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<span>等式的な定義</span> </div> </a> <ul id="toc-等式的な定義-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-極限として" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#極限として"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>極限として</span> </div> </a> <ul id="toc-極限として-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-普遍構成" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#普遍構成"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.3</span> <span>普遍構成</span> </div> </a> <ul id="toc-普遍構成-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-例" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#例"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>例</span> </div> </a> <ul id="toc-例-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-議論" class="vector-toc-list-item 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class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%83%96%E3%83%83%E3%82%AF&bookcmd=book_creator&referer=%E7%A9%8D+%28%E5%9C%8F%E8%AB%96%29"><span>ブックの新規作成</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E7%89%B9%E5%88%A5:DownloadAsPdf&page=%E7%A9%8D_%28%E5%9C%8F%E8%AB%96%29&action=show-download-screen"><span>PDF 形式でダウンロード</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E7%A9%8D_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)&printable=yes" title="このページの印刷用ページ [p]" accesskey="p"><span>印刷用バージョン</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> 他のプロジェクト </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Products_(category_theory)" hreflang="en"><span>コモンズ</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q919107" title="関連付けられたデータリポジトリ項目へのリンク [g]" accesskey="g"><span>ウィキデータ項目</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ページツール"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="表示"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">表示</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">サイドバーに移動</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">非表示</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ja" dir="ltr"><p><a href="/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96" title="圏論">圏論</a>において、考えている圏の二つの（あるいはそれ以上の）対象の（圏論的）<b>積</b>（せき、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>product</i></span>）または<b>直積</b> (<i>direct product</i>) は<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88" title="直積集合">集合の直積（デカルト積）</a>、<a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E7%9B%B4%E7%A9%8D" title="群の直積">群の直積</a>、<a href="/wiki/%E7%92%B0%E3%81%AE%E7%9B%B4%E7%A9%8D" title="環の直積">環の直積</a>、<a href="/wiki/%E7%A9%8D%E4%BD%8D%E7%9B%B8" title="積位相">位相空間の直積</a>といった数学の他の分野における構成の背後にある本質を捉えるために考えられた概念である。本質的に対象の族の積は与えられた対象のそれぞれへの<a href="/wiki/%E5%B0%84_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="射 (圏論)">射</a>をもつ「最も一般な」対象である。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="定義"><span id=".E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>定義</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%A9%8D_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)&action=edit&section=1" title="節を編集: 定義"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">C</span> を適当な対象 <span lang="en" class="texhtml"><i>X</i><sub>1</sub>, <i>X</i><sub>2</sub></span> をもった圏とする。<span lang="en" class="texhtml"><i>X</i><sub>1</sub></span> と <span lang="en" class="texhtml"><i>X</i><sub>2</sub></span> との<b>積</b>とは、<span lang="en" class="texhtml"><i>X</i><sub>1</sub> × <i>X</i><sub>2</sub></span> と書かれる <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">C</span> の対象と二つの射 <span lang="en" class="texhtml"><i>π</i><sub>1</sub>:<i>X</i><sub>1</sub> × <i>X</i><sub>2</sub> → <i>X</i><sub>1</sub> </span> および <span lang="en" class="texhtml"><i>π</i><sub>2</sub>: <i>X</i><sub>1</sub> × <i>X</i><sub>2</sub> → <i>X</i><sub>2</sub></span> との組で、以下の<a href="/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%80%A7" title="普遍性">普遍性</a>を満たすものを言う。 </p> <dl><dt>積の普遍性 (二対象の場合)</dt> <dd>任意の対象 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> および射の対 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i><sub>1</sub>: <i>Y</i> → <i>X</i><sub>1</sub></span> および <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i><sub>2</sub>: <i>Y</i> → <i>X</i><sub>2</sub></span> が与えられたとき、一意的な射 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>Y</i> → <i>X</i><sub>1</sub> × <i>X</i><sub>2</sub></span> が存在して、図式 <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:CategoricalProduct-03.svg" class="mw-file-description" title="積の普遍性を表す可換図式"><img alt="積の普遍性を表す可換図式" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/CategoricalProduct-03.svg/200px-CategoricalProduct-03.svg.png" decoding="async" width="200" height="79" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/CategoricalProduct-03.svg/300px-CategoricalProduct-03.