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class="vector-toc-link" href="#応用"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>応用</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-応用-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>応用サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-応用-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-連立1次方程式" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#連立1次方程式"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>連立1次方程式</span> </div> </a> <ul id="toc-連立1次方程式-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-逆行列" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#逆行列"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>逆行列</span> </div> </a> <ul id="toc-逆行列-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-行列式" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#行列式"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>行列式</span> </div> </a> <ul id="toc-行列式-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-変種" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#変種"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>変種</span> </div> </a> <ul id="toc-変種-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>脚注</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-脚注-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>脚注サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-注釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#注釈"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>注釈</span> </div> </a> <ul id="toc-注釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>出典</span> </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>関連項目</span> </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div 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title="Wikipedia:検証可能性">検証可能</a>な<a href="/wiki/Wikipedia:%E4%BF%A1%E9%A0%BC%E3%81%A7%E3%81%8D%E3%82%8B%E6%83%85%E5%A0%B1%E6%BA%90" title="Wikipedia:信頼できる情報源">参考文献や出典</a>が全く示されていないか、不十分です。</b><span class="hide-when-compact"> <a href="/wiki/Wikipedia:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%82%92%E6%98%8E%E8%A8%98%E3%81%99%E3%82%8B" title="Wikipedia:出典を明記する">出典を追加</a>して記事の信頼性向上にご協力ください。<small>（<a href="/wiki/Template:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%81%AE%E6%98%8E%E8%A8%98/doc" title="Template:出典の明記/doc">このテンプレートの使い方</a>）</small><br /><small><span class="plainlinks">出典検索<a href="/wiki/Template:Find_sources_mainspace" title="Template:Find sources mainspace"><sup>?</sup></a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&as_eq=wikipedia&q=%22LU%E5%88%86%E8%A7%A3%22&num=50">"LU分解"</a> – <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%22LU%E5%88%86%E8%A7%A3%22&tbm=nws">ニュース</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&tbs=bks:1&q=%22LU%E5%88%86%E8%A7%A3%22">書籍</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="//scholar.google.co.jp/scholar?num=100&hl=ja&q=%22LU%E5%88%86%E8%A7%A3%22">スカラー</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ci.nii.ac.jp/opensearch/search?lang=ja&q=%22LU%E5%88%86%E8%A7%A3%22&range=2&count=200&sortorder=1&type=0">CiNii</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jstage.jst.go.jp/result/global/-char/ja?globalSearchKey=%22LU%E5%88%86%E8%A7%A3%22">J-STAGE</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ndlsearch.ndl.go.jp/api/openurl?any=%22LU%E5%88%86%E8%A7%A3%22">NDL</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dlib.jp/?q=%22LU%E5%88%86%E8%A7%A3%22">dlib.jp</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://jpsearch.go.jp/csearch/jps-cross?csid=jps-cross&keyword=%22LU%E5%88%86%E8%A7%A3%22">ジャパンサーチ</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikipedialibrary.wmflabs.org/partners/">TWL</a></span></small></span> <span class="date-container"><i>(<span class="date"><span title="2013年4月24日 (水) 04:30 (UTC)">2013年4月</span></span>)</i></span></div></td></tr></tbody></table> <p><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>における行列の<b>LU分解</b>（エルユーぶんかい、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">LU decomposition</span>）とは、<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正方行列">正方行列</a> <i>A</i> を<a href="/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E8%A1%8C%E5%88%97" title="三角行列">下三角行列</a> <i>L</i> と<a href="/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E8%A1%8C%E5%88%97" title="三角行列">上三角行列</a> <i>U</i> の積に分解すること。すなわち <i>A</i> = <i>LU</i> が成立するような <i>L</i> と <i>U</i> を求めることをいう。正方行列 <i>A</i> のLU分解が存在する必要十分条件はすべての首座<a href="/wiki/%E5%B0%8F%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="小行列式">小行列式</a>が 0 でないことである。また <i>L</i> の対角成分をすべて 1 とすれば分解はただ一通りに定まる。文献によっては<b>LR分解</b>とも呼ばれる（それは<i>A</i>を左三角(left triangular)と右三角(right triangular)の行列の積に分解するということにちなむ）。