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class="cite-bracket">]</span></a></sup> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> の全ての元と<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87" title="交換法則">可換</a>となるような元全体の成す<a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88" title="集合">集合</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z(G)=\{z\in G\mid zg=gz\;(\forall g\in G)\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>∣</mo> <mi>z</mi> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mi>z</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>g</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z(G)=\{z\in G\mid zg=gz\;(\forall g\in G)\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc9201955737bcf845975c1222dee0a9b98cb45" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.47ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Z(G)=\{z\in G\mid zg=gz\;(\forall g\in G)\}}"></span></dd></dl> <p>である。<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> の中心は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> の<a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="部分群">部分群</a>であり、定義から<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="アーベル群">アーベル群</a>（可換群）である。部分群としては、常に<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="正規部分群">正規</a>であり、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%80%A7%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="特性部分群">特性的</a>であるが必ずしも<a href="/w/index.php?title=%E5%AE%8C%E5%85%A8%E7%89%B9%E6%80%A7%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「完全特性部分群」 (存在しないページ)">完全特性的</a> <span lang="en">(fully characteristic)</span> ではない。<a href="/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="剰余群">剰余群</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>G</i>/<i>Z</i>(<i>G</i>)</span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> の<a href="/wiki/%E5%86%85%E9%83%A8%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="内部自己同型">内部自己同型群</a>に<a href="/wiki/%E7%BE%A4%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="群同型">同型</a>である。 </p><p>群 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> がアーベル群となることと <span lang="en" class="texhtml"><i>Z</i>(<i>G</i>) = <i>G</i></span> となることとは同値である。これと正反対に、<span lang="en" class="texhtml"><i>Z</i>(<i>G</i>)</span> が自明（つまり<a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83" title="単位元">単位元</a>のみからなる）ならば群 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> は<b>中心を持たない</b> <span lang="en">(<i>centerless</i>)</span> という。 </p><p>中心に属する元はしばしば<b>中心的</b> <span lang="en">(<i>central</i>)</span> であるといわれる。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="部分群となること"><span id=".E9.83.A8.E5.88.86.E7.BE.A4.E3.81.A8.E3.81.AA.E3.82.8B.E3.81.93.E3.81.A8"></span>部分群となること</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4%E3%81%AE%E4%B8%AD%E5%BF%83&action=edit&section=1" title="節を編集: 部分群となること"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> の中心はつねに <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> の<a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="部分群">部分群</a>となる。実際、 </p> <ol><li><span lang="en" class="texhtml"><i>Z</i>(<i>G</i>)</span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> の単位元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">e</span> を含む： <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">e</span> の定義から任意の <span lang="en" class="texhtml"><i>g</i> ∈ <i>G</i></span> について <span lang="en" class="texhtml"><i>eg</i> = <i>g</i> = <i>ge</i></span> ゆえ中心 <span lang="en" class="texhtml"><i>Z</i>(<i>G</i>)</span> の定義から <span lang="en" class="texhtml"><i>e</i> ∈ <i>Z</i>(<i>G</i>)</span> である。</li> <li><span lang="en" class="texhtml"><i>Z</i>(<i>G</i>)</span> は積について閉じている： <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x, y</span> がともに中心 <span lang="en" class="texhtml"><i>Z</i>(<i>G</i>)</span> の元ならば、任意の <span lang="en" class="texhtml"><i>g</i> ∈ <i>G</i></span> に対して <dl><dd><dl><dd><span lang="en" class="texhtml">(<i>xy</i>)<i>g</i> = <i>x</i>(<i>yg</i>) = <i>x</i>(<i>gy</i>) = (<i>xg</i>)<i>y</i> = (<i>gx</i>)<i>y</i> = <i>g</i>(<i>xy</i>)</span></dd></dl></dd> <dd>ゆえに <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">xy</span> も <span lang="en" class="texhtml"><i>Z</i>(<i>G</i>)</span> の元である。