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/CategoricalProduct-03.svg/400px-CategoricalProduct-03.svg.png 2x" data-file-width="152" data-file-height="60" /></a><figcaption>積の普遍性を表す可換図式</figcaption></figure> を<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E5%9B%B3%E5%BC%8F" title="可換図式">可換</a>にする。</dd></dl> <p>一意的な射 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> は <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i><sub>1</sub></span> と <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i><sub>2</sub></span> との<b>射の積</b>と言い、<span lang="en" class="texhtml"><span class="Unicode">⟨</span><i>f</i><sub>1</sub>, <i>f</i><sub>2</sub><span class="Unicode">⟩</span></span> とも書かれる。射 <span lang="en" class="texhtml"><i>π</i><sub>1</sub>, <i>π</i><sub>2</sub></span> は<b>自然な射影</b>、<b>標準射影</b> (<span lang="en">canonical projection</span>) あるいは<b>射影射</b> (<span lang="en">projection morphism</span>) と呼ばれる。 </p><p>いま定義したものは、<b>二項の積</b>であるが、より一般に集合 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">I</span> で添字付けられた対象の任意の<a href="/wiki/%E6%97%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="族 (数学)">族</a>をとり、それらの<b>積</b>を考えることができる。すなわち、 </p><p>圏 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">C</span> の対象の族 <span lang="en" class="texhtml">{<i>X<sub>i</sub></i>}<sub><i>i</i>∈<i>I</i></sub></span> の（<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">C</span> における）<b>積</b>とは、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">C</span> の対象 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> と射の族 <span lang="en" class="texhtml"><i>π<sub>i</sub></i>: <i>X</i> → <i>X<sub>i</sub></i> (<i>i</i> ∈ <i>I</i>)</span> との組で以下の普遍性を満足するものを言う。 </p> <dl><dt>積の普遍性</dt> <dd>任意の対象 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> と射の族 <span lang="en" class="texhtml"><i>f<sub>i</sub></i>: <i>Y</i> → <i>X<sub>i</sub></i> (<i>i</i> ∈ <i>I</i>)</span> が与えられたとき、一意的な射 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>Y</i> → <i>X</i></span> が存在して、次の図式 <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:CategoricalProduct-01.png" class="mw-file-description" title="積の普遍性"><img alt="積の普遍性" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/CategoricalProduct-01.png/100px-CategoricalProduct-01.png" decoding="async" width="100" height="103" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ee/CategoricalProduct-01.png 1.5x" data-file-width="121" data-file-height="125" /></a><figcaption>積の普遍性</figcaption></figure> が任意の <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> に対して可換となる。</dd></dl> <p>この積 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> をしばしば<b> <span lang="en" class="texhtml">∏<span style="display:inline-block;margin-bottom:-0.3em;vertical-align:-0.4em;line-height:1.2em;font-size:80%;text-align:left"><br /><i>i</i>∈<i>I</i></span> <i>X<sub>i</sub></i></span> </b>で表す。<span lang="en" class="texhtml"><i>I</i> = {1, …, <i>n</i>}</span> の場合は特に <span lang="en" class="texhtml"><i>X</i><sub>1</sub> × ⋯ × <i>X<sub>n</sub></i></span> のように書き、射の積も <span lang="en" class="texhtml"><span class="Unicode">⟨</span><i>f</i><sub>1</sub>, …, <i>f<sub>n</sub></i><span class="Unicode">⟩</span></span> のように書く。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="等式的な定義"><span id=".E7.AD.89.E5.BC.8F.E7.9A.84.E3.81.AA.E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>等式的な定義</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%A9%8D_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)&action=edit&section=2" title="節を編集: 等式的な定義"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>図式を用いる代わりに、対象の積を等式的に定めることができる。その場合例えば、二項の積は </p> <ul><li>一意な射 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> が存在することは、二項演算 <span lang="en" class="texhtml"><span class="Unicode">⟨</span>–, –<span class="Unicode">⟩</span></span> の存在性によって保障される。</li> <li>図式の可換性は等式 <span lang="en" class="texhtml"><i>π<sub>i</sub></i> ∘ <span class="Unicode">⟨</span><i>f</i><sub>1</sub>, <i>f</i><sub>2</sub><span class="Unicode">⟩</span> = <i>f<sub>i</sub></i> (<i>i</i> = 1, 2)</span> が任意の <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i><sub>1</sub>, <i>f</i><sub>2</sub></span> について成り立つことによって保障される。