逆元">逆元</a>を無視して<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89" title="モノイド">モノイド</a>が、モノイドから<a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83" title="単位元">単位元</a>を無視して<a href="/wiki/%E5%8D%8A%E7%BE%A4" title="半群">半群</a>が得られるような忘却関手が挙げられる。</dd> <dd>また、複素数体上のベクトル空間の圏において、各ベクトル空間を単に集合と見なし、各<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型写像</a>を単に集合間の写像と見なして集合の圏への忘却関手を構成できる。各集合に対してその元の形式的な<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%B5%90%E5%90%88" title="線型結合">線型結合</a>の空間を考えることで、この忘却関手に体する左随伴関手が構成される。</dd> <dt>定数関数環</dt> <dd><a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="位相空間の圏">位相空間とその間の連続写像を射とする圏</a>から実<a href="/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" title="結合多元環">結合的多元環</a>の圏への反変関手が、各位相空間 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> に対してその上の実数値連続関数全体の成す多元環 <span lang="en" class="texhtml"><i>C</i>(<i>X</i>)</span> を対応させることによって定まる。各連続写像 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>X</i> → <i>Y</i></span> は各 <span lang="en" class="texhtml"><i>φ</i> ∈ <i>C</i>(<i>Y</i>)</span> に対して <span lang="en" class="texhtml"><i>C</i>(<i>f</i>)(<i>φ</i>) ≔ <i>φ</i> ∘ <i>f</i></span> と置くことにより、多元環の準同型 <span lang="en" class="texhtml"><i>C</i>(<i>f</i>): <i>C</i>(<i>Y</i>) → <i>C</i>(<i>X</i>)</span> を引き起こす。</dd> <dt>接関手と余接関手</dt> <dd><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="可微分多様体">可微分多様体</a>をその<a href="/wiki/%E6%8E%A5%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E6%9D%9F" class="mw-redirect" title="接ベクトル束">接ベクトル束</a>へうつし、<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%86%99%E5%83%8F" class="mw-redirect" title="可微分写像">滑らかな写像</a>をその<a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86" title="写像の微分">微分</a>にうつす写像は、<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93%E3%81%AE%E5%9C%8F" class="mw-redirect" title="可微分多様体の圏">可微分多様体の圏</a>から<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E6%9D%9F" title="ベクトル束">ベクトル束</a>の圏への共変関手である。同様に、可微分多様体をその<a href="/wiki/%E4%BD%99%E6%8E%A5%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E6%9D%9F" class="mw-redirect" title="余接ベクトル束">余接ベクトル束</a>へうつし、滑らかな写像をその<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%BC%95%E3%81%8D%E6%88%BB%E3%81%97_(%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「引き戻し (微分幾何学)」 (存在しないページ)">引き戻し</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pullback_(differential_geometry)" class="extiw" title="en:Pullback (differential geometry)">英語版</a>）</span></span>へうつす写像は反変関手を定める。</dd> <dd>これらの構成を点ごとで考えると、基点付き可微分多様体の圏から実ベクトル空間の圏への共変および反変関手が得られる。</dd> <dt>リー環構成</dt> <dd>実または複素<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="リー群">リー群</a>に対して、その付随する実または複素<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="リー環">リー環</a>を対応付けることで関手が定まる。</dd> <dt>テンソル積構成</dt> <dd><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> をある固定された体上のベクトル空間の圏で、その射として<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型写像</a>をとるとき、<a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D" title="テンソル積">テンソル積</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>V</i> ⊗ <i>W</i></span> は、どちらの引数に関しても共変な関手 <span lang="en" class="texhtml"><span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> × <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span> → <span class="mathcal" style="font-family: 'Lucida Calligraphy', 'Monotype Corsiva', 'URW Chancery L', 'Apple Chancery', 'Tex Gyre Chorus', cursive, serif;">C</span></span> を定める。</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&section=11" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E6%8B%A1%E5%BC%B5" class="mw-redirect" title="カン拡張">カン拡張</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&section=12" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://ncatlab.org/nlab/show/G-set">G-set</a> in <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/nLab" class="extiw" title="en:nLab">nLab</a></i> 4. Equivalent characterizations</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&section=13" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Functor"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:var(--color-success,#3a3);margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><cite id="CITEREFWeisstein" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Functor.html">"Functor"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Functor&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FFunctor.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E9%96%A2%E6%89%8B" class="Z3988"></span></span></li> <li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Covariant_Functor"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><cite id="CITEREFBarile,_Margherita" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Barile, Margherita. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/CovariantFunctor.html">"Covariant Functor"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Covariant+Functor&rft.au=Barile%2C+Margherita&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FCovariantFunctor.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E9%96%A2%E6%89%8B" class="Z3988"></span></span></li> <li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Contravariant_Functor"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><cite id="CITEREFBarile,_Margherita" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Barile, Margherita. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/ContravariantFunctor.html">"Contravariant Functor"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Contravariant+Functor&rft.au=Barile%2C+Margherita&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FContravariantFunctor.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E9%96%A2%E6%89%8B" class="Z3988"></span></span></li> <li><i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/Functor">functor</a></i> - <a href="/wiki/PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath</a>.<span class="tmpl-language-icon" style="font-size:0.95em; font-weight:bold; color:#555">（英語）</span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFHazewinkel2001">Hazewinkel, Michiel, ed. 