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<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Langzahlarithmetik – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"526982a1-afab-48f6-b6e2-ec2e40163500","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Langzahlarithmetik","wgTitle":"Langzahlarithmetik","wgCurRevisionId":250731573,"wgRevisionId":250731573,"wgArticleId":6053190,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"], "wgCategories":["Wikipedia:Qualitätssicherung Informatik","Numerische Mathematik","Computerarithmetik"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Langzahlarithmetik","wgRelevantArticleId":6053190,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":250731573,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":10000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage", "wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q527381","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.pygments":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready", "ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.pygments.view","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.quicksurveys.init","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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border:3px double #EEB422; padding:1em; background:var(--background-color-base, #FFFFFF); color:var(--color-base, #202122); border-radius:1em; font-size: 90%; overflow:hidden; max-width:90%;"> <table> <tbody><tr> <td class="noresize"><figure class="mw-halign-left" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikipedia:Redaktion_Informatik/Qualit%C3%A4tssicherung/Knackn%C3%BCsse#Langzahlarithmetik" title="Beteilige dich an der Diskussion!"><img alt="QS-Informatik" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8e/Icon_tools.svg/50px-Icon_tools.svg.png" decoding="async" width="50" height="50" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8e/Icon_tools.svg/75px-Icon_tools.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8e/Icon_tools.svg/100px-Icon_tools.svg.png 2x" data-file-width="150" data-file-height="150" /></a><figcaption>Beteilige dich an der Diskussion!</figcaption></figure> </td> <td>Dieser Artikel wurde wegen inhaltlicher Mängel auf der <a href="/wiki/Wikipedia:Redaktion_Informatik/Qualit%C3%A4tssicherung" title="Wikipedia:Redaktion Informatik/Qualitätssicherung">Qualitätssicherungsseite</a> der <a href="/wiki/Wikipedia:Redaktion_Informatik" title="Wikipedia:Redaktion Informatik">Redaktion Informatik</a> eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem <b>Themengebiet Informatik</b> auf ein akzeptables Niveau zu bringen. <a href="/wiki/Wikipedia:Sei_mutig" title="Wikipedia:Sei mutig">Hilf mit</a>, die inhaltlichen Mängel dieses Artikels zu beseitigen, und beteilige dich an der <b><a href="/wiki/Wikipedia:Redaktion_Informatik/Qualit%C3%A4tssicherung/Knackn%C3%BCsse#Langzahlarithmetik" title="Wikipedia:Redaktion Informatik/Qualitätssicherung/Knacknüsse">Diskussion</a>!</b> <small>(<span id="NeuerAbschnitt" class="plainlinks"><a class="external text" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Redaktion_Informatik/Qualit%C3%A4tssicherung&action=edit&section=new&preload=Vorlage:$1&preloadparams%5B%5D=Bitte+Begr%C3%BCndung+hier+eintragen+und+signieren.&preloadtitle=%5B%5BLangzahlarithmetik%5D%5D"><span title="Am Seitenende Abschnitt hinzufügen: Wikipedia:Redaktion Informatik/Qualitätssicherung">+</span></a></span>)</small> </td></tr></tbody></table> </div> <p>Die <b>Langzahlarithmetik</b> beschäftigt sich mit dem Rechnen mit Zahlen, bei denen eine sehr hohe Anzahl an Stellen zu verarbeiten ist. </p><p>Ein Computer hat eingebaute Befehle, um mit kleinen Zahlen extrem schnell zu rechnen. Der Zahlenbereich dieser „kleinen“ Zahlen umfasst üblicherweise ±2 Milliarden (bei 32-<a href="/wiki/Bit" title="Bit">Bit</a>-Computern) oder ±9 <a href="/wiki/Trillion" title="Trillion">Trillionen</a> (bei 64-Bit-Computern). Alles, was darüber hinausgeht, kann der Computer nicht mehr von sich aus berechnen, sondern braucht speziell zu diesem Zweck geschriebene Programme, die die Rechenregeln für große Zahlen definieren. </p><p>Die meisten Computer können nicht nur mit ganzen Zahlen rechnen, sondern haben auch eingebaute Befehle für <a href="/wiki/Gleitkommazahlen" class="mw-redirect" title="Gleitkommazahlen">Gleitkommazahlen</a>. Das sind Zahlen, die aus einer festen Anzahl an Ziffern bestehen, bei denen das Komma jedoch an beliebiger Stelle sitzen kann. Üblicherweise haben Gleitkommazahlen <a href="/wiki/IEEE_754#Zahlenformate_und_andere_Festlegungen_des_IEEE-754-Standards" title="IEEE 