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="LU分解の手法"><span id="LU.E5.88.86.E8.A7.A3.E3.81.AE.E6.89.8B.E6.B3.95"></span>LU分解の手法</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=LU%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=1" title="節を編集: LU分解の手法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>以下、<i>n</i> 次<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正方行列">正方行列</a>の場合で説明する。基本的には<i>A</i> = <i>LU</i> の各成分について書き下した <i>n</i><sup>2</sup> 個の式を解くことにより、行列 <i>L</i> , <i>U</i> を求めるのだが、このままでは未知の係数の個数（<i>n</i> (<i>n</i> + 1) 個）が式の個数（<i>n</i><sup>2</sup>個）より多いので解けない。これを解くための解法には <b>ドゥーリトル法</b> と <b>クラウト法</b> の2つがある。 </p> <ul><li>ドゥーリトル法では、行列 <i>L</i> の対角成分の全てを 1 とおき、(1, 1) 成分 , (2, 1) 成分 , (3, 1) 成分 , ... , (1, 2) 成分, (2, 2) 成分, ... の順に <i>n</i><sup>2</sup> 個の式を解く。</li> <li>クラウト法では、行列 <i>U</i> の対角成分の全てを 1 とおき、(1, 1) 成分 , (1, 2) 成分 , (1, 3) 成分 , ... , (2, 1) 成分, (2, 2) 成分, ... の順に <i>n</i><sup>2</sup> 個の式を解く。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="例"><span id=".E4.BE.8B"></span>例</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=LU%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=2" title="節を編集: 例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ドゥーリトル法による2次行列のLU分解を行う。与えられた正方行列<i>A</i> の成分を<i>a<sub>ij</sub></i> とする。 </p> <ol><li>下三角行列 <i>L</i> の対角成分を全て 1 とおき、残りの成分、(1, 2)を0、(2, 1)を変数<i>l</i><sub>21</sub> とおく。 <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L={\begin{bmatrix}1&0\\l_{21}&1\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>l</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L={\begin{bmatrix}1&0\\l_{21}&1\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8415f520a6a4ab41885cf6c791e067cb81ea2d0b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.942ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle L={\begin{bmatrix}1&0\\l_{21}&1\end{bmatrix}}}"></span></dd></dl></li> <li>上三角行列 <i>U</i> の対角成分と対角成分より上の成分を変数におく。 <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}\\0&u_{22}\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}\\0&u_{22}\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387404f632ce565b32c036987f917d69cd739522" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:16.822ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}\\0&u_{22}\end{bmatrix}}}"></span></dd></dl></li> <li><i>A</i>=<i>LU</i> の両辺を係数比較する。 <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}a_{11}&=u_{11}\\a_{12}&=u_{12}\\a_{21}&=l_{21}u_{11}\\a_{22}&=l_{21}u_{12}+u_{22}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>l</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>l</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}a_{11}&=u_{11}\\a_{12}&=u_{12}\\a_{21}&=l_{21}u_{11}\\a_{22}&=l_{21}u_{12}+u_{22}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d814b211ca46faded01cfca1be79b4e91ec4099" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.338ex; width:18.778ex; height:11.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}a_{11}&=u_{11}\\a_{12}&=u_{12}\\a_{21}&=l_{21}u_{11}\\a_{22}&=l_{21}u_{12}+u_{22}\end{aligned}}}"></span></dd></dl></li> <li>上式を上から順に解くことで<i>L</i> , <i>U</i> が求められる。 <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}L&={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {a_{21}}{a_{11}}}&1\end{bmatrix}}\\U&={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\0&a_{22}-{\frac {a_{21}a_{12}}{a_{11}}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>L</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>U</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}L&={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {a_{21}}{a_{11}}}&1\end{bmatrix}}\\U&={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\0&a_{22}-{\frac {a_{21}a_{12}}{a_{11}}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5c3f32ab8cee16aecc68a97ebbdc574c4727f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.005ex; width:26.043ex; height:15.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}L&={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {a_{21}}{a_{11}}}&1\end{bmatrix}}\\U&={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\0&a_{22}-{\frac {a_{21}a_{12}}{a_{11}}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}"></span></dd></dl></li></ol> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="応用"><span id=".E5.BF.9C.E7.94.A8"></span>応用</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=LU%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=3" title="節を編集: 応用"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="連立1次方程式"><span id=".E9.80.A3.E7.AB.8B1.E6.AC.A1.E6.96.B9.E7.A8.8B.E5.BC.8F"></span>連立1次方程式</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=LU%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=4" title="節を編集: 連立1次方程式"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E7%B3%BB" title="線型方程式系">連立1次方程式</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3387b7c60dfd161b82d16b3b515c2aa4d5f74e4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.585ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}"></span></dd></dl> <p>の解き方に、行列 <i>A</i> を LU分解する方法がある。