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Functor&rft.atitle=%5B%5B%3Aen%3AEncyclopedia+of+Mathematics%7CEncyclopedia+of+Mathematics%5D%5D&rft.date=2001&rft.pub=Springer&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%89%8B"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://ncatlab.org/nlab/show/functor">functor</a> in <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/nLab" class="extiw" title="en:nLab">nLab</a></i></li></ul> <div class="navbox" aria-labelledby="圏論" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:%E5%9C%8F%E8%AB%96" title="Template:圏論"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E5%9C%8F%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:圏論」 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E5%9C%8F%E8%AB%96&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E5%9C%8F%E8%AB%96&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="圏論" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96" title="圏論">圏論</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">主要項目</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist hlist-pipe" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="圏 (数学)">圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%84_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="射 (圏論)">射</a> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%94%E5%B0%84" title="エピ射">エピ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8B%E3%83%83%E3%82%AF%E5%B0%84" title="モニック射">モニック</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%B3%E5%BC%8F_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="図式 (圏論)">図式</a> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E5%9B%B3%E5%BC%8F" title="可換図式">可換図式</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="自然変換">自然変換</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9C%8F%E5%90%8C%E5%80%A4" title="圏同値">圏同値</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8D%E5%AF%BE%E5%9C%8F" title="反対圏">反対圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A7%8B%E5%AF%BE%E8%B1%A1%E3%81%A8%E7%B5%82%E5%AF%BE%E8%B1%A1" title="始対象と終対象">始対象と終対象</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%80%A7" title="普遍性">普遍性</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B1%B3%E7%94%B0%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C" title="米田の補題">米田の補題</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="双対 (圏論)">双対</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="極限 (圏論)">極限</a> <ul><li><a href="/wiki/%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%A5%B5%E9%99%90" title="帰納極限">帰納極限</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E6%A5%B5%E9%99%90" title="射影極限">射影極限</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E7%A9%8D_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="積 (圏論)">積</a> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BD%99%E7%A9%8D" title="余積">余積</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E5%83%8F_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="像 (圏論)">像</a> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BD%99%E5%83%8F" title="余像">余像</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E7%AD%89%E5%8C%96%E5%AD%90" title="等化子">等化子</a> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BD%99%E7%AD%89%E5%8C%96%E5%AD%90" title="余等化子">余等化子</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%88%E3%83%9D%E3%82%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="トポス (数学)">トポス</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A0%B8_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="核 (圏論)">核</a> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BD%99%E6%A0%B8" title="余核">余核</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E5%BC%95%E3%81%8D%E6%88%BB%E3%81%97_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="引き戻し (圏論)">引き戻し</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8A%E3%83%89_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="モナド (圏論)">モナド</a></li> <li><a href="/wiki/Kan%E6%8B%A1%E5%BC%B5" title="Kan拡張">Kan拡張</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a class="mw-selflink selflink">関手</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist hlist-pipe" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95%E7%9A%84%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="加法的関手">加法的</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E9%96%A2%E6%89%8B" title="完全関手">完全</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%85%E6%BA%80%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="充満関手">充満</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E9%96%A2%E6%89%8B" title="随伴関手">随伴</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="対角関手">対角</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BF%A0%E5%AE%9F%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="忠実関手">忠実</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%8E%E6%9D%A5%E9%96%A2%E6%89%8B" title="導来関手">導来</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="表現可能関手">表現可能</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%AC%E8%B3%AA%E7%9A%84%E5%85%A8%E5%B0%84" title="本質的全射">本質的全射</a></li> <li><a href="/wiki/Hom%E9%96%A2%E6%89%8B" title="Hom関手">Hom関手</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">具体的圏</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist hlist-pipe" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%89%8B%E5%9C%8F" title="関手圏">関手圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%89%8D%E5%8A%A0%E6%B3%95%E5%9C%8F" title="前加法圏">前加法圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="集合の圏">集合の圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%9E%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="マグマの圏">マグマの圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="群の圏">群の圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="アーベル群の圏">アーベル群の圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%93%AC%E7%92%B0%E3%81%AE%E5%9C%8F" class="mw-redirect" title="擬環の圏">擬環の圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%92%B0%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="環の圏">環の圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8A%A0%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="加群の圏">加群の圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E5%9C%8F" class="mw-redirect" title="ベクトル空間の圏">ベクトル空間の圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0%E3%81%AE%E5%9C%8F" class="mw-redirect" title="多元環の圏">多元環の圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="位相空間の圏">位相空間の圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="距離空間の圏">距離空間の圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="多様体の圏">多様体の圏</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">圏の類</th><td class="navbox-list navbox-even hlist