754">16 Stellen Genauigkeit</a>. Auch hier gibt es Anwendungen, die exakter rechnen müssen, so dass die eingebauten Rechenbefehle nicht ausreichen. </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Anwendungen"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Anwendungen</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Umsetzung"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Umsetzung</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#Addition_und_Subtraktion"><span class="tocnumber">2.1</span> <span class="toctext">Addition und Subtraktion</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#Multiplikation_mit_kleiner_Ganzzahl"><span class="tocnumber">2.2</span> <span class="toctext">Multiplikation mit kleiner Ganzzahl</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-5"><a href="#Division_mit_kleiner_Ganzzahl"><span class="tocnumber">2.3</span> <span class="toctext">Division mit kleiner Ganzzahl</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Allgemeine_Multiplikation"><span class="tocnumber">2.4</span> <span class="toctext">Allgemeine Multiplikation</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-7"><a href="#Programmiersprachen"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Programmiersprachen</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Langzahlarithmetik&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Anwendungen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Langzahlarithmetik&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Anwendungen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Pi_calculation_long_fraction.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Pi_calculation_long_fraction.png/220px-Pi_calculation_long_fraction.png" decoding="async" width="220" height="32" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Pi_calculation_long_fraction.png/330px-Pi_calculation_long_fraction.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Pi_calculation_long_fraction.png/440px-Pi_calculation_long_fraction.png 2x" data-file-width="2007" data-file-height="289" /></a><figcaption>Die Berechnung der Kreiszahl anhand der Srinivasa-Ramanujan-Formel ergibt nach 9 Iterationen einen Näherungsbruch mit 80-stelligem Zähler</figcaption></figure> <p>Anwendungen der Langzahlarithmetik sind z. B.: </p> <ul><li>Wenn mit großen Zahlen exakt gerechnet werden muss, etwa in der <a href="/wiki/Kryptographie" title="Kryptographie">Kryptographie</a> oder bei vielen Anwendungen von <a href="/wiki/Fakult%C3%A4t_(Mathematik)" title="Fakultät (Mathematik)">Fakultäten</a> und <a href="/wiki/Binomialkoeffizient" title="Binomialkoeffizient">Binomialkoeffizienten</a>;</li> <li>Wenn Zahlen wie <a href="/wiki/Kreiszahl" title="Kreiszahl">Pi</a> oder andere <a href="/wiki/Mathematische_Konstante" title="Mathematische Konstante">mathematische Konstanten</a> auf möglichst viele Stellen genau ermittelt werden sollen, wobei Näherungsbrüche mit vielstelligen Zählern und Nennern in Dezimalzahlen umzurechnen sind;</li> <li>Wenn man Systeme <a href="/wiki/Simulation" title="Simulation">simuliert</a>, deren Verhalten so empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt (sog. <a href="/wiki/Schmetterlingseffekt" title="Schmetterlingseffekt">Schmetterlingseffekt</a>), dass die begrenzte Genauigkeit gewöhnlicher Arithmetik das Ergebnis unbrauchbar macht;</li> <li>Wenn <a href="/wiki/Programmiersprache" title="Programmiersprache">Programmiersprachen</a> implementiert werden, die das Überlaufen von <a href="/wiki/Variable_(Programmierung)" title="Variable (Programmierung)">Variablen</a> automatisch tolerieren können.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Umsetzung">Umsetzung</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Langzahlarithmetik&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Umsetzung" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Langzahlarithmetik&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Umsetzung"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Um mit langen Zahlen zu rechnen, benutzen Computer sehr verschiedene Verfahren, abhängig von der Art der Operation und der Operanden. Mit dezimalen Ziffern wird in der heutigen Zeit nie gerechnet. Umrechnung in Dezimalziffern erfolgt nur, wenn diese benötigt werden. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Addition_und_Subtraktion">Addition und Subtraktion</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Langzahlarithmetik&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Addition und Subtraktion" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Langzahlarithmetik&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Addition und Subtraktion"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:4-bit_ripple_carry_adder.