</dd></dl></li> <li><span lang="en" class="texhtml"><i>Z</i>(<i>G</i>)</span> は逆元について閉じている：<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> が中心 <span lang="en" class="texhtml"><i>Z</i>(<i>G</i>)</span> の元ならば <span lang="en" class="texhtml"><i>gx</i> = <i>xg</i></span> で、これに左右からひとつずつ <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i><sup>−1</sup></span> を掛けることにより <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i><sup>−1</sup><i>g</i> = <i>gx</i><sup>−1</sup></span> が得られるから <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i><sup>−1</sup> ∈ <i>Z</i>(<i>G</i>)</span> である。</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="共軛"><span id=".E5.85.B1.E8.BB.9B"></span>共軛</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4%E3%81%AE%E4%B8%AD%E5%BF%83&action=edit&section=2" title="節を編集: 共軛"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>群 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> から <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> の<a href="/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="自己同型群">自己同型群</a> <span lang="en" class="texhtml">Aut(<i>G</i>)</span> への写像 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>G</i> → Aut(<i>G</i>)</span> を <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>g</i>) = φ<sub><i>g</i></sub></span> で定める。ここで <span lang="en" class="texhtml">φ<sub><i>g</i></sub></span> は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{g}(h)=ghg^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mi>h</mi> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{g}(h)=ghg^{-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4c0e60417dcf5938d32c4378dbc87b94974532b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.56ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \phi _{g}(h)=ghg^{-1}}"></span></dd></dl> <p>で与えられる <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> の自己同型とする。写像 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> は<a href="/wiki/%E7%BE%A4%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="群準同型">群準同型</a>を与え、その<a href="/wiki/%E6%A0%B8_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="核 (代数学)">核</a>はちょうど <i>G</i> の中心 <span lang="en" class="texhtml"><i>Z</i>(<i>G</i>)</span> である。また、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の像は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> の<a href="/wiki/%E5%86%85%E9%83%A8%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="内部自己同型群">内部自己同型群</a>と呼ばれ、<span lang="en" class="texhtml">Inn(<i>G</i>)</span> と書かれる。<a href="/wiki/%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%90%8C%E5%9E%8B%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="第一同型定理">第一同型定理</a>により </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G/Z(G)\cong \operatorname {Inn} (G)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≅</mo> <mi>Inn</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G/Z(G)\cong \operatorname {Inn} (G)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39b87c223b3ada1df657c8b27c98fea6c372ba9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.465ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G/Z(G)\cong \operatorname {Inn} (G)}"></span></dd></dl> <p>なる同型を得る。写像 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の<a href="/wiki/%E4%BD%99%E6%A0%B8" title="余核">余核</a><span lang="en" class="texhtml"> Aut(<i>G</i>)/Inn(<i>G</i>)</span> は<a href="/w/index.php?title=%E5%A4%96%E9%83%A8%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「外部自己同型群」 (存在しないページ)">外部自己同型群</a>とよばれる群 <span lang="en" class="texhtml">Out(<i>G</i>)</span> で、これらの群は完全列 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\to Z(G)\to G\to \operatorname {Aut} (G)\to \operatorname {Out} (G)\to 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Aut</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Out</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\to Z(G)\to G\to \operatorname {Aut} (G)\to \operatorname {Out} (G)\to 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0e3aa68a56bd178eb73045dfa76d5f554c247e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.756ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1\to Z(G)\to G\to \operatorname {Aut} (G)\to \operatorname {Out} (G)\to 1}"></span></dd></dl> <p>を成す。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="例"><span id=".E4.BE.8B"></span>例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4%E3%81%AE%E4%B8%AD%E5%BF%83&action=edit&section=3" title="節を編集: 例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="アーベル群">アーベル群</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> の中心は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> 全体である。</li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93%E7%BE%A4" title="二面体群">二面体群</a> <span lang="en" class="texhtml">D<sub>2<i>n</i></sub></span> の中心は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> が奇数のとき自明である。