CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-sticky-header-enabled vector-toc-available" lang="pl" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Rozdzielność – Wikipedia, wolna encyklopedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-sticky-header-enabled vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )plwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","styczeń","luty","marzec","kwiecień","maj","czerwiec","lipiec","sierpień","wrzesień","październik","listopad","grudzień"],"wgRequestId":"3901d766-9d56-4eb9-a64d-7a3f6d93bd18","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Rozdzielność","wgTitle":"Rozdzielność","wgCurRevisionId":75756847,"wgRevisionId":75756847,"wgArticleId":58267,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Artykuły z brakującymi przypisami od 2023-07","Szablon cytowania książki – brak numeru strony","Strony używające przestarzałej postaci znaczników matematycznych","Własności działań","Dwuczłonowe relacje matematyczne","Logika matematyczna"],"wgPageViewLanguage":"pl","wgPageContentLanguage":"pl","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Rozdzielność","wgRelevantArticleId":58267,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":75756847,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"pl","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"pl"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":20000,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q187959","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false}; RLSTATE={"ext.gadget.wikiflex":"ready","ext.gadget.infobox":"ready","ext.gadget.hlist":"ready","ext.gadget.darkmode-overrides":"ready","ext.gadget.small-references":"ready","ext.gadget.citation-access-info":"ready","ext.gadget.sprawdz-problemy-szablony":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","ext.scribunto.logs","site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.ll-script-loader","ext.gadget.veKeepParameters","ext.gadget.szablon-galeria","ext.gadget.NavFrame","ext.gadget.citoid-overrides","ext.gadget.maps","ext.gadget.padlock-indicators","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.gadget.edit-summaries","ext.gadget.edit-first-section","ext.gadget.wikibugs","ext.gadget.map-toggler","ext.gadget.narrowFootnoteColumns","ext.gadget.WDsearch","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=pl&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.gadget.citation-access-info%2Cdarkmode-overrides%2Chlist%2Cinfobox%2Csmall-references%2Csprawdz-problemy-szablony%2Cwikiflex&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.20"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Rozdzielność – Wikipedia, wolna encyklopedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//pl.m.wikipedia.org/wiki/Rozdzielno%C5%9B%C4%87"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Edytuj" href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (pl)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//pl.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Rozdzielno%C5%9B%C4%87"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Kanał Atom Wikipedii" href="/w/index.php?title=Specjalna:Ostatnie_zmiany&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Rozdzielność rootpage-Rozdzielność skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Przejdź do zawartości</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" title="Główne menu" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menu główne" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menu główne</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menu główne</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Nawigacja </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" title="Przejdź na stronę główną [z]" accesskey="z"><span>Strona główna</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Losowa_strona" title="Załaduj losową stronę [x]" accesskey="x"><span>Losuj artykuł</span></a></li><li id="n-Kategorie" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Kategorie_G%C5%82%C3%B3wne"><span>Kategorie artykułów</span></a></li><li id="n-Featured-articles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Wyr%C3%B3%C5%BCniona_zawarto%C5%9B%C4%87_Wikipedii"><span>Najlepsze artykuły</span></a></li><li id="n-FAQ" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:FAQ"><span>Częste pytania (FAQ)</span></a></li><li id="n-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne"><span>Strony specjalne</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-zmiany" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-zmiany" > <div class="vector-menu-heading"> Dla czytelników </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-czytelnicy" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii"><span>O Wikipedii</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kontakt_z_wikipedystami"><span>Kontakt</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-edytorzy" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-edytorzy" > <div class="vector-menu-heading"> Dla wikipedystów </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-pierwsze-kroki" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki"><span>Pierwsze kroki</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Portal_wikipedyst%C3%B3w" title="O projekcie – co możesz zrobić, gdzie możesz znaleźć informacje"><span>Portal wikipedystów</span></a></li><li id="n-Noticeboard" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tablica_og%C5%82osze%C5%84"><span>Ogłoszenia</span></a></li><li id="n-Guidelines" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Zasady"><span>Zasady</span></a></li><li id="n-helppage-name" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Spis_tre%C5%9Bci"><span>Pomoc</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Ostatnie_zmiany" title="Lista ostatnich zmian w Wikipedii. [r]" accesskey="r"><span>Ostatnie zmiany</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="wolna encyklopedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-pl.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Specjalna:Szukaj" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Szukaj</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Przeszukaj Wikipedię" aria-label="Przeszukaj Wikipedię" autocapitalize="sentences" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Specjalna:Szukaj"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Szukaj</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Narzędzia osobiste"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Zmień rozmiar czcionki, szerokość oraz kolorystykę strony" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Wygląd" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Wygląd</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=pl.wikipedia.org&uselang=pl" class=""><span>Wspomóż Wikipedię</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Rozdzielno%C5%9B%C4%87" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe." class=""><span>Utwórz konto</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Rozdzielno%C5%9B%C4%87" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o" class=""><span>Zaloguj się</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Więcej opcji" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia osobiste" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia osobiste</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menu użytkownika" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=pl.wikipedia.org&uselang=pl"><span>Wspomóż Wikipedię</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Rozdzielno%C5%9B%C4%87" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Utwórz konto</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Rozdzielno%C5%9B%C4%87" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Zaloguj się</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Strony dla anonimowych edytorów <a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki" aria-label="Dowiedz się więcej na temat edytowania"><span>dowiedz się więcej</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:M%C3%B3j_wk%C5%82ad" title="Lista edycji wykonanych z tego adresu IP [y]" accesskey="y"><span>Edycje</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Moja_dyskusja" title="Dyskusja użytkownika dla tego adresu IP [n]" accesskey="n"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Spis treści" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Spis treści</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ukryj</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Początek</div> </a> </li> <li id="toc-Definicje_rozdzielności_działań_dwuargumentowych" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Definicje_rozdzielności_działań_dwuargumentowych"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Definicje rozdzielności działań dwuargumentowych</span> </div> </a> <ul id="toc-Definicje_rozdzielności_działań_dwuargumentowych-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przykłady_arytmetyczne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykłady_arytmetyczne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Przykłady arytmetyczne</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Przykłady_arytmetyczne-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Przykłady arytmetyczne</span> </button> <ul id="toc-Przykłady_arytmetyczne-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Arytmetyka_elementarna" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Arytmetyka_elementarna"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Arytmetyka elementarna</span> </div> </a> <ul id="toc-Arytmetyka_elementarna-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Teoria_liczb" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Teoria_liczb"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Teoria liczb</span> </div> </a> <ul id="toc-Teoria_liczb-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Przykłady_z_podstaw_matematyki" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykłady_z_podstaw_matematyki"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Przykłady z podstaw matematyki</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Przykłady_z_podstaw_matematyki-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Przykłady z podstaw matematyki</span> </button> <ul id="toc-Przykłady_z_podstaw_matematyki-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Rachunek_zdań" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Rachunek_zdań"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Rachunek zdań</span> </div> </a> <ul id="toc-Rachunek_zdań-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Teoria_mnogości" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Teoria_mnogości"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Teoria mnogości</span> </div> </a> <ul id="toc-Teoria_mnogości-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Przykłady_algebraiczne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykłady_algebraiczne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Przykłady algebraiczne</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Przykłady_algebraiczne-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Przykłady algebraiczne</span> </button> <ul id="toc-Przykłady_algebraiczne-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Algebra_liniowa" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Algebra_liniowa"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Algebra liniowa</span> </div> </a> <ul id="toc-Algebra_liniowa-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Teoria_kategorii" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Teoria_kategorii"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Teoria kategorii</span> </div> </a> <ul id="toc-Teoria_kategorii-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Własności" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Własności"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Własności</span> </div> </a> <ul id="toc-Własności-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Uogólnienia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Uogólnienia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Uogólnienia</span> </div> </a> <ul id="toc-Uogólnienia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Rachunek_kwantyfikatorów" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Rachunek_kwantyfikatorów"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Rachunek kwantyfikatorów</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Rachunek_kwantyfikatorów-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Rachunek kwantyfikatorów</span> </button> <ul id="toc-Rachunek_kwantyfikatorów-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Ścisłe_rozdzielności" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ścisłe_rozdzielności"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>Ścisłe rozdzielności</span> </div> </a> <ul id="toc-Ścisłe_rozdzielności-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Słabsze_wynikania" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Słabsze_wynikania"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2</span> <span>Słabsze wynikania</span> </div> </a> <ul id="toc-Słabsze_wynikania-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Tabela" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Tabela"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.3</span> <span>Tabela</span> </div> </a> <ul id="toc-Tabela-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Zobacz_też" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Zobacz_też"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Zobacz też</span> </div> </a> <ul id="toc-Zobacz_też-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Uwagi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Uwagi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Uwagi</span> </div> </a> <ul id="toc-Uwagi-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Przypisy</span> </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>Bibliografia</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Literatura_dodatkowa" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Literatura_dodatkowa"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">12</span> <span>Literatura dodatkowa</span> </div> </a> <ul id="toc-Literatura_dodatkowa-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="Spis treści" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Rozdzielność</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 55 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-55" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">55 języków</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%B2%D9%8A%D8%B9%D9%8A%D8%A9" title="توزيعية – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="توزيعية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Distributivid%C3%A1" title="Distributividá – asturyjski" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Distributividá" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BB%D1%8B%D2%A1" title="Дистрибутивлыҡ – baszkirski" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Дистрибутивлыҡ" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baszkirski" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D1%8B%D0%B1%D1%83%D1%82%D1%8B%D1%9E%D0%BD%D0%B0%D1%81%D1%86%D1%8C" title="Дыстрыбутыўнасць – białoruski" lang="be" hreflang="be" data-title="Дыстрыбутыўнасць" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="białoruski" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Propietat_distributiva" title="Propietat distributiva – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Propietat distributiva" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BB%C4%83%D1%85" title="Дистрибутивлăх – czuwaski" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Дистрибутивлăх" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="czuwaski" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Distributivita" title="Distributivita – czeski" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Distributivita" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="czeski" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Distributivitet" title="Distributivitet – duński" lang="da" hreflang="da" data-title="Distributivitet" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="duński" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Distributivgesetz" title="Distributivgesetz – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Distributivgesetz" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Distributiivsus" title="Distributiivsus – estoński" lang="et" hreflang="et" data-title="Distributiivsus" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estoński" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%95%CF%80%CE%B9%CE%BC%CE%B5%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1" title="Επιμεριστική ιδιότητα – grecki" lang="el" hreflang="el" data-title="Επιμεριστική ιδιότητα" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grecki" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Distributive_property" title="Distributive property – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Distributive property" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Distributividad" title="Distributividad – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Distributividad" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Distribueco" title="Distribueco – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Distribueco" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Banakortasun" title="Banakortasun – baskijski" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Banakortasun" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="baskijski" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5%DB%8C%D8%AA_%D8%AA%D9%88%D8%B2%DB%8C%D8%B9%E2%80%8C%D9%BE%D8%B0%DB%8C%D8%B1%DB%8C" title="خاصیت توزیع‌پذیری – perski" lang="fa" hreflang="fa" data-title="خاصیت توزیع‌پذیری" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perski" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Distributivit%C3%A9" title="Distributivité – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Distributivité" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Oibr%C3%ADocht_dh%C3%A1ileach" title="Oibríocht dháileach – irlandzki" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Oibríocht dháileach" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Distributividade" title="Distributividade – galicyjski" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Distributividade" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B6%84%EB%B0%B0%EB%B2%95%EC%B9%99" title="분배법칙 – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="분배법칙" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%B7%D5%AD%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Բաշխականություն – ormiański" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Բաշխականություն" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ormiański" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Sifat_distributif" title="Sifat distributif – indonezyjski" lang="id" hreflang="id" data-title="Sifat distributif" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonezyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Dreifiregla" title="Dreifiregla – islandzki" lang="is" hreflang="is" data-title="Dreifiregla" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Distributivit%C3%A0" title="Distributività – włoski" lang="it" hreflang="it" data-title="Distributività" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="włoski" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%95%D7%A7_%D7%94%D7%A4%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%92" title="חוק הפילוג – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="חוק הפילוג" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%86%D0%B8%D1%8F%D0%BB%D1%83%D1%83%D0%BB%D1%83%D0%BA" title="Дистрибуциялуулук – kirgiski" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Дистрибуциялуулук" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="kirgiski" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Distributio_(mathematica)" title="Distributio (mathematica) – łaciński" lang="la" hreflang="la" data-title="Distributio (mathematica)" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="łaciński" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Disztributivit%C3%A1s" title="Disztributivitás – węgierski" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Disztributivitás" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="węgierski" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="Дистрибутивност – macedoński" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Дистрибутивност" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedoński" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Kalis_agihan" title="Kalis agihan – malajski" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Kalis agihan" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malajski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Distributiviteit" title="Distributiviteit – niderlandzki" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Distributiviteit" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="niderlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E9%85%8D%E6%B3%95%E5%89%87" title="分配法則 – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="分配法則" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Distributiifgesets" title="Distributiifgesets – północnofryzyjski" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Distributiifgesets" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="północnofryzyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Distributiv_lov" title="Distributiv lov – norweski (bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Distributiv lov" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norweski (bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Distributivitet" title="Distributivitet – norweski (nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Distributivitet" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norweski (nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Distributivlik" title="Distributivlik – uzbecki" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Distributivlik" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbecki" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Distributividade" title="Distributividade – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Distributividade" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Distributivitate" title="Distributivitate – rumuński" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Distributivitate" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumuński" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Дистрибутивность – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Дистрибутивность" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Distributive_property" title="Distributive property – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Distributive property" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Distributivnost" title="Distributivnost – słoweński" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Distributivnost" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="słoweński" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D8%A8%DB%95%D8%B4%D8%A8%D9%88%D9%88%D9%86" title="دابەشبوون – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="دابەشبوون" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="Дистрибутивност – serbski" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Дистрибутивност" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbski" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Distributivnost" title="Distributivnost – serbsko-chorwacki" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Distributivnost" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbsko-chorwacki" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Osittelulaki" title="Osittelulaki – fiński" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Osittelulaki" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="fiński" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Distributivitet" title="Distributivitet – szwedzki" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Distributivitet" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="szwedzki" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AA%E0%AE%99%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%80%E0%AE%9F%E0%AF%8D%E0%AE%9F%E0%AF%81%E0%AE%AA%E0%AF%8D_%E0%AE%AA%E0%AE%A3%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%81" title="பங்கீட்டுப் பண்பு – tamilski" lang="ta" hreflang="ta" data-title="பங்கீட்டுப் பண்பு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamilski" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BB%D1%8B%D0%BA" title="Дистрибутивлык – tatarski" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Дистрибутивлык" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tatarski" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%88%E0%B8%81%E0%B9%81%E0%B8%88%E0%B8%87" title="สมบัติการแจกแจง – tajski" lang="th" hreflang="th" data-title="สมบัติการแจกแจง" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tajski" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Da%C4%9F%C4%B1lma_%C3%B6zelli%C4%9Fi" title="Dağılma özelliği – turecki" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Dağılma özelliği" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turecki" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Дистрибутивність – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Дистрибутивність" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Thu%E1%BB%99c_t%C3%ADnh_ph%C3%A2n_ph%E1%BB%91i" title="Thuộc tính phân phối – wietnamski" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Thuộc tính phân phối" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="wietnamski" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%93%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%91%D7%95%D7%98%D7%99%D7%95%D7%95" title="דיסטריבוטיוו – jidysz" lang="yi" hreflang="yi" data-title="דיסטריבוטיוו" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="jidysz" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E9%85%8D%E5%BE%8B" title="分配律 – kantoński" lang="yue" hreflang="yue" data-title="分配律" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoński" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E9%85%8D%E5%BE%8B" title="分配律 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="分配律" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q187959#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Rozdzielno%C5%9B%C4%87" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c"><span>Artykuł</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Dyskusja:Rozdzielno%C5%9B%C4%87" rel="discussion" title="Dyskusja o zawartości tej strony [t]" accesskey="t"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Zmień wariant języka" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">polski</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Widok"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Rozdzielno%C5%9B%C4%87"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=history" title="Starsze wersje tej strony [h]" accesskey="h"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Narzędzia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Więcej opcji" > <div class="vector-menu-heading"> Działania </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Rozdzielno%C5%9B%C4%87"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=history"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ogólne </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Rozdzielno%C5%9B%C4%87" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j"><span>Linkujące</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Rozdzielno%C5%9B%C4%87" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k"><span>Zmiany w linkowanych</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u"><span>Prześlij plik</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&oldid=75756847" title="Stały link do tej wersji tej strony"><span>Link do tej wersji</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=info" title="Więcej informacji na temat tej strony"><span>Informacje o tej stronie</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&id=75756847&wpFormIdentifier=titleform" title="Informacja o tym jak należy cytować tę stronę"><span>Cytowanie tego artykułu</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FRozdzielno%25C5%259B%25C4%2587"><span>Zobacz skrócony adres URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FRozdzielno%25C5%259B%25C4%2587"><span>Pobierz kod QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Rozdzielno%C5%9B%C4%87"><span>Utwórz książkę</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=show-download-screen"><span>Pobierz jako PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&printable=yes" title="Wersja do wydruku [p]" accesskey="p"><span>Wersja do druku</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q187959" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g"><span>Element Wikidanych</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><div class="noprint noexcerpt disambig navigation-not-searchable" style="line-height:1.5em; padding: 3px 6px; background-color: var(--background-color-interactive-subtle, #f8f9fa); color: inherit; border-bottom: 1px solid var(--border-color-subtle, #c8ccd1); font-size: 95%; margin-bottom: 1em; display: flex; gap: 4px; align-items: center;"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_ujednoznaczniaj%C4%85ca" title="Inne znaczenia"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/25px-Disambig.svg.png" decoding="async" width="25" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/38px-Disambig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/50px-Disambig.svg.png 2x" data-file-width="230" data-file-height="183" /></a></span><span>Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: <a href="/wiki/Umowa_maj%C4%85tkowa_ma%C5%82%C5%BCe%C5%84ska" title="Umowa majątkowa małżeńska">Umowa majątkowa małżeńska</a> dla pojęcia rozdzielności majątkowej.</span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Illustration_of_distributive_property_with_rectangles.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Illustration_of_distributive_property_with_rectangles.svg/220px-Illustration_of_distributive_property_with_rectangles.svg.png" decoding="async" width="220" height="61" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Illustration_of_distributive_property_with_rectangles.svg/330px-Illustration_of_distributive_property_with_rectangles.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Illustration_of_distributive_property_with_rectangles.svg/440px-Illustration_of_distributive_property_with_rectangles.svg.png 2x" data-file-width="978" data-file-height="269" /></a><figcaption>Ilustracja rozdzielności <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Mnożenie">mnożenia</a> liczb dodatnich względem <a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawania</a> liczb dodatnich.</figcaption></figure> <p><b>Rozdzielność</b>, <b>dystrybutywność</b><sup class="noprint" title="Te informacje wymagają podania przypisów bibliograficznych od 2023-07">[<a href="/wiki/Pomoc:Przypisy" title="Pomoc:Przypisy">potrzebny przypis</a>]</sup> – własność pewnych pojęć <a href="/wiki/Matematyka" title="Matematyka">matematycznych</a> występujących w <a href="/wiki/Arytmetyka" title="Arytmetyka">arytmetyce</a>, <a href="/wiki/Algebra" title="Algebra">algebrze</a> i <a href="/wiki/Podstawy_matematyki" title="Podstawy matematyki">podstawach matematyki</a> – <a href="/wiki/Logika_matematyczna" title="Logika matematyczna">logice matematycznej</a> i <a href="/wiki/Teoria_mnogo%C5%9Bci" title="Teoria mnogości">teorii mnogości</a>. Wyróżnia się rozdzielność: </p> <ul><li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">działania dwuargumentowego</a> względem innego działania dwuargumentowego; taka rozdzielność to <a href="/wiki/Relacja_dwuargumentowa" title="Relacja dwuargumentowa">relacja dwuargumentowa</a> między działaniami dwuargumentowymi, zdefiniowana równaniem podanym niżej;</li> <li><a href="/wiki/Kwantyfikator" title="Kwantyfikator">kwantyfikatora</a> względem <a href="/wiki/Funktor_zdaniotw%C3%B3rczy" title="Funktor zdaniotwórczy">spójnika logicznego</a>; jest to <a href="/wiki/R%C3%B3wnowa%C5%BCno%C5%9B%C4%87" title="Równoważność">równoważność</a> pewnych zdań opisana niżej.</li></ul> <p>Pojęcie rozdzielności działania pojawiło się najpóźniej w XIX wieku; w 1814 roku użył go <a href="/w/index.php?title=Fran%C3%A7ois_Joseph_Servois&action=edit&redlink=1" class="new" title="François Joseph Servois (strona nie istnieje)">François Joseph Servois</a><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1">[1]</a></sup>. Rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania znalazła się w <a href="/wiki/Podstawa_programowa" title="Podstawa programowa">podstawie programowej</a> matematyki w polskich <a href="/wiki/Szko%C5%82a_podstawowa" title="Szkoła podstawowa">szkołach podstawowych</a><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2">[2]</a></sup>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definicje_rozdzielności_działań_dwuargumentowych"><span id="Definicje_rozdzielno.C5.9Bci_dzia.C5.82a.C5.84_dwuargumentowych"></span>Definicje rozdzielności działań dwuargumentowych</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Definicje rozdzielności działań dwuargumentowych" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Definicje rozdzielności działań dwuargumentowych"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Zobacz też: <a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawanie</a>, <a href="/wiki/Odejmowanie" title="Odejmowanie">odejmowanie</a>, <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Mnożenie">mnożenie</a> i <a href="/wiki/Dzielenie" title="Dzielenie">dzielenie</a>.