hlist-pipe" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E5%9C%8F" title="完備圏">完備圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%9E%E5%9C%8F" title="コンマ圏">コンマ圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E5%9C%8F" title="部分圏">部分圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89%E9%96%89%E5%9C%8F" title="モノイド閉圏">モノイド閉圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%87%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%88%E9%96%89%E5%9C%8F" title="デカルト閉圏">デカルト閉圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E5%9C%8F" title="アーベル圏">アーベル圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%8E%E6%9D%A5%E5%9C%8F" title="導来圏">導来圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%82%B9%E3%83%AA%E5%9C%8F" title="クライスリ圏">クライスリ圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%87%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89%E5%9C%8F" title="デカルトモノイド圏">デカルトモノイド圏</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">一般化</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist hlist-pipe" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%B1%8A%E7%A9%A3%E5%9C%8F" title="豊穣圏">豊穣圏</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=2-%E5%9C%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="「2-圏」 (存在しないページ)">2-圏</a> <ul><li><a href="/wiki/%E5%9C%8F%E3%81%AE%E5%9C%8F" class="mw-redirect" title="圏の圏">圏の圏</a></li></ul></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">人物</th><td class="navbox-list navbox-even hlist hlist-pipe" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%BD%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%9E%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B3" title="ソーンダース・マックレーン">ソーンダース・マックレーン</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B5%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%82%B0" title="サミュエル・アイレンベルグ">サミュエル・アイレンベルグ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF" title="アレクサンドル・グロタンディーク">アレクサンドル・グロタンディーク</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%A2" title="ウィリアム・ローヴェア">ウィリアム・ローヴェア</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%92%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%82%B9%E3%83%AA" title="ハインリッヒ・クライスリ">ハインリッヒ・クライスリ</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">関連分野</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist hlist-pipe" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="代数幾何学">代数幾何学</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="普遍代数">普遍代数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="ホモロジー代数">ホモロジー代数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">関連項目</th><td class="navbox-list navbox-even hlist hlist-pipe" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li>『<a href="/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E" title="圏論の基礎">圏論の基礎</a>』</li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"> <span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Folder_Hexagonal_Icon.svg" class="mw-file-description" title="カテゴリ"><img alt="カテゴリ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/32px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 2x" data-file-width="36" data-file-height="31" /></a></span> <a href="/wiki/Category:%E5%9C%8F%E8%AB%96" title="Category:圏論">カテゴリ</a></td></tr></tbody></table></div> <div class="navbox" aria-labelledby="関手の種類" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:Functors" title="Template:Functors"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:Functors&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:Functors」 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3AFunctors&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3AFunctors&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="関手の種類" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a class="mw-selflink selflink">関手</a>の種類</div></th></tr><tr><td colspan="2" class="navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95%E7%9A%84%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="加法的関手">加法的</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E9%96%A2%E6%89%8B" title="完全関手">完全</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%85%E6%BA%80%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="充満関手">充満</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E9%96%A2%E6%89%8B" title="随伴関手">随伴</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="対角関手">対角</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BF%A0%E5%AE%9F%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="忠実関手">忠実</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%8E%E6%9D%A5%E9%96%A2%E6%89%8B" title="導来関手">導来</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&redlink=1" class="new" title="「滑らかな関手」 (存在しないページ)">滑らか</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Smooth_functor" class="extiw" title="en:Smooth functor">英語版</a>）</span></span></li> <li><a class="mw-selflink-fragment" href="#表現可能関手">表現可能</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%AC%E8%B3%AA%E7%9A%84%E5%85%A8%E5%B0%84" title="本質的全射">本質的全射</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%BF%98%E5%8D%B4%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&redlink=1" class="new" title="「忘却関手」 (存在しないページ)">忘却</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Forgetful_functor" class="extiw" title="en:Forgetful functor">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%80%E3%83%AB%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&redlink=1" class="new" title="「モノイダル関手」 (存在しないページ)">モノイダル</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monoidal_functor" class="extiw" title="en:Monoidal functor">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Conservative_functor&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Conservative functor」 (存在しないページ)">Conservative</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Conservative_functor" class="extiw" title="en:Conservative functor">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a 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src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/32px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 2x" data-file-width="36" data-file-height="31" /></a></span> <a href="/wiki/Category:%E9%96%A2%E6%89%8B" title="Category:関手">カテゴリ</a></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=関手&oldid=94850549">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=関手&oldid=94850549</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" 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