<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> が偶数のときは、中心は単位元と<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E8%A7%92%E5%BD%A2" title="多角形">多角形</a>の <span lang="en" class="texhtml">180°</span> 回転からなる。</li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="四元数群">四元数群</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>Q</i><sub>8</sub> = {±1, ±<i>i</i>, ±<i>j</i>, ±<i>k</i>} </span>の中心は<span lang="en" class="texhtml"> {±1} </span>である。</li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4" title="対称群">対称群</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>S</i><sub><i>n</i></sub></span> の中心は <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i> ≥ 3</span> ならば自明である。</li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E7%BE%A4" title="交代群">交代群</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>A</i><sub><i>n</i></sub></span> の中心は <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i> ≥ 4</span> ならば自明である。</li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="一般線型群">一般線型群</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>GL</i><sub><i>n</i></sub>(<i>F</i>)</span> の中心は<a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%BC%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="スカラー行列">スカラー行列</a>全体からなる集合である。</li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" title="直交群">直交群</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>O</i>(<i>n</i>, <i>F</i>)</span> の中心は<span lang="en" class="texhtml"> {±<i>I</i><sub><i>n</i></sub>} </span>である。</li> <li>零でない<a href="/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0" title="四元数">四元数</a>全体の成す乗法群の中心は、零でない実数全体の成す乗法群である。</li> <li><a href="/wiki/%E9%A1%9E%E7%AD%89%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="類等式">類等式</a>を用いれば任意の自明でない<a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4" title="有限群">有限</a><a href="/wiki/P%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="P群"> <i>p</i>-群</a>の中心が自明でないことが示せる。</li> <li>非可換<a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4" title="単純群">単純群</a>は中心を持たない。</li> <li>剰余群 <span lang="en" class="texhtml"><i>G</i>/<i>Z</i>(<i>G</i>)</span> が<a href="/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4" title="巡回群">巡回群</a>ならば <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> は<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="アーベル群">可換</a>である。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="高次の中心"><span id=".E9.AB.98.E6.AC.A1.E3.81.AE.E4.B8.AD.E5.BF.83"></span>高次の中心</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4%E3%81%AE%E4%B8%AD%E5%BF%83&action=edit&section=4" title="節を編集: 高次の中心"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>群をその中心で割るという操作から、昇核心列あるいは<b><a href="/w/index.php?title=%E6%98%87%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%88%97&action=edit&redlink=1" class="new" title="「昇中心列」 (存在しないページ)">昇中心列</a></b> <span lang="en">(<i>upper central series</i>)</span> と呼ばれる群の系列 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{0}:=G\to G_{1}:=G_{0}/Z(G_{0})\to G_{2}:=G_{1}/Z(G_{1})\to \cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{0}:=G\to G_{1}:=G_{0}/Z(G_{0})\to G_{2}:=G_{1}/Z(G_{1})\to \cdots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45198e08be9154f4da02d1fedfde18662d5fdb21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:56.099ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G_{0}:=G\to G_{1}:=G_{0}/Z(G_{0})\to G_{2}:=G_{1}/Z(G_{1})\to \cdots }"></span></dd></dl> <p>が得られる。全射準同型 <span lang="en" class="texhtml"><i>G</i> → <i>G</i><sub><i>i</i></sub></span> の核は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> の<b> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span>-次の中心</b>（二次の中心、三次の中心、など）と呼ばれ、<i>Z</i><sup><i>i</i></sup>(<i>G</i>) で表される。具体的に、<span lang="en" class="texhtml">(<i>i</i> + 1)</span>-次の中心は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span>-次の中心の元を掛ける違いを除いて全ての元と可換となるような元の全体である。この定義の下では、<span lang="en" class="texhtml">0</span>-次の中心というのを自明な部分群として定めることができる。