</i></div> <p>Zależność między mnożeniem a dodawaniem liczb postaci </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 7\cdot (5+4)=7\cdot 5+7\cdot 4,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>7</mn> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>5</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>7</mn> <mo>⋅</mo> <mn>5</mn> <mo>+</mo> <mn>7</mn> <mo>⋅</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 7\cdot (5+4)=7\cdot 5+7\cdot 4,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1f75d9d05f0b13c3fd44d15e0bb35a8a865071" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.41ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 7\cdot (5+4)=7\cdot 5+7\cdot 4,}" /></span></dd></dl> <p>i podobnie z przestawioną kolejnością czynników, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (8+4)\cdot 5=8\cdot 5+4\cdot 5,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>8</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mn>5</mn> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mo>⋅</mo> <mn>5</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (8+4)\cdot 5=8\cdot 5+4\cdot 5,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4747c4e39c81eabfab516269195702d9acedde4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.41ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (8+4)\cdot 5=8\cdot 5+4\cdot 5,}" /></span></dd></dl> <p>wykorzystuje się, niekiedy nieświadomie, podczas prowadzenia obliczeń w pamięci: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 13\cdot 6=(10+3)\cdot 6=10\cdot 6+3\cdot 6=60+18=78,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>13</mn> <mo>⋅</mo> <mn>6</mn> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>10</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mn>6</mn> <mo>=</mo> <mn>10</mn> <mo>⋅</mo> <mn>6</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mn>6</mn> <mo>=</mo> <mn>60</mn> <mo>+</mo> <mn>18</mn> <mo>=</mo> <mn>78</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 13\cdot 6=(10+3)\cdot 6=10\cdot 6+3\cdot 6=60+18=78,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b593731bff079473365308b07aa0cf364f300d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.012ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 13\cdot 6=(10+3)\cdot 6=10\cdot 6+3\cdot 6=60+18=78,}" /></span></dd></dl> <p>czyli (w tym przypadku) <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Mnożenie">mnożenia</a> przez ustaloną liczbę osobno dziesiątek i jedności danej liczby. </p><p>Można też uzupełnić jeden z czynników do „okrągłej” liczby, której iloczyn łatwo obliczyć, a następnie zrównoważyć obliczenia osobno odliczając dodaną nadwyżkę: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4\cdot 19=4\cdot (20-1)=4\cdot 20-4\cdot 1=80-4=76.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <mn>19</mn> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>20</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <mn>20</mn> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>80</mn> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mo>=</mo> <mn>76.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4\cdot 19=4\cdot (20-1)=4\cdot 20-4\cdot 1=80-4=76.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad457fb9b6e7d0096d61a72995dc09f6f3ae92fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:49.849ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4\cdot 19=4\cdot (20-1)=4\cdot 20-4\cdot 1=80-4=76.}" /></span></dd></dl> <p>Role mnożenia i dodawania/odejmowania w powyższych przykładach są dokładnie określone i nie można ich zamienić bez szkody dla poprawności obliczeń: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 7+(2\cdot 3)\neq (7+2)\cdot (7+3).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>7</mn> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≠</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>7</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>7</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 7+(2\cdot 3)\neq (7+2)\cdot (7+3).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d5e6081e6ff23b78a8f8d0f6dc62331b9652cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.19ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 7+(2\cdot 3)\neq (7+2)\cdot (7+3).}" /></span></dd></dl> <p>W przypadku dzielenia regułę zaobserwowaną dla mnożenia można stosować tylko częściowo: choć </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (16+4):4=(16:4)+(4:4),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>16</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mn>4</mn> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>16</mn> <mo>:</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mo>:</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (16+4):4=(16:4)+(4:4),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf95311b3d3b2f81512df09d1086e7095687e182" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.128ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (16+4):4=(16:4)+(4:4),}" /></span></dd></dl> <p>to jednak </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 30:(5-2)\neq (30:5)-(30:2).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>30</mn> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>5</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≠</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>30</mn> <mo>:</mo> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>30</mn> <mo>:</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 30:(5-2)\neq (30:5)-(30:2).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c15351a25a5519599e57c39327e9c53f4901b26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.29ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 30:(5-2)\neq (30:5)-(30:2).}" /></span></dd></dl> <p>Zapisując dzielenie w postaci <a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">ułamka</a>, obliczenia można przeprowadzić zgodnie z następującym przykładem: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {8+6}{2}}={\frac {8}{2}}+{\frac {6}{2}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> <mo>+</mo> <mn>6</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>8</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>6</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {8+6}{2}}={\frac {8}{2}}+{\frac {6}{2}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8225b2ebe161d4d5c3aa1c820538fe647951db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.584ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {8+6}{2}}={\frac {8}{2}}+{\frac {6}{2}},}" /></span></dd></dl> <p>ale mimo wszystko, podobnie jak wyżej: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {4}{2+4}}\neq {\frac {4}{2}}+{\frac {4}{4}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>≠</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {4}{2+4}}\neq {\frac {4}{2}}+{\frac {4}{4}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd722f2b91604f79f643abd269be6eb060e3d5b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.584ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {4}{2+4}}\neq {\frac {4}{2}}+{\frac {4}{4}}.}" /></span></dd></dl> <p>Niech <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circ }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∘</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circ }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99add39d2b681e2de7ff62422c32704a05c7ec31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.125ex; margin-bottom: -0.297ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle \circ }" /></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \heartsuit }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">♡</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \heartsuit }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8b1eda11cb6e371e3b1a9bb6539c6fa3cd0a87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \heartsuit }" /></span> oznaczają działania dwuargumentowe określone na ustalonym zbiorze <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" /></span><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3">[a]</a></sup>. Działanie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circ }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∘</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circ }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99add39d2b681e2de7ff62422c32704a05c7ec31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.125ex; margin-bottom: -0.297ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle \circ }" /></span> jest względem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \heartsuit }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">♡</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \heartsuit }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8b1eda11cb6e371e3b1a9bb6539c6fa3cd0a87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \heartsuit }" /></span><sup id="cite_ref-epwn_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-4">[3]</a></sup>: </p> <ul><li><i>rozdzielne lewostronnie</i>, gdy dla dowolnych <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c\in X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f7e9f9e089acfdec5f7ec02f66f13be71667e1f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.123ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c\in X}" /></span> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\circ (b\;\heartsuit \;c)=(a\circ b)\;\heartsuit \;(a\circ c);}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>∘</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi mathvariant="normal">♡</mi> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>∘</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi mathvariant="normal">♡</mi> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>∘</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\circ (b\;\heartsuit \;c)=(a\circ b)\;\heartsuit \;(a\circ c);}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4ef209f7223eadc60dede91a855ec1508d147e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.652ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\circ (b\;\heartsuit \;c)=(a\circ b)\;\heartsuit \;(a\circ c);}" /></span></dd></dl></li> <li><i>rozdzielne prawostronnie</i>, gdy dla dowolnych <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c\in X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f7e9f9e089acfdec5f7ec02f66f13be71667e1f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.123ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c\in X}" /></span> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a\;\heartsuit \;b)\circ c=(a\circ c)\;\heartsuit \;(b\circ c);}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi mathvariant="normal">♡</mi> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∘</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>∘</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi mathvariant="normal">♡</mi> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>∘</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\;\heartsuit \;b)\circ c=(a\circ c)\;\heartsuit \;(b\circ c);}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0658e0adb27662d8aa09ce27f93eab730d9470" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.43ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a\;\heartsuit \;b)\circ c=(a\circ c)\;\heartsuit \;(b\circ c);}" /></span></dd></dl></li> <li><i>rozdzielne obustronnie</i> lub krótko <i>rozdzielne</i>, gdy zachodzą oba powyższe warunki.</li></ul> <p>Jeśli działanie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circ }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∘</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circ }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99add39d2b681e2de7ff62422c32704a05c7ec31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.125ex; margin-bottom: -0.297ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle \circ }" /></span> jest <a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemienne</a>, to powyższe warunki są równoważne logicznie i wynikają one wszystkie z jednego z nich. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przykłady_arytmetyczne"><span id="Przyk.C5.82ady_arytmetyczne"></span>Przykłady <a href="/wiki/Arytmetyka" title="Arytmetyka">arytmetyczne</a></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Przykłady arytmetyczne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykłady arytmetyczne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Arytmetyka_elementarna"><a href="/wiki/Arytmetyka_elementarna" title="Arytmetyka elementarna">Arytmetyka elementarna</a></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Arytmetyka elementarna" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Arytmetyka elementarna"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dla dowolnych liczb <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">rzeczywistych</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c{:}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>:</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c{:}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c286de73c9a0d73224ed521844040a5d2aa060" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.949ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c{:}}" /></span> </p> <ul><li>mnożenie jest rozdzielne względem dodawania<sup id="cite_ref-epwn-mn_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-mn-5">[4]</a></sup> i <a href="/wiki/Odejmowanie" title="Odejmowanie">odejmowania</a>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a(b\pm c)=ab\pm ac,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>±</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>±</mo> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(b\pm c)=ab\pm ac,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32185564f8f14db21b8369ba4a61918ebd209746" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.934ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a(b\pm c)=ab\pm ac,}" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a\pm b)c=ac\pm bc;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>±</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mo>±</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\pm b)c=ac\pm bc;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fdbb644070eb1bc9e5af545a1f2a5d14ef3879b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.711ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a\pm b)c=ac\pm bc;}" /></span></dd></dl></li> <li><a href="/wiki/Dzielenie" title="Dzielenie">dzielenie</a> jest prawostronnie rozdzielne względem dodawania i odejmowania: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a\pm b):c=a:c\pm b:c;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>±</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>:</mo> <mi>c</mi> <mo>±</mo> <mi>b</mi> <mo>:</mo> <mi>c</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\pm b):c=a:c\pm b:c;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4655c588436f2e04d299ff40a9f057d137edb3ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.522ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a\pm b):c=a:c\pm b:c;}" /></span></dd></dl></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_minimum_i_maksimum" title="Funkcje minimum i maksimum">minimum i maksimum</a> są rozdzielne względem siebie nawzajem<sup class="noprint" title="Te informacje wymagają podania przypisów bibliograficznych od 2023-07">[<a href="/wiki/Pomoc:Przypisy" title="Pomoc:Przypisy">potrzebny przypis</a>]</sup>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c));}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo movablelimits="true" form="prefix">min</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">max</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">max</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">min</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">min</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c));}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a420bbe9f7cc391ad8c33afd925af868f91809a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.937ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c));}" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c));}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo movablelimits="true" form="prefix">max</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">min</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">min</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">max</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">max</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c));}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d2f7b810367cf8d8d80b05a51656fb819e40630" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:46.388ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c));}" /></span></dd></dl></li> <li>dodawanie jest rozdzielne względem <a href="/wiki/Funkcje_minimum_i_maksimum" title="Funkcje minimum i maksimum">maksimum i minimum</a><sup class="noprint" title="Te informacje wymagają podania przypisów bibliograficznych od 2023-07">[<a href="/wiki/Pomoc:Przypisy" title="Pomoc:Przypisy">potrzebny przypis</a>]</sup>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c);}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">max</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">max</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c);}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb4cc71f54ee522568e618154853f0ab39291350" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.303ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c);}" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">min</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">min</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667df9bc54ddac654fefbc71c60a56d183d5666d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.402ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).