<i>L</i> , <i>U</i> は下三角行列、上三角行列であるため、逆行列を求めることなく計算することが可能である。このため、同じ<i>A</i> に対し<i><b>b</b></i> だけを変えていくつも連立方程式を解く場合、LU分解は有用である<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>与えられた方程式 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A{\boldsymbol {x}}=LU{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>L</mi> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A{\boldsymbol {x}}=LU{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb8feaad36137241b8ad8df68837e01588d55bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.58ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A{\boldsymbol {x}}=LU{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}"></span></dd></dl> <p>に対し、変数<i><b>y</b></i> を </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {y}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">y</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {y}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e658d5dcf94fa13bf90813def75c51359eb6c92" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.784ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {y}}}"></span></dd></dl> <p>とおき、これを上式に代入する。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L{\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">y</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L{\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {b}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598fbb04d1f1fa5a1ed155fd96fc227d7e9a5eeb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.264ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L{\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {b}}}"></span></dd></dl> <p>から変数<i><b>y</b></i> を求める<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。求めた解<i><b>y</b></i> を<i>U<b>x</b></i> = <i><b>y</b></i> の右辺に代入し、解 <i><b>x</b></i> を求めることができる<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p><i>L<b>y</b></i> = <i><b>b</b></i>は<a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%B6%88%E5%8E%BB%E6%B3%95" title="ガウスの消去法">ガウスの消去法</a>の前進消去、<i>U<b>x</b></i> = <i><b>y</b></i>は後退代入に対応する。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="逆行列"><span id=".E9.80.86.E8.A1.8C.E5.88.97"></span>逆行列</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=LU%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=5" title="節を編集: 逆行列"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>行列 <i>A</i> を LU 分解すると、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{-1}=U^{-1}L^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{-1}=U^{-1}L^{-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98d2cd0b35e4d1b94bcaf7b3606f6178a512a006" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.264ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A^{-1}=U^{-1}L^{-1}}"></span></dd></dl> <p>により<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正則行列">逆行列</a><i>A</i><sup>-1</sup> を求められる。 </p><p>また、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle LU{\boldsymbol {x_{i}}}={\boldsymbol {e_{i}}}\quad (i=1,2,\dots ,n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi mathvariant="bold-italic">e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle LU{\boldsymbol {x_{i}}}={\boldsymbol {e_{i}}}\quad (i=1,2,\dots ,n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2837abe337db3d30e16d1500e3e4a64d5732987e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.045ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle LU{\boldsymbol {x_{i}}}={\boldsymbol {e_{i}}}\quad (i=1,2,\dots ,n)}"></span></dd> <dd>（<i><b>e</b><sub>i</sub></i> は<a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E8%A1%8C%E5%88%97" title="単位行列">単位行列</a><i>I</i> の第<i>i</i> 列）</dd></dl> <p>の解<i><b>x</b><sub>i</sub></i> を並べた行列<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=[{\boldsymbol {x_{1}}},{\boldsymbol {x_{2}}},\dots ,{\boldsymbol {x_{n}}}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=[{\boldsymbol {x_{1}}},{\boldsymbol {x_{2}}},\dots ,{\boldsymbol {x_{n}}}]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e987de839894911142652c1e17d49709370ba073" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.938ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X=[{\boldsymbol {x_{1}}},{\boldsymbol {x_{2}}},\dots ,{\boldsymbol {x_{n}}}]}"></span>は <i>AX</i> = <i>I</i> を満たすので、このようにしても逆行列<i>A</i><sup>-1</sup> を求めることができる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="行列式"><span id=".E8.A1.8C.E5.88.97.E5.BC.8F"></span>行列式</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=LU%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=6" title="節を編集: 行列式"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>行列 <i>A</i> を LU 分解できれば、その<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="行列式">行列式</a>は簡単に求めることができる。