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5d/4-bit_ripple_carry_adder.svg/260px-4-bit_ripple_carry_adder.svg.png" decoding="async" width="260" height="104" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5d/4-bit_ripple_carry_adder.svg/390px-4-bit_ripple_carry_adder.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5d/4-bit_ripple_carry_adder.svg/520px-4-bit_ripple_carry_adder.svg.png 2x" data-file-width="500" data-file-height="200" /></a><figcaption>4-Bit Addierer, aufgebaut aus Volladdern</figcaption></figure> <p>Klassische CPUs weisen Befehle für Ganzzahl-Addition und -Subtraktion mit Übertrag auf. Diese Fähigkeit sind normale Eigenschaften von Multibit-Addierern und fallen nebenbei mit ab, siehe Zeichnung rechts. Die heißen üblicherweise <code>ADC</code> oder <code>ADCS</code> bzw. <code>SBC</code>, <code>SBB</code> oder <code>SUBCS</code>. 8-Bit-Computer benötigten diese, um 16-Bit- und 32-Bit-Zahlen oder gar Gleitkommazahlen zu addieren. Es handelt sich dabei um eine <a href="/wiki/Addition#Schriftliche_Addition" title="Addition">schriftliche Addition</a> bzw. <a href="/wiki/Subtraktion#Schriftliche_Subtraktion" title="Subtraktion">schriftlichen Subtraktion</a> zur Basis 2<sup>4</sup>, 2<sup>8</sup>, 2<sup>16</sup>, 2<sup>32</sup> oder 2<sup>64</sup>, je nach Bitbreite der CPU bei Rechnungen im Binärsystem. </p><p>Die verwendete Operation einer 4-Bit-CPU lautet als Pseudocode </p> <dl><dd><code> (C<sub>4</sub>, S<sub>3...0</sub>) = (A<sub>3...0</sub>) + (B<sub>3...0</sub>) + C<sub>0</sub></code>  oder anders aufgeschrieben</dd> <dd><code> (S<sub>4</sub>, S<sub>3...0</sub>) = (A<sub>3...0</sub>) + (B<sub>3...0</sub>) + S<sub>4</sub>'</code></dd></dl> <p>bzw. allgemeiner: </p> <dl><dd><code> (C<sub>N</sub>, S<sub>N−1...0</sub>) = (A<sub>N−1...0</sub>) + (B<sub>N−1...0</sub>) + C<sub>0</sub></code>  oder anders aufgeschrieben</dd> <dd><code> (S<sub>N</sub>, S<sub>N−1...0</sub>) = (A<sub>N−1...0</sub>) + (B<sub>N−1...0</sub>) + S<sub>N</sub>'</code></dd></dl> <dl><dd><code> ADC S, A, B</code>, wobei die Funktion <code>S<sub>N</sub></code> bzw. <code>S<sub>N</sub>'</code> vom Übertragsflag im Statusregister übernommen wird.</dd></dl> <p>Der Pseudo-Code lautet dann: </p> <dl><dd><div class="mw-highlight mw-highlight-lang-c++ mw-content-ltr" dir="ltr"><pre><span></span><span class="w"> </span><span class="kt">int</span><span class="w"> </span><span class="n">N</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="c1">// S[N-1...0] = A[N-1...0] + B[N-1...0]</span> <span class="w"> </span><span class="kt">int</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="mi">0</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="c1">// Carry-Flag</span> <span class="w"> </span><span class="n">T</span><span class="w"> </span><span class="n">A</span><span class="p">[</span><span class="n">N</span><span class="p">],</span><span class="w"> </span><span class="n">B</span><span class="p">[</span><span class="n">N</span><span class="p">],</span><span class="w"> </span><span class="n">S</span><span class="p">[</span><span class="n">N</span><span class="p">];</span> <span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="kt">int</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="mi">0</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o"><</span><span class="w"> </span><span class="n">N</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="o">++</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="c1">// beginnend vom niedrigwertigen Teil</span> <span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">c</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">S</span><span class="p">[</span><span class="n">i</span><span class="p">])</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">ADC</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">A</span><span class="p">[</span><span class="n">i</span><span class="p">],</span><span class="w"> </span><span class="n">B</span><span class="p">[</span><span class="n">i</span><span class="p">],</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">);</span><span class="w"> </span><span class="c1">// z.B. 33 bit = 32 bit + 32 bit + 1 bit</span> </pre></div></dd></dl> <p>Überläufe sowie Spezialbehandlung von sehr unterschiedlich langen Zahlen werden hier erst mal nicht behandelt. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Multiplikation_mit_kleiner_Ganzzahl">Multiplikation mit kleiner Ganzzahl</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Langzahlarithmetik&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Multiplikation mit kleiner Ganzzahl" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Langzahlarithmetik&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Multiplikation mit kleiner Ganzzahl"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Multiplikationen erfolgen mit dem Befehl </p> <dl><dd><code> (C<sub>2N−1...N</sub>, P<sub>N−1...0</sub>) = (A<sub>N−1...0</sub>) × (B<sub>N−1...0</sub>) + C<sub>N−1...0</sub></code>  oder anders aufgeschrieben</dd> <dd><code> (S<sub>2N−1...N</sub>, P<sub>N−1...0</sub>) = (A<sub>N−1...0</sub>) × (B<sub>N−1...0</sub>) + S<sub>2N−1...N</sub>'</code></dd></dl> <dl><dd><code> MUL S, A, B</code>, wobei die Funktion <code>S<sub>2N−1...N</sub></code> bzw. <code>S<sub>2N−1...N</sub>'</code> vom einem weiteren Register übernommen wird.</dd></dl> <p>Der Pseudo-Code lautet dann: </p> <dl><dd><div class="mw-highlight mw-highlight-lang-c++ mw-content-ltr" dir="ltr"><pre><span></span><span class="w"> </span><span class="kt">int</span><span class="w"> </span><span class="n">N</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="c1">// P[N-1...0] = A[N-1...0] × Q</span> <span class="w"> </span><span class="n">T</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="mi">0</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="c1">// Carry-Flag</span> <span class="w"> </span><span class="n">T</span><span class="w"> </span><span class="n">A</span><span class="p">[],</span><span class="w"> </span><span class="n">B</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">P</span><span class="p">[];</span> <span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="kt">int</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="mi">0</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o"><</span><span class="w"> </span><span class="n">N</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="o">++</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="c1">// beginnend vom niedrigwertigen Teil</span> <span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">c</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">P</span><span class="p">[</span><span class="n">i</span><span class="p">])</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">MULADD</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">A</span><span class="p">[</span><span class="n">i</span><span class="p">],</span><span class="w"> </span><span class="n">B</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">);</span><span class="w"> </span><span class="c1">// z.B. 64 bit = 32 bit × 32 bit + 32 bit</span> </pre></div></dd></dl> <p>Für vorzeichenbehaftete Zahlen sind ggf. Nachbehandlungen notwendig. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Division_mit_kleiner_Ganzzahl">Division mit kleiner Ganzzahl</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Langzahlarithmetik&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Division mit kleiner Ganzzahl" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Langzahlarithmetik&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Division mit kleiner Ganzzahl"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Divisionen erfolgen mit dem Befehl </p> <dl><dd><code> (R<sub>2N−1...N</sub>, Q<sub>N−1...0</sub>) = (A<sub>2N−1...N</sub>, A<sub>N−1...0</sub>) / (B<sub>N−1...0</sub>)</code></dd></dl> <p>Der Pseudo-Code lautet dann: </p> <dl><dd><div class="mw-highlight mw-highlight-lang-c++ mw-content-ltr" dir="ltr"><pre><span></span><span class="w"> </span><span class="kt">int</span><span class="w"> </span><span class="n">N</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="c1">// Q[N-1...0] = A[N-1...0] / B</span> <span class="w"> </span><span class="n">T</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="mi">0</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="c1">// Carry-Flag</span> <span class="w"> </span><span class="n">T</span><span class="w"> </span><span class="n">A</span><span class="p">[],</span><span class="w"> </span><span class="n">B</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">Q</span><span class="p">[];</span> <span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="kt">int</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">N</span><span class="mi">-1</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">>=</span><span class="w"> </span><span class="mi">0</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="o">--</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="c1">// beginnend vom niedrigwertigen