}" /></span></dd></dl></li></ul> <p>Podane własności mnożenia i dzielenia uogólnia się na <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczby zespolone</a>, <a href="/wiki/Liczby_hiperzespolone" title="Liczby hiperzespolone">hiperzespolone</a> oraz inne <a href="/wiki/Algebra_nad_cia%C5%82em" title="Algebra nad ciałem">algebry</a> jak <a href="/wiki/Liczby_podw%C3%B3jne" title="Liczby podwójne">liczby podwójne</a> czy <a href="/wiki/Liczby_dualne" title="Liczby dualne">dualne</a>. Na tych strukturach nie rozważa się funkcji minimum i maksimum, ponieważ nie da się na nich określić <a href="/wiki/Porz%C4%85dek_liniowy" title="Porządek liniowy">porządku</a> o pożądanych własnościach. </p><p>W dodatku dla <a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">liczb dodatnich</a> <a href="/wiki/Pot%C4%99gowanie" title="Potęgowanie">potęgowanie</a> jest prawostronnie rozdzielne względem mnożenia i dzielenia<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6">[5]</a></sup>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c};}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea5a43c34c2d8617bffad7c7589b82fb312a678" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.842ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c};}" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a:b)^{c}=a^{c}:b^{c}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>:</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> <mo>:</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a:b)^{c}=a^{c}:b^{c}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3d8bcf9f1198514f51c299f73358e035b905da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.716ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a:b)^{c}=a^{c}:b^{c}.}" /></span></dd></dl> <p>Te własności trudno uogólnić na inne liczby; zero do potęgi zerowej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0^{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0^{0})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9f485b1dbb57bb5ff274ef7c635e795fd4003b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.026ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (0^{0})}" /></span> bywa uznawane za nieokreślone, za to przy dopuszczeniu ujemnych argumentów potęgowanie przestaje być ściśle rozumianym <a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działaniem</a> – wynikiem potęgowania liczb ujemnych może być liczba zespolona. Na zbiorze niezerowych liczb zespolonych można określić potęgowanie, jednak ono również nie jest ściśle określonym działaniem, ponieważ jego wyniki nie są pojedynczymi liczbami – jest to <a href="/wiki/Multifunkcja" title="Multifunkcja">multifunkcja</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teoria_liczb"><a href="/wiki/Teoria_liczb" title="Teoria liczb">Teoria liczb</a></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Teoria liczb" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Teoria liczb"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Najwi%C4%99kszy_wsp%C3%B3lny_dzielnik" title="Największy wspólny dzielnik">największy wspólny dzielnik</a> i <a href="/wiki/Najmniejsza_wsp%C3%B3lna_wielokrotno%C5%9B%C4%87" title="Najmniejsza wspólna wielokrotność">najmniejsza wspólna wielokrotność</a> są wzajemnie rozdzielne<sup class="noprint" title="Te informacje wymagają podania przypisów bibliograficznych od 2023-07">[<a href="/wiki/Pomoc:Przypisy" title="Pomoc:Przypisy">potrzebny przypis</a>]</sup>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {nwd} (a,\operatorname {nww} (b,c))=\operatorname {nww} (\operatorname {nwd} (a,b),\operatorname {nwd} (a,c)),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>nwd</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>nww</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>nww</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>nwd</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>nwd</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {nwd} (a,\operatorname {nww} (b,c))=\operatorname {nww} (\operatorname {nwd} (a,b),\operatorname {nwd} (a,c)),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b0ddc9082a2be4073810176b0332ad0c1f6486" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.746ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {nwd} (a,\operatorname {nww} (b,c))=\operatorname {nww} (\operatorname {nwd} (a,b),\operatorname {nwd} (a,c)),}" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {nww} (a,\operatorname {nwd} (b,c))=\operatorname {nwd} (\operatorname {nww} (a,b),\operatorname {nww} (a,c));}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>nww</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>nwd</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>nwd</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>nww</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>nww</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {nww} (a,\operatorname {nwd} (b,c))=\operatorname {nwd} (\operatorname {nww} (a,b),\operatorname {nww} (a,c));}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f2e02857b1029969a552fe0b57ecfe7c6808b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.132ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {nww} (a,\operatorname {nwd} (b,c))=\operatorname {nwd} (\operatorname {nww} (a,b),\operatorname {nww} (a,c));}" /></span></dd></dl></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przykłady_z_podstaw_matematyki"><span id="Przyk.C5.82ady_z_podstaw_matematyki"></span>Przykłady z <a href="/wiki/Podstawy_matematyki" title="Podstawy matematyki">podstaw matematyki</a></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Przykłady z podstaw matematyki" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykłady z podstaw matematyki"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rachunek_zdań"><span id="Rachunek_zda.C5.84"></span><a href="/wiki/Rachunek_zda%C5%84" title="Rachunek zdań">Rachunek zdań</a></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: Rachunek zdań" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Rachunek zdań"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Definicję rozdzielności można poszerzyć; dla działań na <a href="/wiki/Zdanie_logiczne" title="Zdanie logiczne">zdaniach logicznych</a> oznacza ona <a href="/wiki/R%C3%B3wnowa%C5%BCno%C5%9B%C4%87" title="Równoważność">równoważność</a> odpowiednich wyrażeń. Dla dowolnych zdań <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p,q,r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p,q,r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd013a2bae7bf9b04fbf84a70479a2af3bf278" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.445ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p,q,r}" /></span> <a href="/wiki/Koniunkcja_(logika)" title="Koniunkcja (logika)">koniunkcja</a> i <a href="/wiki/Alternatywa" title="Alternatywa">alternatywa</a> są wzajemnie rozdzielne<sup class="noprint" title="Te informacje wymagają podania przypisów bibliograficznych od 2023-07">[<a href="/wiki/Pomoc:Przypisy" title="Pomoc:Przypisy">potrzebny przypis</a>]</sup>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\land (q\lor r)\Leftrightarrow (p\land q)\lor (p\land r),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>∨</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>∧</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∨</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>∧</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\land (q\lor r)\Leftrightarrow (p\land q)\lor (p\land r),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fe85f88b854bb0701184d71009708c3986ddeba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:30.436ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p\land (q\lor r)\Leftrightarrow (p\land q)\lor (p\land r),}" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\lor (q\land r)\Leftrightarrow (p\lor q)\land (p\lor r).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>∨</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>∧</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>∨</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>∨</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\lor (q\land r)\Leftrightarrow (p\lor q)\land (p\lor r).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bd8f8781d0e7efe16bae847895580db01042d56" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:30.436ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p\lor (q\land r)\Leftrightarrow (p\lor q)\land (p\lor r).}" /></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teoria_mnogości"><span id="Teoria_mnogo.C5.9Bci"></span><a href="/wiki/Teoria_mnogo%C5%9Bci" title="Teoria mnogości">Teoria mnogości</a></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=7" title="Edytuj sekcję: Teoria mnogości" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=7" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Teoria mnogości"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dla dowolnie wybranych zbiorów <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,B,C{:}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>:</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,B,C{:}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85df678e28f69264327619ed4f7aa9e23b71feaf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.988ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A,B,C{:}}" /></span> </p> <ul><li><a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9B%C4%87_wsp%C3%B3lna" title="Część wspólna">część wspólna</a> i <a href="/wiki/Suma_zbior%C3%B3w" title="Suma zbiorów">suma zbiorów</a> są rozdzielne względem siebie nawzajem<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7">[6]</a></sup>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo>∪</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∪</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e90ec9f7c42dc2bb4690ad8adeb3e0092555961" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.376ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C),}" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo>∩</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∩</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e3693127df1957793c5fbc8382e9a4be5333e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.376ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C),}" /></span></dd></dl></li></ul> <ul><li>przekrój zbiorów jest też rozdzielny względem <a href="/wiki/R%C3%B3%C5%BCnica_symetryczna_zbior%C3%B3w" title="Różnica symetryczna zbiorów">różnicy symetrycznej</a><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8">[7]</a></sup>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cap (B\Delta C)=(A\cap B)\Delta (A\cap C),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cap (B\Delta C)=(A\cap B)\Delta (A\cap C),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3280afaa4f1700bf1606e0a3dec3660dda00c0e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.083ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\cap (B\Delta C)=(A\cap B)\Delta (A\cap C),}" /></span></dd></dl></li></ul> <ul><li><a href="/wiki/Iloczyn_kartezja%C5%84ski" title="Iloczyn kartezjański">iloczyn kartezjański</a> jest rozdzielny względem sumy, <a href="/wiki/R%C3%B3%C5%BCnica_zbior%C3%B3w" title="Różnica zbiorów">różnicy</a> i przekroju zbiorów<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9">[8]</a></sup>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo>∪</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∪</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae618ba12285f74cfd1cfd86762617809c1b4fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.15ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C),}" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\times (B\backslash C)=(A\times B)\backslash (A\times C),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">∖</mi> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">∖</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\times (B\backslash C)=(A\times B)\backslash (A\times C),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1900074dbee89f3ddb3ba81e5ee2f623f67024" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.309ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\times (B\backslash C)=(A\times B)\backslash (A\times C),}" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo>∩</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∩</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c79be7e5c4ff82159f0244af80b023f7bc30993" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.15ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C).}" /></span></dd></dl></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przykłady_algebraiczne"><span id="Przyk.C5.82ady_algebraiczne"></span>Przykłady <a href="/wiki/Algebra" title="Algebra">algebraiczne</a></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=8" title="Edytuj sekcję: Przykłady algebraiczne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=8" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykłady algebraiczne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Algebra_liniowa"><a href="/wiki/Algebra_liniowa" title="Algebra liniowa">Algebra liniowa</a></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=9" title="Edytuj sekcję: Algebra liniowa" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=9" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Algebra liniowa"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Iloczyn_wektorowy" title="Iloczyn wektorowy">iloczyn wektorowy</a> jest rozdzielny względem dodawania i odejmowania <a href="/wiki/Wektor" title="Wektor">wektorów</a><sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10">[9]</a></sup>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\pm {\vec {c}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}\pm {\vec {a}}\times {\vec {c}};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>±</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>±</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\pm {\vec {c}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}\pm {\vec {a}}\times {\vec {c}};}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4712840453afcbaea4091ae9d659136f5d05b9f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.08ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\pm {\vec {c}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}\pm {\vec {a}}\times {\vec {c}};}" /></span></dd></dl></li> <li><a href="/wiki/Mno%C5%BCenie_macierzy" title="Mnożenie macierzy">iloczyn Cauchy’ego</a> macierzy – odpowiadający <a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">składaniu</a> <a href="/wiki/Przekszta%C5%82cenie_liniowe" title="Przekształcenie liniowe">przekształceń liniowych</a> – jest rozdzielny względem dodawania i odejmowania tych macierzy oraz przekształceń: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A(B\pm C)=AB\pm AC,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo>±</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mo>±</mo> <mi>A</mi> <mi>C</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(B\pm C)=AB\pm AC,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f041248d2e7b23f28fb6910efc3eb0ba6bf340e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.525ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A(B\pm C)=AB\pm AC,}" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A\pm B)C=AC\pm BC.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>±</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>C</mi> <mo>±</mo> <mi>B</mi> <mi>C</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A\pm B)C=AC\pm BC.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddee233373a020ebc1c5cfdcf1e7186299b3f332" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.549ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (A\pm B)C=AC\pm BC.}" /></span></dd></dl></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teoria_kategorii"><a href="/wiki/Teoria_kategorii" title="Teoria kategorii">Teoria kategorii</a></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=10" title="Edytuj sekcję: Teoria kategorii" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=10" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Teoria kategorii"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dla dowolnie wybranych <a href="/wiki/Obiekt_(teoria_kategorii)" title="Obiekt (teoria kategorii)">obiektów</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13f068df656c1b1911ae9f81628c49a6181194d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.302ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c}" /></span> kategorii dwukartezjańsko domkniętej<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11">[b]</a></sup><sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12">[c]</a></sup> </p> <ul><li><a href="/wiki/Produkt_(teoria_kategorii)" title="Produkt (teoria kategorii)">produkt</a> jest rozdzielny względem <a href="/wiki/Koprodukt" title="Koprodukt">koproduktu</a><sup class="noprint" title="Te informacje wymagają podania przypisów bibliograficznych od 2023-07">[<a href="/wiki/Pomoc:Przypisy" title="Pomoc:Przypisy">potrzebny przypis</a>]</sup>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\times (b+c)\simeq a\times b+a\times c.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≃</mo> <mi>a</mi> <mo>×</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>×</mo> <mi>c</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\times (b+c)\simeq a\times b+a\times c.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a29d8897e0d8a1f0002f462206b8be7512c2f12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.455ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\times (b+c)\simeq a\times b+a\times c.