なぜならば、行列 <i>L</i> および <i>U</i> は三角行列であることから、それらの行列式 |<i>L</i> | , |<i>U</i> | は対角成分の積で表され、|<i>A</i> | は、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |A|=|L||U|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |A|=|L||U|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349234be75e51f2b89e3f2210133bfa763e986c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.088ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |A|=|L||U|}"></span></dd></dl> <p>と計算できるからである。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="変種"><span id=".E5.A4.89.E7.A8.AE"></span>変種</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=LU%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=7" title="節を編集: 変種"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dt>LDU 分解</dt> <dd>下三角行列 <i>L</i> と<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E8%A1%8C%E5%88%97" title="対角行列">対角行列</a> <i>D</i> と上三角行列 <i>U</i> の積に分解する。 <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=LDU}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>L</mi> <mi>D</mi> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=LDU}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9854740b03dca7ae7a902656f1056d505ca6c694" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.131ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A=LDU}"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dt>LUP 分解</dt> <dd>下三角行列 <i>L</i> と上三角行列 <i>U</i> と<a href="/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E8%A1%8C%E5%88%97" title="置換行列">置換行列</a> <i>P</i> の積に分解する。 <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle PA=LU}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>L</mi> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle PA=LU}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401e8d7252876c4c8195094348fde42dbf8a6dab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.952ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle PA=LU}"></span></dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=LU%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=8" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け"><span title="この欄の操作法">脚注の使い方</span></a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="注釈"><span id=".E6.B3.A8.E9.87.88"></span>注釈</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=LU%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=9" title="節を編集: 注釈"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text">左辺<i>L<b>y</b></i> を計算し、左辺と右辺を係数比較すれば、<i><b>y</b></i> が求まる。</span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text">左辺<i>U<b>x</b></i>を計算し、左辺と右辺を係数比較すれば、<i><b>x</b></i> が求まる。</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=LU%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=10" title="節を編集: 出典"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFJoel_H._FerzigerMilovan_Perić2003">Joel H. Ferziger; Milovan Perić 著、小林敏雄、谷口伸行、坪倉誠訳『コンピュータによる流体力学』シュプリンガー・フェアラーク東京、2003年、90頁。<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation 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title="特別:文献資料/4-431-70842-1">4-431-70842-1</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E6%B5%81%E4%BD%93%E5%8A%9B%E5%AD%A6&rft.aulast=Joel+H.+Ferziger&rft.au=Joel+H.+Ferziger&rft.au=Milovan+Peri%26%23x107%3B&rft.date=2003&rft.pages=90%E9%A0%81&rft.pub=%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%A2%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%82%AF%E6%9D%B1%E4%BA%AC&rft.isbn=4-431-70842-1&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:LU%E5%88%86%E8%A7%A3"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=LU%E5%88%86%E8%A7%A3&action=edit&section=11" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Crout_matrix_decomposition" class="extiw" title="en:Crout matrix decomposition">en:Crout matrix decomposition</a></li></ul> <div class="navbox" aria-labelledby="線型代数学・行列解析" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="Template:線形代数"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:線形代数」 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="線型代数学・行列解析" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="線型代数学">線型代数学</a>・<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="行列解析">行列解析</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%AB%8B%E4%B8%80%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="連立一次方程式">連立一次方程式</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%B6%88%E5%8E%BB%E6%B3%95" title="ガウスの消去法">ガウスの消去法</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F" title="クラメルの公式">クラメルの公式</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%EF%BC%9D%E3%82%B6%E3%82%A4%E3%83%87%E3%83%AB%E6%B3%95" title="ガウス＝ザイデル法">ガウス＝ザイデル法</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E6%B3%95" title="ヤコビ法">ヤコビ法</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="空間ベクトル">ベクトル</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%8B%AC%E7%AB%8B" title="線型独立">線型独立</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%B5%90%E5%90%88" title="線型結合">線型結合</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="基底 (線型代数学)">基底</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E5%9F%BA%E5%BA%95" title="双対基底">双対基底</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="双対空間">双対空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A0%B8%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="核空間">核空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="固有空間">固有空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BA%83%E7%BE%A9%E5%9B%BA%E6%9C%89%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="広義固有ベクトル">広義固有空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%8C%85" title="線型包">線型包</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E7%A9%BA%E9%96%93" title="行空間">行空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%88%97%E7%A9%BA%E9%96%93" title="列空間">列空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%A1%E3%83%AB%E6%AC%A1%E5%85%83" class="mw-redirect" title="ハメル次元">次元</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E8%A8%88%E9%87%8F%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="計量ベクトル空間">計量ベクトル空間</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%89%E3%83%83%E3%83%88%E7%A9%8D" title="ドット積">ドット積</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F" title="コーシー＝シュワルツの不等式">コーシー＝シュワルツの不等式</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4" title="直交">直交</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%B3%BB" title="正規直交系">正規直交系</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%9F%BA%E5%BA%95" title="正規直交基底">正規直交基底</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%9F%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%8C%96%E6%B3%95" title="グラム・シュミットの正規直交化法">グラム・シュミットの正規直交化法</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E8%A3%9C%E7%A9%BA%E9%96%93" title="直交補空間">直交補空間</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97" title="行列">行列</a>・<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型写像</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">演算・操作</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E4%B9%97%E6%B3%95" title="行列の乗法">乗法</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%BB%A2%E7%BD%AE%E8%A1%8C%E5%88%97" title="転置行列">転置</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%86%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="逆行列">逆行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B5%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%96%B9%E6%B3%95" title="サラスの方法">サラスの方法</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%A4%89%E5%BD%A2" title="行列の基本変形">基本変形</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E5%8C%96" title="対角化">対角化</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%88%86%E8%A7%A3" title="行列の分解">分解</a> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">LU</a></li> <li><a href="/wiki/QR%E5%88%86%E8%A7%A3" title="QR分解">QR</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E5%88%86%E8%A7%A3" title="コレスキー分解">コレスキー</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%A2%E5%88%86%E8%A7%A3" class="mw-redirect" title="シューア分解">シューア</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E7%95%B0%E5%80%A4%E5%88%86%E8%A7%A3" title="特異値分解">特異値</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E5%88%86%E8%A7%A3" title="固有値分解">固有値</a></li></ul></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">不変量</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="行列式">行列式</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%B7%A1_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="跡 (線型代数学)">跡</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%95%B0" title="行列の階数">階数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E3%81%A8%E5%9B%BA%E6%9C%89%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="固有値と固有ベクトル">固有値と固有ベクトル</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F" title="固有多項式">固有多項式</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="最小多項式 (線型代数学)">最小多項式</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%9B%A0%E5%AD%90" title="単因子">単因子</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9A%8E%E6%95%B0%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%BD%A2" class="mw-redirect" title="階数標準形">階数標準形</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%9F%E3%82%B9%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%BD%A2" class="mw-redirect" title="スミス標準形">スミス標準形</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%BD%A2" title="ジョルダン標準形">ジョルダン標準形</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%BD%A2" title="有理標準形">有理標準形</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%8F%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="小行列式">小行列式</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">クラス</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正則行列">正則</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="基本行列">基本</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E8%A1%8C%E5%88%97" title="対称行列">対称</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E8%A1%8C%E5%88%97" title="エルミート行列">エルミート</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正規行列">正規</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E8%A1%8C%E5%88%97" title="直交行列">直交</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%A1%8C%E5%88%97" title="回転行列">回転</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ユニタリ行列">ユニタリ</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%B6%E8%A1%8C%E5%88%97" title="冪零行列">冪零</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="射影行列">射影</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E5%80%A4%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="正定値行列">正定値</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ユニモジュラ行列">ユニモジュラー</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E8%A1%8C%E5%88%97" title="置換行列">置換</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8C%BA%E5%88%86%E8%A1%8C%E5%88%97" title="区分行列">区分</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="行列式">行列式</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BD%99%E5%9B%A0%E5%AD%90%E5%B1%95%E9%96%8B" title="余因子展開">余因子展開</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%99%E5%9B%A0%E5%AD%90%E8%A1%8C%E5%88%97" title="余因子行列">余因子行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%81%AE%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="ヴァンデルモンドの行列式">ヴァンデルモンドの行列式</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B5%82%E7%B5%90%E5%BC%8F" title="終結式">終結式</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%93%E3%83%8D%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F" title="コーシー・ビネの公式">コーシー・ビネの公式</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="多重線型代数">多重線型代数</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)" title="直積 (ベクトル)">外積</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="外積代数">外積代数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="対称代数">対称代数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="テンソル代数">テンソル代数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%80%A4%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="数値線形代数">数値線形代数</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">基本的な概念</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%B5%AE%E5%8B%95%E5%B0%8F%E6%95%B0%E7%82%B9%E6%95%B0" title="浮動小数点数">浮動小数点</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%80%A4%E7%9A%84%E5%AE%89%E5%AE%9A%E6%80%A7" title="数値的安定性">数値的安定性</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%96%8E%E8%A1%8C%E5%88%97" title="疎行列">疎行列</a></li> <li><a href="/wiki/Z-%E8%A1%8C%E5%88%97" title="Z-行列">Z-行列</a></li> <li><a href="/wiki/M%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="M行列">M行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%95%B0" title="条件数">条件数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ゲルシュゴリンの定理">ゲルシュゴリンの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%AD%E3%83%95%E9%83%A8%E5%88%86%E7%A9%BA%E9%96%93" title="クリロフ部分空間">クリロフ部分空間</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><a href="/wiki/%E3%82%BD%E3%83%95%E3%83%88%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%82%A2" title="ソフトウェア">ソフトウェア</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/MATLAB" title="MATLAB">MATLAB</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%82%BD%E3%83%95%E3%83%88%E3%81%AE%E6%AF%94%E8%BC%83" title="数値解析ソフトの比較">数値解析ソフトの比較</a>/<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%82%BD%E3%83%95%E3%83%88%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%82%A2%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7" title="数値解析ソフトウェアの一覧">一覧</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">ライブラリ</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Armadillo_(%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%AA)" title="Armadillo (線形代数ライブラリ)">Armadillo</a></li> <li><a href="/wiki/Basic_Linear_Algebra_Subprograms" title="Basic Linear Algebra Subprograms">Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)</a></li> <li><a href="/wiki/INTLAB" title="INTLAB">INTLAB</a></li> <li><a href="/wiki/Intel_Math_Kernel_Library" title="Intel Math Kernel Library">Intel oneAPI Math Kernel Library</a></li> <li><a href="/wiki/LAPACK" title="LAPACK">LAPACK</a></li> <li><a