また、この定義は<a href="/wiki/%E8%B6%85%E9%99%90%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95" title="超限帰納法">超限帰納法</a>を用いて<a href="/w/index.php?title=%E8%B6%85%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「超限順序数」 (存在しないページ)">超限順序数</a>にまで続けることができて、高次の中心全ての結びは<a href="/w/index.php?title=%E8%B6%85%E4%B8%AD%E5%BF%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="「超中心」 (存在しないページ)">超中心</a> <span lang="en">(<i>hypercenter</i>)</span> と呼ばれる<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>note 2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>部分群の昇鎖 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\leq Z(G)\leq Z^{2}(G)\leq \cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>≤</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <msup> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\leq Z(G)\leq Z^{2}(G)\leq \cdots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4002bd2891127018e2019c7272ea0427d08338" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.896ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 1\leq Z(G)\leq Z^{2}(G)\leq \cdots }"></span></dd></dl> <p>が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> で停止する（つまり <span lang="en" class="texhtml"><i>Z</i><sup><i>i</i></sup>(<i>G</i>) = <i>Z</i><sup><i>i</i>+1</sup>(<i>G</i>)</span> となる）<a href="/wiki/%E5%BF%85%E8%A6%81%E5%8D%81%E5%88%86%E6%9D%A1%E4%BB%B6" class="mw-redirect" title="必要十分条件">必要十分条件</a>は <span lang="en" class="texhtml"><i>G</i><sub><i>i</i></sub></span> が中心を持たないことである。 </p> <ul><li>中心を持たない群は、全ての高次の中心が自明である（<span lang="en" class="texhtml"><i>Z</i><sup>0</sup>(<i>G</i>) = Z<sup>1</sup>(<i>G</i>)</span> で停止する場合）。</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="「グリューンの補題」 (存在しないページ)">グリューンの補題</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%BCn%27s_lemma" class="extiw" title="en:Grün's lemma">英語版</a>）</span></span> により、<a href="/w/index.php?title=%E5%AE%8C%E5%85%A8%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「完全群」 (存在しないページ)">完全群</a>の中心による剰余群は中心を持たない。したがって全ての高次の中心は中心に等しい（<span lang="en" class="texhtml"><i>Z</i><sup>1</sup>(<i>G</i>) = <i>Z</i><sup>2</sup>(<i>G</i>)</span> で停止する場合）。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="注記"><span id=".E6.B3.A8.E8.A8.98"></span>注記</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4%E3%81%AE%E4%B8%AD%E5%BF%83&action=edit&section=5" title="節を編集: 注記"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text">この記法の <i>Z</i> はドイツ語で中心という意味の <i><a href="https://ja.wiktionary.org/wiki/Zentrum" class="extiw" title="wikt:Zentrum">Zentrum</a></i> に由来する。英語の center から <span lang="en" class="texhtml">C(<i>G</i>)</span> のような記法が使われることも在るが、<a href="/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%8C%96%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="中心化群">中心化群</a>などと紛らわしい。</span> </li> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text">昇中心列が有限項で止まらないなら、この和に超限項も含まれる。</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%BE%A4%E3%81%AE%E4%B8%AD%E5%BF%83&action=edit&section=6" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E7%92%B0%E3%81%AE%E4%B8%AD%E5%BF%83" class="mw-redirect" title="環の中心">環の中心</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%8C%96%E7%BE%A4%E3%81%A8%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%8C%96%E7%BE%A4" title="中心化群と正規化群">中心化群と正規化群</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%B1%E8%BB%9B%E9%A1%9E" class="mw-redirect" title="共軛類">共軛類</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%88%97&action=edit&redlink=1" class="new" title="「中心列」 (存在しないページ)">中心列</a></li></ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=群の中心&oldid=69811682">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=群の中心&oldid=69811682</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA" title="特別:カテゴリ">カテゴリ</a>: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="Category:群論">群論</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:数学に関する記事">数学に関する記事</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> 最終更新 2018年9月4日 (火) 02:30 （日時は<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E5%80%8B%E4%BA%BA%E8%A8%AD%E5%AE%9A#mw-prefsection-rendering" title="特別:個人設定">個人設定</a>で未設定ならば<a href="/wiki/%E5%8D%94%E5%AE%9A%E4%B8%96%E7%95%8C%E6%99%82" title="協定世界時">UTC</a>）。</li> <li id="footer-info-copyright">テキストは<a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ja">クリエイティブ・コモンズ表示-継承ライセンス</a>のもとで利用できます。追加の条件が適用される場合があります。詳細については<a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">利用規約</a>を参照してください。</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/ja">プライバシー・ポリシー</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%82%AD%E3%83%9A%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%A2%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6">ウィキペディアについて</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:%E5%85%8D%E8%B2%AC%E4%BA%8B%E9%A0%85">免責事項</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">行動規範</a></li> <li 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