}" /></span></dd></dl></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Własności"><span id="W.C5.82asno.C5.9Bci"></span>Własności</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=11" title="Edytuj sekcję: Własności" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=11" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Własności"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Rozdzielność działań jako <a href="/wiki/Relacja_dwuargumentowa" title="Relacja dwuargumentowa">relacja dwuargumentowa</a> w ogólności: </p> <ul><li>nie jest <a href="/wiki/Relacja_zwrotna" title="Relacja zwrotna">zwrotna</a> – są działania nierozdzielne względem siebie samego, np. <a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawanie</a>: a+(b+c) ≠ (a+b)+(a+c);</li> <li>nie jest przeciwzwrotna – są działania rozdzielne względem siebie samego, np. <a href="/wiki/Suma_zbior%C3%B3w" title="Suma zbiorów">suma zbiorów</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup (A\cup C);}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo>∪</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∪</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup (A\cup C);}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8786debabe4363f052b93fbf2d4997935bdc81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.376ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup (A\cup C);}" /></span></li> <li>nie jest <a href="/wiki/Relacja_symetryczna" title="Relacja symetryczna">symetryczna</a> – <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Mnożenie">mnożenie</a> jest rozdzielne względem dodawania, ale dodawanie względem mnożenia już nie: a+bc ≠ (a+b)(a+c);</li> <li>nie jest <a href="/wiki/Relacja_przeciwsymetryczna" title="Relacja przeciwsymetryczna">asymetryczna</a> – są działania rozdzielne wzajemnie, np. suma i przekrój zbiorów.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Uogólnienia"><span id="Uog.C3.B3lnienia"></span>Uogólnienia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=12" title="Edytuj sekcję: Uogólnienia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=12" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Uogólnienia"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Rozdzielność działań, przynajmniej jednostronną, zakłada się w <a href="/wiki/Aksjomat" title="Aksjomat">aksjomatycznych</a> definicjach <a href="/wiki/Algebra_og%C3%B3lna" title="Algebra ogólna">struktur algebraicznych</a> takich jak: </p> <ul><li><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82pier%C5%9Bcie%C5%84" title="Półpierścień">półpierścień</a>, w tym <a href="/wiki/Pier%C5%9Bcie%C5%84_(matematyka)" title="Pierścień (matematyka)">pierścienie</a>, a więc i <a href="/wiki/Cia%C5%82o_(matematyka)" title="Ciało (matematyka)">ciała</a>;</li> <li><a href="/wiki/Krata_(matematyka)#Rozdzielność" title="Krata (matematyka)">kraty rozdzielne</a> (dystrybutywne), w tym <a href="/wiki/Algebra_Heytinga" title="Algebra Heytinga">algebry pseudoboolowskie</a> (Heytinga) i <a href="/wiki/Algebra_Boole%E2%80%99a" title="Algebra Boole’a">algebry boolowskie</a> (Boole’a).</li></ul> <p>Mnożenie przez ustalony element – z lewej lub prawej strony – można traktować jako operator. Jest to w istocie <a href="/wiki/Funkcja_addytywna_(algebra)" title="Funkcja addytywna (algebra)">funkcja addytywna</a> w danym pierścieniu<sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13">[d]</a></sup>. Takie spojrzenie na mnożenie umożliwiło rozpatrywanie działań zewnętrznych względem ustalonej <a href="/wiki/Grupa_addytywna" title="Grupa addytywna">grupy addytywnej</a>, co doprowadziło do rozwinięcia teorii m.in. <a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_grupy_na_zbiorze" title="Działanie grupy na zbiorze">działań grup na zbiorach</a>, <a href="/wiki/Modu%C5%82_(matematyka)" title="Moduł (matematyka)">modułów</a> nad pierścieniami (<a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa">przestrzeni liniowych</a> nad ciałami; w tym <a href="/wiki/Modu%C5%82_dualny" title="Moduł dualny">modułów/przestrzeni sprzężonych</a>), czy <a href="/wiki/Grupa_z_operatorami" title="Grupa z operatorami">grup z operatorami</a><sup class="noprint" title="Te informacje wymagają podania przypisów bibliograficznych od 2023-07">[<a href="/wiki/Pomoc:Przypisy" title="Pomoc:Przypisy">potrzebny przypis</a>]</sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rachunek_kwantyfikatorów"><span id="Rachunek_kwantyfikator.C3.B3w"></span><a href="/wiki/Rachunek_predykat%C3%B3w_pierwszego_rz%C4%99du" title="Rachunek predykatów pierwszego rzędu">Rachunek kwantyfikatorów</a></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=13" title="Edytuj sekcję: Rachunek kwantyfikatorów" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=13" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Rachunek kwantyfikatorów"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ścisłe_rozdzielności"><span id=".C5.9Acis.C5.82e_rozdzielno.C5.9Bci"></span>Ścisłe rozdzielności</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=14" title="Edytuj sekcję: Ścisłe rozdzielności" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=14" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Ścisłe rozdzielności"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Pewne własności <a href="/wiki/Kwantyfikator" title="Kwantyfikator">kwantyfikatorów</a> nazywa się rozdzielnością, np.: </p> <ul><li><a href="/wiki/Kwantyfikator_og%C3%B3lny" title="Kwantyfikator ogólny">kwantyfikatora dużego</a> względem <a href="/wiki/Koniunkcja_(logika)" title="Koniunkcja (logika)">koniunkcji</a><sup id="cite_ref-CITEREFRasiowa2004229_14-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFRasiowa2004229-14">[10]</a></sup><sup id="cite_ref-CITEREFMarekOnyszkiewicz201233_15-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFMarekOnyszkiewicz201233-15">[11]</a></sup>:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathop {\forall } \limits _{x}{\big (}p(x)\land q(x){\big )}\Leftrightarrow {\big (}\mathop {\forall } \limits _{x}p(x)\land \mathop {\forall } \limits _{x}q(x){\big )};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathop {\forall } \limits _{x}{\big (}p(x)\land q(x){\big )}\Leftrightarrow {\big (}\mathop {\forall } \limits _{x}p(x)\land \mathop {\forall } \limits _{x}q(x){\big )};}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69e8644e45dae0403d38b951e8002ba8ab2ac49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:36.146ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \mathop {\forall } \limits _{x}{\big (}p(x)\land q(x){\big )}\Leftrightarrow {\big (}\mathop {\forall } \limits _{x}p(x)\land \mathop {\forall } \limits _{x}q(x){\big )};}" /></span></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/Kwantyfikator_egzystencjalny" title="Kwantyfikator egzystencjalny">kwantyfikatora małego</a> względem <a href="/wiki/Alternatywa" title="Alternatywa">alternatywy</a><sup id="cite_ref-CITEREFRasiowa2004230_16-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFRasiowa2004230-16">[12]</a></sup><sup id="cite_ref-CITEREFMarekOnyszkiewicz201233_15-1" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFMarekOnyszkiewicz201233-15">[11]</a></sup>:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathop {\exists } \limits _{x}{\big (}p(x)\lor q(x){\big )}\Leftrightarrow {\big (}\mathop {\exists } \limits _{x}p(x)\lor \mathop {\exists } \limits _{x}q(x){\big )}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∨</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∨</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathop {\exists } \limits _{x}{\big (}p(x)\lor q(x){\big )}\Leftrightarrow {\big (}\mathop {\exists } \limits _{x}p(x)\lor \mathop {\exists } \limits _{x}q(x){\big )}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c521c9f1c188a537db46d92db10e624352c01b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:36.146ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \mathop {\exists } \limits _{x}{\big (}p(x)\lor q(x){\big )}\Leftrightarrow {\big (}\mathop {\exists } \limits _{x}p(x)\lor \mathop {\exists } \limits _{x}q(x){\big )}.}" /></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Słabsze_wynikania"><span id="S.C5.82absze_wynikania"></span>Słabsze wynikania</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=15" title="Edytuj sekcję: Słabsze wynikania" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=15" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Słabsze wynikania"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Kwantyfikator duży nie jest rozdzielny względem alternatywy<sup id="cite_ref-CITEREFRasiowa2004229_14-1" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFRasiowa2004229-14">[10]</a></sup>, jednak zachodzi słabsza <a href="/wiki/Implikacja_materialna" title="Implikacja materialna">implikacja</a>, w jedną stronę<sup id="cite_ref-CITEREFRasiowa2004230_16-1" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFRasiowa2004230-16">[12]</a></sup><sup id="cite_ref-CITEREFMarekOnyszkiewicz201233_15-2" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFMarekOnyszkiewicz201233-15">[11]</a></sup>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathop {\forall } \limits _{x}{\big (}p(x)\lor q(x){\big )}\Leftarrow {\big (}\mathop {\forall } \limits _{x}p(x)\lor \mathop {\forall } \limits _{x}q(x){\big )}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∨</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">⇐</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∨</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathop {\forall } \limits _{x}{\big (}p(x)\lor q(x){\big )}\Leftarrow {\big (}\mathop {\forall } \limits _{x}p(x)\lor \mathop {\forall } \limits _{x}q(x){\big )}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be78d60597d6fba7a1973ded5df71d73e42a5ef4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:36.146ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \mathop {\forall } \limits _{x}{\big (}p(x)\lor q(x){\big )}\Leftarrow {\big (}\mathop {\forall } \limits _{x}p(x)\lor \mathop {\forall } \limits _{x}q(x){\big )}.}" /></span></dd></dl> <p>Kwantyfikator mały nie jest rozdzielny względem koniunkcji<sup id="cite_ref-CITEREFRasiowa2004231_17-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFRasiowa2004231-17">[13]</a></sup>, jednak zachodzi słabsza <a href="/wiki/Implikacja_materialna" title="Implikacja materialna">implikacja</a>, w jedną stronę<sup id="cite_ref-CITEREFRasiowa2004231_17-1" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFRasiowa2004231-17">[13]</a></sup><sup id="cite_ref-CITEREFMarekOnyszkiewicz201233_15-3" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFMarekOnyszkiewicz201233-15">[11]</a></sup>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathop {\exists } \limits _{x}{\big (}p(x)\land q(x){\big )}\Rightarrow {\big (}\mathop {\exists } \limits _{x}p(x)\land \mathop {\exists } \limits _{x}q(x){\big )}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathop {\exists } \limits _{x}{\big (}p(x)\land q(x){\big )}\Rightarrow {\big (}\mathop {\exists } \limits _{x}p(x)\land \mathop {\exists } \limits _{x}q(x){\big )}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42987387c98db3e11896ec130c5bd916cd96db24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:36.146ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \mathop {\exists } \limits _{x}{\big (}p(x)\land q(x){\big )}\Rightarrow {\big (}\mathop {\exists } \limits _{x}p(x)\land \mathop {\exists } \limits _{x}q(x){\big )}.}" /></span></dd></dl> <p>Kwantyfikator duży nie jest rozdzielny względem implikacji, jednak zachodzi słabsze wynikanie, w jedną stronę<sup id="cite_ref-CITEREFMarekOnyszkiewicz201233_15-4" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFMarekOnyszkiewicz201233-15">[11]</a></sup>, nazywane <b>prawem rozkładania</b><sup id="cite_ref-CITEREFRasiowa2004232_18-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFRasiowa2004232-18">[14]</a></sup><sup id="cite_ref-CITEREFStanosz201253_19-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFStanosz201253-19">[15]</a></sup>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathop {\forall } \limits _{x}{\big (}p(x)\Rightarrow q(x){\big )}\Rightarrow {\big (}\mathop {\forall } \limits _{x}p(x)\Rightarrow \mathop {\forall } \limits _{x}q(x){\big )}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathop {\forall } \limits _{x}{\big (}p(x)\Rightarrow q(x){\big )}\Rightarrow {\big (}\mathop {\forall } \limits _{x}p(x)\Rightarrow \mathop {\forall } \limits _{x}q(x){\big )}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9883280483b58f321cfac6b563105212c4a3c3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:38.209ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \mathop {\forall } \limits _{x}{\big (}p(x)\Rightarrow q(x){\big )}\Rightarrow {\big (}\mathop {\forall } \limits _{x}p(x)\Rightarrow \mathop {\forall } \limits _{x}q(x){\big )}.}" /></span></dd></dl> <p>Kwantyfikator mały nie jest rozdzielny względem implikacji i nie zachodzą analogiczne reguły z implikacją w jedną stronę. Jest jednak podobne prawo, również nazywane prawem rozkładania<sup id="cite_ref-CITEREFRasiowa2004232_18-1" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFRasiowa2004232-18">[14]</a></sup><sup id="cite_ref-CITEREFStanosz201254_20-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFStanosz201254-20">[16]</a></sup>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathop {\forall } \limits _{x}{\big (}p(x)\Rightarrow q(x){\big )}\Rightarrow {\big (}\mathop {\exists } \limits _{x}p(x)\Rightarrow \mathop {\exists } \limits _{x}q(x){\big )}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathop {\forall } \limits _{x}{\big (}p(x)\Rightarrow q(x){\big )}\Rightarrow {\big (}\mathop {\exists } \limits _{x}p(x)\Rightarrow \mathop {\exists } \limits _{x}q(x){\big )}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2a4484b9085badda0884dfa08eb8cc58086639" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:38.209ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \mathop {\forall } \limits _{x}{\big (}p(x)\Rightarrow q(x){\big )}\Rightarrow {\big (}\mathop {\exists } \limits _{x}p(x)\Rightarrow \mathop {\exists } \limits _{x}q(x){\big )}.}" /></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tabela">Tabela</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=16" title="Edytuj sekcję: Tabela" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=16" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Tabela"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Powyższe informacje można podsumować <a href="/wiki/Tabela" title="Tabela">tabelą</a>: </p> <table class="wikitable"> <caption> </caption> <tbody><tr> <th rowspan="2"><a href="/wiki/Kwantyfikator" title="Kwantyfikator">kwantyfikator</a> </th> <th colspan="3"><a href="/wiki/Funktor_zdaniotw%C3%B3rczy" title="Funktor zdaniotwórczy">spójnik logiczny</a> </th></tr> <tr> <th><a href="/wiki/Koniunkcja_(logika)" title="Koniunkcja (logika)">koniunkcja</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \land }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∧</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \land }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6823e5a222eb3ca49672818ac3d13ec607052c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \land }" /></span> </th> <th><a href="/wiki/Alternatywa" title="Alternatywa">alternatywa</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lor }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∨</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lor }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab47f6b1f589aedcf14638df1d63049d233d851a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \lor }" /></span> </th> <th><a href="/wiki/Implikacja_materialna" title="Implikacja materialna">implikacja</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Rightarrow }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">⇒</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \Rightarrow }" /></span> </th></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Kwantyfikator_og%C3%B3lny" title="Kwantyfikator ogólny">duży</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc1a1a9c4c0f8d5df989c98aa2773ed657c5937" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \forall }" /></span> </td> <td>tak </td> <td>nie </td> <td>nie </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Kwantyfikator_egzystencjalny" title="Kwantyfikator egzystencjalny">mały</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ed842b6b90b2fdd825320cf8e5265fa937b583" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \exists }" /></span> </td> <td>nie </td> <td>tak </td> <td>nie </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zobacz_też"><span id="Zobacz_te.C5.BC"></span>Zobacz też</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=17" title="Edytuj sekcję: Zobacz też" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=17" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Modularno%C5%9B%C4%87" title="Modularność">modularność</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Uwagi">Uwagi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=18" title="Edytuj sekcję: Uwagi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=18" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Uwagi"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection refsection-uwagi ll-script ll-script-uwagi"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Innymi słowy: niech dane będą funkcje <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circ \colon X\times X\to X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∘</mo> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circ \colon X\times X\to X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3c66154625af94bb933bafb3be066a74a2d6716" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \circ \colon X\times X\to X}" /></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \heartsuit \colon X\times X\to X.