href="/wiki/NumPy" title="NumPy">NumPy</a></li> <li><a href="/wiki/OpenBLAS" title="OpenBLAS">OpenBLAS</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%AA%E3%81%AE%E6%AF%94%E8%BC%83" title="線型代数学ライブラリの比較">線型代数学ライブラリの比較</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><a href="/wiki/%E5%8F%8D%E5%BE%A9%E6%B3%95_(%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A8%88%E7%AE%97)" title="反復法 (数値計算)">反復法</a>・技法</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/SOR%E6%B3%95" title="SOR法">SOR法</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%B9%E5%8B%BE%E9%85%8D%E6%B3%95" title="共役勾配法">共役勾配法</a></li> <li><a href="/wiki/GMRES%E6%B3%95" title="GMRES法">GMRES法</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A7%A3%E6%B3%95" title="固有値問題の数値解法">固有値問題の数値解法</a> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%81%E3%83%A7%E3%82%B9%E6%B3%95" title="ランチョス法">ランチョス法</a></li> <li><a href="/wiki/QR%E6%B3%95" title="QR法">QR法</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%81%B9%E3%81%8D%E4%B9%97%E6%B3%95" title="べき乗法">べき乗法</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%86%E3%81%B9%E3%81%8D%E4%B9%97%E6%B3%95" title="逆べき乗法">逆べき乗法</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E6%B3%95_(%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E5%95%8F%E9%A1%8C)" title="ヤコビ法 (固有値問題)">ヤコビ法 (固有値問題)</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%83%A0" title="シュトラッセンのアルゴリズム">シュトラッセンのアルゴリズム</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%9B%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%BC%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="ハウスホルダー変換">ハウスホルダー変換</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AE%E3%83%96%E3%83%B3%E3%82%B9%E5%9B%9E%E8%BB%A2" title="ギブンス回転">ギブンス回転</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">人物</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%82%BA%E3%83%BBH%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%B3" title="ジェームズ・H・ウィルキンソン">ジェームズ・H・ウィルキンソン</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%83%A9%E3%83%BC" title="クリーブ・モラー">クリーブ・モラー</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%83%A0" title="ニコラス・ハイアム">ニコラス・ハイアム</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B4%E3%83%A9%E3%83%96" title="ジーン・ゴラブ">ジーン・ゴラブ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%90%E3%83%AB%E3%82%AC" title="リチャード・バルガ">リチャード・バルガ</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%80%A4%E9%96%A2%E6%95%B0" title="行列値関数">行列値関数</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="行列指数関数">行列指数関数</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%AF%BE%E6%95%B0" title="行列の対数">行列の対数</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9" title="行列の平方根">行列の平方根</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%BC_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="スカラー (数学)">スカラー</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ケイリー・ハミルトンの定理">ケイリー・ハミルトンの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9A%E3%83%AD%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%99%E3%83%8B%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ペロン＝フロベニウスの定理">ペロン＝フロベニウスの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%A2%E8%A3%9C%E8%A1%8C%E5%88%97" title="シューア補行列">シューア補行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AB%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%85%A3%E6%80%A7%E6%B3%95%E5%89%87" title="シルヴェスターの慣性法則">シルヴェスターの慣性法則</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"> <span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Folder_Hexagonal_Icon.svg" class="mw-file-description" title="カテゴリ"><img alt="カテゴリ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/32px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 2x" data-file-width="36" data-file-height="31" /></a></span> <a href="/wiki/Category:%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="Category:線型代数学">カテゴリ</a></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" 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title="Category:出典を必要とする記事/2013年4月">出典を必要とする記事/2013年4月</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> 最終更新 2023年8月24日 (木) 05:33 （日時は<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E5%80%8B%E4%BA%BA%E8%A8%AD%E5%AE%9A#mw-prefsection-rendering" title="特別:個人設定">個人設定</a>で未設定ならば<a href="/wiki/%E5%8D%94%E5%AE%9A%E4%B8%96%E7%95%8C%E6%99%82" title="協定世界時">UTC</a>）。</li> <li id="footer-info-copyright">テキストは<a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ja">クリエイティブ・コモンズ表示-継承ライセンス</a>のもとで利用できます。追加の条件が適用される場合があります。詳細については<a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">利用規約</a>を参照してください。</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/ja">プライバシー・ポリシー</a></li> <li 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