Teil</span> <span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">c</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">Q</span><span class="p">[</span><span class="n">i</span><span class="p">])</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">DIVREM</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">c</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">A</span><span class="p">[</span><span class="n">i</span><span class="p">],</span><span class="w"> </span><span class="n">B</span><span class="p">);</span><span class="w"> </span><span class="c1">// z.B. 64 bit / 32 bit = 32 bit, Rest 32 bit</span> </pre></div></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Allgemeine_Multiplikation">Allgemeine Multiplikation</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Langzahlarithmetik&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Allgemeine Multiplikation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Langzahlarithmetik&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Allgemeine Multiplikation"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Bei der <a href="/wiki/Multiplikation" title="Multiplikation">Multiplikation</a> gibt es bereits verschiedenste Ansätze für Algorithmen, wie zum Beispiel den <a href="/wiki/Karazuba-Algorithmus" title="Karazuba-Algorithmus">Karazuba-Algorithmus</a> oder den <a href="/wiki/Sch%C3%B6nhage-Strassen-Algorithmus" title="Schönhage-Strassen-Algorithmus">Schönhage-Strassen-Algorithmus</a>. Es gibt die Vermutung, dass die Schranke <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(n\cdot \log(n))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>⋅</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(n\cdot \log(n))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9340284081350cf4417f898e60e2d134c46f1f43" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.832ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle O(n\cdot \log(n))}"></span> bei der <a href="/wiki/Komplexit%C3%A4tstheorie" title="Komplexitätstheorie">Komplexität</a> nicht unterboten werden kann. </p><p>Sie zerlegen große Zahlen in ihre Ziffern, rechnen dann die Teilergebnisse aus und setzen die Teilergebnisse dann zum Endergebnis zusammen. Der einzige Unterschied ist, dass Menschen üblicherweise mit den 10 Ziffern von 0 bis 9 rechnen, Computer jedoch mit größeren „Ziffern“ von 0 bis 2 Milliarden, 9 Trillionen oder gar 170 Quintilliarden, da sie für diese Zifferngrößen bereits eingebaute Befehle haben. </p><p>In der Langzahlarithmetik setzt nun nicht die Prozessorarchitektur, sondern die Größe des verfügbaren <a href="/wiki/Arbeitsspeicher" title="Arbeitsspeicher">Arbeitsspeichers</a> den Spielraum, innerhalb dessen beliebig lange Zahlen verarbeitet werden können. Bei einigen modernen Programmiersprachen ist Langzahlarithmetik standardmäßig eingebaut, bei anderen stehen dafür Bibliotheken zur Verfügung. <a href="/wiki/Computeralgebra" title="Computeralgebra">Computeralgebrasysteme</a> unterstützen (neben der <a href="/wiki/Symbolische_Mathematik" title="Symbolische Mathematik">symbolischen Mathematik</a>, mit der sie nicht zu verwechseln ist) seit jeher auch Langzahlarithmetik. </p><p>Bei der Implementierung stehen möglichst effiziente mathematische <a href="/wiki/Algorithmus" title="Algorithmus">Algorithmen</a> im Vordergrund, um die Berechnungszeiten zu minimieren. </p><p><br /> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Programmiersprachen">Programmiersprachen</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Langzahlarithmetik&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Programmiersprachen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Langzahlarithmetik&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Programmiersprachen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Programmiersprachen, die Langzahlarithmetik unterstützen, entweder als eingebaute Funktionalität oder im Rahmen der Standardbibliothek: </p> <ul><li><a href="/wiki/Common_Lisp" title="Common Lisp">Common Lisp</a>: Der ANSI Common Lisp Standard unterstützt Langzahlarithmetik (ganze, rationale und komplexe Zahlen).</li> <li><a href="/wiki/C-Sharp" title="C-Sharp">C#</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://msdn.microsoft.com/en-us/library/system.numerics.biginteger.aspx">System.Numerics.BigInteger</a>, aus <a href="/wiki/.NET_Framework" class="mw-redirect" title=".NET Framework">.NET Framework</a> 4.0</li> <li><a href="/wiki/ColdFusion" title="ColdFusion">ColdFusion</a>: die vordefinierte Funktion <i>PrecisionEvaluate()</i> berechnet einen oder mehrere string-Ausdrücke dynamisch von links nach rechts mit Dezimalarithmetik.