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">♡</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>X</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \heartsuit \colon X\times X\to X.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648c27277d1aa1323d850dfdbfe8d69b979540b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.883ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \heartsuit \colon X\times X\to X.}" /></span></span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a></span> <span class="reference-text"><i>Kategoria dwukartezjańsko domknięta</i> to <a href="/w/index.php?title=Kategoria_kartezja%C5%84sko_domkni%C4%99ta&action=edit&redlink=1" class="new" title="Kategoria kartezjańsko domknięta (strona nie istnieje)">kategoria kartezjańsko domknięta</a> (tj. mająca <a href="/wiki/Obiekty_pocz%C4%85tkowy_i_ko%C5%84cowy" title="Obiekty początkowy i końcowy">obiekt końcowy</a> oraz <a href="/wiki/Produkt_(teoria_kategorii)" title="Produkt (teoria kategorii)">produkty</a> i <a href="/w/index.php?title=Eksponent_(teoria_kategorii)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Eksponent (teoria kategorii) (strona nie istnieje)">eksponenty</a> dowolnych dwóch obiektów) wyposażona dodatkowo w <a href="/wiki/Obiekty_pocz%C4%85tkowy_i_ko%C5%84cowy" title="Obiekty początkowy i końcowy">obiekt początkowy</a> i <a href="/wiki/Koprodukt" title="Koprodukt">koprodukt</a> wraz z podanym tu warunkiem rozdzielności produktu względem koproduktu.</span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a></span> <span class="reference-text">Kanonicznym przykładem takiej kategorii jest kategoria <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Set} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">S</mi> <mi mathvariant="bold">e</mi> <mi mathvariant="bold">t</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Set} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d70eb254b135ac06dd887e85a8f3fb351efca9eb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.75ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Set} }" /></span> zbiorów z <a href="/wiki/Iloczyn_kartezja%C5%84ski" title="Iloczyn kartezjański">iloczynem kartezjańskim</a> i <a href="/wiki/Suma_roz%C5%82%C4%85czna" title="Suma rozłączna">sumą rozłączną</a> pełniących role produktu i koproduktu.</span> </li> <li id="cite_note-13"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-13">↑</a></span> <span class="reference-text">Obserwację tę można przyjąć jako aksjomat w definicji pierścieni, z którego wynikać będzie rozdzielność mnożenia względem dodawania.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=19" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=19" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> Jeff Miller, <i>Commutative and distributive</i>, [w:] <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/c/">Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C)</a></i> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>, <a href="/wiki/MacTutor_History_of_Mathematics_archive" title="MacTutor History of Mathematics archive">MacTutor History of Mathematics archive</a>, <a href="/wiki/University_of_St_Andrews" title="University of St Andrews">University of St Andrews</a>, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-07-07].</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://podstawaprogramowa.pl/Szkola-podstawowa-IV-VIII/Matematyka">Podstawa programowa. Matematyka, szkoła podstawowa IV-VIII</a></i>, podstawaprogramowa.pl [dostęp 2024-08-13].</span> </li> <li id="cite_note-epwn-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-epwn_4-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3969230"><i>rozdzielność</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2021-10-15]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=rozdzielno%C5%9B%C4%87&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3969230" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-epwn-mn-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-epwn-mn_5-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3969231"><i>rozdzielność mnożenia względem dodawania</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2021-10-15]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=rozdzielno%C5%9B%C4%87+mno%C5%BCenia+wzgl%C4%99dem+dodawania&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3969231" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.matematyka.wroc.pl/book/w%C5%82asno%C5%9Bci-dzia%C5%82a%C5%84">Własności działań</a></i>, Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 14 września 2018 [dostęp 2024-06-21].</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Distributivity">Distributivity</a></i> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-07-07].</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Symmetric_difference_of_sets">Symmetric difference of sets</a></i> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-07-07].</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci/Wyk%C5%82ad_5:_Para_uporz%C4%85dkowana,_iloczyn_kartezja%C5%84ski,_relacje,_domykanie_relacji,_relacja_r%C3%B3wnowa%C5%BCno%C5%9Bci,_rozk%C5%82ady_zbior%C3%B3w#Iloczyn_kartezja.C5.84ski">Logika i teoria mnogości, Wykład 5: Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów</a>, wazniak.mimuw.edu.pl, 28 września 2020 [dostęp 2023-07-06].</span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3914173"><i>Iloczyn wektorowy</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2023-07-06]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=Iloczyn+wektorowy&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3914173" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-CITEREFRasiowa2004229-14"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-CITEREFRasiowa2004229_14-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-CITEREFRasiowa2004229_14-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFRasiowa2004">Rasiowa 2004 ↓</a></span>, s. 229.</span> </li> <li id="cite_note-CITEREFMarekOnyszkiewicz201233-15"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-CITEREFMarekOnyszkiewicz201233_15-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-CITEREFMarekOnyszkiewicz201233_15-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-CITEREFMarekOnyszkiewicz201233_15-2">c</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-CITEREFMarekOnyszkiewicz201233_15-3">d</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-CITEREFMarekOnyszkiewicz201233_15-4">e</a></sup></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFMarekOnyszkiewicz2012">Marek i Onyszkiewicz 2012 ↓</a></span>, s. 33.</span> </li> <li id="cite_note-CITEREFRasiowa2004230-16"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-CITEREFRasiowa2004230_16-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-CITEREFRasiowa2004230_16-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFRasiowa2004">Rasiowa 2004 ↓</a></span>, s. 230.</span> </li> <li id="cite_note-CITEREFRasiowa2004231-17"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-CITEREFRasiowa2004231_17-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-CITEREFRasiowa2004231_17-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFRasiowa2004">Rasiowa 2004 ↓</a></span>, s. 231.</span> </li> <li id="cite_note-CITEREFRasiowa2004232-18"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-CITEREFRasiowa2004232_18-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-CITEREFRasiowa2004232_18-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFRasiowa2004">Rasiowa 2004 ↓</a></span>, s. 232.</span> </li> <li id="cite_note-CITEREFStanosz201253-19"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-CITEREFStanosz201253_19-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFStanosz2012">Stanosz 2012 ↓</a></span>, s. 53.</span> </li> <li id="cite_note-CITEREFStanosz201254-20"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-CITEREFStanosz201254_20-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFStanosz2012">Stanosz 2012 ↓</a></span>, s. 54.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=20" title="Edytuj sekcję: Bibliografia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=20" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Bibliografia"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation book" id="CITEREFMarekOnyszkiewicz2012">Wiktor Marek, <a href="/wiki/Janusz_Onyszkiewicz" title="Janusz Onyszkiewicz">Janusz Onyszkiewicz</a>: <i>Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach</i>. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a>, 2012. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/9788301145477" title="Specjalna:Książki/9788301145477">ISBN <span class="isbn">978-83-01-14547-7</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elementy+logiki+i+teorii+mnogo%C5%9Bci+w+zadaniach&rft.aulast=Marek&rft.aufirst=Wiktor&rft.pub=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft.place=Warszawa&rft.isbn=978-83-01-14547-7"></span></cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFRasiowa2004"><a href="/wiki/Helena_Rasiowa" title="Helena Rasiowa">Helena Rasiowa</a>: <i>Wstęp do matematyki współczesnej</i>. Warszawa: WN PWN, 2004, seria: <a href="/wiki/Biblioteka_Matematyczna" title="Biblioteka Matematyczna">Biblioteka Matematyczna</a>. Tom 30. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/8301142944" title="Specjalna:Książki/8301142944">ISBN <span class="isbn">83-01-14294-4</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Wst%C4%99p+do+matematyki+wsp%C3%B3%C5%82czesnej&rft.aulast=Rasiowa&rft.aufirst=Helena&rft.pub=WN+PWN&rft.place=Warszawa&rft.series=%5B%5BBiblioteka+Matematyczna%5D%5D.+Tom+30&rft.isbn=83-01-14294-4"></span></cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFStanosz2012"><a href="/wiki/Barbara_Stanosz" title="Barbara Stanosz">Barbara Stanosz</a>: <i>Ćwiczenia z logiki</i>. Warszawa: WN PWN, 2012. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/9788301144289" title="Specjalna:Książki/9788301144289">ISBN <span class="isbn">978-83-01-14428-9</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%C4%86wiczenia+z+logiki&rft.aulast=Stanosz&rft.aufirst=Barbara&rft.pub=WN+PWN&rft.place=Warszawa&rft.isbn=978-83-01-14428-9"></span></cite></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatura_dodatkowa">Literatura dodatkowa</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&veaction=edit&section=21" title="Edytuj sekcję: Literatura dodatkowa" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&action=edit&section=21" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Literatura dodatkowa"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation book"><a href="/wiki/Andrzej_Bia%C5%82ynicki-Birula" title="Andrzej Białynicki-Birula">Andrzej Białynicki-Birula</a>: <i>Zarys algebry</i>. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Państwowe Wydawnictwo Naukowe</a>, 1987, seria: <a href="/wiki/Biblioteka_Matematyczna" title="Biblioteka Matematyczna">Biblioteka Matematyczna</a>. Tom 63. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/8301062606" title="Specjalna:Książki/8301062606">ISBN <span class="isbn">83-01-06260-6</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Zarys+algebry&rft.aulast=Bia%C5%82ynicki-Birula&rft.aufirst=Andrzej&rft.pub=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%7CPa%C5%84stwowe+Wydawnictwo+Naukowe%5D%5D&rft.place=Warszawa&rft.series=%5B%5BBiblioteka+Matematyczna%5D%5D.+Tom+63&rft.isbn=83-01-06260-6"></span></cite><span class="problemy" aria-hidden="true" data-nosnippet=""> Brak numerów stron w książce</span></li> <li><cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Garret_Birkhoff&action=edit&redlink=1" class="new" title="Garret Birkhoff (strona nie istnieje)">Garret Birkhoff</a>, <a href="/wiki/Saunders_Mac_Lane" title="Saunders Mac Lane">Saunders Mac Lane</a>: <i>Przegląd algebry współczesnej</i>. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1963.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Przegl%C4%85d+algebry+wsp%C3%B3%C5%82czesnej&rft.aulast=Birkhoff&rft.aufirst=Garret&rft.edition=2&rft.pub=Pa%C5%84stwowe+Wydawnictwo+Naukowe&rft.place=Warszawa"></span></cite><span class="problemy" aria-hidden="true" data-nosnippet=""> Brak numerów stron w książce</span></li></ul> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r75675918">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy .before,.mw-parser-output .navbox.pionowy .after{padding:0.5em 0;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.caption,.mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background:#ccf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox .tnavbar{font-weight:normal;font-size:xx-small;white-space:nowrap;padding:0}.mw-parser-output .navbox>.tnavbar{margin-left:1em;float:left}.mw-parser-output .navbox .below>hr+.tnavbar{margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox .below>.tnavbar:before{content:"Ten szablon: "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:after{content:" · "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .navbox hr{margin:0.2em 1em}.mw-parser-output .navbox .title{background:#ddf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content:not(.grupa-szablonów-nawigacyjnych){margin-top:2px;padding:0;font-size:smaller;overflow:auto}.mw-parser-output .navbox .above+div,.mw-parser-output .navbox .above+.navbox-main-content,.mw-parser-output .navbox .below,.mw-parser-output .navbox .title+.grid{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below{background:#ddf;text-align:center;margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .navbox .flex>.before,.mw-parser-output .navbox .flex>.after{align-self:center;text-align:center}.mw-parser-output .navbox .flex>.navbox-main-content{flex-grow:1}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .before{margin-right:0.5em}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .after{margin-left:0.5em}.mw-parser-output .navbox .inner-columns,.mw-parser-output .navbox .inner-group,.mw-parser-output .navbox .inner-standard{border-spacing:0;border-collapse:collapse;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis{text-align:right;vertical-align:middle}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis+.spis{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td{padding:0;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td:first-child{text-align:center}.mw-parser-output .navbox .inner-standard .inner-standard>tbody>tr>td{text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-odd,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-even{padding:0 0.3em}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>th+td{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns{table-layout:fixed}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{padding:0;border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);border-right:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{vertical-align:top}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:first-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:first-child{border-left:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:last-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:last-child{border-right:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ul,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ol,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>dl{text-align:left;column-width:24em}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+table{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.opis,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.spis{padding:0.1em 1em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-toggle,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.mw-collapsible-toggle{width:4em;text-align:right;margin-right:0.4em}.mw-parser-output .navbox>.fakebar,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.fakebar{float:left;width:4em;height:1em}.mw-parser-output .navbox .opis{background:#ddf;padding:0 1em;white-space:nowrap;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox.pionowy .opis{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-even,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-odd{background:transparent}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-odd,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-even{background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div{background:transparent}.mw-parser-output .navbox p{margin:0;padding:0.3em 0}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:gold}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:silver}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#c96}.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ul,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>dl,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ol{column-width:24em;text-align:left}.mw-parser-output .navbox ul{list-style:none}.mw-parser-output .navbox .references{background:transparent}.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dd,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dt,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist li{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox .rok{display:inline-block;width:4em;padding-right:0.5em;text-align:right}.mw-parser-output .navbox .navbox-statistics{margin-top:2px;border-top:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);text-align:center;font-size:small}.mw-parser-output .navbox-summary>.title{font-weight:bold;font-size:larger}.mw-parser-output .navbox:not(.grupa-szablonów) .navbox{margin:0;border:0;padding:0}.mw-parser-output .navbox.grupa-szablonów>.grupa-szablonów-nawigacyjnych>.navbox:first-child{margin-top:2px}@media(max-width:800px){.