</li> <li><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の一意性は任意の <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> に対し等式 <span lang="en" class="texhtml"><span class="Unicode">⟨</span><i>π</i><sub>1</sub> ∘ <i>π</i><sub>2</sub><span class="Unicode">⟩</span> = <i>f</i></span> が成り立つことによって保証される<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="極限として"><span id=".E6.A5.B5.E9.99.90.E3.81.A8.E3.81.97.E3.81.A6"></span>極限として</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%A9%8D_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)&action=edit&section=3" title="節を編集: 極限として"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>積は<a href="/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="極限 (圏論)">極限</a>の特別な場合である。これを見るには、極限の定義で必要となる<a href="/wiki/%E5%9B%B3%E5%BC%8F_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="図式 (圏論)">図式</a>において<a href="/wiki/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E5%9C%8F" title="離散圏">離散圏</a>（恒等射以外の射をもたない対象からなる族）を用いればよい（各離散対象は成分と射影の添字を与え、図式を関手とみれば（離散圏とみた）添字集合 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">I</span> からの関手である）。このとき実際に積の定義が極限の定義と一致することがみてとれる。<span lang="en" class="texhtml">{<i>f<sub>i</sub></i>}<sub><i>i</i>∈<i>I</i></sub></span> が<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E9%8C%90_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)&action=edit&redlink=1" class="new" title="錐 (圏論) (存在しないページ)">錐</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/cone_(category_theory)" class="extiw" title="en:cone (category theory)">英語版</a>）</span></span>、射影が極限（極限錐）である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="普遍構成"><span id=".E6.99.AE.E9.81.8D.E6.A7.8B.E6.88.90"></span>普遍構成</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%A9%8D_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)&action=edit&section=4" title="節を編集: 普遍構成"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>極限が<a href="/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%80%A7" title="普遍性">普遍構成</a>の特別な場合であるのと全く同じように、積もそうである。<a href="/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)#普遍性" title="極限 (圏論)">極限の普遍性</a>を適用するのに必要なものとして、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">J</span> をただ二つの対象をもつ離散圏とする（このとき <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">C<sup>J</sup></span> は単に<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%A9%8D%E5%9C%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="積圏 (存在しないページ)">積圏</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/product_category" class="extiw" title="en:product category">英語版</a>）</span></span> <span lang="en" class="texhtml"><i>C</i> × <i>C</i></span> である）。<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="対角関手">対角関手</a> <span lang="en" class="texhtml">Δ: <i>C</i> → <i>C</i> × <i>C</i></span> は各対象 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> に<a href="/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%AF%BE" title="順序対">順序対</a> <span lang="en" class="texhtml">(<i>X</i>, <i>X</i>)</span> を対応させ、各射 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> に順序対 <span lang="en" class="texhtml">(<i>f</i>, <i>f</i>)</span> を対応させるものである。<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">C</span> における積 <span lang="en" class="texhtml"><i>X</i><sub>1</sub> × <i>X</i><sub>2</sub></span> は、対角函手 <span lang="en" class="texhtml">Δ</span> から <span lang="en" class="texhtml"><i>C</i> × <i>C</i></span> の対象 <span lang="en" class="texhtml">(<i>X</i><sub>1</sub>, <i>X</i><sub>2</sub>)</span> への<a href="/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%80%A7" title="普遍性">普遍射</a>によって与えられる。この普遍射は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">C</span> の対象 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> と射 <span lang="en" class="texhtml">(<i>X</i>, <i>X</i>) → (<i>X</i><sub>1</sub>, <i>X</i><sub>2</sub>)</span> からなり、これは射影を含んでいる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="例"><span id=".E4.BE.8B"></span>例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%A9%8D_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)&action=edit&section=5" title="節を編集: 例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="集合の圏">集合の圏</a>における（圏論的な意味での）積は<a href="/wiki/%E3%83%87%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%8D" class="mw-redirect" title="デカルト積">デカルト積</a>（集合の直積）である。与えられた集合の族 <span lang="en" class="texhtml"><i>X<sub>i</sub></i> (<i>i</i> ∈ <i>I</i>)</span> に対する積は、集合 <span lang="en" class="texhtml">∏<span style="display:inline-block;margin-bottom:-0.3em;vertical-align:-0.4em;line-height:1.2em;font-size:80%;text-align:left"><br /><i>i</i>∈<i>I</i></span> <i>X<sub>i</sub></i> ≔ {(<i>x<sub>i</sub></i>)<sub><i>i</i>∈<i>I</i></sub>  |  <i>x<sub>i</sub></i> ∈ <i>X<sub>i</sub></i> (∀<i>i</i> ∈ <i>I</i>)}</span> と<a href="/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)" title="射影 (集合論)">自然な射影</a>の族 <span lang="en" class="texhtml"><i>π<sub>i</sub></i>: ∏<span style="display:inline-block;margin-bottom:-0.3em;vertical-align:-0.4em;line-height:1.2em;font-size:80%;text-align:left"><br /><i>i</i>∈<i>I</i></span> <i>X<sub>i</sub></i> → <i>X<sub>j</sub></i> (<i>j</i> ∈ <i>I</i>)</span> との組として定まる。