</li> <li><a href="/wiki/D_(Programmiersprache)" title="D (Programmiersprache)">D</a>: Standardbibliothek <i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://dlang.org/phobos/std_bigint.html">std.bigint</a></i></li> <li><a href="/wiki/Dart_(Programmiersprache)" title="Dart (Programmiersprache)">Dart</a>: Der eingebaute Datentyp <i>int</i> unterstützt Langzahlarithmetik.</li> <li><a href="/wiki/Erlang_(Programmiersprache)" title="Erlang (Programmiersprache)">Erlang</a>: Der eingebaute Datentyp <i>Integer</i> unterstützt Langzahlarithmetik.</li> <li><a href="/wiki/Go_(Programmiersprache)" title="Go (Programmiersprache)">Go</a>: Die Standardbibliothek <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://golang.org/pkg/math/big/">big</a></i> unterstützt Langzahlarithmetik für Ganzzahlen (Typ <i>Int</i>) und rationale Zahlen (Typ <i>Rat</i>).</li> <li><a href="/wiki/Haskell_(Programmiersprache)" title="Haskell (Programmiersprache)">Haskell</a>: Der eingebaute Datentyp <i>Integer</i> unterstützt Langzahlarithmetik und das Standardmodul <i>Data.Ratio</i> unterstützt rationale Zahlen.</li> <li><a href="/w/index.php?title=Icon_(Programmiersprache)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Icon (Programmiersprache) (Seite nicht vorhanden)">Icon</a>: Unterstützt <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cs.arizona.edu/icon/">LIA</a> (Large Integer Arithmetik), wodurch z. B. Wurzeln, Fakultäten, Binomialkoeffizienten u. ä. mit beliebig vielen Stellen berechnet werden können.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.islisp.info/">ISLISP</a>: Der ISO/IEC 13816:1997(E) <a href="/w/index.php?title=ISLISP&action=edit&redlink=1" class="new" title="ISLISP (Seite nicht vorhanden)">ISLISP</a> Standard unterstützt Langzahlarithmetik für Ganzzahlen.</li> <li><a href="/wiki/J_(Programmiersprache)" title="J (Programmiersprache)">J</a>: Eingebaute <i>extended precision</i></li> <li><a href="/wiki/Java_(Programmiersprache)" title="Java (Programmiersprache)">Java</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://java.sun.com/javase/6/docs/api/java/math/BigInteger.html">class java.math.BigInteger</a> (Ganzzahlen), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://java.sun.com/javase/6/docs/api/java/math/BigDecimal.html">class java.math.BigDecimal</a> (Dezimalbrüche)</li> <li><a href="/wiki/JavaScript" title="JavaScript">JavaScript</a>: Der eingebaute Datentyp <a rel="nofollow" class="external text" href="https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/JavaScript/Reference/Global_Objects/BigInt">BigInt</a> unterstützt Langzahlarithmetik. Für ältere Versionen: Die Bibliothek <a rel="nofollow" class="external text" href="https://code.google.com/p/gwt-math/">gwt-math</a> definiert ein Interface für java.math.BigDecimal, und die Bibliothek <a rel="nofollow" class="external text" href="http://leemon.com/crypto/BigInt.html">BigInt</a> unterstützt Langzahlarithmetik für ganze Zahlen.</li> <li><a href="/wiki/Objective_CAML" class="mw-redirect" title="Objective CAML">OCaml</a>: Die Bibliothek Num unterstützt Langzahlarithmetik für ganze und rationale Zahlen.</li> <li><a href="/wiki/Perl_(Programmiersprache)" title="Perl (Programmiersprache)">Perl</a>: Die Pragmas <a rel="nofollow" class="external text" href="http://perldoc.perl.org/bignum.html">bignum</a> und <a rel="nofollow" class="external text" href="http://perldoc.perl.org/bigrat.html">bigrat</a> ermöglichen BigNum und BigRational Unterstützung für Perl.</li> <li><a href="/wiki/PHP" title="PHP">PHP</a>: Das Modul <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.php.net/manual/en/book.bc.php">BC Math</a> unterstützt Langzahlarithmetik.</li> <li><a href="/wiki/Pike_(Programmiersprache)" title="Pike (Programmiersprache)">Pike</a>: Der eingebaute Typ <i>int</i> wechselt automatisch von maschinennaher Darstellung von Ganzzahlen auf Langzahlarithmetik, sobald ein Wert nicht in maschinennaher Darstellung dargestellt werden kann.</li> <li><a href="/wiki/Python_(Programmiersprache)" title="Python (Programmiersprache)">Python</a>: Der eingebaute Typ <i>int</i> (3.x) / <i>long</i> (2.x) unterstützt Langzahlarithmetik. Die Klasse <i>Decimal</i> der Standardbibliothek <i>decimal</i> hat benutzerdefinierbare Genauigkeit und einige mathematischen Funktionen (Exponentialfunktion, Quadratwurzel etc. aber keine trigonometrischen Funktionen). Mehr Langzahlarithmetik für Gleitkommazahlen ist mit den Bibliotheken „mpmath“ und „bigfloat“ von Drittanbietern ermöglicht.