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.before,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.after{display:none}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) table,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) tbody{display:block;overflow:visible;width:100%;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .inner-standard tbody tr{display:flex;flex-direction:column}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .inner-standard tbody tr .opis{text-align:left}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) table{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) table table{margin:0;padding:0;border:0 none #000;padding-left:2em;width:100%}}.mw-parser-output .navbox .opis img,.mw-parser-output .navbox .opis .flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.image{display:none}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}</style><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Arytmetyka_elementarna" title="Szablon:Arytmetyka elementarna"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Arytmetyka_elementarna&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Arytmetyka elementarna (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Arytmetyka_elementarna&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Arytmetyka_elementarna" title="Arytmetyka elementarna">Arytmetyka elementarna</a></div><div class="mw-collapsible-content"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">podstawowe<br />typy <a href="/wiki/Liczba" title="Liczba">liczb</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">naturalne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">całkowite</a> <ul><li><a href="/wiki/Parzysto%C5%9B%C4%87_liczb" title="Parzystość liczb">parzyste i nieparzyste</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">wymierne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">rzeczywiste</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">dodatnie i ujemne</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działania</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a2_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">dwuargumentowe</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawanie</a> (+)</li> <li><a href="/wiki/Odejmowanie" title="Odejmowanie">odejmowanie</a> (− -)</li> <li><a href="/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Mnożenie">mnożenie</a> (· × *) <ul><li><a href="/wiki/Tabliczka_mno%C5%BCenia" title="Tabliczka mnożenia">tabliczka mnożenia</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Dzielenie" title="Dzielenie">dzielenie</a> (: ÷ /) <ul><li><a href="/wiki/Dzielenie_przez_zero" title="Dzielenie przez zero">przez zero</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_dzieleniu_z_reszt%C4%85" title="Twierdzenie o dzieleniu z resztą">z resztą</a></li> <li><a href="/wiki/Modulo" title="Modulo">modulo</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Pot%C4%99gowanie" title="Potęgowanie">potęgowanie</a> (^) <ul><li><a href="/wiki/Algorytm_szybkiego_pot%C4%99gowania" title="Algorytm szybkiego potęgowania">algorytm szybkiego potęgowania</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_jednoargumentowe" title="Działanie jednoargumentowe">jednoargumentowe</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Liczba_przeciwna" title="Liczba przeciwna">liczba przeciwna</a></li> <li><a href="/wiki/Liczba_odwrotna" title="Liczba odwrotna">liczba odwrotna</a></li> <li><a href="/wiki/Kwadrat_(algebra)" title="Kwadrat (algebra)">kwadrat</a> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_kwadratowe" title="Liczby kwadratowe">liczby kwadratowe</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Sze%C5%9Bcian_(algebra)" title="Sześcian (algebra)">sześcian</a></li> <li><a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna">wartość bezwzględna</a></li> <li><a href="/wiki/Zaokr%C4%85glanie" title="Zaokrąglanie">zaokrąglanie</a> <ul><li><a href="/wiki/Pod%C5%82oga_i_sufit" title="Podłoga i sufit">podłoga i sufit</a></li></ul></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">ułamki</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">zwykłe</a></li> <li><a href="/wiki/U%C5%82amek_dziesi%C4%99tny" title="Ułamek dziesiętny">dziesiętne</a> <ul><li><a href="/wiki/U%C5%82amek_dziesi%C4%99tny_niesko%C5%84czony" title="Ułamek dziesiętny nieskończony">nieskończone</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/U%C5%82amek_egipski" title="Ułamek egipski">egipskie</a></li> <li><a href="/wiki/Procent" title="Procent">procent</a> (%)</li> <li><a href="/wiki/Punkt_procentowy" title="Punkt procentowy">punkt procentowy</a></li> <li><a href="/wiki/Promil" title="Promil">promil</a> (‰)</li> <li><a href="/wiki/Punkt_bazowy" title="Punkt bazowy">punkt bazowy</a> (‱)</li> <li><a href="/wiki/Sposoby_zapisu_bezwymiarowego_stosunku_dw%C3%B3ch_wielko%C5%9Bci" title="Sposoby zapisu bezwymiarowego stosunku dwóch wielkości">ppm, ppb itp.</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Symbol" title="Symbol">symbole</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a5_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">liczb</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Cyfra" title="Cyfra">cyfry</a></li> <li><a href="/wiki/Plus_i_minus" title="Plus i minus">plus i minus</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_plus-minus" title="Znak plus-minus">plus-minus</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Separator_dziesi%C4%99tny" title="Separator dziesiętny">separator dziesiętny</a> <ul><li><a href="/wiki/Przecinek" title="Przecinek">przecinek</a></li> <li><a href="/wiki/Kropka" title="Kropka">kropka</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Procent_(symbol)" title="Procent (symbol)">symbol procenta</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">działań</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Plus_i_minus" title="Plus i minus">plus i minus</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_plus-minus" title="Znak plus-minus">plus-minus</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Znak_mno%C5%BCenia" title="Znak mnożenia">znak mnożenia</a> <ul><li><a href="/wiki/Kropka_%C5%9Brodkowa" title="Kropka środkowa">kropka środkowa</a></li> <li><a href="/wiki/Asterysk" title="Asterysk">asterysk</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Znak_dzielenia" title="Znak dzielenia">znak dzielenia</a> <ul><li><a href="/wiki/Dwukropek" title="Dwukropek">dwukropek</a></li> <li><a href="/wiki/Uko%C5%9Bnik" title="Ukośnik">ukośnik</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Kareta_(znak)" title="Kareta (znak)">kareta</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">relacji</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Znak_r%C3%B3wno%C5%9Bci" title="Znak równości">znak równości</a></li> <li><a href="/wiki/Znak_nier%C3%B3wno%C5%9Bci" title="Znak nierówności">znaki nierówności</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5_4"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Nawias" title="Nawias">nawiasy</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row">reguły zapisu</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/System_liczbowy" title="System liczbowy">systemy liczbowe</a></li> <li><a href="/wiki/Notacja_naukowa" title="Notacja naukowa">notacja naukowa</a> <ul><li><a href="/wiki/Cyfry_znacz%C4%85ce" title="Cyfry znaczące">cyfry znaczące</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Kolejno%C5%9B%C4%87_wykonywania_dzia%C5%82a%C5%84" title="Kolejność wykonywania działań">kolejność wykonywania działań</a></li></ul> </td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row">prawa działań</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemienność</a></li> <li><a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączność</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">rozdzielność</a></li> <li><a href="/wiki/Wzory_skr%C3%B3conego_mno%C5%BCenia" title="Wzory skróconego mnożenia">wzory skróconego mnożenia</a> <ul><li><a href="/wiki/Dwumian_Newtona" title="Dwumian Newtona">dwumian Newtona</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Narz%C4%99dzie" title="Narzędzie">narzędzia</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a8_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Liczyd%C5%82o" title="Liczydło">liczydła</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Abakus_(liczyd%C5%82o)" title="Abakus (liczydło)">abak</a></li> <li><a href="/wiki/Kostki_Napiera" title="Kostki Napiera">kostki Napiera</a></li> <li><a href="/wiki/Soroban" title="Soroban">soroban</a></li> <li><a href="/wiki/Suanpan" title="Suanpan">suanpan</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Kalkulator" title="Kalkulator">kalkulatory</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Arytmometr" title="Arytmometr">arytmometr</a></li> <li><a href="/wiki/Sumator_(maszyna_biurowa)" title="Sumator (maszyna biurowa)">sumator</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Suwak_logarytmiczny" title="Suwak logarytmiczny">suwak logarytmiczny</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row">powiązane pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Symbol_nieoznaczony" title="Symbol nieoznaczony">symbol nieoznaczony</a></li> <li><a href="/wiki/Obliczeniowiec" title="Obliczeniowiec">obliczeniowiec</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10"><th class="navbox-group opis" scope="row">rozszerzenia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Teoria_liczb" title="Teoria liczb">teoria liczb</a></li> <li><a href="/wiki/Arytmetyka_modularna" title="Arytmetyka modularna">arytmetyka modularna</a></li> <li><a href="/wiki/Rachunek_b%C5%82%C4%99d%C3%B3w" title="Rachunek błędów">rachunek błędów</a> <ul><li><a href="/wiki/Analiza_przedzia%C5%82owa" title="Analiza przedziałowa">analiza przedziałowa</a></li></ul></li></ul> </td></tr></tbody></table></div></div> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r75675918" /><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Algebra_zbior%C3%B3w" title="Szablon:Algebra zbiorów"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Algebra_zbior%C3%B3w&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Algebra zbiorów (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Algebra_zbior%C3%B3w&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Algebra_zbior%C3%B3w_(nauka)" title="Algebra zbiorów (nauka)">Algebra zbiorów</a></div><div class="mw-collapsible-content flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działania</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a1_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_jednoargumentowe" title="Działanie jednoargumentowe">jednoargumentowe</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Dope%C5%82nienie_zbioru" title="Dopełnienie zbioru">dopełnienie</a></li> <li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_pot%C4%99gowy" title="Zbiór potęgowy">zbiór potęgowy</a></li></ul> </td></tr><tr class="a1_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">dwuargumentowe</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Suma_zbior%C3%B3w" title="Suma zbiorów">suma</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cup }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∪</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cup }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ff7d0293ad19b43524a133ae5129f3d71f2040" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \cup }" /></span></li> <li><a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9B%C4%87_wsp%C3%B3lna" title="Część wspólna">przekrój</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cap }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cap }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4e886e6f5a28a33e073fb108440c152ecfe2d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \cap }" /></span></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3%C5%BCnica_zbior%C3%B3w" title="Różnica zbiorów">różnica</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \setminus }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo class="MJX-variant">∖</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \setminus }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0e20e45087a97f0448fc3d4bc27b060084830f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.162ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \setminus }" /></span></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3%C5%BCnica_symetryczna_zbior%C3%B3w" title="Różnica symetryczna zbiorów">różnica symetryczna</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta }" /></span></li> <li><a href="/wiki/Iloczyn_kartezja%C5%84ski" title="Iloczyn kartezjański">iloczyn kartezjański</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \times }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>×</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \times }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ffafff1ad26cbe49045f19a67ce532116a32703" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.019ex; margin-bottom: -0.19ex; width:1.808ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle \times }" /></span></li> <li><a href="/wiki/Suma_roz%C5%82%C4%85czna" title="Suma rozłączna">suma rozłączna</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sqcup }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊔</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sqcup }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1596aedf354da694149e44ce2bf53ede54eca8cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sqcup }" /></span></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row">własności<br />działań</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a2_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">indywidualne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li>prawa <a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemienności</a>, <a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączności</a> i <a href="/wiki/Idempotentno%C5%9B%C4%87" title="Idempotentność">idempotencji</a></li> <li>elementy <a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">neutralne</a> i <a href="/wiki/Element_absorbuj%C4%85cy" title="Element absorbujący">absorbujące</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">związki między działaniami</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li>prawa <a class="mw-selflink selflink">rozdzielności</a> i <a href="/wiki/Prawa_De_Morgana" title="Prawa De Morgana">De Morgana</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row">powiązane<br /><a href="/wiki/Relacja_(matematyka)" title="Relacja (matematyka)">relacje</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li>przecinanie <ul><li>zawieranie, in. inkluzja: <a href="/wiki/Podzbi%C3%B3r" title="Podzbiór">podzbiór</a> i nadzbiór</li></ul></li> <li><a href="/wiki/Zbiory_roz%C5%82%C4%85czne" title="Zbiory rozłączne">rozłączność</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row">tworzone<br /><a href="/wiki/Algebra_og%C3%B3lna" title="Algebra ogólna">struktury<br />algebraiczne</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a4_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Grupoid" title="Grupoid">grupoid</a> (magma)</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82grupa" title="Półgrupa">półgrupa</a> <ul><li><a href="/wiki/Monoid" title="Monoid">monoid</a></li> <li><a href="/wiki/Pas_(teoria_p%C3%B3%C5%82grup)" title="Pas (teoria półgrup)">pas</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_przemienna" title="Grupa przemienna">grupa przemienna</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Krata_(matematyka)#Półkraty" title="Krata (matematyka)">półkrata</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Krata_(matematyka)" title="Krata (matematyka)">krata</a> <ul><li><a href="/wiki/Algebra_Boole%E2%80%99a" title="Algebra Boole’a">algebra Boole’a</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82pier%C5%9Bcie%C5%84" title="Półpierścień">półpierścień</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Pier%C5%9Bcie%C5%84_(matematyka)" title="Pierścień (matematyka)">pierścień</a> <ul><li><a href="/wiki/Pier%C5%9Bcie%C5%84_zbior%C3%B3w" title="Pierścień zbiorów">pierścień zbiorów</a></li></ul></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne <a href="/wiki/Rodzina_zbior%C3%B3w" title="Rodzina zbiorów">rodziny</a><br />zdefiniowane<br />działaniami</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a5_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Pokrycie_zbioru" title="Pokrycie zbioru">pokrycie zbioru</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Rozbicie_zbioru" title="Rozbicie zbioru">rozbicie zbioru</a> <ul><li><a href="/wiki/Dychotomia" title="Dychotomia">dychotomia</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a5_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/%CE%A0-uk%C5%82ad" title="Π-układ">π-układ</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_topologiczna" title="Przestrzeń topologiczna">topologia</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">definiowane różnicami</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/%CE%A3-pier%C5%9Bcie%C5%84" title="Σ-pierścień">σ-pierścień</a></li> <li><a href="/wiki/Cia%C5%82o_zbior%C3%B3w" title="Ciało