ここで各射影は <span lang="en" class="texhtml"><i>π<sub>j</sub></i>((<i>x<sub>i</sub></i>)<sub><i>i</i>∈<i>I</i></sub>) ≔ <i>x<sub>j</sub></i></span> を満たす写像である。 <span class="anchor" id="Product_function"></span> 任意の集合 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> と写像の族 <span lang="en" class="texhtml"><i>f<sub>i</sub></i>: <i>Y</i> → <i>X<sub>i</sub></i></span> が与えられたとき、普遍射 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>Y</i> → ∏<span style="display:inline-block;margin-bottom:-0.3em;vertical-align:-0.4em;line-height:1.2em;font-size:80%;text-align:left"><br /><i>i</i>∈<i>I</i></span> <i>X<sub>i</sub></i></span> は <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>y</i>) ≔ (<i>f<sub>i</sub></i>(<i>y</i>))<sub><i>i</i>∈<i>I</i></sub></span> として定まる。 </p><p>他の例： </p> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="位相空間の圏">位相空間の圏</a>における積は、各因子の台集合のデカルト積を台として<a href="/wiki/%E7%A9%8D%E4%BD%8D%E7%9B%B8" title="積位相">積位相</a>を入れた空間である。積位相はすべての射影が<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)" class="mw-redirect" title="連続関数 (位相空間論)">連続</a>であるような<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%80%E3%82%82%E7%B2%97%E3%81%84%E4%BD%8D%E7%9B%B8&action=edit&redlink=1" class="new" title="最も粗い位相 (存在しないページ)">最も粗い位相</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/coarsest_topology" class="extiw" title="en:coarsest topology">英語版</a>）</span></span>である。</li> <li>一つの環 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">R</span> 上の<a href="/wiki/%E5%8A%A0%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="加群の圏">加群の圏</a>における積は、台集合のデカルト積に成分ごとの加法と分配的な積を入れたものである。</li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="群の圏">群の圏</a>における積は、台集合のデカルト積に成分ごとの積を入れた<a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E7%9B%B4%E7%A9%8D" title="群の直積">群の直積</a>によって与えられる。</li> <li><a href="/wiki/%E9%96%A2%E4%BF%82%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="関係の圏">関係の圏</a> <span lang="en" class="texhtml"><b>Rel</b></span> において、積は<a href="/wiki/%E9%9D%9E%E4%BA%A4%E5%92%8C" title="非交和">非交和</a>によって与えられる。（集合の圏 <span lang="en" class="texhtml"><b>Set</b></span> が <span lang="en" class="texhtml"><b>Rel</b></span> の<a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E5%9C%8F" title="部分圏">部分圏</a>であることを考えるとこれは少し驚かれるかもしれない。）</li> <li><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="代数多様体">代数多様体</a>の圏において、圏論的な積は<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Segre%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF&action=edit&redlink=1" class="new" title="Segre埋め込み (存在しないページ)">Segre埋め込み</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Segre_embedding" class="extiw" title="en:Segre embedding">英語版</a>）</span></span>によって与えられる。</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8D%8A%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89&action=edit&redlink=1" class="new" title="半アーベルモノイド (存在しないページ)">半アーベルモノイド</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_monoid" class="extiw" title="en:Trace monoid">英語版</a>）</span></span> (semi-abelian monoid) の圏において、圏論的な積は <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/history_monoid" class="extiw" title="en:history monoid">history monoid</a> によって与えられる。</li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%8A%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88" class="mw-redirect" title="半順序集合">半順序集合</a>は順序関係を射として用いることで圏として扱うことができる。この場合積と<a href="/wiki/%E4%BD%99%E7%A9%8D" title="余積">余積</a>は最大下界と最小上界（<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E3%82%8F%E3%82%8A%E3%81%A8%E7%B5%90%E3%81%B3" class="mw-redirect" title="交わりと結び">交わりと結び</a>）に対応する。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="議論"><span id=".E8.AD.B0.E8.AB.96"></span>議論</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%A9%8D_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)&action=edit&section=6" title="節を編集: 議論"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>任意の圏において、必ずしも積が存在するとは限らない。例えば、<a href="/wiki/%E7%A9%BA%E7%A9%8D" title="空積">空積</a>（すなわち添字集合 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">I</span> が<a href="/wiki/%E7%A9%BA%E9%9B%86%E5%90%88" title="空集合">空集合</a>）は<a href="/wiki/%E7%B5%82%E5%AF%BE%E8%B1%A1" class="mw-redirect" title="終対象">終対象</a>と同じであり、無限群の圏のようないくつかの圏は終対象を持たない：任意の無限群 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> に対し、射 <span lang="en" class="texhtml"><b>Z</b> → <i>G</i></span> は無限個存在するので、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> が終対象となることはありえない。 </p><p>添字集合 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">I</span> に対し、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">I</span> で添字付けられる任意の族が圏 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">C</span> において積を持つならば、積をとる演算を取り纏めて<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%89%8B" title="関手">関手</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>C<sup>I</sup></i> → <i>C</i></span> として扱うことができる<sup id="cite_ref-FOOTNOTEMac_Lane198837_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEMac_Lane198837-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。この関手が対象をどのように写すかは明らかだが、射の対応は微妙である（<a href="#定義">定義</a>節で与えられた「射の積」とは少々異なる）。二項の積（積函手は<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8C%E9%96%A2%E6%89%8B&action=edit&redlink=1" class="new" title="双関手 (存在しないページ)">双関手</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/bifunctor" class="extiw" title="en:bifunctor">英語版</a>）</span></span>）の場合を考えると、必要となるのは <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i><sub>1</sub>: <i>X</i><sub>1</sub> → <i>Y</i><sub>1</sub>, <i>f</i><sub>2</sub>: <i>X</i><sub>2</sub> → <i>Y</i><sub>2</sub></span> に対して適当な <span lang="en" class="texhtml"><i>X</i><sub>1</sub> × <i>X</i><sub>2</sub> → <i>Y</i><sub>1</sub> × <i>Y</i><sub>2</sub></span> なる射を作ることで、それには積 <span lang="en" class="texhtml"><span class="Unicode">⟨</span><i>f</i><sub>1</sub> ∘ <i>π</i><sub>1</sub>, <i>f</i><sub>2</sub> ∘ <i>π</i><sub>2</sub><span class="Unicode">⟩</span></span> を取ればよい。射に対するこの演算を<b>射の直積</b>あるいは<b>デカルト積</b> (cartesian product of morphisms) と呼ぶ<sup id="cite_ref-esslli_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-esslli-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。一般の場合の積関手も同様に、族 <span lang="en" class="texhtml">{<i>X<sub>i</sub></i>}<sub><i>i</i>∈<i>I</i></sub>, {<i>Y<sub>i</sub></i>}<sub><i>i</i>∈<i>I</i></sub></span> の間の射の族 <span lang="en" class="texhtml"><i>f<sub>i</sub></i>: <i>X<sub>i</sub></i> → <i>Y<sub>i</sub></i> (<i>i</i> ∈ <i>I</i>)</span> に対して <span lang="en" class="texhtml">∏<span style="display:inline-block;margin-bottom:-0.3em;vertical-align:-0.4em;line-height:1.2em;font-size:80%;text-align:left"><br /><i>i</i>∈<i>I</i></span> <i>X<sub>i</sub></i> → ∏<span style="display:inline-block;margin-bottom:-0.3em;vertical-align:-0.4em;line-height:1.2em;font-size:80%;text-align:left"><br /><i>i</i>∈<i>I</i></span> <i>Y<sub>i</sub></i></span> なる射として、射の族 <span lang="en" class="texhtml">{<i>f<sub>i</sub></i> ∘ <i>π<sub>i</sub></i>}</span> の積 <span lang="en" class="texhtml"><span class="Unicode">⟨</span><i>f<sub>i</sub></i> ∘ <i>π<sub>i</sub></i> : <i>i</i> ∈ <i>I</i><span class="Unicode">⟩</span></span> が対応する。 </p><p>対象のすべての有限集合が積をもつような圏は<b><a href="/wiki/%E3%83%87%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%88%E5%9C%8F" class="mw-redirect" title="デカルト圏">デカルト圏</a></b> (cartesian category) と呼ばれることもある<sup id="cite_ref-esslli_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-esslli-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。（ただし、「すべての有限極限をもつ圏」の意味でこの語を用いる文献もある。） </p><p>積は結合的である。デカルト圏 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">C</span> において、上で述べたように積函手を考え、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">C</span> の終対象を <span lang="en" class="texhtml">1</span> と書けば、<a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%90%8C%E5%9E%8B" class="mw-redirect" title="自然同型">自然同型</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&X\times (Y\times Z)\simeq (X\times Y)\times Z\simeq X\times Y\times Z,\\&X\times 1\simeq 1\times X\simeq X,\\&X\times Y\simeq Y\times X\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo>×</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≃</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mi>Z</mi> <mo>≃</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>Y</mi> <mo>×</mo> <mi>Z</mi> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mn>1</mn> <mo>≃</mo> <mn>1</mn> <mo>×</mo> <mi>X</mi> <mo>≃</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>Y</mi> <mo>≃</mo> <mi>Y</mi> <mo>×</mo> <mi>X</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&X\times (Y\times Z)\simeq (X\times Y)\times Z\simeq X\times Y\times Z,\\&X\times 1\simeq 1\times X\simeq X,\\&X\times Y\simeq Y\times X\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93161c1de723a6b9c8ec70639537ad31dc46b9b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:44.557ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&X\times (Y\times Z)\simeq (X\times Y)\times Z\simeq X\times Y\times Z,\\&X\times 1\simeq 1\times X\simeq X,\\&X\times Y\simeq Y\times X\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>が成立する。