</li> <li><a href="/w/index.php?title=DrRacket&action=edit&redlink=1" class="new" title="DrRacket (Seite nicht vorhanden)">Racket</a>: Die eingebauten <i>exact</i> Zahlen benutzen Langzahlarithmetik für ganze und rationale Zahlen.</li> <li><a href="/wiki/REXX" title="REXX">REXX</a>: Varianten inklusive Open Object Rexx und NetRexx</li> <li><a href="/wiki/Ruby_(Programmiersprache)" title="Ruby (Programmiersprache)">Ruby</a>: Der eingebaute Ganzzahltyp <i>Bignum</i> unterstützt Langzahlarithmetik. Die Klasse <i>BigDecimal</i> aus der Standardbibliothek <i>bigdecimal</i> unterstützt Langzahlarithmetik auf Dezimalbrüchen.</li> <li><a href="/wiki/Scheme" title="Scheme">Scheme</a>: R<sup>5</sup>RS erlaubt, und R<sup>6</sup>RS verlangt, dass ganze und rationale Zahlen Langzahlarithmetik unterstützen.</li> <li><a href="/wiki/Scala_(Programmiersprache)" title="Scala (Programmiersprache)">Scala</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.scala-lang.org/api/current/index.html#scala.math.BigInt">Class BigInt</a> und <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.scala-lang.org/api/current/index.html#scala.math.BigDecimal">Class BigDecimal</a>.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://seed7.sourceforge.net/">Seed7</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://seed7.sourceforge.net/manual/types.htm#bigInteger">bigInteger</a> und <a rel="nofollow" class="external text" href="http://seed7.sourceforge.net/manual/types.htm#bigRational">bigRational</a>.</li> <li><a href="/wiki/Smalltalk_(Programmiersprache)" title="Smalltalk (Programmiersprache)">Smalltalk</a>: Varianten einschließlich <a href="/wiki/Squeak" title="Squeak">Squeak</a>, <a href="/w/index.php?title=Smalltalk/X&action=edit&redlink=1" class="new" title="Smalltalk/X (Seite nicht vorhanden)">Smalltalk/X</a>, <a href="/w/index.php?title=GNU_Smalltalk&action=edit&redlink=1" class="new" title="GNU Smalltalk (Seite nicht vorhanden)">GNU Smalltalk</a>, <a href="/w/index.php?title=Dolphin_Smalltalk&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dolphin Smalltalk (Seite nicht vorhanden)">Dolphin Smalltalk</a> etc.</li> <li><a href="/wiki/Standard_ML" title="Standard ML">Standard ML</a>: Die optional eingebaute Struktur <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.standardml.org/Basis/int-inf.html">IntInf</a> implementiert <i>INTEGER</i> und unterstützt Langzahlarithmetik für Ganzzahlen.</li> <li><a href="/wiki/TeX" title="TeX">TeX</a> (Textsatzsystem): Erweiterungspakete <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ctan.org/pkg/bigintcalc">bigintcalc</a> und <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ctan.org/pkg/xint">xint</a>.</li></ul></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Langzahlarithmetik&oldid=250731573">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Langzahlarithmetik&oldid=250731573</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Numerische_Mathematik" title="Kategorie:Numerische Mathematik">Numerische Mathematik</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Computerarithmetik" title="Kategorie:Computerarithmetik">Computerarithmetik</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Versteckte Kategorie: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Wikipedia:Qualit%C3%A4tssicherung_Informatik" title="Kategorie:Wikipedia:Qualitätssicherung Informatik">Wikipedia:Qualitätssicherung Informatik</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Meine Werkzeuge</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Benutzerseite der IP-Adresse, von der aus du Änderungen durchführst">Nicht angemeldet</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n"><span>Diskussionsseite</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y"><span>Beiträge</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Langzahlarithmetik" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. Es ist jedoch nicht zwingend erforderlich."><span>Benutzerkonto erstellen</span></a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Anmelden&returnto=Langzahlarithmetik" title="Anmelden ist zwar keine Pflicht, wird aber gerne gesehen. [o]" accesskey="o"><span>Anmelden</span></a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Namensräume</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Langzahlarithmetik" title="Seiteninhalt anzeigen [c]" accesskey="c"><span>Artikel</span></a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Langzahlarithmetik" rel="discussion" title="Diskussion zum Seiteninhalt [t]" accesskey="t"><span>Diskussion</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" 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