zbiorów">ciało zbiorów</a> <ul><li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_mierzalna#Definicje" title="Przestrzeń mierzalna">σ-ciało</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%CE%9B-uk%C5%82ad" title="Λ-układ">λ-układ</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5_4"><th class="navbox-group opis" scope="row">pozostałe</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Filtr_(teoria_zbior%C3%B3w)" title="Filtr (teoria zbiorów)">filtr</a> <ul><li><a href="/wiki/Filtr_(matematyka)#Filtr_maksymalny" title="Filtr (matematyka)">ultrafiltr</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Idea%C5%82_(teoria_mnogo%C5%9Bci)" title="Ideał (teoria mnogości)">ideał</a> <ul><li><a href="/wiki/Idea%C5%82_pierwszy_(teoria_mnogo%C5%9Bci)" title="Ideał pierwszy (teoria mnogości)">ideał pierwszy</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Klasa_monotoniczna" title="Klasa monotoniczna">klasa monotoniczna</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie">twierdzenia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Lemat_o_%CF%80-_i_%CE%BB-uk%C5%82adach" title="Lemat o π- i λ-układach">lemat o π- i λ-układach</a></li></ul> </td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row">powiązane<br />nauki</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a7_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Podstawy_matematyki" title="Podstawy matematyki">podstawy matematyki</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Logika_matematyczna" title="Logika matematyczna">logika matematyczna</a> <ul><li><a href="/wiki/Klasyczny_rachunek_zda%C5%84" title="Klasyczny rachunek zdań">klasyczny rachunek zdań</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Teoria_mnogo%C5%9Bci" title="Teoria mnogości">teoria mnogości</a></li></ul> </td></tr><tr class="a7_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Kombinatoryka" title="Kombinatoryka">kombinatoryka</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_miary" title="Teoria miary">teoria miary</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_prawdopodobie%C5%84stwa" title="Teoria prawdopodobieństwa">probabilistyka</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Naukowiec" title="Naukowiec">badacze</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Augustus_De_Morgan" title="Augustus De Morgan">Augustus De Morgan</a></li> <li><a href="/wiki/George_Boole" title="George Boole">George Boole</a></li> <li><a href="/wiki/John_Venn" title="John Venn">John Venn</a></li> <li><a href="/wiki/Wac%C5%82aw_Sierpi%C5%84ski" title="Wacław Sierpiński">Wacław Sierpiński</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Eugene_Dynkin&action=edit&redlink=1" class="new" title="Eugene Dynkin (strona nie istnieje)">Eugene Dynkin</a></li></ul> </td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Venn_A_intersect_B.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Venn_A_intersect_B.svg/150px-Venn_A_intersect_B.svg.png" decoding="async" width="150" height="107" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Venn_A_intersect_B.svg/225px-Venn_A_intersect_B.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Venn_A_intersect_B.svg/300px-Venn_A_intersect_B.svg.png 2x" data-file-width="350" data-file-height="250" /></a></span> </p> </div></div></div> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r75675918" /><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Dzia%C5%82ania_dwuargumentowe" title="Szablon:Działania dwuargumentowe"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Dzia%C5%82ania_dwuargumentowe&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Działania dwuargumentowe (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Dzia%C5%82ania_dwuargumentowe&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">Działania dwuargumentowe</a></div><div class="mw-collapsible-content flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">własności<br />dotyczące</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a1_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">tylko działań</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Alternatywno%C5%9B%C4%87" title="Alternatywność">alternatywność</a> <ul><li><a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączność</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Idempotentno%C5%9B%C4%87" title="Idempotentność">idempotentność</a></li> <li><a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemienność</a></li> <li><a href="/wiki/Antyprzemienno%C5%9B%C4%87" title="Antyprzemienność">antyprzemienność</a></li></ul> </td></tr><tr class="a1_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">także innych<br /><a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">funkcji</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCnowarto%C5%9Bciowa" title="Funkcja różnowartościowa">różnowartościowość</a> (iniekcyjność)</li> <li><a href="/wiki/Surjekcja" title="Surjekcja">bycie „na”</a> (suriekcyjność)</li> <li><a href="/wiki/Funkcja_wzajemnie_jednoznaczna" title="Funkcja wzajemnie jednoznaczna">wzajemna jednoznaczność</a> (bijekcyjność)</li> <li><a href="/wiki/Funkcja_ograniczona" title="Funkcja ograniczona">ograniczenie</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row">powiązane<br /><a href="/wiki/Relacja_(matematyka)" title="Relacja (matematyka)">relacje</a> między<br />działaniem a</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a2_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Argument_funkcji" title="Argument funkcji">argumentem</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Idempotentno%C5%9B%C4%87" title="Idempotentność">idempotent</a> <ul><li><a href="/wiki/Element_absorbuj%C4%85cy" title="Element absorbujący">element absorbujący</a></li> <li><a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">element neutralny</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Element_odwracalny" title="Element odwracalny">element odwracalny</a> <ul><li><a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">element neutralny</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">dwoma argumentami</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Element_odwrotny" title="Element odwrotny">element odwrotny</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">dwoma działaniami</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">rozdzielność</a> działania</li></ul> </td></tr><tr class="a2_4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Relacja_dwuargumentowa" title="Relacja dwuargumentowa">relacją dwuargumentową</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Zgodno%C5%9B%C4%87_relacji_z_dzia%C5%82aniem" title="Zgodność relacji z działaniem">zgodność relacji z działaniem</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row">powiązane<br />pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Algebra_og%C3%B3lna" title="Algebra ogólna">algebra ogólna</a>, in. <a href="/wiki/Struktura_matematyczna" title="Struktura matematyczna">struktura</a> algebraiczna <ul><li><a href="/wiki/Grupoid" title="Grupoid">grupoid</a>, in. magma</li></ul></li> <li><a href="/wiki/Homomorfizm" title="Homomorfizm">homomorfizm</a></li> <li><a href="/wiki/Tablica_Cayleya" title="Tablica Cayleya">tablica Cayleya</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Uog%C3%B3lnienie" title="Uogólnienie">uogólnienie</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działanie algebraiczne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_wielu_zmiennych" title="Funkcja wielu zmiennych">funkcja wielu zmiennych</a></li></ul> </td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Binary_operations_as_black_box.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Binary_operations_as_black_box.svg/100px-Binary_operations_as_black_box.svg.png" decoding="async" width="100" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Binary_operations_as_black_box.svg/150px-Binary_operations_as_black_box.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Binary_operations_as_black_box.svg/200px-Binary_operations_as_black_box.svg.png 2x" data-file-width="142" data-file-height="142" /></a></span> </p> </div></div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Rozdzielność&oldid=75756847">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Rozdzielność&oldid=75756847</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategorie</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:W%C5%82asno%C5%9Bci_dzia%C5%82a%C5%84" title="Kategoria:Własności działań">Własności działań</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Dwucz%C5%82onowe_relacje_matematyczne" title="Kategoria:Dwuczłonowe relacje matematyczne">Dwuczłonowe relacje matematyczne</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Logika_matematyczna" title="Kategoria:Logika matematyczna">Logika matematyczna</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Ukryte kategorie: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Artyku%C5%82y_z_brakuj%C4%85cymi_przypisami_od_2023-07" title="Kategoria:Artykuły z brakującymi przypisami od 2023-07">Artykuły z brakującymi przypisami od 2023-07</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Szablon_cytowania_ksi%C4%85%C5%BCki_%E2%80%93_brak_numeru_strony" title="Kategoria:Szablon cytowania książki – brak numeru strony">Szablon cytowania książki – brak numeru strony</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Strony_u%C5%BCywaj%C4%85ce_przestarza%C5%82ej_postaci_znacznik%C3%B3w_matematycznych" title="Kategoria:Strony używające przestarzałej postaci znaczników matematycznych">Strony używające przestarzałej postaci znaczników matematycznych</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Tę stronę ostatnio edytowano 8 sty 2025, 23:10.</li> <li id="footer-info-copyright">Tekst udostępniany na licencji <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl">Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach</a>, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/pl">warunkach korzystania</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Polityka prywatności</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii">O Wikipedii</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Korzystasz_z_Wikipedii_tylko_na_w%C5%82asn%C4%85_odpowiedzialno%C5%9B%C4%87">Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Powszechne Zasady Postępowania</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Dla deweloperów</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pl.wikipedia.org">Statystyki</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Oświadczenie o ciasteczkach</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Rozdzielno%C5%9B%C4%87&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Wersja mobilna</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><picture><source media="(min-width: 500px)" srcset="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29"><img src="/static/images/footer/wikimedia.svg" width="25" height="25" alt="Wikimedia Foundation" lang="en" loading="lazy"></picture></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><picture><source media="(min-width: 500px)" srcset="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" width="88" height="31"><img src="/w/resources/assets/mediawiki_compact.svg" alt="Powered by MediaWiki" lang="en" width="25" height="25" loading="lazy"></picture></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-header-container vector-sticky-header-container"> <div id="vector-sticky-header" class="vector-sticky-header"> <div class="vector-sticky-header-start"> <div class="vector-sticky-header-icon-start vector-button-flush-left vector-button-flush-right" aria-hidden="true"> <button class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-sticky-header-search-toggle" tabindex="-1" data-event-name="ui.vector-sticky-search-form.icon"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Szukaj</span> </button> </div> <div role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box"> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail"> <form action="/w/index.php" id="vector-sticky-search-form" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Przeszukaj Wikipedię"> <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Specjalna:Szukaj"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Szukaj</button> </form> </div> </div> </div> <div class="vector-sticky-header-context-bar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-sticky-header-toc" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-sticky-header-toc vector-sticky-header-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-sticky-header-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-sticky-header-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-sticky-header-toc-label" for="vector-sticky-header-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-sticky-header-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div class="vector-sticky-header-context-bar-primary" aria-hidden="true" ><span class="mw-page-title-main">Rozdzielność</span></div> </div> </div> <div class="vector-sticky-header-end" aria-hidden="true"> <div class="vector-sticky-header-icons"> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-talk-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="talk-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-speechBubbles mw-ui-icon-wikimedia-speechBubbles"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-subject-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="subject-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-article mw-ui-icon-wikimedia-article"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-history-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="history-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-history mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-history"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only mw-watchlink" id="ca-watchstar-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="watch-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-star mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-star"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-ve-edit-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ve-edit-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-edit mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-edit"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-edit-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="wikitext-edit-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-wikiText mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-wikiText"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-viewsource-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ve-edit-protected-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-editLock mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-editLock"></span> <span></span> </a> </div> <div class="vector-sticky-header-buttons"> <button class="cdx-button cdx-button--weight-quiet mw-interlanguage-selector" id="p-lang-btn-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-language mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-language"></span> <span>55 języków</span> </button> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive" id="ca-addsection-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="addsection-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-speechBubbleAdd-progressive mw-ui-icon-wikimedia-speechBubbleAdd-progressive"></span> <span>Dodaj temat</span> </a> </div> <div class="vector-sticky-header-icon-end"> <div class="vector-user-links"> </div> </div> </div> </div> </div> <div class="mw-portlet mw-portlet-dock-bottom emptyPortlet" id="p-dock-bottom"> <ul> </ul> </div> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.eqiad.main-78bdfcd464-rwwxm","wgBackendResponseTime":244,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.402","walltime":"0.651","ppvisitednodes":{"value":7449,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":81199,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":5598,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":11,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":5,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":49787,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 361.042 1 -total"," 40.15% 144.944 13 Szablon:Szablon_nawigacyjny"," 32.50% 117.349 1 Szablon:Arytmetyka_elementarna"," 18.55% 66.958 1 Szablon:Przypisy"," 13.59% 49.058 15 Szablon:Odn"," 13.00% 46.942 5 Szablon:Cytuj_książkę"," 8.42% 30.411 1 Szablon:Inne_znaczenia"," 8.28% 29.891 3 Szablon:Encyklopedia_PWN"," 4.72% 17.037 2 Szablon:Dmbox"," 4.22% 15.240 15 Szablon:Odn/tekst"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.161","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":3732347,"limit":52428800},"limitreport-logs":"required = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-7fd96bd568-gd6hx","timestamp":"20250314002235","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Rozdzielno\u015b\u0107","url":"https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Rozdzielno%C5%9B%C4%87","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q187959","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q187959","author":{"@type":"Organization","name":"Wsp\u00f3\u0142tw\u00f3rcy projekt\u00f3w Fundacji Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2004-05-11T20:05:32Z","headline":"relacja mi\u0119dzy dwoma dzia\u0142aniami algebraicznymi lub mi\u0119dzy kwantyfikatorem a sp\u00f3jnikiem"}</script> </body> </html>