これらの性質は（同型を等式で置き換えれば）可換<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89" title="モノイド">モノイド</a>の性質と形の上では同じである。すなわち、有限積を備えた圏は、<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89%E5%9C%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="対称モノイド圏 (存在しないページ)">対称</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/symmetric_monoidal_category" class="extiw" title="en:symmetric monoidal category">英語版</a>）</span></span><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89%E5%9C%8F" title="モノイド圏">モノイド圏</a>を構成する。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="分配性"><span id=".E5.88.86.E9.85.8D.E6.80.A7"></span>分配性</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%A9%8D_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)&action=edit&section=7" title="節を編集: 分配性"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div><p> 有限積および有限余積をもつ圏において、自然な射 <span lang="en" class="texhtml"><i>X</i> × <i>Y</i> + <i>X</i> × <i>Z</i> → <i>X</i> ×(<i>Y</i> + <i>Z</i>)</span> が存在する、ただしここでプラス記号は<a href="/wiki/%E4%BD%99%E7%A9%8D" title="余積">余積</a>を表す。これを見るために、次の図式 </p><figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Product-Coproduct_Distributivity.png" class="mw-file-description" title="自然な分配射"><img alt="自然な分配射" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8d/Product-Coproduct_Distributivity.png" decoding="async" width="300" height="132" class="mw-file-element" data-file-width="300" data-file-height="132" /></a><figcaption>自然な分配射</figcaption></figure><p> を埋める種々の射影および入射について注意を払わねばならない。 </p><p>これにより <span lang="en" class="texhtml"><i>X</i> ×(<i>Y</i> + <i>Z</i>)</span> に対する普遍性は一意な射 <span lang="en" class="texhtml"><i>X</i> × <i>Y</i> + <i>X</i> × <i>Z</i> → <i>X</i> ×(<i>Y</i> + <i>Z</i>)</span> を保証する。<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%86%E9%85%8D%E5%9C%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="分配圏 (存在しないページ)">分配圏</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/distributive_category" class="extiw" title="en:distributive category">英語版</a>）</span></span>は、この射が実際に同型射となるような圏を言う。従って分配圏において自然な同型 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\times (Y+Z)\simeq (X\times Y)+(X\times Z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo>+</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≃</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\times (Y+Z)\simeq (X\times Y)+(X\times Z)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee63a90aa9195f0d361d13d373da7031e18ee93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.576ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X\times (Y+Z)\simeq (X\times Y)+(X\times Z)}"></span></dd></dl> <p>が成立する。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%A9%8D_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)&action=edit&section=8" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BD%99%E7%A9%8D" title="余積">余積</a> – 積の<a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="双対 (圏論)">双対</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="対角関手">対角関手</a> – 積関手の<a href="/wiki/%E5%B7%A6%E9%9A%8F%E4%BC%B4" class="mw-redirect" title="左随伴">左随伴</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="極限 (圏論)">極限と余極限</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%AD%89%E5%8C%96%E5%AD%90" title="等化子">等化子</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%86%E6%A5%B5%E9%99%90" class="mw-redirect" title="逆極限">逆極限</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%87%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%88%E9%96%89%E5%9C%8F" title="デカルト閉圏">デカルト閉圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96%E7%9A%84%E5%BC%95%E3%81%8D%E6%88%BB%E3%81%97" class="mw-redirect" title="圏論的引き戻し">圏論的引き戻し</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%A9%8D_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)&action=edit&section=9" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">Lambek J., Scott P. J. (1988). <i>Introduction to Higher-Order Categorical Logic</i>. 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style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E5%9C%8F%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="Template‐ノート:圏論 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E5%9C%8F%E8%AB%96&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E5%9C%8F%E8%AB%96&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="圏論" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96" title="圏論">圏論</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">主要項目</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist hlist-pipe" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="圏 (数学)">圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%84_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="射 (圏論)">射</a> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%94%E5%B0%84" title="エピ射">エピ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8B%E3%83%83%E3%82%AF%E5%B0%84" title="モニック射">モニック</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%B3%E5%BC%8F_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="図式 (圏論)">図式</a> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E5%9B%B3%E5%BC%8F" title="可換図式">可換図式</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="自然変換">自然変換</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9C%8F%E5%90%8C%E5%80%A4" title="圏同値">圏同値</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8D%E5%AF%BE%E5%9C%8F" title="反対圏">反対圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A7%8B%E5%AF%BE%E8%B1%A1%E3%81%A8%E7%B5%82%E5%AF%BE%E8%B1%A1" title="始対象と終対象">始対象と終対象</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%80%A7" title="普遍性">普遍性</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B1%B3%E7%94%B0%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C" title="米田の補題">米田の補題</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="双対 (圏論)">双対</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="極限 (圏論)">極限</a> <ul><li><a href="/wiki/%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%A5%B5%E9%99%90" title="帰納極限">帰納極限</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E6%A5%B5%E9%99%90" title="射影極限">射影極限</a></li></ul></li> <li><a class="mw-selflink selflink">積</a> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BD%99%E7%A9%8D" title="余積">余積</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E5%83%8F_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="像 (圏論)">像</a> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BD%99%E5%83%8F" title="余像">余像</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E7%AD%89%E5%8C%96%E5%AD%90" title="等化子">等化子</a> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BD%99%E7%AD%89%E5%8C%96%E5%AD%90" title="余等化子">余等化子</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%88%E3%83%9D%E3%82%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="トポス (数学)">トポス</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A0%B8_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="核 (圏論)">核</a> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BD%99%E6%A0%B8" title="余核">余核</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E5%BC%95%E3%81%8D%E6%88%BB%E3%81%97_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="引き戻し (圏論)">引き戻し</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8A%E3%83%89_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)" title="モナド (圏論)">モナド</a></li> <li><a href="/wiki/Kan%E6%8B%A1%E5%BC%B5" title="Kan拡張">Kan拡張</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%89%8B" title="関手">関手</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist hlist-pipe" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95%E7%9A%84%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="加法的関手">加法的</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E9%96%A2%E6%89%8B" title="完全関手">完全</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%85%E6%BA%80%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="充満関手">充満</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E9%96%A2%E6%89%8B" title="随伴関手">随伴</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="対角関手">対角</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BF%A0%E5%AE%9F%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="忠実関手">忠実</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%8E%E6%9D%A5%E9%96%A2%E6%89%8B" title="導来関手">導来</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%96%A2%E6%89%8B" class="mw-redirect" title="表現可能関手">表現可能</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%AC%E8%B3%AA%E7%9A%84%E5%85%A8%E5%B0%84" title="本質的全射">本質的全射</a></li> <li><a href="/wiki/Hom%E9%96%A2%E6%89%8B" title="Hom関手">Hom関手</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">具体的圏</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist hlist-pipe" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%89%8B%E5%9C%8F" title="関手圏">関手圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%89%8D%E5%8A%A0%E6%B3%95%E5%9C%8F" title="前加法圏">前加法圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="集合の圏">集合の圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%9E%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="マグマの圏">マグマの圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="群の圏">群の圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="アーベル群の圏">アーベル群の圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%93%AC%E7%92%B0%E3%81%AE%E5%9C%8F" class="mw-redirect" title="擬環の圏">擬環の圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%92%B0%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="環の圏">環の圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8A%A0%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%9C%8F" title="加群の圏">加群の圏</a></li> <li><a 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href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E5%9C%8F" title="部分圏">部分圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89%E9%96%89%E5%9C%8F" title="モノイド閉圏">モノイド閉圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%87%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%88%E9%96%89%E5%9C%8F" title="デカルト閉圏">デカルト閉圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E5%9C%8F" title="アーベル圏">アーベル圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%8E%E6%9D%A5%E5%9C%8F" title="導来圏">導来圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%82%B9%E3%83%AA%E5%9C%8F" title="クライスリ圏">クライスリ圏</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%87%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89%E5%9C%8F" title="デカルトモノイド圏">デカルトモノイド圏</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">一般化</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist hlist-pipe" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%B1%8A%E7%A9%A3%E5%9C%8F" title="豊穣圏">豊穣圏</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=2-%E5%9C%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="2-圏 (存在しないページ)">2-圏</a> <ul><li><a href="/wiki/%E5%9C%8F%E3%81%AE%E5%9C%8F" class="mw-redirect" title="圏の圏">圏の圏</a></li></ul></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">人物</th><td class="navbox-list navbox-even hlist hlist-pipe" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%BD%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%9E%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B3" title="ソーンダース・マックレーン">ソーンダース・マックレーン</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B5%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%82%B0" title="サミュエル・アイレンベルグ">サミュエル・アイレンベルグ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF" title="アレクサンドル・グロタンディーク">アレクサンドル・グロタンディーク</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%A2" title="ウィリアム・ローヴェア">ウィリアム・ローヴェア</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%92%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%82%B9%E3%83%AA" title="ハインリッヒ・クライスリ">ハインリッヒ・クライスリ</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">関連分野</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist hlist-pipe" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="代数幾何学">代数幾何学</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="普遍代数">普遍代数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="ホモロジー代数">ホモロジー代数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">関連項目</th><td class="navbox-list navbox-even hlist hlist-pipe" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li>『<a href="/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E" title="圏論の基礎">圏論の基礎</a>』</li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"> <span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Folder_Hexagonal_Icon.svg" class="mw-file-description" title="カテゴリ"><img alt="カテゴリ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" 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id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> 最終更新 2023年8月11日 (金) 14:18 （日時は<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E5%80%8B%E4%BA%BA%E8%A8%AD%E5%AE%9A#mw-prefsection-rendering" title="特別:個人設定">個人設定</a>で未設定ならば<a href="/wiki/%E5%8D%94%E5%AE%9A%E4%B8%96%E7%95%8C%E6%99%82" title="協定世界時">UTC</a>）。</li> <li id="footer-info-copyright">テキストは<a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ja">クリエイティブ・コモンズ表示-継承ライセンス</a>のもとで利用できます。追加の条件が適用される場合があります。詳細については<a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">利用規約</a>を参照してください。</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/ja">プライバシー・ポリシー</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%82%AD%E3%83%9A%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%A2%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6">ウィキペディアについて</a></li> <li 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